3 - Strutture isostatiche

Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica

Scienza delle Costruzioni Dispense del corso A cura di Maria Gabriella Mulas

Capitolo 3 L’analisi delle strutture isostatiche

Scienza delle Costruzioni

M.G. Mulas

L’analisi delle strutture isostatiche

Indice 1.

I vincoli e le aste: definizioni generali 1.1 I vincoli a terra 1.2 I vincoli interni 1.3 Bilancio tra gdl e gdv 2. L’analisi dello schema statico 2.1 2.1 Le strutture isostatiche di una sola asta 2.1.1 Il calcolo delle reazioni vincolari nelle strutture di una sola asta 2.1.2 Il caso delle aste iperstatiche 2.1.3 La classificazione delle strutture in base all’equilibrio. 2.2 Le strutture isostatiche composte da più aste 2.2.1 L’arco a tre cerniere 2.2.2 Il circolo chiuso isostatico 2.2.3 L’appendice isostatica 3. La procedura per il calcolo delle reazioni vincolari 3.1 Strutture che contengono anelli chiusi 4. Il calcolo delle azioni interne: definizioni generali 4.1 Le equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave rettilineo 4.2 Esempio di calcolo delle azioni interne 5. L'analisi cinematica delle strutture piane 5.1 L'analisi cinematica delle strutture piane composte da una sola asta 5.2 L'analisi cinematica delle strutture piane composte da più aste

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Riferimenti bibliografici Lo scopo di questa dispensa è di integrare le nozioni sull’analisi delle strutture isostatiche fornite nel libro di testo di Statica:

F.P. Beer, E.R. Johnston jr ., E.R. Eisenberg, Vector Mechanics for Engineers, Statics. 7 th Edition, McGraw-Hill 2004 (oppure 8 th edition, 2007). La dispensa non sostituisce il testo ma lo completa; la preparazione dell’esame richiede quindi lo studio in parallelo sui due testi, in quanto nella dispensa non si ripetono i concetti già presentati nel testo, come ad es. nel caso del calcolo delle azioni interne. Esempi di esercizi svolti o da svolgere, sia sul calcolo delle reazioni vincolari, sia sull’utilizzo delle equazioni indefinite di equilibrio e il tracciamento dei diagrammi, sono reperibili nella pagina delle dispense sul sito del corso on-line. La parte sull’analisi cinematica in coda a questa dispensa è stata lasciata solo per completezza di trattazione perché veniva svolta negli anni passati e le raccolte di esercizi svolti vi fanno riferimento. Ricordo tuttavia che NON è in programma, non viene richiesta all’esame, e la verifica dello schema statico deve essere fatto secondo le procedure delineate nel capitolo 2. Milano, 6.12.2008


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1. I vincoli vincoli e le aste: definizioni generali Le strutture studiate in questo corso sono composte da elementi, detti aste, in cui una dimensione (la lunghezza) è nettamente prevalente sulle altre due (larghezza e altezza, dimensioni della sezione trasversale). Da un punto di vista geometrico, l'asta è il solido che viene generato dalla traslazione di una figura piana lungo una traiettoria aperta percorsa dal suo baricentro. L’analisi di questo tipo di strutture si basa pertanto su un modello, detto monodimensionale, in cui ciascuna asta è schematizzata con una linea, che rappresenta la sua linea d’asse; su tale linea verranno applicati vincoli e carichi. Ci limitiamo al caso delle strutture piane, caricate nel loro piano, con l'ulteriore restrizione di aste aventi linea d'asse rettilinea o circolare. Nei problemi analizzati nel seguito riterremo valida l'ipotesi di piccoli spostamenti : gli spostamenti subiti dai punti della struttura per effetto dell'applicazione dei carichi esterni sono così piccoli da poter essere considerati trascurabili, se confrontati con le dimensioni globali della struttura stessa. Questa ipotesi consente di scrivere le condizioni di equilibrio della struttura con riferimento alla sua configurazione indeformata; sotto tale ipotesi pertanto le aste possono essere assimilate a dei corpi rigidi , in cui le mutue distanze tra i punti che compongono il corpo restano inalterate. I risultati della statica del corpo rigido precedentemente ricavati possono quindi essere applicati allo studio delle condizioni di equilibrio delle strutture che analizzeremo. Poiché ci occupiamo solamente di problemi statici , ha per noi interesse il solo caso delle strutture che non possiedono delle possibilità di movimento, indipendentemente dal sistema di forze a cui sono soggette. Ci occupiamo pertanto di strutture vincolate, ovvero non libere di muoversi nel piano a cui appartengono, ma dotate di dispositivi, detti vincoli , in grado di opporsi alla libera mobilità della struttura stessa. Coerentemente con il modello adottato per le aste, i vincoli sono applicati sulla linea d’asse dell’asta, in un singolo punto della stessa; non vengono considerati vincoli “distribuiti” su “distribuiti” su più punti dell’asse. La configurazione di un corpo rigido nel piano è determinata da tre parametri indipendenti, che per le aste rettilinee r ettilinee oggetto di studio possono essere assunti, ad esempio, come le coordinate di un punto dell’asta e la sua inclinazione rispetto ad un sistema di riferimento fisso (Fig. 1.1). D'altro canto anche il più generico movimento dell'asta nel piano a cui appartiene, che è la rotazione intorno ad un punto giacente nel piano stesso, è noto quando sia definita la posizione (due coordinate) del punto Ω intorno a cui avviene la rotazione, detto centro di istantanea rotazione, e il valore della rotazione stessa. I tre parametri necessari ad individuare la configurazione dell'asta prendono il nome di gradi di libertà ( gdl ) dell'asta stessa; questi parametri diventano sei qualora si consideri la posizione dell'asta nello spazio. 1

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y

θ

0

0

Fig. 1.1 – I gradi di libertà dell’asta nel piano.

I vincoli applicati all'asta hanno lo scopo di eliminare le sue possibilità di movimento. Tutti i vincoli cui facciamo riferimento in questa parte del corso sono:

•

lisci , ovvero privi di attrito;

•

bilateri , ovvero impediscono gli spostamenti in qualunque verso;

•

perfetti , ovvero privi di cedimenti in direzione degli spostamenti impediti.

I vincoli possono essere esterni , se collegano l'asta ad un riferimento fisso, convenzionalmente indicato come terra, o interni , se collegano tra di loro due o più aste. Una prima classificazione dei vincoli si basa sul numero, detto grado di vincolo ( gdv), gdv), di componenti di spostamento indipendenti che il vincolo è in grado di levare. Poiché le tre componenti indipendenti di

spostamento possono anche essere espresse come la traslazione lungo due direzioni mutuamente perpendicolari e la rotazione, ne consegue che vincoli aventi pari gdv gdv possono avere effetti geometrici del tutto differenti. Per il postulato delle reazioni vincolari precedentemente illustrato, differenti condizioni di natura geometrica si riflettono nelle reazioni vincolari che il vincolo è in grado di trasmettere all’asta.

1.1

I vincoli a terra

Le condizioni di natura cinematica e di natura statica imposte dai vincoli verranno illustrate in quanto segue relativamente ai vincoli a terra.

•

Vincolo triplo: è detto incastro (Fig. 1.2), elimina qualsiasi possibilità di movimento al punto

dell'asta a cui è applicato, e quindi all'intera asta. Fornisce all’asta un sistema di reazioni vincolari di risultante e momento risultante qualunque: due componenti cartesiani indipendenti della risultante e il momento risultante rispetto al punto su cui il vincolo agisce.

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H V

M

Fig. 1.2 – L’incastro: rappresentazione geometrica e reazioni vincolari trasmesse.

•

Vincoli doppi : eliminano solo due delle tre possibilità di movimento. La cerniera (Fig. 1.3a)

impedisce la traslazione lungo qualunque direzione (il che significa che elimina le due componenti indipendenti di traslazione) del punto cui è applicata, lasciando libera la rotazione dell'asta intorno al proprio perno (punto

(a)

∞

• Ω

Ω, Fig. 1.3a).

Ω

(b)

Ω

(c)

Fig. 1.3 – I vincoli doppi, rappresentazione geometrica: (a) cerniera; (b) (b) pattino; (c) manicotto.

• Vengono definiti come cerniere improprie il pattino (Fig. 1.3b) ed il manicotto (Fig. 1.3c), che eliminano la rotazione e una componente di traslazione, rispettivamente in direzione dell'asse dell'asta ed in direzione perpendicolare all'asse dell'asta. L'aggettivo improprio sta a significare che la traslazione che viene lasciata libera può essere vista come una rotazione intorno ad un perno

Ω posto a distanza infinita, ovvero, intorno al punto improprio improprio della retta che è

perpendicolare alla direzione della traslazione lasciata lasci ata libera.

• Le componenti indipendenti di reazione vincolare trasmesse da un vincolo doppio sono soltanto due, come illustrato in Fig. 1.4. Esse sono una forza di risultante qualunque, ma applicata in un punto fisso, il perno della cerniera, nel caso della cerniera (Fig. 1.4a); nel caso del pattino (orientato come in figura 1.3) sono una forza orizzontale, di modulo qualunque e punto di applicazione arbitrario, usualmente rappresentata tramite una forza e una coppia nel punto in cui agisce il vincolo (Fig. 1.4b). Nel caso del manicotto sono una forza verticale di modulo qualunque applicata in un punto arbitrario, usualmente rappresentata tramite una forza e una coppia nel punto in cui agisce il vincolo (Fig. 1.4c). H

H V

(a)

(b)

M

M

V

(c)

Fig. 1.4 – I vincoli doppi, reazioni vincolari: (a) cerniera; (b) (b) pattino; (c) manicotto.

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•

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Vincoli semplici : eliminano solo una delle tre componenti indipendenti di spostamento. I più

comuni sono il carrello (Fig. 1.5a), che consente la rotazione e la traslazione in direzione parallela al piano di scorrimento, impedendo solamente la traslazione in direzione perpendicolare al piano stesso, e la biella (Fig. 1.5b), asta munita alle sue due estremità di due cerniere, di cui una collegata a terra (o a un'altra asta) e l'altra collegata all'asta che sta vincolando. La biella si comporta come un carrello, in cui la direzione del piano di scorrimento è individuata dalla normale alla congiungente i perni A e B delle due cerniere di estremità. C B

A

(a)

(b) A

Fig. 1.5– I vincoli semplici: (a) carrello; (b) biella.

•

La reazione trasmessa dal carrello (Fig. 1.6a) è una forza applicata in un punto prefissato (il punto in cui agisce il carrello) e di direzione uguale a quella della normale al piano di scorrimento del carrello. La reazione che la biella AB esercita sull’asta BC è una forza F applicata in B, diretta come la congiungente AB. Se la biella è direttamente caricata lungo la sua linea d’asse da forze esterne, alla componente F , diretta come la congiungente AB, si aggiunge una seconda componente, ad essa ortogonale, che serve a soddisfare le condizioni di equilibrio locali della biella. Questo aspetto verrà discusso in dettaglio nel seguito. B V

a

F

b

Fig. 1.6 – I vincoli semplici, reazioni vincolari: (a) carrello; (b) biella.

1.2

I vincoli interni

Il primo vincolo interno da considerare è la continuità, che consente alle diverse porzioni di materia di cui è costituita la generica asta di formare il tutt’uno che noi analizziamo; essa costituisce, come è facile vedere, un vincolo triplo. Infatti due aste separate possiedono 6 gdl in in totale; se imponiamo la continuità tra il secondo estremo della prima asta e il primo estremo della seconda asta, otteniamo un’unica asta che possiede solo 3 gdl . Del vincolo costituito dalla continuità si tiene conto, nel caso delle aste aventi linea d’asse aperta, soltanto nella fase di determinazioni delle sollecitazioni 4

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trasmesse dalla generica sezione dell’asta (calcolo delle azioni interne). Occorre tuttavia considerare che un'asta avente linea d'asse chiusa può essere pensata come ottenuta da un’asta a linea d’asse aperta in cui i due punti di estremità vengano forzati ad occupare la medesima posizione: essa risulta pertanto internamente 3 volte più vincolata di un asta la cui linea d'asse sia aperta. Un vincolo interno, doppio o semplice, può essere pensato come ottenuto per degrado della continuità. Un vincolo doppio che collega tra loro due aste fornisce 2 gdv: gdv: infatti le due aste considerate separatamente hanno 6 gdl in totale; se si collega tramite cerniera (ad esempio) il secondo estremo della prima asta con il primo estremo della seconda asta, si vede che fissata la configurazione della prima asta (3 gdl ) è sufficiente un solo parametro per individuare la configurazione della seconda. Generalizzando, un vincolo doppio che collega tra loro n aste fornisce 2n 2n-2 gdv -2 gdv.. In maniera analoga a quanto fatto con la cerniera, si può mostrare che un vincolo semplice che collega due aste fornisce 1 gdv 1 gdv;; un vincolo semplice tra n aste fornisce 2n 2n-3 gdv -3 gdv.. Una cerniera e un carrello che collegano n aste a terra forniscono n ed ed n-1 gdv gdv rispettivamente. Le reazioni vincolari fornite dai vincoli interni sono dirette come quelle dei vincoli a terra e soddisfano il principio di azione e reazione, essendo azioni mutue scambiate tra aste adiacenti.

