2 EJERCICIOS RESUELTOS DE REDES DE TUBERÍAS (MÉTODO MATRICIAL, MÉTODO DE LA LÍNEA DE GRADIENTE HIDRÁULICO Y USO DE EPANET) – HIDRÁULICA BÁSICA Autor: J. Esteban Rodríguez – Estudiante de la Universidad Nacional de Colombia Atención: Documento provisto únicamente como material de estudio, se prohíbe su reproducción y/o uso inadecuado.
1) En la figura se ilustra un sistema de tuberías con tres embalses. Determine el caudal en cada tubería usando el método de línea de gradiente hidráulico en los nodos y el método matricial. Para cada tubería, los diámetros y longitudes están en unidades de metros.
Figura 1. Representación esquemática (No a escala) del sistema
1.1) Desarrollo por el método de la línea de gradiente hidráulico en el nodo 1.1.a) Direcciones del flujo Para este problema en particular, las direcciones del flujo son conocidas, por lo cual no se hace necesario recurrir a suposiciones iniciales.
1.1.b) Análisis del Nodo y su valor de LGH Antes de especificar las ecuaciones que rigen el sistema dado, se hará una suposición sencilla que consiste en imaginar un piezómetro en el nodo, el cual permite leer el valor de la línea de gradiente hidráulico LGH en dicha parte del sistema. La dirección del flujo en cada tubería (Que ya es conocida) permite deducir inequívocamente entre qué rangos posibles debe encontrarse tal valor de LGH en el nodo.
Figura 2. Suposición de un piezómetro imaginario en el nodo del sistema
Considerando el hecho de que el fluido siempre viajara desde el punto de mayor energía a un punto de menor energía y de que las condiciones en los embalses son conocidas, resulta evidente que el valor de LGH debe ser menor a 85 metros (Ya que el agua desde el embalse 2 viaja hacia abajo), pero mayor a 60 metros (por la misma razón respecto al embalse 3), así:
1.1.c) Aplicación de las ecuaciones de continuidad y energía en el sistema Inicialmente se puede hacer un análisis para encontrar la expresión que cumple la ecuación de continuidad en el nodo (La masa de fluido debe conservarse), de esta forma, de acuerdo a las direcciones del flujo se cumple que (Considérese la nomenclatura de la figura 2):
Donde: El siguiente paso es aplicar las ecuaciones de energía para cada tubería en la dirección que corresponda, estas resultan particularmente sencillas dada la ausencia de equipos de bombeo u condiciones especiales en los embalses, por lo tanto se tiene:
Para la tubería 1 → Para la tubería 2 → Para la tubería 3 → Donde:
Ahora bien, sabemos por definición que las pérdidas de energía se pueden representar de la forma: de acuerdo al modelo de Darcy-Weisbach, por lo tanto, reemplazando en las ecuaciones (2), (3) y (4): →
(
)
→
(
)
→
(
)
Las ecuaciones (5), (6) y (7) expresan explícitamente los caudales Q1, Q2 y Q3 que son precisamente aquellos que se desea conocer. Si reemplazamos estas expresiones en la ecuación (1) se obtiene la ecuación que rige al sistema en función de LGHn y los coeficientes de resistencia “k”: (
)
(
)
(
)
1.1d) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k” para cada tubería Antes de analizar más a fondo la ecuación (8), hay que hacer una primera suposición que permita estimar un valor inicial de los “k”, el primer paso es suponer un factor de fricción rugoso para cada tubería y calcular el resto de sus propiedades con base en los datos conocidos y esta suposición inicial, para esto es importante listar primero ordenadamente en tablas cada una de las propiedades conocidas de cada tubería de acuerdo a la nomenclatura seleccionada:
Tabla 1. Propiedades conocidas de las tuberías del sistema
Demandas q (m /s)
0,06
(m /s)
Elevaciones Z1 (m) Z2 (m) Z3 (m)
100 85 60
L1 (m) L2 (m) L3 (m)
Diámetros D1 (m) D2 (m) D3 (m)
0,3 0,25 0,25
Ks1 (m) Ks2 (m) Ks3 (m)
3
Viscosidad 2
1,31E-06
Longitudes 2000 1500 3000 Rugosidades 0,0005 0,0005 0,0005
Suponemos entonces para las 3 tuberías un factor de fricción inicial “f” de 0,03, de lo cual se puede calcular cada uno de los “k” de acuerdo a la ecuación:
Donde: Por lo tanto se tiene: Tabla 2. Estimaciones de coeficiente de rugosidad para la primera iteración
Tubería 1 2 3
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
f turb 0,03000 0,03000 0,03000
K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9
1.1.e) Aplicación del método numérico de Newton-Raphson para estimar LGHn Si analizamos la ecuación (8) nos encontramos con un inconveniente importante, el valor de LGHn es desconocido, y a pesar de que sabemos con certeza los rangos en los que se debe encontrar no tenemos el valor preciso para que se cumpla la continuidad, por lo cual se recurre al método de Newton-Raphson para estimarlo, así que en primera medida se adoptará un valor que corresponde al promedio de los límites tiene, en este caso, será:
De acuerdo al método de Newton-Raphson, con un valor supuesto, debe generarse un error, que esta define a la ecuación (8) como una función de error E (LGHn): (
)
(
)
(
)
Para aplicar el método de Newton se debe calcular la derivada de la función de error, respecto a la variable que se está estimando: (
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
)
Luego, se calcula el cambio en el valor de LGHn, el, cual en teoría al ser sumado al primer valor de LGHn supuesto, debe acercarse a un mejor valor de LGHn que disminuya el error progresivamente hasta prácticamente cero, aplicamos:
(
)
Donde: Para nuestro caso y con los primeros valores de “k” encontrados se tiene que: (
)
(
(
)
) (
(
( )
)
) (
(
)
(
)
)
Entonces:
De lo que se deduce de acuerdo a la ecuación (13) que un LGH más acertado para el nodo debe ser:
Ahora bien, usando este nuevo LGHn, calculamos los caudales para esta iteración haciendo uso de las ecuaciones (5), (6) y (7), al mismo tiempo se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el área de la sección transversal de cada tubería y consecuentemente se puede calcular el número de Reynolds de acuerdo a la expresión:
Donde: Además con este número de Reynolds y la relación ks/D explícita en la tabla (2) para cada tubería, se puede aplicar la ecuación implícita de Colebrook-White para determinar un nuevo factor “f” para cada tubería que se ajustará mejor a las condiciones del sistema y pondrá fin a la iteración 1: ⁄ √
√ (
)
Tabla 3. Factores de fricción nuevos luego de la primera iteración
Q (m3/s) 0,087 0,010 0,057
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,23 0,21 1,16
Re 281480,33215 39859,91258 220969,58224
f c-w 0,0231 0,0271 0,0242
hf (m) 15,4 0,4 24,6
Desde este punto se inicia una segunda iteración adoptando ahora los factores de fricción nuevos, el procedimiento se repite exactamente igual desde la tabla (2): Tabla 4. Estimación de “k” para la segunda iteración
Suposición LGH N1 (m)
Tubería 1 2 3
84,60
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
f turb 0,02305 0,02714 0,02423
K (m5/s2)-1 1567,7 3444,7 6150,0
Hallamos entonces la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):
Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 5. Factores de fricción nuevos luego de la segunda iteración
Q (m3/s) 0,101 0,018 0,062
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,44 0,37 1,27
Re 328759,64938 70829,74422 242138,78829
f c-w 0,0230 0,0257 0,0242
hf (m) 16,1 1,1 23,9
Las iteraciones deben detenerse cuando el cambio entre los factores de fricción antiguos y los nuevos sea despreciable, en este caso a pesar de que resultaron similares, aún hubo cambios notables, por lo cual la solución exige más iteraciones: Tabla 6. Estimación de “k” para la tercera iteración
Suposición LGH N1 (m)
Tubería 1 2 3
83,86
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
f turb 0,02295 0,02571 0,02416
K (m5/s2)-1 1560,9 3263,0 6133,0
Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):
Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 7. Factores de fricción nuevos luego de la tercera iteración
Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,45 0,41 1,27
Re 331047,87114 77536,69959 241687,85676
f c-w 0,0229 0,0255 0,0242
hf (m) 16,3 1,3 23,7
