Medidas de Bem-Estar no Modelo de Equilíbrio Parcial
Em equilíbrio geral todos os mercados da economia são interligados pelo efeitorenda nas demandas. Em muitas aplicações de microeconomia os fenômenos de interesse são circunscritos a um ou a poucos mercados. Nesses casos, é conveniente evitar essa complexidade gerada pelo efeito-renda para analisar impactos de políticas ou de outras mudanças exógenas no equilíbrio. O modelo de equilíbrio parcial determina o equilíbrio de preços e alocações (produção e consumo) para um subconjunto de bens isoladamente do equilíbrio de todos os outros mercados na economia. Define-se um sub-conjunto de L ≥ 1 bens incluindo aqueles em cujos preços e alocações estamos interessados, e que não tenham substitutos ou complementares importantes deixados de fora. Assim, supõe-se que uma mudança do preço de qualquer um dos L ≥ 1 bens pode alterar a demanda compensada por algum outro bem pertencente ao grupo, mas não a dos outros bens da economia (e vice-versa). Além disso, consideramos também que os L ≥ 1 bens representam em conjunto uma fração pequena da despesa dos consumidores, de maneira que mudanças dos preços dos bens do grupo não afetem a renda perceptivelmente. De acordo com a equação de Slutsky, se xi ( p, R ) é a deman manda pelo bem i ∈ {1,..., L}, uma variação em p j , j ∈ {1,..., L} , pode ser desmembrada num efeito-substituição e num efeito-renda ∂ xi ∂ p j
=
∂ xi ∂ p j
p j ∂ xi xi ∂ p j
=
∂ xi
− x j
∂ R
U
p j ∂ xi xi ∂ p j
− U
p j x j R ∂ xi R xi ∂ R
Se a fração da despesa com o bem j ∈ {1,..., L} for suficientemente pequena, isto é,
p j x j R
R ∂ xi xi ∂ R p j ∂ xi xi ∂ p j
→ 0 , e a elasticidade renda da demanda pelo bem é limitada, isto é,
< ∞ , tem-se que:
→
p j ∂ xi xi ∂ p j
U
1
Ou seja, a elasticidade-preço da demanda é igual à elasticidade-preço compensada, isto é, só há efeito-substituição, mas não há efeito-renda na demanda por qualquer dos bens j ∈ {1,..., L}.
Finalmente, como por hipótese variações dos preços dos L ≥ 1 bens não alteram as demandas pelos outros bens da economia por efeito substituição nem por efeito renda, pode-se considerar os preços daqueles bens como sendo constantes. O modelo quase-linear incorpora essas hipóteses. A utilidade dos consumidores é definida no conjunto dos L ≥ 1 bens e de um bem adicional (o bem numerário) que representa um agregado (com preços fixos) de todos os outros bens da economia. A utilidade marginal do consumo do bem numerário é considerada constante (e normalizada para a unidade), o que elimina o efeito renda das demandas pelos L ≥ 1 bens.
Função de utilidade quase-linear Cada consumidor h = 1,..., H tem função de utilidade dada por u h ( x1 ,..., x L , m ) = φ h ( x1 ,..., x L ) + m
Onde os L ≥ 1 bens compõem o mercado em questão e m é o consumo do bem 1
numerário . Com φ lh > 0 , φ llh < 0 , para x ≥ 0 , e normalizando-se φ (0,...,0) = 0 . O consumidor individual resolve:
1
A quantidade m poderia, por exemplo, ser interpretada como a utilidade do consumo de um agregado de todos os outros bens consumidos em proporções fixas: Max U (q, c1 ,..., cn ) = u (q ) + min{a1c1 ,..., an cn } n
s.t . : p0 q +
∑ p c
j j
= I
j =1
O consumidor maximiza a utilidade escolhendo ai ci = a j c j , ∀i , j = 1,..., n . Então:
n p j a1c1 p j c j = ∑ ∑ a j =1 j =1 j n
Podemos então redefinir m ≡ a1c1 e p ≡
p0
n p j ∑ j =1 a j
.
