Expériences factorielles complètes The Effect of Moisture and Crimp on Dyeability Moisture 1 2 1 2
180
n a e 170 M
160 1
2
Crimp
Jan-16
Fethi Derbeli
1
Le but des expériences factorielles • Compren Comprendre dre les les avanta avantages ges des des expérie expériences nces factoriel factorielles les par rappo rapport rt à celles d’un facteur à la fois. • Détermin Déterminer er commen commentt on analyse analyse les expérienc expériences es factoriel factorielles les générales. • Compre Comprendr ndree le conce concept pt de l’int l’intera eract ction ion sta statist tistiqu ique. e. • Analy Analyser ser les les expé expérie rienc nces es à deux deux et troi troiss facte facteurs urs.. • Util Utilise iserr les les techn techniq ique uess de dia diagn gnos osti ticc pour pour éva évalu luer er »l’a »l’adé déqu quat atio ion n » (les (les valeurs résiduelles) du modèle statistique. • Identifie Identifierr les facte facteurs urs critiqu critiques es c’est-à c’est-à-dire -dire les plus plus import importants ants dans dans les les expériences. • Les expér expérienc iences es facto factoriell rielles es comp complète lètess sont sont souvent souvent utilisées utilisées pour optimiser un processus. Jan-16
Fethi Derbeli
2
OFAT et l’interaction l ’interaction Supposons que nous réalisions une étude OFAT (un facteur à la fois) comme indiqué ci-dessous. Pression 1
Pression 2
Température 1
20
40
Température 2
50
12
Premier passage en machine Deuxième passage
• Si nous gardions la température constante au niveau 1 et si nous varions la pression, nous conclurions que la pression au niveau 2 est la meilleure. • Puis, tout en maintenant la pression constante au niveau 2, nous varions la température et constatons que la température 1 est la meilleure. • Bien que nous ayons apporté des améliorations, nous aurions raté le point optimal. Jan-16
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3
Les expérie expériences nces factor factorielle ielles s - avantage avantages s • Plus Plus effica efficace cess que les les expéri expérienc ences es OFAT OFAT (un (un facteu facteurr à la fois). • Perme Permette ttent nt d’exam d’examine inerr les effet effetss combin combinés és de plusie plusieurs urs facteurs (interactions). • Couvre Couvrent nt un domain domainee expérim expériment ental al plus plus vaste vaste que les les études études OFAT. • Iden Identi tifi fien entt les les facte facteur urss criti critique ques. s. • Plus Plus effica efficace cess pour esti estime merr les effet effetss à la fois fois des des données données de départ et des variables parasites sur les valeurs d’arrivée.
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Efficacité du modèle factoriel Efficacité relative des factorielles par rapport aux expériences OFAT OFAT
Relative Efficiency of Factorials Compared to OFAT 3.5 3.5
e y v c 3.0 3.0 i t n a e l i e c i r f f é 2.5 t E 2.5 i c e v i a t c l a i f f e 2.0 2.0 R E
1.5 2
3
4
5
6
Number of Factors Nombre de facteurs
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Expériences Expériences à deux deux facteurs facteurs - les effets effets principaux principaux Dans une expérience factorielle, l’effet principal d’un facteur est défini comme le changement moyen de la variable d’arrivée produit lorsque les niveaux du facteur changent. Considérons les informations ci-dessous où nous avons deux facteurs, la température et la pression. Pressi Pre ssion on 1 Pre Pressi ssion on 2 Température 1
20
30
Température 2
40
52
Pour déterminer l’effet principal pour la température, nous calculons le rendement moyen à chaque niveau de température et soustrayons le faible niveau du niveau élevé, comme cidessous:
Temp =
40 + 52 2
-
20 + 30 2
= 21
A mesure que la température augmente du niveau 1 jusqu ’au niveau 2, le rendement augmente de 21 points. Nous déclarons donc que l’effet principal de la température est de 21 points. Jan-16
Fethi Derbeli
6
Expériences Expériences à deux deux facteurs facteurs - les effets effets principaux principaux De même, pour déterminer l’effet principal pour la pression: Pres Pr essi sion on 1 Pr Pres essi sion on 2 Température 1
20
30
Température 2
40
52
Nous effectuons effectuons le calcul suivant: suivant: Pression
=
30 + 52 2
-
20 + 40 2
= 11
Lorsque la pression augmente du niveau 1 au niveau 2, le rendement augmente de 11 points. Par conséquent l’effet principal de la pression est de 11 points. Jan-16
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Expériences Expériences à deux facteurs facteurs - les effets effets d’interaction d’interaction Dans certaines expériences, nous constatons que l’effet entre les niveaux d’un facteur n’est pas le même pour divers niveaux d’autres facteurs.
