1. CONFUSION DEL DISEÑO FACTORIAL 2 k A medida que el número de factores en un diseño factorial 2 k aumenta, el núme númerro de ensa ensayo yos s nece necesa sari rios os para para obte obtene nerr una una répli éplica ca comp comple leta ta sobrepasa rápidamente los recursos de la mayoría de los experimentadores. Una réplica completa de un diseño 2 requiere ! ensayos. "n este diseño solo de los # $rados de libertad corresponden a los efectos principales y únicamente %& corresponden a las interacciones de dos factores. 'os !2 restantes corresponden a las interacciones de # o más factores. (i el experimentador puede suponer ra)onablemente que al$unas de las interacciones de orden superior son despreciables, la informaci*n sobre los efectos principales y las interacciones de menor orden pueden obtenerse reali) eali)an ando do s*lo s*lo una una répli éplica ca o una una frac fracci ci*n *n del del expe experi rime ment nto o fact factor oria iall comple completo to.. "stos "stos diseño diseños s factor factorial iales es se encue encuentr ntran an entre entre los tipos tipos más más ampli ampliam ament ente e usados usados para el diseño diseño de produ producto ctos s y proce procesos sos y para para la detecc detecci*n i*n y soluc soluci*n i*n de probl problema emas. s. (e lo$ra lo$ra así, así, reduc reducir ir el tamaño tamaño del del experimento de tal forma que se utilicen todos los tratamientos que se ori$ ori$in inan an de los los ni+e ni+ele les s de los los fact factor ores es,, con con las las limi limita tada das s unid unidad ades es experimentales omo$éneas disponibles, lo$rando así controlar la +arian)a del erro errorr de maner manera a simple simple,, aunqu aunque e con pérdid pérdida a de infor informa maci* ci*n n sobr sobre e al$unos al$unos efectos efectos.. (e entiende entiende que el experim experimenta entador dor tiene ya su-ciente su-ciente conocimiento del fen*meno en estudio para tener criterios claros sobre los efectos que son posibles de confundir
2. CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2 k EN DOS BLOQUES (upon$a que quiere correrse una sola réplica del diseño 2 2. ada una de las 22 / ! combin combinac acion iones es de los tratam tratamien iento tos s requie requiere ren n una canti cantidad dad de materia prima, por e0emplo, y cada lote de materia prima s*lo alcan)a para probar dos combinaciones de tratamientos. 1or lo tanto, se necesitan dos lotes de materia prima. (i los lotes de materia prima se consideran como bloq bloque ues, s, ento entonc nces es debe deben n asi$ asi$na nars rse e a cada cada bloq bloque ue dos dos de las las cuat cuatrro combinaciones de tratamientos. tratamientos. "n la -$ura % se muestra uno de los diseños posibles para este problema. 'a +ista $eométrica, -$ura %a, indica que las combinaciones de tratamientos loca locali) li)ad adas as en dia$ dia$on onal ales es opue opuest stas as se asi$ asi$na nan n a bloq bloque ues s dife diferrente entes. s. bser+e, por la -$ura %b, que el bloque % contiene las combinaciones de los tratam tratamien ientos tos 3%4 y ab y que el bloque bloque 2 contien contiene e a y b. 5esde lue$o, el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos dentro de un bloque se determina aleatoriamente. 6ambién se decidirá aleatoriamente cuál de los bloques se correrá primero. (upon$a que los efectos principales de A y B se estiman como si no se ubiera eco la formaci*n de bloques. A =
1
B=
1
2
2
[ ab + a −b−( 1 ) ]
[ ab + b− a−( 1)]
bser+e que ni A ni B son afectados por la formaci*n de bloques, debido a que en cada estimaci*n ay una combinaci*n de un tratamiento positi+o y
uno ne$ati+o de cada bloque. "s decir, cualquier diferencia entre el bloque % y el bloque 2 se cancela. onsidere aora la interacci*n AB AB =
1 2
[ ab + ( 1 )− a−b ]
1uesto que las dos combinaciones de tratamientos con si$no positi+o ;ab y 3%4< están en el bloque % y las dos con si$no ne$ati+o (a y b) están en el bloque 2, el efecto de los bloques y la interacci*n A9 son idénticos. "s decir, AB está confundido 3o me)clado4 con los bloques.
