3a Unidad. Prueba de Hipótesis

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________

4. PRUEBA DE HIPÓTESIS 4.1 Prueba de hipótesis estadística, hipótesis u!a e hipótesis a!tera. Una hipótesis estadística es una afirmación sobre el parámetro de una o más poblaciones, la cual es posible evaluar mediante el análisis de una muestra aleatoria. “Para probar una hipótesis es necesario formular dos de ellas que sean mutuamente excluyentes, de tal manera que la verdad de una implica la falsedad de la otra. Dicha investiación por lo eneral se lleva a cavo mediante la obtención de una muestra aleatoria, de la cual se obtienen los estimadores de la población, los cuales se convierten en evidencia experimental para decidir si se acepta o se recha!a la hipótesis nula". #ntes de empe!ar cualquier experimento el investiador selecciona dos hipótesis$ la hipótesis u!a que se denota por H" y la hipótesis a!tera que se denota por H1. %a hipótesis nula especifica valores hipot&ticos para uno o más parámetros de la poblaci población, ón, debe conside considerars rarse e como verdade verdadera ra a menos menos que exista exista suficie suficiente nte eviden evidencia cia en su contra. contra. 'sta hipóte hipótesis sis puede ser$ hipótesis seci!!a # si$p!e e

hipótesis c#$puesta.

%a hipóte hipótesis sis sencilla sencilla o simple simple es cuando cuando se refier refiere e a un sólo sólo valor valor en partic particula ular r e(emplo$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 0 : x = µ

H 0 : f ( x ) = f ′( x)

%a hipótesis compuesta es cuando se refiere a más de un valor en eneral e(emplo$ H 0 : µ ≤ 10

H 0 : µ 1 = µ 2 = ...µ t

%a hipótesis alterna alterna afirma que el parámetro de la población población es un valor diferente al de la hipóte hipótesis sis nula, nula, &sta hipótesi hipótesiss a su ve! puede puede ser$ hipótesis direcci#a! #

ui!atera! e hipótesis # direcci#a! # bi!atera!.

%a hipóte hipótesis sis direccion direccional al o unilat unilatera erall además además de afirma afirmarr que el parámet parámetro ro de la población es diferente al hipot&tico, se especifica la dirección de esa diferencia por e(emplo$ H 1 : x

 µ

H 1 : µ 1

%a hipótesis bilateral o no direccional es cuando población es diferente al hipot&tico e(emplo$ H 1 : x ≠ µ

 µ 2

H 1 afirma

que el parámetro de la

H 0 : f ( x) ≠ f ′( x )

Un anál anális isis is esta estadí díst stic ico o de la lói lóica ca de la infer inferen enci cia a esta estadí díst stic ica, a, revel revela a que que !a hipótesis u!a uca puede pr#barse) pero sí podemos afirmar, sin embaro, que no existen bases para recha!arla. 1


E%e$p! E%e$p!#. #. *e lan!a una moneda + veces al aire y salen - áuilas, podemos

afirmar que la moneda no está sesada/ la respuesta es no, ya que existe una manitud peque0a de seso seso que no no podemos descubrirla.

1o impo import rta a cuan cuanta tass veces veces lance lancemo moss la mone moneda da,, (amá (amáss lora lorare remo moss aota aotarr la población de resultados posibles. Podemos afirmar sin embaro que no existen bases para recha!ar la hipótesis H 0 . 'ntonces Podemos probar la hipótesis alterna/ Una ve! más no podemos probar la hipóte hipótesis sis alterna alterna direct directamen amente) te) se puede puede probar probar indire indirecta ctamen mente te recha!a recha!ando ndo la hipótesis nula.

E%e$p!#. Dibu(emos Dibu(emos dos líneas y determinemos determinemos a primera vista si son diferentes, diferentes, al

comp compara ararl rlas as vemos vemos que que no son son iua iuale les. s. Por Por lo que que deben deben tene tenerr dime dimens nsio ione ness distintas, distintas, al recha!ar recha!ar la iualdad en este caso H 0 se está aceptando la hipótesis alterna H 1 . 2eamos otro e(emplo. Un docente pone un examen para calificar una unidad, sus hipótesis de traba(o son$ H 0 $

'l alumno no sabe. H 1 $ 'l alumno si sabe.

'n función de la evidencia encontrada al revisar el examen podrá decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 . Un e(emplo paralelo que podríamos citar con respecto respecto a &sta interpretación, interpretación, son los procesos (udiciales, donde el acusado es inocente hasta que no se demuestre lo contrario. #quí las hipótesis serán$ H 0 $

'l acusado es inocente. H 1 $ 'l acusado es culpable.

'n este caso el (ue! no buscará evidencia de inocencia, sino de culpabilidad del acusado, acusado, tales como$ cuerpo del delito, delito, arma homicida, homicida, testios, testios, huellas, huellas, etc. *i la autoridad no encuentra evidencia contra el acusado, acepta la hipótesis H 0 , pero no la prueba. Pero, %os resultados de estos dos e(emplos serán ciertos al + 3/ %a respuesta es un rotundo #. 'n el primer e(emplo pudo suceder que el alumno haya copiado 4no sabía5, o en su defecto que si sabía pero se puso nervioso al resolver el examen 4lo reali!ó mal5. 'n el seundo e(emplo la toma de decisión puede haberse tomado mal, debido a$ se cometió el crimen perfecto 4el presunto delincuente no de(o evidencia aluna5, o cosa que no sucede en 6&xico, la autoridad recibió dinero para sembrar u ocultar la evidencia. 2


'sto 'sto expres expresa a que que !#s err#res s# ie&itab!es cuando las decisiones se toman apoyándose en los resultados de una muestra aleatoria y además, estos errores son de dos tipos diferentes.

4.' Err#res tip# I ( II. De manera eneral los tipos de errores que se comenten en una prueba de hipótesis son$

H 0 es

H 0 es

verdadera.

falsa.

7e 7echa!o de H 0 .

Err#r tip# I o 9

#ceptación de H 0 .

1in8n error.

1in8n error.

Err#r tip# II # )

%a probabi probabilid lidad ad de recha!a recha!arr H 0 , dado dado que H 0 es verdadera se define como la probabilidad de err#r tip# err#r tip# I y se denota por ,  ≤ 9 ≤ +. %a prob probab abililid idad ad de acep acepta tarr H 0 dado qu que probabilidad de err#r tip# II y se denota por ,

H 0

es fals falsa, a, se defi define ne como como la  ≤ β ≤ +.

%as probabilidades de los errores tipo : y :: están dados por las proposiciones siuientes$ 9 ; P 4error tipo :5 ; P 4recha!ar

H 0

β ; P 4error tipo ::5 ; P 4aceptar H 0

*

H 0 es

cierta5

*

H 0 es

falsa5.


*in embaro, mientras menor sea el nivel al que seleccionemos +, se requiere más evidencia 4muestras randes5 en los datos para recha!ar H 0 . + = > se llama llama potencia potencia de la prueba, prueba, y es la probab probabili ilidad dad de recha!ar recha!ar H 0 cuando &sta es falsa, entre más rande sea la muestra, mayor es la potencia de la prueba. Para Para decidi decidirr el nivel nivel de sinif sinifica icanci ncia a para α 4rieso de recha!ar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera5 dependerá de la situación en la que estemos y las consecuencias de cometer el error. *i al recha!ar H 0 implica una inversión fuerte de recursos, es recomendable emplear α ; .+ para tener mayor confian!a de que la decisión será la adecuada. ?on el fin de ver los tipos de errores que se cometerían en los e(emplos expuestos anteriormente de la evaluación de una unidad, y la detención de un presunto delincuente. H 0 $

'l alumno no sabe. H 1 $ 'l alumno si sabe.

*uponamos que el alumno copió en el examen, @u& error se comete/ 'l error tipo :, porque se está recha!ando H 0 cuando esta es verdadera. Pero si el alumno se puso nervioso al contestar el examen y si sabía, @u& error se comete/ 'l error tipo ::, porque se está aceptando H 0 cuando esta es falsa. De manera análoa en el e(emplo de la detención del presunto delincuente, las hipótesis de traba(o son$ H 0 $

'l acusado es inocente. H 1 $ 'l acusado es culpable.

*uponamos que se cometió el crimen perfecto, @u& error se comete/ 'l error tipo ::, porque se esta aceptando aceptando H 0 dado que H 0 es falsa. Pero si la autoridad recibe dinero por la parte acusadora, @u& error se comete/ 'l error tipo :, porque se esta recha!ando H 0 dado que H 0 es verdadera.

4. De/iici#es para $e%#r c#$presió de! te$a. Hipótesis. 's una suposición tentativa para explicar ciertos hechos y llevar a la

investiación de otros.

