UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ALTA TENSIÓN I
EL CAMPO ELÉCTRICO *Introducción *La ley de Coulomb DOCENTE: Ing. Pablo Méndez Santos
Alta Tensión I
INGENIERÍA ELÉCTRICA
Al menos desde el siglo VI antes de Cristo se había observado que trozos de ámbar frotados con lana atraen pequeños cuerpos y motas de polvo. Esta propiedad se llamó por eso propiedad del ámbar o electricidad, por la palabra griega electrón, que significa ámbar. Se conocía que también otros cuerpos podían adquirir por frotamiento la propiedad de atraer o repeler. Este fue todo el conocimiento sobre la electricidad hasta el siglo XVIII, en que surge la idea de que estas atracciones y repulsiones podían explicarse si se supone que hay dos clases de electricidad: una, la que adquiere el vidrio frotado con lana y la de todos los cuerpos a los que repele, que se llamó electricidad vítrea, y otra, la del ámbar frotado con lana y la de todos los cuerpos a los que repele, que se llamó electricidad resinosa. Con esta hipótesis resulta que los cuerpos con la misma clase de electricidad se repelen y los que la tienen distinta se atraen.
Hasta hoy nada ha invalidado este supuesto.
Alta Tensión I
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Al menos desde el siglo VI antes de Cristo se había observado que trozos de ámbar frotados con lana atraen pequeños cuerpos y motas de polvo. Esta propiedad se llamó por eso propiedad del ámbar o electricidad, por la palabra griega electrón, que significa ámbar. Se conocía que también otros cuerpos podían adquirir por frotamiento la propiedad de atraer o repeler. Este fue todo el conocimiento sobre la electricidad hasta el siglo XVIII, en que surge la idea de que estas atracciones y repulsiones podían explicarse si se supone que hay dos clases de electricidad: una, la que adquiere el vidrio frotado con lana y la de todos los cuerpos a los que repele, que se llamó electricidad vítrea, y otra, la del ámbar frotado con lana y la de todos los cuerpos a los que repele, que se llamó electricidad resinosa. Con esta hipótesis resulta que los cuerpos con la misma clase de electricidad se repelen y los que la tienen distinta se atraen.
Hasta hoy nada ha invalidado este supuesto.
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El parámetro fundamental del modelo electrostático es la intensidad de campo eléctrico que se expresa como:
v/m
E lim q
0
F q
Newton Coulomb
De lo anterior se deduce que la intensidad de campo eléctrico es proporcional a la fuerza y tiene su misma dirección.
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Campo Vectorial.
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Divergencia.
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Rotacional.
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Teorema de Stokes
C am p o c o n s e r v a ti v o
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Teorema de la Divergencia
Camp o c errado so br e sím ism o
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Postulados fundamentales de la Electrostática en forma diferencial:
1 36
10 9 ( F / m)
El campo eléctrico es irrotacional por tanto conservativo
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Postulados fundamentales de la Electrostática en forma integral:
E ds
Q
s
E dl
C
0
0
Trabajo realizado para mover una unidad de carga a lo largo de una trayectoria cerrada.
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Asumiendo el caso más simple de la electrostática, una sola carga rodeada de una superficie gausiana:
Q
E ds
s
0
Incluyendo un vector unitario normal a la superficie:
q
(a R E R ) a R ds
0
s
2
E R (4 R )
q 0
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Despejando la intensidad de campo eléctrico:
E R
a R
q (4
0
Si la carga q no esta situada en el origen, se deberá considerar el vector de distancia que existirá entre la posición de q y el punto de análisis.
aqp
R R' R R'
Vector unitario trazado de q a P.
R2 )
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Con lo cual la intensidad de campo eléctrico entre dos puntos:
E P
q( R R' ) 4
0
R R'
3
Ejemplo: Determine la intensidad de campo eléctrico en P(-0.2, 0, -2.3) debida a una carga puntual de +5nC en Q(0.2, 0.1, -2.5) en el aire. Todas las dimensiones están en metros.
