04 CAP LRV Metodo Empirico Mecanicista[1]

PAVIMENTOS

Luis Ricardo Vásquez Varela

4. MÉTODO EMPÍRICO – MECANICISTA 4.1.

INTRODUCCIÓN

Los modelos matemáticos son las herramientas mediante las cuales los ingenieros aplican principios científicos a la solución de problemas de ingeniería, aún con el beneficio de las experiencias pasadas. La solución se basa en: (1) los requerimientos físicos de una estructura para soportar las cargas externas, las deformaciones y los esfuerzos en los elementos, y (2) el comportamiento mecánico de los materiales de acuerdo con las leyes básicas de la mecánica que gobiernan el movimiento y las fuerzas. En ese orden de ideas, un modelo matemático se compone de tres sub modelos: • • •

El equilibrio del sistema de pavimento bajo la influencia de cargas externas. Una evaluación de los esfuerzos y deformaciones def ormaciones en los elementos del pavimento para una condición dada de soporte. Una caracterización de las propiedades fundamentales de los materiales del pavimento y su efecto en el equilibrio y estabilidad de la estructura del mismo.

El desarrollo inicial de los modelos matemáticos para pavimentos se ajustó al segundo sub modelo. En 1884 Hertz propuso un método matemático para analizar una losa elástica soportada por un líquido. En 1926 Westergaard simplificó la manipulación matemática para su aplicación práctica en problemas de diseño. En 1951 Pickett y Ray introdujeron el uso de cartas de influencia y redujeron de forma substancial los cálculos de diseño. Al mismo tiempo, muchos investigadores, junto con la Portland Cement Association (PCA), hicieron contribuciones significativas sobre las propiedades fundamentales del concreto de cemento Portland. La teoría de Westergaard y las cartas de influencia se convirtieron en sinónimos del modelo matemático de pavimento por varias décadas. La falta de equilibrio del sistema de pavimento fue considerada de forma posterior por Burmister en 1945. Burmister no enfatizó en los trabajos anteriores de Boussinesq (1885), quien resolvió las ecuaciones de equilibrio mediante polinomios, y se enfocó en soluciones más refinadas. Hasta la publicación de las extensas listas de coeficientes tabulados por Jones en 1962 no se desarrolló ninguna apreciación especial de parte de los ingenieros hacia la aplicación de la teoría de capas. Mientras tanto, muchos investigadores dirigieron sus esfuerzos hacia el desarrollo de sistemas multicapa más complicados y se empequeñecieron frente al uso del computador. El uso de los sistemas de capas no es suficiente para resolver los problemas de pavimentos. Debe complementarse con el segundo y tercer modelos matemáticos para analizar las condiciones de los componentes del pavimento. El concepto de una aproximación totalmente mecanicista de diseño no es nuevo, pero hasta hace pocos años había recibido escasa atención por parte de los ingenieros al ser considerado como un proceso complejo basado en los intrincados hallazgos de algunas instituciones académicas (Preston, 1997). Existen numerosas aproximaciones al llamado “Método Empírico - Mecanicista de Diseño de Pavimentos” que van desde tratados de cierta extensión como “Mechanistic Design Concepts for Conventional Flexible Pavements” (Elliot y Thompson, 1985) hasta artículos de algunas páginas que resumen experiencias locales como “Mechanistic – Empirical Design of Bituminous Roads: An Indian Perspective” (Das & Pandey, 1999). En el caso de Elliot y Thompson el diseño mecanicista mecanicista de pavimentos es un proceso en el cual se analizan la respuesta a la carga y las características de comportamiento ( performance performance) de varios sistemas de pavimento. Basado en dichos análisis se escoge una combinación de espesores y materiales para suministrar el nivel de 4–1


PAVIMENTOS

servicio deseado de acuerdo con el tránsito predicho. Se ha mencionado el tránsito de forma explícita pero los elementos del procedimiento de diseño mecanicista abarcan además los efectos climáticos, el modelo estructural y la respuesta del pavimento, la caracterización de los materiales, las funciones de transferencia y el análisis del comportamiento para seleccionar el sistema de pavimento a construir. La Figura 4.1 ilustra las relaciones entre los mencionados componentes.

ENTRADAS CARACTERIZACIÓN DE LOS MATERIALES Materiales del Pavimento Suelos de Subrasante TRÁNSITO CLIMA

MODELO ESTRUCTURAL

RESPUESTA DEL PAVIMENTO σ, ε, ∆

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

O Ñ E S I D E D S E N O I C A R E T I

COMPORTAMIENTO DEL PAVIMENTO DISEÑO FINAL

Figura 4.1. Componentes Componentes del proceso de diseño mecanicista (Elliot y Thompson, Thompson, 1985). El término “empírico” aparece en definiciones más recientes y se refiere a la combinación de la modelación mecánica (teoría multicapa) con las la s observaciones del comportamiento de pavimentos existentes para determinar el espesor de uno nuevo de acuerdo con unas condiciones de diseño (Timm, Birgisson, Newcomb, 1998). La parte empírica del diseño utiliza las reacciones del pavimento para predecir la vida del mismo basada en observaciones hechas en campo. Así, el término “empírico” se debe a la definición de las funciones de transferencia a partir de datos reales. Otra característica importante del diseño empírico – mecanicista es la capacidad de adaptación a los nuevos desarrollos en el diseño de pavimentos basándose principalmente en la mecánica de los materiales (Timm, Birgisson, Newcomb, 1998). Sin embargo, no debe olvidarse que la experiencia acumulada limita los parámetros para la interpretación de los nuevos desarrollos, siendo esto primordial para las nuevas configuraciones de carga, las cuales deben transformarse a estándares definidos si se pretende enriquecer la información obtenida en diferentes lugares y tiempos como es el caso c aso de los ensayos viales.

4.2.

ECUACIONES GENERALES DE EQUILIBRIO

Existen dos clases de fuerzas externas que pueden actuar sobre los cuerpos. Las fuerzas distribuidas sobre la superficie del cuerpo, tal como la presión hidrostática, se denominan fuerzas de superficie. Las fuerzas distribuidas en el volumen del cuerpo, tales como las fuerzas gravitacionales y magnéticas, se denominan fuerzas de cuerpo. Al estudiar el equilibrio de los cuerpos bajo una condición de carga estática no se consideran 4-2


PAVIMENTOS

servicio deseado de acuerdo con el tránsito predicho. Se ha mencionado el tránsito de forma explícita pero los elementos del procedimiento de diseño mecanicista abarcan además los efectos climáticos, el modelo estructural y la respuesta del pavimento, la caracterización de los materiales, las funciones de transferencia y el análisis del comportamiento para seleccionar el sistema de pavimento a construir. La Figura 4.1 ilustra las relaciones entre los mencionados componentes.

ENTRADAS CARACTERIZACIÓN DE LOS MATERIALES Materiales del Pavimento Suelos de Subrasante TRÁNSITO CLIMA

MODELO ESTRUCTURAL

RESPUESTA DEL PAVIMENTO σ, ε, ∆

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

O Ñ E S I D E D S E N O I C A R E T I

COMPORTAMIENTO DEL PAVIMENTO DISEÑO FINAL

Figura 4.1. Componentes Componentes del proceso de diseño mecanicista (Elliot y Thompson, Thompson, 1985). El término “empírico” aparece en definiciones más recientes y se refiere a la combinación de la modelación mecánica (teoría multicapa) con las la s observaciones del comportamiento de pavimentos existentes para determinar el espesor de uno nuevo de acuerdo con unas condiciones de diseño (Timm, Birgisson, Newcomb, 1998). La parte empírica del diseño utiliza las reacciones del pavimento para predecir la vida del mismo basada en observaciones hechas en campo. Así, el término “empírico” se debe a la definición de las funciones de transferencia a partir de datos reales. Otra característica importante del diseño empírico – mecanicista es la capacidad de adaptación a los nuevos desarrollos en el diseño de pavimentos basándose principalmente en la mecánica de los materiales (Timm, Birgisson, Newcomb, 1998). Sin embargo, no debe olvidarse que la experiencia acumulada limita los parámetros para la interpretación de los nuevos desarrollos, siendo esto primordial para las nuevas configuraciones de carga, las cuales deben transformarse a estándares definidos si se pretende enriquecer la información obtenida en diferentes lugares y tiempos como es el caso c aso de los ensayos viales.

4.2.

ECUACIONES GENERALES DE EQUILIBRIO

Existen dos clases de fuerzas externas que pueden actuar sobre los cuerpos. Las fuerzas distribuidas sobre la superficie del cuerpo, tal como la presión hidrostática, se denominan fuerzas de superficie. Las fuerzas distribuidas en el volumen del cuerpo, tales como las fuerzas gravitacionales y magnéticas, se denominan fuerzas de cuerpo. Al estudiar el equilibrio de los cuerpos bajo una condición de carga estática no se consideran 4-2

PAVIMENTOS


las fuerzas de cuerpo y las fuerzas de superficie se resuelven en componentes de esfuerzo paralelas a los ejes coordenados. En un sistema de coordenadas cilíndricas los esfuerzos que actúan en los seis lados de un elemento cúbico consisten de tres esfuerzos normales, σr, σθ, y σz, y seis esfuerzos cortantes τrθ, τθr, τrz, τzr, τθz, τzθ como se observa en la Figura 4.2. Considerando el equilibrio del elemento, los componentes del esfuerzo cortante en dos lados perpendiculares del elemento cúbico son iguales y el número total de componentes de esfuerzo se reduce a seis, a saber σr, σθ, σz, τrθ = τθr, τrz = τzr, y τθz = τzθ.

x θ

y

θ

d

σz τzθ

τθz τrz

σθ τθr

z

τrz τr θ

σr

Figura 4.2. Estado general de esfuerzos esfuerzos de un elemento en un sistema sistema de coordenadas cilíndricas. Al estudiar el equilibrio de un cuerpo elástico se asume que el cuerpo c uerpo no se moverá como un cuerpo c uerpo rígido y, por lo tanto, no es posible el desplazamiento de las partículas del cuerpo sin la deformación del mismo. Los componentes de la deformación en un elemento cúbico pueden denotarse como u, v y w en las direcciones radial, tangencial y z, respectivamente. Los componentes de la deformación unitaria son:

u ∂u ∂u ∂w ε θ = + ε z = Ecuación 4.1.a. r r ∂θ ∂r ∂ z ∂u ∂v v ∂u ∂w ∂v ∂w χ r θ = χ zθ = Ecuación 4.1.b. + − χ rz = + + r ∂θ ∂r r ∂ z ∂r ∂ z r ∂θ ε r =

El equilibrio del elemento puede establecerse sí y sólo sí las siguientes ecuaciones diferenciales de equilibrio se satisfacen: ∂σ r 1 ∂τ r θ ∂τ rz σ r − σ θ + + + = 0 Ecuación 4.2.a. r ∂r r ∂θ ∂ z ∂τ rz 1 ∂τ θ z ∂σ z τ rz + + + = 0 Ecuación 4.2.b. r ∂r r ∂θ ∂ z ∂τ r θ 1 ∂σ θ ∂τ θ z 2τ r θ + + + = 0 Ecuación 4.2.c r ∂r r ∂θ ∂ z 4–3


PAVIMENTOS

En este punto es conveniente introducir las funciones de esfuerzo φ y ψ para resolver las ecuaciones matemáticas. Las ecuaciones de equilibrio pueden entonces expresarse en componentes de esfuerzo: ∂  2 ∂ 2φ  2∂  ∂ψ 1  − φ  Ecuación 4.3.a. σ r =  µ ∇ φ − 2  +  ∂r  dr  r ∂ϑ  ∂r r  ∂  2 1 ∂ 2φ 1 ∂φ  2 ∂  ∂ψ 1  − σ θ =  µ ∇ φ − 2 − − ψ  Ecuación 4.3.b.  ∂ z  r ∂θ 2 r ∂r  r ∂ϑ  ∂r r  ∂  ∂ 2φ  2 σ z = (2 − µ )∇ φ − 2  Ecuación 4.3.c. ∂ z  ∂ z 

