10. Analisis Jaringan Pipa

Teknik Penyediaan Air Minum Jurusan Teknik Sipil FT Unsri

M. Baitullah Al Amin

X. ANALISIS JARINGAN PIPA Sebuah jaringan pipa dianalisis untuk menentukan energi tekanan titik dan debit aliran dalam pipa. Sebagaimana debit aliran keluar (kebutuhan air) bervariasi terhadap waktu, sehingga menyebabkan perubahan secara kontinyu pada energi tekanan titik dan debit aliran. Jaringan pipa dianalisis terhadap kondisi terburuk dari kombinasi debit aliran keluar yang dapat menyebabkan terjadinya tekanan rendah pada beberapa titik. Analisis jaringan pipa juga digunakan untuk memperkirakan ulang hasil pengukuran terhadap suatu jaringan. Selain itu, dapat juga digunakan untuk mengidentifikasi pipa yang akan ditutup untuk keperluan darurat, misalnya untuk kebutuhan pemadam kebakaran, di beberapa lokasi karena keterbatasan kapasitas jaringan. Efek penutupan pipa akibat perbaikan juga dapat diamati melalui analisis jaringan. Dengan demikian, analisis jaringan pipa merupakan hal yang sangat penting untuk pengoperasian dan pemeliharaan yang tepat dari suatu sistem penyediaan air. 10.1. POLA KEBUTUHAN AIR

Dalam suatu sistem penyediaan air, setiap rumah (pelanggan) dihubungkan melalui sambungan pelayanan pada jaringan distribusi air. Sambungan rumah di jaringan distribusi ini disebut sebagai titik sadap (tapping). Pada sambungan rumah umumnya terdapat meteran air yang dilengkapi dengan stop kran yang mengatur aliran air. Air keluar selama stop kran di rumah terbuka, dan akan berhenti apabila stop kran tersebut ditutup. Besarnya debit aliran yang mengalir akan bervariasi tergantung pada pemakaian air oleh pelanggan yang disebut sebagai kebutuhan air (water demand). demand). Umumnya, pemakaian air ai r terbesar terjadi pada pagi pa gi dan sore sampai menjelang malam. mal am. Debit aliran maksimum dalam jaringan distribusi merupakan fungsi dari jumlah rumah yang terdiri dari beberapa orang yang dilayani melalui sambungan rumah tersebut. Dalam analisis dan perancangan jaringan pipa, debit maksimum tersebut harus diperhatikan. Sambungan rumah dilakukan di sepanjang saluran pipa dalam jaringan penyediaan air (Gambar 10.1a). Bukan suatu hal yang mudah untuk menganalisis kondisi jaringan seperti itu kecuali digunakan asumsi penyederhanaan terhadap jarak dari masing-masing sambungan rumah tersebut. Salah satu cara dilakukan dengan membagi total debit aliran yang keluar di sepanjang pipa kepada titik awal dan akhir pipa (Gambar 10.1b). Total debit aliran dibagi menjadi dua, dimana masing-masing titik memiliki debit yang sama besarnya. Cara yang lebih realistis adalah dengan mendistribusikan total debit aliran keluar di sepanjang pipa (Gambar 10.1c).

Gambar 10.1. Pola sambungan pelayanan untuk analisis pipa

1



10.2. KEHILANGAN ENERGI PADA PIPA 10.2.1. Kehilangan Energi dalam Pola Sambungan di Ujung Pipa

Ditetapkan q sebagai debit aliran keluar per satuan panjang pipa, sehingga total debit aliran keluar di sepanjang pipa L adalah qL. Dengan membagi total debit aliran keluar pada tiap ujung pipa, kehilangan energi energi akibat tahanan permukaan diberikan sebagai: 8 fLQ 2  qL  1 −  h f = 2 5  π gD  2Q 

2

(10.1)

Dimana Q = debit aliran yang masuk ke pipa. Persamaan (10.2) berikut dapat digunakan untuk menghitung nilai faktor gesekan Darcy-Weisbach f:

  ε 5,74  f = 1,325ln + 0 , 9    3,7 D Re 

−2

(10.2)

Dimana angka Reynold Re dapat diambil sebagai: Re =

4(Q − 0,5qL)

(10.3)

D

πν

10.2.2. Kehilangan Energi dalam Pola Sambungan Terdistribusi

Debit aliran pada jarak x diukur dari titik masuk pipa adalah Q – qx, dan kehilangan energi pada jarak dx diberikan sebagai: dh f =

8 f (Q − qx) 2 dx 2

π

gD 5

(10.4)

Integrasi persamaan (10.4) pada jarak batas x = 0 dan L, sehingga diperoleh persamaan berikut: 2 8 fLQ 2  qL 1  qL   h f = 2 +    1 − 5 π gD  Q 3  Q    

(10.5)

Untuk menghitung nilai faktor gesekan f, angka Reynolds Re dapat diperoleh menggunakan persamaan (10.3). Contoh 10.1. Pipa CI dengan panjang L = 500 m mengalirkan debit aliran Q pada titik masukan (awal pipa) sebesar 0,1 m 3/det dan diameter pipa D = 0,25 m. Jika debit aliran keluar per satuan panjang pipa q = 0,0001 m 3/det/m, hitung kehilangan energi apabila debit aliran keluar menggunakan pola (a) sambungan di ujung pipa, (b) sambungan terdistribusi.

