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PROBLEMAS DE COMBINATORIA 1.- Si en un coecti!o "a# 1$ asientos !ac%os. &En cuántas 'o(mas pueden senta(se ) pe(sonas* Rta+ ,$$$ /.- &Cuá es e n0me(o tota de pe(mutaciones ue pueden 'o(ma(se con as et(as de a paa2(a MATEMATICA* Rta+ 131/$$ 4.4.- &Cuá &Cuánt ntos os n0me n0me(o (os s de 3 d%5i d%5ito tos s # capi capic0 c0as as pued pueden en 'o(m 'o(ma( a(se se con con os os n0me(os 16 /6 46 6 36 ,6 )6 * Rta+ 31/ .- 7n estudiante pa(a ap(o2a( un e8amen ue consta de 1$ p(e5untas6 de2e contesta( ) de eas. &De cuántas mane(as puede "ace( a seecci9n pa(a ap(o2a( e e8amen* Rta+ 1/$ 3.-&De cuántas mane(as se pueden senta( 3 pe(sonas en una 'ia* Rta+1/$ ,.- &De cuántas mane(as se pueden o(dena( en "ie(a todas as 'ic"as 2ancas de a:ed(e;6 si no son distin5ui2es ent(e s% as de mismo tipo*
.- &Cuántos n0me(os de ci'(as distintas se pueden 'o(ma( con os d%5itos de 1 a >* Rta+ 4$/ 1$.- &De cuántas mane(as se pueden o(dena( , discos en un estante* Rta+ )/$ 11.- En un edi'icio en e ue !i!en /3 pe(sonas adutas "a# ue 'o(ma( una comisi9n inte(na de 4 pe(sonas. &Cuántas comisiones se pueden 'o(ma(* Rta+ /4$$ 1/.1/.- 7n ma(ino ma(ino tiene tiene 2ande( 2ande(as as distin distintas tas pa(a pa(a "ace( "ace( se?a se?aes. es. &Cuán &Cuántas tas se?aes di'e(entes puede "ace( si cooca 4 2ande(as en un másti una so2(e ot(a* Rta+ / 14.- &Cuántas paa2(as de 3 et(as pueden 'o(ma(se6 ten5an o no sentido6 usando as et(as de a paa2(a C7ADERNO* Rta+ ,)/$ 1.- &Cuántos euipos de '0t2o se pueden 'o(ma( con os /$ aumnos de un cu(so* Rta+ 1/3.>)$ 13.- &De cuántas mane(as se pueden o(dena( as / et(as de a'a2eto 5(ie5o* Rta+ /@
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1,.- &De cuántas mane(as se pueden 2a:a( de un ascenso( pe(sonas6 en un edi'icio ue tiene ) pisos* Rta+ /$1 1).- Con 4 mu:e(es # 3 !a(ones+ a. &Cuántos t(iun!i(atos ue ten5an / pe(sonas de mismo se8o se pueden 'o(ma(* 2. &Cuántas "ie(as de pe(sonas se pueden 'o(ma( si as mu:e(es no pueden ocupa( ni e p(ime( ni e 0timo u5a(* c. &Cuántas "ie(as de ) pe(sonas se pueden 'o(ma( si pe(sonas de mismo se8o no pueden ocupa( u5a(es consecuti!os* Rta+ a= 3 2= 1$$ c= )/$ 1.- &De cuántas mane(as pueden ainea(se 1$ pe(sonas6 si 4 de eas de2en esta( :untas* Rta+ /1>/$ 1>.- &Cuántos ca(acte(es se pueden 'o(ma( con os puntos # (a#as de a'a2eto Mo(se6 si en cada uno ent(an "asta de taes eementos* Rta+ 4$ /$.- &De cuántas mane(as se pueden cooca( 1$ i2(os en un estante6 si de2en ocupa( os mismos u5a(es6 a0n cuando estos puedan inte(cam2ia(se ent(e s%* Rta+ 1)/$ /1.- &De cuántas mane(as se pueden cooca( en 'ia , "om2(es6 no pudiendo uno dete(minado esta( nunca a a ca2e;a* Rta+ ,$$ //.- &Cuántos pa(aeo5(amos uedan dete(minados cuando un 5(upo de (ectas pa(aeas son inte(secadas po( ot(o 5(upo de , (ectas pa(aeas* Rta+ /$ /4.