208001 Unidad 1 Modulo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA I NGENIERÍA PROGRAMA INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES TELECOMUNICACIONES

MODULO DEL CURSO ACADEMICO

208001 – SISTEMAS AVANZADOS DE TRASMISION I

Ing. CAMILO ACUÑA CARREÑ O AUTOR / DIRECTOR DE CURSO

Santa Marta, 2.012



INTRODUCCIÓN

Sistemas Avanzados de Transmisión I es un curso de carácter teórico, de tres (3) créditos académicos, que se oferta de manera optativa a los estudiantes de pregrado de Electrónica y Telecomunicaciones en la UNAD. El modulo se desarrolla en tres unidades didácticas así: Unidad 1: Aspectos Generales Sobre Guías de Onda Unidad 2: Guías de Onda y Línea de Transmisión Unidad 3: Circuitos en Sistemas Microondas

En cada unidad se desarrollaran actividades de carácter individual, fomentando el aprendizaje autónomo, y trabajos en grupos colaborativos, moderados por el tutor asignado. Las actividades actividades individuales como: Lecciones Evaluativas y Quices son de carácter independiente en donde el estudiante realiza de manera autónoma lecturas, revisión del material de apoyo suministrado en el módulo y el aula virtual. También en este proceso el estudiante tiene la oportunidad de interactuar, con medios tecnológicos y simulaciones que le permiten el adecuado desarrollo del aprendizaje significativo, dado que desde esta práctica, el estudiante es el constructor de sus nuevos conocimientos por medio de la relación entre sus presaberes y la nueva información. A través de los trabajos colaborativos se fomenta la interacción de los grupos. Los estudiantes socializan con los integrantes de los pequeños grupos colaborativos, sus conocimientos, nuevos aportes y opiniones sobre temas asignados, ejercicios



y prácticas; que a través de consensos ofrecen como producto final un trabajo bien estructurado y sustentado por sus integrantes. Los Elementos del Proceso de Aprendizaje (Grafico No.1) necesarios para interactuar en el modulo son: Las TIC, Docente – Tutor, Grupos Colaborativos, Material Escrito y Digital, Conocimientos.



INDICE DE CONTENIDO UNIDADES

CAPITULOS

TEMAS

Lección 1. Principio de Operación y Análisis de de las Guías de Onda Lección 2. Modos de Propagación y Ecuaciones Generales de las Ondas Guiadas 1. ONDAS GUIADAS

Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas Lección 4. Clasificación y Características de las soluciones soluciones TEM, TE y TM. Lección 5. Guía Conductora Ideal. Lección 6. Guías Conductoras de Sección Rectangular Lección 7. Potencia Transmitida y Atenuación

1. ASPECTOS 2. GUÍAS DE ONDA GENERALES SOBRE Lección 8. Guías Conductoras de Sección Circular CONDUCTORAS GUÍAS DE ONDA Lección 9. Cavidades resonantes de paredes conductoras Lección 10. Manejo de la Unidad Decibel (Db). Lección 11. Sistemas de transmisión con condiciones de conductor no perfecto. Lección 12. Disipación en los conductores: constante de atenuación 3. GUÍAS DE ONDA DE CONDUCTORES REALES Lección 13. Constante de atenuación para diferentes modos. Lección 14. Variación de la constante de atenuación atenuación con la frecuencia Lección 15. Modos Degenerados Lección 16. Guía de Ondas Dieléctricas 1. GUÍAS DE ONDA Lección 17. Fibras Ópticas CERRADAS Lección 18. Fibra Óptica Multimodo y Monomodo MULTIDIELECTRICAS Y 2. GUÍAS DE ONDA DIELECTRICAS Lección 19. Pérdida de Potencia Óptica (Atenuación) Y LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Lección 20. Ancho de Banda en Fibras Ópticas

2. LÍNEAS TRANSMISIÓN

Lección 21. Descripción física de la propagación en las Líneas de DE Transmisión Lección 22. Solución de la Ecuación de Onda para la Línea Línea de Transmisión


ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I Lección 23. Definición del Punto Referencia Referencia en la Línea de Transmisión Lección 24. Onda Estacionaria y Relación de Onda Onda Estacionaria ROE/SWR Lección 25. Fundamentación Teórica sobre Cálculo de Potencia en Líneas de Transmisión Lección 26: Adaptación de Impedancias Lección 27: Carta Smith 3. ADAPTACIÓN IMPEDANCIAS

DE

Lección 28. Transformador Lamda/4 Lección 29. Teoría de Pequeñas Reflexiones Lección 30. Criterio Bode - Fano Lección 31. Circuitos en Sistemas Microondas

1. TEORIA CIRCUITOS SISTEMAS MICROONDAS

DE Lección 32. Voltaje y Corriente Equivalentes EN Lección 33. Matriz de Impedancia y Admitancias DE Lección 34. Matriz S (Parámetros S) Lección 35. Flujo grama de Señales Lección 36. Características de un Cuadripolo Lección 37. Relación entre Parámetros de un Cuadripolo

3. CIRCUITOS EN 2. ANÁLISIS SISTEMAS DE CUADRIPOLOS MICROONDAS

DE

Lección 38. Cuadripolo Recíproco y Simétrico Lección 39. Conexión de Cuadripolos Lección 40. Cuadripolos Cargados Lección 41. Circuitos Pasivos de Microondas

3. CIRCUITOS PASIVOS Lección 42. Acopladores Direccionales DE MICROONDAS Y Lección 43. Divisor Wilkinson CIRCUITOS RESONANTES Lección 44. Circuitos Resonantes Lección 45. Líneas de Transmisión Resonantes



UNIDADES 1. ASPECTOS GENERALES SOBRE GUIAS DE ONDA.

Introducción.

El método matemático que se utiliza para analizar una determinada línea o ducto de transmisión depende fundamentalmente del tamaño eléctrico del espacio por el cual se propagan las ondas electromagnéticas. Utilizando las ecuaciones de James Clark Maxwell, podemos representar, analizar y evaluar las ondas electromagnéticas.



CAPÍTULO 1- Ondas Guiadas.

Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que, además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo, avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios semiinfinitos), se van a estudiar las guías de onda . Una guía de onda puede ser definida como una estructura destinada a la propagación dirigida y acotada de radiación electromagnética. El medio dieléctrico en el que esta propagación se produce está limitado, ya sea por un material conductor (para microondas y radiofrecuencia), ya sea por otro dieléctrico (para frecuencias ópticas). Desde el punto de vista geométrico las formas más comunes, aunque no únicas, de guías de onda tienen secciones rectangulares o cilíndricas. Lección 1. Principio de operación y análisis de las guías de onda: 1.1 Onda Electromagnética:

Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación electromagnética a través del espacio. y sus aspectos teóricos están relacionados con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. A diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de un medio material para propagarse; es decir, pueden desplazarse por el vacío. James Clerk Maxwell fue el primero en hacer la observación teórica de que un campo electromagnético variable admite una solución cuya ecuación de



movimiento se corresponde a la de una onda. Eso sugería que el campo electromagnético era susceptible de propagarse en forma de ondas, tanto en un medio material como en el vacío. Esas observaciones llevaron a Maxwell a proponer que la luz visible realmente está formada por ondas electromagnéticas. La trascendencia de la teoría de Maxwell estriba en que proporcionaba una descripción matemática del comportamiento general de la luz. En particular este modelo describe con exactitud cómo se puede propagar la energía en forma de radiación por el espacio en forma de vibración de campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, las propuestas de Maxwell ocasionaron cierto debate, especialmente dos cuestiones: La posibilidad de la propagación de las ondas en el vacío suscitó ciertas dudas en su momento. Ya que la idea de que una onda se propagara de forma auto sostenida en el vacío resultaba extraña, razón por la cual años antes había nacido la teoría del éter. Además las ecuaciones de Maxwell sugerían que la velocidad de propagación en el vacío era constante, para todos los observadores. Eso llevó a interpretar la velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas como la velocidad a la que se propagaban las ondas respecto a un supuesto éter inmóvil que sería un medio material muy sutil que invadiría todo el universo. Sin embargo, el famoso experimento de Michelson y Morley descartó la existencia del éter y quedó inexplicado hasta que Albert Einstein, Poincaré, H. Lorentz y otros, explicarían la constancia de la velocidad de la luz como una constante de las leyes de la Física. (la teoría especial de la relatividad extiende la constante de propagación de la luz a todo fenómeno físico, no sólo las ondas electromagnéticas). Sin embargo a pesar de todas esas cuestiones los primeros experimentos para detectar físicamente las ondas electromagnéticas, diferentes de la luz, fueron



llevados a cabo por Heinrich Hertz en 1888, gracias a que fue el primero en construir un aparato que emitía y detectaba ondas electromagnéticas VHF y UHF. 1.2 Espectro Electromagnético:

