3.- Aplicacion de La Derivada a Circuitos Electricos Rl y Rc (1)

ZUÑIGA FIESTAS, FIESTAS, Luís

Matemática Aplicada III 1) En el circuito siguiente: 5Ω Ω

3Ω Ω 3Ω Ω 3Ω Ω

2r 2Ω Ω

12 v

3+3 Triangulo a +5+3 3estrella

=1

11 h h 25 25

1Ω Ω

2 Req: 5Ω 2Ω Ω

1Ω Ω

25

1Ω Ω

L eq = L1 eq = h

1Ω Ω

h

25

⇒ Req = = 2 + 1 = 3Ω ⇒ Req = 3 Ω + 1Ω ⇒ Req = 4Ω

a) b) c)

h

Hallar PR (t) en el instante VL (t) = 8v Pmax L (t) = ? P L (t) = ? en el instante PR (t) = 20w

Circuito Equivalente :

1

h

25

12 v

4Ω

V

Pr 36 Pr

12 8 t t1

Electrónica - IDAT - 1 -

t t1

ZUÑIGA FIESTAS, Luís

Matemática Aplicada III

 − a) i(t) =  1 − e R  V

r l

t

 − 14 12  ⇒ i(t) = 4 1 − e 15  

   

t

    

⇒ i(t) = 3(1 − e −60 ) ….. I t

⇒ Pero VL (t) = L × i(t) 

1 ( ( 3) (1 − e −60 ) ) 15 1 −60 = ( ( 3)( −) ( − 60e 15 = 12e −60 …. II t

VL (t) = VL (t) VL (t)

t

) )

t

⇒ Dato: VL (t) = 8v En II : 12e −60t = 8

 8   ⇒ t =  12  1 − 60

t1 = 0.007 seg

PR (t) = 4(3(1-e- 60t)) 2

PR (t) = 36(1-e-60t) 2 .....III

ln

⇒ Hallando PR (t) : PR (t) = R × i2(t)

PR (t) = 4.2 w

PR (t) = 36(1-e(-60x0.007)) 2

b) P L (t)

Pmax L (t) = (P L (t))’ = 0 Pmax L (t)

P L (t) = VL (t) × i(t) P L (t) = (12 e -60t) x (3 (e -60t) P L (t) = 36(e -60t - e -120t) ..... IV t

t2 Reemplazando :

⇒ (P L (t))’ = 0 ⇒ 36 (-60e -60t - 120e -120t) = 0 ⇒e

-60t

- 2e

-120t

=2

⇒ e 120t . e -60t = 2 ln 2 ⇒ t 2 = 60


⇒ (36 (e -60t - e -120t))’ = 0 ⇒ -60 (e -60t - 2e -120t) = 0 ⇒

e

-60t

e

-120t

=2

⇒ e 60t = 2 ⇒ t2 = 0.012 seg



⇒ Pmax L (0.012) = 36 (e(-60 x 0.012) - e(-120 x 0.012))

c)

Pmax L (0.012) = 9 var

PL

PR 36 20

P L (t)

t

t3 ⇒ PR (t) =20 w ⇒ 36 (1 – e-60t)2 = 20  20  + 1 ln − ⇒ t3 =  36   − 60 ⇒ t3 = 0.023 seg

⇒ PL (0.023) = 36 (e(-60 x 0.023) - e(-120 x 0.023) )

1Ω 8

3 2) En el circuito siguiente:


h

t3

PL (0.023) = 6.8 var

4Ω

t



D

E 8 8h h 3 3

8 h 3

D 8 h 3

8 h 3

C 8 h 3

8 h 3

4Ω C

8 h 3 A + 20v

⇒ Hallando Leq :x simetría

l=

6Ω

12Ω

C

8 h 3 B

C

B 3Ω

4Ω

3Ω 1h

A 2Ω

8 h 3

⇒ Hallando Req: x nodos: 3Ω

⇒ Lac = = ⇒ Lac = 2 ⇒ Leq = ⇒ Leq =

C

A

A 2Ω B 4Ω C 2Ω D

⇒ R ac = ⇒ R ad = 4Ω ⇒ R eq = 5Ω

B

l a) b) c)

