4 Analisis de Electrodos de Tierra

EL 6013 Puesta a Tierra _______________________________________________________________________________

CAPÍTULO 4

ANÁLISIS DE ELECTRODOS DE PUESTA A TIERRA

Definida la geometría de una toma de tierra, deberá procederse a determinar su comportamiento eléctrico en interacción con el terreno en lo que respecta a la resistencia de puesta a tierra y a la distribución de potenciales en la superficie del terreno, sobre la toma de tierra y en su vecindad. Para verificar el grado de seguridad otorgado por una toma de tierra, en cuanto al cumplimiento de los valores límites de voltaje permitidos, es indispensable evaluar potenciales y gradientes en las vecindades del electrodo, provocados por la circulación de corriente en el terreno. La elevación de potencial propia del electrodo, en razón a la magnitud de corriente que disipa, permitirá conocer su resistencia de puesta a tierra. Para este efecto existen diversos métodos de análisis, los cuales pueden clasificarse en: Métodos generales y Métodos simplificados. 4.1.- Métodos generales para análisis de electrodos de puesta a tierra Los métodos generales ofrecen una mayor capacidad de modelar situaciones complejas, o al menos alejadas de lo tradicional, y la información recogida luego de su aplicación, es inmensamente superior, en extensión y calidad, a la entregada por procedimientos aproximados. Esta característica permite que los métodos computacionales generales sirvan efectivamente como una herramienta de análisis, posibilitando la búsqueda de soluciones técnica y económicamente más convenientes, ya sea desde el punto de vista de seguridad o de operación del sistema. Los métodos generales utilizan un modelo de terreno formado por dos capas de espesor y resistividades cualquiera, uniforme en cada capa. Los conductores de la malla se modelan como la unión de un gran número de electrodos elementales de pequeña longitud, que pueden tener ubicación y orientación cualquiera en el terreno, lo cual posibilita modelar cualquier tipo y forma de conductor. El efecto del estrato se considera aplicando el método de imágenes para obtener la expresión analítica del potencial generado por cada uno de estos electrodos elementales, cuando fluye por él la porción de corriente residual que le corresponde. Consideremos el análisis de una malla de tierra, como se indica en la figura siguiente.

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Figura 4.1. Modelo discreto de malla de tierra en terreno estratificado. Supóngase una corriente puntual en un medio de resistividad ρ1, a una distancia y0 de un plano infinito que separa a éste de otro medio de resistividad ρ2 .

Figura 4.2 Corriente puntual en presencia de dos medios Las condiciones de borde pueden ser satisfechas mediante el uso de corrientes ficticias, para reemplazar el plano de tierra. Para el cálculo del potencial en un punto del medio inferior, se introduce una corriente ficticia I’ ubicada a una distancia - yo en el medio superior. Por otro lado, para el cálculo del potencial en un punto del medio superior, se reemplaza la corriente real I por una corriente ficticia I’’. En ambos casos se elimina el segundo medio y el primero se considera infinito.



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Figura 4.3 Incorporación de corriente imagen para cálculo en medio inferior Aplicando las condiciones de borde (continuidad del potencial y de la componente normal de la densidad de corriente en la superficie del suelo), las expresiones de potencial resultante en cada medio son: ρ1 1 ρ2 - ρ1 1 V1 = ------ ( --- + ----------- • ----- ) I 4π ro ρ1 + ρ2 ro’ ρ1 2 ρ2 1 V2 = ------ ( ------------ • ----- ) I 4π ρ1 + ρ2 ro’’

Es conveniente para desarrollos posteriores, definir los siguientes factores : ρ2 - ρ1 K’j i = --------- : factor de reflexión ρ1 + ρ2

2 ρ2 K’’j i = -------- : ρ1 +ρ2

factor de equivalencia

Si ahora se supone todo el espacio ocupado por dos bloques de resistividades ρ1 y ρ3 semi-infinitos en la dirección del eje y, y separados por una capa intermedia de distinta resistividad ρ2 , con superficies de separación paralelas, considerando que la fuente puntual de __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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corriente se ubica en el estrato intermedio, debido a la presencia de los dos planos de separación se produce un número infinito de reflexiones y por ende de imágenes.

Figura 4.4 Imágenes para una carga puntual en el estrato intermedio Entonces para evaluar el potencial en un punto del mismo estrato, se genera un conjunto infinito de términos y la expresión del potencial en el punto P queda dada por :

En realidad en vez de una fuente puntual es un conductor cilíndrico con orientación cualquiera el que difunde en el medio 2 una corriente I al terreno; por lo tanto las respectivas __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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expresiones para el potencial se obtienen reemplazando los coeficientes de potencial correspondientes a una fuente puntual y sus imágenes, por aquellos correspondientes a un conductor cilíndrico y sus imágenes. Para los elementos de corriente longitudinales empleados, la expresión del potencial con respecto a un sistema de referencia "propio" en el cual el punto P se represente por las coordenadas (Xp, Yp, Zp), está dado por : Xp + { Xp2 + ( [ Yp2 + Zp2 ]1/2+ d/2 )2 } 1/2 ρi IB V (Xp, Yp, Zp) = ------- Ln ----------------------------------------------------------------4π lB -Xp - lB + { (Xp - lB)2 + ([ Yp2 + Zp2 ]1/2 + d/2 )2} 1/2 lB = longitud del conductor cilíndrico d = diámetro del conductor ρi = resistividad del medio donde está ubicado IB = corriente que difunde al terreno (Xo, Yo, Zo) : coordenadas absolutas del origen del conductor (X, Y, Z) : coordenadas absolutas del punto P. (X"', Y"', Z"') : coordenadas del punto P con respecto a un sistema de referencia "propio" del conductor La posición de la barrita está definida por los ángulos (θ,ϕ) de un sistema de coordenadas polares con origen en 0 (absoluto). Luego, según un sistema de referencia general y considerando que el conductor cilíndrico puede ubicarse con una orientación arbitraria en ese espacio, tenemos las siguientes ecuaciones de transformación del sistema (X, Y, Z) al sistema propio (Xp, Yp, Zp): Xp = (X - Xo) cosθ cosϕ + (Y - Yo) senθ cosϕ + (Z - Zo) senϕ Yp = - (X - Xo) senθ + (Y - Yo) cosθ Zp = - (X - Xo) cosθsenϕ - (Y - Yo) senθ senϕ + (Z - Zo) cosϕ Aplicando superposición, se puede resumir en general las expresiones de potencial en la forma: P 647 48 n ρ v v Pi (r , hi ) φ (r ) =∑ I i 4π i =1

