HIDROLIKA PERPIPAAN 1. Dasar dasar hidrolika perpipaan
Hidrolika adalah ilmu yang mepelajari perilaku air secara fisik dalam arti perilaku perilaku yang ditelaah harus terukur secara fisik. Perilaku yang dipelajari peliputi hubungan antara debit air yang mengalir dalam pipa dikaitkan dengan diameter pipanya sehingga dapat diketahui gejala gejala yang tibul tekanan, kehilangan energi dan gaya gaya lainnya yang timbul. Hubungan gejala gejala akan dijelaskan dalam formulasi empiris yang lazim dipakai dalam praktek. Dalam buku ini akan dicoba untuk di jelaskan kembali prisnsip hidrolika aliran tertutup dan dikaitkan dengan realita di lapangan.
Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita selalu beranggapan atau berasumsi bahwa:
Air adalah fluida yang mempunyai sifat “incompresible” atau diasumsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila terjadi tekanan. Secara matematika dapat dinyatakan dengan : δ Vol --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. δp
dimana : δ Vol= perubahan Vol yang kecil δ p = perubahan tekanan yang kecil
Fulida yang bergerak di dalam pipa dianggap dalam kondisi “steady state” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang konstan dari waktu ke waktu apabila melalui suatu pipa dengan diameter yang sama. Secara matematika dapat dinyatakan dengan: 1
δv --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. δt
dimana : δ v= perubahan kecepatan yang kecil δ t = selang waktu yang kecil
Fulida yang bergerak di dalam pipa juga dianggap dalam kondisi “uniform flow” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang konstan sepanjang apabila melalui suatu pipa dengan diameter yang sama . Secara matematika dapat dinyatakan dengan: δv --------= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. δs
dimana : δ v= perubahan kecepatan yang kecil δ s = selang jarak yang kecil
Pada kenyataannya dilapangan kondisi yang dijelaskan dalam asumsi ini tidak selalu tercapai terutama kondisi steady flow dan uniform flow. Penyimpangan keadaan tersebut disebut keadaan transient yang umum terjadi pada saat awal pembukaan dan penutupan valve. Efek yang timbul disebut sebagai water hammer yang terefleksi dengan kejadian pengempisan pipa, pecahnya pipa atau dalam keadaan yang ringan adalah terdengarnya suara ketukan ketukan palu dipipa besi.
Setiap aliran air dalam pipa juga harus memenuhi azas kontinuitas dimana debit aliran yang masuk dalam sisi 1 akan keluar dengan pada sisi 2 dengan debit yang sama atau
2
Q1-= Q2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.
dimana : Q1-= Debit masuk di sisi 1 (m3/dt) Q2- = Debit keluar di sisi 2 (m3/dt)
Debit air adalah volume air per satuan waktu. Debit air adalah luas penampang pipa dikalikan dengan kecepatannya (lihat persamaan 5). Debit air yang masuk ke dalam pipa mempunyai kecepatan aliran yang berbeda beda tergantung dari diameter pipanya. Kalau luas penampang pipa adalah sebanding kuadrat dengan diamaternya (lihat persamaan 6) maka semakin besar diameter pipanya semakin kecil kecepatan alirannya. Q1-= A1.v1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. 2 A1 = π/4.d1 . . . .. . . . . . . . . . . . .....6. Pers 6. Pers 5. Q1-= π./4d1 .v1. . .. . . . . . . . . . . . . .7. 2
dimana : v1= kecepatan aliran air pipa di sisi 1 (m/dt) A1-= Luas penampang pipa di sisi 1 m
2
d1- = diameter pipa di sisi 1 (m) π. = konstanta phi atau 22/7=3.14 π./4 = 3.14/4 = 0,785 atau bila dibulatkan 0.8
Secara umum hubungan antara debit dengan diameter pipa dan kecepatan dapat dinyatakan dengan persamaan 7. tetapi untuk perhitungan yang lebih sederhana dapat dinyatakan pula seperti persamaan 8. dibawah ini :
Q1-= 0.8 d12 .v1 .. . . . . . . . .. . . . . . .8.
3
Lebih jauh lagi aspek hidrolika dari air yang bergerak dalam pipa dapat dijelaskan dalam model seperti pada gambar 1. :
v1
hL v2 H2
H1
z2
z1
muka laut
1
2
gambar 1. Model hidrolika pipa
Air masuk pipa bergerak dari sisi 1 dan keluar di sisi 2 sesuai dengan azas kontiuitas energi yang ada di sisi 1 juga harus sama di sisi 2 .
Maka Energi total 1 sama dengan Energi
total 2 atau
Etot1=Etot2.
Energi yang ada di sisi 1 apabila diuraikan lagi terdiri dari :
1. Energi Potensial 2. Energi Kinetik 3. Kehilangan Energi
Energi secara formal mempunyai satuan joule tetapi untuk sederhananya kajian dinyatakan dengan tinggi kolom air. Energi Potensial disini terdiri dari •
z =muka tanah terhadap muka laut (m).
•
H=beda tinggi dari muka air ke muka tanah(m) . 4
Energi kinetik air yang mengalir dipipa dinyatakan dengan = •
V = v2/2g
dimana v adalah kecepatan aliran air (m/dt) dan g adalah percepatan gravitasi (m/dt2). Dengan demikian pada sisi 1 Total energi adalah:
Etot1 = z1+H1+ v12/2g. . . . . . . . . . . . . . .9. Pada sisi 2 karena sepanjang pipa terjadi gesekan antara badan pipa dengan air maka terjadi kehilangan enerig sebanyak hL.
Etot2 = z2+H2+ v22/2g+hL. . . . . . . . . . . . .10. Akibatnya total energi yang ada di sisi 2 adalah sebagai berikut : Dengan adanya azas kekekalan energi maka :
Etot1 = Etot2 z1+H1+ v12/2g =z2+H2+ v22/2g+hL . . . . . . . .11. Persamaan ini lazim disebut sebagai persamaan Bernaulli. Misalnya ada sebuah pipa diletakkan di sisi 1 sampai sisi 2.