Pres Pr essi sion on 1 Pr Pres essi sion on 2 Considérons les données initiales:
Température 1
20
40
Température 2
50
12
Au premier niveau de pression, l’effet pour la température est: Température empérature = 50 - 20 = 30 et au deuxième niveau de pression, l’effet pour la température est : Température = 12-40 = -28 Etant donné que l’effet de la température sur le rendement dépend du niveau de la pression, nous disons qu’il y a une interaction interaction entre la température et la pression. Jan-16
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Exercice Exercice - Evaluer Evaluer l’effet l’effet de l’inte l’interacti raction on •
•
Objectif: Objectif: entrer entrer de simples simples données données factoriell factorielles, es, indiquées indiquées ci-dessous ci-dessous dans Minitab Minitab et utiliser utiliser la fonction fonction ANOVA>Interactions ANOVA>Interactions Plot pour pour apprendre à lire les Graphiques d’Interaction. Marche à suivre: – Entrez les deux deux ensembles de données dans un fichier Minitab Minitab (conseil: vous ne devez entrer le modèle modèle expérimental (matrix) qu’une seule fois. Vous pouvez montrer les réponses pour chaque expérience dans deux colonnes). – Choisir ANOVA>Interactions ANOVA>Interactions Plot puis remplir la case de dialogue dialogue
Temp Pression
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Rendt1
Rendt2
1
1
20
20
1
2
30
40
2
1
40
50
2
2
52
12
Fethi Derbeli
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Analyser les les graphiques graphiques d’interaction d’interaction Factorial with Interaction Factorielle avec interaction
Factorial without Interaction Interaction Factorielle sans interaction
Temp
Temp 50
1 2 1 2
50
1 2 1 2
e 40 n n n a e e M y o M 30
e 40 n n e n y a e o M30 M 20
20 1
1
2
Pressure
Pression
Pression
Pas d’interaction: Au fur et à mesure que nous passons de la pression 1 à la pression 2 à une température constante de soit 1 soit 2, nous observons le même effet, le rendement augmente dans les deux cas. Toutefois, le rendement est plus élevé pour la Temp. 2
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2
Pressure
Interaction: Au fur et à mesure que nous passons de la pression 1 à la pression 2 à une température constante de soit 1 soit 2, nous observons un effet opposé, le rendement va dans des directions différentes aux deux niveaux de température. température. Etant donné que nous désirons un rendement plus élevé, nous devons déterminer quelles sont les meilleures conditions.
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Utilisation Minitab • Stat>ANOVA>Balanced ANOVA – Additive, factorielle complète complète ou autre modèle modèle spécifié, spécifié, conception équilibrée uniquement – Modèles mixtes mixtes (facteurs (facteurs fixes et aléatoires) aléatoires) permis permis
• Stat>ANOVA>GLM – ANOVA ANOVA plus non équilibrée équilibrée ou imbriquée imbriquée – La commande commande ANOVA ANOVA la plus puissante puissante - nécessite un un plus long traitement traitement informatique informatique
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Exemple Deux facteurs à trois niveaux Objectif: Objectif: Arrivée: Fact Facteu eur: r:
déterminer déterminer les réglages réglages optimaux optimaux de tempér températur aturee et et pres pression sion pour obtenir le % du rendement maximum. %rendement Nive iveaux aux des des fac facteu teurs Température Basse Moyenne Elevée Pression 200 215 230
Données:
Basse
e r u t a r é Moyenne p m e T
Elevée
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Pression 1
Pression 2
Pression 3
200
215
230
90.4
90.7
90.2
90.2
90.6
90.4
90.1
90.5
89.9
90.3
90.6
90.1
90.5
90.8
90.4
90.7
90.9
90.1
Fethi Derbeli
L ’expér ’expérien ience ce illustrée ci-contre est factorielle complète 3 x 3 reproduite deux fois.
12
Exemple Deux facteurs à trois niveaux •
Nous Nous voul voulons ons répond répondre re aux questi questions ons suivan suivantes tes:: – Quels effets la température température et la pression pression ont-elles sur le rendement rendement ? – Les réglages optima optima dépendront-ils dépendront-ils d’une combinaison particulière de facteurs (interaction)?
