Distribuciones de probabilidad teóricas
Prof Luis Humberto Bustos Medina Juan José José Orellana Orellana Cáceres Cáceres
1
Variable aleatorias El
resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.
En
estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función
que asigna a cada suceso un número.
Las
variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. 2
Variable aleatorias El
resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.
En
estos casos aparece la noción de variable aleatoria Función
que asigna a cada suceso un número.
Las
variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. 2
Ejemplos variables aleatorias Experimento aleatorio: Seleccionar una persona al azar de una población de sujetos y registrar.
Variable
Valores
Tipo
N° hermanos
0, 1, 2, 3+
Discreta
Sexo
1, 0
Nominal
Edad
IR+
Estatura
IR+
Función
Continuas 3
Función de probabilidad Función
de probabilidad de una variable aleatoria Discreta: Relaciona los valores de las variables con la probabilidad de ocurrencia de ellos. 40% 35%
Ejemplo: Número de caras al lanzar 3 monedas.
30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0
1
2
3 4
Ejemplo función de probabilidades de una v.a.d. Evento de interés: ser fumador. Probabilidad de ser fumador p = 0.30 Problema: ¿Cuál es la probabilidad de que entre tres personas seleccionadas al azar en esta sala de clases una sea fumadora? Sea X la v.a.d.: el número de personas fumadoras: X = 0, 1, 2 ó 3
5
Función de probabilidad de la v.a.d. X Persona1 Persona2 Persona3 X nf sf nf nf sf sf nf sf
nf nf sf nf sf nf sf sf
nf nf nf sf nf sf sf sf
0 1 1 1 2 2 2 3
P(X=x)
p=0.30
(1-p) (1-p) (1-p) p(1-p) (1-p) (1-p)p(1-p) (1-p) (1-p)p pp(1-p) p(1-p)p (1-p)pp ppp
0.343 0.147 0.147 0.147 0.063 0.063 0.063 0.027
Notar que: P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) =1
6
Función de probabilidad de la v.a.d. X x
P(X=x)
0
0.343
1
0.441
2
0.189
3
0.027
Suma 1.000 7
Función de Densidad La
función de densidad de una variable aleatoria continua: Describe la distribución de frecuencia de dicha variable como un polígono de frecuencia teórico.
Ejemplo: Peso corporal de una persona.
8
Función de densidad / Probabilidad
30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 9
Parámetros de variables aleatorias Valor esperado y varianza de una variable aleatoria X Valor
esperado o Esperanza de X Se representa mediante E[X] = μ Es el equivalente a la media
Varianza Se representa mediante V[X] = σ2 Es el equivalente a la varianza 10
Modelos importantes de variables aleatorias Hay
v.a. que aparecen con frecuencia en las Ciencias de la Salud. Experimentos dicotómicos (vivo/muerto, éxito/fracaso). Bernoulli Contar
éxitos en experimentos dicotómicos repetidos: Binomial Poisson (sucesos raros)
Y
en otras muchas ocasiones… Distribución normal (campana gaussiana)
11
Distribución de Bernoulli
Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar un experimentos sólo son posibles dos resultados: X=1
(éxito, con probabilidad p)
X=0
(fracaso, con probabilidad q=1-p)
Lanzar
una moneda y que salga cara.
p=1/2 Elegir
una persona de la población y que esté enfermo. • p=1/1000 = prevalencia de la enfermedad
12
Distribución de Bernoulli Aplicar
un tratamiento a un enfermo y que éste se cure. • p=0.95, probabilidad de que el individuo se cure
Como se aprecia, en experimentos donde el resultado es dicotómico, la variable queda perfectamente determinada conociendo el parámetro p.
13
Ejemplo de distribución de Bernoulli
Se ha observado en un estudio de 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y cuyos conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron con secuelas. Describa el experimento usando conceptos de v.a.
Solución. La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de tener secuelas mediante 300/2000=0,15=15% X=“tener
secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,15 X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,85
14
Distribución Binomial se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución binomial de parámetros (n,p).
Si
Lanzar
una moneda 10 veces y contar las caras.
• Bin(n=10,p=1/2) Lanzar
una moneda 100 veces y contar las caras.
• Bin(n=100,p=1/2) • Difícil hacer cálculos con esas cantidades. El modelo normal será más adecuado. El
número de personas que enfermará (en una población de 500.000 personas) de una enfermedad que desarrolla una de cada 2000 personas. • Bin(n=500.000, p=1/2000)
15
Distribución Binomial ⎛ n ⎞ k n−k P[ X = k ] = ⎜⎜ ⎟⎟ p q , 0 ≤ k ≤ n Función de probabilidad ⎝ k ⎠ ⎛ n ⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = donde n ! = 1* 2 * 3 * ......* (n − 1) * n ⎝ k ⎠ (n − k )! k ! Problemas
de cálculo si n es grande o p cercano
a 0 o 1. Media: μ
= E[X]= n p
Varianza: σ2
=V[X]
=npq 16
Características distribución Binomial En
cada ensayo u observación sólo son posibles dos resultados, mutuamente excluyentes. Por convención estos resultados se llaman éxito y fracaso.
Los
resultados de la serie de ensayos, constituyen eventos independientes.