1a. !i"#a $eo%&#ri'a
1(. A"i)na'i*n de la" 'a#ro 'orrida" en do" Bloqe"
7
Bloqe 1
Bloqe 2
3%4 ab
a b
Corrida en el Bloqe 1
A Corrida en el Bloqe 2
8
8
9
7
:i$ura %. 5iseño 22 en dos bloques
Ta(la 1. #a(la de "i)no" +o"i#i,o" - ne)a#i,o" +ara el Di"eo 22 Efecto Factorial
Combinación de Tratamientos
I
A
B
AB
(1)
+
-
-
+
a
+
+
-
-
b
+
-
+
-
ab
+
+
+
+
=ientras que todas las combinaciones de tratamientos que tienen si$no ne$ati+o para AB se asi$nan a bloque 2. "ste enfoque puede usarse para confundir o me)clar cualquier efecto (A, B o AB) con los bloques. 1or e0emplo, si 3%4 y b se ubieran asi$nado al bloque % y a y ab al bloque 2, el efecto principal de A se abría confundido con los bloques. 'a práctica usual es confundir la interacci*n de orden más alto con los bloques. "ste esquema puede usarse para confundir o me)clar cualquier diseño 2> en dos bloques. 5e i$ual forma si se quiere formar bloque en un diseño 2 #, la tabla 2 seria de utilidad. on el criterio dado de los si$nos, si se quiere confundir la interacci*n A9, se deben asi$nar las combinaciones ;3%4, ab, ac y bc< en un bloque y las
combinaciones de tratamientos ;a, b, c y abc< en otro bloque, pues para obtener el efecto para la interacci*n, se usa la si$uiente expresi*n? AB =
1 4
[ a + b + c + abc −( 1 )−ab −ac −bc ]
Ta(la 2. Ta(la de "i)no" +o"i#i,o" - ne)a#i,o" +ara el di"eo 2 0 Combinación de Tratamientos (1) a b ab c ac bc abc
2a. !i"#a $eo%&#ri'a
I + + + + + + + +
A + + + +
B + + + +
AB + + + +
C + + + +
AC + + + +
BC + + + +
ABC + + + +
2(. A"i)na'i*n de la" o'/o 'orrida" en do" Bloqe" Corrida en el Bloqe 1 Corrida en el Bloqe 2
Bloqe 1
Bloqe 2
3%4 ab ac bc
a b c abc
Fi)ra 2. Di"eo 20 en do" (loqe" 'on ABC 'onndido 2.1 O#ro" %&#odo" +ara 'on"#rir (loqe" (e cuenta con otro método para construir estos diseños. "l método utili)a la combinaci*n lineal L=α 1 x 1 + α 2 x 2+ … + α k x k
@@@ 3%4
5onde xi, es el ni+el del factor iésimo que aparece en una combinaci*n de tratamientos particular y αi es el exponente que aparece en el factor i ésimo para el efecto que +a a confundirse. 1ara el sistema 2 k se tiene α i= B o % y
xi / 3ni+el ba0o4 o xi, / % 3ni+el alto4. A la ecuaci*n % se le llama la
deni'i*n de 'on#ra"#e".
'as combinaciones de tratamientos que producen el mismo +alor de L se colocarán en el mismo bloque. 1uesto que los únicos +alores posibles de ' son y %, con esto las 2k combinaciones de tratamientos se asi$narán a exactamente dos bloques. 1ara ilustrar este enfoque, considere un diseño 2 # con ABC confundido con los bloques. "n este caso, x% corresponde a A, x2 a B, x3 a y α% / α2 / α 3 / %. 1or lo tanto, la de-nici*n del contraste correspondiente a ABC es? L= x 1+ x2 + x 3 'a combinaci*n de tratamientos 3%4 se escribe BBB en la notaci*n 3, %4 por lo tanto,
( 1 ) : L =1 ( 0 )+ 1 ( 0 ) + 1 ( 0 ) =0= bloque 1 5e manera similar, la combinaci*n de tratamientos
α es
%BB, obteniéndose
a : L= 1 ( 1 )+ 1 ( 0 )+ 1 ( 0 )=1=bloque 2
1or lo tanto, 3%4 y α se correrían en bloques diferentes. 1ara el resto de las combinaciones de tratamientos se tiene? b : L= 1 ( 0 ) + 1 ( 1 )+ 1 ( 0 )=1=bloque 2 ab : L=1 ( 1 ) + 1 ( 1 ) + 1 ( 0 )= 2=bloque 1 c : L = 1 ( 0 )+ 1 ( 0 )+ 1 ( 1 )=1 =bloque 2
ac : L =1 ( 1 ) + 1 ( 0 ) + 1 ( 1 )= 2= bloque 1 bc : L =1 ( 0 )+ 1 ( 1 ) + 1 (1 ) = 2= bloque 1
abc : L =1 ( 1 ) + 1 ( 1 )+ 1 ( 1 )=3 =bloque 2
1or lo tanto, 3%4, ab, ac y bc se corren en el bloque % y a, b, c y abc se corren en el bloque 2. (e trata del mismo diseño que se ilustr* en la -$ura 2, el cual se $ener* con la tabla de si$nos positi+os y ne$ati+os.
