1.
Sea X una variable aleatoria, uniformemente distribuido en el intervalo [0,10], Determinar la probabilidad de que el intervalo aleatorio < >
, 2
incluya a la media de la variable aleatoria X.
+
=5
2 <5<2 <5<2 < 5 5<2 <10 < <<10 <5<2 <<10
nos pide calcular la probabilidad de:
la inecuación
también se escribe de la
siguiente manera:
entonces la inecuación
quedaría asi:
=
2.
Un ingeniero de la planta de purificación de agua mide el contenido de cloro diariamente en 100 muestras diferentes. Sobre un período de años, ha establecido que la desviación típica (error estándar) de la población es 1.2 miligramos de cloro por litro. Las ultimas muestras promediaron 4.8 miligramos de cloro por litro. Establezca el intervalo alrededor de la media muestra que incluirá la media de la población en un 68.7% de las veces.
+. 0.8435 ≤ √ ≤4. 8 1.0√ 111001001.2 ≤4.921
=1.2
n= 144 X=4.8
√ ≤ 4.8 1.0√ 111001001.2 ≤ 4.4.679≤
3.
Zo=1.01
A partir de una nuestra aleatoria de 144 galones de leche, el gerente de procesos de la planta, calculó que el llenado medio es de 128.4 onzas líquidas. De acuerdo a las especificaciones del fabricante, la máquina llenadora tiene una desviación típica de 0.6 onzas. ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media maestral que contendrá la media de la población en un 95.5% de las veces?
n=144 X=128.4 =0.6 =0.955
+. 0.8435 ≤ √ ≤4. 8 1.0√ 111001001.2 ≤4.921
=1.2
n= 144 X=4.8
√ ≤ 4.8 1.0√ 111001001.2 ≤ 4.4.679≤
3.
Zo=1.01
A partir de una nuestra aleatoria de 144 galones de leche, el gerente de procesos de la planta, calculó que el llenado medio es de 128.4 onzas líquidas. De acuerdo a las especificaciones del fabricante, la máquina llenadora tiene una desviación típica de 0.6 onzas. ¿Cuál es el intervalo alrededor de la media maestral que contendrá la media de la población en un 95.5% de las veces?
n=144 X=128.4 =0.6 =0.955
+. 0.9775 √ ≤ ≤ √ 0. 6 0. 6 2 2 128.4 √ 144144 ≤ ≤128.4 √ 144144 128. 128.3≤ ≤128.5
Zo=2.0
4.
El equipo de control de calidad de una industria muestrea en forma rutinaria la línea de producción de determinado artículo y diariamente calcula un intervalo de confianza del 90% para la longitud media de las piezas producidas en el día. Se han calculado 100 intervalos de confianza del 90% despues de 100 días. (a) Sea X la variable aleatoria que representa el número de l>os intervalos que en efecto cubren la longitud media desconocida de las piezas producidas en el día. ¿Cuál es la distribución de prohabilidad prohabilidad de X? (b) Calcular la probabilidad aproximada que exactamente 90 de los 100 intervalos cubran la media verdadera. Solución a) La distribución de probabilidad de X seria la distribución T, porque no se conoce la la desviación desviación típica. típica. b)
5.
Una muestra aleatoria de 144 observaciones arroja una inedia mueitral x = 160 yunavarianzamuestral sz=100 (a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media
poblacional. (b) Determinar un intervalo de confianza de 90* para p. (c) Si el investigador quiere tener un 95% de "seguridad" que su estimación se encuertre a una distancia de 1.2 en más o menos de la verdadera media poolacional, ¿cuántas observaciones adicionales deberá efectuar para corroborarlo?
n=144 X=160 =10 A) Para : =0.95
+. 0.975 √ ≤ ≤ √ 1. 9 6 1. 9 6 10 10 160 √ 144 ≤ ≤160 √ 144 158.367≤ ≤161.633
Zo=1.96
B)
Para : =0.90
+. 0.95 √ ≤ ≤ √ 160 1.6√ 4514410 ≤ ≤160 1.6√ 4514410 158.629≤ ≤161.371
Zo=1.645
C)Error=1.2, pide n=? =0.95
+. 0.975
Zo=1.96
√
10 1. 9 6 1.2 √ 267 6. Se toma una muestra al azar de 45 alumnos, sin reposición de una clase de estadística de 221 alumnos queda una media de 70 puntos y una desviación típica de 9 puntos en las calificaciones finales. Determinar el intervalo de confianza de 98% pa^a la media de las 221 calificaciones.
N=221 n=45 X=70 =9 =0.98
+. 0.99 √ ≤ ≤ √ 70 2.√ 3345 9 ≤ ≤128.4 2.√ 33459 66.874≤ ≤73.126
Zo=2.33
7.
e ha redido el contenido de nicotina de 36 cigarrillos de una determinada marcd. A continuación se resumen los resultados obtenidos. Sea = contenido de nicotina de un cigarrillo, medido en miligramos. Ex^= 756 miligramos y £{a - x ) 2 = 315 miligramos Determinar un intervalo de confianza de 95% para el contenido promedio de nicotina de los cigarrillos de esta marca.
n=36 X=756/36=21 =2.96 =0.95
+. 0.975 √ ≤ ≤ √ 21 1.96√ 362.96 ≤ ≤21 1.96√ 362.96 20.033≤ ≤21.967
Zo=1.96
13. De una orden especial de 1,500 talad-os recibidos de la compañía Andina de máquinas y herramientas, se probó una muestra de 36 taladros. La muestra tuvo una vida de 1,800 horas y una desviación estándar de 150 horas. a) Estime la desviación estándar de la población a partir de la desviación estándar de la muestra Solución -Total: 1500 (N) -Muestra: 36 (n) - =1800 -s=150
x −− ̅ ̅ Σ Σ ̅ =s
1502= ( (
− ̅ =
/36-1
= 787500
σ
= σ
σ= 147.9
C ) Construya un intervalo de confianza de un 98% para la vida media de los taladros. Solución IC98% = ? Hallamos el valor “z”: 98%+1%= 99% ----> 0.99 (Buscamos este valor F(Z) en la tabla para encontrar “Z”) Z= 2.33 Reemplazamos en la formula
̅. √ −− ̅. √ −− ≤µ≤
–(2.33) 1800 *(150)/6 (2.33)*(150)/6*(0.988) 1742.45 ≤ µ ≤ 1857.55
*
0.988≤
µ
≤1800*
- IC98%= [1742.45 ; 1857.55] 14 . Para estimar la cantidad total de depósitos a la vista, un banco comercial selecciona una muestra aleatoria de 400 cuentas. La muestra da una media de I/. 5000 y una desviación típica de 1/. 1000. Suponiendo que el banco tiene 12,000 cuentas a la vista, Determinar un intervalo de confianza del 99% para la cantidad total en depósitos. Solución Total =12000 (N) Muestra =400 (n) =5000 = 1000 N( 5000,1000) IC99%
̅
-
-
Calculamos “Z” = 99%+0.5% = 99.5% (Buscamos este valor F(Z) en la tabla ) Z= 2.57 Reemplazamos en la formula:
̅. √ −− ̅. √ −− ≤µ≤
5000 - 2.57*1000/20 *(0.8167) 2.57*1000/20 *(0.8167) 4895.05 ≤ µ ≤ 5104.95 IC 99% = [4895.05, 5104.95)
≤
µ
≤
5000 +
15. La fábrica de calzado C0MPRE-AH0RA tiene una cadena de tiendas de venta al por menor en diversas ciudades del Perú. La política de C0MPRE-AH0RA es no establecer una tienda de ventas en ninguna ciudad a menos de tener una seguridad del 99% de que la venta total anual de calzado en la ciudad sea de por lo menos I/. 5 millones. La compañía está considerando la posibilidad de instalar una tienda de ventas en Huaral (Opto, de Lima), que es una ciudad con 20,000 familias, para lo cual selecciona una muestra aleatoria de 49 familias, que da un gasto familiar anual medio en calzado de I/. 300 con una desviación típica de 1/. 105. Con base en esta información, ¿debe C0MPRE-AH0RA abrir una tienda de ventas en Huaral? Solución Total: 20 000 (N) Media anual = 5000000/20000= 250 Muestra: 49 (n) = 300 = 105 N( µ , ) = N( 300, 105/ )
̅
√
-
√ 49
N (300, 15) Tipificamos: Z = (250-300) /15 Z= -3.33 … Hallamos F(Z) = 0.00043 Hallamos la probabilidad P (Z> 250) = 1- P (Z< -3.33) = 1-0.00043 = 0.9957 - 99.57% de 99.57%
99.57% de confianza para poder abrir la tienda .
16. La cooperativa de Huando, desea determinar el peso total de una partida de 10,000 naranjas. Como la cooperativa sólo tiene una balanza pequeña y además no hay tiempo para estas cosas, selecciona una muestra aleatoria de 16 naranjas, la cual da una media de 175 gramos y una desviación típica de 25 gramos. Determinar un intervalo de confianza del 95% para el peso total de la partida de naranjas. Solución
-
Total = 10 000 (N)
-
̅
Muestra = 16 (n) = 175
IC 95% =?
Hallamos Z = 95% +2.5% = 97.5 % 0.0975 ( Buscamos este valor F(z) en la tabla para hallar Z ) Z= 1.96 Reemplazamos en la formula
̅. √ −− ̅. √ −− ≤µ≤
175 – (1.96) *25/4 *(0.99) ≤ µ ≤ 175 + (1.96) *25/4 *(0.99) 162.87 ≤ µ ≤ 187.12
-- IC 95% = [ 162.57 , 187.12 ]
21. Un investigador desea comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento industrial para obreros que han de llevar a cabo un trabajo especial en una planta ensambladora. Los empleados seleccionados se
dividen en dos grupos. El primer grupo recibe el método 1, el segundo el método 2. Cada uno realizará una operación de ensamblado y se registrará al tiempo que emplea en realizar el trabajo. Se espera que las observaciones en ambos grupos tengan un rango de 12 minutos (suponga también que se espera que la variabilidad de cada método sea la misma). Si se desea que el estimador de la diferencia en tiempo medio de armado sea correcta hasta por un minuto con probabilidad aproximada de 0.95, ¿cuántos trabajadores han de incluirse en cada grupo?
Solución: Se muestra la relación aproximada entre el rango y la desviación típica de la población. Entonces -
4~ 12 → ~3 1 . % ≤ 12 10.2 95 0.975 . 1. 9 6∗3 1 34.57≈35 -
Nivel de confianza (
es igual a:
Según la tabla de distribución acumulativa normal
-
Tamaño muestral para estimar la media
-
Los dos grupos tienen que temer la misma cantidad de trabajadores igual a 35 aproximadamente.
