05 Costruzione Di Ponti 2008-09 Rev.2

Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

5. PONTI A GRATICCIO DI TRAVI E IMPALCATI BI-TRAVE

Novembre 2008 – rev. 2

- Pag. 6.1 -

Ponti a travata 5.1. Ponti a travata due o più travi principali: generalità e modelli di calcolo

L’impalcato dei ponti a travata con due o più travi principali è costituito da più elementi longitudinali rettilinei (travi) collegati tra loro dalla soletta e spesso anche da elementi rettilinei trasversali (traversi). Tale tipologia di impalcato viene correntemente realizzata mediante struttura prefabbricata in c.a. e c.a.p. o struttura mista acciaio-calcestruzzo. acciaio-calcestruzzo. Nel primo caso il campo di impiego è quello delle luci medio-piccole fino a circa 40-50 m in uno schema statico di trave in semplice appoggio (consente operazioni semplici di montaggio) con soletta di continuità; mentre nel caso di struttura mista acciaio-calcestruzzo si può arrivare anche a luci più significative fino a 100 m. I carichi transitanti sui ponti sono generalmente applicati in posizione eccentrica rispetto all’asse principale della struttura, pertanto il calcolo dell’impalcato deve considerare la ripartizione trasversale trasversale dei carichi fra i diversi elementi portanti.

• •

Devono distinguersi due casi fondamentali: fondamentali: travata da ponte formata da tre o più travi principali longitudinali portanti (graticcio di travi); travata da ponte costituita da due sole travi principali.


- Pag. 5.2 -

Ponti a travata

Nel primo caso la travata da ponte può essere assimilata ad un graticcio di travi, nel secondo è prevalente in ciascuna delle due travi il comportamento di trave soggetta a flessione e a torsione. La scelta della soluzione ottimale deriva da considerazioni prettamente economiche. Nel caso di travi in acciaio o miste-acciaio calcestruzzo è stato verificato, nella pratica, come per ponti di luci L piccole rispetto alla larghezza B dell’impalcato: dell’impalcato: L/B ≤ 2.5 una progettazione ottimale preveda l’impiego l’impiego di 3 o più travi principali, mentre per L/B > 2.5 l’uso di sole due travi risulta la soluzione economicamente economicamente più vantaggiosa.


- Pag. 5.3 -

Ponti a travata 5.2. Impalcati a graticcio

Nel calcolo dei ponti a graticcio la geometria tridimensionale tridimensionale dell’impalcato viene schematizzata da un sistema piano costituito dalle travi longitudinali che collaborano con una porzione “efficace” “efficace” di soletta e dai dai traversi. Il valore della larghezza “efficace” collaborante, definita come la larghezza della flangia ideale di una trave a T che trasmette lo stesso sforzo normale complessivo che interessa la soletta reale ma con una distribuzione uniforme delle tensioni normali σ, pari al valore reale massimo, Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.4 -

Ponti a travata

dipende dalla deformabilità a taglio nel proprio piano della soletta a sua volta funzione del rapporto b1/L, del tipo di carico e del tipo di schema statico. Larghezza efficace per elementi in c.a. c.a.p (EC2-1-1) La larghezza “efficace” beff può essere calcolata mediante l’espressione: 2

beff = ∑ beff ,i + bw i =1

Dove il termine beff,i viene calcolato in funzione della distanza l0 tra due punti di nullo del diagramma del momento flettente della trave. beff ,i = 0.2 ⋅ bi + 0.1 ⋅ l 0 ≤ 0.2 ⋅ l0 e beff ,i ≤ bi

Larghezza efficace per elementi di acciaio (EC3-1-5) Anche nel caso di elementi di acciaio è necessario valutare gli effetti della diffusione per taglio del carico ("shear lag") sulla distribuzione degli sforzi e sulla resistenza che risulta rilevante soprattutto per le lamiere sottili irrigidite (piastre ortotrope).


- Pag. 5.5 -

Ponti a travata Lo "shear lag" nelle flange può essere trascurato a patto che risulti b0 < Le/20, dove la larghezza della flangia b0 è assunta pari alla lunghezza della d ella flangia esterna o a metà della larghezza di un elemento interno e Le è la distanza tra due punti di nullo del momento flettente.

Laddove tale limite venga superato si raccomanda di considerare gli effetti dello "shear lag" nelle flange per la verifica degli stati limite di servizio, di fatica e allo stato limite ultimo. Larghezza efficace ai fini della diffusione per taglio del carico ("shear lag") agli stati limite di servizio e di fatica.

