UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD CALCULO INTEGRAL
FASE 2 - TRABAJO COLABORATIVO
TUTOR: NEMESIO CASTAÑEDMA
ESTUDIANTES:
OSCAR ANDRÉS RUSSI Código: DWIGHT FITZGERALD CHOW NEWBALL Código: 1.018.461.532 FRED JOSE RODRIGUEZ Código: 1.016.020.789 CARLOS ANTONIO GARZON Código: LUIS ÁNGEL SALCEDO SANABRIA Código: 1.019.025.138
GRUPO: 100411_369
BOGOTÁ D.C MARZO de 2017
INTRODUCCION
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Sea f una función definida en los reales, con una antiderivada F, entonces su C=Cosntante , G ( X )=F ( X )+ C , antiderivada general será G, tal que: para f ( x )=F ´ ( x )=G ´ ( x ) .
además
Primera parte (punto 1 al 4) Encontrar la antiderivada general G (x) de las siguientes funciones:
f ( x )=3 x 3+ 2 x 2 +2 x −10
Ejercicio 1:
Procedimiento f ( x )=3 x + 2 x +2 x −10 3
2
∫ ( 3 x 3 +2 x 2 +2 x−10 ) dx ¿∫ (3 x 3)dx +∫ ( 2 x2 ) dx +∫ (2 x )dx−∫ (10 ) dx x x 10 (¿¿ 2)dx +2∫ (x )dx −∫ (¿) dx ¿ (¿ ¿3)+2∫ ¿ ¿ 3∫ ¿
¿3
¿3
x4 x3 x2 +2 +2 −∫ ( 10 ) dx 4 3 2
( ) ( ) ( )
x4 x3 x2 +2 +2 −10 x+C 4 3 2
( ) ( ) ( )
3 (X 4 ) 2( X 3) 2(x 2 ) ¿ + + −10 x +C 4 3 2 4
¿
3
3 (X ) 2( X ) 2 + + x −10 x+C 4 3
Explicación Función Anti derivada suma/resta funciones.
de de
Anti derivada de una función multiplicada por una constante a.
Anti derivada una potencia.
Integral de constante.
Simplificamos Solución
de
una
Ejercicio 2:
f ( x )=
x2 1+ x2 Procedimiento
Explicación
2
x 1+ x 2
Función 2
x −1 −x 2 −1
Hacemos la división de los polinomios para simplificar el problema.
2
x 1 =1− 2 1+ x 1+ x 2 2
∫ 1+x x2 dx =
∫ 1 dx
¿ x−arc ten x +c
Ejercicio 3:
−dx
∫ 1+ x2 Estas dos derivadas son:
anti
sin2 x+cos 4 x +sin2 x∗cos2 x ( ) f x= cos 2 x
Procedimiento sin x+cos x +sin2 x∗cos2 x f ( x )= cos 2 x 2
Explicación
4
4 2 2 cos ( x ) sin ( x ) cos ( x ) +¿ ∫ cos 2 ( x ) cos2 ( x ) sin 2 ( x ) +¿ ∫ ¿ 2 cos ( x ) ∫¿
cos 2 ( x ) dx +¿ ∫ sin 2 ( x ) dx tan 2 (x)dx +¿∫ ¿
∫¿
Función Simplificamos términos de integral.
los la
(cos 2 ( x )+ ¿ sin 2 ( x ) )dx tan 2 (x) dx +¿ ∫ ¿
∫¿ cos 2 ( x )+ sin2 ( x )=1 tan (¿¿ 2 ( x )+1)dx 2 tan (x )dx+¿ ∫ 1 dx=∫ ¿ ∫¿ tan 2 ( x )+ 1=sec 2(x )
Por tabal de las identidades se sabe que:
Ahora
∫ sec2 ( x ) dx=tan ( x ) +c 1 2 =sec (x) 2 cos ( x ) 2
2
4
2
2
∫ sec ( x ) ( sin ( x ) +cos ( x )+ sin ( x ) cos ( x ) ) ⅆx
O simplificamos términos ya que sabemos que:
Parala integral sec 2 ( x) [ sin 2 ( x)+cos 4 ( x )+sin 2 (x) cos 2 ( x) ] u=x
du=dx 2 ∫ sec ( u ) ⅆu
∫ sec2 ( u ) du=tan ( u ) + c
Sustituimos
La integral de
u=x 2 4 2 2 sin ( x ) +cos ( x )+ sin ( x ) cos ( x ) dx=tan ( x ) +c ∫ cos2 ( x )
Ahora sustituimos
Ejercicio 4:
f ( x )=
1+sin2 x 1−sin2 x Procedimiento
Explicación
2
f ( x )=
1+sin x 2 1−sin x
f ( x )=
1+sin2 x 2 cos x
Función
f ( x)=se c2 x+ tan 2 x 2
1−cos x f ( x)=se c x+ 2 cos x 2
2
Relación pitagórica
2
f ( x )=se c x+ se c x−1 f ( x )=2 se c 2 x – 1
∫ f (x)=2 tan x −x+C
Derivada de tangente es secante al cuadrado.
