100 Proposamen Matematikarako Gaitasuna Lantzeko

100

proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko Zenbakiak, zenbakien arteko oinarrizko eragiketak, sinboloak eta informazioa sortzeko zein interpretatzeko moduak erabiltzeko trebetasuna, errealitateko alderdi kuantitatiboei eta espazialei buruz gehiago jakiteko, eta eguneroko bizitzarekin eta lanarekin lotutako problemak ebazteko.

Fotokopiatzeko fitxak Ariketa-bankua Hobeto ikasteko estrategiak Iradokizun didaktikoak

194669 _ 0001-0120.indd 1

24/9/09 13:05:42

100 proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko liburua Gaitasunak izeneko proiektuaren barruan dago, eta Zubia Editoriala, S. L.ren eta Santillana Educación, S. L.ren Lehen Hezkuntzako Sailean Joseba Santxo Uriarteren eta Enric Juan Redalen zuzendaritzapean sortu, taxutu eta gauzaturiko talde-lana da. Proiektu honetan egile-talde honek esku hartu du: Casilda Bárcena, Fernando J. Cortiguera, Malena Fuentes, Daniel Gabarró, Javier López, Juan Ignacio Medina, Elena O´Callaghan, Maite López-Sáez, Inmaculada Díaz, Ana María Rodríguez, Adela Rodríguez eta Martín Varela. Programa bereziak: Daniel Gabarró Berbegal eta Javier López Apesteguía

Proiektua eta edizioa: Ainhoa Basterretxea eta José Luis Alzu

Diseinua eta maketazioa: ARTIMAGOS (Malena F. Alzu) eta Maitane Barrena Irudiak: ARTIMAGOS (Esther Pérez-Cuadrado) eta Esther Lecina Hizkuntza-egokitzapena: Imanol Salegi

© 2009 by Zubia Editoriala, S. L. / Santillana Educación, S. L. Legizamon poligonoa Gipuzkoa kalea, 31 48450 Etxebarri (Bizkaia) Inprimatzailea:

EK: 194669 Lege-gordailua:

Lan hau egile-eskubideei buruzko legeek babestuta dago eta ZubiaSantillanari dagokio haren jabetza intelektuala. Legezko erabiltzaileei ikasgelan erabiltzeko fotokopiak egitea bakarrik zaie zilegi. Debekatuta dago baimendutakoez bestera erabiltzea, batez ere merkataritza-helburuekin erabiltzen bada.

194669 _ 0001-0120.indd 2

24/9/09 13:05:42

Aurkezpena 100 proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko Proiektu honek matematikarako gaitasuna hobetzeko proposamenak, iradokizunak eta ariketak biltzen ditu. Proposamenok ikaskuntza- eta irakaskuntza-prozesuan txertatuta daude; eta izaera bikoitza dute, osagarriak eta alternatiboak baitira. Osagarriak dira, beste modu batean heltzen baitiete Lehen Hezkuntzako helburuei, irakasleriaren ohiko jardunarekin eta ikasliburuek eta gainerako material didaktikoek eskaintzen dituzten baliabideekin batera aplikatzean. Izan ere, ezagutzak eguneroko bizitzako testuinguruetan eta egoeretan aplikatzeko bideratuta daude. Alternatiboak dira, curriculumeko helburuak lortzea helburu izan arren, proposamenen multzoak beste ikuspuntu batetik azaltzen baitu jarduera, irakasteko eta ikasteko modu desberdin bati bidea emateko.

100 proposamenak prozesu didaktikoan Esperientziadun irakasleak, ikasgaiaren eta ikasleen ezaugarrien jakitun dela, ohikoa ez den baliabide bat erabili nahi duenerako dira 100 proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko. Batzuetan, zailtasunak dituzten ikasleak oinarrizko helburuetara hurbiltzeko edo ikasketa finkatzeko erabil daitezke, eguneroko bizitzarekin lotutako jarduerak eginez; eta beste batzuetan, eskola jarduera labur baina interesgarri batekin hasteko edo bukatzeko, irakasleak berak nahiz ikasleek helburuak oso-osorik lortu dituztela senti dezaten.

Nolakoak dira proposamenak? 100 proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko 100 fitxa independente dira, koaderno honetarako diseinatutako lau ereduetako batekoak. Hiru fitxa-eredu daude irakasleentzat, eta eredu bakar bat, ikasleentzat. Proposamen mota hauek egin ditugu: 1. Iradokizun-proposamenak (I). Ideia erabilgarriak, irakasleak ikasgaia edo bertako programa jakin bat bideratzeko, eta ikasketa eraginkorra izateko. Proposamenen bidez ikasiko dute, besteak beste, zenbakiek zer-nolako erabilerak dituzten, problemak ebazteko estrategiak nola asmatu, edo geometria ikasketa sortzailea, dibertigarria eta erabilgarria izan daitekeela.

194669 _ 0001-0120.indd 3

24/9/09 13:05:42

2. Eredu-proposamena (E). Lanerako estrategiak edo trikimailuak dira. Izatez, ikasleentzako proposamenak diren arren, irakasleei helarazten zaizkie, beraien azalpenen bidez igor ditzaten. 3. Irakaslearentzako ariketa-proposamena (IR). Irakasleentzako fitxak dira. Bertan, gai jakin bati buruzko ariketa multzoak proposatzen dira, ikasleei banatzeko edo diktatzeko, egitea komeni dela uste duenean. 4. Ikasleentzako ariketa-proposamenak (IK). Fotokopiatzeko fitxak dira, ikasleei banatzeko, problema bat, ariketa bat edo jarduera bat ebatz dezaten. Fotokopiatzeko fitxek hondo zuria duen banda bertikal bat eta F letra dute, fitxaren zenbakiaren ondo-ondoan kokatuta.

Irakasleek irakasleentzat eginak 100 proposamen matematikarako gaitasuna hobetzeko Lehen Hezkuntzan eskolak ematen urte askotan diharduten zenbait irakaslek idatzi dituzte. Lehenik, estrategiak eta trikimailuak aplikatu dituzte; eta gero, emaitza onenak eman dizkietenak aukeratu.

Proposamenen edukia eta antolaketa Proposamen guztiak Lehen Hezkuntzako bigarren eta hirugarren zikloetako curriculumaren edukiei buruzkoak dira. Atal bakoitzaren hasieran, dagokion oinarrizko gaitasuna aurkeztu dugu izenburuarekin batera, curriculum ofizialaren ebaluazio-irizpideetan ageri den bezalaxe idatzita. Idatzi horretan, nabarmenduta ageri dira bigarren ziklorako adierazitako helburuei hirugarren zikloak erantsitakoak. Ondoren, atal horretarako proposamenen aurkibidea aurkeztu dugu, eta zer fitxa mota diren adierazi. Hona hemen irakasgai honetako atalak: I. Zenbakiak eta eragiketak. Zenbaki-sistemak. II. Zenbakiak eta eragiketak. Zenbakizko kalkulua. III. Zenbakiak eta eragiketak. Problemak ebaztea. IV. Geometria. Kokapena espazioan. V. Neurria. Magnitudeak kalkulatzea eta iritzira kalkulatzea. VI. Informazioaren trataera, zoria eta probabilitatea. VII. Zehar-gaitasunak. Proposamen guztiak curriculumarekin lotuta dauden arren, gure asmoa ez da izan liburu paralelo bat egitea, ez eta ebaluazio-koaderno bat egitea ere. Programa bakoitzeko funtsezko edukiak aukeratu ditugu, eta irakasleen ustez ikasle guztiek argi ulertzeko zailak diren alderdi instrumentalei eman diegu garrantzi handiena.

194669 _ 0001-0120.indd 4

24/9/09 13:05:42

I. ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK. ZENBAKI-SISTEMAK Oinarrizko gaitasunak 1. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da eguneroko bizitzako testuinguruetan sei zifrarainoko zenbaki arruntak irakurtzeko eta idazteko, zifra bakoitzaren posizio-balioa interpretatzeko, zenbakiak posizio-balioaren arabera konparatzeko eta zenbakien zuzenean ordenatzeko. ...gai da zenbait zenbaki mota (arruntak, zatikiak eta ehunenak arteko hamartarrak) irakurtzeko, idazteko eta ordenatzeko, arrazoiketa egokiak erabiliz.

Aurkibidea

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

194669 _ 0001-0120.indd 5

Zenbakien historiak (IR). Zenbakirik gabeko mundua? (IK). Zenbakiak osatzen ditugu (E). Dagokion lekuan (IK). Zatikien jokoa (E). Zenbakiei buruz hitz egiten dugu (IK). Diktatutako zenbakiak idazteko trikimailuak (IK). Binaka zenbatzeko trikimailuak (E). Zatikiak bazter guztietan (IK). Zozketako sariak (E). Erromatarrak! (IK). Salneurriak biribiltzen ditugu (E). Hamartarrak eta zatikiak (IK). Zenbakiei buruzko SUPERTESTa (IK).

24/9/09 13:05:42

Zenbaki-sistemei buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

6

194669 _ 0001-0120.indd 6

24/9/09 13:05:42

Zenbaki-sistemak aipatzea Baliteke ikasleek fitxan aurkeztuko ditugun historietako batzuen berri izatea. Alabaina, uste dugu interesgarria dela zenbatzeko eta kantitateak adierazteko moduak biltzea, balio didaktiko handia dute-eta. Adierazi zenbakien historiako informazio hauek, eskatzen duten enfasia emanez. Eman adibideak arbelean, eta egin aplikazio-ariketak, ikasleek zenbaki-sistemen eboluzioa eta gaur egun erabiltzen dugunaren abantailak balioets ditzaten.

Historiaurrean Duela 20.000 urte baino gehiago, gizakiek oskolak erabiltzen zituzten ehizatutako animalien kopurua zenbatzeko: oskol bakoitzak hildako animalia bat adierazten zuen. Halaber, koskak egiten zituzten hezurretan: koska bakoitzak hildako animalia bat adierazten zuen.

1

Egipton Duela 5.000 urte, egiptoarrek idazketa asmatu zuten, eta hainbat zeinu erabili zituzten zenbakiak adierazteko:

Batekoa =

Hamarrekoa =

Ehunekoa =

Milakoa =

Etab.

Egiptoarrek ikur guztien balioak batzen zituzten zenbakiak irakurtzeko. Adibidez:

IR ZE NB A KI - S I S TE MA K

Zenbakien historiak

(3 X 1.000) + (2 X 100) + 10 + 3 = 3.213 = 31

Erroman Hispanoamerikan mendera arte, Inkek koloretako soketan korapiloak egiten zituzten zenbatzeko. Soka horiei «quipu» esaten zieten. Korapilo kopuruak eta posizioak adierazten zituzten kantitateak. XVI.

Erromatarrek gaur egunera arte iritsi den zenbaki-sistema erabili zuten. Letrak erabiltzen zituzten: I=1 C = 100

V= 5

X = 10

D = 500

L = 50 M = 1.000

MDCCCLII = 1.852

Beste kultura batzuetan

Gaur egun

Beste kultura batzuetan, giza gorputzean oinarritutako zenbaki-sistema bat erabili zuten. Gorputzeko atal bakoitzak (hatzek, behatzek, ukondoek, belaunek, sorbaldek...) kopuru bat adierazten zuen.

Gaur egun zenbakisistema hamartarra eta arabiar zifrak erabiltzen ditugu. Zenbakien idazkera hori XVI. mendetik aurrera zabaldu zen gure lurraldeetan. 7

194669 _ 0001-0120.indd 7

24/9/09 13:05:42

IK

2

Izena:

Zenbakirik gabeko mundua?

Data:

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Zenbakien erabilerak

1 Irakurri testua eta erantzun. Egunean hiru ordu irabazteko makina bat

1.a

Azaroak l7an Asmakizunen III. Erakusketa ireki zuten. Lehen saria hiru anaia-arrebek irabazi zuten, Garbioro izeneko asmakizunarekin. Dutxaren eta garbigailuaren lanak egiten dituen gailu bat da Garbioro, eta hamar minutuan garbitzen ditu pertsonak eta soinean daramaten arropa. Garbiorok bi kabina ditu; lehenengoan, xaboia eman eta uretan eragiten du, eta bigarrenean, lehortu eta lisatu. Horrela, pertsona hamar minutuan dutxa daiteke, eta arropa garbia, lehorra eta lisatua duela irten. Eragozpen bakarra du makinak: neurria. Izan ere makina hiru metro luze da, eta bi metroko altuera du. Saria 750 €-ko txeke bat da, eta lau epetan ordainduko diete.

2 Inguratu, zenbakiei edo kantitateei lotutako hamar hitz gutxienez. 3 Idatzi testuko zenbakiak: a) Bi zenbaki ordinal. b) Denbora-neurriak adierazten dituzten bi zenbaki. c) Luzera-neurriak adierazten dituzten bi zenbaki. d) Diru kantitate bat adierazten duen zenbaki bat. e) Marrazkian ageri diren bi zenbaki.

› › › › ›

4 Irakurri testua berriro, ahots ozenez, zenbakiak irakurri gabe. Ulertzen al da? 5 Moztu albiste bat egunkari batetik, eta saiatu azaltzen zenbaki bat bera ere aipatu gabe. 8

194669 _ 0001-0120.indd 8

24/9/09 13:05:42

Zenbakiak osatzen ditugu Zenbakiak osatzea eta deskonposatzea, zenbaki-sistema hamartarrean

3

E Z E NB A KI - S I S TE MA K

• 1. Lagundu ikasleei zenbakientzako kolo-

retako kartoiak egiten.

Eskuratu kartoi mehe gorria, berdea eta urdina. Moztu kartoi meheak bi zentimetroko zabalera duten zerrendatan. Moztu zerrendak zenbait neurritan, kartoi sorta batzuk egiteko. Kartoi sorta bakoitzak pieza hauek izan behar ditu:

•

2. Egin adibide batzuk ikasle guztien aurrean.

Urdina: 8 cm-ko luzera duten 9 zati, eta 2 cm-ko luzera duten beste 9. Gorria: 10 cm-ko luzera duten 9 zati, eta 4 cm-ko luzera duten beste 9. Berdea: 6 cm-ko luzera duten 9 zati.

Eskatu ikasleei kartoizko piezetan zenbakisistema hamartarreko magnitudeak idazteko, eta ondoren, gutun-azal bat prestatzeko pieza sorta bakoitzeko. Hamar milakoak

0

2

4

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

0

2

0

0

0

3

0

0

0

0

3

0

0

0

4

0

0

0

0

4

0

0

0

10 cm

0

3

0

4

Milakoak

1

Ehunekoak

2

0 +

0

3

0 +

1

2

0

0

0 +

0

0

2

0

0

4

0 +

5

= 2.305

5

0

2

0

1

0

0 +

2

0

=

9

4

0 +

9

=

8 cm

Hamarrekoak

Batekoak

1

0

0

1

0

1

2

0

0

2

0

2

3

0

0

3

0

3

4

0

0

4

0

4

5

0

0

5

0

5

•

3. Egin zenbakiak osatzeko saioak zenbait egunetan.

Galdera posible batzuk: Nola irakurtzen da? Nola idazten da? Zenbat milako ditu? Zenbat hamarreko adierazten ditu 3 zifrak? Zenbat bateko adierazten ditu 3 zifrak?

• 4. Eskatu ikasleei zenbakiak diktatzeko 6 cm

4 cm

2 cm

eta irakurtzeko. 9

194669 _ 0001-0120.indd 9

24/9/09 13:05:42

IK

4

Izena:

Dagokion lekuan

Data:

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Zenbakizko zuzena graduatzea, eta bertan, zenbakiak adieraztea

1 Graduatu zenbakizko zuzena akatsik egin gabe, adierazitako zenbakiak bertan kokatzeko. Ondoren, idatzi zenbakiak. Adibidea: 80 eta 87 zenbakiak. 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

80 70

72

74

76

90

78 87

1. 45 eta 80 zenbakiak. 0

10

20

30

70

40

50

60

70

80

90

100

90

2. 160 eta 178 zenbakiak 100

200

100

300

3. 1.300 eta 1.700 zenbakiak 1000

2000

1000

3000

10

194669 _ 0001-0120.indd 10

24/9/09 13:05:42

Zatiki baten gaiak identifikatzea eta haien esanahia jakitea Proposameneko jarduera lehiaketa moduan aurkezten da, zenbait adierazpen grafikotatik abiatuta, ikasleek zatiki baten gaien esanahia uler dezaten. Hasiera batean, dado bat erabiliko dugu, eta beraz, ez dugu sei baino zenbaki handiagorik izango. Baina, hala nahi izanez gero, ariketa zailago egin daiteke, sei baino zenbaki handiagoak erabilita. Jokalariak: buruz buru jokatuko dute. Materiala: dado bat eta A eta B taulak. Taulak fitxaren barrenean adierazten dira, eta ikasleek koadernoan marraztuko dituzte. Arauak: 1. Jokalarietako batek dadoa jaurtiko du bi aldiz. Lehenengo ateratako zenbakia zatiki baten izendatzailea izango da, eta bigarrena, zenbakitzailea: =

4 2. Zatikia A taulan idatziko du.

1. txanda 3 4

A taularen eredua

1. txanda 3 4

3. Ondoren, zatikia B taulan adieraziko du. Honela egingo du: gainmarratu izendatzaileak adierazten duen adina laukiren ingerada (4), eta horietatik, koloreztatu zenbakitzaileak adierazten duen adina (3). Bat geratuko da sobera.

4. Dadoa botatakoan lortutako zatikia bat baino handiagoa bada, koloreztatu zenbakitzailea adierazteko behar adina bateko. Esate baterako: 5/2.

5. Behin zatikiak adierazitakoan, B taulan zuriz geratu diren lauki horiek koloreztatu nahi badira, zatiki hori bera lortu behar da dadoa botatakoan:

3 4

=

2. txanda

5

E ZE NB A KI - S I S TE MA K

Zatikien jokoa

+

1 4

6. Jarraian, aurkariak jokatuko du. Jokoa bukatu egingo da bi jokalarietako batek taula osoosorik koloreztatzen duenean, taula bat bera ere zuriz utzi gabe. Jokalarietako batek lauki zuriak betetzeko zatikia lortzen ez badu, aurkariari pasatuko dio txanda.

3. txanda

4. txanda

5. txanda

6. txanda

B taularen eredua

11

194669 _ 0001-0120.indd 11

24/9/09 13:05:43

IK

6

Zenbakiei buruz hitz egiten dugu

Izena: Data:

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Zenbaki-sistema hamartarraren ezaugarriak ulertzea Etengabe erabiltzen ditugu zenbakiak. Gauza guzti-guztietarako behar ditugu: zenbatzeko, kalkulatzeko, munduaren berri izateko… Baita olerkiak egiteko ere. Ia beti hartu behar dugu kontuan idazten edo esaten dugun zenbakiaren zehaztasuna, akats bat egiteak gure helburuak ez lortzea eragin dezakeelako. Aparteko garrantzia du horrek zenbaki handietan, bost zifra baino gehiagokoetan.

1 Erakutsi zenbakiak zehatz adierazteko estrategiak dakizkizula. Egin gogoeta dakizkizun ideia hauei buruz. Aukeratu bat eta azaldu bi minutuan zure ikaskideei. a) ZENBAKI-SISTEMA HAMARTARRA POSIZIONALA DA. Ideiak: –Zifra baten eta zenbaki baten arteko aldea. –Zenbaki batean eskuin-eskuinean kokatutako zifra baten magnitude-balioa. –6 zifrako zenbaki batean ezker-ezkerrean kokatutako zifraren magnitude-balioa. –

b) ZENBAKI HANDIAK ALDERA DITZAKEGU. Ideiak: –Nola jakin, begiratu hutsez, zifra kopuru desberdina duten bi zenbakiren artean handiena zein den. –Zer urrats eman behar dira zifra kopuru bera duten bi zenbakiren artean handiena zein den jakiteko? –

c) GAUZA ASKOTARAKO ERABILTZEN DITUGU ZENBAKIAK. Ideiak: –Eskatu zure ikaskideei sarritan erabiltzen dituzten sei zifra baino gehiagoko zenbakien adibideak emateko. –

12

194669 _ 0001-0120.indd 12

24/9/09 13:05:43

7

Diktatutako zenbakiak idazteko trikimailuak

Data: 6 zifrarainoko zenbakien diktaketa

Kazetariek sarritan idatzi behar izaten dituzte azkar-azkar entzundako zenbaki garrantzitsuak; esaterako, zientzialari batekin elkarrizketa egitean edo Gabonetako loteriako sariak abesten dituztenean. Imajinatu egoera horietako batean zaudela. Erabili taulak diktatuko dizkizuten zenbakiak idazteko. EM Adibidea:

Zenbakia:

23.027

HM

M

E

H

B

2

3

0

2

7

Zifra kopurua: 5 Magnitude-ordena:

EM

HM

M

E

hamar milakoak

H

B

H

B

H

B

H

B

IK Z E NB A KI - S I S TE MA K

Izena:

A)

Zenbakia:

Zifra kopurua:

EM

HM

Magnitude-ordena:

M

E

B)

Zenbakia:

Zifra kopurua:

EM

HM

Magnitude-ordena:

M

E

C)

Zenbakia:

Zifra kopurua:

EM

HM

Magnitude-ordena:

M

E

D)

Zenbakia:

Zifra kopurua:

Magnitude-ordena: 13

194669 _ 0001-0120.indd 13

24/9/09 13:05:43

E

8

Binaka zenbatzeko trikimailuak

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Bi oinarriko zenbaki-sistema ikasteko eredua

Zenbaki-sistema bitarra Fitxa honetako ariketen bitartez, zenbakisistema bitarra zer den eta zenbaki-sistema hamartarrekiko zer alde duen azaltzen lagunduko dizuegu. Curriculumean jasotako helburuetako bat izateaz gain, oso erabilgarria izan daiteke gehien erabiltzen den zenbaki-sistema ulertzeko, hots, zenbaki-sistema hamartarra ulertzeko. Saiatu ikasketa jolas moduan bideratzen. Jolas horietan zenbait kode erabiliko dira, mezu bat ulertzeko.

Marraztu ordenen taula bat arbelean, ikasleek erreferentzia gisa izan ditzaten zenbakiak bi oinarrian idaztean. Multzoak

•••• •• •• •••• •• ••

•••• ••••

x

••••

S. bitarra S. hamar.

••

•

x

x

11

3

x

x

-

x

1101

13

x

-

x

-

1010

10

x

-

x

-

11010

26

Horrela zenbatzen ditugu kantitateak sistema bitarrean Sistema bitarra zenbatzeko sistema bat da, eta bi zifra ditu soilik: 0 eta 1. Zifrak binaka multzokatu behar dira hurrengo ordena handiagora pasatzeko. Sistema bitarra da ordenagailuek erabiltzen dutena. Mahai gainean, zenbait objektu berdin eta orri zuri bat behar ditugu, idazteko. Nahiago bada, marraztu arbelean objektuen segidak, eta idatzi zenbaketa. Honela idazten ditugu kantitateak zenbakisistema bitarrean:

Proposatu ariketak ikasleei

•

1. Adierazi zein den mezu hauen esanahia: b) 111 kromo dauzkagu: ...(7). a) Partida 1010etan izango da: ...(10).

• 2. Aldatu zenbaki hauek zenbaki-sistema hamartarretik sistema bitarrera:

• unitate bat (1)

§=1

•• multzo bat (1) |

§§ = 10:

• unitaterik ez (0)

§ § § = 11: §§ §§

•• multzo bat (1) | • unitate bat (1) = 100: • • multzo bat (1) | •• multzorik ez (0) | • unitaterik ez (0) ••

(Ordena bakoitzean bi multzo berdin egiten ditugunean, hurrengo ordena handiagora pasatzen gara §§ § § § § = 110: §§ §§ §§ §

••

eta

••

=

•• ••

)

•• •• multzo bat (1) | •• multzo bat (1) | • unitaterik ez (0) = 111: • • multzo bat (1) | •• multzo bat (1) | • unitate bat (1) ••

a) 9 karta behar ditugu karta-sorta osatzeko. (1001). b) 12 ikaslek errepikatuko dute azterketa. (1100).

JOLASA Egin 3 ikasleko taldeak. Eskatu talde bakoitzari kodifikatutako kopuru bat –1 eta 20 artekoa– duen mezu bat idazteko. Ondoren, joan mezuak taldeen artean pasatzen. Mezu gehien argitzen duen taldeak irabaziko du.

14

194669 _ 0001-0120.indd 14

24/9/09 13:05:43

Izena: Data:

Zatikiak bazter guztietan

9

IK

Sarritan erabiltzen dira zatikiak prentsan, magnitudeak adierazteko. Eguneroko bizitzan ere etengabe erabiltzen ditugu zatikiak.

1 Irakurri informazioak eta erantzun galderei. Hau esan zuen esatariak emankizuna hasi aurretik: «Partidak ez du interes handirik piztu zaletuen artean. Sarreren hiru laurden soilik saldu dira».

HARMAILAK

a) Idatzi zatikia. b) Koloreztatu eskeman aipatutako zatikia. c) Futbol-zelaian 15.000 pertsona sartzen badira, Zenbat sarrera saldu zituzten?

ZE NB A KI - S I S T E MA K

Zatikien erabilera eguneroko bizitzan

Honela esan zion emakume batek fruta-saltzaileari azokan: «Emadazu gazta kilo baten laurdena eta kilo laurdenaren erdia». a) Idatzi zatikia. b) Zenbat gramo dira kilo laurdena eta kilo laurdenaren erdia? c) Marraztu kilo laurdena eta kilo laurdenaren erdia kiloko gazta honetan. Bidaia hasi aurretik gasolina-andela goraino bete dugu. Bidean andelaren hiru laurden gastatu ditugu. a) Idatzi zatikia. b) Marraztu gastatutako gasolina kantitatea andelean. c) Andela 40 litrokoa bada, zenbat gasolina gastatu da? Hegazkin baten maketa txiki bat egin dut. Hegazkinaren 4/7 margotzeko pintura dut. a) Koloreztatu adierazitako zatikia.