La larghezza efficace beff legata all'effetto dello "shear lag" in condizioni elastiche può essere calcolata con l'espressione: beff = β⋅ b b0


- Pag. 5.6 -

Ponti a travata Il fattore β che determina la larghezza efficace può essere ottenuto dal prospetto a fianco usando valori di κ ottenuti dalla:

κ = α0 ⋅ b0 / Le con: α0 = (1 + Asl ) / (b0 ⋅ t)0,5 in cui Asl è l'area di tutti gli irrigidimenti longitudinali compresi nella larghezza b0.

Distribuzione degli sforzi in caso di "shear lag"


- Pag. 5.7 -

Ponti a travata Larghezza efficace allo stato limite limite ultimo.

Allo stato limite ultimo gli effetti combinati dello "shear lag" e dell'instabilità locale devono essere considerati adoperando un'area efficace Aeff data da: Aeff = Ac,eff ⋅ βκ con Aeff ≥ Ac,eff ⋅β dove Ac,eff è l'area efficace per un flangia compressa nei riguardi dell'instabilità locale: Ac,eff =ρ⋅Ac con ρ fattore di riduzione per l'instabilità locale . per λ λ p ≤ 0.673 si ha ρ = 1, mentre per λ p > 0.673 si ha ρ = (λ p - 0,22) / λ p2 0.5

⎛ f ⎞ b t dove λ p = ⎜ y ⎟ = 28.4 ⋅ ε k σ ⎝ σcr ⎠ Elementi compressi interni


- Pag. 5.8 -

Ponti a travata Elementi compressi esterni

Larghezza efficace per elementi misti acciaio-calcestruzzo (EC4-2) La larghezza efficace della soletta collaborante può essere calcolata con l’espressione: beff = = b0 + Σ (βi ⋅ bei) dove − b0 è la distanza tra i due connettori esterni. − bei é il valore della larghezza efficace su ciascun lato assunta pari a Le/8 (comunque sempre inferiore all’interasse trasversale tra le travi). Dove Le è la distanza tra due punti di nullo del diagramma del momento flettente. − βi= (0.55 + 0.025 Le / bei) ≤ 1.0.


- Pag. 5.9 -

Ponti a travata

Una volta riportato lo schema statico a quello di un graticcio piano è possibile eseguire il calcolo in modo automatico (ad esempio mediante una modellazione agli elementi finiti) oppure impiegare dei metodi approssimati (utili in fase di predimensionamento) basati su ipotesi semplificative. Tali metodi sono basati su due strategie alternative: (i) ricondurre il problema piano ad un problema monodimensionale monodimensionale dopo aver ripartito trasversalmente i carichi, (ii) modellare il graticcio come una struttura equivalente continua (piastra ortotropa) che è possibile risolvere in forma chiusa.


- Pag. 5.10 -

Ponti a travata Ripartizione trasversale dei carichi

Caso elementare di un graticcio di n travi longitudinali con 1 solo traverso sollecitato da un carico concentrato P=1 agente su di un nodo della struttura.

•

Si definisce coefficiente di ripartizione trasversale ri,j1 la quota parte del carico che grava sulla trave j quando P=1 si trova su i. Quindi risulta: ∑ r = 1 (eq. alla traslazione verticale) i,j

P = r ⋅P j

i,j

i

se Pi ≠ 1

(i) Poiché l’abbassamento di ciascuna trave è proporzionale al carico da essa portato, la deformata del traverso sarà proporzionale a meno delle rigidezze delle travi al diagramma dei coefficienti di ripartizione trasversale. (ii) La rigidezza flessionale dei traversi e quella torsionale delle travi sono i fattori che incidono maggiormente maggiormente sulla ripartizione trasversale del carico. 1

Corrispondono alle reazioni verticali mutue che si scambiano le travi ed il traverso.


- Pag. 5.11 -

Ponti a travata (a) il traverso è supposto privo di rigidezza flessionale: tutto

il carico è supportato dalla trave su cui agisce: ri ,i = 1 e ri , j = 1 per i ≠ j

(b) il traverso è supposto infinitamente rigido: la deformata

trasversale del ponte sarà rettilinea e le travi ruotano di un angolo φ.

(c) il traverso è supposto infinitamente rigido e le travi

hanno rigidezza torsionale infinita, la deformata corrisponde ad un abbassamento uniforme: 1 ri, j = ∀ i, j n


- Pag. 5.12 -

Ponti a travata

Nel caso di più traversi anche le rigidezze torsionali di questi influenzano il comportamento del graticcio: il graticcio k scarico dovendo ruotare influenza la ripartizione del carico effettuata dal traverso h caricato direttamente.

Modelli di calcolo Si consideri un graticcio costituito da n travi ed un solo traverso, si trascura la rigidezza torsionale delle travi (ipotesi valida per impalcati con travi ad anima sottile: travi in acciaio o in c.a.p). In questa ipotesi si può analizzare il traverso come una trave su appoggi elastici che schematizzano le travi longitudinali.


