1. A través de un lecho constituido por partículas de forma cúbica de 5 mm de arista, se hace pasar un gas con velocidad de 1 m/s referida al área de la sección normal del lecho. La densidad de las partículas es de 1500 kg/m 3 y la densidad global o densidad aparente del lecho es de 950 kg/m 3. Calcúlese: a) La fracción hueca, b) El diámetro equivalente, c) La pérdida de presión a través del lecho para una altura de 2 m si la densidad del gas a la temperatura de operación y a la presión media entre los valores de entrada y salida en el lecho es de 0,70 kg/m 3, y su viscosidad 0,020 cP.
Vhueco Mlecho / lecho Msólido / sólido Vlecho Mlecho / lecho 1
lecho 950 1 0,367 1500 sólido
b) La superficie específica de las partículas será: S0
6. 0,52
12cm1
0,53 El diámetro de las partículas esféricas, con igual S0 que las partículas cúbicas, será: 6 D 0,5 S0
c) El valor de Re p está dado por la ecuación: Re p Re p
D.vs . 1 .
0,5 100 0,70 103 0,633 0,020102
277
Para valores de Rp correspondientes a la zona de transición, entre 1 y 10 4, se aplica la 150 1,75 ecuación: f p Re p Sustituyendo valores en la ecuación anterior: 150 1,75 2,29 f p 277 A partir de la ecuación: f p hf
3 D g determinamos la pérdida de presión. 1 L vs2
1 = 1 190 m 3 2 9 , 81 0,367 0,5 10 Por consiguiente: P hf = 0,701 190=830 kgf/m 2 = 8,3 x 10 -2 atm = 61 mm Hg
hf 2,29
0,633
2
2. Un gas a la velocidad másica de 20 000 kg/m 2 h circula a través de un lecho constituido por partículas esféricas de 3 mm de diámetro. La fracción hueca del lecho es 0,45, la densidad media del gas en las condiciones de operación es de 1 kg/m 3 y su viscosidad 0,016 cP. Calcúlese la pérdida de presión por unidad de longitud del lecho.
hf 1 2 (1 ) 150 3 2 vs 1,75 3 vs2 L D g gD
Expresando la ecuación de Ergun en función de la pérdida de presión a través del lecho y la velocidad másica del gas y multiplicando todos los términos de la ecuación por el peso específico del fluido obtenemos:
P 1501 2 v 1,75 (1 ) vs2 s L 3 D2gc 3gc D Como la velocidad másica del gas G es el producto de la velocidad por la densidad, la ecuación anterior se puede escribir de la forma: P G (1 ) 150(1 ) 1,75G L gcD 3 D Sustituyendo los valores numéricos en esta ecuación, tenemos:
0,551,6 105 20000 150 1,75 3 103 3600 L 1 9,81 3 103 3600 0,453 P 11250kgf / m2 1,125atm/ m
P
20000 0,55
L
m
10. Se cuenta con los siguientes datos de filtración de una suspensión de CaCO3 en agua a 25 ºC a presión constante (- P) de 338 kN/m 2. El área de filtración de la prensa de placas y marcos es 0,0439 m 2 y la concentración de la suspensión es 23,47 kg sólido/m3. Calcúlense: a) las constantes y Rm, b) el tiempo necesario para obtener 3,37 m3 de filtrado en una prensa de placas y marcos que tiene 20 marcos y un área de 0,873 m 2; c) el tiempo de lavado y el tiempo total del ciclo de filtrado, usando al final del proceso un volumen de agua igual al 10% del volumen de filtrado, suponiendo que la limpieza del equipo requiere 20 min. Los datos están expresados como t = tiempo en s y V = volumen de filtrado en m 3. V x 103
t
V x 103
t
0,498 1,000 1,501 2,000 2,489
4,4 9,5 16,3 24,6 34,7
3,002 3,506 4,004 4,502 5,009
46,1 59,0 73,6 89,4 107,3
a) Se calculan los datos como t/V y se grafican contra V, determinándose la intersección (B) y la pendiente (Kp/2) V x 10 3
t
0
0
0,498 1,000 1,501 2,000 2,489
4,4 9,5 16,3 24,6 34,7
3,002 3,506 4,004 4,502 5,009
46,1 59,0 73,6 89,4 107,3
(t/V) x 103 8,84 9,50 10,86 12,30 13,89 15,36 16,83 18,38 19,86 21,42
A 298,2 K, la viscosidad del agua es 8,937x10 -4 Pa.s = 8,937x10 -4 kg/m.s Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación para Kp y resolviendo: cs K p A2 (P) 6
6,0010
=
8,937104
(23,47) (0,0439)2 (338103)
1,8631011 m/kg
La resistencia del medio filtrante (R m) la obtenemos de la ecuación: R m B A (P) 6400
8,937104
R m
0,0439 338103
R m = 10,63 1010 m-1
