Contoh Soal dan Jawaban 1.
2.
Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap sebuah uji kejut adalah ¾. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan bertahan. Jawab Diketahui ! " 2 # n " 4 # p " ¾$ maka 2 2 4 3 1 3 4! 9 1 27 . . P%& " 2' " (%2' " b(2;4, ) 4 2!.2! 16 16 128 2 4 4 Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah )$4. Bila 1* orang diketahui telah terkena penyakit ini$ berapakah probabilitas a. Paling Paling sedik sedikitit 1) orang orang yang yang selam selamat. at. b. Dari Dari + samp sampai ai , oran orangg yang yang sel selam amat at.. -. epat pat * oran orangg yang yang sela selama mat. t. d. /itu /itung ng rat rata0 a0ra rata ta dan dan ar aria ians nsin inya ya.. Jawab isalkan & menyatakan banyaknya orang yang selamat. 3ntuk 3ntuk menye menyeles lesaik aikan annya nya$$ akan akan lebih lebih mudah mudah bila bila digun digunaka akann tabel tabel distri distribu busi si binomi binomial. al. ehin ehingga gga penyelesaiannya adalah a. P%paling P%paling sediki sedikitt 1) orang yang yang selamat selamat'' " P%& 5 1)' 9
b( x;15;0,4) 1 0,9662 0,0338
P ( X 10) 1 P ( X 10) 1
x 0
b. P%+ sampa sampaii , orang orang yang yang selama selamat' t' " P%+ & ,' P (3 X 8)
8
b( x;15;0,4)
x 0
2
b( x;15;0,4) 0,9050 0,0271 0,8779 x 0
-. epat * orang orang yang yang selamat selamat.. P ( X 5)
5
x 0
3.
b( x;15;0,4)
4
b( x;15;0,4) 0,4032 0,2173 0,1859 x 0
d. 6ata 6ata0r 0rat ataa " np (15).(0,4) 6 7ariansi " 2 npq (15).(0,4).(0,6) 3,6 Jika terdapat 2))) keluarga yang mempunyai 4 anak$ sedangkan karena sesuatu hal keluarga tersebut kemungkinan mempunyai anak laki0laki adalah 0.6 $ maka banyaknya keluarga yang mempunyai seorang anak laki0laki 4 3 2000 b(1;4,0.6) 2000 1 (0.6)(0.4) 2000 0.1536 307.2 307 keluarga paling sedikit seorang anak laki0laki 2000 b(1;4,0.6) b(2;4,0.6) b(3;4,0.6) b(4;4,0.6)
20001 b(0;4,0.6)
20001 0.0256 1948.8 1949 keluarga penyelesaian dengan menggunakan tabel 0 2000 b( x,4,0.6) 2000 1 b( x,4,0.6) 2000 1 0.0256 1948 .8 1949 x 1 x 0 4
keluarga seorang anak wanita P%seorang anak wanita' " P%+ orang anak laki0laki' " P% & " +' 2 3 2000 b(3;4,0.6) 2000 b( x;4,0.6) b( x;4,0.6) x 0 x 0
" 2))) ! %)$,8)4 9 )$*24,' " 2))) ! )$+4*: " :;1$2 < :;1 kelurga 1
atau bisa dihitung dengan -ara P%seorang anak wanita' " P%= " 1'$ dimana = adalah banyaknya anak perempuan dan kemungkinan mempunyai anak perempuan adalah )$4. ehingga 0 1 2000 b(1;4,0.4) 2000 b( x;4,0.4) b( x;4,0.4) 2000 0.4752 0.1296 x 0 x 0
" 2))) ! )$+4*: " :;1$2 < :;1 kelurga
Contoh 1 Pada suatu kotak terdapat * kelereng merah$ 4 kelereng biru dan 4 kelereng kuning$ ke0mudian diambil 4 kelereng. /itung probabilitas terdapatnya 2 kelereng merah. Jawab 5 8 5! 8! 5 4 8 7 2 2 2 ! 3 ! 2 ! 6 ! 2 2 0.392 h ( x; N, n, k ) 10 13 ! 13 12 11 13 4! 9! 43 2 4 Contoh 2 Pada Contoh diatas$ > terdiri dari + bagian$ yaitu merah$ biru dan kuning masing0masing a1 5 $ a 2 4 dan a 3 4 . Jika pada pengambilan 4 kelereng itu terdapat 2 kelereng merah dan 2 kelereng kuning$ berarti x1 2 $ x 2 0 dan x 3 2 $ maka probabilitasnya adalah
5 4 4 2 0 2 f ( 2,0,2;5,4,4,13,4) 13 4
5! 2! 3!
1 13! 4! 9!
5 4
4! 2! 2!
