TECSUP - PFR
Geometría Analítica
UNIDAD VIII
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Se desea calcular el perímetro y el área de una parcela, cuyos vértices están en un sistema cartesiano y son los puntos P 1 (4,4), P 2 5,7, P 3 12,3 y P 4 2,5 , si la escala es 1 unidad =10m. 2. Un niño que pesa 30 kilogramos está sentado en A 3,4 y otro niño que pesa 50 kilogramos esta en B 6,7 . Si las unidades son metros, hallar el punto P x, y entre entre A y B que podría servir servir como como punto de apoyo apoyo de una una palanca que podría servir como punto de apoyo de una palanca que podría AP 30 AB AB poner en equilibrio a los niños. Considere 50 AP 3. Para el tendido de cable eléctrico se requieren cinco postes, los cuales deben estar separados a distancias iguale. Si uno de los extremos del cable es el punto P A 9,5 y el otro extremo es P B 13,1 , determina las coordenadas de los puntos donde deben colocarse los cinco postes de B hasta A . 4. Una Investigación de mercado llevada a cabo por por Eléctrica Volta Volta muestra que pueden vender 60 mil lámparas lámparas si las venden a $20 $20 y 20 mil si su precio es de $40. Suponiendo que la demanda D (la cantidad que se puede vender) es función lineal del precio precio p, encuentra la demanda demanda en función del precio. ¿Para qué valores del precio tiene sentido el resultado? 5. Cierta especie de grillos se comporta en forma muy interesante. La frecuencia de sus cantos dependen linealmente de la temperatura. Una tarde de verano se oye que un grillo canta a razón de 140 140 chirridos por minuto y se observa que la temperatura es de 27°C. Después, el grillo ha desacelerado a 120 chirridos por minuto y se observa que la temperatura ha bajado a 24°C.Expresa la temperatura T como función de la razón de chirridos del grillo. ¿Cuál es la temperatura si canta a una razón de 100 chirridos por minuto?. 6. Traza la recta que se ajusta mejor a los datos y usa la forma pendienteordenada al origen para calcular la cantidad deseada. X
1
3
5
7
10
15
Y
6.4
10.9
14.5
19.8
26.0
35.2
7. El costo de fabricar 100 títeres a la semana es de $700 y de 120 títeres a la semana es de $800. a. Determina la ecuación de costo, suponiendo que es una relación lineal b. Cuáles son los costos fijos y variables
109
Geometría Analítica
TECSUP - PFR
8. Según encuestas recientes, el porcentaje de inversiones en fabricas y equipos nuevos por las empresas manufactureras de Mexico, para el control de contaminación, es el siguiente (t=0 representa a 1975). Año
Porcentaje invertido
0
5
6
9
12
9.3
4.8
4.3
3.3
4.3
Mediante una recta llamada de mejor ajuste, estima el porcentaje para 1985. 9. Una empresa vende un producto a $35 por unidad. Los costos variables por unidad son de $15, y los costos fijos ascienden a $150 000. ¿Cuántas unidades hay que vender a fin de alcanzar el equilibrio? Indique mediante un grafico la perdida y ganancia. 10. Una tabla esta recargada contra una pared forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si la tabla tiene 4 pies de longitud. ¿Cuál es el diámetro exterior mayor del tubo que puede caber entre la tabla, el terreno y la pared?.
11. La señal de una estación de radio tiene un alcance circular de 50 kilómetros. Una segunda estación ubicada a 100 km al este y 80 km al norte de la primera cubre 80 km. ¿Hay lugares que cubren ambas señales? Explica tu respuesta. Traza la grafica 12. Un capacitor cilíndrico se compone de dos cilindros concéntricos separados por una distancia de 3.2 mm.La sección transversal del capacitor se traza sobre un sistema cartesiano, donde el circulo exterior se ubica en el primer cuadrante y es tangente a los ejes coordenados. Si el radio del circulo interior es de 5.2 mm, determina la ecuación de cada circulo. Dibuja 13. Una arcada tiene la forma rectangular con un semicírculo en la parte superior. Si se grafica la arcada en un plano cartesiano y sus vértices son los puntos 2,0, 6,0, 6,5 y 2,5 halla la ecuación del circulo al que pertenece el semicírculo de la parte superior de la arcada. Traza la grafica. 14. Un satélite ubicado en S 9,5 gira alrededor de un planeta de forma 2 circular de ecuación x
y
2
8 x 6 y
110
0 .Dicho satélite envía señales
TECSUP - PFR
Geometría Analítica
tangenciales al planeta. Determina las ecuaciones que indican la trayectoria de las señales 15. La cúpula de una Iglesia tiene su sección transversal como se indica en la figura. Todos los arcos circulares y tienen 5 cm. de radio y los círculos superiores son tangentes entre sí en un punto de la línea central y tangente al circulo central. Deduce la ecuación de los tres círculos. Traza la grafica con las ecuaciones obtenidas.
16. Una puerta gotica tiene la forma que se observa en la figura. El triangulo de la parte superior es equilátero y cada uno de los arcos es circular, con su centro en el vértice opuesto. Determina las ecuaciones de los arcos respecto a los ejes dados, y traza la grafica con las ecuaciones obtenidas.