1 ∂ 2  φ ∂φ   ∂ 2ψ ∂ 2ψ  τ r θ =  −  − 2 2 − 2  Ecuación 4.3.d. r ∂θ ∂ z  r ∂r   ∂r ∂ z  1 ∂  ∂ 2φ  ∂ 2ψ 2 (1 − µ )∇ φ − 2  − 2 Ecuación 4.3.e. τ θ z = r ∂θ  ∂ z  ∂r ∂  ∂ 2φ  1 ∂ 2ψ 2 τ rz = (1 − µ )∇ φ − 2  + r ∂θ ∂ z Ecuación 4.3.f. ∂r  ∂ z 

Donde µ es la relación de Poisson y el símbolo 2 denota la operación:

1 ∂2 ∂2 1 ∂ ∂2 Ecuación 4.4. ∇ = 2 + + + ∂r r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂ z 2 2

Se identifican las deformaciones u, v y w en r , φ y ψ como como se ilustra a continuación:

1 + µ  ∂ 2φ 2 ∂ψ   − 2 +  Ecuación 4.5.a. u= E  r ∂θ  ∂r 1 + µ  1 ∂ 2φ ∂ψ   −  Ecuación 4.5.b. v= −2 E  r ∂θ ∂ z ∂r  1 + µ  ∂ 2φ  2 w= 2(1 − µ )∇ φ − 2  Ecuación 4.5.c. E  ∂ z  Donde E es es el módulo de elasticidad o módulo de Young del material. Una solución única a estas ecuaciones requiere que las funciones de esfuerzo φ y ψ satisfagan satisfagan las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad, lo cual se logra si: 4-4

PAVIMENTOS


∇ 4φ = 0 ∇ 4ψ = 0 Ecuación 4.6.

Los análisis de esfuerzos son de importancia práctica para los sistemas de pavimentos y corresponden a un sólido de revolución deformado simétricamente con respecto al eje. Las deformaciones son simétricas respecto al eje z y por ello los componentes de esfuerzo son independientes del ángulo θ y todas las derivadas respecto a θ desaparecen. Los componentes de esfuerzo cortante τrθ y τθr desaparecen también del sistema a causa de la simetría del mismo como se ilustra en la Figura 4.3.

z

y

θ

r

θ

d

d

z

d r

σz

z

σθ

σr τrz

Figura 4.3. Estado de esfuerzos de un elemento en el sistema de coordenadas cilíndricas bajo una carga simétrica. Así, las Ecuaciones 4.2 se reducen a: ∂σ r ∂τ rz σ r − σ θ + + = 0 Ecuación 4.7.a. r ∂r ∂ z ∂τ rz ∂σ z τ rz + + = 0 Ecuación 4.7.b. r ∂r ∂ z

Los componentes de deformación unitaria para la deformación axialmente simétrica se determinan mediante las Ecuaciones 4.1: ε r =

∂u ∂w ∂u ∂w u + Ecuación 4.8. ε θ = ε z = χ rz = ∂r ∂ z ∂ z ∂r r

En el caso general tridimensional, en coordenadas rectangulares, cada uno de los seis componentes de la deformación unitaria (tres normales y tres cortantes) pueden expresarse en términos de los tres componentes de 4–5


PAVIMENTOS

deformación; por lo tanto, estas ecuaciones no son independientes y existen tres relaciones entre los seis componentes del esfuerzo. Dichas relaciones se denominan condiciones de compatibilidad y pueden expresarse en términos de esfuerzos utilizando la Ley de Hooke. En coordenadas cilíndricas con simetría axial las condiciones de compatibilidad son:

2 1 ∂2 (σ + σ + σ ) = 0 Ecuación 4.9.a. ∇ σ r − 2 (σ r − σ θ ) + 1 + µ ∂r 2 r θ z r 2

∇ 2σ θ −

2 1 1 ∂ (σ r − σ θ ) + (σ + σ + σ ) = 0 Ecuación 4.9.b. 2 1 + µ r ∂r r θ z r

Los componentes de esfuerzo y deformación pueden expresarse en términos de una función de esfuerzo φ de tal forma que las Ecuaciones 4.1.a y 4.1.b quedan idénticamente satisfechas. Esas expresiones son: Esfuerzos: ∂  ∂ 2φ  2 σ z = (2 − µ )∇ φ − 2  Ecuación 4.10.a. ∂ z  ∂ z  ∂  2 ∂ 2φ  σ r =  µ ∇ φ − 2  Ecuación 4.10.b. ∂ z  ∂r  σ θ =

1 ∂φ  ∂  2  µ ∇ φ −  Ecuación 4.10.c. r ∂r  ∂ z 

∂  ∂ 2φ  2 τ rz = (1 − µ )∇ φ − 2  Ecuación 4.10.d. ∂r  ∂ z 

Deformaciones:

1 + µ  ∂ 2φ 1 ∂φ  2 (1 − 2 µ )∇ φ + 2 + Vertical w =  Ecuación 4.10.e. E  ∂r r ∂r  1 + µ  ∂ 2φ    Ecuación 4.10.f. Horizontal u = − E  ∂r ∂ z  Nuevamente, puede obtenerse una solución única sí y sólo sí la función de esfuerzos satisface las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, lo cual se logra mediante una función de esfuerzo φ que satisfaga la Ecuación 4.11:

 ∂ 2 1 ∂ ∂ 2  ∂ 2φ 1 ∂φ ∂ 2φ   2 + + 2  2 + + 2  = ∇ 2∇ 2φ = 0 Ecuación 4.11.  ∂r r ∂r ∂ z  ∂r r ∂r ∂ z  El problema entonces se reduce a la solución de esta ecuación diferencial parcial de acuerdo con las condiciones de frontera en las superficies, las interfaces y a una profundidad infinita. 4-6

PAVIMENTOS

4.3.


TEORÍA DE CAPAS

Dado que los pavimentos se componen de varias capas de diferentes materiales es natural considerarlos dentro de la teoría de los sistemas multicapa. Se han realizado esfuerzos importantes en el análisis de esfuerzos y deformaciones en sistemas multicapa como el ilustrado en la Figura 4.4 y la mayor parte de estos análisis incluyen las siguientes presunciones: • •

•

Cada capa se compone de materiales que son isotrópicos, homogéneos y sin peso. El sistema actúa como un sistema compuesto, es decir, existe una continuidad de los esfuerzos o deformaciones a través de las interfaces dependiendo de las presunciones que se hagan sobre el estado de las mismas. La mayor parte de las soluciones asumen que los materiales son linealmente elásticos.

a

a

p

r µ1, h 1, E 1

Capa superior

µ2, h 2, E 2

Capas intermedias

µi , h i , E i µn-1 , h n-1 , E n-1 µn , h n , E n

Capa inferior z

Figura 4.4. Sistema generalizado de capas. La primera solución para un sistema generalizado multicapa elástico fue presentada por Burmister. En su serie de artículos, Burmister formuló el problema de los sistemas elásticos de N capas y desarrolló soluciones específicas para sistemas de dos y tres capas. El trabajo de Burmister se limitó a cargas uniformes aplicadas de forma normal sobre un área circular. Schiffman extendió los trabajos de Burmister para formas más generalizadas de carga asimétrica, incluyendo esfuerzos cortantes en la superficie. La complejidad de los cálculos necesarios hizo impracticable estas soluciones en el pasado y por ello una serie de investigadores prepararon tablas y ábacos para solucionar sistemas de dos y tres capas. Posiblemente, la tabulación de coeficientes más extensa fue la lograda por Jones, la cual fue representada mediante una serie de gráficos tridimensionales por Peattie. Las gráficas permitían una interpolación visual para solucionar sistemas que no estaban explícitamente resueltos. La Ecuación 4.11 es una ecuación diferencial de cuarto orden en la cual los esfuerzos y deformaciones se obtienen de un proceso de integración asociado a cuatro constantes de integración que deben determinarse de acuerdo con las condiciones de frontera y continuidad en las interfaces. Sean ρ = r / H y λ = z / H , en las cuales 4–7


PAVIMENTOS

H es la distancia desde la superficie hasta la interface superior de la capa inferior, se puede obtener por sustitución la siguiente expresión:

H 3 J 0 (m ρ ) [ Ai e −m(λ i −λ ) − Bi e −m (λ −λ i 1 ) + C i mλ e −m (λ i −λ ) − Di mλ e −(λ −λ i 1 ) ] Ecuación 4.12. φ i = 2 m −

−

La Ecuación 4.12 corresponde a la función de esfuerzo para la capa i que satisface la Ecuación 4.11 y en la cual J 0 es una función de Bessel de primera clase y orden 0; m es un parámetro; y A, B, C , D son constantes de integración determinadas de las condiciones de frontera y continuidad en las interfaces. El subíndice i varía de 1 a n y se refiere a los valores correspondientes a la capa iésima. Al sustituir la Ecuación 4.12 en las Ecuaciones 4.10 (a, b, c, d, e & f) se obtiene:

(σ z *) i = − mJ 0 ( m ρ ) [ Ai − C i (1 − 2 µ i − mλ )]e − m ( λ i −λ ) + [ Bi + Di (1 − 2 µ i + mλ )]e − m ( λ −λ i 1 ) Ec. 4.13.a. −



J 1 ( m ρ ) 



ρ

(σ r *) i = mJ 0 (m ρ ) −

− m ( λ i − λ ) + [ Bi − Di (1 − mλ )]e −m ( λ −λ i 1 ) } {[ Ai + C i (1 + mλ )]e Ec. 4.13.b.  −

+ 2 µ i mJ 0 ( m ρ )[C i e − m ( λ i − λ ) − Di e − m ( λ −λ i −1 ) ]

(σ θ *) i =

J 1 ( m ρ ) ρ

{[ Ai + C i (1 + mλ )]e −m (λ −λ ) + [ Bi − Di (1 − mλ )]e − m( λ −λ ) } i −1

i

Ec. 4.13.c.

