Tr i g o n o m e t r í a
Intelectum Trigonometría
It Indicadores de logro
Unidad 1
Unidad 2
• Reconoce la posición final, inicial y el vértice del ángulo trigonométrico. • Identifica el sentido de giro del ángulo (positivo y negativo). • Aplica las equivalencias entre los sistemas de medición para calcular la medida del ángulo pedido. • Discrimina entre sistema sexagesimal, centesimal y radial. • Identifica los elementos de un sector circular para el cálculo de su área. • Calcula el área del sector circular identificando sus elementos y aplicando sus propiedades. • Identifica al ángulo agudo dentro de un triángulo rectángulo y define cada una de las razones trigonométricas. • Determina las razones trigonométricas de ángulos agudos identificando sus elementos. • Reconoce los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. • Utiliza fórmulas de manera adecuada para la demostración de problemas, usando las diferentes razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
• Discrimina entre ángulos de elevación y depresión. • Calcula el valor de los ángulos horizontales y verticales. • Determina ángulos de elevación y depresión en función a sus razones trigonométricas. • Identifica los pares ordenados, las intersecciones con los ejes y el origen de coordenadas. • Calcula la ecuación de la recta así como su pendiente o el ángulo entre dos rectas utilizando puntos coordenados en el plano cartesiano. • Define cada una de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Determina el valor de las razones trigonométricas de ángulos coterminales. • Identifica el cuadrante al cual pertenece cada ángulo y la forma de reducción. • Aplica los casos estudiados para la reducción de ángulos. • Identifica el cuadrante al cual pertenece el ángulo y realiza la reducción utilizando las relaciones dadas.
EL SONIDO Y LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En la física el sonido es el fenómeno de propagación de ondas elásticas a través de un fluido que genera el movimiento ondulatorio de un cuerpo determinado. Por ejemplo cuando vibran las cuerdas de un charango, estas vibraciones producen un choque de las moléculas del aire unas con otras, ocasionando zonas de comprensión y descompresión atmosférica. Si continuamos rasgando las cuerdas, se van formando sucesiones de compresión y descompresión, y cuando estas sucesiones llegan al oído, producen una vibración en el tímpano que causa la sensación de sonido. La función matemática que mejor representa la propagación del sonido es la función seno.
Contenido: Unidad 1 • Ángulo trigonométrico Sistemas de medidas ángulares. • Sector circular. • Razones trigonométricas de ángulos agudos. • Resolución de triángulos rectángulos.
Unidad 2 • Ángulos verticales y horizontales. • La recta en el plano cartesiano. • Razones trigonométricas de ángulos en cualquier magnitud. • Reducción al primer cuadrante.
Unidad 3 • • • • •
Cincunferencia trigonométrica. Identidades trigonométricas. Ángulos compuestos. Ángulos múltiples. Transformaciones trigonométricas.
Unidad 3
Unidad 4
• Describe los elementos de una circunferencia trigonométrica (origen de arcos, origen de complementos y suplementos). • Representa gráficamente cada línea trigonométrica y analiza su variación. • Discrimina entre las identidades fundamentales (recíprocas y pitagóricas) y auxiliares. • Encuentra el valor de las identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, de un ángulo orientado. • Identifica las identidades de suma y diferencia de dos ángulos. • Demuestra igualdades de expresiones utilizando las identidades trigonométricas. • Reconoce las identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Comprende la división de las transformaciones trigonométricas (de suma o diferencia a producto o viceversa).
• • • • • • • • •
Unidad 4 • Funciones trigonométricas. • Funciones trigonométricas inversas. • Ecuaciones trigonométricas. • Resolución de triángulos oblicuángulos.
Analiza las funciones trigonométricas e identifica el dominio y rango. Discrimina entre función par, impar, creciente, decreciente y periódica. Define las funciones inyectivas y sobreyectivas. Identifica cada una de las funciones inversas, y evalúa su domino y rango. Determina el dominio y rango de las funciones trigonométricas y de las funciones inversas dadas. Identifica los elementos de una ecuación trigonométrica y analiza su resolución. Calcula el valor de la variable, aplicando propiedades de razones trigonométricas y el valor de sus respectivos dominios. Nombra las relaciones dadas de la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes. Aplica la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes en la resolución de triángulos oblicuángulos.
unidad 1
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES ÁNGULO TRIGONOMéTRICO Es el ángulo que se genera por la rotación de un rayo sobre un plano alrededor de un punto fijo llamado vértice. Si la rotación es en sentido antihorario, el ángulo se considera positivo; si gira en sentido horario, el ángulo se considera negativo.
Recuerda Si hay un cambio en el sentido de rotación, el signo del ángulo también cambia.
B Sentido antihorario + (+) O
OA: posición inicial OC; OB: posición final
A
Un ángulo trigonométrico puede adquirir cualquier magnitud sin restricción.
O: vértice del ángulo
Sentido horario + (-)
-
a, b: ángulos trigonométricos
C
+Ë
-Ë
-3< m+trigonométrico < +3
SISTEMAS DE MEDICIóN ANGULAR La medida de un ángulo puede estar determinada en diferentes sistemas, de los cuales se definen tres sistemas convencionales:
1. Sistema sexagesimal Tiene como unidad el grado sexagesimal (1°) donde: m+1 vuelta = 1º 360
; entonces m+1vuelta = 360°
Tiene como subunidades 1': minuto sexagesimal 1": segundo sexagesimal
Y se definen como:
Observación
1° <> 60' ; 1' <> 60" ; 1° <> 3600"
En los sistemas sexagesimal y centesimal, los ángulos pueden denotarse:
2. Sistema centesimal Tiene como unidad el grado centesimal (1g) donde: m+1 vuelta = 1g 400 Tiene como subunidades 1m: minuto centesimal 1s: segundo centesimal
Notación decimal
; entonces
m+1vuelta = 400g
minutos y segundos
g
m
m
s
g
s
1 <> 100 ; 1 <> 100 ; 1 <> 10 000
3. Sistema radial Tiene como unidad al radián (1 rad) definido como la medida del ángulo al que le corresponde una longitud de arco igual al radio de la circunferencia, donde:
2
= 1rad
(xyz, mnq)g
Notación en ángulos, s° t' u"
Y se definen como:
m+1 vuelta
(abc, efg)°
rg pm zs
Donde: s, t, u, r, p, z son enteros Además: t, u ![0; 60H p, z ![0;100H
; entonces m+1vuelta = 2p rad
Algunos valores de p: p ,3,1416
p , 22
p,
3+ 2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
5
RELACIóN ENTRE SISTEMAS
Importante
Corolario • De la fórmula de conversión: S C 20R = = 9 10 • Para las subunidades sexagesimales m+a = S° = 60S' = 3600S" S &n.° de grados 60S &n.° de minutos 3600S &n.° de segundos Centesimales g m m+a = C = 100C = 10 000Cs C &n.° de grados 100C & n.° de minutos 10 000C & n.° de segundos
Siendo: S: número de grados sexagesimales del ángulo q C: número de grados centesimales del ángulo q R: número de radianes del ángulo q
S° g C R rad
Equivalencias (Método del factor común)
Fórmula de conversión
m+1 vuelta = 180° = 200g = p rad 2
S = C = R 200
180
Para convertir un ángulo de un sistema a otro, tanto las equivalencias como las fórmulas de conversión pueden ser usadas. Ejemplo: Convierte 60° a radianes. A) Equivalencias:
B) Fórmula de conversión: S R = ; dato: S = 60° 180 R = `60° = rad 3 3
rad
60° = 60° #1 = 60° # 180° rad 60° = 3
Corolario de equivalencias 1. 180° = 200g
Simplificando tenemos
9° = 10g
2. 9° = 10g 9 #1° = 10 #1g 9 #60' = 10 #100m
Simplificando tenemos
27' = 50m
Simplificando tenemos
81" = 250m
3. 27' = 50m 27 #1' = 50 #1m 27 #60" = 50 #100m
Efectuar + 3C 1. Simplifica: E = 2S 2S - C donde S y C son lo convencional. C+S 2. Calcula: A = -3 C-S siendo S y C lo convencional. 3. Calcula el valor de: E = 3S - C C-S siendo S y C lo convencional. 4. Halla el valor de m en: 1 +1 = 1 1 mc - m S C S C 2C + S 5. Reduce:
6
Intelectum 4.°
C-S
+7
6. Simplifica:
2S + C - 3 C-S
7. Calcula: E = 20R + C + S 200R siendo S, C y R lo convencional. 8. Si S, C y R representan los números de los sistemas conocidos, calcula: E = S + C + 20R 2S - C + 40R ^S + Ch + 20R + 20R ^C - Sh 10. Expresa: rad en el sistema sexagesimal. 10 9. Reduce:
t
Problemas resueltos 1
Del ángulo trigonométrico, halla x.
4
Resolución: Sean los ángulos a y b (a > b) Del enunciado: a + b = 40° 9° = 27° a - b = 30g d gn 10
(10 - 10x)° O
(9x + 10)g
Resolución: Colocando el ángulo en sentido antihorario:
Factor de conversión
&+ b = 40° (+) a - b = 27° 2= 67° a = 33,5° = 33°30’
-(10 - 10x)° O
`El mayor ángulo mide 33°30’.
(9x + 10)g
5 &(9x + 10)g = -(10 - 10x)°
9(9x + 10) = -10(10 - 10x) 81x + 90 = -100 + 100x
Factor de conversión
190 = 19x
Reemplazando en la expresión: _120’i + 3’ 123’ E = 2°3’ = 2° + 3’ = = = 41 3’ 3’ 3’ 3’
&x = 10 Convierte 11°15’ a radianes. 6
Siendo: S y C lo convencional para un ángulo.
Resolución: Sabemos S = C = k &S = 9k /C = 10k 9 10 Reemplazando en la expresión: 3_10ki - 2_9ki = 30k - 18k = 12k = 3 M= 8k 2 18k - 10k 2_9ki - _10ki
Calcula: rad + 5° M = 12
20 g
Simplifica: M = 3C - 2S 2S - C
Resolución: 11°15’ = 11° + 15’d 1° n = 11° + 1° = 45° 60’ 4 4 45° d rad n 45 rad = rad = 4 #180 16 4 180° &11°15’ = rad 16 3
Reduce: E = 2°3’ 3’
Resolución: Convertimos 2° a minutos sexagesimales: 2° d 60’ n = 2(60’) = 120’ 1°
9° (9x + 10)g.d 10g n = -(10 - 10x)°
2
La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30g. Calcula la medida del mayor ángulo en grados sexagesimales.
7
`M = 3
2
Simplifica: E = 2S - C + 40R C - S
Resolución: rad = 180° 180° = 15° rad c m rad = 12 12 12
Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo.
20g = 20g c 9° m = 20 #9° = 18° 10 10g
Sabemos: S = C = 20R = k &S = 9k, C = 10k y 20R = pk 9 10
Reemplazando en la expresión:
Reemplazando en la expresión: 2_9ki - _10ki + 2 _k i E= 10k - 9k
M=
_15°i + 5° 20° 10 = = 18° 9 _18°i
`M = 10 9
Resolución:
_
i
_ i
18k - 10k + 2k = 10k = E= 10 10k - 9k k `E = 10 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
7
sECTOR CIRCULAR
LONGITUD DE ARCO
Nota De la expresión: L = qR q es un valor numérico, por lo tanto, la unidad que defina a L será la misma a la del radio.
Es la medida de un arco, que a su vez, es una porción de circunferencia limitada por dos puntos y se calcula: Donde:
A
!
R
Ejemplo: Longitud de un arco (L) de rad como radio 20 cm y ángulo central. 2
O
L = a k (20) 2 L = 10p `L es igual a 10p: cm . Unidad de longitud del radio
L=q.R
L
rad
AB : arco AB R: radio de circunferencia q: n.° de radianes del ángulo central L: longitud de arco
B
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Es la región plana que se encuentra limitada por dos radios y un arco. El cálculo del área de un sector circular se determina con las siguientes expresiones: A R O
S = L R2 2
rad S L
R B
Donde:
S=
RL 2
S=
L2 2
S: área del sector circular q: n.° de radianes del sector circular R: radio L: longitud de arco
Propiedades 1. c b
a
Demostración: Del gráfico: L1 = qa, L2 = qb; L3 = qc
E
C
A L1
rad
L2
L3
B D
F
Recuerda Sea el sector circular AOB
A
2.
= ; = ; = a b c L1 L2 L3 = = = ` a b c
Demostración:
A L1
S1
B
O
rad rad
B L2
S2
L!:longitud de arco AB AB
AOB:
De las expresiones de área: 1 S1 = S1
área del sector
C
circular AOB
S1 S2
=
L1
= L2
`
S2
2
2
r ; S2 =
Intelectum 4.°
1 2
2
r
&
S1 S2
=
1 r 2 2 1 r2 2
=
Análogamente:
rL1 = rL2 & S1 = 2 = L1 S1 ; S2 S 2 rL 2 L2 2 2 2 S1 L1 = = ` S2 L2 = rL1
8
3L
L1 L2 L3 a = b = c
O
S
Despejando q: L1 2L
=
t TRApECIO CIRCULAR Región formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos y de radios distintos.
L2
rad
O
C
L1
B
Atención
Valor numérico del ángulo central L -L 2 = 1 h
L1
A
A
Área del trapecio circular A = d L1 + L 2 nh 2 S1
D
S4
ApLICACIóN DE LONGITUD DE ARCO A1
r L
S3
Se cumple:
Cuando una rueda gira sobre una superficie plana desde un punto A hasta una posición B se tiene:
A
S2
A medida que la rueda gira, un radio genera un ángulo q.
S1 . S3 = S2 . S4 ¿Puedes demostrarlo? !Inténtalo!
B
2
r
Observa que cuando el centro de la rueda avanza una longitud igual a 2pr, la rueda ha dado una vuelta.
2r
Para el cálculo del número de vueltas (n) usamos una regla de tres simple. 1 vuelta n vueltas
2pr & (1)(L) = (n)(2r) L
n=
`
L 2r
En general El número de vueltas que da una rueda sobre cualquier superficie se calcula mediante la siguiente expresión:
L nv =
B
LC
r
c
2r
nv: número de vueltas que da la rueda desde A hasta B L : longitud recorrida por el c
centro
A
Observación También podemos calcular Lc (longitud recorrida por el centro desde A hacia B): Lc = qgr Donde: qg : número de radianes que gira la rueda r : radio de la rueda En consecuencia: Lc qg = qg = nv . 2p r
Casos particulares rad
r A
LC
r R
nv =
_R - r i 2r
nv =
_R + r i 2r
B
LC r
r R rad
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
9
Problemas resueltos 1
Halla el área de un sector circular, cuyo ángulo central mide 36° y el radio 10 m.
Resolución: Por la propiedad del trapecio circular: D
Resolución:
A
A 10 m O
O
10 m
B
q = 36° = 36°d n = rad 180° 5 r = 10 m ^10 2 2 ` j h .r = 10 = 5 S= 2 2
2
4
C
Halla el área en la región sombreada.
B
C
3u
L1 = 9 m L2 = 5 m h=4m
a + 3b
a-b
D
3 = a + 3b - a + b 2 3 3 = 4b 2 3 9 b= u 8
L1 + L 2 A=d
9+5 nh = d
2
5
R r
Halla q. A
B
C
7m
Resolución: r
L1
A r R-r L2
L3 r C
7
La longitud que recorre el centro: LC = L1 + L2 + L3 L1 = 1 . r = (p / 2)(2) =
D
2m B 3m
n 4 = 28
Halla el número de vueltas que da la rueda, al ir de A hasta C. (R = 10 m y r = 2 m)
r B
3m
2
A
Finalmente: 3x=a-b 2 3x=3- 9 2 8 3 15 x= 2 8 5 `x = u 4
el
8m
L2 = 2 (R - r) = (/ 2)(10 - 2) = (/ 2) 8 = 4 L3 = BC = 7 & Lc = + 4+ 7= 12 Lc
C
&n.° de vueltas: n =
4.°
D
r
Resolución: Por dato: 3L!AB + L!CD = 3(a - b) + a + 3b = 12 & 3a - 3b + a + 3b = 12 4a = 12 a=3
10 Intelectum
4m
Por lo tanto, el área sombreada mide 28 m2.