Prueba Prueba de hipóte hipótesis sis.. Proc Proces eso o que que nos nos llev lleva a a tomar tomar una deci decisi sión ón entr entre e dos dos hipótesis mutuamente excluyentes.

Hipótesis u!a 0 H . 's la teoría que especifica valores hipot&ticos para uno o más 0

parámetros de la población. 4


Hipótesis A!terati&a 0 H 1 . 's la hipót hipótesi esiss opuest opuesta a a la

H 0 .

's aceptada de

manera indirecta al recha!ar la hipótesis nula.

Estadístic Estadístic# # de prueba. prueba. Aunción de los datos que se usa para tomar la decisión de aceptar o recha!ar la hipótesis

H 0 .

2i&e! de si3i/icació 0 . 's la probabilidad de recha!ar la hipótesis nula 4 H 5, 0

cuando esta es verdadera.

Re3ió crítica. Brea o reión donde se recha!a la hipótesis nula 4 H 5. 0

a!#r crític#. 2alor 2alor que define donde comien!a la reión crítica. Err#r tip# I 4

5. 's la probabilidad de recha!ar de manera errónea la hipótesis cuando esta es verdadera.

H 0

Err#r tip# II 4 5. 's la probabilidad de aceptar de manera errónea la hipótesis

H 0

cuando esta es falsa.

4.4 Prueba de de hipótesis hipótesis s#bre !a $edia $edia c# &aria5a c##cida. c##cida. *upona que C es una variable aleatoria que representa aluna característica de inte inter& r&ss en la pobl poblac ació ión n 415 415 que que esta estamo moss estu estudi dian ando do,, la cual cual se encu encuen entr tra a normalmente distribuida o si no, por lo menos se cumplen las condiciones del teorema del límite central 4en la medida que n → ∞ la transformación de una variable a una distribución , tiende a una distribución normal5. #demás suponemos que µ es desconocida y σE es conocida. 'stamos interesados en probar la hipótesis$ H 0 : µ = µ 0

H 1 : µ ≠ µ 0

Donde

µ 0

es una constante especificada.

*e obtiene una muestra aleatoria de tama0o n donde x +, xE,..., x n es la variable aleatoria de inter&s, cada observación tiene una µ desconocida y una σE conocida. 'l estadístico empleado para este tipo de prueba es$ Z =

x − µ 0 σ /

n

Dicho estadístico siue una distribución normal con promedio µ 0 y varian!a varian!a 2 ual a la media de la muestr stra y µ 0 es una constant constante e σ = 1 , donde x es iual especificada. =

Para este caso de hipótesis a!tera bi!atera!, la hipótesis

H 0 será

recha!ada sí$ 5

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ Z 

o

Z α / 2

−

Z  Z α / 2

*i probamos la hipótesis alterna unilateral. H 0 : µ = µ 0

H 1 : µ  µ 0

*e recha!ará

H 0 si

el estadístico

Z  Z α ,

para la otra alternativa de un lado.

H 0 : µ = µ 0

H 1 : µ  µ 0 H 0 será

recha!ada si

Z 

Z α

−

E%e$p!# 1.

%a compa0ía Aan *an supone que la vida de su prensa rotativa más rande es de +F,- horas, con una desviación estándar conocida de E,+ horas. De una muestra de E- prensas, la compa0ía encuentra una vida media de +-,- horas. # un nivel de sinificanci sinificancia a de .-. Debería Debería concluir la empresa empresa que la vida promedio de las prensas es mayor que las hipot&ticas +F,- horas/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ = 14500

H 1 : µ ≠ 14500

Prueba estadística6 *e elie el estadístico  dado que se supone que los datos están normalmente distribuidos y se conoce la varian!a.

2i&e! de si3i/icació6 9 ; .- en una prueba bilateral, dado que

H 1

dirección. dirección. 4Un α ; .- sinifica sinifica recha!ar de manera errónea la hipótesis hipótesis de las veces, cuando &sta es cierta5

Re3ió crítica6 −

Z 0.05 / 2

=

Z 0.025

%as fronte fronteras ras de = −1.96 y Z 0.05 / 2 = Z 0.025 = 1.96

la

reión reión

# tiene

H 0 el

crític crítica a

-3 son

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 Z =

15500 − 14500 2100 /

25

0

1.96

-1.96

= 2.38

2.38

6


7#c!usió6 Dado que el valor de  cae en la reión de recha!o por ser un valor mayor que +.GH, por lo tanto recha!amos la hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis H 1 , con lo que se concluye concluye que en base a la evidencia evidencia experimental experimental,, las prensa rotativa efectivamente tienen un periodo de vida estadísticamente mayor a las +F,- horas.

E%e$p! E%e$p!# # '. Un fabricante de aviones necesita láminas de aluminio que midan .+

puladas de rueso en promedio, ni más ni menos. 'l inspector de calidad que abastece a la compa0ía, probo una muestra de + láminas y encontró que el rosor medio es de .G puladas y una varian!a de .E puladas E. %as laminas satisfacen la necesidad del fabricante con un 9 ; .-/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ = 0.01

H 1 : µ  0.01

Prueba estadística6 *e elie al estadístico  dado que n es rande 2i&e 2i&e!! de si3 si3i/ i/ic icac ació ió6 6 9 ; ..- en una una prue prueba ba unil unilat ater eral al,, dado dado que que

H 1

es

direccional.

Re3ió crítica6 %a frontera de la reión crítica es

−

Z 0.05

= −

1.65


0.009 − 0.01 0.0141

100

Región de rechaz

= −

0.71

Región de aceptación -1.65

0

-0.71

7#c!u 7#c!usió sió6 6 Dado que el estadístico  se ubica en la reión de aceptación, se acepta la hipótesis H 0 ) con lo que se concluye que dado la evidencia evidencia experimental experimental el lote de láminas de donde se sacó la muestra si cumple con las necesidades del fabricante.

4.- Prueba de hipótesis s#bre !a $edia c# &aria5a desc##cida. ?uando deseamos probar una hipótesis con relación a la media µ y no se conoce σE, el procedimiento de prueba es similar a cuando se conoce σE, siempre y cuando el 7


tama0o ma0o de la mues muestr tra a sea sea ran rande de 0≥ ". 'ste 'ste proc proced edim imie ient nto o es usad usado o independientemente de que la población no sia una distribución normal. *in embaro, si el tama0o de  es peque0o debe hacerse una suposición en torno a la distribución de los datos para hacer la prueba t.

*upon *upona a que C es una variable variable aleato aleatoria ria distri distribui buida da normal normalmen mente te con media media varian!a σE desconocidas, y deseamos probar la hipótesis$ y

H 0 : µ = µ 0

µ

y

H 1 : µ ≠ µ 0

*upona que se toma una muestra aleatoria de tama0o n, con x +, xE,.., x n, y sea x y *E la media y la varian!a de dicha muestra. 'l estadístico de prueba se define define por$ t =

x − µ 0 S

n

@ue siue una distribución t de *tudent con parámetro libertad, H 0 será recha!ada si$ t 

o si

−t α / 2 !v

v = n − 1 llamado

rados de

t  t α / 2 !v

*i deseamos probar la hipótesis alterna de un lado H 0 : µ = µ 0

H 1 : µ  µ 0

*e recha!a H 0 si

t  t α !v

Para la otra alternativa de un lado será$ H 0 : µ = µ 0

H 1 : µ  µ 0

*e recha!a H 0 si

t 

−t α !v

E%e$p!# 1. %a resi resist stenc encia ia al rompi rompimi mien ento to de una una fibra fibra text textilil,, es una una varia variabl ble e

aleatoria distribuida normalmente. %as especificaciones requieren que la resistencia media al rompimiento sea iual a +- psi. *e toma una muestra aleatoria de +- fibras textiles y se determina su resistencia al rompimiento dando un promedio de +-E.+I y una varian!a de E-.
P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ = 150

H 1 : µ  150 8


Prueba estadística6 Dado que n es peque0a y se desconoce la varian!a, se elie el

cociente t.

2i&e! de si3i/icació6 9; ..- en una una prueba prueba uni unila late teral ral,, dado dado que

H 1 tiene

dirección.


t 0.05!14

=

1.761

78!cu!# de! estadístic# de prueba$ t =

152.18 − 150 5 / 15

=

1.69

7#c!usió6 Dado que el estadístico t cae en la reión de aceptación se acepta la hipóte hipótesis sis H 0 , y se concluye que no hay evidencia suficiente para decir que el promedio de la muestra es mayor al requerido por las especificaciones.

