2.2. Vibraciones (Ingenieria Sismica Unc 2017-i)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL – FILIAL JAÉN


FACULTAD DE INGENIER ÍA

2.2. 2.2. VIBR VIBRA ACIO CIONES - Las resp respue uestas stas de las las estructu estructuras ras civile civiless a los terre terremot motos os,, las vibraciones de las máquinas máq uinas rotatorias no equilibradas, entre otros fenómenos constituyen problemas dinámicos relacionados con los movimientos de traslación y rotación de cuerpos que oscilan como respuesta a la aplicación de perturbaciones que actúan en presencia de fuerzas restauradoras.



VIBRACIONES - El estud estudio io de las vibr vibracio aciones nes se refie refiere re a los los movim movimien ientos tos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. - Una vibración, es el movimiento periódico de un cuerpo o de un sistema de cuerpos que poseen masa y elasticidad; es decir dec ir,, el movimiento del sistema que se repite en un intervalo de tiempo definido. - El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo natral de vibración ; el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración . - Una vibr vibraci ación ón se se produ produce ce cuan cuando do el el sistema sistema en en cuestió cuestiónn es desplazado desde una posición de equilibrio estable establ e, y este tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio.



TIPOS DE VIBRACIONES - En general, hay dos tipos de vibración : libre y forzada, y pueden ser amortiguada o no amortiguada. - Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar

indefinidamente debido a que los efectos de la fricción son despreciados en el análisis, por ser bastante basta nte pequeños. hec ho,, ya que tanto las fuerzas de fricción internas inter nas como - De hecho las internas están presentes, el movimiento de todos los cuerpos en vibración es en realidad amortiguada. - Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. PPara ara los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley (Ley de Hooke). Por Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas.



2.2.1. VIBRACIÓN LIBRE - La vibración libre ocurre cuando en el movimiento de un sistema no intervienen fuerzas externas y es mantenido por fuerzas restauradoras gravitatorias o elásticas . Por ejemplo, el movimiento oscilatorio de un péndulo. - Una estructura experimenta vibración libre cuando es

perturbada de su posición de equilibrio estático, comienza a vibrar sin ninguna excitación de una fuerza dinámica externa.

- Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por fuerzas de restitución inherentes al mismo. - El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.



A. VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - Es el tipo de movimiento vibratorio más simple. - El movimiento de un sistema lineal de 1GDL, visualizado como un sistema masa-resorte-amortiguador , sometido a una fuerza externa p(t) se rige por la ecuación:

  =  ሷ  ሶ 

1

- Como en el caso de una excitación sísmica no existe fuerza externa, p(t) = 0, y para sistemas sin amortiguamiento, c = 0; la ecuación diferencial que rige la vibración libre es:



 ሷ  = 0

ሷ

2

- Como la variable dependiente y su segunda derivada de la Ec. (2) aparecen en primer grado, se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, además de ser homogénea.



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - Para obtener la solución de la Ec. (2), procedemos suponiendo que la solución es de la forma: ,o Donde y son constantes que dependen de la iniciación del movimiento y representa una característica física del sistema. - Si: En (2), resulta:

 = ( )  = ( ) B   = () ⟹ ሷ =        = 0        = 0   = 0

Para lo cual:

   = 

3



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - La raíz positiva de la Ec. (3), es conocida como frecuencia

()

natural circular en vibración libre del sistema, expresado en s-1 o rad/s. Así, tenemos:

  =  Dividiendo la Ec. (2) entre ecuación (3), resulta:

≠0

4

y haciendo uso de la

ሷ  = 0

5

- La solución general de la Ec. (5) es:

  =    

Las constante de integración A y B dependen de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad de vibración del sistema. Por derivadas sucesivas, se tiene:

6



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - Velocidad:

ሶ  =     ሷ  =     (0) ሶ(0)  = 0  0 = ; ሶ 0 =  ሶ(0)   =     0   ሶ  = ሶ 0    0  

- Aceleración:

7

8

- Como la vibración libre se inicia al sacar al sistema de su posición de equilibrio estático, impartiendo a la masa cierto desplazamiento y velocidad cuando , definido como el instante en que se inicia el movimiento, de las Ec. (6) y (7), se obtiene: 9

Por tanto, las Ec. (6) y (7) se pueden expresar como:

10 11



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - La Ec. (10) describe la respuesta del sistema como un movimiento armónico simple , que también se expresa como: Cuya gráfica es:

  =   

12

()

(0) 

/

2  = 



 

- La Ec. (12) se puede escribir como:

  =   ⋅  ⋅ 

13



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - De las Ec. (6) y (13), se tendrá:

 =   = 

14 15

- Elevando al cuadrado las Ec. (14) y (15), y sumando miembro a miembro se obtiene el desplazamiento máximo del sistema, desde su posición de equilibrio; definido como la AMPLITUD de la vibración.