1.3

Bilancio tra gdl e gdv

Il bilancio tra i gradi di vincolo forniti alla struttura dai vincoli, ed i gradi di libertà, pari a tre volte il numero delle aste componenti la struttura, consente una prima classificazione delle strutture:

• strutture ipostatiche:

n° gdl n° gdl > > n° gdv n° gdv ; ;

• strutture isostatiche:

n° gdl n° gdl = = n° gdv n° gdv;;

• strutture iperstatiche:

n° gdl n° gdl < < n° gdv n° gdv..

Le strutture ipostatiche hanno la possibilità di uno o più movimenti rigidi; non saranno oggetto di studio in quanto esse possono stare in equilibrio (ovvero, in stato di quiete) solo per particolari valori delle forze esterne applicate. Le strutture isostatiche possiedono i vincoli nel numero strettamente necessario ad eliminare i moti rigidi, e quelle iperstatiche hanno un numero sovrabbondante di vincoli rispetto al numero minimo necessario. Il pareggio tra gdl e gdv gdv è una condizione necessaria perché non siano possibili né moti rigidi della struttura nel suo insieme rispetto ad un riferimento fisso (terra) né moti relativi tra le diverse parti che compongono la struttura stessa. Tale condizione non è tuttavia sufficiente: una disposizione di vincoli non corretta può consentire l'esistenza di moti rigidi, anche in strutture strutt ure in cui gdv cui gdv> > gdl . Occorre quindi risolvere due problemi, correlati ma distinti: (a) deve essere verificata la disposizione dei vincoli; (b) se questa è corretta, occorre determinare le reazioni vincolari. Le procedure relative verranno illustrate nel seguito. 5

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2. L’analisi dello schema schema statico La disposizione dei vincoli può essere verificata sia per via cinematica, attraverso l'analisi l'analisi cinematica che cinematica che consente di determinare se la geometria dei vincoli sia tale da garantire l'assenza di movimento, sia per via statica, attraverso l'analisi l'analisi dello schema statico, che esamina il sistema di forze fornito dalle reazioni vincolari. I due modi di procedere sono del tutto equivalenti, tenendo conto che la sostituzione di un vincolo con la relativa reazione vincolare viene effettuata sulla base del postulato delle reazioni vincolari. In quanto segue verranno illustrate in dettaglio le procedure basate sull’analisi dello schema statico, che fanno uso dei concetti di statica approfonditi nella prima parte part e del corso; sulla base dei risultati ottenuti nell’analisi nell’ analisi dello dell o schema statico si passerà pass erà ad affrontare il problema della determinazione delle reazioni vincolari. Il problema della determinazione delle reazioni vincolari è governato dalle ECS per i corpi rigidi vincolati, in cui distinguiamo il contributo delle forze attive (note) e di quelle reattive (incognite):

+ R ( r ) = 0 M O( a ) + M O( r ) = 0 R

( a)

(2.1)

Le (2.1) vengono scritte per tutte le aste che compongono la struttura, ciascuna soggetta alla parte di carico esterno e alle reazioni vincolari, dei vincoli a terra o interni, che le competono. Globalmente si ottiene un sistema di gdl di gdl equazioni equazioni lineari nelle gdv nelle gdv incognite incognite reazioni vincolari. Questo sistema ha tante equazioni quante sono le incognite solo nel caso delle strutture isostatiche; tuttavia, se i vincoli consentono delle possibilità di movimento, una o più equazioni del sistema risulterà non soddisfatta, anche in dipendenza dei carichi esterni agenti sulla struttura. L’analisi del sistema di equazioni ci consente quindi di trovare un criterio per verificare la corretta disposizione dei vincoli. Una prestazione indispensabile per qualunque costruzione, sia essa di carattere civile o industriale, è che possa essere in equilibrio sotto qualunque set di forze esterne applicate. Non è infatti possibile conoscere a priori, in forma deterministica, i carichi che saranno effettivamente agenti durante la vita utile della struttura. Le forze esterne avranno quindi risultante R(a) e momento risultante M (a) di valore arbitrario. Perché le forze reattive siano in grado di equilibrare le forze attive, occorre che anche esse abbiano le stesse caratteristiche: occorre quindi che, asta per asta, le reazioni vincolari forniscano una forza di direzione e modulo qualunque ( R(r) arbitrario) applicata in un punto qualunque del piano ( M (r) arbitrario). Se questo è vero i vincoli sono disposti in maniera corretta; nel caso opposto l’asta si dice labile, labile, ed è dotata di possibilità di movimento, finite o infinitesime. Nelle strutture di più aste la labilità di una singola asta può causare la labilità dell’intera struttura o di una sua parte; entrambe le situazioni sono tuttavia inaccettabili. Le

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procedure per la verifica della corretta disposizione dei vincoli e il conseguente calcolo delle reazioni vincolari verranno presentate nel seguito.

2.1

Le strutture isostatiche di una sola asta

La procedura per la verifica della corretta disposizione dei vincoli nelle strutture piane costituite da una sola asta offre il vantaggio della semplicità, senza levare generalità alla trattazione. Dato il postulato delle reazioni vincolari, le caratteristiche del sistema delle reazioni vincolari sono determinate dalla geometria dei vincoli sulla struttura. Esaminiamo in dettaglio i casi possibili. 1. L'asta è vincolata con un incastro (vincolo triplo) nel punto A, come indicato in Fig. 2.1a. In base al postulato delle reazioni vincolari il vincolo fornisce, nel punto A dell’asta, del l’asta, un momento e una forza di direzione qualunque, individuata da due componenti cartesiane indipendenti (Fig. 2.1b). Quindi un’asta vincolata con un incastro non è mai labile. A

H A (a)

M A

V A

(b)

Fig. 2.1 – L’asta incastrata: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma diagramma di corpo libero.

2. L’asta è vincolata con un vincolo doppio in A e uno uno semplice in B, disposti disposti come illustrato in Fig. 2.2a. Le reazioni vincolari, illustrate in Fig. 2.2b, sono costituite da una forza verticale in B e da due componenti cartesiane indipendenti in A, qui rappresentate con una componente orizzontale e una verticale. L’insieme delle tre forze è in grado di fornire una risultante qualunque applicata in un punto qualunque, perché la forza in B, sommata a quella in A, dà luogo a una risultante che non è più applicata in A (lo è solo se la forza in B ha modulo nullo). A

B

H A V A

(a)

(b)

V B

Fig. 2.2 – L’asta cerniera-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma diagramma di corpo libero.

A

B

H A

H B V A

(a)

(b)

Fig. 2.3 – L’asta cerniera-carrello labile: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

Se il carrello è posizionato come indicato in Fig. 2.3a, la sua reazione passa per la cerniera in A, punto di applicazione delle reazioni della cerniera stessa (Fig. 2.3b). Le reazioni vincolari in 7

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questo caso hanno risultante qualunque, ma applicata nel punto A, e possono riequilibrare solo un sistema di forze attive che abbia le stesse caratteristiche. Il ragionamento non cambia se la cerniera è impropria (Fig. 2.4a). Le reazioni vincolari forniscono un sistema con risultante e momento risultante qualunque in quanto il vincolo in B fornisce la componente verticale del risultante, mentre il vincolo in A fornisce la componente orizzontale e il momento necessario a far si che la risultante sia applicata in un punto qualunque (Fig. 2.4b). Se il carrello ha piano di scorrimento verticale (Fig. 2.5a) il sistema delle reazioni vincolari in Fig. 2.5b è applicato in un punto qualunque ma ha risultante orizzontale; l’asta cosi vincolata è quindi labile. A

B

H A

(a)

M A

(b)

V B

Fig. 2.4 – L’asta pattino-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

B

A

H A

(a)

M A

H B (b)

Fig. 2.5 – L’asta pattino-carrello labile: (a) configurazione geometrica; geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

Da quanto illustrato si può dedurre la condizione di labilità dell’asta cerniera-carrello: Un’asta vincolata con un vincolo doppio e un vincolo semplice è labile quando la retta che definisce la direzione della reazione vincolare del vincolo semplice (normale al piano di scorrimento del carrello o congiungente i perni delle due cerniere di estremità per la biella) contiene il punto, proprio o improprio, su cui è applicato il vincolo doppio. Il movimento reso possibile dalla labilità è la rotazione intorno al punto su cui è applicato il vincolo doppio: se si tratta di un punto improprio il movimento possibile è una traslazione in direzione perpendicolare a quella identificata dalla direzione della retta cui appartiene il punto improprio. Un’asta isostatica labile ha una possibilità di movimento. Da questo punto di vista esiste una differenza tra la labilità dell’asta in Fig. 2.3 e quella in Fig. 2.1. Nella situazione di Fig. 2.3 l’asta può ruotare intorno al punto A, perno della cerniera, cernie ra, e il moto di B è descritto da un arco di circonferenza. Poiché il vincolo in B non consente spostamenti orizzontali, è possibile solo una rotazione di ampiezza infinitesima, in modo che lo spostamento del punto B possa essere confuso con la tangente all’arco di circonferenza nel punto B stesso. “Moto infinitesimo” va qui inteso come moto di ampiezza molto piccola rispetto alle dimensioni longitudinali dell’asta. Se il sistema delle forze esterne possiede momento diverso da zero rispetto al punto A, l’equilibrio sarebbe possibile nella configurazione deformata, in cui la reazione orizzontale in B ha 8

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acquistato un braccio molto piccolo rispetto al punto A. Nel secondo caso, illustrato in Fig. 2.5, il moto dell’asta è una traslazione (vettori spostamento di tutti i punti uguali tra loro in modulo, direzione e verso) di ampiezza finita e non è possibile l’instaurarsi di una configurazione di equilibrio. Dal nostro punto di vista i due casi sono equivalenti, perché la soluzione equilibrata nella configurazione deformata è inaccettabile: l’equilibrio si instaurerebbe a spese di un valore del modulo della reazione molto maggiore del carico esterno (almeno un ordine di grandezza). 3. L’asta è vincolata con tre vincoli semplici (tre carrelli o tre bielle o una combinazione delle due) ciascuno dei quali offre una reazione vincolare di direzione nota, coincidente con la retta normale al piano di scorrimento per i carrelli o con la congiungente i perni delle due cerniere di estremità per le bielle. Nel caso in esame in fig. 2.6a le tre rette sono indicate con le lettere r,s,t . L'analisi dello schema statico dell'asta vincolata con tre carrelli può essere ricondotta a quella dell'asta vincolata con un vincolo doppio ed un vincolo semplice; infatti, due vincoli semplici applicati alla stessa asta possono sempre essere composti in modo da dar luogo ad un vincolo doppio, idealmente applicato nel punto di intersezione delle due rette che individuano la linea d’azione delle reazioni trasmesse dai vincoli semplici. In figura 2.6 l'intersezione di due qualunque delle tre rette (ad es. le rette r ed s ed s)) determina un punto R punto R del del piano che rappresenta il punto di applicazione della risultante delle reazioni vincolari dei due vincoli che hanno determinato le rette r ed s. s. L'asta risulta non labile se la retta t non passa per R (Fig. 2.6a), e labile nel caso contrario (Fig. 2.6b). Questo risultato è del tutto generale: Un’asta vincolata con tre vincoli semplici è labile quando le tre rette r, s, t che rappresentano la linea d’azione delle tre reazioni vincolari ammettono un punto di intersezione comune S; non è labile in caso contrario. Il punto di intersezione può essere proprio o improprio, come avviene nel caso in cui tutti e tre i vincoli semplici impediscono la traslazione nella medesima direzione. Il movimento reso possibile dalla labilità è una rotazione intorno al punto di intersezione delle tre rette; se il punto di intersezione è un punto improprio il moto possibile è una traslazione in direzione perpendicolare alla direzione della retta cui appartiene il punto improprio.

