2. Guia de Dinámica

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA AREA: DE CIENCIAS BASICAS

CURSO: FÍSICA MECANICA GUIATEMATICA DE DINAMICA

FECHA: 29-11-2014 VERSION: Página 1 de 23

AREA DE CIENCIAS BASICAS FÍSICA MECÁNICA Autores: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño Competencia: analizar las propiedades, características y elementos propios de los fenómenos físicos mecánicos

Tiempo: 6 horas

Conducta de entrada 2.1

Concepto de fuerza

DINÁMICA: Parte de la MECÁNICA que estudia el movimiento de los cuerpos teniendo en cuenta la causa (FUERZA) FUERZA:

Es cualquier agente externo capaz de alterar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo (de mov. Rectilíneo y uniforme), ó, las dimensiones del mismo.

EFECTOS DE UNA FUERZA: 1. Alterar las dimensiones o forma del cuerpo sobre el que actúan actúan 2. modificar su estado de movimiento, sea de translación trans lación o de rotación Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño

Revisó: Coordinadores de Programas y Áreas Una univers idad, todo un país

Aprobó: Consejo de de facultad.

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

CURSO: FÍSICA MECANICA

FECHA: 29-11-2014

GUIATEMATICA DE DINAMICA

FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA AREA: DE CIENCIAS BASICAS

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ELEMENTOS DE UNA FUERZA: Como magnitud vectorial, que debe tener: a) b) c) d)

Punto de aplicación Dirección Sentido Intensidad Sentido Intensidad ■

30º

F=4N

Dirección

Punto de Aplicación

2.2

CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS NATURALEZA DE LAS FUERZAS FUERZA GRAVITACIONAL Es una fuerza de atracción entre dos cuerpos debido a sus masas. LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACION UNIVERSAL Toda partícula material del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto producto de las masas de ambas partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Fg

Fg = Gm1m2 donde G= Constante de Cavendish = 6.67 x 10 -11 N.m2 r2 kg2 FUERZA ELECTROMAGNÉTICA Estas fuerzas se descomponen en: Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño


Aprobó: Consejo de de facultad.


1. Fuerza Eléctrica:



Es la fuerza de atracción o repulsión debida a cargas eléctricas

F= k q1q2 r2

k = cte de Coulomb

2. Fuerza Magnética: Es la fuerza debida a las cargas en movimiento, la cual crea campos magnéticos. FUERZAS NUCLEARES Si r < 10 -15 m, entonces se crean estas fuerzas, permiten la unidad de las partículas dentro del núcleo. FUERZAS DE CONTACTO Es la fuerza que un cuerpo hace a otro, debido solo al contacto real entre los dos cuerpos. Son de naturaleza electromagnética y representan un número muy grande de interacciones entre los diferentes constituyentes de la materia. 



FUERZAS DE CONTACTO



Fuerza elástica (caso del resorte) Fuerza de tensión (caso de la cuerda) Fuerza producida por la superficie de un cuerpo en contacto con otro





Fuerza normal a las superficies. Fuerza de rozamiento paralela a la superficie.

FUERZAS ELÁSTICAS a. Fuerzas moleculares

Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño


Aprobó: Consejo de facultad.



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En general, en los sólidos, las moléculas forman cristales y los vértices de la red cristalina son las posiciones de equilibrio de las moléculas. Si comprimimos o dilatamos un sólido, aparecen fuerzas moleculares de repulsión o atracción. F

F Fuerza de repulsión

x r A Fuerza Neta Fuerza de Atracción

r r0 r> r0 r = r0 r< r0

= distancia entre moléculas = distancia en estado natural  fuerza de atracción  fuerza neta nula  fuera de repulsión

b. Ley de Hooke Notemos que alrededor de r 0, la gráfica se aproxima a una recta; lo que indica que si tomamos un nuevo origen de coordenadas en A y denominamos a X la nueva abscisa F = -kx Donde:

(Ecuación de la fuerza) F = Fuerza de restitución K = Cte del resorte X = Desplazamiento

TENSION DE UNA CUERDA Tomemos una cuerda fija en B y del extremo A halemos con una fuerza F







B


T4 T3 T2

T1

F

Como las moléculas se separan, la fuerza de restitución llamada tensión se opondrá a F 

En un punto M existirá

T2 = Tensión de M hacia A T3 = Tensión de M hacia B

En B existirá una tensión T 4 producida por todas las moléculas de la cuerda de equilibrio, estas tensiones son iguales. FUERZA NORMAL N