15

194669 _ 0001-0120.indd 15

29/9/09 19:32:16

E

10

Zozketako sariak

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Polinomio gisa zenbait modutan deskonposatzeko eredua

Zenbaki bat deskonposatzeko aukerak Arbelean, eta zenbait ikasleren laguntzaz, aurkeztu zenbakiak polinomio gisa deskonposatzeko modu hauek. Ondoren, proposatu adierazitako ariketak, ikasleek koadernoetan edo orri zurietan ebatz ditzaten. Zalantzarik gabe, emaitza askoz hobea izango da zenbakiak deskonposatzeko taula kartoi mehe batean marrazten badute.

Zenbat poltsa behar dira banaketa bakoitzeko? Lehenengo banaketa

•••••••

100eko 3 poltsa + 10eko 2 poltsa + 1eko 7 poltsa Bigarren banaketa

•••••••••• •••••••••• •••••••

100eko 3 poltsa + 1eko 27 poltsa Hirugarren banaketa

Egoera. Agurtzane eta adiskideak zozketa bat prestatzen ari dira ikastetxeko festarako. Koloretako 327 bolaluma eman dizkiete. Zenbait sorta egin behar dituzte, balio desberdineko sariak egiteko. Zenbait neurritako poltsak dituzte banaketak egiteko: batzuetan, 100 bolaluma sartzen dira; beste batzuetan, 10; eta besteetan, bolaluma bakarra.

•••••••

100eko 2 poltsa + 10eko 12 poltsa + 1eko 7 Laugarren banaketa

•••••••

Sortak egin aurretik, zenbait eskema egin dituzte, banaketak egiteko zenbat aukera dituzten ikusteko. Honela adierazi dituzte banaketak eskemetan:

Ehuneko poltsak. Hamarreko poltsak. Bateko poltsak.

Bolaluma kopurua: 327.

10eko 32 poltsa eta 1eko 7 Bosgarren banaketa ••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••••••••

1eko 327 poltsa 1. Eskatu ikasleei banaketa egiteko beste modu batzuk zehazteko. 2. Eskatu ikasleei banaketak egiteko 265, 542 eta 117 zenbakiekin.

16

194669 _ 0001-0120.indd 16

24/9/09 13:05:43

Erromatarrak!

Data: Erromatar zenbaki-sistema

11

Gogoratu erromatar zenbakisistemako 7 letrak eta ebatzi problemak.

1 Madrilgo Alcalako atea da hau. Inguratu gorriz zer urtetan eraiki zen adierazten duten letrak. Idatzi data hori erabili ohi ditugun zenbakiekin.

2

Amerikako hiri bateko erlojua da hau. Zenbait zenbaki ezabatu dira. Adierazi zer zenbaki diren eta idatzi hemen ordenan.

IK Z E NB A KI - S I S TE MA K

Izena:

3 1401. urtean hasi ziren Sevillako katedrala eraikitzen, eta 106 urte behar izan zituzten bukatzeko. Idatzi amaiera-data erromatar zenbakiak erabiliz.

4 Idatzi aurreko bi kapitulu eta ondorengo bi, erromatar zenbakiak erabiliz. kapitulua

kapitulua

LX. kapitulua kapitulua

kapitulua

17

194669 _ 0001-0120.indd 17

24/9/09 13:05:43

E

12

Salneurriak biribiltzen ditugu

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Hamarrekotara, ehunekotara eta milakotara biribiltzeko trikimailuak

Biribiltzeko moduak

1.287 zenbakiari dagokionez, badakigu:

Aurkeztu egoera hau ikasleei, biribiltzeko teknikak erabiliz ahoz ebazteko. Ariketa honetan arrakasta izateko, oso erabilgarria izan daiteke 10. fitxan egindako banaketa-proposamenak gogoratzea.

• Batekoen zifra 7 dela, baina kantitate ho-

Egoera. Marko eta Lorea Istanbulen izan ziren gurasoekin udan. Bertan, Bazar Handira joan ziren. Ikusitako produktuen salneurriei begiratzen zieten eta biribildu egiten zituzten, gutxi gorabehera zenbat balio zuten jakiteko eta erosi ala ez erabakitzeko. Adibidez, 347 lirako lanpara bat ikusten bazuten, 350 lira inguru balio zuela esaten zuten.

rrek 1.287 bateko oso dituela (1aren 1.000 bateko, 2aren 200, 8aren 80 eta 7aren 7). • Hamarrekoen zifra 8 dela, baina kantitate horrek 128 hamarreko (1aren 100 hamarreko, 2aren 2 eta 8aren 8) eta koska dituela. • Ehunekoen zifra 2 dela, baina 12 ehuneko (1aren 10 ehuneko eta 2aren 2) eta koska dituela. • Milakoen zifra 1 dela, baina kantitate horrek milako bat (1aren milako 1) eta koska dituela. Beraz, salneurriko 1.287 zenbakiak hauek ditu: • 1.287 bateko oso: 1.287 lira balio ditu

zehazki. • 128 hamarreko eta koska (7 bateko). Koska hori dela-eta zenbakia hurbilago dago 129 hamarrekotik 128tik baino: tapizak 1.290 lira inguru balio du.

PROZEDURA Gogoratu zenbakiak biribiltzeko prozedura adibide bat landuz:

Prezioa: 1.287 lira

127 H

128 H

1 = milako 1 edo 10 ehuneko edo 100 hamarreko edo 1.000 bateko. 2 = 2 ehuneko edo 20 hamarreko edo 200 bateko. 8 = 8 hamarreko edo 80 bateko. 7 = 7 bateko.

Bigarren urratsa. Aukeratu zer magnitudeordenatan egin behar den biribilketa: milakoetan, ehunekoetan edo hamarrekoetan.

130 H

• 12 ehuneko eta koska (8 hamarreko). Kos-

ka hori dela-eta zenbakia hurbilago dago 13 ehunekotatik 12tik baino: tapizak 1.300 lira inguru balio du. 11 E

Lehenengo urratsa: deskonposatu 1.287 zenbakia, zifra bakoitzari posizioaren araberako balioa emanez:

129 H

12 E

13 E

14 E

• 1 milako eta koska (2 ehuneko). Koska hori

dela-eta zenbakia hurbilago dago 1 milakotik 2tik baino: tapizak 1.000 lira inguru balio du. 1.000

2.000

3.000

4.000

BESTE ADIBIDE BATZUK Proposatu ikasleei salneurri hauek biribiltzeko.

249 dolar

1.476 euro

47 libra

382 euro

18

194669 _ 0001-0120.indd 18

24/9/09 13:05:44

Hamartarrak eta zatikiak

Data: Zenbakiak alderatzea eta zenbakien zuzenean idaztea

13

IK

Erakutsi zenbaki hamartarrak eta zatikiak ongi ikasi dituzula. Egin ariketa hauek:

1 Idatzi zenbaki hamartar gisa eta lotu zenbakien zuzenean duten kokapenarekin. bi eta hamarreko bat

hamarreko bat

zortzi hamarreko

hiru eta hiru hamarreko

2,1

0

1

2

3

2

3

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Izena:

2 Idatzi zer zenbaki hamartar diren.

0

1

3 Idatzi zatikiak eta kokatu zenbakien zuzenean. Lehenik, idatzi zatiki bakoitza zenbaki hamartar gisa. hiru biren

3 2

sei hamabiren

= 1,5

zazpi hamarren

=

=

sei heren

=

1,5

0

1

2

3 19

194669 _ 0001-0120.indd 19

24/9/09 13:05:44

IK

14

Izena:

Zenbakiei buruzko SUPERTESTa

Data:

Z E NB A KI - S I S TE MA K

Zenbakiei buruzko oinarrizko ezaguerak egiaztatzea Markatu edo idatzi erantzun zuzena.

1 Ordenatu zenbaki hauek handienetik txikienera: 545 – 455 – 554 – 445 – 454 – 544

2 Jarraitu segida hau: –

1 – 2 – 4 – 7 – 11 – 16 – 22 – 29 –

–

–

–

–

3 300 € ditu 10eko billetetan. Zenbat billete ditu? 3

300

30

4 Nola idazten da 1487. urtea erromatar zenbakiak erabiliz? Markatu. DDCDXXCVIII

MCCCCLXXXVIII

MCDLXXXVII

5 Zerrendan hogeita hirugarrena nintzen eta hamaika postu aurrera egin dut. Zenbatgarrena naiz orain? hamabirena

hamabigarrena

hamahirugarrena

hamaikagarrena

6 Zein da 7, 2, 8, 3 eta 7 zifrak erabiliz egin daitekeen zenbaki handiena? 77.832

27.378

87.732

7 Idatzi zer bi hamarrekoren artean dagoen zenbaki bakoitza. 23

444

275

8 Zenbaki hauetatik, inguratu zenbakien zuzenean gezi bidez adierazi direnak. 36 0

10

20

45 30

83 40

22 50

15 60

18

84 70

80

90

100

9 Idatzi hiru zifra desberdin erabiliz osa daitezkeen zenbaki handiena eta txikiena. Handiena

Txikiena

20

194669 _ 0001-0120.indd 20

24/9/09 13:05:44

II.ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK. ZENBAKIZKO KALKULUA Oinarrizko gaitasunak 2. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da zenbakizko kalkuluak egiteko, zenbaki arruntekin, zatikiekin eta ehuneko errazekin; eta eguneroko bizitzako testuinguruetako informazioa interpretatzeko eta elkarbanatzeko, zenbaki-sistema hamartarraren ezagutza eta eragiketen propietate inplizituei lotutako prozedurak erabilita. …gai da buruzko kalkulurako estrategia propioak autonomiaz erabiltzeko, batuketak, kenketak, biderketak, zatiketak eta horien oinarrizko konbinazioak egitean, eta ohartzen da estrategia horrek abantaila handiak dituela kalkulu batzuk egitean.

Aurkibidea

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

194669 _ 0001-0120.indd 21

Kalkuluaren txokoa (I). Marrazki misteriotsua (IK). Kalkulu-abiadura (IK). Fakturak osatzen ditugu (IK). Hurbilketak (IK). Intsignien jokoa (IK). Kenketak egiten (IK). Akatsik ez egiteko (IK). Kalkuluen istorioak (IR). Iritzira kalkulatzea, arrazoituz (IK). Diktaketak, buruzko kalkulurako (IR). Uztaien jokoa (IK). Kalkulu zailak (IR). Buruzko kalkuluen lehiaketak (IR). Zenbakiak asmatzen ditugu (IK). Abiadura, kalkuluak egitean (IK). Kalkuluak hamartarrekin (IK). Kalkuluari buruzko SUPERTESTa (IK).

24/9/09 13:05:44

Zenbakizko kalkuluari buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

22

194669 _ 0001-0120.indd 22

24/9/09 13:05:44

Kalkulua eta matematikarako gaitasuna

eragiketetan zenbakiak behar bezala idazten ez direlako.

Guztiok nahi dugu gure ikasleek gaitasun handia lortzea matematikaren alorrean. Gaitasun handia esatean, zenbaki-sistema eta kalkulurako oinarrizko tresnak ongi jakitea adierazi nahi dugu, eguneroko bizitzako egoeretan ziurtasunez molda daitezen. Beraz, gure xedea da hainbat egoera matematikaren ikuspuntutik ulertzeko gai izatea –erosketak, neurriak, aurreztea, ordenatzea, etab.–, bai eta aurkituko dituzten arazoak konpontzen jakitea ere. Hori horrela izanik, gure helburu nagusiak logika matematikoa eta problemak ebazteko estrategiak izango dira. Baina horrek ez du esan nahi ohiko beste helburu bat baztertuko dugunik; alegia, kalkuluak trebetasunez egiteari garrantzirik emango ez diogunik. Aurreko zikloan jada azaldu eta landu ziren, sakontasun handiagoz edo txikiagoz, kalkulurako oinarrizko lau eragiketak: batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak. Ziklo honetan ezagueraren maila hori osatu behar dugu, eta batik bat, ikasitakoa finkatu, eta indarra, ziurtasuna eta erabilgarritasuna eman. Ikaskuntza eta trebakuntza hori eraginkorra izan dadin saiatu behar dugu. Horregatik, eskakizun multzo bat kontuan hartuko dugu:

b) Emaitzen zehaztasuna. Behin eta berriz esaten diegu ikasleei zehaztasunez aritzeko; eta ariketak horrela eskatzen badu, bereziki zaintzeko hori: eragiketak behin eta berriz errepikatu behar dituzte, proba egin, gaizki egindakoak zuzendu, etab. Horrela, lanarekiko jarrera arduratsua ere indartuko dugu ikasleengan.

a) Zenbakiak behar bezala idaztea. Oraindik garaiz gaude ikasleak bideratzeko eta idatzizko kalkuluaren alderdi formalekin lotutako guztia zuzentzeko. Zenbakiak behar bezala idatzi behar dituzte, eragiketak akatsik gabe eginez eta zifra bakoitza bere lekuan jarriz –kasu batzuetan bertikaltasuna zainduz, eta beste batzuetan, horizontaltasuna–. Sarritan egiten dira akatsak

c) Iritzirako kalkuluak eta hurbilketak. Batzuetan ez da beharrezkoa emaitza zehatza izatea, eta nahikoa dugu gutxi gorabeherako emaitza bat. Duen garrantziaemango diogu kalkulatzeko modu horri. Iritzirako kalkuluak egiteko beharrezkoak dira sen matematikoa, aurreikuspen logiko bat egitea, eta batik bat, egoera eta problema argi ulertzea. Garrantzia kalkulu mekanikoari eta zehatzari ematen diogun arren, ez dugu galduko ikasketa esanguratsu bat egiteko aukera.

KA LKU LU A

Ikasle trebeak, kalkuluan

15

I

Z ENB A KI ZKO

Kalkuluaren txokoa

d) Eskolen dinamika. Matematikaren alderdi hau oso egokia da talde-lanerako, kalkuluaren beraren izaera dela eta (oroimena eta hari lotutako alderdiak, paper gaineko lana, buruzko kalkulua, abiadura...). Betidanik egin izan dira ikasgelan mota guztietako lehiaketak, jokoak eta norgehiagokak, ikasketa ziurra, azkarra eta eraginkorra errazteko. Gaur egun aplikatzen diren printzipio didaktikoak ez dira praktika horien aurkakoak, kalkulu-mekanismoak indartzen baitituzte. Horrez gain, ziurtzat jotzen dugu kalkulurako prozeduren eta estrategia propioen arrazionalizazio prozesua egin dela aurretik (kalkuluan zenbaki-sistema hamartarraren erabilera, bururakodun batuketak eta kenketak, biderketak eta zatiketak egiteko prozedurak...). 23

194669 _ 0001-0120.indd 23

24/9/09 13:05:44

IK

16

Marrazki misteriotsua

Izena: Data:

Z ENB AKI ZKO

KA LKU LU A

Segidak egitea, buruzko kalkulua trebatuz

1 Irakurri argibideak, eta irakasleak adierazitakoan, ekin lanari maskotaren irudia osatu arte. 1. 11 zenbakitik aurrera, lotu zenbaki bakoitza hari 1 batuta lortzen den zenbakiarekin, 20ra iritsi arte. 2. 20tik aurrera, lotu zenbakiak 2 batuz, 40ra iritsi arte. 3. 40tik aurrera, lotu zenbakiak 3 batuz, 70era iritsi arte. 4. 70etik aurrera, lotu zenbakiak 4 batuz, 110era iritsi arte. 5. 110etik aurrera, lotu zenbakiak 5 batuz, 160ra iritsi arte. Altxatu besoa marrazkia bukatutakoan. Lehenengo amaitzen duenak irabaziko du.

24

194669 _ 0001-0120.indd 24

24/9/09 13:05:44

Izena:

Kalkulu-abiadura

Data:

17

IK

1 Itxaron zure irakasleak hasteko adierazi arte, eta egin eragiketa hauek. Ondoren, inguratu behar izan duzun minutu kopurua, eskuinean. a)

7 5 + 9 8

3 5 4 + 3 9 7

7 3 9 + 8 0 7

5 8 7 6 + 5 6 7

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b)

9 5 – 2 9

5 1 4 – 2 5 3

8 3 7 – 5 9 8

3 0 4 3 – 7 5 4

6 6

Z EN B A KI ZKO

Zehaztasuna ezinbestekoa da kalkuluak egitean, baina batzuetan, garrantzitsua da azkar egitea ere. Zenbatekoa da zure kalkulu-abiadura?

KA LKU LU A

Denbora-tarte jakin batean batuketa eta kenketa kopuru bat egitea

c)

73+7=

27+8=

124+8=

347+20=

4

5

6

3+5+9=

8+5+6=

7

8

9

9–3+8=

8 + 7 – 4=

10

11

12

4

5

6

7

8

9

10

11

12

d)

6 + 7

8 + 2

+ 8 15

6 + 15

25

194669 _ 0001-0120.indd 25

29/9/09 19:32:20

IK

18

Izena:

Fakturak osatzen ditugu

Data:

Z ENB AKI ZKO

KA LKU LU A

Eragiketetan falta diren zenbakiak kalkulatzen ditugu Mikel bere dendan egindako ordainketen fakturak txukuntzen ari da. Batzuetan zenbakiren bat falta dela ohartu da. Lagundu falta diren zenbakiak kalkulatzen.

1 Kokatu zenbakiak eragiketak egiteko moduan, adibidean bezala. Ondoren, kalkulatu falta den zenbakia. a)

6. EGUNA Bizikleta bat, 2 eta moto bat,

6€ €. 8

2 +

GUZTIRA: 718 €.

6 8

7

1

8

b)

Quad bat, 2. 5 2 5 € osagarriak, 8 2 3 €. eta zorroa,

13. EGUNA €

GUZTIRA: 3.970 €.

c)

16. EGUNA

4€ Plastikozko igerileku bat, 4 €-ko beherapena. ken, 3 6 GUZTIRA: 4.242 €.

d)

3 kutxa bonbilla, 2 kutxako.

6€

21. EGUNA

GUZTIRA: 738 €. 26

194669 _ 0001-0120.indd 26

24/9/09 13:05:45

Data: Magnitudeak kalkulatzea, hurbilketak eginez

?

Elkarrizketetan, sarritan gutxi gorabeherako zenbaki bat eman behar izaten duzu galdera bati erantzuteko. Ondoren, informazioa bilatzen duzu, emandako informazioa zuzena ote den egiaztatzeko.

1

19 ?

Irakurri galdekizunak eta aukeratu gutxi gorabeherako magnitudea. Ondoren, esan zergatik aukeratu duzun eta nola egiazta dezakezun. • Espainiako ibai luzeenaren gutxi gorabeherako luzera: 20.000 km

250 km

1.000 km

Luzera hori honela egiazta dezaket:

• Borragoma baten gutxi gorabeherako pisua: kilo laurdena

hogei gramo

lau gramo

Pisu hori honela egiazta dezaket:

IK KA LKU LU A

Hurbilketak

Z ENB AKI ZKO

Izena:

• 15 kilo laranjaren gutxi gorabeherako salneurria: 20 €

6€

150 €

90 €

Salneurri hori honela egiazta dezaket:

• Jaioberri baten gutxi gorabeherako altuera: metro bat

metro erdia

hogei zentimetro

bi metro

Altuera hori honela egiazta dezaket:

• Munduko mendirik garaienaren gutxi gorabeherako altuera: 25.000 m

700 m

10.000 m

30 m

Altuera hori honela egiazta dezaket:

27

194669 _ 0001-0120.indd 27

24/9/09 13:05:46

IK

20

Izena:

Intsignien jokoa

Data:

KA LKU LU A

Batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak buruz egitea

= 14

Z ENB AKI ZKO

= 14 = 22 = 23 =

=

=

=

=

6

22

8

25

12

= =

= = =

= =

=

=

+

=

Marrazkiko intsignietako bakoitzak 1 eta 9 arteko balio bat du. Kalkulatu balio horiek ilara bakoitzeko balioen batura kontuan hartuta.

= 14 = 14 = 22

Bukatzeko, idatzi balioak eskuineko taulan dagozkien lauki zurietan.

= 23 =

=

=

=

=

6

22

8

25

12

28

194669 _ 0001-0120.indd 28

24/9/09 13:05:46

Izena:

Kenketak egiten

Data:

21

IK

a) LEHEN ZUTABEA

b) BIGARREN ZUTABEA

1

ken

berdin

1

ken

berdin

2

ken

berdin

2

ken

berdin

3

ken

berdin

3

ken

berdin

4

ken

berdin

4

ken

berdin

5

ken

berdin

5

ken

berdin

6

ken

berdin

6

ken

berdin

7

ken

berdin

7

ken

berdin

8

ken

berdin

8

ken

berdin

9

ken

berdin

9

ken

berdin

10

ken

berdin

10

ken

berdin

Emaitza zuzenak

Emaitza zuzenak

c) HIRUGARREN ZUTABEA

d) LAUGARREN ZUTABEA

1

ken

berdin

1

ken

berdin

2

ken

berdin

2

ken

berdin

3

ken

berdin

3

ken

berdin

4

ken

berdin

4

ken

berdin

5

ken

berdin

5

ken

berdin

6

ken

berdin

6

ken

berdin

7

ken

berdin

7

ken

berdin

8

ken

berdin

8

ken

berdin

9

ken

berdin

9

ken

berdin

10

ken

berdin

10

ken

berdin

Emaitza zuzenak

Z ENB AKI ZKO

Erakutsi zenbateraino azkar egin ditzakezun bi zenbakiren arteko kenketak. Hiru aldiz egin behar duzu proba bera, aldi bakoitzean aurrekoan baino kenketa gehiago eginez. Kenketak diktatuko dizkizun pertsonak EKIN! esandakoan, entzun galderak. Idatzi galderak eta emaitzak numerazioari jarraituz. Minutu bat iragandakoan GELDI! entzungo duzu, gelditu eta zenbatu erantzunak. Erantzun okerrak ez dira zenbatu behar. Ondoren, gorde orria. Errepikatu proba bera hiru aldiz, eta idatzi erantzun zuzenen kopurua.

KA LKU LU A

Automatismoak lantzea, batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak buruz kalkulatzean

Emaitza zuzenak 29

194669 _ 0001-0120.indd 29

24/9/09 13:05:50

IK

22

Izena:

Akatsik ez egiteko

Data:

Z ENB A KI ZKO

KA LKU LU A

Idatzizko kalkulurako estrategiak Alainek gurasoei laguntzen die dendan. Batzuetan batuketa zailak egin behar izaten ditu akatsik gabe. Zenbait metodo erabiltzen ditu ziur egoteko. Atzo, batuketa hau egin behar izan zuen:

1 4. 6 7 8 + 9. 3 8 7 + 5 2.4 2 5 + 3. 2 4 5 Hiru modutara egin zuen. Erreparatu eta osatu batuketak:

1 4. 6 7 8

1 4. 6 7 8

+

9. 3 8 7 5 2. 4 2 5

+

9. 3 8 7 2 4. 0 6 5

5 2. 4 2 5

+

3. 2 4 5 5 5. 6 7 0

1 4. 6 7 8

+

9. 3 8 7 5 2. 4 2 5

3. 2 4 5

3. 2 4 5

25

735 2 4. 0 6 5

21

+

15 18 6 735

Azaldu ikaskideei nola egin duzun batuketa bakoitza. Aukeratu ziurtasun handiena ematen dizun metodoa, eta asmatu zure gustuko beste metodo bat. Ebatzi zure koadernoan.

5 0. 4 1 9 + 7. 8 4 0 + 1 2. 5 8 4 + 2 3. 6 0 9 = 6 3. 1 7 7 + 2 3. 8 2 5 + 7 5 4 + 3 9. 5 3 0 = 30

194669 _ 0001-0120.indd 30

24/9/09 13:05:50

Une egokia izan daitekeela uste duzunean, irakurri ikasleei istorio hauek, edo eskatu ikasleei ahots ozenez irakurtzeko. Ondoren, egin galderak, aurreko eskoletan eskuratutako ezaguerak erabiltzeko.

Zenbakien segida hau da, ziurrenik, ezagunenetako bat:

Karratu magikoak

Segida horretako zenbaki bakoitza aurreko bi zenbakien batura da. Fibonacciren segida esaten zaio, eta hainbat aplikazio ditu matematikalanetan.

Europan, duela urte asko, zinginarriak erabiltzen zituzten gaixotasunetatik babesteko. Ohiko zinginarrietako bat barruan taula bat grabatuta zuen zilarrezko lamina bat zen. Taulan 1etik 9ra arteko zenbakiak idazten zituzten, ilara, zutabe eta diagonal guztien batura zenbaki bera zela.

1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21…

Biderketak hatzekin egitea

2. HATZA

KA LKU LU A

Eragiketen propietate bitxien berri izatea

23

IR

Z ENB A KI ZKO

Kalkuluen istorioak

Matematikan, badira ezaugarri bitxiak dituzten zenbakiak kokatzeko moduak. Karratu bitxi horiei karratu magikoak esaten zaie.

Fibonacci

Fibonacci ezizenez ezagutzen zuen jendeak Leonardo Pisano. Duela 800 urte bizi izan zen matematikari ospetsua zen Fibonacci. Sistema hamartarrean zenbakiek dituzten hainbat ezaugarri aurkitu zituen.