(a)

(b)

Fig. 2.6– L’asta con tre vincoli semplici: (a) non labile; (b) labile.

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Il caso dell’asta vincolata con tre carrelli che eliminano la stessa componente di spostamento è illustrato in Fig. 2.7a. E’ immediato verificare che l’asta è libera di traslare in direzione orizzontale; questa possibilità di movimento si riflette nel sistema di reazioni vincolari illustrato in Fig. 2.7b, costituito da sole forze verticali. A

C

B

V A (a)

V B

V C (b)

Fig. 2.7– L’asta con tre carrelli uguali: (a) configurazione geometrica; (b) diagramma diagramma di corpo libero.

2.1.1

Il calcolo delle reazioni vincolari nelle strutture di una sola asta

Dopo aver verificato la correttezza della disposizione dei vincoli, la procedura per il calcolo delle reazioni vincolari si può articolare nei seguenti punti: 1. Si costruisce il diagramma diagramma di corpo libero, sostituendo i vincoli con le opportune componenti di reazione vincolare. Se ci sono forze esterne e/o reazioni vincolari inclinate rispetto all’usuale riferimento (asse x x orizzontale, asse y y verticale) conviene ridurle in componenti orizzontali e verticali, prestando attenzione al fatto che la risultante sia effettivamente inclinata come la forza di partenza. Le forze distribuite possono essere sostituite con la loro risultante applicate nel baricentro della distribuzione. Al fine di evitare evitar e possibili errori, una stesa di carico car ico continua su due o più aste dovrebbe essere sostituita con le risultanti parziali agenti sulle diverse aste. 2. Si scrivono le ECS, estendendo tutte le sommatorie sia alle forze esterne che alle reazioni. Nelle strutture isostatiche di una sola asta si ha sempre il pareggio tra le equazioni a disposizione e le reazioni incognite. L’adozione di una delle forme alternative delle equazioni della statica può aiutare a scrivere tre equazioni disaccoppiate, in una sola incognita

2.1.2

Il caso delle aste iperstatiche

Vengono dette iperstatiche le strutture che possiedono un numero di gdv di gdv superiore superiore al numero di gdl di gdl e hanno quindi vincoli in numero sovrabbondante rispetto a quanto sarebbe necessario per eliminare i moti rigidi. Si definisce grado di iperstaticità la iperstaticità la differenza gdv-gdl differenza gdv-gdl . Le strutture di una sola asta sono iperstatiche quando gdv quando gdv>3. >3. Tuttavia, anche in una struttura iperstatica occorre verificare che i vincoli siano disposti correttamente, e che siano in grado di fornire risultante e momento risultante del tutto arbitrari. A titolo di esempio si analizzi la struttura di Fig. 2.8a; si tratta di una mensola, come quella illustrata in Fig. 2.1a, cui è stato applicato un ulteriore carrello nel punto B. La struttura pertanto possiede 4 gdv; gdv; le reazioni vincolari, illustrate in Fig. 2.8b, sono un sistema di forze a risultante e momento risultante del tutto arbitrari. Si tratta infatti delle reazioni vincolari della 10

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mensola cui è stata aggiunta un ulteriore reazione verticale. Le reazioni vincolari non possono essere determinate in base a sole considerazioni di equilibrio: dati i carichi esterni, si può assegnare un valore arbitrario ad es. alla VB e trovare le rimanenti reazioni a terra utilizzando le ECS. L’insieme delle reazioni soddisfa le condizioni di equilibrio, ma resta indeterminato a causa del valore arbitrario assegnato a una reazione. A

B

H A

(a)

M A

V A

(b)

V B

Fig. 2.8 – L’asta incastro-carrello: (a) configurazione geometrica; (b) (b) reazioni vincolari.

La struttura in Fig. 2.9a ha anch’essa 4 gdv; gdv; tuttavia, come illustrato in Fig. 2.9b, il sistema delle reazioni vincolari non contiene forze orizzontali ed è equivalente ad una forza verticale di modulo arbitrario applicata in un punto arbitrario. La struttura, pur essendo iperstatica, è quindi labile. A

C

B

MA

(a)

V A

V B

V C (b)

Fig. 2.9 – Asta 1 volta iperstatica e labile: (a) configurazione geometrica; (b) (b) reazioni vincolari.

2.1.3

La classificazione delle strutture in base all’equilibrio.

L’analisi dello schema statico viene effettuata sulla base delle condizioni geometriche imposte dai vincoli, senza tenere in conto l’effettiva disposizione dei carichi sulla struttura stessa. Questo fatto è reso molto evidente dalla terminologia inglese, che parla di strutture partially constrained , improperly constrained o o properly constrained c onstrained per per indicare rispettivamente le strutture ipostatiche, quelle labili (indifferentemente isostatiche e iperstatiche), e le strutture correttamente vincolate (ancora indifferentemente isostatiche e iperstatiche). La disposizione dei carichi tuttavia influenza la possibilità che una struttura, pur dotata di possi bilità di movimento, possa stare in equilibrio. Da questo punto di vista dividiamo dividiamo le strutture in:

• Strutture a equilibrio impossibile (le ECS non sono soddisfatte). Il sistema di equazioni che ha le reazioni vincolari come incognite non ammette soluzione.

• Strutture ad equilibrio possibile (le ECS sono soddisfatte). Distinguiamo ulteriormente in: 

Strutture staticamente determinate: le ECS, considerate come un sistema di equazioni aventi le reazioni vincolari come incognite, ammettono una sola soluzione.



Strutture staticamente indeterminate: le ECS con le reazioni vincolari incognite ammettono infinito alla n soluzioni, essendo n il grado di iperstaticità pari a gdv a gdv - gdl . 11

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Vale al riguardo la seguente classificazione:

• Le strutture ipostatiche sono ad equilibrio impossibile se le forze esterne non hanno la stessa caratteristica (come punto di applicazione o come direzione) delle reazioni vincolari (Fig. 2.10a). In caso contrario sono ad equilibrio possibile perchè una delle ECS è soddisfatta dalle forze esterne senza contributo delle reazioni vincolari (Fig. 2.10b). L’equazione di equilibrio soddisfatta corrisponde a un vincolo in più: la struttura diventa staticamente determinata. (a) F F

(b)

Fig. 2.10 – Struttura ipostatica: (a) equilibrio impossibile; (b) equilibrio possibile.

• Le strutture isostatiche non labili sono sempre staticamente determinate. • Le strutture isostatiche labili possono, come le strutture ipostatiche, essere ad equilibrio impossibile (Fig. 2.11a) o possibile (Fig. 2.11b). Nel secondo caso una delle ECS è soddisfatta dalle reazioni vincoari senza contributo delle forze esterne; per effetto del vincolo aggiuntivo introdotto da questa equazione di equilibrio, la struttura diventa staticamente indeterminata, F (a) F

(b)

Fig. 2.11 – Struttura isostatica labile: (a) equilibrio impossibile; (b) equilibrio possibile.

• Le strutture iperstatiche non labili sono sempre staticamente indeterminate. • Le strutture iperstatiche labili (Fig. 2.12) possono essere ad equilibrio impossibile o a equilibrio possibile. Nel secondo caso sono staticamente indeterminate, e il grado di iperstaticità sale di 1. F (a)

(a)

F (b)

(b)

Fig. 2.12 – Struttura iperstatica labile: (a) equilibrio impossibile; (b) equilibrio possibile. possibile.

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2.2

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Le strutture isostatiche composte da più aste

Le strutture isostatiche composte da più aste possono essere ulteriormente suddivise tra quelle in cui la linea costruita con le linee d’asse delle varie aste è aperta (il primo e l’ultimo estremo non coincidono) e quelle in cui è chiusa (il primo e l’ultimo estremo coincidono); solo il primo caso verrà trattato in maniera approfondita. Tra le strutture a linea d’asse aperta rivestono notevole importanza quelle formate da due sole aste. Si considerino due aste collegate tra loro da una cerniera, in cui la continuità nel punto di collegamento sia costituita da un vincolo doppio e non dal vincolo triplo che garantisce che le due aste insieme formino un unico corpo rigido. L’insieme delle due aste possiede un gdl interno, la rotazione relativa tra le due aste. Il pareggio gdl-gdv gdl-gdv richiede che nel complesso la struttura possegga 4 gdv 4 gdv a a terra. Se ciascuna parte della struttura deve essere sufficientemente vincolata, i vincoli a terra possono essere disposti solo in due modi: vincolando a terra ciascuna asta con un vincolo doppio, o vincolandone una con un vincolo triplo e l’altra con un vincolo semplice. Esamineremo nel dettaglio entrambi i casi; il primo, che dà luogo allo schema statico detto arco a tre cerniere, cerniere, è largamente utilizzato nelle costruzioni civili e industriali.

2.2.1

L’arco a tre cerniere

Definiamo come arco a tre cerniere una struttura composta da due aste a e b, ciascuna vincolata a terra con un vincolo doppio e mutuamente collegate tra di loro tramite un vincolo doppio. I due vincoli a terra impongono ai perni delle due cerniere a terra,

Ωa ed Ω b, di essere in un punto

prefissato del piano; il vincolo interno fissa f issa la posizione del perno ωa,b della cerniera che collega le aste (Fig. 2.13a). La struttura presenta una mobilità interna, quella consentita dal vincolo interno doppio; l'assenza di mobilità si avrebbe in presenza di un vincolo triplo, ovvero della continuità tra le due aste, che di fatto le renderebbe un unico corpo rigido. Tale mobilità interna è compensata dalla presenza a terra di quattro vincoli, uno in più di quelli (tre) che sarebbero necessari nel caso di un corpo rigido. ωa,b

b

a

Ωa

(a)

(b)

Ωb

Fig. 2.13 – L’arco a tre cerniere: (a) perni delle cerniere; (b) schema cerniera-carrello.

13

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I vincoli a terra quindi devono eliminare i moti rigidi della struttura nel suo insieme e i movimenti relativi tra le parti che la compongono. Perciò occorre verificare non solo che la struttura nel suo complesso non presenti possibilità di movimento rispetto ad un dato riferimento, ma anche che non esistano possibilità di movimento relativo tra le aste che compongono la struttura. Un primo modo di affrontare il problema può essere di ricondurre l'analisi dello schema statico dell'arco a tre cerniere a quello dell'asta vincolata a terra con un vincolo doppio ed un vincolo semplice. Fissando l’ attenzione ad esempio sull'asta a osserviamo che a è collegata a terra tramite un vincolo doppio, il cui perno è un punto X prefissato prefissato del piano, e tramite l'asta b che può essere considerata come una biella. La linea d’azione della reazione fornita dall'asta b, nel caso che questa non sia direttamente caricata sulla sua linea d’asse, è definita dalla retta x x congiungente i due perni delle cerniere di estremità,

ωa,b e Ω b: se x x non contiene il punto X , determinato dal vincolo doppio di a, si può

concludere che l’asta a è correttamente vincolata e la struttura è non labile (Fig.2.13b). La dimostrazione non cambia se si concentra l'attenzione sull'asta b anziché sulla a; si può pertanto concludere che l'arco a tre cerniere è non labile se le tre cerniere ( Ω Ωa , Ω b , ω a,b a,b ) non sono allineate, e labile nel caso contrario (Fig. 2.14).

ωa,b

Ωa

Ωb

b

a

Fig. 2.14 – Condizione di labilità dell’arco a tre cerniere.