2
max φ ( x1 ,..., x L ) + m
x1 ,..., x L , m
s.t. L
∑ p x l
l
+ m = R
l =1
Ou max φ ( x1 ,..., x L ) + R −
x1 ,..., x L
L
∑ p x l
l
l =1
Com FOCs: l = 1,..., L , dadas por: φ l ( x1 ,..., x L ) ≤ pl se xl ≥ 0 φ l ( x1 ,..., x L ) = pl se xl > 0 Considerando-se o caso de demandas estritamente positivas para os L ≥ 1 bens, p = ( p1 ,..., p L ) , x = ( x1 ,..., x L ) , tem-se um sistema de funções de demanda inversas p = P( x ) onde P ( x ) ≡ φ x ( x ) : p1 = P1 ( x1 , x2 , K, x L ) p2 = P2 ( x1 , x2 , K, x L ) M
p L = P L ( x1 , x2 , K, x L )
O Jacobiano de P( x ) é
∂P1 ∂ x 1 DP( x ) = M ∂Pn ∂ x1
L O L
∂ 2φ 2 ∂ xn ∂ x1 M = M 2 ∂Pn ∂ φ ∂ xn ∂ xn∂ x1 ∂P1
∂ x1∂ xn 2 M = D φ ( x ) 2 ∂ φ 2 ∂ xn 2
L O L
∂ φ
2 Se φ (⋅ ) é C , DP(⋅ ) é simétrica. Acrescentando-se a hipótese de que DP = D 2φ
é negativa definida (que implica em φ (⋅ ) estritamente côncava), de modo que os termos na diagonal são estritamente negativos, tem-se:
3
∂Pi ∂ x j
=
∂P j ∂ xi
e
∂Pi ∂ xi
< 0 ∀i = 1, 2, K , n
Já que o determinante de uma matriz simétrica é igual ao produto dos seus autovalores, que são todos estritamente negativos se DP é negativa definida, a matriz DP é inversível para qualquer x .
Se DP é inversível, pelo teorema da função inversa pode-se obter um sistema de demandas diretas x = X ( p ) , que dependem somente dos preços (não há efeito-renda) onde: x1 = X 1 ( p1 , p2 , K, p L ) x2 = X 2 ( p1 , p2 , K, p L ) M
x L = X n ( p1 , p2 , K, p L )
Com Jacobiano dado por:
∂ X 1 ∂ p 1 DX = M ∂ X L ∂ p1
L O L
∂P1 ∂ p L ∂ x1 M = M ∂ X L ∂P L ∂ p L ∂ x1 ∂ X 1
L O L
∂P1
∂ x L
∂P L ∂ x L M
−1
−1
= [DP ]
A inversa de uma matriz simétrica e negativa definida também é simétrica e negativa definida. Sendo assim, ∂ X i ∂ p j
=
∂ X j ∂ pi
e
∂ X i ∂ pi
< 0 ∀i = 1, 2, K, L .