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Q(0.2, 0.1, -2.5)
Solución:
+5nC
El vector de posición del punto P es: R
a x 0.2 a z 2.3
OP
P(-0.2, 0, -2.3)
El vector de posición del punto de carga Q es: R' OQ
a x 0.2 a y 0.1 a z 2.5
La diferencia es: R R '
a x 0.4 a y 0.1 a z 0.2
Magnitud: R R'
( 0.4) 2
( 0.1) 2
(0.2) 2
1/ 2
0.458m
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Solución:
E P E P E P
1 4
Q R R' R R'
0
9 10
9
5 10
Vector unitario
3
9 3
a x 0.4 a y 0.1 a z 0.2
0.458 214.5( a x 0.873 a y 0.218 a z 0.437)v / m
Vector unitario
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Cuando se coloca una carga puntual q2 en el campo creado por otra carga puntual q1, la carga q2 experimenta una fuerza F12 debida a la intensidad de campo eléctrico E12 de q1 en q2.
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De la definición de campo eléctrico se tiene:
E lim
0
q
F q
Y sabiendo que la expresión del campo eléctrico es:
E P
q( R R' ) 4
0
R R'
3
Se tiene que la fuerza entre las dos cargas eléctrica se expresa como:
F 12
q2 E 12
a12
q1 q2 4
2 R 0 12
Forma general de la Ley de Coulomb
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El enunciado de la ley de Coulomb es:
La expresión de la ley de Coulomb puede ser simplificada agrupando los términos constantes en una sola constante:
1 4
9 10 0
9
Ke
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La expresión de la ley de Coulomb es válida para el caso de dos cargas en el espacio libre, si el medio en el que se encuentran cambia se tendrá que considerar diferentes valores para la constante de permitividad eléctrica este caso se tendrá que considerar el
r del
medio en cuestión.
0
r
Permitividad eléctrica
. En
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Ejercicio: Dadas dos cargas puntuales q1=10uC en (2, 0, -4) y q2=-60uC en (0, -1, -2), determine: a)
la intensidad de campo eléctrico en q1 debido a q2 y
b)
la magnitud de la fuerza experimentada por q1
Respuesta: (a) -20(ax2+ay-az2) (kV/m), (b) 0.6N atracción
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Si se consideran varias cargas ubicadas en una región del espacio, el campo eléctrico que crean sobre un punto p es:
E
E
1 4
R R'1
0
1 4
q1 R R1 ' n
0 k 1
q2 R R2 '
3
R R'2
qk R Rk ' R R'k
3
3
.....
qn R Rn ' R R'n
3
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La ley de gauss establece que el flujo de salida total del campo E a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre es igual a la carga total encerrada en la superficie, dividida por
.
0
E ds
s
Q 0
Usualmente no es una superficie física. Superficie Gaussiana
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Ley de Gauss Aspectos fundamentales para la aplicación de la Ley de Gauss son: La identificación de condiciones de simetría •
La elección de una superficie apropiada donde la componente normal de E debida a la distribución de carga dada sea constante.
Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.
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Ley de Gauss Intensidad de campo eléctrico de una línea recta infinitamente larga. Q
l
L
Densidad de carga longitudinal
E ds
Q 0
s
L 2
E ds s
2
E r r d
dz 2
r L E r
0 0
r L E r
Q 0
E ar
l
2
0
r
Campo Eléctrico de una línea cargada.
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Ley de Gauss Ejercicio: Determine la intensidad de campo eléctrico de un plano de carga infinito con densidad superficial de carga uniforme
s.
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El Potencial Eléctrico El potencial eléctrico se relaciona con el trabajo realizado al mover una carga de un punto a otro. E
El campo eléctrico es irrotacional por lo tanto conservativo, lo cual indica que puede expresarse como el gradiente de un campo escalar:
E
P 2
E dr P 1
ia c t o r e y T r a
V
Con lo cual para determinar el trabajo que se realizará al mover la carga de P1 a P2
P 2
P2
V dr P 1
P1
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El Potencial Eléctrico Sabiendo que:
dV
E
V dr
Reemplazamos en la expresión anterior: P 2
E dr P 1
P 2
V dr
P 1
P 2 P 1
P2 ia 1 r o t e c T r a y
dV V P 1 V P 2
Con lo cual se deduce que el potencial eléctrico entre los puntos P1 y P2 no depende de la trayectoria seguida.