E%e$p!# '. ?on el fin de montar motores motores de aviones, aviones, un fabricante fabricante necesita varillas varillas

de acero especial con una resistencia media a la tensión de al menos -, libras. 'l inspector inspector de calidad calidad despu&s de probar una muestra de EF varillas, varillas, encontró que se deforman deforman a una resistencia resistencia media de F,J libras, siendo la desviación desviación estándar de la muestra de I libras. ?umplen las varillas la necesidad del fabricante/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ ≥ 5000

H 1 : µ  5000

Prueba Estadística6 Dado que n es peque0a, se desconoce la varian!a y se supone normalidad en los datos, se utili!a el estadístico t.

2i&e! de Si3i/icació$ α ; .- en una prueba unilateral. Re3ió 7rítica6 %a frontera de la reión crítica es

t 0.05! 23

= −1.71

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 9

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ 4700 − 5000 = −1.84 t = 800 / 24


Región de aceptación 0

-1.71 -1.84

7#c!u 7#c!usió sió6 6 Dado que el estadístico de prueba cae en la reión de recha!o se recha!a la hipótesis H 0 , y se acepta la hipótesis alterna, con lo que se concluye que las varillas no cumplen con la necesidad del fabricante por tener una resistencia menor a - libras.

E%e$p!# E%e$p!# . %os siuientes datos representan el tiempo de armado en minutos de +unidades seleccionadas completamente al a!ar$ +F.F, ++.G, +K.I, +-., +K.H, +K.G, +F.G, +F.E, +K.J, +K.E, +F.H, +-.K, +F.I, +K.G y +F.J. ?on base en esta muestra, 'xiste aluna ra!ón para creer a un nivel de .-, que el tiempo de armado promedio es mayor a +K.J minutos/ %a media y desviación estándar de la muestra son

x

=

14.13

y * ; .I-I

P!atea$iet# de !a hipótesis6 H 0 : µ = 13.7

H 1 : µ  13.7

Prueba Prueba estadística6 estadística6 *e elie el estadí estadísti stico co t dado que el tama0o de muestra es chico y se desconoce la varian!a de la población.

2i&e 2i&e!! de si3 si3i/ i/ic icac ació ió6 6 9 ; ..- en una una prue prueba ba unil unilat ater eral al,, dado dado que que

H 1

es

direccional.


t 0.05!14

=

1.761

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 t =

14.13 − 13.7 0.858

15

= 1.94

1.761 "ceptar #0 ##h#

Rechaz #0

10


7#c!usió 7#c!usió66 Dado que el estadístico de prueba cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis alterna H 1 , con lo que se concluye que en base a la evidencia experimental, el tiempo de armado promedio de las unidades si es mayor a +K.J minutos.

4.9 Prueba de hipótesis de ua pr#p#rció. %os m&todos de distribución normal para muestras randes, que se emplean para resolve resolverr problem problemas as de estima estimació ción n en el caso de p binomial, se pueden emplear tambi&n para probar hipótesis con respecto a p, las t&cnicas de probar hipótesis de que p tiene un valor fi(o o de que dos proporciones proporciones son iuales, son muy similares a las explicadas con anterioridad. *i deseamos probar una proporción p contra un valor específico p 0 podemos tratar este este problem problema a como como prueba prueba de hipóte hipótesis sis del tipo tipo H 0 : p = p0 y H 1 : p ≠ p 0 , el estadístico de prueba para estos casos se define por$ Z =

p′ − p0 p0 q / n

Donde$ pL ; proporción de la muestra. p0 ; proporción de la población o constante especificada. q H 0

=

1 − p0

será recha!ada si el estadístico

Z 

Z α / 2 o

−

si

Z  Z α / 2

Para el caso de pruebas de un solo lado 4unilaterales5, se siue el procedimiento análoo a los ya vistos.

E%e$p!# 1. *e cree que un medicamento en el mercado, que por lo com8n se

prescribe para aliviar la tensión nerviosa es efectivo solo en el H3 de los casos. 7esultados experimentales con un nuevo medicamento administrado a una muestra alea aleato tori ria a de + adul adulto toss que sufr sufría ían n de tens tensió ión n nerv nervio iosa, sa, most mostrar raron on que que J experimentaron el alivio. 's esto suficiente evidencia para concluir que el nuevo medicamento es me(or que el que se prescribe com8nmente con 9 ; .-/

'n este este e(em e(empl plo o p0 = 0.6 , q = 1 − p0 = 0.4 y la proporción de la muestra es M N ; JO+ ; .J, se considera considera una variable variable normal cuyo promedio promedio es .H y desviación desviación estándar es iual a σ p = pq / n

P!atea$iet# de Hipótesis6 H 0 : p

=

0.6

H 1 : p  0.6 11


Prueba estadística6 *e utili!ará el cociente  dado que n es rande. 2i&e! de Si3i/icació6 9; .- en una prueba unilateral. Re3ió crítica6 %a frontera de la reión crítica es

Z 0.05

=

1.64

78!cu!# de! estadístic# de prueba$ Z =

0.70 − 0.60 (0.6)(0.4) / 100

=

2.04

7#c!usió6 ?omo el estadístico de prueba cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipóte hipótesis sis H 0 y se acepta acepta la hipótes hipótesis is alterna alterna H 1 , concluyendo que el nuevo medicamento es me(or estadísticamente al que se prescribe com8nmente.

E%e$p!# '. 'l administrador de un hospital necesita saber si es cierto que el G3

de la dosis de medicamento, preparados por una máquina, pesan exactamente + miliramos) miliramos) no es aceptable aceptable un porcenta( porcenta(e e mayor mayor ni menor. menor. Para Para el el caso se se tomo tomo una muestra aleatoria de n ; +E dosis y se encontró que GH de ellos pesan exactamente + miliramos. *e cumple la necesidad del administrador con un 9 ; .-/ 'n este caso p0 = 0.90 q ; .+ y M N ; GHO+E ; .I se considera como una variable normal cuyo promedio es .G y cuya desviación estándar es iual a  M.

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : p

=

0.9

H 1 : p ≠ 0.9

Prueba estadística6 Dado que  es rande se emplea el estadístico . 2i&e! de si3i/icació6 9 ; .- es una prueba bilateral. Re3i Re3ió ó crí crítica tica66 %as %as fronteras de la rei eión crí crítica son Z 0.05 / 2

=

−

Z 0.05 / 2

= −

1.96

y

1.96

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 12

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ Z =

- 3.65

0.8 − 0.9 0.9( 0.1) 120

-1.96

Rechaz #0

3.65σ

= −

1.96

0 "ceptar #0

Rechaz #0

7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis hipótesis alterna, por lo que la evidencia evidencia experimental experimental indica que no se cumple la necesidad del administrador.

4.: Prueba de hipótesis de !a di/erecia de d#s pr#p#rci#es. Un problema de ran importancia que se presenta con frecuencia en el traba(o estadístico, es determinar si dos poblaciones difieren con respecto a una cierta característica com8n observable. %os problemas de esta naturale!a se pueden tratar como problemas de prueba de hipóte hipótesis sis de tipo tipo H 0 : p1 = p 2 o su form forma a equi equiva vale lent nte e H 0 : p1 − p 2 = d 0 ) este tipo de hipótesis se conoce como hipótesis del valor nulo, debido a que se supone que no existe diferencia. Dond Donde e ρ+ y ρE son las dos proporciones de la población con la característica de inter&s. *i n + y nE indi indican can los tama0 tama0os os de mues muestr tra a y ρL+ y ρLE las proporciones obtenidas de las muestras, entonces la variable que debe emplearse para resolver este problema es p1′ − p 2′ . %a diferencia p1′ − p ′2 puede considerarse considerarse como variable variable que que est está distr istrib ibui uida da apro aproxximad imadam amen entte en forma orma nor normal, mal, con con prom promed ediio µ p′ − p′ = p1 − p2 y con desviación estándar dada por σ p′ − p′ = pq(1 n1 + 1 n2 ) . 1

2

1

2

%a prueba estadística para este tipo de casos se define por$ Z =

( p1′ − p2′ ) − ( p1 − p2 )

 1 1  +   n  1 n2 

pq

*i deseamos probar la hipótesis Z  − Z / 2 o si Z  Z / 2 α

H 0 : p1 = p 2

y

H 1 : p1 ≠ p 2 , H 0 será

recha!ada sí

α

13

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ Para la hipótesis alterna alterna de un lado H 0 : p1 = p 2 y H 1 : p1  p 2 , H 0 será recha!ada recha!ada sí Z  Z α ) para la otra alternativa H 0 : p1 = p 2 y H 1 : p1  p 2 , se recha!ará H 0 sí Z 

Z α .