Figura: ausência de efeito renda na utilidade quase-linear
4
m
p
p
x
Excedente do consumidor Como não há efeito renda no modelo quase-linear, não há ambiguidade nas medidas pecuniárias de variação da utilidade entre alocações, medidas aos preços iniciais ou finais. Utilidade indireta: ν ( p, R) = φ ( X ( p )) + R − p. X ( p ) Variação equivalente de renda E ( p 0 , p1 , R ) definida pela renda adicional, aos preços iniciais, necessária para igualar a utilidade aos preços finais: ν ( p1 , R ) = ν ( p 0 , R + E ( p 0 , p1 , R )) Variação compensada de renda C ( p 0 , p1 , R ) definida pela renda deduzida, aos preços finais, necessária para igualar a utilidade aos preços iniciais: ν ( p1 , R − C ( p 0 , p1 , R )) = ν ( p 0 , R ) Em geral a variação equivalente e a compensada são diferentes, mas no caso da função de utilidade quase-linear elas coincidem:
5
φ ( X ( p1 )) + R − p1. X ( p1 ) = φ ( X ( p 0 )) + ( R + E ) − p 0 . X ( p 0 ) φ ( X ( p1 )) + ( R − C ) − p1. X ( p1 ) = φ ( X ( p 0 )) + R − p 0 . X ( p 0 ) E ( p 0 , p1 ) = C ( p 0 , p1 ) = φ ( X ( p1 )) − p1. X ( p1 ) − φ ( X ( p 0 )) − p 0 . X ( p 0 )
Excedente do consumidor: CS ( p ) ≡ φ ( X ( p )) − p. X ( p ) A variação do Excedente do Consumidor entre duas alocações determinadas por p 0 e p 1 é igual às variações compensada e equivalente alente da renda: CS ( p1 ) − CS ( p 0 ) = C ( p 0 , p1 ) = E ( p 0 , p1 ) CS ( p ) é a diferença (positiva) entre a utilidade do consumo de X unidades do
bem e a utilidade do consumo de pX unidades do bem numerário, ou seja, é o ganho de utilidade que o funcionamento do mercado gerou para o consumidor. Note que CS ( p ) é a função de utilidade indireta subtraída da renda. Assim, CS ( p ) é decrescente e convexa nos preços. Além disso, de acordo com a Identidade de
Roy: CS p ( p ) = φ x ( x ). X p ( p) − X ( p) − p. X p ( p) = − X ( p)
Pode-se expressar CS ( p ) como a integral: ∞
p
∫
∫
∞
p
CS ( p ) = CS p (s ).ds = X ( s ).ds
Com uma mudança de variáveis pode-se integrar nas quantidades em vez dos preços: p 1
∫ X (s ).ds = X ( p ). p p
0
p
1
p
0
( ) P( x).dx − 0 X ( p ) X p 1
∫
Com p 0 = p e p 1 = ∞ tem-se: x
∫
CS ( x ) = P(s ).ds − P( x). x 0
6
Assim, pode-se expressar o excedente do consumidor por uma integral das demandas diretas nos preços ou por uma integral das demandas inversas nas quantidades. No caso de L = 1 , CS corresponde à medida simples da área sob a curva de demanda e acima do preço pago pelo consumidor:
CS
p
X ( p )
No caso de L > 1 , CS é uma integral de linha. De acordo com o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, CS ( p1 ) − CS ( p 0 ) independe da sequência particular de mudanças de preços que consideramos porque ∀i, j = 1, 2, K, L , i ≠ j .
2
Integrais de linha:
derivada
∂ X i ∂ p j
=
∂ X j ∂ pi
2
Definição:
α : [t 0 , t 1 ] ∈ ℜ → ℜ n é um caminho suave (“smooth path”) se a
' α existe e é contínua no intervalo (t 0 , t 1 ) . A função α ( ) é um caminho suave em trechos
(“piecewise smooth path”) se o intervalo subintervalos em cada um dos quais
[t 0 , t 1 ] pode
ser particionado em um número finito de
α é suave.
Definição (integral de linha): Seja um caminho suave em trechos definido sobre a imagem de
α : [t 0 , t 1 ] → ℜ n e f : ℜ n → ℜ n
α com a = α (t 0 ) , b = α (t 1 ) . A integral de linha de f ao longo de α é 7