B
rad
9m
Resolución: La figura sombreada es un trapecio circular.
3 rad 2
O
4m C
5m
2
x
3
h
Entonces: = 8 2 = 6 = 2 rad 3 3
O
A
Por propiedad, en trapecio ABCD: 3 = _a + 3bi - _a - b i 2 3
L1
L -L 1 2 h
A
Si 3L!AB + L!CD = 12 , calcula x.
O
=
L2 B
rad
Por lo tanto: S = 10p m
rad
S
36°
h
2r
12 = 12 = =
2(2)
4
3
t
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS INTRODUCCIóN Recuerda
Triángulo rectángulo Son todos los triángulos en donde uno de sus ángulos es recto. Entre sus elementos tenemos:
C a
b
Catetos: AC = b /CB = a Hipotenusa: AB = c Ángulos agudos: m+CAB = q / m+CBA = a
A b
A
c>a
c
C
a
B
c
c>b
B
Observaciones En todo triángulo rectángulo se tiene que sus ángulos agudos son complementarios es decir: a + q = 90° En todo triángulo rectángulo la medida de sus lados cumplen el teorema de Pitágoras. Observación
a2 + b2 = c2
Las razones trigonométricas no dependen del triángulo que contiene al ángulo, solo de su medida.
CÁLCULO DE LAS RAzONES TRIGONOMéTRICAS Para ángulos agudos, el cálculo de las razones trigonométricas se realiza con el ángulo contenido en un triángulo rectángulo y estableciendo la relación entre la medida de sus lados tomados de dos en dos. Nombre Cateto adyacente
Cateto opuesto
b
a
Hipotenusa
E
cateto opuesto a = hipotenusa c
seno de theta
senq =
coseno de theta
cosq = cateto adyacente = b hipotenusa c
tangente de theta
tanq =
= BC = ED tan AC AD
cotangente de theta cotq = cateto adyacente = b cateto opuesto a hipotenusa =c cateto adyacente b
secante de theta
secq =
cosecante de theta
hipotenusa cscq = cateto opuesto = ca
sen= senqcscq = 1
A
C
cateto opuesto =a cateto adyacente b
Razones trigonométricas recíprocas Si el producto de dos razones trigonométricas de un mismo ángulo es igual a la unidad, estas se denominan recíprocas. De las definiciones de razones trigonométricas observamos: 1 csc csc= 1 sen
B
Definición
c
D
1 sec sec= 1 cos
cos= cosqsecq = 1
tanqcotq = 1
tan= 1 cot cot= 1 tan
Nota Sean x e y ángulos agudos, si se cumple: senxcscy = 1 cosxsecy = 1 tanxcoty = 1 &x=y
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
11
Razones trigonométricas de ángulos complementarios Las razones trigonométricas de todo ángulo, son respectivamente iguales a las co-razones de su complemento.
Recuerda co˗razón seno
RT(q) = co-RT(90°- q)
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
Triángulos rectángulos notables 45°
60°
2a
2a
a
30°
45°
a 3
Otros triángulos notables: 143° 2 a
37°/2 3a
127° 2 a
5a
1 2
3 2
60°
3 2
1 2
1 2
1 2
37°
3 5
53°
5 2a
74°
cot
1 3
sec 2 3
3 1 3
3
csc 2 2 3
2
1
1
2
2
4 5
3 4
4 3
5 4
5 3
4 5
3 5
4 3
3 4
5 3
5 4
7 25
24 25
7 24
24 7
25 24
25 7
24 25
7 25
24 7
7 24
25 7
25 24
2a
82°
24a
4a
30°
16°
53°/2
16°
a
tan
74°
25a
3a
37°
cos
45°
53°
5a a
sen
Observación
10a
senq = cos(90° - q) tan= cot(90° - q) secq = csc(90° - q)
a
8° 7a
Efectuar 1. Halla: sen
2. Calcula: cos
3. Calcula: tan
4. Calcula: cot
13
6
2
8
6. Calcula: csc
7. Calcula: sen
4 2
4.°
8. Calcula: tan
12 Intelectum
4
3
5. Calcula: sec
3
17
2
8
1
2
5
2
7a
t
Problemas resueltos 1
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, calcula H = senA tanC secA
Resolución: co a senA = = h b co tanC = = c ca h
Resolución: B 7 #4 = 28
A b
c
a b
secA =
B
=
Luego: ABC notable de 16° y 74° x = 16° En M:
C
a
M = tan(4x + 3°) tan(2x - 9°) M = tan67°tan23°
`H = 1
Además, 67° y 23° complementarios & tan23° = cot67°
1
Luego: M = tan67°cot67 Por propiedad de razones recíprocas: M = 1
Si cot=
, halla el valor de la expresión: 3 3 tan + 3 B= 2 tan ; (: agudo)
Resolución:
1
Sabemos: tan=
cot
1 1
=
5
Calcula: cos A
= 3 &tanq = 3
B
C
9 D
Si x < 60°; calcula M = (cos3x + sen(x + 10°))2 Si se cumple: sen(x + 20°) = cos(x + 30°)
Resolución: En el ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras:
Resolución: Dato: sen(x + 20°) = cos(x + 30°) 30° + x < 90° / x + 20° < 90° Por propiedad de ángulos complementarios: x + 20° + x + 30° = 90° 2x = 40° x = 20° Luego:
(17)2 = BC2 + 82 BC2 = 172 - 82 BC = 15 Luego:
C
15 = 5 #3
2
M = (cos3x + sen(x + 10°)) M = (cos60° + sen30°)2 2 1 1 M= d + n `M = 1 2 2 4
17
8
d n
3 Reemplazando en la expresión: 3 30 = 5 _3i + 3 B= = 27 + 3 = 6 6 2_3i 3
C
25 #4 = 100
ca c Reemplazando en la expresión: a c b abc = H = a ka kd n = 1 b a c abc
2
x
A
9 = 3 #3
B
6
CDB notable de 37° y 53°: a = 37° 4 `cosa = cos37° = 5
D
Calcula:
3 cot 37° cot60%+ sec2 45%+ cot8%sec74%- 3 sec53% 2
Del triángulo ABC: B 28
A
x 100
Calcula: M = tan(4x + 3°) tan(2x - 9°)
C
Resolución: 3 cot 37° cot60%+ sec2 45%+ cot8%sec74%- 3 sec53% M= 2 25 5 h 2 M= 3 #3 # 1 + ^ 2 + 7 # 7 - 3 # 3 3 M = 3 + 2 + 25 - 5 M=
25
`M = 5
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
13
7 Si cos=
2 3
; (: agudo), calcula: E = 8tan2+ 2
Resolución: r2
Resolución: 2
cos=
3a
3
r2 - r1
a 7
&
co ca
7
a 7 =
=
a 2
=
2
7
Por semejanza:
2
4k = 5k r1 + r2 4
En la figura adjunta: tana =
A
8
N
Entonces: & r2 - r1 = 3 (+) r2 + r1 = 5 2r2 = 8 r2 = 4
. Si BN = 2AN, calcula cot. C
B
F = tand 90° n + cot d 180° n + sec(90° - q) 2 2 C
Resolución: C
5k
& A
5n
d
N
8k
2d
A
En F:
37°
4.°
B
F = tand 90° - n + cot d 180° n + sec(90° - q) 2 2 F = tand 90° 37° n + cot d 180° 37° n + sec(90° - 37°) 2 2 53° + 143° F = tan cot + sec53° 2 2 F= 1 +1 + 5
r1
14 Intelectum
4n
ABC notable de 37° y 53° & q = 37°
r2
N
El ángulo es agudo, además: senq = 0,6 = 3 5
Del gráfico, halla r 2 + r 22 . Siendo M y N puntos de tangencia, además MN = 4. 1
M
3n
B
8 Del gráfico: 3d = 8k &d = k 3 2d 8 kn 16k 16 2d 3 = = = Piden: cot= 15k 15 5k 5k `cot= 16 15 9
& r1 = 1 Luego: 2 2 2 2 r1 + r2 = 1 + 4 = 17 10 Si senq = 0,6: (q = agudo), calcula:
Resolución:
tan= 5 8
5k 37° 4k
& r1 + r2 = 5
5 8
r1
N
4
M
Reemplazando en la expresión: 2 7 7 E = 8d n + 2 = 8d n + 2 = 30 2 2 `E = 30
r1
r2
3k = r1
a 2
tan=
37°
r2
2
`F = 2,5
3
3
t
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DEFINICIóN Es el procedimiento mediante el cual se determinan los elementos desconocidos de un triángulo rectángulo a partir de otros elementos conocidos. En este caso, básicamente se tratará de calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo en función de un lado y un ángulo, ambos conocidos. Se presentan tres casos los cuales son:
CASOS
Importante La resolución de triángulos rectángulos permite calcular los elementos de un triángulo isósceles ya que se puede descomponer en triángulos rectángulos, así como también los elementos de trapecios, rombos y rectángulos.
Conocidos un ángulo agudo (q) y la hipotenusa (h) C h
x
De la figura: x = senq & x = hsenq h y h
a
a
2acos
= cosq & y = hcosq
A
y
B
a
asen
Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto opuesto (a) a
y
a
De la figura: x = cotq & x = acotq a y a
asen
= cscq & y = acscq
a
A
x
asen
C
B
Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto adyacente (c)
y
C
De la figura x = tanq & x = ctanq c
x
y c
= secq & y = csecq
A
c
Nota
B
ÁREA DE UNA REGIóN TRIANGULAR Del gráfico:
B
S = ab sen 2
a S C
El área de una región cuadrangular está dada por el semiproducto de sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo que forman dichas diagonales.
d
D
S
b
A
S: área de la región triangular ABC
S = Dd sen 2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
15
Ejemplos: 1. Del gráfico, determina x en términos de a y a. B E x
Resolución: DEB: m+DBE = m+BAD = a, además: BD = DEcsca BD = acsca ADB: AB = BDcsca x = (acsca)csca `x = acsc2a
a
A
Atención
D
G
2. Según el gráfico, halla x en función de n, a y q.
Resolver un triángulo rectángulo es hallar los valores desconocidos de sus lados y de sus ángulos. Para resolver un triángulo rectángulo es necesario conocer un lado y uno de sus ángulos agudos. Con estos datos, basta aplicar la relación de las razones trigonométricas.
Resolución: ACD: AC = ADsenq AC = nsenq
A
ABC: BC = ACsena `x = nsenqsena
n
B x
D
C
3. Del gráfico, calcula x en términos de b y a.
Resolución: BDC: m+DBC = m+EAD = BD = BCcosa BD = bcosa
B x b
BED:
E
A
m+BDE = m+EAD = EB = BDsena `x = bcosasena
C
D
Efectuar 1. Del gráfico, calcula tan.
2. Del gráfico, calcula sen.
2 6
3. Calcula sen.
5
12
9
40
4. En el gráfico, calcula: a2 + b, si tan= 4.
a
16 Intelectum
4.°
b
15
5. De la figura, calcula: a + b2, si tan= 2 . 6. Del gráfico, calcula: sen+ cos 3 b
8
17
6
a
8
t
Problemas resueltos 1
Halla HE, en función de b y .
3
De la figura, calcula x.
B
C E 16° x
3
37° 1
A
H
C
b
A
Resolución:
Resolución: Sabemos: ATACK + ATKCB = ATACB
B E
3x sen16° + x (1) sen37° = 3 (1) sen53° 2 2 2
bsen
3x
A
H
7
2 25
C
b
d
n+
x 3
3 4
2 5
2 5
&HE = (bsencos)sen `HE = bsen2cos 4 Del gráfico, halla x.
d n
Calcula: tanq + cotq Si ABCD es un cuadrado. B
B
C
2 1
C
m
3
x A
d n=
18x = 6 25 5 5 ` x= 3
En el AHB: BH = (bcos)sen= bsencos En el HEB: HE = BHsen
2
B
K
A
D
D
n
Resolución: Resolución:
B
B
2sen
A
2
1
C
m
C
4sen
x
n
Del gráfico se tiene: n + xtan= msec xtan= msec- n Multiplicando a todo por cot: x = mseccot- ncot `x = mcsc- ncot
D msec
3cos xtan
A
3 4sen
D
De la figura tenemos: 3cosq + 2senq = 4senq 3cosq = 2senq 3 = tanq 2 `tanq + cotq = 3 + 2 = 13 2 3 6
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
17
unidad 2
ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES Ángulos verticales
Nota El ángulo formado por dos líneas visuales se denomina ángulo de observación.
Se denomina ángulos verticales a aquellos contenidos en un plano vertical. Cuando se desea realizar alguna observación, ya sea de objetos o puntos, utilizamos dos términos muy comunes: ángulo de elevación y ángulo de depresión:
: ángulo de elevación : ángulo de depresión
Veamos algunos ejemplos: 1. Desde lo alto de un muro de 8 m de altura se observa las partes alta y baja de un poste ubicado al frente, con ángulos de elevación y depresión de 45° y 30°, respectivamente. Halla la altura del poste. Resolución:
: ángulo de observación
Piden: H Del gráfico: H = 8 3 + 8 H = 8( 3 + 1) m
Importante • De no indicarse la altura del observador y no siendo esta altura la incógnita del problema, entonces se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.
2. Una persona de 1,5 m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° la base, y con un ángulo de elevación de 60°, la parte superior. Calcula la altura del árbol. Resolución: Piden: h Del gráfico:
• En todo problema se recurre a la formación de triángulos rectángulos.
h = (1,5) 3 . 3 + (1,5) h = (1,5)(3 + 1) h = (1,5)4 h=6m
Ángulos horizontales Se llama así a aquellos ángulos contenidos en un plano horizontal.
Rosa Náutica Es un diagrama ubicado en planos horizontales y diseñados en base a la ubicación de los puntos cardinales que son: Norte (N), Sur (S), Este (E) y Oeste (O). El punto oeste tambien suele representarse por la letra W. La rosa Náutica se emplea para localizar la posición de objetos o personas ubicados en el plano horizontal mediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.
18 Intelectum
4.°
t
La rosa Náutica contiene a las 32 direcciones notables de la brújula, las cuales son obtenidas trazando bisectrices a partir de las direcciones principales, siendo el ángulo que forman 2 direcciones notables consecutivas de 11°15'.
Observación Direcciones principales: N
N
O
O
E
E S
Direcciones secundarias: N
S NO
NE
O
m+= 11°15' Se puede notar que la rosa Náutica tiene 32 direcciones, todas distanciadas 11°15'. La dirección NE es equivalente a escribir N45°E y viceversa, la dirección S1/4SO es equivalente a S11°15'O, la dirección NO1/4O es equivalente a N56°15'O y viceversa.
E
SO
SE S
Dirección Es la línea recta sobre la cual se encuentra la persona u objeto con respecto a una rosa Náutica, quedando determinada dicha dirección por su rumbo. Rumbo Es el ángulo agudo horizontal que forma la dirección de la persona u objeto con respecto al eje norte-sur, cuando esta se desvía hacia el este (E) u oeste (O). N A O
P
E
El rumbo de A con respecto a P es al este del norte. La dirección de A con respecto a P es N E (norte este).
S
Observación Es incorrecto indicar la dirección de las siguientes formas: NE20°, E20°N, O30°S, SO40°, 45°NE, N150°E, S270°O y otros. Se debe indicar partiendo del N o S hacia el E u O, y el ángulo debe ser menor que 90°.