+ 2 µ i mJ 0 ( m ρ )[C i e − m ( λ i − λ ) − Di e − m ( λ −λ i −1 ) ]

(τ rz *) i = mJ 1 (m ρ ){[ Ai + C i (2 µ i + mλ )]e − m ( λ i −λ ) − [ Bi + Di (2 µ i − mλ )]e − m (λ −λ i 1 ) } Ec. 4.13.d. −

(w*) i = −

1 + µ i J 0 ( m ρ ){[ Ai − C i (2 − 4 µ i − mλ )]e − m ( λ i − λ ) − [ Bi + Di (2 − 42 µ i + mλ )]e − m ( λ −λ i 1 ) } Ec. 4.13.e. E i

(u*) i = −

−

1 + µ i J 1 (m ρ ){[ Ai + C i (1 + mλ )]e − m ( λ i −λ ) + [ Bi − Di (1 − mλ )]e − m ( λ −λ i 1 ) } Ec. 4.13.f. E i −

En las cuales, como se ha indicado previamente, σz es el esfuerzo vertical en la dirección z; σr es el esfuerzo radial o en la dirección r ; σθ es el esfuerzo tangencial; τrz es el esfuerzo cortante; w es la deformación vertical o en la dirección z; u es la deformación radial o en la dirección r ; y J 1 es una función de Bessel de primera clase y orden 1. El subíndice fuera de los paréntesis indica la capa iésima y el asterisco (*) indica que estos esfuerzos y deformaciones no son los reales debidos a una carga q, distribuida uniformemente sobre un área circular de radio a, sino los producidos a una carga vertical de – mJ 0(m ρ ), como se observa en la Ecuación 4.13.a cuando el término entre llaves {} se hace igual a 1.0. Para encontrar los esfuerzos y deformaciones debidos a una carga constante q, distribuida sobre un área circular de radio a, se emplea el método de la transformada de Hankel, la cual para dicha carga es: α

f ( m) = ∫0 q ρ J 0 (m ρ ) d ρ =

qα J (mα ) Ecuación 4.14. m 1

4-8

PAVIMENTOS


Donde α = a / H . La inversión de Hankel de f ( m) es: ∞

∞

0

0

q ( ρ ) = ∫ f ( m)mJ 0 ( m ρ )dm = qα ∫ J 0 ( m ρ ) J 1 ( mα )dm Ecuación 4.15. Si en las Ecuaciones 4.13 ( R*) es el esfuerzo o deformación debido a la carga – mJ 0(m ρ ), (R) es el esfuerzo o deformación debido a la carga q y se consideran negativas las tensiones, entonces: ∞

( R*) J 1 (mα ) dm Ecuación 4.16. m 0

( R ) = qα ∫

Para resolver la Ecuación 4.16 el análisis de los sistemas de capas requiere de los siguientes pasos: • • • •

Asigne valores sucesivos de m, de 0 a un número positivo muy grande, hasta que la Ecuación 4.16 converja. Para cada valor de m, determine las constantes de integración, Ai, Bi, C i, y Di, de las condiciones de frontera y continuidad de las interfaces. Substituya estas constantes en las Ecuaciones 4.13 para obtener (R*). Determine (R) en la Ecuación 4.16 mediante integración numérica.

En la integración numérica los ceros de J 0(m ρ ) y J 1(mα ) se determinan mediante una fórmula de Gauss de cuatro puntos. La integral entre estos dos ceros se obtiene con la misma herramienta de cálculo. Las condiciones de frontera y de continuidad en las interfaces que sirven para obtener las constantes de integración A, B, C y D, se analizan de la siguiente forma: En la frontera superior (superficie) i = 1, λ = 0 y las condiciones de frontera se plantean como:

(σ z *)1 = − mJ 0 (mρ ) Ecuación 4.17.a. (τ rz *)1 = 0 Ecuación 4.17.b. Lo cual se expresa de forma matricial en la Ecuación 4.18:

e − mλ i  − mλ i e

1   A1  − (1 − 2 µ i )e − mλ i 1 − 2 µ 1  C 1  1    =   Ecuación 4.18.   +  2 µ 1   D1  0 − 1  B1   2 µ i e − mλ i

Cuando se asume que las capas están totalmente ligadas, los esfuerzos vertical y de cortante y las deformaciones vertical y radial son las mismas a lo largo de cada punto de la interface. De tal forma, cuando λ = λ i las condiciones de continuidad se plantean como:

(σ z *)i = (σ z *)i +1 Ecuación 4.19.a. (τ rz *)i = (τ rz *)i +1 Ecuación 4.19.b. 4–9


PAVIMENTOS

( w*)i = ( w*)i +1 Ecuación 4.19.c. (u*)i = (u*)i +1 Ecuación 4.19.d. Lo cual se expresa matricialmente en la Ecuación 4.20:

1 F i 1 − F i  1 F i  1 − F i  F i +1  F  i +1  Ri F i+1   Ri F i+1

− (1 − 2 µ i − mλ i )

(1 − 2 µ i + mλ i ) F i   Ai  2 µ i + mλ i (2 µ i − mλ i ) F i   Bi   =  C i  1 + mλ i − (1 − mλ i ) F i  − (2 − 4 µ i − mλ i ) − (2 − 4 µ i + mλ i ) F i    Di  1 1 − 2 µ i +1 + mλ i   Ai +1  − (1 − 2 µ i +1 − mλ i ) F i +1   B  (2 µ i +1 + mλ i ) F i +1 2 µ i +1 − mλ i i −1   i +1   C i+1  (1 + mλ i ) F i +1 Ri − (1 − mλ i ) Ri  − Ri − (2 − 4 µ i +1 − mλ i ) Ri F i +1 − (2 − 4 µ i +1 + mλ i ) Ri    Di +1 

Ecuación 4.20.

Donde:

F i = e − m (λ i −λ i 1 ) Ecuación 4.21.a. −

Ri =

E i 1 + µ i +1 Ecuación 4.21.b. E i +1 1 + µ i

Dado que los esfuerzos y deformaciones se desvanecen cuando λ se aproxima al infinito, puede concluirse de la Ecuación 4.12 para la capa inferior (i = n) que:

An = C n = 0 Ecuación 4.22. Para un sistema de n capas, existen 4n constantes de integración. Con An = C n = 0, las restantes 4n – 2 constantes pueden determinarse de 4n – 2 ecuaciones, dos (2) de la Ecuación 4.18 y 4(n - 1) de la Ecuación 4.21. Si la interface iésima, ó λ = λ i, no está ligada la continuación de los esfuerzos cortantes y las deflexiones radiales deben substituirse por esfuerzo cortante cero a ambos lados de la interface:

(σ z *)i = (σ z *)i +1 Ecuación 4.23.a. ( w*)i = ( w*)i +1 Ecuación 4.23.b. (τ rz *)i = 0 Ecuación 4.23.c. (τ rz *)i +1 = 0 Ecuación 4.23.d. Y así, la Ecuación 4.20 debe reemplazarse por:

4 - 10

PAVIMENTOS


1 F i − (1 − 2 µ i − mλ i ) (1 − 2 µ i + mλ i ) F i   Ai  1 F   B  1 ( 1 ) m m F λ λ + − − i i i    i  = 1 − F i 2 µ i + mλ i (2 µ i − mλ i ) F i  C i     0 0 0 0   Di  Ecuación 4.24. 1 − (1 − 2 µ i+1 − mλ i ) F i +1 1 − 2 µ i +1 + mλ i   Ai +1   F i +1  R F R   (1 + mλ i ) Ri F i +1 − (1 − mλ i ) Ri   Bi +1  i  i i+1    0  C i +1  0 0 0   (2 µ i +1 + mλ i ) F i +1 2 µ i +1 + mλ i   Di +1   F i +1 − 1 Ya que se ha expuesto el fundamento de cálculo, se recuerda que hasta hace poco el método mecanicista solía presentarse acompañado de métodos para simplificar las estructuras reduciendo el número de capas mediante la determinación de espesores equivalentes (Odemark, Ivanov) con el fin de poder utilizar gráficos y tablas elaborados de forma previa para estructuras bicapa (Burmister) o tricapa (Jones). En la actualidad dichas simplificaciones sigue siendo válidas para las condiciones en las cuales fueron formuladas, pero su aplicación se ha reducido y continuará reduciéndose en la medida que los equipos de cálculo aumenten su velocidad de procesamiento. Por ejemplo, en 1993 Yang H. Huang adjuntó a su libro “Pavement Analysis and Design” el software KENLAYER acompañado de algunos ejemplos, uno de los cuales necesitaba “24 horas de tiempo de computadora para analizarlo”, tiempo que para 2001 se ha reducido a 40 segundos (computadora tipo PC con procesador Intel Pentium MMX y sistema operativo Windows 98).

4.4.

CARACTERIZACIÓN DE LOS MATERIALES

La caracterización de los materiales del pavimento requiere la cuantificación de la rigidez del material definida por el módulo resiliente de elasticidad y la relación de Poisson. Asimismo, para algunos componentes del pavimento deberá proveerse una ley de fatiga definida por un criterio de falla. La caracterización de los parámetros elásticos de los materiales para pavimentos ha sido realizada por numerosas instituciones, entre otras causas, por la variabilidad inherente de cada material. Por lo tanto, es claro que la validez de la aplicación de la teoría de capas elásticas depende de la calidad de la caracterización de los materiales disponibles para la construcción. A continuación se presenta una guía general sobre las propiedades de los materiales de acuerdo con diferentes fuentes de información; sin embargo, siempre deberá propenderse por la obtención de estos parámetros para los materiales particulares de cada proyecto.

4.4.1. Concreto asfáltico. El término concreto asfáltico se refiere a la mezcla compactada de asfalto y agregados diseñada de acuerdo con una práctica estandarizada como Marshall, Hveem o SUPERPAVE. El módulo de estos materiales se determina mediante ensayos triaxiales repetitivos, ensayos de tensión indirecta o ensayos de creep. La rigidez de las mezclas asfálticas se ve afectada de forma importante por la intensidad de la carga y la temperatura. El United States Army Corps of Engineers (USACE) recomienda para el diseño de calles y carreteras una frecuencia de carga entre 2 y 4 Hz y una rampa de temperaturas de ensayo de 40°F (4.4 °C), 70°F (21.1°C) y 100 °F (37.8 °C) para establecer la relación módulo – temperatura. El módulo para el cálculo de la estructura corresponde al aplicable a la temperatura del pavimento de acuerdo con la información climatológica. Las Figuras 4.5 y 4.6 presentan las curvas para corregir la temperatura ambiental y para predecir el módulo del 4 – 11


PAVIMENTOS

concreto asfáltico de acuerdo con las investigaciones realizadas por el USACE. La temperatura ambiente de diseño debe calcularse mediante la Ecuación 4.25. 120

M E T

E SI D E D A R U T A R E P

O T N E MI V A P L E D O Ñ

100

P

T R O S E P S E L E A R A

F ° L A T O

80

60

40

20

0

0

60 80 100 20 40 TEMPERATURA AMBIENTE DE DISEÑO °F

120

Figura 4.5. Relación entre la temperatura promedio de diseño del pavimento y la temperatura ambiente. °TAmb =

°TDMax − °TDM

2

Ecuación 4.25

Donde: °TAmb: Temperatura ambiente para diseño, °F. °TDMax: Temperatura Promedio Diaria, valor máximo, °F. °TDM: Temperatura Promedio Diaria, valor promedio, °F. [1°C = (°F-32)/1.8]. 10 7

I

S P ,

C N O C L E D O L U D

O CI T L Á F S A O T E R

10 6

FRECUENCIA DE CARGA 20 Hz 15 Hz

8 Hz

10 5

4 Hz

Ó M

2 Hz 10 4 30

1 Hz 40

50

60 70 80 90 100 110 120 TEMPERATURA MEDIA DEL PAVIMENTO °F

130

140 150

Figura 4.6. Predicción del módulo del concreto asfáltico para capas asfálticas. [1 psi = 6.894757 kPa]. 4 - 12

PAVIMENTOS


Otra experiencia en el estudio de la relación entre el módulo de elasticidad y la temperatura de los concretos asfálticos se presenta en la Figura 4.7, fue establecida por Timm y otros (1999) con información del Ensayo Vial de Minnesota (MnROAD) y fue incorporada dentro del programa de diseño ROADENT para computadora. 10,000 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 ) a P M ( C A

4,000

3,000

E

2,000

1,000 0

5

10

15

20

25

30

35

40

Temperatura de la mezcla (°C)

Figura 4.7. Relación entre el módulo de elasticidad EAC y la temperatura de la mezcla asfáltica. La curva de la Figura 4.7 corresponde a la Ecuación 4.26 y debe ser utilizada con precaución pues, como se ha mencionado, representa las condiciones encontradas sólo en el Ensayo Vial de Minnesota.

E AC = 16,693.4 × e

 (T MEZCLA + 26.2 )2    −1, 459.7  

Ecuación 4.26.