2.2 E"#i%a'i*n del error3 uando el número de +ariables es pequeño, por e0emplo k / 2 o #, por lo $eneral es necesario acer réplicas del experimento a -n de obtener una estimaci*n del error. 1or e0emplo, supon$a que un diseño factorial 2 # debe correrse en dos bloques con ABC confundido, y el experimentador decide acer cuatro réplicas del diseño. "l diseño resultante podría +erse como el de la -$ura #. bser+e que A9 está confundido en cada réplica. "n la tabla # se muestra el análisis de +arian)a de este diseño. Cay #2 obser+aciones y #% $rados de libertad. Además, puesto que ay oco bloques, siete $rados de libertad deben asociarse con estos bloques.
"n la tabla # se presenta la descomposici*n de esos siete $rados de libertad. 'a suma de cuadrados del error se compone en realidad de las interacciones de dos factores entre las réplicas, y cada uno de los efectos (A, B, C, AB, AC, BC). 1or lo $eneral es se$uro considerar que las interacciones son cero y tratar el cuadrado medio resultante como una estimaci*n del error. 'os efectos principales y las interacciones de dos factores se prueban contra el cuadrado medio del error . ocran y ox ;2&b< acen notar que el cuadrado medio del bloque o ABC podría compararse con el error del cuadrado medio A9 . "sta prueba suele tener una sensibilidad muy ba0a.
RE4LICA I RE4LICA III
RE4LICA II
RE4LICA I!
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
(1)
abc
(1)
abc
(1)
abc
(1)
abc
ac
a
ac
a
ac
a
ac
a
ab
b
ab
b
ab
b
ab
b
bc
c
bc
c
bc
c
bc
c
Fi)ra 03 Ca#ro R&+li'a" del di"eo 2 'on ABC 'onndido 0
Ta(la 03 An5li"i" de !arian6a de 'a#ro r&+li'a" de n di"eo 2 0 'on ABC 'onndido Fen#e de !aria'i*n $rado" de Li(er#ad Bloqe" 7ABC8 2r 9 1 : ; A 1 B 1 C 1 AB 1 AC 1 BC 1 Error <7r 9 18 : 1= To#al =r 9 1 : 01 E>e%+lo3 ?????????????????????????????????????? ????????? "n un experimento se in+esti$* el efecto del alor 3A4, la 1resi*n 394 y la cantidad de umedad 34 en el efecto ener$ético de una reacci*n bioquímica para el crecimiento de ciertas bacterias, se emplearon 2 bloques con A9 confundido en cada repetici*n, el experimento se repiti* # +eces, los datos se dan en el si$uiente cuadro, a$a un ADEA con F&G de se$uridad. Rélica 1
Rélica !
Rélica "
#""
##$
#%&
!%'
!
!#'
!&%
!#
!&!
Blo*e 1
Blo*e !
Blo*e 1
Blo*e !
Blo*e 1
Blo*e !
(1) , #%
a , '
(1) , #
c , &
ac , #$
b , #&
ab , '%
b , #
bc , "
a , $
(1) , #'
c ,
ac , %
c ,
ab , ''
b , #
bc , %
a , '&
bc , 1
abc , #
ac , %&
abc ,
ab , '
abc , '
('UHD? Réplica 1
Réplica 2
Réplica 3
533
550
549
246
287
256
294
257
292
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
54
68
58
89
50
59
r=
64
57
83
70
56
88
N=8*r=
47
87
66
58
84
69
81
75
49
77
67
76
1)
2)
Nivel de Si!i"ica!cia#
0$05
6%r & 1)
3)
H 0: α i= 0, β j =0, γ k =0, ( αβ )ij =0, ( αγ )ik =0, ( βγ ) jk =0 ; ∀ i , j , k = 1,2 'u!ci(! H 1ivoal# ≠ 0, ( αγ )ik ≠ 0, ( βγ ) jk 1≠ 0 ; ∀ i, , jo k 12 : α i ≠ 0, β j ≠ 0, γ k ≠ 0, ( αβ')ij+o!