Ejercicios de aplicación 1. La distancia entre dos edificios es de 60 m. Desde 2. Un submarino desciende verticalmente 100 m y luego recorre 200 m en línea recta inclinada 30° la azotea del menor de los edificios, cuya altura respecto al nivel del mar; desde este punto regresa es de 40 m, se observa la azotea del otro, con un al lugar de partida en línea recta y con un ángulo de ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del edificio más alto? elevación . Halla tan. Resolución:
Resolución: Interpretando los datos:
tan 60° = x - 40 60 x - 40 = 60tan60° x = 40 + 60 3 x = 20_2 + 3 3 i m
Nota
cos 60° = tan= = 100 + 200200sen60° `tan= 2 3 3
tanq 100
+
200c
1 200c m 32 2
En todo problema donde incluyen ángulos verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y ubicación del problema.
m
trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
19
Problemas resueltos 1
Dos observadores que están en una misma línea con la base de un edificio, observan la parte más alta de este con ángulos de elevación de 30° y 53°. Si los observadores están distanciados 39,28 m, calcula la altura del edificio. (Considera: 3 = 1,732)
3
¿Cuál es la medida del menor ángulo formado por las direcciones N20°O y S80°E?
Resolución: N N20°O
Resolución:
20°
E
O 80°
S8 0°E
S
tan30° =
4h 3h + 39, 28
&
1
4h 3h + 39, 28 1, 732 = 39, 28 = 10 &h 3, 928 `4h = 4(10) = 40 m
&El menor ángulo que forman estas direcciones es: = 20° + 90° + 10° `= 120°
=
4
Ana divisa a Sandra en la dirección N30°E y a Mely hacia el este a 80 m de distancia. Si Sandra divisa a Mely en la dirección S60°E. ¿Cuál es la distancia entre Sandra y Mely?
Resolución: 2
Desde un punto en tierra se divisa la parte alta de una torre con ángulo de elevación . Si la distancia de separación se reduce a la mitad, el nuevo ángulo de elevación es el complemento de . Halla la distancia inicial de separación, si la altura de la torre es 5 2 m.
N O
60°
N O
Resolución:
Sandra E 30° x
S
30°
60° E Ana
30° 80
Mely
S
Del gráfico: k
x=k 3
60°
30° 80 = 2k
Tenemos: + = 90°
5
5 2
d/2
Dos ciudades A y B están separadas 20 km, además B se encuentra al este de A, una ciudad C se encuentra al sur de B y a una distancia de 25 km de A. Halla la distancia entre B y C y cuál es el rumbo de C respecto de A.
N d/2 20
A
Utilizando razones trigonométricas tenemos: tan= d/2 = 5 2 & d = 5 2 d d 5 2 10 2 d2 = 50 Ç 2 d2 = 100 & d = 10 m Luego, la distancia inicial de separación es 10 m.
20 Intelectum
4.°
k = 40 x=k 3 `x = 40 3 m
Resolución:
&2k = 80
B E
x
S
C
Del gráfico: x = 25 2 - 20 2 x = 225 & x = 15 km
Además, del triángulo rectángulo se observa: tanq = 20 = 4 & q = 53° 15 3 ` El rumbo de C respecto de A es: S53°E.
t
La recta en el plano cartesiano la recta Una recta es el conjunto de puntos en el plano cartesiano, que posee una orientación y además tomando dos puntos cualesquiera su pendiente no varía. Elementos:
y
Dada la recta L:
L (x; y)
(0; b)
I. Intersección con el eje x: (a; 0) II. Intersección con el eje y: (0; b) III. Punto de paso: (x; y) (a; 0)
O
x
Observación
Ángulo de inclinación de una recta El ángulo de inclinación es aquel ángulo que es formado por una recta con el eje de las abscisas. Se mide desde el eje de las abscisas hasta la recta, en sentido antihorario, y su valor va desde cero grados 0° hasta 180°.
La pendiente será positiva si el ángulo de inclinación es agudo. y L
y
L
x
0° ##180°
Si: 0° < < 90° & m > 0
Ángulo de inclinación
La pendiente será negativa si el ángulo de inclinación es obtuso.
x
O
y
Pendiente de una recta Sean A(x1; y1) y B(x2; y2), dos puntos cualesquiera de una recta, entonces la pendiente de esa recta se calcula aplicando la siguiente fórmula: y
L
B
y2
x
y2 - y1 1
y
A
x - x 2
Si: 90° < < 180° & m < 0
y -y m = x2 - x1 2
1
O
L
x
x2
x1
1
También podemos definir a la pendiente de una recta como la tangente de su ángulo de inclinación: m = tan Ejemplo: El ángulo de inclinación de una recta es 37°, y además pasa por los puntos (4; 3) y (n; 12), calcula el valor de n. Resolución: Por dato sabemos que el ángulo de inclinación mide 37°; es decir: m = tan37° & m = 3/4 Además, conocemos dos puntos de paso de la recta, (4; 3) y (n; 12), luego: m = 12 - 3 n-4
Reemplazamos el valor de la pendiente y obtenemos: 3 = 12 - 3 & 3n - 12 = 48 - 12 4
n-4
3n = 48 ` n = 16
trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
21
Posiciones relativas de dos rectas I. Rectas paralelas Si dos rectas son paralelas, entonces los valores de sus pendientes son iguales. Es decir:
Atención Para cualquier recta perpendicular al eje x, incluyendo al eje y, ya que su ángulo de inclinación es de 90° y la tangente de este ángulo no está definida, la pendiente no existe.
Si: L1 // L2 & m1 = m2
II. Rectas perpendiculares Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1. Es decir: Si: L1 = L2
& m1 . m2 = -1
y
y L1
L2
L2
L1
x
O
x
O
Ecuación de la recta La ecuación de una recta puede ser expresada de diferentes formas, tomando en cuenta su ubicación geométrica o los datos que tengamos de ella. I. Conociendo un punto de la recta y su pendiente.
II. Conociendo dos puntos de la recta.
y
y L
Nota
A
Para toda recta paralela al eje x el valor de su pendiente siempre es igual a cero. y
L B (x2; y2)
(x1; y1) A (x1; y1) x
O L
y - y1 = d y2 - y1 n(x - x1) x2 - x1
y - y1 = m(x - x1)
x
O
x
O
m=0
III. Conociendo los interceptos de la recta con los ejes coordenados. y
L
Recuerda
IV. onociendo el intercepto de la recta con el eje de ordenadas y su pendiente (m). y
(0; b)
(0; b)
La pendiente de cualquier recta es un número real, es decir, puede tomar un valor positivo, cero o negativo.
(a; 0) O
x
O
x+y =1 a b
Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta está dada por:
y = mx + b
Ax + By + C = 0
Donde su pendiente es igual a: m = - A y B !0 B
22 Intelectum
4.°
L
t
Distancia de un punto a una recta Dada la recta L: Ax + By + C = 0 y el punto P(x1; y1), la distancia que los separa se calculará así: P d
Ax + By + C
L
1
d(P; L ) =
Importante
1
A2 + B2
Ecuación de la recta paralela al eje x. L // eje x y
Ejemplo: Halla la distancia del punto (3; 4) a la recta L: 4x + 3y + 1 = 0. L
Resolución: Dado el punto (3; 4) y la recta L: 4x + 3y + 1 = 0, la distancia entre ellos será: 4(3)+ 3(4)+ 1 25 = =5 2 2 5 4 +3 d(P; L ) =
a x
O
y=a
Ángulo entre dos rectas Cuando dos rectas orientadas se intersecan se forman 4 ángulos, a cada uno de estos ángulos se les llama ángulo entre dos rectas. Al conocer la pendiente de cada uno de las rectas intersecadas, el ángulo formado entre ellas se calcula utilizando la siguiente fórmula:
; a !R
Ecuación de la recta paralela al eje y. L // eje y y
L
L1 L2
m -m tan
1
=
2
1 + m1 . m 2
O
Donde: m1 es pendiente de L1
x
b
y=b
; b !R
m2 es pendiente de L2 Ejercicios de aplicación 1. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3; 2) y (2; -1).
Resolución: La distancia d(P; L ), es:
Resolución: Recordemos: y -y m= 2 1 x -x 2
3. Halla la distancia del punto P(2; 3) a la recta L: -3x + 4y + 4 = 0.
1
Reemplazamos para los puntos (3; 2) y (2; -1): 2 -(-1) 2 + 1 m= = =3 3-2 3-2 `m=3
d(P; L ) =
d(P; L ) =
Ax + By + C 1
1
A2 + B2 (- 3) (2)+ (4)(3)+ 4 (- 3) 2 + (4) 2
Nota La ecuación de los ejes
2. Halla la ecuación de la recta, cuyo ángulo de inclinación es 53° y pasa por el punto (2; 3). Resolución:
Pendiente: m = tan= tan53° & m = 4 3 Ecuación de la recta:
d(P; L ) = - 6 + 12 + 4 = 10 5 25 ` d(P; L ) = 2
coordenados es: Ecuación del eje x: y=0 Ecuación del eje y: x=0
y - y0 = m(x - x0) (y - 3) = 4(x - 2) 3 3(y - 3) = 4(x - 2) 3y - 9 = 4x - 8 & L : 4x - 3y + 1= 0 trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
23
Problemas resueltos 1
Intercepto con el eje x: (a; 0); reemplazamos en (I).
Demuestra que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1.
0=
Resolución: Tenemos dos rectas perpendiculares L1 y L2 de pendientes m1 y m2 respectivamente.
B
3
C (x2; 0)
(x1; 0) O (x2 - x1)
x
L2
Como A y B pertenecen a la recta, podemos tomar a uno de ellos como punto de paso, entonces:
y2 (x - x )1(x - x ) 2
Sea A(2; 4) el punto de paso y m = -6. Ecuación de la recta: y - y0 = m(x - x0)
En el triángulo ABC tenemos: (AB)2 + (BC)2 = (AC)2
2 2
2
a _x - x1 i + _ y - 0 i k + a
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2; 4) y B(3; -2).
Resolución: Hallamos la pendiente: _- 2i - _ 4 i - 2 - 4 m= = =- 6 3-2 _3i - _2 i
2
2 2
2
(y - 4) = (-6)(x - 2) y - 4 = -6x + 12 & L: 6x + y - 16 = 0
_x - x2 i + _y - 0 i k = (x2 -x1)
2x2 + 2y2 - 2xx1 - 2xx2 = -2x2x1 y2 = -x2 - x2x1 + xx1 + xx2 y2 2
4
Halla la ecuación de la recta L2.
2
= -(x - x(x1 + x2) + x2x1) y = - (x - x2)(x - x1) y y = -1 d nd n x - x1 x - x2 1 4 2 4 31 4 2 4 3 m1
`a=-2
Con el eje x: (-2; 0) Con el eje y: (0; 3)
(x; y)
A
2
& 3a + 6 = 0
Los interceptos son: L1
m1 . m2 =
2
Intercepto con el eje y: (0; b); reemplazamos en (I): b= 6 &b=3 2
y
Las pendientes son: y y m1 = / m2 = x-x 1 x-x
3 (a) + 6
(4; 8) L1: x - y + 2 = 0
m2
L2
` m1 . m2 = - 1 2
Resolución:
Resolución: Sean las pendientes de las rectas L1 y L2, m1 y m2, respectivamente. L 1: x - y + 2 = 0 & y = x + 2 &m1 = 1
L : 3x - 2y + 6 = 0
Como: L1 = L2 &m1 . m2 = -1
Halla los interceptos de la recta L: 3x - 2y + 6 = 0, con los ejes cartesianos.
y=
3 (x) + 6 ... (I) 2
Reemplazando: (1) . (m ) &m = -1 2
y
L
Ecuación de la recta L2:
(0; b)
y - y0 = m2(x - x0) (y - 8) = (-1)(x - 4) y - 8 = -x + 4 (a; 0)
24 Intelectum
4.°
O
2
L2 tiene un punto de paso: (x0; y0) = (4; 8)
x
` L2: x + y - 12 = 0
t
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Ángulo en posición norMal Un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen de un sistema coordenadas y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. Observa el siguiente gráfico:
Atención y
Lado final
Lado inicial
y
! IC; > 0 ! IIC; > 0 ! IIIC; < 0
x
x
O
es un ángulo en posición
Del gráfico, a, q y b son ángulos en posición normal.
normal.
Además, cuando un ángulo está en posición normal el lado final puede estar en alguno de los cuatro cuadrantes, en cambio si está sobre alguno de los ejes coordenados se llamará ángulo cuadrantal.
Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Sea el punto P(x; y) en el lado final del ángulo , un ángulo en posición normal, las razones trigonométricas son: ordenada = y csc= radiovector = r sen= ordenada y radio valor r radiovector = r abscisa = x sec= cos= radio abscisa x vector r abscisa = x cot=
y tan= ordenada = abscisa x
ordenada
Importante
y
razones trigonoMétricas De Ángulos cuaDrantales
Si el giro del ángulo es en sentido antihorario, el ángulo es positivo y si es en sentido horario, el ángulo es negativo.
Las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales se detallan en el siguiente recuadro: RT m+
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0°
0
1
0
ND
1
ND
90°
1
0
ND
0
ND
1
180°
0
-1
0
ND
-1
ND
270°
-1
0
ND
0
ND
-1
360°
0
1
0
ND
1
ND
Recuerda y P(x; y)
y r
O
ND: no definido
ordenada x
x abscisa
r = x2 + y2
;r>0
Ejemplo:
sen + cos+ sec2+ cos 3 2 2 Calcula: E = csc + tan 2 Resolución: Notamos que en E los ángulos están expresados en radianes y cada uno de ellos representan un ángulo cuadrantal, reemplazando sus valores tenemos: sen/2 = 1 cos= - 1 sec2= 1 cos3/2 = 0 csc/2 = 1 tan= 0
Reemplazamos estos valores en E: (1)+ (- 1) + (1)+ (0) (1) + (0) 1 E= =1 1 E=
trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
25
Ángulos coterMinales Dos ángulos trigonométricos son coterminales si tienen el mismo lado inicial, lado final y vértice. La única diferencia entre ángulos coterminales es el número de vueltas. Observación Los valores de las razones trigonométricas de los ángulos 0° y 360° son equivalentes por ser ángulos coterminales.
Los ángulos coterminales cumplen las siguientes propiedades: a) La diferencia de dos ángulos coterminales es un número que se representa por 360°k, k es entero, es decir: sean y dos ángulos coterminales, se cumple:
- = 360°k; k !Z b) Siendo y ángulos coterminales, y en posición normal, como se muestra en el siguiente gráfico: y
sen=
r
cos=
x
tan=
r x r y
= sen & sen= sen = cos & cos= cos
= tan & tan= tan x Se cumple de la misma manera para las demás razones trigonométricas.
P(x; y)
Recuerda
y
Ejemplos de aplicación
Las equivalencias de los ángulos cuadrantales en radianes son: = 90° ; 180° = 2 3 = 270° ; 2= 360° o 0° 2
1. Si los puntos (3; 6) y (b; 10) pertenecen al lado final de un ángulo que se encuentra en posición normal, halla el valor de b. Resolución: Como ambos puntos pertenecen al lado final del mismo ángulo, sus razones trigonométricas son iguales.
Resolución: se encuentra en posición normal. x = 2; y = 3 &r = 13 _ y i = 3 $ 13 sen= 13 _ 13 i r y
Si llamamos al ángulo, entonces: 6 10 tana = = 3 b b=5 2. Si !IVC y sen= -24/25. Halla el valor de: M = csc- cot Resolución: Se cumple: x2 + (-24)2 = (25)2
(2; 3)
r
x
O
`sen= 3 13 13 - 12
y
N = csca + cota 2
Atención En los dos casos, ambos ángulos son coterminales.