−

E%e$p!# 1. Una muestra de F marineros se ha dividido en dos rupos iuales por selección al a!ar. Un rupo ha tomado la marca # de pastillas de un preventivo contra el mareo, y el otro rupo las pastillas Q. 'l n8mero de cada rupo que no se ha mareado durante una tormenta intensa, ha sido +-E y +KE. Puede concluirse que no existe diferencia real en efectividad de las pastillas con un 9 ; .-/ %as proporciones de cada muestra son$ ρL+ ; +-E O E ; .JH

ρLE ; +KE O E ; .HH

Una buena estimac estimación ión de es la suma de los marineros que tuvieron &xito en el experimento total, +-E R +KE ; EIF, por lo tanto ρ ; EIF O F ; .J+, mientras que ; ; + = .J+ ; .EG

P!atea$iet# de hipótesis$ H

ó H 0 : p1 − p 2 = 0 , que nos indica que no existe diferencia entre las proporciones de la población, del rupo que tomó la marca # y los del rupo que tomara la marca Q. 0

: p1 = p 2

H 1 : p1 ≠ p 2 ,

indica que existe diferencia entre las proporciones de las poblaciones de los dos rupos.

Prueba estadística6 Dado que estamos comparando dos proporciones mu&strales

que supone suponemos mos que provie provienen nen de poblac poblacion iones es normal normalmen mente te distri distribui buidas das y con tama0o de muestra rande, el cociente  es el adecuado.

2i&e! de si3i/icació6 9 ; .- en una prueba bilateral. Re3ió Re3ió crítica6 crítica6 %as fronteras fronteras de la reión crítica crítica son Z 0.05 / 2

=

Z 0.025

=

−

Z 0.05 / 2

= −

Z 0.025

1.96

= −

y

1.96


(0.76 − 0.66) − 0 0.71(0.29)(1 / 200 + 1 / 200)

-1.96

0

=

2.20

1.96 2.20

14


7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión crítica se recha!a la

hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis H 1 , por lo que parece ser que la marca # da una protección alo me(or que la marca Q) por lo menos para marinos durante tiempo tempestuoso.

E%e$p!# '. 'n una muestra aleatoria de J- e(es de árbol de leva, se encontró que

+E tienen un acabado superficial que es más ruoso que lo permitido por las especificaciones, es decir tienen defectos. ?on el fin de correir tales anomalías, se efectuó efectuó una modificación modificación al proceso de acabado de la superficie, superficie, y en consecuencia consecuencia se tomo una nueva muestra aleatoria de I- e(es, de los cuales + resultaron defectuosos. Podría decirse que se redu(o estadísticamente la proporción de e(es defectuosos con un 9 ; .-/ %as proporciones para cada muestra son$ M+N ; +E +E O J- ; .+H y M EN ; + O I- ; .++I

Una buena estimaci estimación ón de < es la suma de todos los e(es que tuvieron &xito en el experimento experimento total, total, +E R + ; EE) por lo tanto M ; EE O +H ; .+KJ .+KJ y q ; + S .+KJ ; .IHK

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : p1 = p 2

H 1 : p1 ≠ p 2

Prueba estadística6 Dado que  es rande se emplea el estadístico . 2i&e! de si3i/icació6 9;.- en una prueba bilateral. Re3ió Re3ió crític crítica6 a6 %as fronteras fronteras de la reión reión crític crítica a son Z 0.05 / 2

=

Z 0.025

=

−

Z 0.05 / 2

=

Z 0.025

1.96

= −

y

1.96


( 0.16 − 0.118 118) − 0 0.137( 0.863) (1 75 + 1 85)

-1.96

0

=

0.771

1.96 0.771

7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión de aceptación se acepta la hipótesis H 0 , y se concluye que en base a la evidencia experimental, no se redu(o estadísticamente la proporción de e(es de árbol de leva defectuosos.

15


4.= Prueba de hipótesis de !a di/erecia de $edias, c# &aria5as c##cidas.

Un problema típico con el que se encuentra uno en la vida real, es determinar si dos poblaciones difieren con respecto a una cierta característica de inter&s. 'ste tipo de suceso se puede tratar como problema de prueba de hipótesis de tipo H 0 : µ 1 = µ 2 o su forma H 0 : µ 1 − µ 2 = d 0 forma equi equiva vale lent nte e cont ontra H 1 : µ 1 ≠ µ 2 o su equivalente H 1 : µ 1 − µ 2 ≠ d 0 , donde d  es un cierto valor 'ste tipo de hipótesis se conoce como hipótesis de! &a!#r u!#, debido a que se supone que no existe diferencia entre los promedios. *i µ+ y µE son las medias poblacionales con la característica de inter&s. *i n + y nE indi indica can n los los tama tama0o 0oss de mues muestr tra a y y x2 los promedios obtenidos de esas muestras, muestras, entonces la variable que se debe emplear para resolver este problema es x

1

x1

−

x2

*i 1 + y 1E poseen distribuciones normales independientes cuyos promedios son µ+ y cuyass desv desvia iaci cion ones es está estánd ndar ar conoc conocid idas as son σ+ y σE, entonce entoncess la variab variable le µE y cuya aleatoria x1 − x2 poseer poseerá á una distribu distribució ción n normal normal con promedio promedio µ x x = µ 1 − µ 2 y 1− 2

2

2 σ x − x 1 2

desviación estándar

=

σ 1

n1

2

+

σ 2

n2

'l estadístico de prueba para este tipo de casos se define por$ Z =

( x1 − x2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2

σ 1

n1

*e recha!a H 0 si

Z  Z α / 2

o si

Z 

2

+

σ 2

n2

Z α / 2

−

Para probar la hipótesis alterna de un solo lado es$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1

*e recha!a H 0 si

 µ 2

Z  Z α

Para probar la otra hipótesis alterna del otro lado será$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1

*e recha!a H 0 si Z 

 µ 2

Z α

−

E%e$p!# 1. %a erente de una fabrica enlatadora de (uo de naran(a está interesada

en comparar el rendimiento de dos líneas de producción. ?omo la línea n8mero uno 16


es relativamente nueva, sospecha que el n8mero de ca(as que se producen al día es mayor que el correspondient correspondiente e a la vie(a línea dos, se toman datos al a!ar durante die! días para cada línea, línea, encontrando encontrando que x1 = 824.9 ca(as por día y x2 = 818.6 ca(as por día. De la experiencia experiencia con la operación operación de este tipo tipo de equipo se sabe que σ+E ; F y σEE ; -. Puede concluirse con un α ; .- que el n8mero de ca(as producidas por la línea uno es mayor que las producidas por la línea dos/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1

 µ 2

Prueba estadística6 *e elie el cociente  dado que se conocen las varian!as de las poblaciones y se supone normalidad en los datos.

2i&e! de si3i/icació6 α ; .- en una prueba unilateral. Re3ió crítica6 %a frontera de la reión crítica es

Z 0.05

=

1.65


(824.9 − 818 .6) − 0 ( 40 / 10) + (50 / 10)

= 2.10


1.65 2.10

7#c!usió6 Dado que el estadístico de prueba cae en la reión de recha!o se recha!a H 0 y se acepta H 1 con lo que podemos concluir que el n8mero de ca(as producidas diariamente por la línea uno es mayor que el n8mero de ca(as producidas por la línea dos.

E%e$p!# E%e$p!# '. #l erente de recursos recu rsos humanos se le pide que determine si los salarios

por por hora hora de los los obrer obreros os semi semiesp espec ecia ialili!a !ados dos son son los los mism mismos os en dos dos ciud ciudad ades es distintas. 'l resultado de la investiación arro(ó los siuientes valores$ ?iudad +, ?iudad E,

n+ ; E, nE ; +J-,

; T I.G- y x2 ; T G.+ y x

1

*+ ; T .F *E ; T .H

'l debe probar la hipótesis con un nivel de .- de que no hay diferencia entre los salarios.

P!atea$iet# de hipótesis6 17

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1 ≠ µ 2

Prueba estadística6 Dado que n es rande se utili!a el cociente  ya que se supone

normalidad en los datos.

2i&e! de si3i/icació6 α ; .- en una prueba bilateral. Re3ió crítica6 %as fronteras de la reión crítica son Z 0.05 / 2

=

Z 0.025

=

−

Z 0.05 / 2

= −

Z 0.025

1.96

= −

y

1.96

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 (8.95 − 9.10) − 0

Z =

2

2

= −2.8

0.40 / 200 + 0.60 / 175

- 2.8

Rechaz #0

-1.96

0

"ceptar #0

1.96

Rechaz #0

7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipóte hipótesis sis H 0 y se acep aceptta H 1 , con lo que se concluye que los salarios de los obreros de la ciudad dos son mayores estadísticamente a los de la ciudad uno.