Modèle statistique:
Vérifications d’hypothèse:
y ijk = m + t i + b j + (tb )ij + e ijk
Ho : t 1 = t 2 = ... = t a
Où
Ha : au moins un
t i 0
m = Moyenne globale t i = l’effet du niveau
i
du facteur t
b j = l’effet du niveau jth du facteur b (tb )ij = l’effet de l’interaction t i et b
Ho : b 1 = b 2 = ... = b b Ha : au moins un
j
e ijk = composante d’erreur aléatoire
Ho : (tb
)ij
= 0 pour tous j i,
Ha : au moins Jan-16
b j 0
Fethi Derbeli
(tb )ij
0 13
Exemple de factorielle complète (suite) Nota:
Il y a une colonne par donnée de départ (facteur) et une colonne par donnée d’arrivée (réponse). Ceci s’appelle une conception équilibrée car dans les facteurs, chaque niveau de facteur contient le même nombre de traitements.
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Temp
Pression Rendement
1
200
90.4
1
200
90.2
1
215
90.7
1
215
90.6
1
230
90.2
1
230
90.4
2
200
90.1
2
200
90.3
2
215
90.5
2
215
90.6
2
230
89.9
2
230
90.1
3
200
90.5
3
200
90.7
3
215
90.8
3
215
90.9
3
230
90.4
3
230
90.1 14
Représenter les modèles avec Minitab Entrer le modèle dans Minitab Il y a deux moyens d’entrer le modèle dans Minitab: 1. Pour la première première méthode illustrée ci-dessous, ci-dessous, il faut cliquer sur Stat > ANOVA ANOVA > Balanced Balanced ANOVA ANOVA et entrer les informations. informations. 2. Pour Pour la sec second ondee métho méthode, de, cliq cliquez uez sur Stat Stat > DOE DOE > Defin Definee Custom Factorial Design – Vous devez ensuite identifier les facteurs – Puis cliquez sur General Full Factorial Factorial Model – Puis cliquez sur Designs et déterminez déterminez si vous possédez les informations demandées par Minitab.
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Exemple Deux facteurs à trois niveaux • Voici la 1ère méthode qui utilise ANOV ANOVA A > Balanced design de telle sorte que nous pouvons choisir. Dans cet exemple, nous utilisons le tuyau (Pipe) pour représenter le modèle complet.
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Représenter les modèles avec Minitab • Pour repré représente senterr tous les effets effets principau principaux x et les effets effets d’intera d’interaction, ction, nous pouvons utiliser une des des deux méthodes suivantes: – y = Facteur A | Facteur B (Pipe (Pipe - Insérer un tuyau entre les les facteurs dit à Minitab d’analyser les interactions entre le facteur A et le facteur B. Si nous avions un troisième facteur C et un tuyau entre les trois, Minitab analyserait toutes les interactions à 2 directions et les interactions à 3 directions. – y = Facteur A Facteur B Facteur Facteur A*Facteur A*Facteur B (Astérisque - au lieu d’utiliser un tuyau, on peut placer un astérisque entre les interactions d’intérêt. L’astérisque nous permet aussi d’examiner des interactions choisies. – Pour représenter juste un modèle des effets effets principaux: – y = Facteur A Facteur B
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Exemple Analyser les résultats Analyser les résultats ANOVA du modèle de factorielle complète • Première Premièrement ment - interpréte interpréterr l’interac l’interaction tion la la plus important importante. e. Dans Dans le cas présent, on examine examine l’interaction à 2 directions Temp* Temp* Pression et la valeur-p (p>0.05) montre que l’interaction n’est pas très importante, aussi, nous passons à autre chose. • Deuxième Deuxièmement ment - interpréte interpréterr les effets effets princip principaux. aux. Ici, Ici, les les deux effet effetss principaux de la température température et de la la pression sont importants importants (p<.05) Source
df
SS
MS
F
p
Temp
2
0.30111
0.15056
8.47
0.009
Pression
2
0.76778
0.38389
21.59
0.000
Temp*Pression
4
0.06889
0.01722
0.97
0.470
Erreur
9
0.16000
0.01778
Total
17
1.29778
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Exemple Analyser les résultats Traitement Traitement d’un Modèle Réduit* Etant donné que nous avons identifié un effet qui n’avait pas de signification statistique, statistique, l’interaction Temp*Pression, Temp*Pression, nous pouvons supposer que cet effet fait partie des parasites aléatoires aléatoires de l’expérience. l’expérience. Par Par conséquent, nous nous ne voulons pas inclure cet cet effet dans le modèle final car il ne contribue pas à la prédiction de notre résultat. Notre prochaine étape consiste à traiter traiter de nouveau le modèle en excluant excluant cet effet. effet. Les résultats sont indiqués ci-dessous. Source df SS MS F p Temp_ Press_ Erreur Total
2 2 13 17
0.30111 0.76778 0.22889 1.29778
0.15056 0.38389 0.01761
8.55 21.80
0.004 0.000
