A D DAFTAR FTAR ISI KATA PENGANTAR ................................. .................................................. ................................. ....................... ....... i DAFTAR ISI ................................. ................................................. ................................. .................................. ..................... .... iii SOAL - SOAL ............................... ............................................... ................................. ................................. ....................... ....... 2 UTS Genap 2009/2010 ................................................................................ 3 UTS Ganjil 2009/2010................................................................................ 4 UTS Genap 2008/2009 ................................................................................ 5 UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................ 6 UTS 2007/2008 ............................................................................................ ................................................. ........................................... 8 UTS 2006/2007 ............................................................................................ ................................................. ........................................... 9 UTS 2005/2006 ................................................................. ......................... 10 UTS 2004/2005 ................................................................. ......................... 11 UTS 2003/2004 ................................................................. ......................... 12 UTS 2002/2003 ................................................................. ......................... 13 UTS 2001/2002 ................................................................. ......................... 14 UTS 2000/2001 ................................................................. ......................... 15 UTS 1999/2000 .................................................................................. ........ 17
PEMBAHASAN................................. .................................................. ................................. ................................ ................ 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20 UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24 UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27 UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32 UTS 2007/2008 ................................................................. ......................... 39 UTS 2006/2007 ................................................................. ......................... 43 UTS 2005/2006 ................................................................. ......................... 49 UTS 2004/2005 ................................................................. ......................... 56 UTS 2003/2004 ................................................................. ......................... 60 UTS 2002/2003 ................................................................. ......................... 65 UTS 2001/2002 ................................................................. ......................... 69 UTS 2000/2001 ................................................................. ......................... 71 UTS 1999/2000 ................................................................. ......................... 76
iii
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
���� � ����
2
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
���� � ����
2
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a.
x − 2
4
≤
x
2
+1
b. x − 5 x ≥ 2 2. Diketahui f ( x ) = sin 2 x dan g ( x ) =
x−2
a. Tentukan D f , R f , Dg , dan Rg b. Periksa apakah g f dan f g terdefinisi ? o
o
c. Bila ya, tentukan Dg
f dan D f g
o
o
a ,0 < x ≤ 1 3. Diketahui f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Tentukan konstanta a dan b, agar f ( x ) terdiferensialkan di x = 1 . 4. Diketahui f ( x ) = 5 x − 3x 3
a. b. c. d.
5
Tentukan selang kemonotonan Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya Gambarkan grafiknya
No Nilai Maks
1 10
2 7
3 8
4 10
Jumlah 35
3
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Close Book dan tanpa kalkulator UTS Ganjil 2009/2010
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x 2 − 1 < 3 2. Tentukan nilai a agar fungsi
sin (ax ) , x < 0 f ( x ) = x x + 1, x ≥ 0 mempunyai limit di x = 0 3. Periksa apakah fungsi
x 2 − 1 , x < 1 f ( x ) = x − 1 x + 1, x ≥ 1 kontinu di x = 1 2
2
2
4. Diketahui kurva xy + x + y = 3 a. Tentukan rumus y ' b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1) 5. Diketahui f (4) = 4, f ' (4) = 2, g(4) = 4, g'(4) = 4, h( x) = f (g( x)), hitungh'(4) 6. Diketahui f ( x ) =
x
x − 1 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot
d. Sketsa grafik f ( x )
4
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009
1. Carilah
himpunan
penyelesaian
dari
pertidaksamaan
x − 1 + 2 x − 1 ≤ 2 2. Tentukan persamaan garis singgung dari
2 xy − 2 x + 3x = 3 yang
tegak lurus dengan x − y + 1 = 0 3. Diberikan fungsi f ( x ) = a. b. c. d.
2
x +3 −1
. Tentukan :
Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada) Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada ) Asymtot Grafik fungsi
4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari segiempat tersebut.?
6 cm
5 cm
5
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009
1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut a. b.
1
≥
x + 1
3 − 2 x 1 + x
3 x−2 ≤4
2. Diketahui fungsi f ( x ) =
x − 2 dan g ( x ) = 3 − x
a. Cari Df , Rf , Dg, Rg b. Periksa apakah go f terdefinisi c. Bila ya, cari Dgof 3. a.
Hitung lim
3 x + 5
bila ada
6x − 8 b. Tentukan nilai k supaya x→+∞
tan kx , x < 0 ( ) = f x x 3 x + 2k 2 , x ≥ 0 kontinu di x = 0
4. Diketahui
2 x + 3 , x ≤ 4 f ( x ) = 16 7 , x > 4 + x
Periksa apakah f ( x ) punya turunan di x = 4 5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y + cos x = 1 a.
Cari nilai y'
6
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik
π π , 2 4 6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( x ) = x + 5 x 5
4
a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada c.
Gambar grafik f ( x )
7
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114 29 Oktober 2007 UTS 2007/2008
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan : a. b.
x + 3 x + 1 1 x
≤
x x − 2
− 2 >1 2
2. Diketahui f ( x) = 2 + x , g ( x) = 1 a.
Tentukan � � �
b. Periksa apakah go f terdefinisi, jika ya tentukan ( go f )( x) c. Tentukan Dgof 3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1
1 ( x − 1)2 sin ; x ≠ 1 f ( x ) = x − 1 1; x = 1 4. Diketahui f ( x) = a. b. c.
x 2 − 6 x + 9
x Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada) Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x
& y (bila ada) d. Gambarkan grafik f ( x) Soal Nilai
1 10
2 10
3 8
4 12
8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ; a. b.
−1 <
4 x
1 2 x − 1
<5
≥ x − 3
2. Diketahui f ( x) = x dan g ( x) = 1 − x a.
Periksa apakah fog ada ?
b.
Jika f og ada, tentukan f og dan D fog !
3. Tentukan nilai a agar lim
2
9 x 2 − ax − 7 + 3 x = 1
x → −∞
4. Diketahui f ( x ) = a. b. c. d.
2 x 4 − x
2
, tentukan :
Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada ) Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) Asimtot ( jika ada ) Sketsa grafiknya
5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4 dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran. a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah ! b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum !
-o0oSelamat mengerjakan -o0o-
9
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006
1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva 2
2
x − xy + y = 16 dengan sumbu x. 2. Tentukan himpunan 2 x + 1 + x(x + 1) ≤ 4 3. a.
penyelesaian
Tentukan a agar lim
9 x 2 + ax + 4 + 3 x =
x → −∞
b. Tentukan a dan b sehingga lim x →0
4. Diketahui f ( x) =
x 2
dari
⋅ Tentukan
1
3 a + cos(bx) x
2
pertaksamaan
= −2
:
x + 1 a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada) b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada ) c. Asimtot ( jika ada ) d. Sketsakan grafiknya
5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut. x
y
z
10
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Tanggal : Senin 25 November 2004 UTS 2004/2005
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x − 3 < 2. Tentukan
persamaan 2
garis
singgung
4 x
pada
kurva
2
y + Cos( xy ) + 3x = 4 di titik potong kurva dengan sumbu x. 3
3. Hitung lim x →1
4. Diketahui
x − 1
2x + 2 − 2 f ( x ) =
x 2
tentukan semua nilai ekstrim fungsi
x + 1 beserta jenisnya pada selang [-½,2]
5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam parabola seperti gambar berikut ini
11
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin 6 Oktober 2003 UTS 2003/2004
1. Tentukan daerah asal dari fungsi a. b.
f ( x ) =
f ( x) =
2 x − 2 − x − 5 x 3 − x 2 − 6 x x + 3
2. Hitung a.
lim
1 + cos x
x →π x
2
sin x
b. tentukan a agar lim
4 x 2 + ax + 2 x = 5
x →−∞
x 2 − 2 x + 3, x ≥ 1 3. Periksa apakah fungsi f ( x) = 2 x − 2 x + 2, x < 1 terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f ‘(1) 4. Diketahui f ( x) =
x 2 + x − 1 −1
a.
Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta jenisnya b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik fungsi f ( x) 5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh 2 y = 2 x, y = 3 − x , dan sumbu y.
a. Hitung luas D b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap y = -1
12
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2002/2003 Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Tanggal : Senin/ 11 April 2003 UTS 2002/2003
Kerjakan dengan singkat dan jelas! Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan! 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. b.
x − 1 x + 1 5−
1 x
< x <2
2. Diketahui fungsi f ( x) = a. b. c. d.
x 2
x − 9
, tentukan :
Selang kemonotonan dan titik ekstrim Selang kecekungan dan titik belok Asimtot Sketsa grafik f ( x) 2
2
3. Diketahui fungsi implisit xy − 5 x y = −6 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1. 4. Diketahui daerah D dibatasi oleh y = x , x = 4, y = 0. tentukan : a. Luas daerah D b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1
-o0o-o0o-
13
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002 Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314 Waktu :120 Menit UTS 2001/2002
Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan. Kemudian kerjakan dengan da tepat !. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut a. b.
7 2 x
<3
−2< x−4 <3
2. Diketahui
x + 7 jika f ( x ) = 3 2 x − 1 jika
x ≤ b x > b
a. Tentukan b agar f ( x) kontinu ! b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b yang diproleh di atas ! 3. Tentukan persamaan garis singgung grafik f ( x) = 1 + 3 − 4 x yang sejajar dengan garis 2 x − 3 y = 3 � 4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y. Hitung : a. luas D b. volume benda putar jika D diputar terhadap y = -1
14
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001 Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314) Senin 23 Oktober 2000 UTS 2000/2001
1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a.
1 − 3 x ≤ 3x + 5
b. x − 1 <
2 x
x 2 , x < 1 2. Diberikan fungsi f ( x ) = px + q, x ≥ 1 a.
Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di x = 1 b. Tentukan nilai p dan q agar f ' (1) ada ! 3. Diberikan persamaan kurva x a.
Tentukan
dy
2
3
+ y
2
3
=2
di titik (1,-1)
dx b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva tersebut yang melalui titik (1,-1).
4. Hitunglah x
∫ t dt
a.
lim
x →0
b.
1 x
∫
x
x
2
sin x dx
−1
15
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja ) 5. Diberikan fungsi f ( x) = a. b. c. d. 6.
x 2 − 1
( x + 1) 2
Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada) Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya Carilah semua asimtotnya Sketsalah grafiknya 2
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = ( x − 4) , garis y = 4 , sumbu x dan sumbu y.
a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi sumbu x.
Selamat Mengerjakan Teriring do’a Kami Untuk Keberhasilan Anda
16
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000 Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314 Tanggal : Senin 1 November 1999 UTS 1999/2000
1. Tentukan himpunan jawab : x +
2. a. Hitung lim
x →−∞
b. Diketahui
2 x
≤3
x 2 − 2 x + 5
2x + 5 2
g ( x) − 3 ≤ x − 10 x + 25, tentukan lim g ( x) x →5
2
3. Diketahui f ( x) = x − 1 dan g ( x) = 1 + x a. Buktikan go f terdefinisi ! b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi go f !
