17) Dinámica I (Leyes de Newton)

Fatela PREUNIVERSITARIOS

DINÁMICA : La Dinámica estudia el movimiento de los cuerpos en relación a sus causas, que son las fuerzas actuantes. De modo que la dinámica es un estudio más completo del fenómeno del movimiento, pues no es meramente descriptivo del mismo (como la Cinemática), sino que indaga en la interacción entre las causas (fuerzas) y la consecuencia del fenómeno (aceleración). Las leyes fundamentales de la dinámica fueron enunciadas por Isaac Newton (1642-1727) y Galileo Galilei (1564-1642) en la segunda mitad del siglo XVII. PRIMERA LEY DE NEWTON : Principio de Inercia La primera ley de Newton establece que: “todo “todo cuerpo sobre el cual no actúa ninguna fuerza exterior, o sobre el cual actúa un sistema de fuerzas de resultante nula, tiende a mantener su estado de reposo o de Movimiento Rectilíneo Uniforme”. De esta manera, vemos que se equiparan dos estados de movimiento en apariencia muy distintos (el reposo y el M.R.U). Éstos son los estados de movimiento inerciales, o sea los estados de movimiento que pueden mantenerse indefinidamente en el tiempo siempre que no actúe una fuerza exterior sobre el cuerpo (o haya una resultante de fuerzas exteriores, o fuerza neta aplicada). El término “inercia” proviene del vocablo “inerte”, sin vida propia, que es la característica de la materia inanimada. Como es obvio los objetos materiales no se mueven espontáneamente sin mediar una causa externa que es la aplicación de una fuerza. REPOSO

M.R.U.

VELOCIDAD

0

Distinta de 0

ACELERACIÓN

0

0

Vemos que el reposo y el M. R. U. tienen en común que son estados de movimiento sin aceleración. O sea que el principio de inercia puede también enunciarse: “Si no hay fuerza neta aplicada, entonces el cuerpo no tendrá aceleración”.

DINÁMICA - 1 -35

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a=0 F=0

Si no hay resultante de fuerza exterior aplicada, no hay aceleración, en consecuencia hay reposo o M.R.U.

Como ejemplos de este principio de inercia, podemos citar: • Cuando estamos en un vehículo que inicia su marcha o incrementa su velocidad experimentamos un movimiento hacia atrás. Por inercia tendemos a quedarnos en la posición anterior y como el móvil arranca notamos que nos movemos hacia atrás. • Por caso contrario, cuando el móvil desacelera o frena bruscamente nos movemos hacia adelante, dado que tendemos a seguir con la velocidad más alta que traíamos y el vehículo viaja más lentamente. • También cuando arrojamos una piedra, una vez que la soltamos ésta continúa moviéndose por inercia y no es necesario seguir aplicándole una fuerza para que se mueva. • Si colocamos un cierto objeto (por ejemplo un vaso) encima de una hoja de papel sobre una mesa y retiramos bruscamente el papel, notaremos que el vaso no se ha movido de su posición. Por inercia ha permanecido en reposo. SEGUNDA LEY DE NEWTON : Principio de Masa La segunda ley de Newton es la ley básica y fundamental de la Dinámica que relaciona cuantitativamente la causa del movimiento (fuerza) con la consecuencia o efecto del mismo (aceleración). F

F’

a

Si sobre un determinado cuerpo (por ejemplo en reposo) aplicamos una cierta fuerza F, el mismo adquirirá una cierta aceleración “a”. a’

Si en cambio le aplicamos otra fuerza F’, el cuerpo adquirirá otra aceleración distinta a’.
















A esta constante intrínseca del cuerpo se la denomina “masa”. Sus unidades son: Sistema Técnico Sistema Internacional (M.K.S.) U.T.(m) kg Unidad Técnica de Masa kilogramo masa

Sistema C.G.S. g gramo masa

Que sea una característica intrínseca del cuerpo, significa que depende del cuerpo en sí y no de otros factores externos como su posición, velocidad, aceleración, etc. De esta forma, la masa está relacionada con la cantidad de materia que tiene el cuerpo y por ello es una característica extensiva del mismo: depende de su extensión, además de su composición interna o tipo de material de que se trate. F = m . a

Despejando “F” llegamos a la expresión matemática de la segunda ley de Newton.

