e t a M
e t a M
e t a
Solucionario Solucionario Dirigida Dirigida 8
Matem´ aticas I
P U
Viernes 21 de Junio del 2013
P U
1. Determine Determine la inversa inversa de las siguientes siguientes matrices matrices (en caso exista): exista):
2 0 1 ) A = 1 1 4 32 7 1 3 3 1 ) B= 1 1 41 2 1 13 ) C = 1 0 1 21 10 11 0 1 3 2 1 ) D= 0 2 3 1
a
1 e t a
−
−
b
−
−
−
c
d
0 0 1 2
Soluci´ on.
a )
1 e t a M
e t a M
Se tiene que | A| = 54, por lo tanto existe su matriz inversa. Se tiene que su inversa es: 25
−1
A
P U
7
54
=
−1
54
−1
−1
6 2
−7
27
27
P U 54 1
6
6 1
27
.
b)
Se tiene que | B | = 0, por lo tanto no existe su matriz inversa.
c )
Se tiene que | D| = 13, por lo tanto existe su matriz inversa. Se tiene que su inversa es:
1 e t a
1 e t a M D−1
=
9
−5
4
13 4
13 5
13 −4
13
−2 13
0
−6
−1
13
13 6
13 1
13 −2
13 −1
13 7
13
13
13
13
−3
.
2. Determine Determine el rango de las siguiente siguientess matrices:
1 3 2 0 2 0 2 6 5 2 4 3 ) A = 0 0 5 10 0 15 23 6 30 48 40 8 1 1 7 3 ) B = 5 4 8 1 13 1 2 2 23 16 ) C = 2 1 1, donde x donde x − −
a
−
−
−
P U
b
−
− −
−
−
−
1 e t a
x
0
1 e t a M ∈ R.
c
3
P U
c 2013 Todos los derechos derechos reservad reservados. os. Prohibida Prohibida su reproducci´ reproducci´ on on parcial o total.
1
e t a M e t a M
e t a
Soluci´ on.
a )
e t a M
Mediante Mediante operaciones operaciones elementales elementales tenemos tenemos que la matriz A matriz A es equivalente por filas a la
matriz
1 0 0 0
3 0 0 0
−2
1 0 0
0 2 0 0
2 0 0 0
0 3 . 1 0
Por lo tanto, se tiene que ran r an((A) = 3. b)
1 e t a
e t a M
P U
Mediante Mediante operaciones operaciones elementales elementales tenemos tenemos que la matriz B matriz B es equivalente por filas a la matriz
P U
1 0 0
4
−1
0 1
3 4
1 0 0
3
−9
1 0
17
1 e t a M 0
0
Por lo tanto, se tiene que ran r an((B ) = 3.
.
e t a M
3. Sea el sistema consisten consistente te Ax Ax = b = b,, donde A donde A es una matriz cuadrada de orden n. n . Pruebe que | A| = 6 0 si y solo si r si ran an((A) = n. n . Demostraci´ on. De
lo visto en clase, sabemos que
= 0 si y solo si el sistema Ax = b = b posee posee soluci´on on unica. u ´nica. |A| 6
Adem´ as as tambi´en en sabemos sab emos que como el sistema es consistente, se tiene que Ax = Ax = b b posee soluci´on on unica u ´nica si y solo si ran r an((A) = n. n .
P U
Por lo tanto, concluimos que | A| = an(A) = n. n. 6 0 si y solo si r an(
P U
4. Determine Determine los valores valores de t de t para que el siguiente sistema de ecuaciones
1 e t a
x1 + x + x2 + 2x 2 x3 2x1 + 4x 4 x2 + 6x 6 x3 + tx + tx4 x1 + x + x2 + 3x 3 x3 2x1 + 2x 2 x2 + 5x 5 x3 + tx + tx4 −2x1 − 2x2 − 6x3
= 1 = 4 + 2t = 4 = 2t + 5 = t−9
1 e t a M
tenga soluci´on on unica, u ´ nica, infinitas soluciones, o no tenga soluci´on. on. Soluci´ on. Usando
e t a M
eliminaci´on on gaussiana, la matriz aumentada del sistema es equivalente a la matriz: 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
2 0 1 0 0
0
1
t
t−2 6 2t t−1
2
0 t 0
De los teoremas mencionados en clase, podemos concluir que cuando t = 1 el sistema es consistente, y m´ as as a´ un un posee soluci´on on unica. u ´ nica. Si t Si t 6 = 1 entonces el sistema es inconsistente, pues el rango de la matriz inicial no es igual al rango de la matriz aumentada.
