1. Teste de Hipóteses e ANOVA

CONTROL CONTROLE E ESTA ESTATÍST TÍSTICO ICO DE QUALIDADE

Teste estess de de hipót hipóteses eses e AN ANOVA

SUMÁRIO CONCEITOS BÁSICOS; D E HIPÓTESES HIPÓ TESES PARA MÉDIA; • TESTES DE • 1-sample z; • 1-sample t; • 2-sample z; • 2-sample t; • t pareado; • ANOVA ANOVA one way; • Ruído •

SUMÁRIO CONCEITOS BÁSICOS; D E HIPÓTESES HIPÓ TESES PARA MÉDIA; • TESTES DE • 1-sample z; • 1-sample t; • 2-sample z; • 2-sample t; • t pareado; • ANOVA ANOVA one way; • Ruído •

CONCEITOS BÁSICOS Inferência estatística (MONTGOMERY, 2004): ramo da estatística que visa a obtenção de resultados ou tomada de decisão com base em uma amostra selecionada desta população. • Amostra aleatória: x1 , x2 , ..., xn – na amostra aleatória de tamanho n cada observação xi é independente e identicamente distribuída. •

POPULAÇÃO

AMOSTRA

CONCEITOS BÁSICOS Distribution Distribution Plot

Histogram of C1

Normal; Mean=100; Mean=100; StDev=5

350

0,09

300

0,08 0,07

250

0,06

y c 200 n e u q e r 150 F

y t 0,05 i s n e D 0,04 0,03

100

0,02

50

0,01 0,00 85

90

95

100

105

110

115

0

80

88

96

104

112

C1

X

POPULAÇÃO μ, média populacional σ, desvio-padrão populacional

Amostra ( x1 , x2 , ..., xn )

Robson Bruno Dutra Pereira

AMOSTRA , média populacional s, desvio-padrão populacional

x

CONCEITOS BÁSICOS •

A rugosidade superficial é uma característica de qualidade importante de um produto metálico. Em furos usinados é importante saber se a rugosidade difere no início e fim do furo. Foram realizados 28 ensaios e a rugosidade foi medida no início e no fim do furo de cada corpo de prova.

Corpo de prova

Rugosidade Experimento



Resultados das medições de rugosidade média R z em (μm). Boxplot of Rz_I; Rz_F 7

6

5 a t a D

4

3

2 Rz_I

Rz_F


Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Rz_I (μm) 2,743 3,010 2,216 2,531 2,757 2,752 2,136 2,557 3,085 3,068 2,546 3,202 5,109 4,830 3,225 5,849 2,682 2,572 3,203 3,092 2,207 3,357 4,353 3,862 3,547 3,760 3,685 3,465

Rz_F (μm) 2,825 3,008 2,910 3,825 2,671 3,036 2,516 3,492 2,850 2,930 3,003 3,847 5,515 4,699 5,309 6,503 3,325 3,354 3,867 4,055 2,298 3,290 4,876 2,824 3,297 3,844 3,347 3,449


Avaliando apenas a média das rugosidades no início e fim do furo seria possível afirmar categoricamente se há diferença na qualidade superficial no início e fim do furo? NÃO

Uma técnica estatística de inferência chamada de teste de hipóteses pode ser usada para comparar a rugosidade no início e fim do furo. • Como neste exemplo para cada corrida mediu-se a rugosidade no início e fim de cada corpo de prova, o teste t emparelhado é o mais adequado (chegaremos lá)! •


CONCEITOS BÁSICOS Cada observação nos experimentos de medição de rugosidade na parede dos furos é chamada de corrida, ensaio ou experimento; • Há uma flutuação ou ruído nos resultados. Este ruído é comumente chamado de erro experimental; • A presença do erro experimental implica que a rugosidade é uma variável aleatória; • Uma variável aleatória pode ser discreta (assume valores finitos ou infinitos contáveis, ou seja, valores pertencentes ao conjunto dos números inteiros positivos) ou contínua (assume valores dentro de um intervalo, ou seja no conjunto dos números reais); •



Distribuição de probabilidade: A estrutura de probabilidade de uma variável aleatória é descrita por sua distribuição de probabilidade; Distribuição discreta

Distribuição contínua

Distribution Plot

Distribution Plot

Binomial; n=20; p=0,25

Normal; Mean=0; StDev=1 0,4

0,4

P(a ≤ y ≤ b)

