1400 Matematicas IV

COLEGIO DE MATEMÁTICAS

ÁREA 1 FÍSICO-MATEMÁTICAS Grado: 4° Clave: 1400 Plan: 96

GUÍA DE ESTUDIO

MATEMÁTICAS IV

 Autor:

Silvia Guadalupe Canabal Cáceres Julio Hernández Hernández José Luis López Hernández José Arturo Reyna Galindo

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Escuela Nacional Preparatoria Directora General: Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Secretario Académico: Biól. Alejandro Martínez Pérez

 Actualización editorial: Edgar Rafael Franco Rodríguez 5ª edición: 2012 Reimpresión 2014 © Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Preparatoria Dirección General  Adolfo Prieto 722, Col. Del Valle C. P. 03100, México, D. F. Impreso en México

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PRESENTACIÓN La Escuela Nacional Preparatoria ha trabajado durante casi 145 años en la formación de jóvenes llenos de ideales y metas por cumplir, con deseos de superación y comprometidos con su país, a quienes tenemos que guiar y conducir hacia el logro de sus éxitos académicos, factores que reforzarán su seguridad personal. Las herramientas que adquieran los estudiantes, durante esta etapa escolar, serán fundamentales, columna vertebral que sostenga sus estudios profesionales, con lo que el desarrollo de habilidades y actitudes se verá reflejado en su futuro próximo. Es nuestra responsabilidad dotar a los alumnos de todos los materiales didácticos que ayuden a enfrentar los retos de adquisición del aprendizaje, para que continúen con sus estudios de manera organizada, armónica y persistente. Por lo mismo, los profesores que integran esta dependencia universitaria, trabajan de manera colegiada; ponen toda su energía en desarrollar las Guías de estudio para aquellos alumnos que, por cualquier razón, necesitan presentar un examen final o extraordinario y requieren elementos de apoyo para aprobarlos y concluir sus estudios en la Preparatoria. La presente Guía de estudio  es un elemento didáctico que facilita la enseñanza y el aprendizaje. Se puede utilizar de manera autodidacta o con la ayuda de los muchos profesores que a diario brindan asesorías en cada uno de los planteles de la Escuela Nacional Preparatoria. Continuaremos buscando más y mejores elementos didácticos: presenciales y en línea, con el objetivo de ayudar a nuestros alumnos a que aprueben y egresen del bachillerato. Sólo me resta desearles éxito en su camino personal y profesional. Juntos por la Escuela Nacional Preparatoria. Mtra. Silvia E. Jurado Cuéllar Directora General

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Esta guía se elaboró para los alumnos que presentarán el examen extraordinario de matemáticas IV Este material no es un libro de texto, es una guía que te brindará las herramientas necesarias para poder adquirir los conocimientos de los temas del curso de Matemática IV. Contiene la teoría básica de los temas relevantes de cada unidad, consistente en definiciones, fórmulas, indicaciones y procedimientos que se aplican en los ejemplos representativos distribuidos en las unidades que componen el programa de estudios de Matemáticas IV. También se incluyen ejercicios de opción múltiple distribuidos al final de cada unidad llamados ejercicios ejercici os de autoevaluación autoevaluación y al final de la guía dos tipos de exámenes homólogos a los exámenes extraordinarios que se aplican en la ENP, así como la solución de los mismos localizados al final de la guía. Se recomienda consultar los libros que se mencionan en la referencia bibliográfica, los cuales se encuentran a disposición de los alumnos en la biblioteca de cada plantel, algunos libros contiene un disco de apoyo para los alumnos. Sabemos que esta guía puede mejorarse en función del uso que se de a la misma, pues no sólo guiará al alumno para presentar el examen extraordinario sino que puede ser de ayuda para el curso de Matemáticas IV. Por tal motivo cualquier comentario pueden hacerlo llegar por escrito a la Jefatura del Departamento de Matemáticas.

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ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE  Alumno, los autores de esta obra consideramos la simple ejecución mecánica de alguna actividad, no siempre lleva a un aprendizaje. Si cuentas con la capacidad para evaluar una tarea se te hará el trabajo más fácil, ya que se puede determinar la mejor forma de realizarlo y la forma de hacer un seguimiento. Si realizas las tareas recomendadas en esta guía y evalúas tu avance, después de programar tus actividades, podemos pensar que empezarás a desarrollar estrategias de aprendizaje que te ayudarán en tus estudios actuales y posteriores. Para logres la organización de los contenidos de la guía, en cada una de las unidades deberás utilizar estrategias de ensayo como son el copiar aspectos importantes del material o bien subrayar los aspectos relevantes del tema. El describir las relaciones existentes entre temas anteriores y los actuales, te permitirá reafirmar el conocimiento al crear un puente entre lo anterior y lo nuevo. Los mapas mentales incluidos te permiten observar de manera clara el temario de cada unidad, lo cual te permitirá visualizar los contenidos permitiéndote relacionar los temas organizándolos en tu mente. Dentro de las actividades de aprendizaje que se sugieren en esta guía se encuentran las de planeación para preparar tu examen que te permitirá calendarizar tu estudio de acuerdo a tus actividades. Como actividad de regulación, que se debe llevar a cabo durante el estudio y al finalizar este, puede utilizar los exámenes muestra a través de los cuáles podrá evaluar su avance y poder tomar la decisión de regresar a repasar o avanzar con el método empleado o bien ajustar tiempo y estrategia. No olvides consultar la bibliografía que se te recomienda, apóyate en otros libros para que tu aprendizaje sea mucho mejor y tu desempeño en esta asignatura sea el óptimo.

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ÍNDICE CONJUNTOS .................................................................................................................... 9 Idea intuitiva de un conjunto........................................................................................... 9 Cardinalidad ................................................................................................................. 10 Subconjunto ................................................................................................................. 10 Tipos de conjuntos....................................................................................................... 11 Diagramas de Venn-Euler ............................................................................................ 12 Operaciones con conjuntos .......................................................................................... 12 Producto cartesiano ..................................................................................................... 16 Plano cartesiano .......................................................................................................... 16  Autoevaluación ............................................................................................................ 19 Bibliografía ................................................................................................................... 20 EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES...................................................................... 21 Operación binaria ................................................................ ....................................... 21 Números Naturales (  ) y Enteros (  ) ...................................................................... 22 Números primos y compuestos................................................................................... 22 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ........................................................ 22  Algoritmo de Euclídes ................................................................................................. 23 Números Racionales (  ) e Irracionales ( Ι = c ) ....................................................... 23 Operaciones en los racionales .................................................................................... 24 Números Reales (  ).................................................................................................. 26 Operaciones con números reales ............................................................................... 26 Valor absoluto. Intervalos en la recta real ................................................................... 26 Exponentes enteros y racionales ................................................................................ 27 Notación científica ...................................................................................................... 29 Logaritmos .................................................................................................................. 30 Introducción a los Números Complejos (  )................................................................ 31  Autoevaluación ........................................................................................................... 33 Bibliografía.................................................................................................................. 35 MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE......................................................... 36 Polinomios .................................................................................................................. 36 Definición de monomio y polinomio............................................................................. 37 Polinomios como f ( x )  ............................................................................................... 37 Operaciones con polinomios ....................................................................................... 38  Autoevaluación ........................................................................................................... 41 Bibliografía.................................................................................................................. 41 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ............................................................ 42 Binomio al cuadrado ................................................................................................... 42 Binomios conjugados .................................................................................................. 43 Producto de binomios con término común .................................................................. 43 Binomio al cubo .......................................................................................................... 43 Trinomio cuadrado perfecto ........................................................................................ 44 Diferencia de cuadrados ............................................................................................. 44

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Trinomio de la forma x 2+bx+c ..................................................................................... 45 Cubo perfecto ............................................................................................................. 45 Factor común.............................................................................................................. 45 Factor común por agrupación de términos.................................................................. 46 Suma o diferencia de dos potencias iguales ............................................................... 47 Trinomio de la forma ax 2+bx+c ................................................................................... 47 Mínimo común múltiplo de dos polinomios.................................................................. 48 Triángulo de Pascal .................................................................................................... 48 Binomio de Newton..................................................................................................... 49 Término específico de un desarrollo binomial ............................................................. 50  Autoevaluación ........................................................................................................... 51 Bibliografía .................................................................................................................. 53 OPERACIONES CON FRACCIONES Y RADICALES ..................................................... 54 Teorema del residuo ................................................................................................... 54 Teorema del factor...................................................................................................... 54 División sintética ......................................................................................................... 55 Simplificación de fracciones algebraicas ..................................................................... 56 Operaciones con fracciones algebraicas..................................................................... 56 Operaciones con radicales ......................................................................................... 57 Operaciones con números complejos ......................................................................... 59  Autoevaluación ........................................................................................................... 60 Bibliografía .................................................................................................................. 62 ECUACIONES Y DESIGUALDADES .............................................................................. 63 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad ...................................................... 63 Ecuación de primer grado en una variable .................................................................. 64 Ecuación de segundo grado ....................................................................................... 64 Desigualdad de primer grado ...................................................................................... 67 Desigualdad de segundo grado .................................................................................. 69  Autoevaluación ........................................................................................................... 71 Bibliografía .................................................................................................................. 72 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE DESIGUALDADES................................................ 73 Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables ................... 73 Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables formados por una de primer grado y la otra de segundo grado ................................... 78 Solución de un sistema de dos desigualdades de primer grado en dos variables.......................................................................................................... 79  Autoevaluación ........................................................................................................... 81 Bibliografía .................................................................................................................. 83  ANEXOS Exámenes propuestos ................................................................................................ 87 Respuestas correctas de los ejercicios ....................................................................... 91

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CONJUNTOS Objetivo. En esta unidad entenderás el concepto de conjunto, las características que tienen así como sus diferentes representaciones, las operaciones con diagramas y aplicaciones en algunos problemas.

Introducción. El ser humano suele agrupar a personas o cosas para entenderlas mejor, es precisamente esta idea de agrupamiento o clasificación lo que engloba el concepto de conjunto. Un conjunto implica la idea de una colección bien definida de objetos que se caracterizan en algo en común. A estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.  A los conjuntos se les denota con letras mayúsculas; a los elementos, con letras minúsculas separadas por comas y encerrados entre llaves.

Idea intuitiva de un conjunto Ejemplos 1. El conjunto A formado por las letras de la palabra “ejemplo” es:  A = {e, j , m, p, l , o} 2. El conjunto B formado por una secuencia de números del 1 al 5 queda como: B  = {1,2,3,4,5} 3. El conjunto C  formado por las letras de la palabra “esfera”  es: C = {e, s, f , r ,a} La relación que existe entre un elemento y un conjunto se indica con el símbolo de pertenencia ( ∈ ) ó no pertenencia ( ∉ ) Si un elemento Si un elemento

 x   x 

pertenece al conjunto A se representa como:  x ∈ A . no pertenece al conjunto A se representa como:  x ∉ A .

Ejemplos 1. Para el conjunto  A = {2,3,7,1,9} se tiene lo siguiente 3 ∈ A , 8 ∉ A , 2,3,7,1,9 ∈ A 2. Para el conjunto B = {−1,2,4,6,8,10} 3. Para el conjunto C = {1,2,3,4}

2,4 ∈ B y 0,1,3,5,7,9 ∉ B

3 ∈C y 9 ∉C

 

Hay dos formas de representar los conjuntos por extensión ó comprensión. Un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos.

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Ejemplos

1. A = {1,2,5,6,9} 2. B = {−2, − 1,0,1,2} 3.C = {h, o, l, a} 4. Conjunto formado por los números impares mayores que 1 y menores que 8 se tiene; D = {3, 5, 7} Un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad o varias condiciones para cumplir en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Ejemplos

1.  A = {x x es una vocal} ,

A = {a, e, i, o, u}

2. B = { x ∈  x es un número par < 10} , B = {2,4,6,8} 3. C = { x x es una letra que forma la palabra conjunto}, C = {c, o, n, j, u, t}

 

4. Si D = {4,5,6,7}, entonces el conjunto D, escrito por comprensión, es D = {x ∈ 4 ≤ x  ≤ 7 }

Características de conjuntos 

Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto, es el número de elementos que lo forman y se denota por o n(A). Un conjunto que no tiene elementos su cardinalidad es cero.

#A

Es un indicador del tamaño que tienen los conjuntos. Ejemplos 1. Para el conjunto  A = { 3, 4, 5, 6} se tiene #A = 4. 2. Para el conjunto B = { x ∈  1 < x ≤ 4} tenemos n(B) = 3. 

Subconjunto

Para indicar la relación que existe entre dos conjuntos usamos el símbolo  A ⊂ B que indica que el conjunto A esta contenido o es un subconjunto  de B ó bien si no existe relación  A ⊄ B  que indica que A no está contenido en B ó no es un subconjunto de B. Ejemplos 1. Para los conjuntos  A = {2, 4, 5} y B = {5, 2, 4, 6} se tiene que  A ⊂  B. 2. Para los conjuntos C  = {2, 3, 4, 6} y D = {1, 2, 3, 6} vemos que C ⊄  D. Porque le falta el elemento 4 al conjunto D. 3. Dados los conjuntos E  = {-3, 3} y F  = {3, -3, 1} tenemos que E ⊂  F . 10

Tipos de conjuntos Existen varios conjuntos que son importantes reconocerlos sobretodo cuando se resuelven problemas de conjuntos. 

Conjunto universal

Todos los conjuntos A, B, C.... son subconjuntos de un conjunto dado, llamado conjunto universal U . El conjunto universal es el conjunto que tiene a todos los elementos de los demás conjuntos. Ejemplo 1. Dado el conjunto universal: U   = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. De éste conjunto, se tienen los siguientes conjuntos  A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 6} donde se puede ver que  A ⊂ U y B ⊂ U , eso sucede siempre, el conjunto universal contiene todos los elementos de todos los conjuntos que se tengan, pero también contiene elementos que no tengan los conjuntos. 

Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se le llama conjunto vacío o nulo y se representa con uno de los siguientes símbolos  A = ∅ o  A = { } El conjunto vacío ( ∅ ) es subconjunto de cualquier conjunto, { } ⊂  A ó ∅ ⊂  B Ejemplos 1. Si el conjunto  A es, escrito por comprensión,  A = { x ∈  x + 2 = −5} entonces, el mismo conjunto, escrito por extensión, es  A = Ø. 2. Si B = { x ∈ 



 x= -1 } entonces, escrito por extensión, es B = { }

Conjuntos iguales

Los conjuntos A y B son iguales  cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y viceversa. La igualdad se representa como A = B ó B = A. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa para considerarlos iguales. Ejemplos 1. Los conjuntos  A = {1, 5, 3} y B = {3, 1, 5}, son iguales  A = B. 2. Los conjuntos C  = { x  2 + x = 6} y D = {4}, son iguales C  = D.

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• Conjuntos ajenos

Cuando dos conjuntos  A y B  no tienen elementos en común entre ellos, entonces  A y B  son conjuntos ajenos o disjuntos, ningún elemento de  A está contenido en B y ningún elemento de B está contenido en  A. Ejemplos 1. Los conjuntos  A = {5, 11, 51, 30} y B  = {3, 21, 8, 7}, son conjuntos ajenos porque  A no tiene elementos de B y B no tiene elementos de  A, por lo tanto A ⊄  B o B ⊄  A 2. Los conjuntos C  = {-2, -1, 0, 1, 2} y D = {4, 5, 6, 7, 8}, son conjuntos ajenos o disjuntos.

3. Los conjuntos E   = {5, 13, 15, 2} y F   = {13, 20, 30, 40} no son conjuntos ajenos, porque el elemento 13 están contenido en los dos conjuntos E  y F .

Diagramas de Venn – Euler Los diagramas de Venn - Euler   son representaciones gráficas que nos permiten visualizar las relaciones que existen entre conjuntos y sus elementos. Ejemplo La representación gráfica de los siguientes conjuntos es; U  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ,  A = {2, 6, 1, 3} y B={1, 3, 4, 7}. Los elementos 5 y 8 que no están en los conjuntos se escriben fuera de los círculos, porque pertenecen al conjunto universal. U   A

B

6 2

1 3

4 7 5 8

Operaciones con Conjuntos 

Unión Para dos conjuntos  A y B la unión, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o que pertenecen al conjunto B, se representa como  A  B. La unión cumple con ser conmutativa,  A  B = B  A , A  B = {x x ∈ A o x ∈ B}

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Ejemplos 1. Con los conjuntos A  = {1, 2, 3, 6} y B  = {1, 3, 4, 7}, la operación de unión, A  B  = {1, 2, 3, 4, 6, 7} y su representación gráfica es: U  A

B 

6 2

5 8

4 7

1 3

2. Los conjuntos C  = { x  1 < x es impar < 8} y D = { 2, 3, 4}, la operación de unión, C  D = { 2, 3, 4, 5, 7}



Intersección Para dos conjuntos A y B la intersección , es otro conjunto que está formado por aquellos elementos que pertenecen al conjunto  A  y también pertenecen al conjunto B  al mismo tiempo, se representa como A  B. La intersección cumple con ser conmutativa

 A  B  B  A ,

A B



x x



A y x  B

Ejemplos 1. Los conjuntos A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 7, 3, 4}, la operación de intersección  A  B = {1, 3} y su representación gráfica es: U  A

B 

6 2

1 3

4 7 5 8

2. Los conjuntos C = {x

2 < x es par < 6} y D = {3, 4, 5}, la operación de intersección

C  D = {4}

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3. Los conjuntos E  = {1, 2, 3} y F  = {4, 5, 6}, la intersección E  F = { } son conjuntos ajenos.