4)
Se recaara 0 .i 'e e. a,or que#
5)
+lculo.
+oi!aci(! de raaie!o. %1) a a c ac c ac oal
error -rado. de /ierad
4$75
Réplica 1
Réplica 2
Réplica 3
54 68 57 64 87 47 81 75 533
58 70 58 66 89 49 83 77 550
56 69 59 67 88 50 84 76 549
*
oal#
1632
*
'acor de +orrecci(!#
*
Sua +uadrado. de lo. ao.#
*
Sua +uadrado. del oal %S+) 3940 Si .olo "uera! do. loque. por réplica la .ua de cuadrado. .eria el .iuie!e
*
Sua +uadrado de lo. Bloque. Bloque 1 759 Bloque 2 873
110976 114916
541$5
2
2
B+,,
oal 168 207 174 197 264 146 248 228 1632
3 24
pero .e co!.iderar 6 loque. al coo .e e.peci"ic( e! la pare e(rica *
Sua de +uadrado de lo. Bloque. R:/;+ 1 Bloque 1 Bloque 2
566$5 R:/;+ 2 Bloque 1 Bloque 2
246 287
Sua cuadrado.#
R:/;+ 3 Bloque 1 Bloque 2
256 294
257 292
446170
246
2
+ 287 2+ 2562 + 2942 + 257 2+2922
/a .ua de +uadrado. .e oie!e uilia!do la eodolo
Sua +uadrado de ,,
240$666667
( a + ab + ac +abc −( 1 )− b− c −bc )2 *
Sua +uadrado de B,,
160$166667
b + ab + bc + abc − 1 − a −c − ac *
2
Sua +uadrado de +,,
816$666667
c + ac + bc + abc − 1 − a− b− ab *
Sua +uadrado de B,,
280$166667
( 1 + c + ab + abc −a −b −ac −bc *
2
2
Sua +uadrado de +,,
1666$66667
(1 + ac + b + abc − a−c −ab− bc *
Sua +uadrado de B+,,
204$166667
(1 + a + bc + abc −b −c − ab− ac *
2
Sua +uadrado de B+,,
541$5
a ++ c + abc − 1 − ab− ac −bc *
2
Sua +uadrado del >rror >,,
2
5$0
+?R@ >/ NA 'ue!e de Aariaci(! Bloque. B + B + B+ >rror oal 6)
-rado. /ierad 5 1 1 1 1 1 1 12 23
Sua +uadrado. 566$5 240$6666667 160$1666667 816$6666667 280$1666667 1666$666667 204$1666667 5$0 3940
+uadrado. edio. 113$3 240$6666667 160$1666667 816$6666667 280$1666667 1666$666667 204$1666667 0$416666667 C
'e 271$92 577$6 384$4 1960 672$4 4000 490 C C
+o!clu.i(!
Se co!clu,e que eDi.e di"ere!cia .i!i"icaiva e!re lo. !ivele. de cada "acor a.i coo e!re la. i!eraccio!e. de la. re. coi!acio!e. "acoriale.$
0. CONFUSIÓN DEL DISEÑO FACTORIAL 2k EN CUATRO BLOQUES "s posible construir diseños factoriales 2k confundido en cuatro bloques con 2k-2 bser+aciones cada uno. "stos diseños son particularmente útiles en situaciones en las que el número de factores es moderadamente $rande, por e0emplo k I/ ! y el tamaño de los bloques es relati+amente pequeño. omo un e0emplo, considere el diseño 2& .(i cada bloque incluirá únicamente oco corridas, entonces deberán usarse cuatro bloques. 'a construcci*n de este diseño es relati+amente directa. (e seleccionan dos efectos para confundirlos con los bloques, por e0emplo. A5 y BC. "stos efectos tienen las dos de-niciones de contrastes. L1= x 1+ x 4 + x5 L2= x 2+ x 3 + x 5
Asociadas con ellos. "ntonces cada combinaci*n de tratamientos producirá un par particular de +alores de '% y '2, es decir, cualquiera de 3'%, '24 /3 , 4, 3, %4, 3%, 4 o bien 3%, %4. 'as combinaciones de tratamientos que producen los mismos +alores de ( L!, L2) se asi$nan al mismo bloque. L1= 0, L2=0 para (1 ) ,ad ,bc, abcd, abe, ace, cde ,bde
L1=1, L2 =0 para a , d , abc ,bcd , be , abde , ce , acde L1=0, L2=1 parab , abd , c , acd , ae , de , ce , abce , bcde
L1=1, L2 =1 parae ,ade , bce , abcde, ab , bd , ac , cd
"stas combinaciones de tratamientos se asi$narían a bloques diferentes. "n la -$ura ! se muestra el diseño completo. Blo*e 1 Blo*e ! Blo*e " Blo*e % 1 , $ 1 , 1 1 , $ 1 , $ ! , $ ! , $ ! , 1 ! , 1 (1) abe a be b abce e abcde ad ace d abde abd ae ade bd bc cde abc ce c bcde bce ac abcd bde bcd acde acd de ab cd ! Figura 4. El diseo 2 en cuatro bloques con A"E# BCE $ ABC" con%undidos