- Pag. 5.13 -

Ponti a travata La cedevolezza delle modelle sarà del tipo:

ωl =

c ⋅ l3 E ⋅ Jl

con c costante che dipende dalla posizione del carico e dalle condizioni di vincolo per la trave.

La risoluzione della trave continua su appoggi elastici mostra come la distribuzione degli sforzi sia legata al parametro Z (parametro di Homberg): 3

⎛ l⎞ J Z = c⋅⎜ ⎟ ⋅ t ⎝ b1 ⎠ J l Deformata trasversale per diversi valori di Z e posizioni del carico.

con Jt e Jl rispettivamente momento di inerzia di traverso e trave.

Oss: la deformata trasversale del ponte è proporzionale alla linea di influenza del coefficiente di ripartizione della trave caricata. Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.14 -

Ponti a travata •

Trave rigida su molle Il problema della trave su suolo elastico si semplifica notevolmente nel caso di trave rigida poiché la configurazione deformata è definita da sole due incognite: δ e φ. Indicando con K i, r i e yi la rigidezza, la reazione e la distanza dal centro di rigidezza della molla i-esima si ha: ri = K i ⋅ ( δ + ϕ ⋅ y i ) Equilibrio alla traslazione:

∑r

i

= Ki ⋅ δ = 1 e δ =

1 ∑ K i

Equilibrio alla rotazione:

∑r ⋅ y = ∑K ⋅ϕ⋅ y i

i

i

2 i

= 1⋅ y p e ϕ =

y p ∑ K i ⋅ yi 2

Quindi si ha: ri =

Valori di r per un ponte a 5 travi uguali tra di loro.


y ⋅y K i + i p 2 ⋅ K i ∑ K i ∑ K i ⋅ yi

Nel caso di travi uguali e ugualmente vincolate: 1 y ⋅y r i = + i 2p n ∑ yi

- Pag. 5.15 -

Ponti a travata •

Influenza reciproca di più traversi Nel caso di graticcio graticcio con due traversi traversi h e k si ha: wi,h / wi,k = = cost

- i traversi sono infinitamente rigidi: la deformata di entrambi è una retta e i due traversi sono indipendente indipendente l’uno dall’altro. - i traversi sono deformabili: la deformata di h è curvilinea così come quella di k. Un traverso k con curvature diverse da zero risulta quindi sollecitato e opera una ridistribuzione degli sforzi nel graticcio.


- Pag. 5.16 -

Ponti a travata Metodo di Courbon

Viene supposta la presenza di un traverso infinitamente rigido sotto una qualunque posizione del carico. carico. Sulla base di tale ipotesi ad esempio un carico distribuito su una trave si ripartisce tra le altre mantenendo inalterata la propria forma ma con un’intensità proporzionale al coefficiente di ripartizione.


- Pag. 5.17 -

Ponti a travata Metodo di Engesser

I traversi infinitamente rigidi sono in numero finito e occupano la posizione reale. (i) Si considerano in una prima fase degli appoggi provvisori in corrispondenza dei nodi e ogni trave si comporta in modo indipendente come trave continua su appoggi fissi. Si calcolano sollecitazioni e reazioni agli appoggi. (ii) Si rimuovono i vincoli fittizzi e si applicano alla trave le reazioni vincolari del p.to (i) che saranno distribuite mediante i traversi alle altre travi longitudinali (iii) le sollecitazioni risultanti saranno la somma di quelle calcolate in (i) e in (ii).


OSS: già con 3 traversi gli sforzi flessionali calcolati in (ii) sono molto maggiori di quelli valutati in (i) e quindi si può operare con il metodo di Courbon, mentre gli sforzi si taglio devono essere sempre calcolati con il metodo di Engesser. - Pag. 5.18 -

Ponti a travata Le sollecitazioni nei traversi

Le sollecitazioni nei traversi si calcolano in funzione dei coefficienti di ripartizione trasversali costruendo le l.d.i delle sollecitazioni sul traverso. Nel caso di carico che si sposta lungo il traverso il momento è calcolato con una relazione del tipo: Ms = Σr i⋅yi – 1⋅y p (teorema di Land con ipotesi di traverso rigido). Nel caso di carico lungo le travi la figura di destra mostra qualitativamente qualitativamente la superficie di influenza del momento in S.