Se denomina espectro electromagnético a la distribución energética del conjunto de las ondas electromagnéticas. Referido a un objeto se denomina espectro electromagnético o simplemente espectro a la radiación electromagnética que emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia. Dicha radiación sirve para identificar la sustancia de manera análoga a una huella dactilar. Los espectros se pueden observar mediante espectroscopios que, además de permitir observar el espectro, permiten realizar medidas sobre éste, como la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la radiación. El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda, como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. Se cree que el límite para la longitud de onda más pequeña posible es la longitud de Planck mientras que el límite máximo sería el tamaño del Universo (véase Cosmología física) aunque formalmente el espectro electromagnético es infinito y continuo. 1.3 Rango energético del espectro:

El espectro electromagnético cubre longitudes de onda muy variadas. Existen frecuencias de 30 Hz y menores que son relevantes en el estudio de ciertas nebulosas. Por otro lado se conocen frecuencias cercanas a 2,9×1027 Hz, que han sido detectadas provenientes de fuentes astrofísicas. La energía electromagnética en una particular longitud de onda λ (en el vacío) tiene una frecuencia f asociada y una energía de fotón E . Por tanto, el espectro electromagnético puede ser expresado igualmente en cualquiera de esos términos. Se relacionan en las siguientes ecuaciones:



Donde c=299.792.458 m/s (velocidad de la luz) y h es la constante de Planck, Por lo tanto, las ondas electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de onda corta y mucha energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienen grandes longitudes de onda y poca energía. Por lo general, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en base a su longitud de onda en ondas de radio, microondas, infrarrojos, visible –que percibimos como luz visible– ultravioleta, rayos X y rayos gamma.

El espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta división es inexacta. Existen ondas que tienen una frecuencia, pero varios usos, por lo que algunas frecuencias pueden quedar en ocasiones incluidas en dos rangos.



Lección 2. Modos De Propagación Y Ecuaciones Generales De Las Ondas Guiadas.

Podemos identificar las Ondas Guiadas cuando la dirección principal del flujo de la energía electromagnética que transporta coincide con la del eje de la guía de onda; en una guía real puede existir una pequeña parte de la energía que fluye transversalmente dentro de dieléctricos o conductores imperfectos.

El encarrila miento de la onda que se logra mediante alguna reflexión peculiar sobre la interfaz y una conexión intima entre las intensidades del campo electromagnético de la onda que se propagan y las corrientes o cargas inducidas en aquella. Una característica importante de la onda guiada es que cuando la dirección del eje de la guía cambia, dentro de los límites razonables, la onda sigue la nueva orientación.


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2.1 MODOS DE PR PAGACION PAGACION EN EN LAS GU AS. En el vacío y en medios il imitados, las soluciones de las ecuacione de Maxwell son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos eléctricos (E) y magnéticos (H) son perpendiculares a la dirección de propagación (y perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia mate ática de las ecuaciones de la divergen ia nula . . E  . . H  0 0 para campos que ependen de una única coordenada (on as elementales). En la propagación en reci tos limitados no es posible describir los c ampos como funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno que imponen las fronteras el recinto y entonces existen otras posibili ades, en las cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la irección de propagación. Convencionalmente se ll ma modo TEM (Transversal Electroma nético) a la situación donde los ca pos son ambos transversales a la irección de propagación, modo TE (Transversal Eléctrico) cuando sólo el camp eléctrico es transversal y modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el cam o magnético es transversal. Se puede emostrar que cualquier tipo de propagación se puede resolver como la superposición de un modo TE y un modo TM.

Figura 2. Representación ráfica de los Modos de Propagación



2.2 ECUACIONES GENERALES DE LAS ONDAS GUIADAS

Consideraremos campos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema de referencia. También supondremos campos armónicos, de manera que las expresiones de los campos deben incorporar el factor:   . La "constante" de propagación a lo largo de z, γz, dará información sobre el tipo de propagación (si hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.). Las ecuaciones de campos pueden escribirse así: ,    ,   ,    ,   .1.1

Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo (cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presente, por lo que suponemos σ = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz:

∇  + γ = 0∇ + γ = 0;!" = # $ %&, %&,. . 1.2 Donde, en general, µ y ε pueden ser complejos para medios con pérdidas. El estudiante debe tener en cuenta que en algunos textos se trabaja la ecuación con  y no con . Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra longitudinal a la propagación: 

∇ = ∇   + ** = ∇  − "  = −"    → ∇  = −("  − " ) = −".1.3 

Por otra parte, las ecuaciones de Maxwell del rotacional quedan así:



Debe recordarse que las componentes de los campos son funciones solamente de las variables espaciales x e y, ya que z y t aparecen en el factor de propagación. De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes transversales del campo en función de las longitudinales:

En conclusión Por medio de estas expresiones surge un método de cálculo de los campos dentro de una guía de ondas: 1. Resolver la ecuación de Helmholtz   + "       + "   0 para la componente longitudinal, sabiendo que la dependencia respecto de z (coordenada de propagación) y del tiempo es  () 2. Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la guía para hallar las constantes de la solución de la ecuación de Helmholtz. 3. Calcular las otras componentes del campo.



Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas.

En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas), una onda plana o también llamada onda monodimensional, monodimensional, es una onda de frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos. Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente planas y pueden considerarse como tal. 3.1 Expresión matemática de la onda plana Matemáticamente, una onda plana es una solución de la ecuación de onda de la siguiente forma:

Dónde i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda, ω es la frecuencia angular y a es la amplitud compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando la parte real de la expresión. Esta es la solución para una ecuación de onda escalar en un medio homogéneo. Para ecuaciones de onda vectoriales, como las que describen a la radiación electromagnética o las ondas en un medio elástico, la solución para un medio



homogéneo es similar: multiplicado por un vector constante a. (Por ejemplo, en electromagnetismo a es típicamente el vector para el campo eléctrico, campo magnético, o el potencial vectorial). Una onda transversal es aquella en que el vector amplitud es ortogonal a k (por ejemplo, para ondas electromagnéticas en un medio isotrópico), mientras que una onda longitudinal es aquella en que el vector amplitud es paralelo a k (por ejemplo en ondas acústicas propagándose en un gas o fluido).

En esta ecuación, la función ω(k) es la relación de dispersión del medio, con el radio ω /|k /|k| dando la magnitud de la velocidad de fase y d ω / d dk dando la velocidad de grupo. Para el electromagnetismo en un medio isotrópico con índice de refracción n , la velocidad de fase es c / n n (la cual iguala a la velocidad de grupo solamente si el índice no depende de la frecuencia).

3.2 Onda plana uniforme. Se dice que una onda plana electromagnética es uniforme si en ella, las intensidades de campo eléctrico y magnético presentan amplitudes constantes en las superficies equifase. Ondas de este tipo sólo pueden encontrarse en el espacio libre a una distancia infinita de la fuente. 3.2.1 Condiciones de contorno Un posible procedimiento para resolver las ecuaciones de maxwell es dividir el espacio en dos regiones. Una con las fuentes que generan los campos (región I) y otra donde no hay cargas ni corrientes (región II). Por ello suponemos que en esta última región el campo será una combinación de ondas planas. La solución exacta será la que cumpla las siguientes condiciones de contorno en la superficie de separación (S) entre las dos regiones.



