Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PROBLEMAS DE APLICACIÓN Crecimiento de una población En el estudio de crecimiento de una población (humana, animal o bacteriana), si P(t) nos indica la cantidad de pobladores que hay en cada instante de tiempo t (suponiendo que P(t) es una función continua), su variación (crecimiento) es directamente proporcional a la cantidad de habitantes existente en cada tiempo t es decir: ( )
( )
donde k es una constante positiva por determinar. PROBLEMA La población de una comunidad aumenta en un instante cualquiera con la rapidez proporcional al número de personas en dicho instante. Si la población se duplica en cinco años ¿cuánto demorará en triplicarse? Si la población después de 3 años es de 10 000 habitantes ¿cuál es la población inicial? Soluciòn: En instante inicial el tiempo es t = 0 y la población inicial es P = Po. Por tanto el problema se reduce a: ( )
( )
Cuya solución por variables separables es: ( )
( )
y como P(0) = P0 => C = P0 Lo que quiere decir que la solución particular de la ecuación es: ( )
( )
Si la población se duplica en 5 años, esto quiere decir que en t = 5, la población P(t) se convierte en 2P0 y así P(5) = 2 P0, => p(5) = P0e5k, es decir, 2P0 = P0e5k => k = ln52 = 0.1386 Lo cual quiere decir que la tasa de crecimiento de esta población es de k = 0,1386 Problemas de aplicación
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Conocida la tasa de crecimiento podremos saber cuál es el tiempo (t = ?) que demora en triplicarse la población. Es decir, la población P debe convertirse en 3P0. P(t) = 3 P0, => p(t) = P0 e(0.1386) t, De donde: 3 P0 = P0 e(0.1386) t,
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Y al resolver
Para responder la segunda pregunta, nos dan el tiempo t = 3, durante el cual la población alcanza el tamaño P(t) = P(3) = 10 000 y además ya conocemos su tasa de crecimiento k. Por tanto P(3) = 10 000 => 10 000 = P0e3(0.1386) ,
por lo tanto: P0 6597.
Así vemos que la población inicial es de 6 597 personas. PROBLEMA: La población de una ciudad crece en un instante, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial es de 50.000 habitantes y aumenta e110% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 40 años? Solución: En instante inicial el tiempo es t = 0 y la población inicial es P = Po = 50 000 Por tanto el problema se reduce a resolver: ( )
( )
Cuya solución por variables separables es: p(t) = Cekt y como P(0) = P0 = 50 000 => C = P0 = 50 000 Luego se nos dice que la población en 10 años aumenta el 10%, es decir, un aumento de 5 000 personas. Lo que quiere decir que P(t) = P(10) = 55 000 = P0e10k, Problemas de aplicación
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55 000 = 50 000e10k, Que al resolver para k obtenemos:
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Y para esta población, la ecuación diferencial queda asì: p(t) = P0e(0,009531 )t Con esta ecuación ya podemos calcular la población dentro de t = 40 años. (
(
) (
)
(
)
)(
(
)
)(
)
PROBLEMA: Crecimiento bacteriano. 1: Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias es 3/2P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. Solución. Ya conocemos que la solución de la ecuación diferencial (1) es la función (2) o bien la (3). Usaremos la solución (3) donde, si t0 = 0, la condición inicial es P(0) = P0. A continuación usaremos la observación empírica que P(1) = 3/2P0, para determinar la constante de proporcionalidad k. Recordar que cuando t = 0, P0 = Ce0 = C y, por consiguiente, P(t) = P0ekt. Hallada la constante C, usaremos la siguiente condición para hallar la tasa de crecimiento k de esta población. Cuando t = 1, entonces 3/2 P0 = P0ek o, bien, ek = 3/2. Con la última ecuación obtenemos k = ln 3/2 = 0.4055. Así P(t ) P0 e 0.4055t . Para calcular el tiempo necesario para triplicar el nùmero de bacterias despejamos t de 3P0 = P0e0.4055t; 1
Zill, página 96
Problemas de aplicación
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por consiguiente, 0.4055t = ln 3, y así
t
ln 3 2.71 horas . 0.4055
(Véase la figura anterior) 13
En el problema anterior observe que la cantidad real, P0, de bacterias presentes en el tiempo t = 0 no influyó para la determinación del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara. El tiempo requerido para triplicar una población inicial de 100 o 1.000.000 de bacterias siempre es de aproximadamente 2.71 horas. Como muestra la figura de al lado, la función exponencial ekt se incrementa al aumentar t, cuando k > 0, y disminuye al crecer t cuando k < 0; por ello, los problemas para describir el crecimiento (sea de poblaciones, bacterias o capitales) se caracterizan con un valor positivo de k, mientras que cuando interviene un decaimiento (como la desintegración radiactiva) se tiene un valor negativo de k. Por lo anterior, se dice que k es una constante de crecimiento (k > 0) o una constante de decaimiento o de declinación (k < 0).
EJERCICIO 3. 2
1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará? [7,9 años; 10 años] 2. Suponga que la población de la comunidad del problema 1 es de 10000 después de tres años. ¿Cuál era la población inicial? ¿Cuál será la población en 10 años? 3. La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t. Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años? [760] 4. En cualquier tiempo t la cantidad de bacterias en un cultivo crece a razón proporcional al número de bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Después de 10 horas hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
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Zill, pàgina 103 ejercicio 3-1 al 3-4
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