Contoh Soal : Di sisi 1 •
Elevasi tanah adalah 100 m (z1=100m)
•
Dibangun menara air dengan ketinggian 20 m (h1=30m)
•
Kecepatan air dipipa adalah 1 m/dt (v1=1m/dt)
5
Di sisi 2 •
Kehilangan Energi dari sisi 1 ke 2 adalah 5 m (hL= 5m)
•
Kecepatan air tetap 1 m/dt (v2=1m/dt)
•
Ketinggian tanah adalah 110 m (z2=110m)
Setinggi apa air di sisi 2 dapat mencapai? Atau dengan kata lain berapa h2?
z1+H1+ v12/2g =z2+H2+ v22/2g+hL . . . . . . . .11. 1001+20+ 12/(2.9,81) =110+h2+ 12/2(2.9,81)+5 maka h2 = 5 m Maka dengan demikian apabila di sisi 2 pipa di buat lubang maka air yang keluar dapat mencapai ketinggian 5 m atau sisa tekanan adalah 5 m.
Berdasarkan pengertian ini maka apabila kecepatan air sama maka energi kinetik dapat diabaikan, dalam praktek perbedaan kecepatan yang kecil di sisi 1 dan 2 menyebabkan energi kinetik dapat pula diabaikan.
Di sini dapat disimpulkan untuk menghitung sisa tekanan dalam realita, faktor faktor penting untuk diketahui adalah: •
Elevasi tanah dimana pipa diletakkan (z)
•
Tenaga pendorong awal seperti menara air atau pompa (h1)
•
Kehilangan Energi atau Kehilangan Tekanan (hL)
Elevasi tanah didapat hari hasil pengukuran tanah yang baik. Tenaga pendorong adalah kondisi menara atau per pompa an yang 6
diperkirakan ketinggian tekannya dengan baik sedangkan head loss dihitung berdasarkan rumusan rumusan empiris. 2.
Kehilangan Tekanan
Salah satu fakto yang penting dalam perhitungan hidrolis perpipaan adalah perhitungan kehilangan tekanan. Ada beberapa rumusan yang dapat dipakai dalam menghitung kehilangan tekanan yaitu : •
Hazen Willian
•
Darcy Weisbach
2.1.
Persamaan Hazen William
Persamaan Hazen william adalah yang paling umum dipakai, persamaan ini lebih cocok untuk menghitung kehilangan tekanan untuk pipa dengan diameter besar yaitu diatas 100 mm. Selain itu rumus ini sering dipakai karena mudah dipakai.
Persamaan Hazen William secara empiris menyatakan bahwa debit yang mengalir didalam pipa adalah sebanding dengan diameter pipa dan kemiringan hidrolis (S) yang di nyatakan sebagai Kehilangan tekanan (hL) dibagi dengan panjang pipa (L) atau S = (hL/L) Disamping itu ada faktor C yang menggambarkan kodisi fisik dari pipa seperti kehalusan dinding dalam pipa yang menggambarkan jenis pipa dan umur.
Secara umum rumus Hazen William adalah sebagai berikut:
7
Q=0.2785.C.d2.63.S054 . . . . . . . . . . . .12. Dimana S = (hL/L) Dimana L=adalah panjang pipa dari 1 ke 2 Apabila kehilangan tekanan atau hL yang akan dihitung maka
hL =(Q/0.2785.C.d2.63) 1.85 .L. . . . . . . .13. C (koefisien Hazen William) berbeda untuk berbagai jenis pipa di tabel 1. dapat dilihat koefiesien tersebut.
Tabel 1. Koefisien Hazen William No
Jenis (Material)Pipa
Nilai C Perenccanaan
1
Asbes Cement
120
2
Poly Vinil Chloride (PVC)
3
High Density Poly Ethylene (HDPE)
130
4
Medium Density Poly Ethylene (MDPE)
130
5
Ductile Cast Iron Pipe (DCIP)
110
6
Besi Tuang, cast Iron (CIP)
110
7
Galvinized Iron Pipe (GIP)
110
8
Steel Pipe (Pipa Baja)
110
2.2.
Persamaan Darcy Weisbach
120-140
Persamaan Darcy secara diturunkan secara matematis
dan
menyatakan 8
kehilangan tekanan sebanding dengan kecepatan kuadrat dari aliran air, panjang pipa dan berbanding terbalik dengan diameter. Kemudian secara empiris di tentukan suatu faktor f.
hL =f.(L/d) (v12/2g). . . . . . .14. Perumusan koefisien f yang paling lazim dipakai adalah dengan metoda Colebrook .
ε
1/Sf =-2 log[ /(3,7.d)+2.51/(RE.Sf)] . . . . . .15. dimana : RE=Bilangan Reynold = v.d/ν = v.d.ρ/ν
ε= ketidak sempurnaan permukaan lihat tabel 2. d = diameter nominal Tabel 2. Nilai
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ε untuk koefisien Colebrook
Lapisan Dalam Pipa Kuningan Tembaga Beton Besi Tuang-tanpa pelapisan Besi Tuang-pelapisan aspal Besi Tuang-pelapisan semen Galvanized Iron Pipe Pipa Besi Welded steel pipe Riveted steel pipe PVC HDPE
Nilai dalam mm Nilai Ancar ancar Angka Perencanaan 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,3 – 3,0 1,2 0,12-0,61 0,24 0,061-0,183 0,12 0,0024 0,0024 0,061-0,24 0,150 0,030-0,024 0,061 0,020-0,091 0,061 0,020-0,091 1,81 0,0015 0,0015 0,007 0,007
Perumusan ini dipakai untuk aliran yang lebih laminer sehingga lebih cocok untuk pipa dengan diameter kecil (<50mm). Tetapi untuk diamater yang lebih besar biasa dipakai perumusan Hazen Wlliam. 9
2.3.
Persamaan De Chezy dengan koefisien Manning
Persamaan ini umum dipakai di saluran terbuka, tetapi dapat pula dipakai di jaringan perpipaan.