Segunda parte: 2
Ejercicio 5:
−4 dx ∫ 2(x x+ 2) Procedimiento
Explicación
2
x −4 dx ∫ 2(x+ 2)
Integral
1 x 2−4 ¿ ∫ dx 2 x +2
Anti derivada de una función multiplicada por una constante a.
¿
1 2
+2) dx ) (∫ (x−2)(x (x+2) ¿
¿
1 ( xdx−∫ 2 dx ) 2 ∫
¿
1 x2 −∫ 2 dx 2 2
(
1 ( ( x −2)dx ) 2 ∫
Anti derivada de suma/resta de funciones.
)
Anti derivada de una potencia.
x 2−4 1 x2 ∫ 2(x+ 2) dx= 2 2 −2 x +C
(
Ejercicio 6:
Simplificamos términos empleando diferencia de cuadrados.
)
Solución
sen x
∫ cos2 x dx Procedimiento
Explicación
sen x
∫ cos2 x dx sen x
1
∫ cos x cos x dx tanx senx dx Sabemos que la derivada de sec x es:
d sec x=tanx secx dx
∫ tanx secx dx=secx + c
Ejercicio 7:
luego
x2 −x ∫ x+1 dx
Procedimiento
Explicación
u=x +1
La integral se resuelve por el método de un cambio de variable.
2
−x dx ∫ xx+1 Sea:
du =1→ du=dx dx 2
∫ x u−x du ∫
x( x−1) du u
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
u=x +1 → x=u−1
∫
(u−1)( (u−1 )−1) du u
∫
(u−1)(u−2) du u
Teniendo en cuenta el cambio de variable que hicimos anterior, podemos despejar la variable x.
Reemplazando la variable x en la integral, tenemos:
2
2 du ∫ u −2 u−u+ u u2−3 u+2 ∫ u du
∫(
Separando la fracción de la integral, tenemos qué:
2 u−3+ du u
)
2
∫ u du+∫ u du−∫ 3 du 1
∫ u du+2 ∫ u du−3∫ du
Aplicando propiedades de las integrales, tenemos qué:
2
∫ u du= u2 +C 1 2∫ du=2 ln |u|+ C u
Realizando cada una de las integrales.
3∫ du=3 u
∫(
u−3+
2 u2 du= +2 ln |u|−3 u+C u 2
)
2
( x+1 ) x2 −x ∫ x+1 dx= 2 + 2 ln| x+1|−3 ( x+1 ) +C
La integral queda: Volviendo variable (u=x+1)
unida
a la original tenemos
qué:
Ejercicio 8:
∫
dx 1+ cos x Procedimiento
Explicación
1 ∫ 1+ cos x 1 ∗1−cos x 1+cos x ∫ 1−cos x
∫
1−cos x 1−cos 2 x
∫
1−cos x sin2 x
∫ ( cs c 2 x−cotx∗cscx )
−cotx+cscx+C
Tercera parte:
Multiplicamos arriba y abajo por 1-cox para simplificar en el divisor
Simplificamos en el divisor por relación pitagórica
Derivada de cotangente es menos cosecante y la derivada de cosecante es menos cotangente por cosecante
Ejercicio 9: Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial 0.1 t descrito por P (t )=e , donde t está medido en días. Según lo anterior, determinar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 10 días de operación de la empresa. Procedimiento
Explicación
0.1 t
P (t )=e
Función
b
∫ f ( t ) dt=f (c)(b−a)
Teorema del valor medio para integrales.
a
b
1 ∗∫ f ( t ) dt b−a a
Se despeja (b-a) de la ecuación y se obtiene: Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de producción con la siguiente información:
f ( t )=e 0,1 t ; a=0 ; b=10 10
1 ∗∫ f ( e 0,1 t ) dt 10−0 0
Remplazamos datos
Emplear Integral de una función exponencial con base e.