Hallar PR (t) en el instante VL (t) = 16v Pmax L (t) = ? P L (t) = ? 2 en el instante PR (t) = 50w Circuito Equivalente :

l

3h

20 v

5Ω

V

Pr 80 Pr

 − a) i(t) =  1 − e R  V

20 16 r l

t

    t1


5 − 20  ⇒ i(t) = 5 t 1 − e 3 

t

   

 − 53 ⇒ i(t) = 41 − e  t1

t

 t   ….. I 



⇒ Pero VL (t) = L × i(t)    − 53    VL (t) = 3 ( 4) 1 − e         5  −    5  VL (t) = 3 ( 4) (− )  − e 3     3     t

t

5

VL (t) = 20e − 3 …. II t

⇒ Dato: VL (t) = 16v En II : 20e

−

5 3

t

= 16

16  ln    ⇒ t 1 =  20 −5 3

t1 = 0.134 seg

⇒ Hallando PR (t) : 2

5   − 53   −  2 3  PR (t) = R × i (t) PR (t) = 5  41 − e    PR (t) = 801 − e      2  − 53 ( 0.134 )   PR (0.134) = 3.2 w PR (0.134) = 801 − e    t

2

t

   ……III 

b) Pmax L (t) = (P L (t))’ = 0 P L (t)

P L (t) = VL (t) i(t)

Pmax L (t)

P L (t) = P L (t) = ..... IV

t2

Reemplazando :


t



  − 53 − 103    ⇒  80 e − e    ’ = 0     5 10 − −  5  3 ⇒ −  e − 2e 3   = 0 3   t

⇒ (P L (t))’ = 0  5 − 53 10 −103 ⇒ 80 − e + e 3  3 t

⇒ ⇒ ⇒

5 t e 3

−

5 t e 3

−

=2 ×

   = 0 

t

10 t e 3

⇒

e 3

−10 t

=2

e 3

10 t e3

⇒

=2

5 t e3

=2

⇒ t2 = 0.416 seg

 − 53 ( 0.416 ) −103 ( 0.416 )   −e ⇒ Pmax L (0.416) = 80 e   

c)

t

− 5 t

−

ln 2 = ( )  5     3 

t 2

t

t

Pmax L (0.416) = 20.0 var

PL

PR 80 50 20

P L (t)

t

t3 ⇒ PR (t) = 50 w

t3

2

 − 53  ⇒ 801 − e   = 50    50  + 1 ln −  80   ⇒ t3 = 5  −     3  ⇒ t3 = 0.938 seg t

 − 53 ( 0.938 ) −103 ( 0.938 )   −e ⇒ PL (0.938) = 80 e    3) En el circuito siguiente: 8h

D 8h

6Ω D

E

8h

8h


8h

PL (0.938) = 13.2 var

6Ω C

t



8Ω

6Ω 12Ω C

8h 8h

8h B

C 8h

C 3Ω

A + - 3h 80v

8h

B 3Ω

2Ω

A 4Ω

⇒ Hallando Leq :x simetría

⇒ Hallando Req: x nodos: 6Ω

B

8Ω

6Ω

A A

6Ω

B

8Ω

3Ω

A

⇒ Lac = 3h ⇒ Leq = ( 3h × 2) + 3h ⇒ Leq = 9h

3Ω

A

B

4Ω

B 3Ω 2Ω R ad = 5Ω R eq = 5Ω +6Ω R eq = 11Ω


C

2Ω

3Ω D

Circuito Equivalente : 9h

11Ω

80 v

Pr

V

581.82 Pr

 − a) i(t) =  1 − e R  V

80 30 r l

D

3Ω

C

a) b) c)

C

t

 t1   


t 80  ⇒ i(t) = 11 1 − 

t 11 − t e 9

   

t 80  ⇒1 i(t) = 11 1 − 

11 − t e 9

   ….. I 

D



⇒ Pero VL (t) = L × i(t)    80   −119     VL (t) = 9   1 − e       11      80   11 − VL (t) = 9   ( − )  − e   11   9 t

11 9

11

t

        

VL (t) = 80e − 9 …. II t

⇒ Dato: VL (t) = 30v En II : 11 t e 9

80

−

30  ln   80  ⇒ t 1 =  11 − 9

= 30

t1 = 0.802 seg

⇒ Hallando PR (t) :  80  − PR (t) = R × i2(t) PR (t) = 11  1 − e  11  2 11 − ( 0.802 )  6400  1 − e 9  PR (0.802) =  11  