t 1
t 1
n
∫ f ⋅ d α = ∫ f (α (t )) ⋅ α (t )dt = ∑ ∫ f (α (t )).α (t )dt '
' k
k
k =1 t
t 0
0
quando a integral à direita existir. Teorema (Segundo Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha): Seja
ϕ : ℜ n → ℜ com
n
um gradiente ∇ϕ contínuo em S ⊂ ℜ aberto e conexo. Então, para quaisquer dois pontos a e b suave em trechos com a = α (t 0 ) , b = α (t 1 ) ,
ligados por um caminho b
∫ ∇ϕ ⋅ d α = ϕ (b) − ϕ (a) a
Prova: tome
α : [t 0 , t 1 ] → ℜ n piecewise smooth com a = α (t 0 ) , b = α (t 1 ) t 1
b
∫
∫
∇ϕ ⋅ d α =
a
t 1
∇ϕ (α (t )) ⋅ α (t )dt = '
t 0
d ϕ (α (t ))
∫
dt
t 0
dt =ϕ (b ) − ϕ (a )
O teorema mostra que quando o integrando é um gradiente contínuo então podemos escolher livremente qual é o caminho da integração entre os dois limites de integração. Este é o nosso caso para ∞
x
∫
∫
CS ( p ) = X (t ).dt ou CS ( x ) = P(s ).ds − P( x). x , já que X ( p ) = −∇CS ( p ) e
integrar
0
p
P( x ) = ∇φ ( x) . Também podemos verificar este resultado de uma forma direta. Considere o exemplo com dois bens ( L = 2 ). Calculemos a variação do excedente do consumidor por dois caminhos que representam a mesma variação final dos preços: no primeiro caminho (I) a variação do preço do bem 1 precede a do bem 2 e no segundo caminho (II) a ordem é invertida: p11
p12
∫ X ( p , p )dp + ∫ X ( p , p )dp
∆CS I =
1
0 2
1
1
1 1
2
p10
2
2
p20
p12
p11
∫ X ( p , p )dp + ∫ X ( p , p )dp
∆CS II =
0 1
2
2
2
1
p20
1 2
1
1
p10 p11
∆CS I − ∆CS II =
p12
∫ [ X ( p , p ) − X ( p , p )]dp + ∫ [ X ( p , p ) − X ( p , p )]dp 1
0 2
1
1
1 2
1
1
1 1
2
p10
2
2
0 1
2
2
p20
1
0
Considere intervalos diferenciais de preço pi − pi = dpi de forma que
X 1 ( p1 , p ) − X 1 ( p1 , p 1 2
0 2
)=
(
∂ p2
X 2 ( p , p2 ) − X 2 ( p , p2 ) = 1 1
0 1
0
∂ X 1 p1 , p2
(
) dp
0
∂ X 2 p1 , p2
2
) dp
1
∂ p1
Nesse caso, p10 +dp1
∫
∆CS I − ∆CS II = −
(
=−
(
0
0
∂ p2
) dp dp 2
1
+
(
) dp dp 2
∂ p2
p10
∂ X 1 p1 , p2
0
∂ X 1 p1 , p2
1
p20 +dp2
∫
+
p20
0
0
∂ X 2 p1 , p2 ∂ p1
) dp dp 1
2
(
0
∂ X 2 p1 , p2 ∂ p1
) dp dp 1
2
=
∂ X 1 ( p10 , p20 ) ∂ X 2 ( p10 , p20 ) = − − dp1dp2 p p ∂ ∂ 2 1
Ou seja, se as derivadas cruzadas das demandas coincidirem para todos os preços então ∆CS I e
∆CS II também coincidirão para qualquer caminho.
8
Em particular, podemos integrar variando cada preço entre os limites de integração pela ordem dos seus índices: p1
CS ( p1 ) − CS ( p 0 ) = X ( p ).dp =
∫
1 L p i
∑ ∫ X ( p[ ] )dp i
i
i
i =1 p 0 i
p 0
Onde p [i ] ≡ ( p11 ,..., pi1−1 , pi , pi0+1 ,..., p L0 )
Exemplo com L = 2 : ( p11 , p12 ) p11 p12 0 1 0 1 CS ( p ) − CS ( p ) = X ( p ).dp = X 1 ( p1 , p2 )dp1 + X 2 ( p1 , p2 )dp2 = X 1 ( p1 , p2 )dp1 + X 2 ( p1 , p2 )dp2 ( p10 , p20 ) p 0 p10 p20 1
p
∫
∫
∫
Ou, integrando as demandas diretas, com p = P ( x ) , CS ( x1 ) − CS ( x 0 ) =
∫
x1 = X 1 ( p1 , p2 ) , x2 = X 2 ( p1 , p 2 ) ,
x 1
∫ P(s).ds − p. X ( p)
x 0
( x11 , x12 ) = P1 ( x1 , x2 )dx1 + P2 ( x1 , x2 )dx2 − ( p11 , p12 )( . x11 , x12 ) − ( p10 , p20 )( . x10 , x20 ) = ( x10 , x20 )
[
∫
1
1
x1
=
]
x2
∫ P ( x , x )dx + ∫ P ( x , x )dx − [( p , p )(. x , x ) − ( p , p )(. x , x )] 1
1
0 2
0
1
2
1 1
2
2
1 1
1 2
1 1
1 2
0 1
0 2
0 1
0 2
0
x1
x2
Produção O modelo de equilíbrio parcial adota a hipótese de que os L ≥ 1 bens selecionados são produzidos com tecnologias que empregam apenas o bem numerário como insumo.
