Cours de béton armé 8 : Comportement du béton en cisaillement (avec étriers)
BAC3 BAC3 - HEMES HEMES -Gramm -Gramme e
Dr Ir P. Boeraeve Boeraeve - Unité Unité 9 Constr Constructio uction n - 2007
Effort tranchant Etat Etat fiss fissur uré é réel réel
Effort tranchant Etat Etat fiss fissur uré é réel réel
Treillis équivalent de Mörsch
Poutre fictive en treillis q
Membrure supérieure comprimée
Bielle en compression compression
Etrier en traction
Membrure inférieure tendue
Poutre en Béton armé
Q/2
Q
Q
Treillis équivalent
Q
Théorème statique
"L'existence d'une distribution interne imaginaire de forces en équilibre avec les forces extérieures donne la certitude que la pièce considérée est capable de supporter des forces supérieures, ou au minimum égales aux forces extérieures considérées."
Analogie de Mörsch Etriers inclinés
Treillis en V équivalent
Etriers droits
Treillis en N équivalent
Bielles d’inclinaison variable
z.(cotg θ + cotg α).sin θ
A
z
θ B
Q
α z cotg θ
z cotg αC Q
z ≈ 0,9. d
26.56°≤ θ ≤ 63.43° 45° ≤ α ≤ 90°
Equivalence des efforts verticaux : coupe CC’ C
FSc
MEd
θ
FScw
α
VEd FSt
C’
Effort de compression dans la bielle de béton :
V Ed
F Scw = ……… sin ϑ
Rupture de la bielle comprimée z.(cotg θ + cotg α).sin θ
z
α
θ z cotg θ
z cotg α
. 1. fcd Capacité de résistance de la bielle : F Rcw = bw .z.(cot ϑ + cot α ).sin ϑν (Coeff. Réducteur dû à la fissuration transversale) FScw ≤ FRcw
⇒
V Ed
sin ϑ
ν 1 = 0, 6.(1 −
f ck
250
)
≤ bw .z.(cot ϑ + cot α ).sin ϑν . 1 . f cd 2
V Ed ≤ VRd ,max = bw .z.ν 1. fcd .(cot ϑ + cot α ).sin ϑ z ≈ 0,9. d
Effort tranchant qui provoque une rupture des bielles comprimées
Equivalence des efforts verticaux : coupe DD’ FSc
D FSsw
MSd
θ
VEd α FSt
D’
Effort de traction dans l’ étrier :
F Ssw
V Ed ……… =
sin α
Cet effort de traction ne doit pas entraîner la plastification de l’étrier (Aw: section totale de l’étrier)
FSsw ≤ Aw . f yd
Traction dans les étriers q(x)
z
α
θ z cotg θ
En pratique, on peut prendre z ≈ 0,9. d
s
z cotg α
1 étrier théorique tous les z(cotθ + cotα) doit reprendre FSsw Or, en pratique, les étriers, chacun de section Asw, sont distants de « s »
Capacité de résistance des étriers de section Asw répartis sur z(cotθ + cotα) :
F Rsw =
ϑ + cot α ) Asw .z. f yd .(cot s
Traction dans les étriers q(x)
z
α
θ s
z cotg θ
Capacité de résistance des étriers de section Asw répartis sur z(cotθ + cotα) :
FSsw ≤ FRsw
⇒
z cotg α
F Rsw =
V Ed
sin α
≤
Asw .z. f yd .(cot ϑ + cot α ) s
Asw .z. f yd .(cot ϑ + cot α ) s
En résumé : 2 conditions à respecter q(x)
z
α
θ z cotg θ
s
z cotg α
z ≈ 0,9. d (1)
2
V Ed ≤ bw .z.ν 1. f cd .(cot ϑ + cot α ).sin ϑ
(2) V
Ed
≤
ϑ + cot α ) Asw .z. f ywd .(cot s
sin α
2 conditions à respecter (α=90°) En pratique, α est pris égal à 90°, donc : (1)
2
V Ed ≤ b……………………………. w .z.ν 1 . f cd .cot ϑ .sin ϑ (2)
V Ed ≤
ϑ Asw .z. f yd .cot ………………………..