11

2

t

9

       

11 − 6400  1 − e 9 PR (t) = 11 

2

t

   ……III 

PR (0.802) = 227.1 w

b) Pmax L (t) = (P L (t))’ = 0 P L (t)

P L (t) = VL (t) i(t)

Pmax L (t)

P L (t) = P L (t) = ..... IV

t2

t

Reemplazando :

⇒ (P L (t))’ = 0


 6400  −119 − 229 ⇒  11  e − e   t

t

      ’ = 0  


Matemática Aplicada III 11 22 − − 6400  11 22 9 ⇒ 11  − 9 e + 9 e 9  t

⇒

11 t e 9

⇒

11 t e 9

⇒

−

−

t 2

   = 0 

11 22 − − 11  9 ⇒ − 9  e − 2e 9  t

−

⇒

11 t e 9 − 22 t e 9

22 t e9

⇒

11 t e9

=2 ×

t

t

   = 0 

−

22 t e 9

=2

= ln( 2)  11     9 

=2

=2

⇒ t2 = 0.567 seg

11 22 − ( 0.567 ) − ( 0.567 )  6400  9  −e 9 ⇒ Pmax L (0.567) = 11  e  Pmax L (0.567) = 145.5 var  

c)

PL

PR 581.82 100

P L (t)

t

t3 ⇒ PR (t) = 100 w

t

t3

2

11 −  6400   1 − e 9  ⇒   = 100 11       100  + 1 ln −  6400  ⇒ t3 =   11   11  −     9  ⇒ t3 = 0.438 seg t

11 22 − ( 0.438 ) − ( 0.438 )  6400  9  −e 9 ⇒ PL (0.438) = 11  e    4) En el circuito siguiente:

3Ω 16h

PL (0.438) = 141.2 var

1Ω

2Ω

1 6h 12h

24h 24h

6Ω 3Ω

4Ω

3Ω

3Ω

6Ω 5Ω

4Ω

2Ω

Electrónica - IDAT - 9 3Ω

5Ω

6Ω


Matemática Aplicada III 2Ω

⇒ Hallando Leq :x nodos

⇒ Hallando Req: x Puente Weasteone: 1Ω a

a

c

4Ω

c

1Ω b

b

a

b

1Ω

2Ω

6Ω

2Ω

6Ω

3Ω

5Ω

3Ω

⇒ R ab = 5Ω ⇒ R eq = 5Ω + 3Ω ⇒ R eq = 8Ω a

c

⇒ Lac = 8h ⇒ Leq = 8h + 4h ⇒ Leq = 12h a) b) c)


Circuito Equivalente : 12 h 60 v


8Ω

5Ω

4Ω



Pr

V

450 Pr

60 40 t

t

t1

 − a) i(t) =  1 − e R  V

r

t1

   

t

l

8 − 60  12 ⇒ i(t) = 8 1 − e 

t

 − ⇒ i(t) = 2 1 − e 

   

15

2 3

t

   ….. I 

⇒ Pero VL (t) = L × i(t)    15   − 23     VL (t) = 12   1 − e       2      15   2 −     12 VL (t) =    ( − )  − e   2 3        t

2

t

3

VL (t) =

⇒ Dato: VL (t) =

60e

−

2 3

t

…. II

40v

En II :

 40    =  60  −2 ln

2 t e 3

60

−

⇒

= 40

t 1

t1 = 0.608 seg

3

⇒ Hallando PR (t) :  15  − PR (t) = R × i2(t) PR (t) = 8  1 − e  2  2  − 23 ( 0.608 )   PR (0.608) = 4501 − e   

2 3

2

t

       

 − 23 PR (t) = 4501 − e 

2

t

   ……III 

PR (0.608) = 50 w

b)

Pmax L (t) = (P L (t))’ = 0 P L (t)

P L (t) = VL (t) i(t)

Pmax L (t)

P L (t) = P L (t) = ..... IV

Electrónica - IDAT - 11 t2

t



Reemplazando :

