CICLO PR P RE UNIVERSITARIO 20 2 013
GEOMETRIA 1. Indique Indique el valor valor de verdad. verdad. I. Todo Todos s los los polí polígo gono nos s son son conj conjun unto tos s no no convexos II. Algu Alguna na dife difere renc ncia ia de de dos dos regi region ones es cuadrangulares no convexas es un conjunto convexo III. Alguna Algunas s region regiones es trian triangul gulare ares s en las que se omite el circuncentro son conjuntos convexos A)VVV B)VVF C)VFV D) FVV E) FFV 2. Indique Indique el valor valor de verdad: verdad: I. El exte exteri rior or de un plan plano o es es un un con conju junt nto o II. Una Una rect recta a L de un plan plano o H sepa separa ra a este plano en dos conjuntos H1 y H2 tales que H1 H2 III. Una regi región ón cuadr cuadrada ada,, sin dos dos vértic vértices es es un conjunto convexo. A) FFF B) FVF C) FFV D) VFF E) VVF
3. Indiqu Indique e el valor valor de de verdad: verdad: I. Una Una reg regió ión n tri trian angu gula lar, r, dos dos de de cuy cuyos os lados se han omitido es un conjunto convexo II. II. Todo Todos s los los ángu ángulo los s son son conj conjun unto tos s no convexos III. La re reunión de do dos se semirecta ctas opuestas que tienen el mismo origen es un conjunto convexo A) VVF B) VFF C) FFV D) FVF E) FFF
4. Indi Indiqu que e el val valor or de ver verda dad: d: I. La inte inters rsec ecció ción n de de dos dos semi semicí círc rcul ulos os siempre es un conjunto convexo II. II. Una Una regió región n pent pentag agon onal al sin sin dos dos vértices siempre es un conjunto no convexo III. Una re región ión tr triangular si sin un una altura es un conjunto no convexo A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FVF
SEMINARIO Nº 01
5. Indiqu Indique e el valo valorr de verd verdad: ad: I. La reu reuni nión ón de dos dos sem semip ipla lano nos s es es un un conjunto convexo II. La inte inters rsec ecci ción ón de una una reg regió ión n cuadra cuadrangu ngular lar de lados lados congru congruent entes es es siempre un conjunto convexo III. Dos rectas rectas secant secantes es puede pueden n determinar coplanarmente en un circulo como mínimo un conjunto convexo A) FVF B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF 6. Indiqu Indique e el valo valorr de verd verdad ad : I. El máximo y mínimo número de conjuntos convexos que se obtienen al intersectar tres circunferencias son 6 y 2 II. Una Una regi región ón pol polig igon onal al equ equil ilát áter era a es un un conjunto convexo III. Tres Tres punto puntos s deter determin minan an un conj conjunt unto o convexo A) VFF B) VFV C) FVF D) FVV E) VVF 7. Indiqu Indique e el valo valorr de verd verdad ad : I. Algu Alguna na unió unión n de tres tres regi region ones es poligonales no convexas es un conjunto convexo II. Una región región triang triangula ularr es es la la inte interse rsecci cción ón de tres conjuntos convexos determinado determinados s por los puntos puntos interio interiores res de los los ángulo ángulos s del del triáng triángulo ulo III III. La inter tersección de un conjunto conv convex exo o con con uno uno no conv convex exo o es es un un conjunto no convexo A) VFV B) VVV C) FVV D) FVF E) VVF
8. Indiqu Indique e el valor valor de de verdad verdad : I. Si M es una región triangular y N es el ortocentro del triángulo, entonces M–N es un conjunto no convexo
II. II. La int inter erse secci cción ón de de 3 pla plano nos s es un un conjunto convexo III. III. La inter intersecc sección ión de de dos sect sectore ores s circulares es un conjunto convexo A) VVV B) FVF C) VFV D) VFF E) FVV
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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2013