En los conductores elementales de la malla se cumple la condición de equipotencialidad:

φ1 = φ2 = φ3 = − − −− = φn = φo __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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Y además la corriente total se difunde por todos los conductores elementales:

n

∑ Ii = I o

i =1

Con estas condiciones se forma el sistema de n + 1 ecuaciones:

P11 I 1 + P12 I 2 + − − − − − − + P1n I n − φo = 0 P21 I 1 + P22 I 2 + − − − − − − + P2n I n − φo = 0

Pn1 I 1 + Pn2 I 2 + − − − − − − + Pnn I n − φo = 0 I1 +

I2 + − − − − − − +

In

= Io

Y se resuelve para las n+1 incógnitas, que corresponden a las n corrientes y el potencial de la malla: I1, I2, ----- , In e φo Conocidas estas variables, es posible evaluar un perfil de potencial en la superficie del terreno y obtener voltajes de paso, de contacto, transferidos, potenciales inducidos, el potencial en cualquier conductor o en puntos del terreno que lo envuelve. El método fue primeramente propuesto a nivel internacional por Dawalibi y Mukedkar en 1975 [13], quienes efectuaron además su comprobación experimental, y a nivel nacional por Yáñez [5] en 1981. Dada la enorme variedad de configuraciones posibles de mallas de tierra y la gran cantidad de variables que afectan las magnitudes eléctricas representativas, es imposible entregar una información acabada de la influencia de cada variable y para distintos tipos de malla. Se acostumbra por lo tanto escoger algunas mallas simples y simétricas, con el objeto de de deducir un comportamiento global. En este caso se presentan las conclusiones recogidas de un estudio de potenciales de contacto, que constituye uno de los parámetros más importantes, desde el punto de vista de seguridad de la instalación. La distribución del potencial de contacto en el interior de una malla presenta mínimos relativos sobre las conexiones en cruz y máximos relativos en el centro de retículos. El punto de máxima tensión de contacto en una malla simétrica se desplaza, dentro del retículo de la esquina, desde el centro, en mallas poco densas, hasta el vértice, a medida que aumenta el número de retículos. En un terreno bi-estratificado este desplazamiento puede ocurrir al aumentar la resistividad del subsuelo. __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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Las fluctuaciones en la tensión de contacto disminuyen apreciablemente cuando aumenta el número de retículos; en particular la sola reducción del retículo de la esquina provoca una reducción importante en la tensión de contacto en esa zona, e incluso el máximo se desplaza hacia otro retículo interno, si la malla es densa o si el subsuelo es más conductivo que la capa superficial. En un terreno bi-estratificado, la máxima tensión de contacto aumenta si el terreno es homogéneo o el subsuelo es más resistivo y se reduce si el subsuelo es más conductivo, cuando aumenta la profundidad de enterramiento de la malla. 4.1.1.- Influencia de puestas a tierra próximas El comportamiento general descrito en la sección anterior cambia radicalmente cuando no se considera falla remota, sino que la corriente de falla entra y deja el terreno por dos puestas a tierra relativamente cercanas. Cada uno de los conductores cilíndricos elementales descritos, inyecta o recoge una porción de corriente del electrodo o malla del cual forma parte y el conjunto, toda la corriente que circula por la puesta a tierra o conductor enterrado. El procedimiento se puede generalizar a más de una malla y mediante superposición, se obtiene el efecto del conjunto de elementos. Este efecto se evalúa en primer lugar sobre cada malla de tierra, la cual se supone equipotencial, con el propósito de determinar la magnitud de corriente que fluye por cada elemento; para conseguir este objetivo, se estructura un sistema de ecuaciones calculando el potencial en puntos de la malla, tantos como conductores elementales posea y agregando las condiciones propias de la distribución de corriente por cada malla. La función potencial permitirá evaluar potenciales inducidos en el terreno o en otros conductores y determinar el grado de seguridad o de peligrosidad otorgado por el conjunto de puestas a tierra en las distintas zonas de interés. Se presenta a continuación la situación de un conductor enterrado a la misma profundidad (0,6 m) que una malla la cual entrega al terreno una corriente de 100 Amperes. El terreno es de dos capas, con una primera capa de 4 m de espesor, resistividad 100 Ohm –m y factor k = 0,82. La figura siguiente muestra el comportamiento de la resistencia de puesta a tierra de la malla y los voltajes de paso y contacto según la separación entre el conductor y la malla.