P1
t o r ia 2 T r a y e c
P 2
E dr V P 1 V P 2 P 1
Diferencia de potencial (voltaje electrostático)
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El Potencial Eléctrico de una distribución continua de cargas El potencial eléctrico de un punto a una distancia R de una carga puntual q con respecto al del infinito es: R
V
a R
q 4
R
2
a R dR
P
E
0
R
Realizando la integral se tiene:
V
q 4
q
R
0
Potencial electrostático de una carga puntual con respecto al infinito
8
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El Potencial Eléctrico de una distribución continua de cargas
V
V
V
1 4
l 0 L
1 4
s 0 S
1 4
R
R v
0 V
R
dl
Potencial electrostático para distribución lineal
ds
Potencial electrostático para distribución superficial
dv
Potencial electrostático para distribución volumétrica
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El Potencial Eléctrico de una distribución continua de cargas Ejercicio: Una línea de carga finita de longitud L tiene una densidad lineal de carga uniforme l y es coincidente con el eje x. Determine: a) V en el plano que divide en dos partes iguales a la línea de carga.
b) E directamente de l aplicando la ley de Coulomb c) Compruebe la respuesta de la pregunta b mediante el cálculo del gradiente de V.
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Distribución continua de cargas La determinación del campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas es el caso más general, pues la densidad volumétrica de carga y por tanto su diferencial de carga se comporta como una carga puntual.
Diferencial de campo elé c tr ic o e n u n a reg ión d el espacio.
dE a R
v
4
dv' 2 R 0
Por lo cual el campo eléctrico debido a las diferentes distribuciones de campo serán:
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Distribución continua de cargas La determinación del campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas es el caso más general, pues la densidad volumétrica de carga y por tanto su diferencial de carga se comporta como una carga puntual.
Diferencial de campo elé c tr ic o e n u n a reg ión d el espacio.
dE a R
v
4
dv' 2 R 0
Por lo cual el campo eléctrico debido a las diferentes distribuciones de campo serán:
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Distribución continua de cargas P
E
1 4
0
L
aR
l R
2
R
dl
dl
P
E
1 4
0
S
aR
s R
2
ds
R
ds El sistema de coordenadas dependerá de la forma de la superficie cargada.
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Distribución continua de cargas
E
1 4
0
V
aR
v R
2
P
dv
R
Generalmente el sistema de coordenadas más útil en el caso de volúmenes es el sistema esférico
dv R 2 sen
dv
dR d
d
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Distribución continua de cargas Ejercicio: El espacio entre las placas paralelas de área S de un condensador está lleno con un dieléctrico cuya permitividad varía linealmente de 1 en una placa (y=0) a 2 en la otra (y=d). Determine la expresión para la diferencia de potencial entre las dos placas
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Clasificación usual de los materiales, en función de sus propiedades eléctricas:
•
Conductores
•
Semiconductores
•
Dieléctricos
Conductores: Electrones de las capas más externas pueden fácilmente ser sacados de órbita
Semiconductores: Electrones pueden ser sacados de sus orbitas sólo bajo ciertas condiciones
Dieléctricos: Sus electrones no pueden ser sacados de órbita
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores
+
+
+-
++
+ +
+
+ +-
+
++
+-
+
+ + +-
+ +-
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores Superficie equipotencial
+
+
+ +
+
+
E>0 + +
+ +
E 0
+ +
+ +
0
v
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
+
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores Cuando no hay cargas libres en el interior de un conductor, el campo eléctrico debe ser igual a cero porque de acuerdo con la ley de Gauss, debe desaparecer el flujo eléctrico total de salida a través de cualquier superficie cerrada construida dentro del conductor.
La equ ipotencialidad de la su perficie del co nd ucto r n o po dría darse de n o ser porq ue la com po nente tang encial del campo es nu la.
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores
Si :
w
Et=0
0
h
conductor
h
Aplicando el postulado fundamental:
E dl 0
C Se tiene:
E dl E t w C
0
La componente tangencial del campo eléctrico en el interior de un campo eléctrico es cero.
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores Con respecto a la componente normal (perpendicular) del campo eléctrico, es necesaria la construcción de una superficie gaussiana entre la frontera del conductor y del espacio libre. n an E n E
E ds E n S
S
s
0
conductor
0
S
Con lo cual:
E n
s 0
E =0
La componente normal del campo E sobre la frontera del conductor y el espacio es la única existente.
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Conductores
E t
tangencial
0
Por tanto las condiciones de frontera son:
E n
s
normal
0
Ejercicio: Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora esférica con radio interior Ri y radio exterior R0. Determine E y V como funciones de la distancia radial R.