M s = ηi ,h ⋅ R i ,h


- Pag. 5.19 -

Ponti a travata Metodo di Guyon-Massonnet-Bares Guyon-Massonnet-Bares

In questo caso si segue la via opposta di quella vista con i metodi visti finora, basati sulla così detta ripartizione trasversale dei carichi Con il metodo di Guyon-Massonet-Bares la struttura bidimensionale piana del grigliato ottenuta con il taglio della soletta lungo le linee mediane viene ricondotta a una struttura bidimensionale “continua”, assimilando l’impalcato ad un grigliato a maglie infinitesime, trattabile come una piastra ortotropa ortotropa equivalente. equivalente. Il metodo fu proposto da Guyon nel 1946 per un grigliato di travi prive di rigidezza torsionale, ripreso da Massonnet nel 1950 per tener conto della torsione, ed infine esteso da Bares. Massonet e Bares hanno sistemato in modo definitivo la materia in un libro, che fornisce un gran numero di tabelle direttamente utilizzabili dal progettista (Massonet, Bares, “Le calcules des grillages de pontres ed dalles orthotropes sèlon la Methode Guyon – Massonet –Bares” Dunod, Parigi, 1966) Il metodo non fa nessuna ipotesi sulle rigidezze flessionali e torsionali delle travi e dei trasversi. È quindi utilizzabile nel caso di ponti molto larghi rispetto alla luce, oppure quando si hanno nervature dotate di una certa rigidezza torsionale (casi in cui non è lecito applicare i metodi di Courbon o di Engesser). Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.20 -

Ponti a travata

Le ipotesi che si fanno sono due: - il graticcio effettivo può essere sostituito con uno a maglie infinitesime avente le stesse rigidezze medie flessionali e torsionali; - è possibile effettuare l’analisi armonica (vedi) della struttura in direzione x (longitudinale), la qual cosa presuppone che il graticcio sia semplicemente appoggiato appoggiato alle estremità.


- Pag. 5.21 -

Ponti a travata

La prima ipotesi porta ad approssimazioni accettabili se il numero dei trasversi è sufficientemente elevato (maggiore od eguale a 3) ed il carico è ripartito. Volendo una maggiore accuratezza si possono calcolare le sollecitazioni locali che nascono nella trave direttamente caricata, supposta dapprima su appoggi fissi, e poi applicare i carichi nodali al graticcio. La seconda ipotesi è vera per ponti a semplice travata. Indicando con: J l e J t i momenti di inerzia delle travi e dei trasversi; K l e K t le costanti costanti di torsione torsione alla alla St. Venant Venant delle travi travi e dei trasversi trasversi (1). (1).

le caratteristiche del graticcio equivalente varranno: varranno: E Jl b1 G K l Cxy = b1 Dx =

E Jt l1 G K t Cyx = l1 Dy =

Gli Autori consigliano di considerare una larghezza convenzionale 2b=n b1 (n = numero delle travi) che peraltro in molti casi è prossima a quella effetttiva essendo in genere lo sbalzo della soletta circa la metà dell’interasse delle travi. Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.22 -

Ponti a travata Analisi armonica di di una trave: richiami.

Per una trave vincolata in modo generico e sottoposta ad un carico p(x) qualsiasi, la deformata w(x) è una funzione incognita la cui forma è sempre diversa da quella del carico. Ciò vuol dire anche che, in generale, il rapporto p(x) / w(x) varia da punto a punto della trave. Solo nel caso di trave semplicemente appoggiata, soggetta ad un carico sinusoidale, la forma del carico coincide con quella della deformata ed il rapporto pn sin

nπx nπx = pn w n w n sin l l

è indipendente da x (nota: n è il numero di semionde dell’armonica considerata sulla lunghezza l della trave). In questo caso si fa l’analisi armonica della struttura e si hanno notevoli semplificazioni di calcolo in quanto per ogni armonica non si cerca la funzione incognita w(x), ma la singola incognita w n . Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.23 -

Ponti a travata

Il numero di armoniche va scelto sufficientemente elevato da modellare sufficientemente bene la distribuzione del carico (nota: un carico con distribuzione simmetrica rispetto alla mezzeria sarà modellato con solo armoniche con n dispari). La linea elastica sarà in ogni caso somma di armoniche tutte con abbassamento nullo alle estremità. Quindi per poter eseguire un’analisi armonica la trave deve essere semplicemente appoggiata. Nel caso di travi continue il metodo può può essere ancora utilizzato con con sufficiente approssimazione approssimazione considerando una luce ideale pari a 0,7 ‘effettiva (distanza dei punti di flesso in una trave continua con carico uniforme). uniforme).


- Pag. 5.24 -

Ponti a travata Calcolo delle costanti di torsione: richiami.

