Con estas definiciones se construye la tabla de eventos para cada alternativa. Alternativa I: Mantenimiento correctivo Reloj
Lista de eventos futuros
T
V1
H1
V2
H 2
V3
H3
V4
H4
0
490
490
500
500
510
510
495
495
490 495 500 510 990 995 1000 1010 1499
500 0 0 0 520 0 0 0
990 990 990 990 1510 1521 1521 1521
0 0 510 0 0 0 0 505
500 500 1010 1010 1010 1010 1010 1515
0 0 0 490 0 0 500 0
510 510 510 1000 1000 1000 1500 1500
0 500 0 0 0 499 0 0
tr
nc
2. 00 Todo s 495 1. 25 1 995 1. 25 4 995 1. 25 2 995 1. 25 3 995 1. 25 1 1499 1499 1. 25 4 1499 1499 1. 25 3 1499 1499 1. 25 2
Alter Al ter nat iv a II: Man tenim ten im iento ien to pr event ivo iv o Reloj Lista de eventos futuros T
v 1
H1
V 2
H2
V3
H3
V4
H4
0
490 490
490 490
500 500
500 500
510 510
510 510
495 495
495 495
490 490
500 500
990 990
490 490
980 980
510 510
1000 1000 505 505
980 980
508 508
1488 495 495
1475 1475 500 500
1480 1480 502 502
1475 500 500
1975 490 490
1965 1965 505 505
1980 1980 510 510
tr
nc
2. 00 Todo Todo s 995 995 2. 00 Todo Todo s 1482 1482 2. 00 Todo Todo s 1985 1985 2. 00 Todo Todo s
1965
Tomando la información generada hasta el momento por cada una de las alternativas, se calcula el costo por hora de acuerdo con la siguiente expresión: C = [100 OOO n + 300 OOO M ] / T f CI = [(12)(100 000) + (12)(300 000)]/1499 = $3202.13 C II = [(16)(100 000) + (8)(300 000)]/1965 - $2035.62 Una vez realizada una estimación de los costos preliminares, es indispensable generar un modelo en lenguaje general que realice el proceso de la tabla de eventos para poder simular un número suficiente de eventos y así confirmar el resultado de que la alternativa II es la óptima, con un costo por hora de $2035.62. De hecho, si se toma el caso más crítico (alternativa I), donde solamente se generaron 12 vidas o componentes, la confiabilidad de que la vida de los componentes se acerque a la media real en ± 1 hora es:
Con este valor de t y con 11 grados de libertad, la tabla de la distribución í-student indica una probabilidad de aceptación de 0.23. Considerando una confiabilidad de un 95%, y aplicando la fórmula anterior, el número de vidas o componentes (n) que deben de generarse es 400 por cada alternativa.
El siguiente programa en PASCAL simula la alternativa I, no se incluyen las instrucciones de impresión de resultados.
El comportamiento del costo promedio de ambas alternativas, muestra una tendencia hacia el estado estable en 80 fallas de máquina.
Los resultados finales después de simular 3 réplicas de cada alternativa son: Réplica
Alternativa I
Alternativa II
1 2 3
375.79 376.10 376.73
200.48 200.25 200.36
El valor esperado de las tres réplicas y el intervalo de confianza con un nivel 1 - a = 95% para ambas alternativas son los siguientes. Alternativa I
Los resultados se pueden resumir en la tabla siguiente. Alternativa I
Alternativa II
200.36 0.0132 E(Q V(O I C (C) 376.20 0.2290 $375.1- $377. 3/hora $200.1-$200.6/hora
La selección de la alternativa de mantenimiento preventivo permite tener ahorros promedio de $175/hora con respecto a la alternativa de mantenimiento correctivo.
3.8
PROBLEMAS
3.1. Genere números aleatorios entre O y 1 con los siguientes generadores congruencia-les y determine el ciclo de vida de cada uno. XQ = 302 a) Xi + l = (40x¿ + 13)mod33 xQ = 7l fe) *¿+1 = (71jc¿ + 57)mod341 c) x¿ + 1 = (71^ + 517)modlll XQ = 171 d) x.+ 1 = (71561jc¿ + 56822117)mod341157 XQ = 31767 e) xi + l = (723*¿ + 531)mod314 X Q = 927 /) Xi+í = (452^ + 37452)modl231 XQ = 4571 g) Xi+í = (17*¿)mod37 X Q = 51 h) ^£+i = (16^ + 4)modl4 X Q = 22 Determine en cada caso, con un nivel de aceptación del 95%, si los números generados provienen de una distribución uniforme.