- En un 5(upo de 1 aumnos "a# ue 'o(ma( un 5(upo de ,. a. &De cuántas mane(as puede "ace(se* 2. &De cuántas mane(as puede "ace(se sa2iendo ue un aumno en pa(ticua(6 uan6 de2e inte5(a( e 5(upo* c. &De cuántas mane(as puede "ace(se e8cu#endo a uan Rta+ a= C 16,6 2= C 1)63 c= C 1)6, /.- En una ciudad A os n0me(os tee'9nicos se 'o(man con n0me(os <$ a >= no pudiendo se( ce(o e p(ime(o de eos6 # en ot(a ciudad B con 3 n0me(os con as mismas condiciones &cuántas comunicaciones pueden mantene(se ent(e os a2onados de am2as ciudades* Rta+ 1$.$$$.$$$ /3.- En una i5a de 2aoncesto :ue5an /$ euipos6 todos cont(a todos dos !eces
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/,.- Con os d%5itos+ 16 /6 46 # 3 &cuántos n0me(os de cinco ci'(as6 sin (epetici9n6 se pueden 'o(ma(* 1/$ n0me(os a= &Cuántos de esos n0me(os empie;an po( 1* / 2= &Cuántos te(minan en 3* / c= &Cuántos empie;an po( 1 # aca2an en 3* , d= &Cuántos son pa(es* e= &Cuántos son m0tipos de 3* / '= &Cuántos son ma#o(es ue /$.$$$* >, /).- 7n cu2 de 2aoncesto dispone de 1$ :u5ado(es de os cuaes :ue5an 3 a a !e;. &Cuántos euipos distintos de 3 :u5ado(es pueden saca( e ent(enado( pa(a cada pa(tido* Rta+ /3/ euipos /.- Con as et(as de a paa2(a CINEMA &Cuántas paa2(as distintas6 ten5an sentido o no6 se pueden 'o(ma(* )/$ a= &Cuántas te(minan en A* 1/$ 2= &Cuántas empie;an con N* 1/$ c= &Cuántas empie;an con C # te(minan en I* / d= &Cuántas empie;an con !oca* 4,$ '= &Cuántas tienen !oca # consonante ate(nadas* )/ />.- Siete c"icos e i5ua n0me(o de c"icas uie(en 'o(ma( pa(e:a pa(a e 2aie. &Cuántas pa(e:as distintas se pueden 'o(ma(* Rta+ > 4$.- Con os d%5itos+ 16 /6 46 6 36 ,6 ) &cuántos n0me(os de t(es ci'(as se pueden "ace(* Rta+ /1$ 41.- Suponiendo ue e8istie(a 1$$ eementos distintos en a natu(ae;a # ue cada sustancia estu!iese 'o(mada po( 4 e8cusi!amente. &Cuántas sustancias distintas tend(%amos* Rta+ 1,1.)$$ 3/.-
Si as mat(%cuas de !e"%cuos estu!iesen 'o(madas po( un n0me(o de cuat(o d%5itos # de dos et(as6 sin (epeti(se nin5una
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4,.- &Cuántas paa2(as se pueden 'o(ma( con as et(as de a paa2(a CALABAHA* Rta+ 1,$ 4).- En una ca((e(a pa(ticipan cinco coc"es. &Cuántas casi'icaciones se pueden p(oduci( a 'ina6 si cada uno de os coc"es empea distintos tiempos* Rta+ 1/$ 4.- En una (euni9n "a# die; pe(sonas. &Cuántos 5(upos de t(es pe(sonas se pueden 'o(ma(* 1/$ &En cuántos no ent(a(á una pe(sona dete(minada* 4>.- Reso!e( a ecuaci9n+ C )6 8 C)6 8J4 $.- A 'o(ma( paa2(as de cinco et(as con as et(as de a paa2(a EC7ATIONS a= &Cuántas consisten s9o en !ocaes* 1/$ 2= &Cuántas contienen todas as consonantes* ,$$ c= &Cuántas comien;an con E # te(minan en S* /1$ d= &Cuántas comien;an po( consonantes* ,)/$ e= &Cuántas contienen a N* $$ '= &Cuántas "a# en as ue as !ocaes # as consonantes se ate(nan* 1/$$ 5= &Cuántas "a# en as ue K está se5uida de 7* $ 1.