Consideremos un cuerpo sobre una superficie plana, las moléculas comprimidas de la superficie producen sobre el cuerpo una fuerza elástica dirigida de la superficie hacia el cuerpo y normal a la superficie, que denominamos “NORMAL”









ROZAMIENTO Siempre que la superficie de un cuerpo desliza sobre otro, cada cuerpo ejerce sobre el otro una fuerza de rozamiento paralela a las superficies. La fuerza sobre cada cuerpo es opuesta al sentido de su movimiento respecto al otro. Así, cuando un bloque desliza de izquierda a derecha a lo largo de la superficie de una mesa, se ejerce sobre el bloque una fuerza de rozamiento hacia la izquierda y una fuerza igual actúa hacia la derecha sobre la mesa. Las fuerzas de rozamiento también existen cuando no hay movimiento. P

W

Se encuentra en equilibrio debido a: W P

= Peso del bloque = Fuerza de la superficie sobre el bloque (las líneas de acción se han desplazado)






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Supongamos que se ata una cuerda al bloque y aumenta más la tensión:

N

R

T

Fs=µ sN W

(no hay movimiento) La fuerza P está inclinada puesto que las tres fuerzas (T, W, R) deben ser concurrentes. FS = Fuerza de rozamiento estático N = Fuerza normal superficie / Bloque

 Fx = 0  Fs = T (1ª ley de Newton)  Fy = 0  N = W Cuando se incrementa la fuerza T, se alcanza el valor límite para el cual el bloque se despega de la superficie y comienza a moverse, es decir, F s no puede pasar de cierto valor máximo (Fs <  s N)  s

= Coeficiente de rozamiento estático









N P

T

Fs=µs N W

(El movimiento del bloque es inminente)

Fs =  s N O   s  1 Tan pronto como comienza el deslizamiento, la fuerza de rozamiento disminuye, existe un nuevo coeficiente de proporcionalidad  k = Coeficiente de rozamiento cinético o dinámico

 k

N P v=Cte

T Fk =µk N

W







2.3


POSTULADOS DE NEWTON

PRIMERA LEY (LEY DE INERCIA) Explicación 1. Si esta en reposo se mueve y gira en el sentido de las agujas del reloj 2. Si esta en movimiento cambia el movimiento de translación en magnitud y/o dirección y aumentará o disminuirá su velocidad de rotación  NO ESTA EN EQUILIBRIO

F 1

A

F 1

Si colocamos una

(Fuerzas Concurrentes) 

F

= 0

A

F 2

=-



F 1 

∑

De tal manera que la resultante sea nula y además actúa en la misma línea de acción  SI ESTA EN EQUILIBRIO

B

F 2



F 1

Si colocamos una fuerza F 2 = - F 1 =∑F= 0 Pero las líneas de acción no coinciden entonces el cuerpo mantiene su equilibrio de translación, pero no el de rotación (las fuerzas forman un par) 

A

B

F 2



Enunciado: “Toda partícula del universo permanece en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a no ser que exista una fuerza que lo obligue a cambiar su estado”







2ª LEY (LEY DE LA DINAMICA) EXPLICACION Y

F

0

a

v

X

Es la vista en planta de un pequeño cuerpo (partícula) situado sobre una superficie horizontal lisa, moviéndose a la derecha o a lo largo del eje x de un sistema de referencia inercial, sobre el cuerpo actúa una fuerza horizontal F, que mide mediante el dinamómetro, observándose que la velocidad del cuerpo aumenta mientras actúa la fuerza (el cuerpo tiene una aceleración). a = dv hacia la derecha dt Si se mantiene constante el valor de la fuerza, la velocidad aumenta en proporción constante. Al modificar la fuerza, la derivada de la velocidad varía en la misma proporción: 2 F  2 d v dt 

1F 2

1 d v 2 dt 







d v



F

dt 

a 

F

El efecto de una fuerza no es mantener sino modificar la velocidad del cuerpo, por lo tanto un cuerpo puede estar en movimiento, una vez iniciado este, sin necesidad de que actúe una fuerza . Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño







Y

F

0

a

v

X

En este caso v va hacia la derecha mientras que F actúa hacia la izquierda, el cuerpo se mueve más lentamente y si F sigue actuando, invertirá el sentido del movimiento, la a va hacia la izquierda en el mismo sentido de F . 