9. Indique el valor de verdad : I. La semirrecta es un conjunto no convexo II. Si la intersección de dos conjuntos es un conjunto no convexo, entonces ninguno de los dos conjuntos es conjunto convexo III. El exterior de un plano es un conjunto convexo A) VVV B) VFV C) FVF D) VVF E) FFF
10. Es verdad: I. Toda región triangular es un conjunto convexo II. El interior de un ángulo es un conjunto convexo III. La intersección de dos conjuntos no convexos es un conjunto no convexo A) I y II B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) I, II y III 11. Dadas las siguientes proposiciones. ¿Cuáles son verdaderas? I. Si al círculo se le extrae un punto cualquiera entonces siempre queda un conjunto no convexo II. Si A es un conjunto convexo y B es un conjunto no convexo entonces A – B es un conjunto no convexo III. Todos los ángulos son conjuntos no convexos A) Sólo I B) Sólo II C) I, II y III D) Sólo III E) I y II
12. Indique el valor de verdad : I. La diagonal de un cuadrado divide a su interior en dos regiones II. Si C es una región circular y T un triángulo tal que T C entonces C –T es una región convexa. III.Sea L una recta y T un triángulo contenidos en un plano P tal que L T , entonces L y T determinan una partición de P de 5 elementos. A) VVV B) VFF C) FVV D) FFV E) FFF
SEMINARIO Nº 01
13. De las proposiciones: I. Sean T1 y T2 las regiones triángulos ABC y ABD; entonces (T1 T2) es un conjunto convexo II. La intersección de un círculo y un cuadrado, siempre es un conjunto convexo III. Si la reunión de dos conjuntos de puntos es un conjunto convexo, entonces al menor uno de éstos es un conjunto convexo ¿Cuáles son verdaderas? A) I, II y III B) I y III C) II y III D) Sólo II E) Ninguna 14. Indique el valor de verdad de : I. Ninguna intersección de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo II. Alguna reunión de dos conjuntos no convexos es un conjunto convexo III. Toda diferencia de dos conjuntos no convexos es un conjunto no convexo. A) VVF B) FVF C)VVF D) FFF E) VVV 15. En la figura, la m ABC=40. Calcule Xº. B Xº º º
A
A) 40 D) 60
C
B) 45 E) 65
GEOMETRIA
C) 50
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SEMINARIO Nº 01
16. En un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B, E es el excentro relativo a AC se traza BM EA . Si BM=2u. Calcule AE (en u) A) 2 2
B) 2 2 2
D) 4 2
E) 4 2 2
C) 4
17. En un triángulo ABC, las bisectrices: interior de A y exterior de C, se intersecan en E; las bisectrices de los ángulo ABC y AEC, se intersecan en Q y determinan los puntos F y J en AC . Demostrar que el triángulo FQJ es isósceles.
21. En el exterior de un triángulo ABC y relativo al lado BC se ubica el punto P tal que AB=BC=AP. Si m ABC=36 y m PAC=12, calcule m APC. A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
22. En el gráfico, halle X en función de A. A E D
18. En el triángulo ABC (AB=BC), D AB DE y es perpendicular a
B
I
a a
b
b
C
AC E en AC . La prolongación de DE intercepta a un rayo CX que forma con CA un ángulo congruente con el ángulo BCA, en el punto F. Si AD=a y CF=b, calcule BD. ab 2b a 2a b A) B) C) 2 2 2 ba D) E) b 2a 2 19. En un triángulo ABC, AB=3, AC=11. Si mABC 90 . Halle BC, si es el mayor número entero posible. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 20. En el triángulo ABC (recto en B), R, S y T son puntos de AC , AB y BC respectivamente, tales que : mSTB mACB y mSRA 2mACB . Si RS=3 y ST=4, halle AC. A) 10 B)11 C)9 D)8 E) 12
X F
A 3 A D) 45 4
A) 15
B) 45
A 5
C) 45
A 4
E) 45 A
23. En un triángulo PQR se trazan las bisectrices interiores QE, RF, se ubica el punto S exterior y relativo a QR tal que la m QFS 3mSFR, mRES 3mQES, Calcule la m
QPR.