Diferencia Para dos conjuntos  A y B la diferencia,  es un nuevo conjunto que está formado por los elementos que pertenecen al conjunto  A, pero que no pertenecen al conjunto B, se representa como  A–B. La diferencia no cumple con ser conmutativa  A − B ≠ B − A ,  A − B = {x x ∈ A y x ∉ B} , B − A = {x x ∈ B y x ∉ A}

Ejemplos 1. Si los conjuntos  A y B son A = {1, 2, 3, 6} y B = {1, 7, 3, 4} entonces la operación de diferencia  A–B = {6, 2} y su representación gráfica es:

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6 2

1 3

4 7

2. Si el conjunto universal es U  = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}  y los conjuntos C = { x impar 1 ≤ x < 7}  y el D = {1, 2, 4, 6}, entonces la operación C – D = {3, 5 }

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3. Si el conjunto universal es U  = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}  y los conjuntos E = {2, 3, 5, 6, 9} y F   ={2, 6, 7}, entonces la operación F–E  = {7}



Complemento Para un conjunto  A su complemento, es otro conjunto que está formado por los elementos que no pertenecen al conjunto  A, pero que pertenecen al conjunto universal, se representa  AC  = A' = { x x ∈ U y x ∉ A} como A’ o como AC .

Ejemplos 1. Si el conjunto U  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el conjunto  A = {1, 2, 3, 6}, entonces el complemento del conjunto A es  AC  = {4, 7, 5, 8} y su representación gráfica es:

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1 3

4 7

5 8

2. Sea el conjunto U  = { x  2 < x < 9} y B = {2, 7}, entonces el complemento del conjunto B, es BC  = {3, 4, 5, 6, 8} 3. Sean los conjuntos U  = {2, 3, 4, 5, 6, 7},  A = {2, 3, 4} y B = {4, 5, 6} encuentra los conjuntos que representan a las siguientes operaciones, a)  AC   B y b) (A–B)  B a) AC  = {5, 6, 7} y B = {4, 5, 6}. Entonces  AC   B = {4, 5, 6, 7}.

b)  A–B = {2, 3} y B = {4, 5, 6} entonces (A–B)  B = Ø. 4. Sean los conjuntos U  = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},  A = { 2, 3, 4} y B = {3, 5, 6}, los conjuntos de las siguientes operaciones son: a ) A  B = { 2, 3, 4, 5, 6} c)  A− B = { 2, 4} e) ( A  B) −  ( A− B)={ 3, 5, 6}

b)  A  B = {3}, d)  AC  = {0, 1, 5, 6, 7, 8, 9} f) ( A  B) −  AC ={3}

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5. En una encuesta realizada a 70 estudiantes, para un torneo de una escuela, se tienen como resultado los siguientes datos: 49 participan en fútbol, 32 participan en básquetbol, 17 participan en los dos torneos, mientras que el resto de los estudiantes no pudieron participar. B

F 

32

17

U 

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Las diferentes cantidades que se obtienen del diagrama son: n(F) = 49, total de estudiantes que participan en fútbol. n(F C) = 21, no participan en fútbol. n(B) = 32, total de estudiantes que participan en básquetbol. n(B C) = 38, no participan en básquetbol. n(F  B) = 64, participan en fútbol o participan también en básquetbol. n(F  B) = 17, participan en fútbol y participan en básquetbol. n(FC  B) = 15, no participan en fútbol pero si participan en básquetbol (también se dice que sólo participan en básquetbol). n(F  BC )= 32, participan en fútbol pero no participan en básquetbol (también se dice que sólo participan en fútbol). n(BC  FC) = 6, total de estudiantes que no participan en el torneo.

Producto cartesiano Para dos conjuntos  A y B el  producto cartesiano, es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( x, y ), que se representa con  A × B.  A × B ≠ B × A  A × B = {( x, y ) x ∈ A, y ∈ B} , B × A = {( x, y ) x ∈ B, y ∈ A}

Plano Cartesiano Un plano cartesiano es un conjunto de parejas ordenadas formadas por los números reales y se indica  x  , la representación gráfica se forma utilizando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, a las que se denominan ejes coordenados. El plano queda dividido en cuatro partes que se denominan cuadrantes.

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Ejemplos 1. La representación gráfica del conjunto  A = {(−2, 3), (3, 4), (5, 6), (7, 4)} es:

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2. Si los conjuntos  A y B son A = {3, 5, 7} y B = {4, 6}, entonces el producto cartesiano:  A × B = {(3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6), (7, 4), (7, 6)} y su representación gráfica es

3. Si los conjuntos C y D son C = {3, 7} y D = {7, 14, 2, 4}, el producto cartesiano C ×  D = {(3, 7), (3, 14), (3, 2), (3, 4), (7, 7), (7, 14), (7, 2), (7, 4)} 4. Sean los conjuntos E  = {3, 8} y F  = {0} entonces los productos cartesianos E ×  F = {(3, 0), (8, 0)}, y F ×  E = {(0, 3), (0, 8)} , nota que E × F ≠ F × E . 

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Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. Sean los conjuntos U  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y  A = { 3, 5, 8} la relación entre ellos es:  A) A es elemento de U  B) A es subconjunto de U  C) A no pertenece a U  D) U  es subconjunto de  A 2. Si los conjuntos  A y U son, A = Ø y U  = {6, 2, 5, 0} entonces la relación entre los dos es:  A) A ∈ U  B) U  ⊂ A C) A ⊂ U  D) A = U  3. Dados los conjuntos  A = {7, 2, 3} y B = {7, 2, 3} entonces el producto cartesiano  A × B es:  A) {(7, 7), (7, 2), (7, 3), (2, 7), (2, 2), (2, 3), (3, 7), (3, 2), (3, 3)} B) {(7, 7), (2, 2), (3, 3)} C) {(7, 2), (7, 2), (1, 3)} D) {(7, 7), (2, 2), (3, 3), (2, 7), (2, 3), (7, 3)} 4. Si  A y B son los conjuntos  A = {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)} y B = {(2, 2), (2, 4)}, entonces la diferencia  A–B es:  A) {(2, 4), (4, 2)} B) {(2, 4), (4, 4)} C) {(4, 4), (4, 2)} D) {(2, 2), (2, 4), (4, 2)} 5. Dados los conjuntos  A = {0, 5, 1}, B = {5, 4} y C  = {4, 6, 1} entonces la operación (A  B) – C  es:  A) {1, 4} B) {5, 4, 6, 1} C) { 6, 5, 0} D) {5, 0} 6. Sean los conjuntos  A = {10, 11}, B = {11, 12} y C  = {12, 13}, la operación (A  B)  C  es:  A) {11, 12, 13} B) {10, 11, 12} C) {10, 11, 12, 13} D) {13, 11} 7. Con los conjuntos U  = { 2, 3, 4, 5, 6},  A = { 2, 4}, B = {2, 5, 6} y C   = {2, 4,6} el resultado de la operación (A  B)C   C C  es:  A) {3} B) {3, 4, 5, 6} C) {3, 5} D) {3, 5, 4} 8. En una encuesta a 142 alumnos, se obtuvo que 97 alumnos les gusta el color rojo, 68 alumnos les gusta el color blanco, 38 alumnos les gustan los colores rojo y blanco. ¿A cuantos alumnos les gusta el color rojo pero no el color blanco, n( R  BC )?  A) 74 B) 59 C) 97 D) 15 9. Se entrevistaron a 120 personas de los cuales, 60 prefieren tomar té, 90 personas prefieren tomar café, 40 personas toman té y café, mientras que el resto de las personas toman algo diferente. ¿Cuántas personas toman solamente Café, n( T C  C) ?  A) 40 B) 90 C) 10 D) 50 10. Los conjuntos B = {x  A) { 2, 5} B) {3, 5}

x – 4 = ─1} y U = {2, 3, 4, 5}, la operación (B c)c  es: C) {2, 3} D) {3} 19

BIBLIOGRAFÍA 1. Kleiman, Ariel, Conjuntos. México, Limusa, 1981. 2. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. 3. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 4. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 5. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 6. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 7. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 8. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 9. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004.

20

EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES (  ) Objetivos. Después de completar el estudio de esta unidad, debes adquirir las habilidades necesarias para operar con los números reales. Debes utilizar adecuadamente la jerarquía de las operaciones para simplificar algunas expresiones con números reales.

Introducción. La mayor parte del álgebra elemental está íntimamente relacionada al sistema de los números reales. La Lógica y los Conjuntos pueden ser una buena herramienta para estudiar y entender las propiedades que caracterizan a los reales como un campo, de manera que sin prescindir de las habilidades desarrolladas en aritmética las generalicemos y las perfeccionemos comprendiendo que siempre son válidas. La mecanización puede ser válida para agilizar las operaciones con los números, pero ésta no nos enseña cómo aplicar las operaciones en los problemas en general, es más bien el conocimiento de la estructura de los números lo que nos permitirá aplicarlos a situaciones reales.  Así pues, es importante saber cómo pasar de la representación numérica a la representación simbólica para generalizar las reglas operativas de las Matemáticas.

Operación binaria Una operación binaria  en un conjunto es una regla que asocia a cada par de elementos del conjunto otro elemento del conjunto. El conjunto de los números reales junto con la suma y el producto usuales {, +, ⋅} , cumple con las siguientes propiedades: Si a, b, c ∈  , entonces a+b=b+a a⋅b = b⋅a

Conmutatividad con respecto a la suma Conmutatividad con respecto al producto

(a + b) + c = a + (b + c )   (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)  

Asociatividad con respecto a la suma Asociatividad con respecto al producto

Existe a ∈   tal que, para todo b ∈  , a + b = b + a = b ( a = 0 ) Existe a ∈  tal que, para todo multiplicativo

b ∈  a ⋅b = b ⋅ a = b

Para todo a ∈   existe b ∈   tal que a + b = 0

( b = −a )

Para todo a ∈   existe b ∈   tal que a ⋅ b = 1 ( b = a −1 =

1 a

Existencia del neutro aditivo ( a = 1 )

Existe el neutro

Existencia del inverso aditivo ) Existe el inverso multiplicativo

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c = c ⋅ a + c ⋅ b = c ⋅ (a + b)   Distributividad del producto con respecto a la suma a +b∈   a⋅b∈   

Cerradura con respecto a la suma Cerradura con respecto al producto 21

Números Naturales (  ) y Números Enteros (  ) Desde el punto de vista de la Teoría de Conjuntos se puede estudiar al cero como un número natural, desde otros puntos de vista es considerado como entero; pero nosotros consideraremos a los números naturales como todos aquellos enteros positivos.  = {1,2,3,4,5,...} Los números enteros son los naturales unión sus negativos y el cero.  = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,, ...}

Números primos y compuestos Un número natural es primo si únicamente posee dos divisores distintos, él mismo y la unidad. Si no es el caso entonces el número natural es compuesto. Observación. Todo número natural es primo o es compuesto. El conjunto de los números primos es  P  = {2,3,5,7,11,13,17,19,...}

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos números naturales es el menor de todos los múltiplos comunes. El máximo común divisor (M. C. D.) de dos números naturales es el mayor de todos los divisores comunes. Para encontrar el m. c. m. y el M. C. D. de dos números naturales se puede emplear la descomposición de dichos números naturales en factores primos. El m. c. m. de dos números naturales a y b, es el producto de todos los factores primos comunes y no comunes de a y b, a la potencia máxima. El M. C. D. de dos números naturales a y b, es el producto de todos los factores primos comunes, a la potencia mínima. Ejemplo 1. Encuentra el M. C. D. y el m. c. m. de 156 y 90. 156 = (2)(2)(3)(13) = 2 2 ⋅3 ⋅13 90 = (2)(3)(3)(5) = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 2 Entonces, el  M .C .D . = 2 ⋅ 3 = 6 y el m.c.m. = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅13 = 2340

Algoritmo de Euclídes El M. C. D. se puede encontrar también usando repetidamente el algoritmo de la división, lo que se conoce como el algoritmo de Euclídes, que consiste en dividir el número mayor (dividendo) entre el menor (divisor) y obtener un cociente y un residuo, luego se divide el divisor entre el primer residuo y se obtiene un segundo residuo; en seguida se divide el primer residuo entre el segundo residuo, el segundo residuo entre el tercer residuo y así sucesivamente hasta encontrar un residuo igual a cero. En ese momento se termina el algoritmo de Euclídes. 22

Algoritmo de la división Sean a, b, c, r ∈  . Si se divide a entre b se obtiene un cociente c  y un residuo r . b

c a

tal que

a = bc + r ,  con 0 ≤ r < b .

r 

Debido a que el algoritmo de Euclídes (para dos naturales a y b) es finito se tiene que el último residuo diferente de cero en el algoritmo de Euclídes es el M. C. D. de los números naturales a y b. Ejemplo. 1. Encuentra el M. C. D. de 156  y 90 . 156 = 90(1) + 66 90 = 66(1) + 24 66 = 24(2) + 18 Por lo tanto, el M. C. D. de 156  y 90  es 6 24 = 18(1) + 6 18 = 6(3) + 0 Sean a, b ∈  . Se dice que a es divisible por b o que b divide a a, si existe c ∈   tal que a = bc . Ejemplo 1. El número 10 es divisible por -1 y 1, por -2 y 2, por -5 y 5, por -10 y 10. 2. El número 10 no es divisible por -3 y 3, por -4 y 4, por -6 y 6, por -7 y 7, por -8 y 8, por -9 y 9.

Números Racionales (  ) y Números Irracionales ( Ι = C ) En algunos libros puedes encontrar que a los número irracionales se les denote con la letra Ι o como complemento de los números racionales C . Un número racional es un número de la forma  x =   p Es decir,  =  x = q 

p q

, con  p, q ∈   y q ≠ 0 .



p, q ∈ ; q ≠ 0 



Observaciones.    

Todo número entero es racional. Los números racionales y los irracionales se pueden representar como potencias de 10. Los números racionales son periódicos o finitos en su parte decimal. Los números irracionales son infinitos no periódicos en su parte decimal.

23

Ejemplos de números racionales 

1.

2.

10 3 1 2

= 3.333... = 3.3 es periódico.

= 0.5 es finito.

de números irracionales 1. 2 = 1.414213562... 

2. e = 2.718281828... 3.

π  

= 3.1415927...

Para expresar un número decimal periódico en la forma

 p q

, q ≠ 0 , procedemos de la siguiente

manera: Si el número periódico es  x   y tiene n cifras en el período, entonces  x   se multiplica por  10n , se realiza 10n x − x , para cancelar así la parte decimal periódica de  x , y se llega a una expresión de la forma qx = p . Por último, se despeja  x  obteniendo así  x =

 p q

, con q ≠ 0 .

Ejemplo 1. Para encontrar el número decimal  x = 2.45 en su forma racional debemos multiplicar a  x  por 102, es decir por 100. Obtenemos 100 x = 245.45 luego encontramos la diferencia 100 x − x = 245.45 − 2.45 de la cual tenemos 2.45 =

99 x  = 243 . Por lo tanto  x =

243 99

=

81 33

=

27 11

es decir

27 11

Observación. Los racionales y los irracionales no tienen elementos en común es decir   C = ∅

Operaciones en los racionales 

Suma de racionales.

Sean a, b, c, d ∈  , Si b ≠ 0 , entonces Ejemplo 1.

24

3 4

+

5 4

=

3+5 4

=

8 4

=2

a b

+

c b

=

a+c b

Si b no divide a d  ó d  no divide a b entonces, el común denominador es el m. c. m. de b y d . si b y d  son diferentes de cero, a c ad + bc + = b

d

bd  

Ejemplo 2

1. 3

+

5

=

7

7(2) + 3(5) 21

=

14 + 15 21

=

29 21

Si b divide a d  entonces, existe n ∈  tal que d = bn . Entonces

a c a c an + c   + = + = b d b bn bn

Ejemplos 4

+

5

4+

5

1. 3

2.