La conclusione cui siamo giunti non cambia se si analizza il sistema delle reazioni vincolari dell’arco a tre cerniere. Si consideri innanzitutto il caso in cui il carico agisca solo sulla cerniera centrale. Ciascuna delle due aste (AB e BC) è un two-force body, body, biella non soggetta a carichi lungo la sua linea d’asse. Le reazioni fornite dai vincoli in A e B sono quindi dirette rispettivamente come la congiungente AB e BC. Senza alterare l’equilibrio della struttura le due reazioni vincolari possono essere fatte scorrere lungo la loro linea d’azione e portate in B. P

P

C A

C B

A

B

R A (a)

R B (b)

Fig. 2.15 – Arco a tre cerniere caricato sulla cerniera centrale: (a) configurazione; (b) reazioni vincolari.

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L’equilibrio del punto B è possibile se la forza P, cambiata di segno, può essere scomposta lungo le rette AB e BC. Il problema ammette soluzione se le rette AB e BC non sono coincidenti (Fig. 2.15b) e non la ammette se i due segmenti AB e BC sono allineati sulla medesima retta (Fig. 2.16). E’ immediato osservare che nel caso labile le reazioni vincolari forniscono un sistema privo di componente verticale. L’equilibrio alla rotazione dell’intera struttura intorno al punto A richiederebbe infatti la presenza di una reazione verticale in B, che però non può essere diversa da zero perché BC è un two-force body. body. Le condizioni di equilibrio della singola asta e dell’intera struttura sono quindi incompatibili tra loro, dando origine alla labilità. Il movimento concesso dalla labilità è, per ciascuna asta, la rotazione intorno al suo perno a terra, rispettivamente i punti A e B. Lo spostamento del punto C è infinitesimo, verticale, e compatibile con il moto di entrambe le aste.

P

R A

R B

Fig. 2.16 – Reazioni vincolari dell’arco a tre cerniere labile.

Si arriva allo stesso risultato se si considera il caso in cui il carico agisca in un punto intermedio di un’asta, come indicato in Fig. 2.17a. L’asta AB resta un two-force-body, two-force-body, e la reazione R A è diretta come la congiungente AC. L’asta BC è un three-force body, body, e il suo equilibrio è possibile solo se le tre forze sono applicate nel medesimo punto. La reazione in B può essere scomposta nella forza R forza R B, analoga a quella del caso precedente e diretta come la congiungente BC, e in una forza T B ad essa perpendicolare. Si può osservare che: (a) la forza R B e la reazione incognita in C passano entrambe per il punto C; (b) è possibile fare traslare le forze P forze P e e T B lungo le loro linee d’azione in modo che abbiano comune punto di applicazione e determinare il modulo di T B in modo che la risultante F risultante F di P di P e e T B passi anch’essa per il punto C. La verifica della labilità della struttura caricata sull’asta si riconduce quindi a quella della struttura caricata solo sul nodo centrale. P

C

P

C T B B

A

A T B

R A (b)

(a)

R B

P F

Fig. 2.17 – Arco a tre cerniere con carico sull’asta: (a) configurazione; (b) diagramma diagramma di corpo libero.

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Si osservi che la reazione T B serve a soddisfare la condizione che le forze agenti lungo l’asta BC abbiano momento nullo rispetto al punto C ed è completamente determinata da questa condizione. La forza T B non può quindi essere “spesa” nelle condizioni di equilibrio globali dell’intera struttura; questo risultato giustifica il fatto che la biella venga sempre considerata come un vincolo semplice, in quanto entra nelle ECS scritte per l’intera struttura con un unico termine incognito, la forza R B diretta come la congiungente i perni delle due cerniere. La forza T B può infatti essere determinata, prima della scrittura delle ECS, dalla condizione di equilibrio della biella stessa. Quanto ora detto consente di affrontare in maniera agevole il problema della determinazione delle reazioni vincolari dell’arco a tre cerniere; le reazioni incognite sono quattro, due per ciascun vincolo doppio che collega a terra le aste componenti l'arco stesso. Le tre ECS sono in questo caso necessarie ma non sufficienti perché la struttura, priva dei vincoli a terra, non è un corpo rigido ma presenta la mobilità relativa consentita dalla cer niera intermedia. Gli approcci possibili sono due. Il primo, seguito dal libro di testo di Statica, prevede che oltre alle reazioni vincolari a terra vengano messe in evidenza anche le reazioni mutue del vincolo interno, interrompendo la continuità che lega le due aste. In tal modo si hanno due corpi rigidi, per ciascuno dei quali possono essere scritte le 3 ECS; le incognite sono anch’esse nel numero di sei, in quanto per il principio di azione e reazione le forze scambiatesi attraverso la cerniera intermedia sono uguali ed opposte sulle due aste. Il secondo approccio mira invece alla determinazione delle sole reazioni vincolari a terra, senza l’aggiunta di ulteriori incognite, anche perché le forze trasmesse dalla cerniera intermedia possono essere determinate agevolmente durante il calcolo delle azioni interne. Alle tre equazioni cardinali, scritte per l’intera struttura, si può aggiungere un’ulteriore equazione che esprima una condizione di equilibrio di una singola asta, scritta in maniera tale che le reazioni del vincolo intermedio non offrano alcun contributo e quindi non accrescano il numero delle incognite. C y C P

C x P

Q

A

B (a)

P

Q

B x

x

y

(b)

B y

x

y

(c)

Fig. 2.18 – Calcolo delle reazioni vincolari: (a) configurazione; configurazione; (b) reazioni a terra; (c) forze sull’asta AC.

Si faccia riferimento al semplice arco a tre cerniere non labile di Fig. 2.18a; esso è sicuramente in equilibrio. Le quattro reazioni a terra, illustrate in Fig. 2.18b, soddisfano quindi le tre ECS. Con un’operazione di sezione si può staccare l’asta AC dal resto della struttura, mettendo in evidenza le 16

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forze incognite trasmesse attraverso la cerniera in C (Fig. 2.18c). Per il postulato delle reazioni vincolari questa operazione non altera l’equilibrio dell’asta AC e per essa possono essere scritte le ECS. E’ immediato constatare che l’annullarsi del momento risultante rispetto al punto C fornisce la 4° equazione cercata tra le reazioni vincolari a terra, portando cosi al pareggio tra equazioni e incognite. L’equazione aggiuntiva elimina la mobilità interna messa in evidenza dall'eliminazione dei vincoli a terra (la rotazione relativa delle due aste intorno alla cerniera intermedia, Fig. 2.18b). La procedura può essere generalizzata nel modo seguente: indichiamo con

Ωa, Ω b i punto su cui

agiscono le risultanti delle reazioni vincolari dovute ai vincoli doppi applicati rispettivamente alle aste a e b. Se il vincolo doppio agente sull'asta è una cerniera questo punto coincide con il suo perno; se il vincolo doppio è ottenuto otte nuto come somma come somma di di due vincoli semplici,

Ω è l'intersezione delle

linee d'azione delle reazioni (note come direzione e punto di applicazione) dei due vincoli semplici. Le due reazioni a terra fornite sull’asta a dal vincolo doppio che determina

Ωa possono essere

calcolate attraverso il seguente sistema di due equazioni in due incognite:

∑ M Ω b = 0 ∑ M ω a ,b (a ) = 0

annullarsi del momento risultante per l’intera struttura struttura

(2.2)

annullarsi del momento risultante sulla sola asta a a

(2.3)

Si osservi che l’equazione (2.2) può essere scritta in maniera corretta anche rispetto a un altro punto qualunque del piano, a spese di una maggiore complicazione nei calcoli; nell’equazione (2.3), viceversa, la scelta di un punto diverso comporta l’aggiunta del contributo delle reazioni incognite in C e conduce a un’equazione errata se questo contributo non è conteggiato. Nel caso che i punti

Ω b e/o ωa,b siano punti impropri le equazioni di equilibrio alla rotazione diventano equazioni di equilibrio alla traslazione in direzione perpendicolare a quella determinata dal punto improprio. Le reazioni a terra fornite dal restante vincolo (nel nostro esempio

Ω b) possono essere determinate

sfruttando le due equazioni cardinali della statica che non sono state utilizzate nella determinazione delle reazioni in

Ωa; se Ω b è un punto proprio del piano, tali equazioni sono le equazioni di

equilibrio alla traslazione di tutta la struttura.

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2.2.2

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Il circolo chiuso isostatico

Un'altra struttura su cui è importante fissare la nostra attenzione è quella che si ottiene da un arco a tre cerniere, qualora le aste a e b, anziché essere collegate a terra, siano entrambe collegate, ciascuna mediante un vincolo doppio, ad una terza asta c (Fig. 2.19a). La struttura così ottenuta, detta circolo chiuso isostatico, non presenta vincoli a terra, ma, se non labile, costituisce un corpo rigido in cui non esistono possibilità di movimento relativo tra le aste che la compongono. Infatti, l'asta a e l'asta b sono collegate tra di loro tramite un vincolo doppio, il cui perno

ωa,b è in un punto

R prefissato R prefissato del piano, e tramite l'asta c, equivalente ad una biella e quindi a un vincolo semplice. Le azioni mutue scambiate tra le due aste sono quindi in parte applicate nel punto R punto R per per effetto della cerniera

ωa,b e in parte dirette lungo la retta r congiungente congiungente ωa,c (perno della cerniera tra a e c) con

ωc,b (perno della cerniera tra c e b). Come nel caso dell’asta vincolata con un vincolo doppio e un vincolo semplice, se r non non contiene il punto R punto R l’equilibrio l’equilibrio è possibile per qualunque sistema di forze agenti e le aste a e b non hanno possibilità di movimento relativo (Fig. 2.19b). Il ragionamento è analogo se si concentra l'attenzione sulla coppia di aste b e c, o a e c; si può concludere che il circolo chiuso è non labile se le tre cerniere ( ωa,b,

ω b,c, ωa,c) non sono allineate, ritrovando così la

stessa condizione che impone la non labilità dell'arco a tre cerniere, da cui il circolo chiuso isostatico deriva. Il circolo chiuso isostatico non labile necessita poi, ovviamente, di tre vincoli a terra, dei quali occorre comunque controllare la corretta disposizione; tuttavia, diversamente da quanto accade nel caso dell'arco a tre cerniere, i vincoli a terra non concorrono ad eliminare mobilità interne, ed il controllo della disposizione dei vincoli a terra è totalmente disgiunto dal controllo della disposizione dei vincoli interni.

ωa,b

a

b (b)

(a)

ωa,c

c

ωb,c

Fig. 2.19 – Il circolo chiuso isostatico: (a) perni delle cerniere intermedie; (b) analisi dello schema statico.

Abbiamo visto che un'asta il cui asse sia una linea chiusa (anello chiuso) è tre volte iperstatica internamente: il circolo chiuso isostatico può essere pensato ottenuto per eliminazione di tre gradi

di vincolo da una tale asta, sostituendo in tre punti la continuità (vincolo triplo) con una cerniera 18

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(vincolo doppio). Tuttavia è isostatico qualunque anello chiuso ottenuto dall'anello iperstatico per eliminazione di tre gradi di vincolo, ad esempio quello ottenuto collegando la medesima coppia di aste mediante cerniera e carrello (Fig. 2.20a). Viceversa, un anello chiuso in cui siano stati eliminati meno di tre gradi di vincolo è internamente iperstatico (Fig. 2.20b), e non può che dar luogo ad una struttura iperstatica: infatti, il numero dei vincoli a terra non può mai essere inferiore a tre se si vuole garantire l'assenza di movimenti rispetto al riferimento per qualunque sistema di carico.

b

a

b

a

(a)

(b)

Fig. 2.20– Anello chiuso: (a) isostatico; (b) iperstatico.

Un anello chiuso in cui siano stati eliminati più di tre gradi di vincolo è internamente ipostatico (Fig. 2.21), ma può dar luogo ad una struttura isostatica se i vincoli a terra sono in numero e disposizione tale da compensare le mobilità interne. Tale situazione è analoga al caso dell'arco a tre cerniere in cui la mobilità interna è compensata da quattro vincoli a terra, uno in più di quelli necessari per vincolare a terra in maniera isostatica un corpo rigido.

a

b

a

b

Fig. 2.21 – Esempi di anelli ipostatici.