Luego

 

F

a 

Decir que:

y tiene el mismo sentido de 



d v



F





F



F

= Cte = masa = m

dt

osea:

, independiente de



v



d v

d 

F

=m



d v

= m.



a

dt

donde:

m = fuerza / unidad de aceleración

En el movimiento rectilíneo la F y la V coinciden con la línea de acción, cuando F no coincide con V entonces el cuerpo recorre una trayectoria curva, no obstante la ecuación 1 sigue aplicándose salvo que existan no solo la variación en la dirección.  x=m 

F



d vx

= m a x 

dt  = ma



 y=m 



F



F

d vy = 

may 

dt  z=m 

F



= m a z

d vz



dt Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño




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Enunciado: “La derivada con respecto al tiempo de la velocidad en una

partícula, o sea, su aceleración, es igual a la resultante de todas las fuerzas exteriores ejercidas sobre la partícula dividida por la masa de esta, y tiene la misma dirección e igual s entido que la fuerza resultante”. TERCERA LEY (LEY DE ACCIÓN Y REDUCCIÓN) EXPLICACIÓN

Cualquier fuerza dada es solo un aspecto de una acción mutua entre dos cuerpos. Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud, sentido opuesto y con la misma línea de acción. Las dos fuerzas que intervienen en toda acción mutua entre dos cuerpos se suelen denominar ACCIÓN y REACCIÓN sin discriminación de cual es la acción y cual es la reacción. F1

F2

F 2

'

'

F 1

= Fuerza ejercida por el hombre sobre la cuerda (acción)  F 1 = - F 1 F ’ 1= Fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque (reacción) F 2= Fuerza ejercida por la cuerda sobre el bloque (acción)  F 2 = - F 2 F ’ 2 = Fuerza ejercida por el bloque sobre la cuerda (reacción) F 1 y F 2 (no son acción y reacción) 





F 1 













y F 2 no necesariamente son de igual magnitud si el bloque y la cuerda se mueven hacia la derecha con velocidad creciente, la cuerda no esta en equilibrio  F 1 > F 2 



F 1 



Solo en el caso en que la cuerda permanezca en reposo o se mueva con velocidad constante son iguales en magnitud (por primera ley). Sin embargo aún cuando la cuerda esté cambiando las fuerzas de acción y reacción son iguales entre sí, aunque Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño






F 1

≠





F 2

Si la cuerda esta en equilibrio ( F 1 = F 2 ) por la primera ley de Newton puesto que F 1 = F 2 por la tercera ley  F 1 = F 2 y la fuerza ejercida sobre el bloque por la cuerda es igual a la ejercida sobre la cuerda por el hombre. 











La cuerda transmite al bloque, la fuerza ejercida por el hombre sobre la cuerda (cuando la cuerda está en equilibrio). Considerando esto se tiene: '

F

F

= Fuerza ejercida por el hombre sobre el bloque (Acción) ’ F = Fuerza ejercida por el bloque sobre el hombre (Reacción) 

F 

Un cuerpo como la cuerda sujeta a tracciones en sus extremos decimos que esta en tensión. La tensión en cualquier punto es igual a la fuerza ejercida en dicho punto. Así: si la cuerda de la primera figura se tiene: Tensión en el extremo derecho ( F 1 ó F ’ 1) Tensión en el extremo izquierdo ( F 2 ó F ’ 2) 







En la segunda figura la tensión es la misma en ambos extremos. Si



F 1

y



F ’

son 50 kg = la tensión en la cuerda es 50 kg.

Enunciado: “A cada acción se opone siempre una reacción igual, o sea,

las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias”





2.4


FECHA: 29-11-2014



APLICACIONES TEORICO PRÁCTICAS

Ejemplo 1: Gravedad de Bogotá Determinar la gravedad de Bogotá aplicando la ley de gravitación universal h

Fg=W

Datos Mt= 5.98x1024kg R t= 6.32x106m hbog= 2.6x103m = 0.0026 x 106m G= 6.67 x 10-11 N.m2 /kg2 

F G=



G Mt m1 = W = m1. (R t + hBog)2



g



gBog = G Mt (R t + HBog)2

gBog = 6.67x10-11 x 5.98x1024 =9.97m/seg2 del mar) (6.32x 106 + 0.0026x106)



< 9.98m/seg2 ( a nivel





Ejemplo 2:

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Coeficiente de rozamiento

Un bloque cuya masa es de 20 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. a. Qué fuerza horizontal cte. T es necesaria para comunicarle una velocidad de 6 m/seg. en 3 seg, partiendo del reposo, si la fuerza de rozamiento entre el bloque y la superficie es cte. e igual a 4N b. Cuál es el coeficiente de rozamiento estático Suponiendo que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque se tiene N

Fs

T

W

m = 20 kg ay = 0m/seg2 ax = V – Vo = 6 – 0 = 2m/seg2 t 3 ∑Fx = T – Fs = max ∑Fy = N – W = may = 0

(1) (2)

De (2) se tiene: N = W = mg = 20 x 9.8 = 196 N Fs =

 s N   s

= 4 = 0.02 196

De (1) se tiene: T = F s + max = 4 + 20 x 2 = 44N








Ejemplo 3: Tensión en el cable de un ascensor Un ascensor y su carga pesan en total 2400 lb, calcúlese la tensión en el cable soporte cuando el ascensor que se mueve inicialmente hacia abajo a la velocidad de 30 pie/seg, se lleva al reposo con una aceleración cte en un recorrido de 60 pies. T y (+) a

W

y= -60 pies

V= -30 pie/seg

V=0

m = w = 2400 lb = 75 slug g 32 pie/seg Como el ascensor desciende con M.U.A. 2ay = V2 – Vo2  ay = V 2 – Vo2 2y Vo = 30 pie/seg (hacia abajo) Y = 60 pies (hacia abajo)

V = o (reposo)

a = O – (-30 pie/seg) 2 = 7.5 pie/seg 2 (hacia arriba) 2 (-60 pie) Según el diagrama de cuerpo libre ∑Fy = T – W = may => T =W + may

T = 2400 + 75 x 7.5 = 2400 + 562. 5 T = 2962.5 lb Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño






Ejemplo 4: Aceleración en un plano inclinado Cuál es la aceleración de un bloque sobre un plano inclinado liso que forma un ángulo con la horizontal. y N

W= senθ W= cosθ

x θ

Las únicas fuerzas que actúan sobre el bloque son el W y N Luego ∑ Fy = N – W Cos = may = O  N = WCos ∑ Fx = W Sen = max = ax = mg Sen = g Sen m ax = g Sen (independiente de la masa del bloque) Ejemplo 5:

Tensión en la cuerda entre bloques

En la figura, un bloque de peso W 1 (masa = m) se mueve sobre una superficie horizontal lisa, unida por una cuerda ligera flexible, que pasa por una pequeña polea sin rozamiento, a un segundo bloque suspendido de peso W 2 (masa = m2). Cuál es la aceleración del bloque, y cuál es la tensión de la cuerda que une los dos bloques. N

T

2 ≫ 

W1 T

W2







Para el bloque (1) ∑ Fy = N – W1 = m1ay = 0 = N = W 1 (A) ∑ Fx = T = m 1ax Para el bloque (2) ∑ Fy = W2 – T = m2ay


(B)

(C)

Pero la aceleración que esta comunicando la cuerda, la polea la hace cambiar de eje  ax = ay = a para el bloque 2 Sumando (B) y (C) se tiene: W2 = (m1 + m2) a a = w2 = m2 g = g m2 = a m1 + m2 m1+m2 m1+m2 Eliminando la aceleración de la (B) y (C) se tiene a = T de (B) y reemplazando (C) m1 W2 – T = m2 x T  m1 (W2 – T) = Tm2 m1 m1W2 = T(m1 + m2) T = W2 . m1 m1+m2







Ejemplo 6:


Tensión en cuerdas entre bloques Dos bloque A y B están dispuestos según figura y unidos por cuerdas al bloque C de peso 60 kg, tanto A como B pesan 20 kg el  k = 0.5 entre cada bloque y la superficie, si el bloque C desciende con a cte. Cuáles son las tensiones en la cuerda

a= cte

B C

a= cte

A 37º α=

37º

Nota: g = 10 m/seg 2 Para el bloque A ∑ Fy = may = 0 = N A – W A = 0

NA

N A = W A = 20 kg T1

N A = 20 kg ∑ Fx = max = T1 – Fk Fk = µk NA

T1 –

 K N A =

maX

WA= 20Kg

T1 – 0.5 (20kg) = 20 kg (ax) 10 m/seg2 T1 – 10 = 2a X Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño

(1) Revisó: Coordinadores de Programas y Áreas Una univers idad, todo un país





Para el bloque B ∑ Fy = may = 0



NB – WB Cos 37° = 0

NB T2

NB = WB . Cos 37° = 20 kg (0.8)

T1

NB = 16 kg (F)

Wsen37º

∑ Fx = mBax = T2 – T1 – WB sen 37 – Fk T2 – T1 = 20 sen 37° + 0.5 (16) + 20 ax

T2 – T1 = 20 + 2ax

(2)

WB cos37º

Fk =µkNB WA= 20kg 37º

10

Para el bloque C (la a x se convierte en ay debido a la polea) ∑ Fy = mcay = WC – T2

60 – T2 = mCax

T2

60 – T2 = Wc . ax g

x

a = a

y

60 – T2 = 60 ax 60 – T2 = 6ax

Tomando (1) = (2) =

(3)

Wc= 60Kg

T1 – 10 = 2 ax T2 – T1 = 20+ 2 ax T2 – 10 = 20 + 4ax T2 = 30 + 4a x

Reemplazando en (3) Reemplazando en (1) Reemplazando en (3) Elaboró: José Luis Gutiérrez Silva Jesús Mauricio Niño

(4)

60 – (30 – 4ax) = 6ax  ax = 3m/seg2 T1 = 16 kg (F) T2 = 42 kg (F) Revisó: Coordinadores de Programas y Áreas Una univers idad, todo un país





EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

El bloque A de la figura pesa 4 kg y el bloque B 8 kg. El  k = 0.25 entre todas las superficies. Calcúlese la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante. a. Si A y B están unidos por una cuerda flexible que pasa por una polea fija sin rozamiento. b. Si A se mantiene en reposo. c. Si A descansa sobre B y se mueve con él.

A P

B

2.

Un joven y una niña llevan patines para el hielo y pesan 80 kg y 40 kg respectivamente, sostienen los extremos de una cuerda horizontal. Una tercera persona ejerciendo una fuerza horizontal de 20 kg, hala del joven, haciéndolo deslizar, la fuerza de rozamiento del joven es de 5 kg y la de la niña de 4 kg. Hallar: a. Aceleración del joven. b. Aceleración de la niña. c. Tensión de la cuerda.

3.

Un tren suburbano está formado por tres vagones de 15 Tm de peso. El primero de ellos actúa de máquina y ejerce una fuerza de tracción de 4800 kg, sabiendo que la fuerza de rozamiento en cada uno de los vagones es de 100 kg. Calcular: a. La tensión entre el 1° y el 2° vagón. b. La tensión entre el 2° y el 3° vagón.






FECHA: 29-11-2014



4.

Calcular la fuerza que un hombre de 100 kg de peso ejerce sobre un ascensor cuando a) Esta en reposo b) Asciende con una velocidad constante de 1m/s c) Desciende con una velocidad constante de 1m/s d) Asciende con una aceleración constante de 1 / 2 e) Desciende con una aceleración constante de 1 / 2

5.

Considérese el conjunto de bloques de la figura: todas las superficies tienen  k = 0.3. se pide: a. Hallar la aceleración. b. Calcular las tensiones. Cuerda2

B

Cuerda1

mB=10Kg A

37°


mA =20Kg


C mC =30Kg



•



Bibliografía

Bibliografía básica FISICA PARA INGENIERIA Y CIENCIAS (3ra edición), Hans C.OHANIAN, John T. Markert, ED Mc Graw Hill ISBN 13: 978-970-10-6744-4, ISBN 10: 970-10-6744-4 FISICA, (3ra Edición). R.A. SERWAY. ED Mc Graw Hill. ISBN: 968422988-7, 968422-989-5 FUNDAMENTOS DE FISICA. HALLIDAY- RESNICK. ED. CECSA. ISBN: 0-471-060208 Bibliografía complementaria FISICA. M. ALOSO y E. FINN, ED. Addison Wesley. ISBN: 0-201-62565-2 FISICA, P.A. TIPLER, ED. Reverté ISBN: 84-291-4367-X, 84-291-4368-8 FISICA (9na Edición). SEARS y otros. ED. Addison Wesley Longman. ISBN: 968-444-277-7, 968-444-278-5 FISICA.J.M de JUANA. ED. Alhambra. ISBN: 84-205-1217-6, 84-205-1712-7 FISICA. GETTYS, KELLER y SKOVE. ED. Mc. Graw Hill. ISBN: 84-7615-635-9

Webgrafía: 

http://www.reducc.org/




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