22. Se efectuó un estudio para determinar si cierto tratamiento para metales tiene algún efecto sobre la cantidad de metal desprendido durante la operación de decapado. Una muestra aleatoria de 100 piezas fue sumergida en un baño durante 24 horas sin el tratamiento, alcanzando un promedio de 12.2 mm de metal desprendido y una desviación típica de la muestra de 1.1 mm. Una segunda muestra de 200 piezas se sometió al tratamiento seguida por el baño durante 24 horas, obteniéndose un desprendimiento promedio de 9.1 mm de metal con una desviación típica de la muestra de 0.9 mm. Determinar un intervalo del 98% de confianza para estimar la diferencia entre las medias de las poblaciones.
Solución:
-
2.33
Datos
100 200 12. 2 9. 1 1.1 0.9 98% 1 10.98 ≤ 0.2 99 2
Según la tabla de distribución acumulativa normal
Diferencia de medias de dos distribuciones con ambas desviaciones típicas conocidas en muestras grandes.
∗ < < ∗ 1 . 1 0. 9 12.29.1 2.33∗ 100 200 < 1 . 1 0. 9 < 12.29.1 2.33∗ 100 200 3.10,2.82039< 96< << 3.3.130.96 296
Reemplazando datos.
23. Sean
,
, , < < . . 10. 9 0 ≤ 1 0. 9 5 2 2 1.64 ∗ ∗ 5 2 ∗ 5
las medias de dos muestras aleatorias independientes cada una de tamaño tomadas de las poblaciones normales y respectivamente, donde la varianza común es conocida. Determinar tal que,
Solución. -
-
tamaño de las dos muestras es Nivel del confianza ( para
es igual a
De la fórmula de la diferencia de medias de dos distribuciones e tiene la siguiente igualdad :
∗√ 2 ∗ 5 √ ( ∗√ 2 ∗5) (1.64∗√ 2 ∗5) 134.48 ≈135 . .<< . , . 1 10. 9 0 ≤ 1.2 64 2 0.95 .
24. Sea
la media de una muestra aleatoria de tamaño de una distribución normal con desviación típica . Hallar tal que
aproximadamente.
Solución: -
Desviación típica igual a
-
Nivel del confianza (
-
Error de estimación para
para
es:
es igual a
-
Tamaño de muestra para estimar una media
Problema 25.-
1. 6 4∗7 0.8 205.92≈206
Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se halla que 114 Están contentos con el actual presidente. Hallar u n intervalo de confianza Del 95% para la fracción de votantes que están a favor del actual Presidente. Solución
1.- Datos
n= P= P[Z≤Z0]
114 0.57 0.975 1.96
2.-Fórmulas a utilizar
0 − (
3.- Reemplazando en
) ≤ p ≤
0 − (
)
la fórmula los datos
Intervalo de confianza
0.479120209
≤ p ≤
0.66087979
Problema 26.Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores y se encuentra que 86 tienen preferencia por una marca A. Determinar un intervalo de confianza Del 90% para la fracción de la población de fumadores que prefieren la Marca A. Solución
1.- Datos
n= P= P[Z≤Z0]
86 0.172 0.95 1.64
2.-Fórmulas a utilizar
0 − (
3.- Reemplazando en
) ≤ p ≤
0 − (
)
la fórmula los datos
Intervalo de confianza
≤ p ≤
0.10506436
0.23893564
Problema 27.Un auditor de una dependencia gubernamental de protección al consumidor Quiere determinar la proporción de reclamos sobre pólizas de enfermedades Que paga el seguro en un plazo de dos meses de haber recibido el reclamo. Se selecciona una muestra aleatoria de 200 reclamos y se determina que 80 fueron pagadas en un plazo de dos meses después de recibirlas. Determine Una estimación del intervalo con 99% de confianza de la proporción real De reclamos pagados dentro de ese plazo de dos meses. Solución
1.- Datos
n= P= P[Z≤Z0]
80 0.4 0.995 2.58
2.-Fórmulas a utilizar
0 − (
3.- Reemplazando en
) ≤ p ≤
0 −
la fórmula los datos
Intervalo de confianza
(
)
≤ p ≤
0.25891602
0.54108398
Problema 28.El departamento de mantenimiento de una planta manufacturera de tejidos Es responsable por 1,200 telares. El gerente del departamento ha determinado Que el 45% de los daños en uno muestra de 64 máquinas es por falta de mantenimiento. Determine un intervalo de confianza del 95% para esta proporción. Solución
1.- Datos
n= P= P[Z≤Z0]
64 0.053333333 0.975 1.96
2.-Fórmulas a utilizar
0 − (
3.- Reemplazando en
) ≤ p ≤
0 − (
)
la fórmula los datos
Intervalo de confianza
0.0017165
≤ p ≤
0.10838317
29._ Mediante un muestreo al azar de 49 de 500 compradores en la exposición de muebles en la Feria del Hogar, el gerente de ventas de la compañía de muebles, encontró que el 80% de estos clientes se interesaron por una línea de muebles contemporáneos.
Establezca un intervalo de confianza del 96% para la proporción de compradores interesados por esta línea particular. Solución: N = 500 n = 49 La estimación puntual de la proporción a favor de la línea nueva de muebles contemporáneos, es la proporción a su favor en la muestra de n = 49 compradores; esto es:
̅ 39.492 0.8 ̂ 1 N n 0 . 8 0. 2 5 0049 ̅ N1 49 5001 0.05433 10.96 ; 0.04 1 0.98 2.054 ̂ ̂ 1 N n 1 ̂ N1 ≤≤̂ NN1n 0.8 2.0540.0.05433 ≤≤0.8 2. 0 54 0. 0 5433 68841≤≤1.48841
La estimación del error estándar es:
Para
;
;
Luego, el intervalo de confianza del 96% para es de 0.68841 a 1.48841. 30._ En una muestra al azar de 600 mujeres, 300 indican que están a favor de la ayuda del estado a los colegios privados. En una muestra al azar de 400 hombres , 100 indican que están a favor de los mismo. Determinar un intervalo de confianza (a) del 55%, (b) 95% para la diferencia de proporciones de todas las mujeres y todos los hombres que favorecen tal ayuda. Solución: a) De los datos del problema de obtiene:
̅ 0.5 ̅ ̅ 0.̅25 ̅ ̅ 0.25 − 0.0298 10.55 ; 0.45 1 0.775 ̂ ̂ ≤ ̂≤ ̂ 0.25 0.75542≤0.20.502980.7≤5542 0.0298 0.2275≤ ≤0.4775 0.2275≤ ≤0.4775 10.95 ; 0.05 1 0.975 La estimación puntual del parámetro proporciones muestrales
y
, es la diferencia de
El error estándar de la diferencia de proporciones es:
Para
;
Los límites de tolerancia para
;
0.75542
son:
Luego, el intervalo de confianza al 55% para b) Para
Los límites de tolerancia para
;
;
son:
1.96
es:
̂ ̂ ≤ ≤ ̂ ̂ ≤ ≤0.≤0.424165 1.960.0298 0.25 1.960.0.02981916≤ 0.1916≤ ≤0.4416
Luego, el intervalo de confianza al 55% para
es:
31._ Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una muestra aleatoria de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el articulo indicado. Calcular el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. Solución: De los datos del problema de obtiene:
̅ 0.3 ̅ ̅ 0.1
̅ ̅0.̅2
Para
;
La estimación puntual del parámetro proporciones muestrales
y
, es la diferencia de
El error estándar de la diferencia de proporciones es:
− 0.05148 10.95 ; 0.05 1 0.975 ;
1.96
̂ ̂ ≤ ≤ ̂ ̂ 0.1 1.960.0.00009008≤ 5148 ≤≤0.≤0.10990992 1.960.05148 0.0009008≤ ≤0.0990992
Los límites de tolerancia para
son:
Luego, el intervalo de confianza al 55% para
es:
32._ Cierto genetista quiere conocer la proporción de hombres y mujeres de cierta ciudad que padecen un desorden sanguíneo menor. Una muestra aleatoria de 1000 mujeres arroja 250 afectadas, en tanto que 275 de 1000 hombres sufren desorden. Establezca un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres que padecen tal desorden. Solución: De los datos del problema de obtiene:
̅ 0.275 ̅ ̅̅0.250 ̅ ̅ 0.025 − 0.01967 10.95 ; 0.05 1 0.975 La estimación puntual del parámetro proporciones muestrales
y
, es la diferencia de
El error estándar de la diferencia de proporciones es:
Para
;
;
1.96
̂ ̂ ≤ ≤ ̂ ̂ 0.025 1.96≤0.0.001967 ≤ 25 1. 9 6 0. 0 1967 0.0135532≤ ≤0.0114468 0.0135532≤ ≤0.0114468
Los límites de tolerancia para
son:
Luego, el intervalo de confianza al 55% para
es:
33. La toma de decisiones participativa ha sido una estrategia administrativa que se ha adoptado como un medio para mejorar la eficiencia y la participación de los individuos en las organizaciones. Se entrevistó a dos grupos de empleados, los cuales difieren substancialmente en el nivel de participación permitida por el gerente, y se les preguntó si estaban o no satisfechos con su empleo actual. De 110 empleados de un grupo en el cual se ha fomentado la participación del empleado, 77 afirmaron que estaban satisfechos con sus empleos. En tanto 52 de 125 empleados, de un grupo en el que no se permite la participación del empleado, afirmaron que estaban satisfechos con su empleo. Encuentre un intervalo de confianza del 90%, para la diferencia de la proporción de empleados satisfechos con su trabajo. SOLUCION. GRUPO I GRUPO II
1110 1125 0. 7 1 0.416 1 1∝0. 9 1∝ 0.95
0.951.65 − − − −
, entonces Luego el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones es:
∈ ∈ ∈
‹ P1-P2 ± Z .95
(
1-
1)
(
1-
1)
‹ 0.7-0.416 ± 1.65
(
1-
1)
‹ 0.182; 0.386 ›
0
›
›
34. El auditor de un banco desea estimar la proporción de estados, de cuenta bancarias mensuales para los depositantes del banco que tendrán errores de varias clases, y especifica un coeficiente de confianza del 99% y un error máximo de 0.25%. a) Determinar el tamaño de la nuestra si no se dispone de información sobre la proporción verdadera de los estados de cuenta mensuales que tienen errores. b) Determinar el tamaño de la muestra, si el auditor, por su experiencia, cree que la verdadera proporción de estados de cuenta con errores.
1∝0.99
1∝ 0.925∗10 95 − ∝/2 2. 5 8 0. 0 1 10. 0 1 25∗10− 10543.7 ≅10543 , entonces
Z1-
=Z0.995 =2.58
℮=0.25%= P=0.01
∴
Estados de la cuenta.
35. Se efectúa un estudio para estimar la proporción de amas de casa que poseen una secadora automática. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea tener amenos una confianza del 99% que la, estimación difiera de la verdadera proporción en una cantidad menor de 0.01? Solución.