6

6

=

=

2(4) + 5 6 6(4) + 5 6

=

=

8+5 6

=

24 + 5 6

13

=

6 29 6

Producto de racionales. El producto de dos números racionales da un número racional cuyo numerador es igual al producto 

a c

⋅

de los numeradores y su denominador, igual al producto de los denominadores

b d

=

ac bd  

Ejemplos 1.

2.

5 8

⋅ =

40

7 3

21

8

40

5⋅

3

=

3

División entre racionales Para dividir dos números racionales podemos hacerlo de dos maneras 1. Multiplicar el numerador del primero por el denominador del segundo, el resultado será el numerador del cociente, y multiplicar el denominador del primero por el numerador del 

segundo, el resultado será el denominador del cociente, es decir 2. Escribes el cociente de

a b

 entre

c d 

 como sigue

extremos” y “medios por medios”, es decir

ad  bc

a b c d 

a b

÷

c d

=

ad   bc

entonces multiplicas “extremos por

, entonces

a b c d 

=

ad  bc 25

Ejemplo 1.

8 7

9

÷ = 2

( 8 )( 2 ) 16 = ( 7) ( 9 ) 63

8

( 8 )( 2 ) 16 2. 7 = = 9

( 7) ( 9 )

63

2

Números Reales (  ) Los números reales son la unión de los números racionales con los números irracionales. Es decir,   C = 

Observación.  ⊆  ⊆  ⊆   ; C ⊆  Se dice que  forma un conjunto continuo sobre sí mismo, por lo tanto al identificarlo con la recta numérica ésta no tiene “hoyos”, es decir, entre dos racionales siempre hay un irracional y entre dos irracionales siempre hay un racional. A cada punto sobre la recta numérica le corresponde un número real y viceversa.

Operaciones con números reales Las operaciones básicas con números reales son la suma  y el producto, de ellas se derivan la resta  y la división, respectivamente. Otra operación es la potenciación  con números enteros y racionales. Los conjuntos  ,  y  son cerrados bajo la suma y el producto no así el conjunto C , pues no es cerrado bajo el producto, por ejemplo

2 ∈ C , pero

2 2 = 2∈

Valor Absoluto Sea a ∈  . El valor absoluto de a se define como la distancia en la recta numérica, de a con respecto al origen 0. Por tanto es un número no negativo y se denota como a .

 a, a ≥ 0 Esta definición la podemos expresar de la siguiente manera, si a ∈  , entonces a =   − a, a < 0

26

Ejemplos 1. 5 = 5 , −5 = −(−5) = 5 ; 2. 0 = 0 ; 3.

2 3

=

3.67 = 3.67  ;

2 3

La distancia en la recta real entre dos números a y b se expresa como a − b = b − a  . Intervalos en la recta de los reales. Sean a, b ∈  tales que a < b , el intervalo abierto (a, b)  es el conjunto de números reales  x  que son mayores que a y menores que b, es decir a < x < b El intervalo cerrado [ a, b]  es el conjunto de números reales  x  que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b, es decir a ≤ x ≤ b Los intervalos semiabiertos o también llamados semicerrados, (a, b] y [a, b) , son aquellos que incluyen a alguno de los extremos del conjunto pero no al otro. Por ejemplo para (a, b] se tiene que a < x ≤ b y para [a, b) , a ≤ x < b

Ejemplos 1. (−5,10) es decir −5 < x < 10 2. [3,8] es decir 3 ≤ x ≤ 8 3. (−7, −1] es decir −7 < x ≤ −1 4. [6,20) es decir 6 ≤ x < 20

Exponentes enteros y racionales Leyes de los exponentes. Sean b, n ∈  . La expresión b n  (b es la base y n es el exponente), se conoce como potenciación de b a la n, para b ≠ 0  si n = 0 . Si n ∈  , entonces b n  significa multiplicar b por sí mismo n veces. 27

Propiedades. Sean a, b ∈   y n ∈  , entonces se cumple que: i. (ab)n = a nbn n

 a  an ii.   = n , con b ≠ 0 b b iii. a n a m = a n+m am

iv.

= a m−n , a ≠ 0

n

a v. (a n ) m = a nm 1 vi. a −1 = , con a ≠ 0 a 1 vii. a − n = n a 0 viii. a = 1 , a ≠ 0

Ejemplos 1. (3 ⋅ 2)3 = 33 ⋅ 23 = 27 ⋅ 8 = 216 2

49 7 7 2.   = 2 = 25 5 5 2

3. 2324 = 27 = 128 4.

35 2

3

= 33 = 27

5. (42 )3 = 46 = 4096 6. 8−1 = 7. 7 −2 =

1 8 1 7

2

=

1 49

8. 230 = 1 Sean a, b ∈  , con a ≥ 0 . Se dice que b es la raíz cuadrada de a si se cumple que a = b 2 . Es decir, a = b2 ⇔ ± a = b . Sean a, b ∈  . Se dice que a = b3 ⇔

3

En general, 28

b  es la raíz cúbica de a  si se cumple que a = b . Es decir,

a =b. n

a = b ⇔ a = b n ; con a ≥ 0  para n par , y para todo a si n es impar .

3

Observación. Sean a ∈  y m, n ∈    para los cuales se cumplen las hipótesis de la definición m

a = a n . Es decir, todo radical se puede ver como una potencia racional.

n

anterior, entonces

m

Ejemplos 4

1.

3

2 = 23

2.

5

4 = 45

4

7 7

1

9 = 92

3.

1

4.

3

a = a3

Propiedades básicas de raíces n

i. ii.

am =

n

( ) n

a

m

ab = n a n b a

iii.

n

iv.

m n

=

b

n

a

n

b

a = mn a

Ejemplos

( )

2

1.

3

64 = 3 82 =

2.

3

1000 = 3 (8)(125) =

3.

4

4.

3

16 81

=

4

16

4

81

=

3

8

= 22 = 4

( 8 )( 3

3

)

125 = (2)(5) = 10

2 3

64 = 6 64 = 2

Notación Científica. La notación científica es muy útil para trabajar con números muy grandes o muy pequeños. Las magnitudes se representan en forma de productos, donde uno de los factores es una cantidad c  tal que 1 ≤ c < 10 , y el segundo factor es una potencia de 10 ( 10n , n ∈  ) que indica los lugares que fue necesario mover el punto decimal. 29

El formato estándar está dado por e.d1d 2d 3 ×10n , donde e, d1 , d 2 , d3  ∈   {0} donde e es la parte entera y d1, d2, d3,… son los décimos, centésimos, milésimos, etc. Ejemplos 1. 128 000 000 000 = 1.28× 1011 2. 0.000 000 000 000 009 35 = 9.35 ×10 −15 Logaritmos Sean b, N  ∈   tales que b ≠ 0 y 1 y  N  > 0 , entonces el logaritmo de N   en la base b  se define como el exponente al que se debe elevar la base para obtener N. Es decir, log b N = L ⇔ b L = N ,  al número N se le conoce como argumento del logaritmo. Ejemplos 1. log 3 81 = 4 ⇔ 34 = 81 , 2. log 2.17 1 = 0 ⇔ 2.17 0 = 1 3. log10000 = 4 ⇔ 104 = 10000 4

 2  16 4. log 2 = 4 ⇔   = 81  3  81 3 16

Observación: log b 1 = 0 ⇔ b0 = 1  y log b b = 1 ⇔ b1 = b Propiedades de los logartimos Sean  A, B ∈   tales que  A > 0  y  B > 0 , entonces se cumple que i. logb  AB = logb A + logb B ii. logb

 A  B

= logb  A − logb B

iii. log b  An = n log b A n

iv. logb  A = logb A = m

v. logb  A = 30

n

m

1 log A b

n m

log b A

vi. logb  A =

log A log b

=

ln A ln b

El argumento del logaritmo es simple  cuando no aparece como cociente, o como producto, o cuando no aparece elevado a una potencia. Ejemplo 1. Usando las propiedades de los logaritmos expresa logb

 x 5 y ( wz )3

como sumas y restas de

logaritmos simples. log b

 x5 y ( wz )

3

(

= log b  x

5

)

1

y − log b ( wz) = log b x + log b y 2 − 3log b ( wz ) = 3

5

1

= 5log b  x + log b y − 3log b w − 3log b z  2

Introducción a los Números Complejos (  ) Cuando el hombre comenzó a resolver problemas con la ayuda del álgebra se dio cuenta que ya no le bastaban los números reales. Si queremos resolver una ecuación del tipo  x 2 + 4 = 0 , esta no tiene soluciones reales, ya que  x = ± −4 . De hecho, no existe un número real que multiplicado por sí mismo dé como resultado un número real negativo. Entonces se inventaron los números complejos ( x = ± −a ,  con a > 0 , son soluciones complejas de  x 2 + a = 0 ). Un número complejo  es la suma de dos términos, consta de una parte real y de una parte imaginaria, es de la forma  z = a + bi , donde a, b ∈  ; la parte real es a y la parte imaginaria es bi . La unidad imaginaria se define como i  y su valor es i = −1 . Al conjunto de los imaginarios puros lo denotaremos como Im . Observación. Los números complejos se pueden ver como parejas ordenadas (a, b)   en un plano cartesiano donde uno de los ejes consta de números reales y el otro de números imaginarios, es decir  =  × Im  dónde  = {(a, bi ) = a + bi a , b ∈  y bi ∈ Im} . Se dice que  z  es un imaginario puro si su parte real es igual a cero, es decir,  z = 0 + bi . Observación. Los números reales se pueden ver como un subconjunto de los números complejos. n

Se define la potencia n de i  como i n = ( −1 ) , con n ∈  . 31

n

La n-ésima potencia de i , i n = ( −1 ) , es cíclica observa el siguiente desarrollo i  = −1 i2 =

(

2

−1 ) = −1

i 3 = i 2i = −1(i) = −i i 4 = i 3i = −ii = −i 2 = − (−1) = 1 i 5 = i 4i = 1(i ) = i i 6 = i 5i = i (i ) = i 2 ,

 Además i − n =

etc.

1 in

Ejemplo −3

1. i −1 ( i −2 ) = i −3 = ( −1 ) =

32

1

(

−1

)

3

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. Simplificando la expresión 4 + 6 × 1 − 2 + 9 ÷ 3  da como resultado:  A) 11 B) 7 C) 10 D) 5.5 2. Si a un rectángulo de 30 cm por 40 cm se le agrega un marco de 5 cm de ancho entonces el área total, en cm2 , del cuadro con marco es de:  A) 1 575 B) 2 000 C) 1 200 D) 2 020 3. La descomposición en factores primos del número 180 es:  A) 4 ⋅ 32 ⋅ 5 B) 22 ⋅ 9 ⋅ 5 C) 9 ⋅ 20 D) 22 ⋅ 32 ⋅ 5 4. El M. C. D. de 40 y 180 es  A) 10 B) 4 C) 20 5. El m. c. m. de 40 y 180 es  A) 1800 B) 180

D) 2

C) 900

D) 360

6. El número que es divisible por 9 es, (n es divisible por 9 si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible por 9)  A) 67 463 B) 23 232 331 C) 98 577 D) 123 457 7. Juan tiene tres varillas de 24, 48 y 60  metros de longitud, ¿de qué tamaño debe cortarlas para que todos los pedazos obtenidos sean iguales y de mayor tamaño posible?  A) 12 B) 24 C) 15 D) 4 8. Después de hacer las operaciones y simplificar la expresión 13 − {20 + 3[12 − 3(4) + (4 − 5) − 7(8 + 2) − 10] − 1 2} , el resultado es:  A) 1861 B) −251 C) −222 D) 248 9. Después de hacer las operaciones y simplificar la expresión 3a − {b − 2[c − 3b + 2(c − a) + b] + 2 a} , el resultado es:  A) 3a − 5b + 6c B) −3a + 5b + 6c C) −3a + 5b − 6c

D) −3a − 5b + 6c

−2

 −1  3 −1  10. La simplificación de la expresión  2 −     es:   2   

 A)

1 36

B)

1 6

C) −36

D) 36

33

4

2

 3a   bc  11. El resultado simplificado de la expresión  3 0   4   es:  b c   9a  2

 A)

1

b10

4 10

B) c b

c4

C)

b10

2

D)

2c 4 3b12

12. La expresión en forma de racional para el número 4.83  es:  A)

483 100

B)

479

C)

99

483 99

D)

479 100

13. El número 0.000 000 001 27 escrito en notación científica es:  A) 1270 ×10−12 B) 127 ×10−11 C) 12.7 ×10−10 14. El número 1 280 000 000 escrito en notación científica es:  A) 1.28 ×109 B) 12.8 ×108 C) 128 ×107 15. Usando las propiedades de los logaritmos, la expresión logb

D) 1.27 ×10−9

D) 1280 ×106 ( x −1 y 2 z )3 3

sumas y restas de logaritmos simples de la siguiente manera: 1

1

3

3

 A) −3log b x + 6log b y + 3logb z − log b t − log b w 1

1

3

3

B) 3log b x + 6log b y + 3log b z − log b t + log b w 1

1

3

3

C) −3logb  x + 6logb y + 3logb z − logb t + logb w 1

D) 3log b ( x −1 y 2 z ) + log b (tw) 3

16. El resultado de operar y simplificar i −1 + i −2   es:  A) −i − 1 B) i + 1 C) −i + 1

34

D)

i −3

tw

se puede escribir como

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD)

35

MONOMIOS Y POLINOMIOS EN UNA VARIABLE Introducción. En esta unidad se revisan las operaciones fundamentales con monomios y polinomios, tratando de entender y mecanizar las operaciones fundamentales del álgebra.

Objetivos: Después de trabajar esta unidad, debes comprender las operaciones con monomios y polinomios y serás capaz de aplicarlas correctamente en el planteamiento y solución de problemas propuestos y que más tarde te servirá para trabajar con funciones algebraicas.

Polinomios Una expresión algebraica  es una combinación de números, literales y operaciones entre ellos, como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación. Los términos  de una expresión algebraica son aquellos que se encuentran separados por los signos de suma y resta. Ejemplos 1. 7 + x 7 − y 4 z 3 tiene 3 términos 2. 7 +  x 7 y z − 23 y 4 z 3 −  x2

tiene 4 términos

El coeficiente absoluto de un término es el número que multiplica a las literales que pueden ser variables o constantes. El coeficiente relativo a una literal o literales puede ser un número o una literal o literales. Dos términos  son semejantes  si tienen las mismas literales elevadas a las mismas potencias y únicamente puede ser que difieran en los coeficientes absolutos. Ejemplos 1. La expresión 7 x 7 y 4 z 3  tiene coeficiente 7 2. En la expresión 7 x 7 y 4 z 3 , el coeficiente relativo a  x 7 z 3  es 7 y 4 el coeficiente relativo a  y 4 z 3  es 7 x 7 el coeficiente relativo a 7 y 4 z 3  es  x7 Un polinomio en la variable  x con coeficientes reales es de la forma an x n + an−1 x n−1 + an −2 x n−2 + ⋅⋅⋅ + a2 x 2 + a1 x + a0 , donde cada ai ∈   y n ∈  . Observación. De manera similar se define un polinomio en  x  con coeficientes enteros o racionales. 36

Ejemplos  A continuación continuación presentamos presentamos tres expresiones expresiones en una variable con coeficientes coeficientes enteros diferentes diferentes polinomios 1. 7 x 7 − x 4 + 3x3 − 4 x 2 + 2 x − 1

(polinomio con 6 términos)

2. 7 x 7 − x 4 − 4 x 2 + 3

(polinomio con 4 términos)

3. 4 x 2 + 3x  

(binomio)

Definición de monomio y polinomio Si el polinomio tiene un solo término, en particular puede ser llamado monomio; monomio; si tiene dos términos, en particular puede ser llamado binomio y binomio y si tiene tres términos, en particular puede ser trinomio; con cuatro o mas términos en general se dice que es un polinomio. llamado trinomio; Se le puede dar un nombre al polinomio, por ejemplo si  P( x ) = an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 x 2 + a1x + a0 leemos a  P( x)  como “el polinomio P en la variable x” ordenado de acuerdo a sus potencias, de manera creciente ó creciente ó Se dice que el polinomio  P( x)  está ordenado de decreciente. decreciente. Ejemplos 1.  P( x) = 7 x 7 − x4 + 3 x3 − 4 x2 + 2 x − 1 2. Q( x) = 4 − x + 6 x 2 − x 4 + 3x5

está ordenado de manera decreciente.

está ordenado de manera creciente.