Para la siguiente iteración se tiene: Tabla 8. Estimación de “k” para la cuarta iteración
Tubería 1 2 3
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
K (m5/s2)-1 1560,7 3240,9 6133,3
f turb 0,02295 0,02554 0,02416
Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal cual las ecuaciones (10) y (11):
Recalculando los caudales y demás variables, se tiene: Tabla 9. Factores de fricción nuevos luego de la cuarta iteración
Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,45 0,41 1,27
Re 331045,69202 77708,80360 241698,42910
f c-w 0,0229 0,0255 0,0242
hf (m) 16,3 1,3 23,7
Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los caudales de cada tubería son los siguientes:
Se puede verificar que las respuestas encontradas cumplen con las ecuaciones de continuidad: (1) y las de energía (5), (6) y (7):
→ → →
1.2) Desarrollo por el método matricial 1.1.a) Nomenclatura y Direcciones del flujo Para el problema propuesto, no hay inconvenientes con las direcciones de flujo (Pues son conocidas) ni con la nomenclatura (Pues solo se tiene un nodo). 1.1.b) Definición de circuitos Debemos considerar el problema analizado en función de circuitos abiertos, es decir, series de tuberías mediantes las cuales una línea de corriente puede existir en la realidad, en este caso, asumiremos los únicos 2 circuitos posibles de acuerdos a las direcciones de flujo que abarcan toda las tuberías del sistema:
Figura 3. Definición de circuitos en el sistema
1.1.c) Chequeo de las pérdidas de energía A diferencia del método del gradiente hidráulico en el Nodo, en este caso no se toma en cuenta el nodo explícitamente. En primer lugar para resolver el problema por el método matricial, es aconsejable realizar un chequeo de las pérdidas y para esto, recurrimos a la ecuación de Darcy-Weisbach y aplicamos unos valores bastante redondeados para f (Por ejemplo 0,02) y la velocidad (1 m/s) a cada uno de los circuitos: Para el circuito 1: (
)
(
( )
)
(
)
Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 1 y 3 (Energía disponible):
Se obtiene aproximadamente el 50%, lo cual es aconsejable y se puede decir que le da “luz verde” al sistema. Similarmente para el circuito 2: ( (
)
( )
(
) )
Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 2 y 3 (Energía disponible):
Las pérdidas son significativas, pero no sobrepasan a la energía disponible para gastar, por lo cual el sistema funciona. 1.1.d) Aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energía Inicialmente se hace explícita la ecuación de conservación de masa en el nodo del sistema:
Luego, analizamos los grados de libertad del sistema, en este caso son 3 (Q1, Q2 y Q3) por lo tanto se requieren 2 ecuaciones adicionales a (16) para resolver el problema
(Corresponde a los 2 circuitos definidos) cada uno genera una ecuación de conservación de energía: Circuito 1 (
:
Circuito 2 (
:
1.1.e) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k” Similarmente a como se trabajó en el método de LGH en el nodo, se adoptan en principio unos valores de “f” para las tuberías; tomaremos 0,03 en este caso para las 3, luego podemos calcular el “k” de acuerdo a la ecuación (9):
Tabla 10. Coeficiente de resistencia para los “f” supuestos
Tubería 1 2 3
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
f turb 0,03000 0,03000 0,03000
K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9
1.1.f) Definición de funciones de error Idealmente se quiere lograr un cumplimiento perfecto de las ecuaciones (16), (17) y (18), sin embargo, en el método matricial se inicia suponiendo los caudales por lo que la probabilidad de que se cumplan dichas ecuaciones simultáneamente con caudales supuestos es casi nula, así que se genera un error en cada una ellas. Por esta razón podemos definir:
Y de forma similar (No igual) al método de Newton, es válido afirmar que se puede obtener una función con un error menor aplicando:
En notación matricial: [ [
Donde: Y si [
]
[
]
]
]
[ ][
]
[ ]
[
]
tiende a ser cero, la ecuación 22 puede simplificarse como: [ ][
]
[
]