O
x 25
x = 625 - 576 x2 = 49 x x=7
Resolución: cosa = x = - 12 , entonces: x = -12, r = 13 r 13
-24
y
Piden: M = csc- cot (r - x) (25 - 7) M= r - x & M= = = 18 = - 3 y y y - 24 - 24 4
x
y
y
x
-12 13
3. Halla sen, de la siguiente figura: b)
y
y
Se cumple: y = - 13 2 - 12 2 y=-5
(2; 3)
x
0
26 Intelectum
4.°
x
Nos piden: 1 N = - 13 + 12 = 5 5 5
t
Problemas resueltos 1
Dos ángulos coterminales están en la relación de 4 a 13. Halla la suma de ambos, si el mayor es el máximo ángulo menor que 800°.
Resolución: Sean y los ángulos ( > ): = 13k 13 = =k& 4 = 4k
Respecto al mayor ángulo: 13k < 800° 13(40°n) < 800° 520n < 800° n < 1,53 & n = 1
Como son ángulos coterminales, deducimos: - = 360°n 13k - 4k = 360°n 9k = 360°n & k = 40°n; n !Z - {0}
Pero el punto (a - 1; 1 + a) ! IC, por lo tanto la abscisa y la ordenada deben ser positivas, entonces: a = 3 . x = a - 1 = 3 - 1 tan= y = 3 +1 $ 3 +1 = 2+ 3 y=1+a=1+ 3 x 3 - 1 ^ 3 + 1h Reemplazando en la expresión: T = 2(tan 4
Calculamos la suma: + = 13k + 4k = 17k = 17(40°n) + = 17(40°)(1) ` + = 680°
3 ) = 2((2 + 3 ) - 3 ) = 2(2) = 4
Del gráfico, halla: R = tan+ cot y (a + 1; 1 - a) 2 5
x
O
2
Indica el signo de las siguientes expresiones: M = cos 740° . tan 1236° sen830° . cot 278°
/ N = tan 1150° . cos 570° csc 780° . sec 1450°
Resolución: Para calcular el valor de a, aplicamos: x2 + y2 = r2 (radio vector)
Resolución: Descomponemos los ángulos, para que nos resulte más fácil determinar a qué cuadrante pertenecen. 740° = 360°(2) + 20°
2
&(a + 1)2 + (1 - a)2 = _2 5 i (a2 + 2a + 1) + (1 - 2a + a2) = 20 2a2 + 2 = 20 a2 = 9 &a = !3
& 740° !IC & cos740° (+)
1236° = 360°(3) + 156° & 1236° !IIC & tan1236° (-) 830° = 360°(2) + 110° & 830° !IIC & sen830° (+) 278° = 360°(0) + 278° & 278° !IVC & cot278° 1150° = 360°(3) + 70°
Pero el punto (a + 1; 1 - a) !IIC, por lo tanto la abscisa debe ser negativa y la ordenada positiva; para que eso se cumpla: a = -3
(-)
& 1150° !IC & tan1150° (+)
Luego: x = a + 1 = (-3) + 1 = -2 y = 1 - a = 1 - (-3) = 4
570° = 360°(1) + 210° & 570° !IIIC & cos570° (-) 780° = 360°(2) + 60°
& 780° !IC & csc780° (+)
1450° = 360°(4) + 10°
& 1450° !IC & sec1450° (+)
Nos piden: y R = tan+ cot= a k + d x n = d- 4 n + d- 2 n x y 2 4 1 5 R = -2 - =2 2
Reemplazamos los valores para M y N: M=
(+) (-) (+) (-)
=
(-) (-)
= (+); N =
(+) (-)
= (+) (+)
(-)
= (-) (+) 5
3
Calcula el valor de T = 2(tan -
3 ).
y
y (a - 1; 1 + a)
O
De la figura mostrada, calcula tan, si AM = BM.
(3 - a; a + 3) x
A(4; 0)
O
M
x
B(0; -2)
Resolución: M punto medio de extremos A y B.
Resolución: y tan= , del gráfico: x a+3 1+a tan= = 3-a a-1 (a + 3)(a - 1) = (3 - a)(1 + a) &6 = 2a2 3 = a2 &a = ! 3
M = d 4 +2 0 ; 0 + (- 2) n = (2; -1) 2 M pertenece al lado final del ángulo a (a en posición normal). y -1 =- 1 tan= = x 2 2
trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
27
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE casos Se presentan los siguientes casos: a) Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° + ; 180° !; 270° !; 360° –
Recuerda
sen csc (+)
Todas positivas
tan cot (+)
cos sec (+)
180° ! RT f360° - p = !RT ()
RTf
90° + 270° !
p = !(CO RT ())
Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro se asume que a sea agudo, con el fin de determinar el cuadrante del ángulo del primer miembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de dicho ángulo.
90°
2
90° 180° 180°
Nota Tenga en cuenta que al reducir un ángulo al primer cuadrante no siempre el ángulo agudo, final es notable. Ejemplo: sec100° = sec(90° + 10°) = -csc10°
180° 270°
270° 360°
3 2
3 2 2
0 2
3 2
270°
Ejemplos: Reduce al primer cuadrante. 1. sen(180° - ) = sen 2. tan(360° - ) = tan 3. cos(180° + ) = -cos 4. sec(360° - ) = sec
cot250° = cot(270° - 20°) = tan20°
0° 360°
2
5. 6. 7. 8.
sen(90° + ) = cos sec(270° + ) = csc cos(90° + ) = -sen cot(270° - ) = tan
b) Para razones trigonométricas cuyo ángulo es de la forma 360° n + / n !Z RT(360°.n + ) = RT() Ejemplos: Reduce al primer cuadrante. Observación Si al efectuar una reducción, todavía no se llega al primer cuadrante, entonces se prosigue como en el primer caso. Ejemplo: csc1020° = csc(2 #360° + 300°) = csc300° = csc(270° + 30°) = -sec30° =- 2 3 3
28 Intelectum
4.°
1. cos755° = cos(360° #2 + 35°) = cos35°
3. tan1172° = tan(360° #3 + 92°) = tan92° = tan(90° + 2°) = -cot2°
2. csc3965° = csc(360° #11 + 5°) = csc5°
4. sec5600° = sec(360° #15 + 200°) = sec200° = sec(180° + 20°) = sec20°
c) Para razones trigonométricas de ángulos negativos sen(-) = -sen cos(-) = cos tan(-) = -tan
cot(-) = -cot sec(-) = sec csc(-) = -csc
t
Ejemplos: Calcula el valor de las siguientes RT: 1. tan(-53°/2) = -tan(53°/2) =- 1 2
2. sec(-37°/2) = (sec37°/2) =
3. sen(-1185°) = - sen1185° = - sen(360° #3 + 105°) = - sen105° = - sen(90° + 15°) = - cos15° =- d 6 + 2 n 4
10 3
Nota
4. cot(-1784°) = - cot1784° = - cot(360° #4 + 344°) = - cot344° = - cot(360° - 16°) = -(-cot16°) = 24 7
Propiedades adicionales: sen(- ) = -sen(- ) cos(- ) tan(- ) cot(- ) sec(- ) csc(- )
= cos(- ) = -tan(- ) = -cot(- ) = sec(- ) = -csc(- )
Propiedades 1. Si: + = 180° Se cumple: sen= sen ; cos= -cos ; tan= -tan Demostración:
!IIC
Ejemplos: sen37° = sen143° cos45° = -cos135° tan60° = -tan120°
= 180° - & cos= cos(180° - ) cos= -cos 2. Si: + = 360° Se cumple: sen= -sen ; cos= cos ; tan= - tan Demostración:
!IVC
Ejemplos: sen315° = -sen45° cos300° = cos60° tan307° = -tan53°
Recuerda
= 360° - & sen= sen(360° - ) sen= -sen
Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro, debemos analizar en qué cuadrante cae el ángulo que se va a reducir.
Ejemplos de aplicación 1. En un triángulo ABC, reduce: tan A + C cos 2A 2B d n + i _cos 2C B2 T= + cot 2 Resolución: Dato: A + B + C = 180° 2A + 2B + 2C = 360° / A + B + C = 90° 2 2 2 2A + 2B = 360° - 2C /
A + C = 90° - B 2 2 2
Reemplazando: B tan 90° d n cos _360° - 2Ci B2 cos 2C T= + cot 2 cot B 2 2C T = cos B = 1+1 = 2 cos 2C + cot 2
2. Calcula P: P = tan + tan 5 - tan 7 - tan 11 12 12 12 12 Resolución: Realizamos reducción del primer cuadrante: 7 5 5 tan = tan cm = - tan 12 12 12 11 = tan = tan tan ` 12 12 j 12 Reemplazamos: P = tan + tan 5 - c- tan 5m - `- tan j 12 12 12 12 5 5 P = tan + tan + tan + tan 12 = ; 12 + 125E 12 P 2 tan tan 12 12 Pero: tan = tan 15° = 2 - 3 12 5 tan = tan 75° = 2 + 3 12 Luego: P = 262 P=8
3 +2+ 3@
trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2
29
Problemas resueltos 1
Calcula: A = sen810°cos1200°tan1215°
5
E=
Resolución: A = sen(2 #360° + 90°)cos(3 #360° + 120°)tan(360° #3 + 135°) A = sen90°cos120°tan135° A = sen90°cos(180° - 60°)tan(180° - 45°) A = 1 (-cos60°)(-tan45°) 1
Entonces: sen (90° + ) tan (180° + ) E = cos (90° + ) tan (270° + )
1
Calcula: E = cos310° + cos355° + cos3170° + cos3125°
sen cosd cosn (+ cos ) (+ tan ) E= = (- sen) (- cot ) sena cos k sen
Resolución:
E=
E = cos310° + cos355° + cos3(180° - 10°) + cos3(180° - 55°) E = cos310° + cos355° - cos310° - cos355° E=0
6
Si a + b = 90°, calcula el valor de: 3sen_2a + b i + 4cosa E = 4cos 2b + a + 3senb _ i
Simplifica: E = sen100° + cos350° - sen170° - cos280°
Resolución:
Resolución: 3sen_90° + ai + 4cosa E= 4cos_90° + bi + 3senb
sen_90° + 10°i + cos _360° - 10°i E = - sen 180° - 10° - cos 270° + 10° _ i _ i
E = 3cosa + 4cosa = 7cosa - 4senb + 3senb - senb
+ cos10° E = - cos10° sen10° - sen10°
E=
E = 2cos10° - 2sen10° 4
sen sen(90° - ) cos = = cos cos cos
E=1
E = cos310° + cos355° + (-cos10°)3 + (-cos55°)3
3
sen (+ 2) tan (2+ 3) cos (2+ ) tan (4+ 3)
Resolución: Dato: + = 90°
A = d- n (-1) & A = 2 2 2
Siendo y complementarios, simplifica:
Resolución: tan _180° - 25°i - tan _90° + 25°i M = tan 180° - 25° + tan 90° + 25° _ i _ i + cot25° M = -- tan25° tan25° - cot25° Reemplazando: tan25° = a /cot25° = 1 a 2 -a + 1 -a + 1 a - a2 - 1 M= a = = 1 2 -a -a - 1 - _a 2 + 1 i a a 2 M = a2 - 1 a +1
30 Intelectum
7
=
7senb - senb
Simplifica: A = tan 2 + tan 5 + tan 8 + tan 11 13 13 13 13
Resolución: A = tan 2 + tan 5 + tan 8 + tan 11 13 13 13 13 Propiedad: si + = rad &tan= -tan 2 + 11 = & 2 = 11 tan tan 13 13 13 13 5 8 5 8 + = &tan = - tan 13 13 13 13 Reemplazando: A = tan 2 + tan 5 - tan 5 - tan 2 13 13 13 13 A=0
4.°
- senb
E = -7
& E = -cot10°
Si tan25° = a, calcula: tan155° - tan115° M= tan155° + tan115°
7cos_90° - bi
unidad 3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA DEfINIcIóN Es aquella circunferencia canónica, cuyo radio tiene como longitud a la unidad. Observemos el siguiente gráfico y sus elementos. y B1
P
A' R = 1 O -1
A 1
x
x2 + y2 = 1
: arco positivo (sentido horario). : arco negativo (sentido antihorario).
R
B' -1
O(0; 0): origen de coordenadas. A(1; 0): origen de arcos. B(0; 1): origen de complementos de arcos. A'(1; 0): origen de suplementos de arcos.
Importante A la circunferencia trigonométrica, también se le conoce como circunferencia unitaria ya que su radio es igual a 1; es decir:
Del gráfico el punto P y R son los extremos de arcos, a su vez estos arcos se encuentran en posición normal.
LÍNEAs TRIGONOMéTRIcAs Como sabemos, la circunferencia trigonométrica tiene de radio a la unidad, las razones trigonométricas se representarán mediante segmentos de recta que se les denominará líneas trigonométricas.
Línea trigonométrica seno El seno de un arco en la CT se representa mediante la ordenada del punto que está en el extremo del arco. y P(x1; y1)
Observación En toda CT se cumple que el arco y el ángulo central correspondiente, se cumple que numéricamente son iguales. y
Del gráfico:
sen
A
O
sen
B
sen= y1 / sen= y2 x
Variación:
rad
A'
B'
Ejemplo:
RT(rad) = RT() !R
Halla la variación de la expresión: P = 3senx + 1
-1 #senx #1; 6x !R Multiplicamos a esa expresión por 3: -3 #3senx #3
x
-1 #senx #1; 6x !R
R(x2; y2)
Resolución: Sabemos que para el seno se cumple:
A
O
Le sumamos 1: -3 + 1 #3senx + 1 #3 + 1 -2 #3senx + 1 #4 -2 #P #4 Luego, tenemos: P ![-2; 4]
Línea trigonométrica coseno El coseno de un arco en la CT se representa mediante la abscisa del punto que está en el extremo del arco. y
Nota
Entonces:
Q(x2; y2)
cos O
P(x1; y1) cos x
cos= x1 / cos= x2 Variación: -1 #cosx #1; 6x !R
Variación analítica del seno. Variación IC IIC IIIC IVC angular Función seno
(+) (+) (-)
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
(-)
31
Ejemplo: Halla el máximo valor de:
Nota
k = 1 cosx + 1 3
Variación analítica del coseno. Variación angular Función coseno
IC IIC IIIC IVC
Resolución: Por teoría sabemos que:
(+) (-) (-)
(+)
-1 #cosx #1
1 1 1 - # cosx # 3 3 3 1 1 1 - + 1 # cosx + 1 # + 1 3 3 3 2 # #4 k 3 3
Dividimos entre 3: Sumamos 1:
Por último tenemos: k ![2/3 ; 4/3]
Línea trigonométrica tangente La tangente de un arco en la CT es la ordenada del punto de intersección, entre el eje de la tangente y la prolongación del radio que contiene el extremo del arco.
Nota Variación analítica de la tangente.
y M(1; y1)
Variación IC IIC IIIC IVC angular Función (+) (-) (+) (-) tangente
tan= y1 / tan= y2
Entonces:
Variación:
x
O
tan P(1; y2)
-3 < tanx < +3; 6x !R - $^2k + 1h .; 2 k !Z
Ejemplo: Determina la variación de: M = 2tan- 3;
si !IIIC
Resolución: Por dato sabemos que !IIIC, analizamos el siguiente gráfico: y
Entonces: 0 < tan< + 3 0 < 2tan< + 3 -3 < 2tan- 3 < +3 -3 < M < +3 Por lo tanto, la variación de M será: M ! G-3; +3H
+3 tan 0
O
x
Nota Variación analítica de tu cotangente.