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Figura 4.5 Efecto de la presencia de conductores cercanos 4.1.2 Método General para Cálculo de Resistencia. Se aplica el mismo procedimiento general, pero como la resistencia de puesta a tierra es un parámetro global, en este caso no es necesario ejecutar la subdivisión de conductores. El procedimiento consiste en especificar como electrodos los segmentos entre uniones de la malla. Para cada uno de estos electrodos se determina las resistencias propias Rii, las resistencias mutuas Rij y se forma la matriz general de resistencias: [φo]=[R] [Ii] A continuación se obtiene la inversa: [Ii]=[G] [φo] Considerando que la corriente total difundida a tierra es:



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n n  n n n  I o = ∑ I j = ∑  ∑ g ji φo  = φo ∑ ∑ g ji  j =1 j =1  i =1 j =1 i =1 Entonces la resistencia de puesta a tierra de la malla es:

φ φ 1 R= o = o = n n n Io ∑ Ij ∑ ∑ g ji j =1

j =1 i =1

4.2 Métodos de análisis aproximado La mayoría de los procedimientos de análisis y diseño de puestas a tierra, están basados en la suposición de terreno homogéneo o a lo sumo, considerando la existencia de un estrato superior de espesor finito, seguido de un medio semi-infinito de distinta resistividad. Lo anterior necesariamente conduce a reducir el modelo de terreno estratificado general a un modelo práctico de terreno homogéneo equivalente, caracterizado por un sólo parámetro, la resistividad equivalente ρe; o bien, con una mayor aproximación, un terreno con dos medios y caracterizado por tres parámetros: la resistividad equivalente del estrato superior ρ1, su espesor H y la resistividad equivalente del medio inferior ρ2. 4.3 Análisis de electrodos de tierra elementales. Un electrodo elemental corresponde a una barra o conductor simple, enterrado vertical u horizontalmente, en general con el principal objetivo de establecer una conexión conductora a tierra de un determinado valor de resistencia; se emplean cuando las corrientes disipadas a tierra son de baja magnitud relativa y el terreno presenta un bajo valor de resistividad equivalente, en cuyo caso la exigencia en el valor de resistencia de la puesta a tierra es fácil de satisfacer. Se presentan en primer lugar las relaciones básicas para evaluar potenciales y resistencia de electrodos en terreno homogéneo y se entrega posteriormente el procedimiento para generalizar a dos estratos.

4.3.1. Potenciales en la superficie del terreno cerca de electrodos elementales. Se presentan a continuación las relaciones simplificadas para evaluar el potencial inducido sobre la superficie del terreno, a una distancia horizontal de x metros desde la posición del conductor, el cual se supone cilíndrico, de radio "a" metros, de una longitud efectiva enterrada "l" metros y difundiendo al terreno una corriente total de "I" Amperes; el terreno se supone homogéneo con una resistividad uniforme "ρ" Ohm-metro. __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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a) Conductor enterrado verticalmente (barra), desde t metros de profundidad con respecto al nivel del suelo: _________ ρI [(t+l) + √ (t+l)² + x²] ø(x) = ---- Ln -------------------------2πl [t + √ t² + x²] La elevación de potencial del conductor, útil para evaluar por diferencias las tensiones de contacto, es: ρI 4l (l + 2t) øo = ----- Ln --------------------4πl a(2t + √ 4t² + a²) c) Conductor enterrado horizontalmente, a una profundidad de h metros. ρI l/2 + √ (l/2)² + x² + h² ø(x) = ----- Ln --------------------------2πl -l/2 + √ (l/2)² + x² + h² En este caso, la variable x es distancia horizontal desde el conductor, sobre la superficie del suelo. La elevación de potencial del conductor es: ρI øo = ---- [ Ln (2l²/ ah) - 2 ] 2πl Las expresiones de potencial para otros tipos de electrodos son bastante más complejas y pueden consultarse en la literatura [1].

4.3.1 Resistencia de puesta a tierra de electrodos elementales A continuación, se entregan las expresiones analíticas correspondientes a la resistencia de puesta a tierra de algunos electrodos de uso frecuente, supuestamente ubicados en un terreno de resistividad ρ [Ohm-m]. Según las suposiciones o aproximaciones efectuadas por diversos autores, algunas de las configuraciones presentan más de una expresión con muy poca diferencia en el valor final. a) Semiesfera de radio a [m], con la sección en la superficie del suelo: ρ R = ----2πa

[Ohm]



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b) Barra vertical de radio a [m] y longitud l [m] enterrada desde una profundidad de t [m]: ρ 4l² + 8lt R = --- Ln --------------------4πl a(2t + √ 4t² + a²)

[Ohm]

c) Conductor cilíndrico horizontal de radio a[m] y longitud l[m], enterrado a un profundidad de h[m], con h < l ρ 2l² h h² h4 R = ----- [ Ln --- - 2 + 2 -- - --- + ----- ... ] 2πl ah l l² 2l4

[Ohm]

4.3.3 Electrodos elementales en terrenos no- homogéneos. El comportamiento de electrodos en terreno no homogéneo puede variar significativamente respecto de la condición de terreno uniforme. Las expresiones son más complejas por cuanto consideran las infinitas imágenes generadas por la presencia de fronteras en el aire-suelo y entre capas de terreno. Por ejemplo, la expresión para la resistencia de un electrodo horizontal es: 

R=

 1 + (2nh / l) 2 + 1  8nh ρ1  l 2 oo n   2nh    Ln K Ln + 4 + − 4 + 1      ∑ 21 2π l  dt n =1 (2nh / l    l   l  

2







La figura siguiente muestra el comportamiento de un electrodo horizontal específico en un terreno estratificado, en función del parámetro “k”

Figura 4.6: Electrodo horizontal en terreno estratificado L=30 m; a =0,01m ; h=0,5 m ; ρ1 = 100 Ohm-m __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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Y la resistencia de un electrodo vertical, que atraviesa la primera capa es:

R=

ρ1 • 2π l 

1 + K 21

 2l oo 2nh + l  n •  Ln + ∑ K 21 Ln  (2n − 2)h − l  ( 1 − K 21) + 2 K 21 hl   a n=1  

Figura 4.7: Electrodo vertical en terreno estratificado L=10 m; a =0,01m ; t=0,05 m ; ρ1 = 100 Ohm-m 4.4 Análisis de electrodos de tierra compuestos. Se entiende por electrodo compuesto combinaciones sencillas y simétricas de electrodos elementales, introduciendo por lo tanto un grado más de complejidad. Persiste como objetivo básico el alcanzar un determinado valor de resistencia de la puesta a tierra, pero, puesto que normalmente difundirán corrientes superiores a aquéllas disipadas con electrodos elementales y abarcarán una mayor extensión de terreno, debe ponerse un mayor cuidado en el aspecto seguridad, en particular con respecto a voltajes de contacto.