*Nota: un effet jugé statistiquement insignifiant (p >.05) ne peut pas être enlevé du modèle
si une interaction de plus grande ampleur a un effet sur sur sa composition. Par exemple, si nous avons deux facteurs A & B, et les résultats du tableau ANOVA ANOVA indiquent que le Facteur A et et l’interaction AB sont significatifs lorsque p <.05, et B ne l’est pas (p >.05), nous devons laisser B dans le modèle, modèle, puisqu ’il doit rendre compte de l’interaction AB. Jan-16
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Exemple Analyser les résultats Analyse résiduelle résiduelle - déterminer déterminer la “bonne adéquation” adéquation” du modèle modèle final Les valeurs résiduelles sont la différence entre les valeurs observées et les valeurs prédites ou ajustées (données moins les ajustements). ajustements). Ceci fait partie de l’observation/résultat qui n’est pas expliqué par le modèle. Dans la régression, la valeur résiduelle de l’observation i-th est e i = ( yi yi ) Nous nous attendons attendons à ce que si le modèle modèle est bien bien ajusté (adéquat), (adéquat), les valeurs résiduelles seront distribuées au hasard. Pour calculer les ajustements et les valeurs résiduelles pour le modèle réduit final, cliquer sur Stat>ANOVA>Balanced Stat>ANOVA>Balanced ANOVA>Storage ANOVA>Storage et vérifier les cases des ajustements ajustements et des valeurs résiduelles. Pour analyser les résiduelles, cliquer sur Stat>Regression>Residual Stat>Regression>Residual Plots L’analyse résiduelle est représentée page suivante. Jan-16
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Exemple Analyser les résultats Comme l’indiquent les graphiques ci-dessous, les valeurs résiduelles sont distribuées de façon aléatoire, le tableau I ne montre rien d’incontrôlable, et nous ne voyons pas de structure particulière sur le graphique des résiduelles / adéquation. Donc le modèle est bien adéquat. 4
e c n e u q é r F
y 3 c n e u 2 q e r F 1
0 -0.25 -0.20 -0.20 -0.15 -0.15 -0.10 -0.10 - 0.0 50 .000 .0 50 .1 00 .150.20 .150.2 0
Residual Valeurs résiduelles Jan-16
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Exemple Analyser les résultats Calculer e-au carré pour connaître la signification pratique • La valeur valeur Epsilon-au Epsilon-au carré carré (e (e-au carré), constitue une indication des implications pratiques d’un effet principal ou d’une interaction. • Elle est calculée calculée en divisant chaque somme somme des carrés par la la somme totale des carrés. Analyse de la Variance pour le rendement Source
DF
SS
au carré
Temp
2
0.3011 0.30 111 1
23%
Pression
2
0.76778
59%
Erreur
13
0.22889
18%
Total
17
1.29778
• Quelle est la variable de départ la plus influente influente dans cette étude ? • Quelles implications ce résultat a-t-il pour le contrôle de de processus? Jan-16
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Exemple Analyse des effets principaux Analyse graphique pour déterminer les réglages optimaux Etant donné que les effets principaux sont significatifs, nous allons utiliser Stat > ANOVA ANOVA >Main Effects Effects pour examiner la nature de leurs relations. • Pour Pour max maxim imis iser er le le T emp_
Press_
90.68 t n e 90.56 m d e l d i e 90.44 n e Y R
90.32 90.20 1
Jan-16
2
3
0 0 2
5 2 1
0 3 2
Fethi Derbeli
rendement, les réglages optimaux sont la température au niveau 3 et la pression à 215 • Avant vant d’appl d’appliqu iquer er ces ces réglages, les vérifier en reproduisant reproduisant les conditions optimales. S’ils sont acceptables, les appliquer. 23
Exemple Deux facteurs à trois niveaux • •
•
Voici Voici la 2èm 2èmee métho méthode de pour pour évalu évaluer er une une CDE prépré-con constr struit uite: e: Stat Stat > DOE DOE > Def Defin inee Cust Custom om Fac Facto tori rial al Des Desig ign n – Entrer les facteurs facteurs puis les les sélectionner ou cliquer deux deux fois sur eux. – Cliquer ensuite sur General Full Factorial – Cliquer ensuite sur Designs et entrer les informations informations requises puis cliquer sur Okay, puis encore Okay. Stat Stat > DOE DOE > Ana Analy lyze ze Fact Factor oria iall Des Desig ign n – Entrer la réponse, réponse, qui dans le le cas présent est Yield (rendement). – Cliquer ensuite sur Terms et entrer tous les termes de cet exemple puisque puisque nous voulons évaluer le modèle complet. Vous pouvez aussi entrer le modèle entier en cliquant cliquant sur Include Include in the model model up through order order et cliquer cliquer sur deux puisque nous évaluons 2 facteurs. facteurs. Puis cliquer cliquer sur Okay et encore sur Okay. Okay. – Maintenant suivre la même même démarche que que pour la 1 ère méthode.