3.2. Genere 50 números entre O y 1 de 4 dígitos, mediante un generador de cuadrados medios cuya semilla sea a) 4567234902 b) 3567345 c) 1234500012 En cada caso calcule el valor esperado, la varianza y el histograma. Demuestre que los números generados provienen de una distribución uniforme con un nivel de aceptación del 90%. 3.3. En un listado de 200 números entre O y 1, los primeros 3 números son: 0.23222, 0.34179 y 0.76778, y los últimos 3 son: 0.56711, 0.33333 y 0.03482. Determine mediante la prueba de poker si los 200 números son independientes con un nivel de confianza del 95%. 3.4. Determine con un nivel de confianza del 95% y usando la prueba de corridas que la siguiente lista de números es una muestra aleatoria. 0.234 0.456 0.678 0.789 0.982 0.123 0 .345 0.456 0.479 0.895 0.907 0.002 0 .345 0.789 0.897 0.951 0.234 0.380 0.404 0.678 0.800 0.963 0.255 0.607 0.045 0.783 0.405 0 .899 0.277 0.341 3.5. Determine si los siguientes números de confianza del 95%. 0.88 0.53 0.42 0.39 0.80 0.54 0.53 0.82 0.01 0.91 0.15 0.79 0.16 0.10 0.36 0.81 0.80 0.04 0.24 0.90 0.50 0.53 0.63 0.66 0.45 0.73 0.62 0.36 0.01 0.29 0.48
son aleatorios mediante las pruebas de corridas y series utilizando un nivel 0.28 0.35 0.26 2.03
0.34 0.02 0.49 0.17
0.50 0.21 0.53 0.38
0.90 0.05 0.26 0.67
0.80 0.10 0.03 0.03
3.6. Realice la prueba de poker con un nivel de confianza del 90% para la lista de los 36 números siguientes: 0.4534 0.2311 0.7867 0.0145 0.3478 0.6777 0.3823 0.9210 0.9978 0.1237 0.0183 0.2366 0.5421 0.7789 0.1112 0.5682 0.7712 0.7887 0.4328 0.8994 0.9043 0.0013 0.5688 0.0927 0.6744 0.6726 0.8132 0.9495 0.4329 0.7654 0.9816 0.9876 0.8767 0.1211 0.3262 0.1151 3.7. Para el siguiente conjunto de números: 5, 8, 4, 7, 8, 2, 4, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 8 , 7, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5 3, 5, 6, 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 8 , 7, 1, 5, 6, 7, 3, 4, 2 , O, 1, O, O, 2, 3
realice la prueba de medias con un nivel de confianza del 95%, suponiendo que siguen una distribución uniforme entre O y 8. 3.8. Haga las pruebas de uniformidad, poker y series con un nivel de confianza del 90% para la siguiente lista de 30 números: 0.45342 0.23111 0.78673 0.01454 0.34785 0.67776 0.38237 0.92108 0.99789 0.12370 0.54211 0.77892 0.11123 0.56824 0.77125 0.78876 0.43287 0.89948 0.90439 0.00130 0.67441 0.67262 0.81323 0.94954 0.43295 0.76546 0.98167 0.98768 0.87679 0.12110 3.9.
Genere 100 números aleatorios uniformes entre O y 2.5 a partir de la siguiente expresión: x0 = 329 a) Calcule el valor esperado y la variancia de los números generados. b) Obtenga el histograma.
xi + l = (73*. + 851)modl7561
3.10. Genere números aleatorios exponenciales con media 10 min/pieza a partir de los siguientes números aleatorios uniformes entre O y 1: 0.45721 0.67213 y 0.96918. 3.11. Genere 100 números aleatorios con la siguiente distribución:
Simule el tiempo de proceso de 100 piezas y calcule media, variancia e histograma. 3.13. Genere 100 números aleatorios utilizando el generador RAND( ) del EXCEL para las siguientes distribuciones de probabilidad: a) Normal(p, = 10, a = 4) 6) Weibull(y - 100, (3 - 20, a - 2) c) Exponencial (a = 15) d) Triangular (a = 10, b = 15, c =18) é) Erlang(a - 10, k = 3) Calcule en cada caso, la media, la variancia y el histograma y determine con un nivel de aceptación del 95% si los números generados son adecuados. 3.14.
Genere 100 números con la siguiente distribución:
Calcule el valor esperado, la variancia y el histograma. 3.15. El número de piezas defectuosas dentro de los lotes de tamaño 1000 que envía cierto proveedor sigue una distribución de probabilidad cuya función de densidad está dada por:
Simule los valores de la variable para 50 lotes consecutivos.
3.16. ¿Cuál sería la expresión final para generar números aleatorios uniformes entre 7 y 16 a partir de un generador de números aleatorios exponenciales con media igual a 11?
3.17. Los telares de tipo picañol detienen su producción de tela automáticamente al ocurrir una rotura, que un operario tiene que ir a reparar. Una simulación del sistema del tiempo de paro de las máquinas ha arrojado los siguientes resultados (en minutos): Obtenga la expresión matemática para generar los tiempos de paro. 3.18. Después de ejecutar una réplica de simulación con 325 corridas, los resultados de la variable de salida son: E(t)= 9560 y V(t)= 54. Tomando en cuenta un error de un 5%, ¿cuál es la exactitud lograda en esta réplica ?
3.19. Calcule el número de simulaciones óptimo para que el estimado no difiera más de ± (a/9) de la media con un nivel de confianza del 78%. 3.20. ¿Cuál es el número de simulaciones óptimo para que a un nivel de confianza del 95%, el valor simulado no difiera del valor real en más de ± (a/3)? 3.21. Sin utilizar el teorema de Tchebycheff, encuentre el número de corridas óptimo si se desea que la media a estimar no difiera de la verdadera en más de ± (a/8) con un nivel de confianza del 95%. 3.22. Determine un intervalo de confianza al 90% de la resistencia a la tensión de un producto. Se realizaron 6 réplicas de la simulación de la resistencia y se obtuvieron las siguientes valores (psi): 263, 274, 256, 233, 248 y 235. 3.23. Determine un intervalo de confianza del 80% al simular el desperdicio en un sistema de producción. Se realizaron 10 réplicas de dicho sistema obteniéndose los siguientes resultados de porcentaje de desperdicio: 4.28, 4.37, 3.45, 4.33, 4.25, 4.65, 4.45, 4.18, 4.29 y 4.00. 3.24. Determine un intervalo de confianza al 95% del tiempo de espera en un sistema. Se realizaron 3 réplicas de la simulación de la fila y se obtuvieron los siguientes tiempos: 9.78, 8.67 y 9.83. 3.25. Determine un intervalo de confianza al 90% de las utilidades promedio/día de un sistema de ventas por TV. Se realizaron 5 réplicas de la simulación de las ventas y se obtuvieron las siguientes utilidades: 9783, 8674, 7456, 9833 y 8005. 3.26. Suponiendo que los resultados de los costos de las políticas del problema anterior, ya en estado estable hayan sido las siguientes: Réplica
1
2
3
771 = 4 771 = 6
15200 15340
15870 15800
16 125 14930 15780
4
5
15800