17. El agua que sale por el extremo de una tubería horizontal, que está a 2.5 metros por arriba de la superficie del suelo, describe una curva parabólica, siendo el vértice de la parábola el extremo del tubo. Si en un punto a 80 cm. del tubo, el flujo de agua se ha curvado hacia afuera 1 metro mas allá de una vertical que pasa por el extremo del tubo. ¿A qué distancia de es ta línea vertical entrara en contacto el agua con el suelo? Traza la curva
111
Geometría Analítica
TECSUP - PFR
18. El alternador de un automóvil genera potencia de 28 volts y tiene una resistencia interna 0.40 . La potencia de salida está dada por la ecuación 2
P 28 I 0.40I , donde I es la intensidad de la corriente. ¿A qué intensidad de corriente el alternador genera la máxima potencia y cual es esta? 19. Una compañía de investigación de mercados estima que “n” meses después de la introducción de un nuevo producto “m” familias lo usaran, en donde 10 m n12 n, 0 n 12 . 9 Estima el número máximo de familias que usaran el producto. 20. El rendimiento de gasolina en millas por galón de un vehículo deportivo depende de su peso, de acuerdo con la formula E 0.0000016 x 2 0.016 x 54 , 1800 x 5400 , donde “x” es el peso del auto. Según el modelo ¿Cuál es el peso del vehículo de menor rendimiento de combustible? 21. El numero de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de v mph , gasolina, a una velocidad de está dada por 1 2 5 M v v , 0 v 70 . 30 2 a. b.
Indica la velocidad mas económica para un viaje Proporciona el valor máximo de M.
22. Cuando una empresa vende “x” unidades de un producto, sus ganancias son 2 p( x) 2 x 40x 280 encuentre: a. El número de unidades que deben venderse para que la ganancia sea máxima. b. Cuál es la ganancia máxima. 23. Un contratista estima que el costo total de construir “x” grupos de departamentos en un año está aproximado por y x2 80 x 60 donde “y” representa el costo en cientos de miles de dólares. Grafique, halle el punto mínimo y encuentre el costo de construir en 10 grupos. 24. Una barra PQ de longitud 24 unidades se mueve de tal manera que P esta siempre sobre el eje Y, y Q está siempre sobre el eje X. Un punto M esta sobre PQ a dos tercios del camino desde P a Q, hallar la ecuación de la trayectoria Trazada por M.
112
TECSUP - PFR
Geometría Analítica
25. El techo en el pasillo de 20 pies de ancho tiene la forma de una semielipse, tiene 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Encontrar la altura del techo a 4 pies de altura de cualquier pared. 26. La órbita de la tierra alrededor del sol como uno de los focos. Si las distancias mínima y máxima (centro a centro) del sol a la tierra son 93 millones y 96 millones respectivamente, ¿Cuál es la excentricidad de la órbita de la tierra? 27. Un satélite colocado en orbitas alrededor de la tierra se encuentra a 119 millas sobre la superficie de la tierra cuando está más cercana y 881 millas cuando está más lejana. Si el radio de la tierra es 4000 millas, ¿Cuál es la excentricidad de la órbita? 28. El cable de un puente colgante está soportado por dos torres de 15m. de alto y situadas a 120m. una de la otra. Si el punto más bajo del cable está a 3m. sobre el piso del puente, hallar la longitud de una barra que está 30m. a la derecha del punto más bajo del cable y que va, en forma vertical, del cable al piso del puente. 29. El espejo del faro de un auto tiene la forma de una parábola en su sección transversal. Hallar el parámetro de está parábola si el diámetro del faro mide 20 cm. y la profundidad 15 cm. El eje OX es el eje del faro y el origen se ubica en la parte profunda del espejo. 30. Un cable suspendido por soportes a la misma altura, que distan 240 m. entre si, cuelga en el centro 30 m. Si el cable tiene forma de parábola, encuentre su ecuación colocando el origen en el punto más bajo. Encuentre la amplitud del cable a una altura de 15 m sobre el punto más bajo. 31. Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola, los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, hallar la ecuación general de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente. 32. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y están separados a una distancia de 500m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10m sobre la calzada del puente. Tomando como eje X, la horizontal que define el puente y como eje Y el eje focal de la parábola, encuentre la ecuación de la parábola. Calcular la altura de un punto situado a 80m. del centró del puente. 33. Un túnel de forma parabólica hacia abajo tiene una altura de 25m. y una base de 40m. Una carretera pasa en él. ¿Cuál es el ancho de la carretera si queremos que la altura en los extremos sea de 5m.? Traza la grafica.
113
Geometría Analítica
TECSUP - PFR
34. Un túnel de forma de arco parabólico vertical hacia abajo tiene una altura máxima de 10m y sus puntos de apoyo están separados por 20 m. ¿Está el foco de la parábola sobre el suelo o debajo de él, y a qué distancia se encuentra? Traza la grafica. 35. Un túnel de forma de arco parabólico tiene una altura de de 20m. y un ancho de 36m. en la base. En el punto más alto esta el vértice. ¿ A qué altura de la base se tiene un ancho de 18m. para colocar una trabe? Trazar la grafica. 36. El diseño de una leva para automóvil se programa empleando la ecuación de la 2 2 2 elipse 0.16 x 0.25y 0.04 y de la circunferencia x 0.3 y 2 0.01 Traza las dos curvas en la misma grafica para mostrar el diseño de la leva. 37. Se va a construir un puente de arco de concreto, de forma semielíptica. Debe salvar un espacio de 6m. y los 4m. Centrales deben tener una altura mínima de 2.4m. ¿qué altura máxima debe tener el arco? 38. La órbita del cometa Halley tiene una excentricidad de 0.97 y su semieje mayor mide 2885 millones de kilómetros. Determina una ecuación de su órbita, con centro en el origen y el eje mayor en el eje X. 39. La altura máxima de un auditorio cuyo techo tiene forma semieliptica es de 8 metros y tiene 20 metros de longitud. Si cae una pelota sobre un foco, el ruido que produce se escucha claramente en el otro foco. ¿A que distancia esta un foco del otro? 40. El techo de un vestíbulo de 10 metros de ancho tiene la forma de una semielipse; además tiene 9 metros de altura en el centro y 6 metros de alto en las paredes laterales. Obtén la altura a 2 metros de la pared y dibuja la grafica
114