 =   =

 ሶ(0)  (0)  

16

- Dividiendo la Ec. (15) entre la Ec. (14), se obtiene:

   =  ⟹  =  

17



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO Donde: = Ángulo de fase , y representa la cantidad que la curva es desplazada desde el origen cuando . = Representa la amplitud máxima de las oscilaciones. ( = Representa el tiempo del sistema en adquirir el

∅  á) ∅ 

=0

máximo desplazamiento.

- La curva de la Ec. (12), completa un ciclo (u oscilación) en el intervalo de tiempo , llamado PERIODO, cuando

 = 2. Luego:

=

2  = 

18



VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO - Usando la Ec. (4), el periodo se puede expresar como:

  = 2 

19

- El número de oscilaciones o ciclos que la estructura efectúa por unidad de tiempo, se denomina frecuencia natural, y es igual al recíproco del periodo.

o bien:

1    =  = 2 1   = 2 

20

21

NOTA: El adjetivo natural es usado para describir el periodo T , la frecuencia f y la frecuencia circular ω , ya que sólo dependen de los principales parámetros de la estructura, es decir, de su rigidez y de su masa, más no de sus condiciones iniciales.



B. VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La ecuación de movimiento para un sistema lineal en vibración libre con amortiguamiento, considerando nula la fuerza dinámica, es:

- Al dividir entre - Haciendo:

 ሷ  ሶ  = 0    ሷ   ሶ    = 0    =  ;  = 2 ⟹  = 2 ሷ 2 ሶ  = 0  índice de amortiguamiento

22

resulta:

y usando la Ec. (3), se tiene:

23

24

Donde la cantidad es el y constituye la medida de la rigurosidad del amortiguamiento. (Adimensional)



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La Ec. (24) presenta tres posibles soluciones que dependen de los factores: amortiguamiento crítico y razón o relación de amortiguamiento crítico . Si

 <  ;  < 1  =  ;  = 1  >  ;  > 1





El sistema presenta un amortiguamiento subcrítico (Oscila sobre su posición de equilibrio con un decremento progresivo de su amplitud. El sistema presenta un amortiguamiento crítico (No constituye una vibración dado que el sistema retorna a su posición de equilibrio sin oscilar) El sistema presenta un amortiguamiento supercrítico (No constituye una vibración, ya que el sistema retorna lentamente a su posición de equilibrio sin oscilar)



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La solución de la ecuación diferencial (Ec. 24) para un sistema en vibración libre con amortiguamiento subcrítico es:

  = −( )

25

 frecuencia circular  oscilaciones amortiguadas Donde

representa la

 

de las , y se determina con:

 =  1

26

Las constantes y de la Ec. (25) dependen de las condiciones iniciales y se calculan con:

ሶ 0  .  (0)   =  0 ;  = 

27



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La Ecuación de movimiento también se puede expresar como:

  = á−cos( )

Donde:

y

ሶ 0 á =

 (0)  

(0)  ሶ 0 (0)  =  (0) 

28

29

30



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La figura muestra gráficamente la Ec. (28), y su relación con la respuesta del sistema no amortiguado bajo condiciones iniciales iguales.

  

()

 (0) 1

2  

2  = 

- En el caso amortiguado, el sistema oscila con un periodo ligeramente mayor que el del caso no amortiguado.





VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La amplitud de las oscilaciones amortiguadas decrece en forma exponencial. - El periodo de vibración amortiguada es:

2  = 

31

  = 1

32

Y está relacionado con el periodo natural de vibración sin amortiguamiento con la expresión:

- Para la mayoría de las estructuras el factor del amortiguamiento ξ es menor a 0,2; por lo que el período amortiguado TD es prácticamente igual al período natural no amortiguado T.



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - La relación entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico ( ) está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

     =   =  = − ≈2

33

- La relación entre dos desplazamientos cualesquiera es:

   =    ≈2 El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de  a  y aumentar el periodo natural de T a T ; efecto que es despreciable para una relación de 34

-

D

amortiguamiento ξ debajo del 20%, rango en el cual están incluidas la mayoría de las estructuras.