2



Penyelesaian. Untuk pipa CI, nilai tinggi kekasaran ε = 0,25 mm dan viskositas kinematik ν air pada temperatur 20°C = 1,012 x 10 -6 m2/det.

a) Pola Sambungan di Ujung Pipa (Gambar 10.1b); menggunakan persamaan (10.3): Re =

4(Q − 0,5qL )

=

4(0,1 − 0,5 x 0,0001 x 500)

= 377.513 D 3,1415 x 1,012 x 10 -6 x 0,25 Menggunakan persamaan (10.2) untuk Re = 377.513, faktor gesekan f = 0,0205. Menggunakan persamaan (10.1), kehilangan energi dapat dihit ung: πν

2

8 fLQ 2  qL  8 x 0,0205 x 500 x 0,12  0,0001 x 500  1 −  = h f = 2 1 −  5  2 2 π gD 2 Q 3,1415 x 9,81 x 0,25 2 x 0,1    

2

= 4,889 m. b) Pola Sambungan Terdistribusi (Gambar 10.1c); sebagaimana diperoleh Re = 377.513, dan f = 0,0205, menggunakan persamaan (10.5) diapat dihitung kehilangan energi: 2 8 fLQ 2  qL 1  qL   8 x 0,0205 x 500 x0,12 +   = h f = 2 1 − 5 Q 3  Q   3,1415 2 x 9,81 x 0,25 2 π gD   

 0,0001 x 500 1  0,0001 x 500  2  x 1 +    0 , 1 3 0 , 1     = 5,069 m. 10.3. ANALISIS PIPA TRANSMISI AIR

Pipa transmisi air merupakan pipa panjang yang tidak terdapat debit aliran keluar di sepanjang salurannya. Jika air dialirkan secara gravitasi, disebut sebagai saluran transmisi gravitasi (gravity main) seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 10.2. Dalam analisis saluran tersebut, debit air yang dialirkan perlu diketahui.

Gambar 10.2. Saluran transmisi gravitasi Energi yang tersedia dalam dalam saluran gravitasi adalah h0 + z0 – zL, dan hampir seluruh energi hilang akibat tahanan permukaan. Dengan demikian,

3



h0 + z 0 − z L =

8 fLQ 2

(10.6)

2

π

gD 5

Dimana f diberikan dalam persamaan (10.2). Debit air dapat diperoleh menggunakan persamaan (9.38) sebagai:

 gD (h0 + z 0 − z L )  Q = −0,965 D 2   L  

0, 5

0 ,5  ε   1,78ν  L ln  +  gD (h + z − z )   3 , 7 D D 0 0 L    

(10.7)

Jika air dipompa dari elevasi z0 ke zL, saluran disebut sebagi saluran transmisi pompa (Gambar 10.3). Dalam analisis saluran tersebut, perlu diketahui energi tekanan pompa h0 untuk debit aliran Q. Hal ini dapat dilakukan dengan menggabungkan persamaan (9.3), (9.5), dan (9.36) sebagai berikut: fL  8Q  h0 = H + z L − z 0 +  k f +  D  π 2 gD 4  2

(10.8)

Gambar 10.3. Saluran transmisi pompa Dimana H = tekanan sisa di ujung saluran. Dengan mengabaikan kehilangan energi sekunder untuk saluran transmisi yang panjang, persamaan (10.8) menjadi: h0 = H + z L − z 0 +

8 fLQ 2 π

2

gD 5

(10.9)

Contoh 10.2. Saluran pipa transmisi gravitasi terbuat dari pipa PVC (Gambar 10.2) dengan panjang L = 600 m, dan diameter D = 0,3 m. Elevasi reservoir dan outlet masingmasing adalah z0 = 20 m dan zL = 10 m. Tinggi air dalam reservoir adalah h0 = 5 m, dan tekanan sisa di outlet disyaratkan H = 5 m. Hitung debit air dalam saluran tersebut. -6

2

Penyelesaian. Pada temperatur 20°C, viskositas kinematik air ν = 1,012 x 10 m /det; dan dari Tabel 9.1 diperoleh tinggi kekasaran ε = 0,05 mm untuk jenis pipa PVC. Dengan L = 600 m, h0 = 5 m, z0 = 20 m, zL = 10 m, dan D = 0,3 m, menggunakan persamaan (10.7) diperoleh:

4



 gD (h0 + z 0 − z L )  Q = −0,965 D 2   L  

0, 5

0 ,5  ε   1,78ν  L ln  +    3 , 7 D D  gD(h0 + z 0 − z L )     0, 5

 9,81 x 0,3 (5 + 20 - 10)  = − 0,965 x 0,3   600  0, 5  0,05   1,78 x 1,012 x 10 -6  600 ln  +  9,81 x 0,3 (5 + 20 - 10)   3 , 7 x 0,3 0,3     = 0,227 m 3 / det . 2

10.4. ANALISIS PIPA DISTRIBUSI AIR Pipa distribusi air merupakan pipa dimana terdapat beberapa debit aliran keluar/outflow di sepanjang salurannya. Pada pipa distribusi, air dapat dialirkan secara gravitasi (Gambar 10.4) atau menggunakan pompa (Gambar 10.5) dengan outflow q1, q2, q3,...., qn pada titik keluaran (tapping) 1, 2, 3,....,n. Dalam analisis pipa disribusi, perlu diketahui energi tekanan titik h1, h2, h3, ..... , hn. Debit air dalam pipa j yaitu Qj diberikan s ebagai: j

Q j = ∑ qn− p

(10.10)

p =0

Gambar 10.4. Pipa distribusi air secara gravitasi

Gambar 10.5. Pipa distribusi air menggunakan pompa

Dan energi tekanan titik hj diberikan sebagai:

5



 f p L p  Q p 2 h j = h0 + z 0 − z i − 2 ∑  k   D p + fp  D 4 π g p =1   p 8

j

(10.11)