Donde: EAC: Módulo de elasticidad de la mezcla asfáltica (MPa). TMEZCLA: Temperatura de trabajo de la mezcla asfáltica (°C). También es interesante presentar la investigación realizada por el Asphalt Institute para el desarrollo del “Thickness Design Manual MS-1” en 1982, la cual se resume en la ecuación modificada de Witczak para la predicción del módulo dinámico |E*| de las mezclas asfálticas (Ecuación 4.27).

4 – 13


PAVIMENTOS

 P200  log | E * |= 5.553833 + 0.028829 ×  0.17033  − 0.03476 × (V V )  f  + 0.070377 × (η 70° F ,106 ) + 0.000005 × {Tp [1.3+0.49825×log ( f )] × Pac

0.5

}

 [1.3+0.49825×log ( f )] Pac 0.5  − 0.00189 × Tp × 1.1  f    1  + 0.931757 ×  0.02774   f 

Ecuación 4.27.

Donde: |E*|: Módulo dinámico (rigidez) del concreto asfáltico (psi = kPa/6.8948). P200: Porcentaje del agregado que pasa el tamiz No.200 (%). f: Frecuencia (Hz). VV: Porcentaje de vacíos de aire de la mezcla (%). η70°F, 106: Viscosidad absoluta a 70°F en millones (106) de poises. Pac: Contenido de asfalto en porcentaje del peso total de la mezcla (%). Tp: Temperatura de la mezcla (°F). Si no se dispone de información sobre la viscosidad η70°F, 106, se puede utilizar la siguiente relación para obtenerla: −2.1939 η 70° F ,10 6 = 29,508.2 × pen77 ° F Ecuación 4.28.

Donde: η70°F, 106: Viscosidad absoluta a 70°F en millones (106) de poises. pen 77°F: Penetración del asfalto a 77°F (25°C). Es evidente que el uso rutinario de las Ecuaciones 4.27 y 4.28 puede resultar engorroso a menos que se utilice una planilla de cálculo. Considerando lo anterior, en la Figura 4.8 se representa el módulo dinámico |E*| para cuatro valores de frecuencia de aplicación de la carga (3, 5, 10 y 15 Hz.) en un rango de temperaturas entre 68°F y 86°F. Los valores de las variables empleadas en la solución de la ecuación de Witczak en la Figura son: • • • •

Porcentaje de material que pasa el tamiz No.200 = 6.0%. Porcentaje de vacíos de aire en la mezcla = 4.0%. Porcentaje de asfalto = 5.5%. Penetración del asfalto a 77°F = 76 pen.

Los cuales corresponden a los valores esperados de una mezcla asfáltica colombiana diseñada con la metodología Marshall, empleando asfalto de la refinería de Barrancabermeja y con una granulometría para 4 - 14

PAVIMENTOS


MDC– 1 ó MDC–2. El contenido de asfalto de 5.5.% se toma como un posible óptimo de diseño para efectos de cálculo. 1,000,000 900,000 800,000 700,000 ) i s p ( | * E | a l c z e m a l e d o c i m á n i d o l u d ó M

600,000

15 Hz.

500,000 10 Hz. 400,000

300,000

5 Hz.

3 Hz.

200,000

100,000 65

70

75

80

85

Temperatura de la mezcla (°F) P200 = 6.0%.

VV = 4%.

% asfalto = 5.5%.

Asfalto 76 pen.

Figura 4.9. Relación entre el módulo dinámico |E*| y la temperatura de la mezcla asfáltica.

4 – 15

90


PAVIMENTOS

1.5 X 10 5 10 5

² /c g K

m

,

A L C Z E M A L E D Z E DI GI R

10 4

10 3 -20

-10

0

10 20 30 40 50 TEMPERATURA DE LA MEZCLA °C

60

70

80

Figura 4.7. Relación entre la rigidez de la mezcla y su temperatura. Capa de rodadura especificación MOPT 70. Asfalto de Apiay. 10 Hz. (1 Kg./cm² = 98.0665 KPa) 10,000 Briquetas MDC-1 Briquetas MDC-2 MDC-1 MDC-2

) a P M ( A C

E O L U D Ó M

1,000

100 18

20

22

24

26

28

30

32

TEMPERATURA (°C)

Figura 4.8. Variación de la resistencia de mezclas asfálticas tipo MDC-1 y MDC-2 (INV 450-02) con la temperatura (1MPa = 1,000 kPa). 4 - 16

PAVIMENTOS


En las mezclas asfálticas colombianas se han encontrado propiedades similares a las ilustradas en la Figura 4.6 tal como se observa en las Figuras 4.7 y 4.8 donde se presentan los valores de rigidez de la capa de rodadura elaborada con la especificación MOPT 1970 (prescrita) y la variación del módulo de elasticidad con la temperatura de mezclas asfálticas tipo MDC-1 y MDC-2 (Instituto Nacional de Vías Artículo 450-02) establecida por Luis Carlos Vásquez Torres mediante el ensayo de tensión indirecta. Por ejemplo, para una temperatura de 20°C y una frecuencia de 10 Hz se obtiene un módulo de elasticidad de 650,000 psi (4,480 MPa) en la Figura 4.6; un módulo de elasticidad de 45,000 Kg./cm² (4,413 MPa) para rodadura MOPT 70 en la Figura 4.7; y un módulo de elasticidad de 4,500 MPa para MDC-2 de la Figura 4.8. Los tres valores tienen una diferencia inferior al 2.0% entre ellos.

4.4.2. Materiales granulares no tratados. Las expresiones “material de capa de base no tratada” y “material de capa de subbase no tratada” se refieren a aquellos materiales que cumplen una especificación determinada, por ejemplo INVIAS Artículos 300, 320 y 330, para materiales de base y subbase para calles y carreteras. Los módulos resilientes de los materiales granulares no tratados deben establecerse mediante ensayos triaxiales cíclicos que permitan establecer la ecuación constitutiva del material de la forma:

M R = k 1 × θ k 2 Ecuación 4.26 Donde: MR: Módulo resiliente del material granular no tratado. θ: Invariante de esfuerzos. θ = σ1 + σ2 + σ3. k1 y k2: Coeficientes determinado experimentalmente. En el Cuadro 4.1 se presentan los resultados obtenidos por diversos investigadores en el análisis de materiales granulares. Cuadro 4.1. RESUMEN DE RESULTADOS DE LABORATORIO DE ENSAYOS TRIAXIALES CÍCLICOS SOBRE MATERIALES GRANULARES NO TRATADOS Unidades del sistema inglés. INVESTIGADORES MATERIALES k1 k2 Grava parcialmente triturada; roca Hicks 1,600 – 5,000 0.57 – 0.73 triturada Base no tratada. Ensayo Vial de San Hicks y Finn 2,100 – 5,400 0.61 Diego. Allen Grava, roca triturada. 1,800 – 8,000 0.32 – 0.70 Kalchefff y Hicks Roca triturada. 4,000 – 9,000 0.46 – 0.64 Boice, Brown y Pell Caliza bien gradada y triturada. 8,000 0.67 Materiales de base y subbase en U.C. Berkeley 2,900 – 7,750 0.46 – 0.65 servicio. La aplicación directa de la Ecuación 4.26 en el sistema multicapa elástico requiere un tipo de solución iterativa que representa algún grado de complejidad. Debido a esto, diferentes entidades han desarrollado expresiones para calcular los módulos resilientes de las capas granulares no tratadas en función de su espesor y del módulo de la capa subyacente.

4 – 17


PAVIMENTOS

El USACE sugiere la Ecuación 4.27 para calcular el módulo resiliente de las capas de base granular y la Ecuación 4.28 para calcular dicho parámetro en las capas de subbase granular (Figura 4.9).

E n = E n+1 × [1 + 10.52 × log(t ) − 2.10 × log(E n+1 )× log(t )]

Ecuación 4.27.

E n = E n+1 × [1 + 7.18× log(t ) −1.56 × log(E n+1 )× log(t )]

Ecuación 4.28.

Donde: n: Una capa en el sistema de pavimento. En: Módulo resiliente de la capa n (psi). En+1: Módulo resiliente de la capa subyacente a la capa n. t: Espesor de la capa n (pulgadas). La aplicación de las Ecuaciones 4.27 y 4.28 está supeditada a ciertas condiciones: 



La Ecuación 4.27 puede aplicarse para capas de base granular con espesores menores o iguales que 10 pulgadas (25 cm.) Para espesores superiores, la capa de base debe subdividirse en capas menores de espesor aproximadamente igual. La Ecuación 4.28 puede aplicarse para capas de subbase granular con espesores menores o iguales que 8 pulgadas (20 cm.) Para espesores superiores, la capa de subbase debe subdividirse en capas menores de espesor aproximadamente igual. 100,000

90 80 70 60 50 CAPAS DE BASE

40 30

) i s 20 p ( n a p a c a 10,000 l 9 e 8 d 7 o l 6 u d 5 ó M 4

CAPAS DE SUBBASE

10 8 6 4

8 6 4

3

2

1,000

0 0 0 , 1

2

3

4

5

6

7

8

9 0 0 0 , 0 1

20

30

40

50

60

70 80 90 0 0 0 , 0 0 1

Módulo de la capa n+1 (psi)

Figura 4.9. Relación entre los módulos de las capas n y n+1 para varios espesores de capas granulares no tratadas. 4 - 18

PAVIMENTOS


Siguiendo la misma línea de investigación, la empresa SHELL formuló dentro de su procedimiento de diseño de pavimentos una función que correlaciona el módulo de la base granular no tratada con su espesor y el módulo de la subrasante. Dicha relación se presenta en la Ecuación 4.29 y es única para base y subbase (Figura 4.10).

E gb = 0.2 × h30.45 × E sg

Ecuación 4.29.

Donde: Egb: Módulo de la base granular no tratada (MPa). h3: Espesor de la capa granular (mm). Esg: Módulo de la subrasante (MPa). El rango de aplicación de esta ecuación depende de h3 y oscila entre 150 mm y 800 mm de capa granular no tratada. 1,200

h3 = 800 mm

1,000

h3 = 700 mm ) a P M ( r a l u n a r g a p a c a l e d o l u d ó M

h3 = 600 mm h3 = 500 mm

800

h3 = 400 mm h3 = 300 mm

600 h3 = 200 mm h3 = 150 mm

400

200

0 0

50

100

150

200

250

300

Módulo de la subrasante (MPa)

Fig ura 4.10. Módulo de la base granular no tratada de acuerdo con la expresión desarrollada por la SHELL. En la Ecuación 4.30 se presenta la función utilizada por el Instituto del Asfalto para calcular el módulo resiliente efectivo de una capa granular. Dicho módulo se utilizó en el desarrollo de las cartas de diseño de la entidad y, por definición, producirá la misma deformación unitaria por compresión en la subrasante que si se hubiese utilizado el método iterativo mencionado previamente.

4 – 19


PAVIMENTOS

10.447× E sg0.287 × k 10.868 E ua = 0.471 0.041 0.139 h1 × h3 × E 1

Ecuación 4.30.

Donde: Eua: Módulo resiliente efectivo de la capa granular no tratada (psi). Esg: Módulo de la subrasante (psi). k1: Coeficiente experimental entre 8,000 y 12,000 psi (Cuadro 4.1). h3: Espesor de la capa granular no tratada (pulgadas). h1: Espesor total de la capa asfáltica (pulgada). E1: Módulo de la capa asfáltica (psi). La Ecuación 4.30 se representa gráficamente en la Figura 4.11 para un valor de k 1 de 10,000 psi (69 MPa) y una capa asfáltica de 4 pulgadas (10 cm.) de espesor y un módulo de 650,000 psi (4,482 MPa). 50,000

45,000 18 14

40,000

) i s p ( r a l u 35,000 n a r g a p 30,000 a c a l e d 25,000 o l u d ó M

10 6

20,000

15,000

10,000 0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

Módulo de la subrasante (psi)

Fig ura 4.11. Módulo de la base granular no tratada de acuerdo con la expresión desarrollada por el Instituto del Asfalto.