Si
además
mQPR mFSE 180
A) 100 D) 80
B) 110 E) 60
C) 90
24. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD de manera que AB=DC si m BAC=2m BCA entonces la m ABD es: A) 60 B) 45 C) 36 D) 30 E) 22,5 GEOMETRIA
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SEMINARIO Nº 01
30. En un triángulo ABC, recto en B, la
25. En un triángulo rectángulo ABC, se ubica un punto F interior tal que: AB=BC=FC y m BAF=15°. Halle : mFCA A) 7,5 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 36
mediatriz de AC intersecta en D a BC . Si DC=2(BD). Halle la m ACB. A) 15 B) 18 C) 20 D) 25 E) 30 31. En un triángulo equilátero ABC, se ubican los puntos P en AB y Q en BC de modo
26. En un triángulo ABC, m BAC=3m BCA y BC=15. Halle el menor valor entero que puede asumir AB A) 9 B) 5 C) 8 D) 6 E) 7 27. Se tienen los triángulos ABC y AMN,donde M AC y B AN, además MBC NBC; BMN NMC Si mBAC . Halle la medida del ángulo que determinan las bisectrices exteriores de los ángulos N y C. A) 90 D) 90
4
2
B) 135 E) 135
4
C) 125
2
4
28. Sobre el lado AB de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se construye un triángulo equilátero ABE, de modo que los puntos E y C se encuentran en el mismo semiplano con respecto a AB . Si m ABC =20, entonces la mAEC es: A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 29. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), E es un punto exterior relativo a BC lado . Si mEAC mBCA mECB 15 , y AB=K. Halle CE K 3 D) K 2
A)
K 2 E) K 3 B)
C)
K 2 2
que AP BQ. Halle la medida del ángulo que determinan AQ y CP. A) 15 B) 20 D) 45 E) 60
C) 30
32. En un triángulo ABC, se trazan los segmentos BE y BF en el exterior tales que ABE CBF y BA=BE, BC=BF; si m ABE= 46, calcule la medida del ángulo obtuso determinado por
AF y CE . A) 128 D) 142
B) 132 E) 134
C) 140
33. En un triángulo ABC, F es un punto interior al triángulo, si m BAF=18, m FAC=27, m ACF=45 y AF=BC. Calcule la m FBC. A) 18 B) 27 C) 45 D) 36 E) 54 34. Sea el triángulo ABC con AE y CF trazados en el exterior estando E y F en el mismo semiplano con respecto a AC . Si mBAE = mBCF=90, AE=AB, BC=CF, EG y FH perpendiculares a la recta AC G y H AC , GE=7u y
FH=10u, Calcule AC. (en u) A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 14
35. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto P de tal manera que : AB=PC, AP=8, m BAP=m ACP . Halle AC. A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24
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36. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas interiores BL y CN tal que dichas cevianas interiores determinan un ángulo cuya medida es 60. Si BN=3 y LC=7, calcule AB. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 37. En un triángulo ABC, AB= 2.5, BC=8.5, se traza la mediana BM, de tal manera que BM pertenece a los naturales. Halle el menor valor de BM. A) 3 B) 6 C) 4 D) 7 E) 5 38. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal que mMBC 2mMCB , si m BAM 30, calcule m BCM. A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 39. En un triángulo ABC, se traza las cevianas BD y BE tal que mBAC 2m EBC, AB=DC=AE, BD=BE. Halle la m BAC. A) 30 B) 45 C) 60 D) 72 E) 85 40. Se
tiene el grafico 1 mTAF mATF 90, 2 1 mTSA mTAS m ATS 2 AT=FS. Halle la m AFS .
TAF
41.
En un triangulo rectángulo ABC, se traza la ceviana AD, de tal manera que mDAC 2mBAD. Si mBED mDFC 90°, DF=7u.
Halle BE E AD y F AC . A) 2 D) 3,5
B) 2,5 E) 4
C) 3
42. En un triángulo ABC. ,se traza BH
AH BC H AC
,
mABH m HBC m BAC . 5 3 2 Calcule la m BAC. A) 25 B) 28 C) 30 D) 36 E) 45 43. En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto M tal que: mBCM 3 , AB=AM=MC. Si mCAM 2 y mABC 13 . Calcule A) 5 D) 12
.