Essayons cette 2ème méthode ensemble ! Jan-16
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12 étapes: expérience factorielle complète • • • •
• • •
•
•
•
Etape 1: Enoncer le problème pratique et l’objectif en utilisant DOEWorksheet.doc Etape 2: Enoncer les facteurs et niveaux d’intérêt. Etape 3: Sélectionner la taille d’échantillon appropriée. Etape 4: Créer avec Minitab une feuille des données données de l’expérience, avec les facteurs dans leurs colonnes respectives. Randomiser les passages en machine d’expériences dans la feuille de données. Stat Stat > DO DOE > Cre Create ate Facto actori rial al Desi Design gn Etape 5: Exécuter l’expérience. Etape 6: Réaliser le tableau ANOVA pour le modèle entier, utiliser soit: • Stat Stat > ANO ANOVA VA > Bal Balanc anced ed ANOV ANOVA A soit • Stat Stat > DOE DOE > Anal Analyze yze Fact Factor oria iall Desi Design gn Etape 7: Revoir le tableau ANOVA et supprimer les effets qui ont des valeurs-p supérieures à .05. Traiter le modèle réduit pour inclure ces valeurs-p que l’on juge significatives. Etape 8 : Analyser les valeurs résiduelles du modèle réduit pour s’assurer s’ass urer que l’on a un modèle adéquat. Calculer l’adéquation et les résiduelles. • Stat Stat > ANO ANOVA VA > Sto Stora rage ge.. Puis créer les graphiques de valeurs résiduelles • Stat Stat > Regr Regres essi sion on > Resi Residu dual al Plot Plotss
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12 étapes expérience factorielle complète •
Etape 9: Déterminer les réglages optimaux en analysant graphiquement les interactions significatives (p-value <.05). Evaluer d’abord la signification la plus importante.
•
Pour les interactions à 3 directions, analyser les les données. Utiliser soit: • Stat Stat > ANOV ANOVA > Inter Interact action ion Plot Plot soit • Stat Stat > DOE DOE > Factor Factorial ial Plots Plots > Interac Interactio tion n Plot Plot Une fois que les interactions les plus importantes ont été interprétées, analyser l’ensemble suivant d’interactions moins importantes. Examiner les effets principaux (valeur-p <.05) utiliser soit: • Stat Stat > ANOV ANOVA > Main Main Effe Effects cts soit • Stat Stat > DOE DOE > Fac Facto tori rial al Plot Plotss > Main Main Eff Effec ects ts Plot Plot soit • Stat Stat > DOE DOE > Fac Facto tori rial al Plot Plotss > Cube Cube Plot Plotss
•
Etape 10: Pour des raisons pratiques, calculer les valeurs epsilon au carré
•
Etape 11: Reproduire Reproduire les conditions optimales. Planifier la prochaine expérience ou mettre mettre en oeuvre le changement. changement.
•
Etape 12: Rédiger le rapport final.
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Procédure GLM Conceptions non équilibrées Que faire lorsque notre expérience factorielle complète complète est déséquilibrée à cause de données perdues ou de l’impossibilité l’impossibilité d’exécuter toutes les parties de l’expérience l’expérience ? Ceci n’est pas un problème car nous pouvons utiliser le modèle linéaire général GLM (General Linear Model) pour analyser les résultats. Stat > ANOVA > General Linear Model Prenons un exemple Dans les données que nous venons d’analyser, Mont2fact.mtw, effacer la dernière rangée de données et analyser les résultats selon la 11ème étape.
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Exercice Exercice - Deux Deux facteur facteurs s avec Inter Interacti action on Objectif: fournir l’occasion d’analyser une expérience expérience à 2 facteurs avec avec une interaction significative. Nom du fichier: Montint.mtw Variable d’arrivée: d’arriv ée: rendement Facteurs
Niveau de facteur
Température
Basse
Moy
E le v é e
Solution catalyseur
Basse
Moy
Ele v é e
Données: Catalyseur Pourcentage Faible
Moyen
Elevé
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Temp Basse 76 82 64 87 81 67 83 75 78 72 85 83
Temp Moyenne 55 56 65 64 77 74 71 73 86 74 81 78 Fethi Derbeli
Temp Elevée 52 63 65 60 53 63 60 57 69 70 65 60
Voici un exemple d ’expér ’expérien ience ce factorielle complète 3 x 3 reproduite 4 fois
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Exercice Exercice - Deux facteu facteurs rs avec Interactio Interaction n Etape Etape 1 - Utiliser Utiliser DOE Worksheet orksheet.doc .doc pour documenter documenter la préparation préparation de de la CDE. Etape Etape 2 - Enonce Enoncerr les fac facteu teurs rs et les les niveaux de facteurs. Etape Etape 3 - Sélect Sélection ionner ner la la taille taille de de l’échantillon appropriée. Celle-ci a déjà été déterminée.
