2.3 Análisis de aceleración de mecanismos planos por método gráfico y analítico.
-Método Analítico
Mecanismos de cuatro barras con juntas de pasador. Las ecuaciones de posición para el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador se derivaron en la sección 4.5 (pp. 162-163). El mecanismo se mostró en la fi gura 4-7 (p. 164) y se muestra de nuevo en la figura 7-5a, en la cual también se muestra una aceleración angular de entrada a 2 aplicada al eslabón 2. Esta aceleración angular de entrada a 2 puede variar con el tiempo. La ecuación de lazo vectorial se mostró en las ecuaciones 4.5a y c, se repiten por conveniencia.
Como antes, se sustituyen los vectores por la notación de número complejo y se denotan las longitudes escalares como a, b, c, d, como se muestra en la figura 7.5.
En la sección 6.7 (p. 271) se diferenció la ecuación 4.5c con respeto al tiempo para obtener una expresión para la velocidad, la cual se repite aquí.
Ahora se establece la diferencia de la ecuación 6.14c con respecto al tiempo para obtener una expresión para las aceleraciones en el mecanismo. Cada término de la ecuación 6.14c contiene dos funciones de tiempo, q y w. Al diferenciar con la regla de la cadena en este ejemplo, se obtienen dos términos en la expresión de aceleración por cada término de la ecuación de velocidad.
Al simplificar y agrupar los términos:
Compare los términos agrupados entre paréntesis con las ecuaciones 7.2 (p. 302). La ecuación 7.7 contiene las componentes tangencial y normal de las aceleraciones de los puntos A y B y de la diferencia de aceleración de B con respecto a A. Observe que éstas son las mismas relaciones utilizadas para resolver el problema gráficamente en la sección 7.2 (p. 304). La ecuación 7.7, en realidad, es la ecuación de diferencia de aceleración 7.4 (p. 303) la que, con la notación aquí utilizada, es:
Donde:
El diagrama vectorial en la fi gura 7-5b (p. 308) muestra estas componentes y es una solución gráfica de la ecuación 7.8a. Las componentes vectoriales también se muestran actuando en sus puntos respectivos en la fi gura 7-5a. Ahora es necesario resolver la ecuación 7.7 (p. 308) para a 3 y a 4 con la aceleración angular a 2, las longitudes de los eslabones, todos los ángulos de los eslabones y las velocidades angulares conocidas. Por lo tanto, el análisis de posición derivado en la sección 4.5 (p. 162) y el análisis de la velocidad de la sección 6.7 (p. 271) deben realizarse primero para determinar los ángulos de los eslabones y las velocidades angulares antes de que se pueda completar el análisis de la aceleración. Se desea resolver la ecuación 7.8 para obtener una expresión en esta forma:
La estrategia de solución será la misma que en el análisis de la posición y velocidad. Primero se sustituye la identidad de Euler de la ecuación 4.4a (p. 165) en cada término de la ecuación 7.7:
Multiplique por el operador j y reacomode:
Ahora es posible separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes al reunir todos los términos reales e imaginarios por separado: -Parte real (componente x):
-Parte imaginaria (componente y):
Observe que en la ecuación 7.11b se eliminaron todas las j. Las ecuaciones 7.11a y 7.11b se resuelven simultáneamente para obtener:
Donde:
Una vez resuelto para a 3 y a 4, es posible entonces resolver para las aceleraciones lineales al sustituir la identidad de Euler en las ecuaciones 7.8b (p. 309).
Donde los términos real e imaginario son las componentes x y, respectivamente. Las ecuaciones 7.12 y 7.13 proporcionan una solución completa de las aceleraciones angulares de los eslabones y de las aceleraciones lineales de las juntas en el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador.
Mecanismo de cuatro barras manivela-corredora.
La primera inversión del mecanismo de manivela-corredera descentrado tiene su bloque deslizante en contacto con el plano de la bancada, como se muestra en la fi gura 7-6a. Sus aceleraciones se resuelven de la misma manera que en el mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador. Las ecuaciones de posición para el mecanismo de cuatro barras manivelacorredera descentrado (inversión número 1) se derivaron en la sección 4.6 (p. 168). El mecanismo se mostró en las figuras 4-9 (p. 169) y 6-21 (p. 273) y se muestra de nuevo en la figura 7-6a en la cual también se señala una aceleración angular de entrada a 2 aplicada al eslabón 2. Esta a 2 puede ser una aceleración de entrada variable con el tiempo. La ecuación de lazo vectorial se repite aquí por conveniencia.