  − 23 − 43    ⇒  450 e − e    ’ = 0     2 4 − −  2  3 ⇒ −  e − 2e 3   = 0 3   t

⇒ (P L (t))’ = 0  2 − 23 4 − 43 ⇒ 450 − e + e 3  3 t

t

   = 0 

t

t

2 t e 3 − 4 t e 3

t

−

2

⇒

e

⇒

2 t e 3

⇒

−

−

t 2

t

3

= 2e ×

4 t e3

−

4

t

3

=2

ln 2 = ( )  2     3 

⇒ ⇒

2 t e3

=2 =2

⇒ t2 = 1.040 seg

 − 23 (1.040 ) − 43 (1.040 )   −e ⇒ Pmax L (1.040) = 450 e   

Pmax L (1.040) = 112.5 var

c) PL

PR 450 200

P L (t)

t

t3

⇒ PR (t) = 200 w 2  − 23  ⇒ 4501 − e   = 200   t


t3

t





200  + 1 450    ⇒ t3 = 2  −     3  ⇒ t3 = 1.648 seg ln −

 − 23 (1.648 ) − 43 (1.648 )   −e ⇒ PL (1.648) = 450 e   

PL (1.648) = 100 var

5) En el circuito siguiente:

9

Ω


1h

Ω

8

2h


Matemática Aplicada III 9Ω

9Ω

3Ω

8h

3h

8h

4Ω 6Ω

6Ω

6Ω

6h

6h 2h 80v

⇒ Hallando Leq :x nodos 3Ω

⇒ Hallando Req: x Puente Weasteone: d e

a

2Ω

b

1Ω

c

Ω

3

1h

b 2h

3h

d

4h

3h

⇒R ad = 2Ω ⇒R eq = 2Ω + 8Ω ⇒ R eq = 10Ω

a

a

⇒Lae = 4h ⇒R eq = 4h + 2h ⇒ R eq = 6h

a) b) c)


Circuito Equivalente : 6h

10Ω

80 v

Pr

V

640 Pr Electrónica - IDAT - 14 t1

80 50 t

t t1



 − a) i(t) =  1 − e R  V

r

   

t

l

10 − 80  ⇒ i(t) = 10 1 − e 6 

t

   

 − 53 ⇒ i(t) = 81 − e 

t

   ….. I 

⇒ Pero VL (t) = L × i(t)    − 53    VL (t) = 6 ( 8) 1 − e           5 −     VL (t) = 6 ( 8)( −)  − e    3     t

5

t

3

5

VL (t) = 80e − …. II t

3

⇒ Dato: VL (t) = 50v En II : 5 t e 3

80

−

50  ln    ⇒ t 1 =  80 −5 3

= 50

t1 = 0.282 seg

⇒ Hallando PR (t) : PR (t) = R × i2(t)

  − 53 PR (t) = 10  81 − e  

2

t

       

 − 53 PR (t) = 6401 − e 

2

t

  ……III  

2

 − 53 ( 0.282 )   PR (0.282) = 6401 − e   

PR (0.282) = 90 w

Pmax L (t) = (P L (t))’ = 0

b) P L (t)

P L (t) = VL (t) i(t)

Pmax L (t)

P L (t) = P L (t) = ..... IV

Electrónica - IDAT - 15 t2

t



Reemplazando :

  − 53 −103    ⇒  640 e − e    ’ = 0     5 10 − −  5  3 ⇒ −  e − 2e 3   = 0 3   t

⇒ (P L (t))’ = 0  5 − 53 10 −103 ⇒ 640 − e + e 3  3 t

⇒

5 t e 3

⇒

−

⇒

−

e

5

t 2

t

3

=

t

  = 0  

t

10

×e

−

t

3

ln( 2)  5     3 

5 t e 3

t

−

10 t e 3

=2

t

⇒ ⇒

=2

10 t e 3

−

5

e3

t

=2

º

=2

⇒ t2 = 0.416 seg

 − 640 ⇒ Pmax L (0.416) =  e 

5 3

( 0.416 )

10

−e

− ( 0.416 ) 3

   

Pmax L (0.416) = 160 var

c) PL

PR 640 300

P L (t)

t

t3

⇒ PR (t) = 300 w 2  − 53  ⇒ 6401 − e   = 300   t


t3

t





300  + 1 640    ⇒ t3 = 5  −     3  ⇒ t3 = 0.692 seg ln −

 − 53 ( 0.692 ) −103 ( 0.692 )   −e ⇒ PL (1.648) = 640 e   


PL (0.692) = 138.2 var

3.- Aplicacion de La Derivada a Circuitos Electricos Rl y Rc (1)

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