Il caso della soletta tagliata

Caso di sezione rettangolare dì base b ed altezza h vale: 3 h 3b 3 K = 10 ( h 2 + b 2 )

che, per h b > 5 si può assumere pari a :

1 K = h b3 3

Nel caso di sezioni di tipo “aperto”, “aperto”, quali doppio T o simili, K si può ottenere come come somma delle costanti di torsione relative ai rettangoli elementari in cui si può scomporre la sezione data. Nel caso infine di di sezioni chiuse con con pareti sufficientemente sufficientemente sottili vale vale la teoria di Bredt Bredt per cui: 4A 2 K = ∑ si t i


- Pag. 5.25 -

Ponti a travata

Nel calcolo della rigidezza torsionale delle travi e dei trasversi va poi tenuto presente che nella realtà fisica non si hanno i tagli ideali nella soletta che sono serviti per ridurre l’impalcato ad un graticcio. Questi tagli porterebbero a sopravvalutare il contributo della soletta alla rigidezza torsionale delle travi e dei trasversi in cui sono evidenziate le tensioni tangenziali che si avrebbero se la soletta fosse effettivamente effettivamente discontinua. Come è noto queste τ contribuiscono per il 50% alla rigidezza torsionale della soletta il cui contributo, quindi, dovrà essere valutato pari a: K=


1 3 hb 6

(con s « B)

- Pag. 5.26 -

Ponti a travata Cenni sulla teoria alla base del metodo di Guyon-MassonetGuyon-Massonet-Bares Bares

Una volta ridotto il grigliato ad un sistema continuo, il procedimento di calcolo è identico a quello che si segue per le piastre ortotrope e l’equazione differenziale della deformata a cui si perviene è formalmente formalmente identica identica a quella di Huber Huber vista nel caso delle piastre ortotrope. ortotrope.

∂4w ∂4 w ∂4 w Dx 4 + 2H 2 2 + D y 4 = p ( x, y ) ∂x ∂x ∂y ∂y

dove H =

1 ( C + Cyx ) 2 xy

∂m x ∂m xy + = tx ∂x ∂y ∂2w mx = −Dx 2 ; ∂m yx ∂m y ∂x + = ty ∂x ∂y ∂2w m xy = − C xy ; ∂t x ∂t y x y ∂ ∂ + = − p ( x, y ) ∂x ∂y

∂2w my = −Dy 2 ∂y ∂2w m yx = −C yx ∂x∂y

Nel caso di grigliato a maglie infinitesime però, non avendosi la continuità fisica del materiale, non vale il principio di reciprocità delle tensioni tangenziali τ Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.27 -

Ponti a travata

Ciò significa in generale che i momenti torcenti agenti in un punto secondo due direzioni ortogonali tra loro non sono s ono necessariamente eguali, cioè in generale m xy ≠ m yx Sempre per lo stesso motivo risulta inoltre : υx = υy = 0 La risoluzione dell’equazione della piastra, cioè la determinazione della funzione w(x,y) è in generale complessa; l’avere ipotizzato il graticcio semplicemente appoggiato alle estremità consente però l’analisi armonica in direzione x. Ciò significa che la funzione incognita w(x,y) è il prodotto di due funzioni ad una sola incognita: w ( x , y ) = w ( y ) si n

πx l

(n=1)

essendo w(y) la deformata trasversale in mezzeria della piastra (vedi figura). figura).


- Pag. 5.28 -

Ponti a travata

Se ora si suppone di ripartire il carico uniformemente su tutta la larghezza della piastra, cioè se si considera il carico cilindrico di figura anche la deformata sarà cilindrica, cioè indipendente da y e si avrà: w ( x ) = w sin

πx l

Il rapporto K =

w ( y) w

tra la deformata in un punto per effetto del carico lineare e quella che si avrebbe nello stesso punto se si ripartisse detto carico su tutta la larghezza del ponte, corrisponde corrisponde al “coefficiente di maggiorazione del valore medio” del coefficiente di ripartizione, quando riferito alla trave alla coordinata y K ij = Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

r ij = n r r travi ijij - Pag. 5.29 -

Ponti a travata

Analogamente Analogamente poi si ha: per carico lineare lineare :

∂ 2 w π2 πx m x = − Dx 2 = 2 D x w ( y ) sin l ∂x l

per carico uniforme: uniforme:

∂ 2 w π2 πx mx = − Dx 2 = 2 D x w sin l ∂x l

e quindi:

mx w ( y ) = = K mx w

Quindi K è anche il rapporto tra i momenti flettenti, in una trave longitudinale, dovuti al carico lineare eccentrico e quelli dovuti allo stesso carico ripartito su tutta la larghezza del ponte.