4.4..1 Potenciales en la superficie del terreno cerca de electrodos compuestos. El potencial resultante de la combinación de electrodos elementales se obtiene por superposición de los potenciales debido a cada uno de ellos; esto es, si el electrodo compuesto está formado por "n" electrodos elementales, el potencial inducido en su entorno corresponde, en cada punto, a la suma de las contribuciones debidas a cada electrodo componente: __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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n φ(r) = ∑ φi(r;ri) i=1 donde r representa el vector posición del punto cuyo potencial se desea conocer y ri el vector posición o referencia del electrodo i. La superposición es válida gracias a que la función potencial es una función lineal y escalar. A continuación se presentan las expresiones necesarias para calcular el potencial inducido sobre la superficie del terreno, en algunas configuraciones típicas de conductores cilíndricos horizontales o verticales idénticos, de radio despreciable, longitud L metros e I Amperes difundidos por cada elemento, el conjunto enterrado en un terreno homogéneo de resistividad uniforme ρ Ohm-metro. a) Conductores enterrados verticalmente, desde t metros con respecto al nivel del suelo, en línea. El potencial en la superficie del terreno, sobre la línea de ubicación de los conductores, es: n φ(x) = ∑ φi(x-xi) i=1 x=0 es el punto de referencia escogido xi es la coordenada de posición de la barra "i". La contribución de cada barra es: ρI [(t+L) + √(t+L)² + (x-xi)²] φi(x-xi)= ----- Ln --------------------------------2πL [ t + √t² + (x-xi)² ]

Figura 4.8 Barras enterradas en línea. __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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El potencial del electrodo se calcula preferentemente en términos de su resistencia de puesta a tierra: φ0 = R •(nI) b) Conductores enterrados horizontalmente, en línea sobre un plano ubicado h metros bajo la superficie del terreno. El potencial en la superficie, sobre la línea de ubicación de los puntos medios de los conductores es: n φ(x) = ∑ φi(x-xi) i=1 x = 0 es el punto de referencia escogido xi es la coordenada de posición del conductor "i". La contribución de cada conductor es: ρI [ L/2 + √(L/2)² + (x-xi)² + h²] φi(x-xi) = ----- Ln -----------------------------------2πL [-L/2 + √(L/2)² + (x-xi)² + h²]

Figura 4.9 Conductores horizontales en línea. Similar al caso de barras, el potencial del electrodo compuesto se calcula a través de su resistencia de puesta a tierra: φ0 = R •(nI) c) Conductores enterrados horizontalmente, sobre un plano ubicado h metros bajo la superficie del terreno, y que divergen en ángulo desde un punto común.

β

Figura 4.10 Vista en planta conductores enterrados en ángulo __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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En este caso interesa el potencial no sólo en una línea, sino sobre el plano (x,z) de la superficie. Considerando como referencia la proyección del punto de intersección sobre la superficie, entonces: n φ(x,z) = ∑ φi(ui,vi) i=1 La contribución de cada conductor es: ρI [ ui + √ui² + vi² + h² ] φi(ui, vi) = ----- Ln ---------------------------------2πL [ui-L + √(ui-L)² + vi² + h² ] Las coordenadas son: ui = x cos ßi - z sen ßi vi = x sen ßi + z cos ßi. Nuevamente el potencial del electrodo compuesto se calcula mediante su resistencia de puesta a tierra.

Expresiones generales de resistencia de puesta a tierra para una serie de configuraciones típicas, considerando terreno homogéneo, puede encontrarse en las referencias [1], [3], [4] y [11].

4.4.2. Resistencia de puesta a tierra de electrodos compuestos La deducción de expresiones relativamente exactas de la resistencia de puesta a tierra de electrodos compuestos, se obtiene aplicando los mismos métodos empleados para electrodos elementales. Esto es, utilizando las expresiones generales para evaluar el potencial inducido por la combinación en cualquier punto del terreno, se integra sobre el contorno del electrodo o se evalúa en uno o varios puntos sobre la superficie de los elementos componentes; este potencial promedio, rigurosa o aproximadamente calculado, dividido por la corriente total difundida por la combinación, dará el valor de su resistencia de puesta a tierra, con mayor o menor exactitud. La técnica es idéntica para obtener resistencias mutuas entre pares de electrodos, con la salvedad que se integra o se evalúa sobre un electrodo, el potencial inducido por efecto de la corriente que difunde un segundo electrodo. La razón entre dicho potencial promedio y la corriente difundida, define la resistencia mutua. El camino anterior ofrece enormes dificultades de tipo práctico en el desarrollo de las expresiones, en particular cuando los electrodos que se combinan no son idénticos. En la __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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práctica suele utilizarse las expresiones conocidas de resistencias propias y mutuas de electrodos elementales y buscarse la resistencia de la combinación de la siguiente forma: R1 R2 - RM² R = -------------------R 1 + R2 - 2 RM Si ambos electrodos son idénticos, R1 = R2 y entonces: 1 R = --- (R1 + RM) 2 Cuando el arreglo no es simétrico, las corrientes en los conductores y su resistencia combinada puede obtenerse resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas con las resistencias de los conductores propias y mutuas como coeficientes. Oslon [16] ha demostrado que cuando la densidad lineal de corriente por cada electrodo elemental puede suponerse constante, la resistencia de puesta a tierra del electrodo compuesto es: n LK R1 + ∑ ----- R1K k=2 L1 R = ----------------------n LK 1 + ∑ ---K=2 L1 donde n es el número de electrodos elementales; R1 es la resistencia propia del elemento 1; R1K las resistencias mutuas entre el elemento 1 y el elemento K y LK las longitudes respectivas.