Zinc
Catalyseur 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Temp 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
Rendement 76 82 64 87 55 56 65 64 52 63 65 60
Etape Etape 4 - Créer Créer dans dans Minit Minitab ab le modèle modèle d’expérience factorielle. Ceci est déjà fait et une portion du tableau est représentée ci-contre. Etap Etapee 5 - Réal Réalis iser er l ’exp ’expér érie ienc nce. e. Jan-16
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Exercice Exercice - Deux facteu facteurs rs avec Interactio Interaction n
Etape Etape 6 - Utiliser Utiliser ANOV ANOVA pour créer créer le modèle. modèle. Y =
+ Cat. + Temp. Temp. + Cat. * Temp. Temp. + erreur
Source Catalyseur Temp Catalyseur*Temp Erreur Total
DF 2 2 4 27 35
SS 529.39 1620.72 442.44 943.00 3535.56
MS 264.69 810.36 110.61 34.93
F 7.58 23.20 3.17
P 0.002 0.000 0.029
Etape 7 - Analyser le tableau tableau ANOVA ANOVA pour pour voir les effets effets significatifs. Comme Comme indiqué ci-dessus, tous les effets sont significatifs significa tifs à une valeur de moins de .05. C’est là le modèle réduit final. Jan-16
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Exercice Exercice - Deux facteu facteurs rs avec Interactio Interaction n Zinc
Etape Etape 8 - Analyse Analyserr les valeurs valeurs résiduelle résiduelless du modèle modèle réduit réduit pour être sûr que nous avons un modèle bien adéquat. Celui-ci est représenté ci-dessous. Les résiduelles semblent distribuées de façon aléatoire, ce qui veut dire que le modèle est bien adéquat.
e c n e u q é r F
y c n e u q e r F
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 - 10
0
10
R e si si d u a l Résiduelles Jan-16
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Exercice Exercice - Deux facteu facteurs rs avec Interactio Interaction n Etape 9: Déterminer les réglages optimaux optimaux en analysant graphiquement graphiquement les interactions interact ions significatives significative s (valeur-p < .05). Comme le montre le tableau ANOVA ANOVA sur la diapositive 29, l’interaction à 2 directions est significative. Nous pouvons donc créer le graphique d’interaction pour Catalyseur * Température. Température. Zinc
Catalyst 1 2 3
80
n 70 a e M
60
1
2
Si l’objectif est de maximiser le rendement, nous devons sélectionner le catalyseur 3 à la température 1 ou 2. Notre choix de niveau de température doit être basé sur celui qui est soit le moins cher, soit le plus facile à contrôler. contrôler. Notre processus est résistant à la température.
3
Temp
De plus, noter qu’au niveau de température 1, il ne semble pas y avoir beaucoup de différence selon qu’on utilise l’un ou l’autre des 3 catalyseurs. Ce peut être une autre option. Jan-16
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Exercice Exercice - Deux facteu facteurs rs avec Interactio Interaction n Etape 10: Pour des raisons raisons pratiques, calculer calculer les les valeurs epsilon epsilon au carré, indiquées ci-dessous. La température semble être la plus critique pour le processus. Source
DF
SS
E-sq
Catalyseur
2
529.39
15%
Temp
2
1620.72
46%
Catalyseur*Temp 4
442.44
13%
Erreur
27
943.00
27%
Total
35
3535.56
Etape 11: Reproduire les conditions optimales. Planifier l’expérience suivante ou mettre en oeuvre les changements. Etape 12: Rédiger le rapport final. Jan-16
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3 Facteurs à des niveaux multiples Exemple Objectif: Déterminer les réglages réglages de crêpage, tem température pérature de processus et d’humidité, pour obtenir une bonne coloration coloration des fibres nylon supérieure à 36 Zinc
Résultat: aptitude à la coloration (plus la valeur est élevée, élevée, mieux c’est) Facteurs:
Niveaux de facteurs
Crêpage Temp. de processus
Bas Bas
Moyen Moyen
Elevé Elevé
Humidité
Bas
Moyen
Elevé
N = 3 observations par combinaison de traitement. traitement.