En la sección 6.7 (p. 271) se diferenció la ecuación 4.14b con respecto al tiempo al considerar que a, b, c, q1 y q4 son constantes aunque la longitud del eslabón d varía con el tiempo en esta inversión.
El término d punto es la velocidad lineal del bloque deslizante. La ecuación 6.20a es la ecuación de diferencia de velocidad. Ahora se diferencia la ecuación 6.20a con respecto al tiempo para obtener una expresión para la aceleración en esta inversión del mecanismo manivelacorredera.
Al simplificar:
Observe que la ecuación 7.14 es otra vez la ecuación de diferencia de aceleración:
Observe que en este mecanismo el eslabón 4 se encuentra en rotación pura y por lo tanto w4 y a4 son cero. La aceleración del eslabón 4 tiene sólo una componente “tangencial” de aceleración a lo largo de su trayectoria. Las dos incógnitas en la ecuación vectorial 7.14 son la aceleración angular del eslabón 3, a 3 y la aceleración lineal del eslabón 4, d doble punto. Para determinar las aceleraciones, se sustituye la identidad de Euler.
Y se separan las componentes real (x) e imaginaria (y): -Parte real (componente x):
-Parte imaginaria (componente y):
La ecuación 7.16c se resuelve directamente para a 3 y el resultado sustituido en la ecuación 7.16b para encontrar d con doble punto.
Las otras aceleraciones lineales se encuentran con la ecuación 7.15b y se muestran en el diagrama vectorial de la fi gura 7.6b.
Aceleración de Coriolis Los ejemplos utilizados en los análisis anteriores de la aceleración incluyeron sólo mecanismos con juntas de pasador o la inversión del mecanismo manivelacorredera en la que el bloque deslizante no gira. Cuando una junta deslizante está presente en un eslabón rotatorio, una componente adicional de la aceleración estará presente, la componente Coriolis, así nombrada en honor de su descubridor. La figura 7-7a muestra un sistema simple de dos eslabones que consiste en un eslabón con una ranura radial y un bloque que se desliza dentro de esa ranura. La localización instantánea del bloque es definida por un vector de posición (RP) referido al origen global en el centro del eslabón. Este vector gira y cambia de longitud conforme se mueve el sistema. Como se muestra, éste es un sistema con dos grados de libertad. Las dos entradas al sistema son la aceleración angular (a) del eslabón y la velocidad de deslizamiento lineal relativa (VPdesl) del bloque con respecto al disco. La velocidad angular w es el resultado del historial de tiempo de la aceleración angular. La situación mostrada, con una a en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una w en el sentido de las manecillas del reloj, implica que con anterioridad en el tiempo el eslabón había sido acelerado hasta que alcanzó una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj y ahora se desacelera. La componente de transmisión de la velocidad (VPtransm) es el resultado de la w del eslabón que actúa en el radio RP cuya magnitud es p. La situación en la fi gura 7-7 se muestra en un instante de tiempo. No obstante, las ecuaciones que se deriven serán válidas en todo momento. Se desea determinar la aceleración en el centro del bloque (P) sometido a este movimiento combinado de rotación y deslizamiento. Para ello, primero se escribe la expresión para el vector de posición RP el cual localiza el punto P.
Observe que existen dos funciones de tiempo en la ecuación 7.17, p y q. Cuando se diferencia con respecto al tiempo se obtienen dos términos en la expresión de velocidad:
Éstos son la componente de transmisión y la componente de deslizamiento de la velocidad.
El término pw es la componente de transmisión y está dirigida a 90 grados con respecto al eje de deslizamiento el cual, en este ejemplo, coincide con el vector de posición RP. El término p punto es la componente de deslizamiento y está dirigida a lo largo del eje de deslizamiento en la misma dirección que el vector de posición en este ejemplo. Su suma vectorial es VP como se muestra en la figura 7-7a.
