MEKANIKA STRUKTUR I
STRUKTUR STATIS STATIS TERTENTU
Soelarso.ST.,M.Eng
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA
PENDAHULUAN Struktur Statis Tertentu Suatu Suat u st struk ruktu turr di dise sebu butt se seba baga gaii st stru rukt ktur ur st stat atis is te tert rten entu tu,, ji jika ka ga gaya ya-g -gay ayaa ek ekst ster erna nall da dan n internal akibat beban-beban yg bekerja dapat dihitung seluruhnya dengan pers pe rsam amaan aan ke kese seim imba banga ngan n be beri riku kutt in ini:i: Untuk kasus bidang 2 dimensi (2D): ΣH = 0 jumlah gaya-gaya horisontal horisontal pada seluruh sistem adalah nol Σ V = 0 jumlah gaya-gaya vertikal pada seluruh sistem adalah nol ΣM = 0 jumlah momen pada pada setiap titik di dalam struktur adalah nol. Syarat kese seiimban anga gan n ada 3 persamaan maka pad adaa konstru rukksi statis tert rteentu yang harus ha rus bi bisa sa di dise sele lesa saik ikan an de deng ngan an sy syar arat at-s -sya yara ratt kes esei eimb mban anga gan, n, ju juml mlah ah bil ilan anga gan n ya yang ng tidak diketahui dalam persamaan tersebut adalah 3 buah. Jika dalam menyelesaikan suatu konstruksi tahap awal yang harus dicari adalah reaksi perl pe rlet etak akan an,, ma maka ka ju juml mlah ah re reak aksi si ya yang ng ti tida dakk di dikket etah ahui ui ma maks ksim imum um 3.
Contoh 1
Balok diatas dua perletakan dengan beban P. A = Sendi 2 reaksi yang tidak diketahui (RAV dan RAH adalah reaksi vertikal dan horizontal horizontal di A) B = Rol 1 reaksi yang tidak diketahui (RBV adalah reaksi vertikal di B) Jumlah reaksi yang tidak diketahui adalah 3 konstruksi statis tertentu
P R AH A
R AV
maka konstruksi tersebut adalah
B
BV R BV
Contoh 2 Konstruksi kantilever seperti gambar disamping dengan tumpuan di A adalah jepit A = jepit dengan 3 reaksi yang tidak diketahui (RAV = reaksi vertikal di A, RAH = reaksi horizontoal di A, M = momen di A)
M R AH A
R AV
Jumlah reaksi yang tidak diketahui ada 3 buah maka konstruksi tersebut adalah statis tertentu
P
Contoh 3
Balok diatas dua perletakan dengan beban P. R AH A = Sendi 2 reaksi yang tidak diketahui (RAV dan RAH adalah reaksi A vertikal dan horizontal di A) B = Sendi 2 reaksi yang tidak R AV diketahui (RBV dan RBH adalah reaksi vertikal dan horizontal di B) Jumlah reaksi yang tidak diketahu adalah 4 konstruksi statis tak tertentu
P
maka konstruksi tersebut adalah
R BH B
R BV
GAYA-GAYA DALAM Bangunan teknik sipil yang umumnya terdiri dari struktur beton, baja, kayu yang dalam pembuatan struktur-struktur tersebut perlu diketahui ukuran/dimensi dari tiap-tiap elemen struktur (balok, kolom, pelat). Untuk menentukan dimensi dari elemen struktur tersebut, memerlukan gaya-gaya dalam. P1
Struktur pada gambar A dan Gambar B disamping dengan beban P dan Bentang (L) yang berbeda, akan mengalami/mempunyai gayagaya dalam yang berbeda pula . Sehingga dimensi dari struktur akan berbeda pula.