Secara umum persamaan de Chezy adalah sebagai beribut
V = C SRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . .16.
Dimana : V= kecepatan (m/dt) R= radius hirolis untuk pipa = d/4 (m) S= Slope hidrolis (h/L) dengan h adalah kehilangan tekan dan L adalah panjang pipa. C = adalah koefisien yang menurut Manning adalah C = R1/6/n V = R1/6/n SRS= R2/3S1/2/n . . . . . . . . .17. Apabila Q=v.A atau Q=v.π π/4.d2. . . . . . . . .18. Maka persamaan 16 menjadi 2 Q= (d/4)2/3S1/2/n. π/4.d π
Q= d8/3(h/L)1/2/n. π/4 π 5/3 . . . . . . . .19 .h=
Q2410/3.n2 .L d16/3. π 2
Koefisien Manning adalah sebagai berikut Tabel 3. Nilai C untuk koefisien Manning No 1 2 3 4
Lapisan Dalam Pipa Asbestos Cement Pipe (ACP) Tembaga PipaBeton Besi Tuang
Angka Perencanaan 0,011 0,011 0.011 0.012 10
5 6 7 8 9 10 2.4.
Galvanized Iron Pipe Pipa Besi Welded steel pipe Riveted steel pipe PVC HDPE
0,012 0,012 0,010 0.019 0,010 0,010
Kehilangan Tekanan Diperlengkapan (Accessories) Pipa
Perlengkapan pipa secara umum terdiri dari;
1. Fitting fitting pipa seperti: •
Penyempitan
•
Belokkan atau bend
•
Tee atau percabangan
2. Valve (Katup)
Kehilangan tekanan berbanding kuadrat dengan kecepatan aliran pipa yang secara matematika di nyatakan dengan:
hL =K. (v12/2g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20. atau bila persamaan 18 dimasukan ke persamaan 20 maka
hL =K. (8.Q2/( π2.g. D4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21. Dalam jaringan perpipaan kehilanan tekannan iniadalah jauh lebih kecil dari pada kehilangan akibat gesekan didalam pipa, oleh sebab itu Kehilangan tekanan ini lazim disebut sebagai Kehilangan Minor atau Minor loss. Tetapi didalam suatu rangkaian perpipaan sistem perpompaan dimana kecepatan air tinggi akan terjadi kehilangan tekanan yang cukup berarti. Khilangan minor juga bisa dinyatakan sebagai :
hm =KM. Q2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22. 11
Tabel 4. Koefisien Kehilangan Tekanan Minor No 1
2
3
4
5
6
7 8
Perlengkapan Pipa Ujung Pipa Masuk Bentuk lonceng Ujung bulat Ujung tajam Kerucut Kontraksi-tajam D2/D1= 0,80 D2/D1= 0,50 D2/D1= 0,20
Kontraksi-kerucut D2/D1= 0,80 D2/D1= 0,50 D2/D1= 0,20 Pembesaran-tajam D2/D1= 0,80 D2/D1= 0,50 D2/D1= 0,20 Pembesarankerucut D2/D1= 0,80 D2/D1= 0,50 D2/D1= 0,20 Gate Valve-terbuka 2 /3 terbuka ½ terbuka 1 /4 terbuka Globe Valve-terbuka Angle Valve-terbuka
KL
No 9
0,03-0,05 0,12-0,25 0,50 0,78 10 0,18 0,37 0,49
11 0,05 0,07 0,08 12 0,16 0,57 0,92 14 0,03 0,08 0,13 15 1,1 4,8 27 10 4,3
Perlengkapan Pipa Radius Bend 90o Radius /D=4 Radius /D=2 Radius /D=1
KL 0,16-018 0,19-025 0,35-0,40
Bend θ = 15o θ = 30o θ = 45o θ = 60o θ = 90o Tee Tee-y Tajam
0,35 0,80
Cross mulus Tajam
0,50 0,75
0,05 0,10 0,20 0,35 0,80
Check Valve Konensional Mulus (clearway) bola Butterfly Valve-terbuka Foot Valve-hinged Foot Valve-topet
4,0 1,5 4,5 1,2 2,25 12,5
12
2.5.
Dalam
Kehilangan Tekanan dinyatakan dengan Pipa Eqivalen
perhitungan
jaringan
pipa,
untuk
menyederhanakan
perhitungan, kehilanan minor dapat juga dinyatakan dalam panjang pipa atau dalam pipa eqivalen. Panjang ekivalen bisa didapatkan dengan mensubstitusi persamaan 20 dengan persamaan Darcy Weibach (persamaan 14) sehingga menghasil kan persamaan 23
K. (v12/2g) =f.(Le/d) (v12/2g) Le= K.d/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23. atau dengan persamaan Hazen William (persamaan 14) sehingga menghasil kan persamaan 24
K. (v12/2g) =(Q/0.2785.C.d2.63) 1.85 .Le Le= K. (v12/2g)/ (Q/0.2785.C.d2.63) 1.85. . . . . . ..24. Atau
Le= K.320. Q0,15/(g.C 1.85 d6.8655) . . . . . . . . . . ..25.
13
2.5.1. Kehilangan
Tekanan
dinyatakan
dengan
Diamater
Eqivalen
Apabila kita berhadapan dengan sejumlah pipa yang dipasang secara seri (lihat gambar 2a) ataupun sejumlah pipa yang dipasang secara paralel (lihat gambar 2b), maka kita akan mengalami kesulitan dalam mengalisan sisa tekanannya. d1 A
L1
d2 B
C
L2
Gambar 2.2.a. Pipa terhubung secara seri 1
A
B 2 Gambar 2.2.b. Pipa terhubung secara paralel
•
Perhitungan diameter ekivalen terpasang seri
hAC = hAB + hAC menurut Rumus hazen william (rumus 13)
KAC .deq-2.63= KAB .dAB-2.63 + KBC .dBC-2.63 apabila panjang pipa dan jenis pipa sama maka :
KAC =KAB =KBC maka
KAC .deq-2.63= KAB .dAB-2.63 + KBC .dBC-2.63 Atau
deq=[ [ dAB-2.63 + dBC-2.63] -1/2.63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 14
•
Perhitungan diameter ekivalen terpasang seri
QAB = QAB1 + QAB2 Maka menurut Hazen William (rumus 12)
KAB .deq2.63= KAB1 .d12.63 +KAB2 .d22.63 apabila panjang pipa dan jenis pipa sama maka :
KAB =KAB1 =KAB2 atau
KAB .deq2.63= KAB1 .d12.63 +KAB2 .d22.63 Dengan demikian diameter eqivalen menjadi:
deq= [d12.63 + d22.63] 1/2.63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28.