Línea trigonométrica cotangente La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. y
Variación angular Función cotangente
IC IIC IIIC IVC
R(x1; 1)
(+) (-) (+) (-)
O
32 Intelectum
4.°
Q(x2; 1)
x
Entonces: cot= x2 / cot= x1 Variación: -3 < cotx < +3; 6x !R - {k}; k !Z
t
Línea trigonométrica secante La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.
Nota Variación analítica de la secante.
y
Entonces:
Variación IC IIC IIIC IVC angular
sec= x1 / sec= x2 M(x2; 0)
x
O
Función secante
Variación:
N(x1; 0)
(+) (-)
(-)
(+)
1 #secx 0 secx #-1 6x !R - $^2k + 1h .; k !Z 2
Ejemplo: Halla la extensión de: B = 3sec2x + 5 Resolución: Sabemos que la variación de la secante es: secx #-1 0secx $1 Elevamos al cuadrado y multiplicamos por 3: sec2x $1 3sec2x $3 3sec2x + 5 $3 + 5 3sec2x + 5 $8 B $8 Luego, la extensión de B es: [8; +3H
Línea trigonométrica cosecante La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y.
Nota Variación analítica de la cosecante. Variación
y P(0; y1)
csc= y1 / csc= y2
O
angular Función
Entonces:
cosecante
IC IIC IIIC IVC (+) (+) (-) (-)
Variación:
x
1 #cscx 0 cscx #-1 6x !R - {k}; k !Z
Q(0; y2)
ARcO cUADRANTAL Los arcos cuadrantales son aquellos arcos dirigidos en posición normal, cuyo extremo coincide con algunos de los puntos de intersección de los ejes con la CT. Ejemplos: y
y
y
/2
O
y
x -
O
x
O
x
x
O -3/2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
33
Problemas resueltos 1
Resolución: Usaremos valores positivos por tratarse de distancias.
Ordena de menor a mayor; utilizando la circunferencia trigonométrica. sen5°; cos10°; sen120°; cos170°
y
cos 1
En el triángulo rectángulo AOB: B sen
Resolución: Graficamos los ángulos y las razones trigonométricas en la CT: -1 A |-1| CT
3P - 1
sen5°
5°
-1
-1
cos10°
0
1 + sen2
1 x
O
1
cos170°
(AB)2 = (|-1|)2 + (sen)2 ` AB =
y 120° 170°
1
x
4
Si !IVC, determina la variación de P, en: tan=
2
Resolución: Como !IVC, se tiene:
CT -1
1
tan
Halla la variación de k, si: -1
Resolución: Sabemos: -1 #sen#1 Formamos la expresión k: Multiplicamos por 3: -1 # 3 #(sen) # 3 #1 # 3 -3 #3sen#3 Multiplicamos por (-1): -3#(-1) $(3sen)#(-1) $(3)#(-1) Cambia el sentido 3 $- 3 sen$- 3 5 $2 - 3 sen$- 1 5 $ 2 - 3sen $- 1/2 2 2
Sumamos 2: Dividimos entre 2: Al final tenemos:
5/2 $k $-1 /2 ` k ![-1/2; 5/2]
5
-3
En la CT mostrada, calcula el área sombreada. y CT
x
Resolución: Para hallar el área sombreada la dividimos en dos triángulos rectángulos: y
En la circunferencia trigonométrica halla AB, en términos de .
CT A2 cos cos
y 1 B -1 A
O
4.°
sen
sen
A1
CT 1 x
-1
34 Intelectum
3 1 3 & > >-3 P 3 ` P !G-3; 1/3H
x
O
k = 2 - 3sen 2
3
+3
1
Del gráfico, tenemos: cos10° > sen120° > sen5° cos170° < 0 Luego ordenamos: cos10° > sen120° > sen5° > cos170° 2
Luego: 0 > tan> -3 0 > 2 tan> -3 1 > 2tan+ 1 > - 3 1 > 2 tan + 1 > - 3
y
-1
ATotal = A1 + A2 sen_2cosi sen_2cosi + AT = 2 2 AT = sencos+ sencos= 2sencos AT = 2sencos
x
t
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEfINIcIóN Son igualdades entre razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor de la variable angular en cuya razón trigonométrica que interviene se encuentra definida.
IDENTIDADEs fUNDAMENTALEs A continuación analizaremos las 8 identidades trigonométricas fundamentales divididas en tres grupos: identidades recíprocas, por división y pitagóricas.
Importante Estas identidades se desprenden de las identidades recíprocas:
Identidades recíprocas sen=
cscsen= 1
seccos= 1
... (I)
... (II)
tancot= 1
... (III)
1 csc
csc=
1 sen
1
Demostración: Para demostrar la identidad recíproca (I) tomaremos como referencia el primer cuadrante de la circunferencia trigonométrica.
sec=
tan=
1
cos 1 cot
cos=
sec
cot=
1 tan
P a
1
sena
a
O cosa
R
Por definición de razón trigonométrica: csc= OP = 1 & cscsen= 1 PR sen Observación
Además tenemos que analizar el cociente y los valores admisibles para .
Debes tener en cuenta que: P(cos; sen)
Es decir: sen!0 & !n, n !Z
y
r=1
Por lo tanto: cscsen= 1
; 6!R - {n}; n !Z
Analizamos la identidad recíproca (II); del gráfico anterior y por definición de la razón trigonométrica tenemos: OP 1 = sec= cos & seccos= 1 OR Analizando el cociente: cos!0 & !(2n + 1)
2
x
(cos; sen) = (x; y)
; n !Z
Por lo tanto:
seccos= 1
A
0
; 6!R - (2n + 1)
2
; n !Z
Por último analizaremos la identidad (III); nuevamente observaremos el gráfico anterior y por definición tenemos: tan= PR OR
/ cot= OR & cot=
PR
1 & cottan= 1 tan TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
35
Luego: tan ! 0 & !n
2
Luego: cottan= 1
; n !Z ; 6 !R - ( n); n !Z 2
Identidades por cociente
Importante De las identidades pitagóricas tenemos también las siguientes identidades:
tan= sen cos
cot= cos sen
csc2- cot2 = 1
Demostración:
sec2 - tan2= 1 sec2 - 1 = tan2 csc2 - 1 = cot2 sen2= 1 - cos2 cos2 = 1 - sen2
y
sen
Tomando en cuenta que: (x; y) = (cos; sen) tenemos: tan= = x cos Luego: cos!0 & !(2n + 1) ; n !Z 2 sen Por lo tanto: tan= ; 6 !R - (2n + 1) ; n !Z cos 2 Por lo anterior tenemos: cot= x = cos y sen Luego: sen!0 & !n; n !Z Por lo tanto:
cot=
cos sen
; 6 ! R - (n); n ! Z
Identidades pitagóricas sen2+ cos2= 1
tan2+ 1 = sec2
cot2+ 1 = csc2
Demostración: Tomando en cuenta el gráfico anteriormente mostrado tenemos: 2
2
PR + OR = 1 & sen2+ cos2= 1 ; 6 !R De la identidad anterior, la dividimos entre cos2: sen2 cos2 = 1 & tan2+ 1 = sec2 e 2 + o cos cos2 cos2 En este caso la restricción será para cos2: cos2!0 & !(2n + 1) , n !Z 2 2 2 & tan + 1 = sec , 6 !R - (2n + 1) ; n !Z 2 Observación
Por último dividimos a esa misma identidad entre sen2:
De la identidad pitagórica: sen2 = 1 - cos2 = (1 - cos)(1 + cos) 2
e
sen2 + cos2 = 2
sen
2
sen
1
o sen
& 1 + cot2= csc2
2
2
cos = 1 - sen = (1 - sen)(1 + sen)
La restricción sería, por este caso para sen2: sen2!0 & !n; n !Z & 1 + cot2= csc2; 6 ! R - (n); n !Z En los siguientes ejemplos mostramos las diferentes aplicaciones de las identidades. 1. Simplifica: E = sentan + cos cos cot + sen
36 Intelectum
4.°
Resolución: Siempre es conveniente usar las expresiones en función a senos y cosenos. sen2 + cos sen2 + cos2 sen` senj + cos cos cos cos E= = = 2 cos cos + sen2 cos + sen j + sen cos ` sen sen sen Identidad pitagórica
6 4244 7 4 444 28 sen(sen 2 + cos 2 ) = sen= tana E = cos (cos + sen ) cos 1 4 44 2 4 444 3 Identidad por cociente Identidad pitagórica
t Observación De los ejemplos dados. observamos que las identidades son utilizadas para diferentes tipos de problemas: • Problemas para demostrar. • Problemas para simplificar. • Problemas condición.
4 2. Demuestra: sec - 1 - 1 = sec2 tan2
con
alguna
Resolución: Para demostrar esta igualdad, trabajaremos reduciendo el miembro de la izquierda. Identidad pitagórica
6 44 7 44 8 2 2 sec - 1 - 1 = (sec - 1) (sec + 1) 2 2 tan tan 4
-1
2 2 sec4 - 1 - 1 = (tan ) (sec + 1) - 1 2 2 tan tan
Simplificando tan2, tanto en el denominador como en el numerador, concluimos: sec4 - 1 - 1 = sec2 + 1 - 1 = sec2 tan2 4
` sec - 1 - 1 = sec2 tan2
Para la demostración de identidades se sugiere seguir los siguientes pasos: • Se escoge el miembro más operativo. • Se transforma la expresión a senos y cosenos (en general). • Se utilizan las identidades fundamentales.
3. Si tan+ tan2= 1 calcula: P = cot- tan Resolución: Multiplicamos la expresión dada por cot: (cot)tan+ (cot)tan2= (cot) . 1 1 + tan= cot & tan= cot- 1
Nota
(Aplicamos Identidad recíproca) ... (1)
Nos piden calcular: P = cot- tan= cot- (cot- 1) = 1
IDENTIDADEs AUxILIAREs
Observación La demostración de cada una de las identidades auxiliares se realiza utilizando las identidades fundamentales.
Las siguientes identidades son muy utilizadas: 1. sen4+ cos4= 1 - 2sen2. cos2 2. sen6+ cos6= 1 - 3sen2. cos2 3. (1 ! sen!cos)2 = 2(1 !sen)(1 ! cos) 4. tan+ cot= sec. csc 5. sec2+ csc2= sec2csc2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
37
Problemas resueltos 1
sen4+ cos4+ 2sen2cos2= 1 Por dato: sen4+ cos4= 1 2 Reemplazamos: 1 + 2sen2cos2= 1 2 2sen2cos2= 1 - 1 = 1 2 2 sen2cos2= 1 4 Nos piden calcular: 1 1 = = 4 R= 2 2 1 sen cos 4
Demuestra: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] = 2tan
Resolución: Tomando en cuenta la nota dada anteriormente escogeremos el miembro de la izquierda por ser más operativo: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] [sec+ (tan- 1)][sec- (tan- 1)] Hemos agrupado de tal manera, que se forme una diferencia de cuadrados, observa: sec2- (tan- 1)2 = 1 + tan2- (tan2- 2tan+ 1) Entonces agrupando términos semejantes: 1 + tan2- tan2+ 2tan- 1 = 2tan
4
Por lo tanto, se demuestra que: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] = 2tan 2
Simplifica:
Simplifica la expresión: Y=
1 - sec x^1 + cos xh 1 - csc x^1 + senxh
Resolución:
6 4 17 4 8 1 - sec x (1 + cos x) 1 - sec x - sec x cos x Y= = 1 - csc x - csc xsenx 1 - csc x (1 + senx) 14243
E = 1 + cos x - senx senx 1 - cos x
1
Resolución: Multiplicamos en aspa la expresión dada: (1 + cos x) (1 - cos x) - (senx) (senx) E= (senx) (1 - cos x) (1 - cos2 x) - sen2 E= (senx) (1 - cos x) Recordemos la siguiente identidad pitagórica: sen2x = 1 - cos2x
Y = 1 - sec x - 1 = - sec x = sec x csc x 1 - csc x - 1 - csc x 1 cos x Y = sec x = = senx = tan x 1 csc x cos x senx ` Y = tanx 5
Si: secx + tanx = 4 calcula: T = 15cotx + 17cosx
Reemplazamos en E; obtenemos: 2 2 E = sen x - sen x = 0- cos x) (senx) (1 (senx) (1 - cos x)
E=0 3
Si: sen4+ cos4= 1 2 calcula: R = sec2+ csc2
(4)
Resolución: Expresamos a R, en función de senos y cosenos: Identidad pitagórica
R=
1
+
cos2
6 42 44 7 4 4442 8 = sen + cos sen2 cos2 sen2 1
2 R = 1 2 cos sen
Sabemos que: (sen2+ cos2)2 = (1)2 sen4+ 2sen2cos2+ cos4= 1
38 Intelectum
Resolución: Sabemos por identidad pitagórica: sec2x - tan2x = 1 (secx + tanx)(secx - tanx) = 1
4.°
1 4 Se forma el siguiente sistema: secx + tanx = 4 ... (I) 1 ... (II) secx - tanx = 4 Sumando (I) y (II): 1 = 17 2secx =17 4+ 4 8 secx = 4 &cosx = 8 17 Restando (I) y (II): 15 &cotx = 8 2tanx = 4 - 1 = 15 & tanx = 4 4 8 15 Reemplazamos los valores en la expresión: T = 15cotx + 17cosx = 15 c 8 m + 17 c 8 m = 8 + 8 15 17 ` T = 16 &secx - tanx =
ángulos
t
compuestos
Cuando estudiamos trigonometría nos encontramos con expresiones como: sen(+ ) y cos(- ). Es importante escribir estas expresiones en términos de sen, cos, seny cos. Puede resultar muy tentador reemplazar: sen(+ ) por sen+ sen y sen(- ) por cos- cos, pero esto es un error, para ello basta tomar: Entonces: 3 +1 sen + = sen = 1 ; sen + sen = ` j = y = 3 6 2 3 6 2 3 6 3 1 - 3 cos ` 3 - 6 j = cos = ; cos - cos = 6 2 3 6 2
Atención Aquellas identidades que se deducen de las identidades de la suma y de la diferencia de dos ángulos se llaman identidades auxiliares, estas son:
IDENTIDADEs DE LA sUMA y DIfERENcIA DE DOs áNGULOs Identidades de la suma de dos ángulos sen(+ ) = sencos+ cossen
sen(- ) = sencos- cossen
cos(+ ) = coscos- sensen
cos(- ) = coscos+ sensen tan(- ) =
1 - tantan
Ejemplos: 1. Calcula sen82°
• cot !cot =
1 + tantan
= sen45°cos37° + cos45°sen37° 2 .4+ 2 3 . 2 5 2 5
= 7102
sen (!) sensen
• tan! tan! tan(+)tantan=tan(!)