4.> 4.> Prueba de hipótes esiis de !a di/erecia de $edias c# c# &ari aria5 a5as desc##cidas. 07uad# !as &aria5as s# i3ua!es. *ean 1+ y 1 E dos poblaciones normales independientes con medias desconocidas µ+ y µE, y &aria5as desc##cidas per# i3ua!es σ+E ; σEE ; σE, y deseamos probar$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1 ≠ µ 2

*e toman muestras aleatorias de tama0o n + y nE de 1+ y 1E respectivamente, obteni&ndose obteni&ndose las medias y las varian!as de cada muestra. muestra. Puesto que * +E y *EE son estimadores de la varian!a com8n σE, podemos obtener un estimado combinado de la varian!a com8n de ambas muestras de la siuiente forma$ 18


(n1 − 1) S 1

+ (n − 1) S +n −2 2

2

S P

=

n1

2

2

2

2

'l estadístico de prueba para poblaciones normales cuando σ+ ; σE ; σ es la prueba t combinada, tambi&n llamado t de d#s $uestras la cual es$ t =

( x1 − x2 ) − ( µ 1 − µ 2 )

S P

1

n1

+

1

n2

*i H 0 : µ 1 = µ 2 es verdadera, t se distribuye como recha!a  si$ t > t α / 2! n1 + n2 − 2

ó

t n1

+ n2 −

2

en consecuencia se

t < −t α / 2! n1 + n 2 − 2

%as alternativas de un lado se tratan de modo similar, así para probar$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1

*e recha!a  si

t

 µ 2

> t α !n1 + n2 −2

Para la otra alternativa de un lado. H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1

 será recha!ada si

 µ 2

t < −t α !n1 + n2 − 2

E%e$ E%e$p! p!# # 1. Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión de los

tornillos marca # exceden la de los tornillos marca Q en +K V. Para probar esta afir afirma mació ción, n, se exami examina naron ron E- pie! pie!as as del torni tornillllo o marc marca a # y se encon encontr tró ó una una resistencia promedio a la tensión de IH.J V, con una desviación estándar de H.EI V, mientras que otra muestra de EE tornillos marca Q tuvo una media de JJ.I V y una desviación estándar de J.H+ V respectivamente. ?ompruebe la afirmación del fabricante utili!ando un nivel de sinificancia de .-, supona que las varian!as son iuales.

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : µ 1 − µ 2



13

H 1 : µ 1 − µ 2



13

Prueba estadística6 Dado que el valor de n es peque0o y no se conocen las varian!as de las poblaciones, se emplea el cociente t. 19


2i&e 2i&e!! de si3 si3i/ i/ic icaci ació ó66

α ; .- en una prueba unilateral dado que  + tiene

dirección.


−

t 0.05 ! ( 25 + 22 − 2 )

= −t 0.05 ! 45 = −1.679

78!cu! 78!cu!# # de! estadíst estadístic# ic# de prueba6 prueba6 Primero calculemos la varian!a com8n de

ambas muestras.

2 P

S =

( 25 − 1)6.28 2 + ( 22 − 1)7.612

= 48.06

( 25 + 22) − 2

'l estadístico t será$ t =

(86.7 − 77.8) − 13


2.02

= −

6.93 (1 / 25) + (1 / 22)

Región de aceptación 0

-1.68 -2.02

7#c!usió6 Dado que el estadístico t cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipóte hipótesis sis H 0 y se ac acepta H 1 , concl concluy uyen endo do que que es fals falsa a la afir afirma maci ción ón del del fabricante, ya que los tornillos marca # # e?cede a los tornillos marca Q en más de +K Viloramos.

E%e$p!# '. Una empresa de ventas de acciones desea saber qu& tanto &xito han

obtenido sus e(ecutivos en la obtención de clientes despu&s de haber terminado su entrenamiento. %os nuevos e(ecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes. %os datos siuientes dan el n8mero de cuentas nuevas que fueron abiertas abiertas durante las primeras primeras dos semanas por die! e(ecutivas y ocho e(ecutivos e(ecutivos de cuenta escoidos aleatoriamente. 18mero de cuentas nuevas '(ecutivas de cuenta '(ecutivos de cuenta

+E +K

++ +

+F ++

+K +E

+K +K

+F +E

+K +

+E +E

+F

+E

?on un 9 ; .I *on las mu(eres más efectivas que los hombres para conseuir nuevas cuentas/ *upona que las varian!as son iuales. %os promedios y varian!as para cada una de las muestras son$ 2 x 2 = 11.6 y S 2 = 1.41

x 1

=

12.8 , S 1 = 1.07 , 2

20



H 1 : µ 1

 µ 2

Prueba estadística6 Dado que n es peque0a se utili!a el cociente t. 2i&e! de si3i/icació6 9 ; .I en una prueba unilateral Re3ió crítica6 %a frontera de la reión crítica es

t 0.08!16

=

1.501

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 Primero calculamos la varian!a com8n. 2 p

S

t =

=

9(1.07) + 7(1.41) 16

=

(12.8 − 11.6) − 0 1.104 (1 / 10) + (1 / 8)

1.219

=

2.29


1.501 2.29

7#c!usió6 Dado que t cae en la reión de recha!o se recha!a la hipótesis

y se acept acepta a la hipóte hipótesi siss H 1 , con lo que se concluye que las mu(eres son más efectivas que los hombres en la obtención de nuevos clientes. H 0

2@TA6 'n la práctica antes de llevar a cabo una prueba de hipótesis de diferencia de promedios con varian!as desconocidas, !# pri$er# ;ue se tiee ;ue hacer, es una prueba de hipótesis de ra!ón de varian!a, para saber si las varian!as son iuales o diferentes estadísticamente y proceder de acuerdo al resultado obtenido.

4.1" 4.1" Pru Prueba eba de hipó hipóttes esiis de !a di/e di/ere rec ciia de $e $edi dias as c# c# &ari aria5a a5ass desc##cidas. 07uad# !as &aria5as s# di/eretes. 'n alunas situaciones, no podemos suponer ra!onablemente que las varian!as desconocidas σ 12 y σ 22 sean iuales. 1o hay una estadística exacta disponible para probar H 0 : µ 1 = µ 2 en este caso. *in embaro la estadística utili!ada es$

21


t =

( x1 − x2 ) − ( µ 1 − µ 2 ) 2

S 1

n1

2

+

S 2 n2

%a cual se distribuye aproximadamente como t de *tudent con rados de libertad dados por$ 2

 S S  n + n    −2 v=  S   S         n  +  n  n +1 n +1 2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

'ste 'ste tipo tipo de problema problema por lo eneral eneral a menudo menudo se le conoce como como pr#b!e$a de

Behresisher.

E%e$p!# 1. Un fabri abriccant ante de pant pantal alla lass de video ideo,, prue prueba ba dos dos dise dise0o 0oss de microcircuit microcircuitos os para determinar determinar si ellos producen producen flu(os flu(os de corriente corriente equivalentes. equivalentes. %a ineniería de desarrollo ha obtenido los siuientes datos. Dise0o + Dise0o E

n+ ; +nE ; +

; EF.E x2 ; EK.G x

1

*+E ; + *EE ; F

*e supone que ambas poblaciones son normales, con varian!as desconocidas y a su ve! diferentes. Podría pensarse que los microcircuitos producen flu(os de corriente iuales, con un α ; .-/

P!atea$iet# de hipótesis$ H 0 : µ 1 = µ 2

H 1 : µ 1 ≠ µ 2

Prueba Prueba Estadística Estadística66 Dado Dado que que las las mues muestr tras as son son pequ peque0 e0as as y las las vari varian an!a !ass desconocidas, se utili!a el estadístico t.

2i&e! de si3i/icació6 9 ; .- en una prueba bilateral. Re3ió crítica6 #quí lo primero que tenemos que hacer es calcular los rados de

libertad v$

v=

(10 / 15 + 40 / 10) 2

2 2

((10 / 15) / 16) + ((40 / 10) / 11)

− 2 = 12.69 ≈ 13

Por lo tanto las fronteras de la reión crítica son t 0.025!16

=

−

t 0.025!13

= −2.16

y

2.16

22



(24.2 − 23.9) − 0

=

(10 / 15) + (40 / 10)

-2.16

0

0.1388

2.16

0.1388

7#c!usió6 Dado que el estadístico de prueba cae en la reión de aceptación, se acepta la hipótesis H 0 , y se concluye que en base a la evidencia experimental, los microcircuitos si producen flu(os de corriente iuales.