3.
Tekanan Penggerak Air
Tekanan penggerak air yang ada dialam adalah gaya gravitasi sehingga air yang diletakkan didalam suatu penampung atau reservoir pada suatu ketinggian tertentu, tentunya akan mengalir ke bawah searah dengan gaya gravitasi. Pada kasus ini tekanan awal penggerak yang biasa disebut sebagai head awal (initial head) atau tekanan awal akan selalu sama walaupun debit yang dialirkan berubah ubah. Selain mengunaka gaya gravitasi air dalam pipa juga dapat digerakkan oleh mesin penggerak air atau pompa. Karakteristik pengaliran air oleh pompa sangat berbeda dengan pengaliran dengan gravitasi. Tekanan pompa akan tidak sama dengan debit air yang dihasilkan.
15
Misalnya kita tinjau suatu sistem perpipaan yang pada sisi 1 di pasang pompa dan disisi 2 dipasang valve. Pada suatu Debit rencana (Qr) tekanan pompa akan tertentu (h1r). E to t1
E to t2
v1
hL v2
H1 pom pa
z1
H2 v a lv e Qr z2 m u k a la u t
gambar 3. Model hidrolika pipa dengan tekanan pompa
Pada saat valve di putar kecil atau di cekek tekanan pompa akan naik terus sampai bila valve tertutup dan pompa tetap hidup makan tekanan pompa akan berhenti pada tekanan h10. Tetapi sebaliknya pada saat pompa diputar lebih besar dari debit rencana (Q>Qr) maka tekanan pompa akan turun (h1< h10). Pada gambar 4. ditunjukkan grafik tekanan pompa vs Debit yang dihasilkan
16
H10
v a lv e d ip u t a r k e c il
h10 v a lv e d ip u t a r b e s a r
pom pa Q
gambar 4. Kurva Debit Air (Q) VS tekanan pompa (h)
Bandingkan kondisi ini dengan apabila menggunakan menara air, yang menggunakan beda tinggi sebagai pendorong aliran air dalam pipa (lihat gambar 5.). Dari gambar ini dapat dilihat bahwa walaupun valve dibuka lebih besar hingga debit air yang keluar besar atau maupun diperkecil hingga debit yang keluar kecil, tekanan awal akan tetap sama.
r e s e r v o ir
H10
v a lv e d ip u t a r k e c il v a lv e d ip u t a r b e s a r
Q
gambar 5. Kurva Debit Air(Q) VS Tekanan air (h) di Menara Air
17
Dalam praktek kedua sistem penggerak aliran ini mempunyai kelebihan dan kekurangan. Untuk dapat memehami perbedaan ini maka pengertian tentang hidrolika jaringan pipa perlu di telaah.
4.
Hidrolika Jaringan Perpipaan
Jaringan perpipaan merupakan suatu rangkaian pipa yang saling terhubung satu sama lain secara hidrolis, sehingga apabila di satu pipa
mengalami
perubahan
debit
aliran
maka
akan
terjadi
penyebaran pengaruh ke pipa pipa yang lain. Pengaruh ini dapat di deteksi dari segi perubahan tekanan yang ada di pipa.
Pipa yang tergabung dalam suatu jaringan pipa dapat dibedakan satu dengan yang lain dari segi : •
Panjang Pipa
•
Diamater Pipa
•
Jenis Pipa
•
Kedudukan pipa dalam jaringan
Kedudukan pipa dalam suatu jaringan dapat dinyatakan dengan •
nomor pipa
•
simpul atau node yang dihubungkan oleh pipa tersebut
Pada gambar 6. berikut ini adalah contoh suatu jaringan dan penotasi-annya.
18
gambar 6. Contoh Sebuah Jaringan Pipa Aspek yang penting dalam mengkonstruksi sebuah jaringan pipa adalah keterangan dari node dan pipa itu sendiri . Dari gambar 5 dapat ditunjukkan keterangan keterangan yang umumnya diperlukan dalam mengidentifikasikan suatu jaringan pipa. Keterangan dalam jaringan pipa terdiri dari dua jenis yaitu keterangan yang dapat diidentifikasikan
langsung
umumnya
aspek
aspek
fisik,
dan
keterangan yang bersifat hidrolis yang mana dapat di identifikasikan secara langsung maupun secara tidak langsung. Untuk lebih jelasnya hal ini dapat diuraikan sebagai berikut: 4.1.
Karaketristik Hidrolis Node
Keterangan fisik berupa kedudukan node dalam kerangka vertikal dan horizontal suatu bidang tanah, yaitu meyangkut elevasi node, 19
posisi/koordinat
node dalam wilayah sehingga mudah dipetakan.
Keterangan ini bermanfaat sebagai dasar dalam pengidentifikasian kondisi hidrolis langsung maupun tak lansung.
Aspek hidrolis yang perlu di identifikasi adalah sebagai berikut : •
Debit tapping
•
Tekanan air
Debit tapping dalam suatu jaringan pipa air minum sangat tergantung dari pemakaian air si pemakai air yang terhubung dengan tapping itu umumnya 1 l/dt debit air rata rata yang keluar dari tapping dapat melayani 50 sampai 70 sambungan rumah. Hubungan antara debit tapping yang keluar dari node dengan tekanan node adalah sebagai berikut: •
Apabila debit tapping adalah 0 (nol) maka tekanan yang ada di tapping adalah maksimal.