B) 6 E) 15
C) 10
44. En un triángulo rectángulo ABC donde la mB = 90, se ubica un punto M en su interior de manera que: AM BC , BM MC y la mMAC= mMCB. Halle m AMB. A) 80 B) 75 D) 120 E) 85
C) 90
45. Si AQ = BC. Calcule: x
A
B Xº
F T
S
A) 5 D) 30
B) 9 E) 45
C) 15
A
54º
24º Q
A) 5 D) 12
B) 6 E) 16
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C) 8
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C
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46. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC intersectando al lado AC en los puntos M y N respectivamente. Si: AB=8u, BC=15u. Halle MN ( en u) A) 3,5 B) 4 C) ,5 D) 6 E) 5,5 47. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo A y la bisectriz exterior del ángulo C se intersectan en E, las bisectrices de los ángulos ABC y AEC se intersectan en Q e intersecan al lado AC en M y N. Si MN=8cm. Calcule MQ (en cm). A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 48. En un triángulo ABC se traza la bisectriz exterior BM M AC , L es mediatriz de BM tal que L BC : P . Si m BAC=40. Halle m CMP A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
49. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, la mABM 2mMBC y BC=2BM. Halle la medida del ángulo ABM. A) 60 B) 30 C) 72 D) 36 E) 45 50. En un triángulo ABC isósceles AB=BC se trazan las bisectrices interiores del ángulo A y exterior del ángulo C intersectándose en P, luego se traza PH perpendicular a BC . Si BH=3 cm. Halle AC (en cm) A) 3 B) 4 D) 6 E) 8
SEMINARIO Nº 01
51. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior del ángulo C y la bisectriz exterior del ángulo A intersectándose en el punto M, por donde se traza una paralela al lado AC intersectando a la bisectriz interior del ángulo A en el punto N y a los lados AB y BC en los puntos P y Q respectivamente. Si: AP=5u, QC=7u. Halle MN. (en u) A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 52. En un triángulo ABC, se trazan las alturas BE y AF que se intersecan en H; sean M y N los puntos medios de AC y BC, las mediatrices de AC y BC se intersecan en O. Demostrar que: BH=2(OM) 53. El ángulo exterior B de un triángulo
ABC mide 50, si las mediatrices de AB y BC cortan a AC en P y Q. Halle la m PBQ A) 70 B) 75 C) 80 D) 85 E) 90 54. En un triángulo ABC recto en B, en la mediatriz de AC se ubica el punto E exterior al triángulo, se traza EF BC , F BC , BF=6u y FC=2u. Si M es el punto medio de AC y AM=ME. Calcule AB (en u) A) 4 B) 4 2 C) 3 6 D) 4 3
55. En un triángulo ABC (recto en B), AE y CF son bisectrices y EM y FN son
C) 5
E) 8
perpendiculares
M y N en AC
.
Si
a
AB=c,
AC BC=a,
AC=b, calcule MN. A) c+a–2b B) c+a–b C) c+b–a D) a+b–c E) c+2a–b GEOMETRIA
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SEMINARIO Nº 01
56. En el triángulo ABC, AB=BC, AD es bisectriz interior y en el triángulo ADC se traza la bisectriz DM (interior) y DN (exterior) con N en calcule MN (en u) A) 10 B) 12 D) 9 E) 11
AC .
Si AD=5u,
C) 8
57. En un triángulo ABC, AB
Si
59. Tres puntos A, B y C son puntos consecutivos de una recta, se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC, siendo E y F puntos de un mismo semiplano respecto de AC. Sean M y N puntos medios de AF y EC , demostrar que MBN es un
61. En un AB=BC, mediatriz
triángulo isósceles ABC, mB=20, se traza la L de AB y F un punto
exterior al triángulo tal que F L . Si m FCB=30. Calcule la mCBF A) 20 B) 25 C) 30 D) 32 E) 36 62. En un triángulo rectángulo ABC, en AC y BC se ubican los puntos D y E respectivamente, de manera que la mEAB =
1 2
mEAC, además que la
mAED mBCA. Calcule DE (en cm) A) 15 B) 17 D) 20 E) 22
Si EB=10 cm. C) 18
63. Sean los triángulos rectángulos ABC y ADC (AD=DC) rectos en B y D respectivamente, contenidos en semiplanos distintos con respecto a AC . Si AB=3u, se traza DH perpendicular a BC . Calcule DH (en u) A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 4,5 64. En un triángulo isósceles ABC (AB=AC), la m A=80. En el interior del triángulo se ubica el punto M, tal que m MBC=30 y m MCB=10. Halle la m AMC: A) 30 B) 45 C) 60 D) 70 E) 75
triángulo equilátero. 60. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye el triángulo equilátero BFC, sean M y N puntos medios de AC y BF . Demostrar que: AF MN 2
65. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, donde P BC y E AC , se tiene que la m APE mC , mPAC 2mPAB. y BP = 4cm. Halle PE.( en cm) A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
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66.
En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ tal que m ABQ=90 y m m BCA 2x. Halle x. A) 15 B) 18 D) 45 E) 60
67.