GUÍA FRANCESA!!!! En el análisis de ciertas estructuras puede requerirse la reducción el número de capas del pavimento, por ejemplo por baja capacidad de cálculo de un programa o equipo de cómputo, para lo cual puede aplicarse la Ecuación 4.XX en la obtención de un módulo ponderado. 4 - 20

PAVIMENTOS


  E i   n × hi  ∑   1  1 − µ i ²  m

E eq

1 − µ eq ²

=

 m   ∑ hi   1 

n

n

Ecuación 4.XX.

Donde: Eeq: Módulo de elasticidad equivalente de una capa dividida en m subcapas. µeq: Relación de Poisson equivalente de una capa dividida en m subcapas. µi: Relación de Poisson de la capa i. Ei: Módulo de elasticidad de la sub capa i. hi: Espesor de la sub capa i. n: Exponente: n = 3 según Barber y n = 1 según Vaswami. Una aplicación adicional de las capas granulares no tratadas se presenta en las denominadas “estructuras inversas”, en las cuales se dispone una capa de material granular con calidad de base entre dos capas cementadas (la rodadura en concreto asfáltico y una base estabilizada). Esta disposición actúa como mecanismo para evitar la reflexión de grietas de la base estabilizada (o de la carpeta fisurada en los trabajos de rehabilitación) y además brinda un aporte estructural. El Manual Francés de Diseño de Pavimentos (1997) especifica el módulo de elasticidad de esta capa en 480 MPa, valor que fue verificado para estructuras con refuerzo granular por Vásquez y Vásquez (ídem, 2002). Materiales estabilizados. El término “material estabilizado” se refiere a suelos tratados con agentes como el asfalto, el cemento Portland, la cal hidratada, las cenizas volantes o una combinación de ellos para obtener un incremento substancial de la resistencia del material en relación con su resistencia sin estar tratados. La estabilización con cemento Portland, cal, cenizas volantes y otros agentes que producen cementación química se denomina estabilización química. Los materiales estabilizados con agentes diferentes al asfalto se caracterizarán de acuerdo con el criterio de la “sección fisurada equivalente”, el cual presume que estos materiales se agrietan por la retracción, cosa que es cierta, y presentan módulos inferiores a los obtenidos en el ensayo de compresión no confinada; además se ha documentado que la resistencia en el campo oscila alrededor del 40% del valor obtenido en el laboratorio. Los suelos estabilizados con asfalto deberán evaluarse con los criterios para mezclas asfálticas. En la Figura 4.9 se presenta la relación establecida por el USACE entre la resistencia a la presión no confinada y el módulo de la sección fisurada equivalente.

4 – 21


PAVIMENTOS

200

D Ó M

C C E S A L E D O L U

E T N E L A VI U Q E N ÓI

100 I

S P

3 ,

0 1

A D A R U SI F

50

20

10 100 200 500 1000 2000 RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN NO CONFINADA , PSI

Figura 4.9. Relación entre la resistencia a la compresión no confinada y el módulo de la sección fisurada equivalente (1 psi = 6.894757 kPa). • Suelos de Subrasante: El término “subrasante” se refiere al suelo natural, procesado o relleno que no satisface

las características de base o subbase, sobre el cual se construye el pavimento. El módulo de la subrasante se determina a través de ensayos triaxiales. El módulo de la subrasante es susceptible a la humedad y el estado de esfuerzos en la misma. Dado que un programa de exploración, muestreo y ensayo de este tipo es costoso, se han desarrollado correlaciones para establecer el módulo resiliente de la subrasante en función del CBR. La familia de Ecuaciones 4.29 resume la experiencia existente:

M R = 10 .3 × CBR ( MPa ) Ecuación 4.29.a. M R = 130 × CBR 0.714 ( Kg / cm²) Ecuación 4.29.b. M R = 1500 × CBR ( psi ) Ecuación 4.29.c. (1 psi = 6.894757 kPa) 4.4.2. Relación de Poisson: La relación de Poisson es difícil de determinar y tiene una influencia relativamente menor en el diseño comparada con otros parámetros (sin embargo, su influencia si es evidente en las deflexiones, por lo cual debe manejarse esta variable cuidadosamente en los procesos de modelación). En el Cuadro 4.1 se presentan algunos valores recomendados de la relación de Poisson. Cuadro 4.1. RELACIÓN DE POISSON DE ALGUNOS MATERIALES

MATERIAL DEL PAVIMENTO 4 - 22

RELACIÓN DE POISSON µ

PAVIMENTOS


Concreto de cemento Portland Concreto asfáltico Base o subbase granular no ligada Base o subbase estabilizada químicamente Subrasante Cohesiva No cohesiva

0.15 – 0.20 0.5 para E < 500 ksi 0.3 para E > 500 ksi 0.3 – 0.35 0.2 0.4 0.3

4.5. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Existe una relación entre los fenómenos que suceden durante el periodo de diseño (cargas de tránsito) y la involución de la funcionalidad (serviciabilidad) del pavimento hasta un nivel definido como inaceptable. Las funciones de transferencia definen esta relación en el diseño empírico – mecanicista de pavimentos flexibles. La función de transferencia actúa como conector entre los fenómenos que ocurren durante la “vida útil” y su terminación en un pavimento. Su carácter es empírico ya que se obtienen parcialmente de observaciones de comportamiento en el campo mediante un proceso científico. Así, se define función de transferencia como el vínculo entre la respuesta de la estructura de pavimento, predicha por el modelo estructural, y el comportamiento (performance) o nivel de servicio esperado que interesa al diseñador. La selección de las funciones de transferencia apropiadas requiere el conocimiento de los tipos de falla que comúnmente ocurren asociadas a las cargas y el entendimiento de la relación entre estos daños y la respuesta estructural del pavimento (Elliot y Thompson, 1985). Esta definición abarca las diferentes características de las funciones de transferencia que se discutieron con anterioridad. Sin embargo, es discutible que el único interés del diseñador sea el nivel de servicio esperado ya que el modelo estructural demanda perfeccionamiento y verificación de la forma en que representa la realidad. Las funciones de transferencia consideran dos tipos de daño: 4.5.1. Agrietamiento por fatiga de las capas asfálticas, el cual se manifiesta en el daño conocido como piel de cocodrilo. Este fenómeno se controla en términos de la deformación unitaria por tracción (εt) en la fibra inferior de la capa más profunda que esté ligada con asfalto, bien sea una mezcla en caliente o con emulsión. Esta última observación es particularmente importante en la revisión de soluciones de rehabilitación que involucren reciclaje. El criterio de falla por fatiga se expresa de la siguiente forma:

Nf = f 1 × (ε t ) − f 2 × ( E AC )− f 3 Ecuación 4.30. Donde: Nf: Número de repeticiones admisibles para prevenir el agrietamiento por fatiga. εt: Deformación unitaria por tensión en la fibra inferior de la capa más profunda ligada con asfalto en strain (mm/mm). EAC: Módulo de elasticidad de la capa asfáltica. f 1, f 2 y f 3: Coeficientes determinados en laboratorio mediante ensayos de fatiga, con f 1 modificable para correlacionar con el comportamiento real en las vías. La Ecuación 4.30 corresponde a la forma utilizada en el programa KENLAYER. En el Cuadro 4.2 se presentan algunas funciones de transferencia en Sistema Internacional de Unidades (SI) con el módulos de la capa asfáltica en KPa (103 N/m²). Algunas de las funciones presentan dos variables adicionales: 4 – 23


PAVIMENTOS

Vb: Porcentaje en volumen de asfalto de la mezcla. Un valor común es 11.0%. Vv: Porcentaje en volumen de vacíos de la mezcla. Un valor común es de 5.0%. En el programa ROADENT 4.0 (Timm, Birgisson, Newcomb, 1999) la función de transferencia para agrietamiento se escribe de la siguiente forma: K 2

 106  Nf = K 1 ×   Ecuación 4.31.  ε t  Donde: Nf: Número de repeticiones admisibles para prevenir el agrietamiento por fatiga. εt: Deformación unitaria por tensión en la fibra inferior de la capa más profunda ligada con asfalto en microstrain (µ mm/mm). K1y K2: Coeficientes determinados de ensayos de laboratorio y pruebas de campo como el Minnesota Road Test. Cuadro 4.2. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA AGRIETAMIENTO KENLAYER. ECA EN kPa. FUNCIÓN f 1 f 2

f 3

CRR (Bélgica)

4.856 x 10-14

4.76190

0.00000

Nottingham

8.888 x 10-13

4.90200

0.00000

Hudson

5.348x10-18

6.17280

0.00000

SHELL

3.981 x 10-6 x (0.856Vb+1.8)5

5.00000

1.80000

Asphalt Institute

0.414 x 104.84{ [Vb / (Vv+Vb)] - 0.69 }

3.29100

0.85400

ROADENT 4.0

2.83 x 10-6

3.20596

0.00000

Das & Pandey

2657.8721

3.56500

1.47470

En el Cuadro 4.3 se presentan algunas funciones en el Sistema Internacional de unidades (SI) con los módulos de los materiales expresados en MPa (106 N/m²). Cuadro 4.3. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA AGRIETAMIENTO ROADENT 4.0. ECA en MPa. FUNCIÓN K1

K2

CRR (Bélgica)

4.856 x 10-14

4.76190

Nottingham

8.888 x 10-13

4.90200

Hudson

5.348x10-18

6.17280

SHELL

1.585 x 10-11 x (0.856Vb+1.8)5 x EAC-1.8

5.00000

Asphalt Institute

1.135 x 10-3 x 104.84{ [Vb / (Vv+Vb)] - 0.69 } x EAC-0.854

3.29100

ROADENT 4.0

2.83 x 10-6

3.20596

4 - 24

PAVIMENTOS


Das & Pandey 1.001 x 10-1 x EAC-1.4747 Las variables Vv y Vb son los mismos utilizados en el Cuadro 4.2.

3.56500

4.5.2. Ahuellamiento de la superficie del pavimento debido a la deformación permanente de la subrasante. En realidad el ahuellamiento es la suma de la consolidación y el desplazamiento de todas las capas de la estructura del pavimento y de la subrasante, pero pueden suceder aportes excesivos de la estructura debido a un proceso inadecuado de construcción y compactación. Este fenómeno se controla en términos de la deformación unitaria por compresión (εz) en la parte superior de la subrasante, aunque se han formulado funciones de transferencia con el esfuerzo vertical (σz) en la misma posición. La función de transferencia para ahuellamiento se expresa de la siguiente forma:

N d = f 4 × (ε z )− f 5 Ecuación 4.32. Donde: Nd: Número de repeticiones admisibles para prevenir el ahuellamiento de la superficie del pavimento. εz: Deformación unitaria por compresión en la parte superior de la subrasante en strain (mm/mm). f 4 y f 5: Coeficientes determinados de observaciones de comportamiento en campo en Ensayos Viales como el AASHO y a partir de un valor máximo admisible de profundidad de la huella. La Ecuación 4.32 corresponde a la forma utilizada en el programa KENLAYER y es prácticamente idéntica en el programa ROADENT 4.0 como se escribe a continuación:

 1  N r = K 3 ×    ε z 

K 4

Ecuación 4.33.