Duela denbora asko oso ezaguna egin zen bederatziaran biderkatzeko taula gogoratzeko metodo bat. 9 bider 2 egin nahi bada, zabaldu bi eskuak, ahurra behera begira dela. Ezkerreko eskuan, bildu ezkerretik hasita bigarren hatza. Horrela, hatz bat izango dugu tolestutakotik ezkerrera, eta 8 eskuinera –ezkerreko eskuko hiru eta eskuineko eskuko bost–. Beraz, 9 x 2 = 18. Bederatzi bider lau egin nahi bada, ezkerreko eskuko laugarren hatza bildu behar da, ezkerretik hasita. Hiru hatz geratuko dira ezkerrera, eta sei eskuinera –ezkerreko eskuko bat eta eskuineko eskuko bost–. Beraz, 9 x 4 = 36. 31

194669 _ 0001-0120.indd 31

24/9/09 13:05:50

IK

24

Izena:

Iritzira kalkulatzea, arrazoituz

Data:

Z ENB AKI ZKO

KA LKU LU A

Batuketak eta kenketak iritzira kalkulatzea Imajinatu lehiaketa batean parte hartu behar duzula, eta zenbait objektu sortaren gutxi gorabeherako salneurria asmatu behar duzula irabazteko. Erreparatu salneurriei. Bi edo hiru objektu diktatuko dizkizute. Objektuak entzutean, egin gutxi gorabeherako kalkulua buruz, eta idatzi emaitza orri batean. Arrazoizkoa iruditzen zaigun hurbilketa egiten duen lehenak irabaziko du. Hasi aurretik, egin saiakerak hurbilketak egiteko erabiliko duzun estrategiarekin. Esate baterako, horrela egin dezakezu telebistaren (358 €) eta bizikletaren (126 €) salneurrien batura kalkulatzeko: 1. Hurbildu objektuen salneurriak hamarrekotara. Ondoren, batu hurbilketen emaitzak: 358 = 360; 126 = 130; 360 + 130 = 490. Beraz, objektu sorta horren gutxi gorabeherako salneurria 500 € da. 2. Hartu kontuan bi zenbakien ehunekoak, eta hurbildu beheko ehunekoetara. Jarraian, batu emaitzak: 358 = 300 eta 126 = 100; 300 + 100 = 400. Gero, doitu hurbilketa. Horretarako, hartu kontuan hamarrekoak, hurbildu goikoetara eta batu emaitzak: 58 = 60 eta 26 = 30; 60 + 30 = 90. Bukatzeko, batu ehunekoen eta hamarrekoen hurbilketak: 400 + 90 = 490. Gutxi gorabeherako salneurria 500 € da. 3. Erabili estrategia pertsonal bat. 68 €

358 € 420 €

126 €

126 €

215 € 164 € 240 € (Erantzunak 118. orrialdean) 32

194669 _ 0001-0120.indd 32

24/9/09 13:05:50

Diktaketak, buruzko kalkulurako

25

IR

Bukaeran zeroak jarri behar direla esaten badute, eskatu baieztapen hori zergatik egin duten azaltzeko. Esate baterako, biderkatu hamarrez zifra bakoitzaren balioa: 3 ehuneko 3 10 = 30 ehuneko = 3.000 2 hamarreko 3 10 = 20 hamarreko = 200 5 bateko 3 10 = 50 3.000 + 200 + 50 = 3.250 Diktatu bizi-bizi beheko eragiketa hauek ikasleei.

78 13

1. Hamarreko osoak hamarreko osoez biderkatzea

20x10=?

x 10 = 6 x 100 = 6 4 x 100 = x 1000 = 250 x 10 = 340 x 100 =

3. Zenbakiak hamarreko osoez biderkatzea Zailagoa da eragiketa mota hori egitea eta estrategia egokiena aurkitzea. Idatzi eragiketa hau arbelean:

Diktatu eragiketa hauek, eta eskatu emaitza dakitenei besoa altxatzeko:

7x30=?

1 0 x 10 = 1 0 0 x 10 = • Kutxa batean 100 goma sartzen badira, zenbat

goma sartuko dira 10 kutxatan? • Nire kaletik 100 automobil pasatzen dira eguneko, zenbat pasatuko dira 100 egunean?

2. Zenbakiak 10ez, 100ez eta 1.000z biderkatzea Proposatu biderketa hau arbelean:

Z ENB A KI ZKO

Adierazi ikasleei biderketak egingo dituztela bukaeran zeroak dituzten zenbakiekin. Prozedura bat azaldu behar dute, buruzko kalkulua azkar-azkar egiteko. Idatzi kasu bakoitzeko eredu bat arbelean, eta eskatu ikasleren bati jarraitu beharreko estrategia gainerako ikaskideei azaltzeko. Eman ontzat azalpen zuzen guzti-guztiak; besteak beste, zenbakiak batekotan, hamarrekotan eta ehunekotan deskonposatzea edo abakoak eta abar erabiltzea.

KA LKU LU A

Zenbakiak hamarreko edo ehuneko osoez buruz biderkatzeko estrategiak

Eskatu ikasleei estrategia bat azaltzeko, esate baterako:

7 x 3 = 21; 2 1 x 1 0 = 2 1 0 Diktatu biderketa hauek:

5x40 = 6x100= 30x50=

8x90= 4x200= 20x20=

6x30= 3x300= 40x20=

325x10=? Eskatu ikasleei biderketa hori buruz eta azkarazkar egiteko prozeduraren bat azaltzeko. 33

194669 _ 0001-0120.indd 33

29/9/09 19:32:31

IK

26

Izena:

Uztaien jokoa

Data:

Z ENB A KI ZKO

KA LKU LU A

Biderketak buruz egitea

1 Ikastetxeko festan uztaien jaurtiketa-txapelketa bat antolatu dute. Saioak eta Imanolek uztaiak jaurti eta emaitza hauek lortu dituzte. Irudietako zenbakiek bertan sartutako uztai bakoitzeko lortzen den puntu kopurua adierazten dute. Nork irabazi du?

SAIOA

IMANOL

Eragiketen ebazpena:

k irabazi du

punturekin.

2 Egin gauza bera Jagobak eta Loreak lortutako emaitzekin.

JAGOBA

LOREA

Eragiketen ebazpena:

k irabazi du

punturekin.

3 Idatzi jokalarien izenak, puntu gehien lortu duenetik hasita puntu gutxien lortu duenera. 1.

2.

3.

4.

34

194669 _ 0001-0120.indd 34

24/9/09 13:05:50

Kalkulu zailak

Proposatu ikasleei zenbaki hamartarren arteko buruzko kalkulu hauek egiteko. Eskatu erantzunak eman aurretik eragiketak egiteko erabiliko duten estrategiari buruz pentsatzeko. Kasu bakoitzean, eskatu ikasle bati ariketa egiteko erabili duen estrategia gainerako ikasleei azaltzeko.

1. 3. a) 1,3 + 2,5 = = 1,1

a) 0,3 + b) 7,8 + 9,2 = b)

+ 0,6 = 10,5

Z ENB A KI ZKO

KA LKU LU A

Buruzko kalkuluan trebatzea

27

IR

c) 0,6 + 0,4 = c) 1,4 + 2,25 = d) 12,5 + 3,5 = d) 1,8 + 1,4 =

2. 4. a) 8,4 – 3,8 = a)

– 0,4 = 0,6

b) 3,7 – 0,8 = b) 12,4 –

= 10,1

c) 23,1 – 8,00 = c) 2,50 + 4,50 = d) 9,0 – 0,50 = d) 5,21 – 5,1 =

35

194669 _ 0001-0120.indd 35

24/9/09 13:05:50

IR

28

Buruzko kalkuluen lehiaketak

Z ENB A KI ZKO

KA LKU LU A

Buruzko kalkulurako estrategiak lantzea

Taldeak Banatu ikasgela hamar taldetan, eta eman zenbaki bat talde bakoitzari: 1. TALDEA, 2. TALDEA, 3. TALDEA...

Lehiaketarako gaiak Idatzi arbelean taldeen zenbakiak. Zenbaki bakoitzaren ondoan talde horrek lortutako emaitza zuzenen kopurua idatziko dugu. Idatzi arbelean zer kalkulu mota den eta zer estrategia erabiliko den hura egiteko. Adibidez: ZIFRA BATEKO ZENBAKIEN ARTEKO BATUKETA

BI ZIFRAKO ZENBAKIEN ARTEKO BATUKETA

23 + 27 =

8+7=

24 - 7 + 4 = B

A ZENBAKI BATI 9 BATZEA

BATUKETA ETA KENKETA KATEATUAK

C

ZENBAKI BATI 9 KENTZEA

ZENBAKI BATI 11 BATZEA

236 + 9 =

425 - 9 =

383 + 11 =

236 + 10 = 246 - 1 = 245

425 - 10 = 415 + 1 = 416

383 + 10 = 393 + 1 = 394

ZENBAKI BAT 10EZ, 100EZ EDO 1.000Z BIDERKATZEA

ZENBAKI BAT 10EZ, 100EZ EDO 1.000Z ZATITZEA

E

D ZENBAKI BATI 11 KENTZEA

436 x 10 =

138 - 11 = 138 - 10 = 128 - 1 = 127

G

436 x 10 = 4.360

F

364 : 10 = H

364 : 10 = 36,4

I

Arauak 1. Kokatu taldekideak ikasgelako hormen kontra zutik. 2. Egin zozketa bat ikasleen artean, lehiaketa hasteko zer eragiketa egingo den nork erabakiko duen jakiteko. Diktatu buruz egin beharreko eragiketa. Emaitzako azken zifrarekin bat datorren zenbakia duen taldeak erantzun beharko du. Erantzuna zuzena bada, puntu positibo bat idatziko dugu arbelean. Erantzunik ematen ez badute, edo emandako erantzuna okerra bada, puntu negatibo bat idatziko dugu. Esate baterako, 3 + 4 + 6 – 2, proposatu badugu, 1. taldeak erantzun beharko du, emaitza 11 baita. Erantzuna zuzena bada, puntu positibo bat idatziko dugu arbelean, taldearen zenbakiaren ondoan. Lehiaketaren amaieran zenbatu egingo ditugu talde bakoitzak lortutako puntu positiboak eta negatiboak. Puntu gehien lortzen duenak irabaziko du. 36

194669 _ 0001-0120.indd 36

24/9/09 13:05:50

Zenbakiak asmatzen ditugu

Data:

Buruzko kalkuluen jolasak, batuketekin eta kenketekin

29

KA LKU LU A

Jolas interesgarri batean parte har dezakezu, beste norbaitek pentsatzen duen zenbakia asmatzeko.

IK

Horretarako, eskatu pertsona horri eragiketa batzuk egiteko.

1 Honela egin behar da: 1. Eskatu pertsona horri paper batean bi zifrako zenbaki bat idazteko. 2. Ondoren, garrantzirik eman gabe, uneoro asmatzen ariko bazina bezala, eskatu zenbait batuketa eta kenketa egiteko. Diktatuko dizkiozun zenbakien baturak 91 izan behar du. 3. Eskatu azken eragiketaren emaitza emateko, eta batu 9 emaitza horretako azken bi zifrek osatutako zenbakiari. Batura bila gabiltzan zenbakia da. Adibidea: Jonek 27 zenbakia idatzi du orri batean. Eskatu eragiketa hauek egiteko: batu 13; ondoren, batu 20; gero, batu 40; jarraian, kendu 3; eta bukatzeko, batu 21 –zenbaki horien guztien batura 91 da–. Galdetu zer zenbaki lortu duen. Erantzuna 118 izango da. Egin 18 gehi 9. Emaitza 27 da.

Z ENB AKI ZKO

Izena:

2 Erabili txantiloi hauek trebatzeko. Zenbaki ezkutua

27

27

27

27

+ 13 Batura 91 duten zenbakiak

+ 20 + 40 -3 + 21 91 27 + 91 = 118

Azken emaitza

18 + 9 = 27 37

194669 _ 0001-0120.indd 37

24/9/09 13:05:51

IK

30

Izena:

Abiadura, kalkuluak egitean

Data:

Z ENB A KI ZKO

KA LKU LU A

Biderketak buruz kalkulatzea

1

Osatu biderkatzeko taula hauek ahalik eta azkarren.

3 x 4 = 12

2 x 5 = 10

5 7 2 10 4 20 15 6 42 8 40 2

6 8 16 12

6 12

3 6

32

7 2

24

6

3

36 40 30 15

20 63

18

Egin bost laguneko taldeak. Irakasleak letra bat eta zenbaki bat adieraziko dizkio A taldeari. Taldeko kide guztiek dagokien eragiketa egin beharko dute. Ikasleren batek okerreko emaitza ematen badu, B taldeak hartuko du txanda. Emaitza zuzen gehien ematen duen taldeak irabaziko du.

A

(4 x 3) + 4

(3 x 8) - 6

9’9

(4 x 4) - 9

30 - (2 x 5)

B

7’5

(6 x 7) + 11

(6 x 4) - 4

(3 x 8) - 5

(8 x 8) - 9

C

5x9

(4 x 7) - 8

9x8

(5 x 7) - 20

(6 x 6) - 6

D

(3 x 9) - 4

(3 x 9) + 3

(8 x 3) - 24

(7 x 73) + 9

(4 x 9) + 5

E

7’2

(3 x 3) - (4 x 4)

8x4

(9 x 3) - 17

3x6

(8 x 7) - 56

25 x 10

4

5

F (9 x 2) + (2 x 5) (4 x 5) + (5 x 4) (80 x 10) + 100 1

3

4 8 12 27

2

3

Kalkulatu biderketak eta zatiketak buruz. • 90 x 10 = 900

• 300 x 20 =

• 600 x 8 =

• 310 : 10 = 31

• 9.000 : 30 =

• 1.500 : 100 =

• 64 : 2 =

• 666 : 3 =

• 1.240 : 2 =

38

194669 _ 0001-0120.indd 38

24/9/09 13:05:51

31

Kalkuluak hamartarrekin

Data:

Zenbaki hamartarrak irakurtzea eta haien esanahia azaltzea

1 Erreparatu zenbaki hamartarrak dituzten salneurri hauei, eta ordenatu handienetik txikienera 1, 2, 3, 4 eta 5 idatziz. 5,9

9

9

Z ENB A KI ZKO

5,0

5

5,4

IK KA LKU LU A

Izena:

5,23 5,50

2 Adierazi zatikiak zenbaki hamartar gisa. ADIBIDEA: 3 bizkotxo ekarri zituzten, baina 5 haur zirenez, zati berdinetan moztu zituzten. Zer bizkotxo zati jan zuen haur bakoitzak? • Haur bakoitzak bizkotxoaren 3 jan zuen: 3 : 5 = 0,6 = 6 bizkotxo hamarren. 5

6 4

= 1,

4 5

=

9 = 5

2 8

=

3 Adierazi balioak zenbaki hamartar gisa: Adibidea: 253 zentimo = 2,53 € • 84 dm = 8,4 m

• 104 cm =

m

• 25 cl =

l 39

194669 _ 0001-0120.indd 39

24/9/09 13:05:51

IK

32

Izena:

Kalkuluari buruzko SUPERTESTa

Data:

Z ENB AKI ZKO

KA LKU LU A

Kalkuluaren alderdi guztiak menderatzen direla egiaztatzea Markatu edo idatzi erantzun zuzena.

1 Zenbaki bat pentsatu dut, 35 batu diot eta emaitza 83 da. Zer zenbaki da? 68

79

48

2 Zer ehunekora hurbiltzen da gehien 325 + 648 batura? 700

900

1.100

1.200

3 Kenketa batean, nola esaten zaio hasieran dugun kantitateari? Kenkizuna

Kentzailea

Biderkadura

4 Zein da kantitate handiena? 3 kilo dilista 4

5

4 8

kilo dilista

75 zentimo nituen, eta 50 zentimoko txanpon bat aurkitu dut. Orain...

euro bat pasatxo dut

euro bat eskas dut

6 Aurkitu eta markatu akatsak azkar-azkar: 7x1=7 7 x 2 = 16 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 30 7 x 6 = 42 7 x 7 = 49 7 x 8 = 65 7 x 9 = 63

7 Idatzi baliokidetasunak azkar-azkar: 7+7+7+7+7+4+4+4=

x

+

x

=

8 Kendu zeroak, zenbakiak sinplifikatzeko. 40.000 =

x

7.000 =

x

9 Zein da adierazpen zuzena? Zatikizuna = zatitzailea x zatidura + hond.

Zatitzailea = zatidura x zatikizuna + hond.

10 Amak 200 €-ko 12 billete ditu, eta aitak, 500 €-ko 4. Nork du diru gehien? 40

194669 _ 0001-0120.indd 40

24/9/09 13:05:51

III.ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK. PROBLEMAK EBAZTEA Oinarrizko gaitasunak 3. Ikaskuntza-prozesuaren amaieran ikaslea gai da eguneroko bizitzako problemak ebazteko, horiek ebazteko estrategia pertsonalak erabiliz eta behar diren eragiketak eginez. …problema soilak ebazten ari dela, gai da arrazoizko emaitza bat aurresateko eta ebazpen prozesuari ekiteko prozedura matematiko egokienak bilatzeko. Gai da estrategien artean egokiena aukeratzeko, bai eta datu eta emaitza zehatzak irmotasunez bilatzeko ere, problemak formulatzean nahiz ebaztean.

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

194669 _ 0001-0120.indd 41

Aurkibidea Erraza da problemak ebaztea (I). Batuketen problemak ebazteko trikimailua (E). Gelako kontuak (IK). Kenketen problemak ebazteko trikimailua (E). Aurrezkiak zenbatzea (IK). Kiroldegiko baloiak (IR). Irabazteko eta galtzeko jokoak (IR). Zenbat urte dituzu? (IR). Kromo piloa (IR). Problemak ebazteko txantiloia (IK). Biderketen problemak arrazoitzeko trikimailua (E). Biderketen problemak (IK). Zatiketen problemak arrazoitzeko trikimailua (E). Datuaren bila (IK). Jolas-parkeko gastuak (E). Zenbat aldiz gehiago? (E). Txangoak bizikletaz (IR). Bi eragiketako problemak arrazoitzea (E). Problema zailagoak (E). Kanpalekura goaz (IK). Problema gehiago (IR). Bi eragiketako problemak ebazteko txantiloia (IK). Enuntziatuak egiten ditugu (IK). Problema sorta (IR).

24/9/09 13:05:51

Problemen ebazpenari buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

42

194669 _ 0001-0120.indd 42

24/9/09 13:05:51

Problemak matematikan

Problemaren datuak

Zalantzarik gabe, problemen ebazpenari buruzko programa da matematika alorreko garrantzitsuena, irakasgaiaren funtsean bertan baitago. Hori dela eta, irakasleek eta eskola-eskuliburuek formula eraginkorrak bilatzen dituzte, trebetasun horri aplikatzeko estrategiak irakasteko.

Proposamenak oso oinarri xumea du, azken finean, problema guztietan koadroaren bidez lotzen ditugun hiruna datu baitaude. Eragiketa bakarreko problemetan, hiru datuetatik bi dakizkigu eta hirugarrena galdetzen digute. Bi urrats eman beharreko problemetan ordea, galdera bat eta datu bakarra dakizkigu hasieran. Lehen urratsean bigarren datua kalkulatu behar dugu, eta datu hori gainerakoekin lotuta ebatziko dugu problema. Demagun problema erraz bat, esaterako: Anek 25 zentimo zituen, eta beste 40 eman zizkioten. Zenbat zentimo ditu orain? Bi datu dakizkigu: 25 eta 40, eta hirugarren balio bat kalkulatu behar dugu. Demagun, halaber, beste bat: Ibanek 25 kromo ditu, eta Maitek, Ibanek baino 6 gutxiago. Zenbat kromo dituzte bien artean? Bien arteko kromo kopurua jakin nahi badugu, lehenik, Maitek zenbat kromo dituen jakin behar dugu; baina datu hori ez dator enuntziatuan. Behin Maitek zenbat kromo dituen jakindakoan, problema ebazteko behar ditugun datu guztiak dauzkagu.

Oinarrizko planteamendua Polya izeneko metodo klasikoan oinarritzen dira gaur egungo metodo guztiak. Metodo horretan, banan-banan jarraitzen zaie urratsei, azken ebazpenera iristeko: 1. Problema ulertzea. 2. Plan bat egitea, problema ebazteko. 3. Plana gauzatzea. 4. Egindakoa aztertzea. Baina, Polya matematikariak berak esan zuen bezala, urrats horietako bakoitza garatu egin behar da, plana bide ziurra izan dadin, problemak arrazoizko moduan ebazteko. Eremu horretan txertatzen da proposamen hau. Eskema bat eman nahi du, ebazpen-plana gauzatzean, eragiketen aukeraketa azaltzeko, arrazoitzeko eta justifikatzeko.

Formula desberdina eta eraginkorra Problema bat ebazteko oinarrizko planteamenduan oinarritzen da aurkezten dugun proposamena. Enuntziatuko zer datu hautatu behar ditut? Nola lotu behar ditut elkarrekin (batu, kendu, biderkatu edo zatitu)? Oinarrizko koadroak erabiliko ditugu datuak adierazteko –geroago azalduko dugu zer diren–: Z

Z

G batuketen eta kenketen problemetan.

B K G biderketen eta zatiketen problemetan.

E B A ZTE A

Problemak ebazteko estrategiak irakasteko eredua

33

I

PR O B LE MA K

Erraza da problemak ebaztea

Ulermena, abiapuntua Metodoak bete egin nahi ditu irakaskuntzametodo orok izan beharreko funtsezko hiru baldintzak: • Ikasleak menderatu beharreko estrategia zehatza irakastea. • Ikasleak aintzat hartzea estrategia eraginkorra dela. • Problemaren ebazpen-prozesua ikasleak kontrola dezan lortzea.

Koadro horiei esker, edozein problemaren azalpen- eta ebazpen-prozesua ikus eta egitura daiteke, oso zaila izan arren. 43

194669 _ 0001-0120.indd 43

24/9/09 13:05:51

E

34

Batuketen problemak ebazteko trikimailua

P ROB LE MA K

E B A ZTE A

Z Z G estrategia irakasteko eredua, batuketen problemak ebazteko Azaldu prozesua ikasleei. Idatzi eskema arbelean, erakutsi jarraitu beharreko bidea eta nola azaldu behar duten.

Z zati bat

Z beste zati bat

• 2. Problema moduan aurkeztuko dugu

egoera hori. Z eta Z dakizkigu, eta G kalkulatu nahi dugu:

G Nire auzoan zaletasun handia dago futbolarekiko. Klubean 126 mutil eta 76 neska gaude. Zenbat jokalari gaude, guztira?

guztira

Hasteko, zenbaki txikiekin egingo dugu lan, garrantzitsuena problema bat ebazteko metodo egokiena bilatzea eta hura aukeratzeko arrazoiak azaltzen jakitea baita, eta ez eragiketa konplexuak egitea. Hasiera hori gainditu ahala, estrategia propioak bila ditzakete ikasleek problemak ebazteko.

• 1.

Ikus dezagun ebatzita batuketa bat egitea eskatzen egoera bat.

Nire auzoan zaletasun handia dago futbolarekiko. Klubean 126 mutil eta 76 neska gaude. Beraz, klubean 202 jokalari gaude guztira.

• Zer jakin nahi dugu? G

Klubeko jokalarien kopurua, guztira

=?

• Zer dakigu? Zenbat mutilek jokatzen duten

Z

= 126

Zenbat neskak jokatzen duten

Z

= 76

•

3. Egoera adierazten dugu, datuak koadroan idatzita:

Z

Z

G

126

76

?

• 4. Z eta Z jakinda, G jakin nahi dugunez, BATUKETA egingo dugu problema ebazteko.

Bi zati dakizkigu (Z = 126 eta Z = 76), eta guztira zenbat diren (G = 202).

Z

Futbolean jokatzen duten 126 mutil.

Z+Z=G

• 5. Kokatu datuak eta ebatzi. 1

Z G

Futbolean jokatzen duten 76 neska.

Guztira, 202 jokalari (126 + 76 = 202).

+ 2

2 7 0

6 6 2

Ebazpena: Klubean 202 jokalari daude guztira.

44

194669 _ 0001-0120.indd 44

29/9/09 19:32:35

Gelako kontuak

Data: Problemak ebaztea, Z Z G programaren bidez

35

IK

Irakurri problemak, eta ebatzi ereduari jarraituz.

a) Zer jakin nahi du Jonek?

G

=

b) Zer datu eman dizkio Anek?

Z

=

Z

=

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. Z

Z

?

3 Eragiketa.

G

PR OB LE MA K

1 Jonek 3. mailan zenbat ikasle diren galdetu dio Aneri. Anek erantzun dio iaz 83 ikasle zirela 2. mailan, eta aurten, 16 ikasle gehiago etorri direla 3. mailarako. Kalkula ezazu.

E B A ZTE A

Izena:

4 Emaitza:

1 Jonek, Anderrek, Mirenek eta nik 116 liburu irakurri ditugu jada aurten lauron artean. Irakasleak zoriondu egin gaitu, eta beste 63 irakurri behar ditugula esan digu. Zenbat liburu irakurtzea nahi du? a) Zer jakin nahi dugu?

G

=

b) Zer bi datu dakizkigu?

Z

=

Z

=

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. Z

Z

?

3 Eragiketa.

G

4 Ebazpena: 45

194669 _ 0001-0120.indd 45

24/9/09 13:05:51

E

36

Kenketen problemak ebazteko trikimailua

PR O B LE MA K

E B A ZTE A

Z Z G estrategia irakasteko eredua, kenketen problemak ebazteko Azaldu zure ikasleei kenketen problemak Z Z G estrategia erabiliz ebazteko prozesua. Idatzi eskema arbelean, azaldu zer urratsi jarraitu behar dieten eta horiek nola adierazi behar dituzten. Batuketaren kasuan bezala, hasieran zenbaki txikiekin egingo dugu lan, garrantzitsuena arrazoitzea eta problema nola ebatzi duten azaltzen jakitea baita, eta ez eragiketa oso konplexuak egitea. Hasiera hori gainditu ahala, estrategia propioak bila ditzakete ikasleek, problema horiek ebazteko.

•

1. Batuketaren fitxan erabilitako ebatzitako egoera bera erabiliko dugu fitxa honetan ere.

Nire auzoan zaletasun handia dago futbolarekiko. Klubean 202 jokalari gaude: 126 mutil eta 76 neska.

Egoera honetan guztira zenbat diren (G = 202) eta bi zatiak dakizkigu (Z = 126 eta Z = 76):

G Z

202 pertsonak jokatzen dute futbolean.

126 mutilak dira.

• 2. Kenketen problema moduan aurkez-

tuko dugu egoera hori. G eta Z dakizkigu, eta Z kalkulatu nahi dugu.

