Estructuras articuladas Generalidades ´ David Herrero Perez Pascual Mart´ Mart´ı Montrull ´ Departamento de Estructuras y Construcci on ´ Universidad Politecnica de Cartagena
Septiembre 2012
Estructuras Estructur as ar articul ticuladas adas.. Gener Generalidad alidades es 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipo Tipolo log´ g´ıas ıa s Problemas propuestos Referencias
Estructuras Estructur as ar articul ticuladas adas.. Gener Generalidad alidades es 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipo Tipolo log´ g´ıas ıa s Problemas propuestos Referencias
´ Introducci´on Introducci
Estructuras Estructur as ar articul ticuladas adas.. Gener Generalidad alidades es 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipo Tipolo log´ g´ıas ıa s Problemas propuestos Referencias
Introducci´on
´ Introduccion Estructuras articuladas planas “ideales” Son estructuras compuestas por barras rectas, contenidas en un plano y articuladas entre s ´ı en sus extremos, de forma que constituyen un entramado r ´ıgido, entendiendo como tal a aquel que ´ movimiento entre sus partes que el producido por las deformaciones el asticas ´ no tiene m as de las barras.
Estructura espacial asimilable a plana.
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis ´ de las hip otesis ´ ´ Ademas basicas de la Teor´ıa Lineal de Estructuras, se admite que se cumplen las siguientes condiciones: ´ unidas entre s´ı, en sus extremos, por articulaciones sin rozamiento. 1. Las barras estan ´ en los nudos. 2. Las fuerzas aplicadas y las reacciones se producen s olo 3. Los ejes de las barras son rectos, coinciden con la l´ınea que une los centros de sus nudos ´ en el mismo plano que contiene a las l´ıneas de acci on ´ de todas las extremos, y est an fuerzas exteriores. ´ ´ ´ Consecuencias de las hip otesis basicas para el an alisis ´ ´ ´ Si se cumplen las hip otesis basicas para el an alisis, en las barras de estas estructuras solo se producen esfuerzos axiales.
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
´ ´ Estructuras ideales. Consecuencias hipotesis basicas ´ ´ Consecuencias de las hip otesis basicas 1. Articulaciones sin rozamiento. Supone que no existen momentos flectores en los extremos de las barras y que las acciones sobre los extremos de las mismas son, exclusivamente, dos fuerzas. En las barras pueden haber esfuerzos axiales, esfuerzos cortantes y momentos flectores. 2. Fuerzas aplicadas y reacciones solo en los nudos. Supone que no se producen esfuerzos cortantes en las barras, por lo tanto, las fuerzas en los extremos de las barras ´ deben estar alineadas, tener el mismo m odulo y sentido contrario. En el interior de las barras pueden haber esfuerzos axiales de valor constante y momentos flectores. 3. Ejes de las barras rectos. Supone que no se producen momentos flectores en el interior de las barras. En las barras solo se producen esfuerzos axiales de valor constante.
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
Estructuras reales Estructura ideal No es posible que una estructura real cumpla todas las ´ ´ ´ hipotesis basicas para el an alisis, por lo que la estructura que las cumple se denomina estructura ideal . Estructuras reales 1. Los nudos se materializan mediante roblones, tornillos o soldadura. Se producen momentos flectores en los extremos de las barras. 2. Las barras tienen peso. Se producen momentos flectores y esfuerzos cortantes en barras horizontales, y esfuerzos axiales adicionales en barras inclinadas. 3. Debido a los desplazamientos de la estructura, y a que los nudos no son articulaciones perfectas, se producen momentos flectores en las barras.
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
Estructuras reales. Esfuerzos secundarios
Esfuerzos secundarios Siempre aparecen momentos flectores y esfuerzos cortantes, a los que se denomina esfuerzos secundarios . ˜ ´ estos esfuerzos En estructuras peque nas, debido a la baja rigidez de las barras a flexi on, ˜ y pueden despreciarse. secundarios son peque nos ´ estos esfuerzos En estructuras en las que las barras tienen una gran rigidez a flexi on, ´ pueden llegar a ser importantes y deben considerarse en el an alisis. ´ de los esfuerzos secundarios puede realizarse, de forma aproximada, a La consideraci on ´ ´ de forma exacta, partir de los resultados del an alisis de la estructura como articulada, o, ´ utilizando programas de an alisis de estructuras de nudos r´ıgidos.