Donde: Nr: Número de repeticiones admisibles para prevenir el ahuellamiento de la superficie del pavimento. εz: Deformación unitaria por compresión en la parte superior de la subrasante en microstrain (µ mm/mm). K3 y K4: Coeficientes determinados de observaciones de comportamiento en campo como el Minnesota Road Test. En el Cuadro 4.4 se presentan algunas expresiones de la función de transferencia para ahuellamiento para los programas KENLAYER y ROADENT 4.0. Cuadro 4.4. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA AHUELLAMIENTO

FUNCIÓN

KENLAYER

ROADENT 4.0

Dormon y Metcalf

f 4 6.069 x 10-10

f 5 4.76190

K3 2.2623 x 1019

K4 4.76190

CRR (Bélgica)

3.0505 x 10-19

4.34780

3.7254 x 1017

4.34780

Nottingham

1.1263 x 10-6

3.57140

3.0204 x 1015

3.57140

4 – 25


PAVIMENTOS

Cuadro 4.4. (Cont.) FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA AHUELLAMIENTO

FUNCIÓN

KENLAYER

ROADENT 4.0

f 4

f 5

K3

K4

50% nivel de confianza

6.1466 x 10-7

4.00000

6.1466 x 1017

4.00000


1.9448 x 10-7

4.00000

1.9448 x 1017

4.00000


1.0498 x 10-7

4.00000

1.0498 x 1017

4.00000

LCPC

1.0214 x 10-7

4.16670

1.0219 x 1018

4.16670

CHEVRON

1.6076 x 10-9

4.44444

7.4159 x 1017

4.44444

Asphalt Institute

1.365 x 10-9

4.47700

9.9338 x 1017

4.47700

AASHO - SHELL

Das & Pandey 4.760 x 10-8 * 4.53370 7.5824 x 1019 * 4.53370 * Valor sugerido por el autor de este artículo de la gráfica 5 (c) del artículo de Das y Pandey (1999). Como se dijo anteriormente, existen funciones de transferencia para el criterio de falla por ahuellamiento que no controlan este fenómeno mediante la deformación unitaria por compresión (εz) sino a través del esfuerzo vertical por compresión (σz) en la parte superior de la subrasante como lo enunciaron Kerhoven y Dormon:

σ z =

0.007 × E SR 1 + 0.7 × log N r Ecuación 4.34.

Donde: σz: Esfuerzo vertical por compresión en la parte superior de la subrasante en Kg/cm². ESR: Módulo resiliente de la subrasante en Kg/cm². Nr: Número de repeticiones admisibles para prevenir el ahuellamiento de la superficie del pavimento. Es evidente que los valores de deformación unitaria que caracterizan a la estructura de pavimento para los dos criterios de falla descritos corresponden al momento inicial de la vida de la misma. Ese momento inicial puede ser modelado por el diseñador con alguna exactitud empleando programas de computadora que manejen la teoría multicapa y siguiendo el enunciado que se propone a continuación: “Si una estructura de pavimento exhibe las deformaciones unitarias ε ε t y ε ε z debido a la aplicación de una carga P en el momento inicial de su vida útil, entonces dicha estructura soportará un número finito de repeticiones de carga con la misma configuración de P de acuerdo con la más crítica de las funciones de transferencia N = f( ε ε t ) y N = f( ε ε z )”.

En la Figura 4.10 se trazan las funciones de transferencia expuestas para el criterio de falla por agrietamiento. En los casos en que ha sido necesario, se han utilizado las variables adicionales: Vb = 11.0%, Vv = 5.0% y EAC = 2,000 MPa.

4 - 26

PAVIMENTOS


Las funciones presentadas definen su carácter conservador de abajo hacia arriba partiendo de la más rigurosa, es decir, aquella cuyo criterio demande estructuras de mayor espesor y calidad.

1.E+04 1.0E-02

Nf

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.0E-03

t

ε ε

1.0E-04 CRR Hudson A.I. Animesh

Nottingham Shell Roadent

1.0E-05

Figura 4.10. Funciones de transferencia para agrietamiento. En la Figura 4.10 se observa que la función más conservadora es la del CRR seguida por las de Hudson y Nottingham. Las funciones ROADENT y Asphalt Institute son prácticamente paralelas y se acercan a las de Hudson y Nottingham para valores de repeticiones de carga cercanos a los 10 millones. La función de la SHELL es más conservadora que la del Asphalt Institute, pero a partir de un valor aproximado de 200,000 repeticiones de carga se invierte la tendencia debido a la pendiente más suave de la primera función. Finalmente, se observa que la función de Das & Pandey (“Animesh”) es la menos conservadora. En la Figura 4.11 se ilustran las funciones de transferencia para el criterio de falla por ahuellamiento.

4 – 27


1.E+04 1.0E-02

Z

ε ε

PAVIMENTOS

1.E+05

Nd

1.E+06

1.E+07

1.0E-03

D&M Nottingham AASHO 95% Chevron Animesh

CRR AASHO 50% LCPC A.I.

1.0E-04

Figura 4.11. Funciones de transferencia para ahuellamiento. En la Figura 4.11 se observa que las funciones de CHEVRON, CRR y Asphalt Institute son similares y conservadoras hasta un valor cercano a 400,000 repeticiones de carga. En este punto se interceptan con la función de Nottingham que es la más conservadora para valores de repeticiones de carga cercanos a los 10 millones. Las funciones de Dormon & Metcalf y AASHO (confiabilidad 95%) son casi idénticas hasta las 100,000 repeticiones de carga, valor a partir del cual la función de Dormon se vuelve menos conservadora. Las funciones LCPC y AASHO (confiabilidad 50% y 95%) presentan paralelismo entre ellas. Finalmente, la función de Das (“Animesh”) establecida con la “Figura 5(c)” del artículo de 1999 es la menos conservadora. Dado que las funciones de transferencia para el criterio de falla por agrietamiento de la SHELL, el Asphalt Institute y Das & Pandey (“Animesh”) presentan dependencia del valor del módulo de elasticidad de la capa asfáltica, en la Figura 4.12 se trazan dichas funciones para un rango de módulos entre 1,000 MPa y 5,000 MPa.

4 - 28

PAVIMENTOS


1.E+04 1.0E-02

t

ε ε

1.E+05

Nf

1.E+06

1.E+07

1.0E-03

1.0E-04

Shell 1000 Shell 2500 Shell 5000

A.I. 1000 A.I. 2500 A.I. 5000

Anim. 1000 Anim. 2500 Anim. 5000

Figura 4.12. Funciones de transferencia para agrietamiento dependientes del módulo de la capa asfáltica (Módulos en MPa). En la Figura 4.12 se aprecia que para los tres valores considerados del módulo de la capa asfáltica la función de Das & Pandey (“Animesh”) es la menos conservadora. Para un módulo de 1,000 MPa la función del Asphalt Institute es menos conservadora que la de la SHELL hasta las 100,000 repeticiones de carga, en este punto se produce un cruce de las líneas de las funciones pasando a ser la función del Asphalt Institute la más conservadora. Este comportamiento también se presenta con los módulos de 2,500 MPa y 5,000 MPa en 200,000 y 500,000 repeticiones de carga respectivamente. También es notable el hecho que las pendientes de las funciones de Das (“Animesh”) y del Asphalt Institute son casi paralelas mientras que la pendiente de la función SHELL es menos pronunciada. Debido a esto la función del Asphalt Institute es la más conservadora para valores altos de repeticiones de carga. 4.5.3. Shift Factor: Generalmente, la “vida”, definida por la resistencia a la fatiga, de un material asfáltico en el laboratorio es menor que la observada en campo debido a las siguientes diferencias entre las condiciones de los dos lugares (Tseng y Lytton en Das & Pandey, 1999): En el campo existe un periodo de reposo aleatorio entre aplicaciones sucesivas de carga que le permite al material asfáltico recuperarse. Generalmente, la carga cíclica en el laboratorio se aplica de forma continua con periodos de reposo muy pequeños e iguales. • Después del paso de cada carga pueden permanecer esfuerzos residuales en la capa asfáltica de rodadura causados por la rueda en movimiento. Estos esfuerzos se relajan con el tiempo y después de cierto lapso, •

4 – 29


PAVIMENTOS

quedan esfuerzos remanentes muy pequeños. En el laboratorio los esfuerzos residuales aumentan en las muestras sometidas a fatiga y su magnitud es muy diferente comparada con aquellos presentes en campo. • Otra consideración importante es la variación lateral del tránsito. Las huellas de las ruedas difieren de un vehículo a otro. Por lo tanto, todas las ruedas de los vehículos no esfuerzan el mismo punto repetidamente. El promedio y la desviación estándar de la distribución lateral de la huella de la rueda debería tomarse en consideración en la formulación del tránsito de diseño. De acuerdo con lo anterior, la “vida” estimada por la fatiga en el laboratorio debe multiplicarse por un “Shift Factor”, también llamado Factor de Calage, para obtener la vida por fatiga en el campo. Este concepto se había mencionado previamente como parte de la función de los factores f 1 y K1 expuestos para el criterio de falla por agrietamiento. De otra parte, un estudio sobre el crecimiento de fisuras en pavimentos realizado en 2000, llegó a las siguientes conclusiones comparando la evolución de fisuras en el ensayo de flexión para mezclas asfálticas y en un modelo multicapa mediante el método de los elementos finitos (Castell, Ingraffea, Irwin, 2000). • • • •

•

Las variaciones geométricas en el ensayo de flexión repetida, basado en vigas de muestra, tienen poca influencia en el modelo de fatiga. La tasa de crecimiento de grietas para la viga simplemente apoyada es mayor que para el sistema multicapa. En el sistema multicapa, la tasa de crecimiento de grietas es mucho más pequeña para las grietas de superficie que para las grietas internas. En el sistema multicapa se identifican dos tasas de crecimiento de grietas diferentes. La primera está asociada con los esfuerzos de tensión en la parte inferior del pavimento directamente bajo la carga. La segunda es causada por esfuerzos de tensión en la parte superior del pavimento, adelante y atrás de la carga. La zona de transición entre ambos campos de tensión puede representar una fracción importante de la vida total. El tamaño de la grieta inicial en la parte inferior de la capa superficial en un sistema multicapa no es tan crítico como en una viga de muestra.

Se sugiere que la implementación de la “Mecánica de Fracturas Linealmente Elástica” (LEFM) permitirá trabajar con un valor de Shift Factor menor, ya que en la actualidad este oscila entre 10 y 100 de acuerdo con el criterio de laboratorio y las observaciones de campo que se pretendan correlacionar. En ausencia de investigación local que permita establecer funciones de transferencia para las condiciones propias, el ingeniero civil deberá contemplar por lo menos otra metodología de diseño diferente al método empírico – mecanicista si quiere obtener un diseño apropiado bien sea de una estructura nueva o de una rehabilitación de pavimento flexible. De forma posterior, se podrá apreciar la aproximación implícita al Shift Factor de acuerdo con el método de diseño francés y aquella explícita del método SHELL. 4.5.4. Hipótesis de Miner: La hipótesis de Miner se usa para estimar el daño acumulado del pavimento, como se presenta en la Ecuación 4.34. Se trata simplemente de la suma del número de cargas aplicadas sobre el número de cargas admisibles.

n D = ∑ Ecuación 4.34. N

Donde: D: Daño acumulado. n: Número de repeticiones de aplicaciones de carga. Corresponde al tránsito de diseño del proyecto. 4 - 30

PAVIMENTOS


N: Número de repeticiones admisibles para prevenir la ocurrencia de los criterios de daño de agrietamiento o ahuellamiento, deducido de las correspondientes funciones de transferencia. Se considera que la falla ocurre cuando D = 1.0. Es decir, se define la falla como el número de aplicaciones de carga que exceda el número permisible (Timm, Birgisson, Newcomb, 1999). Este criterio de falla demanda que las funciones de transferencia empleadas estén correlacionadas con las condiciones de ca mpo.