∆CS I − ∆CS II = 0 ⇔
(
∂ X 1 p1 , p2 ∂ p2
) = ∂ X ( p , p ) 2
1
∂ p1
2
∀ p1 , p2
Mas sabemos que esta condição é atendida, pois o Jacobiano do sistema de demandas é simétrico.
9
Suponha que existem j = 1,..., J firmas na economia e cada firma produz um vetor de quantidades q j = (q1 j ,..., q L j ) dos bens l = 1,..., L (função de produção pode ser multi-produto). A função de custo de produção da firma é c j (q j ) , medido em unidades j
do bem numerário. Suponha
( ) > 0 e c (q ) convexa para
∂c q
j
j
j
j l
∂q
q j ≥ 0 .
Alocação Pareto Ótima Suponha que a economia tem uma dotação (quantidade agregada não produzida) de m unidades do bem numerário. Uma alocação (consumo dos H consumidores e produção e emprego de insumo das J firmas) Pareto ótima é solução do problema: φ 1 ( x1 ) + m1 max h j
h
x , m , q
s.t. φ h ( x h ) + m h = u h ; h = 2,..., H H
J
∑ m + ∑ c (q ) = m h
j
h =1
j
j =1
H
J
∑ x = ∑ q h
h =1
j
j =1
Substituindo as restrições, H
H
H
∑ m = ∑ u − ∑φ ( x ) h
h
h=2
h
h=2
h=2
H
1
m =m−
h
J
H
H
J
∑ m − ∑ c (q ) = m − ∑ u + ∑φ ( x ) − ∑ c (q ) h
h=2
j
j
j =1
h
h=2
h
h=2
h
j
j
j =1
Substituindo no objetivo, elimina-se a escolha de m h : H
max h j x , q
J
H
∑φ ( x ) − ∑ c (q ) + m − ∑ u h
h
h =1
j
j =1
j
h
h=2
s.t. H
J
∑ x = ∑ q h
h =1
j
j =1
10
H
∑u
Note-se que m e
h
são parâmetros no problema. Uma alocação eficiente
h=2
deve maximizar a diferença entre a utilidade do consumo e o custo de produção dos H
J
∑φ ( x ) − ∑ c (q ), h
bens do mercado
h
j
h=2
j
independentemente da distribuição de
j =1
utilidades para os consumidores u h ; h = 2,..., H .
Definição: Excedente TS ( x ,..., x , q ,..., q H
1
J
1
Total H
J
) = ∑φ ( x ) − ∑ c (q ) h
h
j
h =1
j
j =1
A derivada total do Excedente Total é dada por: H
DTS =
J
∑ Dφ ( x ).dx − ∑ Dc (q ).dq h
h
h
j
h =1
j
j
j =1
Os consumidores são perfeitamente competitivos e maximizam a utilidade escolhendo consumos que igualam suas utilidades marginais ao vetor de preços tomado H
como dado. Usando a notação x =
∑ x
h
tem-se:
h =1
Dφ h ( x h ) = P( x ) ; ∀ h = 1,..., H
∑ dx − ∑ Dc (q ).dq
dTS = P( x ).
h
h
j
j
j
= P( x ).dx −
j
Convencionamos que
∑ Dc (q ).dq j
j
j
j
φ h (0 ) = 0
e
c j (0) = 0 (de modo que
TS (0) = 0 ).