4.4.2.1 Resistencias mutuas Se aprecia de todo lo anterior la importancia del efecto mutuo en la evaluación de resistencias de electrodos compuestos. Oslon [16], [17] se preocupó de derivar varias expresiones generales para configuraciones típicas de electrodos compuestos, sumergidos en un medio infinito homogéneo de resistividad ρ; estas se presentan a continuación, y constituyen una valiosa información.



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a) Resistencia mutua entre conductores de longitudes L1 y L2, que divergen en ángulo recto, en el mismo plano: ρ



L1 L2  RM = --------- L2 Arc senh ---- + L1 Arc senh ---- 4πL1L2  L2 L1 

b) Resistencia mutua entre conductores de igual longitud L, que se cruzan en ángulo recto en distintos planos, separados una distancia s. ρ  | √2L² + s² + L | s | L² |  RM = ------  Ln | -------------------| - --- Arctg | -------------- |  4πL  | √2L² + s² - L | L | a√2L² + a² |  c) Resistencia mutua entre conductores de igual longitud L, que divergen formando un ángulo ß. ρ [ 2 + √2 - 2 cos ß ] RM = ---- Ln ---------------------2πL [ √2 - 2 cos ß ]

d) Resistencia mutua entre un electrodo anular de diámetro A y una barra de longitud L, perpendicular a su plano y en contacto ρ 4A RM = ------ ( Ln ---- + 1) 2π²A L ρ RM = -----8πL

L« A

L» A

4.4.2.2 Expresiones para configuraciones típicas. En base a lo establecido hasta este punto, es posible deducir las expresiones generales de resistencia de puesta a tierra para una serie de configuraciones típicas, ubicadas en suelo homogéneo de resistividad ρ Ohm-metro , a saber: a) Resistencia de dos conductores cilíndricos de radio a [m] y longitud L [m] , enterrados horizontales y paralelos, a una profundidad h [m] y distanciados s [m] : __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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ρ  L2 [ L2 + s2 ]  R = -----  Ln ----- + Ln -----------------  4πL  2ah [s √ 4h2 + s2 ]  b) Resistencia de dos barras verticales paralelas de radio a [m], longitud L [m], separación s [m], enterradas desde t [m] con respecto a la superficie del suelo : ( s >> 2t >>a ) ρ 1 L(L+2t) (t+L) [ 2(t+L)+ √4(t+L)2 + s2 ]  R = ------ --- Ln ----------- + ------- Ln ------------------------------  4πL  2 at L [(2t+L) + √(2t+L)2 + s2 ]  para t = 0 y mayor precisión , según [9]: si

s>L: ρ   4L  ρ  L2 2L4  R = -----  Ln ----- - 1  + -----  1 - ----- + ------ - - -  4πL   a  4πs  3s2 5s4 

si

s
c) Resistencia de un conductor de radio a [m] en ángulo recto, con L [m] de longitud cada brazo, enterrado horizontalmente a una profundidad de h [m]: ρ  L2  R = -----  Ln ----- + 2 Ln ( √2 + 1 )  4πL  2ah  o bien, según [4] : ρ  2L2 h h2 h4  R = -----  Ln ----- - 0,2373 + 0,4292--- + 0,414---- - 0,6784 ----- 4πL  ah L L2 L4  según [2] :

ρ  2L2 h  R = 0,366 ----  Ln ----- - 0,103 + 0,19----  2L  ah L 



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d) Resistencia de un conductor de radio a [m] , configurado en estrella de tres brazos de longitud L [m] cada brazo, enterrado horizontalmente a una profundidad h [m] : ρ  L2 [2 + √3 ]  R = ------  Ln ----- + 4 Ln ----------- 6πL  2ah √3  o bien, según [4] : ρ  2L2 h h3 h4  R = ------  Ln ----- + 1,071 - 0,418 --- + 1,904---- - 0,864 ----  L4  6πL  ah L L3 según [2] : ρ 2L2 h  R = 0,366 ---- Ln ----- + 0,465 - 0,18 ----  3L  ah L  e) Resistencia de un conductor de radio a [m] , configurado en estrella de cuatro brazos de longitud L [m] cada brazo, enterrado horizontalmente a una profundidad h [m] : ρ  L2  4 R = ------ Ln ----- + Ln 4( √2 + 1 )  8πL  2ah  o bien, según [4] : ρ  2L2 h h2 h4  R = ------  Ln ----- + 2,912 --- - 2,142---- + 2,58---- - 2,32 --  8πL  ah L L2 L4  según [2] : ρ  2L2 h  R = 0,366 ----  Ln ----- + 1,265 --- - 0,93 --   4L  ah L f) Resistencia de un conductor de radio a [m] , configurado en estrella de seis brazos de longitud L [m] cada brazo, enterrado horizontalmente a una profundidad h [m] : ρ 6912L2 R = ------ Ln ---------12πL 2ah __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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o bien, según [4] : ρ  2L2 h h2 h4  R = ------  Ln ----- + 6,851 - 6,256--- + 7,032---- - 7,84 ----- 12πL  ah L L2 L4  según [2] :

h ρ  2L2 R = 0,366 ---- Ln ----- + 2,98 - 1,36---  6L  ah L

g) Resistencia de un conductor de radio a [m] configurado según un cuadrado de lado L [m] , enterrado horizontalmente a una profundidad h [m] : ρ  L2 2L  R = ------  Ln --- + 4 Ln (1 + √2) + Ln -----------  2nπL  ah √4h2 + L2  h) Resistencia de un conjunto de n barras verticales de radio a [m] y longitud L [m] dispuestas simétricamente sobre un círculo de radio A [m] y enterradas desde la superficie [6] : ρ  4L 2nL 2n  R = -------  Ln ---- - 1 + ----- Ln ----  2nπL  a πA π  i) Resistencia de un conductor de radio a [m] configurado según un rectángulo de lados L1 [m] y L2 [m] (L2 < L1 ), enterrado horizontalmente a una profundidad h [m] , [16] : ρ  L12 L2 L1 L1 L2 R = -------------- Ln ----- + 2 ---- Arcsenh---- + 2---- Arcsenh ---- + 4π(L1 + L2) 2ah L1 L2 L2 L1 L1  L22  L2  + 2 Arcsenh---- - 2 √  ---- + 1 + 2----  L2  L12  L1 