2 x 2 + px − 15 x > 3 4. Diketahui f ( x) = 3 − x qx 2 − 7 x + 1 x ≤ 3 tentukan konstanta p dan q supaya f ( x) kontinu di x = 3 2
2
5. Diketahui kurva ( x − 3) + y = 2 a. Tentukan y’ b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x 6. f ( x) adalah fungsi kontinu , dan f (0) = f(2) = 0. Jika grafik y = f ' ( x ) seperti gambar di bawah ini
17
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
a. Tentukan selang kemonotonan f ( x) b. Tentukan selang kecekungan f ( x) c. Buat sketsa grafik f ( x)
Selamat Bekerja Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt
18
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
PEMBAHASAN
19
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 Jum’at, 9 April 2010 UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a.
x − 2
≤
x2 +1
4 x
2
x + 1
−
x − 2
4
≥0
2 4 x − ( x + 1)( x − 2)
4( x + 1)
(
2
2
4 x − x − x − 2 4( x + 1) 2 3 x + x + 2
4( x + 1)
≥0
)≥0
≥0
Karena 3 x 2 + x + 2 definit positif, maka jelas bahwa pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x + 1 > 0 yaitu x > −1 . Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah { x x > −1}. b. x − 5 x ≥ 2....(i ) Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk x − 5 , kita peroleh untuk x ≥ 5 pertaksamaan ( i) secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut ( x − 5)x ≥ 2
x 2 − 5 x ≥ 2
( x − 52 )2 − (52 )2 ≥ 2 ( x − 52 )2 ≥ 334 x −
5 2
≥
1 2
33
x − 52 ≥ 12 33 atau x − 52 ≤ − 12 33
20
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 yang memberikan penyelesaian
{(
)
}
Hp1 = x x ≥ 52 + 12 33 ∪ x ≤ 52 − 12 33 ∩ x ≥ 5 = x x ≥ 52 + 12 33 . Sedangkan untuk x < 5, pertaksamaan ( i) secara berturut turut menjadi − ( x − 5)x ≥ 2 2
− x + 5 x ≥ 2
x 2 − 5 x ≤ −2
( x − 52 )2 − (52 )2 ≤ −2 ( x − 52 )2 ≤ 174 x − −
1 2
5 2
−
5 2
≤
1 2
17
17 ≤ x − 52 ≤
1 2
5 2
+
1 2
17 ≤ x ≤
17 1 2
17
yang memberikan penyelesaian
{
}
Hp2= x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 ∩ x < 5 = x 52 − 12 17 ≤ x ≤ 52 + 12 17 Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi ( i) secara keseluruhan adalah Hp = Hp1 ∪ Hp2 = x
(
5 2
−
1 2
17 ≤ x ≤
2. Diberikan f ( x ) = sin 2 x dan g ( x ) =
5 2
+
1 2
)
17 ∪ x ≥
5 2
+
1 2
33 .
x−2
a. Menentukan D f , R f , Dg , dan Rg
D f = ℜ, R f = [−1,1], Dg = [2, ∞), dan Rg = [0, ∞) b. Memeriksa apakah g f dan f g terdefinisi Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah R f ∩ D g ≠ { } dan R g ∩ D f ≠ { }. o
o
Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh R f ∩ D g = { } yang menunjukkan bahwa g f tidak terdefinisi, o
sedangkan R g ∩ D f = [0, ∞) ≠ { } yang menandakan bahwa f g terdefinisi. o
21
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menetukan Dg f dan D f o
o
g
g f tidak terdefinisi, maka Dg
Karena
o
f
o
tidak dapat
ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh
D f
o
g
= x ∈ Dg g ( x )∈ D f = x ∈[2, ∞) x − 2 ∈ R
{
} {
}
= x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 = x x ≥ 2
a ,0 < x ≤ 1 3. Diberikan f ( x ) = x bx 2 − x, x > 1 Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) , yaitu a = b − 1 atau b = a + 1 (*) −
+
x →1
x →1
Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara berturut turut kita peroleh f − (1) = f + (1) '
'
lim
f ( x ) − f (1) x − 1
−
x →1
lim
−
x →1
lim
a x
−a
(
x →1− x x
lim − −
x →1
a
=
x
2 bx − x − a
+
− 1)
=
lim
x −1
(a + 1) x 2
lim
((a + 1) x + a )( x − 1)
+
+
− x − a
x −1
x →1+
x →1
− a = lim
x −1
+
x →1
a (1 − x )
lim
f ( x ) − f (1)
x →1
= lim
x − 1
=
x −1
((a + 1) x + a )
x →1
− a = 2a + 1
a = − 13
Dengan demikian b =
2 3
Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah a = − 13 dan b=
2 3
22
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. Diberikan f ( x ) = 5 x − 3x a. Menentukan selang kemonotonan 3
5
f ' ( x ) = 15 x 2 − 15 x 4 = 15 x 2 (1 − x )(1 + x ) − − −− + + + + + +− − − − −1
0 1 - f monoton naik jika f ' ( x ) > 0 yaitu pada selang (− 1,0 ) ∪ (0,1)
- f monoton turun jika f ' ( x ) < 0 yaitu pada (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ ) b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok
(
)
f " ( x ) = 30 x − 60 x 3 = 30 x 1 − 2 x 2 = 30 x 1 − 2 x 1 + 2 x ++++−−− +++ −−− −
•
•
•
1 2
0
1 2
- f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 yaitu pada − ∞,− - f cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 yaitu pada − - karena
pada
pada
x =
1 2
perubahan kecekungan serta f masing ada, maka ketiga titik
, x = − 1 2
1 2
, f − 1 2
,
7 4 2
1 2
1 2
∪ 0,
,0 ∪
, dan x = 0 1 2
1 2
1 2
,0
terjadi
, dan f (0) masing
, −
1 2
,−
7 4 2
, dan
(0,0) adalah titik belok. c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik minimum lokal karena f ' (− 1) = 0 dan f " (− 1) > 0 , sedangkan titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f ' (1) = 0 dan f " (1) < 0
f ( x ) = 5 x − 3x ditunjukkan pada gambar di samping
d. Grafik
3
5
23
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010 Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114 UTS Ganjil 2009/2010
1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan Pertaksamaan
tersebut
setara
dengan
−3< x
2
x 2 − 1 < 3.
−1< 3.
Kasus
x 2 − 1 > −3 disederhanakan menjadi x 2 > −2 yang akan selalu
terpenuhi untuk setiap x ∈ ℝ. Sedangkan kasus x 2 − 1 < 3 secara berturut turut diselesaikan sebagai berikut x 2 − 1 < 3 x 2 < 4
x < 2 −2< x<2
Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah { x x ∈ ℜ ∩ −2 < x < 2} = { x − 2 < x < 2}
sin (ax ) , x < 0 2. Diberikan f ( x ) = x x + 1, x ≥ 0 Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah lim f ( x ) = lim f ( x ) * x → 0 −
x →0 +
Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan lim f ( x ) = lim
x →0
−
x →0
−
sin (ax ) x
=
lim a
x →0
−
sin (ax ) ax
=a
lim
ax →0
sin (ax ) ax
=a
;a ≠ 0�
sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 1 � x →0
+
x →0
+
Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0. 3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1.
x 2 − 1 , x < 1 f ( x ) = x − 1 x + 1, x ≥ 1 24
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f . Perhatikan bahwa untuk x < 1 berlaku
( x − 1)( x + 1)
2
x − 1
=
= x + 1
x − 1 −1 (“pencoretan” x − 1 pada langkah di atas adalah benar karena x ≠ 1 ). Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa f ( x ) = x + 1 untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa
fungsi ini kontinu pada ℝ� khususnya pada x = 1. 2
2
2
4. Diketahui kurva xy + x + y = 3 a. Menentukan rumus y' Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk y ' , maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut
y 2 + 2 xyy'+2 x + 2 yy' = 0
2 xyy'+2 yy' = −2 x − y 2
(2 xy + 2 y ) y' = −2 x − y 2 y' = −
2 x + y 2
2 xy + 2 y b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1) Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu − 34 . Sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − 1 = − 34 ( x − 1) atau y = − 34 x +
7 4
5. Mengevaluasi h ' (4) jika diketahui f (4 ) = 4, f ' (4 ) = 2, g (4 ) = 4, g ' (4 ) = 4, dan h( x) = f (g( x))
Penerapan aturan rantai pada h( x ) menghasilkan h' ( x) = f ' (g( x))g ' ( x). Dengan demikian h ' (4 ) = f ' ( g (4 )).g ' (4 ) = f ' (4 ).g ' (4 ) = 2.4 = 8 6. f ( x ) =
x
=
( x − 1) + 1
=1+
1
; x ≠1
x − 1 x − 1 x − 1 a. Menentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi
25
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I f ' ( x ) = −
1
( x − 1)2 Karena f ' ( x ) < 0 untuk setiap
x ≠ 1 , maka f selalu turun pada
(-∞,∞)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok 2 f " ( x ) = ( x − 1)3 f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 yaitu untuk x > 1 , dan cekung ke
bawah jika f " ( x ) < 0 yaitu untuk x < 1 . f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = a x +b) a = lim
x →∞
f ( x) x
1 1 + 1 =0 x →∞ x x − 1
= lim
x →∞
1 =1 x − 1 x →∞ jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 1 b = lim f ( x) − ax = lim 1 +
- Asimtot tegak (berbentuk x = c) Karena lim f ( x ) = ∞ maka x = 1 merupakan asimtot tegak. x →1
d. Sketsa grafik f ( x )
26
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Jum’at, 17 April 2009 UTS Genap 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
x − 1 + 2 x − 1 ≤ 2......(i ) Menurut definisinya
x − 1 ; x ≥ 1 x − 1 = − ( x − 1) ; x < 1 2 x − 1 ; x ≥ 1 2 2 x − 1 = − (2 x − 1); x < 1 2 Sehingga : -
untuk x <1 2 (i) menjadi − ( x − 1) − (2 x − 1) ≤ 2 − 3x ≤ 0
x ≥ 0 Jadi untuk x <1 2 pertidaksamaan (i)
memiliki himpunan
penyelesaian Hp1 = {( x ≥ 0 ) ∩ ( x < 1 2 )} = {0 ≤ x < 1 2} -
untuk 1 2 ≤ x < 1 (i) menjadi − ( x − 1) + (2 x − 1) ≤ 2
x ≤ 2 Hp 2 = {( x ≤ 2 ) ∩ (1 2 ≤ x < 1)} = {1 2 ≤ x < 1}
-
untuk x ≥ 1 (i) menjadi
( x − 1) + (2 x − 1) ≤ 2 3 x ≤ 4 x ≤ 4 3 Hp3 = {( x ≤ 4 3) ∩ ( x ≥ 1)} = {1 ≤ x ≤ 4 3}
Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp 3 = {0 ≤ x ≤ 4 3} (ans)
27
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2. Menentukan persamaan garis singgung dari xy − 2 x + 3x = 3 yang tegak lurus dengan garis x–y+1 = 0. Kita tahu bahwa y’ merupakan gradient dari garis yang menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak lurus dengan garis x − y + 1 = 0 yang memiliki kemiringan 1, maka gradient garis singgung yang kita cari haruslah y’= -1/1 = -1. Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk y’ diperoleh secara berturut turut hasil berikut
(
)
2 D x xy − 2 x + 3 x = D x (3) y + xy '−4 x + 3 = 0 xy ' = 4 x − y − 3
y ' =
4 x − y − 3
x Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1, maka kita memperoleh
4 x − y − 3
= −1
x 4 x − y − 3 = − x y = 5 x − 3
Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan 2
x(5 x − 3) − 2 x + 3x = 3 3 x 2 = 3 x = ±1
untuk x = 1 diperoleh y = 2 dan untuk x = −1 diperoleh y = −8 . Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8). -
Di titik (1,2) persamaan garis y − 2 = −( x − 1) atau y = − x + 3 (ans) Di titik (-1,-8) persamaan garis y + 8 = −( x + 1) atau y = − x − 9 (ans)
singgungnya
adalah
singgungnya
adalah
28
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 3. Diberikan fungsi f ( x ) =
2
x + 3
.