43
2 2 13 12 1110
0.084
4 3 2
Bila n -ukup ke-il dibandingkan dengan >$ maka distribusi hipergeometrik mendekati distribusi Binomial. Contoh + uatu pabrik ban melaporkan bahwa dari *))) ban yang dikirimkan ke suatu toko ter0dapat 1))) ban yang -a-at$ berarti P(cacat) p
1000 5000
0.2 . Bila seseorang membeli 1) ban$ maka probabilitas terdapat +
ban yang -a-at dapat di-ari dengan a. Distribusi binomial b(3;10,0.2)
10 (0.2)3 (0.8) 7 0.2013 3
b. Distribusi hipergeometrik
1000 4000 1000! 4000! 3 7 3! 997! 7! 3993! 0.2015 h (3;5000,10,1000) 5000! 5000 10! 4990! 10 Dari kedua hasil di atas$ ternyata nilai probabilitasnya hampir sama$ karena n 10 -ukup ke-il dibanding N 5000 .
2
Contoh 1 elama per-obaan laboratorium$ rata0rata partikel radioakti( yang melewati suatu alat pen-a-ah dalam 1 milidetik adalah 4. Berapa probabilitas : partikel memasuki alat pen-a-ah tersebut dalam suatu milidetik yang diketahui? Penyelesaian Diketahui rata0rata partikel radioakti( yang melewati suatu alat pen-a-ah dalam 1 milidetik " 4. sehingga p( x; )
p(6,4)
e
4
4
6
6!
(0,0183)(4096) 720
0,1041
Dengan menggunakan bantuan abel Distribusi Poisson diperoleh hasil p ( x; ) p (6,4)
x 6
x 5
x 0
x 0
p( x,4) p( x,4) 0,8893 0,7851 0,1042
Contoh 2 Jumlah rata0rata kapal tanki minyak datang setiap hari disebuah bandar pelabuhan tertentu. @asilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 1* kapal tanki per hari. Berapa probabilitas pada suatu hari yang diketahui tangki0tangki harus berbalik arah karena pelabuhan sudah penuh? Probabilitas hari tertentu terdapat 1) tanker?. Penyelesaian isalkan & sebagai jumlah kapal tangki yang datang setiap hari. Probabilitas pada suatu hari yang diketahui tangki0tangki harus berbalik arah karena pelabuhan sudah penuh adalah
P ( X 15) 1 P ( X 15) 1
x 15
p( x,10) 1 0,9513 0,0487
x 0
Probabilitas hari tertentu terdapat 1) tangki adalah p(10;10)
e 101010 10!
0.125
Contoh + Di suatu simpang jalan rata0rata terjadi : ke-elakaan sebulan$ maka hitunglah probabilitas - Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 8 ke-elakaan - Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 ke-elakaan - Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 ke-elakaan Penyelesaian Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 8 ke-elakaan adalah
6 7 e 6 Di sini 6 dan x 7 maka probabilitasnya p(7;6) 0.1377 7!
Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 ke-elakaan adalah Di sini 6 dan x 4,5, maka probabilitasnya adalah P(X 4) 1 P(X 3) 3
1
p( x; ) 1 p(0;6) p(1;6) p(2;6) p(3;6) x 0
1 p(0;6) p(1;6) p(2;6) p(3;6) 1 .0025 .0149 .0446 .0892 0.8488 Dengan menggunakan tabel diperoleh hasil P ( X 4) 1 P ( X 3) 1
x 3
p( x,6) 1 0,1512 0,8488
x 0
Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 ke-elakaan adalah
3
atu bulan terjadi : ke-elakaan$ berarti 1 minggu terjadi x 4 $ sehingga probabilitasnya p(4;1.5)
e 1.5 (1.5) 4 4!
