UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Laureate International Universities
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
CADENAS DE MARKOV PROBLEMA INTEGRAL Instrucciones:
Resolver el siguiente problema como una cadena de Markov.
PROBLEMA (Jardinero)
Cada año, durante la temporada de siembra de marzo a septiembre, un jardinero realiza una prueba química para verificar la condición de la tierra. Según el resultado de la prueba, la productividad en la nueva temporada puede ser uno de tres estados: 1: Buena 2: Regular 3: Mala A lo largo de los años, el jardinero ha observado que la condición de la tierra del año anteri or afecta la productividad del año actual y que la situación se describe mediante la siguiente cadena de Markov:
P=
1
2
3
1
0.20
0.50
0.30
2
0
0.50
0.50
3
0
0
1
Las probabilidades de transición muestran que la condición de la tierra puede o deteriorarse o permanecer como está pero nunca mejorar. Por ejemplo, si la condición de la tierra es buena en este año (estado 1) hay 20% de que no cambie el año siguiente, 50% de probabilidad de que sea regular (estado 2), y 30% de probabilidad de que se deteriorará a una condición mala (estado 3). El jardinero modifica las probabilidades de transición P utilizando un fertilizante orgánico (el uso del fertilizante puede conducir a mejorar las condiciones del suelo). En este caso, la matriz de probabilidades probabilidades de transición se vuelve:
P=
1
2
3
1
0.30
0.60
0.10
2
0.10
0.60
0.30
3
0.05
0.40
0.55
A partir de esta esta matriz, resolver resolver los siguientes siguientes items: items:
PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ABSOLUTAS ABSOLUTAS Y DE n PASOS (PROBABILIDADES DE ESTADO) a)
Siendo la condición inicial de la tierra: Buena. Determine las probabilidades absolutas de las temporadas de siembra 8 y 16. Si: 1
2
3
1
2
3
1 0.101753 0.525514 0.372733
1 0.101695 0.525424 0.372881
P8 = 2 0.101702 0.525435 0.372863
P 16 = 2 0.101695 0.525424 0.372881
3 0.101669 0.525384 0.372947
3 0.101695 0.525424 0.372881 Ing. Manuel Sánchez Terán
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Comenzando con el sistema en el estado Buena en el periodo 0, tenemos П(1 )= [1 0 0] Entonces:
Y:
b)
Determine las probabilidades de estado estable. Las filas de P 8 son casi idénticas y de P16 lo son mucho más. Ello demuestra que, a medida que la cantidad de transiciones aumenta, las probabilidades absolutas se vuelven independientes de la condición inicial |1 0 0| o de cualquier otra.
[ ] A la larga la condición de la tierra será buena 10.17% del tiempo, regular 52.54% del tiempo y mala 37.29% del tiempo.
TIEMPO MEDIO DEL PRIMER RETORNO O TIEMPO MEDIO DE RECURRENCIA Un subproducto directo de las probabilidades de estado estable es la determinación del número esperado de transiciones antes de que el sistema regrese a un estado j por primera vez. Esto se conoce como tiempo medio del primer retorno o tiempo medio de recurrencia .
c) ¿Cuántas temporadas de siembra en promedio se requerirán para que la tierra regrese al mismo estado?
Esto quiere decir que, en promedio, se requerirán aproximadamente: 9.83 ó 10 temporadas de siembra para que la tierra r egrese a un estado bueno. 1.90 ó 2 temporadas de siembra para que la tierra regrese a un estado regular. 2.68 ó 3 temporadas de siembra para que la tierra regrese a un estado malo.
Ing. Manuel Sánchez Terán
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d)
Suponiendo que desde el principio se utilizara un fertilizante mucho mejor que el propuesto anteriormente, se tendría la siguiente matriz de probabilidades: 1
2
3
1 0.35 0.60 0.05 P = 2 0.30 0.60 0.10 3 0.25 0.40 0.35
¿Cuántas temporadas de siembra en promedio se requerirán para que la tierra regrese al mismo estado? (compare sus resultados con los obtenidos en el anterior ítem)
Determinando el estado estable:
[ ] Hallando el tiempo medio del primer retorno:
Esto quiere decir que, en promedio, se requerirán aproximadamente: 3.23 temporadas de siembra para que la tierra regrese a un estado bueno. 1.73 temporadas de siembra para que la tierra regrese a un estado regular. 8.88 temporadas de siembra para que la tierra regrese a un estado malo.