Etape 1 - Utiliser Utiliser DOE DOE Worksh Worksheet.d eet.doc oc pour prépar préparer er la CDE. Etape 2 - Enoncer Enoncer les facteu facteurs rs et leurs niveaux. niveaux. Etape 3 - Sélectionner la taille taille appropriée de l’échantillon. l’échantillon. Celle-ci a déjà été déterminée. Etape 4 - Créer la concept conception ion factorie factorielle lle avec avec Minitab. Minitab. Jan-16
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3 Facteurs Facteurs à niveaux multiples - Exemple Zinc
Etape Etape 5 - Exécut Exécuter er l’ex l’expér périen ience ce Etape Etape 6 - Utiliser Utiliser ANOV ANOVA pour pour créer créer le modèl modèlee complet complet.. Y =
+ Crimp (C) + Temperature Temperature (T) + Moisture Moisture (M) + (C * T ) + (C * M) + (T * M) M) + (C * T * M) M) + error error
Source DF Crêpage 1 Temp 2 Humidité 2 Crêpage*Temp 2 Crêpage* Humidité 2 Temp*Humidité 4 Crêpage*Temp*Humidité 4 Erreur 36 Total 53
SS 50.074 261.333 261.33 3 436.000 11.259 78.815 355.667 46.185 118.000 1357.333
MS 50.074 130.667 218.000 5.630 39.407 88.917 11.546 3.278
F 15.28 39.86 66.51 1.72 12.02 27.13 3.52
P 0.000 0.000 0.000 0.194 0.000 0.000 0.016
Etape 7 - Analyser le tableau tableau ANOVA ANOVA pour pour revoir les effets effets significatifs. Comme nous le voyons plus haut, l’interaction à 3 directions est significative. C’est le modèle réduit final. Jan-16
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Analyse résiduelle résiduelle Etape Etape 8 - Analys Analyser er les valeurs résiduelles du modèle réduit pour s’assurer que nous ayons un modèle qui soit bien adéquat. Ceci est représenté dans le graphique ci-contre. Les résiduelles semblent être distribuées de façon aléatoire, ce qui indique que notre modèle est adéquat.
Analyse Analyse résiduelle du modèle factoriel complet
Residual Analysis for Full Factorial Model
Graphique no normal de des ré résiduelle lles s Normal Plot of Residuals e l
s 3 e l l e 2 u l 1 d u i a d s i 0 s é e r R-1 s r -2 u e l -3 a -2.5 V
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
UCL=5.202
X=0.000
LCL=-5.202
0
10
Normal Score
Histogramme des résiduelles s Histogram of Residuals e
l l e 3 u d 2 i s l a 1 é u r d i 0 s s e r R u -1 e l a -2 V -3
15
e c y n c10 e n e u u q q r e é r F 5 F -3
-2
-1
0
1
20
30
40
50
60
Observation Number
0 2
3
Residual
Valeurs résiduelles Jan-16
Graphique I des ré résiduelles I Chart of Residuals
l e u 5 d i s l é u r a d i 0 s s r e R u e l a V -5
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Résiduelles / adéquation Residuals vs. Fits
25
30
35
Fit
Adéquation
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Analyser l’interaction l’interaction à 3 directions directions Etape 9: Déterminer les réglages optimaux optimaux en analysant graphiquement graphiquement les interactions interact ions significatives significative s (valeur-p < .05). Comme le montre le tableau ANOVA ANOVA sur la diapositive précédente, l’interaction à 3 directions est significative. Pour analyser l’interaction à 3 directions, nous devrons créer deux nouveaux ensembles de données, un pour le bas niveau de crêpage et un pour le niveau de crêpage élevé. Nous choisissons le crêpage parce que celui-ci n’a que deux niveaux. Nous utiliserons ensuite le graphique graphique d’interaction d’interaction pour évaluer évaluer les interactions interactions d’humidité & température pour chaque niveau de crêpage. Ceci est illustré ci-dessous: Interaction Humidité / Temp pour faible crêpage
Interaction Humidité / Temp pour crêpage élevé
Interaction of Moisture vs. Temp for Low Crimp
Interaction of Moisture vs. Temp for High Crim
Mois1 1 2 3 1 2 3
35
e n n n a e e M y 30 o M
Mois2 1 2 3 1
35
e n n n a e e M y 30 o M
2 3
25 25 1
2
3
1
Temp1
Jan-16
2
3
Temp2
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Analyser l’interaction à 3 directions directions Interaction Humidité / Temp pour faible crêpage
e n n e y o M
Interaction Humidité / Temp pour crêpage élevé
Interaction of Moisture Moisture vs. Temp for Low Crim p
Interaction of Moisture vs. Temp for High Crim
Mois1
Mois2
1 2 3 1 2 3
35
n a e M30