•
Apabila debit tapping membesar maka tekanan air turun
Secara umum akan mengikuti grafik sebagai berikut :
20
htapping
debit tapping turun tekanan di node naik
debit tapping naik tekanan di node turun
node
Q
gambar 7. Karakteristik tekanan VS debit disuatu node
Tekanan suatu node tergantung pula oleh sisa tekanan yang diberikan oleh pipa pipa yang terhubung ke dan dari node tersebut, oleh sebab itu pemahaman terhadap karakteristik hidrolis pipa dalam suatu jaringan perlu sekali. 4.2.
Karaketristik Hidrolis Pipa dalam suatu jaringan
Seperti telah di jelaskan dalam bab sebelumnya kehilangan tekanan dipipa sebanding dengan debit air yang mengalir didalamnya. Semakin besar debit semakin besar kehilangan tekanan, secara matematis dapat ungkapkan sebagai berikut :
hL =F(Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29. hL seperti pada gambar 3 adalah kehilangan tekanan yang secara fisik merupakan beda tinggi permukaan air dari sumber pengaliran. Dengan demikian apabila kecepatan dianggap hampir sama maka tekanan dari muka laut disisi 2 adalah 21
(H2 +Z2 ) = (H1 + Z1)- hL atau tekanan dari atas permukaan tanah Z2 H2= (H1 -hL )+ (Z1- Z2 ). Apabila aliran air melewati beberapa pipa pada jalur 1 seperti di gambar 8 maka kehilangan tekanan total tentunya adalah
hj114= h12 +h23 +h34 . Air yang melewati jalur 2 kehilangan tekanannya hj214= h15 +h56 +h64 . Karena tekanan yang terjadi di node 4 adalah sama dari jalur 1 maupun dari jalur 2 maka kehilangan tekanan dari jalur 1 dan 2 juga sama atau hj114= h j214 atau h12 +h23 +h34= h15 +h56 +h64 atau h12 +h23 +h34- h15 -h56 -h64 = 0. Dengan kata lain jumlah kehilangan tekanan dalam suatu rangkaian pipa berbentuk lingkaran atau loop pada arah yang sama adalah nol. Tekanan suatu node tergantung pula oleh sisa tekanan yang diberikan oleh pipa pipa yang terhubung ke dan dari node tersebut, oleh sebab itu pemahaman terhadap karakteristik hidrolis pipa dalam suatu jaringan perlu sekali. 22
4.3.
Karaketristik Hidrolis Pipa dalam suatu jaringan
Seperti telah di jelaskan dalam bab sebelumnya kehilangan tekanan dipipa sebanding dengan debit air yang mengalir didalamnya. Semakin besar debit semakin besar kehilangan tekanan, secara matematis dapat ungkapkan sebagai berikut :
hL =F(Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29. hL seperti pada gambar 3 adalah kehilangan tekanan yang secara fisik merupakan beda tinggi permukaan air dari sumber pengaliran. Dengan demikian apabila kecepatan dianggap hampir sama maka tekanan dari muka laut disisi 2 adalah (H2 +Z2 ) = (H1 + Z1)- hL atau tekanan dari atas permukaan tanah Z2 h2= (h1 -hL )+ (Z1- Z2 ).
gambar 8. Perpipaan dalam Suatu Jaringan 23
Apabila aliran air melewati beberapa pipa pada jalur 1 seperti di gambar 8.a.
gambar 8.a. kehilangan tekanan h12 ,h23 ,h34 . Maka kehilangan tekanan total tentunya adalah hj114= h12 +h23 +h34 . Air yang melewati jalur 2 kehilangan tekanannya hj214= h15 +h56 +h64 .
gambar 8.b. kehilangan tekanan h15 ,h56 ,h64 . Karena tekanan yang terjadi di node 4 adalah sama 24
maka kehilangan tekanan dari jalur 1 dan 2 juga sama
gambar 8.c. kehilangan tekanan h12 ,h23 ,h34 dan h15 ,h56 ,h64 . atau hj114= h j214 atau h12 +h23 +h34= h15 +h56 +h64 atau h12 +h23 +h34- h15 -h56 -h64 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30. Dengan kata lain jumlah kehilangan tekanan dalam suatu rangkaian pipa berbentuk lingkaran atau loop pada arah yang sama adalah nol. Berdasarkan azas kontinuitas (lihat persamaan 4.) air yang masuk sama dengan air yang keluar atau : Q1 = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6
. . . . . . . . . . . . . . . .31.
Atau dengan kata lain air yang masuk dalam suatu jaringan akan sama dengan yang keluar dimasing masing tapping atau node.
Dalam suatu sistem jaringan air yang keluar dari node dikendalikan oleh sebuah vale yang menghubungkan anatara satu bagian jaring 25
dengan bagian lainnya. Sedangkan secara kolektif air yang keluar dari satu node jaringan tergantung dari perilaku konsumen atau pemakai air memakai air. Pemakaian air sendiri secara hidrolis tergantung dari sisa tekanan pada node tersebut sedangkan faktor lain yang mempengaruhi adalah tingkat kebutuhan konsumen akan air. Misalnya 1 orang per hari memakai air 200 L/org/hari, bila sebuah node melayani 500 orang maka satu node itu mengeluarkan air sebanyak 200 L/org/hari x 500 org = 100.000 L/hari atau 100 m3/hari
atau
atau
rata
rata
dalam
1
detik
adalah
100.000/3600/24=1,1574 L atau Q= 1,1574 L/dt. Hal ini berarti debit air yang keluar dari node tersebut adalah 1,1574 L/dt.
4.4.