2. Calcula cos82°
Resolución: sen82° = sen(45° + 37°)
=
• cos( + )cos(- ) = cos2 - sen2 sen (+ ) • tan!tan= cos cos
tan- tan
tan+ tan tan(+ ) =
• sen( + )sen(- ) = cos2 - cos2
Identidades de la diferencia de dos ángulos
3. Calcula tan8°
Resolución: cos82° = cos(45° + 37°) = cos45°cos37° - sen45°sen37° 2 4- 2 3 = . . 2 5 2 5 2 = 10
Resolución: tan8° = tan(45° - 37°) = tan 45° - tan 37° 1 + tan 45° tan 37° =
1- 3 4
3 1 + 1. 4 = 1 7
pROpIEDADEs 3. Si: A + B + C = 2 se cumple:
1. Siendo f(x) = asenx + bcosx; x !R se cumple: - a2 + b2 # f (x) #
a2 + b2
cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC tanAtanB + tanBtanC + tanCtanA = 1
2. Si: A + B + C = se cumple: Nota
tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1
También se puede usar: cot+ cot+ cot37° = cotcotcot37°
Ejemplo Calcula "x"
Resolución:
+ + 37° = 90° & tantan+ tantan37° + tan37°tan= 1
37°
5 3 3 2 2 5 . + . + . =1 5 2+x 2+x 4 4 5
5
2
x
5 + x+2 + 4 = 5 . x+2 . 4 2 5 3 2 5 3 23 + x + 2 = 10 d x + 2 n 6 5 3 5 23 = 7 d x + 2 n 6 3 5 115 x+2=
23 = 7 & x = 87 14 4 (2 + x) 10
14 x = 87 14
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
39
Problemas resueltos 1
Calcula: E = 5sen(37° + x) - 3cosx
5
Resolución: Como: A + B + C = 180°
Resolución: E = 5(sen37°cosx + cos37°senx) - 3cosx E = 5( 3 cosx + 4 senx) - 3cosx 5 5 E = 3cosx + 4senx - 3cosx
Por propiedad: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
...(1)
Reemplazando el dato en (1): 3tanC + tanC = tanAtanBtanC 4tanC = tanAtanBtanC &tanAtanB = 4
E = 4senx
2
En un triángulo ABC se cumple: tanA + tanB = 3tanC Calcula: tanAtanB
Si: sen(x + y) = 3sen(x - y), calcula: E = tanxcoty 6
Resolución: senxcosy + cosxseny = 3(senxcosy - cosxseny) 4cosxseny = 2senxcosy
Si: tan+ tan= 1 y tan(+ ) = 4 3 calcula: tantan
Resolución: tan(+ ) = 4 3 tan+ tan 4 = tan(+ ) = 3 1 - tantan
senx cos y 2 = cos xseny &E = tanxcoty = 2
...(1)
Reemplazando el dato: tan+ tan= 1 en (1): 3
Calcula: A = 2sen50° - 4cos40°sen10°
1 4 1 - tantan = 3 & 3 = 1 - tan tan 4 3 =1 &tantan= 1 4 4
Resolución: A = 2[sen(40° + 10°) - 2cos40°sen10°] A = 2[sen40°cos10° + cos40°sen10° - 2cos40°sen10°] A = 2[sen40°cos10° - cos40°sen10°] A = 2sen(40° - 10°) = 2sen30° = 2c 1 m 2 A=1
4
Resolución:
sen10° + cos 10°
Resolución: 2;1 cos 25° + 3 2 sen25° 2 E= E 1 1 cos 10° 2 sen10° + ; 2 E 2 E=
Calcula: tan
53°
Calcula: cos 25° + 3 sen25° E=
7
26cos 60° cos 25° + sen60°sen25° @
2 6cos 45°sen10° + sen45° cos 10°@
E=
2 cos ^60° - 25°h = 2 sen^45° + 10°h
E=
2
40 Intelectum
4.°
2 cos 35° sen55°
4k
3k
53°
tan=
4k = 2 6k
3k
+ = 53° = 53° - & tan= tan(53° - ) =
tan53° - tan 1 + tan53°tan
32 32 34 - 23 = tan= = 17 1+ 4 . 2 8 1+ 9 3 3 9 6 ` tan= 17
3
t
ÁNGULOS MÚLTIPLES
IDENTIDADEs DE áNGULO DObLE • sen2= sen(+ ) = sencos+ cossen & sen2= 2sencos • cos2= cos(+ ) = coscos- sensen & cos2= cos2- sen2
En la figura que se muestra podemos hallar las RT del ángulo doble en función de tan.
• cos2= cos2- sen2 cos2= cos2- (1 - cos2) 2 & cos2= 2cos - 1
2 & cos2= 1 - 2sen
1 + tan2
• tan2= tan(+ ) = tan+ tan 1 - tantan 2 tan & tan2= 1 - tan2 Ejemplos:
2tan
Además: • cos2= cos2- sen2 = (1 - sen2) - sen2
Observación
2 1 - tan2
4
1. Si tan=
5 Resolución:
, halla sen2.
41
4
sen2= 2sencos sen2 = 2 4 . 5 41 41 40 sen2 = 41
5
2. Si sen= 5 , calcula cos2. 13 Resolución:
Nota
cos2= cos2- sen2 12 2 5 13
5
12
cos2 = c
De las identidades de ángulo doble se deducen:
2
m -c m 13 13 144 - 25 = 119 cos2 = 169 169 169
cot+ tan= 2csc2 cot- tan= 2cot2
3. Si: tan2+ 5tan= 1, calcula tan2. Resolución: Del dato: 1 - tan2= 5tan Luego: tan2= 2 tan2 1 - tan 2 tan tan2= 5 tan ` tan2= 2 5
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
41
IDENTIDADEs DE áNGULO MITAD cos= 1 - 2sen2 2 2 2sen = 1 - cos 2 Observación
El signo + o - depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad y de la RT que lo afecte.
&
sen
2
1 - cos =!
2 1. Si: cosx = -
3 calcula sen x . 2
sen x =+ 2
2
=
` sen x = 2
2. Si: cos=
&
3 =
2
30 6
0° < ° < 90° & 0° <
2 1 + cos 2
cos = + 2 1 + 18
2 =
5 6
.
6
2
=
< 45° &
9 3 8 = 2 4
` cos = 3 2 4
6
sen3= 3sen- 4sen3
• cos3= cos(+ 2) = coscos2- sensen2 = cos(2cos2- 1) - sen(2sencos) = 2cos3- cos- 2(1 - cos2)cos &
cos3= 4cos3- 3cos
• tan3= tan(+ 2) = tan+ tan2 1 - tantan2 2tan 1 - tan2 1 = - tan 2tan 2 1 - tan
Nota
tan+
De las identidades de ángulo triple se deducen: • sen3x = senx(2cos2x + 1)
3 & tan3= 3 tan - tan 2 1 - 3 tan
• cos3x = cosx(2cos2x - 1) • 4senxsen(60 - x)sen(60 + x) = sen3x
Ejemplos: 1. sen27° = 3sen9° - 4sen39 2. cos51° = 4cos317 - 3cos17° 3. cos15x = 4cos35x - 3cos5x
• tanxtan(60 - x)tan(60 + x) = tan3x
42 Intelectum
4.°
1 + cos
/ 0° < < 90°; calcula cos
8
• sen3= sen(+ 2) = sencos2+ cossen2 = sen(1 - 2sen2) + cos(2sencos) = sen- 2sen3+ 2sen(1 - sen2)
• 4cosxcos(60 - x)cos(60 + x) = cos3x
1 - cos
IDENTIDADEs DE áNGULO TRIpLE
cot = csc+ cot 2
!
1 - cos 2 1 + cos 2
1
1 - c- m 3 2
1 - cos x = 2
5
tan = csc- cot 2
2
=!
2
tan
&
Resolución:
= De las identidades de ángulo mitad se deducen:
1 + cos
/ 90° < x < 180°,
Resolución: 90 < x < 180° & 45° < x < 90° 2 & x !IC 2
Nota
cos
&
2
sen tan = 2 = 2 cos 2
Ejemplos:
Ejemplo: Si x !IIIC & cos b x l es (-) 2 2
cos= 2cos2 - 1 2 2 2cos = 1 + cos 2
3 21 4. tan63° = 3 tan 21° - tan 2 1 - 3 tan 21 3 3 5. tan9= 3 tan 3- tan 2 1 - 3 tan 3
2
2
!IC
.
t
Problemas resueltos 1
Simplifica: E = cosxcos2xcos4xcos8x
4
Resolución: E = 2senx (cosxcos2xcos4xcos8x) 2senx sen2x E= cos2xcos4xcos8x 2senx ^2sen2xcos 2xhcos 4x cos 8x E= 4senx E = 2sen4x cos 4x cos 8x = sen8xcos 8x 8senx 8senx E = 2sen8x cos 8x = sen16x 16senx 16senx
Si: x = , 8 calcula: W = 4senxcos3x - 4sen3xcosx
Resolución: W = 4senxcosx(cos2x - sen2x) W = 2 . 2 senxcosxcos2x W = 2sen2xcos2x W = sen4x Reemplazando x = , tenemos: 8 `W = sen` j = 1 2 5
Utilizando la fórmula: E = cosxcos2xcos22xcos23x
Del gráfico siguiente, halla a. sen80°
3+1 E = sen2 x = sen16x 3+1 16senx 2 senx
1 + cos80°
2
Simplifica: A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 8cot8
Resolución:
Resolución: Sabemos que:
sen80°
2cot2x = cotx - tanx
1 + cos80°
A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 4(2cot8) A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 4(cot4- tan4) A = tan+ 2tan2+ 2(cot2- tan2) A = tan+ 2cot2 A = tan+ (cot- tan) = cot A = cot 3
sen80° = tan 1 + cos 80° 40° = tan & 2sen40° cos 2 1 + 2 cos 40° -1 Simplificando: sen40° = tan cos40°
Halla x:
tan40° = tan&= 40° 5
4
6
Si: sen2x = 0,4; calcula E = sen4x + cos4x
Resolución: sen2x = 0,4 = 2 5
x
2
9 = x
x 1-
& 4
= 2
x x2 - 16
Sabemos que:
x x2 2 2 &9x - 144 = 8x &x = 144
2
2
2
5
4 25
(sen2x + cos2x)2 = 12 sen4x + 2sen2xcos2x + cos4x = 1 4 4 4sen2 x cos2 x m=1 sen x + cos x + c J 4 N2 K 25 4 4 O 9 = x
c m
2
2
_2senxcosxi = d n &4sen xcos x =
Resolución: Del gráfico: 9 4 tan2= / tan= x x Por identidad: tan2= 2tan 1 - tan2 8 2c 4 m
`x = 12
8x x2 - 16
4
4
2
sen x + cos x + K
= & sen x + cos x = 1 2 O 25 1 K O 1 L P 4 4 23 sen x + cos x = = 0,92 25 TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
43
7
Como: sen= - 5 &cos= - 2 3 3 -2 1+c m 3 &cos = = 1 2 2 6 `sec = 1 = 6 2 cos 2
Calcula: A = csc5° + csc10° + csc20° + cot20°
Resolución: Sabemos que: cot x = cscx + cotx `2j A = csc5° + csc10° + (csc20° + cot20°) A = csc5° + (csc10° + cot10°)
11 Calcula:
A = csc5° + cot5° A = cot2°30’ 8
3 3 E = cos 20° + cos 40° cos20° + cos40°
¿A qué es igual
Resolución:
Resolución:
3 3 4E = 4 cos 20° + 4 cos 40° cos 20° + cos 40° Utilizando las fórmulas de degradación:
E = secx + tanx – cot`45° - x j? 2 E = (csc(90° – x) + cot(90° – x)) – cot`45° - x j 2 Sabemos que: ` j csc+ cot= cot 2 E = cotc 90° - x m – cot`45° - x j
4E =
9
Si cot
2
cos 20° + cos 40°
cos20° 60° ++ cos 3 cos 40° - cos 60° 4E = 3 cos 20° + cos 40° 3^cos 20° + cos 40°h cos 20° + cos 40° 3 ` E= 4 4E =
2 2 E = cot`45° - x j – cot`45° - x j 2 2 E=0
^3 cos 20° + cos 60°h + ^3 cos 40° + cos 120°h
12 Simplifica:
3 = - , halla cosθ. 2
Resolución: cot = ! 1 + cos 2 1 - cos 3 1 + cos 3 &c- m - =1 - cos 2 2
3
1 + cos = c-
1 - cos
9 = 1 + cos 4 1 - cos
Resolución:
2
&!IIIC
Además: -11 - & - 1 2 2 2 & !IVC 2
44 Intelectum
3
3
E = cos 3x - 4 cos x + 3 cos3 x sen x + 3senx - 4sen x 2
10 Calcula sec , sabiendo que: 2 5 sen= , ! - ; 3 2 - ; -
m
2
3
^ h E = cos 3x - 4 cos x - 3 cos3x sen x + ^3senx - 4sen xh
3 x = 3 cos x^- cos x + 1h E = -3 cos x + 3 cos 3 3senx - 3sen x 3senx^1 - sen2 xh 2 3 cosx^sen xh senx E= = = tanx 2 3senx ^cos xh cos x
9 - 9cos= 4 + 4cos 5 = 13cos 5 cos= 13
Como: !
3 E = cos x - cos 3x sen3 x + sen3x
Resolución: 2
& 4E = 3
4.°
1 - 4
13 Sabiendo que: sen(60° - ) =
1 , calcula: F = sen3 3
Resolución: Haciendo: x = 60° - &senx = 1 ; además: = 60° - x 3 Luego: sen3= sen3(60° - x) = sen(180° - 3x) sen3= sen3x = 3senx - 4sen3x 1 1 3 &F = sen3= 3 c m - 4 c m 3 3 `F = 23 27
t
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS Las transformaciones trigonométricas son utilizadas para convertir sumas o restas de razones trigonométricas en producto y viceversa. Las transformaciones trigonométricas se dividen en:
TRANsfORMAcIONEs DE sUMA O DIfERENcIA A pRODUcTO Observación
senA + senB = 2sen
senA - senB = 2cos
^ A + Bh
2 ^A + Bh
2
. cos
.sen
^ A - Bh
cosA + cosB = 2cos
2
^ A - Bh
cosA-cosB=-2sen
2
^ A + Bh
2
^A + Bh
2
. cos
.sen
^ A - Bh
2
^ A - Bh
Las transformaciones trigonométricas solo se aplican en caso de tener una suma o diferencia de senos o de cosenos, no hay identidades especiales para otros casos.
2
Ejemplos: Transforma a producto: a) sen100° - sen50° = 2cos
^100° + 50°h
2
.sen
^100° - 50°h
2
= 2cos75° . sen25°
b) cos70° - cos80° = -2sen
^70° + 80°h
2 = 2sen75° . sen5°
.sen
Importante Para realizar las demostraciones de cada una de las transformaciones se deberá usar las identidades de ángulos compuestos.