Il circolo chiuso isostatico costituisce la struttura di base in tutte le travature reticolari e trova larga applicazione anche al di fuori delle costruzioni civili o industriali (si pensi ad es. al telaio di una bicicletta). Nelle travature reticolari retic olari possono anche essere presenti anelli ipostatici, a condizione che i vincoli a terra siano in numero maggiore di 3. In questo corso le travature reticolari costituiscono l’unico esempio di applicazione delle strutture a linea d’asse chiusa.

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2.2.3

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L’appendice isostatica

Il secondo modo di vincolare a terra due aste collegate da un vincolo doppio è quello di distribuire i vincoli in numero diverso tra le due aste, come indicato in Fig. 2.22a. L’asta AC, incastrata in A, è dotata di tre vincoli a terra; l’asta BC è vincolata a terra con un vincolo semplice, un carrello a piano di scorrimento orizzontale in B. A questi vincoli corrispondono le reazioni vincolari illustrate in Fig. 2.22b: tre componenti indipendenti sull’asta AC e una sola sull’asta BC. A

C

B

C

H A M A

(a)

V B

V A (b)

Fig. 2.22 – Struttura di due aste: (a) configurazione geometrica; geometrica; (b) diagramma di corpo libero.

In questo caso l’asta BC non è una biella, perché il vincolo in B è un carrello e non una cerniera, e non costituisce un vincolo per l’asta AC. Infatti la biella è un vincolo semplice per l’asta che collega a terra; se si riducono i gradi di vincolo alle estremità della biella (sostituendo la cerniera con un carrello, anche su un solo estremo) la biella cessa di essere tale e quindi non è più un vincolo per l’asta che collega a terra. D’altro canto si può osservare che l’asta AC è isostatica e correttamente vincolata rispetto al riferimento: pertanto non ha possibilità di moti rigidi e tutti i suoi punti non compiono alcun movimento. In particolare il punto C è fermo: per l’asta BC la cerniera in C, nella situazione di vincolo di Fig. 2.22a, è equivalente a un vincolo a terra, per cui l’asta BC è nello schema statico isostatico cerniera-carrello. Confrontando questo risultato con quanto ricavato sull’arco a tre cerniere all’inizio del cap. 2.2.1, si ricava che lo schema statico di Fig. 2.22a è profondamente diverso da quello dell’arco a tre cerniere, in cui le aste concorrono con pari “peso” a dar luogo a una schema statico isostatico, in quanto ciascuna delle due costituisce un vincolo per l’altra. Nello schema ora esaminato: (a) le due aste sono entrambe isostatiche; (b) l’asta BC non costituisce alcun vincolo per la AC; (c) la AC fornisce alla BC un vincolo “a terra”, strettamente necessario per impedirne i moti rigidi. In questa situazione si dice che l’asta BC costituisce un’appendice isostatica dell’asta AC. Generalizzando, possiamo dare la seguente definizione: Si definisce con il termine appendice isostatica un’asta, o un insieme di più aste, che sono in configurazione isostatica, presentando un pareggio tra gradi di libertà e gradi di vincolo, ma in cui alcuni (o tutti) vincoli, anziché essere a terra, sono appoggiati su altre strutture. L’analisi della labilità dello schema statico ora esaminato si svolge in maniera coerente con quanto trovato. Nella struttura in Fig. 2.23a l’appendice isostatica cerniera-carrello è labile, perché la normale al piano di scorrimento del carrello in B passa per la cerniera in C. Tuttavia l’asta AC, 20

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incastrata a terra, è correttamente vincolata e in grado di portare i carichi che dovessero gravare su di essa. Nel caso in Fig. 2.23b i vincoli dell’appendice isostatica sono disposti in maniera corretta; tuttavia l’asta AC, ora vincolata con un sistema cerniera-carrello che ha ancora 3 gdv a gdv a terra, è labile perché la normale al piano di scorrimento del carrello in A passa per la cerniera in D. L’asta AC è quindi labile, e può muoversi; il vincolo in C cessa di essere a terra per l’asta BC e la labilità coinvolge ora l’intera struttura. Infatti l’asta BC non dispone di vincoli sufficienti per impedire il moto del punto C. A

C

D

A

B

(a)

C

B

(b)

Fig. 2.23 – Analisi della labilità: (a) appendice appendice isostatica labile; (b) intera struttura labile.

La distribuzione dei vincoli si riflette nella scrittura delle condizioni di equilibrio delle due aste, considerate ciascuna soggetta alle reazioni a terra e del vincolo interno (Fig. 2.24). Il sistema di reazioni vincolari dell’asta BC è in grado di equilibrare qualunque sistema di forze esterne solo se comprende anche le forze trasmesse dal vincolo interno in C; viceversa, il sistema di reazioni vincolari a terra di AC è in grado di equilibrare qualunque sistema di forze esterne anche in assenza delle reazioni in C. Questa osservazione è coerente con quanto appena discusso. C y H A M A

C x

C x

C y

V A

V B

Fig. 2.24 – Le reazioni vincolari, a terra e dei vincoli interni, nell’appendice isostatica.

Poiché i vincoli sull’asta BC sono nel numero strettamente necessario (tre) il valore delle forze C x, Cy e VB è determinato dalle condizioni di equilibrio della sola asta BC e dipende quindi solo dai carichi direttamente agenti sull’asta BC stessa, coerentemente con l’osservazione che l’asta BC non è un vincolo per la AC; in particolare, se sull’asta BC non agiscono carichi esterni, come in Fig. 2.25a, la reazione VB (fig. 2.25b) e le azioni interne sull’asta sono identicamente nulle. q

q

H A M A

(a)

V B

V A (b)

Fig. 2.25 – Il caso dell’appendice isostatica scarica: (a) configurazione; configurazione; (b) diagramma di corpo libero.

Se invece il carico agisce sull’asta BC (fig. 2.26a) la reazione V B è diversa da zero, cosi come le azioni interne su BC, le forze trasmesse dal vincolo in C e le reazioni in A. 21

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q

q

H A

L

M A

L (a)

V B

V A L

L (b)

Fig. 2.26 – Il caso dell’appendice isostatica carica: (a) configurazione; configurazione; (b) diagramma di corpo libero.

Nel calcolo delle reazioni vincolari, come già fatto per l’arco a tre cerniere, si può scrivere un sistema di equazioni che ha come incognite le sole reazioni vincolari a terra. Occorre quindi scrivere un sistema di 4 equazioni in 4 incognite: 3 equazioni sono le ECS per l’intera struttura, la 4° equazione è una delle ECS per una sola delle due aste che compongono la struttura, scritta in maniera tale che le reazioni del vincolo interno non offrano alcun contributo. La scelta più conveniente è quella di calcolare prima la reazione dell’appendice isostatica, che dipende solo dai carichi direttamente agenti su di essa, e poi risolvere le ECS per l’intera struttura. Valgono qui le stesse considerazioni svolte a proposito della equazione (2.3) ricavata per l’arco a tre cerniere. Il concetto di appendice isostatica può essere estese a strutture più complesse, quali l’arco a tre cerniere che appoggia una delle sue cerniera anziché a terra su un’altra asta isostatica (Fig. 2.27). Anche nel caso illustrato in figura le reazioni della cerniera a terra possono essere determinate attraverso la procedura standard dell’arco a tre cerniere presentata al par. 2.2.1.e dipendono solo dai carichi direttamente agenti sull’arco a tre cerniere stesso.

Fig. 2.27 – Esempio di appendice isostatica: un arco a tre cerniere appoggiato su una una mensola.

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3. La procedura per il calcolo calcolo delle reazioni vincolari vincolari Seguendo quanto esposto al cap. 2, il calcolo delle reazioni vincolari a terra per le strutture isostatiche aventi linea d’asse aperta viene effettuato secondo la seguente procedura: 1) Costruzione del diagramma di corpo libero: sostituzione dei vincoli a terra con le relative

componenti di reazione vincolare che ciascun vincolo è in grado di trasmettere alla struttura (postulato delle reazioni vincolari), preferibilmente già in componenti orizzontali e verticali. 2) Scrittura delle tre ECS per la struttura, considerata come un corpo rigido libero nel piano,

caricata dalle forze esterne note e dalle reazioni vincolari incognite. Se dopo la scrittura delle ECS si è raggiunto il pareggio tra equazioni e incognite, si risolve il sistema di equazioni e si procede al calcolo delle azioni interne (vedi paragrafo successivo). 3) Se dopo il punto 2 non si è raggiunto il pareggio, questo significa che la struttura priva dei

vincoli a terra presenta delle mobilità interne, ovvero delle possibilità di moto relative tra le aste che la compongono (e non è quindi a rigore un corpo rigido). Alle ECS vanno aggiunte delle equazioni di equilibrio locali, locali, cioè una o più ECS scritte con riferimento a una o più aste che compongono la struttura (ma non all’intera struttura), che eliminino le possibilità di movimento che non esistono quando la struttura è vincolata a terra. Poiché i vincoli a terra sono in numero superiore a tre, la scrittura delle equazioni di equilibrio locali è necessaria per poter risolvere il problema della determinazione delle reazioni a terra. Le equazioni aggiuntive – una per ogni mobilità concessa dai vincoli interni - devono essere scritte in modo da non introdurre come incognite le reazioni dei vincoli interni, e vengono ricavate sulla base della considerazione che dove la continuità è meno di un vincolo triplo, le corrispondenti reazioni hanno componenti nulle. In particolare:

• in una cerniera interna il momento è zero, e le forze trasmesse dalla cerniera sono applicate nel perno della cerniera stessa. Sezionando idealmente in due parti la struttura nel punto in cui agisce la cerniera, l’equazione da scrivere è l’annullarsi del momento risultante delle forze che precedono la cerniera (su una qualunque delle due parti in cui si s i è divisa idealmente la struttura) rispetto al perno della cerniera.

• in una cerniera impropria è nulla la componente di forza diretta come lo spostamento permesso dal vincolo. Analogamente a quanto fatto per la cerniera, l’equazione da scrivere è l’annullarsi della risultante delle forze che precedono la cerniera impropria, in direzione del movimento consentito.

• in un carrello sono nulli sia il momento che la forza in direzione dello spostamento permesso. Occorre scrivere 2 equazioni, secondo le regole ora esposte per le cerniere proprie e improprie. 23

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3.1

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Strutture che contengono anelli chiusi

Se dopo l'esecuzione dei punti 2) e 3) si è raggiunto il pareggio tra incognite ed equazioni disponibili il problema della determinazione delle reazioni vincolari è completamente risolto. Se viceversa il numero delle incognite è ancora superiore a quello delle equazioni scritte, ci troviamo di fronte ad una struttura in cui sono contenuti uno o più anelli chiusi ipostatici. La presenza di un anello chiuso ipostatico implica l'esistenza di mobilità relative tra le aste componenti l'anello; infatti, solo in un anello isostatico le aste sono connesse tra loro in maniera da formare un corpo rigido. La struttura che contiene l'anello chiuso ipostatico è quindi in una situazione analoga a quella delle strutture citate al punto 3), con l'unica differenza che per tali strutture il movimento avviene intorno ad un punto che coincide con un vincolo (es.: rotazione intorno ad una cerniera) o è da esso immediatamente determinato (es: traslazione consentita da un pattino), mentre per le strutture contenenti un anello ipostatico il punto intorno cui avviene il movimento deve essere determinato o mediante un'analisi cinematica o mediante un’analisi dello schema statico. Se i risultati di tali analisi non consentono comunque una semplificazione del problema occorre procedere all’apertura dell’anello. Le procedure relative sono però al di là dello scopo di questo corso. Occorre infine aggiungere che può accadere che dopo l’esecuzione dei punti 2) e 3) si siano determinate le reazioni vincolari, ma la struttura contenga ancora degli anelli chiusi: si pensi ad es. al caso delle travature reticolari. Gli anelli sono in questo caso isostatici e la loro apertura, che non è mai necessaria al fine del calcolo delle reazioni vincolari; deve comunque essere effettuata per poter procedere al calcolo delle dell e azioni interne. Tale apertura viene effettuata per le travature reticolari con c on i metodo propri di questa tipologia strutturale; per le restanti strutture si può osservare che la presenza di un anello chiuso isostatico è dovuta al fatto che la struttura possiede delle appendici isostatiche che hanno tutti i loro vincoli “a terra” poggiati in qualche punto della struttura. Questa osservazione consente di individuare agevolmente una procedura di soluzione: (a) si stacca l’appendice isostatica dal resto della struttura, mettendo in evidenza le sue reazioni vincolari; (b) si calcolano le reazioni vincolari con le procedure appena viste, punti 2) e 3); (c) si cambiano i segni delle reazioni vincolari e le si applica al resto della struttura. Questo procedimento può essere eseguito in maniera recursiva, se vi sono più appendici isostatiche le une sulle altre. La procedura può essere semplificata se si osserva che per il calcolo delle azioni interne è sufficiente che gli anelli chiusi siano aperti in un solo punto (basta una ed una sola apertura per ogni anello) e viene effettuata in maniera più conveniente se fatta in corrispondenza del vincolo di grado più basso all’interno dell’anello. I conti sono meno onerosi se si apre su un carrello anziché su una cerniera (una sola reazione anziché due), e più semplici se si apre su una cerniera propria anziché su una impropria (le incognite sono solo forze e non forza e coppia). 24