x − 1 a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)
(
f ' ( x ) = =
) = 2 x
2 2 x ( x − 1) − x + 3
( x − 1)2 x 2 − 2 x − 3
( x − 1)2 +++
o
=
−−−
−1
2
2
− 2 x − x − 3
( x − 1)2
( x − 3)( x + 1) ( x − 1)2 o
−−−
1
o
+++
3
f ' ( x )
- f ( x) monoton naik jika f ' ( x ) > 0 yaitu pada (-∞,-1) dan (3, ∞) - f ( x) monoton turun jika f ' ( x ) < 0 yaitu pada (-1,1) dan (1,3) -
Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+ -) dan f (-1) ada maka titik (-1, f (-1)) = ( -1,-2) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 3 (- +) dan f (3) ada sehingga (3, f (3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )
(2 x − 2 )( x − 1)2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x − 3) f " ( x ) = ( x − 1)4 2 2( x − 1) − 2( x 2 − 2 x − 3) = ( x − 1)3 =
(
) (
2 x 2 − 2 x + 1 − 2 x 2 − 2 x − 3
( x − 1)3
−−−−−−−−− o
++++++ ++
)=
8
( x − 1)3
f " ( x )
1
- f ( x) cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 yaitu pada selang (1, ∞) - f ( x) cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 yaitu pada selang (- ∞,1) - f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1 bukanlah titik belok..
29
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = a x +b) a = lim
x →∞
f ( x ) x
= lim
x →∞
3 2 x = lim x →∞ 1 x 2 1 − x
x 2 + 3
( x − 1) x
= lim
x 2 + 3
x → ∞ x
3 1 + 2 x = lim 1 x → ∞ − 1 x
x 2 1 +
2
−x
=1
2
b = lim f ( x) − ax = lim
x →∞
x →∞
= lim
x + 3
= lim 1 +
x + 3 x − 1 4
x + 3 − x( x − 1) 2
− x = lim
x →∞
x −1
=1
x −1 x − 1 x→∞ jadi f memiliki asimtot miring (a ≠ 0 ) yaitu y = x + 1 (ans) x → ∞
-
Asimtot tegak (berbentuk x = c) 2
Karena lim f ( x ) = lim x →1
x →1
x + 3 x −1
= ∞ maka x = 1 merupakan
asimtot tegak. (ans) d. Grafik fungsi
30
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di samping. y perhatikan gambar di samping ! 6 Titik P dapat bergerak sepanjang garis l . persamaan garis l adalah l y − 0
=
x−5
6
⇒ y = − x + 6
P
6−0 0−5 5 Luas segi empat yang diarsir adalah
y
L( x ) = alas . tinggi
x
x
5
6 6 L( x ) = x. y = x − x + 6 = − x 2 + 6 x ;0 ≤ x ≤ 5 5 5 Nilai maksimum L( x ) terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval domain L( x ) . Titik stasioner terjadi ketika L' ( x ) = 0 yakni − 12 x + 6 = 0 ⇒ x = 5
5 2
Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu x =
5 2
yang
berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung interval domain L( x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L( x), kita evaluasi nilai L( x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni
L(52 ) = 15 , L(0) = 0 , L(5) = 0 . 2 jadi L( x) mencapai nilai maksimum pada x =
5 2
dengan luas
15 2
.
31
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009 Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114 Tanggal : Senin 27 Juli 2009 UTS Pendek 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a.
1 x + 1 1
≥ −
3 x−2 3
≥0
x + 1 x − 2 x − 2 − 3( x + 1)
( x + 1)( x − 2) − 2 x − 5
( x + 1)( x − 2)
≥0
≥0
+ +++ −−−− + +++ −−−− o o • 2 −1 −5 2
5
2
Hp = x x ≤ −
b.
3 − 2 x 1 + x
∪ −1 < x < 2(ans)
≤ 4.................(i )
Alternatif -1 (Menggunakan definisi ) Menurut definisinya 3 − 2 x 3 − 2 x ; ≥0 3 − 2 x 1 + x 1 + x = 1 + x − 3 − 2 x ; 3 − 2 x < 0 1 + x 1 + x
− −− −−
+ + + + + + − −− −− • 3 −1 2 o
3− 2 x 1+ x
atau
3 − 2 x ;−1 < x ≤ 32 3 − 2 x 1 + x = 3 − 2 x 1 + x − ; x < −1 ∪ x > 1 + x
3 2
32
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I -
3 2
Untuk − 1 < x ≤
3 − 2 x 1 + x 3 − 2 x
pertidaksamaan ( i) di atas menjadi
≤4 −4≤0
1 + x 3 − 2 x − 4(1 + x)
≤0
1 + x − 6 x − 1 ≤0 1 + x
−−−−− o
++++++
•
− 1
−1
−−−−−
6
− 6 x − 1
1 + x
pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika x < −1 ∪ x ≥ − 16 , sehingga untuk − 1 < x ≤ 32 himpunan penyelesaian ( i) adalah
{
Hp1 = x ( x < −1 ∪ x ≥ − 16 ) ∩ (− 1 < x ≤
-
3 2
)} = { x − 16 ≤ x ≤ 32 } .
Untuk x < −1 ∪ x > 32 pertidaksamaan (i) menjadi − − −
3 − 2 x 1 + x 3 − 2 x
≤4 −4≤0
1 + x 3 − 2 x + 4( x + 1) 1 + x
2 x + 7 1 + x
≤0
≥0
+++++ −7
•
+++++
−−−−−
o
−1
2
pertidaksamaan
terakhir
2 x + 7 1 + x
ini
terpenuhi
jika
x ≤ − 72 ∪ x > −1 sehingga
{ x x ≤ − ={
}
Hp2 = x ( x ≤ − 72 ∪ x > −1) ∩ ( x < −1∪ x > 32 ) 7 2
∪x>
3 2
}
Jadi himpunan penyelesaian dari ( i) yang dimaksud adalah
{
}
Hp = Hp1 ∪ Hp2 = x x ≤ − 76 ∪ x ≥ − 16 (ans )
33
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Aternatif -2 (Menggunakan sifat)
3 − 2 x 1 + x 3 − 2 x
≤4 2
≤4
1 + x
2
2
3 − 2 x 2 −4 ≤0 1 + x 3 − 2 x 3 − 2 x − 4 + 4 ≤ 0 1 + x 1 + x 3 − 2 x − 4( x + 1) 3 − 2 x + 4( x + 1) ≤0 1 + x 1 + x (−6 x − 1)(2 x + 7) (1 + x) −−−− −7
•
2
++++
o
−1
⋅≤ 0 ++++
•− − − −
− 1
2
6
Jadi himpunan penyelesaian bagi ( i) adalah
{
Hp = x x ≤ − 72 ∪ x ≥ − 16
} (ans)
Alternative -3 (menggunakan sifat lain) 3 − 2 x ≤4 1 + x −4 ≤
3 − 2 x
≤4
1 + x pertaksamaan ini setara dengan 3 − 2 x 3 − 2 x ≥ −4 dan ≤ 4 ………...(iii) 1 + x 1 + x pertaksamaan sebelah kiri ( iii) menjadi 3 − 2 x +4≥0 1 + x 3 − 2 x + 4(1 + x) ≥0 1 + x
34
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2 x + 7 1 + x
≥0
+++++ −7
+++++
−−−−−
•
o
1 + x
−1
2
Hp 1 = { x ≤ −
7 2
2 x + 7
}
∪ x > −1
Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan ( iii) menjadi 3 − 2 x ≤4 1 + x 3 − 2 x −4≤0 1 + x 3 − 2 x − 4(1 + x) ≤0 1 + x − 6 x − 1 ≤0 1 + x −−−−− o
++++++
−1
•
− 1
Hp 2 = { x < −1 ∪ x ≥ −
1 6
−−−−−
6
− 6 x − 1
1 + x
}
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah Hp = Hp1 ∩ Hp 2
{
= x ≤ − 72 ∪ x ≥ − 16
2. Diberikan fungsi f ( x ) =
} (ans) x − 2 dan g ( x ) = 3 − x
a. Menentukan Df , Rf , Dg, Rg
D f = [2, ∞) , R f = [0, ∞) Dg = (−∞,3] , Rg = [0, ∞) b. Memeriksa apakah go f terdefinisi Untuk mengetahuinya kita selidiki Berdasarkan hasil
apakah R f ∩ Dg ≠ { } .