Donde S es la superficie d separación (véase la figura 3.0) y un vector unitario perpendicular a ella y dirigida al interior de la región II. A partir de la edida de las componentes tangenciales del campo electromagnético, generado p r las fuentes de la región I, podemos d terminar exactamente que ondas habrá e la región II, hallando su dirección de ropagación y su amplitud de onda. Incl so podemos considerar que es el campo electromagnético en S el que excita na serie de ondas planas en la región II donde la amplitud, frecuencia y dirección de propagación dependerá de la variación temporal y espacial del campo que las ha creado.

Figura 3.0



3.3 Caracterización de los medios

Los medios, naturales o no, de propagación de onda se caracterizan por tres parámetros y se clasifica en:

Donde: σ: es la conductividad del medio y se mide en S/m ε: es la permitividad o constante dieléctrica del medio y se mide en F/m

µ: es la permeabilidad o constante magnética y se mide en H/m La velocidad de propagación de una onda plana en un medio dieléctrico (σ=0) viene dada por:



La impedancia intrínseca o característica de un medio dieléctrico es:

3.3.1 Propagación de medios sin pérdidas

Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio, o que la conductividad es cero. Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las siguientes ecuaciones: α=0

La impedancia intrínseca se vuelve un numero real.

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto, solo tiene una parte real y no parte imaginaria. La velocidad de fase de la onda se vuelve:

La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico: Ex = Emcos(ω cos(ωt − β z + θ)



A continuación, la propaga ión del campo magnético:

Consideraciones para la propagación en el espacio libre: µ0 = 4π 4π x10

−7

H/m Permeabilidad en el espacio libre

F/m Permitividad en el espacio libre 8

V 0 = 3 x10

m/s Velocidad d Propagación en el espacio libre

Para cualquier otro tipo de material

y µ = µr µ0

m/s

Ω

rad/m

m

3.3.2 Propagación en medi os con perdidas

Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque s a mínima, y como existe conductividad dentro de ese medio la onda va a cambiar. Debemos dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ndas planas uniformes en medios sin érdidas y las ondas planas uniformes en medios con



pérdidas. La primera es que la parte real de la constante de propagación se vuelve distinta de cero, y por lo tanto se divide en dos como se muestra a continuación:

Podemos ver que la gamma se dividió en su parte real alpha se le conoce como constante de atenuación y sus unidades están dadas en Np/m, su parte imaginaria beta que se le conoce como constante de fase y está dada en rad/m. La otra diferencia es la impedancia intrínseca que para medios con pérdidas también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:

Y ahora las ecuaciones de onda: Ex = Eme ( − αz )cos(ωt − βz + θ)

3.4 Teorema de Poynting. Desarrollado por John Henry Poynting, expresa la ley de conservación de la energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo hacia el exterior del vector de Poynting. Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede resumirse mediante la fórmula.



donde U es la densidad de energía, S es el vector de Poynting, J la densidad de corriente y E el campo eléctrico. Dado que el campo magnético no realiza trabajo la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo electromagnético. De forma integral, se puede expresar como:

donde: Pd : potencia disipada por efecto Joule W : energía electromagnética En términos generales el Vector Poynting indica la dirección del flujo de energía (1) de una onda electromagnética. Este vector se determina por su valor 3

promedio y siempre apunta en sentido de la propagación de la onda. 2  4 6 el 5

promedio del vector de poynting nos determina la intensidad lumínica (I) de la ;< onda electromagnética, o sea: 〈28〉  :  5 = 

También debemos tener en cuenta el flujo de potencia que transporta una onda electromagnética. Para cualquier onda con campo eléctrico E y campo magnético H, el vector de Poynting S se define como S = E x H (W/m 2). Ec. 3.0 La unidad de S es (V/m) x (A/m): (Wm 2) y la dirección de S es a lo largo de la dirección de propagación de la onda >? . Por lo tanto, S representa la potencia por unidad de área (densidad de potencia) que transporta la onda, y si ésta incide en una abertura de área A con vector unitario superficial !@ como se ilustra en la figura



3.1, entonces la potencia total que fluye a través de la abertura o que es interceptada por ella es

CD  (E).3.1 A  B 2. !@ CD Para una onda plana uniforme que se propaga en una dirección >? que forma un ángulo F con !@ , G = HIJKLM,NKONPH = |H|.

Figura 3.1

Excepto por el hecho de que las unidades de S se dan por unidad de área, la ecuación Ec.3.0 es el análogo vectorial de la expresión escalar para la potencia instantánea P(z, t), que fluye a través de una línea de transmisión: es decir.

G(R, S) = T( T(R, S)U(R, S)VJ.W.X Donde Y (Z, )[(Z, ) son el voltaje y corriente instantáneos en la línea. Como E y H son funciones de tiempo, también lo es el vector de Poynting S . Sin embargo, en la práctica, la cantidad de mayor interés es la densidad de potencia promedio de la onda S prom prom. Que el valor promedio con respecto al tiempo de S . Lección No 4. Clasificación Y Características De Las Soluciones TEM , TE Y TM

Un punto importante y el cual abordaremos a continuación es las características de la guía de onda Dado que la energía se transporta por ondas electromagnéticas, las características de las guías de ondas tales como



impedancia, potencia y atenuación se expresan expres an mediante campos eléctricos y magnéticos característicos de la guía en consideración. Por lo general, las guías de onda poseen una sección transversal rectangular, pero pueden tenerla circular ó elíptica. En las Figuras 4.1 y 4.2, se muestran tanto una guía de onda rectangular como circular en una vista en sección transversal.

Figuras 4.1. Guía de onda rectangular.

Figuras 4.2. Guía de onda circular. Las dimensiones de la sección transversal se escogen de tal manera que la onda electromagnética se propague en el interior de la guía de onda. Una guía no está diseñada para conducir corriente, sino que sirve como límite que confina a la onda en su interior, debido a que la guía de onda se encuentra



compuesta de un material conductor se refleja la energía electromagnética que choca con la la superficie. Si la pared de la guía de onda es un conductor muy delgado en sus paredes fluye poca corriente y como consecuencia se disipa poca potencia. La conducción de la energía, en la realidad no ocurre en las paredes, sino en el dieléctrico que se encuentra dentro de la guía. El análisis de las guías de onda se da en términos de los campos magnético y eléctrico que se propagan en su interior y los cuales deben cumplir con las condiciones de frontera dadas por las paredes conductoras. Ya que la guía de onda se encuentra compuesta por un material real, la onda electromagnética penetra en las paredes de ésta provocando que la onda ceda energía al material de la guía, es por ello que la onda pierde amplitud conforme a la distancia que avanza. 4.1 Clasificación de impedancias en una guía de onda. Las impedancias en una guía de onda se pueden clasificar en: o

o

o

Impedancia característica se refiere a la relación de los fasores de tensión y de corriente en una línea de transmisión infinita de dos conductores. Impedancia intrínseca se refiere a la razón de campos fasoriales E y H para una onda plana (TEM) en un u n medio no limitado. Impedancia de onda se refiere a la relación de una componente del campo eléctrico a una del campo magnético en el mismo punto de la misma onda TEM, la impedancia de onda es la misma impedancia intrínseca, pero para modos de orden superior.



4.2 Modos de propagación. Las ondas electromagnéticas viajan a través de las guías por medio de diversas configuraciones a las que llamamos modos de propagación. Un modo es la manera en la que la energía se puede propagar a lo largo de la guía de onda, cabe aclarar que todos estos modos deben satisfacer ciertas condiciones de frontera para que se puedan dar. En teoría existen un número infinito de modos de propagación y cada uno tiene su frecuencia de corte a partir de la cual existe. En otras palabras a medida que se va aumentando la frecuencia se irá incrementando el número de modos a partir de cada frecuencia de corte de cada modo respectivamente. Específicamente una guía soporta tres modos de propagación propa gación y los cuales son: •Modo transverso magnético (TMmn), también denominado modo E, en el cual las soluciones se derivan a través de la componente del campo eléctrico Ez, con la condición de que Hz = 0, esto es, la la componente axial del campo magnético es cero, por lo cual se asegura la transmisión de la potencia en la dirección z que es la que se ha seleccionado como la dirección de propagación de la línea. •Modo transverso eléctrico (TEmn) o modo H. En este caso las soluciones se derivan de la componente del campo magnético Hz, con la condición Ez = 0. •Modo transverso eléctrico magnético (TEM), en el cual Ez = Hz = 0. Este modo tiene la característica de que no se puede propagar en una guía, debido a la estructura misma de ésta, puesto que no puede transmitir ondas electromagnéticas de baja frecuencia, la transmisión tiene lugar a un valor determinado de frecuencia que depende de las dimensiones de la guía. Sin embargo, es la representación por medio de campos electromagnéticos de una línea de transmisión de baja pérdida.