6 4
1.5
ke-elakaan$ ma0ka 1.5 dan
0.0471
Contoh 4 Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas$ terjadi gelembung atau -a-at yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. 6ata0rata 1 dari 1))) ba0rang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung$ maka probablitas dalam sampel random sebesar ,))) barang akan berisi kurang dari 8 yang bergelembung dapat dihitung sebagai berikut. Dari sini p 0.001 dan n 8000 $ maka np (8000)(0.001) 8 $ sehingga 6
P ( X 7)
p(x,8) 0.3134 x 0
Contoh 1 uatu jenis baterai mobil rata0rata berumur + tahun dengan simpangan baku ).* tahun. Bila umur baterai dianggap berdistribusi normal$ maka probabilitas umur baterai itu
antara + sampai +.* tahun$ yaitu
3 3 X 3.5 3 P(0 1) 0.5 0.5 P ( Z 1) P ( Z 0) 0,8413 0,5000 0,3413
P(3 X 3.5) P
0
1
kurang dari 4.+: tahun$ yaitu
X 4.36 3 P( 2.72) 0.5
P(X 4.36) P
0.9967 0
2.72
lebih dari 4.+: tahun$ yaitu
X 4.36 3 P( 2.72) 0 . 5 1 P (Z 2,72) 1 0,9967 0.0033
P(X 4.36) P
0
2.72
Contoh 2 Diketahui ariabel random & mempunyai distribusi normal dengan rata0rata 1, dan standar deiasi 2$*. /ituglah o P%& A 1*' o P%18 A & A 21' o >ilai k sehingga P%! A k' " )$2*8, Jawab & berdistribusi normal dengan " 1, dan " 2$*. ehingga 15 18 P (Z 1,2) 0,1151 o P%& A 1*' P Z 2,5 4
o
o
21 18 17 18 Z P 0,4 Z 1,2 P%18 A & A 21' P 2,5 2,5 P ( Z 1,2) P (Z 0,4) 0,8849 0,3446 0,5403 k 18 0,2578 P Z 0,65 0,2578 >ilai k sehingga P%! A k' " )$2*8, P Z 2,5 k 18 0,65 k 18 (0,65)(2,5) k 18 1,625 k 19,625 ehingga diperoleh 2,5
Contoh + Dari pengiriman sebanyak 1))) im kertas koran dengan berat :) gram diketahui bahwa rata0rata tiap rimnya berisi 4*) lembar dengan standar deiasi 1) lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal$ berapa persen dari rim kertas itu yang berisi 4** lembar atau lebih? Jawab & " jumlah kertas per rim berdistribusi normal dengan " 4*) lembar dan " 1) lembar. ehingga P%berisi 4** lembar atau lebih' " P%& 4**' " 1 9 P%& A 4**' 455 450 " 1 0 P Z 10 " 1 9 P% A )$*' " 1 9 )$:;1* " )$+),* Jadi persentase dari rim kertas itu yang berisi 4** lembar atau lebih adalah )$+),* ! 1)) " +)$,* Contoh 4 uatu per-obaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metode Eui-kshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata0rata *1)$, byte dan simpangan baku 4)$:8 byte. o Berapa persen dalam per-obaan tersebut ditemukan ruang memori yang melebihi :)) byte. o Jika ditemukan 1) buah per-obaan mempunyai ruang memori berkisar antara *)) sampai dengan **) byte$ berapakah jumlah per-obaan yang telah dilakukan oleh peneliti? o Jika dalam per-obaan tersebut ditemukan bahwa 1) hasil terendah$ berapakah ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil per-obaan dengan ukuran memori terendah tersebut? Jawab & " ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan " *1)$, byte dan " 4)$:8 byte ehingga 600 510,8 1 P (Z 2,19) 1 0,9857 0,0143 o P%& :))' " 1 P ( X 600) 1 P Z 40 , 67 Jadi ditemukan ruang memori yang melebihi :)) byte adalah )$)14+ ! 1)) " 1$4+. 550 510,8 500 510,8 Z P (0,26 Z 0,96) o P%*)) A & A **)' P 40,67 40,67 " P ( Z 0,96) P (Z 0,26) 0,8315 0,3974 0,4341 " )$4+41 ! 1)) " 4+$41 4+$41 ! n " 1)
n
"
10 43,41
1000 43,41
23,04 23 percobaan
Jadi jumlah per-obaan yang telah dilakukan oleh peneliti sebesar 2+ per-obaan.
o
P%& A k' " 1) k 510,8 40,67
P Z
k 510,8 40,67
0,10
P Z
1,28 0,10
1,28 k 510,8 (1,28)(40,67) k 510,8 52,0576 k 458,7424
5
Jadi ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil per-obaan dengan ukuran memori terendah tersebut adalah 4*,$8424 byte.
Contoh + uatu proses produksi menghasilkan sejumlah barang yang -a-at sebanyak 1). Bila 1)) barang diambil se-ara random$ maka probabilitas banyaknya -a-at melebihi 1+ dihitung dengan -ara demikian asalah disini berdistribusi binomial dengan n 100 dan p 0.10 $ maka np 10 dan np" (100)(0.1)(0.9) 3 $ sehingga P ( X 13) 1 P ( X 13) 1
13
b( x;100,0.10) x 0
13,5 10 1 P X 13,5 1 P Z 1 P (Z 1,17) 3 1 0,8790 0,1210 0
1.17
Contoh 4 uatu soal ujian matematika terdiri dari ,) soal$ masing0masing terdiri dari 4 pilihan ja0waban dan hanya satu jawaban yang benar. Di sini n 80 dan p 1 4 0.25 $ (80)(0.25)(0.75) 3.87 $ sehingga maka (80)(0.25) 20 dan #
probabilitas seorang murid dapat menjawab 2, soal dengan benar 28.5 20 27.5 20 Z P ( X 28) P ( 27.5 X 28.5) P P 1.94 Z 2.20 3.87 3.87 P Z 2.20 P Z 1.94
0.9861 0.9738 0.0123
1.94
2.20
probabilitas seorang murid dapat menjawab 1* sampai 2+ soal dengan benar 23.5 20 14.5 20 Z P (15 X 23) P (14.5 Z 23 .5) P 3.87 3.87 P 1.42 Z 0.90 P Z 0.90 P Z $1.42
0.8159 0.0778 0.7381
1.42 0 0.90
6