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Oslon [11] encontró que la resistencia de puesta a tierra de varias configuraciones puede ser representada por la fórmula general: ρ KL² R = ---- Ln ----2πl 2ah donde cada configuración queda caracterizada por un valor específico del parámetro K y del parámetro L, tal como se muestra en la Tabla 4.1. Tabla 4.1: Parámetros L y K de fórmula general Tipo configuración

L

K

Conductor horizontal

l

1

a)

Dos conductores horizontales paralelos separados una distancia s

2l

l² + s² ------4s²

c)

Dos conductores horizontales en ángulo recto

2l

1,46

d)

Estrella horizontal de tres brazos

3l

2,39

e) Estrella horizontal de cuatro brazos

4l

8,49

f) Estrella horizontal de seis brazos

6l

192

g) Cuadrado de lado l h)

Rectángulo de lados l1 y l2

4l 2(l1 + l2)

Aproximación

2h«s

4,25

2h«l

5,81 6,42 8,17

l1 = 1,5 l2 l1 = 2,0 l2 l1 = 3,0 l2

4.4.2.3 Electrodos compuestos en terreno no homogéneo. El análisis de un electrodo compuesto en terreno no homogéneo se obtiene aplicando a cada electrodo elemental componente, las expresiones de potencial en terreno estratificado vistas en la sección respectiva. Naturalmente el manejo de estas expresiones será tanto más complicado cuanto más complejo sea el electrodo compuesto y requerirá el apoyo de equipos computacionales. En términos generales, el potencial en el entorno del electrodo compuesto formado por "n" electrodos elementales será: __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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n φ(r) = ∑ φi(r) i=1 donde φi(r) es el potencial inducido por el electrodo elemental "i". El cálculo de la resistencia de electrodos compuestos ubicados en suelo no-homogéneo sigue las pautas teóricas generales mencionadas en el capítulo de electrodos elementales, con la dificultad lógica representada por las series de potencial anteriores. En la práctica, estas dificultades impiden que se disponga de expresiones de resistencia de puesta a tierra para varios electrodos compuestos en terreno no-homogéneo. En la referencia [15] puede encontrarse información respecto del conductor en estrella de tres brazos y una configuración especial, consistente en la combinación de electrodo anular y tres brazos radiales externos dispuestos simétricamente, en terreno de dos capas. En [13] se analiza configuraciones de conductores cilíndricos paralelos verticales y horizontales. De ambas referencias se destacan las siguientes conclusiones : - la distribución real de la densidad de corriente en la superficie del electrodo puede ser extremadamente desuniforme, dependiendo de la diferencia de resistividad de las capas, la posición y forma del electrodo: se producen efectos de reducción en las conexiones cruzadas de conductores y efectos de “drenaje” en barras que alcanzan un subsuelo más conductivo ( aumento excesivo de la densidad de corriente en dicha porción de la barra). - las disposiciones de electrodos verticales se muestran más efectivas que disposiciones equivalentes formadas por conductores horizontales, en cuanto a resistencia de puesta a tierra y potenciales de contacto, exceptuando la situación de alta resistividad del subsuelo ( capa inferior ), en cuyo caso la disposición de conductores horizontales reduce en forma apreciable los voltajes de contacto. La influencia de un terreno de dos capas puede ser muy significativa, dependiendo del factor de reflexión (de los valores relativos de las resistividades ) y del espesor de la capa superior con respecto a las dimensiones del electrodo. El comportamiento de éste es tan complejo, que no puede ser descrito con suficiente precisión por expresiones matemáticas simples. No obstante, Dawalibi y Mukhedkar [12] desarrollaron una fórmula general que debido a su complejidad y extensión, necesariamente debe ser programada. El problema habitualmente es soslayado, recurriendo al procedimiento de reducir a un modelo de terreno equivalente y evaluar la resistencia de puesta a tierra con las fórmulas conocidas. Este camino introducirá un cierto error en el valor del parámetro, el cual puede considerarse dentro de los márgenes usuales de imprecisión de las variables del proyecto. No ocurre lo mismo con la evaluación de potenciales sobre la superficie del terreno, los cuales son fuertemente influenciados por la resistividad del estrato superficial, según se desprende de la mera observación de las relaciones pertinentes. El riesgo de introducir errores importantes al considerar terreno homogéneo, dependiendo de la razón de resistividad de las __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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capas, puede hacer absolutamente aconsejable un análisis en terreno bi-estratificado, siempre que se disponga de los recursos necesarios y la relevancia de la puesta a tierra lo justifique.