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4. Il calcolo delle azioni interne: definizioni generali Il calcolo delle azioni interne, con il conseguente tracciamento dei diagrammi, ha lo scopo fondamentale di determinare, in ogni sezione della struttura analizzata, le azioni mutue che le due parti della struttura adiacenti alla sezione in studio si scambiano attraverso la sezione stessa. Le azioni agenti sulla sezione sono infatti l'informazione fondamentale necessaria al progettista che deve affrontare il problema del dimensionamento e/o della verifica strutturale. Poiché la continuità può essere considerata come un vincolo triplo, una generica sezione può trasmettere una forza F individuata da tre parametri indipendenti. Tali parametri sono riferiti ad un sistema di riferimento locale e sono costituiti dalle due componenti N e T della forza, rispettivamente in direzione

dell'asse dell'asta e nella direzione ad essa perpendicolare, e dal momento M rispetto rispetto al punto in cui l'asse dell'asta interseca la sezione (baricentro). Convenzionalmente si considerano positive:

•

l'azione assiale N assiale N che che induce trazione sulla porzione di asta su cui agisce;

•

la forza di taglio T che che ruota in senso orario intorno alla porzione di asta su cui agisce.

•

Il momento flettente M flettente M viene viene considerato privo di segno, ed il corrispondente diagramma viene tracciato, sull'asta cui si riferisce, sul lato delle fibre che risultano in trazione per effetto del momento stesso.

Le azioni interne M interne M , N e e T vengono vengono determinate in base a considerazioni in equilibrio, con gli stessi criteri già visti nel calcolo delle reazioni vincolari; sono cioè le azioni che, sostituite alla continuità, sono in grado di mantenere la struttura in equilibrio. Alla base del calcolo delle azioni interne vi è quindi il metodo delle sezioni: poiché se una struttura è in equilibrio lo è anche ciascuna sua parte, sotto l’azione delle forze esterne e delle reazioni che le competono, è possibile operare una sezione che divida in due parti la struttura, sostituire la continuità con le azioni interne incognite, ma rispettose del principio di azione e reazione, e infine applicare le condizioni di equilibrio, espresse dalle equazioni cardinali della statica, su una qualunque delle due parti in cui si è divisa la struttura. Per poter scrivere un'equazione di equilibrio in cui compaiano come uniche incognite le azioni interne nella sezione in esame, occorre aver preliminarmente aperto (dove sia necessario) i circoli chiusi, o come talora si dice, aver ridotto la struttura ad albero ad albero,, intendendo con questa espressione che per ogni sezione deve essere individuabile un percorso che conduca ad essa a partire da punti in cui sono note le forze agenti (reazioni vincolari o azioni interne).

4.1

Le equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave rettilineo

Il procedimento basato sull'approccio diretto in termini di equilibrio risulta spesso laborioso, in quanto costringe alla scrittura di differenti equazioni di equilibrio per ogni tronco di asta in cui

25

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carichi esterni e/o direzione dell'asse dell'asta non subiscano brusche variazioni, ed obbliga a considerare separatamente l'effetto di ciascun carico e della sua posizione. A tale approccio è preferibile quello basato sull'utilizzo delle equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave. Queste equazioni stabiliscono le condizioni di equilibrio che devono essere soddisfatte da qualunque elemento appartenente ad una trave rettilinea anch'essa in equilibrio, quale quella rappresentata in Fig. 4.1. p(x) x y L Fig. 4.1 - Trave rettilinea in equilibrio

A tal fine si considera il generico concio di trave di lunghezza ∆ x, x, soggetto alla porzione di carico esterno che gli compete ed alle azioni interne che gli vengono trasmesse dai conci adiacenti, come indicato nella Fig. 4.2, che evidenzia anche le convenzioni positive adottate per il carico esterno, le forze di taglio ed i momenti flettenti. p(x) T(x) M+∆ M+∆ M

M(x)

T+∆ T+∆T ∆ x Fig. 4.2 - Il concio di trave soggetto al carico distribuito e alle azioni interne

Le condizioni di equilibrio dell'elemento infinitesimo, rispettivamente alla traslazione in direzione perpendicolare all'asse della trave ed alla rotazione, quando la lunghezza del concio tende a zero (∆ x

→ dx, ∆ M → dM, ∆T → dT) forniscono rispettivamente:

dT

= − p ( x)

dx

dM dx

(4.1)

= T

(4.2)

Queste equazioni consentono di stabilire, per un'asta rettilinea soggetta a carichi in direzione perpendicolare all'asse dell'asta, una relazione relaz ione tra il valore val ore del carico distribuito p(x) distribuito p(x) e e l'andamento 26

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del taglio e del momento. Può essere utile osservare che l'azione assiale N non entra in queste equazioni, essendo del tutto indipendente dal carico trasversale all'asse dell'asta e quindi da M da M e e T . Questa situazione si verifica solo nelle aste rettilinee, in quanto nelle aste curve anche l'azione assiale concorre a portare i carichi che inducono flessione nell'asta. L'equazione (4.1) consente di ricavare la funzione T(x) per T(x) per integrazione: x

∫

con 0 ≤ α ≤ x

T ( x) = − p (α ) α ) d α + C 1

(4.3)

0

essendo C 1 = T(x=0) = T 0. Questa equazione mostra come, a meno di una costante C 1, il taglio in una sezione a distanza x distanza x dall'origine dall'origine non sia altro che l'opposto dell'integrale dei carichi distribuiti agenti nel tratto di lunghezza ; analogamente, la differenza nel valore del taglio tra due sezioni distinte è semplicemente la somma (risultante), cambiata di segno, di tutte le forze agenti tra le due sezioni ed ortogonali all'asse dell'asta. Inoltre, l'effetto dei carichi che precedono la sezione posta ad ascissa x=0 x=0 entra solo nella costante C 1 che, per quanto detto prima, rappresenta la somma (risultante) di tutte le forze che precedono la sezione, agenti in direzione ortogonale all'asse dell'asta. La presenza di una forza concentrata F concentrata F interrompe interrompe il processo di integrazione ed introduce una discontinuità nel diagramma del taglio, in quanto per l'elemento infinitesimo di asta che porta la forza (Fig. 19a)deve valere, con ovvio significato dei simboli, la relazione di equilibrio: T S T D + F S =

(4.4) F

W M S S

T S S

M D

T D (a)

(b)

Fig. 4.3 - Equilibrio del concio elementare soggetto a: (a) forza concentrata; (b) coppia.

In maniera del tutto analoga a quanto fatto per il taglio, l'equazione (4.2) consente di ricavare la funzione M(x) funzione M(x) per per integrazione: x

∫

M ( x) = T (α ) α ) d α + C 2

con 0 ≤ α ≤ x

(4.5)

0

essendo C 2 = M(x=0) = M 0. La presenza di una coppia concentrata W non produce effetti sul diagramma del taglio, ma introduce una discontinuità nel diagramma del momento, in quanto, per

27

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l'elemento infinitesimo di asta su cui è applicata la coppia deve valere (vedi Fig. 4.3b) una relazione di equilibrio analoga alla (4.4): M S = M D + W

(4.6)

Analogamente a quanto succede nel diagramma del taglio, l'effetto dei carichi che precedono la sezione posta ad ascissa x=0 ascissa x=0 entra entra solo nella costante M costante M 0, che rappresenta il momento risultante di tali carichi rispetto alla sezione stessa; l'effetto di tali carichi è pertanto rappresentato completamente dalle due costanti M 0 e T 0. La costante M 0 coincide con il valore di M nell'ultima sezione dell'asta che precede quella in studio, o è da esso determinabile attraverso l'eq. (4.6) se è presente una coppia concentrata. Nel caso c aso che in un punto convergano più aste, i momenti M momenti M i agenti in tale punto sulle i aste devono soddisfare l'ovvia condizione di equilibrio Σ M i=0. =0. Le equazioni (4.1) e (4.2), unitamente alle (4.3) e (4.5), consentono di stabilire, dato l'andamento del carico esterno, l'andamento delle funzioni T(x) ed T(x) ed M(x), M(x), secondo lo schema analitico di seguito riportato.

•

Carico distribuito assente:

p ( x ) = 0 = −

•

⇒ T = C 1 =

dx

dM dx

⇒ M = C 1 x + C 2

(4.7a)

Carico distribuito in maniera uniforme:

p ( x) = p0

•

dT

=−

dT dx

⇒ T = − p0 x + C 1 =

dM dx

⇒ M = −

p0 x 2 2

+ C 1 x + C 2

(4.7b)

Carico distribuito variabile con legge lineare:

p ( x) =

p 0 x L

=−

dT dx

⇒ T = −

p 0 x 2 2 L

+ C 1 =

dM dx

⇒ M = −

p 0 x 3 6 L

+ C 1 x + C 2

(4.7c)

Tale schema analitico può essere tradotto nel seguente schema logico: p(x) = 0

⇒

T costante

⇒

M lineare

p(x) costante

⇒

T lineare

⇒

M parabolico

p(x) lineare

⇒

T parabolico

⇒

M cubico

Si è visto come il diagramma del momento venga sempre tracciato sul lato delle fibre tese: la concavità del diagramma ha pertanto lo stesso segno della concavità della deformata che l'asta subisce per effetto del momento. L'equazione (4.2) è stata scritta considerando positivi i momenti che tendono le fibre inferiori; sotto tale ipotesi la concavità del diagramma del momento è governata dalla seguente equazione, che discende dalle equazioni (4.1) e (4.2): d 2 M dx 2

= − p( x)

(4.8) 28

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Se p(x) Se p(x) è è positivo, la derivata seconda di M è è negativa, e determina un andamento della concavità come riportato in Fig. 4.4. La concavità del momento, pertanto, è sempre diretta in maniera tale da "raccogliere" il carico distribuito.

d 2 M dx

2

<0

x

p > 0

↓↓↓

y Fig. 4.4 – Convenzioni positive per la concavità di una una curva, il carico e il momento.