La
probabilidad de un éxito de cada ensayo, indicada por p, es constante de un ensayo a otro. 17
Ejemplo Binomial Se sabe que una forma particular de leucemia provoca la muerte en el 80% de los casos. En un hospital en donde se estudian neoplasmas malignos se tratan 10 enfermos con esta forma de leucemia. ¿Cuál es la probabilidad que: a) Exactamente sobrevivan 7 pacientes? R: 0.000786432 b) Sobrevivan a lo más 3 pacientes? R: 0.87912612 c) E[X] R: 2 d) V[X] R: 1.6
18
Ejemplo de gráficas distribución binomial
b(10,x,0.3) 0.90 ) x 0.60 = X ( 0.30 P
b(10,x,0.5)
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.90 ) x 0.60 = X ( 0.30 P
X
b(10,x,0.95)
0.00
0.90
0
) x 0.60 = X ( 0.30 P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
0.00 0
1
2
3
4
5 X
6
7
8
9
10 19
Distribución Poisson También
se denomina de sucesos raros.
Se
obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>30) y ‘p pequeño’ (p<0,1).
Queda
caracterizada por un único parámetro (que es a su vez su media y varianza.)
xe−λ λ P{ X = x;λ } = ; x = 0,1,2,3,........ x! E [ X
]= V [ X ]= λ =
μ
donde
λ = n p 20
Características Poisson La
probabilidad que acontezca un suceso en un intervalo es proporcional a la amplitud del intervalo. En principio, teóricamente es posible que suceda un número infinito de eventos en un intervalo dado. No hay límite al número de ensayos. Los sucesos ocurren independientemente tanto en el mismo intervalo como entre intervalos consecutivos 21
Ejemplo Poisson Suponga que en cierta población, la probabilidad de que una persona esté involucrada en un accidente motorizado es de 0.00024 en un año dado. Si la población en cuestión está constituida por 10.000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna persona esté involucrada en un accidente motorizado en: a) Un año?
μ=10.000*0.00024=2.4
P { X
=
0}
=
2 .4
0
e − 2 .4
0!
=
0 . 091
b) En tres meses? μ=2.4 /4 = 0.6
P {X
=
0}
=
0 .6
e − 0 .6 0!
0
=
0 .5 4 9 22
Curva Normal Distribución Gaussiana Es la distribución para variables continuas más ampliamente usada por la teoría estadística. Varios matemáticos han contribuido a su desarrollo, entre los que podemos contar al astrónomo-matemático del siglo XIX Karl Gauss. Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística. Primero, tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. Segundo, la distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (pesos, alturas), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos) y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el 23 privado.
Su función de densidad distribución Normal f ( x )
1
=
σ
2 π
exp
⎧ −1 ⎨ 2 ⎩ 2 σ
( x
−
μ )
2
⎫ ⎬ ⎭
donde μ representa la media de la población y σ su desviación estándar. Se denota: X ~ N( μ, σ 2) ; E[X]= μ ; V[X] = σ2
n=30 n=10 n=50
0
1
2
3
4
5 Media
6
7
8
9
10
24
Características de la distribución normal • La curva es unimodal y tiene forma de campana. • La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. • Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. • Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal. 25
Uso de la tabla de distribuci ón de probabilidad normal est ándar Estandarización curva normal:
Z =
x − μ
σ
x = Valor de la variable aleatoria X μ= Media de la distribución de la variable aleatoria σ= Desviación estándar de la distribución z = Número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución
Observación: En Z se cumple que: μ= 0 y
σ2= 1 26
Ejemplo Para la población de hombres entre 18 y 74 años de edad, se sabe que la presión sistólica se distribuye aproximadamente normal con media 129 mmHg y desviación estándar de 19.8 mmHg. 1) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su presión sistólica sea mayor de 150 mmHg?
Z
=
x
− 129 19 . 8
pero x
= 150 ⇒
z
=
150
− 129
19 . 8
= 1 . 06061
P(X>150)=P(Z>1.06) =0.1446
27
Aplicaciones 2) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su presión sistólica sea menor o igual a 150 mmHg?
P(X≤150)=P(Z ≤ 1.06)=1-0.1446=0.8554 3) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su presión sistólica se encuentre entre 129 y 150 mmHg?
P(129≤ X≤150)=P(0≤ Z ≤ 1.06)=0.5-0.1446=0.3554 4) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su presión sistólica se encuentre entre 108 y 150 mmHg?
P(108≤ X≤150)=P(-1.06≤ Z ≤ 1.06)=1-2x0.1446=0.7108 5) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que su presión sistólica se encuentre entre 108 y 120 mmHg?
P(108≤ X≤120)=P(-1.06≤ Z ≤ -0.45)=0.3264-0.1446=0.1818
28
Aplicaciones 6) Si se selecciona al azar un hombre de esta población, ¿Entre que valores se encuentra el 95% central de las presiones sistólicas tomadas de esta población? 0.025
0.025
μ ± zα ⋅ σ 2
129±1.96x19.8 [90.192 ; 167.808] 29
7) Encuentre el valor del cuartil 1
-0.67=(C1-129)/19.8 => C1= 115.73 El 25% de los hombres tiene una presión sistólica menor o igual a 115.73 mmHg
30