Determine mediante la prueba estadística más apropiada con un nivel de confianza a = 5%. ¿Cuál de las dos políticas es la mejor? 3.27. Si los datos experimentales del funcionamiento de cierta máquina durante 40 días arroja una media de 16 goets/día, con una desviación estándar de 2 goets/día, y nuestro modelo de simulación con 50 corridas indica una media de 14 goets/día con una desviación de 1.8 goets/día. Determine si hay una diferencia significante entre ambas medias, con un nivel de confianza del 95%. 3.28. Los datos reales del desperdicio de una planta durante una semana son 15, 17, 9, 12, 11, 14, 13. La realización de un modelo de simulación arroja los siguientes resultados del desperdicio de la planta: 13, 14, 17, 8, 10, 9, 12, 12, 14, 12, 9, 11. ¿Son los resultados de la simulación similares a los reales con un nivel de confia-bilidad del 95%? 3.29. La empresa FATSA ha observado el comportamiento de la demanda de carburadores durante 8 días y los datos que obtuvo fueron los siguientes: 115, 105, 97, 96, 108, 104, 99 y 107. Corriendo el modelo de simulación de inventarios, durante 10 días, encontró que la demanda se comportaba normalmente con X 2 —
108 y s2 = 8.1. ¿Son los resultados de ambas muestras estadísticamente iguales con un nivel de confianza del 90%? 3.30. Los telares de tipo picañol detienen su producción de tela automáticamente al ocurrir una rotura, que un operario tiene que ir a reparar. Una simulación del sistema del tiempo de paro de las máquinas ha arrojado los siguientes resultados (en minutos): 1.88 3.53 1.42 0.39 0.80 0.54 0.53 1.28 0.34 5.50 1.90 1.80 0.82 0.01 4.91 0.15 0.79 2.16 0.10 0.35 0.02 0.21 0.05 1.10 0.36 2.81 0.80 0.04 0.24 0.90 1.50 0.26 1.49 0.26 1.03 0.53 0.63 0.66 0.45 1.73 2.62 0.36 2.03 0.17 0.38 2.67 2.03 1.00 4.29 0.48 El supervisor del departamento de telares, de acuerdo con su experiencia, indica que en la realidad el tiempo de paro de la máquina es aproximadamente exponencial con media de 1.4 minutos. Determine si el modelo de simulación arroja resultados estadísticamente iguales a la opinión del supervisor con un nivel de confianza de 5%. 3.31. Los datos reales, durante 7 días, del porcentaje de desperdicio en una planta productora de chocolate son: 5, 15, 25, 7, 9, 13, 10. Un modelo de simulación del porcentaje de desperdicio de chocolate durante 10 corridas arrojó los siguientes resultados: 6, 9, 7, 2, 11, 5, 6, 7, 11, 4. Valide los resultados del modelo de simulación con la realidad con un nivel de aceptación del 95%. 3.32. Simule el número de piezas defectuosas de 100 lotes consecutivos, sabiendo que esa variable aleatoria sigue una distribución geométrica (p = 0.5, k = 1,2,3, . . .). Si se tiene un costo de $500 por cada pieza defectuosa, calcule el costo promedio por lote. 3.33. Si se define t como el tiempo que transcurre antes de que falle una máquina y dicho tiempo sigue la distribución de probabilidad dada por: Simule el comportamiento del tiempo de funcionamiento de la máquina.
3.34.
La manufactura de cierta pieza consta de 3 operaciones básicas. El tiempo que se requiere para completar la primera operación es exactamente 10 minutos; el tiempo necesario para dar por terminada la segunda etapa está distribuido exponencial-mente con media de 12 minutos/pieza, finalmente el tiempo de la tercera etapa se distribuye uniformemente entre 15 y 22 minutos. Simule el proceso y determine el valor esperado y la varianza del tiempo de producción por pieza. 3.35. Una compañía produce automóviles deportivos a razón de 10 unidades por año. Cada automóvil está garantizado por un periodo de 4 años. El costo de producir un automóvil con una vida promedio de w años es C m , donde: Cm = 5 + 4m + 0.2/n2 El tiempo que transcurre para que un automóvil falle sigue una distribución de probabilidad exponencial con media de m años. Cada falla que ocurra durante el periodo de garantía le cuesta a la compañía $6.67. Simule con m = 4 y m = 6 y determine cuál de las dos políticas es mejor. 3.35. En un departamento de producción donde solamente existe una máquina y un almacén de materia prima de capacidad 3 se ha clasificado como un sistema (. . . / ... /I) (FCFS/4/oo). Por un error el analista no pudo obtener las tasas promedio de entradas y salidas del sistema ni sus distribuciones de probabilidad, pero a cambio de eso pudo obtener la probabilidad de pasar de un estado a otro entre observaciones consecutivas de acuerdo con la tabla siguiente:
Si el tiempo que transcurre para pasar de cualquier estado a otro es de 30 segundos, simule con el fin de determinar cual es el número de piezas promedio que están en este sistema, sabiendo que el sistema se encuentra inicialmente en estado 3. 3.37. Considere un puesto de "hot dogs" que se venden a $8 cada uno y se tiene un costo unitario de $4. La demanda por hora está dada por: Demanda Probabilidad
1 .05
2
3
4
5
6
7
8
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
Simule este problema durante 50 horas y obtenga la gráfica de estabilización y la tabla de frecuencias de la utilidad por hora. 3.38. Un vendedor de tortas produce 50 tortas diarias a un costo de $1000/torta y las vende en la Macroplaza a un precio de venta de $3000/torta. Las tortas que no vende las tiene que tirar al final del día, sin embargo, el vendedor aún no tiene permiso del ayuntamiento para tirar el producto en los basureros de la Macroplaza, por lo que si llegan a descubrirlo tirando las tortas le impondrán una multa de $30 000. La demanda de tortas se comporta de la siguiente manera: Demanda
10
20
25
30
50
70
100
Probabilidad
0.1
0.2
0.4
0.1
0.1
0.005
0.005
La probabilidad de que la policía descubra al vendedor tirando l as tortas es del 25%. Con base en esta información y haciendo 3 répli cas de una semana cada una calcule: o) ¿Cuál es el número promedio de tortas no surtidas? b) ¿Cuál es el número promedio de tortas que hay que tirar? c) ¿Cuál es la utilidad promedio por día? d) Si el permiso para tirar tortas en los basureros cuesta $ 20 000 por semana, ¿conviene comprar el permiso o seguir tirando las tortas sin ese permiso? 3.39. Una compañía de autotransportes demanda gasolina a una tasa N(8500, 100) galones/mes. Esta compañía posee sus propios tanques-de almacenamiento, que son surtidos por PEMEX según necesidades. El costo de ordenar es de $1000/pedi-do. El costo de la gasolina es 75 centavos/galón, el costo de mantener gasolina en los tanques es 1 centavo/galón/mes y el costo de faltante es 30 centavos/galón/mes. El tiempo de entrega de una carga de gasolina a la compañía es 7 ± 4 días con distribución uniforme. Simule el sistema y determine con qué frecuencia deben hacerse los pedidos y cuál debe ser el volumen adecuado con el fin de minimizar costos. 3.40. El departamento de programación de la producción ha entregado el siguiente programa para el turno matutino en la máquina XXXI: Tipo de pieza