- Pag. 5.30 -

Ponti a travata Uso delle tabelle nel metodo di Guyon-Massonet-Bares Guyon-Massonet-Bares

La diffusione del metodo di calcolo in esame è dovuta alla disponibilità di un gran numero di tabelle che forniscono, oltre al coefficiente K visto, anche altri coefficienti per il calcolo dei momenti torcenti e delle sollecitazioni nei trasversi. Questi coefficienti sono dati in funzione dei seguenti parametri: - eccentricità relativa e/b del carico - eccentricità relativa y/b della trave o della sezione del trasverso in cui si calcolano le sollecitazioni - geometria e rigidezze del graticcio. Per definire completamente queste ultime, cioè per descrivere il graticcio, gli Autori dimostrano che sono sufficienti due parametri:

θ=

b K x H parametro di deformabilità trasversale; α = parametro di torsione; . l K y K x K y


- Pag. 5.31 -

Ponti a travata

La definizione di θ conferma quanto detto in precedenza a proposito del parametro di Homberg, e cioè che è predominante l’influenza delle dimensioni in pianta del ponte, b/l, rispetto al rapporto delle rigidezze D x/Dy che compare sotto radice quarta. Si noti ancora come il metodo di Courbon sia un caso particolare di quello in esame qualora si abbia: α = θ = 0 Il parametro di torsione α è compreso tra 0 ed 1, valori questi che corrispondono a rigidezza torsionale nulla (H=0) ovvero pari a quella di una piastra isotropa (H= D x= Dy). Da quanto detto risulta che le tabelle dovrebbero essere a quattro entrate (e, y, α , θ ). Tuttavia gli Autori hanno provato che è sufficiente fornire i coefficienti per α = 0 ed α = 1 e calcolare il valore di K per i valori intermedi di α per mezzo di una legge di interpolazione semiempirica: K α = K 0 + ( K1 − K 0 ) α1 / 2


- Pag. 5.32 -

Ponti a travata

Per mezzo di tabelle dunque vengono forniti i valori dei: a) Coefficienti K per il calcolo dei momenti flettenti nelle travi da utilizzarsi come detto. b) Coefficienti µ per il calcolo dei momenti flettenti nei trasversi, da utilizzarsi nel seguente modo: Nella sezione S di eccentricità y di un trasverso situato alla distanza x dall’appoggio dall’appoggio il momento per unità di lunghezza lunghezza nel graticcio graticcio ideale vale: m y = µ ( e, y ) p0 b sin

πx l

Poiché però nella realtà i trasversi hanno interasse l, ciascun trasverso dovrà assorbire tutto il momento che compete alla fascia che lo riguarda, e cioè: M = ∫xx−+ll 22 m ydx = µ p0 b ∫xx−+ll 22 sin 1

1

1

1

πx πx dx ≅ µ p 0 b sin l l l 1


- Pag. 5.33 -

Ponti a travata

Vengono inoltre forniti i valori dei seguenti coefficienti ed il relativo metodo di impiego: c) Coefficienti τ per il calcolo dei momenti torcenti in travi e traversi d) Coefficienti ν per il calcolo degli sforzi di taglio nei trasversi. e) Coefficienti ε per il calcolo degli sforzi di taglio nelle travi. Si osservi che, molto spesso, per un calcolo approssimato delle travi, non è necessario sviluppare il carico in serie di seni ma è sufficiente assumere come valido, valido, per il carico effettivo, il valore di K fornito dalle tabelle. Ciò non è altrettanto vero per il calcolo dei momenti torcenti e delle sollecitazioni nei trasversi, per cui è necessario sviluppare il carico effettivo in serie di Fourier. In questo caso si tenga presente che per la n.sima armonica la travata si flette su una luce l/n (vedi figura) e quindi va variato il parametro di deformabilità deformabilità trasversale che diviene: ϑn = nϑ


- Pag. 5.34 -

Ponti a travata Confronto tra i risultati ottenuti con i diversi metodi: esempio (cfr:M.P. Petrangeli – Progettazione e costruzione di ponti – Masson Ed)


- Pag. 5.35 -

Ponti a travata


- Pag. 5.36 -

Ponti a travata


- Pag. 5.37 -

Ponti a travata


- Pag. 5.38 -

Ponti a travata


- Pag. 5.39 -

Ponti a travata


- Pag. 5.40 -

Ponti a travata


- Pag. 5.41 -

Ponti a travata


- Pag. 5.42 -

Ponti a travata


- Pag. 5.43 -

Ponti a travata


- Pag. 5.44 -

Ponti a travata


- Pag. 5.45 -

Ponti a travata


- Pag. 5.46 -

Ponti a travata


- Pag. 5.47 -

Ponti a travata


- Pag. 5.48 -

Ponti a travata 5.3. Travata da ponte a due sole travi principali Quando la larghezza dell’impalcato è piccola nei confronti della luce, per ottenere la migliore utilizzazione statica delle travi (travi di acciaio) nei riguardi dell’assorbimento delle azioni taglianti conviene generalmente prevedere due sole travi principali. Sezioni tipo bi-trave di impalcati composti acciaio-calcestruzzo.