Auzoko nesken artean hazi egin da futbolarekiko zaletasuna. Aurten, 202 jokalarietatik 126 mutilak dira, eta gainerakoak, neskak. Ba al dakizu zenbat neska dauden klubean?

• Zer jaki nahi dugu? Zenbat neskak jokatzen duten

Z =?

• Zer dakigu? Jokalarien kopurua, guztira

G = 202

Zenbat mutilek jokatzen duten

Z = 126

•

3. Egoera adierazten dugu, datuak koadroan idatzita:

Z

Z

G

126

?

202

• 4. G eta Z jakinda Z jakin nahi dugunez, KENKETA egingo dugu problema ebazteko.

Z

76 neskak dira.

G–Z=Z

• 5. Kokatu datuak eta ebatzi. 2 – 1 0

0 2 7

2 6 6

Ebazpena: Klubean, 76 neskak jokatzen dute. 46

194669 _ 0001-0120.indd 46

24/9/09 13:05:51

Data: Problemak ebaztea, Z Z G programaren bidez

37

Irakurri problemak, eta ebatzi ereduari jarraituz.

1 Iaz, itsulapiko berri bat oparitu zidaten. Urte hartan 136 euro sartu nituen; aurten, 173 euro sartu ditut jada. Ba al dakizu zenbat euro gehiago sartu ditudan aurten iaz baino? a) Zer jakin nahi dugu?

Z

=

b) Zer dakigu?

Z

= 136

G

= 173

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. Z

Z

?

3 Eragiketa.

G

IK E B A ZTE A

Aurrezkiak zenbatzea

PR OB LE MA K

Izena:

4 Ebazpena:

1 Ander apetatsua da, eta bi itsulapiko ditu. Itsulapiko handian 29 euro ditu aurreztuta, eta txikian, handian baino 7 euro gutxiago. Zenbat euro ditu itsulapiko txikian? a) Zer jakin nahi dugu?

Z

= ?

b) Zer dakigu?

Z

= 7

G

= 29

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. Z

Z

3 Eragiketa.

G

4 Ebazpena: 47

194669 _ 0001-0120.indd 47

24/9/09 13:05:52

IR

38

Kiroldegiko baloiak

P ROB LE MA K

E B A ZTE A

Kantitate multzoen problemak arrazoitzea Aurkeztu ikasleei kantitateen multzoak egitea eta desegitea eskatzen duten zenbait problematako egoerak, problema mota horietan Z Z G eskemari dagozkien datuak identifika ditzaten.

Z

Z

G

zati bat

beste zati bat

guztira

EGOERA OROKORRA Kirol-arduradunak 33 baloi behar ditu zehazki. Batzuk minibasketerako dira, eta besteak, areto-futbolerako. Behin eta berriz zenbatu ditu, behar dituenak dituela egiaztatzeko.

Lehen problema Marraztu hiru laukiak arbelean, eta bideratu problemen ebazpena ikasleei zenbait galdera eginez.

Endikak minibasketeko 15 baloi zenbatu ditu, eta areto-futboleko 18. Zenbat baloi ditu? Ba al ditu behar dituenak? • Erantzuna: bi zatiak jakinik (Z = 15, Z = 18) guz-

Z

Z

G

tira zenbat diren jakin nahi dugu, (Z + Z = G). •

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Bigarren problema Endikak 33 baloi zenbatu ditu guztira. 15 minibasketekoak badira, zenbat izango dira areto-futbolekoak? • Erantzuna: guztira zenbat diren (G = 33) eta

Gogoratu gakoak: 1. Datu gisa bi zatiak jakinik (Z eta Z) guztira zenbat diren jakin nahi dugunean (G), batuketa bat egingo dugu problema ebazteko:

zatietako bat dakizkigu (Z = 15): (G – Z = Z). •

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Hirugarren problema Z+Z=G 2. Bi zatiak guztira zenbat diren (G) eta zatietako bat (Z) jakinik, beste zatia (Z) jakin nahi dugunean, kenketa bat egingo dugu problema ebazteko:

G-Z=Z

Endikaren laguntzaileak berriro zenbatu ditu baloiak. Badaki 33 direla, eta horietatik 18 areto-futbolekoak direla. Nola jakin dezake minibasketeko zenbat baloi dituen? • Erantzuna: guztira zenbat diren (G = 33) eta

zatietako bat dakizkigu (Z = 18): (G – Z = Z). •

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: 48

194669 _ 0001-0120.indd 48

29/9/09 19:32:36

Lehen problema

Z

Z

Anderrek zorte txarra izan duela dio. 23 kromo galdu ditu, eta orain, 35 soilik geratzen zaizkio. Zenbat kromo zituen hasieran?

G Irabazteko eta galtzeko jokoetan, batuketak eta kenketak egiten ditugu une jakin bateko egoera nolakoa den jakiteko. Aurkeztu ikasleei kantitateen aldaketak egitea, hots, hasierako kantitateak handitzea edo txikitzea, eskatzen duten zenbait problematako egoerak, Z Z T eskemari dagozkien datuak identifika ditzaten. Marraztu hiru laukiak arbelean, eta eman adierazten den esanahia.

Z

Z

G

kantitate txiki bat

beste kantitate txiki bat

kantitate handiena

Datuetako bat hasierako kantitateari dagokio, beste bat hura aldatzen den kantitateari (hura handitzen edo txikitzen dena), eta bestea, azken emaitzari.

• Erantzuna: kantitate txikienak dakizkigu (Z = 23 eta Z = 35). Ez dakigu zenbatekoa den kantitate handiena, hots, hasierako kantitatea (Z+ Z = G).

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Bigarren problema Ingek ere zorte txarra izan du. 38 kromorekin hasi zen, eta jada 16 galdu ditu. Zenbat kromo geratzen zaizkio?

E B A ZTE A

Aldaketen problemak arrazoitzea, kantitateak handituz edo txikituz

39

IR

PR O B LE MA K

Irabazteko eta galtzeko jokoak

• Erantzuna: kantitate handiena dakigu (G = 38), hots, hasierako kantitatea; bai eta kantitate txikietako bat ere (Z = 16), kantitatea zenbat txikitzen den: (G – Z = Z).

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Proposatu gakoak. 1. Datu gisa bi kantitate txikienak jakinik (Z eta Z), kantitate handiena jakin nahi dugunean (G), BATUKETA bat egingo dugu problema ebazteko:

Z+Z=G

2. Kantitate handiena (G) eta kantitate txikietako bat (Z) jakinik, beste kantitate txikia (Z) jakin nahi dugunean, KENKETA bat egingo dugu problema ebazteko:

G–Z=Z

Hirugarren problema Itziarrek zorte hobea izan du. 15 kromo irabazi dituenez, orain 47 kromo ditu. Zenbat kromo zituen hasieran?

• Erantzuna: zenbaki handiena dakigu (G = 47), hots, bukaerako kantitatea; bai eta kantitate txikietako bat ere (Z = 15), kantitatea zenbat handitzen den: (G – Z = Z).

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: 49

194669 _ 0001-0120.indd 49

24/9/09 13:05:52

IR

40

Zenbat urte dituzu?

PR O B LE MA K

E B A ZTE A

Z Z G identifikatzea, alderatze-problemetan Adinari buruz hitz egiten dugunean, zenbaki absolutuak ematen ditugu. Baina sarritan alderaketak egiten ditugu: «Zu baino sei urte gehiago ditut…». Batuketa edo kenketa errazak egin behar ditugu alderaketa horien emaitza jakiteko.

Lehen problema Nire amak 39 urte ditu, eta aitak, amak baino 8 urte gehiago. Ezetz asmatu zenbat urte dituen nire aitak!

• Erantzuna: kantitate txikiena dakigu (Z = 39), bai eta aldea adierazten duena ere (Z = 8). Kantitate handiena jakin nahi dugu. (Z + Z = G).

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: Aurkeztu ikasleei kantitateak alderatzea eskatzen duten zenbait problematako egoerak, Z Z G eskemari dagozkien datuak identifika ditzaten. Galdetu zer eragiketa egin behar den Z Z G sistema aplikatzean. Marraztu hiru laukiak arbelean, eta eman alderatze-problemetako esanahia.

Z

Z

G

kantitate txikiena

aldea edo alderatzen den kantitatea

kantitate handiena

Bigarren problema Nire amonak 68 urte bete ditu, eta nire amak, 39. Zenbat urte gehiago ditu amonak amak baino?

• Erantzuna: kantitate handiena dakigu (G = 68), bai eta txikiena ere (Z = 39). (G – Z = Z).

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Hirugarren problema Gogoratu gakoak: 1. Kantitate txikiena (Z) eta aldea adierazten duena (Z) jakinik, kantitate handiena (G) jakin nahi dugunean, batuketa bat egingo dugu problema ebazteko:

Z+Z=G

Matematikako irakasleak 47 urte ditu, eta musikakoak, matematikakoak baino 13 gutxiago. Zenbat urte ditu musikako irakasleak?

• Erantzuna: kantitate handiena dakigu (G = 47), bai eta aldea adierazten duena ere (Z = 13). (G– Z = Z).

• 2. Kantitate handiena (G) eta beste bietako bat (Z edo Z) dakizkigunean, kenketa bat egingo dugu problema ebazteko:

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

G–Z=Z 50

194669 _ 0001-0120.indd 50

24/9/09 13:05:52

Diktatu problema hauek ikasleei ebatz ditzaten, koadernoan edo 40. fitxako ebazpen-ereduaren fotokopia batean. Eskatu proposatutako garapen-eskemari jarraitzeko: 1. Zer jakin nahi dut?. 2. Zer datu ditut? 3. Zein arrazoiketa eskema da egokiena, Z

Z

G ala G

Z

Z ?

4. Ebatzi problema dagokion eragiketa eginez.

KANTITATEEN MULTZOAK EGITEA ETA DESEGITEA ESKATZEN DUTEN PROBLEMAK 1. Agurtzanek eta Kattalinek bien kromo bildumak batu dituzte. Orain, 238 kromo dituzte bien artean. Agurtzanek 78 kromo jarri bazituen, zenbat jarri zituen Kattalinek? 2. Astelehenean, Agurtzanek 18 kromo erosi zituen, eta Kattalinek, 23. Zenbat kromo erosi zituzten bien artean? 3. Asteartean, Kattalinek 24 kromo erosi zituen, eta Agurtzanek erositakoekin, 76 kromo berri jarri zituzten albumean. Zenbat kromo erosi zituen Agurtzanek? 4. Markel ondoezik dago, 27 goxoki jan baititu. Oraindik beste 19 goxoki ditu poltsan. Zenbat goxoki zituen hasieran?

ALDAKETEN PROBLEMAK 5. Julen gure taldeko adiskide bat da. Hark ere kromoak erosten ditu, eta gainera, zorte ona du. Ostegunean 65 kromo erosi zituen, eta lagunei 26 irabazi zizkien. Zenbat kromo zituen bukaeran? 6. Erramun zabar xamarra da. Julenekin batera joan zen kromoak erostera. 47 kromo erosi zituen, baina bidean, 26 galdu. Zenbat kromo geratu zitzaizkion? 7. Gaur goizean, 87 kromorekin irten naiz etxetik. Arratsaldean 143 kromorekin itzuli naiz etxera. Zenbat kromo irabazi ditut ikastetxean?

E B A ZTE A

Batuketen eta kenketen problema-bankua

41

IR

PR O B LE MA K

Kromo piloa

ALDERATZE- ETA BERDINTZE-PROBLEMAK 8. Astearen bukaera aldera, Kattalinek eta Agurtzanek 82 kromo banatu zituzten bien artean. Agurtzanek 45 hartu bazituen, zenbat jaso zituen Kattalinek? 9. Paulok Julenek baino 24 kromo gehiago zituen astearen amaieran. Julenek 64 kromo bildu bazituen, zenbat bildu zituen Paulok? 10. Kalkulatu zenbat kromo gehiago bildu zituen Erramunek Agurtzanek baino, Erramunek 96 eta Agurtzanek 45 zituztela jakinda. 11. Zer zenbaki pentsatzen ari naiz, zenbaki horri 27 kenduta kendura 18 bada? 12. Kutxa gorrian 39 fitxa daude, eta kutxa urdinean, gorrian baino 13 gehiago. Zenbat fitxa daude kutxa urdinean? 51

194669 _ 0001-0120.indd 51

24/9/09 13:05:52

IK

42

Problemak ebazteko txantiloia

Izena: Data:

PR OB LE MA K

E B A ZTE A

Problemak ebazteko estrategiak irakasteko txantiloia

1

• Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer bi datu dakizkigu?

= =

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan.

3 Eragiketa.

4 Ebazpena:

1

• Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer bi datu dakizkigu?

= =

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan.

3 Eragiketa.

4 Ebazpena: 52

194669 _ 0001-0120.indd 52

24/9/09 13:05:52

Azaldu ikasleei biderketen problemen ebazpena azaltzeko prozesua, B K G estrategia erabiliz. Idatzi eskema berria arbelean, eta azaldu koadroaren esanahia eta jarraitu beharreko urratsak.

B

K

G

batekoa

batekoa errepikatzen den aldi kopurua

azkeneko emaitza

Hasteko, zenbaki txikiekin egingo dugu lan, garrantzitsuena problemak nola ebatzi dituzten arrazoitzea eta azaltzen jakitea baita, eta ez eragiketa konplexuak egitea. Hasiera hori gainditu ahala, estrategia propioak bila ditzakete ikasleek problemak ebazteko.

• 1. Ikus dezagun biderketa baten bidez ebatzitako egoera baten adibidea.

Gaur nire urtebetetzea da. 8 lagun gonbidatu ditut bolatokira. Askaria eta partida 7 euro ordaindu ditut buruko. Horrela, arratsalde bikaina pasatuko dugu 56 euroren truke.

• 2.

Ondoren, biderketen problema gisa aurkeztuko dugu egoera hori. Enuntziatuan B eta U adieraziko dira, eta G kalkulatu beharko dugu.

Gaur nire urtebetetzea da. 8 lagun gonbidatu ditut bolatokira. Askaria eta partida 7 euro ordaindu behar ditut buruko. Zenbatekoa izango da faktura?

• Zer jakin nahi dugu? Zenbatekoa izango da faktura

G =?

• Zer dakigu?

E B A ZTE A

B K G estrategia irakasteko eredua, biderketen problemak ebazteko

43

E

PR O B LE MA K

Biderketen problemak arrazoitzeko trikimailua

=7

Pertsonako ordaindu beharrekoa

B

Gonbidatuen kopurua

K =8

•

3. Adierazi egoera, datuak koadroan idatzita:

B

K

G

7

8

?

• 4. Batekoa B eta hura zenbat aldiz errepikatzen den K jakinik, BIDERKETA egingo dugu azken emaitza G jakiteko. Egoera horretan bi zati (B eta K) eta guztira zenbat diren (G) dakizkigu.

B

Sarrera eta askari baten salneurria: 7 €.

BxK=G

• 5. Kokatu datuak eta ebatzi.

K

Gonbidatutako lagunen kopurua: 8.

7 8 56

G

Guztira ordaindu behar dena: 56 €.

Ebazpena: Faktura 56 €-koa izango da guztira. 53

194669 _ 0001-0120.indd 53

24/9/09 13:05:52

IK

44

Biderketen problemak

Izena: Data:

PR OB LE MA K

E B A ZTE A

Biderketen problemak ebazteko txantiloia

1

• Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer bi datu dakizkigu?

= =

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan.

3 Eragiketa.

4 Ebazpena:

1

• Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer bi datu dakizkigu?

= =

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan.

3 Eragiketa.

4 Ebazpena: 54

194669 _ 0001-0120.indd 54

24/9/09 13:05:52

Azaldu ikasleei zatiketen problemen ebazpena azaltzeko prozesua, B K G estrategia erabiliz. Gogorazi estrategiaren eskema, arbelean adieraziz.

B

K

G

batekoa

batekoa errepikatzen den aldi kopurua

azkeneko emaitza

Hasteko, zenbaki txikiekin egingo dugu lan, garrantzitsuena problemak nola ebatzi dituzten arrazoitzea eta azaltzen jakitea baita, eta ez eragiketa konplexuak egitea. Hasiera hori gainditu ahala, estrategia propioak bila ditzakete ikasleek problemak ebazteko.

• 1. Ikus dezagun ebatzitako egoera baten adibidea.

Bigarren zikloko lau ikasgelen artean, Gabonetako 320 txartel egitea erabaki dugu. Txartelak saldu egingo ditugu, Afrikako ikastetxe baterako dirua lortzeko. Beraz, ikasgela bakoitzak 80 txartel egin beharko ditu.

Egoera horretan kantitate osoa (G = 320) eta zatietako bat (K = 4) dakizkigu. Beste zatia B = 80 da.

B

Bigarren zikloko ikasgelen kopurua: 4.

G

Guztira egin beharreko txartelak: 320.

•

2. Ondoren, zatiketen problema gisa aurkeztuko dugu egoera hori. Enuntziatuan B eta G adieraziko dira, eta K kalkulatu beharko dugu, hots, ikasgela bakoitzean egin beharreko txartelen kopurua.

Bigarren zikloko lau ikasgelen artean, Gabonetako 320 txartel egitea erabaki dugu. Txartelak saldu egingo ditugu, Afrikako ikastetxe baterako dirua lortzeko. Zenbat txartel egin behar dira ikasgela bakoitzeko?

• Zer jakin nahi dugu? B

Ikasgelako egin beharreko txartelak

=?

E B A ZTE A

B K G estrategia irakasteko eredua, zatiketen problemak ebazteko

45

E

PR OB LE MA K

Zatiketen problemak arrazoitzeko trikimailua

• Zer dakigu? Guztira egin beharreko txartelak

G = 320

Zikloko ikasgela kopurua

K =4

•

3. Adierazi egoera, datuak koadroan idatzita.

B

K

G

?

4

320

•

4. Batekoa zenbat aldiz errepikatzen den eta bukaerako emaitza jakinda (K eta G), B batekoak zenbat balio duen jakin nahi badugu, ZATIKETA bat egingo dugu.

G:B=K K

Ikasgelako egin beharreko txartelak: 80.

• 5. Kokatu datuak eta ebatzi. 320 : 4 = 80 Ebazpena: 80 txartel egin behar dira ikasgelako. 55

194669 _ 0001-0120.indd 55

24/9/09 13:05:52

IK

46

Izena:

Datuaren bila

Data:

PR OB LE MA K

E B A ZTE A

B K G estrategia irakasteko eredua, zatiketen problemak ebazteko Irakurri problemak, eta ebatzi ereduari jarraituz.

1 Ikasgelako oholean pinak erabiltzen ditugu, lan guztiak adierazteko. Saskian sei koloretako 84 pin ditugu: gorriak, berdeak, urdinak, horiak, marroiak eta laranja-kolorekoak. Kolore bakoitzeko pin kopuru berbera badago, zenbat pin berde ditugu? a) Zer jakin nahi dugu?

K

=

b) Zer dakigu?

B

=

G

=

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. B

K

3 Eragiketa.

G

4 Ebazpena: 1 Nire auzoko haur-liburutegian 350 liburu daude, generoka sailkatuta. Genero garrantzitsu guztietakoak daude: misteriozkoak, abenturazkoak, etab. Jakin al dezakegu zenbat generotakoak dauden, generoko 50 liburu daudela jakinda? a) Zer jakin nahi dugu?

=

b) Zer dakigu?

= =

2 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroan. B

K

3 Eragiketa.

G

4 Ebazpena: 56

194669 _ 0001-0120.indd 56

24/9/09 13:05:52

Data: Biderketen edo banaketen problemak arrazoitzea Biderketen edo zati berdinetan egin beharreko banaketen problemetan biderketa eta zatiketa errazak ebazten ditugu. Aurkeztu ikasleei mota horietako zenbait problematako egoerak, B K G eskemari dagozkien datuak identifika ditzaten, eta ebazpena lor dezaten. Marraztu laukiak arbelean, eta eman hemengogorarazten den esanahia.

B

K

G

batekoaren balioa

batekoa errepikatzen den edo banatzen den aldi kopurua

azkeneko emaitza

Datuetako bat batekoari dagokio, beste bat batekoa errepikatzen den aldi kopuruari edo banatzen den zati kopuruari, eta bestea, azken emaitzari. Proposatu edo diktatu gakoak. 1. B eta K jakinik, G kalkulatu nahi badugu, biderketa bat egingo dugu:

47

Lehen problema Festetan barraketan gastatutako dirua kalkulatu nahi dut. Bidaia bakoitzak 3 € balio zuen, eta 18 bidaia egin nituen. Zenbat diru gastatu nuen?

• Erantzuna. Badakigu B, hots, bidaia baten balioa (B = 3); bai eta K ere (K = 18) –egindako bidaia kopurua–. G jakin nahi dugu, guztira gastatutakoa. Beraz: B x K = G.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Bigarren problema Kalkulatu 3 €-ko zenbat bidaia egin zituen Anderrek, 27 € gastatu zituela jakinda.

E E B A ZTE A

Jolas-parkeko gastuak

PR OB LE MA K

Izena:

• Erantzuna. Badakizkigu G eta B, hots, guztira gastatutakoa eta bidaia bakoitzaren prezioa (G = 27 € eta B = 3 €). K kalkulatu nahi dugu, egindako bidaia kopurua. Beraz: G : B = K.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: BxK=G 2. B eta G jakinik, K kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu:

G:B=K 3. G eta K jakinik, B kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu:

Hirugarren problema Martak aurrezteko joera du, eta atrakzio merkeenetan ibili da. 12 bidaia egin ditu, eta guztira 24 € gastatu. Zenbat ordaindu du bidaia bakoitza?

• Erantzuna. Badakizkigu G eta K, hots, guztira gastatutakoa eta bidaia kopurua (G = 24 € eta K = 12). B kalkulatu nahi dugu. Beraz: G : K = B.

• G:K=B

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

57

194669 _ 0001-0120.indd 57

24/9/09 13:05:52

E

48

Zenbat aldiz gehiago?

P ROB LE MA K

E B A ZTE A

Biderketen edo banaketen problemak arrazoitzea, zenbakizko faktore baten bidez Biderketak eta zatiketak erabiltzen ditugu zenbakizko faktore bidezko biderketen edo banaketen problemetan, zerbait zenbait aldiz gehiago edo gutxiago adierazteko. Aurkeztu ikasleei mota horretako zenbait problematako egoerak, B K eta G datuak identifika ditzaten. Marraztu hiru laukiak arbelean, eta eman hemen adierazten den esanahia.

B

K

G

batekoaren balioa

zenbat aldiz errepikatzen edo zatitzen den (zenbakizko faktorea)

azken emaitza

Lehen problema Duela astebete, kontzertu baterako sarrera bat erosi nuen 36 €-an. Itziarrek atzo erosi zuen, eta halako lau ordaindu behar izan zuen. Zenbat ordaindu behar izan zuen?

• Erantzuna. Badakizkigu B eta K, hots, nire sarreraren balioa eta zenbat aldiz gehiago ordaindu behar izan zuen Itziarrek (B = 36 € eta K = 4). G jakin nahi dugu, Itziarrek zenbat ordaindu zuen. Beraz: B x K = G.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Bigarren problema

Datuetako bat batekoari dagokio, beste bat hura errepikatzen edo zatitzen den aldi kopuruari, eta bestea, azken emaitzari. Gogorarazi gakoak: 1. B eta K jakinik, G kalkulatu nahi badugu, biderketa bat egingo dugu:

BxK=G

Nire osaba fenomeno bat da. Duela bi aste, futbolerako sarrera bat erosi zuen Internet bidez 12 €-an, leihatilan baino hiru aldiz merkeago. Zenbat balio zuen sarrerak leihatilan?

• Erantzuna. Badakizkigu B eta K, hots, zenbat ordaindu zuen eta zenbat aldiz gutxiago (B = 12 € eta K = 3). G jakin nahi dugu, sarrerak leihatilan zenbat balio zuen. Beraz: B x K = G.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Hirugarren problema 2. B eta G jakinik, K kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu:

G:B=K 3. K eta G jakinik, B kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu:

Anderrek 6 € bakarrik ordaindu zuen berez 42 € balio zuen sarrera bat. Kalkulatu zenbat aldiz gutxiago ordaindu duen.

• Erantzuna. Badakizkigu G eta B, hots, sarrerak berak zenbat balio zuen eta Anderek zenbat ordaindu zuen (G = 42 € eta B = 6 €). K jakin nahi dugu. Beraz: G : B = K.

• G:K=B

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

58

194669 _ 0001-0120.indd 58

29/9/09 19:32:40

Ibilbideei buruzko problemetan hiru magnitude lotzen dira normalean: egindako ibilbidea, batez besteko abiadura eta higitzen ematen den denbora. Magnitude horietatik bi dakizkigu, eta hirugarrena kalkulatu nahi dugu. Biderketa bat edo zatiketa bat egingo dugu, problema ebazteko. Aurkeztu ikasleei mota horretako zenbait problematako egoerak, B K eta G datuak identifika ditzaten. Marraztu hiru laukiak arbelean, eta eman hemen adierazten den esanahia.

Lehen problema Sasoi betean nago! 3 orduz ibili nahiz bizikletaz, orduko 9 km-ko abiaduran. Ba al dakizu zenbat kilometro egin ditudan?

• Erantzuna. Badakizkigu B eta K, hots, orduko zenbat kilometro egin dituen eta zenbat orduz ibili den (B = 9 eta K = 3). G jakin nahi dugu, zenbat kilometro egin dituen. Beraz: B x K = G.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: B

K

G

batekoaren balioa

zenbat aldiz errepikatzen edo zatitzen den

azken emaitza

Datuetako bat batekoari dagokio, beste bat hura biderkatzen edo zatitzen den aldi kopuruari, eta bestea, azken emaitzari. Gogorarazi gakoak: 1. B eta K jakinik, G kalkulatu nahi badugu, biderketa bat egingo dugu.

BxK=G 2. B eta G jakinik, K kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu.

G:B=K 3. K eta G jakinik, B kalkulatu nahi badugu, zatiketa bat egingo dugu.

G:K=B

Bigarren problema Atzo, haize handia zebilenez, 2 orduz bakarrik ibili nintzen, eta 16 km egin nituen. Zer abiaduratan ibili nintzen?