Hora de inicio
Duración promedio (min)
2 PX-3 QR-9 PA-12 9:00 9:50 10:40 11:20 14 0° ZC-8 Fin de 14:00 trabajo
Sin embargo, físicamente se observan variaciones con respecto a lo esti mado, de acuerdo con:
De manera similar, la duración de la operación puede hacerse en el tiempo programado, más rápida o más lentamente, de acuerdo con la siguiente tabla: Duración
Probabilidad
80% del tiempo 0.3 0.6 0.1 100% del tiempo 110% del tiempo
Entre cada lote es necesario llevar a cabo una operación de limpieza con una duración variable de acuerdo con una distribución exponencial, con media de 20 minutos. Simule el programa de producción 100 veces y calcule la hora estimada de terminación del programa de producción. 3.41. Una empresa produce 100 000 artículos/año y el costo de calidad es de $900/artí-culo. La empresa da una garantía de reparación por artículo de 4 años para todas las veces que sea necesario en ese periodo; el costo de reparación promedio es de $100 ± 25. La empresa ha estimado que el tiempo promedio de vida antes de una reparación de los artículos sigue una distribución Weibull(2, 2, 2)años. Realice una simulación de los primeros 1000 artículos y determine el costo total en que incurre la empresa considerando costos de calidad y costos de garantía. 3.42. Las especificaciones de la temperatura de un líquido en un proceso indican que debe mantenerse entre -0.5°C y +0.5 °C. Las variaciones naturales de la temperatura se pueden modelar con la función de densidad triangular(-1, O, + 1) °C. La temperatura se verifica cada hora y si el valor se encuentra fuera de las especificaciones se debe ajustar a O °C con un costo de $50 por cada 0.1 °C. Simule un periodo de 50 horas y determine el costo promedio/hora de este proceso. 3.43. Llegan piezas a un taladro cada 3 minutos con distribución exponencial. El tiempo de proceso es constante y depende de la dureza de las piezas de acuerdo con la ecuación dureza tiempo =
^o~
El 30% de las piezas tiene una dureza de 150, el 40% tiene una dureza de 180, el 20% una dureza de 195 y el resto una dureza de 215. El taladro tiene fallas cada 15 horas con distribución exponencial y el tiempo de reparación es de 30 minutos con distribución exponencial. Simule el sistema durante un mes y determine la utilización del taladro y el tiempo en el sistema incluyendo la espera y el proceso. 3.44. Un montacargas tiene una capacidad de 200 kg y es utilizado para transportar 3 / hasta B. El peso de cada tipo de producto y el tiempo entre llegada al punto A son:
tipos de productos desde A
Tipo de producto
Peso (kg)
Tiempo entre llegadas (min)
123
100 50 25
/(¿) = 0.22<¿<7 Constante (Gmin) Exponencial (3min)
El montacargas arranca de A sólo si está completamente cargado. El tiempo de viaje en un solo sentido es 1 minuto y la descarga 2 minutos con distribución Erlang (k = 2). Simule y determine el tiempo promedio de espera de un producto tipo 2 en A. 3.45. La empresa CAFUSA tiene asignado un camión especial para el transporte de cajas. Dicho camión realiza 5 viajes al día y en cada viaje transporta todas las cajas que su capacidad le permita. La capacidad del camión es 625 kg y el peso de las cajas (p) sigue la siguiente distribución de probabilidad:
Determine, después de simular un mes, el número de cajas promedio transportadas por día. 3.46. La taquería Paco's Tacos se especializa en tacos de soya. Sin embargo, no es lo único que vende, los clientes también compran refrescos, hamburgesas, emparedados, etcétera. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue la distribución de probabilidad:
En general, los clientes llegan en grupo y se ha observado la siguiente tendencia: Tamaño del grupo
1
2
4
Probabilidad
0.4
0.3
0.3
Cada cliente consume entre O y 2 órdenes de 5 tacos cada una de acuerdo con la función: Ordenes/persona
0
1
2
Probabilidad
0.2
0.65
0.15
El tiempo para comer una orden puede representarse por la función: Tiempo (min/orden)
10
15
20
25
Probabilidad
0.1
0.4
0.3
0.2
Si un grupo entra al restaurante, el tiempo de estancia está determinado por el individuo que más tarde en comer. El número de mesas del restaurante es 6 (4 de 2 personas y 2 de 4 personas). Si llegan 1 o 2 personas no podrán ocupar una mesa para 4 personas. El precio por orden es de $400, el costo por orden es de $200 y el salario de cada uno de los 2 meseros es de $30007 hora. Simule el sistema para obtener: a) Utilidad total ¿>) Probabilidad de no encontrar mesa disponible. c) Número de clientes máximo en la cola. d) Tiempo promedio de espera en la cola. é) Tiempo promedio de comida por grupo. /) Tamaño de grupo promedio. g) Tiempo entre llegadas promedio. 3.47. Los habitantes de San Juan Tesquiantongo, ubicado en el sureste del país, se dedican a la siembra de maíz. Ya que la producción total del pueblo representa el 90% de la producción total del país, el gobierno considera de suma importancia mantener las cosechas en buen estado. Los factores más importantes de las cosechas de maíz son: agua, sol y fertilizantes. La SRHPS tiene estadísticas de las condiciones meteorológicas que han prevalecido en la región durante los últimos 63 años y un resumen de ellas muestra la probabilidad de que haya sol, lluvia o nublados dependiendo del clima del día anterior: Sol Sol Nublados
Lluvia 0.8 0.4 0.6
Lluvia
Nublados
0.1 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3
El fertilizante debe colocarse al inicio de la temporada de siembra, sin embargo, por problemas de transporte, el tiempo de entrega del fertilizante sigue una distribución exponencial con media de 4 días. El éxito de la cosecha depende de la forma en que estos factores se den durante los primeros 10 días de la siembra de tal forma que se ha obtenido una relación entre la producción anual y los factores ya mencionados de acuerdo con: Producción = 3350 + 250(P(sol)) + 390(P(lluvia)) - 150(P(nublados)) - 600* donde: P(sol) = probabilidad de que haya sol durante los primeros 10 días. P(lluvia) = probabilidad de que llueva durante los primeros 10 días. P(nublados) = probabilidad de nublados durante los primeros 10 días.