1.1.g) Montaje de las matrices Para expresar la matriz [ ] hay que derivar parcialmente las ecuaciones (19), (20) y (21) cada una respecto a Q1, Q2 y Q3 para un total de 9 términos que conforman dicha matriz: [ ]
[
]
El vector [ ] es simplemente un vector columna que contiene los términos que ] también es deseamos encontrar de la ecuación matricial, mientras que el vector [ un vector columna que contiene a las funciones de error definidas en (19), (20) y (21), por lo tanto: [
]
[
]
Y en consecuencia la ecuación matricial a resolver es: [
] [
]
[
]
Como se mencionó anteriormente, este método exige suponer unos caudales iniciales, para este caso, se supone una velocidad inicial de 1 m/s en la tubería 1, y a partir de su área (Que es conocida) se obtiene el caudal: (
)
(
)
Ahora bien, de la ecuación de continuidad (16) podemos deducir que:
Así que aplicando estos caudales supuestos (Que cumplen la ecuación de continuidad) y los “k” de la tabla 8 en la ecuación matricial (24) se tiene: [
] [
[
] [
]
[
]
]
[
]
De (25) se obtiene: [
]
[
]
Con el vector de correcciones para los caudales, podemos estimar unos nuevos que se aproximan mejor a las exigencias del sistema, y a partir de estos de forma análoga al método de LGH en el nodo, se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el área de la sección transversal de cada tubería, consecuentemente se puede calcular el número de Reynolds y ayuda de la ecuación implícita de ColebrookWhite es posible determinar un nuevo factor “f” para cada tubería poniendo fin a la iteración 1.
Tabla 11. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 1
Q (m3/s) 0,090 0,027 0,057
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,27 0,55 1,15
Re 291141,033986 104039,928124 220143,908802
f c-w 0,0230 0,0250 0,0242
hf (m) 16,5 2,7 24,4
Con los nuevos valores de “f” se estiman los “k” de la nueva iteración: Tabla 12. Coeficiente de resistencia para los “f” en la segunda iteración
Tubería 1 2 3
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
K (m5/s2)-1 2040,2 3807,4 7614,9
f turb 0,03000 0,03000 0,03000
Realizando exactamente el mismo procedimiento de la iteración anterior, se obtiene la siguiente ecuación matricial:
[
] [
]
[
]
De (26) se obtiene: [
]
[
]
Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos: Tabla 13. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 2
Q (m3/s) 0,102 0,020 0,063
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,45 0,41 1,27
Re 331563,126046 78519,546775 243130,037926
f c-w 0,0229 0,0255 0,0242
hf (m) 16,4 1,3 24,1
El método exige realizar más iteraciones, de tal forma que el cambio en los factores de fricción llegue a ser despreciable:
Tabla 14. Coeficiente de resistencia para los “f” en la tercera iteración
Tubería 1 2 3
Ks/D 0,0017 0,0020 0,0020
K (m5/s2)-1 1560,6 3237,9 6132,3
f turb 0,02295 0,02551 0,02416
La ecuación matricial resultante es:
[
] [
]
[
]
De (26) se obtiene: [
]
[
]
Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos: Tabla 15. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 3
Q (m3/s) 0,102 0,020 0,062
A (m^2) 0,07068583 0,04908739 0,04908739
V (m/s) 1,45 0,41 1,27
Re 331047,828297 77733,134487 241725,268339
f c-w 0,0229 0,0255 0,0242
hf (m) 16,3 1,3 23,7
Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los caudales de cada tubería son los siguientes:
La solución es exactamente la misma a la que se llegó por el método del LGH en el nodo del sistema.
2) En la figura se muestra el predimensionamiento de un sistema distribución de agua potable (ks = 0.02 mm para todas las tuberías). Se estima que al tanque elevado llegue al menos un caudal de 3.7 l/s. Presente una solución usando el esquema de solución matricial y compare la solución usando el modelo EPANET. Describa las características del equipo de bombeo (circulo azul) necesario (curva característica, eficiencia, potencia, CNSP, diámetro de la tubería de succión y de descarga, accesorios) para impulsar agua a la red de distribución (del tanque con elevación 80 m al nodo 4). Longitudes de tuberías y diámetros en metros.