b) En el apartado anterior, A = 0,0439 m 2, K p = 6,00106 s/m6, y B = 6 400 s/m 3. Puesto que y R m tendrán los mismos valores, es posible corregir K p considerando que es proporcional a 1/A2. La nueva área de filtración es: A = 0,873(20) = 17,46 m 2. El nuevo valor de K p es: K p = 6,00106(0,0439/17,46)2 = 37,93 s/m 6 El nuevo valor de B es proporcional a 1/A de acuerdo con la ecuación: 0,0439 B 6400 16,10 s/m3 17,46 El tiempo requerido para obtener 3,37 m 3 de filtrado es: t
K p 2
V2 B V
37,93 (3,37)2 (16,10) (3,37) 269,7 s 2
c) Utilizando la ecuación para lavado de torta en filtro de placas y marcos: 1 1 1 dV 1 1,737103 m3/s dt f 4 K p V B 4 (37,93)(3,37) 16,10
Entonces, el tiempo de lavado con 0,10(3,37), o 0,337 m 3 de agua de lavado es:
tL
0,337 m3
194s 3 3 1,73710 m / s
La duración del ciclo total de filtración es: 269,7 194,0 20 27,73 min Tiempo ciclo 60 60 9. En un proceso de secado se hace circular aire a través de un lecho de semillas de arveja, que están contenidas en una columna cilíndrica de 85 cm de diámetro, presentando su lecho una fracción hueca de 0,40. El aire circula con un caudal de 5 000 m3/h, medidos en las condiciones de entrada a la columna (1,5 atm y 90°C), siendo su viscosidad de 0,0135 mPa.s. Calcular la pérdida de presión, por unidad de longitud del lecho, que experimenta el aire al pasar a través de las semillas. Cálculo de la densidad del aire:
P Maire R T
(1,5 atm)(29 kg / kmol) 3 0,082 atm m (363K) kmol K
1,461kg / m3
Cálculo de la velocidad del aire en la columna: Q 5000m3 / h 1 h vs 2,448 m / s A 2 3600 s (0,85 m) 4
Cálculo del número de Reynolds (Re p): Re p
vs D p
1,461 kg / m3 (2,448 m / s) (0,003 m) 795 1,35105 Pa.s
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación de Ergun, obtenemos:
P L
P L
1 0,402 150
1 2 (1 ) 2 vs 150 3 2 vs 1,75 3
D p
D p
1,35105 Pa.s(2,448 m / s) 1,75 (1 0,40) 1,461 kg / m3(2,448 m / s)2
(0,40)3 (0,003 m)2
P L
(0,40)3 (0,003 m)
(3098 47881) Pa / m 50979 Pa / m 0,52 atm
18. Una suspensión acuosa que contiene un 7% de sólidos insolubles es filtrada, a razón de 10 ton/h, utilizando un filtro prensa de placas y marcos, que trabaja a presión constante de 3 atm. Experimentalmente se ha encontrado que la torta depositada contiene un 50% de humedad, siendo la densidad del sólido seco 3,5 g/cm 3, y el diámetro equivalente de las partículas depositadas 0,002 mm. El lavado de la torta depositada empieza cuando se han filtrado 10 000 kg/h de la papilla de alimentación, utilizándose 150 litros de agua; mientras que en las operaciones de descarga, limpieza y
montaje se emplean 30 minutos. Si se considera despreciable la resistencia que el medio filtrante ofrece a la filtración; calcular: a) La resistencia específica de la torta, b) Volumen de agua filtrada al cabo de una hora, c) Tiempo necesario para realizar el lavado, d) Capacidad de filtración. Para la constante de Kozeny considerar K = 5. Densidad del agua = 1 000 kg/m 3, viscosidad=1 mPa.s. Datos:
En una hora se filtran 10 000 kg de la suspensión. Sólido seco depositado: W = (10 000)(0,07) = 700 kg M
Peso torta humeda 100 kg torta humeda
M
Masa
Peso torta seca sólido
50 kg torta seca
2
seco Masa liquido retenido
Masa
sólido
seco
Si VT = Volumen de torta depositada M 1
1 (1 ) p (1 ) p
VT VT
Sustituyendo los valores conocidos obtenemos: ε = 0,778 Superficie específica de la partícula: 6 6 S0 3 106 m1 D p (0,002103 m) La resistencia específica de la torta se obtiene a partir de la ecuación:
K (1 ) S02
3
s
5 (1 0,778) (3 106 m1)2 (0,778)3(3500kg / m3)
6,07 109
m / kg
Volumen de filtrado recogido en 1 hora: V
W (1 M cs )
cs
700 kg ss (1 2 0,07) 3
(1000 kg / m )(0,07)
8,6m3
A partir de la ecuación de filtración a presión constante, con R m = 0 y (-P) = 3 atm = 2,94105 Pa), tenemos: K p 2 cs t V V2 2 2 (A2 )(P)
c s A 2 (P)
3 1/ 2 V 10 Pa.s t 2
(6,07 109 m / kg) (70kg / m 3 ) (8,6m 3 ) 3,85m 2 (2,94 105 Pa) (3600s)
El caudal de lavado coincide con el del final del filtrado y, como R m = 0, la ecuación se simplifica del modo siguiente: 3 (3,85m2 )2 (2,94105 Pa) dV 1 1 1 A2 (P) 4m 2,9810 s dt f 4 K p V 4 cs V 4 103 Pa.s (6,07 109 m / kg)(70kg / m3)(8,6m3)
El tiempo de lavado será: tL
0,15 m3
2,98 104 m3 / s Cálculo de la capacidad de filtración:
503s
8,6 m3 Fc 1,457103m3 / s 87,42 litros/ min t t L tdlm (3600 5031800)s V
PROB. ADICIONAL .