0,3

0,3 y t i l i b a b o r P

P(y = y j ) = p(y j )

y t i s n 0,2 e D

0,2

0,1

0,1

0,0

0,0 0

2

4

6

8

10

12

-3


-2

-1

0

a

1

b

2

3


Propriedades das distribuições: DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 0  p y j  1,





 y j

 

p y  y j  p y j ,

 

 p y j  1  j

 y j

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 0

f  y  b



p a  y  b   f  y dy a



 f  y dy  1 



Média, esperança e variância;     yf  y dy   E  y       y j p  y j    j

distribuição contínua

,

distribuição discreta

,

  y   2 f  y dy, distribuiç ão contínua    2    2    y    p  y , distribuiç ão discreta    j Var  y 





2



E  y








2


Propriedades dos operadores de média e variância. Seja y uma va com média μ e variância σ 2, E c  E  y 





E cy 

c





Var c 

cE  y 





c

0

Var  y  

2

Var cy 

2





c Var  y 

2



c 

2



Se há duas va’s com E(y 1) = μ1 e Var(y 1) = σ 12 e E(y 2) = μ2 e Var(y 2) = σ 22, E  y1  y2   E  y1   E  y2    1   2

•

É possível mostrar que: Var  y1  y2   Var  y1   Var  y2   2Cov y1 , y2 

•

A covariância é uma medida de associação linear entre y 1 e y2. Se y1 e y2 são independentes, então Cov(y1,y2) = 0 Cov y1 , y2  E  y1 



 1

 y2




 2




Analogamente: Var  y1  y2   Var  y1   Var  y2   2Cov y1 , y2 



Por fim, se y1 e y2 são independentes, Var  y1  y2   Var  y1   Var  y2    1  2 E  y1 y2  E  y1  E  y2  







 y1  E  y1    E   y2  E  y2  Robson Bruno Dutra Pereira

 1  2 

CONCEITOS BÁSICOS Distribuição normal • Função densidade de probabilidade: •

f ( x)  •

1 2



e

 x   2 2 2

,

 

x  

Parâmetros: N(μ,σ2) variância média



Normal padrão: va com μ = 0 e σ2 = 1, ou seja Z~N(μ,σ2).

•

Procedimento para padronizar a normal:

•

Supondo X~N(μ,σ2), P ( X

Z

x 

 X   x     x)  P     P  Z  z     








CONCEITOS BÁSICOS Exemplo: A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 6000 Kg/cm 2 e um desvio-padrão de 100 Kg/cm2. a) Qual é a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 Kg/cm2? b) Qual é a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 Kg/cm2? c) Que resistência é excedida por 95% das amostras?


CONCEITOS BÁSICOS a) P (X < 6250) = 0 ,9938; Distribution Plot Normal; M ean=6000; StDev=100 0,004

0,9938

0,003

y t i s n 0,002 e D

0,001

0,000

6000

X


6250

CONCEITOS BÁSICOS b) P (5800 < X < 5900) = P (X < 5900) – P (X < 5800) = 0,158655 0,0227501 = 0,1359049 Distribution Plot

Distribution Plot

Normal; Mean=6000; StDev=100


0,004

0,004

0,003

0,003

y t i s n 0,002 e D

y t i s n 0,002 e D

0,001

0,001

0,1587 0,02275 0,000

0,000

5900

6000

5800

X

6000

X


CONCEITOS BÁSICOS c) P (X > x) = 0,95 -> P[Z> (x- 6000)/100] = 0,95 -> (x – 6000)/100 = -1,65 ->x = 5835 Distribution Plot

Distribution Plot



0,004

0,95

0,95 0,003

0,3

y t i s n 0,002 e D

y t i s n 0,2 e D

0,001

0,1

0,000

0,0

5836

6000

-1,645

X

0

X



Estatística: função dos dados amostrais.

Amostra ( x1 , x2 , ..., xn ) σ n

x

μ



1

  x

n

x  n

i

i 1

Média amostral

i

2

S



 x 

i 1

n 1

Variância amostral


n

2

  x

i

S 

 x 

2

i 1

n 1

Desvio-padrão amostral

CONCEITOS BÁSICOS Distribuição amostral: É a distribuição de probabilidade de uma estatística. 2 • Seja x ~ N (  ,  ) ( x é uma variável aleatória com média μ e variância σ 2); •

Amostra ( x1 , x2 , ..., xn ) Pelo teorema central do limite a distribuição da média amostral é normal com média μ e variância σ 2 /n.



x

 

n

  2   x ~ N   ,   n  Robson Bruno Dutra Pereira

x


Se a distribuição da população de origem não for normal, pelo TCL, a distribuição da média amostral será normal (n > 30)! 0,20

  2  x~ N   ,    n 

0,15

y t i s n 0,10 e D

0,05

0,00 0

2

4

6

8

X

10

12

14

16



x




SE ( x )

 

Desvio-padrão

n da média


Distribuição qui-quadrado ( χ 2): Se x1 , x2 , ..., xn são va’s independentes e N(0,1), então a va y

2 2  z 1  z 2 

2

...  z n

Tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.