0
R
+Q
R i
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Con R > Ro: E ds E R1 4 R
2
0
R
0
S
E R1
Q +Q
Q 4
R i
2 R 0
El campo E es el mismo que el de una carga puntual Q sin la presencia de la capa conductora, el potencial con respecto al infinito es: R
V 1
E R1 dR
Q 4
R
0
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Con Ri < R < Ro: Se sabe que dentro de un conductor:
0
R
+Q
E R 2
0
R i
Dado que la densidad de carga en el interior del conductor es cero, y considerando que en virtud de la ley de Gauss, el flujo neto debe ser nulo, la carga en R=Ri debe ser negativa y la carga en R=Ro debe ser positiva. Por lo tanto el potencial es:
V 2 V 1 R
Q R 0
4
R0
0
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Con R < Ri : Al aplicar la ley de Gauss en la región del espacio libre (fuera de la capa conductora), por deducción se tiene el mismo resultado que para R>Ro, es decir:
E R 3
Q 2 R 0
4
El potencial en la región en cuestión es:
V 3
E R 3dR K
Q 4
R
0
K
0
R
+Q
R i
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos:
P
Dipolos eléctricos Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual magnitud cercanas entre sí. Los dipolos aparecen en cuerpos dieléctricos, Al aplicar un campo eléctrico a un dieléctrico aislante este se polariza dando lugar a que los dipolos eléctricos se reorienten en la dirección del campo disminuyendo la intensidad de éste.
R
d
+q
-q
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos: Dipolos eléctricos Un dipolo eléctrico dentro de un campo eléctrico, experimenta un torque eléctrico que hace que las cargas eléctricas se alineen con el campo.
+q
a
+F
o
-q
Torque eléctrico
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos: Dipolos eléctricos
p
2 F (a sen )
E
Si:
F q E
p
q 2a
Entonces:
2aqE se sen
p
q d
Momento dipolar El momento dipolar eléctrico es una magnitud vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las separa d, cuya dirección es la recta que las une, y cuyo sentido va de la carga negativa a la positiva:
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos: La presencia de un campo eléctrico hará que los electrones del material se polaricen, creando dipolos eléctricos.
-
+
El efecto macroscópico de los dipolos eléctricos inducidos por campos eléctricos se pueden analizar mediante:
n r
P k P
lim v
0
k
+ -
-
-
-
+
-
+ + + +
-
+
+ -
+
+ -
+
+ + -
-
-
+ -
Vector de polarización
-
+
-
E ex ex t e r n o
+ + +
+
+
-
+ -
1
v
+
+
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos:
Número de moléculas por unidad de volumen
n r
P
lim v
0
k
P k
Suma vectorial de momentos dipolares inducidos que están contenidos en:
v
Volumen muy pequeño
1
El vector P es la densidad de volumen del momento dipolar eléctrico. El momento dipolar dp de un volumen elemental dv’ es:
dp Pdv Pdv'
El cual produce un potencial electrostático:
dV
P aR 4
R
0
2
dv'
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos: Al integrar todo el volumen dieléctrico polarizado:
V
P a R
1 4
0 V '
R
2
V’ del
dv'
dieléctrico se obtiene el potencial debido al
-
+
-
R
-
Punto de campo fijo
+ -
-
+
-
+ + + +
-
+ + + + -
-
+ -
+ + + + + +
E ex ex t e r n o
+
-
+
-
+ + +
-
+
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos: Es posible obtener una interpretación física más útil de los efectos de los dipolos eléctricos inducidos si se observan los efectos sobre las superficies y volúmenes del vector de polarización P.
Densidad superficial de carga de polarización equivalente: Distribución continua de cargas superficiales
s
P an
+
+
+ -
-
-
+ -
+ -
+ -
+ -
+
+ -
moléculas
+ -
+ -
+ -
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Densidad volumétrica de carga de polarización equivalente: Para una superficie S que limita un volumen V, la carga total neta que sale fuera de V como resultado de la polarización se obtiene integrando la densidad superficial de carga de polarización.
pv
P
Q
P an ds S
(
Q V
Densidad volumétrica de carga de polarización equivalente
La carga total es nula
P )dv
pv V
dv
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Dieléctricos:
CT
p ps ds S
CT
V
P an ds
S
p pv dv
V
Pdv
0
Existen dos clases de dieléctricos: •Dieléctricos
no polares
•Dieléctricos
polares
No polares: no poseen momentos dipolares permanentes. Polares: poseen momentos dipolares aún en ausencia de campo eléctrico.