(1)

La Segunda Ley de Newton o Principio de masa puede enunciarse así: “Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza o un sistema de fuerzas de resultante no nula, el mismo adquiere una aceleración directamente proporcional a la fuerza neta aplicada, y en su misma dirección y sentido. El cociente entre la fuerza aplicada y la aceleración obtenida es una constante para cada cuerpo, llamada “masa” del mismo”. La fórmula (1) es una ecuación vectorial, donde la masa es un escalar positivo. Por lo tanto la fuerza neta y la aceleración son vectores colineales de igual sentido. F

F

a

m

m’

a’

Si a dos cuerpos de distinta masa (m y m’) le aplicamos la misma fuerza (F), el cuerpo de mayor masa adquirirá menor aceleración. Si m’ > m ⇒ a’ < a , para F = constante.
















Esto sugiere que la masa representa la resistencia de un cuerpo a ser acelerado. A mayor masa menor aceleración obtenida con una misma fuerza. La masa es, entonces, una medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo. F’

F m a

m’

a

En cambio si deseo obtener la misma aceleración en dos cuerpos de distintas masas (m y m’) tendré que aplicar mayor fuerza neta al cuerpo de mayor masa Si m’ > m ⇒ F’ > F , para a = constante

F = m . a

Para obtener una misma aceleración, la fuerza a aplicar es directamente proporcional a la masa del cuerpo.

Si la fuerza aplicada a un cuerpo es constante en el tiempo, la aceleración también lo será, con lo cual el móvil tendrá un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) Esta situación de fuerza constante es muy común en física, de allí la importancia de haber estudiado en detalle las características del M.R.U.V. PESO DE UN CUERPO El peso de un cuerpo es la fuerza con que la tierra lo atrae. Es por ello un vector de dirección vertical y sentido hacia abajo, dirigido hacia el centro de la tierra. Está aplicado en el centro de gravedad del cuerpo. Hemos visto en los movimientos verticales en el vacío (Caída Libre y Tiro Vertical) que la aceleración de los cuerpos es siempre constante e igual a g = 9,8 m/s2. La fuerza que actúa en estos casos es el “peso” del cuerpo. Pero, como vimos antes para que dos móviles de distinta masa adquieran una misma aceleración (g en este caso) debe aplicársele una mayor fuerza al cuerpo de mayor masa, lo cual ocurre
















LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Isaac Newton formuló la Ley de Gravitación Universal, la cual establece que dos masas cualesquiera m1 y m2 (de tamaño puntual) siempre se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de dichas masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa ( d ). F = G.

F

F

m1 .m2 d 2

d

Esta proporcionalidad se convierte en igualdad con el agregado de una constante “G” llamada constante de gravitación universal. G=

F . d 2 m1 . m2

= 6,67.10

.

−11 N m 2

2

kg

Este valor indica que dos masas de 1 kg cada una, colocadas a una distancia de 1 m, se atraen con una fuerza de 66,7 pN. Ésta es una fuerza extremadamente pequeña y virtualmente imposible de ser detectada a través de los sentidos. Por ello la fuerza de atracción gravitatoria es la fuerza más débil de las fuerzas de acción a distancia o debidas a campos. Solamente cuando por lo menos una de las masas que se atraen es muy grande se pueden observar claramente sus efectos; como pasa con la fuerza peso de un cuerpo, la cual surge de la atracción entre dicho cuerpo y el planeta tierra. m M Tierra

R T = Radio de la tierra Relación entre el

p = G.

M . m RT 2

g p = m g
















A ésta fórmula también puede llegarse aplicando la segunda ley de Newton a un cuerpo en Caída Libre, el cual tiene como fuerza neta el peso “p” y la aceleración que adquiere es “g”. F=m.a p=m.g