s
Exercice 1
Sans regarder les dias qui précèdent, quelle est la condition qui, si elle est respectée, évite une rupture de la bielle de béton comprimée? (1) (2)
V Ed ≤
ϑ Asw .z. f yd .cot s 2
V Ed ≤ bw .z.ν 1. f cd .cot ϑ .sin ϑ
Exercice 2
L’EC2 impose une valeur de cot θ comprise entre 0.5 et 2 (26.56°≤ θ ≤ 63.43°). Quelle est la valeur de θ conduisant à une densité d’étriers (Asw /s) minimale? (1) (2)
V Ed
V Ed ≤
ϑ Asw .z. f yd .cot
s 2 ≤ bw .z.ν 1. f cd .cot ϑ .sin ϑ
Exercice 2 : conclusion
La solution la plus économique, pour les étriers, sera celle correspondant à un angle θ : le
plus petit le plus grand
Exercice 3
Commen évolue, en fonction de θ (si 27°≤ θ ≤ 45°), VRD,max, l’effort tranchant provoquant une rupture par excès de compression dans les bielles comprimées? 2 . . ν . .cot ϑ .sin ϑ V RD ,max = b z f ……………………………. 1 cd w
= b……………………………. . . . .cos ϑ.sin ϑ w z ν 1 f cd
sin2ϑ
…………………… =b . . . . w z ν 1 f cd 2
VRD,max …. quand θ …
Dimensionnement économique des étriers
Dimensionnement économique des étriers
On calcule d'abord 2.V Ed 1 θ = arcsin( ) 2 bw .z. ν 1 f cd
ν 1 = 0, 6.(1 −
f ck
250
Il faut choisir θ tel que : 26,56°< θ < 63,43° On calcule ensuite la section Asw et le pas « s » des étriers par :
Asw s
=
V Ed
z. f ywd .cot θ
)
Exemple
Calculer les armatures d’effort tranchant (C25/30)
Armatures minimales de cisaillement ρ w =
Asw s.bw
ρ w
> ρ w,min = 0, 08
f ck f yk
(f ck et f yk en MPa)
: taux d’armatures d’effort tranchant
Asw
: aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s s
: espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément b w
: largeur de l’âme de l’élément
Répartition des étriers
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2) • L'espacement longitudinal s maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant ne peut être supérieur à s l,max = 0,75d • L'espacement transversal des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant ne peut être supérieur à s t,max = 0,75d ≤ 600 mm.
Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2) Si
s t >s t,max ajouter étriers ou épingles
Conséquences du fonctionnement en treillis
Effort dans la membrure inférieure (=armatures de flexion) augmente Bielle d’about : vérification sur appui des efforts concentrés q
Bielle en compression
Membrure supérieure comprimée
Etrier en traction
Poutre en Béton armé
Membrure inférieure tendue
Traction dans les armatures : F td C
FSc MEd FScw
A
θ
α
VEd Ftd
al
Q
C’
Ftd .z = M Ed + VEd .al
A
Supplément dû à l ’effort tranchant
Traction due à la flexion
Ftd =
M Ed z
+
VEd z
.al =
M Ed + ∆M Ed z
Traction dans les armatures : F st Coupe à mi-longueur de maille A
z α
θ
Q
B C z/2. (cotg θ + cotg α) z/2. (cotg θ + cotg α) Q
FSc
MEd
θ
B Q
A
FScw α
VEd Ftd
a l = z/2. (cotg θ - cotg α)
C Q
Traction dans l’armature longitudinale
Ftd =
M Ed z
VEd
+
z
∆ M Ed = VEd .al
Avec Or
.al =
M Ed + ∆M Ed
V =
dM dx
=
z M1
Variable
∆ M
∆M1
M2
ν
∆
M3
ν ∆M2
D’où
∆ x = al =
z
2
(cot ϑ − cot α )
constante
x
EC2 Règle de décalage de l ’enveloppe des moments
ν ∆M3
Effet à l’appui w = z.(cotg θ + cotg α)
q.z.cotg θ Ftd
q q.z.cotg θ
Q = qw θ
E
z
α
FScw
R
L
θ Equilibre nœud E
R
F Scw =
R − q.z.cot θ
sin θ
F td =
R ≃
sin θ
R
tan θ
Règle du décalage
Poutre sur 2 appuis (effort dans l’armature)
L
Ftd
M Ed z
al
Règle du décalage
Poutre sur 3 appuis (effort dans l’armature)
L
L
M Ed
Ftd
al
z
Vérifications à effectuer au droit de l'appui
la section des armatures inférieures la contrainte de compression sur appui σ σRd,1
la contrainte de compression dans la bielle d'about σ σRd,2
θ
a2 = a1.sin θ + 2.( h − d ).cos θ
Longueur d’ancrage
Vérifications à effectuer au droit de l'appui
la section des armatures inférieures min s ,appui
A
=
F td f yd
=
V ED ,appui f yd .tan θ
θ
Vérifications à effectuer au droit de l'appui
la section des armatures inférieures la contrainte de compression sur appui σ σRd,1 la contrainte de compression dans la bielle d'about σ σRd,2
θ
max(σ Rd,1,σ Rd,2) ≤ 0.85 ν ’ fcd avec
ν ’ = 1 - f ck /250 (f ck en MPa)
Si largeur appui insuffisante…
Si largeur appui insuffisante…