SEMINARIO Nº 01
AQ BC
, BAC=3x,
C) 30
En un triángulo ABC recto en A, donde AB=8u, se traza la mediana BD de manera que la
mABD 45 BC.(en u) A) 16 D) 24 68.
1 m BCA. 2
B) 18 E) 36
72. Si el número de lados de un polígono regular se incrementa en a, la medida
grados. Calcule la suma de los números de lados inicial y final del polígono citado. A) 20 B) 22 C) 24 D) 25 E) 18
Calcule C) 20
En un polígono regular ABCDEF……
73. Si: a+b+c+d = 3x e+f+g= 5x h+i+j = 4x Halle: x c°
AE y BF
determinan un ángulo de medida 160. Halle el número de lados de dicho polígono regular. A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
69. ¿Cuántos
polígonos
70. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencia en 342 y cuyas medidas de sus ángulos centrales están en la relación como 2 es a 3. Halle la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 71. En un polígono regular, al disminuir en 10 la medida de cada ángulo interior, resulta otro polígono regular que tiene 81 diagonales menos. Halle la medida del ángulo exterior del primer polígono.
B) 18 E) 30
d°
e° f°
b°
g° a°
equiángulos
convexos existen de modo que la medida de su ángulo interno en grados sexagesimales esta representado por un número entero? A) 20 B)21 C)22 D)23 E)24
A) 15 D) 24
3 3 a 4
del ángulo exterior se reduce en
h°
j°
A) 60 D) 50
B) 40 E) 70
i°
C) 45
74. En un polígono regular ABCDEF…… de n lados, la m ACE=135. Calcule el número de diagonales medias. A) 78 B)91 C) 105 D) 120 E) 136 75. En un polígono regular ABCDEF …. de n lados, halle la medida del ángulo que determinan AC y BD 180 180(n 2) A) 30° B) C) n n 360 90 (n 2) D) E) n n
C) 20
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76. En un polígono convexo de n lados, halle el número de diagonales medias sin considerar aquellas que unen los puntos medios de lados consecutivos del polígono. n n(n 2) A) B) 2 3 n(n 1) n(n 3) C) D) 2 2 n(n 1) E) 2 77. Halle el número de lados de dos polígonos regulares, siendo la diferencia del número de lados 2 y la diferencia de las medidas de los ángulos exteriores 6 A) 4 y 6 B) 5 y 7 C) 6 y 8 D) 7 y 9 E) 10 y 12
SEMINARIO Nº 01
81.
Si se aumenta en 10, el número de lados n de un polígono regular, su ángulo interior se incrementa en 3°. Halle la suma de las medidas de los ángulos interiores de la estrella formada al prolongar los lados del polígono original. A) 4650 B) 4680 C) 4710 D) 4800 E) 5000
82.
Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide (P+15) veces el valor del ángulo exterior; y además se sabe que el número de diagonales es 135P. A) 10 B) 18 C) 36 D) 90 E) 125
83.
Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo está en progresión aritmética. Si la razón de la progresión es el mayor valor entero. Calcule la medida del menor ángulo del pentágono. A) 31 B) 32 C) 36 D) 38 E) 43
84.
Halle el mínimo valor entero de la medida del menor de los ángulos internos de un pentágono que está en progresión aritmética. A) 1 B) 2 C) 37 D) 38 E) 45
85.
En un polígono convexo de n lados par, al aumentar el número de lados en 4, el número de diagonales trazadas desde vértices no consecutivos aumenta en 33. Halle el número total de segmentos trazados desde los puntos medios no consecutivos. A) 88 B) 96 C) 92 D) 94 E) 104
78. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados menos. A) Cuadrado B) Hexágono C) Octágono D) Decágono E) Dodecágono 79.
80.
Al multiplicar por K el número de lados de un polígono convexo, su número de diagonales queda multiplicado por 6K. Halle el número de diagonales de dicho polígono. A) 10 B) 30 C) 60 D) 80 E) 90 En un polígono regular, al disminuir en10 a la medida del ángulo interior, se obtiene la medida del ángulo interior de otro polígono regular cuyo número de lados es
2 del número de lados del 3
polígono inicial. Halle el número de lados del polígono inicial.
A) 18 D) 21
B) 19 E) 22
C) 20
GEOMETRIA
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86.
87.
88.
89.
90.