pada poin sebelumnya kita memiliki
R f ∩ Dg = [0, ∞) ∩ (−∞,3] = [0,3] ≠ { }
yang
menunjukkan
bahwa go f terdefinisi. (ans)
35
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Dgof Menurut definisinya D gof = x ∈ R f f ( x )∈ D g
= x ∈ [0, ∞ )
x − 2 ∈ ( −∞,3]
{
}
= x ≥ 0 x − 2 ≤ 3 = x ≥ 0 x − 2 ≤ 9
{
}
= x ≥ 0 x ≤ 11 = {0 ≤ x ≤ 11} (ans)
3. a. Menghitung lim
3
x→+∞
lim
x→+∞
3
3 x + 5 6x − 8
3 x + 5 6x − 8
= lim
x → +∞
3
x (3 + x5 ) x (6
− x8
)
= lim
x →+∞
3
(3 + x5 ) (6 − x8 )
=3
1 2
(ans)
tan kx ; x < 0 b. Menentukan k agar f ( x ) = x kontinu di x = 0 2 3 x + 2k ; x ≥ 0 Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0 ) x →0
−
x →0
+−
Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut lim f ( x ) = f (0 ) x →0 −
lim
x →0
−
tan kx x
2
= 2k
k = 2k 2
2k 2 − k = 0 k (2k − 1) = 0 k = 0 atau k =
1 2
Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah k ∈ {0, 12 } (ans) 4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4
2 x + 3 , x ≤ 4 f ( x ) = 16 7 + x , x > 4 36
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah f − (4) = f + (4) . '
'
Sekarang f ( x ) − f (4)
f − (4) = lim '
x → 4 −
= lim x → 4
x − 4 2 x + 3 − 11 x − 4
−
= lim x →4
−
2 x − 8 x − 4
2( x − 4)
= lim x →4
x−4
−
=2
Sedangkan f + (4 ) = '
f ( x ) − f (4)
lim
x → 4
x − 4
+
7+
16
16
− 11
−4
x x = lim = lim x 4 x 4 − − x → 4 x →4 x → 4 − 4( x − 4 ) = lim = −1 x → 4 x ( x − 4 )
= lim
+
+
16 − 4 x x x−4
+
+
Karena f − (4) ≠ f + (4 ) maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4 '
'
5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi sin y + cos x = 1 a. Menentukan nilai y ' D x (sin y + cos x ) = D x (1) y ' cos y − sin x = 0 y ' cos y = sin x
y ' =
sin x
(ans)
cos y
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik
(2 , 4 )
Di titik
(2 , 4 )
π
π
π
π
y ' =
1 1 2
=
2
2
Sehingga persamaan garis singgung di titik y −
π
4
=
2 (x −
) atau y = 2
π
2x+
1 4
−
1 2
2
π �
(2 , 4 ) π
π
adalah
(ans)
37
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan persamaan garis normal y −
π
4
1 2
=−
(x − 2 ) atau y = − 12 π
2x +
(2 , 4 ) π
di titik
(1+ 2 ) π 4
π
adalah
.(ans)
6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh f ( x ) = x + 5 x 5
4
a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim 4 3 3 f ' ( x ) = 5 x + 20 x = 5 x (x + 4)
+++++
−−−−− o
+++++ o
0
−4
f ' ( x )
- f ( x) monoton naik jika f ' ( x ) > 0 yaitu pada selang (- ∞,-4)
dan (0,∞) - f ( x) monoton turun jika f ' ( x ) < 0 yaitu pada selang (-4,0) -
karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+ -) dan f (-4) ada maka titik (-4, f (-4)) = ( -4,256) merupakan titik maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan kemonotonan pada x = 0 (- +) dan f (0) ada sehingga (0, f (0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada 3 2 2 f " ( x ) = 20 x + 60 x = 20 x ( x + 3)
−−−−−
+++++ o
−3
+++++ o
0
f " ( x )
- f ( x) cekung ke atas jika f " ( x ) > 0
yaitu pada selang (-3,0) dan (0, ∞) - f ( x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0 yaitu pada selang (-∞,3)
-
Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = -3 dan f (-3) ada maka titik (-3, f (-3))=(-3,162) merupakan titik belok.
c. Grafik f ( x ) diperagakan di samping
38
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114 Tanggal : 29 Oktober 2007 UTS 2007/2008 1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan :
a.
x + 3
x
≤
x + 1 x − 2 x + 3 x −
≤0
x + 1 x − 2 ( x + 3)( x − 2) − x( x + 1)
( x + 1)( x − 2)
≤0
x 2 − 2 x + 3 x − 6 − x 2 − x
( x + 1)( x − 2) −6
( x + 1)( x − 2) -----
≤0
≤0
----
-1
2
Hp = { x x < −1 ∪ x > 2}
b.
1 x 1 x
−2 >1 2
−2
>1
1 − 2 x
2
2
−1
2
>0
1 1 − 2 − 1 − 2 + 1 > 0 x x 1 1 − 3 − 1 > 0 x x (1 − 3 x)(1 − x) 2
>0
x + ++ + + ++ -- -- -- -- + ++ • • • 0 1 / 3 1
{
}
Hp = x ( x < 0) ∪ (0 < x < 13 ) ∪ x > 1
39
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2. Diketahui f ( x) = 2 + x 2 , g ( x) = 1 a. Menentukan � � � - D f = R(ans) -
Untuk setiap x ∈ R berlaku x 2 ≥ 0 2 + x 2 ≥ 2 f ( x ) ≥ 2
Sehingga R f = [2, ∞ )(ans) -
D g = R (ans )
-
R g = {1}( ans )
b. Memeriksa apakah go f terdefinisi dan menentukan go f jika terdefinisi. Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah R f ∩ D g ≠ { } . Dari hasil
pada
poin
sebelumnya
kita
R f ∩ Dg = [2, ∞) ∩ R = [2, ∞ ) ≠ { } yang menunjukkan
memiliki bahwa
gof terdefinisi (ans).
Selanjutnya go f ( x) = g ( f ( x))
2
= g ( 2 + x ) = 1, (ans)
c. Menentukan Dgof Menurut definisinya, D gof = x x ∈ D f , f ( x) ∈ D g = x x ∈ R, x 2 + 2 ∈ R
{
} {
}
}
= x x ∈ R, x ∈ R = x x ∈ R (ans)
1 ( x − 1)2 sin ; x ≠ 1 3. Memeriksa apakah f ( x ) = x − 1 1 ; x = 1 kontinu di x = 1.
Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah lim f ( x) = f (1) . x →1
Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1 berlaku
40
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
1 ≤1 x − 1
− 1 ≤ sin 2
1 2 ≤ (x − 1) x − 1
2
− ( x − 1) ≤ ( x − 1) sin 2
2
− ( x − 1) ≤ f ( x ) ≤ (x − 1)
2
lim − ( x − 1) = 0
Selanjutnya
dan
x →1
2
lim ( x − 1) = 0 ,
sehingga
x →1
menurut teorema apit lim f ( x ) = 0 . Jadi karena lim f ( x) = 0 ≠ f (1), x →1
x →1
maka f tidak kontinu di x = 1. 2
4. Diketahui f ( x ) =
x − 6 x + 9
x a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim (2 x − 6) x − ( x 2 − 6 x + 9)
f ' ( x ) = =
x
x 2 − 9 x 2
=
2
=
2 x 2 − 6 x − x 2 + 6 x − 9) x
2
( x − 3)( x + 3) 2
+ ++ + -- -- - - -- -- - + + ++
• -3
•
0
- f monoton naik jika
•
3
f ' ( x )
> 0, yaitu pada selang
f ' ( x )
< 0, yaitu pada selang
(− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) - f monoton turun jika
(− 3,0) ∪ (0,3) -
Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+ -) dan f (-3) ada , maka titik (-3, f (-3)) = (-3,-12) merupakan titik maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di x =3 (+ -), maka titik (3, f (3)) = (3,0) merupakan titik minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan f ' ( x ) =
x 2 − 9
f ' ' ( x) =
x 2 18 x
=1−
9 x 2
3
41
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f cekung ke atas jika f " ( x ) > 0 , yaitu untuk x > 0 - f cekung ke bawah jika f " ( x ) < 0 , yaitu pada selang (− ∞ ,0 ) - f tidak memiliki titik belok. c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = a x + b) a = lim
x →∞
f ( x) x
= lim
2 x − 6 x + 9
x
x →∞
b = lim f ( x) − ax = lim x → ∞
= lim
x 2 − 6 x + 9
x →∞
− 6 x + 9
2
6 9 + =1 2 x →∞ x x
= lim 1 −
x 9
= lim − 6 +
− x = lim
x 2 − 6 x + 9 − x 2
x →∞
x
= −6
x x x →∞ Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6 x →∞
-
Asimtot tegak ( berbentuk x = c) Karena
lim f ( x ) = lim
x 2 − 6 x + 9
x merupakan asimtot tegak dari f . x → 0
x → 0
2
=∞
,
maka
x = 0
d. Grafik f ( x)
42
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007 Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114 Senin 13 November 2006 UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari :
a. − 1 <
1
<5
2 x − 1 Pertaksamaan ini setara dengan 1 1 > −1 dan < 5 ……....(i) 2 x − 1 2 x − 1 pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi 1 + (2 x − 1) >0 2 x − 1 2 x >0 2 x − 1 ----o
0
o
1/2
Hp1 = { x x < 0 ∪ x > 1 / 2} pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi 1 − 5(2 x − 1) <0 2 x − 1 6 − 10 x <0 2 x − 1 -----+++++ ----o
1/2
o
3/5
Hp2 = { x x < 1 / 2 ∪ x > 3 / 5} Jadi
himpunan
penyelesaian
yang
dimaksud
adalah
Hp = Hp1 ∩ Hp2 = { x x < 0 ∪ x > 3 / 5}(ans) b.
4 x
≥ x − 3 ……………………………………………………..(ii)
x ; x ≥ 0 Menurut definisinya x = − x ; x < 0
43
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
sehingga : -
untuk x ≥ 0 (ii) menjadi 4 ≥ x − 3 x 4 − x( x − 3) ≥0 x 2 − ( x − 3 x − 4 ) ≥0 x ( x − 4)( x + 1) ≤0 x − − −
•
+ + +
− 1
•
− − − − −
0
•
+ + +
4
Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4 , sehingga himpunan penyelesaian bagi ( ii) untuk x ≥ 0 adalah
Hp1 = { x ( x ≤ −1 ∪ 0 < x ≤ 4) ∩ x ≥ 0} = { x (0 < x ≤ 4)} -
untuk x < 0 (ii) menjadi 4 ≥ x − 3 − x − 4 − x( x − 3) ≥0 x
( x
2
− 3 x + 4
x
)≤ 0
Karena x 2 − 3 x + 4 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika x < 0 . Sehingga himpunan penyelesaian untuk ( ii) adalah
Hp 2 = { x x < 0 ∩ x < 0} = { x x < 0} Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk ( ii) adalah
Hp = Hp1 ∪ Hp2 = { x x ≤ 4 ; x ≠ 0} (ans) 2
2. Diberikan f ( x) = x dan g ( x) = 1 − x a. Memeriksa apakah f og terdefinisi Untuk memeriksanya kita selidiki apakah Rg ∩ D f ≠ { }.