p=m.g

Por ello se habla de masa gravitatoria y masa inercial. Aunque se trate de la misma masa, en el primer caso se la toma como una cualidad de un cuerpo que hace que se manifiesten fenómenos de atracción gravitatoria y en el segundo caso se considera como una medida de la resistencia del mismo a ser acelerado. La Ley de Gravitación Universal también es aplicable a las fuerzas de interacción entre los planetas, el sol, la luna, etc. Este interacción gravitatoria explica los movimientos de los astros en sus órbitas y también la trayectoria de los satélites artificiales de comunicaciones. Diferencias entre el peso “p” de un cuerpo y su masa “m” El peso peso de un cuerpo es una fuerza, y por ello es un vector. La masa de un cuerpo es una magnitud escalar. El peso de un cuerpo es relativo, pues depende del sistema gravitatorio en que se halle dicho cuerpo: Si está en la tierra tiene un cierto peso, si se halla en la luna tendrá un peso casi seis veces menor pues la masa de la luna es más pequeña y por po r ello su campo gravitatorio es más débil. En cambio la masa es absoluta, lo que significa que tiene siempre el mismo valor independientemente del campo gravitatorio donde se halla el cuerpo, y sigue existiendo igual aún en ausencia de gravedad (por ejemplo en el espacio exterior lejos de la influencia de algún planeta) VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La aceleración de la gravedad “g” si bien la supusimos constante en los ejercicios de Caída Libre y Tiro Vertical, presenta pequeñas variaciones con la latitud y con la altitud.


















Radio del Ecuador 6378 km

gP = 9,8322 m/s 2 Radio del Polo 6356 km

gE = 9,7803 m/s 2

Eje

Polo

45º Paralelo 45º Latitud Norte

La aceleración de la gravedad normal, se toma en un punto situado a 45º de latitud (Norte o Sur). g = 9,8062 m/s 2

Ecuador Como “g” es inversamente proporcional al cuadrado del radio de la Tierra, a menor radio (polos) mayor aceleración y a mayor radio (ecuador) menor aceleración. Variación de “g” con la altitud: La aceleración de la gravedad también se ve afectada por la altura del punto considerado con respecto al nivel del mar. La aceleración normal se toma al nivel del mar, pero con la altitud
















Equivalencia entre las unidades de fuerza ¿Cuánto pesa un cuerpo de 1 kg de masa? Responderemos a esta pregunta en el Sistema Técnico y en el Internacional: Sistema Técnico

Sistema Internacional

Un cuerpo de 1 kg de masa, a 45º de Latitud y sobre el nivel del mar pesa:

p = 1 kg . 9,8 m/s 2

1 kgf : (Por definición de kgf)

p = 9,8 N

p = m . g

1 kgf = 9,8 N Buscamos ahora la equivalencia entre la unidad de fuerza del Sistema Internacional (N) y la del Sistema C.G.S. (dina):

1m

100 cm

1 =N1 . kg2 = 1000 . g s

s

2

= 10 0 0 0 0

1 N = 105 dina Equivalencia entre las unidades de masa

di n a
















TERCERA LEY DE NEWTON : Principio de Acción y Reacción La Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que : “Cuando “Cuando un cuerpo aplica una fuerza a otro (acción), éste reacciona con una fuerza de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario sobre el primero (reacción)”. Las fuerzas de acción y reacción aparecen y desaparecen simultáneamente y son aplicadas sobre cuerpos distintos, de modo que no pueden componerse para dar resultante cero. Si el cuerpo “A” aplica una fuerza de acción “F A” sobre el cuerpo “B”, éste reacciona sobre el primero con una fuerza “F B”. Para analizar los pares acción-reacción se usan los Diagramas de Cuerpo Libre. En estos diagramas se aísla un cuerpo del resto del sistema de cuerpos con los que interactúa, y se colocan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. No se colocan las fuerzas que dicho cuerpo ejerce sobre otros cuerpos, sino sólo las que actúan sobre él. En los diagramas de cuerpo libre puede verse que las fuerzas actúan sobre cuerpos distintos: la fuerza de acción F A sobre el cuerpo B y la de reacción FR sobre el cuerpo A. FR

A

B

FA

| FA | = | FR | (Igual módulo) FA = – F – FR

B

F

A

(Sentidos opuestos)