Dimana p merupakan pipa ke-p. Untuk pipa distribusi gravitasi, h0 = energi tekanan di reservoir (intake) atau energi tekanan pompa apabila untuk pipa distribusi menggunakan pompa. Nilai f untuk pipa ke-p diberikan sebagai: 0, 9    ν D p      ε   f p = 1,325ln + 4,618  Q p    3 , 7 D       

−2

(10.12)

10.5. GEOMETRI JARINGAN PIPA

Jaringan distribusi air mempunyai tiga jenis konfigurasi, yaitu: 1. Konfigurasi cabang (branched configuration) 2. Konfigurasi loop (looped configuration) 3. Kombinasi antara konfigurasi cabang dan loop (branched and looped configuration)

Gambar 10.6. Konfigurasi jaringan pipa 6



Gambar 10.6a-c merupakan konfigurasi umum dari jaringan cabang. Gambar 10.6d adalah jaringan loop tunggal dan Gambar 10.6e merepresentasikan kombinasi konfigurasi cabang dan loop. Dapat dilihat dari gambar tersebut bahwa geometri jaringan mempunyai hubungan antara jumlah pipa (iL), jumlah titik/node (jL), dan jumlah loop (kL). Gambar 10.6a menunjukkan bahwa sistem hanya memiliki satu pipa dengan dua node. Gambar 10.6b menunjukkan sistem mempunyai tiga pipa dan empat node, dan Gambar 10.6c menunjukkan sistem mempunyai delapan pipa dan sembilan node. Dengan cara yang sama, Gambar 10.6d menunjukkan sistem mempunyai empat pipa, empat node, dan satu loop tertutup. Gambar 10.6e mempunyai 15 pipa, 14 node, dan dua loop. Hubungan antara jumlah pipa, jumlah node dan jumlah loop adalah sebagai berikut: i L = j L + k L − 1

(10.13)

10.6. ANALISIS JARINGAN CABANG

Jaringan cabang adalah konfigurasi sistem distribusi yang tidak memiliki loop. Jenis jaringan ini umumnya digunakan untuk penyediaan air di pedesaan (rural). Jaringan cabang yang paling sederhana adalah jaringan dengan pola radial yang terdiri dari beberapa pipa distribusi yang tersambung dari titik masukan (lihat Gambar 10.7). Debit aliran dalam pipa dapat ditentukan untuk setiap cabang radial menggunakan persamaan (10.10), yang ditulis sebagai: j

Qij = ∑ qi , n − p

(10.14)

p = 0

Gambar 10.7 Jaringan cabang pola radial Total debit air yang dipompa QT pada Gambar 10.7 diberikan sebagai: i L

QT = ∑ Qoi

(10.15)

i =1

Dalam jaringan cabang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.8, debit aliran pipa dapat diperoleh dengan menjumlahkan outflow dalam suatu jalur pipa yang melaluinya. Energi tekanan suatu titik dapat ditentukan dengan menghitung kehilangan energi yang terjadi di sepanjang jalur pipa yang melalui titik tersebut. Demikian seterusnya sampai pada titik pelayanan yang paling ujung dari suatu jaringan. Energi tekanan yang harus disediakan pompa merupakan penjumlahan antara energi tekanan sisa di ujung titik yang ditetapkan dengan total kehilangan energi sampai di titi k tersebut.

7



Gambar 10.8. Jaringan cabang yang terdiri dari beberapa pola radial 10.7. ANALISIS JARINGAN LOOP

Jaringan pipa dimana terdapat satu atau lebih loop tertutup disebut sebagai jaringan loop. Contoh jaringan loop ditunjukkan pada Gambar 10.9. Konfigurasi jaringan loop dianggap lebih dapat diandalkan dibandingkan dengan jaringan cabang. Hal ini dapat dijelaskan apabila salah satu atau beberapa pipa dalam jaringan harus ditutup akibat perbaikan, air masih dapat mengalir ke pelanggan melalui jalur pipa yang lain. Keandalan sistem seperti ini tidak dijumpai pada jaringan cabang. Dalam jaringan loop, perubahan outflow (akibat perubahan kebutuhan air) menyebabkan perubahan debit aliran dalam pipa termasuk juga arah alirannya.

Gambar 10.9. Jaringan loop Analisis jaringan loop terdiri dari menentukan debit aliran pipa dan energi tekanan titik. Mengikuti hukum Kirchhoff, persamaan analisis jaringan loop didasarkan pada: 1. Jumlah debit inflow dan outflow suatu titik adalah nol. 2. Jumlah kehilangan energi dalam suatu loop adalah nol. Karena persamaan kehilangan energi akibat tahanan permukaan bersifat nonlinier, sehingga permasalahan analisis jaringan sulit untuk diselesaikan secara manual. Oleh karena itu, program komputer digunakan untuk analisis jaringan loop dalam skala yang luas. Beberapa metode analisis jaringan loop akan dijelaskan pada subbab berikut ini.