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el an alisis
Estructuras reales. Imperfecciones
´ y de montaje Imperfecciones de construcci on 1. Los ejes de las barras no son rectos. Se producen momentos flectores en el interior de las barras. 2. Los ejes de las barras no concurren exactamente en el mismo punto del nudo. Para que se cumpla el equilibrio del nudo deben producirse momentos flectores en los extremos de las barras. ´ exactamente en el plano, ni est an ´ 3. Las fuerzas aplicadas sobre la estructura no est an ´ de los ejes de las barras. Se producen momentos aplicadas en el punto de intersecci on flectores y momentos torsores en las barras.
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
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´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
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´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras simples.
Estructuras simples ´ ´ Se forman a partir de un tri angulo b asico (formado por 3 barras y 3 nudos), que es la ´ simple en el plano. unidad indeformable m as ˜ ´ ´ La estructura crece al a nadir un nuevo nudo y unirlo al tri angulo basico mediante dos barras no alineadas. Este proceso continua hasta tener todos los nudos de la estructura. ´ entre el n´umero de barras (b ) y de nudos (n ) es b = 3 + 2(n − 3) = 2n − 3, La relacion siendo b el numero ´ de barras y n el numero ´ de nudos.
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras simples. Ejemplos
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras compuestas. Estructuras compuestas ´ estructuras simples o compuestas, de tal forma que se Se forman uniendo dos o m as cumplan las exigencias de estructura indeformable en el plano. Estas estructuras se pueden generar de varias formas. ´ se analizan algunas posibilidades para formar una estructura compuesta a A continuaci on partir de dos estructuras simples.
Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 1
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras compuestas. Formaci´on de estructuras compuestas. Manteniendo el no de nudos Sean n y b el numero ´ de nudos y de barras de la estructura compuesta, y n 1 , n 2 , b 1 y b 2 los numeros ´ de nudos y de barras de las dos estructuras simples (1 y 2) que la componen. En las estructuras 1 y 2 se cumple: b 1 = 2n 1 b 2 = 2n 2 − 3.
−
3
Como se debe mantener el n umero ´ de nudos, el numero ´ de barras de la estructura compuesta es: b = 2n − 3 = 2 (n 1 + n 2 ) − 3 b 1 + 3 b 2 + 3 − 3 = (b 1 + b 2 ) + 3 = 2 + 2 2
˜ Por lo que se deben a nadir 3 barras. Esto significa que ´ por lo son necesarios tres v´ınculos independientes m as, ˜ que las tres barras a nadidas no deben ser paralelas ni concurrentes.
Ejemplo
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras compuestas.
Formaci´on de estructuras compuestas. Manteniendo el no de barras En las estructuras 1 y 2 se cumple: b 1 = 2n 1 − 3 b 2 = 2n 2 − 3 Puesto que se ha de mantener el numero ´ de barras: b = b 1 + b 2 = 2n 1 − 3 + 2n 2 − 3 = 2 (n 1 + n 2 ) − 6 Como la estructura compuesta ha de cumplir b = 2n − 3, se debe cumplir: 2(n 1 + n 2 ) − 6 = 2n − 3 Despejando el numero ´ de nudos se tiene: 3 n = (n 1 + n 2 ) − 2 Lo que indica que no se puede generar una estructura compuesta, a partir de dos simples, manteniendo el n´umero de barras.
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras compuestas.
´ de estructuras compuestas. A nadiendo ˜ Formaci on una barra En las estructuras 1 y 2 se cumple: b 1 = 2n 1 − 3 b 2 = 2n 2 − 3 ˜ Puesto que ha de a nadirse una barra: b = b 1 + b 2 + 1 = 2n 1 − 3 + 2n 2 − 3 + 1 = 2 (n 1 + n 2 ) − 5 = 2n − 3 de donde se deduce: n = n 1 + n 2 − 1 que indica que hay que eliminar uno de los nudos. Para hacer esto basta con hacer coincidir uno de los nudos de las estructuras simples.
Estructuras simples
Estructura compleja
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras compuestas.