Figura 4. Esquema del problema 2
2.1) Solución por el método matricial 2.1.a) Estimación de las pérdidas de energía para selección de la bomba Antes de iniciar con la resolución del problema, es necesario tener clara la ecuación del equipo de bombeo que se debe utilizar; como en este caso no se cuenta con dicha ecuación, se debe hacer su selección estimando las pérdidas de energía que se necesitarían compensar para transportar el fluido en la dirección especificada. Para que la estimación sea efectiva, se supondrá el camino más largo desde el tanque a 80 m hasta el tanque a 100 m y se asumirá un valor típico de velocidad para un red de distribución, para efectos de esta estimación: V= 1 m/s.
Figura 5. Trayecto más largo (De mayores pérdidas) desde el tanque de succión hasta el de descarga
Al aplicar la ecuación de Darcy-Weisbach suponiendo una velocidad y un coeficiente de fricción rugoso, se obtienen las siguientes pérdidas redondeadas:
Por lo tanto se requerirá una bomba que supla una pérdida de no menos de 40 m para un caudal mínimo que debe corresponder a la suma de las demandas de los nodos y al mínimo caudal que se exige en el tanque de descarga, dicho caudal es:
Para encontrar una bomba con estas características se debe recurrir a un catálogo de bombas, y fijarse en aquellas que para el caudal estimado puedan aportar la carga hidráulica necesaria. Al revisar el catálogo técnico “Barnes de Colombia” encontramos que para cada bomba se describe una serie de gráficas de “H (m)” contra el caudal el Litros por minuto (LPM). En el caso de nuestra red, el caudal mínimo a transportar será:
Sin embargo, en este catálogo ni siquiera con la proyección de las curvas de las bombas más potentes se encuentra alguna que si quiera considere este caudal (Los valores máximos de caudal llegan a 22400 LPM)
Figura 6. Curva característica de la Bomba con mayor capacidad encontrada en el catálogo, el caudal máximo graficado llega hasta 15000 LPM muy lejos de 34000 LPM (Fuente: Barnes de Colombia S.A Catálogo técnico)
Al revisar otro catálogo técnico correspondiente a una empresa española conocida como “Bombas Omega” se encontraron solo 2 bombas que podrían ajustarse a la red estudiada, en este caso, el caudal está expresado en LPS:
Las curvas de las bombas más potentes de dicho catálogo se muestran a continuación:
Figura 7. Curvas características de las Bombas con mayor capacidad encontradas en el catálogo, estas bombas cumplen con los requerimientos del problema (Fuente: Bombas OMEGA. Catálogo técnico)
Para el problema se adoptará la bomba de 960 RPM correspondiente a la figura 7, siendo la que, mejor se ajusta a la red en términos de los valores de H y Q presentes, y sobre todo en eficiencia. Para estimar la ecuación de la curva característica se puede seleccionar 3 puntos y realizar el ajuste potencial a una curva de la forma (Q= A – B*Q^2), aunque claramente se aprecia que la gráfica no corresponde perfectamente a una función de esta forma se puede hacer una aproximación: [ ]
[ ]
[
⁄ ]
La ecuación (27) corresponde a la ecuación de la bomba que se utilizará para realizar la solución del problema, corresponde a la Bomba de referencia C-400/500 de 960 RPM del catálogo español Omega.