8



10.7.1. Metode Hardy Cross

Hardy Cross (1885-1951), merupakan seorang professor di bidang teknik sipil pada Universitas Illinois, Urbana-Champaign, pada tahun 1936 mengusulkan metode untuk analisis jaringan pipa loop dengan inflow dan outflow yang diketahui yang dikenal sebagai metode Hardy Cross. Metode Hardy Cross dilakukan secara iteratif, dimana pada awal hitungan ditetapkan debit aliran melalui masing-masing pipa secara sembarang. Kemudian dihitung debit aliran di semua pipa berdasarkan nilai awal tersebut. Prosedur hitungan diulangi lagi sampai persamaan kontinuitas di setiap node dipenuhi. Dianggap bahwa karakteristik pipa, aliran yang masuk dan meninggalkan jaringan pipa diketahui dan akan dihitung debit aliran pada setiap pipa dari jaringan tersebut. Jika energi tekanan pada seluruh jaringan juga dihitung maka energi tekanan pada satu node harus diketahui. Prosedur perhitungan dengan metode Hardy Cross adalah sebagai berikut. 1. Beri nomor untuk setiap pipa, node, dan loop dalam jaringan yang dianalisis. 2. Pilih pembagian debit aliran melalui setiap pipa sebagai Q0 hingga syarat kontinuitas terpenuhi. 3. Tetapkan bahwa aliran adalah positif apabila mengalir dari node yang lebih kecil ke node yang lebih besar, sebaliknya akan negatif apabila mengalir dari node yang lebih besar ke node yang lebih kecil. 4. Hitung kehilangan energi pada setiap pipa dengan rumus h f = KQ . Dimana: 2

K =

8 fL 2

π

gD 5

(10.16)

5. Jaringan pipa dibagi menjadi sejumlah loop tertutup sedemikian sehingga setiap pipa termasuk dalam paling sedikit satu loop. 6. Hitung jumlah kehilangan energi h f pada setiap loop. Jika pengaliran seimbang, maka ∑ h f = 0 . 7. Hitung nilai ∑ 2 KQ untuk setiap loop. 8. Pada setiap loop dilakukan koreksi debit ∆Q , agar kehilangan energi dalam setiap jaring seimbang. Adapun koreksi debit ∆Q adalah sebagai berikut. 2

∑ KQ0 ∆Q = ∑ 2 KQ0

(10.17)

9. Dengan debit yang telah dikoreksi sebesar Q = Q0 + ∆Q , prosedur dari 1 sampai 6 diulangi hingga akhirnya diperoleh ∆Q ≈ 0 yang berarti Q ≈ Q0 , dengan Q

9



adalah debit aliran yang sebenarnya, Q0 adalah debit pemisalan dan ∆Q adalah debit koreksi. Penurunan persamaan (10.17) adalah sebagai berikut.

h f = KQ 2 = K (Q0 + ∆Q )

2

h f = KQ0 + 2 KQ0 ∆Q + K ∆Q 2 2

Untuk ∆Q << Q0 , maka ∆Q 2 ≈ 0 sehingga: h f = KQ0 + 2 KQ0 ∆Q 2

Jumlah kehilangan energi dalam tiap loop adalah nol, ∑ h f = 0 ∑ h f = ∑ KQ0 + ∑ 2 KQ0∆Q = 0 2

∆Q =

∑ KQ0

2

∑ 2 KQ0

Hitungan jaringan pipa sederhana dilakukan dengan membuat tabel untuk setiap loop. Dalam setiap loop tersebut jumlah aljabar kehilangan energi adalah nol, dengan catatan aliran searah jarum jam (ditinjau dari pusat jaringan) diberi tanda positif, sedangkan yang berlawanan diberi tanda negatif. Untuk memudahkan perhitungan, dalam setiap loop selalu dimulai dengan aliran yang searah jarum jam. Koreksi debit ∆Q dihitung menggunakan persamaan (10.17). Arah koreksi harus disesuaikan dengan arah aliran. Apabila dalam suatu jaring jumlah aljabar kehilangan energi adalah positif ( ∑ KQ 0 > 0) 2

karena aliran searah jarum jam lebih besar daripada aliran yang berlawanan, maka arah koreksi debit adalah berlawanan jarum jam (negatif). Jika suatu pipa menyusun dua buah jaring, maka koreksi debit ∆Q untuk pipa tersebut terdiri dari dua buah ∆Q yang diperoleh dari dua jaring tersebut. Hasil hitungan yang benar dicapai apabila ∆Q ≈ 0 . Contoh 10.3. Jaringan loop seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 10.10. Tentukan debit aliran dalam setiap pipa dengan menggunakan metode Hardy Cross. Gunakan persamaan kehilangan energi Darcy-Weisbach. Diasumsikan faktor gesekan f = 0,02.

Gambar 10.10. Jaringan dengan satu loop

10



Penyelesaian. Tentukan debit aliran setiap pipa secara sembarang (asumsi) namun memenuhi syarat kontinuitas. Terapkan persamaan kontinuitas untuk memperoleh debit aliran di setiap pipa. Perhatikan node 1, dimana debit aliran pipa 1 dan 4 tidak diketahui. Debit inflow pada node 1 q1 adalah 0,6 m 3/det dan debit outflow pada node 3 q3 adalah -0,6 m 3/det (tanda negatif menandakan bahwa aliran keluar dari jaringan). Sedangkan pada node 2 dan 3 tidak terdapat debit outflow, sehingga q2 dan q3 adalah nol. Diambil debit aliran pada pipa 1 Q1 = 0,1 m 3/det, yang berarti positif dimana arah aliran pada pipa 1 adalah dari node 1 ke node 2. Debit aliran dalam pipa 4 Q4 dapat dihitung dengan menerapkan persamaan kontinuitas pada node 1 sebagai berikut:

Q1 + Q4 = q1 atau Q4 = q1 – Q1, dengan demikian Q4 = 0,6 – 0,1 = 0,5 m 3/det. Debit aliran pada pipa 4 adalah positif yang berarti aliran mengalir dari node 1 ke node 4. Terapkan juga persamaan kontinuitas pada node 2: Q1= Q2 + q2 atau Q2 = Q1 – q2, dengan demikian Q2 = 0,1 – 0 = 0,1 m 3/det. Dengan cara yang sama, diperoleh debit aliran pada pipa 3 Q3 = -0,5 m 3/det, yang berarti negatif dimana aliran mengalir dari node 4 ke node 3. Hitung nilai K menggunakan persamaan (10.16) dimana nilai faktor geserkan f diasumsikan 0,02 untuk setiap pipa. Tetapkan bahwa debit aliran yang mengalir searah jarum jam adalah positif, sedangkan yang berlawanan arah jarum jam adalah negatif. Nilai koreksi debit terhadap debit aliran yang ditentukan secara sembarang tadi dapat dihitung dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Dari hasil interasi 1, diperoleh nilai koreksi debit ∆Q = -0,20 m 3/det . Nilai ∆Q tersebut dianggap masih cukup besar, sehingga perlu dilakukan hitungan kembali dengan nilai debit di setiap pipa yang telah terkoreksi. Nilai ∆Q yang dihasilkan pada iterasi 1 adalah negatif, karena debit aliran yang searah jarum jam lebih kecil dibandingkan dengan yang berlawanan. Oleh karena itu, arah koreksi debit ∆Q harus positif agar mendekati nol. Hal ini dilakukan dengan cara setiap pipa dengan aliran yang searah jarum jam diperbesar dengan nilai ∆Q , sebaliknya setiap pipa dengan aliran yang berlawanan diperkecil dengan nilai ∆Q . Hasilnya diberikan pada iterasi 2 sebagai berikut:

11



Dari hasil iterasi 2, diperoleh nilai ∆Q = 0,00 m 3/det sehingga dianggap telah memuaskan. Dengan demikian, debit aliran yang benar untuk setiap pipa adalah: Q1 = 0,3 m 3/det Q2 = 0,3 m 3/det Q3 = 0,3 m 3/det Q4 = 0,3 m 3/det. Contoh 10.4. Jaringan pipa terdiri dari dua loop sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 10.11. Tentukan debit aliran dalam setiap pipa dengan menggunakan metode Hardy Cross. Gunakan persamaan kehilangan energi Darcy-Weisbach. Diasumsikan faktor gesekan f = 0,02.

Gambar 10.11. Jaringan dengan dua loop Penyelesaian.

Pada Gambar 10.11 jumlah pipa adalah 5 dan jumlah node adalah 4. Menggunakan persamaan (10.13), diperoleh jumlah loop adalah 2. Loop 1 terdiri dari pipa 3, 4, dan 5, sedangkan loop 2 terdiri dari pipa 1, 2, dan 5. Perlu diperhatikan bahwa pipa 5 merupakan pipa penyusun loop 1 dan loop 2, sehingga koreksi debit pada kedua loop diterapkan pada pipa 5 tersebut. Ditentukan debit aliran dalam setiap pipa secara sembarang dan memenuhi syarat kontinuitas sebagai berikut: 12



Q1 = 0,1 m 3/det (aliran dari node 1 ke node 2) Q2 = 0,1 m 3/det (aliran dari node 2 ke node 3) Q3 = 0,4 m 3/det (aliran dari node 4 ke node 3) Q4 = 0,4 m 3/det (aliran dari node 1 ke node 4) Q5 = 0,1 m 3/det (aliran dari node 1 ke node 3) Nilai koreksi debit ∆Q untuk loop 1 dapat dihitung dalam bentuk tabel sebagai berikut:

Dengan cara yang sama, dihitung juga nilai ∆Q untuk loop 2 sebagai berikut:

Proses hitungan di atas diulangi sampai diperoleh nilai ∆Q sangat kecil dan mendekati nol seperti yang ditunjukkan dalam tabel berikut:

13



14



Pada akhir perhitungan (iterasi 5) telah diperoleh nilai ∆Q yang sangat kecil, dengan demikian debit aliran di setiap pipa sudah benar. Debit aliran di setiap pipa adalah sebagai berikut: Q1 = 0,223 m 3/det Q2 = 0,223 m 3/det Q3 = 0,192 m 3/det Q4 = 0,192 m 3/det Q5 = 0,182 m 3/det 10.7.2. Metode Newton-Raphson Jaringan loop dapat juga dianalisis menggunakan metode Newton-Raphson, dimana berbeda dengan metode Hardy Cross, pada metode Newton Raphson seluruh jaringan dianalisis secara bersamaan. Metode Newton-Raphson ini merupakan metode numerik

15



yang handal untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linier. Dimisalkan terdapat tiga persamaan non-linier yaitu: F 1 (Q1 , Q2 , Q3 ) = 0 , F 2 (Q1 , Q2 , Q3 ) = 0 , dan F 3 (Q1 , Q2 , Q3 ) = 0 akan diselesaikan untuk Q1 , Q2 , dan Q3 . Koreksi debit untuk masing-masing debit aliran adalah ∆Q1 , ∆Q2 , dan ∆Q3 . Maka persamaan non-linier adalah sebagai berikut. F 1 (Q1 + ∆Q1 , Q2 + ∆Q2 , Q3 + ∆Q3 ) = 0 F 2 (Q1 + ∆Q1 , Q2 + ∆Q2 , Q3 + ∆Q3 ) = 0

(10.18)

F 3 (Q1 + ∆Q1, Q2 + ∆Q2 , Q3 + ∆Q3 ) = 0 Perluas persamaan di atas menggunakan deret Taylor, F 1 + [∂ F 1 / ∂Q1 ]∆Q1 + [∂ F 1 / ∂Q2 ]∆Q2 + [∂ F 1 / ∂Q3 ]∆Q3 = 0 F 2 + [∂ F 2 / ∂Q1 ]∆Q1 + [∂ F 2 / ∂Q2 ]∆Q2 + [∂ F 2 / ∂Q3 ]∆Q3 = 0