- Pag. 5.49 -

Ponti a travata Nel caso di impalcati bi-trave l’impiego dei metodi a graticcio introduce delle approssimazioni eccessive pertanto non risulta adatto al calcolo dello stato tensionale conseguente alla distribuzione trasversale del carico con risultante eccentrica rispetto l’asse della travata. E’ quindi necessario studiare il problema con un approccio differente partendo dall’analisi dei quattro casi limite riportati nella figura precedente.

Nella trattazione che segue si considerano considerano le seguenti ipotesi: • si suppongono sempre presenti dei diaframmi rigidi trasversali in corrispondenza della sezione sugli appoggi; • si fa riferimento allo schema di trave in semplice appoggio; • il carico sull’impalcato (con risultante Σq ed eccentricità e) può essere scomposto in due condizioni fondamentali: a) carico totale Σq centrato rispetto all’asse di simmetria; b) carichi antisimmetrici: ± Σq⋅e/b agenti verticalmente in corrispondenza delle due travi principali ed equivalenti a coppie torcenti Σq⋅e applicate alla sezione trasversale della travata. Corso di Costruzione di Ponti - a.a. 2008/09

- Pag. 5.50 -

Ponti a travata Analisi della condizione di carico antisimmetrico Deve essere valutata la capacità dei collegamenti trasversali interni nel garantire l’unicità dell’angolo di cui ruotano i vari elementi che formano la sezione trasversale. Si intrudono quattro schemi tipici modellati assumendo flesso-rigidi i vari elementi componenti la sezione trasversale ed incernierati i collegamenti fra le parti componenti.


- Pag. 5.51 -

Ponti a travata

–

La trave a sezione aperta non diaframmata La trave a sezione aperta non può essere studiata con la teoria della torsione in quanto per effetto della condizione antisimmetrica del carico la sezione perde forma e si parallelogrammizza e quindi si perde l’unicità dell’angolo di torsione. Si consid consideri eri il caso caso di strutt struttura ura a mens mensola ola perfettamente incastrata ad un estremo, non diaframmata in corrispondenza della sezione dell’estremo libero e sollecitata da una coppia torcente costante Mt=P b ⋅b Si decompone la struttura in tre parti 1, 2, 3 (travi metalliche e soletta in c.a.) e si considera separatamente ogni elemento.


- Pag. 5.52 -

Ponti a travata

i)

elemento 1:

- forza P diretta verticalmente verso il basso applicata all’estremo libero z=0.

-

sforzi longitudinali N(z) agenti a livello dell’ala superiore parallelamente all’asse della trave. Questi sforzi hanno il compito di ripristinare la continuità fra la trave 1 e la soletta 3 e possono essere riportati sull’asse baricentrico della trave aggiungendo i momenti di trasporto N(z)⋅a(z). ii)

elemento 2:

- forza (-P) diretta verticalmente verso l’alto applicata all’estremo libero z=0.

-

sforzi longitudinali N(z) eccentrici agenti a livello dell’ala superiore parallelamente all’asse della trave come per l’elemento 1. iii)

-

elemento 3: z

coppie flettenti pari a: b ⋅ ∫ N(z) N( z)dz dz agenti nel 0

piano orizzontale della soletta. soletta.


- Pag. 5.53 -

Ponti a travata z

In una generica sezione di ascissa z detta: F ( z ) = ∫ N ( z )dz la risultante degli sforzi N(z) la tensione al bordo superiore della 0

trave 1 vale:

σ1 ( z ) =

F (z ) F(z) ⋅ a (z) P⋅z − − . W1,s ( z ) A1 ( z ) W1,s ( z )

Nello stesso punto del sistema considerato appartenente alla lastra 3 si ha:

σ3 ( z ) = −

F ( z ) ⋅ b b F ( z ) ⋅ b2 . ⋅ =− I 3y 2 2I 3y

Analogamente nei punti di contatto degli elementi 2 e 3 della sezione trasversale di ascissa z si ha: F ( z ) ⋅ b2 , σ3 ( z ) = + 2I 3y

σ3 ( z ) = −

F (z ) F(z) ⋅ a ( z) P⋅z . + + W2,s ( z ) A 2 ( z ) W2,s ( z )

Le condizioni di congruenza ε1(z) = εi+1(z) scritte per ciascuna sezione della struttura consentono di determinare determinare F(z) e quindi calcolare le tensioni in ogni punto.

–

La trave a sezione aperta diaframmata

Qualora i vincoli interni garantiscano l’unicità dell’angolo di torsione per tutti gli elementi che formano la sezione è possibile determinare le espressioni delle deformazioni torsionali θ1 e delle tensioni τm: Mt θ1 = ⋅l; 16 3 G ⋅ ∑ a i ⋅ bi i 3

τ max i

Mit 3 Mit 2 =q ⋅b ≅ I p i 8 a i ⋅ b2 i

2 Poiché l’angolo di torsione θ1 è lo stesso per tutti i rettangoli che formano la sezione, il massimo valore della tensione tangenziale si può calcolare suddividendo il momento torcente in parti Mit proporzionali ai valori ai⋅ b bi3.