2.1.b) Nomenclatura y direcciones de flujo La nomenclatura de tuberías y circuitos viene explícita en el esquema del problema; y respecto a las direcciones de flujo, se pueden adoptar criterios de gravedad y máquinas Hidráulicas presentes para suponerlas, en este caso, dichas suposiciones se muestran en la siguiente figura:
Figura 8. Direcciones de flujo supuestas
2.1.c) Análisis del sistema y definición de los circuitos Previamente al planteamiento de las ecuaciones del sistema, hay que cuantificar el número de nodos y tuberías para establecer la cantidad de circuitos que se hará necesario definir, en este caso:
De lo que deducimos que el número de ecuaciones de energía faltantes debe ser:
Por lo tanto, 3 circuitos que abarcan todas las tuberías del sistema son los siguientes:
Figura 9. 3 Circuitos posibles que abarcan todas las tuberías del sistema
En este caso, se optó por utilizar 2 circuitos cerrados (C1 y C2) y uno abierto (CA) puesto que los primeros simplifican levemente las ecuaciones a plantear. 2.1.d) Aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energía Inicialmente se hacen explícitas las ecuaciones de conservación de masa (o continuidad) en los nodos del sistema: ⁄
⁄
⁄
⁄
Las ecuaciones de energía se obtienen a partir de los circuitos previamente definidos: Para el circuito 1, si se toma como punto de partida el Nodo 1, todos los términos (Excepto las pérdidas de energía) se anulan puesto que la línea de corriente parte y llega al mismo punto, en esto consiste la simplificación de un circuito cerrado: ∑
∑
En la ecuación (32) el término para la tubería 5 toma signo negativo porque en el circuito adoptado, la dirección del flujo se opone a la que lleva la línea de corriente. El procedimiento anterior se repite para el circuito 2: ∑
∑
El circuito abierto es el más importante ya que es el que contiene a la bomba, por lo tanto hay que prestar especial atención a la definición de su ecuación de energía; en este caso los puntos extremos son las reservas de agua: ∑ (
)
(
)
Es importante notar que se tiene otro dato muy importante del sistema, en este caso, el ⁄
caudal mínimo que debe abastecer a la reserva 1: 2.1.e) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k”
En este paso se adoptan en principio unos valores de “f” para las tuberías; tomaremos 0,03 en este caso para todas, luego podemos calcular el “k” de acuerdo a la ecuación (9) (Usada en el problema anterior), es necesario tener tabuladas ordenadamente todas las características de cada tubería: Tabla 16. Características de cada una de las tuberías
Demandas q1 (m /s) q2 (m3/s) q3 (m3/s) q4 (m3/s) 3
0,1 0,15 0,18 0,1
Viscosidad 1,31E-06 (m /s) 2
Elevaciones Z1 (m) Z2 (m)
Diámetros D1 (m) D2 (m) D3 (m) D4 (m) D5 (m) D6 (m) D7 (m)
Longitudes 100 80
L1 (m) L2 (m) L3 (m) L4 (m) L5 (m) L6 (m) L7 (m)
500 1500 1400 1600 900 1800 900
Rugosidades Ks1 (m) 0,00002 Ks2 (m) 0,00002 Ks3 (m) 0,00002 Ks4 (m) 0,00002 Ks5 (m) 0,00002 Ks6 (m) 0,00002 Ks7 (m) 0,00002
0,40 0,50 0,25 0,45 0,40 0,50 0,60
Los resultados de la ecuación (9) para los “f” supuestos se muestran a continuación: Tabla 17. Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k”
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Ks/D 0,000050 0,000040 0,000080 0,000044 0,000050 0,000040 0,000033
f turb 0,03000 0,03000 0,03000 0,03000 0,03000 0,03000 0,03000
K (m5/s2)-1 121,0 119,0 3553,6 214,9 217,9 142,8 28,7
2.1.f) Aplicación de la ecuación matricial De acuerdo a la teoría ya estudiada en el primer problema, se debe armar una ecuación matricial que cumpla: [ ][
]
[
]
Donde: [ ] [ [
] ]
Para este problema las 7 funciones de error a considerar son: ⁄
⁄
⁄
⁄
Por lo tanto, su matriz de derivadas parciales es la siguiente:
[
Y la ecuación matricial en cuestión:
]
[
] [
]
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
[
]
2.1.g) Primera iteración Las ecuaciones anteriores nos llevan a plantear los caudales supuestos, para que cumplan las ecuaciones de continuidad desde un principio: ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ Aplicando la ecuación (42) se tiene el siguiente resultado para el vector de delta de caudal:
[
]
[
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene: Tabla 18. Resultados de Q y f para la primera iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Q (m3/s) 0,0326 0,0370 0,0271 0,1529 0,1130 0,1967 0,5626
A (m^2) 0,1257 0,1963 0,0491 0,1590 0,1257 0,1963 0,2827
V (m/s) 0,26 0,19 0,55 0,96 0,90 1,00 1,99
Re 79093,6 71988,2 105263,3 330295,8 274491,7 382282,4 911274,8
f c-w 0,0191 0,0195 0,0182 0,0147 0,0152 0,0143 0,0125
hf (m) 0,13 0,16 2,61 5,03 2,78 5,52 9,08
De la tabla 18 podemos observar que al final de la iteración 1, el caudal en 1 es menor a 0,0037 el cual es el requerido, por lo tanto para las siguientes iteraciones se espera un positivo para que de acuerdo a las estimaciones 1 la condición se cumpla. 2.1.h) Segunda iteración De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k” se modifican así: Tabla 19. Valores de “K” para la segunda iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Ks/D 0,000050 0,000040 0,000080 0,000044 0,000050 0,000040 0,000033
f turb 0,01914 0,01946 0,01823 0,01468 0,01519 0,01429 0,01250
K (m5/s2)-1 77,2 77,2 2159,8 105,2 110,3 68,0 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el siguiente vector solución:
[
]
[
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene: Tabla 20. Resultados de Q y f para la segunda iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Q (m3/s) 0,0403 0,0138 0,0195 0,1605 0,1362 0,1736 0,5703
A (m^2) 0,1257 0,1963 0,0491 0,1590 0,1257 0,1963 0,2827
V (m/s) 0,320 0,070 0,396 1,009 1,084 0,884 2,017
Re 97848,9 26885,1 75641,9 346752,2 330870,6 337372,9 923778,4
f c-w 0,0183 0,0242 0,0194 0,0146 0,0147 0,0146 0,0125
hf (m) 0,13 0,01 0,82 2,71 2,05 2,05 3,89
2.1.i) Tercera iteración De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k” se modifican así: Tabla 21. Valores de “K” para la tercera iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Ks/D 0,000050 0,000040 0,000080 0,000044 0,000050 0,000040 0,000033
f turb 0,01833 0,02420 0,01944 0,01457 0,01473 0,01458 0,01247
K (m5/s2)-1 74,0 96,0 2303,2 104,4 107,0 69,4 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el siguiente vector solución:
[
]
[
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:
Tabla 21. Resultados de Q y f para la tercera iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Q (m3/s) 0,0403 0,0123 0,0179 0,1621 0,1377 0,1704 0,5703
A (m^2) 0,1257 0,1963 0,0491 0,1590 0,1257 0,1963 0,2827
V (m/s) 0,321 0,062 0,364 1,020 1,096 0,868 2,017
Re 97912,7 23851,6 69411,1 350213,7 334662,5 331275,0 923820,9
f c-w 0,0183 0,0249 0,0198 0,0145 0,0147 0,0146 0,0125
hf (m) 0,12 0,01 0,73 2,74 2,03 2,02 3,88
2.1.j) Cuarta iteración De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k” se modifican así: Tabla 22. Valores de “K” para la cuarta iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Ks/D 0,0000500 0,0000400 0,0000800 0,0000444 0,0000500 0,0000400 0,0000333
f turb 0,01833 0,02490 0,01978 0,01454 0,01471 0,01463 0,01247
K (m5/s2)-1 74,0 98,7 2343,4 104,2 106,8 69,6 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el siguiente vector solución:
[
]
[
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:
Tabla 23. Resultados de Q y f para la cuarta iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Q (m3/s) 0,0403 0,0122 0,0177 0,1623 0,1378 0,1701 0,5703
A (m^2) 0,1257 0,1963 0,0491 0,1590 0,1257 0,1963 0,2827
V (m/s) 0,321 0,062 0,360 1,021 1,097 0,866 2,017
Re 97927,4 23627,4 68668,6 350626,2 334942,8 330691,4 923830,7
f c-w 0,0183 0,0250 0,0198 0,0145 0,0147 0,0146 0,0125
hf (m) 0,12 0,01 0,73 2,75 2,03 2,01 3,88
2.1.j) Quinta iteración De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k” se modifican así: Tabla 24. Valores de “K” para la quinta iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Ks/D 0,0000500 0,0000400 0,0000800 0,0000444 0,0000500 0,0000400 0,0000333
f turb 0,01833 0,02495 0,01983 0,01454 0,01470 0,01463 0,01247
K (m5/s2)-1 74,0 99,0 2348,5 104,2 106,8 69,6 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el siguiente vector solución:
[
]
[
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:
Tabla 25. Resultados de Q y f para la quinta iteración
Tubería 1 2 3 4 5 6 7
Q (m3/s) 0,0403 0,0121 0,0176 0,1624 0,1379 0,1701 0,5703
A (m^2) 0,1257 0,1963 0,0491 0,1590 0,1257 0,1963 0,2827
V (m/s) 0,321 0,062 0,359 1,021 1,097 0,866 2,017
Re 97930,7 23606,7 68592,9 350668,3 334968,6 330635,4 923832,9
f c-w 0,0183 0,0250 0,0198 0,0145 0,0147 0,0146 0,0125
hf (m) 0,12 0,01 0,73 2,75 2,03 2,01 3,88
Como los deltas de caudales son nulos así como los cambios en el coeficiente de fricción, podemos aceptar que hemos encontrado la solución del problema que cumple todos los requerimientos, incluyendo que Q1 debe ser mayor a 37 litros por segundo. ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
2.2) Verificación del modelo con el software EPANET El siguiente es el esquema de la red de distribución representada en EPANET:
Figura 10. Dibujo del esquema del problema en EPANET
Todas las opciones fueron verificadas previamente a la ejecución del programa, se verificó:
Utilización del Modelo de Darcy-Weisbach (D-W) Unidades en Litros por segundo “LPS”; esto implica que las demandas se ingresan en litros por segundo; las longitudes de las tuberías en metros, mientras que los diámetros y las rugosidades en milímetros. La curva de la bomba se ajustó a unidades lps Las dimensiones de todos los elementos (L en metros, D en mm y Rugosidad en mm)
Para la bomba se especificaron los siguientes puntos de acuerdo a la ecuación 27:
Figura 11. Curva característica de la bomba seleccionada ingresada en EPANET
Al ejecutar el programa con el botón “Run” , el programa confirma que el sistema está bien representado y no hubo dificultades para realizar los cálculos (“Run was successful”), los resultados se muestran para cada tubería de acuerdo a la ruta: Table Network links OK. El resumen se presenta en la siguiente tabla:
Figura 12 Resultados de caudales y factores de fricción según EPANET
Se puede comprobar que EPANET obtiene los resultados en aproximación iguales a los que se encontraron con el método matricial (Tabla 25) y se confirma además que las direcciones de flujo supuestas eran las correctas para cada tubería. Nótese que en esta tabla aparece una tubería 8, la cual fue tuvo que ser añadida como tubería de succión (Con propiedades iguales a la tubería 7 excepto su longitud a la cual se le dio un valor por defecto) para poder definir a la bomba en el Software, su inclusión no afectó significativamente el cálculo del sistema. 2.3) Características del equipo de Bombeo Se seleccionó la bomba de catálogo de Bombas OMEGA con curva característica de acuerdo a la imagen izquierda de la figura 7.
2.3.1) Curva característica La curva característica de la bomba se tomó del catálogo técnico puesto a disposición del público y se muestra a continuación:
Figura 13 Curva característica de la bomba seleccionada
2.3.2) Potencia y eficiencia De acuerdo a la curva seleccionada, para el caudal que maneja la bomba (Q7= 570 LPS) se tendría una eficiencia del 77% aproximadamente
Figura 14 Eficiencia para la bomba
Respecto a la potencia y recordando su definición, se tiene:
Donde: ⁄
⁄
2.3.3) Carga neta de succión positiva Para realizar el análisis de CNSP, hay que considerar una línea de corriente entre el tanque y la succión de la bomba, para este caso es:
En el problema no se especifican propiedades de la tubería de succión, mediante la cual se puede calcular , sin embargo, podemos hacer una estimación con que la longitud de esa Tubería es 50 m. Podemos despejar :
En términos de la elevación de la bomba (No especificada en el problema):
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2.3.4) Diámetros de succión y descarga, accesorios De acuerdo a las especificaciones del catálogo se tienen los siguientes diámetros de impulsión y descarga:
Figura 15 Diámetros de impulsión y descarga
En este caso para la curva 3 (La seleccionada), se tiene:
Como el diámetro de la tubería es 0.6 m, se requerirá un accesorio para la transición de diámetro al de la bomba.