1∝0.99 q˳1P˳ ˳0. 0 1 ˳ ≠˳˳ 1 1 ˳/ ˳∗˳ ˳0.01˳/ ˳∗1˳ 1∝99% 1∝ 0.995 ∝/2 1 0.01/ ˳∗ 1˳ 2.58 Entonces: H : P=P H1:
Entonces Z1-
=Z0.995 =2.58
36 .Un equipo de investigación médica está seguro sobre un suero que han desarrollado el cual curará cerca del 75% de los pacientes que sufren de ciertas enfermedades. ¿Qué tamaño debe ser la nuestra para que el grupo pueda estar seguro en un 98% que la proporción muestral de los que se curan está dentro de más o menos 0.04 de la proporción de todos los casos que el suero curará?
1∝0. 9 8 1∝ 0.99 ∝/2 2. 3 3 0. 7 5 10. 7 5 0.04 636.199≅636 ≅636 Solución.
, entonces
Z1-
=Z0.99 =2.33
℮=0.04
P=75%=0.75
∴
Pacientes
37. en una muestra aleatoria de 25 presidentes sudamericanos, se encontró que 16 han cursado estudios superiores. Determine un intervalo de confianza del 95% para la proporción de todos los presidentes de corporaciones que han cursado estudios superiores. (Sug. Puesto que n es pequeño, introduzca el factor de corrección de ½ n para P con el objeto de mejorar el intervalo de confianza para p)
˳ 1/
(P-1/2n) - z
< p < (P+1/2n) + z
SOLUCIÓN
a) datos del problema n=25 N=16 Nivel de confianza ()=95%
˳ 1/
˳
b) determinamos Z mediante la tabla z P [Z ≤ z ]= (1+)/2 = 1+0.95 /2 = 0.975 z = 1.960
˳ ˳
c) hallamos la probabilidad P=casos favorables /n = 16/25 = 0.64 Remplazamos
˳ 1/ ˳ 1/ 0.6410.64/25 0.6410.64/25
(P-1/2n) - z < p < (P +1/2n) + z (0.64 – 1/50) -1.960
38. sea Y /n la frecuencia relativa de éxitos de n ensayos independientes, con probabilidad de éxito igual a P. si P es desconocido, pero está en una vecindad de 0.30. Determine n tal que P [Y/n -0.03
SOLUCIÓN a) datos del problema n=? Vecindad=0.30 b) la probabilidad de los datos P= casos favorables /n = 0.08 z =0.03
˳ 1/ 0810.08/ 0.00.736/ 1
=0.03
=0.03
n = 81
39. Si y1/n y y2/n son las frecuencias relativas de éxitos asociado con dos distribuciones binomiales independientes b(n, p1) y b(n, p2). Hallar n tal que P [Y1/n –y2/n-0.05
SOLUCIÓN a) datos del problema n=? b) la probabilidad P1+P2= casos favorables /n = 0.80
˳˳ 1/ 1/˳ 1/ ˳ 1/ 8 0/ 0 . 8 010. 8 0/ 0 .80010. .8010.80/ z z P1 + P2 = z
=P1 =P2
+z
+
=0.05 = 0.05
=0.025
n = 256
40. Doscientos cincuenta y seis pacientes que sufren de una cierta enfermedad fueron tratados con un nuevo medicamento. Este medicamento curó a 128 pacientes. ¿Con qué grado de confianza puede afirmarse que la efectividad del medicamento esta entre 45% y 55%?
SOLUCIÓN a) datos del problema n=256 P [θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 – α, para algún α > 0 , entonces se puede decir que θ1 y θ2 determinan un intervalo que tiene la probabilidad 1 –
α
De contener al parámetro poblacional θ
θ1 =0.45 θ2 =0.55 Amplitud del intervalo = θ2 - θ1 =0.55-0.45=0.1 b) hallamos la probabilidad de confianza P= 128/256 = 0.5 Para un nivel de confianza del 45%
1-α = 0.45
α = 0.55 Α/2 = 0.275 Zα/ 2 = Z + 0. 275; y se suma P (Z ≤ Z 0. 275) =0.94 + (1-α/2) Z (0.94)=1.56 Para un nivel de confianza del 55%, 1-α=0.55
α=0.45 Α/2=0.225 Z α / 2 = Z + 0.225 P (Z ≤ Z 0.225) =0.98 + (1-α/2) Z (0.98)=2.325
Entonces diremos que con un grado de confianza de la suma de 1.56+2.325 = 3.88 de efectividad del medicamento que fueron atendidos los pacientes 41. El director de Bienestar Estudiantil de una Universidad está considerando una nueva política en relación con hogares de estudiantes. Antes de tomar una decisión final, desea seleccionar una muestra aleatoria para estimar la proporción de estos que está en favor de esta nueva política. ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar que el riesgo de sobrepasar un error de 0.10 es sólo 0.05?
Datos
SOLUCIÓN
0. 1 0. 1 1 0.95 0. 5 1 10. 9 5 ≤ 2 2 0.975 1.96 1. 9 60. 5 0.1 96.04 97 Error:
Nivel de confianza: La desviación estándar para la mayor diversidad de respuestas es: Calculamos
De la tabla tenemos:
Por fórmula tenemos:
Reemplazando tenemos:
42. Una muestra aleatoria de tamaño 400 seleccionada entre los alumnos que habían consultado el Servicio de Salud de una Universidad durante el año pasado indicó que 80 tenían una enfermedad de naturaleza psicosomática. (a) ¿Con qué grado de confianza puede afirmarse que 16% a 24% de todos los alumnos que consultaron el servicio de salud el año pasado tenían una enfermedad psicosomática? (b) Supóngase que 2000 alumnos consultaron el servicio de salud el año pasado. ¿Cuántos de estos alumnos tenían una enfermedad psicosomática? ¿Qué grado de confianza tiene su estimación?
a) Datos
400 80 ̂ 80 ̂ 400 0.2
SOLUCIÓN
1̂ 0. 8
0. 16≤≤0. 24 ̂ ̂ ̂ ̂ 1 1 ̂ ≤≤̂ 0. 2 0. 8 0. 2 0. 8 0.2 400 ≤≤0.2 400 0. 16≤≤0. 24 0. 2 0. 8 0. 2 400 0.16 0. 2 0. 8 400 0.04 2 100 0.04 2 12 ≤ 1 ≤2 2
Por fórmula tenemos:
Igualando tenemos:
De la tabla tenemos:
0.90. 7725954512 95.45%
El intervalo de confianza es:
2000 400 ? 0.9545 ≤ 10.9545 2 2 ̂ 400 400 ̂ 1 400 0. 16≤≤0. 24 ̂ ̂1 ̂ 1 ≤≤̂ ̂1 ̂ 1 b)
Por fórmula tenemos:
Remplazando e igualando tenemos
400 400 2 400 400400 220001 000400 0.16 400 2 400 160000 0.8950.16 715.6 400 64 64 715.6 400 64 715.6 400 1284096512083.36 400 1284096204833344512083.36 1284096204833344512083.36 512084.36 20483347240960 399.99 399.99 0.9545
¿Cuántos de estos alumnos tenían una enfermedad psicosomática? ¿Qué grado de confianza tiene su estimación?
43. Una muestra de 5 tarros de café instantáneo seleccionados de un proceso de producción, dio los siguientes valores para el contenido medio en gramos: 285; 291; 279; 288; 282. Determine un intervalo de confianza del 95% para estimar el peso neto medio de los frascos producidos por este proceso.
Datos
SOLUCIÓN
5 ̅ 285743 4. 14 0. 9 5
285; 291; 279; 288; 282 N° de datos: Promedio : Desv. Estándar: Grado de libertad: Intervalo de conf:
1 ≤ 2 ≤ 10.2 95 0.975 2.776 ̅ √ ≤≤̅ √ 285 2.7764.√ 5 743 ≤≤285 2.7764.√ 5 743 De la tabla T
Por fórmula tenemos:
Entonces:
285 5.888≤≤2855.888 279.112≤≤289.888
44. Se prueba una muestra aleatoria de 5 fusibles de cierta marca para determinar el punto medio de ruptura. Los puntos de ruptura medidos en amperes fueron: 18; 22; 20; 14; 26. ¿Con qué grado de confianza puede afirmarse que el punto medio de ruptura para esta marca de fusibles está entre 15.736 y 24.264?
SOLUCIÓN Datos
5 ̅ 20
18; 22; 20; 14; 26
N° de datos: Promedio :
4. 4 72 14 15.736≤≤24.264 ̅ √ ≤≤̅ √ ̅ √ 15.736 ̅ √ 24.264 20 4.√ 4572 15.736 2.132 ≤ 12 1 ≤2.132 2 4 1 0.95 2 0. 9 90% ∑Xi ̅ Desv. Estándar: Grado de libertad:
Por fórmula tenemos:
Entonces:
Reemplazando tenemos:
De la tabla T
57. Para una muestra de tamaño 15,
= 17.8.
Hallar un intervalo de confianza del 95% para ơ.
∑Xi ̅ + ɣ
Solución:
Como = 17.8 entonces S=4.219 G.L = 14 ɣ = 0.95 P (T ≤ ) = P (T ≤ ) = 0.975 = 2.145
̅
=17.8
= 2.3364 El intervalo de cofianza es: ± 2.3364
Estadística Aplicada 49. Los pesos netos (g) de ocho latas de conserva fueron los siguientes:121, 119, 124, 123, 119, 121, 124, 120. Obtener un intervalo de confianza del 99% para el peso neto medio de las conservas.