4.6. SISTEMA DE CARGAS Se ha definido el modelo físico y matemático de los sistemas de capas elásticas, la caracterización de los materiales que constituyen los pavimentos flexibles, y las funciones de transferencia que permiten relacionar el comportamiento del pavimento con su desempeño a lo largo del tiempo. No obstante, no se ha hecho mención explícita de una carga normalizada para el método de diseño empírico – mecanicista. Dicha omisión se debe a que en esta filosofía de diseño es potestad del ingeniero escoger la carga para el análisis. En los métodos de diseño expuestos anteriormente se caracterizaba el tránsito mediante algún criterio de homogeneización, por ejemplo, vehículos comerciales diarios o repeticiones de ejes equivalentes. Se ha visto que el valor usual de carga de eje equivalente es de 80 kN (8.2 toneladas ó 18,000 libras). Para implementar este mismo eje equivalente en el diseño empírico – mecanicista se hace necesario caracterizar la carga como se ilustra en la Figura 4.13, en la cual además se presenta la configuración de carga francesa de 130 kN. A continuación se presenta un análisis comparativo entre los resultados que se obtienen al analizar una estructura de cuatro capas sometida a los dos tipos de carga indicados. El análisis se realizó mediante el programa DEPAV.

c m 8 0 . 1 a =

p = 5.6 Kg/cm²

3a = 32.4 cm a) Eje de 80 kN c m 5 2 . 1 a =

p = 6.62 Kg/cm²

3a = 37.5 cm b) Eje de 130 kN Figura 4.13. Área y presión de contacto de la rueda doble para un eje equivalente a) 80 kN y b) 130 kN – Francia –. Cuadro 4.5. 4 – 31


PAVIMENTOS

ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DE LA CONFIGURACIÓN DE CARGA Predimensionamiento de una estructura de cuatro capas CAPA

E (Kg/cm²)

µ

H (cm)

LIGA

Concreto asfáltico Base granular

20,000 0.35 5.0 S 3,806 0.35 20.0 N 1,815 15.0 N Subbase granular 0.35 1,325 15.0 N 815 15.0 N Subrasante 410 0.45 – Estructura definitiva. Tensión negativa, compresión positiva. Deformaciones Unitarias CAPA E (Kg/cm²) H (cm) LIGA µ 80 kN 130 kN Concreto asfáltico 20,000 0.35 5.0 S εt Base granular 3,042 0.35 20.0 N -2.86 E-04 -3.21 E –04 1,274 (*) Subbase granular 0.35 45.0 N εv Subrasante 410 0.45 – 1.07 E-04 1.63 E-04 (*)Obtenido mediante la Ecuación 4.28 con n = 3. Se observa, como es obvio, que la mayor carga produce respuestas mayores en la estructura de pavimento. Aplicando, por ejemplo, las funciones de transferencia de Nottingham se establecen las repeticiones admisibles para cada tipo de carga y criterio de falla. Cuadro 4.6. REPETICIONES ADMISIBLES PARA DOS TIPOS DE CARGA Estructura Cuadro 4.5. Funciones de Nottingham. Agrietamiento Ahuellamiento 80 kN 130 kN 80 kN 130 kN N admisible 208,784 118,554 170,731,187 37,970,584 Se observa que el criterio de diseño en este caso es la deformación unitaria por tensión en la parte inferior de la capa asfáltica (agrietamiento) y el número de repeticiones admisibles del eje de 130 kN es del orden del 57% del número de repeticiones admisibles del eje de 80 kN.

4.7. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO FRANCÉS DE 1997 Para el diseño se presenta la adaptación de la metodología expuesta en el Manual Francés de Diseño de Estructuras de Pavimento (LCPC, 1997). Se aclara que es necesario ajustar los parámetros deducidos de la experiencia francesa a medida que puedan formularse leyes de fatiga de los materiales y obtener información de las condiciones de construcción en Colombia. El método de diseño francés se basa en el concepto de esfuerzos (deformaciones unitarias) de trabajo en las capas del pavimento, los cuales se determinan de acuerdo con las características de fatiga del material, el tránsito acumulado y el riesgo aceptable. En este punto es conveniente aclarar que “riesgo” es el complemento de “confiabilidad”, definida previamente –AASHTO-, de forma tal que r % = 100% − R% (r: risk, riesgo % y R: reliability, confiabilidad %). Se considera que la variabilidad de las características mecánicas de los materiales del pavimento está dentro de unos límites reducidos para materiales que son artificiales y se construyen de acuerdo con alguna especificación. 4 - 32

PAVIMENTOS


Por lo tanto los únicos factores que se toman en consideración para la variabilidad de la ocurrencia de los deterioros del pavimento son: • •

Los resultados de los ensayos de fatiga. El espesor construido de las capas.

La curva de fatiga obtenida en el laboratorio está definida al 50% de probabilidad de falla. Los resultados de los ensayos se expresan en términos de log N (N es repeticiones de ejes para la ocurrencia de la falla) y se distribuyen normalmente con una desviación estándar “SN”. El espesor de las capas se considera normalmente distribuido con una desviación estándar “Sh”. Así, en el proceso de diseño del pavimento se anticipa un número de repeticiones de ejes NE y se establece un riesgo, r, de forma que el pavimento se diseña para una probabilidad de falla, a las NE repeticiones de carga, menor o igual que r. El riesgo, r, es la integral de la densidad de probabilidad de la variable normalizada log N. La desviación estándar, δ, asociada con la variable log N se deduce de una combinación de factores de dispersión de los ensayos y de los espesores mediante la Ecuación 4.36.

 c ²  Sh² Ecuación 4.36.  b ² 

δ = SN ² + 

Donde: SN y Sh: Desviaciones estándar de las repeticiones a la falla y los espesores. C: coeficiente que liga la variación de la deformación unitaria del pavimento con la variación aleatoria del espesor, ∆h, (log ε = log ε0 – c ∆h). Con estructuras comunes el valor de c es aproximadamente 0.02 cm-1. B: Es la pendiente de la ley de fatiga del material expresada en una ley bilogarítmica (log N vs. log ε). En la Figura 4.14 se ilustra la forma de obtener el valor del esfuerzo (deformación unitaria) de trabajo para un tránsito acumulado NE y un riesgo r.

4 – 33


PAVIMENTOS

Figura 4.14. Determinación del esfuerzo de trabajo, εad, basado en resultados de ensayos de fatiga. Fractil (u) riesgo, r % -0.84 20 -1.04 15 -1.28 10 -1.65 5 -2.05 2

r = 50% Variable log N distribuida normalmente con una desviación estándar δ

r uδ N

log N

log ε r = 50% ε

r

1 b

εad

uδ

log εad = log ε - u δb εad / ε = 10 ^ - u δb

uδ NE

log N

En el Cuadro 4.7 se presenta el criterio de selección del riesgo para pavimentos flexibles de acuerdo con la codificación del tránsito francesa.

Cuadro 4.7. TRÁNSITO Y SELECCIÓN DEL RIESGO.

T3 T2 T1 T0 TS TEX T3- T3+ T2- T2+ T1- T1+ T0- T0+ TS- TS+ 0 25 50 85 150 200 300 500 750 1200 2000 3000 T.P.D.A a a a a a a a a a a a a >5000 (C) 25 50 85 150 200 300 500 750 1200 2000 3000 5000 25% 12% 5% 2% r% Nota: T.P.D.A. (C) es el tránsito promedio diario anual de vehículos comerciales (>5 toneladas) en el carril de diseño para el primer año de operación. CLASE

T5

T4

De acuerdo con lo anterior, el esfuerzo (deformación unitaria) de trabajo de una estructura puede determinarse como lo indica la siguiente ecuación.

ε t ,ad = ε ( NE ,θ eq , f ) k r k c k s Ecuación 4.37. Donde: 4 - 34

PAVIMENTOS


ε( NE,θeq, f ) es la deformación unitaria inicial asociada a la ocurrencia de la falla por flexión de los especimenes de laboratorio luego de NE ciclos de carga, para la temperatura equivalente θeq y la frecuencia f características de

los esfuerzos que soportará la capa considerada. Corresponde al 50% de probabilidad de falla. La ley de fatiga para materiales asfálticos se expresa de la forma:

ε  N  = 6 ε 6  10 

b

Ecuación 4.38.

ε ( NE ,θ eq , f ) = ε 6 (θ eq , f )( NE 6 ) Ecuación 4.39. 10 b

Generalmente, esta ley de fatiga se establece mediante experimentos a 10°C y 25 Hz de frecuencia. En el ensayo, una muestra trapezoidal empotrada en la base es sometida a esfuerzo en la parte superior por un desplazamiento sinusoidal de amplitud constante sin período de reposo. Típicamente, la falla se define como el número de ciclos N para el cual la fuerza que necesitó aplicarse se reduce a la mitad. La dispersión de los resultados (en log N a la falla) se describe por la desviación estándar SN. En ausencia de información experimental, y para estructuras en clima templado con temperaturas superiores a cero, se acepta que el comportamiento de la fatiga está representado por la siguiente ecuación:

ε 6 (θ ) E (θ ) 0.5 = const . Ecuación 4.40. Frecuentemente, se considera que la frecuencia característica de los esfuerzos en las capas de base asfáltica es del orden de 10 Hz siendo despreciable el efecto sobre ε6 de la diferencia entre 25 Hz y 10 Hz para temperaturas promedio. En estas condiciones la Ecuación 4.39 puede expresarse de la siguiente forma:

E (10°C ) NE b ( ε ( NE ,θ eq , f ) = ε 6 (10°C ,25 Hz) 6 ) Ecuación 4.41. 10 E (θ eq ) Esta relación no tiene validez a altas temperaturas, con frecuencias de carga muy diferentes (tráfico lento, capa superficial) y para materiales con reología diferente al asfalto tradicional. En este caso es necesario ejecutar los ensayos en las condiciones apropiadas. La variable θeq corresponde a la denominada temperatura equivalente, es decir, aquella que se toma como representativa de un año pues el daño acumulado es el mismo que modelando la estructura en la distribución de temperaturas del mismo período. De forma general, se calcula con la siguiente expresión:

  ε 6 (θ i )  1 1  6 = ×10  Ecuación 4.42. ∑i ni (θ i )   N (θ eq ) ∑ ni (θ i )   ε (θ i )   i 1 / b

4 – 35


PAVIMENTOS

k r es

el coeficiente que ajusta el valor de la deformación unitaria de trabajo de acuerdo con el riesgo escogido según los intervalos de confianza alrededor del espesor (desviación estándar Sh) y alrededor de los resultados del ensayo de fatiga (desviación estándar SN).

k r = 10 −uδ b Ecuación 4.43. Donde el exponente –uδb ha sido definido mediante la Figura 4.14. Se anota que para un riesgo, r, del 50% el valor de k r es 1.0. es el coeficiente que ajusta los comportamientos calculados y observados en la realidad. Para pavimentos asfálticos este coeficiente varía de acuerdo con el tipo de material como se indica en el Cuadro 4.8.

k c

Los valores de kc incluidos en el método francés corresponden al retrocálculo de pavimentos entre 1975 y 1985. Asimismo, se presentan valores obtenidos para las condiciones chilenas (Cabrera, 2002) con un 80% de confiabilidad y considerando el tránsito en repeticiones de ejes de 80 kN. Cuadro 4.8. VALOR DEL COEFICIENTE kc

MATERIAL Base asfáltica Concreto asfáltico Concreto asfáltico de alto módulo (mínimo 14,000 MPa a 15°C y 10 Hz.)

kc FRANCIA 1.3 1.1

kc CHILE 1.15 1.13

1.0

–

k s es

un coeficiente de reducción para tener en cuanta la falta de uniformidad en la capacidad portante de una capa de suelo blando debajo de las capas tratadas. En el Cuadro 4.9 se presentan los valores del Manual Francés. Cuadro 4.9. VALOR DEL COEFICIENTE ks

MÓDULO E < 50 MPa 50 MPa  E < 120 MPa 120 MPa  E ks 1 / 1.2 1 / 1.1 1 Nota: El módulo en consideración corresponde al del material de la capa subyacente y no del material que caracteriza la rigidez de la fundación del pavimento. De tal forma, con una capa de relleno seleccionado con un módulo superior a 120 MPa, aún si la capacidad portante de la subrasante es menor que 120 MPa no debe considerarse la reducción. Para el criterio de diseño de deformación unitaria vertical por compresión en la parte superior de la subrasante se presenta la forma para calcular los valores admisibles de acuerdo con el tránsito:

ε z ,ad = A( NE ) −0.222 Ecuación 4.44. En el Cuadro 4.10 se presentan los valores de A de acuerdo con la definición del tránsito del Manual Francés de Diseño: 4 - 36

PAVIMENTOS


Cuadro 4.10. VALORES DE A EN EL CRITERIO DE εz,admisibles

TRÁNSITO ≥T3 (150) < T3 (150)

A 0.012 0.016

En el Cuadro 4.11 se presentan algunas recomendaciones para el dimensionamiento de las capas en el diseño de estructura de pavimento flexible con capas granulares no tratadas. Debe apreciarse que los valores son mínimos, por lo cual no constituye un error si se evalúan diferentes alternativas a partir de los mismos.