Distribuição t: Seja x uma va N(0,1) e y uma va χ 2 com k graus de liberdade e x e y são independentes, t

x 

y k

é distribuída como t com k graus de liberdade.

K

∞

t ~ N(0,1) Robson Bruno Dutra Pereira


Distribuição F: Seja w e y duas vas independentes com distribuição quiquadrado com u e v graus de liberdade, logo w/u é distribuída como F com u graus de F liberdade no numerador e v no denominador. y / v 


TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA •

•

Hipótese: afirmação sobre os parâmetros de uma distribuição de probabilidade. Exemplo: diâmetro de um mancal. H 0 :  

 0

H 0

H 1 :  

 0

H 1 :   1,500

:   1,500

Hipótese nula Hipótese alternativa

Como determinar μ0: • Evidência/conhecimento do processo; • Teoria/modelo do processo; • Especificações de contratos/projetos.



Procedimento para o teste de hipóteses: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Identificar o parâmetro de interesse; Definir a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H 1; Escolher um nível de significância; Definir o teste estatístico apropriado e calcular a estatística de teste; Definir a região de rejeição; Comparar a estatística calculada com a estatística crítica (região de rejeição). A hipótese nula pode ser rejeitada? Distribution Plot T; df=19

0,4

0,3

H 0 :    0 x

H 1 :    0

α

x t 0





s

/

 0

y t i s n 0,2 e D

t 0  t c ?

0,1

n

0,025

0,025

0,0 -2,093

0

X


2,093


Nível de significância (α): probabilidade que determina a dimensão da região de rejeição; 0,4

α = P {Erro tipo I} = P {rejeitar H 0| H 0 é verdadeira} • Deseja-se que o erro do tipo I seja pequeno!

Região de rejeição de H0 0,3

y t i s n 0,2 e D

• Usualmente α = 0,05; 0,1

•

Nível de confiança: γ =1 – α.

γ =1 - α

α

Região de aceitação 0,0


tc

X


Poder do teste (1 - β ): Relaciona-se ao Erro do tipo II.

δ γ =1 - α

β = P {erro tipo II} =

1 - β

= P {não rejeitar H 0| H 0 é falsa}

β

Poder = 1 – β =

α

= P {rejeitar H 0| H 0 é falsa}

μ0 Robson Bruno Dutra Pereira

zα μ +δ 0


Considere a hipótese unilateral: H 0 :    0

•

Logo, quando H1 for verdadeira, a distribuição de Z0 será:

H 1 :    0

•

Supondo que H0 seja falsa, e que    0   , x

Z 0



Z 0





 / x



 0 n



0

 /

x 



n



  0

 0  

 /  



n





  /

n

n



0


Z 0

  n     ,1  

~


Considerando um teste bilateral:   P  z  2

  

 z 0 

  P   z  2 

z  2

-zα/2

  z    



zα/2

n

2

  n  n     0  z     P  z        2

•

Sabe-se que:

2



β



  P Z  z

   n   n         z      z           2

2



Considerando um teste bilateral:

   n   n         z      z           2

•

Finalmente, z





z



 2



n



2

  n      z       2

0, 



•

E o tamanho da amostra fica

0



z

n





2



z





2

  2

2

-zα/2

zα/2

   z  

  n      z     z     

β

2



Poder do teste e tamanho da amostra



z

n



 2



z



  2

2

 2

Q to menor a diferença ( δ ) a ser detectada, maior o tamanho da amostra, para garantir um determinado nível de 1 - β .



•

Exemplo: As especificações de um propelente sólido de uma aeronave requerem uma taxa média de queima igual a 50 cm/s. O desvio-padrão da taxa de queima é igual a 2cm/s. Deseja-se um nível de significância, ou probabilidade de erro do tipo I, igual a 0,05. Deseja-se planejar o teste de modo que se a taxa média diferir de 50 cm/s por não mais que 1 cm/s o teste detecte esta diferença com uma probabilidade de 0,90.



H 0 :   50

z

n

H 1 :   50

 







n

51 50 



0,05





0,10

 poder







2



 2

z



1  



0,90 

n





1,96

  2

2

2

1,28 2 2



2

2

1 43


TESTES DE HIPÓTESES PARA MÉDIA Erro tipo I ~ Condenar um réu inocente; Erro tipo II ~ Absolver um réu culpado.