̅ ^2^2∑ ^2/1 ̅ ∗/√ µ1 ̅ ̅ ∗ √ ≤µ≤ 2.066 ∑/ ̅121. + 37 +.PT ≤0.to995 121.37 3.355∗ 2.√ 0866 ≤µ≤121.37 3.355∗ 2.√ 0866 µ 118.91 ≤
≤123.82
50. Los tiempos de encendido en segundos de crisoles de humo flotante de dos tipos diferentes son los siguientes: Tipo I: 481, 506, 527, 661, 501, 572, 561, 501, 487, 524. Tipo II: 526, 511, 556, 542, 491, 537, 582, 605, 558, 578'. Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia media en tiempos de encendido, suponiendo varianzas iguales pero desconocidas.
x y toSc 1n m1 ≤ µx µy 1 1 ≤ x y toSc n m − + − Sc + − 1 γ 1 0.95 PT ≤ to 2 2 0.975
Grados de libertad = n + m – 2
Tipo1
y
Sy
532.1 54.16
x
Tipo2
Sx
548.6 34.52
n
10
m
10
10 1 54. 1 6 10 1 34. 5 2 Sc 10 10 2 45.44 548.6532.1 2.228∗45.44 ≤ µx µy ≤ 548.6532.1 2.228∗45.44 ]
28.77≤ µx µy ≤61.77 51. Dos analistas tomaron lecturas repetidas en la dureza del agua de la ciudad. Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre analistas, suponiendo varianzas iguales pero desconocidas. MEDIDA DE DUREZA CODIFICADA Analista A: 0.46, 0.62, 0.37, 0.40, 0.44, 0.58, 0.48, 0.53 Analista B: 0.82, 0.61, 0.89, 0.51, 0.33, 0.48, 0.23, 0.25, 0.67, 0.88
x y toSc 1n m1 ≤ µx µy ≤ x y toSc 1n m1 − + − Sc + − 1 γ 1 0.95 PT ≤ to 2 2 0.975
Grados de libertad = n + m – 2
y
Sy n
Analista A
Analista B
0.09
x
Sx
0.25
8
m
10
0.485
0.567
8 1 009 10 1 0. 2 5 Sc 8 10 2 0.1956
1 1 0.5670.485 2.228∗0.1956 8 10 ≤ µx µy 1 1 ≤ 0.5670.485 2.228∗0.1956 8 10 0.12≤ µx µy ≤0.288 52. El gerente de una cadena de 200 super-mercados en una ciudad grande, reúne los datos de ventas diarias de 5 tiendas escogidas al azar. Ellos son, en miles de intis, 18, 24, 22, 26, 16. (a) Estime la desviación típica de la población.
x21. 2 ∑ xi ∗nx / +++ +−∗. σ21.023 Nn Zo∗σ Nn xZo∗σ ≤ µ ≤ x √ n N11 γ 1 0.9√ 8n N1 PZ ≤ zo 2 2 0.99 (b) Construya un intervalo de confianza de un 98% para las ventas medias.
0. 8 3∗0. 2 1023 2005 21.2 √ 5 2001 ≤ µ Zo∗σ Nn ≤ x √ n N1 21.12≤ µ ≤ 21.27 EJERCICIO 53
Al examinar los registros de facturación mensual de una empresa editora con ventas por correo, se encuentra un total de 250 facturas no pagadas, el auditor toma una muestra de 10 facturas no pagadas. Las sumas que se adeudan a la compañía en miles de intis son: 4, 18, 11, 7, 7, 10, 5, 33, 9 y 12. (a)Determine una estimación del intervalo con 99% de confianza de la cantidad promedio de facturas no pagadas. (b) Establezca una estimación del intervalo con 99% de confianza de la cantidad total que se adeuda a esa empresa.
Solución (a) Determine una estimación del intervalo con 99% de confianza de la cantidad promedio de facturas no pagadas. Datos: N
250
n
10
En el ejercicio la varianza es desconocida, entonces se aplicará la siguiente fórmula:
̅ √ 1 ≤≤̅ √ 1 ̅ 418117710533912 10 ̅ 11, 6 1 ≤ 10.99 2 ≤ 3, 0,250995 ̅ ∑ 8,1514 ̅ √ 1 ≤≤̅ √ 1 3, 2 50 8, 5 14 2 5010 11,6 √ 10 2501 ≤ 3, 2 508, 5 14 2 5010 ≤11,6 √ 10 2501 3,009≤≤20,191 Hallamos el promedio:
Determinamos
mediante la tabla T y la formula
Hallamos la desviación estándar:
Ahora Reemplazamos los datos obtenidos, en la fórmula:
(b) Establezca una estimación del intervalo con 99% de confianza de la cantidad total que se adeuda a esa empresa. Usamos el resultado obtenido de (a):
3,009≤≤20,191 ∗250 752,353≤∗250≤5047,647 752,353≤≤5047,647
EJERCICIO 54
Los siguientes datos representan los tiempos de duración (en minutos) de las películas producidas por dos compañías cinematográficas Compañía A: 103, 94, 110, 87, 98 Compañía B: 97, 82, 123, 92, 175, 88, 118 Determinar el intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos promedios de las películas producidas por las compañías, asumiendo que los tiempos de duración tienen una distribución aproximadamente normal.
Solución: i)
Hallamos los siguientes datos:
̅ n
Compañía A 5 98,4 8,735
Compañía B 7 110,714 32,185
1 10, 9 0 ≤ 2 ≤ 1,0,89125 1 0. 9 01 0. 1 0 −,−,− −.,−,− .,, 4.53 −,−,− −.,−,− .,, 6.16
ii)
Determinamos
mediante la tabla T y la formula
iii)
Hallamos los siguientes valores: Se sabe:
iv)
Los datos obtenidos anteriormente, nos sirve para
determinar el intervalo de confianza para la razón de dos varianzas:
∗ −, −, − ≤ ≤ ∗−,−,− 32.8.713585 ∗ .1,, ≤ ≤ 32.8.713585 ∗.,,
76. 3 00 1 76. 3 00 1035.874 ∗ 4.53 ≤ ≤ 1035.874 ∗6.16 0.0163≤ ≤0.4537 ∉. ∉. ,
v)
Como
, entonces aplicamos la siguiente
fórmula para hallar el intervalo de confianza para la diferencia entre los tiempos promedios:
̅ ≤ ≤ ̅
98.4110.7141.812 8.7535 32.17852 ≤ 8. 7 35 ≤98.4110.7141.812 5 32.17852
[20.389≤ ≤201.039]
EJERCICIO 55
Una compañía productora de semillas de maíz híbrico planta dos nuevas hileras de maiz híbrlco en cinco granjas diferentes. Las producciones en búshels por acre fueron:
Híbrico I: 90 85 95 76 80 Híbrico II: 84 87 90 92 90 a) Determine un intervalo de confianza del para la diferencia entre las dos producciones medias. b) ¿Con qué tipo de "población" trabaja la compañía en esta prueba? c) ¿Qué suposiciones se hicieron para estimar el intervalo de confianza en (a)?
90%
Solución: a)
%
Determine un intervalo de confianza del para la diferencia entre las dos producciones medias.
i)
Determinamos lo siguiente:
̅ n
ii)
iii)
Híbrico I 5 85.2 7.596
Híbrico II 5 88.6 3.130
1 ≤ 10,2 90 ≤ 1,0,89125 Determinamos
mediante la tabla T y la formula
Hallamos los siguientes valores:
1 0. 9 01 0. 1 0 −,−,− −.,−,− .,, 6.39 −,−,− −.,−,− .,, 6.39 Se sabe:
iv)
Los datos obtenidos anteriormente, nos sirve para
determinar el intervalo de confianza para la razón de dos varianzas:
∗ −, −, − ≤ ≤ ∗−,−,− 7.3.519630 ∗ .1,, ≤ ≤ 7.3.519630 ∗.,, 0.922≤ ≤37.634 ∉. ∉. ,
v)
Como
, entonces aplicamos la siguiente
fórmula para hallar el intervalo de confianza para la diferencia entre los tiempos promedios:
̅ ≤ ≤ ̅
7. 5 96 1. 85.288.6 812 5 3.15302 ≤ ≤ 85.288.6 1.812 7.5596 3.15302
[10.058≤ ≤3.258]
b) ¿Con qué tipo de "población" trabaja la compañía en esta prueba? La compañía productora trabaja con un población finita, en este caso son bushels por acre de cada híbrico. c) ¿Qué suposiciones se hicieron para estimar el intervalo de confianza en (a)? Primero se desarrolló el intervalo de confianza para la razón de dos varianzas, para así suponer que las varianzas desconocidas son desiguales, entonces se aplicó dicha fórmula.
EJERCICIO 56
Se determina que las tensiones de rotura de una línea de pesca de prueba de 30 libras, para una muestra de 6 carreteles, son 34, 33, 26, 32, 28 y 27 libras. Determinar un Intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.
Solución: i)
Se tiene los siguientes datos: Carreteles 6 3.406 5
n S
Grado de libertad(n1)
ii)
iii)
Hallamos :
1 0. 9 51 0. 0 5 / −/ [ ≤−/]1 2 [ ≤/] 2 0. 0 0. 0 5 [ ≤−/]1 2 [ ≤/] 2 ]0. 9 75 [ ≤−/ [ ≤/]0.025 12.833 −/ Determinamos los valores
y
:
/ 0.831 iv)
Determinamos el intervalo de confianza para la varianza poblacional:
1 1 −/ ≤ ≤ / 613. 4 06 613. 4 06 12.833 ≤ ≤ 0.831 4.5199≤ ≤69.8005
58. Se realiza un experimento para probar la diferencia en efectividad de dos métodos de cultivar trigo. Diez parceles se tratan con arado superficial y quince con arado profundo. El rendimiento medio por acre del primer grupo es 40.8 fanegas y la media para el segundo grupo es 44.7. Suponga que la desviación estándar de la producción del arado superficial es 0.6 fanegas y para el profundo es 0.8. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de rendimiento.
̅̅
Solucion: = 0.6 = 0.8 = 10 = 15 1 = 40.8 2 = 44.7
Hallamos el grado de libertad
g.l. = 23
+ ɣ
P (T ≤ ) = P (T ≤ ) = 0.95 = 1.714
=0.48 El intervalo es: 40.8 – 44.7 – 0. 48 -4.38
40.8 – 44.7 + 0. 48 -3.42
59. En investigación sobre combustibles para cohetes orientada a reducir la demora entre la aplicación de la corriente de encendido y la explotación, se realizaron pruebas sobre un combustible T y un combustible C. La desviación estándar de ambos grados puede suponerse igual a 0.04. Si C = 0.261 segundos y T = 0.250 segundos para 14 observaciones en cada uno, determine un intervalo de confianza del 95% para el cambio en tiempo de encendido.
Solución : ɣ = 0.95 G.L = 13 S = 0.04
+ ɣ
P (T ≤ ) = P (T ≤ ) = 0.975 = 1.771
Intervalo de confianza = 0.0189
0.231 ≤ 0.242 ≤
µµ
≤ 0.268 ≤ 0.279
60. Para determinar la efectividad de un programa de seguridad industrial se recogieron los siguientes datos sobre el tiempo perdido por accidentes.
Los números dados son las n.¿dias de horas-hombre pérdida por mes, en un pe ríodo de 8 meses. a. Hallar intervalos de confianza del 95% para cada una de las medias, antes del programa y después del programa. b. ¿Qué podría decir acerca del programa en base a los resultados?
Solucion:
̅̅
= 54 .25 despues del programa = 45 antes del programa
S1=35.97 S2=30.61 G.L = 7 ɣ = 0.90 P (T ≤ ) = P (T ≤ ) = 0.95 = 1.895
+ ɣ
Intervalo de confianza antes del programa = 25.76
10.20 ≤ µ ≤ 61.74 Intervalo de confianza despues del programa = 21.92
8.68 ≤ µ ≤ 52.53 b. el programa reducio el tiempo perdido en:
1.52 ≤ µ ≤ 9.20
Pregunta 01 UNA MAQUINA LLENA UN DETERMINADO PRODUCTO EN BOLSAS CUYO PESO MEDIO ES U GRAMOS. SUPONGA QUE LA POBLACION DE LOS PESOS ES NORMAL CON DESVIACION ESTANDAR 20 GRAMOS.