- &Cuántos n0me(o de t(es ci'(as se pueden 'o(ma( con os d%5itos+ $616/646636,6)66> * SR , CR >$$ a= &Cuántos de estos son impa(es* SR 4/$ CR 3$ 2= &Cuántos son pa(es* SR 4/ CR 3$ c= &Cuántos son di!isi2e po( cinco* SR 14, CR 1$ d= &Cuántos "a# ma#o(es ue seiscientos* SR / SR si (epetici9n CR con (epetici9n d= sin (epetici9n e8cusi!amente. /.- &De cuántas mane(as se pueden senta( t(es c"icos # t(es c"icas en 'ia6 ate(nadamente. )/ 4.- 7n 5(upo de oc"o c"icos # oc"o c"icas !an de tost9n a campo. Seis de a pa(tida !an en un auto6 cuat(o en ot(o # e (esto a pie. &De cuántas mane(as se puede dist(i2ui( e 5(upo pa(a e !ia:e* 1.,1.,$ .- 7n estudiante tiene ue (eso!e( oc"o cuestiones de doce en un e8amen. &De cuántas mane(as puede ee5i(as* >3 &F si as t(es p(ime(as son o2i5ato(ias* 1/, &F si tiene ue contesta( s9o a t(es de as cinco p(ime(as* /1$ 3.- aa( e n0me(o de pe(mutaciones ue se pueden "ace( con as et(as de a paa2(a ABADA. 1/$ a= &Cuántas comien;an # aca2an en A* / 2= &Cuántas tienen as t(es !ocaes :untas* / c= &Cuántas comien;an po( # aca2an en A* 1/ ,.- &De cuántas 'o(mas se pueden senta( cuat(o ami5os en una mesa de seis cu2ie(tos* 4,$
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).- Dados os n0me(os 16 /6 46 6 36 ,6 )6 se t(ata de cacua( a cantidad de n0me(os de cuat(o ci'(as ue se pueden 'o(ma( sin (epeti(se nin5una de eas6 ue cumpan as si5uientes ca(acte(%sticas+ a= Tota de n0me(os posi2es. $ 2= Kue empiecen en uno # aca2en en siete. /$ c= Kue no conten5an ni e cuat(o ni e cinco. 1/$ d= Kue no conten5an e dos ni e siete # si e seis. >, e= Kue conten5an e uno. $ '= Kue comiencen en cuat(o6 aca2en en t(es # no conten5an ni e cinco ni e siete. , 5= Kue a se5unda ci'(a sea cinco # a 0tima pa(. ,$ "= Kue a se5unda ci'(a sea dos # a 0tima uno. /$ i= Kue empiecen en cuat(o # no conten5an e uno ni e seis. / := Kue e p(ime(o # e 0timo sean impa(es # os de medio pa(es. )/ = Kue empiecen en impa( # te(minen en pa(. /$ = Kue e p(ime(o6 se5undo # cua(to sean impa(es # e te(ce(o pa(. )/ m= Kue conten5an un impa(. >, n= Kue ten5an más pa(es ue impa(es. >, o= Kue sean m0tipos de dos. 4,$ p= Kue sean m0tipos de cinco. 1/$ = Kue aca2en en t(es # ten5an dos pa(es. 3 (= Kue no conten5an e uno ni e cuat(o # ten5an a50n pa(. 1/$ s= Kue conten5an e cinco # e seis # dos impa(es. 1 t= Kue os dos cent(aes sean pa(es. 1/$ .- &De cuántas 'o(mas pueden (epa(ti(se siete i2(os ent(e siete ni?os si+ a= Los i2(os son distintos. 3$$ 2= a# cuat(o i2(os i5uaes # e (esto distintos. /1$ c= Los i2(os son todos distintos # ue(emos ue a uan e toue e de no!eas # a Ped(o e i2(os de cuentos. 1/$ >.- &Cuántas o(denaciones distintas pueden "ace(se con as et(as de PERMANENTE. 4$/$$ 3$.- &De cuántas 'o(mas se pueden (epa(ti( seis :u5uetes distintos ent(e cuat(o ni?os6 de 'o(ma ue a cada uno de eos se e!e a menos un :u5uete* 31.- Ent(e todas as pe(mutaciones posi2es de as ci'(as 16 46 3 )6 >. &Cuántas tienen as ci'(as 1636) en este o(den (eati!o* 3/.- Cacua( 8 pa(a ue