t = días de retraso en la entrega de fertilizante. Simule el proceso con el fin de obtener las toneladas anuales durante 20 años.
3.48. La paletería Frío Delicioso, S. A. desea abrir una sucursal en Alaska, lugar donde se consume la más alta cantidad de nieve per cápita en el verano. Sin embargo, en verano el clima existente es muy variable de acuerdo con la siguiente tabla: so
oso
ntoso
toso
bilidad Las ventas de nieve se comportan en forma diferente para cada clima de acuerdo con las siguientes distribuciones: Caluroso Ventas (kg/día) 10 Probabilidad 0.2
20 0.3
0.5
20 0.4
0.3
30
40 0.0
30
40 0.1
Nebuloso Ventas (kg/día) 10 Probabilidad 0.2 Tormentoso Ventas (kg/día)
siguen una distribución uniforme entre 0 y 25 kg.
Espantoso Ventas (kg/día) 0 Probabilidad
1 0.8
0.2
Si la venta por kg es de $100 y los costos de producción fijos son $ 2000/día, simule y determine: a) ¿Cuál es la utilidad promedio/día? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el día sea nebuloso? 3.49. Diseñe y construya un modelo de simulación que calcule la integral de la función:
3.50. Imagine que tiene un lápiz de 8 cm de longitud y lo va a lanzar aleatoriamente al piso. Los mosaicos del piso miden 40 x 40 cm. Diseñe un modelo de simulación para determinar la probabilidad de que el lápiz, toque al caer cualquiera de las uniones que se forman entre los mosaicos. 3.51. Una tienda vende 2 tipos de camisas: la VCD y la MCHSTS. El tiempo entre llegadas es de 4 min/cliente con distribución exponencial. Es una tienda pequeña por lo que solamente requiere un empleado. El 25% de los clientes que entra no compra y utilizan al empleado durante 1.5 minutos. El 50% compran una camisa tipo VCD y la tienda obtiene una utilidad de $225/camisa, el tiempo que toma realizar la transacción sigue una distribución uniforme entre 3.1 y 3.6 minutos. El 25% restante entran a la tienda y compran la camisa tipo MCHSTS y la tienda obtiene una utilidad de $700/camisa, el tiempo que se requiere para cerrar la venta sigue una distribución exponencial con media de 7 minutos. La tienda abre 4 horas/día y es su política que el empleado siga atendiendo a todos los clientes que se encuentren dentro de l a tienda al cerrar. Simule l as actividades diarias y obtenga: a) La hora en que el empleado se va a su casa. b) ¿Cuál es el valor estimado de las utilidades diarias? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar antes de ser atendido? 3.52. En la ampliación de la calle Francisco J. Carranza, se ha cerrado a la circulación uno de los carriles en un tramo de 500 m para su pavimentación. Debido a que la calle es de doble sentido, la Dirección de Tránsito ha
colocado dos semáforos, uno en cada extremo del carril en reparación, con el objeto de controlar el flujo de vehículos en un sentido y otro.