A) ESTIME U DE MANERA QUE EL 99.38% DE LAS BOLSAS TENGAN PESOS NO SUPERIORES A 550 GRAMOS. B) ESTIME U MEDIANTE UN INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95µ%, SI UNA MUESTRA ALEATORIO DE 16 BOLSAS HA DADO UNA MEDIA DE 495 GRAMOS.
SOLUCION: DATOS
U
media poblaciona l
P (
X 550) 0.9938
A)
P ( X
U
550 U 20
) 0.9938
20
gramos
P ( Z
550 U 20
) 0.9938
1- = = 0.9938
= = 0.0062
Zt
550
U
2.5
20
550 0 2.5 * 20 U 55 550 0 2.5 * 20 U 55 U 500
B)
X
495
n
16
Intervalo de confianza del 95%
20
Zt
gramos
1.96
2.5
X
Z *
495
n
U
1.96 * 20 16
X
Z * n
U 495
1.96 * 20 16
495 9.8 U 495 9.8
485.2 U 504.8
El intervalo de confianza estará entre 485.2 y 504.8
EJERCICIO 45:
Datos: 660
460 540 580 550 Determinamos parámetros estadísticos: n= 5 x= 558 S= 72.2495675 γ= 0.95 α= 0.05 Como la Desviación estándar es desconocida y n<30, se usa distribución t: P[T≤t0]= 2.77644511 Para calcular el intervalo de confianza se usa:
Reemplazando datos obtenemos ≤μ≤ 468.290313 647.709687 Y finalmente concluimos que, El intervalo de confianza de la resistencia a la rotura de la cuerda al 95% de confianza varia de 468.29 a 647.71 libras.
EJERCICIO 46:
Datos: 15.7 15.7 16.3 15.8 16.1 15.9 16.2 15.9 15.8 15.6 Determinamos parámetros estadísticos: n= 10 x= 15.9 S= 0.23094011 γ= 0.9 α= 0.1 Como la Desviación estándar es desconocida y n<30, se usa distribución t:
P[T≤t0]=
1.83311293
Para calcular el intervalo de confianza se usa:
Reemplazando datos obtenemos ≤μ≤ 15.7661284 16.0338716 Y finalmente concluimos que, El intervalo de confianza para la media de los pesos de las cajas de cereal al 90% de confianza varia de 15.76 a 16.03 onzas. EJERCICIO 47:
Datos: 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 9.9 10.4 10.3 9.8 Determinamos parámetros estadísticos:
n= x= S= γ= α=
10 10.06 0.24585452 0.99 0.01
Como la Desviación estándar es desconocida y n<30, se usa distribución t: P[T≤t0]= 2.5758293 Para calcular el intervalo de confianza se usa:
Reemplazando datos obtenemos ≤μ≤ 9.85973951 10.2002605 Concluimos que, el intervalo de confianza para la media de los pesos de las cajas de cereal al 99% de confianza varia de 9.86 a 10.2 onzas.
EJERCICIO 48:
Datos: n=
̅
σ= γ= α=
8 18.16 2.4 0.99 0.01
Como la Desviación estándar es conocida y n<30, usamos distribución Z: P[Z≤z0] 2.5758293 Para determinar el intervalo de confianza usamos:
Y luego de reemplazar datos obtenemos: ≤μ≤ 15.9743364 20.3456636 Y finalmente concluimos que, El intervalo de confianza para la media del contenido de nicotina en cigarrillos al 99% de confianza varia de 15.97 a 20.35 miligramos.
Pregunta 61 EN INVESTIGACION SOBRE COMBUSTIBLES PARA COHETES ORIENTADA A REDUCIR DA DEMORA ENTRE LA APLICACIÓN DE LA CORRIENTE DE ENCENDIDO Y LA EXPLOTACION, SE REALIZARON PRUEBAS SOBRE UN COMBUSTIBLE T Y UN COMBUSTIBLE C. LA DESVIACION ESTANDAR DE AMBOS
GRADOS PUEDE SUPONERSE IGUAL A 0.04. SI C
0.261
SEGUNDOS Y T
0.250
SEGUNDOS PARA 14
OBSERVACIONES EN CADA UNO.
A) DETERMINAR UN INTERVALO DE CONFIANZA DEL 95% PARA
t c
SOLUCION
DATOS
C
0.261
S c
0.04
n
0.250
S t
0.04
nt
c
14
T
14
A) Intervalo de confianza del 95% para el cociente de varianzas
v1
S t S c
*
0.04 0.04
nt
1
14
*
/ 2 ( v1,v 2 )
1
2.86
13
t
2 c
2
t
2
c
0.3496
2
1 F 1
1
2
t
2
c
2.86
v
S t S c
0.04 0.04
* F 1
* 2.86
2
/ 2 ( v 2 ,v1)
n
c
1
14
1
13
0.3496
2
t
2
2.86
c
0.591
t c
1.691
Pregunta 62 SUPONGA QUE SE HACEN 15 ENSAYOS EN CADA UNO DE DOS TRATAMIENTOS CON LA RAZON DE DESVIACIONES ESTANDARES MUESTRALES Sx/Sy= 3.5. DETERMINAR UN INTERVALO DE CONFIANZA DEL 90% PARA
SOLUCION
DATOS
S x S y
3.5
n
x
15
n y
15
A) Intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas
S x S y
*
3.5 *
1
F 1
/ 2 ( v1, v 2 )
1
tx
2 tx
2 y
S x S y
* F 1
/ 2 ( v 2 , v1)
2
2.40
2
3.5 * 2.40
y
2 tx
1.4583
2 y
8.4
Ahora la raíz de ambos
2
1.4583
1.2076
tx
tx 2
y
8.4
2.8983
y
Pregunta 63 SUPONGA QUE SE HACEN 15 ENSAYOS EN CADA UNO DE LOS TRES
TRATAMIENTOS
CON
LAS
SIGUIENTES
VARIABLES
MUESTRALES Sx = 12, Sy= 30 y S=39. DETERMINAR INTERVALOS DE CONFIANZA DEL 85% PARA TODOS LOS PARES DE RAZONES Y VARIANZAS.
SOLUCION
S X
S Y
S z
12
n X
30
nY
39
n z
15
15
15
A) Intervalo de confianza del 85% para el cociente de varianzas S y S x S y S x 30 12
*
1 F 1
*
/ 2 ( v1,v 2 )
1 2.34
2 z
2 x
y
2
x
2
1.068
2
x
S x
2
y
S y
5.85
30 12
* 2.34
* F 1
/ 2 ( v 2,v1)
2
y
1.068
2
5.85
x
y
1.0334
2.4187
x
B) Intervalo de confianza del 85% para el cociente de varianzas S z S x
S z S x 39 12
*
1 F 1
*
/ 2 ( v1, v 2 )
1
2
x
2 x
39
S z S x
* 2.34
12
2
z
1.389
2
z
2.34
2 z
7.605
2
y
2
z
1.389
2
7.605
y
1.1786
z
y
2.7577
* F 1
/ 2 ( v 2, v1)
C) Intervalo de confianza del 85% para el cociente de varianzas S z S y S z S y
39 30
*
1
*
F 1
/ 2 ( v1, v 2 )
1
z
2.34
2 y
2 y
2
2 z
39 30
S z S y
* 2.34
2
0.555
z
3.042
2
y
2
0.555
0.7449
z
2
y z y
3.042
1.744
* F 1
/
2 ( v 2, v1)
14. Un comerciante encarga estimar el costo total de 3000 unidades de mercadería de diverso tipo que posee. Asuma que la población de los costos tiene σ = $5. a) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para que el error de la estimación puntual del promedio esté dentro de +- 0.9637$ con confianza del 95%? SOLUCION 1-α=0.95 Z˳=1.960
√ −− .√ − ≤ -Z˳
≤-0.9637 0.9637
≅
n≥99.9977 n≥100…..Población finita b) Si con una muestra de 144 costos se obtuvo una media de 20$ y si se estimó el costo total de $57499.35 a $62500.65, ¿qué nivel de significación se aplicó?
˳√ − − Z˳
N=3000
20-
3000
σ =5 n=114 =20
≤µ
20-(0.4066) =57499.35 [20-(0.4066) Z˳ ]=5749935 20-(0.4066) Z˳=19.16645 Z˳=2.05 0.97982=
+
γ
≅
=0.95964 0.96
15. En un estudio socioeconómico se tomó una muestra aleatoria de 100 comerciantes informales y se encontró entre otros datos que sólo el 30% de ellos tienen ingresos superiores a $800 por mes. a) Obtenga los extremos del intervalo de estimación de la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a $800, al nivel de confianza del 98% SOLUCION
∓ − ∓ .−.
p= =
=0.3
p Z˳
0.3 2.33
∓
0.3 0.106774013
b) Si la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a S800 se estimó entre 20.06% y 39.94% ¿qué nivel de confianza se aplicó? SOLUCION
−
p= = p-Z˳
=0.3
γ −
≤p ≤p+ Z˳
0.9850(2)-1=
+
P [Z≤ Z˳]=
0.3- Z˳
.. ≤p ≤ .. 0.3+ Z˳
0.2006=0.3- Z˳(0.0458225) Z˳=2.1692
γ
=0.97
16. La oficina de planificación familiar de cierta región del País quiere estimar el porcentaje de familias con más de 4 hijos de las zonas rurales. a) ¿Qué tamaño de muestra como mínimo se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error de la estimación de tal porcentaje no sea superior a 0.05? SOLUCION Tomando P=0.5 y q=1-0.5=0.5
˳E +. ..
n=
P (Z≤ Z˳)=
=0.975
Z˳=1.96 n=
=384.16≈385
n≥385 b) Si se escogió una muestra aleatoria de 385 familias y en ella se encontró que 320 tienen más de 4 hijos, estime el porcentaje de familias con más de 4 Hijos en toda la región aplicando un intervalo de confianza del 98%. SOLUCION =320/385=0.17
p γ
q=1-0.83=0.17 =0.98
+. ..−. ∓
P (Z≤ Z˳)=
=0.99
Z˳=2.33
I= [0.83-2.33
≤p≤0.83+2.33
..−.