^70° - 80°h
2
Propiedades Sea A + B + C = 180°, se cumple lo siguiente: senA + senB + senC = 4cos A . cos B . cos C 2 2 2
cosA+cosB+cosC=4sen A .sen B .sen C + 1 2 2 2
sen2A + sen2B + sen2C = 4senA . senB . senC
cos2A + cos2B + cos2C = - 4cosA . cosB . cosC - 1
TRANsfORMAcIONEs DE pRODUcTO A sUMA O DIfERENcIA
2senA . cosB = sen(A + B) + sen(A - B)
Nota
2cosA . cosB = cos(A + B) + cos(A - B) Identidades auxiliares 2
2cosA . senB = sen(A + B) - sen(A - B) Ejemplos: Transforma a suma o diferencia:
2senA . senB = cos(A - B) - cos(A + B)
2
cos A + cos B = 1 + cos(A + B) . cos(A - B) sen2A + sen2B = 1 cos(A + B) . cos(A - B)
a) 2cos7a . sen5a = sen(7a + 5a) - sen(7a - 5a) = sen12a - sen2a b) 2cos3q . cos2q = cos(3q + 2q) + cos(3q - 2q) = cos5q + cosq
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
45
Propiedades adicionales cos
2n + 1
Recuerda
+ cos
2n + 1
2
Veamos la siguiente propiedad:
cos
Si: A + B + C = 180°, entonces: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC
3 + cos
2n + 1
4
2n + 1
+ cos
^2n - 1h
5
2n + 1
+ ... + cos ^2n + 1h
6 + cos
2n
2n + 1
+ ... + cos
1 =-
2n + 1
2
Aplicaciones de las transformaciones trigonométricas: 1. Factoriza: M = cos8x - cos7x . cosx - cos10x . cos2x
Reemplazamos en M: M=cos8x -
Resolución:
cos10x.cos2x= 2 cos 10x. cos 2x = cos 12x + cos 8x 2 2
= 2cos 2 = 2cos20°cos10°
2 = 2sen20°cos10°
3. Calcula el valor de: sen5x+ sen3x
cos
30c- 10c c
m
2
P=
, cuando: x = rad cos 5x + cos 3x 12 Resolución: Transformamos a producto el numerador y denominador de la expresión dada: 2senc 5x + 3x m . cosc 5x - 3x m 2 2 P= 2 cosc 5x + 3x m . cosc 5x - 3x m 2 2 4. Simplifica: P = sen2x + sen4x + sen6x + sen8x Resolución: Agrupamos de manera conveniente y obtenemos: P = (sen2x + sen8x) + (sen4x + sen6x) P = 2sen5x . cos(-3x) + 2sen5x . cos(-x) P = 2sen5x . cos3x + 2sen5x . cosx
4.°
m cos c
30c- 10c m
2
Reemplazamos a y b en (1):
Transformamos a producto: a) sen30° + sen10° m
M = - cos9x . cos3x
c
Resolución: Agrupamos convenientemente: (sen30° + sen10°) + sen20° M= (cos 30° + cos 10°) + cos 20°
30c+ 10c
2
(2cos8x - cos8x - cos6x - cos12x - cos8x) 2 M = - 1 (cos6x + cos12x) = - 1 (2cos9x . cos3x) 2 2
b) cos30° + cos10° 30c+ 10c
2. Simplifica la expresión: sen10c+ sen20c+ sen30c M= cos 10c+ cos 20c+ cos 30c
c
-
2
M=
cos7x . cosx = 2 cos 7x.2 cos x = cos 8x +2cos 6x
= 2sen
^cos 8x + cos 6xh ^cos 12x + cos 8xh
1
Transformamos de producto a suma:
46 Intelectum
1 2
=
M = 2sen20° cos10° + sen20° 2 cos 20° cos10° + cos 20° sen20°(2 cos10° + 1) M= cos 20°(2 cos10° + 1) sen20° M= cos 20° `E = tan20°
P = 2sen4x. cos x 2 cos 4x . cos x P = sen 4x &P = tan 4x cos 4x Reemplazando el valor de "x" tenemos: P = tan81` p jB&P = tan p 12 3 `P =
3
P = 2sen5x(cos3x + cosx) P = 2sen5x(2cos2x . cosx) P = 4sen5x . cos2x . cosx
t
Problemas resueltos 1
Simplifica: I = cos 5x + cos 3x + cos x sen5x + sen3x + senx
4
Resolución: N = 2 cos 2x2. sen7x + 2sen3x 2. cos 8x
Resolución: 2 cos c 5x + x m . cos c 5x - x m + cos 3x 2 2 2senc 5x + x m . cos c 5x - x m + sen3x 2 2
I=
Si: x = 3, calcula: N = cos2x . sen7x + sen3x . cos8x 20
N=
sen^7x + 2xh + sen^7x - 2xh + 2 sen 3x + 8x + sen 3x - 8x +
I = 2 cos 3x . cos 2x + cos 3x 2sen3x . cos 2x + sen3x
^
h
2
^
h
sen11x + sen^- 5xh N = sen9x+ sen5x+ 2 2
cos 3x^2 cos 2x + 1h I= sen3x^2 cos 2x + 1h
N = sen9x+ sen5x+ sen11x - sen5x 2
&I = cot3x
N = sen9x+ sen11x 2 2
Calcula: M = sen55°. cos5° + sen35°. sen5°
2senc 9x + 11x m . cos c 9x - 11x m 2 2 N= 2 N = sen10x . cos(-x) = sen10x . cosx N = senc10 . 3m . cos c 3m = senc 3m cos 27° 20 2 20 14243 -1 &N = -cos27°
Resolución: M = 2sen55°2.cos 5° + 2sen35°2. sen5° M=
sen^55° + 5°h + sen^55° - 5°h 2 cos ^35° - 5°h - cos ^35° + 5°h +
2
5
M = sen60° + sen50° + cos 30° - cos 40° 2 3 + sen50° + 3 - sen50° M= 2
&M =
3
Resolución:
2
A=
3 2
I = 1 - 4sen10°sen70° 2sen10°
Resolución: I=
1 - 2^2sen10°sen70°h 2sen10°
I=
1 - 2^cos ^10° - 70°h - cos ^10° + 70°hh 2sen10°
I=
1 - 2^cos^- 60°h - cos 80°h 2sen10°
1 - 2^cos 60° - cos 80°h 1 - 2 cos 60° + 2 cos 80° I= = 2sen10° 2sen10° 1 1 - 2 c m + 2 cos 80° 2 I= = 2 cos 80° = cos 80° 2sen10° 2sen10° sen10° sen10° sen10°
&I = 1
-3 - 3 b ^ a bh m 2 2 2senc 2a + 2b m . cos c 2a - 2b m 2 2
a - 2senc a - 3b + 3a - b m . senc
2
Calcula:
I=
Simplifica: cos^a - 3bh - cos^3a - bh A= sen2a + sen2b
6
A=
sen2^a - bh.sen^-^- a - bhh sen^a + bh . cos^a - bh
A=
2sen^a- bh . cos ^a - bh . sen^a + bh &A = 2sen(a - b) sen^a + bh . cos^a - bh
Simplifica la expresión: T = 3 + 5sen23°
Resolución: Factorizamos (5) en la expresión a reducir: 23°E T = 5; 3 + 5 sen T = 5[sen 37° + sen 23°] Transformamos a producto: T = 5; 2senc 37° + 23° m . cos c 37° - 23° mE 2 2 T = 10sen 30° cos7° 1 T = 10c mcos7° 2
`T = 5cos7°
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
47
unidad 4
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ConCeptos previos Noción de función Sean A y B conjuntos diferentes del vacío, se llama función f al conjunto de pares ordenados (x; y) tales que para cada x !A existe uno y solo un elemento y !B.
Observación A la notación y = f(x) se le llama regla de correspondencia o dependencia funcional, y se lee: “y igual a f de x”, donde: y: variable dependiente. x: variable independiente.
f(x) = {(x;y) !R2/ y = f(x) 6x !Domf}
Dominio de una función Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por: Domf = {x !A / (x; y) !f} Rango de una función Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por: Ranf = {y !B / (x; y) !f} Gráfica de una función Se denomina gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos en el plano cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la condición y = f(x). Ejemplos: 1. Calcula el dominio de la función: 2 f(x) = + senx sen3x Resolución: Para que f(x) exista, sen3x !0 &3x !0, p; 2p,
Atención
3x !np; n !Z n &x ! 3
Para reconocer si una gráfica es función, toda recta vertical tendrá que cortarla en un solo punto. Ejemplo:
`Dom = R - % n/; n !Z 3
2. Halla el rango de la función: 9 + sen3x f(x) = 4 Resolución: Se sabe que: -1 #sen3x #1 8 #9 + sen3x #10
`Ranf = <2; 5 F 2
y
2 # 9 + sen3x # 5 4 2 2 #f(x) # 5 2
f(x)
3. Construye la gráfica de la siguiente función: x
f(x) = x2 - 4 Resolución: Es claro que Domf = R, luego tabulamos algunos valores para hallar la gráfica.
“f(x) sí es función”
x -3 -2 -1 0 1 2 3
48 Intelectum
4.°
y 5 0 -3 -4 3 0 5
y 4 3 2 1 -3 -2 -1
-1 1 -2 -3 -4
x 2 3
t
tipos De FUnCiones Función par Una función es par si:
Observación
f(x) = f(-x), 6x /-x !Domf Ejemplo: f(x) = x2 - 2
Otros ejemplos de funciones pares son: y = cosx y = secx
y 2 1
Hallamos f(-x):
x
2
f(-x) = (-x) - 2 = x2 - 2 = f(x)
1
-2 -1
2
-1 -2
Función impar Una función es impar si: f(-x) = - f(x), 6x /-x !Domf Ejemplo:
Observación Otros ejemplos de funciones impares son: y = senx y = tanx y = cotx y = cscx
y
f(x) = x3 Hallamos f(-x): f(-x) = (-x)3 = -x3 = - f(x)
x
Función creciente Una función es creciente en un intervalo de su dominio, si para todo par de números x1, x2 de dicho intervalo se cumple: x1 < x2 & f(x1) < f(x2)
Función decreciente Una función es decreciente en un intervalo de su dominio, si para todo par de números x1, x2 de dicho intervalo se cumple:
Observación Una función creciente tiene una gráfica que sube de izquierda a derecha, mientras que una función decreciente tiene una gráfica que cae de izquierda a derecha.
x1 < x2 & f(x1) > f(x2)
Función periódica Una función es periódica, si existe un número real T !0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple: f(x + T) = f(x), 6x, x + T !Domf Ejemplo: Halla el periodo principal de: f(x) = senx Resolución: f(x + T) = sen(x + T) sen(x + T) = senx senxcosT + cosxsenT = senx
Hacemos: cosT = 1 /senT = 0 & T = 2kp; k !Z+ T = 2p; 4p; 6p `El período principal es 2p.
Nota El número T se denomina periodo principal, si es positivo y mínimo entre todos los períodos positivos.
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
49
FUnCiones triGonoMétriCAs Son el conjunto de pares ordenados (x; y) tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes y la segunda el valor obtenido mediante una dependencia funcional. Nota Función sen 7x senax Dominio R Rango [-1; 1] Periodo(T) 2/7
- k 7
R [-1; 1] 2
Función seno f = {(x; y) !R2 / y = senx; x !R} Tabulando valores x
-p
- 2
0
6
4
3
2
p
y
0
-1
0
0,5
0,7
0,8
1
0
3 2 -1
2p 0
5 2 1
Gráfico Análisis del gráfico:
y
x
• • • • •
1 -p
-p 2
3p 2
p
p
2
2p
5p 2
T = 2
Dominio: Domf = R Rango: Ranf = [-1; 1] Período: T = 2 Función impar: sen(-x) = -senx Curva: senoide
Función coseno f = {(x; y) !R2 / y = cosx; x !R} Tabulando Nota Función
cos2x
2 + cosx
Dominio
R
Rango
[0; 1]
[1; 3]
2
Periodo(T)
R
valores x
-p
y
-1
-
2
0
6
4
3
2
p
0
1
0,8
0,7
0,5
0
-1
3 2 0
2p 1
Gráfico
-p
y
Análisis del gráfico:
1
• • • • •
-p 2
p
p
2
3p 2
2p
x
5p 2
-1
Dominio: Domf = R Rango: Ranf = [-1; 1] Período: T = 2 Función impar: cos(-x) = cosx Curva: cosenoide
Función tangente f = {(x; y) !R2 / y = tanx; x !R - (2n + 1) ; n !Z} 2
Nota
Gráfico
Función: 7tanx
Analisis de gráfico:
y
Dominio: R - (2k + 1) ; k !Z 2
• Dominio: Domf = R -%(2n + 1) /; n !Z 2 • Rango: Ranf = R
Rango: R Periodo(T):
-p 2
0
p
2 T =
50 Intelectum
4.°
p
3p 2
2p
5p 2
x
• Periodo: T = p • Función impar: tan(-x) = -tanx • Curva: tangentoide
5 2 0
t
Función cotangente f = {(x; y) !R2 / y = cotx; x !R - np; n !Z} Gráfico y
Análisis del gráfico:
-p
-p 2
0
p
p
2
3p 2
2p
x
T =
Nota
• Dominio: Domf = R - {np}; n !Z
Función: cot x
• • • •
Dominio: R - {n}; n !Z
2
Rango: Ranf = R Periodo: T = p Función impar: cot(-x) = -cotx Curva: cotangentoide
Rango: [0; +3H Periodo(T):
Función secante f = {(x; y) !R2 / y = secx; x !R - (2n + 1) ; n !Z} 2 Gráfico Análisis del gráfico: • Dominio:
y
0
-p
-p
p
2
p
2
3p
2p
x
•
2
• • •
T = 2
Domf = R - {(2n + 1) }; n !Z 2 Rango: Ranf = R - G - 1; 1H & secx !G-3; -1] ,[1; +3H Periodo: T = 2p Función par: sec(-x) = secx Curva: secantoide
Nota Función: sec2x
Dominio: R - %(2n + 1) /; n !Z 2 Rango: [1; +3H Periodo(T):
Función cosecante f = {(x; y) !R2 / y = cscx; x !R - {np}; n !Z} Gráfico Análisis del gráfico:
y
• Dominio: Domf = R - {np}, n !Z 1 -p
-p 2
0
p
2
p
3p 2
2p
x
-1 T = 2
Nota
• Rango: Ranf = R - G-1; 1H &cscx !G-3; -1] ,[1; +3H • Periodo: T = 2p • Función impar: csc(-x) = -cscx • Curva: cosecantoide
Función: csca9x - k 4 k Dominio: R - ' + ; 1n !Z 9 36 Rango: R -G-1; 1H Periodo (T): 2 9
Ejemplos: Función
Dominio (k !Z)
y = 3senx
R
y = 2 + 3senx y = 7tanx
R R- (
(2k + 1) 2 2
Rango
T
[-3; 3]
2
[-1; 5]
2
R
y = cscx
R - {k }
R - G-1; 1H
2
y = 7cscx
R - {k }
R - G-7; 7H
2
y = 13 + cscx
R - {k }
R - G12; 14H
2
y = 13 + 5cscx
R - {k }
R - G-8; 18H
2
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
51
Problemas resueltos 1
Calcula las coordenadas del punto P. y
5 y = cosx
P
Resolución: Función de referencia: y = secx Domf = R - %_2n + 1 i / n !Z/ 2 x - = (2n + 1) 4 2+ = + 3 d n x = np + n 2 4 4 x = (4n + 3) 4 Domf = R - {(4n + 3) / n ! Z} 4
x
-p 4 -1
Resolución:
Sea el punto P = a ; ak. 4 a = cos a- k= cos 4 4 2 2 `P = -d; 2 n 4 2 a=
2
3 sec 2x 6
Resolución: -1 #cosx #1 & 0 #|cosx| #1 0 #3|cosx| #3 4 #3|cosx|+ 4 #7
Resolución: f(x) = cos2 x - 4 cos x + 7 f(x) = cos2 x - 4 cos x + 4 + 3
Halla el dominio de la función: f(x) = 3tana2x - k 3
Resolución: 2x = (2n + 1) = np + 3 2 5 2 2x = np + + = np + 2 3 6 n 5 x= + 2 12 n + 5 / n !Z 2 Domf = R - ( 2 12
52 Intelectum
4.°
...(2)
f(x) = 6sen2x - 1 < sen2x < 1 - 6 < 6senx < 6
f(x) = (cosx - 2)2 + 3
4
...(1)
Reduciendo: 1 3d cos2x n f(x) = = 3sen4x = 6sen2xcos2x 1 cos2x cos2x d n sen4x
Hallar el máximo valor de: f(x) = cosx(cosx - 4) + 7
Luego: El máximo valor de f(x) es 12.
csc 4x
& Domf = R - ( k / k !Z 2 4
&Ranf = [4; 7]
Como: -1 #cosx #1 -3 #cosx - 2 #-1 1 #(cosx - 2)2 #9 4 #(cosx - 2)2 + 3 #12
Determina el dominio y rango de: f(x) =
Resolución: Restricciones: sec2x: 2x !(2k + 1) & x !(2k + 1) 2 4 csc4x: 4x !kp &x ! k 4 De (1) y (2): x ! k 4
Dada la función definida por: f(x) = 3|cosx| + 4, 6x !R Halla su rango.