´ de estructuras compuestas. Eliminando una Formaci on barra En las estructuras 1 y 2 se cumple: b 1 = 2n 1 − 3 b 2 = 2n 2 − 3 Puesto que se debe eliminar una barras: b = b 1 + b 2 − 1 = 2n 1 − 3 + 2n 2 − 3 − 1 = 2(n 1 + n 2 ) − 7 = 2n − 3 de donde se deduce: n = n 1 + n 2 − 2 que indica que hay que eliminar dos de los nudos. Para hacer esto basta con hacer coincidir dos de los nudos de las estructuras simples.
Estructuras simples
Estructura compleja
´ Estructuras articuladas isost aticas
Estructuras complejas. Estructuras complejas ´ Son aquellas estructuras est aticamente determinadas que no se pueden generar como simples ni como compuestas.
Estructura compleja 1
Estructura compleja 2
Estructura compleja 3
Estructura compleja 4
Estabilidad
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
Estabilidad
Estabilidad. Estructuras articuladas ´ Notaci on
n
numero de nudos ´
1 v´ınculo
→
b r m
numero ´ de barras numero ´ de v´ınculos de apoyo ´ numero de incognitas (m = b + r ) ´
2 v´ınculos 1 v´ınculo
→ →
Estructura indeformable Para que una estructura plana sea indeformable se debe cumplir: b = 2n − 3 ´ Clasificaci´on global seg´u n el n´umero de incognitas ´ El numero ´ de ecuaciones independientes de la est atica para un nudo es 2. Seg un ´ esto se tiene: ´ necesaria de isostaticidad (no suficiente). m = 2n → Es la condici on m < 2n → La estructura es un mecanismo. ´ m > 2n → La estructura es hiperest atica de grado m − 2n .
Estabilidad
Estabilidad. Estructuras articuladas Clasificaci´on exterior (b cualquiera) r < 3 → La estructura es exteriormente inestable. r = 3
→
´ La estructura es exteriormente isost atica.
´ r > 3 → La estructura es exteriormente hiperest atica. Clasificaci´on interior (r cualquiera) b < 2n − 3 → La estructura es interiormente inestable. ´ b = 2n − 3 → La estructura es interiormente isost atica. ´ b > 2n − 3 → La estructura es interiormente hiperest atica. ´ de estabilidad Condici on Una estructura puede no ser estable interiormente, pero ser estable en su conjunto al ser ´ exteriormente hiperest atica. Por ejemplo, una estructura con b = 2n − 4 y r = 4: m = b + r = 2n − 4 + 4 = 2n Lo contrario no puede ocurrir, si r < 3 la estructura siempre ser a´ exteriormente inestable.
Estabilidad
Estabilidad. Estructuras articuladas
Ejemplos de estabilidad en estructuras articuladas ´ Todas estas estructuras son isost aticas. ´ Ejemplos de estructuras estables y geometricamente inestables.
Estructura estable Estructura estable
Estructura inestable
Estabilidad
Estabilidad. Estructuras articuladas
Ejemplos de estabilidad en estructuras articuladas ´ Todas estas estructuras son isost aticas. ´ Ejemplos de estructuras estables y geometricamente inestables.
Estructura estable
Estructura inestable
Estructura inestable
Tipolog´ıas
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
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´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Definiciones
Definiciones. Tipos de barras
Montantes: Son las barras interiores verticales. Diagonales: Son las barras interiores inclinadas. ´ superior: Son las barras exteriores del per´ımetro exterior. Cordon ´ inferior: Son las barras inferiores del per´ımetro exterior. Cordon
Tipos de barras de las estructuras articuladas
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Vigas trianguladas (1) Vigas Warren ´ sencillo de viga triangulada, y se obtiene colocando en fila tri angulos ´ Son el tipo m as ´ equilateros. ˜ En ocasiones se a naden montantes para: Aumentar el n´umero de nudos en los que aplicar las cargas, reduciendo las flexiones locales de las barras. Reducir las longitudes de pandeo de las barras comprimidas de los cordones superior o inferior.