10
1 ∗∫ f ( e 0,1t ) dt 10 0
∫ e v dv=e v ¿
1 1 0,1t ∗∫ ( e 0,1t ) ( 0.1 ) dt= e 0.1 0.1
f ( e0,1 t ) dt=¿
[
1 1 0.1 t e 10 0.1
∫ e x dx=e x +C Operaciones matemáticas
]
10
1 ∗∫ ¿ 10 1
¿
[
los
] [
1 1 0,1(10) 1 0.1(0 ) 1 1 1 1 0 e − e = e− e 10 0.1 0.1 10 0.1 0.1
]
[
] [
1 1 1 1 2.718281828 1 (2.718281828)− (1) = − 10 0.1 0.1 10 01 0.1
¿
1 1 [ 27,18281828−10 ] = (17,18281828) 10 10
¿
17,18281828 =1,718281828 10 El volumen promedio de producción es 1,718281828
]
Resultado
Ejercicio 10: Aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar √X
´
F ( x ),
si
4
F ( x )=∫ et dt . 1
Procedimiento √X
Explicación
4
F ( x )=∫ et dt . 1
b( x)
d ∫ f ( t ) dt=f ( b ( x ) ) ∙ b' ( x )−f (a ( x ))∙a ' (x) dx a( x) Sea: √x
Usando la Regla de la cadena, el primero teorema fundamental del cálculo estará dado por:
4
F ( x )=∫ et dt 1
d F(x) dx
F' ( x ) =
√x
d F ( x ) = ∫ e t dt dx 1 '
a ( x )=1 b ( x )= √ x
4
Se pide calcular F’(x), que estará dada por:
f ( t )=e t √x
4
d d (1) ∫ e t dt=f ( √ x ) ∙ dxd ( √ x )−f (1)∙ dx dx 1 4
4
'( x )=e (√ x ) ∙
2
( 2 1√ x )−e
F ' (x )=e x ∙
(1) 4
Reemplazando ecuación tenemos qué:
en la dada,
∙ ( 0)
( 2√1 x )
Reemplazando, tenemos:
2
ex F ' (x )= 2 √x
Ejercicio 11: La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplazan una vez se haya desarrollado el proceso de b
integración, teniendo en cuenta el siguiente criterio:
∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) , a
generalmente conocido como el segundo teorema fundamental del cálculo.
π
Evaluar la siguiente integral:
∫ [ cos ( x ) tan ( x)] dx 0
Procedimiento π
∫ [ cos ( x ) tan ( x)] dx
Explicación Integral
0
tan ( x )=
sen ( x) cos ( x)
Se sabe que:
cos
( x )∗sen ( x ) =sen( x ) cos ( x )
Aplicamos los intervalos de la integral.
π
( x )∗sen( x ) π ∫ cos cos ( x) =∫ sen ( x) 0 0 π
∫ sen(x )=−cos ( x) {π0 0
Sabemos que: π =180
0
π
∫ sen(x )=−cos ( 180 ) +cos ( 0 )=2 0
Ejercicio 12: Un objeto en el origen en el instante � = 0 tiene velocidad, medida en metros por segundo,
{
t , si 0≤ t ≤ 40 20 v ( t )= 2, si 4060 20 140
Evaluar la integral
∫ v ( t ) dt , 0
de acuerdo con las anteriores consideraciones.
Procedimiento 40
∫ 20t 0
60
∫2 40
Explicación
140
∫ 5− 20t 60
Resolviendo primera integral definida:
[ ] 2
t 40 40 0
Regla de la potencia para integrales.
2 (60 )−2 ( 40 ) =120−80=40
[
t 140 5t− 40 60
[
5 (140)−
2
Sustituimos Resolviendo la tercera integral definida: Regla de la potencia para integrales
]
][
(140 )2 ( 60 )2 − 5(60)− 40 40
] Sustituimos.
[ 700−490 ] −[ 300−90 ] =210−210=0 140
∫ v ( t )=40+ 40+0=80 0
Sumando el resultado de las tres integrales definidas.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