P U
P U
5. La familia TANT TANTALEON, ALEON, conformada por 6 personas: Los padres y sus hijos peque˜ nos nos Tata, Tete, Titi y Toto (de mayor a menor), tienen una tradici´on on en la compra de los regalos de navidad. Los padres siempre compran regalos cuyo costo se da en forma lineal, dependiendo de la edad de sus hijos. Se sabe que sus edades forman una progresi´on on aritm´etica etica de raz´on on 2, y Tata tiene 12 a˜nos. nos. Usando regresi´on on lineal, calcule cuanto costar´a el regalo de Toto, si el costo de los regalos de sus otros hijos se muestra en la siguiente tabla:
1 e t a
1 e t a M 2
e t a M
e t a
e t a M
Hijo Costo del regalo(S/.) Soluci´ on. Como
Tata 100
Tete 120
Titi 128
Toto
e t a M
las edades forman una P.A., entonces las edades de Tata, Tete, Titi y Toto son respectivametne 12, 10, 8 y 6 a˜nos. nos. Como el costo de cada regalo se da en forma lineal, podemos representarlo de la forma C forma C = mx + mx + b b,, donde C donde C es es el costo y e la edad. De la informaci´on on dada se tiene que
P U
100 = b = b + + 12m 12m 120 = b = b + + 10m 10m 128 = b = b + + 8m. 8m.
P U
Es f´acil acil ver que dicho sistema es inconsistente. Usemos la regresi´on lineal para poder resolver este problema. Definamos las matrices
1 e t a
1 e t a M
1 12 100 A = 1 10 , d = 120 . 1
8
128
Debemos resolver el sistema At Ax Ax = = A A t d, es decir, debemos resolver el sistema
3
b 348 30
30 308
m
=
3424
.
e t a M
Resolviendo el sistema, se tiene que b que b = = 186 e m e m = −7. Por lo tanto, el costo del regalo ser´a dado por la funci´on on lineal C = = 186 − 7x. Por lo tanto, el costo del regalo de Toto ser´a aproximadamente C = = 186 − 7.6 = 144. 144.
P U
6. Javier Javier estaba resolviendo resolviendo el sistema sistema Ax Ax = b, b , donde A donde A es una matriz cuadrada de orden n. El sistema es consistente y de soluci´on on unica, u ´ nica, sin embargo Javier se confundi´o en sus c´alculos alculos en el m´ etodo etodo de Gauss, y demostr´o que el sistema era inconsistente. Por ello, decidi´o usar regresi´on on lineal. Demuestre que Javier, mediante la regresi´on on lineal, encontrar´a una soluci´on on que es igual a la soluci´on on del problema inicial.
P U
1 e t a
1 e t a M
7. Determine Determine graficamente graficamente el conjunto conjunto soluci´ on de los siguientes sistemas: on a )
y ≥ x − 5 y < x + x + 3
b)
9 2 y ≤ − x + 9 16 2 2 y − x < 9
c )
y ≥ x − 5 y < − 23 x + 4
Soluci´ on.
a )
10
e t a M
5
1 e t a
P U
- 10
-5
P U 5
-5
1 e t a M - 10
3
10
e t a M
e t a
b)
1 e t a
e t a M
e t a M
P U
c )
1 e t a M
P U
10
5
- 10
-5
5
10
e t a M
-5
P U
- 10
1 e t a M
8. Determinar Determinar los puntos puntos ´optimos, optimos, en caso hubiera, de
1 e t a
sujeta a:
3y z = 4x + 3y
P U
2x − y ≤ 4 x + y + y ≤ 4 2x − 3y ≥ −6 x≥0 y ≥ 0.
e t a M
9. Un alfarero alfarero se dedica dedica a elaborar elaborar tazas y platos. platos. Invierte Invierte 6 minutos minutos en hacer una taza y 3 minutos minutos en hacer un plato. Para hacer una taza emplea 3/4 kg de arcilla y para un plato 1 kg. El alfarero tiene 20 horas para hacer tazas y platos, y dispone de 240 kg de arcilla. Por cada taza ´el el tiene una ganancia de 2 soles y por cada plato 1.5 soles. ¿ Cu´antas antas tazas y platos debe hacer para maximizar su ganancia.?
P U
Soluci´ on. El
1 e t a
P U
problema se reduce a maximizar z = 2x + 1. 1.5y sujeta a: 6x + 3y 3y ≤ 1200 0.75 75x x + y + y ≤ 240 x≤0 y ≤ 0
1 e t a M 4
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
Graficamos la regi´on on factible.
y
1 e t a
P U
v4 = (0, (0, 240)
1 e t a M
P U
v3 = (128, (128, 144)
v1
x
v2 = (200, (200, 0)
e t a M
Dado que la regi´on on poligonal es acotada, la funci´on on z alcanza su m´aximo aximo en uno de los v´ ertices ertices del pol´ po l´ıgon ıg ono. o. Com C omoo z (v1 ) = 0
z (v2 ) = 2 × 200 = 400 z (v3 ) = 2 × 128 + 1. 1.5 × 144 = 472 z (v4 ) = 1.5 × 240 = 360, 360,
P U
P U
para maximizar su ganancia, el alfarero debe hacer 128 tazas y 144 platos.
10. Maximizar Maximizar U U = 10 10x x + 10y 10y + 25 sujeto a la regi´on on poligonal poligonal sombread sombreadaa abajo.