Polinomio como f ( x ) . Sea an x n  el término del polinomio  P( x)  con la potencia máxima. Se dice que el grado de  P( x)  es n . Evaluar el polinomio  P( x) en  x = a   significa sustituir a  en donde originalmente aparece  x , se denota como  P(a)  y se lee “P de a”. Ejemplo 1. Evalúa a  P( x) = x4 + 3 x3 − 4 x2 + 2 x − 1 en  x = 1 , x = 0  y  x = − 2  P (1) = 14 + 3(1) 3 − 4(1) 2 + 2(1) −1 = 1  P (0  ) = 0 4 + 3(0) 3 − 4(0) 2 + 2(0) −1 = −1 1 6 − 4 − 1 = − 29  P ( −2) = ( −2) 4 + 3( −2)3 − 4(− 2)2 + 2(− 2) −1 = 16 − 24 − 16 37

Operaciones con polinomios Suma y resta Para sumar y restar polinomios se agrupan términos semejantes 

Ejemplo 1. Si  P( x) = x 4 + 3 x3 − 4 x2 + 2 x − 1  y Q( x) = 5 x 6 − 2 x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + 6 , entonces  P( x) + Q( x) = ( x 4 + 3 x3 − 4 x 2 + 2 x − 1) + (5 x 6 − 2 x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + 6) = 5 x 6 − x 4 − x3 + 2 x + 5 Multiplicación Para multiplicar polinomios se utiliza la ley distributiva del producto con respecto a la suma y se agrupan términos semejantes. 

Ejemplo 1. Si  P( x) = 4 x3 + 2 x − 1  y Q( x ) = 2 x 4 + 3 x , entonces  P( x)Q ( x) = (4 x3 + 2 x − 1)(2 x 4 + 3 x) =

= 8 x 7 + 12 x 4 + 4 x5 + 6 x 2 − 2 x 4 − 3x = 8 x 7 + 4 x5 + 10 x4 + 6 x 2 − 3 x 

División a) entre monomios b) un polinomio entre un monomio

Para los dos incisos anteriores trabajamos básicamente con las propiedades de las potencias y cada término del polinomio se divide entre el monomio. Ejemplos 1.

2.

3 x3

3

=  x 2

2 x

2

25 x 7 5 x

3

= 5 x 4

8 x9 + 4 x 7 + 7 x 6 + 6 x 4 − 3x3

3.

2 x 2

=

8 x9 2 x2

+

4 x7 2 x2

+

7 x6 2x2

+

6 x4 2x2

−

3x3 2x2

=

= 4 x7 + 2 x5 + 72 x 4 + 3x 2 + 32 x

c) Polinomio entre binomio y entre polinomio Para estos casos es conveniente ordenar los polinomios de manera descendente y si faltan potencias intermedias entre la mayor y la menor potencia del polinomio, se agregan con coeficiente igual a cero.

38

Ejemplos 7 5 4 2 7 6 5 4 3 2 1.  P( x) = 83 x + 2 x + 72 x + 3 x − 3 = 83 x + 0 x + 2 x + 72 x + 0 x + 3 x + 0 x − 3 2.  P ( x ) = 83 x 2 − 2 = 83 x 2 + 0 x − 2 3. Divide 5 x3 − 2 x + 3  entre  x + 1 : 5 x 2 − 5 x + 3  x + 1 5 x3 + 0 x 2 − 2 x + 3

−5 x3 − 5 x 2 ----------------−5 x 2 − 2 x 5 x 2 + 5 x --------------3 x + 3 −3 x − 3 -------------

Observación. Observación. Para dividir un polinomio entre otro polinomio, lo hacemos de la misma manera que para dividir enteros. 38 9 348

−27 -----78 −72

-----6

 Algoritmo de la división: c b a r  a = bc + r  

0

Algoritmo de la división para polinomios Sean  P( x)  y Q( x)  polinomios con coeficientes reales. Si se divide  P( x)  entre Q( x)  se obtiene un cociente C ( x)   y un residuo  R( x) , con gra grado de ( R( x)) < grad grado o de ( Q( x)) , de tal manera que  P( x) = Q( x) C( x) + R( x) . Observación. Sean  P( x) y Q( x)   polinomios con coeficientes reales. Si  P( x)   es divisible por Q( x)   entonces  P( x) = Q( x)C ( x) , entonces  R( x) = 0 ; es decir, la división es exacta. Sea  P( x) un polinomio con coeficientes enteros. Se dice que  P( x)  es factorizable en factorizable en los enteros si existen Q( x)  y C ( x)  polinomios con coeficientes enteros tales que  P( x) = Q ( x)C ( x) factores de  P( x) . En este caso se dice que Q( x)  y C ( x)  son factores de

39

Ejemplos Factoriza cada uno de los siguientes polinomios. 1. 5 x3 − 2 x + 3 = ( x + 1)(5 x 2 − 5 x + 3) 2. 3 x3 + 7 x 2 − 2 x + 4 = ( x 2 − 2 x + 1)(3 x + 13) + (21x + 1)  debido a que 3 x + 13  x 2 − 2 x + 1 3 x3 + 7 x 2 − 2 x + 4

−3 x3 + 6 x 2 − 3x ------------------13 x 2 − 5 x + 4 −13 x 2 + 26 x − 13 ---------------------21 x + 1

40

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. La resta de 6 x3 + x 2 − 8  menos 2 x 4 − 3x 2 + 6 x   es:  A) 2 x 4 + 6 x3 + 4 x 2 − 6 x − 8 B) −2 x 4 + 10 x 2 − 6 x − 8 C) −2 x 4 − 6 x3 − 4 x 2 − 6 x − 8

D) −2 x 4 + 6 x3 + 4 x 2 − 6 x − 8

2. El producto de 2 x 2 − 5 x + 4  por  x + 3  es:  A) 2 x3 − 11x 2 − 11x +12 B) 2 x3 + x 2 + 19 x + 12 C) 2 x3 − x 2 − 11x + 12

D) 2 x3 + x 2 − 11x + 12

3. Si se divide  x 4 − 2 x3 + 2 x − 1  entre  x 2 − 2 x + 1 , el cociente es:  A)  x − 1 B) − x 2 + 1 C)  x 2 − 1 D)  x 2 4. Si  P( x) = − x 4 + x3 − x 2 + x + 1  entonces el valor de  P (−2)  es :  A) 3 B) 29 C) -29 D) 21 5. El grado del polinomio  P( x) = ( x 2 − 4)( x + 2)5 ( x3 + 8) 2  A) 7 B) 12 C) 13 D) 16 6. Si  P( x) = k  donde k  es constante, entonces P (a )  es:  A) No definido B) k C) 0 D) a

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD) 41

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Introducción. El proceso de factorización es un concepto que es utilizado en varios temas de matemáticas, como por ejemplo en la solución de algunas ecuaciones de segundo grado o bien en desigualdades de segundo grado; por lo que se considera fundamental en este programa como en programas subsecuentes.

Objetivos. En esta unidad podrás realizar productos, llamados, notables de binomios, aprenderás el proceso de factorización, identificando aquellas que provienen de productos notables, realizarás diferentes métodos de factorización y encontrarás el m. c. m. de monomios y polinomios. Se revisará el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton para desarrollar binomios a cualquier potencia y se buscará un término específico de un desarrollo binomial.

Productos Notables. Son aquellos que se pueden realizar por simple inspección sin tener que realizar la multiplicación ya que estos cumplen con características particulares.

Binomio al cuadrado. Un binomio al cuadrado tiene la forma ( x + y ) 2  cuyo resultado se observa en la siguiente figura. El área del cuadrado de dimensiones x+y es: ( x + y) 2 = x 2 + 2 xy + y2

Ejemplos 1. (3 x + 2 y ) 2 = (3 x) 2 + 2(3 x)(2 y) + (2 y) 2 = 9 x 2 + 12 xy + 4 y 2 2. (5 x 2 − 2 y 3 )2 = (5 x 2 )2 + 2(5 x 2 )( −2 y 3 ) + ( −2 y 3 ) 2 = 25 x 4 − 20 x2 y3 + 4 y 6 3. (4 x 2 y 3 + 7 z 4 )2 = (4 x2 y3 )2 + 2(4 x2 y3 )(7 z4 ) + (7 z4 )2 = 16 x4 y6 + 56 x2 y3 z4 + 49 z 8

42

Binomios conjugados. Se llaman binomios conjugados a aquellos binomios que tienen la forma y que al multiplicarlos nos da como resultado (ax + b) y (ax − b) (ax + b )(ax − b ) = a 2 x 2 − b 2 Ejemplos 1. (3 x + 2)(3 x − 2) = 9 x 2 − 4 2. (9 x + 7)(9 x − 7) = 81x 2 − 49 1  3 1 9 1 3 3.   x −  x +  = x 2 − 5  2 5 4 25 2

Producto de binomios de la forma ( x + a)( x + d ) . El

resultado del producto 2 ( x + a )( x + d ) = x + ( a + d ) x + ad 

de

los

binomios

es

Ejemplos 1. ( x − 7)( x − 8) = x 2 + (−7 − 8) x + (−7)(−8) = x2 − 15 x + 56 2. ( x + 9)( x − 3) = x2 + (−9 + 3) x + (−9)(3) = x2 − 6 x − 27 3. ( x + 11)( x + 5) = x 2 + (11 + 5) x + (11)(5) = x2 + 16 x + 55

Binomio al cubo ( x + a)3 . El resultado de un binomio al cubo es: ( x + a)3 = x3 + 3 x 2 a + 3 xa2 + a3 Ejemplos 1. ( x + 7)3 = x3 + 3( x)2 (7) + 3( x)(7) 2 + (7)3 = x3 + 21 x2 + 147 x + 343 2. (3 x − 8)3 = x3 + 3(3 x)2 (−8) + 3(3 x)(−8) 2 + (−8)3 = x3 − 216 x2 + 576 x − 512 3.

(5 x 2 − 4 y 3 )3 = (5 x 2 )3 + 3(5 x2 )2 (−4 y3 ) + 3(5 x2 )( −4 y3 )2 + (−4 y3 )3 =

= 125 x 6 − 300 x 4 y3 + 400 x2 y6 − 64 y9

43

Factorización. El proceso de factorización consiste en expresar un polinomio como el producto de dos ó más factores, en algunas ocasiones los polinomios que se pretenden factorizar provienen de productos notables.

Trinomio cuadrado perfecto. Esta expresión se obtiene de un binomio al cuadrado, por lo que al factorizar se extrae las raíces de los extremos y se escribe como un binomio al cuadrado  x + 2 xy + y = 2

2

(

x + 2

y

2

)

2

= ( x + y)2

 x 2 − 2 xy + y 2 =

(

x2 −

y2

)

2

= ( x − y)2

Debes tener mucho cuidado en verificar que el término “cruzado” sea de la forma 2 xy Ejemplos 1. 9 x + 12 xy + 4 y = 2

2

(

9x + 4 y 2

2. 25 x − 20 x y + 4 y = 4

2

3

6

(

2

)

2

= (3x + 2 y ) 2 , observa que 12 xy = 2 ( 3x )( 2 y )

25 x − 4 y 4

3. 16 x 4 y 6 + 56 x 2 y 3 z 4 + 49 z 8 =

(

6

)

2

= (5 x2 − 2 y3 )2 , observa que −20 x 2 y 3 = 2 (5 x 2 )( −2 y 3 )

16 x 4 y 6 + 49 z 8

)

2

= (4 x2 y 3 + 7 z 4 ) 2 , observa que

56 x 2 y 3 z 4 = 2 ( 4 x 2 y 3 )( 7 z 4 )

Diferencia de cuadrados. Cuando se multiplica los binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados, por lo que al factorizar se extraen las raíces de los términos y se escriben como binomios conjugados,  x2 − y 2 =

(

x2 +

y2

)(

x2 −

)

y2 =  ( x + y )( x − y )

Ejemplos 1. 9 x 2 − 4 y 2 =

(

9 x2 − 4 y 2

2. 144 x 2 − 49 y 2 =

(

3. 64 x 2 y 2 − 169 z 2 =

44

)(

144 x 2 − 49 y 2

(

)

9 x2 + 4 y 2 = (3 x + 2 y)(3 x − 2 y )

)(

)

144 x 2 + 49 y 2 = (12 x + 7 y)(12 x − 7 y)

64 x 2 y 2 − 169 z 2

)(

)

64 x 2 y 2 + 169 z 2 = (8 xy +13 z)(8 xy −13 z )

Trinomio de la forma  x 2 + bx + c . Este trinomio proviene del producto de binomios de la forma ( x + a)( x + d ) y para poder factorizarlos se descompone en dos binomios de tal manera que el primer término de cada binomio es la raíz cuadrada de  x 2   y los segundos términos de cada binomio se buscan de dos números cuyo producto sea c  y la suma o diferencia nos de b. Ejemplos 1.  x 2 − 7 x + 12 = ( x − 4)( x − 3)  , ya que −4 − 3 = −7

 y

(−4)( −3) = 12

2.  x 2 − 5 x − 36 = ( x − 9)( x + 4)  , ya que −9 + 4 = −5

 y

( −9)(4) = −36

3.  x 2 − 17 x − 60 = ( x − 20)( x + 3)  , ya que −20 + 3 = −17

 y

(− 20)(3) = − 60

Cubo perfecto Este polinomio proviene del resultado de un binomio al cubo y para factorizarlo se extraen las raíces cúbicas de los extremos si el polinomio esta ordenado de mayor a menor grado con respecto una variable  x + 3 x a + 3 xa + a = 3

2

2

3

(

3

x + 3

3

3

a

3

)

= ( x + a)3

Ejemplos 1.  x + 21x + 147 x + 343 =

(

2.  x − 24 x + 192 x − 512 =

(

3

2

3

2

x + 343

3

x + − 512

3

3

3

3

3. 125 x − 300 x y + 240 x y − 64 y = 6

4

3

2

)

3

3

6

9

(

3

= ( x + 7) 3

)

3

= ( x − 8)3

125 x + −64 y 6

3

9

)

3

= (5 x 2 − 4 y 3 ) 3

Factor común. En el binomio ó polinomio proporcionado se observará cuales son los términos comunes y estos forman el primer factor de la factorización, el segundo se formará a través de la división del binomio ó del polinomio entre el término común. Ejemplos 1. Factorizar 5m 2 + 15m3 1er.factor 5m 2 2do.factor  por lo que:

5m 2 + 15m3 5m 2

= 1 + 3m

5m 2 + 15m3 = 5m 2 (1 + 3m )

45

2. Factorizar 144 x3 − 48 x 2 + 96 x 1er.factor 48 x 2do.factor

144 x 3 − 48 x 2 + 96 x

= 3 x 2 − x + 2

48 x

 por lo que: 144 x3 − 48x 2 + 96x = 48x (3x2 − x + 2)

3. Factorizar 12 x 2 y + 24 x3 y 2 − 36 x4 y3 1er.factor 12 x 2 y 2do. factor

12 x 2 y + 24 x 3 y 2 − 36x 4 y 3 2

12 x y

= 1 + 2 xy − 3x 2 y 2

 por lo que: 12 x 2 y + 24x 3 y 2 − 36x 4 y 3 = 12x 2 y (1 + 2xy − 3x 2 y 2 )

Factor común por agrupación de términos. En este tipo de factorizaciones se agrupan de dos en dos o de tres en tres los términos del polinomio y se factoriza a través de factores comunes. Ejemplos 1. Factorizar 20ax − 5bx − 2by + 8ay agrupando 20ax − 5bx

y

5 x(4a − b)

− 2by + 8ay y usando factor común 2 y(4 a − b) y nuevamente factor común

(4a − b)(5 x + 2 y)

∴ 20ax − 5bx − 2by + 8ay = (4 a − b)(5 x + 2 y) 2. Factorizar 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b agrupando 3ax − 2bx ; 3ay − 2by

; − 6 a + 4b

y usando factor común

 x(3a − 2b) ; y (3a − 2b) ; − 2(3a − 2b) y nuevamente factor común (3a − 2b)( x + y − 2)

∴ 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b = (3a − 2b )( x + y − 2)

3. Factorizar a 2b3 − n4 + a2 b3 x2 − n4 x2 − 3 a2 b3 x + 3 n4 x agrupando

a 2b3 − n 4

; a 2b3 x 2 − n 4 x 2

1( a 2b3 − n 4 ) ; x 2 (a 2b3 − n4 )

; − 3 a 2 b 3 x + 3n 4 x

y usando factor común

; − 3 x (a 2b3 − n 4 ) y nuevamente factor común

(a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3 x)

∴ a 2b3 − n 4 + a 2b3 x 2 − n 4 x 2 − 3a 2b3 x + 3n 4 x = (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x )