Cuando el semáforo cambia a verde, los vehículos que están esperando, cruzan con un intervalo de 2 segundos entre ellos. Si un auto llega y encuentra el semáforo en verde y no hay autos delante, pasa sin hacer cola. El tiempo entre llegadas de automóviles sigue una distribución exponencial, con media de 12 y 9 segundos para los autos de la dirección 1 y 2, respectivamente. El ciclo del semáforo consiste en lo siguiente: verde el semáforo 1, ambos rojos, verde semáforo 2, ambos rojos, y el ciclo se repite. El tiempo en que ambas luces permanecen en rojo es 55 segundos, para permitir a los autos en tránsito recorrer la sección de reparación antes de que empiecen a avanzar los de la dirección contraria. El objetivo es determinar el tiempo óptimo que debe permanecer el verde en ambas direcciones, de tal manera que se minimice el tiempo de espera promedio de los autos en ambos sentidos. 3.53. A un torno manual llegan 2 tipos de piezas. El tiempo entre llegadas de las piezas tipo A al almacén 1 del proceso sigue una distribución uniforme (5, 7) minutos/pieza. Un operario toma las piezas del almacén para ser torneadas. El tiempo de torneado sigue una distribución uniforme (1, 3) minutos/pieza. Después de lo cual las piezas se enviaran a otro departamento. El tiempo entre llegadas de las piezas tipo B al almacén 1 en proceso sigue una distribución uniforme (3, 5) minutos/pieza. El operario toma las piezas de acuerdo con un proceso de primera pieza que llegue, primera pieza procesada, no importando si es de tipo A o B. Simule el sistema con el fin de obtener la utilización del torno, el inventario promedio de piezas en el almacén 1 y el riempo de espera promedio en dicho almacén. a) Simule el sistema hasta se produzcan 4000 piezas del tipo A. ¿Cuántas de tipo B se produjeron? b) Simule el sistema para que se produzcan 75 piezas de tipo B. ¿Cuántas de tipo A se produjeron? c) Simule el sistema hasta que se produzcan 314 piezas en total. ¿Cuántas piezas tipo A se produjeron? ¿Cuántas tipo Bl ¿Cuánto tiempo transcurrió para procesar las 314 piezas? d) Simule el sistema 24 horas. ¿Cuántas piezas en total se produjeron? ¿Cuántas piezas quedaron en el almacén 1 al terminar la corrida de simulación? 3.54. En la producción de engranes de acero al carbón, es necesario que éstos sean fresados y taladrados y se dispone de un solo operario para ambas operaciones. El flujo de producción es: 1. Las piezas llegan a un almacén que se encuentra antes de la operación de fresado. Los engranes son llevados al almacén cada 24 horas y en lotes de 100. 2. El operario toma un engrane y realiza la operación de fresado en un tiempo exponencial con media 5 minutos/engrane, en seguida realiza la operación de taladrado en un tiempo exponencial con media 4 minutos/engrane. 3. Coloca el engrane en un almacén de producto terminado y repite la operación con un nuevo engrane. Las condiciones bajo las que el operario trabaja son las siguientes, al iniciar el turno trabaja durante 3.5 horas, enseguida toma un descanso de 1 hora después del cual reanuda su labor durante otras 3.5 horas y entonces da el relevo al operario del turno siguiente, permitiendo continuar con el proceso las 24 horas del día. Se desea analizar el sistema de producción durante 2 días para determinar: a) La cantidad de piezas que se producen. b) La cantidad promedio de piezas en inventario. c) El tiempo promedio que una pieza tiene que esperar en el almacén. d) El comportamiento del almacén 1 durante las 48 horas. é) ¿Considera adecuado llevar 100 piezas al día al almacén 1? En caso afirmativo justifique su respuesta, en caso negativo, indique cuántas piezas deben alimentarse al almacén cada 24 horas.
Fabricar válvulas de alta presión requiere dos grandes procesos en serie: proceso químico y proceso físico. El tiempo de producción en el proceso químico sigue una distribución exponencial(10 min/válvula), la gerencia considera esto adecuado para las necesidades de la empresa. Sin embargo, no está muy segura de que el proceso físico pueda soportar esa carga de trabajo, por ello se desea hacer un estudio en esta área. El flujo de operaciones en el proceso físico es el siguiente: moldeado —» formado —» templado —> torneado —> fresado —> esmerilado
Cada operación tiene una máquina que puede procesar solamente una pieza; las operaciones de moldeado, templado, torneado, fresado y esmerilado pueden procesar válvulas con una distribución exponencial (lOmin/válvula). La operación de formado tiene la ventaja de tener un robot que forma piezas a una tasa constante de 8.5 min/válvula gracias a un sistema de CNC. Se trabajan las 24 hrs del día. Para la construcción de la nueva red de drenaje de la Ciudad de México, ha llegado un pedido de 880 válvulas, las cuales se tienen que entregar en un lapso de 7 días. El departamento de ventas ha hecho cálculos y decide que la empresa tiene la capacidad de producirlas en ese lapso. ¿Está de acuerdo con los cálculos de ventas? Si la respuesta es afirmativa, ¿podría disminuir la velocidad del robot a 11 min/válvula y cumplir con el pedido?, ¿podría cumplir con un pedido de 920 válvulas con la velocidad original del robot? Si la respuesta es negativa, ¿por qué no se logró?, ¿qué tendría que hacer para lograrlo? 3.56. La compañía FATSA, dedicada a la distribución de carburadores para automóviles, tiene una demanda diaria que se estima con distribución N(100, 30) carburadores. Se cuenta con un almacén de 1200 carburadores de capacidad. FATSA compra los carburadores directamente de fábrica y el tiempo de entrega de la fábrica a FATSA se ha estimado como exponencial con media de 5 días. Los costos en que se incurre por manejar este producto son los siguientes:
El gerente de logística desea conocer la política óptima de inventario que debe seguirse con el propósito de minimizar los costos totales para la situación actual y para un escenario donde la demanda sea 30% mayor. 3.57. Una pequeña tienda de abarrotes consta de 5 pasillos y 3 cajeras. Los clientes llegan a la tienda con una distribución exponencial cuyas medias se muestran en la siguiente tabla: Hora
Media (seg/clientes)
8:45 - 10:00 10:00- 12:00 12:00- 15:00 15:00- 18:00 18:00 - 20:00
75 60 120 75 90
Después de llegar, cada cliente toma uno de los 30 carritos disponibles y se dirige hacia uno o más pasillos para seleccionar los artículos que desea comprar. Los clientes empiezan a llegar a partir de las 8:45 A.M. La tienda abre sus puertas a las 9:00 A.M y cierra a las 8:00 P.M. Se ha observado que cuando no hay carritos, el 60% de los clientes se va, el 30% espera a que se desocupe un carrito y el 10% entra sin esperarlo. La probabilidad de ir a un pasillo en particular, el tiempo requerido para cruzar el pasillo y el número de artículos seleccionados en cada pasillo se muestran a continuación:
Pasillo 1 2 3 4 5
Número de artículos seleccionados durante Probabilidad de Tiempo requerido la estancia en el entrar al pasillo para recorrerlo (s) pasillo 3±1 0.50 120 ±60 0.85 150 ±30 4± 1 5±1 0.30 120 ±45 5±1 0.75 120 ±20 7±2 0.62 100 ± 50
Al terminar sus compras, los cuentes se dirigen hacia la sección de cajas. En esta área, cada cliente selecciona 2 ± 1 artículos de caja (revistas, navajas de rasurar, etcétera) para comprarlos. El tiempo de servicio depende del número de artículos de cada cliente y se estima en 3 seg/artículo. La cantidad de dinero que cada cliente paga depende de los artículos. El precio/artículo se estima que sigue una distribución 7V(900, 10 000). Después de pagar el cliente deja el carrito disponible y abandona el sistema. Simule la tienda durante 1 día, al final del cual ningún cliente debe permanecer dentro de la tienda. 3.58. A un proceso de inspección llegan motores de acuerdo con una distribución Poisson con promedio de 27 motores/hora. Se cuenta con un proceso de inspección doble colocado en serie. La primera inspección la realiza un solo inspector que verifica la parte exterior del motor en un tiempo promedio de 2 minutos con distribución exponencial, en este punto se rechazan el 12% de los motores y salen del sistema como desperdicio. El resto son enviados a un robot que verifica la parte interna en un tiempo promedio de 2.4 minutos/motor. De esta segunda inspección el 6% del producto es defectuoso. Se cuenta con almacenes de producto en proceso de grandes dimensiones de tal forma que todas las piezas que no puedan ser inspeccionadas
Los costos por sueldos de mano de obra son $1500/hora-inspector y $3000/hora-robot; el costo de mantener un inventario de motores se estima en $100/hora-motor. a) Encuentre el inventario promedio de motores en cada uno de los almacenes. b) Determine el costo total/hora de esta situación. Debido a ampliaciones del proceso de producción de motores, se han iniciado trabajos de construcción en la planta y existe la necesidad de recortar la capacidad del almacén entre ambas inspecciones; se decidió cambiar la distribución de trabajo de tal manera que se tengan dos robots en paralelo donde cada uno de ellos, al tomar un motor, realice las dos inspecciones, respetando los tiempos anteriores.