La notación TMmn y TEmn implica guías de onda rectangulares y TMmn, TEmn circulares. Los subíndices m y n en rectangulares designan números enteros que denotan el número de medias longitudes de onda de intensidad de campo magnético para él TE y eléctrico para el TM, entre cada par de paredes. El subíndice m se mide a lo largo del eje x y el n sobre el eje y. Las siglas TM tanto TE significan que las líneas del campo magnético como el eléctrico son transversales en todos los puntos, lo que quiere decir que todas las líneas son perpendiculares a las paredes de la guía. Dentro de una guía es posible la propagación de varios modos de ondas electromagnéticas. Cada modo tiene una frecuencia de corte asociada, de manera que si la frecuencia de la señal a transmitir es mayor que la frecuencia de corte, la energía electromagnética se transmitirá a través de la guía sin atenuación. En otro caso, si la frecuencia de la señal es menor que la de corte, la energía se atenuará exponencialmente con la distancia, teniendo un valor extremadamente bajo a una distancia muy corta (este caso se denomina onda evanescente). El modo dominante en una guía determinada es aquél que tiene la frecuencia de corte más baja. Las dimensiones de la guía pueden escogerse de modo que para una señal dada, sólo el modo principal pueda transmitirse por ella.

Los modos de orden superior son todas aquellas formas en que la energía se propaga por arriba de la frecuencia de corte del modo dominante. Sin embargo no es recomendable operar en frecuencias donde éstos tipos de modos se presenten, puesto que no acoplan bien a la carga, ocasionando reflexiones y la aparición de ondas estacionarias.



Lección No 5. Guía Condu ctora Ideal.

Las líneas de transmisión e usan básicamente para conducir poten ia eléctrica y para transmitir, con más o menos perfección, información y se utilizan en un rango de frecuencias desde aproximadamente 60 Hz, en electrónica de potencia, hasta 10GHz (1GHz) y superiore , en ingeniería de microondas. Algunos d los tipos de líneas de transmisión uniformes más usuales, tales como l línea de transmisión de dos cond ctores (línea bifilar), la línea coaxial y la g ía de planos paralelos, se muestran e la figura 1. La línea bifilar está form da por dos conductores paralelos muy próximos normalmente de sección recta circular. Estas líneas operan, generalmente, en el espacio libre estando sujetadas mecánicamente en intervalos regulares por dieléctricos dieléctricos aislantes.. La línea de transmisión coaxial consi te, como su propio nombre indica, en una región dieléctrica coaxial, que pu de ser el vacío, entre la pared exterior el conductor interno y la pared interna el conductor externo hueco. Ambos condu tores son de sección transversal circular. La guía de planos paralelos consiste en una lámina de dieléctrico, o región del spacio libre, colocada entre dos condu tores planos paralelos. En el caso de la línea bifilar el campo electromagnético se extiende por todo el espacio; en todo los demás casos el campo electrom gnético está confinado al espacio limita o por los contornos metálicos. La elección de un tipo u otro de línea de transmisión, entre otros factores, depende de la frecuencia de operación y la capacidad d potencia requerida.

La teoría de líneas de tra smisión se puede desarrollar desde el punt de vista de teoría de campos electromagnéticos o desde el punto de vista e teoría de circuitos eléctricos. La pri era opción, que veremos en un tema posterior, consiste en resolver las ecuacion s de Maxwell del problema concreto j nto con las condiciones de contorno adecuadas. En la segunda opción, que es la que seguiremos en este tema, la línea de transmisión se trata como u circuito de



parámetros distribuidos formado por ciertos valores de inductancias y resistencias en serie y capacitancia y conductancia en paralelo. Los valores de estos parámetros dependen de la geometría de la línea de transmisión y se tienen que obtener, necesariamente, mediante la aplicación de la teoría de campos electromagnéticos. Estudiaremos líneas de transmisión uniformes, esto es, todas y cada una de las secciones de una línea son iguales entre sí. Este requerimiento de uniformidad excluye líneas de transmisión de longitud finita, puesto que en ese caso una sección cercana al final de la línea no sería igual que una sección en el medio, por ejemplo. Así, la teoría que vamos a ver es estrictamente aplicable aplicable sólo a líneas de transmisión de longitud infinita. En la mayoría de los casos prácticos, los "efectos de borde" son suficientemente pequeños y su omisión queda justificada. justificada. Siendo más específicos en referencia a una guía de onda ideal; En la figura 2a se muestra una línea de transmisión uniforme de dos conductores cilíndricos (hilos) paralelos. Consideraremos los conductores perfectos, es decir, con conductividad infinita. Los conductores se extienden desde desde z=0 hasta infinito, formando una línea de transmisión semiinfinita. En z=0 se aplica una tensión vg(t); si se conecta el generador en t=0, a lo largo del conductor superior fluye una corriente i(t). Además, debe retornar una corriente -i(t) por el conductor inferior, ya que la corriente en el generador debe ser continua. Esta corriente que retorna, se produce por la acción del campo eléctrico que se establece entre los dos conductores. Puesto que la línea de transmisión es semiinfinita, no existe un camino directo entre los conductores superior e inferior, por lo que supondremos que hay una capacitancia distribuida "C", por metro, entre los dos conductores; así, tenemos una corriente de desplazamiento que fluye desde el conductor superior hacia el inferior. La corriente eléctrica provoca un campo magnético alrededor de los conductores, por lo que la línea de transmisión también tendrá una inductancia serie distribuida distribuida L, por metro. Podemos, entonces, modelar una sección diferencial dz de esta línea de transmisión como una inductancia serie Ldz y una capacitancia capacitancia paralelo Cdz, tal y como se muestra en la figura 2b. Si los conductores tuviesen conductividad finita,



se debería incluir, ademá , una resistencia serie en el circuito equivalente de una sección diferencial C. Lo mismo sucedería si el espacio entre los conductores estuviera lleno con un material dieléctrico con pérdidas; tendríamos, entonces, que considerar una conductan ia paralelo "G" en el circuito equivalente. in embargo, no vamos a considerar, por ahora, estos dos últimos efectos. efectos.

Puesto que los efectos el ctromagnéticos se propagan a una velocidad finita "c" (velocidad de la luz en el vacío), la tensión v(z,t) y la corriente i(z,t) en un punto arbitrario "z" de la línea de transmisión serán cero hasta que ha a pasado un tiempo z/c después de q e el generador se haya conectado. Ver mos que el generador lanza ondas de tensión y corriente a la línea de transmisión que se propagan con velocidad finita. Las ecuaciones que describen est s ondas se obtienen aplicando las ley s circuitales de Kirchoff al circuito equivalente de una sección diferencial de la línea de transmisión, junto con las relacion s terminales (condiciones de contorno) que se deben cumplir en el generador.

Sean v(z,t) e i(z,t) la tensi n y la corriente, respectivamente, en un p nto arbitrario "z" de la línea de transmisión. A una distancia diferencial "dz" más allá, la tensión y la corriente habrán ca biado una pequeña cantidad tanto tensión y la corriente en z dz Serán

la



La suma de todas las caída de potencial a lo largo del circuito deben se cero; entonces:

y operando

(1.a) La suma de las corrientes en el nudo de salida debe ser cero; por lo tanto podemos escribir

y operando

(1.b)



Estas dos ecuaciones diferenciales describen la relación entre l s ondas de tensión y de corriente en l línea de transmisión. Podemos obtener na ecuación para la tensión v(z,t) difer nciando la ecuación (1.a) respecto a z y u ilizando (1.b) para eliminar la corriente; así

O

(2.a) De manera similar se obtiene la ecuación diferencial diferencial para la corriente

(2.b) El producto LC tiene dimensiones de inverso de velocidad al cuadrado. Estas dos ecuaciones son ecuaciones de onda unidimensionales y describen ondas propagándose a una velocidad (línea de transmisión ideal en aire)

(3) Consideremos la ecuación

Dos funciones arbitrarias e la forma f (t-z/c) y f (t-z/c) son soluci nes de esta ecuación, es decir, de la ecuación de ondas unidimensional, como ya demostramos en temas ant riores para una onda plana.