46

Suma o diferencia de dos potencias iguales. Para factorizar estas expresiones se extraen las raíces según la potencia, que forman parte del primer factor y después el segundo factor se escribe de acuerdo a los siguientes desarrollos  x 3 + y 3 = ( x + y)( x2 − xy + y2 )

; x3 − y3 = ( x − y)( x2 + xy + y2 )

 x 5 + y 5 = ( x + y)( x4 − x3 y + x2 y2 − xy3 + y4 )

; x5 − y5 = ( x − y)( x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4 )

 x 7 + y 7 = ( x + y)( x6 − x5 y + x4 y2 − x3 y3 + x2 y4 − xy5 + y6 )  x 7 − y 7 = ( x − y)( x6 + x5 y + x4 y2 + x3 y3 + x2 y4 + xy5 + y6 )

Ejemplos 1. Factorizar 8 x3 + 27 y3 8 x3 + 27 y 3 = ( 2 x + 3 y ) ( 4 x2 − 6 xy + 9 y 2 )

2. Factorizar 32 x5 − 243 y 5 32 x5 − 243 y 5 = ( 2 x − 3 y ) (16 x 4 + 24 x3 y + 36 x 2 y 2 + 54 xy 3 + 81 y 4 )

3. Factorizar  x 7 + 128 y 7  x7 + 128 y 7 = ( x + 2 y ) ( x 6 − 2 x5 y + 4 x 4 y 2 − 8 x 3 y 3 + 16 x 2 y 4 − 32 xy 5 + 64 y 6 )

Trinomio de la forma ax 2 + bx + c . Para factorizar este trinomio se busca dos números tales que multiplicados nos de ac y que sumados ó restados nos de b, para desglosar con dichos números el término bx  , posteriormente se realiza un factor común por agrupación de términos. Ejemplos 1. Factorizar 2 x 2 + 11x + 5 (2)(5) = 10 y los números que multiplicados nos de 10 y sumados nos de 11 son 10 y 1 2 x 2 + 10 x + 1x + 5 = 2 x( x + 5) + 1( x + 5) = ( x + 5)(2 x + 1)

2. Factorizar 3 x 2 + 7 x − 6 (3)( −6) = −18 y los números que multiplicados nos de − 18 y restados nos de 7 son 9 y − 2 3 x 2 + 9 x − 2 x − 6 = 3 x ( x + 3) − 2( x + 3) = ( x + 3)(3 x − 2) 47

3. Factorizar 7 x 2 − 23 x + 6 (7)(6) = 42 y los números que multiplicados nos de 42 y sumados nos de − 23 son − 21 y − 2 7 x 2 − 21x − 2 x + 6 = 7 x ( x − 3) − 2( x − 3) = ( x − 3)(7 x − 2)

Mínimo común múltiplo de dos polinomios . Se descomponen las expresiones en sus factores primos y el m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos 1. Hallar el m.c.m. de 36a 2 , 4ax − 12ay 36a 2 = 62 a 2

; 4ax − 12ay = 4 a ( x − 3 y )

∴ el m.c.m 62 a 2 ( x − 3 y ) = 36a 2 ( x − 3 y )

2. Hallar el m.c.m. de 2a 2 + 2ab , 4a 2 − 4ab 2a 2 + 2ab = 2a ( a + b) ; 4a 2 − 4ab = 4a ( a − b )

∴ el m.c.m 4a ( a + b) ( a − b) = 4a (a 2 − b 2 )

3.- Hallar el m.c.m. de  x 2 + x − 2 ; x 2 − 4 x + 3 ; x2 − x − 6  x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1) ; x2 − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1) ;

∴

x2 − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)

el m.c.m. ( x − 1)( x + 2)( x − 3)

Triángulo de Pascal Consiste en un arreglo triangular que permite conocer los coeficientes de los términos de un n desarrollo binomial elevados a una potencia entera positiva ( x + y ) 1 1 1 1 1 1

48

2 3

4 5

1 1 3 6

10

1 4

10

1 5

1

Ejemplos 1. Desarrolla (2 x + 3)3  usando el triangulo de pascal (2 x + 3)3 = 1(2 x )3 + 3(2 x )2 (3) + 3(2 x )(3) 2 + 1(3) 3 = 8 x3 + 36 x2 + 54 x + 27 2. Desarrolla (4 x − 5) 4  usando el triangulo de pascal (4 x − 5) 4 = 1(4 x)4 + 4(4 x)3 ( −5) + 6(4 x) 2 ( −5) 2 + 4(4 x)( −5)3 + 1( −5) 4 = 256 x 4 − 1280 x3 + 2400x 2 − 2000x + 625

3. Desarrolla ( x + 6)5  usando el triangulo de pascal ( x + 6)5 = 1( x) 5 + 5( x) 4 (6) + 10( x) 3 (6) 2 + 10( x) 2 (6)3 + 5( x)(6) 4 + 1(6) 5 =  x5 + 30 x 4 + 360 x3 + 2160 x2 + 6480x + 7766

Binomio de Newton El binomio de Newton nos permite elevar binomios a cualquier potencia ( x + y )n = x n + nx n −1 y +

n(n − 1)

x n−2 y 2 +

2! n ! = n ( n − 1)( n − 2 )( n − 3)

Nota.-

n(n − 1)( n − 2)

x n −3 y 3 +

n( n − 1)( n − 2)( n − 3)

3! 4! se llama factorial del número n

x n −4 y 4 + 

2! = 2(1) = 2 3! = 3(2)(1) = 6 4! = 4(3)(2)(1) = 24

Ejemplos 1. Desarrolla (2 x + 3)3  usando el binomio de Newton 3

3

( 2 x + 3) = ( 2 x ) + 3(2 x)2 (3) +

3(2) 1(2)

(2 x)1 (3) 2 +

3(2)(1) 1(2)(3)

(2 x)0 (3)3 =

= 8 x3 + 36 x 2 + 54 x + 27

2. Desarrolla (4 x − 5) 4  usando el binomio de Newton 4 4 ( 4 x − 5) = ( 4 x ) + 4(4 x)3 (−5) +

4(3) 1(2)

(4 x)2 (−5)2 +

4(3)(2) 1(2)(3)

(4 x) (−5)3 +

4(3)(2)(1) 1(2)(3)(4)

(4 x)0 (−5) 4 =

= 256 x 4 − 1280 x3 + 2400x2 − 2000x + 625

49

3. Desarrolla (2 x + 1)−1  usando el binomio de Newton −1

(2 x + 1) −1 = ( 2 x ) + (−1)(2 x) −2 (1) +

=

1 2 x

−

1 4x2

+

1 8 x3

−

1 16 x 4

( −1)( −2) 1(2)

(2 x) −3 (1) 2 +

( −1)( −2)( −3) 1(2)(3)

(2 x) −4 (1)3 + ... =

+ ... estedesarrrollonos genera una serie infinita

Término específico de un desarrollo binomial ( x + y)n tr  =

n(n − 1)( n − 2)  hasta r − 1  factores 1(2)(3)  hasta r −1 factores

x n− ( r −1) y r −1 , donde t r   es el término específico,

r  es el número del término buscado y n es el exponente del binomio.

Ejemplos 1. Encuentra el 4° término de como r = 4 y n = 6∴ tr  =

(3 x − 2 y )6 6(5)(4) 1(2)(3)

( x 2 − 2 y)10

2. Encuentra el 7° término de como r = 7 y n = 10 ∴ tr  =

3. Encuentra el 6° término de

como r = 6 y n = 8 ∴ tr  =

50

(3x )6−3 (− 2 y )3 = 20(3x )3 (− 2 y )3 = − 4320 x3 y3

10(9)(8)(7)(6)(5) 1(2)(3)(4)(5)(6)  y    2 x − 2   

( x 2 )10−6 (−2 y) 6 = 210( x 2 ) 4 ( −2 y) 6 = 13440 x8 y 6

8

8(7)(6)(5)(4) 1(2)(3)(4)(5)

5

(2 x)

8 −5

5

y 448 3 5   y  3 3 5  − 2  = 56(2 x)  − 2  = − 32 x y = −14 x y    

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 2

1. El resultado de ( 5 x − 7 )  es:  A) 25 x 2 − 49

C) 25 x 2 − 70 x + 49

B) 10 x 2 − 14

D) 25 x 2 + 70 x + 49

2

2. El resultado de ( 9 x 2 − 5 y )  es:  A) 81 x 4 − 25 y 2

C) 81 x 4 + 90 x2 y + 25 y 2

B) 18 x 4 − 10 y 2

D) 81 x 4 − 90 x2 y + 25 y 2

3. El resultado de (11 x − 6 )(11x + 6)  es:  A) 121 x 2 + 36

B) 22 x + 12

C) 121 x − 36

D) 121 x 2 − 36

4. El resultado de ( 9 x − 4 )( 9 x + 4 )  es:  A) 81 x 2 + 16

B) 18 x + 8

C) 81 x − 16

D) 81 x 2 − 16

5. Al multiplicar ( x − 13)( x + 7 )  el resultado es:  A)  x 2 − 6 x − 91

B)  x 2 + 6 x − 91

6. El resultado de (4 x − 7)3  es:  A) 64 x3 − 343 C) 64 x3 + 336 x 2 + 588 x + 343

C)  x 2 − 6 x + 91

B) 64 x3 − 336 x 2 + 588 x − 343 D) 12 x3 − 21

7. Al factorizar 64 x 2 − 144 x + 81   tenemos: 2 2  A) ( 8 x + 9 ) B) ( 8 + 9 x ) 8.La factorización de 225 x 2 − 169  es: 2  A) (15 x − 13) B) (15 x − 13)(15 x − 13) 9. Al factorizar 49 x 2 − 42 x + 9   tenemos: 2 2  A) ( 7 x − 3) B) ( 7 + 3 x ) 10. La factorización de 144 x 2 − 100  es: 2  A) (12 x − 10) B) (12 x − 10 )(12 x − 10)

D)  x 2 − 91

C) ( 8 x − 9 )

2

C) (15 − 13 x )(15 − 13x )

C) ( 7 x + 3)

2

C) (12 − 10 x )(12 − 10 x )

11. Al factorizar  x 2 − 17 x − 60  el resultado es:  A) ( x + 20 )( x + 3) B) ( x − 20 )( x − 3)

D) ( 8 x + 9 )( 8 x − 9 )

D) (15 x − 13)(15x + 13)

D) ( 7 x + 3)( 7 x − 3)

D) (12 x − 10 )(12 x + 10)

C) ( x − 20 )( x + 3)

D) ( x + 20 )( x − 3) 51

12. Al factorizar 343 x3 + 1176 x 2 + 1344 x + 512  el resultado es: 3 3 3 3  A) ( 7 x − 8) B) ( 7 x + 8) C) ( 7 + 8 x ) D) ( 7 − 8 x ) 13. La factorización de 49 x3 − 343 x 2  es:  A) 7 x3 ( 7 x − 49) B) 49 x 2 ( x − 7 ) C) 49 x ( x 2 − 7 x )

D) 7 x ( 7 x 2 − 49 x )

14. Al factorizar 10 x 2 − 4 x + 35 x − 14  el resultado es:  A) ( 2 x + 7 )( 5 x − 2) B) ( 2 x − 7 )( 5 x + 2 ) C) ( 2 x + 7 )( 5 x + 2) 15. Al factorizar 343 x3 + 512  el resultado es: 3 3  A) ( 7 x + 8) B) ( 7 x − 8) C) ( 7 x + 8) ( 49 x 2 − 56 x + 64 ) 16. La factorización de 10 x 2 + 13 x − 3  es:  A) ( 5 x − 1)( 2 x + 3) B) ( 5 x + 1)( 2 x − 3)

D) ( 2 x − 7 )( 5 x − 2)

D) ( 7 x − 8 ) ( 49 x 2 + 56 x + 64 )

C) ( 5 x − 1)( 2 x − 3)

D) ( 5 x + 1)( 2 x + 3)

17. Encuentra el m.c.m. de  x 2 − 2 x − 35 , x 2 − 9 x + 14 , x2 + 3x − 10  A) ( x + 2 )( x + 5 )( x + 7 ) B) ( x − 2 )( x + 5 )( x − 7 ) C) ( x − 2 )( x − 5)( x − 7 )

D) ( x + 2 )( x + 5)( x − 7 ) 7

18. En un desarrollo binomial de ( 5 x − 9 )  el número de términos es :  A) 7 B)6 C) 8 D) 2 4

19. Los coeficientes del desarrollo ( x + y ) son:  A) 1, 4,1 B) 1,4,4,1 C) 1,4,6,4,1

D) 4,6,4

12

1  20. El quinto término de  5 x −   es: 5  8  A) 309 375 x B) −309 375 x8

52

C) 309 375 x12

D) 309 375 x5

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD)

53

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES Introducción. En muchas ocasiones es conveniente primero factorizar antes que realizar operaciones, en esta parte utilizaremos algunos casos de factorización que fueron revisados en la unidad anterior, por otro lado se repasarán las leyes de los exponentes para aplicarlas en el manejo de los radicales, enfatizando el proceso de racionalización.

Objetivos. En esta unidad se revisará el teorema del residuo y teorema del factor, aquí aprenderás a realizar divisiones de polinomios entre binomios lineales a través de la división sintética, efectuarás operaciones con fracciones algebraicas y radicales, por último aprenderás a realizar operaciones utilizando números complejos.

Teorema del residuo. Si un polinomio P(x) se divide entre x-a, siendo a un número real, el residuo es P(a) Ejemplos 1. Encuentra el residuo de

3 x 2 + 4 x − 5  x − 6

 por medio del teorema del residuo.

Como  P ( x) = 3 x 2 + 4 x − 5 entonces

P (6) = 3(6)2 + 4(6) − 5 = 127

∴ el residuo es 127

2. Encuentra el residuo de

2 x3 − 3 x 2 + 7 x − 5  x + 2

 por medio del teorema del residuo.

Como  P ( x) = 2 x 3 − 3x 2 + 7 x − 5 entonces

P ( −2) = 2( −2) 3 − 3( −2) 2 + 7( −2) − 5 = −47

∴ el residuo es − 47

3. Encuentra el residuo de

5 x 4 + 3 x3 − 2 x 2 + 4 x − 6  x + 3

Como  P ( x) = 5 x 4 + 3 x3 − 2 x2 + 4 x − 6 entonces

 por medio del teorema del residuo. P (−3) = 5(−3)4 + 3(−3)3 − 2(− 3)2 + 4(− 3) − 6 = 288

∴ el residuo es 288

Teorema del factor . Un polinomio P(x) es divisible entre ( x − a )  si y solo si P(a)=0

54

Ejemplos 1. Demuestra que  x+2 es un factor de  P( x) = x 2 + 5 x + 6 ∴ como el residuo es cero entonces x + 2 es factor de P (x )  P (−2) = (−2) 2 + 5(−2) + 6 = 0 2. Demuestra que  x-4  es un factor de  P( x) = x3 − 13x −12 ∴ como el residuo es cero entonces x − 4 es factor de P (x )  P (4) = (4)3 − 13(4) − 12 = 0 3. Demuestra que  x+5  es un factor de  P( x) = x3 − 3x 2 − 28 x + 60  P (−5) = (−5)3 − 3(−5) 2 − 28(−5) + 60 = 0 ∴ como el residuo es cero entonces    x + 5 es factor de P ( x )

División sintética (división entre un binomio)

 Analizaremos sólo el caso de dividir entre  x ± c La división sintética consiste en tomar los coeficientes tanto del dividendo y del divisor y por comodidad, el dividendo y el divisor se ordenan de manera descendente. La idea es suponer que el binomio  x ± c  es factor del polinomio y entonces cambiarle el signo al número c . Ejemplos 1. Realiza la siguiente división a través de una 3 x 2 + 5 x − 6 división sintética  x − 4 4

3

+5 + 12

−6 + 68

3

+ 17

+ 62

el resultado es

3 x 2 + 5 x − 6

 x − 4

= 3 x + 17 +

62

x−4

Se baja el primer coeficiente del polinomio al tercer renglón, y se multiplica por c , el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente del polinomio y se suman entre sí, el resultado se coloca en la segunda columna y el tercer renglón, así mismo este resultado se multiplica por c  nuevamente y se siguen los pasos anteriores para las siguientes columnas. El último número que aparece en el tercer renglón es el residuo y, los números restantes en el tercer renglón son los coeficientes del cociente.