]
I=0.83 0.0466 c) Si el intervalo de estimación del porcentaje de familias con más de 4 hijos en toda la región va de 76.24% a 83.76%, ¿qué nivel de confianza se aplicó? SOLUCION I= [0.7624 ≤p≤0.8376]
..
p- Z˳
=0.7624
0.83- Z˳
=0.7624
Z˳=3.53 P (Z≤ 3.53)=
+
γ= 0.98 98% de nivel de confianza 17. El mantenimiento de cuentas de Crédito puede resultar demasiado costoso si el promedio de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un almacén desea estimar el promedio de cantidad comprada por mes por sus clientes que tienen cuenta de crédito con un error de no más de I/. 250 con una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuantas cuentas deben ser seleccionadas del archivo de la compañía si se sabe que la desviación típica de los balances mensuales de las cuentas de crédito es de I/. 750? SOLUCION Error ≤ 250 P = 0.95 = ɣ σ = 750
1. 9 60∗750 34. 2505 7≅35
ɣ = 1 - α = 0.95 → Zo = 1.960
18. La oficina de protección al consumidor, entre otras cosas, han ocasionado que las empresas se preocupen más por la aceptación de sus productos en el mercado. Una empresa, con dos productos en su línea, quiere estimar la diferencia entre el número de quejas ocurridas cada mes durante cuatro años (48 meses), que para cada producto arrojan los siguientes resultados:
1 117. 2 2 225.1
14. 6 25.3
Determinar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre el número medio de quejas sobre sus productos. (Suponga que las quejas sobre cada producto se pueden considerar como muestras aleatorias independientes). SOLUCION P1 P2 n = 48 n = 48
117. 2 25.1
S1=4.6 ɣ = 1 - α = 0.9 → Zo = 1.845 Formula a utilizar
2
S2=5.3
Zo < < Zo 4 . 6 5. 3 25.117.2 1.645 48 48 <21 4 . 6 5. 3 < 25.117.2 1.645 48 48 6.887 <
U2-U1 <
9.566
19. Una muestra al azar de 200 pilas de la marca A para calculadoras muestra una vida media de 140 horas y una desviación típica de 10 horas. Una muestra al azar de 120 de la marca B de una vida media de 125 horas y una desviación estándar de 9 horas. Determinar: a) Un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de la vida media de las poblaciones A y B. b) Un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de la vida media de las poblaciones A y B. SOLUCION: A n = 200
140 ℎ 125 ℎ
B n = 120
σ = 10h a. ɣ = 1 - α = 0.95 → Zo = 1.960
σ = 9h
Formula a utilizar
Zo < < Zo 1 0 9 140125 1.96 200 120 < 1 0 9 < 140125 1.96 200 120
12.875 < UA-UB < b. ɣ = 1 - α = 0.99 → Zo = 2.576
17.12
1 0 9 140125 2.576 200 120 < 1 0 9 < 140125 2.576 200 120 12.21 <
UA-UB <
17.79
20. Dos grupos escogidos al azar, de 50 alumnas de una escuela para secretarias, aprenden taquigrafía por dos sistemas diferentes y luego se las somete a pruebas de dictado. Se encuentra que el primer grupo obtiene en promedio 120 palabras por minuto con una desviación estándar de 11 palabras, mientras que el segundo
grupo promedia 110 palabras por minuto con una desviación estándar de 10 palabras. Determinar un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias de los dos métodos. SOLUCION X Y n = 50 n = 50
120
110
σ = 11 ɣ = 1 - α = 0.99 → Zo = 2.576 Formula a utilizar
σ = 10
Zo < < Zo 1 1 10 120110 2.576 50 50 < 1 1 10 < 120110 2.576 50 50 4.58
<
UX-UY <
15.42
17. Una empresa nueva tiene un presupuesto de $3000 para encargar un estudio de mercado del porcentaje de aceptación de su producto. a) Si se le indica que el estudio tendría un costo fijo de $1200 más un costo .variable de
$2 por cada entrevista de la muestra, ¿podrá la empresa pagar el estudio si quiere que la estimación puntual del parámetro tenga un error no mayor que 3.5%, con un nivel de confianza del 97%? SOLUCION Tamaño P=0.5 q=0.5
˳E +. ..
n=
P(Z≤ Z˳)=
=0.985
Z˳=2.17
n=
=961
1200+2(961)=3122…..no puede b) ¿Podrá la empresa pagar el estudio si baja el nivel de confianza al 95%? SOLUCION P(Z≤ Z˳)= =0.975
+. ..
Z˳=1.96
n=
=784
1200+2(784)=2768……Si puede 26. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan los hombres y las mujeres para realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25 mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas iguales a 100 y 64. a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las
medias,16.4075 b) ¿Es válida la afirmación SOLUCION A) -Formulas a utilizar
= 13?
− . 2.33 110100 2.33∗ 10012000 6425 ≤ 100 1 00 64 ≤ 110100 2.33∗ 20 25 102. 33.3∗2.5925≤ 75≤≤16. ≤102. 3 3∗2. 7 5 4 075
-hallamos “Z”
-Hallamos el intervalo
B) si, porque = 13 pertenece al intervalo. 27. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de tiempos (en minutos) que utilizan dos operarios para realizar determinada tarea. Suponga que las poblaciones de los dos tiempos se distribuyen normalmente con varianza común. Estime la diferencia entre los dos promedios poblacionales mediante un intervalo de confianza del 95% si el registro de 16 tiempos de cada operario han dado: (1)= 38, (1) = 6 , y (2) = 35, (2) = 4 SOLUCION -Formulas a utilizar
−,+− ., 2.04 " 1616 1614 16162 26 3835 2.04∗ 261626 2616 ≤ 26 2 6 26 ≤ 3835 2.04∗ 16 16 32.04∗1.0.8028≤ ≤32. 0 4∗1. 8 028 6 8≤ ≤6. 6 8 ∈ 0.0.68,6.68
-Hallamos “t”
-Hallamos “
-hallamos el intervalo
28. Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos ciudades del interior del país para abrir un centro comercial. Escoge 21 hogares de la ciudad 1 determinando: (1) = $400, (1) = $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2 calculando: (2)= $350, (2) = $60. Suponga poblaciones normales con varianzas diferentes. Mediante un intervalo de
confianza del 95%, ¿se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las dos ciudades? SOLUCION
-Hallamos “r”
-hallamos “t”
120 60 21 15 120 60 31.02≅31 21211 151 15 −, ., 2.04
-hallamos el intervalo
1 440 3600 400350 2.04∗ 21 15 ≤ ≤ 400350 2.04∗ 144021 360015 502.04∗17.14.566≤ ≤502. 0 4∗17. 5 66 17≤ ≤85.83 ∈ 14.17,85.83
29. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos de 2 universidades particulares se escogen dos muestras aleatorias de 10 y 9 alumnos respectivamente resultando los siguientes gastos en dólares: Muestra 1: 400, 410, 420, 380, 390, 410, 400. 405, 405. 400. Muestra 2: 390, 395, 380, 390. 400, 380, 370, 390. 380. Mediante un intervalo de confianza del 95% para lu diferencia de los promedios de los gastos mensuales, ¿se puede inferir que los gastos promedios son iguales?. Suponga que ambas poblaciones son normales, independientes, con varianzas desconocidas supuestas iguales SOLUCION -conseguimos los datos
(1)= 402 , (2) = 386.1
(1) = 11.1 (2) = 9.3
-Formulas a utilizar
−,+− ., 2.11 "10111.1 919.3 1092 105.79 1 05. 7 9 105. 7 9 402386.11 2.11∗ 10 9 ≤ ≤ 402386.1 2.11∗ 105.1079 105.979 15.892.15.8199. 1∗4.793≤ ≤15. 8 92. 1 1∗4. 7 3 7≤ ≤15. 8 99. 9 7 ∈ 5.92,25.86
-Hallamos “t”
-Hallamos “
-hallamos el intervalo
a) P(Z ≤
−
−
)=0.9938
= 2.5
entonces: µ = 500
b)
T de una muestra
N 16
Media 495,00
Media del Error Desv.Est. estándar 20,00 5,00
IC de 95% (484,34; 505,66)
a)
T de una muestra
N Media 20 18,500
b)
Desv.Est. 2,000
Media del Error estándar IC de 98% 0,447 (17,364; 19,636)
. √ 0.9+.8
t
P(t ≤ t.) =
P(t ≤ t.) = 0.9750 entonces t. = 1.96
1.96 √ 0.98
Entonces = 16
a)
Entonces: -2.6471 ≤ µ1-µ2 ≤ -1.3529 b) Se observa que la diferencia de medias se encuentra dentro del intervalo, por lo que existe una diferencia entre métodos siendo X2 mayor. Por lo tanto el nuevo método es superior .
. −⁄,1−,− ≤ ≤ .−⁄,−,− 1-α/2
0,975
2,78*0,8084
n1 -1 n2 -1 1/f f
9 12 0,29104916 3,86822032 2,77777778
E J E R C I C IO 2
a) Z de una muestra La desviación estándar supuesta = 10
Media del Error N Media estándar 100 0,00 1,00
IC de 95% (68,04; 71,96)
b) F(z) = 0.99 Z = 2.33 Error = (Z)(S)/10 Error = 2.33
RPTA: no es 5; sino es 2.33
c) A umentar el tamaño de la mues tra
E J E R C I C IO 5
a) F(z) = 0.995 Z = 2.58 Error = (Z)(3)/√n Error = 2.33
RPTA: 239.6304 ≡ 239
b) Costo fijo + 2(numero de entrevistas) = 5000 + 2 (239) = 5478
15,a) Prueba e IC para una proporción Muestra 1
X 30
N 100
Muestra p 0,300000
IC de 98% (0,198316; 0,418094)
15,b) Grado de confianza Muestra X N Muestra p 1 30 100 0,300000 (0.3994-0.30) = Z 0√((0.3*0.7)/100) Z0 = 2.16
→ α = 0.9846 → γ = 96.92% ≡ 97%
EJERCICIO 16
a) P = 220 / 400 = 0.55 IC = < 0.55 ± √((0.55)(0.45) / 400) > IC = < 0.4858 ; 0.6142 > b) Usando los cálculos en a) se tiene: IC = < 0.55 ± ERROR > ERROR = 0.0642
26,a) Prueba T de dos muestras e IC Muestra 1 2
N 20 25
Media 110,0 100,00
Desv.Est. 10,0 8,00
Diferencia = mu (1) - mu (2) Estimado de la diferencia: 10,00 IC de 98% para la diferencia: (3,59; 16,4064)
26,b) Si porque 13 Є al IC
EJERCICIO 27
Prueba T de dos muestras e IC
Muestra 1 2
N 16 16
Media 38,00 35,00
Desv.Est. 6,00 4,00
Media del Error estándar 1,5 1,0
Diferencia = mu (1) - mu (2) Estimado de la diferencia: 3,00 IC de 95% para la diferencia: (-0,68; 6,68) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 1,66 Valor P = 0,107 GL = 30 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 5,0990
18.- Dos candidatos A y B compiten como favoritos en las elecciones. - En la última encuesta a partir de una muestra grande de electores se estima, con una misma confianza que A tendría el 40%de los votos con error máximo de 3% mientras que B tendría entre 31% y 39% de los votos. a) En base a esta encuesta, ¿Cuál de los dos candidatos seria el ganador absoluto? b) Que tamaño de muestra se debe elegir si se quiere tener una confianza del 98% de que el error de estimación de todos los electores a favor de A no sea superior al 2%? S olución.
a) A= (Po=40%; E=3%), AyB, tiene el mismo nivel de confianza B= (31% a 39%), n=100.