E B A ZTE A

Hiru magnitude lotzen dituzten biderketen problemak arrazoitzea

49

IR

PR OB LE MA K

Txangoak bizikletaz

• Erantzuna. Badakizkigu G eta K, hots, egindako kilometro kopurua eta ibilitako orduak (G = 16 eta K = 2). B jakin nahi dugu, orduko zenbat kilometro egin dituen. Beraz: G : K = B.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena:

Hirugarren problema Datorren asteburuan 48 km-ko lasterketa batean hartuko dut parte. Ibilbidea ikusita 12 km egingo ditut orduko. Zenbat ordu beharko ditut?

• Erantzuna. Badakizkigu G eta B, hots, guztira egin beharreko kilometroak eta orduko zenbat kilometro egingo ditudan (G = 48 eta B = 12). K jakin nahi dut, zenbat ordu beharko ditudan. Beraz: G : B = K.

•

problema bat da. Zergatik?

• Ebazpena: 59

194669 _ 0001-0120.indd 59

24/9/09 13:05:53

E

50

Bi eragiketako problemak arrazoitzea

P ROB LE MA K

E B A ZTE A

Bi urratseko problemak planteatzea eta ebaztea Aurkeztu ikasleei ebatzitako problema hau, eta azaldu zer estrategiari jarraitu behar dioten ebazteko.

Nire kalean 45 etxe daude, eta hurrengoan, hots, Enekorenean, nirean baino 13 etxe gutxiago. Zenbat etxe daude bi kaleetan?

Z

Z

G

32

45

?

(Z eta Z jakinik, batuketa bat egin behar dugu G jakiteko: Z + Z = G).

• Zer jakin nahi dugu? Guztira zenbat etxe dauden

Orain, bigarren urratsa eman dezakegu, hasierako problema hura ebazteko: Zenbat etxe daude guztira nire eta Enekoren kaleetan, nire kalean 45 etxe badaude, eta Enekoren kalean, 32?

G

=?

45 + 32 = 77 Ebazpena: Guztira 77 etxe daude.

• Zer dakigu? Nire kaleko etxe kopurua

Z

Enekoren kaleko etxe kopurua

Z

PROBLEMAK =8 =?

Problemak G kalkulatzeko eskatzen du, baina ezin dugu, ez baitakigu zenbat balio duen Z zatietako batek. Horregatik, datu hori kalkulatu behar dugu, eta horretarako datuak ba ote ditugun begiratu. Hau da aurrez ebatzi beharreko problema: Zenbat etxe daude Enekoren kalean, nirean 45 badaude, eta berean, nirean baino 13 gutxiago? Koadroan bilatuko dugu datuen arteko lotura:

Z

Z

G

13

?

45

Landu problema hauek zure ikasleekin.

1. Arkatz bat erosi dut 45 zentimoan, eta borragoma bat, 25ean. Ordaintzeko euro bat eman dut. Zenbat zentimo itzuliko dizkidate? 2. Atzo 45 minutuz aritu nintzen korrika, gaur 25 gehiagoz aritu nahi dut. Zenbat denboraz egingo dut korrika bi egunetan? 3. Liburutegian 146 liburu zeuden. Gaur 28 liburu atera dituzte, eta 14 itzuli. Zenbat liburu daude orain liburutegian? 4. Jonek MP3 bat erosi zuen 65 €-an. Egun hartan 25 € ordaindu zituen, eta gaur, 24 €. Zenbat falta zaio MP3a ordaintzeko?

(G eta Z bat jakinik, kenketa bat egingo dugu beste Z kalkulatzeko).

45 – 13 = 32 Ebazpena: Enekoren kalean hogeita hamabi etxe daude. 60

194669 _ 0001-0120.indd 60

29/9/09 19:32:40

Problema zailagoak

51

E

Nire adiskide Jokinek 5 mezu bidali ditu 75 zentimoan. Nik tarifa berbera dut. Zenbat ordaindu beharko ditut 8 mezu?

B

K

G

15

8

?

B eta K jakinik, biderketa bat egingo dugu G kalkulatzeko: B x K = G.

• Zer jakin nahi dugu? Mezuek guztira zenbat balioko duten

Orain, bigarren urratsa eman dezakegu, hasierako problema hura ebazteko: Zenbat ordaindu beharko ditut 8 mezu, bakoitzak 15 zentimo balio badu?

G =?

15 3 8 = 120 Ebazpena: 8 mezuak 120 zentimo ordaindu beharko ditut.

• Zer dakigu? Bidalitako mezu kopurua

K =8

Mezu bakoitzak zenbat balio duen

B

=?

Problemak G kalkulatzeko eskatzen du, baina ezin dugu, ez baitakigu zenbat balio duen B batekoak. Horregatik, datu hori kalkulatu behar dugu, eta horretarako datuak ba ote ditugun begiratu. Zenbat balio du mezu batek, 5 mezu 75 zentimo ordaindu behar badira?

PROBLEMAK

P ROB LE MA K

Aurkeztu ikasleei ebatzitako problema hau, eta azaldu zer estrategiari jarraitu behar dioten ebazteko.

E B A ZTE A

Bi urratseko problemak planteatzea eta ebaztea

Landu problema hauek zure ikasleekin.

1. 7 erretilu ogitarteko eraman ditugu festara. Erretilu bakoitzean 12 ogitarteko daude. Zenbat ogitarteko banatu ditugu, sobera 8 geratu badira? 2. Nik 54 € aurreztu ditut, eta nire anaiak, ni baino 6 gutxiago. Zenbat diru aurreztu dugu bion artean? 3. Ikasgelan 14 mutiko eta 16 neskato daude. Gaur, bakoitzak bost liburu ekarri ditu azokarako. Zenbat liburu ekarri dituzte guztira?

Koadroan bilatuko dugu datuen arteko lotura:

B

K

G

?

5

75

(G eta K bat jakinik, zatiketa bat egingo dugu beste B kalkulatzeko).

75 : 5 = 15 Ebazpena: Mezu batek 15 zentimo balio du. 61

194669 _ 0001-0120.indd 61

29/9/09 19:32:40

IK

52

Izena:

Kanpalekura goaz

Data:

PROB LE MA K

E B A ZTE A

Bi eragiketako problemak horretarako txantiloian ebaztea Egin ebazpenaren eskema eta idatzi emaitza. HASIERAKO EGOERA: Esperientzia bikaina da ekaineko kanpaldia. Kirolak, eskulanak, ibilaldiak... egiten ditut adiskideekin batera. Aurten, zikloko ikasle guzti-guztiak joango gara ERREKA kanpinera. Guztira 138 neska-mutil izango gara. Oraingoan, elkarlanean arituko gara irakasleekin, kanpaldia planifikatzeko. AUTOBUSAK

1 60 eserlekuko bi autobus alokatu ditugu, baina ez dira nahikoa. Zenbat eserleku gehiago behar ditugu? Lehen urratsa: Ebazpena:

Bigarren urratsa:

2 Autobusetan sartzen ez diren ikasleak 6 eserlekuko monobolumenetan joango dira. Auto bakoitza 70 € ordaindu behar bada, zenbat ordaindu beharko dira guztira? Lehen urratsa: Ebazpena:

Bigarren urratsa:

3 Autobus bakoitza 140 € ordaindu behar dugu. Kalkulatu zenbat ordaindu beharko den guztira kanpaldirako garraioa. Lehen urratsa: Ebazpena:

Bigarren urratsa:

OSTATUA

4 66 neska doaz, eta 7 laguneko zurezko etxolatan egingo dute lo. Lekurik gabe geratzen direnek kanpin-denda batean egingo dute lo. Zenbat neskak egingo dute lo kanpin-dendan? Lehen urratsa: Ebazpena:

Bigarren urratsa:

5 Guztientzako bazkari bakoitza 828 € ordaindu beharko dugu, eta afari bakoitza, 3 aldiz gutxiago. 4 afari bakarrik egingo ditugu. Zenbat ordainduko ditugu afariak guztira? Lehen urratsa: Ebazpena:

Bigarren urratsa:

62

194669 _ 0001-0120.indd 62

29/9/09 19:32:41

Problemak ebazteko estrategiak

53

Ebatzi problemak B K G estrategia edo zeure estrategiaren bat erabiliz. Ondoren, asmatu antzeko problema baten enuntziatua, eta pasatu ikaskide bati.

1

BIDERKETEN ETA BANAKETEN PROBLEMAK. 520 argazki dauzkat, eta 60 orrialdeko album batean jarri nahi ditut. Orrialde bakoitzeko 6 argazki jar ditzaket. Jar al ditzaket argazki guztiak albumean? Zenbat geratuko zaizkit faltan edo sobera? Nire problema:

2

IR E B A ZTE A

Data:

Problema gehiago

PR OB LE MA K

Izena:

ALDERATZE-PROBLEMAK. Begoñak 252 orrialdeko liburu bat irakurri du aste honetan. Ingek askoz gutxiago. Irakurritakoa halako hiru irakurri beharko du Begoñak adina irakurtzeko. Zenbat orrialde irakurri ditu Ingek? Nire problema:

3

MAGNITUDEEN ARTEKO LOTUREN PROBLEMAK. Gure irakasleak 80 arkatz erosi ditu ikasleen artean banatzeko. Guztira, 13 € eta 46 zentimo ordaindu ditu. Zenbat ordaindu du arkatz bakoitza? Nire problema:

63

194669 _ 0001-0120.indd 63

24/9/09 13:05:53

IK

54

Bi eragiketako problemak ebazteko txantiloia

Izena: Data:

PR OB LE MA K

E B A ZTE A

Bi eragiketako problemak ebazteko txantiloia

PLANTEAMENDUA • Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer datu dakizkigu?

=

• Zer datu ez dakizkigu?

=

1. URRATSA. Kalkulatu problema ebazteko falta den datua • Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer datu dakizkigu?

= =

2. URRATSA. Ebatzi proposatutako problema • Zer jakin nahi dugu?

=

• Zer datu dakizkigu?

= =

1 Idatzi eta lotu datuak oinarrizko koadroetan: Planteamendua

1. urratsa

2. urratsa

Ebazpena: 64

194669 _ 0001-0120.indd 64

24/9/09 13:05:53

Data: Datu jakin batzuekin zenbait problema ebaztea

55

Egin talde bat beste bi ikaskiderekin. Problemen enuntziatuak egingo dituzue, beste talde batzuekin lehian aritzeko. Erraza da: bilatu bi zenbaki eta kokatu problemak ebazteko koadroetako batean (Z Z G edo B K G). Esate baterako: LEHEN PROBLEMA

Z

Z

G

1. Datu hauek ditugu: 70 zentimo eta 65 zentimo. Eskema hau egin dugu: Z : 70

Z : 65

G:?

2. Eskemaren arabera batuketen problema bat da (G = Z + Z). Asmatu enuntziatua eta galdera: Saioa okindegira joan da eta ogi barra bat erosi du 70 zentimoan, eta pakete bat txikle 65 zentimoan. Zenbat diru gastatu du okindegian? Ebazpena: 70 + 65 = 135 . 1 € eta 35 zentimo gastatu ditu. Z

BIGARREN PROBLEMA

Z

G

IK E B A ZTE A

Enuntziatuak egiten ditugu

PR OB LE MA K

Izena:

1. Kokatu datu berberak honela: Z : 65

Z:?

G : 70

2. Eskemaren arabera kenketen problema bat da (Z = G – Z) Asmatu enuntziatua eta galdera: Jonek arkatz bat erosi du 65 zentimoan. Ordaintzeko, 70 zentimo eman ditu. Zenbat diru itzuli behar diote? Ebazpena: 70 - 65 = 5. Bost zentimo itzuli behar dizkiote. HIRUGARREN PROBLEMA

B

K

G

1. Kokatu datuak eskema honen arabera: B : 70

K : 65

G:?

2. Eskemaren arabera biderketen problema bat da (G = B x K). Asmatu enuntziatua eta galdera: Nire anaia Erramunek Historiako liburuko 70 orrialde irakurtzen ditu egunero. 65 egunean irakurri du. Zenbat orrialde ditu liburuak? Ebazpena: 70 x 65 = 4550. Liburuak 4.550 orrialde ditu.

1 Asmatu beste problema batzuk datu hauekin: a) Ikastetxean 128 mutil eta 245 neska daude. b) Dendan 36 litro eta 12 litro saldu dituzte. 65

194669 _ 0001-0120.indd 65

24/9/09 13:05:53

IR

56

Problema sorta

Izena: Data:

PROB LE MA K

E B A ZTE A

Norberaren estrategiak aplikatzea, problemak ebazteko Ebatzi problema hauek zure koadernoan. Aplikatu Z Z G, B K G edo zeuk pentsatutako estrategia bat. Gaurko egunkarian, testu hau ikus daiteke argazki baten oinean: «Milaka pertsona bildu ziren etorbidean, parke bat egin dezaten eskatzeko». Etorbidea 800 metro luze eta 8 metro zabal da. Zenbat pertsona zeuden gutxi gorabehera etorbidean, metroko koadroko hiru pertsona sartzen badira?

1. AVEa hartu behar dugu Kordobatik Sevillara joateko. Bi hirien artean 150 km daude, eta AVEak 300 km egiten ditu orduko. Zenbat minutu beharko ditugu Sevillara iristeko?

2. Nire anaia zaharra 1,84 m luze da, eta ni, 1,36 m. Datozen bi urteotan hura gehiago hazten ez bada, eta ni urteko 15 cm hazten banaiz, nor izango da altuena?

3. Oporretara irten aurretik aitak gasolinaz bete du automobileko andela. Andelak 42 litroko edukiera du. Zenbat kilometro egin ditzakegu gasolina horrekin, autoak 100 kilometro egiteko 7 litro behar baditu?

4. Nire aitona 1935eko maiatzaren 27an jaio zen. Zenbat urte ditu orain? Zenbat hilabete falta dira hurrengo urtebetetzerako?

5. Lorategiko hesia margotu behar dugu neba-arreba guztion artean. Hesia 6 metro luze da eta 1,5 metroko altuera du. Kilo bat pinturarekin 4 m2 margo daitezke. Nahikoa izango al dugu 2 kg-ko poto batekin?

6. Adiskideok 1,5 l-ko botila bat limoi-zuku eta edukiera bereko botila bat laranja-zuku erosi ditugu askaritarako. Limoi-zukua bota dugu 20 cl-ko lau edalontzitan, eta laranja-zukua, 20 cl-ko sei edalontzitan. Zenbat freskagarri geratu da botila bakoitzean? 66

194669 _ 0001-0120.indd 66

29/9/09 19:32:42

IV. GEOMETRIA. KOKAPENA ESPAZIOAN Oinarrizko gaitasunak 4. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da espazioan kokatutako ohiko objektuen eta egoeren adierazpena interpretatzeko (ibilbide baten krokisa, etxeen planoak, maketak), erreferentzia-sistema batean oinarrituta. 5. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da forma geometrikoak identifikatzeko eta deskribatzeko. …gai da geometriako nozioak erabiltzeko (paraleloa, elkarzuta, simetria, perimetroa eta azalera), eguneroko bizitzako egoerez jabetzeko eta haiek ulertzeko, bai eta geometriak eskulturari eta arkitekturari egindako arte-ekarpenak balioesteko ere.

Aurkibidea

57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74.

194669 _ 0001-0120.indd 67

Geometria, ikasgelan eta kalean (I). Espazioan kokapenak identifikatzen ditugu (IK). Eskalatzailea (IK). Mugimenduak espazioan (IK) Jostailuen katalogoa (IK). Simetria-jolasak (IK). Ikuspuntua (IK). Geometria aztertzea, geoplanoa erabiliz (E). Erregela ongi erabiltzea (E). Irudiak egitea, tangrama erabiliz (IK). Iparrorratza (IK). Geometria telefono bidez (IK). Geometria kalean (IK). Nire etxearen planoa (IK). Olinpiar jokoetarako garaikurra (IK). Geometria sortzailea (E). Bolumenetan adituak (E). Geometriari buruzko SUPERTESTa (IK).

24/9/09 13:05:53

Geometriari buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

68

194669 _ 0001-0120.indd 68

24/9/09 13:05:53

Geometria aztertzeko giro egokia sortzea

Garrantzitsua al da geometria? Geometriari buruz hitz egiten dugunean, irakasle askok galdera hau egiten diogu, sarritan, geure buruari: Zergatik ari da geometria garai batean zuen garrantzia galtzen matematikaren alorrean? Gaur egun, geometriaren azterketa teorikoa da batik bat. Geometriako eskoletan definizio berberak ematen dira urtero-urtero; bai eta irudi geometrikoak identifikatzeko ariketa berak egin ere, ia inolako aldaketarik gabe. Zergatik da hori horrela? Zer motatako sormena sustatu nahi dugu gure ikasleengan geometriaren alorrean? Ez dugu inolako zalantzarik: irakasgaiko ikasketa teorikoetan garrantzi handia dute, batetik, espazioan kokapenak identifikatzeak; eta bestetik, forma geometrikoen azterketak. Baina horrez gain, gure ustez, ikasketa horiek garrantzi handia dute ikasleen prestakuntzan eta eguneroko bizitzan beharko dituzten gaitasunen garapenean ere.

57

edo irakasle gogaikarriek arinkeriak direlakoan baztertzen dituzten milaka baliabide horiek guztiak. Baieztapen hori aplikatzen dugu proposamen hauetan. Ikuspegi horretatik, gogoratu egin nahi ditugu ikasleekin txingoka ibiltzen ziren irakasleak; lurrean marraztuz, lerroak, angeluak eta poligonoak irakasten zizkietelako.

I G E OME TRI A

Geometria, ikasgelan eta kalean

Geometria eta errealitatea Orokortzeak eta kontzeptualizazioak dira geometriaren funtsa. Orokortze eta kontzeptualizazio horiek guztiak egitean, kontuan hartzen dira begien bistan ditugun gertaera eta datu zehatzak. Ikasgelan eta kalean ikus ditzakegu deskribatu, sailkatu, neurtu eta marraztu nahi ditugun irudi horiek guztiak; bai eta ikasgelan imajinazioa erabiliz lantzen ditugun kokapenak, distantziak eta mugimenduak ere.

Geometria eta jokoa

Lanerako tresnak

Epigrafearen izenburuak pentsarz dezake arinkeriaz landuko ditugula geometriako edukiak, eta ikasgaiaren zenbait planteamendutan eman izan zaion bigarren mailako izaera indartuko dugula. Inola ere ez dugu halakorik egin nahi. Gure ustez jokoak eta erronkak dira ikasleak geometriako kontzeptuetara hurbiltzeko modurik onenetakoak; eta horrela planteatu dugu proposamen honetan. Honela esan zuen Martin Gadnerrek matematikari buruz: Ikaslearen arretari eusteko metodorik egokienak dira, ziurrenik, matematikako jokoak, denborapasak, trikimailu magikoak, paradoxak, ereduak

Orientabide horiek kontuan hartuta, aktiboak eta parte-hartzaileak izan behar dute geometriako eskolek. Ikasleek aurkikuntzak egin behar dituzte etengabe, formak eta irudiak egiteko, balio formala izateaz gain, balio plastikoa ere izango duten irudiak egiteko. Horretarako, mota guztietako tresnak erabiliko ditugu: erregelak, konpasa, angelu-garraiagailua... Lanerako espazio nagusia arbela izango da, eta gero, koadernoa. Horien guztien artean, ordenagailua ere erabil daiteke, mila aukera ematen baititu geometriaren alorrean. 69

194669 _ 0001-0120.indd 69

24/9/09 13:05:54

IK

58

Espazioan kokapenak identifikatzen ditugu

Izena: Data:

G E OME TRI A

Espazioan kokapenak identifikatzea eta deskribatzea

1 Erreparatu apalategi honetako objektuei. Entzun galderak, eta markatu eskatzen zaizun moduan. Adibidez: Inguratu zirkulu batez pitxerraren eskuinean dagoen objektua.

70

194669 _ 0001-0120.indd 70

24/9/09 13:05:54

Data: Mugimenduak espazioan adieraztea eta deskribatzea

Eskalatzailea

59

1 Imajinatu iltze-sare bat jarri dela horma batean, bertan eskalatzaile bat ibiltzeko. Jarri arkatza irteerako iltzean, eta diktatuko dizuten ibilbidea marraztu iltzetik iltzera, altxorrera iristeko.

IK G E OME TRI A

Izena:

71

194669 _ 0001-0120.indd 71

29/9/09 19:32:44

IK

60

Izena:

Mugimenduak espazioan

Data:

G E OME TRI A

Mugimenduak egiten ditugu, espazioan

1 Asmatu zenbakiei buruzko asmakizunak, arauei jarraituz: • • • •

Hasi mugitzen koloreztatutako laukitik abiatuta. Mugitu laukietan argibideei jarraituz. Idatzi taula zurian aurkitzen duzun letra bakoitza. Behin zenbaki bakoitzeko letra guztiak lortutakoan, ordenatu, bila gabiltzan hitza osatzeko.

Mugimenduak: 1. Bi lauki gora, bi eskuinera, bi behera eta lau ezkerrera. 2. Lauki bat eskuinera, bat gora, bi ezkerrera eta bat eskuinera. 3. Bi lauki behera, bat eskuinera, lau gora, bi ezkerrera eta bi behera. 4. Lauki bat behera, bi eskuinera, bat gora eta bat gora.

R

I

O

A

E

I

B

T

S

I

Z

P

O

R

M

D

U

I

H

S

K

Z

Z

S

1 2 3 4

Asmakizunak: Milaka neba-arreba gara lehena naiz ni, alabaina, txikiena. Hara! Nola liteke hori?

A

Biribi-biribila naiz; eskuinean zerbait balio dut, eta ezkerrean, ezer ez.

B

zenbakia naiz.

zenbakia naiz.

Zenbaki bat naiz, dut eserlekuaren forma, eta ez da broma.

C

zenbakia naiz.

Buruz gora naiz bikoitia, buruz bera, aldiz, bakoitia.

D zenbakia naiz.

72

194669 _ 0001-0120.indd 72

29/9/09 19:32:44

Jostailuen katalogoa

Data: Objektuak identifikatzea, haien bistak ikusita

61

Katalogo honek jostailuen berri ematen du, haien bisten bidez: aurretikoa, albotikoa eta goitikoa.

1 Erreparatu jostailu bakoitzaren hiru bistei eta inguratu dagokien jostailua eskuinean. Ondoren, idatzi zer jostailu den jakiteko balio izan dizun arrastoa.

a)

A

b)

c)

IK G E OME TRI A

Izena:

albotik

aurretik

goitik

B

a) b) c)

albotik

aurretik

goitik

a)

C

b) c)

aurretik

albotik

goitik 73

194669 _ 0001-0120.indd 73

24/9/09 13:05:54

IK

62

Izena:

Simetria-jolasak

Data:

G E OME TRI A

Simetriaren arauak menderatzea

1 Erreparatu ereduari, eta marraztu hiru triangelu grafikoan, simetria-ardatzaren ezkerrean. Ondoren, marraztu hiru triangelu horien simetrikoak, grafikoaren eskuineko aldean. Guztira, sei triangelu egongo dira. a

b

c

d

e

f

g

h

a

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

SIMETRIA-ARDATZA

b

c

d

e

f

g

h

SIMETRIA-ARDATZA

2 Marraztu zure aurkariaren triangeluak taula honetan, haien kokapena asmatu ahala. a

b

c

d

e

f

g

h

1 2 3

NIRE AURKARIAREN IZENA

4 5 6 7 8

Jokoaren arauak: Jokalarietako batek koordenatu-puntu bat adierazten du, aurkariaren triangeluetako baten kokapena asmatzeko. Triangelu baten angeluetako bat asmatu ezean, KALE esan behar da, eta txanda pasatu. Asmatuz gero, BALE esan behar da, eta puntua marraztu. Hartu kontuan simetriaren arauak, aurkariaren koordenatuak asmatzeko. 74

194669 _ 0001-0120.indd 74

24/9/09 13:05:54

Izena:

Ikuspuntua

Data: Espazioari lotutako erreferentzia-sistemak

63

G E OME TRI A

Itziarrek, Imanolek, Eiderrek eta Jokinek marrazketa-lehiaketa batean hartu dute parte. Objektu sorta berbera marraztu behar dute laurek, baina bakoitzak ikuspuntu batetik.

IK

1 Erreparatu marrazkiari eta asmatu zer marraztu duen bakoitzak.

ITZIAR JOKIN

IMANOL EIDER

a)

b) -ek

-ek

marraztu du.

marraztu du.

c)

d) -ek marraztu du.

-ek marraztu du.

75

194669 _ 0001-0120.indd 75

24/9/09 13:05:54

E

64

Geometria aztertzea, geoplanoa erabiliz

G E OME TRI A

Poligonoak egitea, geoplanoan Geoplanoa irudi geometrikoak egiteko eta aztertzeko tresna didaktiko bat da. Izatez, ohol karratu bat da, eta iltze-sare erregular bat du josita. Edozein irudi geometriko erregular nahiz irregular egin daiteke bertan, gomak iltzeen inguruan jarrita. Geometriari buruzko edukiak finkatzeaz gain, espazio-arrazoiketa eta sormena suspertzen ditu tresna horrek. Eskatu ikasleei geoplano bat egiteko; edo nahiago baduzu, lagundu kartoi mehean bat adierazten, iltzeen lekuan puntuak marraztuz. Puntuak elkarrekin lotu behar dira, irudi geometrikoak egiteko.