Cuadro 4.11. ESPESORES MÍNIMOS RECOMENDADOS PARA DISEÑO DE PAVIMENTOS FLEXIBLES

CAPA

Tránsito  T2 Asfáltica T1 ≥ T0 Base granular Todos Módulo de diseño de la subrasante * 20 – 50 MPa (PF1) Subbase Granular 50 – 120 MPa (PF2) 120 – 200 MPa (PF3) (*) Valor de resistencia que puede garantizarse en el tiempo (promedio).

Espesor mínimo (cm) 6.0 8.0 10.0 a 14.0 15.0 45.0 25.0 15.0

En el Cuadro 4.12 se presenta la relación entre el módulo de elasticidad y la temperatura para materiales de diferente procedencia. Cuadro 4.12. RELACIÓN ENTRE EL MÓDULO DE ELASTICIDAD Y LA TEMPERATURA DE MATERIALES ASFÁLTICOS Módulos en MPa

T °C -10 0 10 20 30 40

RBA 1 Francia 18,000 14,000 9,000 5,000 2,000 800

RBA 2&3 Francia 23,000 18,800 12,300 6,300 2,700 1,000

EME 1&2 Francia 30,000 24,000 17,000 11,000 6,000 3,000

Base Asfáltica Chile

Capa de Rodado Chile

12,300 6,300

7,200 3,600

MDC-2 Colombia

6,500 2,300 830

Los materiales RBA corresponden a “Road Base Asphalt” como se presenta en el Manual Francés. El material EME es de calidad superior y corresponde a concreto asfáltico de alto módulo como se fabrica en Francia. La base asfáltica chilena es de propiedades idénticas a la francesa en el rango en que se realizaron los estudios. La mezcla MDC-2 colombiana se ubica de forma intermedia entre los materiales RBA franceses como se aprecia en la Figura 4.15. 4 – 37


PAVIMENTOS

En el Cuadro 4.13 se presentan los parámetros de fatiga observados en los diferentes materiales estudiados en Francia y Chile y se reporta una experiencia de Colombia para una mezcla drenante (Reyes et al., 2002). Esta ley de fatiga se obtuvo para una frecuencia de carga de 2.5 Hz y una temperatura de 20°C.

100,000 RBA 1 Francia RBA 2&3 Francia MDC-2 Colombia 10,000 ) a P M ( E

1,000

100 -10

0

10

20

30

40

T °C

Figura 4.15. Comparación del módulo de elasticidad entre las bases asfálticas francesas y la mezcla colombiana MDC-2. Cuadro 4.13. CARACTERÍSTICAS DE FATIGA DE LOS MATERIALES ASFÁLTICOS

MEZCLA ASFÁLTICA RBA 1 – Francia RBA 2&3 – Francia EME 1 – Francia EME 2 – Francia Concreto bituminoso – Francia Otras mezclas – Francia Base Asfáltica – Chile Rodadura Asfáltica – Chile Drenante (Freddy Reyes) (1)

-1/b 5 5 5 5 5 5 5 5

SN 0.4 0.3 0.3 0.25 0.25 0.25 0.3 0.25

4

– (1)

Desviación estándar SN no reportada

4 - 38

ε6 mínimo (10-6) 10°C 25 Hz

70 80 & 90 100 130 150 100 90 150 -6 ε6 (10 ) 20°C 2.5 Hz 30

PAVIMENTOS


** N.R. No reportado. Los valores para materiales franceses son obtenidos del Manual. Los materiales chilenos fueron estudiados con la normatividad francesa por la firma Eurovia (op. cit., 2002). La formulación de las leyes de fatiga no difiere de las funciones de transferencia presentadas con anterioridad. Con el fin de realizar un análisis comparativo se preparó la Figura 4.16 para una temperatura de 20°C. Las funciones de transferencia se calcularon con el número de repeticiones de carga y la resistencia de la mezcla MDC-2 cuando fue necesario. Para los materiales de referencia francesa y chilena se aplicó la Ecuación 4.41 con las características físicas presentadas en los Cuadros 4.12 y 4.13. RBA 1 Rodadura Chile EME 2 MDC-2 : Das & Pandey MDC-2 : SHELL MDC-2 : CRR

1000

) 0 1 ( 100

6 -

t

ε ε

10 10,000

100,000

1,000,000

10,000,000

100,000,000

NE

Figura 4.16. Comparación entre funciones de transferencia y leyes de fatiga para la mezcla MDC-2 y otros materiales foráneos. Temperatura 20°C. Se representan con líneas las leyes de fatiga de la base asfáltica francesa (RBA 1), el concreto asfáltico de alto módulo francés (EME 2), y la rodadura chilena. Se aprecia que el requerimiento es más conservador para la base asfáltica y menos exigente para la rodadura chilena. Mediante puntos se representan los valores de las funciones de transferencia del CRR, SHELL y Das & Pandey. Se verifica que la última función no es conservadora para pocas repeticiones de carga, pero se acerca al comportamiento de las otras para muchas repeticiones debido a su mayor pendiente bilogarítmica. Las funciones del CRR y la SHELL presentan paralelismo con las leyes de fatiga de la base asfáltica francesa (RBA 1) y la rodadura chilena, respectivamente. Esto se debe a que sus valores de pendiente bilogarítmica son 4 – 39


PAVIMENTOS

cercanos a –0.2. Asimismo, aparte del paralelismo, las funciones de fatiga son prácticamente coincidentes en todo el espectro de repeticiones de carga analizado. En la Figura 4.17 se amplia la comparación entre las funciones de transferencia CRR y SHELL con las leyes de fatiga de la RBA 1 francesa y la rodadura chilena, mediante la incorporación de otra temperatura. El valor del módulo de elasticidad de la rodadura chilena a 30°C se estimó mediante regresión exponencial (30°C – 1,801 MPa). 1,000

MDC-2 : SHELL 20°C Rodadura Chile 20°C RBA 1 20°C MDC-2 : CRR

MDC-2 : SHELL 30°C Rodadura Chile 30°C RBA 1 30°C

) 0 1 (100

6 -

t

ε ε

10 10,000

100,000

1,000,000 NE

10,000,000

100,000,000

Figura 4.17. Comparación entre las funciones de transferencia CRR y SHELL y las leyes de fatiga de la RBA 1 y la rodadura chilena para dos temperaturas. Se observa que la función de transferencia de la SHELL, calculada con las características del MDC-2, coincide con la ley de fatiga formulada para la rodadura chilena. Por otra parte, la función del CRR coincide sólo a 20°C con la ley de fatiga de la RBA 1. Esto se debe a la dependencia del módulo de elasticidad de la ley de fatiga, la cual no se incorporó de forma explícita en la función de transferencia en cuestión. Lo anterior corresponde a un análisis numérico donde se ha incorporado alguna información colombiana, sobre módulos de elasticidad de la mezcla MDC-2, dentro de un espectro de caracterización de materiales más amplio, producido en Francia y Chile. Mientras se realizan investigaciones locales acordes con la metodología francesa, el autor se permite sugerir el siguiente procedimiento provisional para el uso de la metodología francesa de diseño en aras de divulgar su práctica y conocimiento. Cuadro 4.14. 4 - 40

PAVIMENTOS


CARACTERÍSTICAS PROVISIONALES DE FATIGA SUGERIDAS PARA LA MEZCLA MDC-2 DENTRO DEL MÉTODO FRANCÉS MATERIAL MDC-2

E (KPa) 20°C 6,500,000

E (KPa) 30°C 2,300,000

E (KPa) 40°C 830,000

ε(NE,θeq,f)

-1/b

SN

Criterio SHELL

5

0.25

NE = 3.981 × 10 6 × (0.856Vb + 1.8) 5 × (ε ) 5 × ( E ) 1.8 Ecuación 4.45. −

−

−

Vb: Porcentaje en volumen de asfalto. Comúnmente un 11%. Esta recomendación es producto de una especulación sobre una cantidad limitada de información. Será responsabilidad exclusiva del lector los resultados derivados de su uso inapropiado. Finalmente, en cuanto a la desviación estándar de los espesores, en el Cuadro 4.15 se consignan las recomendaciones del Manual Francés para su estimación. Cuadro 4.15. DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN EL ESPESOR DE CAPAS ASFÁLTICAS

e (cm) 10 < e < 15 ≤ 10 ≥15 Sh (cm) 1 1 + 0.3*(e – 10) 2.5 Con un control estricto de la geometría de la subrasante o el relleno seleccionado, una buena capacidad de soporte y la colocación de la mezcla asfáltica utilizando el tornillo alimentador controlado, el valor de Sh puede limitarse a 1.5 cm. 4.7.3. Observaciones en la Adaptación del Método de Diseño a Condiciones Locales: La aplicación de este método requiere un estudio profundo de los materiales locales para establecer leyes de fatiga de la forma requerida por el proceso de cálculo. En la actualidad existen desarrollos sobre la fatiga de mezclas bituminosas con asfaltos corrientes y modificados, en equipos como el Nottingham Asphalt Tester, en condiciones diferentes al ensayo sugerido por los franceses. El Manual Francés presenta una serie de relaciones sugeridas para la obtención de los módulos de elasticidad de las capas granulares no tratadas. Sin embargo, aclara que aún no existe una metodología plenamente aceptada para la determinación de este parámetro en dichos materiales, por lo cual se sugiere hacer uso de las Ecuaciones 4.26 a 4.28 como herramienta suficiente para la estimación de los módulos de elasticidad de los materiales granulares no ligados. El autor considera que este método representa la tendencia futura del diseño de pavimentos y considera particularmente valiosa la metodología probabilística del diseño.

4.8. BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 4 ASPHALT INSTITUTE. Research and Development of the Asphalt Institute’s Thickness Design Manual (MS-1) Ninth Edition. Lexington. Kentucky. USA. 1982. • CABRERA, Cristian. Método Francés para el Diseño de Estructuras de Pavimento Asfálticas Adaptado a Chile. Versión 1.0. Documento inédito. Santiago. Chile. 2002. • CASTELL, M.A., INGRAFFEA, A.R., IRWIN, L.H. Fatigue Crack Growth in Pavements. Journal of Transportation Engineering Vol. 126 No 4. ASCE. July – August. USA. 2000. •

4 – 41

04 CAP LRV Metodo Empirico Mecanicista[1]

Recommend Documents