E%e$p!# '. *e reali!ó un estudio para comparar los niveles de ácido ascórbico en el

plasma de las mu(eres embara!adas entre fumadoras y no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron dos rupos de mu(eres en los 8ltimos tres meses de embara!o, libres de cualquier padecimiento importante y con edades entre E y KE a0os. 'n la primer muestra de EF mu(eres se encontró una media de .G+-I ramos por mililitro en el plasma de cada su(eto y una desviación estándar de .E+FF. %a seunda muestra compuesta por I mu(eres dio un promedio de .E+FF, y una desviación estándar de .KG+- 'xiste diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en la sanre de mu(eres fumadoras y no fumadoras/ %as muestras se tomaron de poblaciones normales con varian!as diferentes.


H 1 : µ 1

Prueba estadística6 Dado que

 µ 2

y n2 son peque0as y las varian!as poblacionales desconocidas, se emplea el estadístico t. n

1

2i&e! 2i&e! de si3i/ si3i/ica icació ció6 6 9 ; ..- en una una prue prueba ba unil unilat ater eral al dado dado que que

H 1

tiene

dirección.

Re3ió crítica6 Primero calculamos los rados de libertad. v=

( 0.0459 / 24 + 0.1533 / 8) 2 (0.0459 / 24) 2 / 25 + (0.1533 / 8) 2 / 9

Por lo tanto, la frontera de la reión crítica es

t 0.05! 9

− 2 = 8.85 ≅ 9 = 1.833

23



( 0.9158 − 0.2144) − 0 0.0459 / 24 + 0.1533 8

=

4.83


1.8 4.8 3 3

7#c!usió6 Dado que el estadístico t cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis alterna, con lo que se concluye que en base a la evidencia experimental las mu(eres embara!adas que fuman tienen más niveles de ácido ascórbico en la sanre que las que no fuman.

4.11 Prueba de hipótesis de ua &aria5a. %a inferencia con respecto a una varian!a es tan importante importante como una con respecto a la media. 'n medios industriales, por e(emplo, la variabilidad de un producto puede ser una medida más importante que el promedio del producto. #quí el inter&s se centra en probar la hipótesis que considera la uniformidad de una población, tal ve!, que compara la uniformidad de una población contra cierto valor. *upó *upón nas ase e que que dese deseam amos os prob probar ar la hipó hipóte tesi siss de que que las las vari varian an!a !ass de una una 2 E distribución normal σ es iual iual a un valo valorr espe especí cífifico co σ 0 . *ea 1 una población normal 1 4 µ, σE5, donde µ y σE se desconocen, y sea x +, xE,...,x n una muestra aleatoria de esa población, y deseamos probar$ H 0 : σ

2

H 1 : σ 2

= σ 02 ≠ σ 02

'l estadístico de prueba para este tipo de casos es la distribución WiScuadrada cuyo promedio y varian!a son X ; v y E ; Ev. (n − 1) S

2

X

2

=

2

σ 0

Donde *E es la varian! varian!a a de la muestr muestra a y σ 02 es la varian!a de la población o la constante especificada. #hora bien si H 0 : σ 2 = σ 02 es cierta, entonces el estadístico de prueba CE siue la distribución %i  cuadrada con parámetro v ; n = + llamado rados de libertad. *e recha!ará

H 0

si

X

2



2

X 1

−α

/ 2 !v

o si

X 2



X α 2 / 2!v 24


Para la hipótesis de un lado.

*e recha!ará

H 0

si

X 2



H 0 : σ 2

= σ 02

H 1 : σ 2

 σ 0

2

= σ 02

H 1 : σ 2

 σ 0

2

X α 2 !v

Para la otra hipótesis unilateral$ H 0 : σ

7echa!aremos

H 0

si

X 2



2

X 12 α !v −

E%e$p! E%e$p!#1. #1. *e afirma que una máquina despachadora de refrescos esta fuera de control, si la varian!a de los contenidos excede a +.+- decilitros. *i una muestra aleatoria de E- refrescos de esta máquina tiene una varian!a de E.K decilitros, :ndica esto a un nivel de sinificancia de .- que la máquina está fuera de control/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : σ 2 = 1.15

H 1 : σ 2

≠ 1.15

Prueba Prueba est estadí adísti stica6 ca6 Por tratarse de la comparación de una varian!a contra una constante especificada se elie el estadístico WiScuadrada.

2i&e 2i&e!! de si3 si3i/ i/ic icaci ació ó66 9;. 9;.- es una una prue prueba ba bila bilate teral ral,, porq porque ue

H 1

no tiene tiene

dirección.

Re3ió crítica6 %as fronteras de la reión crítica son si

X 02.05 / 2! 24

=

X 02.025! 24

=

X 12 0.05 / 2! 24 −

=

X 02.975! 24

=

12.40 o

39.38

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 X

Región Región de rechaz

0

2

=

( 25 − 1) 2.03 1.15

=

Región de aceptación 12.4

$%24

42.37


39.38 42.37

7#c!usió6 Dado que el estadístico C E cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipóte hipótesis sis

H 0

y se acepta la hipótesis alterna, concluyendo en base la evidencia 25


experimental que la varian!a de los contenidos de refrescos es mayor de +.+decilitros) o lo que es lo mismo la máquina esta fuera de control.

E%e$p!# E%e$p!# '. %a empresa Precisión #nalytics fabrica una línea amplia de instrumentos

de precisión. ?on el fin de conservar su buena reputación, mantiene un estricto control de calidad en todos sus productos. 1o pondrá a la venta una balan!a analítica, por e(emplo, a menos que dicha dicha balan!a muestre una variabilidad variabilidad que este sinificativamente por deba(o de un microramo, cuando se pesan cantidades de aproximadamente - ramos. Una nueva balan!a acaba de ser entreada a la división de control de calidad por parte de la línea de producción. *e prueba la nueva balan!a utili!ándola para pesar el mismo peso estándar de - ramos K veces distintas. %a desviación estándar de la muestra resulta ser de .JK microramos *e debe vender la balan!a/

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : σ 2 = 1.0

H 1 : σ 2



1. 0

Prueba Prueba est estadí adísti stica6 ca6 ?omo se compara la varian!a de una muestra contra una constante especificada, se emplea el estadístico WiScuadrada.

2i&e! de si3i/icació6 9;.- en una prueba unilateral, dada que  + es direccional. Re3ió crítica6 %a frontera de la reión crítica es 78!cu!# de! estadístic# de prueba6 X

2

=

( 30 − 1) 0.732 1.0


=

2

X 1

−

0.05 ! 29 =

2

X 0.95! 29

=

17.70

15.45

Región de aceptación 17.7

µ=29

15.45

7#c!usió 7#c!usió66 Dado que el estadístico de prueba cae en la reión de recha!o, se recha!a la hipótesis H 0 y se acepta la hipótesis balan!a si puede ser vendida.

H 1 ,

con lo que se concluye que la

4.1' Prueba de hipótesis de ua ra5ó de &aria5as. *i N 1 y N 2 son dos poblaciones poblaciones normales independient independientes es con medias varian!as desconocidas σ 12 y σ 22 , y deseamos probar$ H 0 : σ 12

µ 1

y

µ 2

y

= σ 22 26

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Prueba de hipótesis ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________ 2 2 H 1 : σ 1 ≠ σ 2

*i de N 1 y N 2 tomamos una muestra aleatoria independiente de tama0o y n2 , y obtenemos obtenemos sus correspondient correspondientes es medias y varian!as. varian!as. 'l estadístico estadístico que nos sirve 2 2 para probar probar la hipótesi hipótesiss H 0 : σ 1 = σ 2 es la función de distribución A de Aisher que tiene como pr#$edi# C  1 y se define por$ n

1

2

F = =

S 1

2

S 2

Donde S 12 y S 22 son son las las vari varian an!a !ass de las dos dos mues muestr tras as.. *i H 0 : σ 12 = σ 22 es verda verdader dera, a, la la rela relaci ción ón A es un un valo valorr de la la dist distri ribuc bució ión n  con parámetros parámetros v1 = n1 − 1 llamado rados de libertad del u$erad#r y v2 = n 2 − 1 llamado rados de libertad del de#$iad#r . 'n consecuencia se recha!a H 0 si$ F < F 1−α 2!( v

1 !v2

F > F α 2! ( v

o si

)

1 ! v2

)

Dado que la tabla A solo proporciona valores para la cola derecha, por lo tanto para poder determinar F 1−α 2!( v1 !v2 ) se debe emplear 1 / F α 2!( v1 !v2 ) Para probar la hipótesis alterna de un lado$ 2

H 0 : σ 1 2

H 1 : σ 1

7echa!amos

H 0

= σ 22 2

 σ 2

si F > F α !( v1 !v2 )

Para la otra alternativa de un lado$ 2

H 0 : σ 1

= σ 22 2

H 1 : σ 1

*e recha!ará H 0 si

F < F 1−α !( v

1 !v2

2

 σ 2

)

2@TA6 'n eneral se aplica este tipo de prueba de hipótesis, ates de reali!ar una prueba de hipótesis de diferencia de medias con varian!as desconocidas.