Una vez hechas ambas inspecciones se estima una pérdida del 18% de los motores. a) Encuentre el inventario promedio de motores. b) Determine el costo total/hora de esta nueva situación. 3.59. El tiempo entre llegadas al departamento de habilitado de los brazos, tapas y fondos para la producción de guitarras continua con la siguiente función de densidad de probabilidad siguiente. En general, las piezas llegan en lotes de 3 diferentes tamaños de acuerdo con la tabla:
Tamaño del lote
1
2
4
Probabilidad
0.5
0.3
0.2
Cada pieza se procesa usando de 1 a 3 operaciones de acuerdo con la siguiente tabla: Operaciones/pieza
1
2
3
Probabilidad
0.3
0.6
0.1
El tiempo para procesar cada pieza depende, básicamente, del número de operaciones que se le realicen. En la siguiente tabla se muestra el tiempo en minutos/operación: Tiempo de proceso
10
15
20
30
Probabilidad
0.1
0.6
0.2
0.1
En el departamento de habilitado existen 6 sierras de cinta 100% automáticas; 4 de ellas con capacidad de proceso de 2 piezas simultáneas y las 2 restantes con capacidad de 4 piezas simultáneas. En caso de que lleguen lotes de tamaño 1 y 2 no es conveniente utilizar las sierras con capacidad de 4 piezas. El procedimiento que se sigue actualmente es el siguiente: 1. Llegada del lote. 2. Cargar el lote en la máquina. 3. Procesar las piezas simultáneamente en la sierra pero teniendo en cuenta que cada pieza tiene diferente tiempo de proceso. 4. Descargar la máquina cuando todas las piezas del lote hayan sido procesadas. 5. Cargar el nuevo lote. El costo/operación es $700 y el salario de los 2 operarios que manejan las sierras es $1500/hora cada uno. Simule el sistema y determine. a) Costo total. b) Probabilidad de que al llegar un lote no haya sierra disponible. c) Número de piezas máximo esperando ser procesadas. d) Tiempo promedio de espera de las piezas antes de ser procesadas. e) Tiempo de proceso promedio (simulado) por lote. /) Tiempo promedio simulado entre la llegada de un lote y el siguiente. g) Tamaño promedio simulado de lote. 3.60. El fabricante de cierto artículo electrónico ensambla sus productos en una línea semiautomática. Una de las piezas del artículo se produce en el interior de la empresa, a un ritmo de 10 000 unidades por semana. Cada semana se inspeccionan 5 piezas para determinar si la producción de dicha semana satisface las normas de calidad establecidas. En caso de que 1 o más piezas de las 5 seleccionadas sea defectuosa se rechaza toda la producción de la semana. La
probabilidad de que un lote se acepte o se rechace depende del porcentaje de unidades defectuosas que contenga el lote. Este porcentaje está dado por la siguiente función de densidad:
El costo de muestreo es $2.50 por cada unidad inspeccionada. Si hay rechazo, se elimina toda la producción de la semana a un costo de $2.00/pieza. Si se acepta un lote y pasa a la línea de ensamble, habrá un costo de $25/pieza defectuosa no detectada en el muestreo. Las piezas que se muestrean se destruyen automáticamente por la naturaleza misma de las pruebas de muestreo. Simule el sistema con el fin de determinar el costo promedio semanal de esta política de muestreo. 3.61. El departamento de tránsito de Monterrey desea simular el cruce de las calles Rayón con Aramberri de las 8:00 a las 10:00 horas para obtener las estadísticas pertinentes. Ambas calles son de un carril y se representan en el siguiente diagrama.
Por Rayón de las 8:00 a las 9:00 horas circulan 20 carros/min y de las 9:00 a las 10:00 horas 30 carros/min. Por Aramberri circulan 40 autos/min durante las 2 horas. El semáforo que se encuentra allí tiene la siguiente programación; el verde para los que circulan por Aramberri permanece durante 40 segundos y el rojo 30 segundos. Cuando el semáforo se pone en verde, el tiempo de reacción es 2 segundos. Simule el sistema durante las dos horas y obtenga una tabla de frecuencias para el tiempo de permanencia de los autos en el sistema.