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

zuzenki paraleloak

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

zuzenki elkarzutak

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

triangelu angeluzuzena

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

karratua

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

erronboa

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

zuzenki ebakitzaileak

angelu kamutsa

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

oktogonoa

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

angelu zorrotza

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

triangelu eskalenoa

• • • • •

• • • • •

angelu zuzena

triangelu isoszelea

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

heptagonoa

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

lau angelu, binaka berdinak

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

• • • • •

kuboa

76

194669 _ 0001-0120.indd 76

24/9/09 13:05:55

Lerroak eta irudi geometriko lauak egitea

Eman minutu batzuk ikasleei erregelak, eskuaira eta kartaboia zer diren azaltzen. Sarritan erabiltzen dugu erregela. Oso tresna sinplea da baina erabilera asko ditu. Hura erabiltzea hain ohikoa izanik, askotan ez dugu irakasten hura behar bezala nola erabili ere. Geometriako eskolatan beti eduki beharko lirateke mahai gainean erregela, eskuaira eta kartaboia. Erregela neurketak egiteko, zuzenkiak marrazteko, lerro paraleloak eta elkarzutak egiteko, angeluak eta poligonoak marrazteko erabiltzen dugu, baita lerro kurboak marrazteko ere!

65

Erregelaren erabilera Kokapena eta neurriak. Ezinbestekoa da erregela, eskuaira eta kartaboia paper gainean behar bezala jartzea. Horiek erabiltzeko gainazalek guztiz lauak izan behar dute. Azaldu ikasleei nola jartzen den erregela zuzenki baten gainean hura neurtzeko. Azpimarratu arkatzari bertikalean eutsi behar zaiola paper gainean, eta puntak zorrotz-zorrotza izan behar duela, neurketetan akatsik ez egiteko. Erreparatu marrazki hauei eta eman argibideak ikasleei, paper zurian adierazten diren lerroak marraz ditzaten.

E G E OME TRI A

Erregela ongi erabiltzea

Badira arrazoiak erregelen formak azaltzeko: GRADUAZIOA

• Zuzenak marraztea.

ALAKA KOSKA • Zuzen paraleloak marraztea. • Luzera. Luzera askotakoak izan daitezke:

10 cm, 15 cm, 30 cm edo 50 cm. • Zabalera. Erregela arruntak 4 edo 5 cm-ko zabalera izan ohi dute. • Markak. Zentimetroen markak daude, zenbaki eta guzti; milimetroen markak ere bai, eta horien artean nabermenduta, zentimetro erdienak. • Ertzak. Erregelaren ertzetako batek alaka du, eta bertan, neurrien markak daude. Alakari esker zenbakiak paperetik gertu-gertu daude, neurriak zehatzago izateko. Aurkako ertzak koska txiki bat du. Koska horri esker, arkatza edo estilografoa irristatzen dugun aldeak ez du papera ukitzen, erregela tintaz edo arkatzez ez zikintzeko, eta beraz, ondoren erregelak papera ez zikintzeko. Koska horri esker, halaber, eskuairarekin eta kartaboiarekin ahoka daiteke erregela.

• Zuzen elkarzutak marraztea.

77

194669 _ 0001-0120.indd 77

24/9/09 13:05:55

IK

66

Irudiak egitea, tangrama erabiliz

Izena: Data:

G E OME TRI A

Geometria ludikoa Tangrama antzinako txinatar joko bat da. Izatez karratu bat da eta zazpi irudi geometrikotan banatuta dago: bost triangelu, karratu bat eta erronbo bat. Jokoaren xedea irudiak egitea da, plano baten gainean zazpi piezak erabiliz. Matematika- eta espazio-trebetasunak lantzen dira joko horrekin, eta horrez gain, sormena indartzen da. Antolatu jokoak ikasleen artean, eta erabili aukera testuinguru horretan, ikasturtean ikasitako geometria kontzeptuei buruzko galderak egiteko. 7 pieza horiekin egindako 1.000 irudi baino gehiago argitaratu dira.

1 Hauek dira tangramarekin egindako irudietako batzuk. Asmatu beste batzuk.

78

194669 _ 0001-0120.indd 78

24/9/09 13:05:55

Izena:

Iparrorratza

Data:

67

IK

Eneko eta Unai kanpaleku batean daude. Iparrorratz bat jarri dute kanpin-dendako zoruan, iparra adierazten duela. Zenbait leku interesgarriren orientazio zehatza jakin nahi dute.

1

Marraztu lerro zuzen bat iparrorratzaren erditik leku horietako bakoitzera, eta neurtu lerro horien eta iparra adierazten duenaren arteko angeluak. Ondoren, esan zer motatako angeluak diren (zorrotza, zuzena, kamutsa...)

G E OME TRI A

Angeluen neurriak egoera errealetan aplikatzea

I

I IE

IM

M

M

E

E HE

HM H

H a) E. Iturrirako norabidea adierazten duen angelua ›

90o E

Angelu zuzena da.

b) HE. Aterpetxerako norabidea adierazten duen angelua ›

Angelu

da.

c) H. Ibairako norabidea adierazten duen angelua ›

Angelu

da.

d) HM. Basorako norabidea adierazten duen angelua ›

Angelu

da.

e) IE. Haitzulorako norabidea adierazten duen angelua ›

Angelu

da.

f) M. Katagorrien habiarako norabidea adierazten duena ›

Angelu

da. 79

194669 _ 0001-0120.indd 79

29/9/09 19:32:48

IK

68

Geometria telefono bidez

Izena: Data:

G E OME TRI A

Geometriako lexikoa ulertzea

1 Marraztu telefonoz diktatuko dizuten irudi geometrikoa eskuineko lauki-sarean.

(Testua 119. orrialdean aurkituko duzu)

2 Marraztu irudi geometriko bat ezkerraldean.

Ondoren, idatzi ikaskide bati telefonoz nola diktatuko diozun, zehatz-mehatz marraz dezan.

80

194669 _ 0001-0120.indd 80

24/9/09 13:05:55

Izena:

Geometria kalean

Data:

69

IK

1

Osatu taldeak, eta kalean, aritu «espioi geometrikoak» bazinete bezala. Talde bakoitzak ikastetxe ondoko kale batzuk aukeratuko ditu, eta inguruan ikusitako irudi geometrikoak idatziko. Ondoren, ikerketa geometrikoen berri emango diete ikaskideei, horiek hutsegiteei eta asmatutakoei buruz hitz egiteko. IRUDI ETA FORMA GEOMETRIKO POSIBLEAK lerro zuzenak

lerro kurboak

lerro poligonalak

lerro paraleloak

lerro elkarzutak

G E OME TRI A

Eguneroko bizitzan irudi geometrikoak identifikatzea

angelu zuzenak osatzen dituzten lerroak angelu zorrotzak osatzen dituzten lerroak angelu kamutsak osatzen dituzten lerroak poligonoak osatzen dituzten lerroak: triangeluak, laukizuzenak, karratuak, etab. bolumen geometrikoak: piramideak, prismak, esferak…

2

Entrenamendu gisa, erreparatu marrazki honi, eta aurkitu eta koloreztatu adierazitako lerroak. zirkunferentzia

lerro bertikala

triangelua

karratua

esfera

angelu zuzena

81

194669 _ 0001-0120.indd 81

29/9/09 19:32:49

IK

70

Izena:

Nire etxearen planoa

Data:

1 Erreparatu nire etxeko planoari, eta erantzun galderei, nolakoa den jakin dezazun. Koloreztatu gela bakoitza kolore batez. 5m

5m

1. LOGELA

2,5 m

G E OME TRI A

Plano bat interpretatzea

4m

3m 3,5 m 3m

2. LOGELA

2,5 m

3,5 m

5,5 m

2,5 m 2m

6m

EGONGELA

7,5 m

1. Zein da gela handiena? 2. Zenbat luze da etxea?

Eta zenbat zabal?

3. Anaiak eta biok 1. logelan egiten dugu lo. Ohatze bat erosi digute. Ohatzea 2 metro luze eta 90 zentimetro zabal da. Sar al daiteke gure logelan? 4. Planoan, marraztu non kokatuko zenukeen ohatzea. 5. Sar al daiteke sukaldean metro bateko diametroa duen mahai borobil bat? 6. Kopiatu planoa eta marraztu beste logela bat. 7. Marraztu puntu gorri bana zuzenak ez diren marrazkiko angeluetan. 82

194669 _ 0001-0120.indd 82

24/9/09 13:05:56

Izena: Data:

Olinpiar jokoetarako garaikurra

71

IK

Erakutsi sasoi betean zaudela, geometriari nahiz gustu artistikoari dagokionez. Proposamenaren xedea garaikur hau koloreztatzea da, poligono mota bakoitza kolore batez margotuz.

1 Gogoratu poligonoei buruz dakizuna, eta idatzi irudi bakoitzaren azpian dagokion poligonoaren izena. Ondoren, aukeratu kolore bat irudi bakoitzarentzat, esaterako: trapezioa, berdea.

G E OME TRI A

Poligonoak sailkatzea

trapezioa karratua erronboa erronboidea triangelua pentagonoa paralelogramoa

2 Koloreztatu garaikurra aukeratu dituzun koloreen arabera. Ikaskide batek esango dizu zein margotu dituzun ongi eta zein gaizki.

83

194669 _ 0001-0120.indd 83

29/9/09 19:32:50

E

72

Geometria sortzailea

G E OME TRI A

Irudi geometrikoak egitea, datuetatik abiatuta Proposamen honetan jarraibide batzuk iradokiko ditugu, irakasleak emandako argibideetatik abiatuta geometria-sorkuntza originalak lortzeko. Hasteko, fotokopiatu taula hau, edo eskatu ikasleei antzeko bat marrazteko paper laukidunean. Ondoren, eman ezinbesteko aginduak: zuzenkiak, paralelotasuna, triangeluak, trapezioak, prismak, piramideak… Ikasleek imajinazioz betetako marrazkiak egin beharko dituzte, behean adierazitako ereduen antzekoak.

zuzenerdiak

paralelotasuna

zuzenkiak

irudi lauak

konposizioa

84

194669 _ 0001-0120.indd 84

24/9/09 13:05:56

Bolumenetan adituak Gorputz geometrikoak egitea

Adibidez, antolatu honela: 1. Egin talde txikiak. Bi edo hiru ikaslez osatutakoak izan daitezke. 2. Banatu ikasleen artean makilatxo mordo bana.

IRUDIEN EREDUAK

G E OME TRI A

Lagundu ikasleei modu erraz batean hainbat motatako bolumenak eta gorputz geometrikoak egiten.

73

E

1

2 3. Banatu, halaber, plastilina kantitate txiki bana.

4. Eskatu taldeei zenbait bolumen pentsatzeko, edo nahiago baduzu, eman eskuinean proposatzen direnen kopiak. 5. Behin talde bakoitzak irudi bana aukeratutakoan, zenbatu ertzak. Irudia erregularra bada, moztu zotzak neurri berbera izan dezaten.

6. Egin plastilinazko bolatxoak, irudian ikus daitekeen bezala, irudi bakoitzaren ertzak lotu eta erpinak egiteko.

3

4

5 Behin irudiak bukatutakoan, jarri txartel bat irudi bakoitzaren ondoan, irudiaren izena adierazteko. Egin irudien erakusketa bat. 85

194669 _ 0001-0120.indd 85

24/9/09 13:05:56

IK

74

Izena:

Geometriari buruzko SUPERTESTa

Data:

G E OME TRI A

Geometria-nozioei buruzko ezaguerak egiaztatzea

Idatzi edo adierazi erantzun zuzenak.

1 Zer da geoplanoa? Tresna hegalari bat

Puntu-sare bat

Mapa bat

2 Zer da perimetroa? Metro baten erdia

Tren luze bat

Poligono baten aldeen batura

3 Zer dira azalera bera baina forma desberdina duten bi irudi geometriko? Baliokideak

Bikiak

Antzekoa

4 Ertzak aipatzen ditugunean, zeri buruz ari gara hitz egiten? Objektu zorrotz bati buruz

Bolumen geometriko bati buruz

Abeslari bati buruz

5 Zer haizagailuk emango du haize gehien astintzean? Irekitzean… 100º-ko angelua duenak

45º-ko angelua duenak

180º-ko angelua duenak

6 Zer irudi geometriko erabiliko dugu «ez sartu» adierazten duen bide-seinale bat egiteko? marraztuko dugu.

7 Zer lerro erabiliko dugu gauden lekutik hormarainoko distantzia neurtzeko? Hormarekiko zuta dena.

Zuzen zeihar bat.

Hormarekiko paraleloa dena.

8 Inguratu ardatz batekiko simetrikoa den irudia.

9 Nola esaten zaio hamabi alde dituen poligono erregularrari? Dekagonoa

Hamabigonoa

Dodekagonoa

86

194669 _ 0001-0120.indd 86

24/9/09 13:05:56

V. NEURRIA. MAGNITUDEAK KALKULATZEA ETA IRITZIRA KALKULATZEA Oinarrizko gaitasunak 6. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da errealitateko testuinguruetan iritzirako kalkuluak eta neurketak egiteko, neurtu beharreko objektuaren tamaina eta ezaugarriak kontuan hartuta ohiko neurketa-tresnen eta unitateen artean egokiena aukeratuz.

Aurkibidea

75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92.

194669 _ 0001-0120.indd 87

Gauzen neurria (I). Nola neurtu luzera? (IK). Luzerak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu (IK). Neurriak adierazteko zenbait modu (IK). Neurketak egiten ditugu (IK). Problemak neurriekin (IK). Masa neurtzen dugu (IK). Masa-neurrien adierazpenak (IK). Pisuak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu (IK). Pisu-problemak (IK). Litroak eta litroak (IK). Horrela adierazten dugu edukiera (IK). Neurrien arteko lotura (IK). Edukiak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu (IK). Edukiera-problemak (IR). Azalerak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu (IK). Itsasontzian bidaia (IK). Neurriari buruzko SUPERTESTa (IK).

24/9/09 13:05:56

Luzeren neurketari eta kalkuluari buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

88

194669 _ 0001-0120.indd 88

24/9/09 13:05:56

Neurriaren irakaskuntza eraginkorra

Neurria eta magnitudeak Lehen Hezkuntzan Lehen Hezkuntzako lehen zikloan hurbilketa bat egin zen magnitudeen eta oinarrizko neurri-unitateen ezaguerara, bai eta horien intuiziozko erabilera ere. Hurrengo zikloetan urrats bat gehiago ematen dugu, eta beste galdera batzuk egiten ditugu, alor horretako gaitasuna lortzeko. Alde batetik, nolabaiteko neurketaren bat egitea eskatzen duten egoerez jabetu behar dugu, eta magnitude jakinak neurtzeko zer neurri-unitate mota erabili behar den jakin. Beste alde batetik, neurriak zehatza noiz izan behar duen jakin behar dugu, eta noiz komeni den iritzira kalkulatzea. Azkenik, eguneroko bizitzan luzera-, masa- edo edukiera-neurriekin lotutako problemak ebazten jakin behar dugu.

Neurtzeko gaitasuna modu eraginkorrean lantzea Alor honetan, komeni da ikasketa-giro egoki bat sortzea eta ikasten den guzti-guztia lantzea, ikasketa benetan eraginkorra izan dadin. Inolako zalantzarik gabe, gainerako ikasketa guztietan bezala, ikasketa teoriko multzo bat lortu behar dugu; besteak beste, terminologia, neurri-unitateen balioa edo zenbaki-sistema hamartarraren erabilera neurketei aplikatuta. Baina, horrez gain, alor honetan ezinbestekoa da ezaguerak eguneroko bizitzako egoera errealetan aplikatzea ere. Hori egin ezean, baliteke ikasleek kontzeptuak behar bezala ez ulertzea, edo magnitudeen eta haien neurketaren esanahia behar bezala ez ikastea.

Zehaztasuna neurketetan Ziklo horietako helburuetako bat da zenbait egoeratan neurketa zehatza izatea beharbeharrezkoa dela ulertzea, eta arreta berezia jarri behar dela neurketa-tresnak erabiltzeko

75

moduan. Esate baterako, altuera-jauzian marka bat adierazteko, behar-beharrezkoa da zentimetroak eta milimetroak jakitea; gizendu edo argaldu garen jakiteko, komeni da kiloak ez ezik gramoak ere jakitea; ehun metrotako proban abiadura-txapelduna nor den jakiteko, ezinbestekoa da segundoak ez ezik segundo hamarrenak ere jakitea; eta teknologiako jarduera bateko piezak ahokatzeko, beharrezkoa da milimetroak zehaztea.

I NE U RRI A

Gauzen neurria

Gutxi gorabeherako neurriak

Zenbait kasutan, ez da beharrezkoa neurketak zehatzak izatea; aitzitik, iritzira egindako kalkuluetan eta alderaketetan oinarritutako balioak bilatzen dira. Lan horrek, eta iritzirako kalkulu guztiak, problemak ebazterakoan arrazoiketa eta logika erabiltzea sustatzen dute.

Neurketak egiteko ikasgela egokia

Ikasketa praktikoa izan behar duenez, ikasgelan ikusteko moduan kokatu behar dira neurketa-tresna ohikoenak, luzera, edukiera edo masa neurtzeko moduko zenbait objektu... Ikasketa prozesua objektu errealekin egitean, neurketaariketak erronka gisa aurkez daitezke, bai eta problema praktikoak ebazteko edo trebetasunak erakusteko aukera gisa ere. Horrela, zalantzarik gabe, ikasleen motibazioa indartuko da, eta tresnak emango zaizkie ezaguerak ikasgelatik kanpo erabiltzeko. 89

194669 _ 0001-0120.indd 89

24/9/09 13:05:56

IK

76

Izena:

Nola neurtu luzera?

Data:

NE U RRI A

Objektuen luzera, zabalera eta altuera identifikatzea Miren, Izaro, Eneko eta Jagoba arotz baten lantegira joan dira neurketa-ariketak egitera. Arotzak esandakoa entzun ondoren, zenbait ariketa egin dituzte, esandakoa ulertu dutela egiaztatzeko. Egin ariketa horiek zeuk ere.

1

Idatzi behar den lekuan luzera, zabalera edo altuera hitzak.

a) neurtzen ari da

c)

› b)

neurtzen ari da

2

›

neurtzen ari da

Lotu neurketa-tresnak eta haien izenak.

erregela milimetratua

neurketa-zinta

flexometroa

arotzaren metroa

• Zer neurketa tresna erabiliko zenuke objektu hauek neurtzeko? a) b) c) d)

3

Triangeluaren aldeak neurtzeko Leihoaren zabalera neurtzeko Saskibaloi-kantxaren luzera neurtzeko Nire mahaiaren zabalera neurtzeko

erabiliko dut. erabiliko dut. erabiliko dut. erabiliko dut.

Osatu adierazpen bakoitza dagokion neurri-unitatearekin. zentimetro a) b) c) d)

metro

Nire koadernoa 20 Zuhaitzak, gutxienez, 5 Bizikletaz 4 Orratzaren burua 3

milimetro

kilometro

zabal da. ko altuera du. egin genituen ordubetean. zabal da.

90

194669 _ 0001-0120.indd 90

29/9/09 19:32:52

Izena:

Luzerak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu

Data:

Eguneroko bizitzako objektuen neurriak iritzira kalkulatzea

77

1

Lotu objektu bakoitza haren gutxi gorabeherako luzerarekin.

60 cm

2

15 cm

20 cm

12 m

Irakurri eta idatzi zuzenak (Z) edo okerrak (O) diren. Nire ohea 4 metro zabal da 5 cm-ko luzera duen bolaluma txiki bat dut Bloka 15 mm luze da Bartzelona eta Sevilla artean 20 km daude 60 cm luze den gerriko bat dut Nire besoa 1 m luze da

3

NE U RRI A

Egin ariketa hauek.

IK

› › › › › ›

Kutxa grisa 30 cm zabal da, eta kutxa zuria, 45 cm zabal. Zein da marrazki zuzena?

A

B

4

Ordenatu pintzel hauek luzeenetik motzenera. Idatzi 1, 2, 3 eta 4.

5

Idatzi, bide-seinale bakoitzean, dagokion luzera-neurria metrotan.

100

200

91

194669 _ 0001-0120.indd 91

24/9/09 13:05:56

IK

78

Izena:

Neurriak adierazteko zenbait modu

Data:

NE U RRI A

Unitate-aldaketak egitea Munduko leku gehienetan erabiltzen dugun neurrien sistemak sistema metriko hamartarra izena du. 10 zentimetrok dezimetro bat osatzen dute, 10 dezimetrok metro bat eta abar. Beste modu batera esanda, metro batek hamar dezimetro ditu, edo 100 zentimetro edo 1.000 milimetro.

1 Kopiatu sistema metriko hamartarraren taula koadernoan. Hori egin ondoren, idatzi zenbaki hauek. 345 cm

27 mm

1 dm

Kilometroa Hektometroa Dekametroa km

hm

1.279 m

Metroa

dam

2 km

100 m

Dezimetroa Zentimetroa

m

dm

cm

3

4

5

Milimetroa mm

2

2

7

Erreparatu taulari eta egin ariketak. ADIBIDEA: Zenbat zentimetro dira 100 metro? 100 m = 10.000 cm. • 1 dm = •2 m =

3

cm

• 7 cm =

mm

• 14 m =

dm

mm

• 1 km =

m

• 6 dam =

m

Eman adierazpen konplexu hauek modu sinplean. Lehenik, idatzi sistema metrikoaren taulan. ADIBIDEA: Zenbat zentimetro dira 2 m eta 25 cm? 2 m eta 25 cm = 200 cm + 25 cm = 125 cm

4

• 3 m eta 14 mm =

mm +

• 2 km eta 300 m =

m+

mm = m=

mm m

Eman adierazpen sinple hauek modu konplexuan. Lehenik, idatzi sistema metrikoaren taulan. ADIBIDEA: 375 mm = 3 m eta 75 mm edo 3 m eta 7 cm eta 5 mm edo 37 cm eta 5 mm • 103 m = • 54 cm =

92

194669 _ 0001-0120.indd 92

24/9/09 13:05:57

Neurketak egiten ditugu

Data: Luzera-neurri bat adierazteko unitate egokiena aukeratzea

79

Imajinatu jolastoki berrian saskibaloi-kantxa bat markatzeko eskatu dizuetela zuri eta adiskideei. Ez dizkizuete neurriak eman, eta beraz, beste saskibaloi-kantxa bat neurtu behar duzue neurri horiek lortzeko. Erantzun galderei.

1

2

Zein da unitate egokiena neurketa hauek egiteko? Markatu. a) Kantxaren luzera neurtzeko:

cm (zentimetroa)

metroa (m)

milimetroa (mm)

b) Lerroen zabalera neurtzeko:

cm (zentimetroa)

metroa (m)

milimetroa (mm)

c) Saskiaren zabalera neurtzeko:

cm (zentimetroa)

metroa (m)

milimetroa (mm)

Kalkulatu luzera hauek iritzira. Inguratu zure ustez zehatzena dena. a) Kantxaren alde txikienaren luzera:

40 m

240 cm

15 m

b) Kantxaren alde handienaren luzera:

100 m

25 m

40 m

3m

30 m

4,5 m

15 mm

6 cm

20 cm

e) Luzeagoa al da saskibaloi-kantxa zure ikasgela baino?

BAI

EZ

f) Altuago al dago saskia zure ikasgelako sabaia baino?

BAI

EZ

c) Jaurtiketa libreen puntutik saskirako distantzia: d) Lerroen zabalera:

3

IK NE U RRI A

Izena:

Aukeratu neurketa-tresna egokiena, eta neurtu kantxaren xehetasun hauek: • Kantxaren zabalera:

• Lerroen zabalera:

• Jaurtiketa librearen distantzia:

Alderatu neurri horiek aurrez eginiko iritzirako kalkuluekin. Ondoren, idatzi benetako neurriak marrazkian. Esan zer beste modutan neur daitekeen saskibaloi-kantxa:

93

194669 _ 0001-0120.indd 93

24/9/09 13:05:57

IK

80

Izena:

Problemak neurriekin

Data:

Ebatzi luzera-neurriei buruzko problema hauek.

1

Erreparatu futbol-zelaiaren neurriei eta erantzun galderei.

48 m

NE U RRI A

Luzera-neurrien problemak ebaztea

84 m

a) Zer distantzia dago atetik zelaiaren erdigunera? b) Entrenatzaileak zelaiari bi bira oso korrika emateko agindu digu. Zenbateko distantzia egin dugu? c) Zelaia txiki samarra denez, bost metro luzatu da eta 2,5 metro zabaldu. Zer neurri ditu orain futbol-zelaiak? Luzera Zabalera

2

20 zentimetroko luzera, 20 zentimetroko zabalera eta 20 zentimetroko altuera dituen irudi bat egin behar dugu. Zer irudi geometriko egin behar dugu?

3

Anderrek kutxa hauei apaingarriak jarri nahi dizkie, zintaz gurutze bana eginda. Zenbat zinta beharko du kutxa bakoitzari gurutze bat egiteko?

beharko ditu. 45 cm

4

25

cm

Osatu esaldi hauek dagozkien hitzak idatzita. altuera

baxua

zabalera

luzea

• Ikasgelako atearen handiagoa da • Ez zara mahaira iritsiko, aulki hori oso • Leher eginda iritsi nintzen, lasterketa oso

laburra baino.

baita. baizen.

94

194669 _ 0001-0120.indd 94

24/9/09 13:05:57

Izena:

Masa neurtzen dugu

Data:

81

IK NE U RRI A

Masa neurtzeko prozesua azaltzea

1 Inguratu masa jakiteko pisa ditzakezun gauzak. KOLORE BERDEA

SAGAR BAT

MOTO BAT

2

PAPER BAT

PENTSAMENDU BAT

Lotu pisua neurtzeko tresna bakoitza haren izenarekin.

baskula

3

UR-ZURRUSTA BAT

baskula digitala

sukaldeko pisua erromatar balantza

balantza

Azaldu zure hitzekin nola funtzionatzen duen balantza batek. 1 kg

1/2 1 kg

1/2

1,5 kg

• Zer pisu dute sagarrek?