Estado de la tierra
Buena Regular Mala
CUADRO COMPARATIVO PARA PRIMER RETORNO Fertilizante Normal Fertilizante Mejorado Buena Regular Mala Buena Regular Mala 9.83 3.23 1.90 1.73 2.68 8.88
Se observa que el fertilizante mejorado obtiene resultados convenientes; en menor tiempo para la buena tierra y en mayor tiempo para la mala tierra.
Ing. Manuel Sánchez Terán
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MODELO DE COSTOS e)
Regresando a la condición de la tierra utilizando el fertilizante normal inicial: Es necesario agregar anualmente dos sacos de fertilizante si la tierra es buena, la cantidad de fertilizante se incrementa en 25% si la tierra es regular, y en 60% si la tierra es mala. El costo del fertilizante es de $50 por saco. El jardinero estima un rendimiento anual de $250 si no se utiliza fertilizante, y de $420 si se aplica el fertilizante. ¿Es redituable utilizar fertilizante? (considerar que se puede comprar una cantidad fraccional de sacos de fertilizante) Siendo las probabilidades de estado estable:
Obtenemos: Costo del fertilizante anual esperado = (2)($50)( π1 ) + (1.25)(2)($50)( π2 ) + (1.60)(2)($50)( π3 ) = $135.51 Incremento diferencial del valor anual d el rendimiento = $420 - $250 = $170. Se recomienda el uso del fertilizante ya que $170 > $135.51
TIEMPO MEDIO DEL PRIMER PASO El tiempo medio del primer paso es el número esperado de transiciones para llegar por primera vez al estado j desde el estado i . Una forma de determinar el tiempo medio del primer paso de todos los estados en una matriz de n transiciones, P, es utilizar la siguiente fórmula basada en una matriz.
‖‖
Donde: I = matriz identidad Sj = matriz de transiciones P sin su fila j-ésima y columna j-ésima del estado destino j 1 = vector columna con todos los elementos iguales a 1
f) ¿Cuántas temporadas en promedio se requerirán para pasar de tierra regular a tierra buena, y de tierra mala a buena? Considerando:
P=
De modo que:
1
2
3
1
0.30
0.60
0.10
2 3
0.10 0.05
0.60 0.40
0.30 0.55
Se requerirán 12.50 temporadas en promedio, para pasar la tierra regular a tierra buena, y Se requerirán 13.34 temporadas en promedio, para pasar la t ierra mala a tierra buena. Ing. Manuel Sánchez Terán
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g) En la situación en la que no se llega a utilizar el fertilizante, se tenía la matriz siguiente:
P=
1
2
3
1
0.20
0.50
0.30
2
0
0.50
0.50
3
0
0
1
¿Cuántas temporadas tienen que pasar aproximadamente para que la tierra pase de ser buena a ser mala? ¿Cuántas temporadas tienen que pasar aproximadamente para que la tierra pase de ser regular a ser mala? ¿Cuál es la probabilidad de que la tierra llegue a ser mala? Los estados 1 y 2 son transitorios, y el estado 3 es absorbente. Considerando la cadena absorbente, se obtiene:
I-Q =
1 0.8 0
1 2
2 -0.5 0.5
La matriz fundamental será la siguiente:
N = (I-Q)-1 =
1
1 1.25
2 1.25
2
0
2
Tienen que pasar aproximadamente 2.5 temporadas para que la tierra pase de ser buena a ser mala. Tienen que pasar aproximadamente 2 temporadas para que la tierra pase de ser regular a ser mala.
Para las probabilidades:
(I-Q)-1R =
1
3 1
2
1
El que la tierra llegue a ser mala es un evento seguro.
Ing. Manuel Sánchez Terán