2. Realiza la siguiente división a través de una división sintética −2

1

−2 −2

+3 +8

−5 − 22

1

−4

+ 11

− 27

 x3 − 2 x 2 + 3 x − 5  x + 2

55

El resultado es

 x3 − 2 x 2 + 3 x − 5  x + 2

= x 2 − 4 x + 11 −

27 x+2

3. Realiza la siguiente división a través de una división sintética

3

2

+3 +6

−3 + 27

+6 −5 + 72 + 234

2

+9

+ 24

+ 78

El resultado es

2 x 4 + 3 x3 − 3 x2 + 6 x − 7  x − 3

+ 229

2 x 4 + 3 x3 − 3 x2 + 6 x − 7

 x − 3

= 2 x3 + 9 x 2 + 24 x + 78 +

229

x−3

Simplificación de fracciones algebraicas . Consiste en factorizar los términos del numerador y del denominador para poder simplificar dicha fracción. Ejemplos 45 x 3 y 2

1. Simplifica la siguiente expresión 45 x 3 y 2 5 xy

2

=

9(5) xx2 y 2 5 xy

2

5 xy 2

= 9 x 2 4b 2 + 4b + 1

2. Simplifica la siguiente expresión

4b 2 − 1

4b 2 + 4b + 1 4b − 1 2

3. Simplifica la siguiente expresión

=

(2b + 1)(2b + 1) (2b + 1)(2b − 1)

=

2b + 1 2b − 1

 x 2 − 9  x 2 − 11x + 24

 x 2 − 9  x 2 − 11x + 24

=

( x − 3)( x + 3)

( x − 3) ( x − 8)

=

x+3 x −8

Operaciones con fracciones algebraicas. En el manejo de fracciones algebraicas usaremos los procedimientos utilizados con números tratando siempre de simplificar primero y posteriormente realizar operaciones. a c a+c Suma ó resta con el mismo denominador.- + = b

56

b

b

Suma ó resta con diferente denominador.a c e

Multiplicación División

a b

÷

bd f c ad  

d

=

bc

ace

...... =

bdf    

a b

+

c d

=

ad + bc bd  

(se recomienda primero simplificar)

 (se recomienda primero indicar el producto ad y bc  sin efectuar la

multiplicación, simplificar y después realizar las operaciones) Ejemplos 1.

2.

3  x − 1 2  x − 1

+

+

6 x + 2

−

x −1 3 x2 −1

=

7( x + 2) x −1

=

3 + 6 x + 2 − 7 x −14

2( x + 1) + 3 x2 − 1

x −1

=

=

−x − 9 x −1

2x + 5 x2 −1

7 xy x 2 − 16 7 xy ( x − 4 )( x + 4 ) y ( x + 4 ) = = 3.   x − 4 35 x 35 x ( x − 4 ) 5 ( x − 5)( x + 5) ( x + 5 ) ( x − 2)  x 2 − 25 x 2 + 3 x − 10 = = x − 5 4.  2  x − 2 x + 10 x + 25 ( x − 2 )( x + 5 ) ( x + 5)

( x − 1) ( x 2 − 4) ( x − 1)( x − 2 ) ( x + 2) x − 2 5. ÷ = = =  x + 2 x 2 − 4 ( x + 2 ) ( x 2 − 1) ( x + 2 )( x − 1)( x + 1) x+1  x − 1

x2 − 1

1

6. 1−

1 1+

1

= 1 a

1−

1 a +1

1

= 1−

a a +1

=

1 = a +1− a a +1

1 1

= a +1

a +1

a

Operaciones con radicales Radicales. Para realizar operaciones con radicales es necesario que tengas en cuenta las leyes de los exponentes.

57

a m a n = a m+n am a

n

= a m− n si a ≠ 0 n

( a m ) = a mn n

am = a m/ n

1 a

m

= a − m si a ≠ 0

a 0 = 1 si a ≠ 0

Simplificación de radicales. Un radical esta simplificado si esta expresado en su forma más simple es decir cuando el subradical es entero y del menor grado posible. -

Suma y resta.- Estas operaciones solo se realizan con radicales semejantes con lo cual solo se suman ó restan los coeficientes. Multiplicación.- Para realizar esta operación se utiliza la propiedad : m ab = m a m b

-

División.- Para realizar esta operación se utiliza la propiedad:

m

a b

Ejemplos. Simplifica y realiza las siguientes operaciones con radicales 1.

81 x 5 y 7 = 3 333 x3 x2 y6 y = 3 xy2 3 3 x2 y

3

2

(

2.  x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4) = ( x − 4 ) 3

3.

4.

12

729 x

(

= (3 x 6

12

1/ 3 1/ 2

)

)

2

1/ 2

)

1/ 6

= ( 36 x12 )

= x−4

= 36 / 6 x12 / 6 = 3 x2

3 20 − 45 + 2 125 = 3 4(5) − 9(5) + 2 25(5)

= 3(2) 5 − 3 5 + 2(5) 5 = 6 5 − 3 5 + 10 5 = 13 5 2

5. ( 2 − 3 )( 4 − 3 ) = 8 − 2 3 − 4 3 + ( 3 ) = 8 − 6 3 + 3 = 11− 6 3 3

6.

58

3

250 x 6

−2 x

3

=

3

250 x6

−2 x

3

= 3 −125 x3 = −5 x

=

m

a

m

b

Racionalización de radicales . Cuando en una división de radicales se quiere eliminar éste del denominador se utiliza este proceso, que consiste en multiplicar y dividir la fracción por el radical que se quiere eliminar. Si el denominador es un binomio se utiliza su binomio conjugado para realizar la racionalización. Ejemplos. Racionaliza las siguientes expresiones 1.

10 5

=

10 5

5



5

=

10 5 5

=2 5

(

)

1 − x 1 − x (1 − x ) 1 − x 2.  = = = 1 −  x 1 − x 1 +  x 1 + x 1 − x 1 −  x

3.

3− 2 3 4−2 3

=

3 − 2 3 4 + 2 3 12 + 6 3 − 8 3 − 4(3) − 2 3 3 = = =−  16 − 4(3) 4 2 4− 2 3 4+ 2 3

Operaciones con números complejos. -Suma ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i -Multiplicación ( a + bi )( c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i -División. Se utiliza el procedimiento de racionalización para dividir números complejos. Recuerda que i = −1 i = i 5 = i9 = i13 = ........ = i i 2 = i 6 = i10 = i14 = ........ = −1 i 3 = i 7 = i11 = i15 = ........ = − i i 4 = i8 = i12 = i16 = ........ = 1

Ejemplos 1. ( 2 + 3i ) + ( −6 + 4i ) = ( 2 − 6) + ( 3i + 4i ) = − 4 + 7i 2. ( −7 + 3i )( 4 − 5i ) = −28 + 35i + 12i − 15i2 = − 28 + 47i − 15(− 1) = − 13+ 47i 2 + 5i

2 + 5i 2 + i 4 + 2i + 10i + 5i2 4 + 12i + 5(− 1) − 1+ 12i 1 12 3.  = = = = =− + i 2 2−i 2−i 2+i 4−i 4 − (−1) 5 5 5

59

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de  A) 30

B) 18

C) 6

B) -3

 x + 2

D) -10

2. Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de  A) 61

5 x 2 − 3 x + 4

C) -107

3 x3 − 2 x 2 + x − 5

B) 13

4. La simplificación de  A) 13 x3 y 2

 x − 11  x + 5

 x + 7  x + 5

B)

B)

2 x − 5 4 x − 1

B)

60

2 x − 6

 x + 8

B)

C)

2 x 2 − 11x − 21

 x + 5

C)

6 x 2 − 13x − 5

12 x 2 + x − 1 2 x + 5 4 x + 1

 x − 11  x − 5

D)

 x + 11  x + 5

  es:

 x − 5

D)

 x + 7  x − 5

  es:

C)

2 x − 5 4 x + 1

4 x 3 − 20 x 2 − 96 x

C)

D)

2 x + 5 4 x − 1

  es:

2 x 3 − 128 x 2 x + 6 2 x − 6

 x − 8

D) 13 x3 y 4

  es:

2 x 2 + 13x + 15  x − 7  x − 7

8. La simplificación de  A)

 x 2 − 121

 x − 5

7. La simplificación de  A)

  es: C) 13 x 7 y 2

 x − 8

D)

2 x + 6

 x + 8

:

2 x 4 − x3 + 3 x2 − 4 x + 3

D) -3

 x 2 − 6 x − 55  x + 11

6. La simplificación de  A)

13 x −2 y

B) 13 x 7 y 4

5. La simplificación de  A)

C) 3 169 x 5 y 3

 x − 3

D) 107

3. Encuentra el residuo a través del teorema del residuo de  A) -13

:

 x + 1

:

a

9. Realiza la siguiente operación  A) −

ax  x − a 2

−

ax

B)

2

 x − a

 x − a 2

B)  x + y

x2 − a2 2ax

C) −

2

C) −

 x − a 2

D)

 x + y

a b 11. Realiza la siguiente operación 1 1+ b a  A) a B) a(b + 1) C) b +1

D)

2

y  x2     x − x  x+ y 1

  x 10. Realiza la siguiente operación  −   y

 A)  x − y

a2 2ax  x − a 2 2

1  x − y

a+

D)

12. Realiza la siguiente operación

(

 A) − ab

C) −2 ab

B) 2 ab

13. Realiza la siguiente operación  A)

2

B)

2

2

a− b

)

2

 A)

22 41

−

7i 41

B)

22 41

+

7i 41

16. Realiza la siguiente operación  A) 1 + 3i

B) 3 − i

D)

ab

D)

2

4  x 2 x

14. Realiza la siguiente operación (7 + 8i)(5 − 6i)  A) 83 − 2i B) 83 + 2i C) 35 − 48i 15. Realiza la siguiente operación

a +1

− ( a + b)

C) 2 2

2

b

D) 35 + 48i

3 − 2i 4 − 5i 22

C) −

41

+

7i 41

D) −

22 41

−

7i 41

7−i 1 + 2i C) 1 − 3i

D) 3 + i

61

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD)

62

ECUACIONES Y DESIGUALDADES Introducción. El resolver ecuaciones lineales es de mucha importancia en los tres años de Preparatoria, encontrarás ecuaciones lineales en muchos problemas de álgebra, en quinto año hay una unidad llamad ecuación general de primer grado, donde tendrás que manipular muchas ecuaciones y en sexto año en casi todo el año tienes que resolver ecuaciones. Las ecuaciones de segundo grado son igual de importantes y aparecen también en muchos temas de los programas de estudio. Por ello esta unidad es muy importante, te recomendamos tomarte tu tiempo y resolver todas las ecuaciones paso por paso para identificar los posibles errores que puedas tener.

Objetivo. En esta unidad aprenderás a resolver ecuaciones de primer y segundo grado así como desigualdades de primer y segundo grado.

Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Una identidad  es aquella igualdad que se satisface para todos los valores de las variables para los que están definidos ambos miembros. Llamamos ecuación a la igualdad que se satisface con los valores posibles de las variables para los que están definidos los miembros de la ecuación. Cada elemento que es solución de la ecuación es una raíz de la ecuación. La ecuación lineal o de primer grado con una incógnita, tiene una sola raíz. Una ecuación es de primer grado, si todas las variables que están en ella tienen exponentes iguales a 1, y ningún término de la ecuación tiene más de una variable como factor. Propiedades de las igualdades Para comenzar a trabajar con las herramientas que necesitamos para resolver ecuaciones lineales partamos de un ejemplo: La expresión  x   – 3 = 10, es una ecuación que tiene por solución,  x   = 13. Este es el único valor y para ningún otro se satisface. Por lo tanto el conjunto solución es {13} Para encontrar la o las soluciones necesitas usar algunas de las siguientes propiedades.

i. De la suma:  si a, b y c ∈ , y si a = b, entonces a + c = b + c ii. De la multiplicación y división :  si a, b y c ∈  , c ≠ 0, y si a = b, entonces a (c ) = b (c )

ó ó

a −c = b −c a c

=

b c

iii. Conmutativa: para a, b ∈  ,

a+b=b+a y ab=ba

iv. Asociativa: para a, b, c ∈ 

en la adición (a+b)+c=a+(b+c)  en el producto (ab)c=a(bc)

v. Distributiva: para a, b, c ∈ 

, a(b+c)=ab+ac 63

vi. Elemento Inverso: si a ∈ 

Aditivo ó Simétrico a+(-a)=0 1 Multiplicativo ó Recíproco: a   =1 a vii. Elemento Identidad: si a ∈    Adición: a+0=a Multiplicación: a(1)=a

Ecuaciones de primer grado en una variable Para resolver una ecuación de primer grado  tienes que despejar a la variable en cuestión casi siempre es  x , utilizando las propiedades de la igualdad, realizando operaciones que te permitan llegar a la forma x = a. Puedes simplificar suprimiendo signos de agrupación, denominadores, si los hay, y después puedes reducir términos semejantes. Aplica las propiedades de la igualdad a la ecuación equivalente obtenida. Agrupa de un lado del igual los términos que contienen a la variable y del otro los que no y continúa despejando hasta tener a la variable con coeficiente uno. Ejemplo 1. La raíz de la ecuación 5 x − 4 ( 3x − 5) = 3( 2 x + 4) − 7 es: 5 x − 4 ( 3x − 5) = 3 ( 2 x + 4) − 7 5 x − 12 x + 20 = 6 x + 12 − 7

− 7 x − 6 x = 5 − 20 − 13 x = −15 −15  x = −13  x =

15 13

Ecuación de segundo grado Resolución de una ecuación de segundo grado Se llama ecuación de segundo grado en una variable o incógnita, a la expresión cuya forma general es ax 2 + bx + c = 0 . Para resolver una ecuación de segundo grado, tendrás que hallar las raíces de la ecuación. Una raíz es el valor de la incógnita que satisface a la ecuación. Las ecuaciones de segundo grado tienen 2 raíces.

Los métodos de solución más comunes son: a. Factorización. b. Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto. c. Fórmula General. 64

a. Resolución por medio de la factorización Para resolver una ecuación de segundo grado por medio de la factorización debemos precisamente factorizar el polinomio de segundo grado con los métodos vistos anteriormente: factor común, diferencia de cuadrados, etc. Ejemplo 1. Resuelve la ecuación  x 2 + 5 x − 14 = 0 por factorización:  x 2 + 5 x − 14 = 0 ( x + 7)( x − 2) = 0

 x + 7 = 0

x−2= 0

y

 x1 = −7

x2 = 2

2. Resuelve la ecuación 2 x 2 − 14 = 0 por factorización: 2 x 2 − 14 = 0 2( x 2 − 7) = 0

( x − 7 )( x + 7 ) = 0  x − 7 = 0  x1 = 7

y

x+ 7 =0 x2 = − 7

3. Resuelve la ecuación  x 2 − 6 x = 0 por factorización:  x 2 − 6 x = 0  x( x − 6) = 0  x = 0  x1 = 0

y

x−6 = 0 x2 = 6

b. Resolución Completando un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) Para resolver una ecuación de segundo grado completando un TCP podemos seguir los siguientes pasos: 1. Agrupar términos semejantes, los que contengan la incógnita colócalos en el primer miembro de la igualdad y el término independiente, en el segundo miembro. 2. Si el coeficiente del término cuadrático es diferente de 1 debes dividir toda la ecuación por dicho coeficiente; si es 1 continúa con el paso 3. 3. Se completa el Trinomio Cuadrado Perfecto, agregando en ambos miembros el término 2

 b     y se factoriza el TCP como un binomio al cuadrado.  2  4. Se despeja x .

65

Ejemplo 1. Resolver la ecuación  x 2 + x − 5 = 0 completando un TCP:  x 2 + x − 5 = 0

(ecuación)

 x 2 + x = 5

(paso 1) 2

1 1  x + x +   = 5 +   2 2

2

2

(paso 3 pues el coeficiente de x2 es 1)

2

 1  21  x + 2  = 4    x +

1 2

 x1 =

21

=±

4 21 2

(paso 4, despejar  x )

4

21

 x = ±

(paso 3)

−

−

1 2

1

x2 = −

y

2

21 2

−

1 2

c. Resolución mediante la Fórmula General En las ecuaciones de la forma, ax 2 + bx + c = 0 , puedes identificar los valores de a: coeficiente de  x 2 b: coeficiente de  x c : término independiente y sustitúyelos en la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado:

 x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3 x 2 − 7 x + 4 = 0 por fórmula general: 3 x 2 − 7 x + 4 = 0

a = 3, b = − 7 y c = 4 2

 x =  x =  x =  x1 = 66

−(−7) ± ( −7 ) − 4(3)(4) 2(3) 7 ± 49 − 48 6 7± 1 6 7 +1 6

=

8 6

=

4 3

y

x2 =

7 −1 6

=

6 6

=1

Desigualdad de primer grado en una variable Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es > mayor que < menor que ≥  mayor o igual que y ≤  menor o igual que otra cantidad, tal como lo son dos números, en la recta numérica. Propiedades de las desigualdades, si a, b, c ∈  1.- Si a los dos lados de una desigualdad se le suma o resta por una misma cantidad el símbolo de la desigualdad no cambia. si a > b ; a + c > b + c ó a − c > b − c   si a < b ; a + c < b + c ó a −c b

y

c > 0;

ac > bc

ó

si a < b

y

c > 0;

ac < bc

ó

si a ≥ b

y

c > 0;

ac ≥ bc

ó

si a ≤ b

y

c > 0;

ac ≤ bc

ó

a b > c c  a b c a c a c

< ≥ ≤

c  b c  b c 

3.- Si a los dos lados de una desigualdad se le multiplica o divide por una misma cantidad negativa el símbolo de la desigualdad cambia de sentido. si a > b

y

c < 0  ;

ac < bc

ó

si a < b

y

c < 0  ;

ac > bc

ó

si a ≥ b

y

c<0;

ac ≤ bc ó

si a ≤ b

y

c < 0  ;

ac ≥ bc

ó

a b < c c  a b > c c 

a b ≤ c c  a c

≥

b c 

Resolución de una desigualdad de primer grado Resolver una desigualdad significa hallar los valores de las incógnitas que la satisfacen, empleando la adición, sustracción y multiplicación, así como se hace en las ecuaciones; a través de las siguientes propiedades: 67

Intervalos. Una desigualdad lineal en una variable, posee más de un elemento en su conjunto solución, llamado intervalo solución. 