4

Ordenatu masa-unitateak handienetik txikienera. miligramoa

kiloa

> 5

gramoa

>

tona

>

zentigramoa

>

Osatu dagokion unitatea idatziz: • • • •

Kamioi batek 8 Kafeari 20 Zaku honek 50 Lore batetik 30

garraia ditzake. azukre bota dizkio. -ko pisua du. esentzia lor daitezke. 95

194669 _ 0001-0120.indd 95

29/9/09 19:32:55

IK

82

Izena:

Masa-neurrien adierazpenak

Data:

NE U RRI A

Masa-neurriak modu sinplean eta konplexuan adieraztea

1 Erreparatu masa-unitateen taulari eta idatzi pisuak behar bezala. 12 kg

105 g

22 mg

Kilogramoa Hektogramoa Dekagramoa kg

hg

dag

1.050 kg Gramoa g

2.000 mg

5 hg

506 dg

Dezigramoa Zentigramoa Miligramoa dg

cg

mg

12

2

Eman magnitudeen adierazpen sinpleak modu konplexuan. ADIBIDEA: Flan batzuek 1.350 g-ko pisua dute. Zenbat kg dira? 1 kg eta 350 g. a) 3.754 mg = b) 1.003 dag = c) 127 hg = d) 168 dg =

3

Eman magnitudeen adierazpen konplexuak modu sinplean. ADIBIDEA: Zenbat gramo dira 4 kg eta 125 g? 4.000 g + 125 g = 4.125 g. a) Kilo eta erdi banana erosi ditut. Zenbat gramo dira? b) Hortzetako pastaren tutuan 4 dg eta 100 g pasta daude. Zenbat mg dira? c) Pottoli katuak 2 kg eta 250 g-ko pisua du. Zenbat gramo dira? d) Amak bi dekagramo eta hektogramo bat urdaiazpiko erosi dituela esan digu. Zenbat zentigramo dira?

96

194669 _ 0001-0120.indd 96

24/9/09 13:05:57

Pisuak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu

Data:

Eguneroko bizitzako objektuen masa iritzira kalkulatzea eta alderatzea

83

IK NE U RRI A

Izena:

1

Ordenatu objektu hauek astunenetik arinenera. Idatzi 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 zenbakiak.

2

Lagundu Jokini kutxa hauek pilatzen. Guztiek neurri bera dute eta bete-beteta daude. Kutxak binaka pilatu behar ditu, astunenak behean jarriz, eta arinenak, goian.

1 Ko

toia

2 Tor

loju

ak

3 Lib

4 Go

uru

ma

ak

k

3

Jokinek 20 tona adreilu garraiatuko dituela agindu du. Markatu ibilgailu egokiena.

4

Lotu objektuak haien gutxi gorabeherako pisuekin. • 1 kg • • 100 g • • 500 g • • 60 kg • 97

194669 _ 0001-0120.indd 97

24/9/09 13:05:57

IK

84

Pisu-problemak

Izena: Data:

NE U RRI A

Masa-neurrien problemak ebaztea Ebatzi problema hauek.

1

Folio neurriko koaderno batek kilo erdiko pisua du, eta ikasliburu batek, kilo eta erdikoa. Kalkulatu eraman behar duzun pisua, gaur Matematika, Ingurunearen Ezaguera eta Ingelesa badituzu, eta koaderno bat behar baduzu ikasgaiko.

2

Amarekin azokara joan zara. Fruitu-dendan 5 kg laranja, 2 kg eta erdi madari, 3 kg sagar, kilo erdi zerba eta 1 kg tomate erosi dituzue. Kalkulatu nola banatu behar duzun erosketa bi poltsatan etxera eramateko. Eta 3 poltsa izango bazenitu, nola banatuko zenukeen?

3

Sagar batek 45 g-ko pisua du eta 8 minutu behar ditu etxeko labean erretzeko. Ahalik eta azkarren erre behar ditugu bost sagar. Benetako problema al da? Zergatik?

4

Erreparatu balantzei eta erantzun galderei. • Irunek 200 gramo pipita eskatu ditu. Zenbat gramo falta zaizkio?

• Xabierrek 2 kg eta erdi patata eskatu ditu. Zenbat gramo ditu sobera?

175

2550

98

194669 _ 0001-0120.indd 98

29/9/09 19:32:56

Izena:

Litroak eta litroak

Data:

85

IK NE U RRI A

Edukiera-neurria zer den ulertzea

1 Inguratu erantzuna litrotan eman beharreko egoerak. Lau edalontzi betetzeko behar den ur kantitatea.

Automobil baten maletategiaren edukiera.

a)

Moto baten andelean sartzen den gasolina.

Kutxa batean sartzen den galleta kantitatea.

c)

b)

Etxetik ikastetxerako distantzia.

Nire bizkar-zorroaren pisua.

e)

f)

d)

2

Koloreztatu edukiera neurtzeko erabil daitezkeen tresnak.

a)

probeta

3

b)

c)

neurtzeko ontzien sorta

d)

balantza

gasolina-hornigailua

Etxean ere sarritan neurtu behar izaten dira likidoak. Idatzi horrelako bi egoera. 1. 2.

4

Ordenatu edukiera-unitate hauek txikienetik handienera. hektolitroa

litroa

>

zentilitroa

>

kilolitroa

>

mililitroa

> 99

194669 _ 0001-0120.indd 99

29/9/09 19:32:56

IK

86

Izena:

Horrela adierazten dugu edukiera

Data:

NE U RRI A

Litroa, haren multiploak eta azpimultiploak identifikatzea

1 Erreparatu edukiera-unitateen taulari, eta idatzi magnitude hauek behar bezala. 35 l

Kilolitroak

450 dl

1.005 ml

100 cl

40 dal

Litroak

Dezilitroak

Zentilitroak

Mililitroak

dal

l

dl

cl

ml

3

5

Hektolitroak Dekalitroak

kl

hl

63 hl

3 kl

2 Eman magnitudeen adierazpen sinpleak modu konplexuan. (Gogoratu magnitudea zenbait neurri-unitatetan eman behar dela). ADIBIDEA: 2 dezilitroko 22 lata limoi-zuku erabili ditugu freskagarriak egiteko. Zenbat litro limoi-zuku erabili ditugu guztira? 22 x 2 = 44 dl = 4 l eta 4 dl • 1.234 ml = • 6.036 cl =

l+ dal +

dl + l+

cl + dl +

ml cl

3 Eman magnitudeen adierazpen konplexuak modu sinplean. (Gogoratu kantitate guztiak magnitudearen adierazpenean ageri den unitate txikienean adierazi behar direla). ADIBIDEA: Zenbat dezilitro dira 4 hl, 21 eta 6 dl? 4.000 dl + 20 dl + 6 dl = 4.026 dl • 2 l eta 25 dl =

• 12 l eta 35 dl =

• 3 kl, 5 dal, 16 l, 9 cl = 100

194669 _ 0001-0120.indd 100

24/9/09 13:05:58

Izena:

Neurrien arteko lotura

Data:

NE U RRI A

Luzeraren, edukieraren eta masaren arteko loturak aztertzea

87

1 dm

1 Erreparatu luzera-, edukiera- eta masa-unitateen arteko loturari.

1 dm

1 dm

Kubo bat. Ertz bakoitza 1 dm-ekoa da.

1 litro

IK

1 kilo

Kubo horrek litro bateko edukiera du.

Kuboan sartzen den urak kilo bateko pisua du.

2 Armairuan dezimetro bateko ertza duten kubo hauek guztiak sar daitezke. Zer edukiera du armairuak, litrotan?

• Armairuak

litroko edukiera du.

3 Supermerkatuan bost litroko lau bidoi ur eta hiru litroko bi erosi ditugu. Zenbateko pisua du erosketak?

•

kiloko pisua du.

4 Hiru ontzi aukeratu ditugu. Hutsik pisu bera dute. Urez bete ditugu goraino. Erreparatu balantzei eta esan zer ontzik duen ur gehien.

A

B

C

B 101

194669 _ 0001-0120.indd 101

24/9/09 13:05:58

IK

88

Edukierak iritzira kalkulatzen Izena: Data: eta alderatzen ditugu

NE U RRI A

Ontzien edukiera begiz alderatzea, tamainari erreparatuta

1 Ontzi hauek guztiak urez beteta daude. Ordenatu handienetik txikienera, bakoitzak duen ur kantitatearen arabera.

2

Ordenatu ontzi hauek edukieraren arabera.

3

Markatu adierazpen okerrak. Botila batek eta txanbil batek edukiera bera dute. Dutxatzean bainuontzian sartzen dena baino ur gehiago gastatzen dut. Lau edalontzi urek litro bateko botila betetzen dute.

4

Lotu ontzi bakoitza haren gutxi gorabeherako edukierarekin. Komuneko andela • 6 edalontzi betetzeko edukiera duen freskagarri botila •

• 1 l eta erdi • 40 l

Kolonia flasko ertain bat •

•5l

Automobil baten andela •

• 20 cl

102

194669 _ 0001-0120.indd 102

24/9/09 13:05:58

Edukiera-neurrien problemak ebaztea

89

Problemen diktaketa Behin edukiera-neurrien esanahia ulertzen dutenean, diktatu hainbat motatako problemen sorta bat ikasleei, koadernoan egin dezaten. Problema hauek zailtasun-maila desberdinak dituzte. Batzuk maltzurrak dira, eta ezin dira erantzun. Adierazi erantzun ezinezkorik ere egon daitekeela ikasleei. Problemak ebaztean, saiatu ikasleek problemak ebaztea blokean garatu dugun metodoa erabil dezaten. Problema batzuetan nahikoa izango da iritzira kalkulatutako erantzun bat ematea.

4. Urez betetako bi kupel ditugu. Batek 37 litroko edukiera du, eta besteak, 50 litrokoa. Zenbat litro ur geratzen dira bigarren kupelean? 5. Komuneko andelean 5 litro ur sartzen dira, eta bi sakagailu ditu: A eta B. A sakatzean 2 litro ur askatzen ditu, eta B sakatzean, 4 litro eta erdi. Kalkulatu zenbat litro geratuko diren A sakatzen badut, B sakatzen badut, eta A eta B sakatzen baditut.

IR NE U RRI A

Edukiera-problemak

PROBLEMAK 1. Pitxer bat urekin 20 cl-ko hamar edalontzi bete dira. Zenbat litro ur zeuden pitxerrean?

6. Jogurt bat egiteko, 125 ml esne behar dira. Zenbat jogurt egin daitezke litro eta erdi esne erabilita?

2. Loreak ureztatzeko 8 litroko edukiera duen ureztontzi bat erabiltzen dut, baina erdiraino soilik betetzen dut. Gaur hiru ureztontzi eta erdi erabili ditut. Zenbat litro ur gastatu ditut?

7. Dezilitro bateko zenbat flasko bete daitezke 6 litro lurrin erabilita?

3. Gure etxean bi pertz ditugu. Bi pertzetan 30 litro ur sartzen dira guztira. Nik beti handiena hartzen dut. Nire aitak hartzen duenean 26 litro ur sartzen dira. Zenbat litro sartzen dira nik hartzen dudanean?

8. Ingek 2 cl xarabe hartu behar ditu, egunean hiru aldiz. Zenbat dl xarabe hartuko ditu 30 egunean? 9. Zer luzera unitate (ml, cl, dl, l, dal, hl) erabiliko dituzu hauek neurtzeko? ml

cl

l

dal

hl

• igerileku bat • koilarakada bat ezti • loreontzi bat

103

194669 _ 0001-0120.indd 103

24/9/09 13:05:58

IK

90

Azalerak iritzira kalkulatzen eta alderatzen ditugu

Izena: Data:

NE U RRI A

Azalerak alderatzea Matematikan, iritzira kalkulatzea magnitude bat gutxi gorabehera adieraztea da. Sarritan, azalera bat ulertzeko edo balioztatzeko ez da nahitaezkoa neurri zehatzak izatea, baina bai gutxi gorabeherakoak. Ez galtzeko, beharrezkoa da erreferentzia gisa hartuko dugun neurri bat izatea; esate baterako, gure logelaren azalera.

1 Erreparatu irudi geometriko hauei eta erantzun:

•

irudiak du azalera handiena.

•

A

B

C

D

•

irudiak du azalera txikiena.

irudiek zalera berdina dute.

2 Gogoratu zure logelaren azalera eta aipatu haren antzeko azalera duten bi leku.

3 Lotu espazio edo objektu hauek gutxi gorabeherako azalerekin. Sakelako telefonoa • Etxebizitza bat • Intsignia bat •

• 160 mm2 • 40 cm2 • 90 m2

104

194669 _ 0001-0120.indd 104

24/9/09 13:05:58

Itsasontzian bidaia

Data: Ordutegiak interpretatzea

1

91

Saioaren etxera Mediterraneoan itsasontziz egingo den bidaia baten berri ematen duen publizitate-orri bat iritsi da. Bertan, egunez egun egingo denaren ordutegia zehazten da.

IK NE U RRI A

Izena:

VENEZIA

BILBO

DUBROVNIK

KORFU

EG.

1

Hegaldiaren irt. Hegaldiaren hel. Bilbo 16:30

Venezia 19:00

Jazoerak

ATENAS

Itsasontziaren irt. Itsasontziaren hel.

Atzeratua: 25 min.

2

Venezia 17:00

Dubrovnik 12:00

3

Dubrovnik 20:00

Korfu 9:00

4

Korfu 16:00

Rodas 9:00

5

Rodas 18:00

Atenas 7:00

6

Atenas 22:50

Bilbo 24:55

Erantzun: a) Zenbat egun iraungo du bidaiak guztira? b) Zer hiritatik pasatuko da? c) Zer ordutan irtengo da benetan hegazkina Bilbotik? d) Zenbat denbora irauten du Bilbo-Venezia bidaiak? e) Zer ordutan helduko da? f) Zenbat denbora irauten du Rodasetik Atenaserako bidaiak? 105

194669 _ 0001-0120.indd 105

24/9/09 13:05:58

IK

92

Izena:

Neurriari buruzko SUPERTESTa

Data:

NE U RRI A

Neurriei buruzko oinarrizko ezaguerak egiaztatzea Markatu erantzun egokiena kasu bakoitzean.

1

Idatzi zer magnitude neurtzeko erabiltzen diren unitate hauek: • litroa:

• metroa:

• kiloa:

2

Zenbat kilogramo da tona bat? 500 kg

3

10.000 kg

1.000 kg

Zein dira gutxi gorabehera 80 cm? Apalategi baten zabalera

Ate baten zabalera

Mahai baten zabalera

Nire ohearen luzera

4

Josuk 83 cm-ko lerro bat marraztu du arbelean. Zer gehiago marraztu beharko du metro eta erdiko lerro bat izateko?

5

Zer da maleta baten edukiera? Iraun dezakeena

6

Bertan sar daitekeenaren neurria

Kiloa

Litroa

Zenbatekoa da, gutxi gorabehera, mendiko bizikleta baten pisua? 300 kg

8

Bere pisua

Zer unitate erabiltzen da maleta baten edukiera neurtzeko? Metroa

7

50.000 kg

65 kg

2 kg

Egin unitate-aldaketak. • 100 cm = • 1 dl =

m ml

• 1 km = • 80.000 g =

m kg

106

194669 _ 0001-0120.indd 106

24/9/09 13:05:58

VI. INFORMAZIOAREN TRATAERA, ZORIA ETA PROBABILITATEA Oinarrizko gaitasunak 7. Ikaskuntza-prozesua amaitzean ikaslea gai da eguneroko bizitzako gertaerei eta objektuei buruzko datuak biltzeko, zenbaketa-teknika soilak erabiliz; gai da datu horiek ordenatzeko, sailkapenerako irizpide bat erabilita, bai eta emaitza taula batean edo grafiko batean adierazteko ere. …gai da hurbileko inguruko datu multzoen adierazpen grafikoak egiteko, irakurtzeko eta interpretatzeko; iritzirako kalkuluak egiteko, ausazko joko soilen esperientzian oinarrituta (posiblea, ezinezkoa, ziurra, aukera gehiagokoa eta gutxiagokoa); bai eta emaitza egiaztatzeko ere.

Aurkibidea

93. 94. 95. 96.

194669 _ 0001-0120.indd 107

Estatistikaren ikasketa erraza eta eraginkorra (I). Zer hiletan betetzen dituzu urteak? (IK). Nola adieraziko genuke? (IK). Zorte ona (IK).

24/9/09 13:05:59

Zoriari eta probabilitateari buruzko proposamenak aplikatzeko oharrak

DATA

FITXA-ZENBAKIA

OHARRAK

108

194669 _ 0001-0120.indd 108

24/9/09 13:05:59

Lehen Hezkuntzako azken zikloetan hasten da informazioaren trataeraren eta probabilitatearen ikaskuntza formalizatua. Oso une egokia da ikasketarako, inguruko datuen berri izateko jakin-minak bat egiten baitu jardutearekiko interesarekin. Ikasketaren hasiera izatean, arreta berezia jarriko dugu lehen urratsak errealitatean eta bizitzako esperientzietan oinarri daitezen, bai eta albisteak eta oinarrizko prozedurak beti argi uler daitezen ere. Matematikako alor horretan, ikasketa eraginkorra izatea espero dezakegu. Izan ere, eskuen artean izan ditzakegu norberaren eguneroko bizitzako eta inguruneko bizitzako gertaerak eta gertakariak.

Abiapuntua Eskola eraginkorren abiapuntua da datuak emanez erantzun daitezkeen galderak egiten asmatzea; bai eta datu horiek antolatzen jakitea ere, nahi diren erantzunak jasotzeko. Maila horretan, ikasleek galderak egin beharko dituzte nork bere buruari eta inguruari buruz. Galderak egin beharko dituzte halaber familiari, ikasgelari eta beste alor batzuetan ikasten ari direnari buruz; besteak beste, aisialdia zertan ematea gustatzen zaien, jaki gogokoenak zein dituzten, gorputz-hazkuntza nolakoa izaten ari den edo nolakoa den uraren kontsumoa. Ikasleak haien inguruko mundua aintzat hartzen hasten dira, bai eta haien erabakietan eragin dezaketen zenbait alderdiri heltzeko prestatzen ere.

Datuen bilketa eta erregistroa Gure ikasleek laster ikasi behar dute nola eskuratu ikerketak egiteko behar dituzten datuak; besteak beste, hainbat iturri ikertuz, zenbait inkesta eginez eta gertaerak sistematikoki behatuz.

Horrez gain, behar bezala jakin behar dituzte erantzunak zenbatzeko sistemak, bai eta haiek nola antolatu eta sailkatu ere.

Datuen adierazpena Gure ikasleek datuak erraz ulertzeko moduan antolatzeko oinarrizko prozedurak ikasi behar dituzte: taulak, puntu-diagramak, barra-grafikoak eta grafiko linealak. Ulertaraziko diegu baliabide desberdinak direla. Koordenatuen ardatzen esanahia azalduko diegu. Zenbait bidetatik lortutako ereduak erabiliko ditugu gure azalpenak indartzeko. Ikasleek gai izan behar dute ariketa bakoitzerako adierazpen mota egokiena aukeratzeko.

Adierazpenen interpretazioa Ikasleak motibatu egin behar ditugu, datuen esanahiari buruz galde dezaten: Zein dira datu garrantzitsuenak? Zein ohikoenak? Grafiko horretan, zer leku du guri gehien interesatzen zaigunak? Lagundu egin behar diegu, datu batzuk besteekin alderatzen. Garrantzitsua da ariketen bitartez ohartzen hastea erabiltzen ditugun datu multzoetako asko eta asko populazio handiagoetako laginak direla, eta datu horiei esker orokortzeak egin daitezkeela.

PROB A B I LI TA TE A

Estatistikari eta probabilitatearen kalkuluari buruzko eskola

ET A

Ikasle motibatuak, informazioaren trataerarako

93

I

Z O R IA

Estatistikaren ikasketa erraza eta eraginkorra

Probabilitatea Hasteko, ikasleek gertaerak ziurrak, posibleak edo ezinezkoak izan zitezkeela ikasi zuten; baina orain, gertaera horiek jazotzeko aukerak zenbatekoak diren aztertzen ikasi behar dute. Horretarako, behar dituzten datu guztiak hartuko dituzte, lantzen den gertaera erreala bada. Gertaera alegiazkoa bada, aldiz, saiakuntzak errepikatuz lortuko dituzte datu horiek. 109

194669 _ 0001-0120.indd 109

24/9/09 13:05:59

IK

94

Izena:

Zer hiletan betetzen dituzu urteak?

Data:

Z O R IA

ET A

PROB A B I LI TA TE A

Datuak zenbatzeko estrategia eraginkorrak erabiltzea. Ikaskideekin batera, egin azterketa estatistiko bat, urteak betetzen dituzuen hilei buruz. Interpretatu emaitzak, eta egin ekintzaren bat guztion artean. • Lau urrats hauei jarraitu behar diezue azterketa egiteko: Lehen urratsa. Datuak biltzea eta idaztea. Batek ahots ozenez galdetuko die ikaskideei zein hiletan betetzen dituzten urteak. Gainerakoek fitxa batean idatziko dituzte erantzunak, dagokien lekuan marratxoak eginez. LEHEN HIRUHILEKOA Iraila

Urria

Azaroa

BIGARREN HIRUHILEKOA Abendua

Urtarrila

Otsaila

Martxoa

Bigarren urratsa. Maiztasunak idaztea. ALDIA

MAIZTASUNA

HIRUGARREN HIRUHILEKOA Apirila

Maiatza

Ekaina

UDA Uztaila

Abuztua

Hirugarren urratsa. Emaitza barra-grafiko batean adieraztea. 12

Lehen hiruhilekoa

10

Bigarren hiruhilekoa

8 6

Hirugarren hiruhilekoa Uda

4 2

1. hiruhilekoa

2. hiruhilekoa

3. hiruhilekoa

Uda

Jaso informazioa beste ikasgela batzuetan, eta bildu datu guztiak barra-grafiko batean. Laugarren urratsa. Datuak interpretatzea.

1

Erantzun galdera hauei. • Zenbat ikaskidek betetzen dituzte urteak zuk betetzen dituzun hilean? • Zer hiletan ospatzen da urtebetetze gehien zure ikasgelan? • Inkesta egin den ikasgela guztiak kontuan hartuta, zein hiruhileko da urtebetetzeen erregea? • Zenbat ikaskidek betetzen dituzte urteak udako oporretan? Zer egin daiteke urtebetetzeak beraiekin ospatzeko?

110

194669 _ 0001-0120.indd 110

24/9/09 13:05:59

Data: Grafikoak irakurtzea eta interpretatzea

95

1 Erreparatu datuen adierazpen hauei eta erantzun galderei ahoz. A. GRAFIKO LINEALA

B. BARRA-GRAFIKOA

Ura berotzeko gasaren kontsumoa

Auzoko lasterketako parte-hartzaileak

550

120

500

100

450

80

400

60

350

40

300

20

250

0 Hila urtarrila martxoa maiatza uztaila

iraila

azaroa

Urtea 2002 2003

ET A

Parte-hartzaileak

Euroak

IK PROB A B I LI TA TE A

Nola adieraziko genuke?

2004 2005

2006 2007

2008

Z O R IA

Izena:

• Zer adierazten du kolorezko lerroak grafiko linealean? • Zer adierazten dute koloreztatutako laukiek barra-grafikoan? • Zein izan daiteke gas-kontsumoa adierazten duen lerroaren aldaketen arrazoia? • Antzeko zerbait gertatzen al da zure etxean? • Zer urtetan izan zen parte-hartzaile gehien auzoko lasterketan? • Zenbat parte-hartzaile izan ziren? • Zer egin daiteke 2009an parte-hartzaile kopurua handiagoa izan dadin?

2

Osatu talde bat bi ikaskiderekin, eta egin grafiko bat datuak adierazteko. Guztion artean, grafiko mota aukeratu behar duzue: grafiko lineala edo barra-grafikoa. Ondoren, marraztu grafikoa koadernoan eta azaldu. • GALDERA. Ahalegin handia egin dugu, pixkanaka-pixkanaka etxeko ur-kontsumoa murrizteko. Lortu al dugu? Murriztu al da ur-kontsumoa? • FAKTURETATIK JASOTAKO DATUAK, HEKTOLITROTAN ADIERAZITA. Urtarrila: 55; otsaila: 50; martxoa: 50; apirila: 50; maiatza: 45; ekaina: 40; uztaila: 50; abuztua: 70; iraila: 40; urria: 40; azaroa: 35; abendua: 35. 111

194669 _ 0001-0120.indd 111

24/9/09 13:05:59

IK

96

Izena:

Zorte ona

Data:

Fitxa honetan, jokoan jarriko dituzue zuen imajinazioa eta sormena.

1

Sarritan, galdera hauek egiten dizkiogu gure buruari: • Ondo egingo al ditut problema guztiak? • Hautatuko al nau irakasleak problema arbelean ebazteko? • Egokituko al zait nire CD gustukoena zozketan? • Egon al daiteke beroa igerilekuko ura oraindik berorik egin ez badu? • Irabaziko al dut ikasgelako neska/mutil guztien artean egingo dugun lasterketa? • Dardoak botatzean, asmatuko al dut ituan? • Koaderno berri bat erosi dut duela gutxi. Izango al ditut nahikoa orri lau biderketa egiteko?

2

Hiru motatakoak izan daitezke galdera horietako bakoitzaren erantzunak: a) Gertaera ziurra da (ziurtasun osoz beteko da).

Z O R IA

ET A

PROB A B I LI TA TE A

Gertaera posibleak eta ezinezkoak eguneroko bizitzan identifikatzea

b) Ezinezko gertaera da (ezin da jazo). c) Gertaera posiblea da (gerta daiteke). Gertaera posibleak bi motatakoak izan daitezke: d) Aukera gehiagokoak

e) Aukera gutxiagokoak

3

Irakurri galderak berriro, idatzi zure ustez gertaera ZIURRA (Z), EZINEZKOA (E), AUKERA GEHIAGOKOA (A+) edo AUKERA GUTXIAGOKOA (A-) den, eta eman arrazoiak.

4

Egin taldeak, eta asmatu lau gertaera talde bakoitzeko. Bat ziurra, beste bat ezinezkoa, beste bat aukera gehiagokoa, eta azkena, aukera gutxiagokoa.

ADIBIDEA: Erreparatu itu honi. • Zer da aukera gehiagokoa: dardoak eremu urdinean ematea ala eremu grisean ematea? 112

194669 _ 0001-0120.indd 112

24/9/09 13:05:59

VII. ZEHAR-GAITASUNAK

Aurkibidea

97. 98. 99. 100.