e n n e y o M
1 2 3 1 2 3
35
n a e M30
25 25 1
2
3
1
Temp1
2
3
Temp2
A quels niveaux fixons-nous nos facteurs pour obtenir une aptitude à la teinture supérieure à 36 ? D’après le graphique d’interaction à 3 directions directions ci-dessus, il semble que nous ayons beaucoup de réglages différents ! Ceux-ci sont illustrés dans le tableau ci-dessous. Crêpage Humidité Température
Réglage 1 Réglage 2 Réglage 3 Réglage 4 Jan-16
2 2 2 1
1, 2, ou 3 1 1 2 Fethi Derbeli
2 3 2, or 3 1, or 2 38
Analyser l’interaction l’interaction à 2 directions directions Etape 9: Déterminer les réglages optimaux optimaux en analysant graphiquement graphiquement les interactions interactions significatives (valeur-p (valeur-p < .05). Après avoir analysé l’interaction l’interaction à 3 directions, nous analysons les interactions moins importantes ayant une valeur-p significative < .05, donc nous analysons les interactions à 2 directions. 1
Humidité
2
3
1
2
1
2
Moisture
3
35
3 30 2 25
1
Crêpage
Crimp
35
2 30
25
1
Temp
35
3
Dans cet exemple, après avoir analysé l’interaction à 3 directions, nous avons identifié les réglages de tous les effets principaux.
30 2
1
Jan-16
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25
39
Analyse des des effets principaux principaux Etape 9: Déterminer les réglages optimaux optimaux en analysant graphiquement graphiquement les principaux principaux effets significatifs significatifs (valeur-p (valeur-p < .05). Après avoir analysé toutes les interactions interactions les plus importantes, nous analysons maintenant les effets principaux. Humidité
Crêpage
M o i st u re
Cri m p
T em p
35.0
33.5
e r u e t y n D 32.0 i e T 30.5
29.0 1
Jan-16
2
3
1
2
1
Fethi Derbeli
2
3
Dans cet exemple, après avoir analysé l’interaction à 3 directions, nous avons identifié les réglages de tous les effets principaux.
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Epsilon au carré Etape 10: Pour des raisons pratiques, pratiques, calculer les les valeurs epsilon au carré, carré, qui sont représentées ci-dessous. Il semble que l’humidité et la température affectent le plus la variabilité, nous voudrons donc nous assurer que nous contrôlons bien ces facteurs. Source Humidité Crêpage Temp Humidité*Crêpage Humidité*Temp Crêpage*Temp Humidité*Temp*Crêpage Erreur
SS 436 50 261 79 356 11 46 118 1357
Epsilon 32.13% 3.69% 19.23% 5.82% 26.20% 0.81% 3.40% 8.70%
Etape 11: Reproduire les conditions conditions optimales. optimales. Planifier la prochaine prochaine expérience ou mettre en oeuvre les changements. Etape 12: Rédiger le rapport final. Jan-16
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L’orthogonalité dans les Expériences factorielles équilibrées Lorsque les expériences factorielles sont équilibrées, la conception est dite complètement complètement orthogonale. Ceci veut dire d ire que chaque facteur est statistiquement statistiquement indépendant des autres. Vérifions cela en corrélant les colonnes des facteurs:
MTB > Correlation 'Moisture'-'Temp'. Corrélation (Pearson) Humidité Crêpage Crêpage 0.000 Temp
Jan-16
0.000
0.00
Noter que toutes les corrélations sont nulles. Ceci veut dire que nous réalisons en fait trois expériences indépendantes en une seule étude. Fethi Derbeli
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Résumé des expériences factorielles • Compre Comprendre ndre les avanta avantages ges des expéri expérienc ences es factorielles • Déter Détermi miner ner comm comment ent anal analyse yserr les les expér expérien iences ces factorielles générales • Compre Comprendre ndre le le concep conceptt de l’int l’intera eracti ction on stati statistiq stique ue • Analys Analyser er les expéri expérienc ences es à 2 et 3 fac facteu teurs rs • Utili Utiliser ser des des techn techniqu iques es de diag diagnos nostic tic pour pour éval évaluer uer l’adéquation du modèle statistique. • Identi Identifie fierr le plus plus import important ant des des facte facteurs urs criti critique quess dans les expériences. Jan-16
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Questions?
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