3. H2 Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran..docx

3. H2 Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Ω1 Ω0

L

R

ᶹZ=0

kR

ᶹr =0 =0 c. de !ontinuidad

∂ρ 1 ∂ ∂ 1 ∂  ρr υ r ) +  ρ  ρ υ Θ ) +  ( ρ  ρ υ z ) =0  +  (  ( ∂ t  r ∂r r ∂Θ ∂r ∂ρ  = 0  do. stacionario ∂ t  ∂ ∂  ρr υ r ) +  ( ρυ  ρ υ z )=0  ( r ∂r ∂r

1

∂  ρ υ Θ ) =0  ( ρυ r ∂Θ

υ r  y υ z =0

1

"er#il co$%leta$ente desarrollado

cuaciones de &ovi$iento en coordenadas cil'ndricas %ara un #lu(o ne)toniano de * + , constante en el e(e

Θ .

r υΘ

(

2

2

]

∂ 1 ∂ 1 ∂ υ Θ 2 ∂ υ r ∂ υΘ  (¿  ( ¿ )+ 2 + + + ρ gΘ ∂r r ∂r r ∂ Θ2 r 2 ∂ Θ ∂ z 2  ρ

(

∂ υΘ ∂ t 

+υr

∂ υ Θ υ Θ ∂ υ Θ υr υ Θ ∂r

+

r ∂Θ

+

r

+ υ z

∂ υΘ ∂z

)

=

−1 ∂ P r ∂Θ

+ μ ¿

r υΘ

(

∂ 1 ∂ (¿) ∂r r ∂ r 0= μ ¿

(

r υΘ

∂ 1 ∂ (¿) ∂r r ∂ r 0

 μ

]

=¿

r υΘ

(

∂ 1 ∂ (¿) ∂r r ∂ r 0

]

=¿

]

r υΘ 1 ∂  (¿) r ∂r ∂ (¿ ]

∫¿

∫ 0 ∂ r =¿ C 1

∫ ∂ r=∫ ∂ r υ

r υθ =

C 1 r 2

Θ

2

+

C 2  …………1

Condiciones límite: r = R υ θ=Ω 0 R

r = kR υθ =Ω1 kR Sustituyendo 2

2

Ω0 R =

C 1 ( R ) 2

+ C 

2

2

C 1 ( kR )

2

(kR ) Ω = 1

+ C 

2

2

Utilizando Determinantes.

Ω0 R

2

1

2

(kR ) Ω

1

1

C 1 =

 R

2

1

2 2

( kR ) 2

2

1

2

]

( Ω −k  Ω )  =  R ( 1 −k  )

2 R

0

2

1

2

2

2

2

 R Ω0 −(kR ) Ω1  R

=

2

2

2

2

 −

(kR ) 2

2

( Ω −k  Ω ) ( 1−k  ) 0

1

2

2

 R Ω0 −(kR ) Ω1 =

2

2

 R −( kR ) 2

 =

[ ] R

2

Ω 0 R

2

2

2

2

( kR )

(kR ) Ω

1

2

C 2 =

 R

2

 R ( kR ) Ω1

2

2

=

2

−

2

( R )

1

2

2

2

(kR ) Ω  R 2

=

2

−

2

0

(kR ) 2

2

( kR )

1

2

2

2

2

 R ( kR ) Ω1−( kR ) Ω 0 R

2

2

( kR ) ¿ (¿ 2 Ω −( kR )¿ ¿ 2 Ω )  =  R  =  R ( 1− k  ) ¿ ¿ 2

2

2

 R −( kR )

1

0

2

2

Ω

(¿ ¿ 0−Ω ) (1− k  ) (kR ) Ω −( kR ) Ω −( kR ) Ω − ( kR ) Ω = =−¿ ( 1 −k  ) ( 1− k  ) 2

1

( kR )

2

2

2

2

1

0

2

0

2

1

2

Sutituyendo en “1”.

Ω

(¿ ¿ 0 −Ω ) (1 −k  ) 2 ( Ω −k  Ω ) r r υθ = −¿ ( 1−k  ) 2 2

1

( kR )

2

2

2

0

1

2

Ω

(¿ ¿ 0 −Ω ) ( 1− k  ) (Ω −k  Ω ) (kR ) υ θ= r− ¿ r (1− k  ) 1

2

2

2

0

1

2

2

Ω

(¿ ¿ 0−Ω ) ( kR ) r ( Ω −k  Ω )− ¿ 1

2

2

0

υθ=

1

r

1 2

( 1−k  )

¿