En un filtro de hojas con régimen de filtración a velocidad constante se separan 150 litros de filtrado después de 30 min de filtración. Durante los 30 primeros minutos la diferencia de presiones aumenta desde 0,3 kgf/cm 2 a 3 kgf/cm2. Calcúlese el volumen de filtrado que se obtendría en los 30 min si el filtro trabajara a la presión constante de 3 kgf/cm2, para filtrar la misma suspensión. La velocidad constante de filtración será:
150 dV 5 dt const 30
litros/ min
Las constantes K v y C de la ecuación de filtración a velocidad constante pueden calcularse aplicando esa ecuación en el instante inicial (V = 0; P = 0,3 kgf/cm 2) y en el instante en que V = 150 litros y P = 3 kgf/cm 2. Para el instante inicial: 0,3 = 0 + C, de donde C = 0,3 kgf/cm 2 Para el instante en que V = 150 litros: 3 = Kv 150 + 0,3 K v
Kp
Cómo Ve
2,7 kgf / cm2 0,018 150 litro
K v /dV / dt (P)
0,018 5 0,0012 min/ litro2 3
0,3 kgf / cm2
16,67 litros kgf / cm2 0,018 litro A partir de la ecuación de filtración a presión constante, en función del V e, tenemos: K p 2 K p 2 t V K pVe V V K pVe V t 0 2 2 2 t Ve V Ve2 K p Entonces, el volumen de filtrado para las condiciones iniciales será: 1/ 2 2 30 2 V 16,67 16,67 207,5 litros 0,0012
11. Los siguientes datos corresponden a la filtración de una suspensión de CaCO3 en agua a 25ºC a 2 2 presión constante (-P) de 190 kN/m . El área de filtración de la prensa de placas y marcos es 0,045 m y 3 la concentración de la suspensión es 23,5 kg sólido/m de filtrado. Calcúlense: a) las constantes y Rm y 3 b) el tiempo necesario para obtener 16 m de filtrado en una prensa de placas y marcos que tiene 25 2 marcos y un área de 0,85 m ; c) el tiempo de lavado y el tiempo total del ciclo de filtrado, usando al final 3 del proceso 1,8 m de agua para el lavado del filtrado, suponiendo que la limpieza del equipo requiere 30 3 min. Los datos están expresados como t = tiempo en s y V = volumen de filtrado en m . 3
V (m )
t/V (s/m 3)
t (s)
0.50
6.30
1.00
14.00
1.50
24.20
2.00
37.40
2.50
51.70
3.00
69.00
3.50
88.80
4.00
110.00
4.50
134.00
Pendiente= Intercepto= a)
3
12.60 14.00 16.13 18.70 20.68 23.00 25.37 27.50 29.78
12.60 14.00 16.13 18.70 20.68 23.00 25.37 27.50 29.78
0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50
4.3996 9.8636 Cs = ΔP = μ= α =
Rm = b)
t/V (s/m3)
V (m )
Kp = B = 23.5 kg/m3 190 kPa = 8.94E-04 Pa.s
8799200 s/m6 9.86E+03 s/m3 Área A(m 2 ) =
0.045
190000 Pa
1.61E+11 m/kg 9.44E+10 m-1
tf?? Vf = 16 m3 N° marcos = 25 Área marco= 0.85 m 2 Af = 21.25 m2 Kpf = 39.4593882 s/m6 Bf = 20.8876235 s/m3 tf = (Kp/2)*V 2 + B*V = 5385.00367 s
c) Velocid ad de lavado (dV/dt)lav = (1/4)*(1/(Kpf*Vf+Bf)) =
3 0.0003833 m /s
Vlav = 1.8 m3 tlav = Vlav/(dV/dt)f = tlimp =
4696.11241 s
30 min
tciclo = tf + tlav + tlimp =
198.018601 min
En experiencias de laboratorio realizadas a presión constante con una suspensión de CaCO3 en agua se han obtenido los datos que se presentan en la Tabla 1. El área del filtro era 440 cm2, la masa de sólido por unidad de volumen de filtrado 23,5 g/litro y la temperatura 25°C. Evalúense α y R m como funciones de la caída de presión, y obténgase una ecuación empírica para α ajustando los resultados.