La función f (t-z/c) es la mis ma que la función f (t) pero retrasada en el tiempo una cantidad z/c, que es igual al tiempo que tarda la señal desde que sale del generador hasta que alca za la posición marcada por la coorde ada z. Esta solución puede, entonce , interpretarse como una onda propagándose en la dirección z positiva, por lo cual se identifica con el superíndice "+". La otra solución representa una nda propagándose en la dirección -z, y se identifica con el superíndice "-". La solución general para la onda de tensión en la línea de transmisión transmisión e (4) Donde V son amplitudes amplitudes c nstantes. Usando la ecuación (1.b) podemo poner +

-

Si consideramos que la corriente es de la forma

Entonces

sin más que utilizar la relación

Inspeccionado estas ecuaciones, vemos que la solución considerada p ra i(z,t) es compatible con que la de la ensión v(z,t) si escogemos



El parámetro cC tiene dimensiones de admitancia y es también igual a

La admitancia admitancia característic Yc de la línea de transmisión viene viene definida por este parámetro. Su inverso se denomina impedancia característica de la línea de trasmisión y vale

(5) Utilizando este parámetro, l solución para las ondas de corriente en la línea de transmisión se puede expre ar como (6) Como puede observarse e las ecuaciones (4) y (6) la impedancia aracterística de la línea es el cociente ntre la tensión y la corriente para una de l s ondas que viajan en un punto e insta te dados. El signo negativo para la onda viajando en el sentido negativo de z es l gico, puesto que la onda se propaga haci la izquierda y nuestro convenio de corriente positiva es viajando hacia la derecha.



CAPÍTULO 2- Guías De Onda Conductoras.

Algunos sistemas de comunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante la confinación de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la trasmisión de la información sea la adecuada, son imprácticos para aplicaciones en HF o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, esto es, microondas. La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de trasmisión en frecuencias más bajas, ya que presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia. El nombre de guías de onda se utiliza para designar los tubos de un material conductor de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la dirección de la energía electromagnética debe ser principalmente conducida a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación. En las guías los campos eléctrico y magnético están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.



La guía de onda se puede visualizar de una manera simplificada en la Figura 5.1, suponiendo que está formada por dos láminas conductoras y que el transporte de la energía electromagnética se lleva a cabo mediante reflexiones continuas y no por medio de corrientes superficiales, como en el caso de las líneas de transmisión.

Figura 5.1. Transporte de la energía en la guía de onda.

La guía está diseñada fundamentalmente para operar un solo modo de propagación con el ancho de banda requerido, atenuando los demás modos de orden superior. En otras palabras, esto quiere decir que transmite óptimamente la frecuencia portadora, para la cual se ha seleccionado la guía con su respectivo ancho de banda de transmisión.



Lección 6. Guías Conduc tora De Sección Rectangular:

Vamos a considerar el caso de una guía de onda limitada n sus dos dimensiones transversal s por un material conductor (que aproximaremos como perfecto) y en cuy interior existe un medio dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo (Fig. 6.1). La xpresión de las ecuaciones de Maxwell en notación fasorial, excluyendo las fuentes (que son las que rigen para la ropagación guiada), es:

Si el dieléctrico interior es no magnético, lo que, por otra parte, es una situación habitual, puede s stituirse en todas las expresiones µ por µ 0.

Figura No 6.1

De las anteriores se obtiene inmediatamente, como ya sabemos, la e uación de onda, para uno u otro cam o:



Tomaremos el eje Z como dirección de propagación de las ondas n el interior de la guía, y las direccion s X e Y serán siempre las direcciones tra sversales a la propagación. El tipo d soluciones que buscamos para las ec aciones de arriba se escribe, en forma fasorial:

Donde β es la llamada c nstante de propagación. A una solución del tipo de la ecuación anteriormente vista, se le denomina modo de propagació de la guía , y se caracteriza porque su fase depende linealmente de z, la coo rdenada en la dirección de propagación, pero su amplitud es Independiente de ella. Este tipo de soluciones no son, por sí mismas, completamente Generales, pero constitu en un conjunto completo , esto es: cualquier posible onda que pueda propagarse en la guía puede escribirse mediante la adecuada combinación lineal de es s funciones.

Lección No 7- Potencia T ansmitida Y Atenuación 7.1 Potencia Transmitida A partir de la expresión e la densidad media de potencia podrá calcularse la potencia que transporta n modo a lo largo de la guía (eje Z). Es cl ro que en las direcciones transversal s la situación es estacionaria y no puede haber ningún flujo neto de potencia

Si recordamos que para m dos TE y TM se cumplen las relaciones



(donde Zmn = ZTEmn o Zmn = ZTMmn son las impedancias de onda respectivas), podemos escribir la densidad de potencia como:

La potencia media transportada se obtiene, finalmente, como la inte ral del flujo del vector de Poynting a través de una sección cualquiera de la guía: gu ía:

7.2 Atenuación En la práctica, la propaga ción guiada de la energía electromagnética presenta pérdidas, que se ponen de manifiesto en una disminución de la potencia transmitida. Las pérdidas n una guía de paredes conductoras se eben a dos causas: al hecho de que el dieléctrico interior no es perfecto, (l cual debe caracterizarse más cuidadosamente con una permitividad compleja), y a que el conductor tiene una condu tividad finita. Como ya se había vist en lecciones anteriores que la permiti idad de un dieléctrico real debe esc ibirse en la forma , donde es la permitividad del mate ial sin pérdidas y su conductividad efecti a. Por otro lado, se define la impeda cia superficial de un conductor no perfect como:



(7.1) La definición de esta imp dancia está relacionada con el hecho d que en un conductor no perfecto la componente tangencial de campo elé trico no es estrictamente nula en su s uperficie (aunque es tan pequeña que par el resto de

cuestiones seguiremos co siderándola despreciable) y, como cons cuencia, la densidad de corriente que se induce en la pared del conductor tampoco es estrictamente superficial, sino que logra penetrar en alguna medida n el interior del conductor. Esa corriente (y el propio campo eléctrico) es la res onsable de las pérdidas, que dan pie a la expresión (7.1).

Lección No 8- Guía Cond ctora De Sección Circular. Las leyes que rigen l propagación de las ondas en las guías son independientes de la for a de la sección transversal de la guí y de sus dimensiones, debido a esto el concepto de campos eléctricos y ma néticos, así como la frecuencia de co te y en general todos lo parámetros pre entados en guías de onda rectangulares se cumplen también para guías de on a circulares exceptuando que el problema de los modos de transmisión para guí s circulares se presentan en coordena as cilíndricas Figura.8.1. Figura.8.1. La guía de onda rectangular se utiliza en distancias cortas y debido a su rigidez no se puede doblar, lográndose que la señal se refleje en otra dirección. La guía circular es un ducto flexibl de uno cuantos centímetros de diámetro, el cual puede doblarse sin exce ivas reflexiones.



A continuación se muestra el sistema de referencia de la guía.