Intervalo abierto

( a, b )

a< x
(a ∞)

a < x  < ∞

,

( −∞ b ) − ∞ < x < b ,



Intervalo cerrado

[a b ] ,





a≤x ≤b

Intervalo semicerrado a, b )

a≤ x
a, ∞ )

a ≤ x  < ∞

Intervalo semiabierto

( a b] ,

( −∞ , b ]

a< x≤b

−∞ < x ≤ b

Ejemplos 1. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad 8 x − 16 < 2 x − 12 8 x − 16 < 2 x − 12 8 x − 2 x < −12 + 16 6 x < 4  x <  x <

4 6 2 3

2  Por lo tanto el conjunto solución es  −∞ ,  3 

68

2. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad −2≤

5 − 2 x 7

−2 ≤

5 − 2 x 7

<4

−2(7) ≤ 5 − 2 x −14 ≤ 5 − 2 x −14 − 5 ≤ − 2 x −19 ≤ −2 x −19 ≥  x −2

;5 − 2 x < 4(7)

19

;x >−

2

<4

;5 − 2 x < 28 ; −2 x < 28 − 5 ; −2 x < 23 ;x >

≥  x

23

−2 23 2

 23 19  ,  2 2 

Por lo tanto el conjunto solución es  −

Desigualdades de segundo grado Resolución de una desigualdad de segundo grado. Una desigualdad de segundo grado es de la forma: ax 2 + bx + c > 0 o ax 2 + bx + c < 0 . Para resolverla se factoriza el trinomio que resulte en el primer miembro o se resuelve como una ecuación de segundo grado, con la fórmula general . Ejemplo 1. Encuentra el conjunto solución de la ecuación  x 2 + 4 x − 21 < 0  x 2 + 4 x − 21 < 0

( x + 7 )( x − 3) < 0 igualando el factor  x + 7 = 0 ; x = − 7

y

x − 3= 0 ; x = 3

 Ahora ubicamos los valores de x en la recta numérica y definimos los intervalos que se forman con esos valores. ( −∞, −7 ) ( −7, 3) ( 3, ∞ ) -7

3

Por último asignamos un valor cualquiera en cada intervalo excepto los extremos y lo sustituimos en la desigualdad original Para ( −∞, −7 ) escogemos, por ejemplo  x = − 8  y al sustituirlo en la desigualdad tenemos

( −8)2 + 4(−8) − 21= 64 − 32 − 21= 11 y 11 no es menor a cero por lo que este intervalo no satisface la desigualdad

69

Para ( −7, 3) escogemos  x = 2 ; (2) 2 + 4(2) − 21 = 4 + 8 − 21 = − 9

y − 9 si es menor a cero por lo que este intervalo si satisface la desigualdad Para ( 3, ∞ ) escogemos  x = 8 ; (4) 2 + 4(4) − 21 = 16 + 16 − 21 = 11

y 11 no es menor a cero por lo que este intervalo no satisface la desigualdad Por lo tanto el conjunto solución es

70

( −7, 3)

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta. 1. La ecuación 5 x − 13 x + 32 x − 41 = 15 x − 21x + 54  tiene como solución:  A)  x = −

19

B)  x =

6

19

C)  x = 65

6

D)  x = − 65

2. La raíz de 2 x − 3(2 − 3x) + (4 x − 4) = −2(2 x + 1) + 3(7 − x)  es:  A)  x = − 7

B)  x = −

3. La raíz de la ecuación  A)  x =

10 11

29 22

 x − 5

B)  x = −

C)  x =

5 10

+

3x − 2 3

=

x +2 4

−

x+3 3

29

D)  x = 7

22

  es:

C)  x = − 1

11

4.La solución de la ecuación 7 x 2 − 14 x = 0   es:  A) {7, −2} B) {7, 2}

D)  x = 1

C) {0, −2}

D) {0, 2}

5. La solución de la ecuación ( x + 2) 2 − 8 = 0   es:  A) {2 − 2, 2 + 2}

B) {2 − 2 2, 2 + 2 2}

C) {−2 − 2 2, −2 + 2 2}

D) {−2 − 2, −2 + 2}

6. La solución de la ecuación  x 2 − 4 x + 5 = 0   es:  A) {−1,5} B) {2 − i , 2 + i} C) {2 − 2i, 2 + 2i} 7. La solución de la ecuación  x − 2 + 3 = x   es:  5 5  A) − ,   2 2  5 7 5  7 C) − − ,− +  2 2   2 2 

D) {1, 5}

B) {−5,5}  5 7 5  7 D)  − , +   2 2 2 2 

8. Encontrar la solución para la desigualdad 3( x + 4) − 6 x > 8  A)  x > −

4 3

B)  x >

4 3

C)  x < −

4 3

D)  x <

4 3

71

9. La desigualdad  A)  x > 75

4 6

 x − 1 >

4

x + 9  tiene por solución: 5 B)  x < 75 C)  x < − 75

D)  x > − 75

10. Encontrar para la desigualdad  x 2 − 5 x − 14 < 0  el intervalo solución:  A) 2 <  x < 7 B) −2 < x < 7 C) −7 < x < 2 D) −7 < x < −2

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD)

72

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES Introducción. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas, si al resolverse las ecuaciones se satisfacen para los mismos valores de las incógnitas, decimos que son simultáneas. Cuando el exponente mayor de las incógnitas es uno, decimos que las ecuaciones son de primer grado.

Objetivo. En esta unidad aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos y tres incógnitas.

Resolución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables 2 x + y  = 5 Las ecuaciones   son simultáneas porque la solución  x y  2 − = −  ecuaciones.

•

 x  = 1  satisface a ambas  y  3 = 

2 x + y  = 5 Las ecuaciones    son equivalentes, porque multiplicando por 2 a la primera + = 4  x 2 y  10  ecuación se obtiene la segunda •

3 x + 4y  = 5 Las ecuaciones    son incompatibles, porque no existe ninguna pareja de 3 x + 4y  = 8 valores x  y y  que satisfagan a ambas ecuaciones.

•

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas, explicaremos brevemente sobre ellos, utiliza el que más te guste o el que mejor hayas entendido. Método de reducción Si se multiplica ó divide una o mas ecuaciones por alguna cantidad, diferente de cero, se obtienen ecuaciones equivalentes que al sumarlas algebraicamente, se puedan eliminar los términos correspondientes a alguna de las incógnitas. Reduciendo el sistema a una ecuación de primer grado cuya solución proporciona el valor de una de las dos incógnitas. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y al resolver se obtiene el valor de la otra incógnita. Ejemplo 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción: 2x + y = 5.... (1)   x + 2y = 3.... ( 2 ) 73

 Aplicando transformaciones elementales, si multiplicamos por -2   a la ecuación número (2) al sumar las ecuaciones podemos eliminar los términos de  x :

2x + y = 5   2x + y = 5   ⇒ −2 ( x + 2y = 3 ) −2x − 4y = −6   − 3y = − 1 1 y  = 3 El valor de la incógnita obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones y se despeja el valor de la otra variable. 2x +

1 = 5  3

⇒ 2x = 5  −

1 3

14 3 7  ⇒  x  = 3

⇒ 2x  =

Por lo que los valores de las incógnitas que satisfacen el sistema son:  x =

7 ; 3

y  =

1 3

Ejemplo Resolver el sistema:

 x + 4y − z = 6.........(1)  2 x + 5 y − 7 z = −9....( 2 ) 3 x − 2 y + z = 2........( 3 ) 

Primero se elige un par de ecuaciones que al reducirlas, se elimine una de las dos incógnitas, por ejemplo si sumamos las ecuaciones (1) y (3), se elimina el término z .  x + 4y − z = 6  3x − 2y + z = 2   4x + 2y

=8

⇒

2 x + y = 4......(4 )

Si ahora multiplicamos por -7   la ecuación (1) para después eliminar la variable z   sumando este resultado con la ecuación (2), nos queda: −7 x − 28y + 7 z = −42   2 x + 5y − 7z = −9 −5 x − 23 y

74

= −51.............( 5 )

Hemos reducido el problema de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a un problema de resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El que podemos resolver como en el ejemplo anterior. Resolviendo ahora las ecuaciones (4) y (5), por reducción, queda: 2x + y = 4

46 x + 23y = 92  

23( 2x + y = 4 )

−5 x − 23y = −51 ⇒

−5 x − 23y = −51 ⇒

−5 x − 23y = −51 ⇒

41x

Sustituyendo en (4), queda: 2(1) + y  = 4;

 x = 1

= 41

y=2

Los valores anteriores se sustituyen en cualquiera de las tres ecuaciones originales para obtener el valor de z , por ejemplo en  (1) y queda: (1) + 4(2) – z  = 6, de donde z = 3. Por lo que la solución del sistema es:

 x  = 1, y  = 2, z  = 3

Solución por determinantes Un sistema de dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas se representa, de manera general de la siguiente forma, fíjate que los términos independientes están en el segundo miembro: a1 x + b1 y = c1 .... (1)  a2 x + b2 y = c2 ....( 2 )   Al resolver este sistema por cualquiera de los métodos anteriormente expuestos, nos queda:  x  =

c1b2 − c2 b1 …(3) a1b2 − a2 b1

y  =

a1c2 − a2 c1  … (4) a1b2 − a2 b1

Como se puede observar, en ambas ecuaciones, se tiene el mismo denominador. Una forma abreviada de definirlo es mediante el concepto de determinante, el cual es el valor numérico de un arreglo de cantidades dispuestas en columnas y renglones.  A este denominador lo llamaremos el determinante general del sistema, y lo representaremos de la siguiente manera:

det ( sist ) =

a1 b1 = a b −a b a2 b2  1 2 2 1

El numerador de la ecuación (3), es el valor numérico del determinante que se tiene al sustituir la columna de los términos independientes del sistema, en lugar de los coeficientes de la variable  x , a este valor lo llamaremos el determinante de  x , es decir:

75

det ( x ) =

c1

b1

c2

b2 

= c1b2 − c 2 b1

El numerador de la ecuación (4), es el valor numérico del determinante que se tiene al sustituir la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones, en lugar de los coeficientes de la variable y , a este valor lo llamaremos el determinante de y , es decir: det ( y ) =

a1

c 1

a2

c 2 

= a1c2 − a2c1  

Por lo tanto los valores de las incógnitas  x  y y , se obtienen al efectuar los siguientes cocientes:

 x  =

det ( x ) det ( sist )

=

c1

b1

c2

b2 

a1

b1

a2

b2 

=

c1b2 − c2 b1 ; a1b2 − a2 b 1

a1 c 1 det ( y )  a c  a c − a c   = 2 2  = 1 2 2 1 y  = det ( sist ) a1 b1 a1b2 − a2 b 1 a2 b2  El método numérico anterior se le conoce como Regla de Cramer , el cual es aplicable en todos los casos en los que la solución del sistema de ecuaciones sea única, lo que exceptúa a sistemas en los que la solución no exista o que se tenga un número infinito de soluciones; en estos casos el valor del determinante general del sistema es igual a cero y no podríamos hacer el cociente.  Al igual que los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, se pueden resolver los sistemas de 3x3 mediante el método numérico de la regla de Cramer. En donde el valor de cada incógnita se obtiene al dividir el determinante de cada variable entre el determinante general del sistema, es decir:  x =

det ( x ) det ( sist )

;

y =

det ( y ) det ( sist )

;

z  =

det ( z )   det (sist ) 

Recordemos que el determinante general del sistema se obtiene de los valores de los coeficientes de las variables de cada ecuación, y los determinantes de cada incógnita se obtienen al sustituir la columna de términos independientes en la columna de coeficientes de dicha incógnita, en el determinante general. Lo anterior implica resolver determinantes de tercer orden, es decir de tres renglones por tres columnas. Ejemplo 1. Resolver el sistema siguiente, por determinantes

3x + 2y = 12    5 x − 3y = 1 76

El determinante general del sistema se calcula con los coeficientes de las variables del sistema, es decir:

det ( sist ) =

3 2  = ( 3 )( −3 ) − (5 )(2 ) = − 9 − 10 = − 19 5 −3

El determinante de la  x , se obtiene al sustituir la columna de los términos independientes en la primera columna del determinante anterior: det ( x ) =

12

2 

1

−3

= (12 )( −3 ) − (1)(2 ) = −36 − 2 = −38  

El determinante de la y , se obtiene al sustituir la columna de los términos independientes en la segunda columna del determinante general del sistema: det ( y ) =

3 12  5

1

= ( 3 )(1) − (5 )(12 ) = 3 − 60 = −57  

Finalmente, los valores obtenidos para las variables  x y y , son: −38   x = = 2  ; −19 y=

−57  =3 −19

Ejemplo 2x − y − z = 0    2. Resuelva por determinantes el sistema  x + 3y + z = 5  3x − y + 2z = 4 

Primero se plantea el determinante general del sistema es decir: 2 −1 −1 det ( sist ) = 1 3 1 = (−1)(1)(3) + (2)(3)(2) + (1)( −1)( −1) − [(1)( −1)(2) ] − [(3)(3)( −1) ] − [( −1)(1)(2) ] 3 −1 2

= −3 + 12 + 1+ 2 + 9 + 2 = 23 0 −1 −1 det ( x ) = 5 3

1 = ( −1)(1)(4) + (0)(3)(2) + (5)( −1)( −1) − [(5)( −1)(2) ] − [(4)(3)( −1) ] − [( −1)(1)(0)

]

4 −1 2

= −4 + 0 + 5 + 10 + 12 + 0 = 23 77

2 0 −1 det ( y ) = 1 5

1 = (0)(1)(3) + (2)(5)(2) + (1)(4)(− 1) − [ (1)(0)(2)] − [ (3)(5)(− 1)] − [ (4)(1)(2)]

3 4 2

= 0 + 20 − 4 − 0 + 15 − 8 = 23 2 −1 0 det ( z ) = 1 3 5 = ( −1)( 5 )( 3 ) + ( 2 )( 3 )( 4 ) + (1)( −1)( 0 ) − [( 1)( −1)( 4 ) ] − [( 3 )( 3 )( 0 ) ] − [( −1)( 5 )( 2 ) ] 3 −1 4

= −15 + 24 + 0 + 4 + 0 + 10 = 23

Observa cómo sustituimos la columna de los coeficientes de las variables correspondientes a cada determinante por los resultados de las ecuaciones. Finalmente, los valores que se obtienen para cada una de las incógnitas son:

 x  =

23 =1 23

y  =

23 23

=1

z  =

23 =1 23

Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables formados por una de primer grado y la otra de segundo grado En este tipo de sistemas se sugiere usar el método de sustitución, es decir se despeja una variable de la ecuación de primer grado y se sustituye en la ecuación de segundo grado, por lo que nos queda una ecuación de segundo grado en una variable la cual se resolverá ya sea vía factorización ó bien por fórmula general. Ejemplo. 1. Resuelve el siguiente sistema

...(1)  x + y = 1  2  x + 2y = 50 ...( 2) Despejando de ecuación (1) a y se tiene y=1- x ,

78

y la sustituimos en la ecuación (2)

 x 2 + 2 (1 − x ) = 50  x 2 + 2 − 2 x − 50 = 0  x 2 − 2 x − 48 = 0 factorizando ( x − 8)( x + 6 ) = 0 igualando cada factor a cero se tiene :  x1 = 8 x 2 = −6 y1 = 1 − 8 = − 7 y 2 = 1 − (− 6) = 7 ∴

Solución de un sistema de dos desigualdades de primer grado en dos variables Sistemas de desigualdades La solución de un sistema de desigualdades lineales, consiste en hallar la región del plano cartesiano que satisface simultáneamente las condiciones establecidas, por las desigualdades del sistema.  x  > 0  y  > 0  Por ejemplo resolver el sistema  x  ≤ 6 ; significa hallar el conjunto de pares ordenados b x , y g  en  y  ≤ 6   donde tanto la abscisa como la ordenada son mayores que cero y menores ó iguales que 6. El lugar geométrico que satisface las restricciones esta indicada en la figura siguiente.

