UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÈRICA) FACULT ACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA EL!CTRICA EL!CTRIC A CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II EXAMEN FINAL SEMESTRE 2014-II Profesor: ARA ARA NOLAN I!s"r#$$%o!es:
L"s e#$%enes &'e 'ilian l$*i +" li&'id *a*er n" ienen dere-." a re-la%"/
1& 0ea C la -ir-'n1eren-ia de -enr"
( 0 ; 0 ) + radi"
1
+
D la re2i3n
li%iada *"r C/ b)
∫ ( x
2
+ y ) ds =
2π
2
∫ dt = 2
π
calcular :
t =0
C
∫∫ ( x
2
+ y 2 ) dA
D
'&
So(#$%)!
b)
∫ ( x
2π
2
+ y
2
) ds = ∫ dt = 2π t = 0
C
a)
∫∫ ( x
2π
2
+ y
2
1
) dA = ∫ ∫ r
D
3
θ = 0
drd θ =
π
r = 0
F ( x, y, z )
4) 0ean F el -a%*" ve-"rial dad" *"r5
2
2 , zarctgx zarctgx , yarctgx + z = 2 1 + x
yz
C el se2%en" se2%en" de re-a re-a &'e va de A6(7,8,8) A6(7,8,8) a 96(7,8,4)/ 96(7,8,4)/ Cal-'le la ine2ral de l:nea de F s";re C de d"s %aneras disinas/ a) 'sand" 'sand" el -"n-e* -"n-e*" " de -a%*" ve-"r ve-"rial ial -"nserva -"nservaiv" iv" y Rot F = arctgx − arctgx, 1 + x 2
8 N
−
y 1 + x
2
,
z 1 + x
2
−
z 1 + x
2
= ( 0,0,0)
f = yz x 1 + x 2 f = zarctgx y f z = yarctgx + z 2
∫
F d r =[yz arctanx +
C
z3 3
= (0;1;2) ]B A = (0;1;1) =
8 3
-
1 3
=
7 3
;) 'sand" 'na *ara%eria-i3n *ara la -'rva C/ r (t )
= ( 0,1,1 + t ) ;0 ≤ t ≤ 1
Una *ara%eria-i3n de la -'rva C es F ( r ( t ) )=⟨ t + 1 ; 0 ; ( t + 1 )
r ' ( t ) =⟨ 0 ; 0,1 ⟩ +
∫ F d r =
C
1
2
⟩
1
∫ F ( r ( t ) ) .r ' ( t ) dt =∫ ⟨ t + 1 ; 0 ; ( t +1 ) ⟩ . ⟨ 0 ; 0 ; 1 ⟩ dt 2
0
0
[ ]
1
¿∫ ( t + 1 ) dt = 2
0
( t + 1 ) 3
3
1
8
1
7
3
3
3
= − =
0
>) En-'enre el ?'@" del -a%*" ve-"rial
F &'e *asa a ravs de la
S d"nde
s'*erB-ie
F ( x ; y ; z )=⟨ 2 x √ x + y + 3 y + 2 z ; − x √ x + y −2 y − z ; − z ⟩ 2
2
2
2
+
S es *are del
*lan" 2 x + 3 y + z =12
-ilindr"
2
2
x + y =2 x /
0"l'-i3n 05 1(#, +, )64#>+8467 La *r"+e--i3n de S s";re el *lan" XY es el dis-" D de -enr" ( 1 ; 0 ) + radi"
1
-'+a des-ri*-i3n en -""rdenadas *"lares es
4 N
{
D = ( r ; θ ) /
C"%" la s'*erB-ie S
⟨
∇ f = 2 ; 3 ; 1
F . dS =¿
64 15
− π 2
≤θ≤
π 2
; 0 ≤ r ≤ 2 cosθ
}
es$ "rienada .a-ia arri;a, el ve-"r n"r%al es
⟩ /
=4.3
.