Fig. 8.1 Geometría de la guía circular Para evitar confusiones on la presentación de los modos de transmisión de una guía rectangular, los cuales han sido representados como TM n y TEmn, en coordenadas cilíndric s se invierten los subíndices m y n; es de cir, TMnm y TEnm. En las guías circ lares, el subíndice n denota el número de variaciones de la intensidad de cam po en una longitud de onda, o sea, en π rad y el subíndice m representa l número de variaciones de la intensida de campo en λ /2 en dirección radial. Las guías de ondas circulares tienen aplicaciones específicas las cuales son muy importantes, se usan en radar y microondas terrestre , pues son útiles para propagar ondas polarizadas tanto horizontal ente como verticalmente en la mism a guía. Además de la ventaja menci nada de la flexibilidad en su manejo, l a guía de onda circular es de fabricación ás sencilla que la rectangular y sus onexiones son más fáciles de realizar; sin embargo, éste tipo de guía present más área que la rectangular que opera n la misma frecuencia. Para encontrar la frecuen ia de corte así como la longitud de onda en una guía circular se utilizan las funci nes de Bessel. Es importante tener en cu enta que el caso de cualquier guías o en especial las



circulares, Las guías gu ías de onda operan o peran (propagan (pro pagan ondas) dentro de los límites de un rango de frecuencias determinado por sus dimensiones. Para que la propagación tenga lugar en la guía de onda, la configuración de campos eléctricos y magnéticos de las ondas debe satisfacer ciertas condiciones.

Hay muchas posibles configuraciones, llamadas modos. Los modos se designan según las direcciones que los campos eléctrico y magnético de la onda electromagnética asumen respecto de la dirección de propagación. Así tenemos modos "transversal-electromagnéticos" (TEM) donde tanto el campo eléctrico como el magnético son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, modos "transversales eléctricos" (TE) donde solo el campo eléctrico de la onda es perpendicular a la dirección de propagación y modos "transversales magnéticos" (TM) donde sólo el campo magnético es perpendicular a la dirección de propagación.

El componente no transversal de campo eléctrico o magnético está asociado a fenómenos de pérdidas inherentes a la interacción de la onda con materiales no ideales. Pero pueden ocurrir varios modos TEM, TE, y TM diferentes en una guía de ondas circular, según las veces que el campo eléctrico varíe a lo largo de la circunferencia de la guía de ondas, o a lo largo de un radio de la misma.

La Figura 8.2, muestra algunas configuraciones de campo (modos) en guías de onda circulares y la correspondiente designación. designación. Lo que se observa son configuraciones de ondas estacionarias dentro de la la guía de onda, con las líneas de puntos representando las líneas de fuerza del campo magnético y las líneas continuas al campo eléctrico.



Se puede observar que las líneas de fuerza del campo magnético y del eléctrico son perpendiculares entre sí en cualquier punto de la guía de onda y que se cumplen las condiciones de contorno del campo eléctrico y magnético.

Figura 8.2. Algunos modos de propagación. Lección No 9- Cavidades Resonantes De Paredes Conductoras. Una cavidad resonante de este tipo consiste en un volumen dieléctrico (normalmente el aire) completamente rodeado de paredes conductoras. Evidentemente los campos que pueda haber en el interior de la cavidad no tienen el carácter de una onda viajera, con un término de propagación (exponencial compleja), en la forma en que acabamos de ver en el estudio de las guías de onda, puesto que ya no existe una dirección en la que puedan extenderse ilimitadamente. En esta nueva situación las paredes conductoras imponen condiciones adicionales. Se puede considerar que las ondas experimentan reflexiones continuas sobre las superficies del sistema y tienden a adoptar la forma de ondas estacionarias, en correspondencia con la geometría de la cavidad. El estudio de los modos de vibración propios y de sus frecuencias características se realiza mediante la superposición de los modos de propagación de las guías abiertas, que interfieren al viajar en sentidos opuestos.



Las estructuras aquí descritas se denominan cavidades resonantes o, también, resonadores de cavidad, tienen interés como sintonizadores y medidores de frecuencia. Se utilizan en radiofrecuencia y a frecuencias ópticas (en este caso con paredes dieléctricas). Presentan gran variedad de formas y dimensiones, aunque los principios generales de funcionamiento son siempre los mismos. Como ejemplo específico de cavidad resonante y, teniendo e cuenta la generalidad de los resulta os, vamos a considerar un caso simple como es la cavidad en forma de paral lepípedo regular. Sea, pues, el sistema representado en la figura 5.8, con s is paredes conductoras que encierr n en su interior un volumen de ci erto medio dieléctrico, de dimensio es a , b y c , según las direcciones X, Y y Z respectivamente.

Fi . 5.8 Cavidad resonante rectangular Los fusores de campo eléctrico y magnético deben de satisfacer la ec ación de onda:

Por lo que en coordenadas cartesianas cada una de las componentes de ambos campos deben de cumplir la ecuación escalar:



Si, como en nuestro caso, el problema tiene simetría rectangular, podemos aplicar la técnica de separ ción de variables:

Sustituyendo esta expresi n en la ecuación de arriba se obtiene inmediatamente la solució como:

Con la condición adicional:

y donde A, B, C, D, E y F son constantes. Lección No 10- Manejo D La Unidad Decibel (Db). En el caso del manejo de las unidades de decibeles es importante referirnos al factor de atenuación y arga resistiva de la onda, para deter inar dichos comportamiento de las guías de ondas se inicia con el factor de la atenuación de las guías de onda el cual e causada por los siguientes factores: •

•

•

Obstáculos o discontinuidades. Pérdidas inherentes a las corrientes que pasan por las paredes de la guía. Pérdidas en los diel ctricos, si es que los hay en el interior de l guía.

La medida de la atenuació Q dB dB , de la guía en decibles queda deter inada por el parámetro α, de tal manera que:



donde z es la longitud de la guía y alfa es igual a:

α

el factor de atenuación, donde tenemos que

Por otro lado, de las ecuaciones (3.2.3 –1) y (3.2.3 –2) se tiene tiene que p ra Q dB dB

la cual se reduce a:

Las pérdidas por atenua ión se reducen de manera considerabl cuando se plantea la guía. Otro elem ento importante en las guías son las carg s resistivas, éste tipo de cargas de aterial dieléctrico resulta ser un acopl miento casi perfecto que suelen ubicarse al final de la guía para evitar ref lexiones. La energía absorbida por esta cargas se disipa por medio de radiadores..



Interferometría

Un dispositivo que utiliza la interferencia de ondas para realizar mediciones de alguna naturaleza es un interferómetro. Hasta mediados del siglo veinte, la interferometría se realizaba exclusivamente con ondas de luz, pero luego se han utilizado ondas electromagnéticas de múltiples frecuencias para diversos propósitos, como veremos al final de esta sección. Aunque el modelo de interferómetro más conocido es el de Michelson, conectado con la búsqueda de las propiedades del “éter luminífero” y la historia de la teoría de la relatividad, el sistema más simple es el modelo de Fabry-Perot, que consiste (en forma simplificada) en un par de espejos paralelos de alta reflectividad. Cuando uno de los espejos es móvil, modificando, como vemos más abajo, la longitud de onda de la radiación a usar, se dice que el aparato es un interferómetro, mientras que cuando la distancia entre los espejos es fija, pero se dispone de un mecanismo para asegurar el paralelismo de los espejos, se dice que el aparato es un etalon. Este tipo de aparato está ligado al desarrollo y construcción de la mayoría de los láseres, incluidos los láseres semiconductores, que desempeñan un rol fundamental en las comunicaciones ópticas. En el caso ideal, la radiación consiste en ondas planas que viajan entre los dos planos espejados según una dirección perpendicular a ellos. Los espejos son perfectos (es decir, la reflexión es total). Esto se logra con espejos hechos de un material conductor perfecto. Dentro del interferómetro se producen ondas estacionarias porque los espejos se colocan en los nodos de la onda de campo eléctrico, tomando la distancia entre los espejos como un múltiplo entero de media longitud de onda: L = N λ Si esta relación no se cumple, los campos en el interior del aparato no satisfacen las condiciones de contorno y no pueden existir. Para que la radiación pueda entrar y salir del aparato en una aplicación práctica, se usan espejos imperfectos, de modo que tenemos radiación reflejada y transmitida por el aparato. Dentro del interferómetro se producen ahora ondas cuasi-estacionarias para la condición: L = N λ Si esta relación no se cumple, la mayor parte de la energía incidente a la izquierda se



refleja. En la figura se mue stra una disposición donde la radiación incide formando una ángulo θ con el eje óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre una pantalla (o un dispositivo de foto detección) mediante una lente. La condición de interferencia constructiva es ahora 2 Lcosθ cosθ = N λ .