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34.- De una 2a(a:a espa?oa <$ ca(tas=6 se e8t(aen t(es+ a= &Cuántas :u5adas distintas se pod(án saca(* 2= &Cuántas de esas :u5adas tend(án os t(es unos* c= &Cuántas 'o(ma(án t(%o <as t(es de mismo n0me(o=*. d= &Cuántas de mismo pao <as t(es=* e= &Cuántas tend(án un uno # dos sotas* '= &Cuántas esta(án 'o(madas po( 'i5u(as
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a= &Cuántos eementos tiene e espacio muest(a* 2= &Cuántos de esos sucesos suma(án * c= &Cuá es e n0me(o <(esutante de a suma= ue es más p(o2a2e* 33.- En una u(na "a# cinco 2oas 2ancas nume(adas de uno a cinco # cinco 2oas ne5(as con a misma nume(aci9n. Si se e8t(aen dos 2oas6 &Cuántas posi2iidades distintas "a#* &En cuántas de eas "a2(á una 2anca # ot(a ne5(a* &En cuántas de eas "a2(á dos de mismo coo(* Si se e8t(aen t(es 2oas. &En cuántas "a2(á una 2anca # dos ne5(as* &Cuántas en as ue as t(es 2oas sean de mismo coo(* 3,.- &Cuántos n0me(os natu(aes e8isten ue sean ma#o(es ue ,$$$ # meno(es ue 1$$$$ con todas as ci'(as di'e(entes* 3,.- Se dispone de una 2a(a:a de $ ca(tas # se e8t(aen 4 ca(tas po( dos p(ocedimientos di'e(entes. Cacua( e n de 'o(mas distintas de e8t(ae(as+ a= Sin de!ouci9n de a ca(ta e8t(a%da. 2= Con de!ouci9n en cada e8t(acci9n. Cacua tam2in e n de 'o(mas distintas de o2tene( ca(tas. 3). Las pacas de mat(%cua de un coc"e en Espa?a se 'o(man con un n0me(o de ci'(as se5uido de 4 et(as. Si pe(mitimos usa( cuauie( ci'(a # cuauie( et(a &cuántos !e"%cuos se pueden mat(icua( en Espa?a* &F si en !e; de utii;a( 4 et(as s9o utii;ásemos /* 3.- &Cuántos n0me(os capic0a "a# de 4 ci'(as* &F de * <7n n0me(o capic0a es aue ue se ee i5ua de i;uie(da a de(ec"a ue de de(ec"a a i;uie(da6 po( e:empo 13,)),31 es un n0me(o capic0a de ci'(as=. 3>.- &De cuántas 'o(mas puede ee5i(se un comit de miem2(os ent(e 11 pe(sonas* ,$.- &Cuántas uinieas de '0t2o di'e(entes con 1 (esutados se pueden (eena( si cada una de2e tene( ) unos6 4 euis # doses* ,1.- &Cuántos n0me(os de 4 ci'(as pueden 'o(ma(se con os d%5itos de 1 a > sin ue se (epita nin5una ci'(a* ,/.- La 2ande(a de un pa%s está 'o(mada po( 4 '(an:as "o(i;ontaes de i5ua anc"u(a # distinto coo(. &Cuántas 2ande(as distintas se pueden 'o(ma( con os ) coo(es de a(co i(is* ,4.- &De cuántas 'o(mas se pueden senta( 1/ aumnos en asientos de a 1 'ia de a case* &F si e p(ime( asiento está (ese(!ado pa(a e dee5ado* ,.- &Cuántas uinieas distintas de '0t2o se pueden "ace(*
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Suponiendo ue una pe(sona ta(da 4$ se5undos en (eena( una coumna6 &cuánto ta(da(%a en (eena( todas esas coumnas* Suponiendo ue conse5uimos (eena(as # !amos a a Administ(aci9n de Lote(%as a sea(a6 # teniendo en cuenta ue se ta(da 1$ se5undos en sea( una uiniea con coumnas6 &cuánto ta(da(%amos en sea(as* ,3.- En e a'a2eto Mo(se se utii;an / s%m2oos+ e punto # a (a#a. &Cuántos ca(acte(es di'e(entes es posi2e o2tene( en dic"o a'a2eto tomando6 (especti!amente6 16 /6 4 9 de os s%m2oos citados* .- Se an;an 4 dados de distintos coo(es a a !e;. &Cuántos (esutados distintos podemos o2tene(* )$.- En un Campeonato Mundia de cicismo compiten os euipos de (ancia6 Espa?a6 Aemania e Itaia. Esc(i2i( todas as posi2es casi'icaciones de to(neo et(as