Occorre infine ricordare che nelle sezioni in cui T=0 si T=0 si annulla anche la derivata prima di M di M ; in tali punti la tangente al diagramma del momento è parallela all'asse dell'asta su cui si sta tracciando il diagramma. Se vi è una sola sezione in cui sia T=0, T=0, in tale sezione il diagramma del momento è stazionario, ammettendo un valore massimo (o minimo). Infine, poiché nel caso del taglio non si è fissato a priori su quale lato si traccia il diagramma, la concavità del diagramma, quando p(x) è p(x) è una funzione lineare, viene determinata in funzione dei valori di T ai due estremi del campo, e dalla condizione che la tangente al diagramma sia parallela all'asse dell'asta nel punto in cui p(x)=0. cui p(x)=0. La determinazione del momento in una sezione, per integrazione del diagramma del taglio, può risultare meno comprensibile da un punto di vista intuitivo rispetto all'analoga integrazione che conduce alla determinazione del taglio. Per far luce su tale aspetto, si esamini l'elemento di asta rappresentato in Fig. 4.5, su cui agisce un carico uniformemente distribuito p0 e le azioni interne ai due estremi, rispettivamente T A, M A e T B, M B. Si suppongano note le azioni nel punto A e si vogliano determinare quelle nel punto B. Dall’equazione (4.3), o in maniera alternativa ma equivalente, dalla condizione di equilibrio alla traslazione verticale dell’asta, si ricava: T B

= − p 0 L + T A

(4.9)

Noto T B, e sapendo che T(x) è T(x) è una funzione lineare perchè p perchè p0 è costante, si può procedere a tracciare il diagramma del taglio (Fig. 4.5). Noto tale diagramma, l’equazione (4.5) consente il calcolo di M B: M B = M A

+ (T A + T B )

L 2

(4.10)

Il valore M B può anche essere calcolato mediante l’equilibrio alla rotazione dell’asta intorno, ad esempio, al punto B: M B = M A

+ T A L − p 0 L

L 2

(4.11)

Le equazioni (4.10) e (4.11) forniscono, come era logico attendersi, lo stesso valore per M B, come si può facilmente verificare sostituendo nell'equazione (4.11) il valore di T B fornito dalla (4.9). 29

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L'operazione di integrazione può perciò essere sempre sostituita dalla scrittura di un'equazione di equilibrio alla rotazione, che fornisce il valore di M nel punto desiderato. Il diagramma del momento viene tracciato, noti i valori M A ed M ed M B, quando si determini la concavità del diagramma (che dipende dal verso del carico distribuito) e si verifichi che non esistono punti lungo l'asta in cui la tangente al diagramma del momento sia parallela all'asta stessa; tale diagramma è riportato nella già citata Fig. 4.5.

p0

T A M A

T B M B T A

x

+

T B

L

M B M A

Fig. 4.5 – Elemento di asta soggetto a carichi ed azioni interne, e relativi diagrammi.

30

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4.2

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Esempio di calcolo delle azioni interne

Si determinino le azioni interne nella struttura in figura: p B

D

E

L

p

(a)

C L

L

L

p

H A

V A

p (b) H C V C

La struttura rappresentata in (a) è (a) è un arco a tre cerniere ( A e A e C a a terra; B terra; B intermedia) intermedia) non allineate. In (b) (b) sono indicate le reazioni vincolari incognite che possono essere calcolate utilizzando la soluzione standard dell'arco a tre cerniere:

∑ M (CB) = 0

V C ⋅ L − H C ⋅ L

∑ M

V C ⋅ 3 L − H C ⋅ L

B

A

=0

= 0 ⇒ V C = H C +

pL 2 ⋅ L 2 3

−

pL 4 ⋅ L = 0 2 3

da cui si ricava V C pL/6. Le equazioni di equilibrio alla traslazione dell'intera struttura C = H C C = pL/6. forniscono:

∑ F = 0 ∑ F = 0 x

H A = H = H C /6 C = pL = pL/6

y

V A = V C = /6 C = pL pL/6

Il calcolo delle azioni interne può essere effettuato partendo, indifferentemente, dal punto A o A o dal punto C . Per tenere conto delle discontinuità presenti nella distribuzione del carico o nella direzione 31

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della linea d'asse delle aste, la struttura va suddivisa nei seguenti campi:

•

Tratto AD Tratto AD (in D (in D cambia cambia il carico distribuito)

•

Tratto DB Tratto DB (a partire partir e da B da B il il carico distribuito ha intensità nulla)

•

Tratto BE Tratto BE

•

Tratto EC Tratto EC

(in E (in E l'asse l'asse dell'asta cambia direzione)

Partendo dal punto A punto A,, e procedendo da sinistra verso destra, si ha: p A

pL

D

6 pL 6

L'azione assiale sul tratto AD tratto AD è è costante e pari a N a N = pL/6. pL/6. Il carico distribuito ha andamento lineare: il taglio ha andamento parabolico ed il momento è una cubica. Risulta: T A = pL/6 pL/6

T D = pL = pL/6 /6 − pL/2 pL/2 = − pL/ 3

M A = 0

M D

=

pL 6

⋅ L −

pL L 2

⋅ =0 3

Il diagramma del taglio ha tangente orizzontale in A e passa per lo zero tra A e D visto che è positivo in A in A e negativo in D. in D. La La concavità del diagramma del momento è rivolta verso l'alto; M ha ha tangente orizzontale nel punto in cui T =0. =0. Le fibre tese nell'intorno del punto A sono A sono chiaramente quelle inferiori; viste le altre condizioni cui deve soddisfare il diagramma del momento, in tutto il campo AD campo AD risultano tese le fibre inferiori. Si passa ora al tratto DB tratto DB,, mettendo in evidenza le azioni interne che agiscono in D, D, trasmesse dalla parte di struttura che precede D; D; queste forze sono semplicemente la risultante ed il momento risultante delle forze che precedono la sezione D sezione D.. Si ha pertanto: B

D

pL 6 pL 3

L'azione assiale è ancora costante e pari a N a N = = pL/6; pL/6; come nel tratto AD tratto AD il il taglio è descritto da una parabola ed il momento da una cubica. Risulta: T D

=−

pL 3

T B

= − pL / 3 + pL / 2 = pL / 6 32

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M D

=0

M B

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=

pL 3

⋅ L −


pL 2 ⋅ L = 0 2 3

Il diagramma del taglio ha tangente orizzontale in B in B;; M ha ha tangente orizzontale nel punto in cui T = = 0. In B B risulta correttamente M correttamente M = = 0, come imposto dalla presenza della cerniera. La concavità del diagramma del momento è rivolta verso il basso; con considerazioni analoghe a quelle svolte per il campo AD campo AD si si può vedere come risultano tese le fibre superiori. Abbiamo ora il tratto BE tratto BE ; le forze agenti in B in B sono: sono: B

pL

E

6 pL 6

L'azione assiale è ancora pari a N a N = = pL/6; pL/6; non agisce carico distribuito per cui T è è costante ed M ed M è è una funzione lineare, con fibre tese inferiori. Risulta: T B = T E = + pL / 6 M E =

M B = 0

pL 6

⋅ L =

pL2 6

Le azioni agenti sull'ultimo tratto EC sono: pL pL

pL2

6 E

6

6

C La forza orizzontale determina ora il taglio, e quella verticale l'azione assiale. L'azione assiale è costante e pari a N = pL/6; pL/6; T è costante ed M è una funzione lineare, con fibre tese alla sinistra dell'asta. Risulta: T E = T C = − pL / 6 M E =

pL2 6

M C = −

pL 6

⋅ L +

pL2 6

=0

33

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I valori delle azioni interne in C sono sono esattamente quelli determinati dalle reazioni vincolari agenti in tale punto, a riprova del fatto che il calcolo delle reazioni vincolari e quello delle azioni interne sono stati eseguiti correttamente. I diagrammi delle azioni interne sono riportati nella figura che segue. Nello svolgere gli esercizi, tali diagrammi vanno tracciati, asta per asta, contemporaneamente al calcolo delle azioni interne. Come modalità di lavoro, è preferibile determinare (e quindi tracciare) in contemporanea tutti e tre i diagrammi su ciascuna asta, piuttosto che, uno per volta, i tre diagrammi sull'intera struttura.

1/6

/pL 1/6 1/3

1/6 1/6

T/pL 1/6

1/6 M/pL2

34

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5. L'analisi cinematica delle strutture strutture piane Lo scopo dell'analisi cinematica è la determinazione delle condizioni che devono essere rispettate dalla disposizione dei vincoli affinché il pareggio gdl pareggio gdl = gdv divenga gdv divenga anche una condizione sufficiente per l'assenza di movimenti rigidi. In generale, come accennato brevemente nell’introduzione, qualsiasi spostamento di un’asta rigida vincolata a muoversi in un piano può essere assimilato ad una rotazione intorno ad un punto C del piano, detto centro di istantanea rotazione assoluta e indicato usualmente con il simbolo

Ω, come già indicato in Fig. 1.3. Il moto risulta quindi

univocamente definito quando siano note la posizione (due coordinate) del punto dell’angolo di rotazione. Se l’angolo di rotazione

Ω e l’ampiezza ϕ

ϕ ha valore finito, il generico punto P

appartenente al corpo si muoverà su una traiettoria circolare, che ha centro in

Ω, raggio pari alla la

distanza P distanza P Ω e sottende l’angolo al centro ϕ (Fig. 5.1a). Se tuttavia restiamo nell’ambito di validità dell’ipotesi di piccoli spostamenti, l’angolo ϕ è infinitesimo; in tal caso si parla di atto di moto e moto e la traiettoria del punto P può essere confusa con la tangente all’arco di circonferenza nel punto P stesso (ovvero con la sola parte del primo ordine dello spostamento, Fig. 5.1b). Tale traiettoria è quindi perpendicolare alla congiungente P Ω, e l’ampiezza dello spostamento subito dal punto P è P è data da P da P Ω⋅ϕ Ω⋅ϕ, con l’angolo

ϕ misurato in radianti. La componente di tale spostamento lungo una

retta r qualsiasi qualsiasi passante per P per P è è data dal prodotto della rotazione ϕ per per la distanza della retta r dal centro

Ω. Inversamente, dati gli spostamenti di due punti generici del corpo P corpo P e e Q, la posizione del

centro di istantanea rotazione

Ω può essere determinata come intersezione delle normali all’origine

dei vettori spostamento dei due punti P e Q. Le definizioni ora date possono essere generalizzate anche al caso di un moto puramente traslatorio, in cui i vettori spostamento di tutti i punti del corpo sono uguali e paralleli tra di loro, se si considera la traslazione come una particolare rotazione che avviene intorno ad un centro di istantanea rotazione che è situato in un punto all’infinito. P

ϕ

P d s P

s P

dϕ

Ω

Ω

(a)

(b)

Fig. 5.1 – Moto rigido: (a) finito; (b) infinitesimo.

Durante il moto rigido la lunghezza dell’asta si conserva: da un punto di vista matematico la conservazione della lunghezza significa che l’asta si muove in maniera tale che, per ciascun punto, resti costante la componente di spostamento, lungo l’asse dell’asta nella configurazione indeformata. Per dimostrare l’assunto si faccia riferimento alla Fig. 5.2; in essa sia O il punto 35

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intorno a cui avviene la rotazione, e

ϕ l’angolo di rotazione (infinitesimo) subito dall’asta. Senza

perdere di generalità, si possono considerare gli spostamenti dei punti A punti A e B B di estremità dell’asta stessa. Detta d la la distanza dell’asta dal punto O, risulta: AO cos α = d

BO cos β = d

I vettori spostamento dei punti A punti A e e B B,, s A ed s B, sono rispettivamente perpendicolari ai segmenti OA e OA e OB e OB e hanno modulo:

s B = BO ⋅ ϕ

s A = AO ⋅

Siano AA” e BB” le proiezioni lungo AB di s A ed s B. Per esse risulta: AA" = s A cos α = AO ⋅ ϕ ⋅ cos α = d ⋅

BB" = s B cos β = BO ⋅ ϕ ⋅ cos β = d ⋅ da cui discende ovviamente AA” ovviamente AA” = = BB” BB”,, come volevasi dimostrare. B

I

B B

B

φ A I

d φ

α

O Fig. 5.2 – La conservazione della lunghezza dell’asta nel moto rigido infinitesimo.

Si può ora osservare che il più generico atto di moto di un’asta rigida, vincolata a muoversi in un piano ma priva di vincoli nel piano stesso, è la rotazione intorno ad un punto

Ω del piano, del tutto

arbitrario; d'altra parte, l'assenza di qualunque possibilità di movimento significa che, per il corpo dato, il centro di istantanea rotazione

Ω non esiste. I vincoli che vengono applicati ad un corpo

rigido, limitandone in tutto od in parte le possibilità di movimento, pongono delle condizioni sulla posizione del centro di istantanea rotazione del corpo stesso. st esso. Assumendo come corpo rigido un'asta vincolata a muoversi in un piano, è facile vedere che:

36

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• Il vincolo triplo (incastro), levando all'asta ogni possibilità di movimento, implica la non esistenza del centro di istantanea rotazione Ωa dell’asta a.

• I vincoli doppi (cerniera, pattino e manicotto) impongono ad Ωa di essere un punto prefissato del piano. Questo punto coincide, nel caso della cerniera, con il suo perno (Fig. 1.3a), mentre nel caso del pattino e del manicotto è il punto all'infinito in direzione perpendicolare allo scorrimento consentito dal vincolo (Fig. 1.3b e c).