Warren
Warren con montantes en cord ´ on inferior
Warren con montantes en cord ´ on superior
Warren con montantes en cord ´ on superior e inferior
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Vigas trianguladas (2) Vigas Pratt y Howe ´ ´ Se obtienen adosando tri angulos rect angulos, en n umero par, con las hipotenusas como ´ ´ diagonales, denominandose: ´ inferior. Viga Pratt. Si las diagonales se cortan por debajo del cord on ´ superior. Viga Howe. Si las diagonales se cortan por encima del cord on
Cuando act´uan cargas verticales hacia abajo: ´ mientras que los montantes trabajan a compresi on. ´ Viga Pratt. Las diagonales trabajan a tracci on, ´ mientras que los montantes trabajan a tracci on. ´ Viga Howe. Las diagonales trabajan a compresi on,
Cuando act uan ´ cargas verticales hacia arriba: ´ mientras que los montantes trabajan a tracci on. ´ Viga Pratt. Las diagonales trabajan a compresi on, ´ mientras que los montantes trabajan a compresi on. ´ Viga Howe. Las diagonales trabajan a tracci on,
Pratt
Howe
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Vigas trianguladas (3) ´ Vigas obtenidas por superposici on Celos´ıa simple . Se obtiene superponiendo dos vigas Warren desplazadas medio recuadro. Linville . Se obtiene superponiendo dos vigas Pratt desplazadas medio recuadro hacia el centro. Celos´ıa doble . Se obtiene a partir de la celos´ıa simple. ´ en cruz de San Andr es ´ o´ celos´ıa simple con montantes . Se puede obtener: Triangulaci on Combinando una viga Pratt y una viga Howe haciendo comunes los cordones y los montantes. A˜nadiendo montantes a una celos´ıa simple.
Celos ´ıa simple
Celos´ıa doble
Linville
Triangulaci ´ on en cruz de San Andr ´ es o´ celos ´ıa simple con montantes
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Vigas trianguladas (4)
Vigas obtenidas introduciendo nuevos nudos y barras Se pueden obtener de las vigas mostradas anteriormente, normalmente con el objetivo de: Reducir las longitudes de pandeo, o´ Colocar nudos en los puntos cargados, evitando las flexiones locales de las barras.
Warren subdividida
Howe subdividida
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Vigas trianguladas (5)
Otras tipolog´ıas
´ en K. Muy utilizada en arriostramientos horizontales. Triangulacion ´ poligonal. Los cordones pueden adoptar una forma curva o poligonal para para Cordon adaptarse a las necesidades funcionales (o a los esfuerzos axiales).
Triangulaci ´ on en K
´ inferior poligonal Cordon
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Cerchas (1) Cerchas ´ habitual es que los cordones superiores sean rectos y que se dispongan a dos aguas. Lo mas Cercha inglesa Se obtiene colocando los montantes con separaciones iguales, y disponiendo diagonales que se ´ inferior. corten por debajo del cord on Cercha belga Se obtiene colocando los montantes con separaciones iguales, y disponiendo diagonales que se ´ superior. corten por encima del cord on
Inglesa (Howe)
Belga (Pratt)
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Cerchas (2) Cerchas con tipolog´ıa Polanceau Se obtiene la Polanceau doble al dividir algunas barras de la Polanceau sencilla para poder cubrir luces mayores sin aumentar excesivamente las longitudes de pandeo ni las flexiones de las barras cargadas.
Cerchas con tipolog´ıa Swan ´ superior respecto a la La cercha Swan con montantes se utiliza para reducir las longitudes pandeo y las flexiones del cord on cercha Swan.
Polonceau sencilla
Polonceau doble
Swan
Swan con montantes
Tipolog´ıas
Tipolog´ıas. Cerchas (3)
Diente de sierra
Mansarda
Cubierta a una vertiente
Contorno poligonal
Tipolog´ıas
´ Tipolog´ıas. Arcos y porticos
Arco
P ´ ortico biarticulado
P ´ ortico triarticulado
P ´ ortico triarticulado
Problemas propuestos
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
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´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
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Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
Problemas propuestos
Problema 1
Estabilidad ´ Demostrar la inestabilidad geom etrica de la estructura de la figura.
´ Estructura inestable geom etricamente.
Referencias
Estructuras articuladas. Generalidades 1
´ Introduccion
2
´ ´ ´ Hipotesis basicas para el analisis
3
´ ´ Estructuras articuladas isostaticas. Leyes de formacion
4
´ e indeterminacion ´ estatica ´ Estabilidad, determinacion de las estructuras articuladas
5 6 7
Tipolog´ıas Problemas propuestos Referencias