3.62. A un sistema de producción llegan piezas de tipo A cada 5 + 3 minutos y piezas tipo B cada 3 ± 2 minutos. Las piezas A pasan por el departamento de tornos cuyo tiempo de proceso es 8 ± 3 minutos, al salir de este departamento el 25% son defectuosas y deben reprocesarse, el 75% son buenas y salen del sistema hacia ventas. Las piezas B pasan primero por el departamento de fresas donde el tiempo de proceso es de 9 ± 3 minutos y, después, por el departamento de tornos donde el tiempo de proceso es de 3 ± 1 minutos al salir de este departamento se estima que el 5% son defectuosas y deben reprocesarse desde el principio; el 95% restante sale del sistema para su venta. a) Simule 1 mes y determine el mínimo número de tornos y fresas para que ambos productos fluyan continuamente a través del sistema. Indicando el número de piezas A y B producidas durante el mes. b) Resuelva ahora considerando fallas de los transformadores de energía del departamento de FRESAS. Cada 15 horas, con distribución exponencial, ocurre una falla de energía eléctrica y el tiempo para levantar de nuevo la energía es de 15 ± 8 minutos. 3.63. Una compañía tiene 2 fábricas, A y B, que se encuentran en la misma zona urbana. La compañía tiene un sistema de transporte entre ambas con un solo autobús. El transporte sale de A al inicio de cada día; este autobús arranca hacia la otra fábrica hasta que lo hayan abordado TV personas. El tiempo de recorrido es 7V(31, 9)min. Los pasajeros llegan a la terminal de la fábrica A y B a una tasa promedio de 9 y 5 pasajeros/hora, respectivamente, ambas con distribución Poisson. ¿Si se considera un tiempo 5 s/persona para abordar, determine el valor de N que minimice el tiempo medio de espera por persona. 3.64. Dos máquinas, A y B se encuentran a 50 m una de otra. Se cuenta con un montacargas para transportar piezas de A a B. El montacargas arranca hacia B cuando se juntan N piezas. En B se descarga y regresa vacío a A. El tiempo de recorrido está distribuido normalmente ja = 3 minutos y a = 5 segundos. La máquina A produce 54 piezas/hora con una distribución Poisson. Si el tiempo para cargar y descargar las piezas es 10 seg. Calcule el valor de Ampara minimizar el tiempo medio de espera por pieza en A. 3.65. El Centro de Salud de Monterrey es responsable de administrar la vacuna oral contra la poliomielitis a los niños en edad escolar. El centro está organizado de tal forma que los padres con sus hijos formen una sola fila para recibir atención más adelante. El servicio se ofrece una vez por semana y en ese día las llegadas siguen una
distribución Poisson con media de 30 niños/hora. El director de centro sabe que la mayoría de los padres tienen que ausentarse de su trabajo para llevar los niños a vacunarse, por esto el director desea limitar el tiempo de estancia en el Centro de Salud a no más de 2 minutos. Si una sola enfermera es capaz de vacunar de acuerdo con una tasa Poisson de 20 niños/hora. ¿Cuántas enfermeras se deben programar para lograr el objetivo? 3.66. Llegan 2 tipos de clientes a una peluquería. Los que desean corte de cabello (tipo I) y los que desean corte de cabello y afeitarse( tipo II). La tasa de llegadas de los clientes tipo I sigue una distribución uniforme (10, 15) min/cliente. La tasa del tipo II sigue una distribución constante con media de 15 minutos/cliente. Solamente existe un peluquero para atender ambos tipos de clientes. El tiempo que se tarda en atender los clientes tipo I sigue una distribución exponencial con media de 25 minutos/cliente, mientras que el tiempo de servicio del segundo tipo de clientes sigue una distribución Erlang con media de 35 minutos/cliente y k = 2. Simule y obtenga el tiempo de espera promedio de cada tipo de cliente en la peluquería. 3.67. Una pequeña empresa productora de tela opera de acuerdo con un proceso de producción intermitente (job shop) con sólo 2 tipos de maquinaria. El primer tipo de máquinas produce el filamento base. Existen 3 máquinas de este tipo y en cada una se produce un hilo de diferente color: azul, rojo y blanco. El segundo tipo de máquinas toma el filamento base y produce la tela. Hay 4 máquinas del segundo tipo, de éstas, 2 producen tela delgada y las 2 restantes tela gruesa. Ahora bien, si llega una orden de producir tela delgada roja, debe usarse la máquina que produce el filamento rojo y nada más se puede utilizar una de las dos máquinas que produce la tela delgada. Después de un análisis histórico de órdenes anteriores, se ha determinado que existe la misma probabilidad de que llegue una orden de un determinado color, sin embargo, las órdenes difieren en cuanto al grosor de las telas. El 20% de las órdenes de tela azul es de tipo grueso, el 50% de las órdenes de tela roja es de tipo grueso, y el 70% de las órdenes de tela blanca es de tipo grueso. La empresa opera 8 horas por día, 5 días por semana. Las órdenes llegan a la empresa durante el día y se van juntando para procesarse al día siguiente. El número de órdenes que llegan durante el día sigue una distribución uniforme entre 80 y 110. Los tiempos de proceso en las máquinas siguen una distribución exponencial. El tiempo para procesar un filamento base delgado es 15 minutos/orden y un filamento base grueso de 20 minutos/orden, sin importar el color. En el segundo tipo de máquinas el tiempo de proceso es de 20 minutos/orden para telas delgadas y de 30 minutos/orden para telas gruesas. A pesar de que la empresa opera normalmente 8 horas al día, existe la política de continuar trabajando hasta que todas las órdenes se hayan procesado completamente, pagando $5O/hora-máquina por concepto de horas extras. Simule el sistema anterior hast a que llegue al estado estable para determinar:
a) en promedio, ¿a cuánto asciende la suma que hay que pagar por concepto de horas extras? b) ¿cuál es el intervalo de confianza de la respuesta anterior con un nivel de error del 5%? c) de acuerdo con la gráfica de estabilización, ¿cuántos días hay que simular?