Para obtener una expresión para la aceleración, se debe diferenciar la ecuación 7.18 con respecto al tiempo. Observe que la componente de transmisión contiene tres funciones de tiempo, p, w y q. La regla de la cadena dará tres términos para este término. La componente de deslizamiento de la velocidad contiene dos funciones de tiempo, p y q, que producen dos términos en la derivada para un total de cinco términos, dos de los cuales resultan ser iguales.
Al simplificar y reunir los términos:
Estos términos representan las siguientes componentes:
Observe que el término Coriolis apareció en la expresión de aceleración a consecuencia de la diferenciación, simplemente porque la longitud del vector p es una función del tiempo. La magnitud de la componente Coriolis es dos veces el producto de la velocidad de deslizamiento (ecuación 7.18) y la velocidad angular del eslabón que contiene la ranura. Su dirección está girada a 90 grados de la del vector de posición original RP o en el sentido de las manecillas del reloj o al
contrario, según el sentido de w.* (Observe que se eligió alinear el vector de posición RP con el eje de deslizamiento en la figura 7-7, lo cual siempre se puede hacer sin importar la ubicación del centro de rotación. Véase también la fi gura 7-6 (p. 310) donde R1 está alineado con el eje de deslizamiento.) Las cuatro componentes de la ecuación 7.19 se muestran al actuar en el punto P en la fi gura 7-7b. La aceleración total AP es la suma vectorial de los cuatro términos, como se muestra en la fi gura 7-7c. Observe que el término de la aceleración normal en la ecuación 7.19b es negativo, así que se convierte en una resta cuando se sustituye en la ecuación 7.19c. Esta componente de la aceleración de Coriolis siempre se presenta cuando existe una velocidad de deslizamiento asociada con cualquier miembro que también tiene una velocidad angular. Sin uno u otro de esos dos factores, la componente Coriolis será cero. Probablemente haya experimentado la aceleración de Coriolis durante un paseo en un carrusel o volantín. Si intenta caminar radialmente de afuera hacia dentro (o viceversa) mientras el carrusel gira, será lanzado de lado por la fuerza inercial producida por la aceleración de Coriolis. El sujeto sería el bloque deslizante de la fi gura 7-7 y su velocidad de deslizamiento combinada con la rotación del carrusel creó la componente Coriolis. Cuando caminaba de un radio grande a uno pequeño, la velocidad tangencial cambiaba para coincidir con la de la nueva ubicación del pie en el carrusel. Cualquier cambio de velocidad requiere una aceleración. El “fantasma de Coriolis” fue el que lo empujó de lado en ese carrusel. Otro ejemplo de la componente Coriolis es su efecto en los sistemas climáticos. Las grandes masas de aire que existen en la atmósfera baja de la Tierra, como los huracanes, abarcan un área lo bastante grande como para verse sometidas a velocidades significativamente diferentes en sus extremidades septentrionales y meridionales. La atmósfera gira con la Tierra. La velocidad tangencial de la superficie terrestre generada por su velocidad angular varía desde cero en los polos hasta un máximo de aproximadamente 1 000 mph en el ecuador. Los vientos de un sistema tempestuoso son atraídos hacia la baja presión en su centro. Estos vientos tienen una velocidad de deslizamiento con respecto a la superficie, la que combinada con la w de la Tierra, crea una componente de aceleración de Coriolis en las masas de aire en movimiento. Esta aceleración de Coriolis hace que el aire gire en torno al centro, u “ojo” del sistema tempestuoso. Esta rotación será en sentido contrario al de las manecillas del reloj en el hemisferio norte y en el sentido de las manecillas del reloj en el hemisferio sur. El movimiento de todo el sistema tempestuoso de sur a norte también crea una componente de Coriolis que tenderá a desviar la ruta de la tormenta hacia el este, aunque este efecto a menudo es anulado por las fuerzas creadas por otras
grandes masas de aire tales como sistemas de alta presión, los cuales pueden desviar una tormenta. Estos complicados factores hacen difícil predecir la ruta verdadera de una gran tormenta. Observe que en la solución analítica aquí presentada, la componente de Coriolis será tomada en cuenta automáticamente en tanto la diferenciación se haga de manera correcta. Sin embargo, cuando se realiza un análisis gráfi co de la aceleración, se debe estar alerta para reconocer la presencia de esta componente, calcularla e incluirla en los diagramas vectoriales cuando sus dos constituyentes Vdesl y w no son cero.