44
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I D f = [0, ∞ ), Sekarang
R f = [0, ∞) , D g = R
perhatikan
bahwa
untuk
setiap
x ∈ R berlaku
x 2 ≥ 0 2
− x ≤ 0
1 − x 2 ≤ 1 g ( x ) ≤ 1,
Dengan
Rg = (− ∞,1] .
demikian
Kemudian
karena
R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞) = [0,1] ≠ { } , maka f og terdefinisi/ada. b. Menentukan f og dan D fog 2
f og ( x ) = f ( g ( x )) = f (1 − x ) = 1 − x
2
Menurut definisinya D fog = x ∈ R x ∈ D g , g ( x) ∈ D f
}
= x ∈ R x ∈ R ,1 − x ∈ [0, ∞ ) 2
= x ∈ R 1 − x = x ∈ R x
2
2
}
≥0
≤1
{
}
= x ∈ R x ≤ 1
{
}
= x ∈ R − 1 ≤ x ≤ 1
3. Menentukan a agar lim 9 x 2
− ax − 7 + 3 x = 1
x → −∞
lim
9 x 2 − ax − 7 + 3 x = 1
x → −∞ 2 − ax − 7 − 3 x x 9 − − + =1 9 x ax 7 3 x lim 2 x→−∞ 9 x − ax − 7 − 3 x 2
lim
x → −∞
lim
x → −∞
9 x 2 − ax − 7 − 9 x 2 2
=1
9 x − ax − 7 − 3 x − ax − 7
x 9 −
a
−
7
x x
2
=1 − 3 x
45
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 7 x − a − x
lim
x → −∞
− x 9 −
−
9−
−a −
7
−
x
x
− 3 x
2
7 − a − x
lim
x → −∞
a
=1
9 −3
a x
=1
=1
7
−
x
−3
2
⇒ a = 6 2 x
4. Diberikan f ( x ) =
4 − x 2 a. Menentukan selang kemonotonan f ' ( x) =
2( 4 − x 2 ) − (−2 x) 2 x 2
( 4 − x )
2
=
8 − 2 x 2 + 4 x 2 2
( 4 − x )
2
=
2 x 2 + 8 ( 4 − x 2 ) 2
f ' ( x ) selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, ( x ≠ ± 2). Ini
berarti f ( x) selalu naik pada interval (-∞,∞)/{�2}. Fakta ini juga menunjukkan bahwa f ( x) tidak memiliki nilai ekstrim . b. Menentukan selang kecekungan f ' ' ( x) = =
4 x(4 − x2 )2 − 2(4 − x2 )(−2 x)(2 x2 + 8) (4 − x2 )4 4 x( 4 − x 2 ) + 4 x( 2 x 2 + 8) 2
( 4 − x ) =
3
4 x 3 + 48 x 3
( 2 − x ) ( 2 + x )
3
=
( 2 − x) 3 ( 2 + x ) 3 -----
0
( 4 − x 2 ) 3
2 4 x( x + 12)
-----
-2
=
16 x − 4 x 3 + 8 x 3 + 32 x
f “(x)
2
- f ( x) cekung ke atas jika f ' ' ( x ) > 0 , yaitu pada interval
x < −2 dan 0 < x < 2
46
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f ( x) cekung ke bawah jika f ' ' ( x) < 0 , yaitu pada interval − 2 < x < 0 dan x > 2
-
Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f (0) ada, maka titik (0, f (0)) = (0,0) adalah titik belok.
c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = a x +b) f ( x) 2 x 2 = lim = lim =0 a = lim 2 2 x →∞ x x →∞ ( 4 − x ) x x →∞ ( 4 − x ) b = lim f ( x) − ax = lim
2 x
= lim
2 x 2 x
=
0
=0
2 4 −1 x 2 −1 x Dengan demikian f ( x) memiliki asimtot datar yaitu berupa garis y = 0. x →∞
-
x →∞
2
(4 − x )
x →∞
Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) 2 x 2 x Karena lim = ∞, dan lim = ∞ maka f ( x) memiliki 2 2 x→2 4 − x x→−2 4 − x dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2
d. Grafik f ( x)
R
Q ( x, y) 44
O
grafik f ( x ) =
2 x 4 − x 2
P P
Gambar 5
47
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Perhatikan gambar 5 di atas ! a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah. Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan x + y = 16 ⇒ y = 16 − x 2
2
2
Sehingga luas persegi panjang = L( x) = 4× luas persegi panjang OPQR. L ( x ) = 4 × OP × PQ = 4 x 16 − x
2
0≤ x≤4
b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum. Nilai maksimum L( x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi ketika L’( x) = 0 yakni 4 16 − x 2 + 4 x.
(−2 x) 2 16 − x 4 x 2
2
4 16 − x −
16 − x 4 16 − x 2
2
− 4x
2
2
2
=0
=0
=0
64 − 4 x 2 = 4 x 2 8 x 2 = 64
x = ± 8 Karena 0 ≤ x ≤ 4 maka x yang mememuhi adalah x = 8 . Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu x = 8 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal dari ujung interval domain L( x). Untuk mengetahui dimana L( x) mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L( x) pada titik-titik kritis tersebut yaitu L( 8 ) = 32 , L(0) = 0 , L(4) = 0 . Karena persegi
L( 8 ) = 32 merupakan luas maksimum, maka ukuran panjang agar luasnya maksimum adalah
2.OP × 2.PQ = 2 8 × 2 8 = 4 2 × 4 2 (ans) .
48
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006 Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114) Senin 17 Oktober 2005 UTS 2005/2006
1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva
x − xy + y = 16 .........(i ) dengan sumbu x. 2
2
Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga 2
dari (i) diperoleh x = 16 atau x = ±4 Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu (4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut. D x ( x 2 − xy + y 2 ) = D x (16)
2 x − ( y + xy') + 2 yy' = 0 2 x − y − xy'+2 yy' = 0 ( 2 x − y ) − ( x − 2 y ) y ' = 0 (2 x − y ) = ( x − 2 y ) y '
y' =
2 x − y x − 2 y
Di titik (4,0), y ' = 2 Di titik (-4,0), y ' = 2 Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah y − 0 = 2(x − 4 ) atau y = 2 x − 8 (ans ) , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 2(x − (− 4 )) atau y = 2 x + 8 (ans ). 2. Menentukan
himpunan
penyelesaian
pertaksamaan
2 x + 1 + x( x + 1) ≤ 4..............(iii ) Menurut definisinya x + 1, x ≥ −1 x + 1 = − ( x + 1), x < −1
49
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sehingga - untuk x ≥ -1 (iii) menjadi 2( x + 1) + x( x + 1) ≤ 4 2 x + 2 + x 2 + x ≤ 4 x 2 + 3 x ≤ 2
( x + 32 )2 − ( 32 )2 ≤ 2 ( x + 32 )2 ≤ 174 x +
3 2
1 2
≤
17
−
1 2
17 ≤ x +
−
1 2
17 −
3 2
3 2
≤
1 2
17
≤x≤
1 2
17 −
3 2
Hp1 = [−1, ∞) ∩[− 12 17 − 32 , 12 17 − 32 ] = [−1, 12 17 − 32 ] - sedangkan untuk x < -1 ( iii) menjadi 2(− ( x + 1) ) + x (x + 1) ≤ 4 − 2 x − 2 + x
2
+ x≤4
x 2 − x − 6 ≤ 0 ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 3 ( periksa !) − 2 ≤ x ≤ Hp 2 = (−∞,−1] ∩ [−2,3] = [ −2,−1]
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk ( iii) adalah
Hp = Hp1 ∪ Hp2
= − 1, 12
17 −
3 2
1 ∪ [− 2,−1] = − 2, 2
9 x 2 + ax + 4 + 3 x =
3. a. Menentukan a agar lim
x →−∞
2
lim 9 x + ax+ 4 + 3 x.
x→−∞
2
lim
x →−∞
17 − 32 (ans)
1 3
9 x2 + ax+ 4 − 3 x 1 =
9 x + ax+ 4 − 3 x 3
9 x + ax + 4 − 9 x
2
2
9 x 2 + ax + 4 − 3 x
=
1 3
50
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I ax + 4
lim
9 x + ax + 4 − 3 x
x a +
lim
x → −∞
x
2
9+
a
lim
a
x 9 +
4
−
9+
a
=
=
4
+
x
2
− 3 x
=
4 x
2
1 3
1 3
−3
1 3
9 −3 1 a
−6
− 3 x
2
x
+
x
3
4
x
a
1
=
4 a + x
lim
−
a
3
− 3 x
2
x x
− x 9 +
x
1
=
4
+
+
x
lim
x
4
x a + x → −∞
4
x
x a +
x → −∞
3
2
x → −∞
x → −∞
1
=
=
3 a = −2(ans) b. Menentukan nilai a dan b jika lim
a + cos(bx) 2
x lim a + cos(bx) haruslah bernilai 0. Sebab x → 0
= −2
jika hal ini tidak
x → 0
lim a + cos(bx ) = c ≠ 0 )
terjadi (katakanlah
akan berakibat
x → 0
lim
x →0
a + cos(bx) x
2
=
c
lim x
2
=∞
x →0
51
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I yang bertentangan dengan pernyataan lim
a + cos(bx) x
x →0
2
= −2
Tulis lim a + cos(bx) = 0 x →0
a + cos 0 = 0
(ans)
a + 1 = 0, a = −1
Kemudian karena sekarang lim
a + cos(bx ) 2
x kita dapat menerapkan dalil L’Hospital a + cos(bx) = −2 lim 2 x →0 x − b sin(bx) = −2 lim x →0 2x x →0
berbentuk
0 0
maka
2
lim
− b cos(bx )
2
x → 0
−b
2
2
= −2
⇒ b 2
= −2
x
4. Diberikan f ( x) =
⇒ b = ±2(ans )
=4 ⋅
2
x + 1 a. Menentukan selang kemonotonan f ' ( x ) =
(
)
2 1 x + 1 − (2 x ) x
( x
- - - - - -
-1
2
)
+1
2
2
=
x + 1 − 2 x 2
( x + 1)
+ + + +
2
2
=
1 − x 2
2
( x + 1)
2
.
- - - - - - f ‘( x x)
1
- f ( x x) monoton naik jika f ' ( x ) > 0, yaitu pada selang (-1,1). x) monoton tutun jika f ' ( x ) < 0 , yaitu pada selang (- ∞,-1) - f ( x dan (1,∞). - Karena terjadi perubahan kemonotonan (- + ) dititik x = -1 dan f (-1) (-1) ada, maka (-1,- ½) merupakan titik minimum lokal. Selain itu pada x = 1 terjadi perubahan kemonotonan ( + -) dan f (1) (1) , maka titik (1,½ ) merupakan titik maksimum local.