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos Ejemplo: El vector de polarización en una esfera dieléctrica de radio R0 es P=axP0. Determine: 1. Las densidades superficial y volumétrica de carga de polarización equivalentes. 2. La carga total equivalente sobre la superficie y dentro de la esfera
Solución: La densidad superficial sobre la superficie de la esfera es: ps
P a R
ps
P 0 sen
P 0 (a x a R ) cos
La densidad volumétrica de carga de polarización: ps
P
(a x P 0 )
0
0
R
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Medios materiales y Campos Eléctricos Estáticos La carga total en la superficie: 2
Qs
ps
ds
P 0 sen
cos
d d
0 0
S
Carga total dentro de la esfera:
Qv
pv
dv
0
0
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Densidad de flujo eléctrico La intensidad de campo eléctrico en un dieléctrico debido a una distribución de fuentes es diferente que la intensidad de campo eléctrico calculada en el espacio libre:
E
1
(
v
pv
)
0
Recordando que:
pv
Se tiene:
P
Densidad volumétrica de carga de polarización equivalente
( 0 E P )
v
Desplazamiento eléctrico
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Densidad de flujo eléctrico Densidad de volumen de las cargas libres
Con lo cual:
D
v
Realizando la integral de volumen a ambos lados:
D dv v
dv
v
D ds s
v
Q
Ley de Gauss generalizada para medios dieléctricos
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Rigidez Dieléctrica Definición. La permitividad (o constante dieléctrica) es una constante física que describe cómo un campo eléctrico afecta y es afectado por un medio. Está determinada por la tendencia de un material a polarizarse ante la aplicación de un campo eléctrico y de esa forma anular parcialmente el campo interno del material.
La permitividad, tomada en función de la frecuencia, puede tomar valores reales o complejos. Generalmente no es una constante ya que puede variar con la posición en el medio, la frecuencia del campo aplicado, la humedad o la temperatura, entre otros parámetros. En un medio no lineal, la permitividad puede depender de la magnitud del campo eléctrico.
Alta Tensión I
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Rigidez Dieléctrica Valores La unidad de medida en el Sistema Internacional es el faradio por metro (F/m)
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Rigidez Dieléctrica Ruptura y principio de operación de los pararrayos Cuando la intensidad campo eléctrico excede el valor de la rigidez dieléctrica del aire se produce su ionización y por lo tanto se convierte en conductor. La carga tiende a concentrarse en los puntos agudos, por lo tanto cuando una nube cargada positivamente se aproxima a un parrrayos, éste concentra una gran densidad de cargas negativas de tierra hacia su punta, facilitando la descarga eléctrica a través de él.
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Rigidez Dieléctrica Ruptura y principio de operación de los pararrayos Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra.
V 2
V 1
Q2 4
R2
0
Tienen el mismo potencial
Q1 4
R1
0
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Rigidez Dieléctrica Ruptura y principio de operación de los pararrayos Entonces:
V 1 V 2
Q1
Q2
R1
R 2
Con lo cual se deduce que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional a su radio (doble radio, doble carga). Como además la carga total es Q, tenemos el sistema de ecuaciones
Q1
Q2
R1 R 2 Q1 Q2 Q
Q1 Q1
Q R1 R1 R 2 Q R 2 R1 R 2
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Rigidez Dieléctrica Ruptura y principio de operación de los pararrayos Las intensidades de campo eléctrico en las superficies se pueden calcular como:
E 1n E 2 n
Q1 4
Relacionando las intensidades se tiene: 2
R1
0
Q1 4
2
R2
E 1n
R2
E 2n
R1
2
Q1
R2
Q2
R1
0
Se observa que la intensidad de campo eléctrico es inversamente proporcional al radio de la esfera.
Alta Tensión I
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Rigidez Dieléctrica Ejercicio: Suponga que el radio del conductor interno de un cable coaxial es de ri=2mm y que el material aislante es poliestireno. Determine el radio interior ro del conductor externo para que el cable funcione con especificaciones de voltaje de 10kV. Para evitar la ruptura debido a los picos de voltaje ocasionados por relámpagos y otras condiciones anómalas externas, la intensidad máxima de campo eléctrico en el material aislante no debe exceder el 25% de su rigidez dieléctrica.
Alta Tensión I
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Rigidez Dieléctrica Solución: La intensidad de campo eléctrico debido a una línea de carga es:
E ar E r
ar
ri
l
2
0
r
ro
Como el cable debe soportar una diferencia de potencial de 104 V entre los conductores internos y externos:
10
4
ri
E r dr
ro
l
2
0
(2,6)
ln
r 0 r i
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Rigidez Dieléctrica Solución: La constante dieléctrica y la rigidez dieléctrica del poliestireno son:
2.6
r
2 106
cte.