Probabilidad que gane A P(A)=40%=0.4
− . −.
E=
>>>>>
0.03=
Z=0.61237. Probabilidad que gane B. Tiene el mismo nivel de confianza
− 0. 0. 2 40 4 ±0. 1 E=
>>>>>> 0.03=
0.61237 −
(Ecuación cuadrática)
P1=0.4=40%, P2=0.6=60%, pasa el limite permisible. Por tanto, ambos tienen un empate técnico de 40%. b) Datos. N.C=98%,>>>>> Z = 2.33. E≤ 0.02
n=
∗∗ .∗..∗. =
= 3393.06
19. La oficina de planificación familiar de cierta provincia quiere estimar el porcentaje de familia con más de 4 hijos. a) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para tener una confianza del 95% que el error de la estimación de tal porcentaje no sea superior a 0.05? b) Si en una muestra aleatoria de 385 familias se muestra que 154 de ellas tienen más de 4 hijos, estime el porcentaje de familias con más de 4 hijos en toda la provincia, mediante un intervalo de confianza del 98%. S olución.
a) Datos del problema n=? E= 0.05 (error) N.C=95% entonces Zα/2 =1.96
Utilizando la siguiente formula se tiene.
1.96∗∗0. 5∗0.5 0.05 385
b) Datos n= 384 x= 154(casos a favor)
N.C= 98%, Entonces Zα /2 =2.33.
Utilizando la siguiente formula se tiene.
0.401 − −
P=
P(X> 4) = P±
. . −. 2.0.03583
P(X> 4) = 0.401±
p(X> 4) = 0.401± . 20.- Se desea realizar un estudio de mercado para determinar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. a) Si la encuesta tiene un costo fijo de $500 más un costo variable de $5 por cada entrevista, ¿Cuánto debería costar la encuesta si se desea que el error al estimar e stimar la proporción verdadera no sea mayor que 2%, con un nivel de confianza del 97%? b) si para el tamaño de muestra muestra hallado en a) se encuentra que 736 prefieren la nueva pasta dental, estimar la proporción verdadera con un coeficiente de confianza del 99%? S oluci oluc i ón.
a) C.F =$500(costo fijo) C.V=5 (costo variable)
E=2%=0.02 N.C=97%,>>>>>> Z=2.17 n=
∗∗ .∗..∗. 2943.0625 =
costo total=
=2944
2944∗550015220
b) n=2944 nueva pasta = 736 N.C=99% >>>>> Z=2.58. P0=
0.25 − −
P= 1-P0=0.75 I.C=P0 ± Z*
. .−.
= 0.25 ± 2.58*
=0.25 ± 0.0205. 21. Para estimar el porcentaje de todos los electores a favor de un candidato, una encuestadora debe determinar el tamaño n de la muestra aleatoria para escoger de una población de 10,000 electores. ¿Qué tan grande debería ser la muestra si se quiere tener una confianza del 95% que el error de estimación no sea superior al 4.8%? S oluci oluc i ón.
1. Datos del problema.
N=10000(total de la población) N.C=95%(nivel de confianza) E= 4.8%(error de estimación) n=? 2. Calculo del nivel de confiabilidad(Z), confiabilidad(Z), por medio de tablas,
2.5%
2.5% 95%
-Zα/2 97.5%=0.975 Ubicamos 0.975 en la tabla
Zα/2
∗∗∗ ∗ ∗∗
3. Usando la siguiente formula se tiene
4. Calculo de la muestra (n).
.∗+∗.∗∗∗ ∗∗ ∗. ∗ .∗+. ∗.∗. =
=400.1599.
Ejercicos 1 1.
Una maquina llena un determinado producto
en bolsas cuyo peso medio es u gramos. Suponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion estandar 20 gramos. a)
Estime u de manera que el 99.38% de las
bolsas tengan pesos no superiores a 550 gramos. b)
Estime u mediante un intervalo de confianza
del 95%, si una muestra aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos
solucion
→, 20 ̅ √ ≤≤̅ √ 0.95
X : peso medio
–
+
N=16
Z0.975=1.96(5) = 9.8
±9.8 ≤550 0.9938 ≤ − ∅−0.9938 550 20 2.5 (495
= 0.9938
u=500
ejercico N°02 2.
Se decide estimar la media \x del nivel de
ansiedad de todos los estudiantes preuniversitarios. Se supone que la poblacion de los puntajes de la prueba para, medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviacion estandar igual a 10
puntos. a)
Determinar el intervalo para Li con confianza
del 95%, si una muestra aleatoria de tamano 100 ha dado una media de 70 puntos. b)
Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de
confianza del 98%, i,es el error de la estimacion puntual superior a 5 puntos? c)
Si Ud. considera que el intervalo encontrado
en a) no es muy preciso, ^que action deberia tomar para que el intervalo de estimacion al 95% sea mas preciso?.
Solucion X= nivel de insideil Z0.975=1.96
~ ,10
)
X : puntajes
0. 0 5 100 ̅ 70 ̅ √ ≤≤̅ √ 1 a).-
–
+
. 1.96
>
._ 0. 0 2 2.33 →0 > →
Z0.99=2.33
± 1.96 2. 3 3
( 70
c)._ si R
ejercico N°03 3.
El tiempo en minutos que utilizan los clientes
en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal con una desviacion estandar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes delbanco resultando una media igual a 9 minutos: a)
Hallar el nivel de confianza si la estimacion
de Ji es el intervalo de 7 a 11 minutos.
b)
Si u se estima por x, calcular la probabilidad
de que la media de los tiempos. de todas las muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.
→,3
x: tiempo en minutos
̅ 9 ≤ ≤11 √
X
n=9
a) (7 b)
)
Z 1-
7
9 7 → 1 → 0.0456 → 1 0.9544 6. 5 ≪≪11. 5 → ̅ √ ≤≤̅ √ 1 9 √ 6. 5 1 0.0124 Z 1-
Z 1- = 2
= 0.9772
(
)
Z 1-
= 0.9938
–
Z 1- = 2.5
+
1 0.9876 ejercico N°04 4. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de
fruta
en
conserva
que
saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmacion
se
escogen
al
azar
20
latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5
onzas
Suponga
que
la poblacion de los pesos es normal con una desviacion estandar
de
2
onzas.
l
.
a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para u, i,se puede aceptar la afirmacion del fabricante? b) ^Que tamano de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?.
̅ 19 20 18. 5 →,2 0.02 1 √ ≤≤ √ 1.042 17.458≤≤ 1 √ > 0.981.96 . . 16 = Z0.99
18.5 - 2.33
=2.33
18.5 + 2.33
19.542
e=
N= 16
Ejercicio n°5
5.
Se quiere hacer una encuesta para estimar
e! tiempo promedio por semana que
los niños ven
television. Por estudios anteriores se sabe que la desviacion estandar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza de! 99%. a)
Que tamano de muestra se deberfa elegir si
el error de la estimacion puntual no es superior a media hora? b) Qu6 costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si esta tiene un costo fijo de $5000 mas un costo variable de $2 por cada entrevista,?
solucion X; tiempo promedio por semana que niños ven tv
19. 0. 0 1 0.5 1 √ 1 0.995 Z0.995 = 2.575
a).-
. . 238.7 ≈239
($ 2 por c/ entrevista)
b)._
C = 5000 + 2x
50002239 5478 u=500
6. Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal.
Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810 Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%. Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%?
Datos
Vidas útiles en horas: 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795,780, 810 Intervalo de confianza: =95%
̅ ∑ ̅ ∑ ̅ 775 780 800 790 785 795 780 810 790
Solución
Calculamos la media: = : =775+ 780+ 800+ 795+790+785+ 795+780+810=790 Calculamos la varianza: s=
S= ( + + + + + + S=11.18 a) Calculamos la duración media: Calculamos el t0: P [T t0]= (1+) /2 = (1 + 0.95)/2 = 0.975 t0 = 2.306 Tenemos que:
+
)/9 -
[790 – (2.306*11.18)/3 790 + (2.306*11.18)/3 ] [790 – 8.59 790 + 8.59] [781.14 798.58] b) calculamos el error máximo de estimación: Em= t0 * Z/ Primeramente calculamos nuestro t 0 P [T t0]= (1+) /2 = (1+0.98)/2 = 0.99 T0= 2.896 Remplazamos en Em Em=2.896*11.18/3 Em=10.79
√
7. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrando una media de 8.71 % y una desviación estándar s = 2.1 %.
a) Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de confianza del 96%. b) Calcule el riesgo a si el rendimiento anual promedio de todos los valores se estima entre 7.96% y 9.46%. Datos:
̅
n=49 =8.71% s = 2.1 % Solución
Calculamos el z 0 sabiendo que =0.96 F (Z z0)= (1+0.96) /2 = 0.98 z0=2.06 a) Ahora calculamos los intervalos de
[8.71- (2.06*2.1)/7 8.71+ (2.06*2.1)/7] [8.71 - 0.615 8.71 + 0.615] [8.095 9.325] b) calculamos el valor de sabiendo que el promedio se encuentra entre 7.96% y 9.46%. Primero calculamos el valor de Z0 tomando el primer límite Z0*s/ 8.71% Z0*2.1%/7 7.96% Z0=2.5 Sabemos que F (Z0) = 0.99379 = ( + 1)/2 Donde = 0.98758 Entonces como: + =1 = 0.01242
̅ √
8. La duración de cierto tipo de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Inicialmente se estima que la duración media es de 500 horas y que el 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas. Si se eligen 9 baterías al azar y se encuentra que la duración media es 480 horas. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la media , ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas?