El método de solución es gráfico, por lo que habrá que graficar cada una de las desigualdades del sistema. Lo anterior se efectúa considerando a la frontera o extremo de la desigualdad como una ecuación de primer grado con dos incógnitas y construyendo la gráfica de la recta que la representa.

79

El procedimiento más sencillo para trazar una recta consiste en localizar dos de sus puntos, que podrían ser los puntos de intersección con los ejes coordenados. Si la desigualdad incluye el igual, se traza una línea continua, y si no se incluye el igual, entonces se traza una línea discontinua. Posteriormente se escoge un punto de prueba en cualquier cuadrante del plano cartesiano. Si el punto elegido satisface la desigualdad, entonces la región a la que pertenece dicho punto forma parte del conjunto solución de la desigualdad. La región obtenida se sombrea , es decir se destaca marcándola con líneas paralelas muy delgadas. El procedimiento se repite con la otra desigualdad y se determina la región común de solución del sistema, si es que existe. Ejemplo 2 x + 3 y  ≤ 6  Graficar la desigualdad  x  ≥ − 3  y  > − 2 

Se grafica 2 x + 3y  = 6 , trazando una línea continua, pues la desigualdad incluye el signo igual. Se obtienen los puntos de intersección con los ejes coordenados, es decir (3,0) y (0,2). Se grafica x=-3 , trazando una línea continua pues la desigualdad incluye el signo igual Se grafica y=-2  , trazando una línea punteada, pues la desigualdad no incluye el signo igual. Se escoge un punto cualquiera de la región limitada por las tres rectas, por ejemplo  (0,0) y se valúa en las desigualdades, esto es: 2(0)+3(0)=0 ≤ 6, 0 ≥ −3 , 0 > −2 lo que se traduce en proposiciones verdaderas, por lo que (0,0) pertenece al conjunto solución. Se sombrea la región de solución.

Si hubiera más desigualdades en el sistema, se debe proceder tal y como se describió anteriormente y el conjunto de solución será la intersección de todos los conjuntos. 80

Autoevaluación  Ahora que has estudiado la unidad quizá te sientas preparado para resolver algunos ejercicios sobre la misma, resuélvelos sin ver el texto para que identifiques los temas que dominas. Resuelve en una hoja aparte los siguientes ejercicios y selecciona la respuesta correcta.

3 x − 4 y  = 13 1. La solución del sistema  , es: 8 5 5 − = −  x y    A)  x=5 y=-7 

B)  x= -5 y=- 7 

C)  x= 5 y= -2 

D)  x= 5 y= -7 

9 3  x + y  = 27  2. La solución del sistema  , es: 5 4  + = 22  x y 

 A)

1

1  x 

= −

y 

=

3

2

B)

 x 

= −

y 

=

2

C)  x=2 y= 3

1

D)

 x 

=

y 

=

2

1

1

3

3

10 x − 3y  = 36 3. Encuentre el valor del determinante general del sistema:  2 x + 5y  = − 4  A) -56 

B) 56 

C) 44

D) -44

6 x + 3y + 2z  = 12  4.  Al resolver el sistema de ecuaciones 9 x − y + 4z  = 37  el conjunto solución es: 10 x + 5y + 3z  = 21 

 A)  x=5 y=3 z=-3

B)  x=5 y=-4 z=-3

C)  x=-1 y=-4 z=-3

5. Encuentre el valor del determinante general del sistema:

 A) 24

B) -6 

D)  x=2 y=-4 z=3 4 x − y + z  = 4  2y − z + 2x  = 2 6 x + 3z − 2y  = 12 

C) 12 

D) 6 

81

6. Hace 20 años la edad de A era el doble de la de B; dentro de 30 años será los 9  de la edad de 7 

B. Hallar las edades actuales.  A) 40 y 20 

B) 64 y 32 

C) 60 y 40 

D) 32 y 26  x − 2y  < 0

7. Encuentre gráficamente, la región de solución del sistema de desigualdades

3 x + y  ≤ 21

y determine cuál de los siguientes puntos, forma parte del conjunto solución:  A) (6,4)

B) (1,-1)

C) (-5,5)

D) (6,5)

 1 3 3  2 x − y  = 4  8. La solución del sistema de ecuaciones  , es: 1 5 4  + =−  x 2y  3

 A)  x=-2 y=- 3

B)  x= -3 y=- 2 

C)  x= 3 y= -2 

9. Encuentre el valor del determinante general del sistema:  A) -23

B) 47 

D)  x= 2 y=-3

5 x + 3y  = 5  4 x + 7y  = 27

C) 23

D) -13

10. Un tercio de la diferencia de dos números es 11 y los 4/9 del mayor equivalen a los 3/4 del menor. Hallar los números.  A) 65 y 32 

B) 92 y 59

C) 81 y 48 

D) 86 y 53

 x + y + z  = 6  11. Al resolver el sistema  x − y + 2z  = 5 , el valor que se tiene para z , es:  x − y − 3z  = −10 

 A) z= 4

B) z= 3

C) z= 1.

D) z=-4.

 x + y + z = 6   12. Al resolver el sistema  x − y + 2z = 5  , el valor que se obtiene para  x , es:  x − y − 3z = −10  

 A)  x=3

82

B)  x=2

C) x= -1.

D) x=1.

 x + y + z  = 11  13. Encuentre la solución del sistema  x − y + 3z  = 13 2 x + 2y − z  = 7 

 A)  x=-2 y=3 z=4

B)  x= 5 y=2 z=3

C)  x= 2 y= 4 z=5 

D)  x= 3 y= 4 z=5 

14. Encuentre gráficamente, la región de solución del sistema de desigualdades

2 x + y  ≤ 8  x + 3y  ≤ 12

y determine cuál de los siguientes puntos, forma parte del conjunto de solución:  A) (-10,8)

B) (0,0)

C) (4,8)

D) (6,5)

BIBLIOGRAFÍA 1. Solís Lozano, Francisco Javier,  Al-Jebr. México, Oxford, 2006. (Contiene CD) 2. De Oteyza, Elena,  Álgebra. México, Pearson Prentice Hall, 2007. (Contiene CD) 3. Vargas, Eusebio.,  Álgebra. México, Santillana, 2006. 4. Cuéllar, Juan, Álgebra. México, Mc Graw Hill, 2004. 5. Dugopolski, Mark, Álgebra . México, Mc Graw Hill, 2005. 6. Muñúzuri, Salvador., Matemáticas IV. México, UNAM, 2007. 7. Sandoval Soto, José., Curso de Matemáticas IV. México, UNAM, 2005. 8. García, Leonardo, Matemáticas IV. México, UNAM, 2004. 9. De Oteyza, Elena, Conocimientos Fundamentales de Matemáticas , Pearson Prentice Hall, 2006. (Contiene CD) 10. Baldor, Álgebra, México, Patria, Segunda edición 2007 (Contiene CD)

83

EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN (TIPO A)  Ahora que has estudiado todas las unidades te proponemos resolver los siguientes exámenes no necesariamente son los reactivos que encontrarás en el examen extraordinario pero te ayudarán a revisar los contenidos que tengas que repasar.. 1.- Si  A  B = { x / x ∈  ; − 3 ≤ x ≤ 2} y  B = {0,1, 2} , entonces el conjunto A puede ser  A)  A = {−3, −2, −1, 2,3} B)  A = {−2, −1, 2} C)  A = {−3, −2 − 1,0} D)  A = {−1,0,1,2} 2.- Si  A = { x / x ∈  ; − 3 < x < 2} y  B = {0,1, 2} , entonces el conjunto solución A-B puede ser  B) {−2, −1, −3}

A) {0,2,1}

C) {−3, −2, −1,0}

D) {−2, −1}

3.- Si a + (b + c) = (a + b) + c entonces la propiedad que se esta aplicando es : A) Elemento neutro B) Conmutativa C) Distributiva D) Asociativa

( )

4.-El resultado de 2 A) 16

3

2

es B) 18

C) 64

D) 512

5.- Al aplicar las propiedades de los logaritmos a log9 + log  

A) log  9 +

100 



9 

 

B) log  9 −

100 

100

 

C) log  9 ÷



9 

esta quedaría:

9 100 



9 

 

D) log  9 ×

100 



9 

6.- El número 0.000 003 45 expresado en notación científica es A) 3.45 x10

−6

B) 3.45 x10

6

C) 34.5 x10

−6

D) 34.5 x10

6

7.- El resultado de −2 9 − 13 + 4 3 − 8 es: A) - 12

B) 12

C) 11

D) -11

8.-La resta del primer término menos el segundo de 8a3 − 2a − 4 y 6a 3 − 5a 2 + 3 es: 3 2 3 2 3 2 3 2 A) 2a − 5a − 2a − 7 B) 2a + 5a − 2a − 1 C) 2a − 7 a − 7 D) 2a + 5a − 2a − 7 9.- El residuo de la división de A) 8

18 x + 65 + x 2

es:

7 +  x

B) 12

C) -12 2

10.- El resultado de ( 2 x − 3 y + 1) es:

+ 9 y2 + 1 4 x 2 + 9 y 2 + 12 xy − 4 x + 6 y + 1

A) 4 x C)

84

2

+ 9 y 2 − 12 xy + 4 x − 6 y + 1 4 x 2 + 9 y 2 − 6 xy + 2 x − 3 y + 1

B) 4 x D)

2

D) -8

( 2 x z  ) (8 xz  ) 3 4

11.- Al simplificar la expresión A)

1 7 6  x z  8

B)

3

3

el resultado es:

2

1

 x 7 z 6 16

C)

6 x 6 z 7

D)

16 x 2 z 5

3 4 2  x z  8

12.- La expresión algebraica que refleja el siguiente enunciado “el exceso de un número sobre otro” es: B)  x − y D) 2 x − y  x  x + y A)

C)

 y

2 3

13.- El coeficiente y el signo del término cuadrático ( −2 x + 3) es: A) −8 x

3

B) 8 x

3

C) 36 x

2

D) 12 x

2

5

a  14.- El quinto término del binomio  + b3  es: 2  A) −

5 2

12

ab

12

B) 5ab

C)

15.- La simplificación de la expresión A)

 z  2 + 2w

B)

= −6, x2 = −2

2

ab12

D)

5 2

ab8

es:

6wz 2 + 6 w2 z  

1

C)

2 + 2w  x − 2

16.- La solución de la expresión A)  x1

3wz 2

5

=

1

 x 2 − 4 8 B)  x1 = −6, x2 = 2

2

D)

 z + w

 z  2 z + 2 w

es: C)  x1 = 6, x2 = − 2

D)  x1

= 6, x2 = 2

17.- La ecuación cuyas soluciones son  x1 = 2i y x2 = −2i es: A)  x − 4 = 0 2

B)  x + 4 x + 4 = 0 2

C)  x + 4 = 0 2

D)  x + 4 x − 4 = 0 2

18.- Si las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son a = − 11 y b = 5 , el sistema es: 3a + 6b = 3 3a + 6b = −3 3a − 6b = −3 3a + 6b = −3 A)  B)  C)  D)  3a + 8b = 7 3a − 8b = 7 3a + 8b = 7 3a + 8b = 7 19.- El conjunto solución de A) a ≥

11 4

5 − 2a 7 11

B) a ≤ −

4

≤

3 2

es: C) a ≥ −

11 4

5 x + 9 y = − 18 , es: 20.- El determinante det( y) , del sistema  6 x + 8 y = − 2 A) det( y) = − 118 B) det( y ) = 98 C) det( y) = −126

D) a ≤

11 4

D) det( y) = 126

85

EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN (TIPO B) 1.- Si  A  B = { x / x ∈  ; − 1 ≤ x ≤ 1} y  B = {−3, −2, −1, 0,1} , entonces el conjunto A puede ser: A) B)  A = {−2, −1, 2} C)  A = {−1, 0,1, 2,3} D)  A = {−2, −1, 0,1, 2}  A = {−3, −2, −1, 2,3} 2.- Si  A = { x / x ∈  ; − 1 ≤ x < 1} y  B = {−3, −2, −1, 0,1} , entonces el conjunto  A  B puede ser: A)  A = {−1, 0} B)  A = {−1, 0,1} C)  A = {1,0} D)  A = {−1,1} 3.- Si a(b + c) = ab + ac entonces la propiedad que se esta aplicando es: A) Elemento neutro

B) Cerradura

C) Conmutativa

D) Distributiva

C) 18

D) 6561

3

4.-El resultado de ( 32 ) es: A) 729

B) 243

5.-La resta del primer término menos el segundo de 6a3 − 5a 2 + 3 y 8a 3 − 2a − 4 es: 3 2 3 2 3 2 3 2 A) 2a − 5a − 2a − 7 B) 2a + 5a − 2a + 1 C) 2a − 7 a − 7 D) −2a − 5a + 2a + 7 6.- El residuo de la división de A) 111

16 x + 56 + x 2

es:

5 +  x

B) -1

C) 1

D) -8

2

7.- El resultado de ( 3 x − 2 y + 2 ) es:

+ 4 y2 + 4 c 9 x 2 + 4 y 2 + 12 xy − 12 x + 8 y + 4

A) 9 x C)

2

D)

A)

8  x 7 z 6

B)

3 4

16  x 7 z 6

2

2

(8 xz  ) ( 2 x z  ) 3

8.- Al simplificar la expresión

+ 4 y 2 − 12 xy + 12 x − 8 y + 4 9 x 2 + 4 y 2 − 6 xy + 6 x − 4 y + 4

B) 9 x

3

el resultado es:

C)

16 x 2 z 5 6 x 6 z 7

D)

8 2 x 4 z 2

9.- El valor del polinomio  P( x) = −3 x3 + 2 x2 − 2 x + 5 , cuando  x = − 2 es: A) -7

B) 41

C) 35

D) 21

10.-El factor común de la expresión 4m2 n + 8mn + 16m3 n2 es: A) 2mn

B) 16mn

C) 4mn

2

D) 4m n

11.- Para que la expresión  x 2 − 7 x se convierta en un trinomio cuadrado le falta el término : A) -49

86

B) 49

C) −

49 4

D)

49 4

12.- La expresión algebraica que refleja el siguiente enunciado “la semisuma de dos números” es: B) x+y D) 2x+2y  y  x + y A)  x + C) 2

2

5

a  13.- El quinto término del binomio  − 2b2  es: 3  A) −

80

ab8

3

B)

80 3

5

a b10

14.- La simplificación de la expresión A)

2 + 2w

80

C)

3

ab8

D)

16 3

ab8

6wz 2 + 6 w2 z   3wz 2

B) 2 + 2w

es:

C)

 z 

 z + w

D)

2

2 z + 2 w  z 

15.- La solución de la expresión 3 ( x − 3) = x 2 − 9 es: A)  x1 = −1, x2 = 3

B)  x1

= 1, x2 = 3

C)  x1 = −3, x2 = −3

D)  x1 = 0, x2 = 3

16.- Si el discriminante b 2 − 4ac , de una ecuación de segundo grado es negativo, entonces las soluciones son: A) Reales e iguales B) Reales y diferentes C) Complejas D) Únicamente negativas 17.- Si las dimensiones de un rectángulo son x y x+5, entonces la expresión que determina su área es: A) 2x+5

B) 4x+10

2

18.- Si las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son a = A)

18a + 15b = 9  21a − 30b = − 1

18a + 15b = − 9 21a − 30b = 1

B) 

19.- El conjunto solución de A) a ≥

11 4

7 5 − 2a 11

B) a ≤ −

4

2

C) x +5x

≤

2 3

C)

18a − 15b = 9  21a − 30b = 1

D) x +25

1 3

y b= D)

1 5

, el

sistema es:

18a + 15b = 9  21a − 30b = 1

es: C) a ≥ −

11 4

5 x + 9 y = − 18 , es: 20.- El determinante det( x) del sistema  6 8 2  x y + = −  A) det( x) = −14 B) det( x ) = 98 C) det( x) = −126

D) a ≤

11 4

D) det( x) = −98

87