∬¿ S
) 0ean, D la re2i3n del *ri%er -'adrane li%iada *"r las -ir-'n1eren-ias 2
2
2
x =0 e y = x / 0i C es la 1r"nera de la
2
x + y =1 , x + y =4 , las re-as
F es el -a%*" ve-"rial
re2i3n D "rienada en senid" ani ."rari" + dad" *"r F ( x ; y ) =⟨ 2 x √ x + y ; y √ x + y 2
calcular :
2
2
2
⟩
/
∫ F d r C
0"l'-i3n La des-ri*-i3n de la re2i3n D en -""rdenadas *"lares es
{
D= ( r ; θ ) /
∫
F d r =
C
∫∫ (Q
x
xy
− P y ) dA = − ∫∫
D
x + y 2
D
2
π 4
≤θ≤
π 2
;1≤ r≤ 2
}
π
dA
2
2
−∫ ∫ senθcosθr dr dθ 2
6
π
1
4
π 2
¿−∫ senθcosθ π 4
> N
[ ] 2
∫r 1
2
dr dθ=
π
−7 3
2
−7
∫ senθcosθdθ = 12 π 4
2
2
2
) Una l$%ina iene la 1"r%a de la *are s'*eri"r de la es1era x + y + z =16 2
2
&'e se en-'enra en el ineri"r del -ilindr" x + y =4 y / 0i la densidad en -ada *'n" ( x ; y ; z ) es$ dada *"r5 δ ( x ; y ; z )= z ( x + y + 16 ) / Cal-'le la 3
2
2
%asa de la l$%ina 0"l'-i3n/ s";re el *lan" XY es el dis-" D de
La *r"+e--i3n de la s'*erB-ie S -enr" ( 0 ; 1 ) + radi"
1
-'+a des-ri*-i3n en -""rdenadas *"lares es
D= { ( r ; θ ) / 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 4 senθ }
S : f ( x ; y ; z )= x + y + z =16 el ve-"r 2radiene es 2
Para la s'*erB-ie
2
2
∇ f ( x ; y ; z ) =⟨ 2 x ; 2 y ; 2 z ⟩
‖∇ f ( x ; y ; z )‖= 8
f z= 2 z
+
/
z ( x + y + 16 ) 8 2 2 2 z ( x + y + 16 ) dS =∬ dA =¿ 4 ∬ z ( x + y + 16 ) dA |2 z| D D .
3
2
3
2
.
2
2
.
m=∬ ¿ S
.
π
¿ 4 ∬ ( 16 − x − y )( x + y + 16 ) dA = 4 ∫ 2
2
2
2
D
0
π
¿ 4∫ 0
[
4 senθ
∫ ( 16 0
2
4 senθ
∫ ( 16 −r ) rdrdθ 2
0
]
r −r ) dr dθ = 5
4
9728 3
) 0ean, E el s3lid" li%iada *"r la s'*erB-ie
⟨
π ≈ 878H,8
2
2
2
S 1 : x + y + z =2 z
y z -a%*" ve-"rial dad" *"r5 F ( x ; y ; z )= x + xyz ; y −2 xyz ;z + x z − 2
N
3
3
3
2
F el
+ 2
⟩
calcular :
∫∫∫ div( F )dV E
0"l'-i3n/ La des-ri*-i3n de la re2i3n E es
{
E= ( ρ ; θ ; ∅ ) / 0 ≤ ∅ ≤
π 2
; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ ρ ≤ 2cos ∅
}
La diver2en-ia del -a%*" ve-"rial F es
divF ( x ; y ; z )=3 ( x + y + z 2
L'e2",
∫∫∫ div( F )dV = 3∫∫∫ ( x E
2
+ y 2 + z 2 )dV =
π 2 2 π 2cos ∅
E
∫∫ ∫
3
0
π
¿
96 5
0
π
2 2 π
∫∫ cos 0
0
4
ρ sen ∅ dρdθd ∅
5
∅
sen ∅ dθ d ∅=
0
N
192 π 5
2
∫ cos 0
5
∅
sen ∅ d ∅=
32 π 5
2
2
) /