̅ ̅
Datos:
Inicial = 500 hr 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas =0.95 Final=480 hr n=9 Solución a) Calculamos la distribución estándar utilizando los datos
P (480.4 < X < 519.6) = 0.95 P [(480.4 500)/ < Z < (519.6 500)/] = 0.95 P (-19.6/ < Z < 19.6/ ) = 0.95 Igualamos k=19.6/ y aplicamos propiedad de porcentajes P (-k < Z < k) = 0.95 2(k) – 1 = 0.95 (k)=1.96 Por lo cual = 10 b) ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas? Comprobamos: 480 - (1.96*10)/3 480 + (1.96*10)/3 473.47 486.53 Inferimos que la media es diferente de 500 hr 9. Encontrar el tamaño de muestra que se debe tomar para estimar la media de las longitudes de los tornillos que produce una fábrica con un error no mayor de 0.0233 cm. al nivel de confianza del 98%, sí; además
se indica que la longitud de los tornillos tiene distribución normal y si la longitud se desvía de la media en a lo más 0.08 cm. con probabilidad 0.9544. Datos
Error menor a 0.0233 cm =0.98 La longitud se desvía de la media en a lo más 0.08 cm. con probabilidad 0.9544. Solución a) Calculamos la desviación estándar
P (X
√ √
Z0*/ = 0.0233 = 2.33*0.04/0.0233 n = 16
CORDOVA
10. Las cajas de un cereal producidos por una fábrica deben tener un contenido
promedio de 160 gramos. Un inspector de INDECOPI tomó una muestra aleatoria de 10 cajas para calcular los pesos en gramos. Si de la muestra resultan las siguientes sumas:
= X 252858
∑= X 1590
Mediante un intervalo de confianza del 98% para μ. ¿es razonable que el inspector multe al fabricante? Suponga que el peso de las cajas del cereal tiene distribución normal. Respuestas. = 159, = 2.309, ES=0.73. 159 + 2.06. No.
x s
DATOS
DESARROLLO
X 1590 = 252858 X = ∑ ̅ ∑= x 159010252858 159 σ 10= x 10 159 4.8 ϒ=0.98
SOLUCION
2. 1 9≅2. 2 PPzz ≤Z≤Z 0.10.992 98 Z 0.̅ 99 , ̅ √ √
2. 2 2. 3 3 2. 2 2. 3 3 159 , 1 59 1 0 1 0 √ √ 157.38 ,160.62
11. El ingreso mensual de cada una de las 500 microempresas de servicios de una
ciudad, es una variable aleatoria con media μ desconocida. Con el fin de simplificar la recaudación de impuestos, la Sunat ha dispuesto que a estas empresas se las grave mensualmente con un 10% de sus ingresos De una muestra al azar de 50 microempresas se obtuvo un ingreso mensual promedio de $1000 con una desviación estándar de $80. a) Estime el monto medio de los ingresos de las microempresas de la ciudad con un intervalo de confianza del 95% b) Estime el monto promedio de la recaudación a estas microempresas con un intervalo de confianza del 95% c) Si el propósito de la Sunat es lograr mensualmente una recaudación total de al menos $52,000 a estas microempresas, ¿es factible que se cumplan sus metas?, ¿por qué?
Respuesta. a) IC de ingresos μ: 1000±21.06. b) R= 0 .1X. IC de : [97.894. 102.106], c) IC del total: [48,947, 51,053], 52,000 no está en el IC. No es posible
DESARRLLO DATOS N=500
n=50
̅
0. 9 5 10.95 1.≤96 2 0.975 ̅ ̅ : √ 1 , √ 1 → √ 1 801.√ 5096 449950 21.06 :1000±21.06 =1000
=80
SOLUCION a)
Respuesta: IC de ingresos
:: 197.00021. 0 6, 1 00021. 0 6 ∗ 0. 1 0 894,102.106
b) R=0.1X, IC de
12. Un auditor escoge una muestra aleatoria de 15 cuentas por cobrar de un total de 400 cuentas de una compañía y encuentra las siguientes cuentas en dólares: 730,759, 725, 740, 754, 745, 750, 753, 730, 780, 725, 790, 719, 775, 700 Utilizando un intervalo de confianza del 95%, estime a) El monto promedio por cuentas por cobrar. b) El monto total de todas las cuentas por cobrar. Suponga que las 400 cuentas se distribuyen aproximadamente normal
DESARROLLO
: ̅ √ ≤≤̅ √
DATOS
15 11175 ∑ 11175 ̅ 15 745 0. 9 5 .115114 10. 9 5 ⦋ ≤⦌ 2 0.975 → 2.145 ∑1 24.6287
a)
b)
√ . √ . 13.64
74513. 6 4≤≤74513. 6 4 731.36≤≤758.64 ⦋⦋7 231.9254436 ,758.,30345664 ⦌ ∗⦌ 400
13. Para la campaña de Navidad una fábrica debe
manufacturar 2000 juguetes de cierto tipo. Si una muestra aleatoria de 36 tiempos de fabricación en horas, , de tales juguetes ha dado ,
∑,108 , … , ∑ 325.4 ,
a) Estime el tiempo promedio por juguete mediante un intervalo de confianza del 97% b) Estime el tiempo total que se requiere para fabricar los 2000 juguetes mediante un intervalo de confianza del 97% Respuesta. =3. = 0.2. ES=0.033. a) 3+0.072. b) 6000+143.22
̅ ̂ ∑ 108 ∑ 325.4 0. 9 7 10.97 2.≤17 2 0.985 DATOS
N=2000 n=36 ,
SOLUCION a)
DESARROLLO
̅ ∑ 10836 3 σ ∑=n x x 325.36 4 3 0.038 0.⋅2 ⋅ ̅ √ 1 ≤≤̅ √ 1 ⋅√ 1 0.1√ 70.36 2 11999964 0.072 2.928≤≤3. 0 72 25.856928,,3.6144072 ∗ 2000 b)
22. Un auditor toma una muestra aleatoria de 400 cuentas por cobrar y encuentra que 320 de ellas tienen deudas de al menos $700. Determine el nivel de confianza. a) Si el porcentaje de todas las cuentas por cobrar de al menos $700 se estima de 75.76% a 84.24%.
SOLUCION Datos: X=320
n =400 p=0.8 Luego: p – error ≤ р ≤ p + error
0.7576 ≤ p ≤ 0.8424
0.8 – error = 0.7576 Error= 0.0424
→ Encontrando el nivel de confianza de error
Función probabilidad para 2.12 = 0.9830
→ P[Z≤zₒ]= 1+ /2 =0.9830 = 0.966
b) Si todas las cuentas por cobrar de al menos $700 de un total de 10,000 cuentas por cobrar se estima en el intervalo [7543,8457]
SOLUCION Encontrando el nivel de confianza de error:
Zₒ =2.34
Luego la probabilidad para 2.34 = 0.990
→ P[Z≤zₒ]= 1+ /2 =0.990
= 0.98
23. Un fabricante estima en 5% la proporción de piezas defectuosos de los 5,000 producidos. a) Para confirmar tal estimación primero se debe escoger una muestra aleatoria, ¿Cuántas piezas debe tener la muestra si se quiere tener una confianza del 95% que el error de la estimación no será superior a 0.047?
SOLUCION
n=5000
p=0.05
Zₒ= 1.96
0.05 – 1.96 * √(0.05* 0.95)/5000 ≤ p ≤ 0.05 + 1.96 *
√(0.05* 0.95)/5000 0.05 – 0.00604 ≤ p ≤ 0.05 + 0.00604 0.04396 ≤ p ≤ 0.05604 Luego: Error ≤ 0.047
≤ 0.047 n = 400 b) Se escoge una muestra aleatoria del tamaño calculado en a), si en ella se encuentran 40 piezas defectuosos, mediante un intervalo de confianza del 95%, ¿se puede inferir que la estimación del
fabricante es coherente con la estimación efectuada a partir de la muestra aleatoria?
SOLUCION
n=400
Zₒ= 1.96
p= 40/400= 0.1
0.1 – 1.96 √(0.1 *0.9)/400 ≤ p ≤ 0.1 + 1.96 √(0.1 *0.9)/400 0.1 – 0.0294 ≤ p ≤ 0.1 + 0.0294
0.0706 ≤ p ≤ 0.394 24. Se quiere estimar p con un error máximo de estimación e = 0.05, hallar el tamaño de la muestra necesaria si la población es de tamaño N=2000.
SOLUCION E = 0.05 N = 2000 Aproximando p = 0.5
Zₒ = 2.001
n= [4 * 0.5 * 0.5 * 2000] ∕ [(4 *0.5 *0.5) +(0.0025 * 1999)] n= 333.47 n= 334
25. Para comparar dos métodos de la enseñanza de las matemáticas, se aplicaron a 200 alumnos elegidos al azar el método tradicional y a otra muestra de 250 alumnos el
método nuevo resultando las calificaciones promedios respectivos de 13 y 15. Suponga que las varianzas respectivas son 9 y 16.
DATOS: METODO TRADICIONAL MUESTRA 200 PROMEDIO 13 VARIANZA 9
METODO NUEVO 250 15 16
a) Determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias.
SOLUCION
(13-15) – 1.96*√(9/200+16/250) ≤ µ1- µ2 ≤ (13-15) +
1.96*√(9/200+16/250) -2- 0.64 ≤ µ1- µ2 ≤ -2 + 0.64 -2.64 ≤ µ1- µ2 ≤ -1.36
b) ¿Podemos afirmar que el método nuevo es superior al método antiguo?
→ El método nuevo es mejor que el método antiguo. 30. Una agencia de publicidad realizó un estudio para comparar la efectividad de un anuncio en la radio en dos distritos. Después de difundir el aviso. Se realizó una encuesta con 900 personas seleccionadas al azar. En cada uno de los distritos. Resultando las proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos
muestrales se infiere que p 1 – p2 ϵ -0.0162, 0.0562 ¿Qué nivel de confianza se utilizó? Solución
-0.0162 ≤ p 1-p2 ≥ 0.0562
8 0 0. 1 8∗0. 8 2 0.20.018 0.20∗0. − 900 0.0162 900 0.020.0362 0. 0 162 ∗1. 8 3∗10 ∗10− ∗1. 83 0.0362∗10 1.1.9837 12 0.97 0. 9 5
De la tabla de distribución normal tenemos que z0= 0.97
31. dos muestras aleatorias de 250 mujeres y 200 hombres indican que 75 mujeres y 80 hombres consumirían un nuevo producto unisex que acaba de salir al mercado. Utilizando un intervalo de confianza del 95%. ¿Se puede aceptar que es igual la proporción de preferencias de mujeres y hombres en toda la población?, si no es así, ¿Cuál es la relación? Solución
̂ 2008075 0.3 ̂ 200 0.4
Z0= 1.96
≤ 10.2 95 0.975
0 . 3 ∗0. 7 0. 4 ∗0. 6 0.1±1.96 250 200 0.1±1.0.961 ±1.8.49∗106∗0.−01.4522∗10− 0.188≤ ≤0.∴011≠
32. Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas y se encuentra que las ventas de la semana de un determinado producto de consumo popular tiene una desviación estándar s=6. Se supone que las ventas del producto tienen una distribución normal. Estimar a) la varianza y b) la desviación estándar poblacional mediante un intervalo de confianza del 95%. Solución
12∗36 12∗36 ≤ ≤ 23.43234 ≤ ≤ 4234.4 23.4.3340≤≤9. 94.14 33. Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política
salarial, es a través de las desviaciones estándar de sus salarios. La fábrica A afirma ser más homogénea en la política salarial que la fábrica B. para verificar esa afirmación, se escoge una muestra aleatoria de 10 empleados no especializados de A, y 13 de B, obteniendo las dispersiones SA =50, SB=30 de salario mínimo, ¿Cuál sería su conclusión si utiliza un intervalo del 95% para el cociente de varianzas?. Suponga distribuciones normales. Solución
1 0. 0 5 ∴1 2 0.975
5030 ∗ .,1 , ≤ ≤ 5030 ∗.,, 2.3.474 ≤ ≤2.7∗3.87 0.80≤ ≤10.75