Dado que los espejos no son perfectamente reflectores, la condición de onda estacionaria no se cumple exactamente, como tampoco se cumple si l a longitud de onda se varía. Si se grafic la intensidad de la radiación transmitida n función de la longitud de onda se observa una curva continua con picos en las longitudes de onda de resonancia. El an ho de estos picos depende de la reflectividad R de los espejos. Cuando mayor es la reflectividad, el sistema se acerca más al caso ideal y los picos tienden a delta s centradas en las posiciones de resonancia, como se muestra en la gráfica de la figura. Las ecuaciones que describen esta gráfica son:



Es la fineza o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del aparato para resolver o istinguir entre longitudes de onda cercanas. Cuanto mayor es la reflectividad e los espejos, mayor será el cambio en la intensidad transmitida para un cambio en la longitud de onda (o la frecuencia) de la onda incidente. Otra figura de m érito usada en el interferómetro es el ran o espectral libre (FSR), que se define como la separación en longitud de on a entre dos máximos sucesivos, y vale: Este parámetro indica el “ancho de banda” del aparato, ya que si se varía la longitud de onda más allá d la distancia entre máximos sucesivos se repite la respuesta y no es posible di tinguir entre longitudes de onda separa as más allá de este rango.



CAPÍTULO 3- Guías De Onda De Conductores Reales.

Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que, además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo, avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios semi infinitos), se van a estudiar el comportamiento de las guías de ondas en conductores reales y conductores no perfectos los cuales determinamos como medio dieléctrico y por el cual esta propagación se produce está limitado, como es el caso de dieléctrico. Lección 11. Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De Conductores No Perfectos.

Para entender más claramente un Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De Conductores No Perfectos, que en la mayoría de autores o libros de telecomunicaciones se trata dicho tema como GUÍAS DIELÉCTRICA, para ser más específico en el tema debemos tomar como base un modelo simplificado, que para este caso se aplicaría uno de dos dimensiones. Esto es necesario para tener soluciones analíticas que nos permitan comprender el fundamento y las características de la propagación en este tipo de estructuras. En numerosos casos se obtiene, de esta forma, una buena aproximación al dispositivo real. Como ya se ha visto en otras lecciones anteriores y al estudiar las guías de paredes conductoras, el problema que debemos resolver se reduce a obtener soluciones de la ecuación de onda que satisfagan las condiciones de contorno del problema. Se verá que las guías planas son capaces de soportar los dos tipos de modos



estudiados anteriormente: TE y TM. La forma de una guía dieléctrica plana es la que se muestra en la figura 1. Sobre un substrato de vidrio, o de algún material transparente, se deposita una fina capa de otro dieléctrico, con un grosor del orden de la longitud de onda de la radiación luminosa. A esta capa se la denomina capa guiante y será, principalmente, la encargada de confinar las ondas en su interior. Sobre la capa guiante habrá aire o, quizá, una segunda capa de recubrimiento dieléctrico.

Fig. 1 Geometría de una guía de onda dieléctrica plana

Existen diversos métodos para fabricar guías dieléctricas. Puede crecerse la capa guiante sobre el substrato, depositando sobre él, a alta temperatura, los microcristales del material cristalino elegido. Esto se hace en, por ejemplo, la técnica de sputtering , que es una de las más habituales. En otras ocasiones se procede a bombardear con iones el substrato, provocando la aparición en la superficie, y hasta cierta profundidad, de una capa con propiedades diferentes a las del substrato original (por ejemplo, con iones de titanio sobre niobato de litio, LiNbO3, se crea una capa de Ti:LiNbO3). También se pueden producir guías difundiendo térmicamente átomos de metal en el interior del substrato.



Otro método es el de fotolitografía, utilizando máscaras y ataques químicos o fotoquímicos, de igual forma que en la fabricación de circuitos electrónicos integrados. Este procedimiento es habitual en guías fabricadas sobre semiconductores. En cualquier caso la capa guiante debe tener mayor índice de refracción que la cubierta o el substrato, para que sea capaz de confinar la luz. La diferencia entre el índice de refracción de la capa guiante y el del substrato no es, sin embargo, muy elevada: aunque podría llegar a ser del 10% en su valor numérico en alguna ocasión, en otras no pasa del 1%, que es suficiente para que se produzca la reflexión total. En nuestro análisis vamos a suponer que todos los dieléctricos implicados son lineales, homogéneos e isótropos, aunque hoy en día se fabrican frecuentemente guías inhomogéneas, en su perfil transversal, y también con dieléctricos cristalinos anisótropos, como el LiNbO3, que tiene otras interesantes propiedades. Lección 12. Disipación De Los Conductores: Constante De Atenuación

En la práctica, la constante De atenuación se define como la propagación guiada de la energía electromagnética que presenta pérdidas, que se ponen de manifiesto en una disminución de la potencia transmitida. Las pérdidas en una guía de paredes conductoras se deben a dos causas: al hecho de que el dieléctrico interior no es perfecto, (lo cual debe caracterizarse más cuidadosamente con una permisividad compleja), y a que el conductor tiene una conductividad finita. En conclusión La atenuación de las guías de onda es causada por los siguientes factores: • Obstáculos o discontinuidades. • Pérdidas inherentes a las corrientes que pasan por las paredes de la guía. • Pérdidas en los dieléctricos, si es que los hay en el interior de la guía.



La medida de la atenuación QdB, de la guía en decibles queda determinada por el parámetro α, de tal manera que:

Q = eα Z

(12 –1)

Donde z es la longitud de la guía y α el factor de atenuación, donde tenemos que alfa es igual a: α = 2π/ λc

(12 –2)

: Por otro lado, de las ecuaciones (12 –1) y (12 –2) se tiene que para Q dB dB :

Q dB = 20 log e^α Z = 40π 40π z / λc* log e La cual se reduce a:

Q dB = 54.5 z / λc * dB De tal forma que la constante de atenuación se reducen de manera considerable cuando se plantea la guía. Otro elemento importante en las guías son las cargas resistivas, éste tipo de cargas de material dieléctrico resulta ser un acoplamiento casi perfecto que suelen ubicarse al final de la guía para evitar reflexiones. La energía absorbida por estas cargas se disipa por medio de radiadores. Lección 13. Constante De Atenuación Para Diferentes Modos.

Para entender un poco mas esta lección y resumiendo de la forma mas sencilla y eficiente podemos afirmar que hay que tener en cuenta dos contantes mas de atenuación en las guías de ondas y a su vez dichas constante se aplican a los diferentes modos de comportamiento de las guías de ondas; cabe anotar que se deben de trabajar por separados dichos modos como lo son “Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda”, y “Perdidas Óhmicas O De Conducción”, para avanzar en dicha temática podemos considerar:



- Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda: se considera como una constante de atenuación aplicada a iferentes modos de propagación guiada e la energía electromagnética, el cual se considera para los modos TEmn o TMmn cuya constante de propagación erá dada por:

(Ecuación. 1)

Despejando dicho modo s obtendría:

(E uación. 2)

Ahora podemos suponer q e se cumple para buenos dieléctricos la e uación

Determinada y mediante u desarrollo en serie de Taylor de la segun a raíz cuadrada de la ecuación 2; llegamos a:

Entonces el término ima inario de β provoca la aparición de u término de j α Z), atenuación en la direcci n Z, del tipo exp (- j ) , podemos implificar la α mn mn Z expresión de αmn:



Que se ha escrito en fu ción de η, la impedancia intrínseca del medio (sin pérdidas). αmn recibe el ombre de constante de atenuación del medio para pérdidas dieléctricas. -Pérdidas óhmicas o de onducción: Para calcular la potencia W C absorbida y

disipada en forma de calo por cada una de las cuatro superficies ( )i de la guía puede utilizarse una expr sión análoga a la de pérdidas óhmicas ebida a una resistencia R utilizada en t oría de circuitos:

Donde

La determinamos como la densidad de corriente superficial se tiene:

(Ecuación. 3)

Con La su a de todas las pérdidas producidas sob e las cuatro superficies puede ser relacionada posteriormente con un coeficiente de atenuación αC, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello procederemos de la siguiente manera: si W 0 0 corresponde a la potencia transportada por un modo en un punto cualquiera de la guía, que to amos como



Z= 0 0 por sencillez, entonces, la potencia W( z z ) en un punto z se rel ciona con la

anterior mediante la expresión habitual:

Donde el ‘2’ de la exponen ial obedece a que se trata de la atenuació de la potencia, que es cuadrátic respecto a los campos. La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propa ación z=l puede aproximarse en general en la forma:

Y de allí:

Expresión en la que W C C puede calcularse a partir de la Ecuación 3. Lección 14. Variación De La Constante De Atenuación Con La Fr cuencia.