- Pag. 5.54 -

Ponti a travata In travi composte da rettangoli allungati hanno un’influenza non trascurabile le tensioni normali secondarie σz e σz . Le prime possono essere essere calcolate in funzione delle delle τmax: 2 sensibilmente inclinate rispetto rispetto all’asse di torsione ed il momento rispetto rispetto al centro di ⎧ E ⎛ a ⎞ τ 2max e risultano sensibilmente σ = ⋅ ⋅ z,max torsione delle loro componenti sul piano della sezione trasversale può contribuire in misura ⎪⎪ G ⎜⎝ b ⎟⎠ 12 notevole ad equilibrare il momento torcente esterno Mt. ⎨ ⎪σz ,min = 1 σ z , max ⎪⎩ 2 Le σz si sviluppano invece quando per alcune condizioni dei vincoli esterni sia impedito l’ingobbamento delle sezioni trasversali (ortogonali all’asse di torsione), oppure nel caso di momento torcente variabile lungo l’asse della trave (in questo caso le sezioni rette non si ingobbano tutte ugualmente).

Il caso classico è quello di trave a doppio T vincolata in modo che agli estremi sia impedita soltanto la rotazione attorno all’asse di torsione ( incastro torsionale) e sollecitata da una coppia torcente Mt nella sezione in mezzeria. Per simmetria la sezione in mezzeria dovrà rimanere piana mentre le altre sezioni si ingobbano in misura crescente all’aumentare della loro distanza dalla mezzeria. Per effetto del non uniforme ingobbamento nascono delle tensioni longitudinali σz di flessione per le due ali e forze di taglio T a nelle ali stesse che danno luogo ad una coppia Ma che sommata a quella Mτ derivante dalle tensioni tangenziali nel piano della sezione retta equilibrano la coppia torcente esterna.


- Pag. 5.55 -

Ponti a travata La soluzione analitica del problema nel caso di sezione a doppio T simmetrica si ottiene scrivendo l’equazione di equilibrio alla rotazione intorno all’asse di torsione: M τ + M a + M t = 0 ovvero M τ + Ta ⋅ b + M t = 0 con

Mτ = G ⋅

I p dθ q dz

M a = EIa ⋅

d2 y b b d 2 θ b d 3θ b2 d 3θ essendo y si ha M EI quindi T EI e T b E I = θ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ a a a a a a dz 2 2 dz 2 2 dz 3 2 dz 3 2

Si ottiene l’equazione di Timoshenko per la torsione non uniforme:

d 3θ 2 dθ 2 G ⋅ I p 2 e β = . −α = βM t dove α2 = 2 ⋅ 3 dz dz b q ⋅ EI a EI a ⋅ b2

Le tre costanti arbitrarie per l’equazione differenziale del III ordine nella rotazione θ(z) si determinano attraverso le condizioni al contorno mentre ed il suo integrale consente di determinare tutte le grandezze del problema: I p dθ ⎧ ⎪⎪ M τ = G ⋅ q ⋅ dz ⎨ 2 3 ⎪ M = − EI a ⋅ b ⋅ d θ ⎪⎩ a 2 dz 3 OSS: nel caso di sezioni differenti dalla sezione a doppio T devono essere introdotti i valori opportuni per la rigidezza torsionale G⋅I p/q.


- Pag. 5.56 -

Ponti a travata Riferimenti bibliografici •

Progettazione e costruzione di Ponti con cenni di patologia e diagnostica delle opere esistenti.

M. P. Petrangeli (IV edizione, MASSON, 1997). tecnico-scientifica per la progettazione di • Ponti a struttura d’acciaio. F. de Miranda (Collana tecnico-scientifica strutture in acciaio, Distribuzione CISIA – 1972). (Thomas • Manual of Bridge Engineering, Edited by M.J. Ryall, G.A.R. Parke and J.E. Harding (Thomas Telford, 2000). , Edited by W.F. Chen and L. Duan (Boca Raton: CRC Press, • Bridge Engineering Handbook 2000). • ENV 1993-1-7:2002. Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte1-7: Regole generali - Regole supplementari per lastre ortotrope caricate al di fuori del loro piano. • ENV 1993-2:2002. Eurocodice 3 - Progettazione delle strutture di acciaio - Parte 2: Ponti di acciaio. Euro codice 2 - Eurocodice 2 - Progettazione delle strutture di calcestruzzo • ENV 1992-2:2006. Eurocodice Parte 2: Ponti di calcestruzzo - Progettazione e dettagli costruttivi.


- Pag. 5.57 -

05 Costruzione Di Ponti 2008-09 Rev.2

Recommend Documents