ΔP = 46 kPa
ΔP = 112 kPa
ΔP = 195 kPa
ΔP = 250 kPa
ΔP = 340 kPa
Tiempo (s)
Volumen de filtrado, litros
Tiempo (s)
Volumen de filtrado, litros
Tiempo (s)
Volumen de filtrado, litros
Tiempo (s)
Volumen de filtrado, litros
Tiempo (s)
Volumen de filtrado, litros
17,3
0,5
6,8
0,5
6,3
0,5
5,0
0,5
4,4
0,5
41,3
1,0
19,0
1,0
14,0
1,0
11,5
1,0
9,5
1,0
72,0
1,5
34,6
1,5
24,2
1,5
19,8
1,5
16,3
1,5
108,3
2,0
53,4
2,0
37,0
2,0
30,1
2,0
24,6
2,0
152,1
2,5
76,0
2,5
51,7
2,5
42,5
2,5
34,7
2,5
201,7
3,0
102,0
3,0
69,0
3,0
56,8
3,0
46,1
3,0
131,2
3,5
88,8
3,5
73,0
3,5
59,0
3,5
165,0
4,0
110,0
4,0
91,2
4,0
73,6
4,0
134,0
4,5
111,0
4,5
89,4
4,5
160,0
5,0
133,0
5,0
107,3
5,0
156,8
5,5
182,5
6,0
75 70
P=46
kPa P=112 kPa P=195 kPa P=250 kPa P=340 kPa
x 9 5 4 2 0 . 1 3 + 8 9 6 2 2 . 2 8 y =
65 60 55 50
) 45 o r t i l / 40 s (
x 8 0 6 7 6 . + 7 6 1 x 1 2 x 2 1 9 6 0 .9 4 . 1 4 + .7 6 8 3 4 3 5 8 + y = .7 9 5 7 1 3 9 8 y = 9 y = 7.
35
V / t 30 25 20
x 2 .9 0 0 9 9 + 2 5 7 y = 6.
15 10 5 0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
V (litros) ΔP, kPa
2
Pend, s/l
Kp, s/m
6
3
B, s/m
α, m/kg
Rm, 1/m
46
13.02495
26049900
28226.89 110461166434.55
6.39E+10
112
7.67806
15356120
10912.16 158542335918.33
6.02E+10
195
4.42196
8843920
9795.85 158973651418.08
9.40E+10
250
3.76834
7536680
7713.98 173686401500.81
9.49E+10
340
2.90099
5801980
6752.00 181844796087.98
1.13E+11
1.20E+011
P * E 8 1 3 8 .8 5 1 + 1 0 E 7 1 2 3 0 . = 5 R m
1.00E+011
1 -
m8.00E+010 , m R 6.00E+010
4.00E+010 0
50
100
150
200 P,
α
Presión, Pa
250
300
350
kPa
log10 Pres.
log10 α
46000 1.1046E+11 4.66275783 11.0432096 112000 1.5854E+11 5.04921802 11.2001453 195000 1.5897E+11 5.29003461 11.2013251 250000 1.7369E+11 5.39794001 11.2397658 340000 1.8184E+11 5.53147892 11.2597009 11.30
11.25
11.20 =
0,2378
9,9552*P
011.15 1
g o l
y = 9,95515 + 0,23787x
11.10
11.05
11.00 4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
log10 P log10 αpred
αpred linear
α0
αpred ec.exp.
11.06447009 1.16003E+11 9019864221
1.16003E+11
11.15640897 1.43354E+11
1.43354E+11
9.02E+09
11.21369923 1.63568E+11
1.63568E+11
11.23936993 1.73528E+11
1.73528E+11
11.27113883 1.86698E+11
1.86698E+11
400