52
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan selang kecekungan 2
f '' ( x) = =
2
2
2
− 2 x( x +1) − 2( x +1)(2 x)(1− x ) 2
4
( x +1) − 2 x( x
2
2
+ 1) − 2( 2 x)(1 − x ) 2 3 ( x + 1)
3
=
− 2 x − 2 x − 4 x + 4 x 2
( x + 1) =
⋅
2 x( x 2 − 3) 2 3 ( x + 1)
- - - -
−
=
3
=
3
3 2 x − 6 x 2 3 ( x + 1)
2 x ( x − 3 )( x + 3 ) 2 3 ( x + 1)
+ + + +
- - - 0
3
+ + + + f “( “( x x)
3
- f cekung ke atas jika f ' ' ( x) >0, yaitu pada selang (− 3,0) dan
( 3, ∞) - f cekung ke bawah jika
f ' ' ( x) <0, yaitu pada selang
(−∞,− 3 ) dan (0, 3 ) - Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 3 , x = 0 dan x = − 3 serta f ( 3 ), f (0), f (− 3 ) masing masing ada, maka ( 3, f ( 3 )) , (0 f (0)) , dan (− 3, f (− 3 )) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring (berbentuk y = a x +b) x 1 f ( x) = lim = lim =0 a = lim 2 2 x →∞ ( x + 1) x x →∞ ( x + 1) x →∞ x b = lim f ( x) − ax = lim
x 2
=0
( x + 1) jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 0. x →∞
x →∞
- f tidak memiliki asimtot tegak tegak
53
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I x) d. Sketsa grafik f ( x y 1,1/2 •
3,0.1 3 •
x
0,0
•
•
− 3,−0.1 3
•
-1,-1/2
grafik f ( x) =
x 2
⋅
x + 1
y z ,z agar volume kotak pada gambar di bawah 5. Menentukan ukuran x, y ini maksimum. Terlebih dahulu kita tentukan fungí dari volume benda sebagai suatu peubah.. 8m y
x
⋅
5m
z
2 x + 2 y = 8, ⇒ y = 4 − x
2 x + z = 5, ⇒ z = 5 − 2 x Volume = V = y × z × x V ( x) = ( 4 − x)(5 − 2 x) x 2
= (20 − 8 x − 5 x + 2 x ) x 2
= (20 − 13 x + 2 x ) x = 20 x − 13 x
2
3
+ 2 x ; 0 ≤ x ≤
5 2
54
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Titik maksimum V ( x) terletak pada titik kritisnya
yaitu pada titik
stasioner atau pada ujung interval dari domain V ( x). Titik stasioner terjadi ketika V ’( ’( x x) = 0 yakni
20 − 26 x + 6 x 2 = 0 20 − 26 x + 6 x 2 = 0 3 x 2 − 13 x + 10 = 0 (3 x − 10)( x − 1) = 0
x = 1 ∪ x = 10 3 Kita tolak x = 103 Karena tidak berada pada interval 0 ≤ x ≤ 52 . Jadi
sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu x = 1 yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 52 yang berasal dari ujung interval domain V ( x) . Untuk mengetahui dimana V ( x) mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai V ( x) pada titiktitik kritis tersebut, yaitu 3
V ( 52 ) = 0 m . V (1) = 9 m 3
V (1) = 9m
merupakan
3
, V (0) = 0 m 3 dan
volume
maksimum,
sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x = 1 , y = 3, z = 3 . (ans)
55
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114 Senin 25 November 2004 UTS 2004/2005 1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x − 3 < x4 ......(i )
Menurut definisinya
x − 3 , x ≥ 3 x − 3 = − ( x − 3) , x < 3 Sehingga : - Untuk x ≥ 3 (i) menjadi
x − 3 < x4 x − 3 − x4 < 0 x( x − 3) − 4 x
<0
2
x − 3 x − 4
<0
x ( x − 4)( x + 1)
x
<0
- - - - - + + + - - - - - + + + + -1
0
4
x < −1 ∪ 0 < x < 4
Hp1 = { x ( x < −1 ∪ 0 < x < 4) ∩ x ≥ 3
{
}
= x 3 ≤ x < 4
- Sedangkan untuk x < 3 (i) menjadi − ( x − 3) < x4 − x + 3 − x4 < 0
x(− x + 3) − 4 x
<0
2
x − 3 x + 4
>0
56
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Karena x 2 − 3 x + 4 definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x > 0, sehingga
Hp2 = { x x > 0 ∩ x < 3} = { x 0 < x < 3} Dengan demikian
himpunan penyelesaian akhir bagi ( i) adalah
Hp = Hp1 ∪ Hp 2 = { x 0 < x < 4} (ans)
2. Menentukan
persamaan
garis
singgung
pada
kurva
2 2 y + Cos( xy ) + 3 x = 4.....(ii ) di titik potong kurva dengan sumbu x.
Letak titik potong kurva dengan sumbu x adalah y = 0, sehingga dari (ii) diperoleh Cos 0 + 3 x 2 = 4
1 + 3x 2 = 4 2 x = 1 x = ±1
Dengan demikian kita memiliki 2 titik singgung yang akan kita cari persamaan garis singgungnya yaitu (1,0), dan (-1,0). Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung pada kedua titik tersebut. 2
2
D x ( y + cos( xy ) + 3 x ) = D x 4 2
2
y '− sin( xy ).( y + 2 yy' x) + 6 x = 0 2
2
2
y'− y sin( xy ) − 2 xyy' sin( xy ) + 6 x = 0 2
2
2
y'−2 xyy' sin( xy ) = y sin( xy ) − 6 x
(1 − 2 xy sin( xy 2 ) y ' = y 2 sin( xy 2 ) − 6 x 2
y ' =
2
y sin( xy ) − 6 x
1 − 2 xy sin( xy 2 )
Di titik (1,0) y’= -6 dan di titik (-1,0) y’= 6. Jadi persamaan garis singgung di titik (1,0) adalah y − 0 = −6( x − 1) y = −6 x + 6 (ans )
sedangkan di titik (-1,0) persamaan garis singgungnya adalah y − 0 = 6( x − ( −1)) y = 6 x + 6 (ans )
57
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I x 3 − 1
3. Menghitung lim
2 x + 2 − 2
x →1
lim
x →1
x 3 − 1
2 x + 2 − 2
x 3 − 1
= lim
2 x + 2 − 2
x →1
= lim
( x 3 − 1)( 2 x + 2 + 2) 2x − 2 2 ( x − 1)( x + x + 1)( 2 x + 2 + 2)
2( x − 1)
x →1
= lim
2 x + 2 + 2
2x + 2 − 4
x →1
= lim
2 x + 2 + 2
( x 3 − 1)( 2 x + 2 + 2)
x →1
= lim
⋅
( x 2 + x + 1)( 2 x + 2 + 2) 2
x →1
4. Menentukan nilai ekstrim dari f ( x) = f ' ( x) =
( x 2 + 1) − (2 x) x 2
( x + 1)
- - - - - -
2
=
1 − x 2 ( x 2 + 1) 2
=
x 2
x + 1
=6
pada selang [- ½ ,2].
(1 − x )(1 + x ) ( x 2 + 1) 2
+ + + + + + + - - - - - f ‘( x) • • -1 -½ 1 2
Pada selang [- ½ ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung
x = − 12 dan x = 2 serta titik stasioner x = 1. Untuk −
1 2
< x < 1 , f ' ( x ) > 0 sedangkan untuk 1 < x < 2 , f ' ( x) < 0.
jadi f (1) = 12 merupakan nilai maksimum f pada selang [-½ ,2]. Jika f memiliki nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya yaitu pada x = − 12 atau x = 2 . Sekarang f (− f ' ( x ) > 0 untuk −
1 2
1 2
) = − 52 dan
< x < 0 . Kemudian f (0) = 0 dan f ( x ) > 0 > − 52
untuk 0 < x ≤ 2 , sehingga f (−
1 2
) = − 52 adalah
nilai minimum
f
pada [- ½ ,2].
58
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.
2
Titik p dapat bergerak sepanjang kurva y = − x + 4 x ( periksa !) Luas pqr = L( x) = 2.Luas prs L( x) = 2.
ps.rs
2
= ps.rs = ps. p ' p 2
= ( x − 2)(− x + 4 x) 3
2
3
2
2
= − x + 4 x + 2 x − 8 x
= − x + 6 x − 8 x ; 2 ≤ x ≤ 4
Untuk menentukan nilai maksimum L( x), terlebih dahulu harus ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan menyelesaikan L' ( x ) = 0 2
− 3 x + 12 x − 8 = 0 2
x − 4 x +
8 3
=0
( x − 2) 2 − 4 + 83 = 0 ( x − 2) 2 = x = 2 ±
4 3
4 3
Kita tolak x = 2 −
4 3
karena tidak berada dalam selang 2 ≤ x ≤ 4 .
Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis, sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang merupakan titik maksimum, kita evaluasi L( x) pada titik kritis yang kita miliki, yakni f ( 2 +
4 3
) = 163 3 , f ( 2) = 0 , f ( 4) = 0 . Jadi
Luas segitiga maksimum adalah
16 3
3.(ans)
59
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 6 Oktober 2003 UTS 2003/2004
1. Menetukan daerah asal suatu fungsi: a. f ( x) = 2 x − 2 − x − 5 D f = { x f ( x) ∈ R} = x
2 x − 2 − x − 5 ∈ R
{
}
= x 2 x − 2 − x − 5 ≥ 0
Kita selesaikan pertidaksamaan 2 x − 2 − x − 5 ≥ 0..(i ) Menurut definisinya x − 2 ; x ≥ 2 x − 2 = − ( x − 2 ) ; x < 2
x x =
; x ≥ 0
− x ; x < 0
Sehingga : - untuk x ≤ 0 (i) menjadi 2( −( x − 2)) − ( − x ) − 5 ≥ 0 − 2 x + 4 + x − 5 ≥ 0 − x − 1 ≥ 0
x ≤ −1
Hp1 = { x x ≤ 0 ∩ x ≤ −1} = { x x ≤ −1}
- kemudian untuk 0 < x < 2 (i) menjadi 2( −( x − 2)) − x − 5 ≥ 0 − 2 x + 4 − x − 5 ≥ 0 − 3x − 1 ≥ 0
x ≤ − 13
{
}
Hp 2 = x 0 < x < 2 ∩ x ≤ − 13 = { }
60
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - sedangkan untuk x ≥ 2 (i) menjadi 2( x − 2) − x − 5 ≥ 0 2 x − 4 − x − 5 ≥ 0 x ≥ 9 Hp 3 = { x x ≥ 2 ∩ x ≥ 9} = { x x ≥ 9}
Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi ( i) adalah Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3 = { x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} yang sekaligus menjadi daerah asal f yaitu D f = { x x ≤ −1 ∪ x ≥ 9} (ans) x 3 − x 2 − 6 x
b. f ( x) =
x + 3 Menurut definisinya D f = { x f ( x) ∈ R} 3
{
= x
2
x − x − 6 x +3
≥ 0 ; x ≠ −3}
Kita selesaikan pertidaksamaan 2 x( x − x − 6)
+3
+3
≥ 0....................(ii )
≥0
x( x − 3)( x + 2) x + 3
3 2 x − x − 6 x
≥0
+ + + + + -- - + + + + - - - - - - - - + + + + -3
-2
0
3
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah { x x < −3 ∪ −2 ≤ x ≤ 0 ∪ x ≥ 3} yang sekaligus menjadi daerah asal f . (ans) 2. a. Menghitung lim
1 + cos x
x →π x
2
sin x
Karena limit berbentuk
0 0
, maka
kita dapat menerapkan
dalil L’Hopital. lim
1 + cos x
x →π x
2
sin x
= lim
x →π
− sin x 2
2 x sin x + x cos x
=
0 0 − π
2
= 0 (ans )
61
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I b. Menentukan a agar lim
4 x 2 + ax + 2 x = 5
x →−∞
4 x 2 + ax + 2 x = 5
lim
x → −∞
4 x 2 + ax − 2 x
2
4 x + ax + 2 x ⋅
lim
2
x → −∞
4 x + ax − 2 x
4 x 2 + ax − 4 x 2
lim
=5
2
x →−∞
4 x + ax − 2 x ax
lim
x →−∞
x 2
a
4+
x
=5 − 2 x
ax
lim
x →−∞
=5
x 4 +
− x 4 +
− 2 x
a x
=5 − 2 x
a
lim
x → −∞
x
ax
lim
x →−∞
a
=5
−
a −
4+
a x
=5 −2
=5
4−2 a = −20 (ans)
3. Memeriksa apakah
x 2 f ( x) = 2 x
− 2 x + 3, x ≥ 1 − 2 x + 2, x < 1
diferensiabel di x = 1. Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di x = 1 karena lim f ( x ) = 2 = f (1) sedangkan lim f ( x ) = 1 . Ini x →1+
x→1−
mengakibatkan f tidak diferensiabel di x = 1. (ans) 62
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 4. f ( x) =
2 x + x − 1
x − 1 a. Menentukan selang kemotonan
f ' ( x) =
(2 x + 1)( x − 1) − 1( x 2 + x − 1) ( x − 1) 2 - - - 0
=
x 2 − 2 x
( x − 1) 2
=
x( x − 2)
( x − 1) 2
- - - -
1
2
- f ( x) naik jika f ‘( x) > 0, yaitu pada selang (- ∞,0) dan (2,∞). - f ( x) turun jika f ‘( x) < 0, yaitu pada selang (0,1) dan (1,2). - Terjadi perubahan kemonotonan di x = 0 (+ -), maka (0, f (0)) = (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi perubahan kemonotonan di x =2 (- +), maka (2, f (2)) = (2,5) merupakan titik minimum local. b. Menentukan selang kecekungan f " ( x) = =
=
(2 x − 2)( x − 1) 2 − 2( x − 1)( x 2 − 2 x) ( x − 1) 4 ( 2 x − 2)( x − 1) − 2 x( x − 2) ( x − 1) 3
2 x 2 − 2 x − 2 x + 2 − 2 x 2 + 4 x ( x − 1) 3 - - - - - - - -
=
2 ( x − 1) 3
+ + + + + + + 1
- f ( x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang x > 1 - f ( x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang x < 1 - f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan kecekungan di x = 1 tetapi f (1) tidak ada. c. Menentukan asimtot •
Asimtot miring/ datar (berbentuk y = a x + b)
63
1001 Soal & Pembahasan a = lim
f ( x) x
x →∞
= lim
x 2 + x − 1 x( x − 1)
x →∞
1 1 − 2 x x 1 2 x 1 − x
2
x 1 + = lim
x →∞
b = lim f ( x) − ax = lim x →∞
= lim
x →∞
x −1
x 2 + x − 1
x →∞
2 x − x
1 1 1 + − 2 x x = 1 = lim x → ∞ 1 1 − x x 2 + x − 1
( x − 1)
2 ( x + x − 1) − x( x − 1)
x → ∞
= lim
TS Kalkulus I
− x
= lim
x →∞
2 x − 1 x −1
=2
Jadi f memiliki asimtot miring y = x + 2 •
Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) Karena lim x →1
x 2 + x − 1
( x − 1)
= ∞, maka x = 1 meru akan
asimtot
tegak dari f . d. Grafik f ( x)
5. Materi UAS
64
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2002/2003 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 Senin 11 April 2003 UTS 2002/2003 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari
a.