Variación De La Constante De Atenuación Con La Frecuencia es determinada como una frecuencia de corte el cual se define como la propagación onde puede ocurrir con muy baja pérdi a si las longitudes de onda operativas son más cortas que un cierto valor crítico, llamado cuttoff (límite o corte) de longitud e onda. Si la longitud de onda es más l arga, o la correspondiente frecuencia de operación es mas baja que el valor de c rte, ocurrirán pérdidas extremadamente altas. Para cada modo de propa ación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte diferente. En la guía de o das circular, el límite está determinado po r el diámetro interno de la guía de ond . El modo con la frecuencia de corte más baja que se



propagará en la guía de onda circular es el modo "transversal eléctrico 11" (o como le llamaremos de aquí en más TE11) y es por ello llamado el "modo dominante" . En la tabla #1, se muestra la comparación de las frecuencias y longitudes de onda de corte para el caso de guías de onda circulares y para distintos modos de propagación, en función del diámetro de la guía de onda, el cual demuestra:

Tabla # 1 De longitudes de onda y frecuencias de corte en función del diámetro. Notas: 1. D es el diámetro de la guía de ondas. 2. El verdadero valor de λc para el modo TE11 es 1,7065 × D pero lo he redondeado. Es mejor elegir un diámetro de guía de onda tal que la frecuencia de operación deseada se encuentre entre la frecuencia de corte de los modos TE 11 y TM01, minimizando el diámetro. La frecuencia de operación debe quedar siempre debajo de la frecuencia de corte del modo TE21. De esta forma, sólo el modo dominante se propaga con muy poca atenuación. Los otros modos directamente no pueden



propagarse (o se propagan con una atenuación altísima). La ventaja de permitir sólo la propagación de un modo es que los elementos de excitación e la guía se calculan con mayor facilidad y operan en condiciones más simples. Como se había menciona o anteriormente para encontrar la frecue cia de corte así como la longitud de o nda en una guía circular se utilizan las unciones de Bessel. Las primeras cuatro funciones de Bessel de primera clase s n mostradas en la siguiente Figura 1.

Figura 1. Fun iones de Bessel de primera clase, Jm(hp). Como la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da l oportunidad de tabular los argumentos para los cuales éstas valgan cero. Un eje plo de esto sería el siguiente, de acue do a la Figura 1; la función J0(hp) vale ce o cuando hp = 2.405, 5.520, 8.654. Est as raíces (n = 1,2,3...) originan la nomen latura de los modos de propagación en la guía y nos sirven para calcular los m dos TM. TM. La tabla 2, nos muestra las raíces mencionadas.



Tabla 2. De raíces (hp)mn para las cuales Jm(hp) = 0. Debido a que la derivada de cada función Jm(hp) vale cero en sus pu tos máximos y mínimos. Así, podemos ver en el diagrama que J’(hp) = 0 cuand hp = 1.841, 5.331, 8.536,... Y que ca a una de estas raíces tiene asociado n modo mn determinado. Por ejemplo uando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así sucesivamente, con ayud de estas raíces podemos obtener los modos TE, TE, donde sus raíces se muestran en la tabla 3.

Tabla 3. de raíces (hp)mn para las cuales J’m(hp) = 0. Teniendo conocimiento de esto, la frecuencia de corte para una guía e onda circular y modo de propagación TE se obtiene de:

Donde f c c es la frecuencia de corte y S mn mn es la solución de una ecuación de la función de Bessel y por último a es el radio interno de la guía y v la velocidad de onda. Para una guía circul r la longitud de onda de corte se obtiene:



El modo de propagación n éste tipo de guías, con la longitud de onda de corte más grande es la que tien el valor de Smn más pequeño, por lo tant , revisado la tabla 3, en esta guía el mo o dominante es el modo TE11.

Algo importante con respe to al modo dominante de una guía rectangular y de una circular es que con el p imer modo de propagación TE de la g ía de onda rectangular con el de la onda circular, se logra hallar que los patrones de distribución de los campos de estos modos son similares, sobre todo en el centro de ambas guías, lo cual hace posible que el modo dominante e una guía rectangular pueda generar el modo dominante dentro de una gu a circular, y viceversa. Esto se logra con una unión de transición denominada tran formador de modos, donde podemos ver su aplicación en los atenuadores de rotación.

Ahora si deseamos propagar un modo TM la frecuencia de corte se o tiene de:

Donde es la solución de una ecuación de Bessel.



En matemática, las funciones e Bessel, primero definidas por el matemático D niel Bernoulli y más tarde generalizadas por riedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

Donde es un número real complejo. El caso más común es cuando es un entero , aunque la solución para no enteros es similar. El número se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas dicha ecuación. Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo or en, tiene dos soluciones linealmente independientes. A aunque y dan como resultado la misma función, es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parám tros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cil índricos porque son solución de la ecuación de aplace en coordenadas cilíndricas. La Ecuación de Bessel apare e cuando se buscan soluciones a la ecuación la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables cilíndricas oesféricas. Por ello, l s funciones de Bessel son especialmente importa problemas de propagación de o ndas, potenciales estáticos y cualquier otro proble las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuan sistemas en coordenadas cilíndriicas, se obtienen funciones de Bessel de orden ent en problemas resueltos en co rdenadas esféricas, se obtienen funciones de B semientero (

), por ejemplo:



Ondas electromagnéticas e guías de onda cilíndricas.



Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.



Conducción del calor en obj tos cilíndricos.



Modos de vibración de una embrana delgada circular (o con forma de anillo). anil lo).



Difusión en una red.



e Laplace o a n coordenadas tes en muchos a descrito por o se resuelven ro ( )y ssel de orden

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de señales.



Lección 15. Modos Dege erados.

Es importante destacar la ran diferencia en este tema como también lo influyente; Para una mayor compresión en dicho tema debemos abordar en primera instancia lo relacionado En guías d ondas el tema denominado como modo ominante, o modo fundamental, “Mod “Mod dominante TE10“; de la guía de onda aquel cuya frecuencia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia el vada y con numerosos modos excitad s en la guía, y vamos disminuyendo paul tinamente la frecuencia, sería el último odo en desaparecer (en entrar en corte). A partir de la ecuación:

Y si asumimos que las di ensiones transversales de la guía cumpl n la relación a>b según la siguiente figu ra 1:

Fig. 1 Guí a de onda conductora de sección rectangular

Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de or en 10 (unocero). Se comprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11 (en general no son posibl s los modos TMm0 ni los TM0n), por lo que el modo fundamental es el modo E10. El siguiente modo será el de ord n 01, 20 o, incluso, 30, en función de uál sea la relación concreta entre las dime siones a y b de la guía. Las frecuencias de corte de los posibles primeros modos s n:



En el caso particular en q ue a = b ocurre que los modos TE10 y TE01 tienen la misma frecuencia de corte y, de hecho, la misma constante de propagación (β10 = β01). Cuando esto sucede se dice que son modos degenera dos . La expresión particular del modo dominante TE10 (si a>b ) es:

Ejemplo 5.2: Sea una guí rectangular, de dimensiones a=2,0 cm y b =1,3 cm, cuyo interior es aire. Calcu e la frecuencia de corte de los tres primero s modos guiados.

-Podemos hacer una tabla con los primeros valores de m y n para los posibles modos.

No es necesario calcular más valores. El modo fundamental es e l TE10, cuya frecuencia de corte es 7, GHz Los dos siguientes son el TE 01 y el TE11 (o el TM11).

208001 Unidad 1 Modulo

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