A
L1
B
Gambar A P2
L2
Gambar B
B
MACAM-MACAM GAYA DALAM Suatu balok terletak pada 2 perletakan dengan beban seperti pada gambar, maka balok tersebut akan menderita beberapa gaya dalam yaitu : 1. Balok menderita beban lentur yang menyebabkan balok tersebut melentur. Gaya dalam yang menyebabkan lenturan tersebut disebut momen (M) 2. Balok tersebut menderita gaya tekan karena adanya beban P dari kiri dan kanan. Balok yang menerima gaya yang searah dengan sumbu batang, maka akan menerima beban gaya dalam yang disebut Normal (N) 3. Balok tersebut menderita gaya lintang, akibat adanya reaksi perletakan atau gaya-gaya yang tegak lurus ( ) sumbu batang, maka balok tersebut menerima gaya dalam yang disebut gaya lintang (D) P1
P
P B
A
RA
RB
PERJANJIAN TANDA
-
-
-
- - - - + + + + ++ ++++++ -
+ + + + + + + ++ + + + - - - - - -
Tanda momen positif (+)
Tanda momen negatif (-)
P Tanda gaya lintang positif (+) P P Tanda gaya lintang negatif (-) P P Tanda gaya normal positif (+) P P Tanda gaya normal negatif (-) P
Soal 0 : Balok Sederhana (simple beam ) Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) P (KN) ½L
A
½L
B
C L
RBV
RAV
Penyelesaian : ΣM A = 0
ΣM B = 0
- RBV.L + P. ½.L = 0 RBV = ½P
RAV.L - P. ½.L = 0 RAV = ½P
Σ V
=0 R AV + R BV – P = 0
Oke
Gaya Lintang untuk menggambar SFD SFA = RAV = ½P KN SFC = ½P – P = -½P KN SFB = ½P KN Bending Momen Diagram MA = 0 KNm MC = RAV. ½L = ½P. ½L = ¼.P.L KNm MB = 0 KNm
½P
(+) (-) Shearing Force Diagram (SFD)
(+) 1/4 P.L
Catatan : Normal Forced Diagram (NFD) tidak dihitung karena tidak adanya beban yang searah sumbu batang
½P
Soal 1 : Balok Sederhana (simple beam ) Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) P = 5 KN 2,5 m
A
2,5 m
C 5m
B
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, pertama tama carilah reaksi di kedua tumpuan balok tersebut yaitu gaya vertikal keatas karena adanya beban ke arah bawah.
ΣM A = 0
P = 5 KN
- RBV.5 + 5.2,5 = 0 - 5.RBV = - 12,5 RBV = 2,5 KN
A
ΣM B = 0
RB = 2,5 KN
RA = 2,5 KN
RAV.5 - 5.2,5 = 0 5.RAV = 12,5 RAV = 2,5 KN =0 2,5 – 5 + 2,5 = 0
B
Free Body Diagram (FBD)
Σ V
Oke
Gaya Lintang untuk menggambar SFD SFA = RAV = 2,5 KN SFC ki = SFA = 2,5 KN SFC ka = 2,5 – 5 = -2,5 KN SFB = -2,5 KN
2,5
(+)
5
(-) 2,5 Shearing Force Diagram (SFD)
Daerah I MX = RAV . X = 2,5 . X (Fungsi x berpangkat satu) Linear X = 0 MX = 0 KNm MX = 6,25 KNm X = 2,5 Daerah II MX = RAV . X – 5 (x-2,5) X = 2,5 MX = 6,25 KNm MX = 0 KNm X = 5
5 X-2,5
X
Daerah II
Daerah I
2,5
2,5
(+) 6,25
