PRACTICA DIRIGIDA Nº 1 DE MATEMATICAS III 3
1._Defina una función vectorial del intervalo [-2,2] en R cuya imagen es el triángulo de vértice A= (3, 2,-1), B= (2, 0,1), C= (1,2,1)
Sol:
Para: AB: L: (3,2,-1) +t(-1,-2,2) ; t [0,1] BC: L: (2,0,1) +t(-1,-2,0) ; t [0,1] CD: L: (1,-2,1) +t(2,4,-2) ; t [0,1] Como piden de [-2,2] reparametrizando la curva L1 de [-2,0], L2 de [0,1] (ya lo está) por lo q no habrá q reparametrizarlo y L3 de [1,2].
*Para L1: t [0,1]
t* [-2,0]
t*= -2 + t(0-(-2)) = -2 + 2t (t*+2)/2 = t
t*=t ( reemplazando en la ecuación original de la recta L1, solo que ahora t [-2,0]) L : (3,2,-1) +(t+2)/2 (-1,-2,2) ; t [-2,0] L : (3 - t/2 – 1 , 2 - t - 2 , -1 +t +2 ) ; t [-2,0] L : (2 - t/2, -t , 1 + t ) ;
t [-2,0]
*Para L2: No habrá que reparametrizarlo porque ya que t [0,1]
*Para L3: t [0,1]
t* [1,2]
t*= 1 + t(2-1) = 1 + t (t*-1) = t
t*=t ( reemplazando en la ecuación original de la recta L1, solo que ahora t [0,2]) L : (1,-2,1) +(t-1)(2,4,-2) ; t [0,2] L : (1 + 2t – 2 , -2 + 4t - 4 , 1 -2t +2 ) ; t [0,2] L : ( 2t - 1, -6 + 4t , 3 - 2t ) ;
t [0,2]
Por lo tanto:
f(t) =
(2 - t/2, -t , 1 + t )
;
t [-2,0]
(2,0,1) +t(-1,-2,0)
;
t [0,1]
( 2t - 1, -6 + 4t , 3 - 2t ) ;
t [0,2]
2.-Defina una función vectorial
f : 3, 3 R3
de tal manera
que su rango sea el triangulo de vértices P 0 2, 1,1 , P 1 1,3, 1 P 2 1,0,2
,
.
Solución: Hallando la función vectorial en los intervalos
3, 1 , 1,1 , 1,3 - En el intervalo 3, 1 y los P 0 2, 1,1 y P 1 1,3, 1 t 3 1, 3, 1 2, 1,1 2 t 3 f 1 2, 1,1 1, 4, 2 2 f 1 2, 1,1
- En el intervalo 1,1 y los P 1 1,3,1 y
P 2 1,0,2
t 1 1, 0, 2 1, 3, 1 2 t 1 f 2 1, 3, 1 0, 3, 3 2 f 2 1, 3, 1
- En el intervalo 1,3 y los puntos P 2 1,0,2 y P 0 2, 1,1 t 1 2, 1,1 1, 0, 2 2 t 1 f 3 1, 0, 2 1, 1,1 2 f 3 1, 0, 2
Entonces la función vectorial será.
t 3 f1 2, 1,1 2 1, 4, 2 ; t 3, 1 t 1 f t f 2 1, 3, 1 0, 3, 3 ; t 1,1 2 t 1 1, 1,1 ; t 1, 3 f3 1, 0, 2 2
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcular el limite de:
1 cos 5t 1 tsent 1 , 2 t 0 t t 2
lim Solución:
1 cos 5t 1 tsent 1 1 cos 5t 1 tsent 1 , lim , lim t 0 2 t 0 t 0 t2 t2 t2 t
lim
Sea el límite: f 1 lim t 0
1 cos 5t
t 2
1 cos 5t 1 cos 5t t 0 t 2 1 cos 5t
= lim
sen2 5t
= lim
t 2 1 cos 5t
t 0
sen2 5t
1
t2
1 cos 5t
lim t 0
2
25 sen5t lim t 0 5t 1 cos 5t 2
1 25 sen5t = 25lim t 0 5t 1 cos 5t 2
f 2 lim t 0
1 tsent 1 2
t
lim
1 tsent
t 0
= lim t 0
t2
1 1 tsent 1
1 tsent 1
1 tsent 1 t2
1 tsent 1
lim
sent
t 0
lim t 0
1 tsent 1
sent t
1
1 tsent 1
=
1 2
1 cos 5t 1 tsent 1 25 1 , , 2 2 t 0 t t 2 2
lim
Entonces el límite será: 2.
t
1
Analizar la continuidad de la siguiente función vectorial.
sent t , sit 0 t f t 0,1 sit 0 Solución: Para que sea continua tiene que cumplir que lim f t f 0 t 0
sent t 0 t
lim t ,
a) -
lim t =0
-
lim
t 0
t 0
sent t
1
sent 0,1 t 0 t
lim t , b)
f 0 0,1
sent 0,1 es continua en t 0 t 0 t
lim t ,
Por lo tanto
3.
Determinar el dominio de la siguiente función vectorial.
f t t 2,
t 1
3
,
t 2 t 2
Solución: Sea - f 1 t 2
D f 1 R -
f 2
t 1 t 2
D f 3 R 2 -
f 3
3
t 2
D f 3 R 2
El dominio será D f t
R R 2 R 2
D f t R 2,2
4. DETERMINAR EL RANGO DE LA FUNCION VECTORIAL
t t t t e e dt , e e dt 2 2
f t
, , 0
SOLUCION: Sea :
t t t e e dt , e e t dt sinh tdt , cosh tdt 2 2
f : a, b R2 / f t
Si
x, y Rf f t x, y sinh t C1, cosh t C 2 2
2
x cosh t C 1 x c1 y c2 1 2 2 y senht C 2 2 2 x c1 y 1 2 R f x, y R / 1 2 2
es hipérbola