Para limitar la intensidad eléctrica a un valor máximo del 25% de 20x106:
MaxE r
0.25 (20 106 )
2
0
(0.25 20 106 )r i 104
l
l
(2.6)r i
5.2
0
Sustituyendo este valor en la expresión del potencial se tiene:
ln r 0
1 ln r i 1 ln 2 10
ln r 0
1 6.215
5.215
3
r 0
0.0054m
5.4mm
Alta Tensión I
INGENIERÍA ELÉCTRICA
Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Es útil conocer cómo se comportan las cantidades eléctricas fundamentales (E, D) cuando cambian de medio.
E1
E dl E 1
w E 2
w
w
abcda
E dl E 1t w E 2t w
Por lo tanto:
Medio 1
0 b
abcda
a
h
Medio 2
d c
E2
E 1t E 2t Componente tangencial del campo eléctrico es continua a través de una superficie de separación
Medios genéricos
Alta Tensión I
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Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos
E 1t E 2t
E1 E1n
Si los medios en consideración son dieléctricos con permitividades 1 y 2 la densidad de campo eléctrico (desplazamiento eléctrico) será directamente proporcional a dichas permitividades.
D1t D2t
1 2
E 1t E 2t
E1t E2n E2t
E2
D1t 1
D 2t 2
Alta Tensión I
INGENIERÍA ELÉCTRICA
Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Para encontrar una relación entre las componentes normales de los campos es necesaria la aplicación de la ley de Gauss a un volumen muy pequeño de análisis:
D ds
D1 an 2 D 2 an1
an2 s
D1
h
S
D2
S
D ds
an 2 D1 D 2 S
s
an1
S
S
Donde se ha utilizado la relación:
an 2
an1
Se puede entonces deducir que:
an 2 D1 D 2
s
Componente normal del campo no es continua a través de una superficie de separación cuando existe un carga superficial
Alta Tensión I
INGENIERÍA ELÉCTRICA
Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Si el medio 2 es un conductor D2=0 con lo cual la ecuación se convierte en:
D1n
1
E 1n
E 1n
s
La componente normal del campo E sobre la frontera del conductor y el espacio es la única existente.
s 1
Si los dos medios son dieléctricos que se encuentran en contacto sin cargas libres en la superficie de separación se tiene: s
0
D1n
Por lo tanto:
1
D2 n
E 1n
2
E 2 n
Resumiendo:
E 1t
E 2t
an 2 D1 D 2
Componente tangencial s
Componente normal
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Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Vector de polarización en dieléctricos: En el medio dieléctrico polarizado, se inducen cargas de polarización que crean a su vez un campo inducido. Por lo tanto para calcular el campo en un problema con medios dieléctricos hay que conocer también la polarización P. La polarización P(r) es una función del campo que se aplica en el punto. Depende de la estructura del medio, en general es difícil conocer esta función.
P (r )
E (r )
Suceptibilidad eléctrica Constante física del medio, tiene las misma dimensiones de 0
Alta Tensión I
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Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Vector de polarización en dieléctricos: El desplazamiento eléctrico (o densidad de campo eléctrico) puede ser expresado en términos del vector de polarización:
D( r ) D( r )
E ( r ) P (r )
0
(
0
) E ( r )
Permitividad del medio
Constante dieléctrica o permitividad relativa del medio
1
r 0
0
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Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Ejemplo:
y
Se introduce perpendicularmente una lámina de lucita ( r=3.2) en un campo eléctrico uniforme E0=axE0 en el espacio libre. Determine Ei, Di y Pi, dentro de la lucita.
E0=axE0
Ei
Do=ax Eo
Solución:
Espacio libre
Para la condición de frontera con respecto a la componente normal:
Di
a x Di
Di
a x 0 E 0
r=3.2
a x D0
La intensidad de campo eléctrico en la lámina es:
E i
1
Di
Di
1 0
Di r
a x
E 0 3.2
E0 D0 Espacio libre
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Condiciones en la frontera con Campos Eléctricos Ejemplo:
y
Se introduce perpendicularmente una lámina de lucita ( r=3.2) en un campo eléctrico uniforme E0=axE0 en el espacio libre. Determine Ei, Di y Pi, dentro de la lucita.
E0=axE0
Ei
Do=ax Eo
Solución:
Espacio libre
Como se puede observar en la expresión anterior, el efecto de la lucita es reducir la intensidad de campo eléctrico. El vector de polarización dentro de la lámina es:
P i Di P i
E i
0
a x 1
a x 0.6875 0 E 0
Di r=3.2
1 3.2
E 0
0
E0 D0 Espacio libre