194669 _ 0001-0120.indd 113

Matematika ordenagailu bidez (IR). Matematikako ideiak eta hizkuntza erabiliz hitz egitea (IR). Matematikaren eguna eskolan (IR). Esan ezazu ingelesez! (I).

24/9/09 13:05:59

IR

97

Matematika ordenagailu bidez

Z E HA R- G A I TA S U NA K

Ikasgelan teknologia berriak erabiltzea

Ordenagailua ikasgelan eta etxean Ikasleen ezaguera informatikoak oso txikiak eta oinarrizkoak diren arren, ordenagailuak oso erabilgarriak izan daitezke matematikako zenbait ariketa ebazteko. Komeni da ariketa bakoitzaren orientazioa argi zehaztea, eta ikasleei lanak arrakastaz egiteko behar dituzten argibideak ematea. Lanak banaka egin daitezke, ikasle bakoitzeko ordenagailu bat izanez gero; edo taldeka. Ariketak taldeka egitean, balio handiagoa ematen zaie elkarren artean egindako ikaskuntzari, irakaskuntzari eta baliabide eraginkorren bilketari.

Numerazio-sistema Modu eraginkorrean erabil dezakegu ordenagailua zenbakiak zuzenean kokatzeko. Ordenagailuari esker, zenbakien zuzenaren marrazki estandarrak egin daitezke, probak egin eta azken kokapenak adierazi.

Eragiketak egiaztatzea Oro har, oso erabilgarriak dira kalkulagailua eta ordenagailua eragiketa konplexuen edo zailen emaitzak egiaztatzeko. Ez dituzte buruzko kalkulua, hurbilketak eta eragiketak ordezkatuko; baina erabili erabil daitezke, modu eraginkorrean aurrera egiteko eta berehala egin beharreko zuzenketei buruz gogoeta egiteko. Horrez gain, makinak erabil ditzakegu azken emaitza kalkulatzeko, problemaren planteamendua eta hura ebazteko logika soilik interesatzen bazaizkigu.

Geometria eta kokapenak espazioan Alor honetan atera diezaiokegu probetxu handiena ordenagailuaren erabilerari. Hasteko, lerroen, zuzenen eta zuzenkien esanahia azalduko dugu; eta gero, nola marraztu lerro paraleloak, elkarzutak, ebakitzaileak, zirkunferentziak... Beharrezkoa da erabiliko diren kontzeptuak argi ulertzea, ariketa horiek eta beste batzuk egiteko. Horrez gain, azken emaitza eredu interaktibo bat izango da, irudi geometriko bat nola adierazi behar den jakiteko. Are eta erabilgarriagoa izango da ordenagailua forma geometrikoak, poligonoak eta bolumenak marrazten hasten garenean.

Bukatzeko, sormenaren ikuspegitik, irudi simetrikoak, lerro paraleloak, translazioak eta irudi baliokideak egiteko erabil daitezke ordenagailuak. Edonola ere, ematen duen espazioaren ikuspegia dela eta, ordenagailuak erabiltzeak erraztu egiten du distantzien, norabideen eta formen ulermena.

Informazioaren adierazpena Alor hau da ziurrenik, geometriarekin batera, ordenagailua erabiltzeko egokienetako bat. Horrez gain, testu-prozesadoreek laguntza eta baliabide asko eskaintzen dituzte datuen adierazpenak ahalik eta egokienak eta zehatzenak izan daitezen. 114

194669 _ 0001-0120.indd 114

24/9/09 13:05:59

Errealitatearen ikuspegi matematikoa

98

Matematika eguneroko bizitzan

Marrazketa- eta pintura-eskolak

Irakasleok programek adierazten diguten sekuentziaren arabera irakatsi ohi ditugu ziklo honi dagozkion matematika-kontzeptuak. Ondoren, behin kontzeptuak ikasitakoan eta horiei dagokion trebakuntza osatutakoan, eguneroko bizitzako egoerak bilatzen ditugu, ezaguera horiek eta xehetasun guzti-guztiak aplikatzeko. Proposamen honetan noizbehinka aurkako bidea egitea iradokitzen dugu; eguneroko bizitzako egoeretatik abiatuta, bertako eduki matematikoez jabetzea eta ikasitako ezaguerak aplikatzea, egoera hobeto ulertzeko edo hari lotutako problemak ebazteko. Egoera asko eta asko daude aurkikuntza horiek eta haien ondotik datozen ariketak lantzeko. Baina sarritan ez gara egoera horietaz jabetzen. Hizkuntza matematikoan hitz egiteko aukera ematen dute. Egoera horietako batzuk aurkeztuko ditugu:

Irakasgai horrek aukera asko eta asko ematen ditu agertzen diren problemei konponbide matematikoak bilatzeko: iritzira egindako kalkuluak, neurketa zehatzak –lerroenak nahiz angeluenak–, plastikako lanetan lerro paraleloak edo elkarzutak marraztea, proportzioak, koordenatuak erabiliz marrazki baten antzekoak egitea eta abar.

Eduki matematikoak dituzten jokoak Aspaldi honetan oso ezagun egin da sudokua. Zenbakiekin jolasteko eta buruzko kalkuluak egiteko erabil ditzakegu sudokuak, zenbait zailatsun-mailatan aurkezten baitira. Badira haurren gustukoak diren aspaldiko beste hainbat joko zenbakiak lantzeko: karratu magikoak, gurutzegramak –zenbakizkoak nahiz grafikoak–, zenbait zailtasun-mailatako zenbaki-segidaz adierazitako puntuak lotuz egin beharreko marrazkiak, logika-jokoak, eta abar.

IR Z E HA R- G A I TA S U NA K

Matematikako ideiak eta hizkuntza erabiliz hitz egitea

Eskulanak Sarritan egiten ditugu unitate-aldaketak eskulanetan: zentimetroak metrotan adierazteko, dezimetroak milimetrotan adierazteko, etab. Irudi baten bertikaltasuna, paralelotasuna, zirkuluen marrazketa, formen errepikapena edo translazioa, eta abar.

Zientzien azterketa Zientzia ikastean, sarritan erabili beharko ditugu matematikako ezaguerak: geografian, eskalen, distantzien edo azaleren kalkuluak egiteko; historian, iraupenen kalkuluak, denboraren araberako sailkapenak, adinen kalkuluak… egiteko; giza zientzietan, biztanleriari, ekonomiaren garapenari eta abarri buruzko grafikoak interpretatzeko.

Eskolatik kanpo Zalantzarik gabe, eskolatik kanpo agertzen da argien matematika-nozioen beharra: monetaren balioa, erosketak, ordainketak, gainerakoak, aurreztea, eskaintzak, etab. 115

194669 _ 0001-0120.indd 115

24/9/09 13:05:59

IR

99

Matematikaren eguna eskolan

Z E HA R- G A I TA S U NA K

Matematika eguneroko bizitzan

Festa-giroa Liburuaren eguna, ingurumenaren eguna, emakume langilearen eguna eta beste efemeride batzuk ospatu ditugun bezalaxe, matematikaren eguna ospatzea iradokitzen dugu proposamen honetan. Espainian, maiatzaren 12an ospatzen da matematikaren eguna. Egun horretan, matematikarekin lotutako era askotako ekintzak antolatzen dira hainbat lekutan. Proposamen hau ospakizun gisa bideratzea nahiko genuke; eta une batez matematikaren izaera zorrotzaz, serioaz eta paradigmatikoaz ahaztea, matematika-girotik aldendu gabe ekintza jolasgarriagoak egiteko. Ekintza horiek erabil daitezke matematikaren nozioak ikasten emango dituzten lehen urte hauek arintzeko, izan ere, matematika hezur gogorra da ikasle askorentzat. Halaber, ekintza horiek erabil daitezke matematikaz gozatzen duten haurren sormena lantzeko.

Txiste-lehiaketak edo eduki matematikoa duten proposamen zentzugabeak. Mota horretako eredu asko aurki daitezke Interneten. • Asmakizunak, igarkizunak, esaerak. • Kartelak marraztea. Zenbakiak, egoerak,

eszenak. Koloretako geometria-jokoak.

• Dramatizazio satirikoak, ikasgelan matema-

tikari lotuta gertatu diren egoera xelebreak eta dibertigarriak gogoratzeko, betiere, umore eta asmo onez.

• Albisteen bilduma eta erakusketa egitea,

zenbakiak, kalkulua eta geometria protagonista direla.

• Mozorro-lehiaketa, nolabait zenbakiei edo

Zer egin daiteke?

geometriari lotuta.

Ikasleen imajinazioa suspertzea da burura datorkigun lehen asmoa. Horretarako ikasleek, banaka, edo talde txikitan, parodiak, antzezpenak edo simulazioak egingo dituzte, ikasitako teoria matematikoari lotutako egoerei keinu eginez. 116

194669 _ 0001-0120.indd 116

24/9/09 13:05:59

One Bat

Two Bi

Four Lau

Five Bost

Seven Zazpi

Eight Zortzi

Ten Hamar

Eleven Hamaika

100

Three Hiru Six Sei Nine Bederatzi Twelve Hamabi

Thirteen Hamahiru

Fourteen Hamalau

Fifteen Hamabost

Sixteen Hamasei

Seventeen Hamazazpi

Eighteen Hemezortzi

Nineteen Hemeretzi Thirty Hogeita hamar Fifty Berrogeita hamar Eighty Laurogei A hundred and one Ehun eta bat A thousand Mila First Lehen 2nd Bigarren

Twenty Hogei Thirty-two Hogeita hamabi Sixty Hirurogei Ninety Laurogeita hamar Two hundred Berrehun A thousand and four Mila eta lau 1st Lehen Third Hirugarren

Fourth Laugarren

Fifth Bosgarren

Seventh Zazpigarren

Eighth Zortzigarren

Tenth Hamargarren Number Zifra Addition Batuketa Minuend Kenkizuna Equal Berdin Multiply Biderkatu

Eleventh Hamaikagarren Add Batu More Gehiago Substrahend Kentzailea Less Gutxiago 1st factor Lehen biderkagaia

Twenty-one Hogeita bat Forty Berrogei Seventy Hirurogeita hamar One hundred Ehun Three hundred Hirurehun Zero Zero Second Bigarren 3nd Hirugarren Sixth Seigarren Ninth Bederatzigarren Twelfth Hamabigarren Addend Batugaia Substract Ken Count Zenbatu Multiplication Biderketa 2nd factor Bigarren bid.

By Bider

Divide Zatitu

Dividend Zatikizuna

Divisor Zatitzailea

Quotient Zatidura

Rest Kendu

Measure Neurria

Lenght Luzera

Metre Metroa

Decimetre Dezimetroa

Centimetre Zentimetroa

Millimetre Milimetroa

Mass Masa

Kilogram Kilogramoa

Gramme Gramoa

Capacity Edukiera

Litre Litroa

Kilometre Kilometroa

Line Lerroa Point Puntua Parallel Lines Lerro paraleloak

Straight line Lerro zuzena Segment Zuzenkia Perpendicular lines Lerro elkarzutak

Angle Angelua

Side Aldea

Right angle Angelu zuzena

Obtuse angle Angelu kamutsa

Degree Gradua

Triangle Triangelua

Isosceles triangle Triangelu isoszelea

Scalene triangle Triangelu eskalenoa

Curve Line Lerro makurra Ray Zuzenerdia Lines blotters L. ebakitzaileak Vertex Erpina Acute angle Angelu zorrotza Equilateral triangle Tr. aldeberdina Right triangle Tr. angeluzuzena

Square karratua

Rectangle Laukizuzena

Parallelogram Paralelogramoa

Irregular polygon Poligono irregularra

Pentagon Pentagonoa

Hexagon Hexagonoa

Circumference Zirkunferentzia

Radius Erradioa

Prism Prisma

Pyramid Piramidea

Cone Konoa

Cylinder Zilindroa Compass konpasa Time Denbora One o’clock Ordu bata Laurak laurden A quarter to four gutxi

Sphere Esfera Rule Erregela Minutes Minutuak In twenty minutes 20 minutu barru Ordu biak eta A quarter past two laurden

I Z E HA R- G A I TA S U NA K

Esan ezazu ingelesez!

Rhombus Erronboa

Scale Eskala Volume Bolumena Seconds Segundoak Half past three Hiru eta erdiak Duela hamar Ten minutes ago minutu

117

194669 _ 0001-0120.indd 117

24/9/09 13:06:00

Galderak, iradokizunak eta erantzunak 2. fitxa. Erantzunak

17. fitxa. Erantzunak

a) III, bigarrenean; b) Azaroak 17, hamar minutuan; c) Hiru metro, bi metro; d) 750 €; e) 1., 240.

a) 173, 751, 1.546, 6.443; b) 261, 239, 2.289; c) 80, 35, 132, 367, 17, 19, 14, 11; d) 23, 30.

4. fitxa. Erantzunak

a) 236 + 482 = 718; b) 2.525 + 823 + 622 = 3.970; c) 4.604 – 362 = 4.242; d) 246 x 3 = 738.

0) 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90. 1) 70, 72, 74, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90. 2) 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200. 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300. 3) 1.100, 1.200, 1.300, 1.400, 1.500, 1.600, 1.700, 1.800, 1.900, 2.000. 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000. 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000, 2.200, 2.400, 2.600, 2.800, 3.000.

7. fitxa. Zenbakien diktaketa A) Hiru mila eta zortzi. Milakoak; B) Hirurehun eta berrogei mila berrehun eta laurogei. Ehun milakoak; C) Zortzi mila laurehun eta berrogeita hamar. Milakoak; D) Hogeita hamar mila zazpiehun eta berrogeita hemeretzi. Hamar milakoak.

9. fitxa. Erantzunak a) 3/4; c) 11.325 sarrera. a) 1/4 +1/8; b) 375 g. a) 3/4; c) 30 l.

18. fitxa. Erantzunak

19. fitxa. Erantzunak 1.000 km; hogei gramo; 20 €; metro erdia; 10.000 m.

20. fitxa. Erantzunak 1, 5, 2, 5, 1; 3, 3, 2, 3, 3; 1, 6, 2, 9, 4; 1, 8, 2, 8, 4.

21. fitxa. Zenbakien diktaketa. Adibideak: a) 7 ken 2; 9 ken 2; 11 ken 2; 13 ken 2; 15 ken 2; 17 ken 2; 19 ken 2; 21 ken 2; 25 ken 2; 27 ken 2. b) 5 ken 3; 6 ken 3; 8 ken 3… c) 7 ken 5; 9 ken 5; 11 ken 5…

24. fitxa. Diktaketa 1) Bizikleta eta MP3a, 426 €; 2) Telebista eta berogailua, 1.014 €; 3) Musika-aparatua eta patinetea, 546 €; 4) Ibiltzeko zinta eta eskiak, 455 €.

26. fitxa. Erantzunak

1) 1.778; 2) IV, V, IX, X; 3) MDVII; 4) LVIII, LIX, LX, LXI, LXII.

1) (4 x 6) + (4 x 2) + (3 x 4) = 44; (6 x 7) + (3 x 4) + (3 x 5) = 69. Imanolek, 69 punturekin. 2) (7 x 5) + (3 x 5) + (4 x 4) = 56; (5 x 7) + (4 x 4) = 51. Jagobak, 66 punturekin. 3) Imanol-Jagoba-Lorea-Saioa.

13. fitxa. Erantzunak

27. fitxa. Erantzunak

11. fitxa. Erantzunak

1) 2,1, 0,1, 0,8, 3,3. 2) 0,9, 1,4, 2,6. 3) 3/2 = 1,5, 6/12 = 0,5, 7/10 = 0,7, 6/3 = 2.

14. fitxa. Erantzunak 1) 554, 545, 544, 455, 454, 445; 2) 37, 46, 56, 67, 79, 92; 3) 30; 4) MCDLXXXVII; 5) Hamabigarrena; 6) 87.732; 7) 20-30, 440-450, 270-280; 8) 15, 45 eta 84; 9) 987, 102.

1a 2a 3a 4a

= = = =

3,8; 1b = 17; 1c = 1,02; 1d = 16 12,2; 2b = 4,5; 2c = 31,1; 2d = 9,5 0,8; 3b = 9,9; 3c = 3,65; 3d = 3,2 1; 4b = 2,3; 4c = 7; 4d = 0,11

30. fitxa. Erantzunak 1)

2 4 3 6 8

5 10 20 15 30 40

7 14 28 21 42 56

4 8 16 12 24 32

6 12 24 18 36 48

3 6 12 9 18 24

3 6 5 7 2

4 12 24 20 28 8

9 27 54 45 63 18

8 24 48 40 56 16

6 18 36 30 42 12

3 9 18 15 21 6

118

194669 _ 0001-0120.indd 118

24/9/09 13:06:00

2) A: 16; 18; 81; 7; 20. B: 35; 53; 20; 19; 55. C: 45; 20; 72; 15; 30. D: 23; 30; 0; 58; 41. E: 14; 2; 32; 10; 18. F: 28; 40; 900; 0; 250. 3) 6.000; 4.800; 300; 15; 32; 222; 620.

31. fitxa. Erantzunak 1) 1: 5,99; 2: 5,50; 3: 5,45; 4: 5,23; 5: 5,09. 2) 1,5; 0,8; 1,8; 0,25. 3: 1,04; 0,25.

58. fitxa. Ahozko galderak 1) Zer dago pitxerra baino bi apal gorago? 2) Non dago kafeontzia gatzontziarekiko? 3) Zer dago erdiko apalean? 4) Non daude liburuak? 5) Zenbat kopa daude gatzontziaren ezkerrean? 6) Zer dago altzariaren gainean? Eta azpian? Etab.

59. fitxa. Espazio-jarraibideen diktaketa

1) 48; 2) 900; 3) Kenkizuna; 4) 3/4 kg; 5) Euro bat pasatxo; 6) Akatsak: 7 x 2 = 16; 7 x 5 = 30; 7 x 8 = 65; 7) 7 x 5 + 4 x 3 = 47; 8) 4 x 10.000, 7 x 1.000; 9) Zatikizuna=…; 10) Amak.

1) Igo 4 iltze bertikalean; 2) Aurreratu 3 iltze horizontalean. 3) Igo 2 iltze bertikalean. 4) Arrastatu 5 iltze horizontalean; 5) Igo 3 iltze diagonalean; 6) Mugitu 3 iltze eskuinera horizontalean; 7) Igo iltze bat eta mugitu ... iltze ezkerrera.

35. fitxa. Erantzun-eredua

60. fitxa. Erantzunak

32. fitxa. Erantzunak

1. a) Guztira zenbat diren; b) Iaz zenbat ziren, aurten zenbat diren. 2. Z= 83; Z= 16; G= ?. 3. Eragiketa: 83 + 16 = 99.

37. fitxa. Erantzun-eredua

A: zero; B: bat; C: lau; D: sei.

61. fitxa. Erantzunak A: b; B: c; C: b.

63. fitxa. Erantzunak

1. a) Zatietako bat; b) Guztira zenbat diren, beste zatia. 2. Z= ?; G= 136; Z= 25. 3. Eragiketa: 136 – 25 = 111 €.

a) Jokinek marraztu du; b) Itziarrek marraztu du; c) Eiderrek marraztu du; d) Imanolek marraztu du.

51. fitxa. Erantzunak

67. fitxa. Erantzunak

Problemak. 1) 7 x 12 = 84 ogitarteko; 84 – 8 = 76 ogitarteko banatu ditugu. 2) 54 – 6 = 48; 54 + 48 = 102; 102 € bion artean. 3) 14 + 16 = 30; 30 x 5 = 150. 150 liburu guztira.

52. fitxa. Erantzunak 1) 60 x 2 = 120; 138 – 120 = 18; 18 eserleku gehiago behar ditugu. 2) 18 : 6 = 3; 3 x 70 = 210. 210 € ordaindu beharko dira autoak. 3) 210 + 280 = 490 €. Garraioa 490 € ordaindu beharko da. 4) 9 etxola, eta 3 neskato kanpin-dendan. 5) 828 : 3 = 276 € afariko. 276 x 4 = 1.104 € afariak guztira.

56. fitxa. Erantzunak 1) 19.000; 2) 30 minutu; 3) Nire anaia; 4) 600 km; 5) 2009ko irailean 74 urte izango ditu. 75 urte beteko zortzi hilabete geroago; 6) Ez; 7) 70 cl limoi-zuku eta 30 cl laranja-zuku.

a) 90º, zuzena; b) 135º, kamutsa; c) 180º, laua; d) 135º, kamutsa; e) 45º, zorrotza; f) 90º zuzena.

68. fitxa. Diktaketa Marraztu zuzen hauek: lauki-sareko 14 lauki hartzen dituen zuzen horizontal bat. Paperean erdiz erdi kokatu behar duzu, barrenetik 5 lauki gorago. Zuzenaren ezkerreko muturretik, marraztu 11 lauki luze den lerro zut bat. Lotu goiko muturra aurretik marraztu duzun zuzenkiaren eskuineko muturrarekin. Nola du izena marraztu duzun irudiak?

70. fitxa. Erantzunak 1) Egongela; 2) 3 + 5 + 5 = 13 m luze; 2,5 + 3 + 2,5 + 2 = 10 m zabal; 3) Bai, sar daiteke; 4) Erantzun librea; 5) Bai; 6) Erantzun librea. 119

194669 _ 0001-0120.indd 119

24/9/09 13:06:00

74. fitxa. Erantzunak 1) Puntu-sare bat; 2) Poligono baten aldeen batura; 3) Baliokideak; 4) Bolumen geometriko bati buruz; 5) 180º; 6) Zirkulu bat; 7) Hormari zuta; 8) Sofa; 9) Dodekagonoa.

76. fitxa. Erantzunak 1) a) Altuera; b) Zabalera; c) Luzera. 2) Erantzun librea. 3) a) Nire koadernoa 20 zentimetro…; b) Zuhaitzak, gutxienez, 5 metroko…; c) Bizikletaz 4 kilometro...; d) Orratzaren burua 3 milimetro...

77. fitxa. Erantzunak 1) Arkatza - 15 cm; koadernoa - 20 cm; sukaldea 60 cm; etxea - 12 m. 2) O; Z; O; O; Z; O. 3) A; 4) 2-3-1-4. 5) 100, 120, 140, 160, 180, 200.

78. fitxa. Erantzunak 2) 1 dm = 10 cm; 7 cm = 70 mm; 14 m = 140 dm; 2 m = 2.000 mm; 1 km = 1.000 m; 6 dam = 60 m. 3) 3 m eta 14 mm = 3.000 mm + 14 mm = 3.014 mm; 2 km eta 300 m = 2.000 m + 300 m = 2.300 m. 4) 103 m = 1 hm eta 3 m edo 10 dam eta 3 m; 54 cm = 5 dm eta 4 cm.

80. fitxa. Erantzunak 1. a) 42 m; b) 264 m; c) 89 m eta 50,5 m. 2. Kubo bat. 3. 45 + 25 = 70. 70 x 2 = 140 cm. 140 cm zinta beharko ditu. 4. a) Ikasgelako atearen altuera handiagoa da zabalera baino; b) Ez zara mahaira iritsiko, aulki hori oso baxua baita; c) Leher eginda iritsi nintzen, lasterketa oso luzea baizen.

81. fitxa. Erantzunak 1) Sagar bat; moto bat; paper bat. 4) Tona, kiloa, gramoa, zentigramoa, miligramoa. 5) Kamioi batek 8 tona garraia ditzake; Kafeari 20 gramo azukre bota dizkio; Zaku horrek 50 kiloko pisua du; Lore batetik 30 miligramo esentzia lor daitezke.

83. fitxa. Erantzunak 1) Motoa, bizikleta, liburua eta kutxa, liburua,

bolaluma, hostoa; 2) 2, 3, 4, 1. 3) Kamioi luzea; 4) Sandwicha-100 g; gazta-1 kg; meloia-500 g; aulkia-60 kg.

85. fitxa. Erantzunak 1) a, b, d. 2) eta 3) Erantzun librea. 4) Mililitroa, zentilitroa, litroa, hektolitroa, kilolitroa.

86. fitxa. Erantzunak 2) 1 l + 23 dl + 3 cl + 4 ml; 6 dal + 3 dl + 6 cl; 3) 20 dl + 25 dl = 45 dl; 120 dl + 35 dl = 155 dl; 300.000 cl + 5.000 cl + 1.600 cl + 9 cl.

87. fitxa. Erantzunak 2) 10 litroko edukiera du. 3) 20 + 6 = 26 kg. 4) C ontziak.

88. fitxa. Erantzunak 1) eta 2) Erantzun librea; 3) Ez dira zuzenak: Botila batek eta txanbil batek edukiera bera dute; Dutxatzean bainuontzian sartzen dena baino ur gehiago gastatzen dut; 4) Komuneko andela – 5 l; freskagarri botila – 1 l eta erdi; kolonia flaskoa – 20 cl; Gasolina andela – 40 l.

90. fitxa. Erantzunak 1) A, C, B eta D. 2) Erantzun librea. 3) Sakelako telefonoa – 40 cm2, Etxebizitza – 90 m2, Pina – 160 mm2.

91. fitxa. Erantzunak a) 6 egun; b) Bilbo, Venezia, Dubrovnik, Korfu, Atenas; c) 16:55; d) 2,30 ordu; e) 19:25 ordu; f) 14,80 ordu.

92. fitxa. Erantzunak 1. a) Edukiera; b) Luzera; c) Masa; 2. 1.000 kg; 3. Apalategiaren zabalera, mahaiaren altuera, atearen zabalera; 4. 67 cm; 5. Bertan sar daitekeenaren neurria; 6. Litroa; 7. 65 kg; 8. 100 cm = 1 m; 1 km = 1.000 m; 1 dl = 100 ml; 80.000 g = 80 kg.

96. fitxa. Erantzunak 1), 2), 3), 4) Erantzun librea. Aukera gehiagokoa da dardoak eremu grisean ematea, gainerakoak baino azalera handiagoa baitu.

120

194669 _ 0001-0120.indd 120

24/9/09 13:06:00