Mecanismo de cuatro barras manivela-corredora invertido.
Las ecuaciones de posición para el mecanismo de cuatro barras manivelacorredera invertido se derivaron en la sección 4.7 (p. 170). El mecanismo se mostró en las fi guras 4-10 (p. 170) y 6-22 (p. 275) y se muestra de nuevo en la fi gura 7-8a en la cual también se muestra una aceleración angular de entrada a 2 aplicada al eslabón 2. Esta a 2 puede variar con el tiempo. Las ecuaciones de lazo vectorial 4.14 (p. 169) también son válidas para este mecanismo. Todos los mecanismos de corredera tendrán por lo menos un eslabón cuya longitud efectiva entre las juntas varía cuando el mecanismo se mueve. En esta inversión, la longitud del eslabón 3 entre los puntos A y B, designada como b, cambiará conforme pasa por el bloque deslizante en el eslabón 4. En la sección 6.7 (p. 271) se obtuvo una expresión para la velocidad, al diferenciar la ecuación 4.14b con respecto al tiempo, lo cual nota que a, c, d y q1 son constantes y que b, q3 y q4 varían con el tiempo.
Al diferenciar ésta con respecto al tiempo se obtiene una expresión para la aceleración en esta inversión del mecanismo manivela-corredera.
Al simplificar y reunir los términos:
La ecuación 7.20 es en realidad la ecuación de diferencia de aceleración (ecuación 7.4, p. 303) y se puede escribir en la notación mostrada en la ecuación 7.21.
Pero:
Y:
Como este bloque deslizante también tiene velocidad angular, habrá una componente Coriolis de aceleración no cero en el punto B, la cual es el término 2 b
punto en la ecuación 7.20. Puesto que se realizó un análisis completo de la velocidad antes de analizar la aceleración, la componente Coriolis es fácil de calcular en este punto, si se conocen w y Vdesl por el análisis de la velocidad. El término b con doble punto en las ecuaciones 7.20b y 7.21c es la componente de deslizamiento de la aceleración. Ésta es una de las variables para las que se resolverá en este análisis de la aceleración. Otra variable para la que se resolverá es a4, la aceleración angular del eslabón 4. Observe, sin embargo, que también se tiene una incógnita en a 3, la aceleración angular del eslabón 3. Esto da un total de tres incógnitas. La ecuación 7.20 sólo puede resolverse para dos incógnitas. Por lo tanto, se requiere otra ecuación para resolver el sistema. Existe una relación fi ja entre los ángulos q 3 y q4, mostrada como g en la fi gura 7-8 y definida en la ecuación 4.18, repetida aquí:
Se debe diferenciar dos veces con respecto al tiempo para obtener:
Se resuelve la ecuación 7.20 para obtener una expresión en esta forma:
La sustitución de la identidad de Euler (ecuación 4.4a, p. 165) en la ecuación 7.20 da:
Multiplique por el operador j y sustituya a4 por a 3 de la ecuación 7.22:
Ahora es posible separar esta ecuación vectorial 7.24b en sus dos componentes al reunir todos los términos reales y todos los imaginarios por separado: -Parte real (componente x):
-Parte imaginaria (componente y):
Observe que se eliminaron lasj en la ecuación 7.25b. Las ecuaciones 7.25 se resuelven de manera simultánea para las dos incógnitas, a 4 y b con doble punto. La solución es:
La ecuación 7.26a proporciona la aceleración angular del eslabón 4. La ecuación 7.26b provee la aceleración de deslizamiento en el punto B. Una vez que se encuentran estas variables, las aceleraciones lineales en los puntos A y B del mecanismo de la fi gura 7-8 (p. 314) se encuentran al sustituir la identidad de Euler en las ecuaciones 7.21 (p. 315).
En la figura 7.8b se muestran las componentes de estos vectores.