En un polígono convexo de n lados (n>4), las prolongaciones de los lados determinan un conjunto de ángulos. Si la razón entre la suma de medidas de dichos ángulos y la suma de medidas de los ángulos internos del polígono dado es 6 , 7 halle el número de diagonales del polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119 Desde (n–5) lados consecutivos de un polígono de n lados se trazan (6n+5) diagonales medias. Calcule el número total de diagonales de este polígono. A) 65 B) 77 C) 90 D) 104 E) 119 Desde (n–4) vértices consecutivos de un polígono convexo de n lados, se trazan (4n+3) diagonales. Calcule n. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 n vértices consecutivos de 2 un polígono convexo de n lados se n2 4 ) diagonales. Halle el trazan ( 4 número de diagonales medias del polígono. A) 36 B) 45 C) 55 D) 66 E) 78
SEMINARIO Nº 01
91.
N M E A
D
L
Q
C
F
A) a +b+c B) a+b – c C) a –b+c D) 2a–b–c E) 2 a+b – c 92.
En un cuadrilátero FGST la mTFS mGSF mFTS 15 , la m FGT=90. Calcule la m GFS. A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 35 E) 45
93.
En un cuadrilátero convexo ABCD, la m ABC=m ADC=90. Si AD=DC, AB=a, BC=b, DH es perpendicular a BC (H BC ). Halle DH. A) a+b B) 2a–b C) 2b–a ab ab D) E) 2 4
94.
En un cuadrilátero ABCD: AB=CB=BD, mBAD 3 mBCD 2 y mADC 3 . Halle mD mB . mABC 2 A) 10 B) 30 C) 45 D) 60 E) 72
Desde
En un polígono regular ABCD ……., las prolongaciones de AB y ED determinan un ángulo de medida 126. Halle cuántas diagonales se pueden trazar desde 8 vértices consecutivos. A) 108 B) 100 C) 106 D) 112 E) 110
En la figura M, N y F son puntos medios de los lados del triángulo ABC, ME=a, FD=b, NL=c. Calcule BQ B
95.
Se tiene el cuadrilátero ABCD, de diagonales perpendiculares, si la m BAC 20 , la mDAC 10 , la m BCA 50 . Halle la m BDC. A) 60 B) 50 C) 30 D) 40 E) 45
GEOMETRIA
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CICLO PRE UNIVERSITARIO 2013
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98.
En un cuadrilátero ABCD se cumple que AB AD , la mBAD 60 , m CAD 14 , m BCA 30 , halle la m BDC . A) 90 B) 88 C) 92 D) 86 E) 94 En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple AB BC , AC AD , mCBD m BAC m CAD . 9 2 6 Halle m BDC A) 42 B) 48 C) 52 D) 36 E) 44 En un cuadrilátero cumple que
convexo se BC CD,
mBCA 2mCBD y AB BD . Halle el menor valor entero de m ABD , si mBDC 34 . A) 48 B) 50 C) 36 D) 45 E) 24 99.
En un cuadrilátero RTSF la mTRS mFRS 12 , mTSR 39 , mRSD 18 , se ubica en RS el punto H de modo que mTHS 90 , HS=2u. Calcule FS (en u) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
100. Decir cuales son verdaderos I. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes el cuadrilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes el trapecio es isósceles III. Las bisectrices interiores de un romboide determina un rectángulo A) I, II B)I, III C)II, III D) Solo I E) I, II, III
SEMINARIO Nº 01
101. Exteriormente a un triángulo acutángulo ABC se dibujan cuadrados de lados AB, BC y AC cuyos centros son D, E y F respectivamente. Si DE=6 cm. Halle BF (en cm). A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 102. Se tiene un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABEF, BCLJ y ACPQ exteriores al triángulo y de centros O 1, O2 y O3 respectivamente. Demostrar que : O1O2 BO3 y O1O2 BO3 103. En un cuadrado ABCD en su interior se ubica el punto F tal que: AB=BF, m AFD = 75, calcule la m FBD. A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 104. En la figura se muestra pentágonos regulares. Halle X.
dos
X
A) 60 D) 78
B) 72 E) 80
C) 75
105. Sea el paralelogramo ABCD: 2 AB=2X–Y, BC=3X+Y , CD=X+Y y AD=X+2Y2. Halle el perímetro. A) 100 B) 101 C) 102 D) 103 E) 104
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