4.5. Análisis de mallas de tierra. En sistemas donde la corriente de falla a tierra sea muy elevada, se necesitará electrodos más complejos para asegurar una resistencia a tierra baja, tal que la elevación de potencial de la puesta a tierra no represente valores peligrosos. El problema se resuelve aumentando la longitud de conductor enterrado y aumentando el área que cubre el electrodo de tierra. Existe en la literatura numerosos procedimientos y expresiones propuestas por diversos autores para efectuar el análisis de mallas de tierra; sin embargo, el procedimiento de uso más frecuente, por el respaldo que significa la institución que lo propone, es el recomendado en la Standard Nº 80 del IEEE. La última versión del año 2000 de este reglamento modificó significativamente el procedimiento y las expresiones utilizadas en versiones anteriores del mismo reglamento para el cálculo de los voltajes generados por una malla cuando difunde corriente al terreno. En el caso de mallas de tierra con muchos conductores y en terrenos cualquiera, se ha deducido fórmulas matemáticas aproximadas para el cálculo de voltajes de paso y contacto en la superficie del terreno, las cuales se desarrollan tratando de llevar el problema real a un caso más simple de resolver, en especial considerando suelo homogéneo de resistividad uniforme y adoptando factores empíricos para corregir el modelo. Se estudia la distribución de potencial y gradiente en una disposición consistente en n conductores paralelos, de diámetro d, enterrados horizontalmente a una profundidad h, uniforme para todos los conductores. La disposición se idealiza considerando las siguientes suposiciones: - la separación entre conductores D es mucho mayor que la profundidad de enterramiento h, y ésta a su vez muy superior al diámetro del conductor d. x

Superficie del suelo

N

ρ

3

2

1

h

d D

D

Figura 4.11: Disposición idealizada de conductores.



24

-- la caída de potencial en el interior del reticulado (es decir en los conductores) es despreciable comparada con la caída de potencial en el terreno; esto implica que el potencial absoluto de todos los puntos de la malla se supone idéntico. -- la corriente en cada conductor fluirá radial en todas direcciones y en ángulo recto con respecto al conductor; por lo tanto las superficies equipotenciales próximas a cada conductor serán cilindros y el gradiente será inversamente proporcional a "r". -- es aplicable el principio de superposición; eso es, la magnitud y dirección de la componente de corriente en cualquier punto del terreno debido a cualquier conductor real o imagen puede determinarse separadamente y luego tales componentes pueden sumarse vectorialmente para dar la magnitud y dirección de la corriente total real en el punto. La corriente entregada a tierra por los conductores no es uniforme en toda su extensión: es mayor en los vértices y menor en el centro de los conductores. La Standard Nº 80 [3] recomienda aplicar un factor de corrección adecuado para propósitos prácticos: Ki = 0,644 + 0,148 n donde n es el número efectivo de conductores paralelos en un reticulado rectangular equivalente y esta definido por: n = na · nb · nc · nd donde: na = 2 Lc / Lp Lc = longitud total de conductor en el reticulado horizontal, en m Lp = longitud del perímetro del reticulado, en m nb = 1 para mallas cuadradas, o bien:

__ nb = (Lp/ 4/ √A)1/2

A = área de la malla, en m2 nc = 1 para mallas cuadradas y rectangulares, o bien: nc = ( Lx · Ly / A) 0,7·A/ (Lx · Ly) nd = Dm / (Lx2 +Ly2)1/2 Dm = máxima distancia entre dos puntos cualquiera de la malla, en m Lx = máxima longitud de la malla en la dirección x, en m Ly = máxima longitud de la malla en la dirección y, en m __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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Este factor de corrección afecta las relaciones de voltajes de paso, contacto y retículo. A continuación se incluyen las expresiones para voltajes de paso y contacto según la IEEE Standard 80 - 2000, aplicables a una malla real de conductores horizontales y verticales con una corriente total IG difundida al terreno. La longitud total de conductor enterrado a considerar en las expresiones depende de la geometría de la malla: - para mallas sin barras, o sólo con unas pocas barras dispersas a través de la malla pero no ubicadas en las esquinas o a lo largo del perímetro de la malla: LM = LC + LR Donde : LR = longitud total de todas las barras, en m Lc = longitud total de conductor en el reticulado horizontal, en m -

para mallas con barras en las esquinas y también en el perímetro y en el interior de la malla, la longitud efectiva de conductor enterrado es: LM = LC + (1,55 +1,22 · [ Lr / (Lx2 +Ly2)1/2 ] )· LR Donde:

4.5.1

Lr = longitud de cada una de las barras, en m

Voltaje de paso o voltaje pie-pie, Vp

Por definición de voltaje de paso, interesa determinar la magnitud y ubicación del punto de máxima gradiente sobre la superficie del terreno. Esta condición se cumple aproximadamente en el punto de la superficie sobre el conductor periférico. La expresión propuesta es: Vp = ρ · Ks · Ki ·IG LS Donde: LS = 0,75 · LC + 0,85 · LR 1 | 1 1 1 | Ks = --- | --- + ----- + ---- (1 – 0,5 n -2 ) | π | 2h D+h D |

4.5.2 Voltaje de contacto o mano-pie máximo, o voltaje de retículo, Vm El voltaje de contacto o mano-pie corresponde a la diferencia existente entre el potencial que adquiere la malla y el potencial de un punto sobre la superficie del terreno. Este voltaje es __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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variable dentro del perímetro de la malla, menor en puntos ubicados sobre la proyección de los conductores y mayor en los centros de los retículos. Para propósitos de diseño práctico, se utiliza como valor de referencia una estimación del máximo de esta función, definida también como voltaje de retículo. El voltaje de retículo es la máxima diferencia de potencial, en Volts, entre el conductor de la malla y un punto en la superficie, ubicado sobre el centro de un retículo. En una malla con varios retículos, esta diferencia de potencial tiende a ser mayor en los retículos periféricos. Vm = ρ · Km · Ki ·IG LM Y:

1   D² (D + 2·h)2 h | Kii | 8  Km = ---  Ln --------- + ------------- - ------- | + --- · Ln | ----------- 2π | 16·h·d 8· D· d 4 · d | Kh | π· (2·n-1)

el factor Kii vale : -

para mallas con barras a lo largo del perímetro, o para mallas con barras en sus esquinas, y también cuando la malla tiene barras en el perímetro y en su interior: Kii = 1

-

para mallas sin barras o sólo con unas pocas barras, ninguna localizada en las esquinas o en el perímetro: Kii = 1/ (2·n) (2/n) Kh = ( 1 + h / h0 ) ½ h0 = 1 m (profundidad de malla de referencia)

Diferencias entre método general y aproximado En la figura 4.13, se observa para un caso particular representativo, que el método aproximado recomendado por la Standard IEEE 80 entrega valores superiores al método general con ρ1>ρ2 y valores inferiores con ρ2<ρ1; en esta última situación deberá por lo tanto tenerse especial cuidado, sobretodo si el estrato es de poca profundidad.