(10.19)

F 3 + [∂ F 3 / ∂Q1 ]∆Q1 + [∂ F 3 / ∂Q2 ]∆Q2 + [∂ F 3 / ∂Q3 ]∆Q3 = 0 Susun ketiga persamaan di atas ke dalam bentuk matriks,

∂ F 1 / ∂Q1 ∂ F 1 / ∂Q2 ∂ F 1 / ∂Q3  ∆Q1   F 1  ∂ F / ∂Q ∂ F / ∂Q ∂ F / ∂Q  ∆Q  = −  F  1 2 2 2 3  2  2  2 ∂ F 3 / ∂Q1 ∂ F 3 / ∂Q2 ∂ F 3 / ∂Q3  ∆Q3   F 3 

(10.20)

Selesaikan persamaan (10.20),

∂ F 1 / ∂Q1 ∂ F 1 / ∂Q2 ∂ F 1 / ∂Q3  ∆Q1  ∆Q  = − ∂ F / ∂Q ∂ F / ∂Q ∂ F / ∂Q  1 2 2 2 3  2  2 ∂ F 3 / ∂Q1 ∂ F 3 / ∂Q2 ∂ F 3 / ∂Q3  ∆Q3 

−1

 F 1   F   2  F 3 

(10.21)

Dengan demikian, debit aliran Q1 , Q2 , dan Q3 dapat dihitung sebagai berikut.

Q1  Q1  ∆Q1  Q  = Q  + ∆Q   2  2  2 Q3  Q3  ∆Q3 

(10.22)

Untuk jaringan pipa yang besar, penyelesaian perhitungan akan membutuhkan waktu yang lama dalam melakukan invers matriks. Dengan demikian, invers matriks sedapat mungkin dihindari dan hanya dilakukan setidaknya tiga kali untuk memperoleh debit koreksi. Langkah-langkah dalam analisis jaringan loop menggunakan metode Newton-Raphson dapat diringkas sebagai berikut. 1. Beri nomor untuk setiap pipa, node, dan loop. 2. Tentukan persamaan debit pada setiap node sebagai fungsi F , 16


jn

F j = ∑ Q jn − q j = 0 n =1


untuk semua titik node - 1

3. Hitung kehilangan energi menggunakan persamaan, kn

F k = ∑ K nQkn Qkn = 0 n =1

untuk semua loop (n = 1, k n )

4. Tentukan debit aliran setiap pipa secara sembarang (penetapan awal) Q1 , Q2 , Q3 , dst, namun memenuhi hukum kontinuitas. 5. Asumsikan nilai koefisien gesekan f untuk setiap pipa kemudian hitung K menggunakan persamaan K =

8 fL 2

g π D

5

.

6. Hitung nilai turunan parsial ∂ F n / ∂Qi dan fungsi F n , menggunakan debit aliran Qi dan K i yang telah ditetapkan pada langkah 4 dan 5. 7. Hitung debit koreksi ∆Qi berdasarkan matriks yang telah disusun dalam bentuk

Ax = b . 8. Menggunakan nilai ∆Qi yang telah diperoleh pada langkah 7, lakukan koreksi debit aliran setiap pipa dan langkah-langkah di atas diulangi sampai diperoleh

∆Qi ≈ 0 . Contoh 10.5. Analisis ulang jaringan pada Contoh 10.3 menggunakan metode NewtonRaphson. Untuk memudahkan, Gambar 10.10 diulangi pada Gambar 10.12 berikut.

Gambar 12.12. Jaringan dengan satu loop Penyelesaian.

Fungsi debit aliran pada node adalah: F1 = Q1 + Q4 – 0,6 = 0 F2 = -Q1 + Q2 = 0 F3 = Q2 + Q3 – 0,6 = 0 17



Dan fungsi kehilangan energi pada loop F4 = 6528|Q1|Q1 + 4352|Q2|Q2 – 6528|Q3|Q3 – 4352|Q2|Q2 = 0. Turunannya adalah:

∂ F 1 / ∂Q1 = 1 ∂ F 2 / ∂Q1 = −1 ∂ F 3 / ∂Q1 = 0 ∂ F 4 / ∂Q1 = 6528Q1

∂ F 1 / ∂Q2 = 0 ∂ F 2 / ∂Q2 = 1 ∂ F 3 / ∂Q2 = 1 ∂ F 4 / ∂Q2 = 4352Q2

∂ F 1 / ∂Q3 = 0 ∂ F 2 / ∂Q3 = 0 ∂ F 3 / ∂Q3 = 1 ∂ F 4 / ∂Q3 = −6528Q3

∂ F 1 / ∂Q4 = 1 ∂ F 2 / ∂Q4 = 0 ∂ F 3 / ∂Q4 = 0 ∂ F 4 / ∂Q4 = −4352Q4

Persamaan di atas kemudian disusun dalam bentuk matriks berikut:

∂ F 1 / ∂Q1 ∆Q1  ∂ F / ∂Q ∆Q  2 1   = − 2 ∂ F 3 / ∂Q1 ∆Q3     Q ∆  4 ∂ F 4 / ∂Q1

∂ F 1 / ∂Q2 ∂ F 2 / ∂Q2 ∂ F 3 / ∂Q2 ∂ F 4 / ∂Q2

∂ F 1 / ∂Q3 ∂ F 2 / ∂Q3 ∂ F 3 / ∂Q3 ∂ F 4 / ∂Q3

∂ F 1 / ∂Q4  ∂ F 2 / ∂Q4  ∂ F 3 / ∂Q4   ∂ F 4 / ∂Q4 

0 0 1  ∆Q1   1 ∆Q   1 0 0   2  = − − 1  ∆Q3   0 1 1 0      6528Q1 4352Q 2 − 6528Q 3 − 4352Q 4  ∆Q4 

−1

−1

 F 1   F   2  F 3     F 4 

 F 1   F   2  F 3     F 4 

Sebagai asumsi awal, debit aliran dalam pipa 1 ditentukan Q1 = 0,5 m 3/det, sedangkan debit aliran pada pipa lainnya diperoleh berdasarkan persamaan kontinuitas, sehingga: Q2 = 0,5 m 3/det Q3 = 0,1 m 3/det Q4 = 0,1 m 3/det Substitusi nilai debit aliran di setiap pipa pada matriks di atas menghasilkan:

∆Q1   1 ∆Q    2  = − − 1 ∆Q3   0    Q ∆  3264  4

0

0

1

0

1

1

2176

− 652,8

−1

1  

  0   − 435,2 0

  0     0    2611 , 2   0

Menggunakan metode eliminasi Gauss diperoleh nilai koreksi debit: 18



∆Q1 = -0,2 m3/det ∆Q2 = -0,2 m3/det ∆Q3 = 0,2 m3/det ∆Q4 = 0,2 m3/det Menggunakan nilai debit koreksi di atas, debit aliran di setiap pipa dikoreksi sebagai berikut: Q1 = Q1 + ∆Q1 = 0,5 – 0,2 = 0,3 m 3/det Q2 = Q2 + ∆Q2 = 0,5 – 0,2 = 0,3 m 3/det Q3 = Q3 + ∆Q3 = 0,1 + 0,2 = 0,3 m 3/det Q4 = Q4 + ∆Q4 = 0,1 + 0,2 = 0,3 m 3/det Proses di atas kemudian diulangi lagi menggunakan debit aliran di setiap pipa yang telah terkoreksi, sehingga diperoleh nilai F dan turunannya ∂ F / ∂Q yang baru (terkoreksi). Nilai-nilai tersebut disusun kembali dalam bentuk matriks sebagai berikut:

∆Q1   1 ∆Q   −1 2   = − ∆Q3   0    Q ∆  1958,4  4

0

0

1

0

1

1

1305,6

− 1958,4

−1

1  0

  0   − 1305,6 0

0   0   0

Sebagaimana sisi kanan pada matriks di atas bernilai nol, sehingga semua nilai koreksi debit ∆Q = 0. Dengan demikian, debit aliran di setiap pipa telah benar. Hasil akhirnya adalah: Q1 = 0,3 m 3/det Q2 = 0,3 m 3/det Q3 = 0,3 m 3/det Q4 = 0,3 m 3/det Hasil di atas sama dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 10.3 menggunakan metode Hardy Cross. 10.7.3. Metode Teori Linier Metode teori linier merupakan metode lainnya dalam analisis jaringan loop yang dikemukakan oleh Wood dan Charles (1972). Keseluruhan jaringan dianalisis secara bersamaan seperti pada metode Newton-Raphson. Persamaan kontinuitas pada setiap node merupakan persamaan linier namun persamaan kehilangan energi jaringan pipa

19



tertutup adalah non-linier. Dalam metode ini, persamaan energi diubah menjadi linier untuk debit aliran yang diketahui dan diselesaikan secara i teratif. Proses hitungan diulangi sampai kedua hasil penyelesaian memiliki selisih kesalahan yang sangat kecil. Persamaan kontinuitas pada node adalah sebagai berikut.

F j =

jn

∑Q

jn

− q j = 0 untuk semua node – 1

(10.23)

n =1

Persamaan (10.23) dapat ditulis untuk keseluruhan jaringan ke dalam bentuk: F j =

iL

∑a

jn

Q jn − q j = 0

(10.24)

n =1

Dimana a jn merupakan +1 jika debit aliran positif pada pipa n , -1 jika debit aliran negatif dalam pipa n , dan 0 jika pipa n tidak terhubung dengan titik simpul j . Jumlah keseluruhan pipa dalam jaringan adalah iL . Persamaan kehilangan energi: F k =

kn

∑ K Q n

kn

Qkn = 0 untuk semua node

(10.25)

n =1

Persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan linier sebagai berikut. F k =

kn

∑b

kn

Qkn = 0

(10.26)

n =1

Dimana bkn = K n Qkn untuk nilai awal debit aliran pipa yang diketahui. Persamaan (10.26) dapat ditulis untuk keseluruhan jaringan ke dalam bentuk: F k =

iL

∑b

kn

Qkn = 0

(10.27)

n =1

Dimana bkn = K kn Qkn jika pipa n dalam jaring k , selain itu bkn = 0 . Koefisien bkn dikoreksi dengan debit aliran pipa tersebut pada iterasi selanjutnya. Hasil ini dalam bentuk persamaan linier yang diselesaikan dengan menggunakan metode standar lainnya. Dengan demikian, jumlah persamaan yang dibutuhkan untuk sejumlah debit aliran pipa iL yang tidak diketahui adalah: 1. Persamaan kontinuitas massa pada node untuk node n L − 1 . 2. Persamaan kehilangan energi jaringan loop untuk loop k L . Langkah-langkah secara keseluruhan untuk analisis jaringan pipa menggunakan metode teori linier dapat dirangkum sebagai berikut. 1. Beri nomor untuk setiap pipa, node, dan loop. 2. Tulis persamaan kontinuitas node sebagai:

F j =

jn

∑Q

jn

− q j = 0 untuk semua node – 1

n =1

Dimana Q jn merupakan debit aliran pipa n pada node j , q j adalah node, dan jn adalah jumlah pipa pada node j . 3. Tulis persamaan kehilangan energi jaringan loop sebagai:

20


F k =

kn

∑b

kn


Qkn = 0 untuk semua loop

n =1

4. Asumsikan debit aliran pipa awal Q1 , Q2 , Q3 ,… Pemisalan awal ini tidak perlu memenuhi persamaan kontinuitas. 5. Asumsikan koefisien gesekan f i = 0,02 untuk semua pipa dan hitung nilai K i menggunakan persamaan K =

8 fL g π 2 D 5

.