REALIDADE

H0 verdadeira

DECISÃO

Não rejeitar Decisão correta 1 - α H0 Rejeitar H0

Erro tipo I α


H0 falsa Erro tipo II β

Decisão correta 1 - β

Teste 1-sample z •

Teste para média de uma amostra, variância conhecida;

Hipóteses: H 0 :    0 H 1 :    0

Estatística do teste: Z 0

x





 /

 0

n

Se H0 é verdadeira, Z0 é N(0,1), consequentemente, espera-se que 100(1 − α) esteja entre –Zα /2 e Zα /2.



n > 40, variância desconhecida pode-se utilizar este teste!!


Teste 1-sample z Bilateral

Unilateral à esquerda

Unilateral à direita

H 0 :    0

H 0 :    0

H 0 :    0

H 1 :    0

H 1 :    0

H 1 :    0

0,4

0,4

0,4

0,3

0,3

0,3

y t i s n 0,2 e D

y t i s n e 0,2 D

y t i s n e 0,2 D

α /2

α /2

0,1

α

0,1

0,0

0,0

- zα /2

0

X

zα /2

Se: Z0 < - Zα /2 ou Z0 > Zα /2

α

0,1

0,0

- zα

0

0

X

X

Z0 < - Zα Robson Bruno Dutra Pereira

zα

Z0 > Zα, rejeita-se H0.

Teste 1-sample z Exemplo: Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste (0,0001 polegada) dos eixos depois de 100000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de n = 15 eixos é testada e x = 2,78. Sabe-se que σ = 0,9 e que o desgaste é normalmente distribuído. a) Teste H 0 : μ = 3 versus H 1: μ ≠ 3 usando α = 0,05; b) Qual a potência deste teste se μ = 3,25? c) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar uma média verdadeira de 3,75, se quiséssemos que a potência fosse no mínimo 0,9? •

Exercício 9.37 Montgomery EPE


Teste 1-sample z a) Zα/2 = 1,96

Z 0 

x   0

 / n



2,78  3 0,9 / 15

 0,95 Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4

Como |z0|= 0,95 < 1,96 = Zα/2, não rejeita-se H0.

0,3

y t i s n e 0,2 D

0,1

Analisando o p-value: Como p-value = 2 x 0,1711 = 0,34 > 0,05, não rejeita-se H0.

0,1711

0,1711

0,0

-0,95

0

0,95

X

Distribution Plot Normal; Mean=0; StDev=1 0,4

0,3

y t i s n e 0,2 D

Z0 está na região de aceitação!

0,1

0,025

0,025

0,0

-1,960

0

X


1,960

Teste 1-sample z •δ •

= 3,25 – 3 = 0,25

1 – β = 0,19


Teste 1-sample z •δ •

= 3,75 – 3 = 0,75; Poder = 0,9;

n = 16!!


Teste 1-sample t •

Teste para média de uma amostra, variância desconhecida;

Hipóteses:

Estatística do teste:

H 0 :    0

t 0

H 1 :    0

Rejeita-se H0 se

t 0



t



/ 2,n 1

x 



s /

 0 n

, no caso bilateral.

Ou se p-value ( p valor ou valor p) for menor que α. Robson Bruno Dutra Pereira

Teste 1-sample t Exemplo: A precipitação pluviométrica, em acre-pé (unidade de volume), proveniente de 20 nuvens que foram selecionadas aleatoriamente e semeadas com nitrato de prata, segue: 18,0; 30,7; 19,8; 27,1; 22,3; 18,8; 31,8; 23,4; 21,2; 27,9; 31,9; 27,1; 25,0; 24,7; 26,9; 21,8; 29,2; 34,8; 26,7 e 31,6. a) Você pode sustentar a afirmação de que a precipitação média das nuvens semeadas excede 25 acres-pé? Use α = 0,01. Encontre o p-valor; b) Verifique se a precipitação é normalmente distribuída; c) Calcule o poder do teste se a precipitação média verdadeira for 27 acrespés; d) Que tamanho de amostra seria necessário para detectar uma precipitação média verdadeira de 27,5 acres-pés, se quiséssemos que o poder do teste fosse no mínimo de 0,9? •

Exercício 9. 52 Montgomery EPE


Teste 1-sample t a) média = 26,035; s = 4,785; n = 20 H 0 :   25

t 0





s /

 0 n

T; df=19 0,4

0,3

p-value = 0,1721

H 1 :   25 x

Distribution Plot

0,1

26,035 25 





4,785

20

y t i s n 0,2 e D

0,1721

0,97

0,0

0

0,97

X

Distribution Plot T; df=19 0,4

t0,01;19 = 2,539

0,3

y t i s n 0,2 e D

Como t0 = 0,97 < 2,539 = t0,01;19, ou p-value = 0,1721 > 0,01 = α, não rejeita-se H0. Robson Bruno Dutra Pereira

0,1

0,01 0,0

0

X

2,539

Teste 1-sample t b) Normalidade

H0: The data follow a normal distribution. H1: The data do not follow a normal distribution.