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)).- Se an;a una moneda !eces # se !an anotando en 'ia os oc"o (esutados posi2es de ca(a o c(u;. &Cuántas 'ias di'e(entes pueden e5a( a 'o(ma(se* ).- 7na sec(eta(ia "a esc(ito 1/ ca(tas di(i5idas a 1/ pe(sonas distintas # sus co((espondientes so2(es. A a "o(a de mete( as ca(tas en os so2(es se despista # !a metiendo a a;a( as ca(tas en os so2(es. &De cuántas 'o(mas distintas pod(á (eena( os so2(es* 7na de esas ca(tas !a di(i5ida a Lu%s e(nánde;6 &en cuántas de as 'o(mas ante(io(es e e5a(á a Lu%s su ca(ta* )>.- e decidido i( a cine a p(98ima semana6 pe(o no e d%a conc(eto. Además6 dudo ent(e 4 pe%cuas. &Cuántas opciones distintas "a#* Rep(esntaas en un dia5(ama de á(2o. $.- &Cuántas posi2es casi'icaciones se pueden da( en una i5a de '0t2o de /$ euipos* 1.- Las 1, 'ic"as de un pa(c"%s < !e(des6 a;ues6 (o:as # ama(ias= puestas una so2(e ot(a &cuántas to((es de coo(idos di'e(entes pueden 'o(ma(* &F as / 'ic"as <1/ 2ancas # 1/ ne5(as= de un :ue5o de damas* /.- En un cu(so de 4$ aumnos6 &de cuántas mane(as distintas es posi2e ee5i( dee5ado # su2dee5ado* 4.- &De cuántas mane(as se pueden (epa(ti( (e5aos distintos ent(e Ana6 Beat(i; # Ca(os6 de modo ue a Ana e co((espondan /6 a Beat(i; 4 # a Ca(os ot(os 4* .- a# ue cooca( ) ca2aos # ) #e5uas en os 1 ca:ones de saida de una ca((e(a6 de 'o(ma ue os ca2aos ocupen os ca:ones impa(es. &De cuántas mane(as distintas puede "ace(se* 3.- Con una 2a(a:a '(ancesa .- La pantia de euipo de '0t2o de Bem2i2(e consta esta tempo(ada de 4 po(te(os6 , de'ensas6 3 cent(ocampistas # , deante(os+ a= &Cuántas aineaciones distintas con táctica 1-3-4-/ <1 po(te(o6 3 de'ensas6 4 cent(ocampistas # / deante(os= pod(á 'o(ma(*
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2= &F si :ue5a con táctica 1-4--4* >$.- 7n estudiante "a de ee5i( ) cuestiones ent(e as 1$ p(opuestas en un e8amen. &Cuántas eecciones distintas puede "ace(* >1.- &Cuántas paa2(as di'e(entes de , et(as /.- Resue!e as cuestiones+ a= &Cuántos n0me(os pa(es de 4 ci'(as se pueden 'o(ma(6 usando as ci'(as $6 16 /6 46 6 36 # ,* b= &Cuántos n0me(os de ci'(as pueden 'o(ma(se con as ci'(as 16 36 , # )* c = &Cuántos n0me(os de / ci'(as6 con am2as pa(es6 e8isten* d = &Cuántos n0me(os capic0as aca2ados en 1 de 3 ci'(as e8isten* e= &Cuántos n0me(os de , ci'(as di!isi2es po( 3 e8isten* >4.- &De cuántas 'o(mas se puede ee5i( una t(ipuaci9n de "om2(es pa(a un !ueo espacia si se dispone de 1/ ast(onautas ent(enados* &F si uno de eos es e comandante # de2e i( o2i5ato(iamente en e !ueo* >.- 7n n0me(o de te'ono m9!i está 'o(mado po( > ci'(as6 de as cuaes a p(ime(a de2e se( un ,. &Cuántos n0me(os di'e(entes de te'ono m9!i pueden e8isti(*
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