Bending Momen Diagram (BMD)
Catatan : Normal Forced Diagram (NFD) tidak dihitung karena tidak adanya beban yang searah sumbu batang
Soal 2 : Balok Sederhana (simple beam ) Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) 4 Ton 10 Ton 6 Ton 2m
2m
A Penyelesaian : ΣM A = 0
- RBV.8 + 10.6 + 6.4 + 4.2 = 0 -8.RBV = -92 RBV = 11,5 Ton
2m
8m
2m
B
ΣM B = 0
RAV.8 - 4.6 - 6.4 - 10.2 = 0 8.RAV = 68 RAV = 8,5 Ton =0 11,5 - 4 - 6 -10 + 8,5 = 0
4 Ton A
Σ V
Oke
C RA = 8,5 KN
6 Ton
D
10 Ton
E RB = 11,5 KN
Free Body Diagram (FBD)
Gaya Lintang untuk menggambar SFD SF AC = RAV = 8,5 Ton SF CD = 8,5-4 = 4,5 Ton SF DE = 4,5 – 6 = -1,5 Ton SF EB = -1,5-10 = -11,5 Ton
8,5 4,5
(+) 1,5
(-)
11,5 Shearing Force Diagram (SFD)
B
BMD MA = 0 Tm MC = 8,5.2 = 17 Tm MD = 8,5.4 – 4.2 = 26 Tm ME = 8,5.6 – 4.4 – 6.2 = 23 Tm MB = 0 Tm
4 Ton
6 Ton
10 Ton
(+) 17
23 26
Bending Momen Diagram (BMD)
Soal 3 : Balok Sederhana (simple beam ) P = 20 T 3 4
RAH A
C
B 5m
3m
RAV
RBV
Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) Penyelesaian : 20 T
3 5
4
3/5 20 = 12 T
4/5 20 = 16 T
=0 RAH+12=0 RAH = -12 T ( )
P = 20 T 3
ΣH
4
12 T
B
C
A ΣM B = 0
RAV.8 – 16.5 = 0 8.RAV = 80 RAV = 10 Ton ΣM A = 0 RBV.8 – 16.3 = 0 8.RBV = 48 RBV = 6 Ton
10 T 10 T
Free Body Diagram (FBD)
(+) (-)
Shearing Force Diagram (SFD)
12 T
(+) Normal Force Diagram (NFD)
BMD Mc = RAV.3 = 10.3 = 30 Tm
6T
) + (
30 Tm Bending Momen Diagram (BMD)
6T
Soal 4 : Balok Sederhana (simple beam ) P=5T
P = 16 T RAH
3
A
C
D 2m
3m
4
B 3m
RAV
RBV
Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) Penyelesaian :
4
5 3
4/5 5= 4 T
5T 3/5 5 = 3 T
ΣH
=0 RAH-3=0 RAH = 3 T (
)
ΣM B = 0
RAV.8 – 16.5 – 4.3 = 0 8.RAV = 92 RAV = 11,5 Ton ΣM A = 0 RBV.8 – 16.3 -4.5 = 0 8.RBV = 68 RBV = 6 Ton
P = 16 T
P=4T
C
D
3T A 11,5 T
B
Free Body Diagram (FBD)
6T
11,5 T
(+) SFD SF AB = 11,5 T F BC = 11,5 – 16 = -4,5 T SF CD = -4,5 – 4 = -8,5 T
(-)
4,5 T
(-)
Shearing Force Diagram (SFD)
8,5 T
NFD NF AC = -3 T NFCD=-3+3=0
3T
(-) Normal Force Diagram (NFD)
BMD BM B = 11,5.3 = 34,5 T BM C = 34,5 – 4,5.2 = 25,5 T
(-) 25,5 Tm
34,5 Tm Bending Momen Diagram (BMD)
Soal 5 : Balok Sederhana (simple beam ) Balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) A
C
RAV
B
16 Tm
4m
Penyelesaian :
RBV
4m
2T
ΣM B = 0
RAV.8 + 16 = 0 ΣM A = 0 RBV.8 – 16 = 0
(-)
RAV = 2 T ( )
Shearing Force Diagram (SFD)
RBV = 2 T ( )
SFD SFAB=-2T BMD BM Cki = -2.4 = -8 Tm BM Cka = -8 + 18 = 8 Tm
(-)
8 Tm (+)
8 Tm
Soal 6 : Balok Sederhana (simple beam ) dengan beban merata Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) Q (Tm) x