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO - Valga la redundancia, que para la mayoría de las estructuras ωD y TD son aproximadamente iguales a y T. - Los coeficientes o parámetros para los materiales más comunes de la construcción son:



MATERIAL



COEFICIENTE ( )

Acero

0,01

Madera

0,03

Albañilería

0,04

Concreto

0,05



2.2.2 ENERGÍA DE VIBRACIÓN LIBRE - La energía de entrada a un sistema de 1GDL al impartirle el desplazamiento inicial y la velocidad inicial es:

(0)

1 1   = 2  ሶ(0)  2  (0) 

ሶ 0

35

- En cualquier instante de tiempo, la energía total en un sistema de vibración libre se compone de dos partes, la energía cinética E K de la masa y la energía potencial igual

a la energía de deformación E S de la deformación en el resorte:

1 1    = 2  ሶ  ;   = 2  () 

ሶ 

(t)

- Al sustituir de la Ec. (11) y de la Ec. (10) para un sistema no amortiguado, en la Ec. (36) se llega a:

36



ENERGÍA DE VIBRACIÓN LIBRE

1 ሶ(0)  () = 2     0   1 ሶ(0) () = 2     0 



37

38

- La energía total es independiente del tiempo, lo que implica la conservación de la energía durante la vibración libre de un sistema sin amortiguamiento. - La energía total debida a la energía disipada en el amortiguamiento viscoso, a través del tiempo de 0 a es:

  = න  = න  ሶ

  ሶ =න  ሶ 



39



2.2.3. VIBRACIÓN FORZADA. CARGA ARMÓNICA - Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. - Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias

naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.

- Se estudia ahora el caso en que la estructura se encuentra sometida a una fuerza externa variable armónicamente en el tiempo.



C. VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO

() = ( )

40 - Una fuerza armónica es: Donde: = Amplitud o valor máximo de la fuerza externa. = Frecuencia circular de excitación o de forzamiento.

    = 

Periodo de excitación o de forzamiento.

 = 2/



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO - Reemplazando la Ec. (40) en la ecuación:

=0

 ሷ  ሶ  = ()

- Para , se obtiene la ecuación diferencial de un movimiento forzado (o vibración forzada) por carga armónica, para un sistema no amortiguado:

 ሷ  = ()

41

- La solución particular de la Ec. diferencial (41) es:

 1    =  × 1  /    ;  ≠  - La solución complementaria de la Ec. diferencial (41) es: () =   ()

42

43



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO - La solución completa es la suma de las soluciones complementaria y particular:

 1  () =   ()   × 1 /  ()

44

- Las constantes A y B se determinan aplicando las condiciones iniciales: y .

(0) ሶ(0)

ሶ 0   /     =  0       × 1 /         1    × 1 /  ()  

45

- La Ec. (44) y la figura siguiente, contienen dos componentes de vibración distintas:



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO

(Respuesta del estado permanente) 

)

 

 ( / )  ( 

1/

Respuesta del sistema no amortiguado ante una fuerza armónica; =ωnpo/k. ωE/ωn = 0.2, u(0)=0.5po/k, y

ሶ(0)



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO •

•

( )  excitación o forzamiento representa La expresión

para la oscilación en frecuencia de ; el estado permanente de la vibración forzada, debido a la fuerza aplicada, independientemente de las condiciones iniciales. Las expresiones y para la oscilación en frecuencia natural del sistema; representan el estado transitorio de la vibración libre, que depende del desplazamiento y la velocidad iniciales y , el cual existe incluso si estos valores son nulos. El término “estado transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración libre decrezca en el tiempo. La Ec. (44) para condiciones iniciales en reposo y , se expresa de la siguiente forma:

() () (0) ሶ(0)

ሶ 0 = 0

 0 =0

 1    =  × 1 /     /  

46



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO RESONANCIA - Ignorando el efecto dinámico de la aceleración en la Ec. (41), se obtiene la deformación estática (st) en cada instante:

    =    - El valor máximo de la deformación estática es:     = 

47

48

- Por lo tanto la respuesta dinámica del estado permanente, una oscilación sinusoidal en frecuencia de excitación, puede ser expresada como:

1   =   1 /   

49



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO - Esta ecuación puede reescribirse en términos de la amplitud y el ángulo de fase (ϕ):



  =   ∅ =     ∅

50

 ;  <   1 0   =   = 1 /   ∅ = ቊ180;  > 

51

Donde:



- Donde el Factor de deformación conocida como FAD es la relación de amplitud de deformación vibratoria y la deformación estática debido a la fuerza . - Si ; el FAD es positivo y la oscilación está en fase con la fuerza . - Si ; el FAD es negativo y la oscilación está en oposición de fase (desfasada 180º) con la fuerza.