Model Matematika Suatu Jaringan Pipa
Secara matematis apabila kita mengetahui Q (debit air yang keluar dari masing masing node) maka kita dapat menghitung penyebaran aliran air di setiap pipa dijaringan dengan tentunya memperhatikan karakteristik hidrolis dari pipa (dimana selalu ada hubungan antara Q dan hL ). Pada prinsipnya dengan terhitungnya hL maka H atau tekanan di setiap node dapat dicari. Masalahnya adalah dari jalur manapun hL dihitung maka tekanan disuatu node harus mempunyai hasil perhitungan yang sama. A. Hardy Cross
Pada tahun 1936 Hardy Cross
menemukan suatu metoda
perhitungan jaringan pipa yang pada akhir perhitungannya dapat 26
ditemukan penyebaran debit air di pipa yang menghasilkan tinggi tekanan dipipa yang konsisten. Metoda ini dikenal dengan metoda perataan (adjustent) satu arah atau dengan metoda relaksasi. Aliran disetiap pipa diratakan secara iteratif sampai persamaan hidrolis terpenuhi. Metoda ini didasari pada dua kaidah fisika, yaitu:
1. Jumlah debit air dipipa yang masuk dan keluar dari suatu node sama dengan jumlah debit air yang masuk dan keluar dari node tersebut. 2. Tekanan di suatu node adalah tungal dalam arti di dhitung dari segala arah hasilnya sama.
Aliran air dipipa di hitung dan diratakan secara iteratif dengan menggunakan persamaan sebagai berikut
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .31.
Dimana :
n=2.0 untuk Darcy Weisbach n=1.85 untuk Hazen Williams
Iterasi ini berlanjut sampai ∆Qi memenuhi suatu kriteria konvergensi. Contoh soal :
Pemecahan persoalan jaringan pipa dengan Metoda Hardy Cross dapat dilakukan dengan menggunakan Microsoft Excell. Sebagai contoh jaringan pada gambar 27
Q=170 L/dt
1
2
Ø 300 m m L=2000m
Q=45 L/dt Ø 250 mm L=2000m Ø 200 m m L=2500m 4
3 Ø 200 mm L=2000m
Q=35L/dt
Q=40 L/dt
Ø 150 m m L=2000m
Ø 200 m m L=3000m
6 5 Ø 150 mm L=3000m
Q=25L/dt
Q=25 L/dt
Gambar 9 Contoh jaringan Pipa Circuit
Pipa
iterasi o
1
2
Circuit
2
panj (m)
Ǿ (mm)
Q0 (L/dt)
C
L
D
Q=asum si
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
95
9.548
19.097
0.201
2-4
100
2500
200
50
20.941
52.354
1.047
-8.9974
4-3
100
2000
200
-20
-3.844
-7.689
0.384
-8.2924
3-1
100
2000
250
-75
-14.971
-29.943
0.399
-8.9974
33.819
2.032
-8.9974
3-4
100
2000
200
20
3.844
7.689
0.384
8.2924
4-6
100
3000
200
30
8.139
24.418
0.814
-0.7050
6-5
100
3000
150
5
1.199
3.598
0.720
-0.7050
5-3
100
2000
150
-20
-15.585
-31.170
1.559
-0.7050
4.534
3.476
Pipa
iterasi 1
1
Koef HW
Koef HW
panj (m)
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
C
L
D
Q=Qo+q o
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
86.003
7.943
15.886
0.185
-0.1670
2-4
100
2500
200
41.003
14.508
36.270
0.885
-0.1670
4-3
100
2000
200
-28.292
-7.303
-14.606
0.516
0.9678
3-1
100
2000
250
-83.997
-18.462
-36.925
0.440
-0.1670
0.626
2.025
3-4
100
2000
200
28.292
7.303
14.606
0.516
-0.9678
4-6
100
3000
200
29.295
7.789
23.367
0.798
-1.1348
6-5
100
3000
150
4.295
0.905
2.716
0.632
-1.1348
5-3
100
2000
150
-20.705
-16.617
-33.233
1.605
-1.1348
7.456
3.551
28
Circuit
Pipa
iterasi 2
1
2
Circuit
2
Circuit
2
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
C
L
D
Q=Qo+q 1
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
100
2000
300
85.836
7.915
15.829
0.184
-0.2883
2-4
100
2500
200
40.836
14.399
35.998
0.882
-0.2883
4-3
100
2000
200
-27.325
-6.848
-13.695
0.501
-0.2453
3-1
100
2000
250
-84.164
-18.530
-37.061
0.440
-0.2883
1.071
2.007
3-4
100
2000
200
27.325
6.848
13.695
0.501
0.2453
4-6
100
3000
200
28.160
7.240
21.720
0.771
-0.0430
6-5
100
3000
150
3.160
0.513
1.540
0.487
-0.0430
5-3
100
2000
150
-21.840
-18.341
-36.681
1.680
-0.0430
0.273
3.439
Pipa
Koef HW
panj (m)
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
C
L
D
Q=Qo+q 2
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
85.547
7.865
15.731
0.184
-0.0108
2-4
100
2500
200
40.547
14.212
35.529
0.876
-0.0108
4-3
100
2000
200
-27.570
-6.962
-13.923
0.505
0.0313
3-1
100
2000
250
-84.453
-18.648
-37.296
0.442
-0.0108
0.040
2.007
3-4
100
2000
200
27.570
6.962
13.923
0.505
-0.0313
4-6
100
3000
200
28.117
7.220
21.659
0.770
-0.0422
6-5
100
3000
150
3.117
0.500
1.501
0.482
-0.0422
5-3
100
2000
150
-21.883
-18.407
-36.815
1.682
-0.0422