A RAV
R
Rx L/2
Penyelesaian : =0 RAV.L – R.½L = 0 RAV.L – Q.L. .½L = 0 RAV = ½.Q.L RBV = ½ Q L ΣMB
B RBV L/2
SFD SF x = RAV – Q.x = ½.Q.L – Q.x = Q (½.L-x)
½.Q.L
(+)
x=0 SF = ½.Q.L x =½.L SF = 0 x = L SF = -½.Q.L
A
B
) - ( L/2
L/2
-½.Q.L
Shearing Force Diagram (SFD)
BMD BM x = RAV.x – Rx. ½.x = RAV.x – Q.x.½.x = ½.Q.L .x – ½.Q.x2 = ½.Q (L .x – x2 )
x=0 BM = 0 BM = ⅛.Q.L2 x =½.L x=L BM = 0
A
(+) ⅛.Q.L2
Bending Momen Diagram (BMD)
B
Soal 7 : simple beam dengan beban merata dan beban titik Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) 5 Tm 4T A
C
D
R
RAV 2m
Penyelesaian :
2m
B RBV
4m
Soal 8 : simple beam dengan beban trapesium Diketahui balok sederhana dengan tumpuan sendi-rol seperti pada gambar dibawah. Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) 5 Tm x
Q Tm Qx
A R
Rx
RAV
⅓.L
L
Penyelesaian : R = ½.Q.L
=0 RAV.L – R.⅓L = 0 RAV = 1/6.Q.L ΣMB
ΣMA =
0 RBV.L – R.⅔L = 0 RBV = ⅓.Q.L
B RBV
SFD SF x = RAV – R.x = 1/6.Q.L – (x/L)2 (R) = 1/6.Q.L - (x/L)2 (Q.L/2) = 1/6.Q.L (L2 -3x2 ) (fungsi kuadrat)
Letak SF = 0 Q/6L (L2 -3x2 ) = 0 x = 0,577L
BMD Mx = RAV.x – Rx.⅓x = (1/6.Q.L)x – {(Qx2 )/2L}. ⅓x = QLx/6 – Qx3/6L = Q/6L {xL2 – x3 )
QL/6
(+) (-)
0,577 L
Shearing Force Diagram (SFD)
(+) 0,064 Q L2
Dimana x = 0,577 L Mx = 0,064 QL2
Bending Momen Diagram (BMD)
QL/3
Soal 9 : Balok Kantilever dengan beban terpusat x P
Ma
ΣM A = 0
Ma + P.L = 0 Ma = -P.L
A
L
RAV
ΣV =
0 RAV – P = 0
(+) P Shearing Force Diagram (SFD)
) - ( P.L Bending Momen Diagram (BMD)
RAV = P BMD Mx = -P. x x=0 Mx = 0 x = L Mx = -P.L
Soal 10 : Balok Kantilever dengan beban merata Q
A
L
RAV
x
Q.L
(+) Shearing Force Diagram (SFD)
(-)
BMx = -½.Q.L2
½Q.L2 Bending Momen Diagram (BMD)
RAV = Q.L BMA = -½.Q.L2 SFx = Q.x BMx = -½.Q.L2
Soal 10 : Portal dengan beban merata dan beban titik Hitunglah reaksi tumpuan, gambarkan Free Body Diagram (FBD), Shearing Force Diagram (SFD), Bending Momen Diagram (BMD) dan Normal Forced Diagram (NFD) pada gambar dibawah ini. 2 Tm
D
B
E
RBV
C
2T
2m 2m
A
RAH
RAV 2m
Penyelesaian :
8m
ΣH
=0 RAH+2=0 RAH = -2 T (
) 12 T
ΣM B = 0
RAV.8 + 2.4 – 2.2 – 2.10.5 = 0 RAV = 12 T
4T
8T 0T
ΣM A = 0
-RBV.8 + 2.4 + 2.10.3 = 0 RBV=8T
8T
2T 2T
12 T
Free Body Diagram (FBD)
SFD SFAC=2T SF CE = 2 – 2 = 0 T SF DE = -2.x x=0 SF = 0 T x=2 SF = -4 T SF EB = -2.x + 12 x=2 SF = 8 T x = 10 SF = -8 T SF = 0 x=6m
8T (+) (-)
F
(-)
-4 T (+)
-8 T
2T Shearing Force Diagram (SFD)
NFD NFD AC = -12 T
(-)
12 T
Normal Force Diagram (NFD)