Lembramos que cada firma j pode ter um componente de custo fixo (que não depende j
de q j ) igual a c , além do custo variável, de modo que: c (q j
q j
j
) ≡ ∫ Dc (r )dr + c j
j
0
Podemos afinal expressar o Excedente Total na forma:
11
x
TS ( x, q1 ,..., q J ) = P(s ).ds −
∫
q j
∑∫
Dc j (r ).dr −
j
0
∑
c
j
j
0
Supondo que os preços P( x ) pagos pelos consumidores e recebidos pelos produtores são iguais (como ocorreria, por exemplo, na ausência de taxas ou subsídios), J
usando a notação q =
∑q
j
para a produção total das firmas e lembrando que q = x em
j =1
equilíbrio, somamos e subtraímos o termo P ( x ). x = P(q ).q , TS ( x, q1 ,..., q
J
q j
x
) = ∫ P(s ).ds − P( x ). x + P(q ).q − ∑ ∫ Dc (r ).dr − ∑ c j
j
0
j
j
0
q
j
Def.: Excedente do Produtor: PS (q1 ,..., q J ) ≡ P(q ).q − ∑ ∫ Dc j (r ).dr j
0
O Excedente do Produtor é a soma dos lucros variáveis (lucros totais somados aos custos fixos) das firmas, ou seja: PS (q1 ,..., q J ) =
∑ Π (q ) + c j
j
j
j
Assim, o Excedente Total é a soma do Excedente do Consumidor com os lucros totais das firmas: TS ( x, q ,..., q J ) = CS ( x ) + PS (q ,..., q J ) − 1
1
∑
j
c = CS ( x ) +
∑ Π (q )
j
j
j
j
Excedente Total e alocação socialmente ótima No modelo quase-linear qualquer alocação socialmente ótima pode ser implementada com a maximização do Excedente Total e uma posterior redistribuição "lump-sum" do bem numerário entre os consumidores. Suponha que o governo maximiza uma função de utilidade social estritamente crescente e quase côncava W (u1 ,..., u H ) escolhendo o consumo de bem numerário de cada consumidor, m1 ,..., m H ≥ 0 , dada uma alocação factível de consumo e produção h
x , q
j
dos L ≥ 1 bens. O problema do governo é:
12
W (u ,..., u max 1 H
H
1
m ,...,m
)
s.t. h
φ h x + m h = u h H
∑
∑ ( ) J
h
m +
h =1
j
j c q =m
j =1
Substituindo as restrições, W (u1 ,..., u max 1 H
H
u ,...,u
H
∑ h =1
∑ ( )
∑ ( )
h =1
j =1
H
h
u =
)
h
h
φ x + m −
J
j
c q
j
∑φ ( x )− ∑ c (q ) só relaxa a H
Verifica-se que um aumento do Excedente Total
h
h
h =1
J
j
j
j =1
restrição do problema. Isto significa que, na presença da instituição adequada para realizar transferências lump-sum automaticamente para maximizar W , a maximização do Excedente Total seria suficiente para promover a implementação da alocação ótima para qualquer função de utilidade social (figura 10.E.1, MW&G).
13
Exercícios: 1) Para uma economia fechada como a anterior, mas na presença de taxas ou subsídios que gerem preços enfrentados pelo consumidor p C e pelo produtor p P diferentes, mostre que o valor da arrecadação da política fiscal,
( p
C
P
)
− p . x , passa a integrar a
fórmula do Excedente Total. 2) Uma economia aberta tem vetor de importação dos L ≥ 1 bens dado por M ≡ x − q onde x é o vetor de consumo e q o vetor de produção da economia. O vetor de preços domésticos (suposto igual para consumidores e firmas) é dado por p , o vetor de preços no mercado internacional é p* , e t = ( p − p * ) é o vetor de tarifas/subsídios específicos praticados pelo país. As alocações Pareto ótimas são solução do seguinte problema: 1 1 1 φ +m ( ) max x h h j
x , m , q
s.t. φ h ( x h ) + m h = u h ; h = 2,..., H H
J
∑ m + ∑ c (q ) + p . M = m h
h =1
j
*
j =1
H
J
∑ x − ∑ q h
h =1
j
j
= M
j =1
Mostre que o valor da arrecadação da política comercial, dada por t . M , passa a integrar a fórmula do Excedente Total.
14