Summary Report for C1 Anderson-Darling Normality Test A-Squared P-Value Mean StDev Variance S ke wn es s K ur to si s N

0,21 0,827 26,035 4,785 22,894 - 0, 0109 94 - 0, 882869 20

Minimum 1st Qu ar ti le Median 3r d Qu ar til e Maximum

18,000 21, 925 26,800 30, 325 34,800

95% Confidence Interval for Mean 20

24

28

23,796

32

28,274

95% Confidence Interval for Median 22,559

28,894

95% Confidence Interval for StDev 3,639

6,988

95% Confidence Intervals Mean

Median 23

24

25

26

27

28

29


Teste 1-sample t c)

  27  25 20   n      0,66977   0,7485    2,539     t 1;      s 4,785     1    0,2515 n

Power curve p/ teste unilateral à direita


Teste 1-sample t d)

n

n

n

t 

n 1;



t n 1;  

 s 2

2

 2

2,539 1,3282 4,7852 





2,5

2

54,78 Distribution Plot T; df=19

0,4

0,3

y t i s n 0,2 e D

0,1

0,1 0,0

0

X

tβ =

1,328



Teste para média de duas amostras, variâncias conhecidas; Bilateral



H 0 :  1



 2

H 0 :  1



 2

H 0 :  1



 2

H 1 :  1



 2

H 1 :  1



 2

H 1 :  1



 2


Z 0



X 1

 X 2 

   

2

 1

n1

1

2

2



 2 n2


Obs.: Na prática não se conhece a variância!! O Minitab não faz este teste!


•

Exemplo: Duas máquinas são usadas para encher garrafas de plástico que têm um volume líquido de 16 onças. O volume de enchimento pode ser suposto normal, com desvio-padrão σ1 = 0,020 e σ2 = 0,025 onça. Um membro do grupo de engenheiros da qualidade suspeita que ambas as máquinas encham até o mesmo volume líquido médio, independentemente desse volume ser ou não 16 onças. Uma amostra aleatória de 10 garrafas é retirada na saída de cada máquina. (10.4 EPE)

Máquina 1

16,03 16,04 16,05 16,05 16,02

Máquina 2

16,01 15,96 15,98 16,02 15,99

16,02 15,97 15,96 16,01 15,99


16,03 16,04 16,02 16,01 16,00

Teste 2-sample z a) Você acha que o engenheiro está correto? Use α = 0,05. Qual o p-valor para este teste? H 0 :  1



 2 Distribution Plot

H 1 :  1

Z 0



X 1

 X 2 

2  1

n1 Z 0





 2

 1   2 



2  2

n2


0,3



16,015  16,005  (16  16) 0,020 10

2 

0,025 10

2

y t i s n 0,2 e D

0,1

0,80

0,025

0,025

0,0

-1,960

0

X


1,960


Teste para média de duas amostras, variâncias desconhecidas; Bilateral



H 0 :  1



 2

H 0 :  1



 2

H 0 :  1



 2

H 1 :  1



 2

H 1 :  1



 2

H 1 :  1



 2


t 0



X 1  X 2   1   2  S p

1

n1

1 

n2

2

S p



n

1

S

1

2

1



n

n1  n2

2



S

1

2

2

2

Estimador combinado de variâncias ( pooled estimator )



Exemplo: Está sendo investigada a temperatura em que ocorre uma deflexão, devido à carga, em dois tipos diferentes de tubo plástico. Duas amostras aleatórias de 15 tubos são testadas e as temperaturas (em °F) observadas em que ocorre esta deflexão são reportadas a seguir: • •

Tipo 1: 206, 188, 205, 187, 194, 193, 207, 185, 189, 213, 192, 210, 194, 178, 205; Tipo 2: 177, 197, 206, 201, 180, 176, 185, 200, 197, 192, 198, 188, 189, 203, 192;

a) Construa diagramas de caixa e gráficos de probabilidade normal para as duas amostras. Esses gráficos confirmam as suposição de normalidade e variâncias iguais? b) Os dados confirmam a afirmação de que a temperatura em que ocorre a deflexão, devido à carga, do tubo tipo I excede àquela do tipo 2? Para concluir algo, use α = 0,05. Calcule o valor P. c) Se a temperatura média em que ocorre a deflexão do tubo tipo I exceder aquela do tubo tipo II por 5°F, é importante detectar esta diferença com probabilidade de no mínimo 0,9. A escolha de n1 = 15 é adequada? Robson Bruno Dutra Pereira

Teste 2-sample t a)

Boxplot of tipo I; tipo II 215 210 205 200 a t 195 a D

190 185 180 175 tipo I

tipo II


Teste 2-sample t b)