x − 1 x + 1 x − 1
< x − x < 0
x + 1 x − 1 − x ( x + 1) x + 1 2 x − 1 − x − x
x + 1 −1 −x
+1
<0
2
<0
+1
1 + x 2
<0
>0
Karena 1 + x 2 definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir terpenuhi jika dan hanya jika x > −1 . Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x x > −1}(ans) b. 5 −
5−
1 x
1
<2 2
x
1
5 − x
<2
2
2
<2
2
2
1 2 5 − − 2 < 0 x 1 1 5 − − 2 5 − + 2 < 0 x x
65
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
1 1 3 − 7 − < 0 x x 3 x − 1 7 x − 1 <0 x x (3 x − 1)(7 x − 1) x
2
+ + +
<0
+ + + - -
+ + + + + +
○
○
○
0
1/7
1/3
Hp = x 1 < x < 1 (ans ) 7 3 x 2. Diketahui f ( x) = 2 x − 9
a. Menentukan selang kemonotonan
1.( x 2 − 9) − (2 x). x
f ' ( x) =
=
x 2 − 9 − 2 x 2
2
2
=
( x − 9) ( x 2 − 9) 2 ( x − 9) Karena untuk setiap x = ±3 ; f ' ( x ) < 0 maka f tidak selalu turun pada (-∞,∞)/{±3}. Hal ini juga menunjukan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. (ans) 2
2
2
− ( x + 9)
b. Menentukan selang kecekungan Selang kecekungan dapat ditentukan dari f " ( x ) − (2 x)( x
f " ( x) =
2
2
2
− 9) − 2( x − 9)(2 x)(−( x
2
− (2 x)( x − 9) − 2(2 x)(−( x + 9))
( x 2 − 9) 3 3
=
+ 9))
( x 2 − 9) 4 2
=
2
3
− 2 x + 18 x + 4 x + 36 x 2
( x − 9) - - - -
3
=
2 x 3 + 54 x 2
( x − 9)
+ + +
- - - -
+ + + +
○
○
○
-3
0
3
3
=
2 x( x 2 + 27) ( x − 3) 3 ( x + 3)3
f “( x)
- f ( x) cekung ke atas jika f " ( x ) > 0, yaitu pada selang (-3,0) dan (3,∞)
66
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I - f ( x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang (- ∞,-3) dan (0,3) - Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 0 dan f (0) ada, maka titik (0, f (0)) = (0,0) merupakan titik belok. c. Menentukan asimtot - Asimtot datar/miring ( berbentuk y = a x + b ) a = lim
x → ∞
f ( x) x
= lim
x → ∞
x 2
( x − 9) x
= lim
x → ∞
1 2
( x − 9)
=0
)
2 x 1 0 x b = lim f ( x) − ax = lim 2 − 0 = lim = =0 x →∞ x →∞ ( x − 9) x →∞ 2 x 1 − 9 2 1 x Jadi memiliki asimtot datar yaitu y = 0
x
- Asimtot tegak ( berbentuk x = c ) Karena lim
x →3
x 2
( x − 9)
= ∞, dan lim
x → −3
x 2
( x − 9)
= ∞ maka
x = ±3
merupakan asimtot tegak dari f . d. Grafik f ( x)
f ( x ) =
x 2
x − 9
67
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2
3. Diketahui xy − 5 x y = −6.............................................................(i ) a. Menentukan y’ 2 2 D x ( xy − 5 x y ) = D x (−6) 2 2 D x ( xy ) − D x (5 x y) = D x (−6)
(1. y 2 + 2 yy'. x) − (10 x. y + y '.5x 2 ) = 0 2
2
y + 2 yy'. x − 10 x. y − y '.5x = 0
2 yy'. x − y '.5 x 2 = 10 xy − y 2 (2 yx − 5 x 2 ) y' = 10 xy − y 2 y' =
10 xy − y 2 2 xy − 5 x
2
............................................................................(ii)
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1. Ketika x = 1 , maka persamaan ( i) memberikan 2
y − 5 y = −6 2
y − 5 y + 6 = 0 ( y − 3)( y − 2) = 0 y = 3 ,
atau
y=2
Dengan demikian kita memiliki dua titik singgung yaitu (1,3) dan (1,2). Kemudian dengan menyulihkan kedua titik tersebut pada (ii), maka diperoleh kemiringan garis singgung pada masing masing titik secara beruturut-turut yaitu y ' = 21 dan y ' = −16 . Jadi : - Persamaan garis singgung di titik (1,3) adalah y − 3 = 21( x − 1) atau y = 21 x − 18 ( ans ) - Persamaan garis singgung di titik y − 2 = −16( x − 1) atau y = −16 x + 18 ( ans )
(1,2)
adalah
- Persamaan garis normal di titik (1,3) 1 ( x − 1) atau x + 21 y − 64 = 0 ( ans ) y − 3 = − 21
adalah
- Persamaan garis normal di titik (1,2) y − 2 = − −116 ( x − 1) atau x − 16 y + 31 = 0 ( ans )
adalah
4. Materi UAS
68
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2001/2002 Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314 UTS 2001/2002
1. Menetukan himpunan penyelesaian dari : a.
7 2 x 7
<3
−3< 0
2 x 7 − 3(2 x) 2 x 7 − 6 x 2 x
<0
<0
- - - - -
+ + + + + +
- - - - - -
○
○
0
7/6
{
Hp = x x < 0 ∪ x >
7 6
}
b. − 2 < x − 4 < 3.....(i ) Pertaksamaan ini setara dengan dengan x − 4 > −2 dan x − 4 < 3. �
x − 4 > −2
�
sembarang nilai x, jadi pertaksamaan ini dipenuhi oleh x∈ R. x − 4 < 3
adalah suatu pernyataan yang benar untuk
−3< x −4<3
1 < x < 7 Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk ( i) adalah { x x ∈ R ∩ 1 < x < 7} = { x 1 < x < 7}
13 ( x + 7 ) ; x ≤ b 2. Diberikan f ( x) = 2 x − 1 ; x > b a. Menentukan nilai b agar f kontinu Agar f kontinu dimana mana maka f harus kontinu di x = b, yaitu harus dipenuhinya syarat lim f ( x) = lim f ( x) = f (b) x →b
−
x →b
+
69
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I lim f ( x) = lim f ( x) x →b
−
lim
x →b
1 3
−
x →b
( x + 7 ) =
1 3
+
lim 2 x − 1
x →b +
(b + 7 ) = 2b − 1
b + 7 = 6b − 3 b=2
b. Memeriksa apakah f diferensiabel di x = b = 2 Untuk mengetahui harus diselidiki apakah f −' ( 2) = f +' (2). Tetapi karena 1 1 ( ) + − 7 3 ( x − 2) 1 x f ( x) − f (2) ' 3 3 f − (2) = lim = lim = lim = 2 2 3 x 2 − − − x x x→2 x → 2 x → 2 −
−
−
sedangkan f +' ( 2) = lim x →2
f ( x) − f (2)
+
x − 2
= lim x → 2
( 2 x − 1) − 3
+
x−2
= lim x → 2
+
2( x − 2) x−2
= 2,
maka jelas kesimpulannya bahwa f tidak diferensiabel di x = 2. f ( x) = 1 + 3 − 4 x
3. Menentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan 2 x + 3 y = 3 1 2
f ' ( x) = (3 − 4 x)
−1
2
(−4) =
−2
3 − 4 x Karena garis singgung sejajar dengan garis
2 x + 3 y = 3 yang
memiliki gradien -2/3, maka haruslah −2 2 =−
3 − 4 x
3
3 − 4x = 3 3 − 4x = 9 x = − 32 Subtitusi ke fungsi awal untuk mendapatkan
y = f (−
persamaan garis singgung yang y − 4 = − 23 ( x − ( − 32 )) atau y = − 23 x + 3 .