0.268
3.439
Pipa
iterasi 4
1
panj (m)
1-2
iterasi 3
1
Koef HW
Koef HW
panj (m)
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
C
L
D
Q=Qo+q 3
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
85.536
7.864
15.727
0.184
-0.0106
2-4
100
2500
200
40.536
14.205
35.511
0.876
-0.0106
4-3
100
2000
200
-27.539
-6.947
-13.894
0.505
-0.0090
3-1
100
2000
250
-84.464
-18.652
-37.305
0.442
-0.0106
0.039
2.006
3-4
100
2000
200
27.539
6.947
13.894
0.505
0.0090
4-6
100
3000
200
28.075
7.200
21.599
0.769
-0.0016
6-5
100
3000
150
3.075
0.488
1.464
0.476
-0.0016
5-3
100
2000
150
-21.925
-18.473
-36.946
1.685
-0.0016
0.010
3.435
29
Circuit
Pipa
iterasi 5
1
2
Circuit
2
Circuit
2
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
C
L
D
Q=Qo+q 4
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
100
2000
300
85.526
7.862
15.724
0.184
-0.0004
2-4
100
2500
200
40.526
14.198
35.494
0.876
-0.0004
4-3
100
2000
200
-27.548
-6.951
-13.903
0.505
0.0012
3-1
100
2000
250
-84.474
-18.657
-37.313
0.442
-0.0004
0.002
2.006
3-4
100
2000
200
27.548
6.951
13.903
0.505
-0.0012
4-6
100
3000
200
28.073
7.199
21.596
0.769
-0.0016
6-5
100
3000
150
3.073
0.487
1.462
0.476
-0.0016
5-3
100
2000
150
-21.927
-18.476
-36.951
1.685
-0.0016
0.010
3.435
Pipa
Koef HW
C
panj (m)
L
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
D
Q=Qo+q 5
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
85.525
7.862
15.723
0.184
-0.0004
2-4
100
2500
200
40.525
14.197
35.493
0.876
-0.0004
4-3
100
2000
200
-27.546
-6.951
-13.902
0.505
-0.0003
3-1
100
2000
250
-84.475
-18.657
-37.314
0.442
-0.0004
0.001
2.006
3-4
100
2000
200
27.546
6.951
13.902
0.505
0.0003
4-6
100
3000
200
28.072
7.198
21.594
0.769
-0.0001
6-5
100
3000
150
3.072
0.487
1.461
0.476
-0.0001
5-3
100
2000
150
-21.928
-18.478
-36.956
1.685
-0.0001
0.000
3.435
Pipa
iterasi 7
1
panj (m)
1-2
iterasi 6
1
Koef HW
Koef HW
C
panj (m)
L
Ǿ (mm)
Q (L/dt)
D
Q=Qo+q 6
S m/1000m (Q/1000/0,2785/ C/(D/1000)^2.63 )^1.85
H (m)
SxLx1000
H/Q
q0 ΣH/Σ ΣQ/1.85
1-2
100
2000
300
86
7.862
15.723
0.184
0.0000
2-4
100
2500
200
41
14.197
35.493
0.876
0.0000
4-3
100
2000
200
-28
-6.951
-13.902
0.505
0.0000
3-1
100
2000
250
-84
-18.657
-37.314
0.442
0.0000
0.000
2.006
3-4
100
2000
200
28
6.951
13.902
0.505
0.0000
4-6
100
3000
200
28
7.198
21.594
0.769
-0.0001
6-5
100
3000
150
3
0.487
1.461
0.476
-0.0001
5-3
100
2000
150
-22
-18.478
-36.956
1.685
-0.0001
0.000
3.435
Dapat dilihat pada iterasi yang ke 6 dan ke 7 debit pipa sudah hampir sama hanya terpaut dibawah 0,005 L/dt.
30
Sejalan dengan meningkatnya kemampuan komputasi, metoda iterasi ini kemudian disempurnakan dengan dengan melakukan komputasi terhadap matriks jaringan pipa secara simultan. B. Penyelesaian perhitungan secara simultan Pada persamaan 29 ditunjukkan bahwa kehilangan tekanan disebuah sebanding dengan dengan debit yang dialirinya. Apabila dua buah node i dan j dihubungkan dengan sebuah pipa L maka hubungan tersebut dapat dinyatakan dengan kaidah hazen william sebagai:
QL =G(hL)=0.2785.C.D2,63. ((Hi- Hj)/L)0,54 . . . . . .32. Apabila kL =0.2785.C.D2,63. L-0,54.(Hi- Hi) -0,46 . . . . . .33. dan apabila persamaan 32. dinyatakan secara linear maka debit dipipa dapat dinyatakan sebagai berikut: QL =kLhL= kL(Hi- Hj) Apabila QL dinyatakan secara semultan untuk semua pipa di jaringan maka salah satu cara adalah persamaan jaringan dinyatakan dalam bentuk matriks: Lihatlah satu ruas pipa seperti di gambar 10. Hi hij
Hj k i
j
gambar 10. Ruas Satu Pipa 31
Air yang mengalir dari node i ke node j tergantung dari beda tinggi tekanan di node i dan node j atau hij atau hubgungan ini secara matematis dapat dinyatakan sebagai: Qkij =kkij(Hi- Hj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Sedangkan apabila aliran ini bila dinyatakan dalam bentuk kebalikannya yaitu dari node j ke node i maka akan menghasilkan debit (Q) yang negatif atau : Qkji =-kkji(Hi- Hj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35. Apabila kkji=kkij=kk Maka dalam bentuk tabulasi dapat disusun Qij=
+kk .Hi
- kk .Hj
Qji=
-kk .H i
+kk .Hj
Dalam bentuk matriks adalah
[
kk
+1 -1 -1 +1
].[
Hi Hj
][ ] =
Qij Qji
Dimana: Qk=
[ ] Qij Qji
Menyatakan vektor arah debit aliran air
Hk=
[ ]