H 0 :  1 H 1 :  1



 2

Summary Report for tipo II Anderson-Darling Normality Test A -S qu ar ed P -V al ue



 2

Mean StDev V ar ia nc e Skewness Kurtosis N M in i mu m 1stQuartile M ed ia n 3rd Quartile Maximum

0 ,3 0 0, 54 9 192,07 9,44 89 ,0 7 -0,402043 -0,902384 15 1 76 ,0 0 185,00 1 92 ,0 0 200,00 206,00

95% Confidence Interval for Mean

Pooled estimator:

175

180

185

190

195

200

1 86 ,8 4

205

1 86 ,1 2

2

S p

2

S p

2

S p







n1  1S

n2  1S

n1  n2

2 2



1 99 ,2 5


2 1 

1 97 ,2 9

95% Confidence Interval for Median

2

14,88

Summary Report for tipo I 95% Confidence Intervals

Anderson-Darling Normality Test A-Squared P-Value

Mean

Mean StDev Vari ance S ke wn es s K ur to si s N

Median 185,0

187,5

190,0

192,5

195,0

197,5

200,0

15  110,482  15  19,44 2

M in imu m 1 st Q u ar ti le Median 3rdQuartil e M ax imu m

15  15  2

0,46 0,220 196,40 10,48 109,83 0, 05 34 1 - 1, 12 66 0 15 178, 00 1 88 ,0 0 194,00 206,00 213, 00

95% Confidence Interval for Mean 180

190

200

190,60

210

202,20

95% Confidence Interval for Median 188,37 205,63

99,472


95% Confidence Intervals Mean

Median 190


195

200

205

16,53


Distribution Plot

Cálculo da estatística do teste: t 0



X 1  X 2 S p



1

n1

 1   2  

1

n2



196,40  192,07 9,974

1 15



1

T; df=28 0,4



1,19

15

0,3

y t i s n

0,2 e D

P-value

0,1

0,1220 0,0

0

1,19

X

Como t0 = 1,19 < 1,701 = tc ou como p-value = 0,1220 > 0,05 = α, não rejeita-se H0. •

Distribution Plot T; df=28 0,4

0,3

y t i s n 0,2 e D

0,1

0,05 0,0

0

X


1,701

= tc

Teste 2-sample t c) Não, n = 15 não é suficiente. Para detectar uma diferença de 5°F com poder (1 - β) igual a 0,9, é necessário n = 69.


Teste t-pareado •

No caso de duas amostras, variâncias desconhecidas, e dependência entre as duas amostras, deve-se usar o teste t-pareado. No caso onde deseja-se detectar se há diferença na rugosidade no início e fim da superfície de furos usinados há dependência entre as duas amostras.

•

Em um mesmo corpo de prova, para cada corrida, faz-se a medição no início e fim do furo, caracterizando a dependência.


Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Rz_I (μm) 2,743 3,010 2,216 2,531 2,757 2,752 2,136 2,557 3,085 3,068 2,546 3,202 5,109 4,830 3,225 5,849 2,682 2,572 3,203 3,092 2,207 3,357 4,353 3,862 3,547 3,760 3,685 3,465

Rz_F (μm) 2,825 3,008 2,910 3,825 2,671 3,036 2,516 3,492 2,850 2,930 3,003 3,847 5,515 4,699 5,309 6,503 3,325 3,354 3,867 4,055 2,298 3,290 4,876 2,824 3,297 3,844 3,347 3,449

Teste t-pareado •

•

Diferença: d j y1 j y2 j , 

j





1,..., n

Hipóteses (teste bilateral) sobre a diferença:

H 0 :  d



0

H 1 :  d



0

d

•


•

Apesar da dependência entre as amostras, supõem-se dj~N(μd,σd2).

t 0



sd /

n


Teste t-pareado Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Rz_I (μm) Rz_F (μm) 2,743 2,825 3,010 3,008 2,216 2,910 2,531 3,825 2,757 2,671 2,752 3,036 2,136 2,516 2,557 3,492 3,085 2,850 3,068 2,930 2,546 3,003 3,202 3,847 5,109 5,515 4,830 4,699 3,225 5,309 5,849 6,503 2,682 3,325 2,572 3,354 3,203 3,867 3,092 4,055 2,207 2,298 3,357 3,290 4,353 4,876 3,862 2,824 3,547 3,297 3,760 3,844 3,685 3,347 3,465 3,449

d j -0,082 0,002 -0,695 -1,293 0,086 -0,284 -0,380 -0,935 0,235 0,138 -0,458 -0,645 -0,406 0,131 -2,084 -0,654 -0,643 -0,782 -0,664 -0,963 -0,091 0,067 -0,523 1,038 0,250 -0,084 0,338 0,016