6. Susun persamaan kontinuitas dan kehilangan energi untuk keseluruhan jaringan dalam bentuk matriks Ax = b . 7. Hitung debit aliran pipa Qi yang diperoleh dari penyelesaian pada langkah 6. 8. Hitung ulang koefisien bkn dari debit aliran Qi yang telah diperoleh sebelumnya. 9. Ulangi langkah-langkah di atas sampai nilai Qi hasil hitungan dari dua proses iterasi mendekati (sama). Contoh 10.6. Analisis ulang jaringan pada Contoh 10.3 menggunakan metode Teori Linier. Untuk memudahkan, Gambar 10.10 diulangi pada Gambar 10.13 berikut.

Gambar 10.13. Jaringan dengan satu loop Penyelesaian.

Fungsi debit aliran pada node adalah: F1 = Q1 + Q4 – 0,6 = 0 F2 = -Q1 + Q2 = 0 F3 = Q2 + Q3 – 0,6 = 0 Dan fungsi kehilangan energi pada loop: F4 = K1|Q1|Q1 + K2|Q2|Q2 – K3|Q3|Q3 – K4|Q4|Q4 = 0

21



Yang dilinierkan sebagai: F4 = b1Q1 + b2Q2 – b3Q3 – b4Q4 = 0 Iterasi 1 Diasumsikan debit aliran di semua pipa adalah 0,1 m 3/det, sehingga koefisien untuk fungsi kehilangan energi dihitung sebagai: b1 = K1Q1 = 6528 x 0,1 = 652,8 b2 = K2Q2 = 4352 x 0,1 = 435,2 b3 = K3Q3 = 6528 x 0,1 = 652,8 b4 = K4Q4 = 4352 x 0,1 = 435,2 Dengan demikian, bentuk matriks Ax = B dapat ditulis sebagai: 0 0 1  Q1  0,6  1  1    0  1 0 0 Q2    =   0 1 1 0  Q3  0,6      652 , 8 435,2 6528,8 435,2   Q4   0  Dengan menyelesaikan persamaan linier di atas, diperoleh debit aliran setiap pipa sebagai berikut: Q1 = 0,3 m 3/det Q2 = 0,3 m 3/det Q3 = 0,3 m 3/det Q4 = 0,3 m 3/det Iterasi 2 Ulangi proses di atas, sehingga diperoleh koefisien fungsi kehilangan energi terkoreksi menggunakan debit aliran yang baru. b1 = K1Q1 = 6528 x 0,3 = 1958,4 b2 = K2Q2 = 4352 x 0,3 = 1305,6 b3 = K3Q3 = 6528 x 0,3 = 1958,4 b4 = K4Q4 = 4352 x 0,3 = 1305,6 Dengan demikian, matriks Ax = B ditulis sebagai: 0 0 1  Q1  0,6  1  1  Q   0  1 0 0   2  =    0 1 1 0  Q3  0,6      1958,4 1305,6 - 1958,4 - 1305,6 Q4   0  Dengan menyelesaikan persamaan linier di atas, diperoleh debit aliran setiap pipa sebagai berikut: 22



Q1 = 0,3 m 3/det Q2 = 0,3 m 3/det Q3 = 0,3 m 3/det Q4 = 0,3 m 3/det Dengan demikian, nilai debit aliran di setiap pipa telah benar dimana hasil antara iterasi 1 dan 2 adalah sama. TUGAS

1. Hitung kehilangan energi dalam pipa CI dengan panjang L = 100 m, dengan debit inflow Q = 0,2 m 3/det, dan diameter pipa D = 0,3 m. Debit outflow dengan pola terdistribusi di sepanjang pipa adalah 0,0005 m 3/det per meter panjang pipa 2. Untuk pipa transmisi CI secara gravitasi, hitung debit aliran dalam pipa dengan panjang L = 300 m dan diameter D = 0,2 m jika diketahui elevasi reservoir dan outlet masing-masing adalah 15 m dan 5 m. Tinggi air dalam reservoir adalah 5 m, dan tekanan sisa pada outlet disyaratkan sebesar 6 m. 3. Hitung debit aliran di setiap pipa dalam jaringan loop seperti yang ditunjukkan dalam Gambar berikut.

Gambar 10.14. Jaringan dengan satu loop Gunakan metode Hardy Cross, Newton-Raphson, dan teori linier. Diasumsikan nilai faktor gesekan adalah konstan f = 0,02 yang berlaku untuk semua pipa dalam jaringan. 4. Hitung debit aliran di setiap pipa dalam jaringan loop seperti yang ditunjukkan dalam Gambar berikut.

Gambar 10.15. Jaringan dengan dua loop 23



Gunakan metode Hardy Cross, Newton-Raphson, dan teori linier. Diasumsikan nilai faktor gesekan adalah konstan f = 0,02 yang berlaku untuk semua pipa dalam jaringan.

24



REFERENSI

Swamee, P.K., dan Ashok K.S., 2008, Design of Water Supply Pipe Networks, John Wiley & Sons, Inc., USA. Triatmodjo, B., 2003, Hidraulika II, Beta Offset, Yogyakarta.

25

10. Analisis Jaringan Pipa

Recommend Documents