Menyatakan Ketinggian tekanan pada node
kk
[
Hi Hj
+1 -1 -1 +1
]
Menyatakan Karakteristik dari matriks 32
Apabila yang ditinjau adalah sebuah jaringan pipa maka Jumlah debit air dipipa yang masuk dan keluar dari suatu node i sama dengan jumlah debit air yang masuk dan keluar dari node i tersebut. Atau secara matematis dapat dinyatakan dengan:
ΣQij = qi j2 Q Q j1
ij2
ij1 Q qi
ij3
i
j3
Apabila kita tinjau seluruh node dalam jaringan seperti dalam gambar 9. maka dapat disusun matriks sebagai berikut: Q12 +
Q13+
Q21+
Q24+
Q31+
Q34+
Q35
Q42+
Q43+
Q46
Q53+
Q56+
Q65+
Q64+
= = = = = =
q1 q2 q3 q4 q5 q6
Apabila kita melihat persamaan 34 maka dapat diturunkan lagi
k2(H1-H2)+
k1(H1-H3)+
=
q1
k2(H2-H1)+
k4(H2-H4)+
=
q2
k1(H3-H1)+
k3(H3-H4)+
k5(H3-H5)
=
q3
k4(H4-H2)+
k3(H4-H3)+
k7(H4-H6)
=
q4
k5(H5-H3)+
k6(H5-H6)+
=
q5
k6(H6-H5)+
k7(H6-H4)+
=
q6
Dan apabila persamaan tersebut kita bentuk dalam suatu perkalian matriks maka 33
k1+k2
-k2
-k2
k2+k4
-k1
H1 -k4
-k1
k1+k3+k5 -k4
-k3
-k3
H2 -k5
-k5 -k7
=
H3
k4+k3+k7
-k7
H4
k5+k6
-k6
H5
-k6
k6+k7
H6
q1 q2 q3 q4 q5 q6
Bila q (m3/dt) diketahui dan dengan mengasumsikan Ketinggian tekanan awal Hi maka nilai kk dapat dicari. Kemudian dengan mengeliminasi matriks diatas maka akan didapat nilai Hi yang baru dan seterusnya sampai nilai Hi retatif tidak berubah. Contoh Soal : Lihat gambar 9. dengan input awal H seperti ditunjukkan dibawah maka akan didapat nilai k dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 33. dan dapat ditunjukkan pada Tabel 6 H1 = H2 = H3 = H4 = H5 = H6 =
100.0 m 90.0 m 80.0 m 70.0 m 60.0 m 40.0 m
Tabel 6. Nilai k untuk masing masing pipa Dari Node 1 1 3 2 3 5 4
Ke Node 3 2 4 4 5 6 6
No Pipa 1 2 3 4 5 6 7
D(mm) 250 300 200 200 150 150 200
L(m) 2000 2000 2000 2500 2000 3000 3000
k
0.003 0.0067 0.0023 0.0015 0.0008 0.0006 0.0011
Dengan demikian dapat disusun matriks sebagai berikut :
0.01
-0.01
-0.00302
0.17
H1
34
-0.01
0.008
-0.00149
-0 -0
0.00612
-0.00231
-0.00231
0.00492
-0.00079 -0.00112
-0.045
H2 -0.0008
=
H3
-0.035
-0
H4
-0.04
0.00142
-0
H5
-0.025
-0.0006
0.002
H6
-0.025
MATRIKS MATRIKS H(m) q(m3/dt) Dengan eleminasi Gauss kita dapat mencari nilai H yang baru, pada MATRIKS k
perhitungan iterasi 1 nilai H di dapat seperti pada tabel 7. Tabel 7 Proses perhitungan nilai H H awal
H iterasi I
H iterasi II
H iterasi III
H iterasi IV
H iterasi V
H iterasi VI
H1 =
100.0 m
61.08
66.69
70.77
71.21
73.10
72.22
H2 =
90.0 m
48.50
52.54
55.78
55.89
57.55
56.64
H3 =
80.0 m
32.81
33.91
35.79
35.02
36.52
35.27
H4 =
70.0 m
21.96
21.59
22.32
21.52
22.40
21.50
H5 =
60.0 m
0.62
(0.93)
1.58
(1.29)
1.90
(1.36)
H6 =
40.0 m
(0.00)
0.00
0.00
0.00
(0.00)
(0.00)
H iterasi VIII
H iterasi IX
H iterasi X
H iterasi XI
H iterasi XII
H iterasi XIII
H iterasi VII
72.43
73.71
72.48
73.73
72.49
73.74
72.49
H2 =
57.93
56.80
58.01
56.83
58.03
56.84
58.03
56.84
H3 =
36.67
35.32
36.70
35.33
36.71
35.33
36.71
35.33
H4 =
22.42
21.50
22.42
21.49
22.42
21.49
22.42
21.49
H5 =
1.96
(1.38)
1.98
(1.38)
1.98
(1.38)
1.98
(1.38)
H6 =
(0.00)
(0.00)
(0.00)
0.00
(0.00)
0.00
(0.00)
(0.00)
H1 =
73.60
H iterasiXIV
Karena H sudah relatif sama maka perhitungan di hentikan pada iterasi ke 14. Setelah itu Debit permasing masing pipa dihitung kembali, dengan hasil seperti pada tabel 8.
Tabel 8. Besar debit setelah perhitungan
Dari 1 1 3
Ke 3 2 4
No Pipa 1 2 3
D (mm) 250 300 200
L (m) 2000 2000 2000
Q (L/dt) 84.5 85.5 27.6 35
2 3 5 4
4 5 6 6
4 5 6 7
200 150 150 200
2500 2000 3000 3000
40.5 21.9 -3.0 28.1
Syarat Batas Pada kondisi tertentu misalnya Ketinggian tekanan di 1 tidak berubah ubah maka matriks harus disesuaikan dengan memasukkan syarat batas. Misalnya ketinggian tekan di titik 1 adalah 100 m. Maka matriks perlu disesuaikan sebagai berikut : 1
0
0
-k2
k2+k4
0
-k1
0
0
0 -k4
k1+k3+k5
-k4
-k3
0
0
-k5
0
0
0
-k3
0
0
H1
0
0
H2
0
H3
-k5
k4+k3+k7 -k7
100 q2
=
q3
-k7
H4
q4
k5+k6
-k6
H5
q5
-k6
k6+k7
H6
q6
Untuk dapat dicari solusi matematisnya nya maka matriks harus di ubah menjadi
1
0
0
0
k2+k4
0
0 -k4
0
0
k1+k3+k5
-k3
0
-k4
-k3
k4+k3+k7
0
0
-k5
0
0
0
0
0
H1
0
0
H2
-k5 k5+k6
-k7
-k6
0
H3
100 q2-(-k2).H1
=
q3-(-k1).H1
-k7
H4
q4
-k6
H5
q5
k6+k7
H6
q6
Dengan prosedur diatas akan didapat nilai q yang sama.
36