•

Normalidade das diferenças:


Teste t-pareado Ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Rz_I (μm) Rz_F (μm) 2,743 2,825 3,010 3,008 2,216 2,910 2,531 3,825 2,757 2,671 2,752 3,036 2,136 2,516 2,557 3,492 3,085 2,850 3,068 2,930 2,546 3,003 3,202 3,847 5,109 5,515 4,830 4,699 3,225 5,309 5,849 6,503 2,682 3,325 2,572 3,354 3,203 3,867 3,092 4,055 2,207 2,298 3,357 3,290 4,353 4,876 3,862 2,824 3,547 3,297 3,760 3,844 3,685 3,347 3,465 3,449

d j -0,082 0,002 -0,695 -1,293 0,086 -0,284 -0,380 -0,935 0,235 0,138 -0,458 -0,645 -0,406 0,131 -2,084 -0,654 -0,643 -0,782 -0,664 -0,963 -0,091 0,067 -0,523 1,038 0,250 -0,084 0,338 0,016

d 

1

n

d j  0,334  n

d

t 0



t 0

 

2   d d      j  j 1  sd   n 1      

n

1

0,334



sd /

j 1



0,6

n

28

2,95 Distribution Plot

2

T; df=27 0,4

 0,6

0,3 y t i s n 0,2 e D

0,1

0,025

0,025

0,0 -2,052

0

X

Há diferença!! Robson Bruno Dutra Pereira

2,052

Teste t-pareado •

Poder do teste:

Para n = 28, δ = -0,334, sd = 0,6: • Poder = 1-β = 0,8 •


ANOVA one-way •

Sejam a tratamentos ou níveis de um único fator. j = 1, 2, ..., n Tratamentos

i = 1, 2, ..., a

Observações

Totais

1

y11

y12



2

y 21

y 22











a

y a1

y a 2



yij : j-ésima observação tomada no i-ésimo nível; Robson Bruno Dutra Pereira

Média

y1n

y1.

y1.

y 2 n

y 2.

y 2.







y an

y a .

y a .

y..

y..

ANOVA one-way •

Modelo de médias:

yij   i   ij

yij

: ij-ésima observação

 i

: média do i-ésimo tratamento : erro aleatório

 ij

 i  1, 2, ..., a     1 , 2 ,..., j n  

Tratamentos

Observações

Totais

1

y11

y12



2

y 21

y 22











a

y a1

y a 2




Média

y1n

y1.

y1.

y 2 n

y 2.

y 2.







y an

y a .

y a .

y..

y..

ANOVA one-way •

Modelo de efeitos:

 i  1, 2, ..., a    1 , 2 ,..., j  n  

yij     i   ij yij

: ij-ésima observação



: média geral

 i

: efeito do i-ésimo tratamento

 ij

: erro aleatório

Tratamentos

Observações

Totais

1

y11

y12



2

y 21

y 22











a

y a1

y a 2




Média

y1n

y1.

y1.

y 2 n

y 2.

y 2.







y an

y a .

y a .

y..

y..

ANOVA one-way ANOVA one-way : Apenas um fator é investigado; • Os experimentos devem ser realizados em ordem aleatória; • Neste sentido, o planejamento experimental é chamado de Planejamento completamente aleatorizado . •

•

As observações são independentes! 2

yij ~ N    i , 




ANOVA one-way •

Hipóteses: H 0 :  1   2 H 1 :  i

Ou:

•





 j

... 

 a para ao menos um par i , j

H 0 :  1

  2 

H 1 :  i

  j

...   a para ao menos um par i , j

Deseja-se testar a igualdade das médias dos a tratamentos. CUIDADO: ANOVA é um teste para médias! O nome engana!


ANOVA one-way •

A ANOVA é derivada do particionamento da soma dos quadrados: a

2

n

SS T     yij  y.. 

n

yi .   yij , a

2

n

   y

ij

i 1 j 1

 y..



a

2

a

2

n



 n  yi.  y..     yij  yi. i 1

i  1, 2, ..., a

j 1

i 1 j 1

a

yi .  yi . n,



i 1 j 1

n

y..    yij , y..  y.. N i 1 j 1

yij: j-ésima observação tomada no i-ésimo nível; yi .: soma das observações no i-ésimo tratamento; yi .: média das observações no i-ésimo tratamento;

SST

SSTratamentos

SSErro

y..: soma de todas as N observações; y..:


média de todas as N observações;

ANOVA one-way •

Examinando a soma dos quadrados dos erros: SS E 

a

2

n

  y

ij

 yi  .

i 1 j 1

•

n     yij  yi  i   j 

2

a

.