27

Figura 4.12 Efecto de terreno estratificado sobre potenciales de contacto.

4.4.3 Métodos IEEE para cálculo de resistencia de puesta a tierra

a) Expresión de Laurent Un método muy simple de cálculo de la resistencia de una malla de tierra sin barras verticales, es el propuesto por Laurent [3], quién usa una modificación de la expresión para el electrodo plano circular enterrado en terreno homogéneo, agregando un segundo término: ρ ρ R = --- + --4r LT

[Ohms]

ρ = resistividad del terreno homogéneo equivalente [Ohm] r = radio de un círculo plano, de igual área que la ocupada por la malla [m]: r= √S/π S = área de la malla [m²] LT = longitud total de conductor enterrado [m] Esta expresión se usa normalmente para obtener una primera aproximación del valor exacto de la resistencia, pero su simplicidad permite observar la influencia directa de algunos parámetros, de validez general, fuera del efecto ya conocido de la resistividad. En primer __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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lugar, la resistencia de una malla de tierra se reduce al aumentar el área abarcada por el perímetro de la malla. Por otra parte, el segundo término reconoce el hecho de que la resistencia de la malla es mayor que la del círculo equivalente y que ésta diferencia decrece a medida que la longitud de conductor enterrado aumenta. Expresado de otra forma, esta afirmación es equivalente a decir que la resistencia de una malla de tierra tendrá como cota inferior la resistencia de un electrodo plano circular de igual área. b) Expresión de Sverak Sverak expandió la expresión de Laurent, para tomar en cuenta la profundidad de la malla:  1 1 1  R = ρ  --- + -------· (1+ ---------------)   LT √20·A 1 + h·√20/A 

[Ohms]

donde h = profundidad de la malla, en m para mallas sin barras, esta expresión da un resultado prácticamente idéntico al obtenido mediante las siguientes expresiones propuestas por Schwarz. c) Expresiones de Schwarz Un procedimiento más complejo es propuesto por Schwarz [24] para una malla formada por un reticulado y un conjunto de barras verticales; se determina en forma separada la resistencia del reticulado, R1, y de las barras, R2. La resistencia del reticulado es: ρ 2Lc K1· Lc R1 = ----- ( Ln ---- + --------- - K2 ) πLc Q1 √S

[Ohms]

donde: ρ = resistividad del terreno homogéneo equivalente, Ohms-m Lc = longitud total de conductor del reticulado, m 2a = diámetro del conductor, m  a para conductor en la superficie Q1 =   √2a h para conductor enterrado La resistencia del conjunto de barras verticales es: ρ 4 LR 2K1· LR _ R2 = ----------- [Ln ------ - 1 + ---------- (√nR -1)²] 2·π·nR·LR b √S donde: __________________________________________________________________________________ Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Eléctrica


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LR = longitud de cada barra, m 2b = diámetro de cada barra, m nR = número de barras en el área de la malla. En las expresiones anteriores, K1 y K2 son coeficientes que dependen de la configuración de la malla; originalmente, Schwarz los definió mediante gráficos y posteriormente Kercel propuso para ellos las siguientes expresiones: 2,3 h A K1 = 1,43 - ------- - 0,044 --√S B 8h h A K2 = 5,5 - ----- + ( 0,15 - ---) --√S √S B donde: h = profundidad de enterramiento del reticulado [m] S = superficie cubierta por la malla [m²] A = lado mayor del reticulado [m] B = lado menor del reticulado [m] La resistencia mutua entre el reticulado y el conjunto de barras es: ρ 2Lc K1· Lc R12 = ---- ( Ln ----- + --------- - K2 + 1) πLc Lr √S

[Ohms]

Finalmente, la resistencia combinada del conjunto se obtiene analizando la interconexión de barras y reticulado como un electrodo compuesto: R1 • R2 - R12² R = --------------------R1 + R2 - 2R12 En un terreno homogéneo, en general la resistencia combinada del reticulado y barras, es prácticamente igual a la resistencia del reticulado solo, no justificándose el uso de barras. Sólo se justifican éstas cuando penetran en una zona más conductiva que aquella que contiene al reticulado, o cuando es necesario reducir la sensibilidad de la resistencia a las condiciones climáticas, que afectan esencialmente al estrato superficial: pueden contribuir a mantener la resistencia de puesta a tierra dentro de un margen más estrecho de variación, en las diferentes épocas del año.



30

d) Expresiones de Naham y Salomón para terreno estratificado. Frente a la situación habitual de instalación de un electrodo que incluye barras en un terreno estratificado, en las últimas versiones de la Standard Nº 80 se recoge una modificación de la fórmula anterior, propuesta por Naham y Salomón, para el caso en que el reticulado se encuentre situado en la capa superior de resistividad ρ = ρi y profundidad H, y las barras alcanzan el medio inferior de resistividad ρ = ρ2 Siendo: h : profundidad del reticulado A : lado mayor L : longitud conductor reticulado λ : longitud de barras n: número barras

S : área del reticulado B : lado menor a: radio del conductor b: radio barras

Se definen los coeficientes :

Y las siguientes expresiones: Resistencia del reticulado:

Resistencia del conjunto de barras:

incorporándose una resistividad ponderada:



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Y finalmente, la Resistencia mutua entre reticulado y barras :

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4 Analisis de Electrodos de Tierra

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