on un poco de reJexi*n, nos damos cuenta de que otro efecto además de A" y BC debe confundirse con los bloques. 1uesto que ay cuatro bloques con tres $rados de libertad entre ellos, y puesto que A" y BC tienen un solo $rado de libertad cada una, es e+idente la necesidad de confundir un efecto adicional con un $rado de libertad. "ste efecto es la interacci*n $enerali)ada de A" y BC, la cual se de-ne como el producto de A" y BC. 1or lo tanto, en el e0emplo tratado aquí la interacci*n $enerali)ada (A") (BC) / ABC"2 / ABC" también está confundido con los bloques. "s sencillo +eri-car esto re-riéndose a la tabla de si$nos positi+os y ne$ati+os del diseño 2&, como en 5a+ies ;#<. 'a inspecci*n de esta tabla re+ela que las combinaciones de los tratamientos se asi$nan a los bloques de la si$uiente manera?
6abla ! Combinaciones de los tratamientos en el Blo*e 1 Blo*e ! Blo*e " Blo*e %
.i/no de A0E
.i/no de BCE
.i/no de ABC0
+ +
+ +
+ +
bser+e que el producto de los si$nos de dos efectos cualesquiera de un bloque particular 3por e0emplo A" y BC) produce el si$no del otro efecto de ese bloque 3en este caso, ABC"). 1or lo tanto, A", BC y ABC" están confundidos con los bloques.
@. CONFUSIÓN 4ARCIAL A menos que el experimentador ten$a una estimaci*n pre+ia del error o que esté dispuesto a suponer despreciables ciertas interacciones de orden
superior, el diseño debe repetirse para obtener una estimaci*n del error. "n mucos casos resulta más con+eniente y útil del confundido parcial que el completo, esto se debe a que la precisi*n aumentará en los efectos principales y en al$unas interacciones con mayor efecti+idad que el confundido completo, ya que +arios efectos de los tratamientos se eliminaran del análisis, porque no dan informaci*n su-ciente para cumplir con los ob0eti+os del modelo. onsidere la alternati+a que se presenta en la -$ura &. 5e nue+a cuenta ay cuatro réplicas del diseño 2 #, pero en cada réplica se a confundido una interacci*n diferente. "s decir, A9 está confundido en la réplica #, AB está confundido en la réplica HH, BC está confundido en la réplica HHH y AC está confundido en la réplica HE. omo resultado puede obtenerse informaci*n de A9 a partir de los datos de las réplicas HH, HHH y HE informaci*n de AB puede obtenerse de las réplicas H, HHH y HE informaci*n de AC puede obtenerse de las réplicas H, HH y HHH e informaci*n de BC puede obtenerse de las réplicas H, HH y HE. (e dice que pueden obtenerse tres cuartas partes de la informaci*n de las interacciones porque no están confundidas en s*lo tres réplicas . Kates ;%%#b< llama a la relaci*n #L! la informaci*n relati+a de los efectos confundidos. (e dice que este diseño está parcialmente confundido 3o me)clado4.
RE4LICA I III ABC Conndido Conndido
RE4LICA II RE4LICA I! AB Conndido AC Conndido
RE4LICA BC
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 1
Bloque 2
(1)
abc
(1)
abc
(1)
abc
(1)
abc
ac
a
ac
a
ac
a
ac
a
ab
b
ab
b
ab
b
ab
b
bc
c
bc
c
bc
c
bc
c
Fi)ra 3 Con"i*n 4ar'ial en el di"eo 2 omo resultado tenemos? 'a informaci*n para 'a informaci*n para 'a informaci*n para 'a informaci*n para
0
A9 se puede obtener de las réplicas 2, # y ! A9 se puede obtener de las réplicas %, # y ! 9 se puede obtener de las réplicas %, 2 y ! A se puede obtener de las réplicas %, 2 y #