1

1

  

Dividindo o termo entre colchetes por n -1, tem-se a variância para o iésimo tratamento: 2 n

  yij  yi  .

2 S i 

j 1

n 1

,

i  1, 2, ..., a


ANOVA one-way variâncias amostrais podem ser combinadas para estimar uma única variância da população σ2 comum;

•a

n   yij  yi   i   j  a n  1

2

a

.

1

1

   SS E   MS E N  a


ANOVA one-way •

Da mesma forma, pode-se usar a variação da média dos tratamentos para estimar σ2, caso não haja diferença significativa entre os tratamentos.

•

Na ANOVA ANOVA há duas estimativas esti mativas de σ2: MS Trat

MS E





SS Trat a



1

SS E N



a

σ2between

Variância entre tratamentos

σ2within

Variância dentro dos tratamentos


ANOVA one-way •

Tabela ANOVA one-way Fonte de variação Entre (between) tratamentos Erro (within)

SS Trat 

1

a

yi  n

2 .



i 1

SS E



SS T a

Total

Graus de liberdade

Soma dos quadrados



n

N

SS Trat

2 SS T    yij 

i 1 j 1

y..2

a-1

N-a

Média dos quadrados MS Trat

MS E

2

y..

N

N-1






SS Trat a



1

SS E N



a

F0

F 0



MS Trat MS E

ANOVA one-way •

Rejeita-se H0 se há diferença entre as médias dos tratamentos, isto é: F 0

 F  , a 1, N  a

A hipótese alternativa é bilateral e o critério de rejeição é unilateral. Porque? MS F testa-se , ou ou se seja, • Pois te MS quantas vezes a variância entre é maior que que a variância dentro • A distribuição F é razão de chiquadrados, que por sua vez é soma do quadrado de normais, de forma que F só assu assume me valo valore ress posi positi tivo vos! s!!! !! •

0



Distribution Plot F; df1=4; df2=10 0,7

Trat

0,6

E

0,5 y t 0,4 i s n e D0,3

0,2

0,1

0,05 0,0

0


3,478

X

ANOVA one-way •

O tempo de resposta em milissegundos foi determinado para três tipos de circuitos que podem ser usados em uma válvula automática de um mecanismo de desligamento. Tipo de circuito 1 2 3

Tempo de resposta (ms) 9 12 10 8 20 21 23 17 7 6 5 8


ANOVA one-way SS Trat 

1

2

a

y  n

2 i.



i 1

a

n

SS T   y  2 ij

i 1 j 1

y..

N

y..2 N



1 4



39 2

2

2

 81  26

2

2



2

146 12 2

2

 413,17

2

 9  12  10  ...  5  8  7

2



146 12

2

 445,67

SS E  SS T  SS Trat  445,67  413,17  32,5 Tipo de circuito 1 2 3

Tempo de resposta (ms) 9 12 10 8 20 21 23 17 7 6 5 8


Totais Médias 39 9,75 81 20,25 26 6,5 146 12,17

ANOVA one-way MS Trat



SS Trat a



1

413,17 



2

206,583

σ2between F 0

MS E



SS E N



a

32,50 

9



3,611

σ2within

FV Circuito Erro Total




MS Trat MS E

DF 2 9 11



206,583 3,611

 57,21

SS MS F 413,167 206,583 57,21 32,500 3,611 445,667

ANOVA one-way F 0



MS Trat MS E

206,583 

3,611



57,21 > 4,256 = F0,05; 2; 12

Distribution Plot

Distribution Plot

F; df1=2; df2=9

F; df1=2; df2=9

1,0

1,0

0,8

0,8

y t 0,6 i s n e D 0,4

y t 0,6 i s n e D

0,4

P-value

0,2

7,6358E-06

0,0

0

57,21

0,2

0,0

0,05 0

X

4,256

X


ANOVA one-way •

Checando a adequação do modelo: examinando os resíduos! ^

eij Circuito Tempo FITS1 1 9 9,75 1 12 9,75 1 10 9,75 1 8 9,75 2 20 20,25 2 21 20,25 2 23 20,25 2 17 20,25 3 6 6,5 3 5 6,5 3 8 6,5 3 7 6,5

RESI1 -0,75 2,25 0,25 -1,75 -0,25 0,75 2,75 -3,25 -0,5 -1,5 1,5 0,5



yij



^

y ij

^

   i



y..   yi.  y.. 



yi.

^

y ij

^



^

y ij

y ij

Ruído •

Análise dos resíduos

Devem ser:

• Normais (0;σ2) • Constantes • Estáveis • Aleatórios • Independentes • Não-

Correlacionados

eij ~ N 0, 

2



1. Teste de Hipóteses e ANOVA

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