E%e$p!# 1. 'xisten en experimentación dos superconductores que se cree serán claves para el silo CC:. Uno de ellos ha sido desarrollado en

'xiste 'xiste suficiente suficiente evidencia para decir que las varian!as varian!as de los superconducto superconductores res son iuales estadísticamente/ %as varian!as para cada una de las muestras son$

n1

=

11 ,

2 S 1 = 72.89 , n2

=

12

y

S 22 = 186.45

P!atea$iet# de hipótesis6 = σ 22 2 2 H 1 : σ 1 ≠ σ 2

H 0 : σ 12

Prueba Prueba Estadístic Estadísticaa$ Dado Dado que que se supon supone e inde indepe pend ndenc encia ia en las las vari varian! an!as as se

utili!ará la prueba A.

2i&e! de si3i/icació6 α ; .+ en una prueba bilateral. Re3ió crítica6 #ntes de definir las fronteras debemos plantear el cociente A para sabe saberr quie quien n será será y , en nuest nuestro ro caso caso será será A ; JE.I JE.IGO GO+I +IH. H.FF-.. ?omo la varian! varian!a a del numer numerado adorr de la ra!ón ra!ón A es JE.IG y proviene de una muestra de tama0o tama0o ++, ++, por lo tanto tanto v1 = 10 . ?omo la varian!a varian!a del denomi denominad nador or es +IH.F- y provien proviene e de una muestra muestra de tama0o tama0o +E, por lo tanto tanto los rados de libert libertad ad del v 2 = 11 . denominador son v

1

v

2

#hora bien las fronteras de la reión crítica son$ ?ola derecha F 0.10 2!( 10!11) = F 0.05! (10!11) = 2.85 y ?ola i!quierda F 1 0.10 2!( 10!11) = F 0.95!(10!11) = 1/ F 0.05!(10!11) −

=

1 / 2.85 = 0.35

78!cu!# estadístic# de prueba6 F =

72.89 186.45

0.35 0.39

1

=

0.3909

2.85

7#c!usió6 Dado que el estadístico A cae en la !ona de aceptación se acepta la hipótesis nula, y se concluye que no hay evidencia suficiente para decir que las varian!as son diferentes estadísticamente.

28


E%e$p!# '. %a empresa Qruce *.#. ensambla componentes el&ctricos. Una muestra

en + días días toma tomada da al a!ar a!ar del del 8lti 8ltimo mo mes mes dio dio un prom promed edio io de G prod produc ucto toss defectuosos y una desviación estándar de +.-. 'n una muestra de +- días tomadas tamb tambi& i&n n del del 8lti 8ltimo mo mes mes de la comp compa0 a0ía ía *acr *acra a most mostró ró un prom promed edio io de I.I.componentes con defectos y una desviación estándar de E. 's posible concluir que hay más variación en el n8mero de componentes defectuosos al día que se atribuyen a *acra/, con un 9 ; .-. ?omo la tabla A de Aisher por lo eneral solo proporciona probabilidades para valo valores res de α de .+, .- y .+, aquí estamos estamos obliados a plantear plantear la hipótesis hipótesis alterna c# direcció, para poder mane(ar un valor de α de .-

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : σ 1

2

= σ 22

2

 σ 2

H 1 : σ 1

2

'l planteamiento de la hipótesis alterna con dirección, nos indica que debemos traba(ar con la cola i!quierda de la distribución A. Por lo tanto el cociente A debe tener en el u$erad#r la la varian!a chica y en el de#$iad#r la la varian!a rande, esto nos dará un cociente menor que uno 4recuerde que X ; + en la distribución A5.

Prue Prueba ba esta estadí díst stic ica6 a6 Dado Dado que que se comp compar arar aran an dos dos vari varian an!a !ass se empl emplea ean n el estadístico . 2i&e! 2i&e! de si3i/ si3i/ica icació ció6 6 9 ; ..- en una una prue prueba ba unil unilat ater eral al dado dado que que

H 1 tiene

dirección.

Re3ió Re3ió crítica6 crítica6 ?omo la varian!a varian!a del del numerador numerador de la la ra!ón ra!ón A es +.-E y proviene proviene de una una muest muestra ra de tama0o tama0o +, +, por por lo tanto tanto libertad del denominador son v2 = 14 .

v1

=

9,

mient mientras ras que que los los rados rados de de

A+S.-,4G,+F5 ; A.G-,4G,+F5 ; +  A.-,4G,+F5 ; +  E.H- ; .KJJ

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 F =

1.5 2 22

= 0.5625


Región de aceptación

"

$%1

0.37 0.56

29


7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión de aceptación se acepta la

hipó hipóte tesi siss H 0 , con con lo que que se conc conclu luyye que que no exis existe te may mayor vari variac ació ión n en los los componentes fabricados por la compa0ía *acra. 'stadísticamente la variación en el n8mero de componentes es iual en las dos empresas.

E%e$p! E%e$p!# # . 'n su incansable b8squeda de un sistema de llenado adecuado, cierta

empresa prueba dos máquinas. 7oboSfill se usa para llenar seis tarros y da una desviación estándar de +.G on!as de llenado. ?on #utomat.Sfill se llenan E+ frasco y dan una desviación estándar de E.+ on!as. *i la empresa tiene que eleir uno de estos sistemas en función de la uniformidad de llenado, cual recomienda usted previendo un G-3 de probabilidad.

P!atea$iet# de hipótesis6 H 0 : σ 1

2

= σ 22

2

 σ 2

H 1 : σ 1

2

Prue Prueba ba esta estadí díst stic ica6 a6 Dado Dado que que se comp compar arar aran an dos dos vari varian an!a !ass se empl emplea ean n el estadístico . 2i&e! 2i&e! de si3i/ si3i/ica icació ció6 6 9 ; ..- en una una prue prueba ba unil unilat ater eral al dado dado que que

H 1 tiene

dirección.

Re3ió crítica6 ?omo ?omo la ra!ón ra!ón libertad del denominador son F 1

−

0.05 !( 5! 20 ) =

v2

F = 1.9 2 / 2.12 ,

=

por lo tanto

v1

=

5 y

los rados de

20 .

F 0.95!( 5! 20 )

=

1 / F 0.05!( 5! 20 )

=

1 / 2.71 = 0.37

78!cu!# de! estadístic# de prueba6 F =

1.9 2 2.12


= 0.82

Región de aceptación

"

$%1

0.37 0.82

7#c!usió6 Dado que el estadístico  cae en la reión de aceptación se acepta la hipótesis H 0 , con lo que se puede concluir concluir que la empresa puede eleir cualquiera cualquiera de los los dos dos sist sistem emas as de llen llenad ado, o, ya que que tien tienen en esta estadí díst stic icam amen ente te la mism misma a uniformidad.

Apdice 4.1 E$p!e# de! s#/tFare Giitab e e! te$a de prueba de hipótesis. 30


Prueba de hipótesis s#bre !a $edia c# &aria5a c##cida.

Para ilustrar el empleo de 6initab en el tema, tomaremos tomaremos el e(emplo E de la la páina J del fabricante de aviones que necesita láminas de aluminio que midan .+ puladas de rueso. %os pasos a seuir son los siuientes. +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic 1. F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo  de 1 $uestra 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a

acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar + en el cuadro Ta$a# Ta$a# de $uestra. :nresar .G en el cuadro Gedia. :nresar .+ en el cuadro Des&iació est8dar . acer clic en Rea!i5ar prueba de hipótesis. :nresar .+ en el cuadro Gedia hip#ttica. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo  de 1 $uestra#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción menor que en el cuadro Hipótesis a!tera. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de  ; S+. con una probabilidad de P ; .+-G. Para deci decidi dirr si se acep acepta ta o recha recha!a !a la hipót hipótes esis is H 0 se toma toma la rel rela a siu siuie ient nte. e. Si !a

pr#babi!idad de teer ua $edia i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, anali!amos, vemos que la probabilidad probabilidad de tener una  ; S+. es de +-.G 3, lo que implica que la probabilidad es $a(#r a - J, por lo tanto para este caso acepta$#s la hipótesis H 0 .