• Se è presente solo un vincolo semplice (carrello o biella) il punto Ωa è vincolato a giacere su una retta; tale retta è, per il carrello, la normale al piano di scorrimento e, per la biella, la congiungente i perni delle due cerniere di estremità. Per verificare l’assunto si consideri l’asta a vincolata a terra con un carrello nel punto A punto A (Fig. (Fig. 5.3a). Il carrello impedisce solo la traslazione verticale del punto A; A; pertanto l’asta a possiede due possibilità di movimento indipendenti, la traslazione orizzontale e la rotazione intorno al punto A punto A.. B

t

B’ sB

sB

B”

B’

B

r

C

C’

A

sA

A’

sC α

A

α

C”

A ΩA

ΩA

(a)

(b)

Fig. 5.3 – La determinazione del centro di istantanea rotazione di un’asta un’asta vincolata a terra con: (a) un carrello; (b) una biella.

Per trovare il centro di istantanea rotazione dell’asta a durante un generico movimento, è sufficiente trovare gli spostamenti di due punti dell’asta, ad es. i due punti di estremità A e A e B B.. Le normali all’origine dei due vettori spostamento si intersecheranno infatti nel centro di istantanea rotazione. Come indicato in Fig. 5.3a si può imprimere all’asta dapprima un moto traslatorio di ampiezza arbitraria sA; tutti i punti dell’asta subiscono lo stesso spostamento e l’asta si porta nella configurazione A’B’. Si imprima successivamente una rotazione infinitesima di ampiezza arbitraria

α; essa ha luogo intorno al punto A’, che quindi resta fermo, e tutti gli altri punti

dell’asta si muovono secondo le regole del moto rotatorio rigido infinitesimo. L’asta si porta nella configurazione finale A’B”. Il vettore spostamento del punto A nella configurazione finale è il vettore AA’, quello del punto B è il vettore BB”. Le normali per l’origine ai vettori AA’ e BB” si intersecano in un punto

Ωa, la cui posizione dipende dalle ampiezze relative dei moti 37

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traslatorio e rotatorio, e che rappresenta il centro di istantanea rotazione dell’asta per il particolare moto considerato. Osserviamo tuttavia che, poiché il punto A A può solo traslare in orizzontale, il punto

Ωa di intersezione delle due normali, al variare delle ampiezze relative, si

muove nel piano restando sulla retta normale alla perpendicolare al piano di scorrimento del carrello nel punto A punto A.. Si osservi che la direzione di questa retta coincide anche con la direzione della reazione vincolare trasmessa dal carrello. In maniera del tutto analoga si può procedere nel caso che l’asta a – asta BC - sia vincolata a terra tramite una biella b – asta AB (Fig. 5.3b). Osserviamo che la cerniera in A in A fissa fissa il centro di istantanea rotazione assoluto

Ω b della biella b, mentre la cerniera in B B fissa la posizione del

punto intorno a cui avviene la rotazione relativa tra a e b, il centro di istantanea rotazione relativa

ωa,b. La presenza delle due cerniere (e quindi dei due centri di istantanea rotazione) dà

all’asta b due possibilità di movimento indipendenti: quella costituita dalla rotazione intorno al punto A A e quella costituita dalla rotazione intorno al punto B. Come nel caso del carrello, facciamo avvenire questi due movimenti in sequenza e troviamo i vettori spostamento dei punti B e C di estremità dell’asta. La rotazione di ampiezza infinitesima (ma del tutto arbitraria)

α,

avviene come se in B l’asta B l’asta fosse continua e porta B in B’ e C in C’ . La rotazione dell’asta a intorno a B a B avviene avviene mantenendo ferma l’asta b; il centro di istantanea rotazione dell’asta a per questo secondo moto è quindi il punto B’ , e l’asta si porta nella configurazione finale B’C”. B’C”. Analogamente al caso del carrello, si può osservare che il centro di istantanea rotazione

Ωa è

l’intersezione delle rette r e r e t , normali nell’origine dei due vettori BB’ e CC”, e che al variare delle ampiezze relative dei due moti rotatori, il punto

Ωa si muove restando sulla retta

congiungente Ω b con ω a,b a,b, che sono in questo caso semplicemente i perni delle due cerniere in A e B. Se una delle due cerniere (ad es. quella in B) fosse sostituita da un pattino o un manicotto il suo perno sarebbe un punto improprio e

Ωa sarebbe vincolato a stare sulla retta che passa per

A=Ω b e ha la direzione determinata da ωa,b.

• In assenza di vincoli Ωa può essere un punto qualunque del piano. 5.1

L'analisi cinematica delle strutture piane composte da una sola asta

L'analisi cinematica di una singola asta serve a stabilire se i vincoli ad essa applicati consentono l'esistenza del centro di istantanea rotazione Ωa. A tal fine si determina quale condizione impone ad

Ωa ciascun vincolo presente, e si controlla se le varie condizioni sono tra loro compatibili, ovvero se esiste un punto del piano che le soddisfi contemporaneamente tutte. In caso affermativo il centro di istantanea rotazione esiste, l'asta può muoversi e si dice labile; in caso contrario invece il centro di 38

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istantanea rotazione non esiste e l'asta si dice non labile. Sono possibili le seguenti tre situazioni: 1. L'asta è vincolata con un vincolo triplo (incastro);

Ωa non esiste e l'asta risulta sicuramente non

labile.

(b)

(a)

Fig. 5.4 – L’asta cerniera e carrello: (a) non labile; (b) labile.

2. L'asta è vincolata con un vincolo doppio ed uno semplice (ad es. una cerniera ed un carrello); il primo impone ad

Ωa di essere in un punto X punto X del del piano, ed il secondo di appartenere ad una retta

x. x. Se la retta x non x non contiene il punto X, contrario

Ωa non esiste e l'asta è non labile (Fig. 5.4a); in caso

Ωa esiste (Fig. 5.4b) e coincide con il punto X che soddisfa contemporaneamente la

condizione imposta dal vincolo semplice (appartenenza alla retta x retta x)) e quella imposta dal vincolo doppio (coincidenza con il punto X punto X ). ). 3. L'asta è vincolata con tre vincoli semplici (tre carrelli o bielle), ciascuno dei quali impone al centro di istantanea rotazione di appartenere ad una retta. Siano r , s, s, t le le rette determinate dai tre vincoli: se esse ammettono un punto di intersezione comune S , Ωa esiste e coincide con S , unico punto del piano che soddisfa contemporaneamente le condizioni imposte da ciascun vincolo (Fig. 5.5a); in caso contrario

Ωa non esiste e l'asta è non labile (Fig. 5.5b).

L'analisi cinematica dell'asta vincolata con tre carrelli può essere ricondotta a quella dell'asta vincolata con un vincolo doppio ed un vincolo semplice; infatti, l'intersezione di due qualunque delle tre rette (ad es. le rette r ed r ed s s)) determina un punto R del R del piano (Fig. 5.5b), che rappresenta il centro di istantanea rotazione Ω a per effetto combinato dei due vincoli che hanno determinato le rette r ed s ed s.. L'asta risulta non labile se la retta t non non passa per R per R,, e labile nel caso contrario. Questo risultato è del tutto generale: due vincoli semplici applicati alla stessa asta possono sempre essere composti in modo da dar luogo ad un vincolo doppio. 39

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(a)

(b)

Fig. 5.5 – L’asta con tre vincoli semplici: (a) labile; (b) non labile.

5.2

L'analisi cinematica delle strutture piane composte da più aste

L'analisi cinematica di strutture composte da più aste si esegue con gli stessi criteri, ricordando che in tal caso occorre verificare non solo che la struttura nel suo complesso non presenti possibilità di movimento rispetto ad un dato riferimento, ma anche che non esistano possibilità di movimento relativo tra le aste che compongono la struttura. Per distinguere le due possibilità di movimento, nel seguito designeremo con

Ωa il centro di istantanea rotazione assoluto di un'asta , e con ωa,b il centro

di istantanea rotazione relativo tra l'asta a e l'asta b. Definiamo come arco a tre cerniere una struttura composta da due aste a e b, ciascuna vincolata a terra con un vincolo doppio e mutuamente collegate tra di loro tramite un vincolo doppio. I due vincoli a terra impongono ad

Ωa ed Ω b di essere in un punto prefissato del piano, mentre il vincolo

interno fissa la posizione di

ωa,b (Fig. 5.6a). Tale struttura presenta una mobilità interna, che è

quella consentita dal vincolo interno doppio; l'assenza di mobilità si avrebbe in presenza di un vincolo triplo, ovvero della continuità tra le due aste, che di fatto le renderebbe un unico corpo rigido. Tale mobilità interna è compensata dalla presenza a terra di quattro vincoli, uno in più di quelli (tre) che sarebbero necessari nel caso di un corpo rigido. L'analisi cinematica dell'arco a tre cerniere può essere ricondotta a quella dell'asta vincolata a terra con un vincolo doppio ed un vincolo semplice; fissando la nostra attenzione ad esempio sull'asta a osserviamo che a è collegata a terra tramite un vincolo doppio, che impone ad

Ωa di essere in un punto X prefissato prefissato del piano, e

tramite l'asta b che può essere considerata, dal punto di vista cinematico, equivalente ad una biella. Per effetto dell'asta b il centro di istantanea rotazione Ωa(b) giace sulla retta x retta x congiungente congiungente

ωa,b con

se x non non contiene il punto X , determinato dal vincolo doppio di a, si può concludere che Ωa non Ω b: se x esiste e che la struttura è non labile (Fig.5.6b). La dimostrazione non cambia se si concentra l'attenzione sull'asta b anzichè sulla a; si può pertanto concludere che l'arco a tre cerniere è non labile se le tre cerniere (Ωa, Ω b, ωa,b) non sono allineate, e labile nel caso contrario (Fig. 5.7). 40

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ωa,b

b

a

Ωa

Ωb

(a)

(b)

Fig. 5.6 – L’arco a tre cerniere: (a) centri di istantanea rotazione; (b) analisi cinematica.

Ωa

ωa,b

Ωb

b

a

Fig. 5.7 – Condizione di labilità dell’arco a tre cerniere.

Un'altra struttura su cui è importante fissare la nostra attenzione è quella che si ottiene da un arco a tre cerniere, qualora le aste a e b, anziché essere collegate a terra, siano entrambe collegate, ciascuna mediante un vincolo doppio, ad una terza asta c (Fig. 5.8a). La struttura così ottenuta, detta circolo chiuso isostatico, non presenta vincoli a terra, ma, se non labile, costituisce un corpo rigido

in cui non esistono possibilità di movimento relativo tra le aste che la compongono. Infatti, l'asta a e l'asta b sono collegate tra di loro tramite un vincolo doppio, che impone ad

ωa,b di essere in un punto

R prefissato R prefissato del piano, e tramite l'asta c, equivalente, dal punto di vista cinematico, ad una biella. Il centro di istantanea rotazione ωa,b(c) giace sulla retta r congiungente congiungente

ωa,c con ωc,b; se r non non contiene

il punto R, R, determinato dal vincolo doppio che collega l'asta a con l'asta b, si può concludere che

ωa,b non esiste e che le aste a e b non hanno possibilità di movimento relativo (Fig. 5.8b). Il ragionamento è analogo se si concentra l'attenzione sulla coppia di aste b e c, o a e c; si può concludere che il circolo chiuso è non labile se le tre cerniere ( ωa,b,

ω b,c, ωa,c) non sono allineate,

ritrovando così la stessa condizione che impone la non labilità dell'arco a tre cerniere, da cui il circolo chiuso isostatico deriva. Il circolo chiuso isostatico non labile necessita poi, ovviamente, di tre vincoli a terra, dei quali occorre comunque controllare la corretta disposizione; tuttavia, diversamente da quanto accade nel caso dell'arco a tre cerniere, i vincoli a terra non concorrono ad eliminare mobilità interne, ed il controllo della disposizione dei vincoli a terra è totalmente disgiunto dal controllo della disposizione dei vincoli interni.

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ωa,b

a

ωa,c

(a)

c

b

(b)

ωb,c

Fig. 5.8 – Il circolo chiuso isostatico: (a) centri di istantanea rotazione; (b) analisi analisi cinematica

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3 - Strutture isostatiche

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