FA Diagrama de Cuerpo Libre del cuerpo B
















Cualquiera de ambas fuerzas puede tomarse como acción y la otra reacción. A modo de ejemplo, aplicaremos el principio de acción y reacción a un tren formado por la locomotora de 30 000 kg de masa y dos vagones de 60 000 kg de masa cada uno, que es impulsado por una fuerza motora de 150 000 N. Calcularemos la aceleración del tren y las tensiones que aparecen en los puntos de acoplamiento de la locomotora con el primer vagón (T1) y entre los dos vagones (T 2). F = 150 000 N m1 = 30 000 kg

m2 = 60 000 kg

m3 = 60 000 kg

Sistema Tomando todo el tren como un sistema de cuerpos, y aplicando la segunda ley de Newton, podemos calcular la aceleración del conjunto. Debe tomarse entonces, la masa total del sistema “m t” y considerar la fuerza externa neta aplicada, que es la fuerza impulsora del motor (se considera fuerza exterior, aunque proviene de la propia locomotora, pues procede de la energía del combustible usado en la misma). Se supone que no hay otras fuerzas exteriores, de rozamiento por ejemplo, aplicadas sobre el sistema. Las tensiones T1 y T2 que aparecen entre los vagones no son ahora consideradas por tratarse de fuerzas interiores del sistema.
















R = m1 . a F – T’1 = m1 . a

Sistema F = 150 000 N T’1

m1 = 30 000 kg

F – m1 . a = T’1 150 000 N - 30 000 kg .1 m/s2 = T’1 120 000 N = T’ 1

| T1 | = | T’1| T1 = 120 000 N

T1

m2 = 60 000 kg

T’2

R = m3 . a T2 = m3 . a T2 = 60 000 kg .1 m/s

T2 2

m3 = 60 000 kg

T2 = 60 000 N El primer vagón le aplica al último la fuerza T 2 para impulsarlo hacia la izquierda y éste reacciona con una fuerza igual y de sentido contrario sobre el primer vagón T’ 2. Como vemos, cada fuerza se coloca en el diagrama de cuerpo libre


















PROBLEMAS CON ELEVADORES Otro caso típico de Dinámica son los problemas con elevadores o ascensores. Allí se puede considerar un cierto peso apoyado en el suelo s uelo o suspendido por una cuerda. Cuerpo Apoyado

Cuerpo Suspendido

N

N

p

p

El cuerpo está sometido a dos fuerzas: 1) El peso propio “p” que es la fuerza con que la tierra lo atrae. 2) El peso aparente “N” que es la reacción del piso del ascensor si
















B) El ascensor tiene aceleración hacia arriba : Este caso puede darse cuando el ascensor parte del reposo hacia arriba, o bien está subiendo y se acelera aún más. También cuando está bajando pero desacelerando, puesto que su velocidad es para abajo pero su aceleración es ascendente. Con aceleración hacia arriba

V a

Sube acelerándose N R

a

Baja frenándose

p
















Como vemos, lo que importa no es si el ascensor sube o baja, sino el sentido del vector aceleración. Ahora vemos el caso en que la aceleración es descendente. Con aceleración hacia abajo

Baja acelerándose a V

V

N

Sube frenándose

R
















Si quisiéramos aumentar aún más la aceleración hacia abajo, el cuerpo apoyado sobre el piso se levantaría hasta tocar el techo del elevador. Y si estuviera suspendido, debería estarlo de una barra y no de una cuerda, para poder aplicarle una fuerza hacia abajo. PROBLEMAS CON POLEAS Y PLANOS INCLINADOS Otro problema muy frecuente involucra poleas y dos masas que se mueven sin rozamiento por planos horizontales o inclinados. Se considera que la cuerda es inextensible y despreciable su peso y el de la polea. La cuerda, al estar bajo tensión, aplica una fuerza de igual módulo a las dos masas que está uniendo. Estas fuerzas deben colocarse en el diagrama de cuerpo libre del cuerpo sobre el que actúen. pt1 = p1. sen (α)

pt2 = p2. sen (β)

N1

m1

pt1

α p1

m2 Pn1

pn2

β

N2 pt2
















Luego de calcular la aceleración del conjunto, se procede a hallar la tensión de la cuerda “T”. Para ello se trabaja con el diagrama de cuerpo libre de alguno de los móviles (por ejemplo del móvil 2).