dimaksud
3 2
) = 4 . Jadi adalah
4. Materi UAS
70
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2000/2001 Mata Kuliah : Kalkulus I (DA 1314) Senin 23 Oktober 2000 UTS 2000/2001
1. Menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan a. 1 − 3 x ≤ 3x + 5 1 − 3 x
2
≤ 3x + 5
2
(1 − 3 x )2 ≤ (3x + 5)2 (1 − 3 x )2 − (3x + 5)2 ≤ 0 ((1 − 3 x) + (3 x + 5) )((1 − 3 x) − (3 x + 5) ) ≤ 0 6(− 4 − 6 x ) ≤ 0 − 4 − 6x ≤ 0
x ≥ − 23
{
Hp = x x ≥ − 23
b. x
−1<
2 x
}
...... (i )
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak untuk x , maka
Untuk x ≥ 0, (i) menjadi x − 1 < x − 1 −
2 x 2
<0
x x ( x − 1) − 2 x
<0
2
x − x − 2
<0
( x − 2 )( x + 1) x
< 0
x < 1 ∪ 0 < x < 2
- - - - + + + - - - - - - + + +
-1
0
2
Hp1 = { x ( x ≥ 0) ∩ ( x < 1 ∪ 0 < x < 2)} = { x 0 < x < 2}
71
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Sedangkan untuk x < 0 (i) menjadi 2 x − 1 < − x 2 x − 1 + < 0 x x ( x − 1) + 2 <0 x 2
x − x + 2 x
<0
Karena x 2 − x + 2 definit positif, maka jelas pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika x < 0 , sehingga
Hp2 = { x x < 0 ∩ x < 0} = { x x < 0} Jadi
himpunan
penyelesaian
akhir
bagi
( i)
adalah
Hp = Hp1 ∪ Hp2 = { x 0 < x < 2 ∪ x < 0} = { x x < 2 ; x ≠ 0}
x 2 , x < 1 2. Diketahui f ( x) = px + q, x ≥ 1 a. Menentukan hubungan antara p dan q agar f kontinu di x = 1. Menurut hipotesisnya, kekontinuan kiri f pada x = 1 akan menghasilkan lim f ( x ) = f (1) x →1−
2 lim x = p + q −
x →1
1 = p + q
Sedangkan kekontinuan kanan f di x = 1menghasilkan hubungan trivial ( p + q = p + q ). Jadi hubungan antara p dan q agar f kontinu di x = 1 adalah 1 = p + q b. Menentukan nilai p dan q agar f ' (1 ) ada '
'
agar f ' (1 ) ada maka f − (1) = f + (1) yaitu lim
x →1−
f ( x) − f (1) x − 1
= lim
x →1+
f ( x ) − f (1) x −1
72
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I lim
x 2 − ( p + q) x − 1
−
x→1
lim
x →1−
lim
= lim
x 2 − 1
px + q − ( p + q) x −1
+
x →1
= lim
x − 1 x→1 ( x − 1)( x + 1)
+
x − 1 lim x + 1 = p
x →1−
px − p x −1 p( x − 1) = lim x −1 x →1 +
−
x →1
p = 2 (ans )
Dengan demikian kita peroleh q = −1 (ans ) 3. Diketahui kurva x
2
3
2
+ y
3
=2
a. Menentukan y ' di (1,-1) D x ( x
2
−1 2 3 x 3
y ' =
3
+ y
2
+ 23 y
1 2 − 3 − 3 x −1 2 y 3 3
3
−1
) = D x (2) 3
. y ' = 0 1
y = − x
3
Di titik (1,-1) y ' = 1 (ans ) b. Persamaan garis singgung dititik (1,-1) adalah y − (− 1) = (x − 1) atau y = x − 2 (ans ) . Sedangkan persamaan garis normalnya adalah y − (− 1) =
−1
1
( x − 1) atau y = − x (ans ) .
4. Menghitung : x
∫ t dt
a. lim x →0
x
2
sin x
Karena limit berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L’Hopital. Kemudian gunakan TDK II untuk mendapatkan hasil berikut x
x
D x ∫ t dt
∫ t dt
lim
x →0
x
2
sin x
= lim
x →0 D x
x
2
(sin x )
= lim x→0
x − x 2 .2 x
cos x
= lim x→0
x − 2 x 2
cos x
=0
73
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I Alternative lain adalah dengan mengerjakan bagian yang mengandung integral terlebih dahulu sebagai berikut x
∫ t dt
lim
x →0
x
2
sin x
= lim
3
2 3
t
2 x x 2
sin x
x →0
= lim x →0
3 2 x 2 3
− 23 x
3
sin x
Selanjutnya karena limit terakhir berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L’Hopital yang memberikan hasil berikut lim
3 2 x 2 3
b. ∫
x
3
= lim
sin x
x → 0
1 x
− 23 x
x − 2 x
cos x
x → 0
2
= 0 (ans )
dx
−1
Misalkan f ( x ) =
x x
. Fakta bahwa f (− x ) =
− x
=
− x
− x
x 1
menunjukkan bahwa f fungsi ganjil yang berakibat ∫
= − f ( x)
x
−1 x
5. Diberikan f ( x) =
x 2 − 1
( x + 1) 2
=
dx = 0
( x − 1)( x + 1) x − 1 2 = =1− ; x ≠ −1 2 x + 1 x + 1 ( x + 1)
a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim 2 f ' ( x) = ( x + 1)2
f selalu naik pada (-∞,∞)/{-1} karena untuk setiap nilai x kecuali x = -1, f ' ( x) > 0 . Kenyataan ini juga menunjukkan bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim. b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok f " ( x ) =
−4
( x + 1) 3 - f ( x) cekung ke atas jika f " ( x) > 0, yaitu pada selang (-∞,-1)
- f ( x) cekung ke bawah jika f " ( x) < 0, yaitu pada selang (-1, ∞) - f ( x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan kecekungan di x = -1, tetapi f (-1) tidak ada.
74
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I c. Menentukan Asimtot - Asimtot datar / miring (berbentuk y = a x + b) a = lim
x →∞
f ( x ) x
x → ∞
= lim 1 −
1 2 1 2 = 0 = lim − x + 1 x x →∞ x x( x + 1)
x → ∞
2 =1 x → ∞ x + 2 Jadi f memiliki asimtot datar yaitu y =1 b = lim f ( x ) − ax = lim 1 −
- Asimtot tegak (berbentuk x = c) karena lim f ( x ) = ∞ maka x = -1 asimtot tegak dari f . x → −1
d. Sketsa Grafik f ( x)
Grafik f ( x ) =
x 2 − 1 2 ( x + 1)
75
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000 Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314) Senin 1 November 1999 UTS 1999/2000
1. x + x +
2 x 2
≤3 2
≤3
x
2
2
2 x + x
≤3
2
2
2 2 x + − 3 ≤ 0 x 2 2 x + + 3 x + − 3 ≤ 0 x x x 2 + 3 x + 2 x 2 − 3 x + 2 ≤0 x x ( x + 2)( x + 1) ( x − 2)( x − 1) ≤0 x x ( x + 2)( x + 1)( x − 2)( x − 1) x + + +
2
- - -
+ + +
≤0
+ + + - - -
+ + +
○
-2
-1
0
1
2
Hp = { x − 2 ≤ x ≤ −1 ∪ 1 ≤ x ≤ 2} (ans) 2
2. a. lim
x →−∞
lim
x →−∞
x − 2 x + 5
2x + 5 2 x − 2 x + 5
2x + 5
x 2 1 − = lim
x→−∞
2
+
5
x 1 −
2
+
5
x x 2 x x 2 = lim x→−∞ 5 5 x 2 + x 2 + x x
76
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I − x 1 − = lim
x → −∞
2 x
x 2 +
5
+
x
−
2
= lim
5
2
5
+
x
x
2
=
5 2 + x
x → −∞
x
1−
− 1
(2)
=−
1 2
(ans )
b. Menentukan lim g ( x) jika diketahui g ( x ) − 3 ≤ x 2 − 10 x + 25. x →5
2
g ( x) − 3 ≤ x − 10 x + 25, 2
2
− ( x − 10 x + 25) ≤ g ( x) − 3 ≤ x − 10x + 25 2
2
− x + 10 x − 22 ≤ g ( x) ≤ x − 10x + 28
Karena lim − x 2 + 10 x − 22 = 3 dan lim x 2 − 10 x + 28 = 3 , maka x →5
x →5
menurut teorema apit lim g ( x) = 3 (ans ) x →5
2
3. Diberikan f ( x) = x − 1 dan g ( x) = 1 + x a. Membuktikan bahwa go f terdefinisi Akan ditunjukkan bahwa R f ∩ Dg ≠ { }
D f = ℜ, Untuk setiap x ∈ ℜ, berlaku x 2 ≥ 0 x 2 − 1 ≥ −1 f ( x) ≥ −1
dengan demikian R f = [− 1, ∞), Dg = [− 1, ∞) Kemudian
R f ∩ Dg = [− 1, ∞ ) ≠ { } , persis seperti yang ingin
ditunjukkan dan membuktikan bahwa go f terdefinisi∎ b. Menentukan go f dan daerah asalnya go f ( x ) = g ( f ( x)) = g ( x 2 − 1) = 1 + ( x 2 − 1) = x 2 = x .(ans )
Menurut definisinya Dgof = x ∈ D f f ( x) ∈ Dg 2
}
= x ∈ R x −1∈[−1, ∞) 2
2
}
= x ∈ R x − 1 ≥ −1
} = { x ∈ R} (ans )
= x ∈ R x ≥ 0
77
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
2 x 2 + px − 15 , x > 3 4. f ( x) = 3 − x qx 2 − 7 x + 1, x ≤ 3 Agar f kontinu di x = 3, maka haruslah lim f ( x) = f (3) = lim f ( x). x →3
−
+
x →3
Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial (9q − 20 = 9q − 20 ) . Sedangkan kekontinuan kanan f pada x = 3
dijabarkan sebagai berikut lim f ( x) = f (3)
x →3+
2 x 2 + px − 15
lim
3 − x
x → 3+
= 9q − 20........(i )
2 lim 2 x + px − 15 haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah
x →3+
2 lim 2 x + px − 15 = c ≠ 0 ) akan berakibat
x →3+
lim
2 x 2 + px − 15
x →3+
3 − x
=
c
lim (3 − x )
=∞
x →3+
yang menyebabkan f gagal kontinu di x = 3. Tulis 2 lim 2 x + px − 15 = 0
x →3+
18 + 3 p − 15 = 0 p = −1
Dengan menyulihkan hasil ini pada ( i) lim
x → 3+
lim
2 2 x − x − 15
akan memberikan
= 9q − 20
3 − x ( 2 x + 5)( x − 3)
= 9q − 20
3 − x lim − (2 x + 5) = 9 q − 20
x →3+ x → 3+
− 11 = 9q − 20
q =1
Jadi Agar f kontinu di x = 3 maka haruslah p = -1 dan q = 1 (ans).
78
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I 2
2
5. Diberikan ( x − 3) + y = 2 a. Menentukan y’
(
2
2
)
D x ( x − 3) + y = D x (2) 2( x − 3) + 2 yy ' = 0 2 yy ' = −2( x − 3) y ' = −
( x − 3) y
b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x. Karena tegak lurus dengan garis y = x yang memiliki gradien 1, maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memiliki gradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin sebelumnya diperoleh −
( x − 3) y
= −1
y = x − 3 2
2
Subtitusi ke persamaan awal memberikan y + y = 2 atau y = ±1. - untuk y =1 menghasilkan x = 4, sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − 1 = −( x − 4 ) atau y = − x + 5 - untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis singgungnya adalah y − (− 1) = − (x − 2 ) atau y = − x + 1 6. Diketahui f ( x) adalah fungsi kontinu dan f (0) = f (2) = 0, serta grafik f ' ( x ) sbb.
79