 <    > 

 

  



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO - Consiguientemente se define la Frecuencia resonante como

aquella frecuencia de excitación para la cual máximo.

 es

- Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es siendo infinito para esta frecuencia. Sin embargo la deformación vibratoria no se vuelve infinita de inmediato, sino que crece indefinidamente, volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito. - Para , la solución dada por la Ec. (46) no es valida. En este caso la elección de la función como una solución particular a la ecuación diferencial, falla debido a que también es una parte de la solución complementaria. - Por tanto, la solución particular es:





 = 

()

    =  2 ()  ;  = 

52



VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO - La solución completa es:

    = ()   2 () 

53

- Las constantes A y B, se determinan aplicando las condiciones iniciales en reposo: y . Por tanto la ecuación de respuesta es:

 0 = 0 ሶ 0 = 0

o:

    = 2   ()    = 1  2   2  ∙ 2    2   

54

55

- El resultado anterior se representa mediante una gráfica, en la cual se muestra que el tiempo empleado para completar un ciclo de vibración es .





VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO



)

 

 ( / )  ( 

1/ Respuesta para un sistema no amortiguado sujeto a carga armónica

= 

:

- En cada ciclo, el incremento de la amplitud está dado por:

     +   = 2 2  1 2 =  

56

- La interpretación de este resultado es, que para estructuras reales a medida que la deformación se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo fallará si es frágil o cederá si es dúctil.



D.VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO RESPUESTAS EN ESTADO ESTACIONARIO Y TRANSITORIAS - Si se incluye el amortiguamiento viscoso en la Ec. (41), la ecuación diferencial que controla la respuesta de los sistemas de 1GDL ante una fuerza armónica es:

 ሷ  ሶ  = ()

57

- La solución particular de esta ecuación diferencial, para las condiciones iniciales y es:

 0 ሶ 0

Donde:

  =         1  /  =  × 1 /   2  /  2  /    =  × 1 /    2 /

58



59



60



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO - La solución complementaria de la Ec. (57) es:

() = −    

61

- La solución completa de la Ec. (57) es:

  = −                  Donde las constantes A y B, pueden determinarse mediante procedimientos estándar en términos del desplazamiento y la velocidad .

0 ሶ 0  = 0,2  = 0,05  0 = 0 ሶ 0 =  ×   

- La siguiente figura muestra la gráfica de la Ec. (62) para ;

;

y

62



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO - La respuesta total es representada por una línea de trazo continuo y la respuesta del estado permanente por una línea discontinua; la diferencia entre ambas es la respuesta transitoria, la cual decae exponencialmente con el tiempo.



)

 

 ( / )  ( 

1/



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO RESONANCIA (RESPUESTA PARA - Usando la Ec. (48), para

 =  

 = 

)

; las Ec. (59) y (60) dan:

    = 0   =  2

63

- Las constantes A y B, se determinan para las condiciones iniciales y , para en la Ec. (62) y su derivada, usando los valores anteriores y las Ec. (26) y (48):

 0 = 0 ሶ 0 = 0

 = 

     = 2   = 2 1 

64

Por tanto, la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armónica para es:

 = 



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO

1  −   () =   2     1         = - El límite de respuesta está dado por:  2

65

66

- Para los sistemas ligeramente amortiguados, el término sinusoidal de la Ec. (65) es pequeño y ; por lo que esta ecuación toma la forma:

()

 ≈ 

1 () ≈   2 − 1   ó 

67

- La deformación varia con el tiempo como una función coseno; es decir, la amplitud se incrementa en función del tiempo de acuerdo con la función envolvente.



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO - La amplitud de la deformación en estado estacionario de un sistema ante una fuerza armónica, con ωE = ωn, y la velocidad a la que se alcanza el estado estacionario están muy influenciadas por el amortiguamiento. - El desplazamiento pico uj después de j ciclos de vibración es determinado sustituyendo en la Ec. (67), estableciendo y utilizando la Ec. (66), de donde se tiene:

cos() = 1

 = 

 = 1− 

68

- La deformación en el estado permanente (o estacionario) del sistema debida a una carga armónica descrita en las Ec. (58), (59) y (60), puede ser reescrita como:

  = ( ∅) =  ( ∅)

69



VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO Donde: La amplitud de la respuesta es:

 =    ∅ =  

•

•

El ángulo de fase es:

70

71

  Factor de Amplificación Dinámica (FAD) de Deformación

- Al sustituir

y

se obtiene el

:

- Haciendo: Resulta:

1

 = 1  /    2 /  y  =  β =  1  = (1)(2)



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VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO - El cambio de fase es:

2 o ∅ = 1  = () × - De la Ec. (51), se obtiene:  - De la Ec. (48), el valor máximo   =    de la deformación estática, es: Por tanto, el máximo desplazamiento es:  1   =  × 1  /    2 /   /   o  =  × = (1)(2) 2  /   ∅ = 1 / 

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2.2. Vibraciones (Ingenieria Sismica Unc 2017-i)

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