Prueba de hipótesis s#bre !a $edia c# &aria5a desc##cida. Para ilustrar el empleo de 6initab en el tema, tomemos el e(emplo K de la páina + del tiempo de armado en minutos de +- unidades seleccionadas al a!ar. 'n este caso caso se pued puede e trab traba( a(ar ar con con los los dato datoss resu resumi mido doss de la medi media a arit aritm& m&titica ca y la desviación estándar, o capturando los +- tiempos en minutos en la primer columna de la ho(a de cálculo. 6ostraremos ambos casos. +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. 31


K. acer clic 1t.

F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de 1 $uestra 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a

acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar +- en el cuadro Ta$a# de $uestra. :nresar +F.+K en el cuadro Gedia. :nresar .I-I en el cuadro Des&iació est8dar . acer clic en Rea!i5ar prueba de hipótesis. :nresar +K.J en el cuadro Gedia hip#ttica. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de 1 $uestra#pci#es . :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción mayor que en el cuadro Hipótesis a!tera. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de t ; +.GF con una probabilidad de P ; .KH. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. Si !a pr#babi!idad

de teer ua $edia i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una t ; +.GF es de K.H 3, lo que implica implica que la probabilidad probabilidad es $e#r a - J , por lo tanto recha5a$#s la hipótesis H 0 . *i desea que 6initab haa los cálculos de la media, desviación estándar y obtena la probabilidad correspondiente, capture los tiempos de armado en minutos de las unidades y proceda de la siuiente forma. +. ?apture los +- valores en %a columna ?+ E. *eleccione el men8 Estadísticas. K. 'leir Estadísticas b8sicas. F. acer clic en 1t. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de 1 $uestra 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a.

acer clic en el cuadro Guestras e c#!u$as. :nresar 71 en el cuadro Guestras e c#!u$as. acer clic en el cuadro Rea!i5ar prueba de hipótesis. :nresar +K.J en el cuadro Gedia hip#ttica. acer clic en @pci#es. H. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de 1 $uestra#pci#es . :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción mayor que en el cuadro Hipótesis a!tera. 32


acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar .

6initab le da el resultado de t ; +.GK con una probabilidad de P ; .KJ.

Prueba de hipótesis s#bre ua pr#p#rció. Para Para ilus ilustr trar ar la apli aplica caci ción ón tome tomemo moss el e(em e(empl plo o + de la pái páina na ++, sobr sobre e un medicamento que es efectivo en el H 3 de los casos para aliviar la tensión nerviosa. %os pasos a seuir son$ +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic 1P. F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo 1 pr#p#rció 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a

acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar J en el cuadro 2K$er# de e&et#s. :nresar + en el cuadro 2K$er# de esa(#s. acer clic en Rea!i5ar prueba de hipótesis. :nresar .H en el cuadro Pr#p#rció hip#ttica. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo 1 pr#p#rció#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción mayor que en el cuadro Hipótesis a!tera. acer clic en Uti!ice !a prueba ( e! iter&a!# basad# e !a distribució #r$a!. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de  ; E.F con una probabilidad de P ; .E+. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. Si !a pr#babi!idad

de teer ua pr#p#rció i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una  ; E.F es de E.+ E.+ 3, lo que impl implic ica a que que la prob probab abililid idad ad es $e# e#r a - J, por lo tanto recha5a$#s la hipótesis H 0 .

Prueba de hipótesis de !a di/erecia de d#s pr#p#rci#es. Para ver el empleo de 6initab tomemos el e(emplo E de la páina +-, de una máquina que produce e(es de árbol de leva y que fue a(ustada para disminuir el porcenta(e de artículos defectuosos. 33


+. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic 'P.

F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo ' pr#p#rci#es 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a

acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar +E en el cuadro Pri$era E&et#s. :nresar J- en el cuadro Pri$era Esa(#s. :nresar + en el cuadro Se3uda E&et#s. :nresar I- en el cuadro Se3uda Esa(#s. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo ' pr#p#rci#es#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción no es iual a en el cuadro Hipótesis a!tera. acer clic en Uti!ice e! c8!cu!# a3rupad# de p para !a prueba. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de  ; .JI con una probabilidad de P ; .FKI. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. Si !a pr#babi!idad

de teer ua di/erecia de pr#p#rci#es i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una  ; .JI es a(# #r a - J, por lo tanto de FK.I FK.I 3, lo que que impl implic ica a que que la proba probabi bililida dad d es $a( acepta$#s la hipótesis H 0 .

Prueba de hipótesis de !a di/erecia de $edias c# &aria5as desc##cidas 0cuad# !as &aria5as s# i3ua!es Para ilustra el caso tomemos tomemos el e(emplo + de la páina +G, +G, sobre la comparación de la resistencia a la tensión de los tornillos marca marc a # contra los tornillos marca Q. +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic 't. F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de ' $uestras 0prueba e iter&a!# de

c#/ia5a

acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar E- en el cuadro Pri$era Ta$a# Ta$a# de $uestra. :nresar IH.J en el cuadro Pri$era Gedia. :nresar H.EI en el cuadro Pri$era Des&iació est8dar . :nresar EE en el cuadro Se3uda Ta$a# de $uestra. 34


:nresar JJ.I en el cuadro Se3uda Gedia. :nresar J.H+ en el cuadro Se3uda Des&iació est8dar . acer clic en Asu$ir &aria5as i3ua!es. acer clic en @pci#es.

-. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo t de ' $uestras#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. :nresar +K en el cuadro di/erecia de !a prueba . 'leir la opción menor que en el cuadro Hipótesis a!tera. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de t ; SE.E con una probabilidad de P ; .E-. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. Si !a pr#babi!idad

de teer ua di/erecia de $edias i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una t ; SE.E es e#r a - J, por lo tanto de E.E.- 3, lo que impl implic ica a que que la prob probab abililid idad ad es $e# recha5a$#s la hipótesis H 0 . Para una prueba de hipótesis de la diferencia de medias con varian!as desconocidas 4cuando las varian!as son di/eretes5, 8nicamente 8nicamente en el paso F # hacer c!ic en el cuadro Asu$ir &aria5as i3ua!es. *i la hipótesis nula se plantea H 0 : µ 1 = µ 2 , en el paso - inrese  en el cuadro di/erecia de !a prueba, ya que la diferencia de dos n8meros iuales da cero.

Prueba de hipótesis de ua &aria5a. Para ilustra el empleo de 6initab tomemos el e(emplo + de la páina E-, sobre una máquina despachadora de refrescos que se sospecha que está fuera de control. +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic

σ

2

.

F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo 1 &aria5a. acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar E- en el cuadro Ta$a# de $uestra. :nresar +.FE- en el cuadro Des&iació est8dar de !a $uestra. acer clic en Rea!i5ar prueba de hipótesis. :nresar +.JE en el cuadro Des&iació est8dar hip#teti5ada. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo 1 &aria5a#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. 'leir la opción no es iual a en el cuadro Hipótesis a!tera. 35


acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar .

6initab le da el resultado de chicuadrada ; FE.F+ con una probabilidad de P ; .EK. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. siuiente. Si !a

pr#bab pr#babi!i i!idad dad de teer teer ua recha5a !a hipótesis H .

X 2 i3ua!

a !a de !a $uestra es $e#r a - J se

0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una X 2 = 42.41 es de E.K E.K 3, lo que que impl implic ica a que la prob probab abililid idad ad es $e $e# #rr a - J, por lo tanto recha5a$#s la hipótesis H 0 .

Prueba de hipótesis de ua ra5ó de &aria5as. Para ilustra el empleo de 6initab tomaremos el e(emplo + de la páina EI, sobre la comparación de varian!as de dos superconductores que serán claves para el silo CC:. +. *eleccione el men8 Estadísticas. E. 'leir Estadísticas b8sicas. K. acer clic

2

2

σ 1 / σ 2

.

F. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo ' &aria5as. acer clic en Dat#s resu$id#s. :nresar ++ en el cuadro Pri$era Ta$a# Ta$a# de $uestra. :nresar JE.IG en el cuadro Pri$era aria5a. :nresar +E en el cuadro Se3uda Ta$a# de $uestra. :nresar +IH.F- en el cuadro Se3uda aria5a aria5a. acer clic en @pci#es. -. ?uando apare!ca el cuadro de diáloo ' &aria5as#pci#es. :nresar G-. en el cuadro 2i&e! de c#/ia5a. acer clic en Aceptar . acer clic en Aceptar . 6initab le da el resultado de A ; .KG con una probabilidad de P ; .+-. Para decidir si se acepta o recha!a la hipótesis H 0 se toma la rela siuiente. Si !a pr#babi!idad

de teer ua ra5ó de &aria5as i3ua! a !a de !a $uestra es $e#r a - J se recha5a !a hipótesis H . 0

'n el e(emplo que anali!amos, vemos que la probabilidad de tener una A ; .KG es de +- 3, lo que implica que la probabilidad es $a(#r a - J, por lo tanto se acepta la hipótesis H 0 .

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3a Unidad. Prueba de Hipótesis

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