= m.a p t 2 − T = m2 . a

T m2

p t 2 − m2 . a

= T

pt2

También se puede calcular la tensión “T” trabajando con el diagrama de cuerpo libre del otro cuerpo, arribándose al mismo resultado final.

m1 pt1

T

= m.a T − p t 1 = m1 . a T

+ t


















tiempo final es mayor que el inicial (el tiempo siempre transcurre hacia delante). F

Impulso

t

Si al fuerza aplicada no fuera constante en módulo (aunque sí en dirección y sentido) y se conociera su variación en el tiempo, para conocer el impulso habría que calcular el área de debajo de la representación rafi rafica ca de F = f t
















TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso de la fuerza neta externa, actuante sobre un cuerpo entre dos instantes de tiempo ti y tf , es igual a la variación de la cantidad de movimiento sufrida por el cuerpo, en ese tiempo. Es importante resaltar que ésta es una fórmula vectorial, puesto que tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores. Este Teorema es de aplicación vectorial, pues las magnitudes que intervienen son vectores. Hay que tener en cuenta por ello, los signos de los vectores velocidad, fuerza, impulso y cantidad de movimiento, si todos los mismos son colineales. Si dichos vectores fueran coplanares, habría que operar con ellos previa descomposición en dos direcciones, como es habitual al sumar o restar
















–5 m/s, choca contra una pared, y rebota en sentido contrario con una velocidad de + 4 m/s. En este ejemplo los vectores involucrados son colineales, de modo que sólo hay que tener en cuenta los signos de los mismos. Se puede calcular el impulso que le aplica la pared a la pelota: I = ∆q = qF – qI = + 8 kg.m/s – (–10 kg.m/s) I = + 18 kg.m/s = + 18 N.s I = + 18 N. s

I = + 18 N.s N.s
















Tomando un solo cuerpo este principio p rincipio es fácil de interpretar: Si este cuerpo está en movimiento y sobre él no actúa fuerza externa neta, no habrá aceleración, con lo cual la velocidad será constante tanto en módulo como en dirección y sentido (M.R.U.) y por ello la cantidad de movimiento también lo será. Sin embargo la aplicación práctica de este principio, es muy importante para analizar los sistemas de cuerpos, por ejemplo los choques entre partículas. En los choques o colisiones entre móviles, se toma como sistema al conjunto de los cuerpos que van a chocar y se supone que no actúa ninguna fuerza exterior al mismo. Las únicas fuerzas que actuarán serán las que los móviles se apliquen entre sí al chocar. Se analiza el sistema antes y después del choque. Durante el mismo un cuerpo le ejerce al otro una fuerza de acción y el segundo reacciona con una fuerza igual y de
















Esta cantidad de movimiento total del sistema es la que permanece constante luego del choque. Se aplica entonces el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento pues sobre el sistema no actúa resultante de fuerzas exteriores. Se calcula inicialmente las cantidades de movimiento de los dos cuerpos antes del choque. Se suman éstas vectorialmente y se halla la cantidad de movimiento del sistema antes del choque. Luego del choque, el sistema tendrá la misma cantidad de movimiento (en módulo, dirección y sentido), con lo cual puede calcularse la velocidad final del conjunto de los dos cuerpos, que terminan moviéndose juntos. Ejemplo de Conservación de la cantidad de movimiento en un choque bidimensional. Si los cuerpos que colisionan terminan moviéndose en direcciones distintas,


















Luego de la colisión dicho vector debe mantenerse constante, por lo cual si se conociera por ejemplo el módulo y la dirección de la velocidad final de uno de los móviles (v1f ) podría calcularse vectorialmente v2f , o sea conocerse tanto su módulo como su dirección.
















TRABAJO PRACTICO N° 13: “DINÁMICA 13.1) 13.1) En un cuerpo en el que actúa una fuerza neta constante se produce que: a) Adquiere movimiento rectilíneo y uniforme.
















e) 45 UT(m) 13.6) 13.6) En un cuerpo sobre el cual actúa una fuerza neta constante, se cumple que:
















a) ¿Cuál es la fuerza con que el individuo es atraído hacia el centro de la tierra? b) ¿Cuál es la masa expresada en kg? c) ¿Que aceleración experimenta el sujeto?
















ángulo de 30° con la horizontal. La esfera “a” completa el recorrido empleando 10 s y alcanzando una velocidad de 49 m/s. ¿Cuánto valdrá la velocidad final de la esfera “b” y cuánto tiempo empleará en recorrer el plano?:

















































































































17) Dinámica I (Leyes de Newton)

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