1 e t a
1 e t a M y
6
4
4
Soluci´ on. Como
8
x
e t a M
el gradiente de 10x 10x + 10y 10y + 25 es (10, (10, 10), y buscamos maximizar U maximizar U ,, el punto ´optimo optimo ser´ a el punto P punto P mostrado mostrado en la figura de abajo. Las ecuaciones de las rectas que pasas por segmentos sombreados de negro son
1 e t a
P U
1 y = − x + 4 y 2 3 y = − x + 6. 6. 2
1 e t a M
P U
e t a M
Resolviendo este sistema, tenemos que ambos segmentos de recta se intersecan en el punto P = (2, (2, 3). 5
e t a M
e t a M
e t a
y
U = 75 U = 65
1 e t a
P U
U = 55
4
U = 45
3
P = (2, (2, 3)
U = 35 U = 25
1 e t a M 2
4
P U
x
e t a M
11. Sea la funci´ on f on f : A → B . Para cada X cada X ⊂ A y cada Y cada Y ⊂ B denotamos f denotamos f ((X ) = {y ∈ B : y = f = f ((x), x ∈ −1 X } y f (Y ) ) = { x ∈ A : f ( f (x) ∈ Y } }. a )
Probar que ∀ X ⊂ A, [X ⊂ f −1 (f ( f (X ))]. ))].
b)
Probar que f que f es es injectiva si, y solamente si,
∀X ⊂ A, [f −1 (f ( f (X )) )) = X ] X ].
Soluci´ on.
P U
a )
Sea X Sea X ⊂ A y x ∈ X . Como f Como f ((x) ∈ f ( f (X ) entonces x entonces x ∈ f −1 (f ( f (X )). )).
b)
(⇒) Sea X ⊂ A; gracias al item anterior, ser´a suficiente probar que f −1 (f ( f (X )) )) ⊂ X . Sea x ∈ −1 f (f ( f (X )), )), luego f ( f (x) ∈ f ( f (X ), ), es decir f ( f (x) = f ( f (y) para alg´ un un y ∈ X . X . Como x = y , por ser f injectiva, se sigue que x ∈ X . (⇐) Supongamos Supongamos f f ((x) = f ( f (y ). Como { x} = f = f −1 (f ( f ({x})) = f −1 (f ( f ({x, y})) = { x, y }, se sigue que x = y = y..
1 e t a
P U
1 e t a M
12. Con la misma notaci´ notaci´ on del ejercicio anterior: on a )
Probar que ∀ Y ⊂ B, [f ( f (f −1 (Y )) )) ⊂ Y ]. ].
b)
Probar que f que f es sobrejectiva si, y solamente si,
∀Y ⊂ B, [f ( f (f −1 (Y )) )) = Y ]. ].
Soluci´ on.
e t a M
a )
Sea Y Sea Y ⊂ B e y ∈ f ( f (f −1 (Y )). )). Luego, y = f ( f (x) para alg´ un un x ∈ f −1 (Y ). ). Como f ( f (x) ∈ Y Y entonces y ∈ Y . .
b)
(⇒) Sea Y Sea Y ⊂ B ; gracias al item anterior, ser´a suficiente probar que Y ⊂ f ( f (f −1 (Y )). )). Sea y ∈ Y ; ; −1 luego y = f ( f (x) para alg´ un un x ∈ X . X . Como f Como f ((x) = y ∈ Y , , se tiene que x ∈ f (Y ), ), lo que implica que y que y ∈ f ( f (f −1 (Y )). )). (⇐) Considerando Y = B, B , tenemos que f que f ((A) = f ( f (f −1 (B )) = B, B , pues f pues f −1 (B ) = A (verificar.) A (verificar.)
1 e t a
P U
13. Sea la siguiente siguiente relaci´ on on
1 e t a M
P U
R = { (x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 − 2y = 3} 6
e t a M
e t a
e t a M
e t a M
a )
Probar que R que R no es una funci´on. on.
b)
Si se tiene la condici´on y on y ≥ 1, probar que R que R se torna una funci´on, on, pero que no es inyectiva.
Soluci´ on. a )
R no es funci´on, on, pues (0,3) y (0,-1) pertenecen a R a R..
b)
Como x Como x 2 + y 2 − 2y = 4 ↔ (y − 1)2 = 4 − x2 , suponiendo suponiendo y y ≥ 1, tenemos:
P U
2
(y − 1) = 4 − x2
↔
P U
y = 1 +
p 4
− x2 .
De esta manera, tenemos que R se torna funci´on. on. Pero en virtud que ( −2, 1),(2, 1),(2, 1) ∈ R, R , se tiene que no es inyectiva.
1 e t a
1 e t a M
e t a M
14. Si la funci´on on f : R → [1, [1 , +∞], definida por f ( f (x) = ax 2 + bx + bx + c c es es sobreyectiva, con a > 0 y adem´as as satisface que f que f (0) (0) = 2. Calcular b Calcular b 2 /4a.
1 e t a 1 e t a
P U P U
1 e t a M 1 e t a M 7
P U P U
e t a M e t a M