3
Determina el dominio de: f(x) = 11secax - 4k
&Ranf = G-6; 6H - {0} 7
Halla el periodo de la siguiente expresión: 12x G(x) = sena - 48xk + cos d 24x n + send 3 5 7 n
Resolución: Dato: 12x G(x) = sena - 48xk + cos d 24x - n + send 3 5 5 7 n T1 T2 T3 Se deduce que: ;T 2 T 5 2 7 T = 2 T ; T 24/5 12 12 6 48 & 1 = 24 2 = 1 & 2= = = 3 7 MCM (; 5; 7) 35 &TG(x) = 35 MCM(T1, T2, T3) = = MCM (24; 12; 6) 6 6
t
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ConCeptos previos Antes de estudiar las funciones trigonométricas veamos las siguientes definiciones:
Nota
Función inyectiva Una función es inyectiva cuando cada elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado. Es decir: f(x1) = f(x2) & x1 = x2 Función sobreyectiva Una función f: X "Y, es sobreyectiva si y solo si para todo y !Y existe por lo menos un x !X tal que f(x) = y.
f: X Y X
Y x1
y1
x2
y2
x3
y3
&f es inyectiva X
Función inversa Si una función es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva), entonces existe una función inversa.
Y a
b
Las funciones trigonométricas por ser funciones periódicas no son inyectivas, pero podemos restringir su dominio para así conseguir las funciones inversas.
f(X) = Y &f es sobreyectiva.
FUnCiones triGonoMétriCAs inversAs Las restricciones de las funciones trigonométricas son: Función (F)
Dominio (F)
y = senx
Rango (F) [-1; 1]
9- 2 ; 2 C
y = cosx
[0; p]
y = tanx
- ; 2 2
y = cotx
[-1; 1] G-3; +3H
G0; pH
G-3; +3H
, ; A 2 2
y = secx
70;
y = cscx
7- ; 0 , 0; C 2 2
G-3; -1]j[1; +3H Recuerda La gráfica de una función inyectiva es intersecada por cualquier recta horizontal en solo un punto.
G-3; -1]j[1; +3H
Tomando en cuenta estas restricciones definimos las funciones inversas de las funciones trigonométricas
Función seno inverso o arco seno
Función coseno inverso o arco coseno
y
Ejemplos: y
y y = arcsenx
/2
Dominio: [-1; 1]
-1
1
&h(x) no es inyectiva
y = arccosx -1
Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones: 3 1. arcsend n 2 3 q = arcsend n 2 3 2
, q ![-
2
;
2
] `q =
3
x
Rango: [0; p]
C
-/2
& senq =
Dominio: [-1; 1]
/2
Rango: 9- ; 2 2
x
h(x)
y g(x)
x
1
x
2. arccosd- 3 n 2 &g(x) sí es inyectiva
3 n 2
a = arccosd-
5
3 & cosa = -
2
; a ![0; p] `=
6
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
53
Función tangente inversa o arco tangente
Importante
y
Para las inversas de las funciones trigonométricas se cumple:
y
/2
Dominio: R
y = arctanx
arccos(-x) = p - arccosx
Función cotangente inversa o arco cotangente
x
arctan(-x) = - arctanx arccot(-x) = -p - arccotx arcsec(-x) = p - arcsecx arccsc(-x) = -arccscx
` b=- 4
Hay diferentes formas de representar una función inversa, por ejemplo:
Función secante inversa o arco secante
sen-1x = arcsenx
y = arcsecx
y
-1
sen !
1 senx
/2
x -1
Esto es, para todas las funciones trigonométricas inversas.
2. arccot_ 3 i f = arccot_ 3 i &cotf = 3 ; f !G0; pH f ` = 6
Función cosecante inversa o arco cosecante y
Dominio: G-3; -1] ,[1; +3H
cot x = arccotx La notación inversa y = sen-1x1no debe confundir, es decir: se con senx
Rango: G0; pH x
Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones: 1. arctan(-1) b = arctan(-1) - ; &tanb = -1; b ! 2 2
-1
/2
Rango: - ; 2 2
-/2
Nota
Dominio: R
y = arccotx
1
Rango: 70; ,
2
; A
/2
1
-1 -/2
Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones:
a = arcsec_- 2 i &seca = - 2 3 `a = 4
G-3; -1] ,[1; +3H Rango:
x
2
1. arcsec_- 2 i
y = arc cscx Dominio:
9- 2 ; 0 , 0; 2 C
2 2. arccscd
3
3n
b = arccsc d 2 3 n 3 & cscb = 2 3 3
`b = 6
Propiedades 1. FT[arcFT(n)] = n; n !Dom (arc FT) • sen(arcsenx) = x; x ![-1; 1] • cos(arccosx) = x; x ![-1; 1] Recuerda propiedad
• tan(arctanx) = x; x !R
arctan(a) + arctan(b) b = arctan 1a-+ab k c m+
• sec(arcsecx) = x ; x !R - G-1; 1H
Donde: Si: ab < 1 & k = 0 Si: ab > 1 y a > 0 / b > 0 &k=1 Si: ab > 1 y a < 0 / b < 0 & k = -1
54 Intelectum
• csc(arccscx) = x ; x !R - G-1; 1H • cot(arccotx) = x ; x !R
2. arcFT[FT] = ; 6!Ran(arcFT) • arcsen(senx) = x; x ! - ; 9 2 2 • arccos(cosx) = x; x ![0; ] C ; • arctan(tanx) = x; x ! 2 2
• arcsec(secx) = x; x ! [0; p] - % / 2 • arccsc(cscx) = x; x ! - ; - {0} 9 2 2 • arccot(cotx) = x; x !G0; pH
C
También se cumple: • arcsenx + arccosx = , si: x ![-1; 1] 2 • arcsecx + arccscx = , si: x !R - G-1; 1H 2
4.°
• arctanx + arccotx =
2
, si: x !R
t
Problemas resueltos 1
Luego: = arctand 1 n & tanq = d 1 n 5 5
Determina la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones inversas. a) y = 2arcsenx b) y = 4arccos x 2
Resolución: a) y = 2arcsenx Sabemos que el dominio es: [-1; 1] Para hallar el rango hacemos: - #arcsenx # 2 2
& senq =
y
3 y = 2arcsenx
-1
x
1
b) y = 4arccos x 2
26 = 26 26 26
Como 3 !R, entonces: arctan(-3) = -arctan3
Hallamos elx rango: 0 #arccos #p & 0 #4arccos x #4p & Rango: [0; 4p] 2
Reemplazando en la expresión Q: arctan 3 1 =&Q = 2 2_- arctan 3i 1 `Q = 2
2 y y 4
4
2
-2
y = 4arccosx 2 2
Aplicamos esto en A y obtenemos: 1 A = sen<- arctan d 5 nF 1
Calcula: V = sen(arctan 3 + arccsc2)
Resolución: V = sen( arctan 3 + arc csc 2 )
x
3
Determina al valor de A si: A = sen
Resolución: Sabemos por propiedad que: arctan(-x) = - arctanx sen(-x) = - senx
Calcula: Q = arctan 3 2 arctan_- 3 i
Sabemos: arctan(-x) = -arctanx, si: x !R
Hallamos el dominio: -1 # x #1 & -2 #x #2 & Dominio: [-2; 2] 2
5
26
.
Resolución: Piden: Q = arctan 3 2 arctan_- 3 i
-
A = - sen
1
Por lo tanto: A = - senq = - 26 26
2
& a2 = 52 + 12 a = 26
5
Multiplicamos por 2: -p #2arcsenx #p y Entonces: Rango: [-p; p] La gráfica es:
La gráfica es:
a
1
5
6
2+ V = sena + k = send n 3 6 6 3 = sena k &V = 1 V = sen 2 6 Calcula: 3 1 R = arctand n + arctand n 4 7
Resolución: J 3 1 N K 4+7 O R = arctanK O+ n K 1 - 3 #1 O nF
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
55
L
4
7P 3 < 1 &n = 0 28
56 Intelectum
4.°
J 21 + 4 J 25 N N K 28 K 28 O O R = arctanK O = arctanK O 25 28 - 3 +0 K O K O L 28 L 28
8
Calcula: M = sen_arctan 5 icos_arccot 2 2 i
Resolución:
P P R = arctan1 &R = 6
Piden: M = sen(arctan 5 ) . cos(arccot 2 2 )
4
Sea: arctan 5 = &tan= 5 arccot 2 2 = &cot = 2 2
Calcula: P = tan(arctan 3 + arctan 1 ) 5 4
Resolución: Piden:
1 P = tan(arctan + arctan ) 53 41 Sea: = arctan + arctan 5 4 Por propiedad: J 3 1 + N K 5 4 O = arctanK O+ 3k 1 K1- . 5 4 O L P 3 1 3 Como: . = < 1 &k = 0 5 4 20 J 17 N K 20 O + _ 0 i &= arctan K K 17O O L 20 P
6
3
&= arctan1 &tan= 1 Entonces: P = tan() = 1 `P = 1
3
1
2 2
&M = d
6
n.
3
9
2 15 `M = 9
9
Calcula:
5
Resolución:
2 &tan= 3 2
2 3
&sen=
3
Luego:
S = sen darccos 1 nsec2(arctan 2 ) 3
= arctan(cos(arctan( 5 . sen)))
Sea:
= arctandcos darctan d 5 .
2
1
= arccos
&cosa = 3 3 = arctan 2 &tanq = 2 Entonces: S = sen2()sec2()
4.°
nppp
2 3
56 Intelectum
3
Resolución: De la expresión:
Reduce: S = sen2(arccos 1 )sec2(arctan 2 ) 3
1
2
= arctanfcos farctan f 5 sendarctan
= arctanfcos farctan f 5 sendarctan
Piden:
1
Entonces: M = sen() . cos() = sen. cos 5 d 2 2 n = 2 15
Sea: = arctan 7
5
2
2
S = (1 - cos )(1 + tan )
2 5
nnn
2 5
nppp
= arctan(cos(arctan 2 )) Sea: arctan 2 = &tan= 2
3
2
2
2 1 k S = f1 - d n pa1 + _ 2 i 3 8 8 8 &S = d n_3i = `S = 3 9 3
1
&cos=
1 3
Entonces: = arctan(cos) = arctand 1 n = 3 6 ` = 6
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
57
t
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DeFiniCión Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original. Ejemplos: • senx = 1 2
• tan5x = 1 3
• seca - 2xk = 4 3 + x
3 • cos2x =
• cot(x + 18°) = 1
2
• csca
5
No son ecuaciones trigonométricas: • xsenx = 1 2 • sen(ex) = 1 2 • tanx + tanx2 = 2 • ex = senx
k = -1
Observación
eCUACiones triGonoMétriCAs eleMentAles
Se denomina ecuación trigonométrica no elemental a aquellas que no tienen la forma: FT(Ax + B) = N
Son ecuaciones de la forma: FT(Ax + B) = N Donde: FT: función trigonométrica
Nota
x: variable angular
N: valor admisible
Ejemplos: • sen3x = 1 8 • cos2x + 1 = sen3x • tanx + tan2x = tan3x
Además A; B y N constantes con A !0 Ejemplos: • senax + k = 2 2 3
• tana5x - k = 9
• cosa2x + k = 1 4
• cota4x + k = 1 5
• seca x k = 2 9
3 2
• csc(x - p) = 5
vAlor prinCipAl De UnA eCUACión triGonoMétriCA eleMentAl Es aquel valor que pertenece al rango de la función inversa. Sea la ecuación trigonométrica:
Atención
FT(Ax + B) = N
Se denomina valor principal (VP) al menor ángulo positivo o mayor ángulo negativo que satisface la ecuación trigonométrica elemental.
& VP = arcFT(N) Donde: FT sen
Ejemplos:
VP
3 &VP = 3 2 • cos4x = 1 & VP = 0
• senx =
9- 2 ; 2 C
cos
[0; ]
tan
- ; 2 2
• tan5x = -1 & VP = 4 • cos7x = - 1 & VP = 2 2 3
Ejemplos: • cosb x l = 3 &VP = 8 2 6 • senb3x - l = 5
2 &VP = - 2 4
58 Intelectum
4.°
•
tanb2x + l = 4
3 &VP = 3
solUCión De UnA eCUACión triGonoMétriCA Es un número real (ángulo expresado en radianes) que satisface la ecuación trigonométrica dada. Ejemplos: Observación El valor x1 = se denomina 6 solución principal (SP), ya que es el menor valor no negativo que satisface la igualdad original.
1. Resuelve la siguiente ecuación: senx = 1 : para x ![0; 2p] 2 Resolución: Analizando en la CT: Del gráfico se observa que los valores que
y x2
satisfacen senx = 1 , son: 2
x1 1/2
1/2
x = y x = p - = 5 1 2 6 6 6
x
` Las soluciones son: y 5 6 6 2. Resuelve la siguiente ecuación: cos2x = 0 Resolución: Haciendo un cambio de variable 2x = & cos= 0 Analizando en la CT: y
Del gráfico se observa que todos los valores de
; 5; 9; ... 2 2 2
son: ; 3; 5; 7; ... 2 2 2 2 x
Observación El valor x = (2n - 1) ; n !Z 4 Se denomina solución general (SG), ya que es la reunión de todos los valores angulares que hacen posible la igualdad original.
3; 7; 11; ... 2 2 2
Los cuales en forma general se expresan como: q = (2n - 1) ; n ! z 2 Luego: 2x = (2n - 1) 2 Entonces: x = (2n - 1) ; n ! Z 4
expresiones GenerAles Para el seno: Para la tangente:
EG = kp + (-1)k VP
Para el coseno:
EG = 2kp !VP
EG = kp + VP
ConjUnto solUCión o solUCión GenerAl De UnA eCUACión triGonoMétriCA eleMentAl Es el conjunto de todos los valores angulares que satisfacen una ecuación trigonométrica. Para hallar la solución general se seguirán los siguientes pasos: a) Se halla el VP de la ecuación y se reemplaza en la expresión general correspondiente. b) Se iguala el ángulo (Ax + B) en la expresión general hallada, de donde se despeja la variable (x) obteniéndose así el conjunto solución.
58 Intelectum
4.°
t
Problemas resueltos 1
Indica el conjunto solución: 1 senx = 2
5
Resolución: senx = 1 & VP = 2 6
Resolución: cos2x = 2
EG = kp + (-1)k VP &EG = kp + (-1)k ; k !Z 6 2
4
Determina la solución principal de: senx + cosx = 1
Si k = 1 &x3 = p - = 7 y x4 = p + = 9 8 8 8 8
2 senax + k = 1 &senax + k = 2 4 4 2
17 15 Si k = 2 &x5 = 2p - = y x6 = 2p + = 8 8 8 8
x + = &x = 0 4 4
Tenemos que 17 es mayor de 2p, por lo tanto, las soluciones 8 comprendidas en [0; 2pH son: 15 ( ; 7; 9; 2 8 8 8 8
`Solución principal es 0. Resuelve: senx - cosx + secx = cscx, x ![0; 2p]
Resolución: 1 senx - cosx +
1
2
2x = 2kp ! VP = 2kp ! 4 x = pk ! , k ! Z 8 Si k = 0 &x = ! , x1 = y x2 = 8 8 8
Resolución: 2 d 2 senx + 2 cos x n = 1 2 2
3
Resuelve la ecuación: 2 cos2x = 2 , indica las soluciones comprendidas en 70; 2 .
k
,x! cosx senx 2 1 1 = cos x senx senx cos x 2 - cos2 x 2 sen x 1 - sen2 x cos x 1 & senx = cos x senx = cos x =
6
Indica la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: sen5x = - 3 2
cos3x = sen3x &senx = cosx
Resolución: 3 & VP = arcsendsen5x = 2 Luego: xG = kp + (-1)ka- k; k !Z 3 k 5x = kp - (-1) 3 k k x ! ( - _- 1 ; k !Z 2 i 5 15
&tanx = 1 `x ! (; 5 2 4 4 4
Resuelve: sen6x - sen4x = 2senx Indica la solución general.
Resolución: Sabemos: sena - senb = 2cosd
+ 2
3 2
n =-
3
- n . send
&sen6x - sen4x = 2senx 2cos5xsenx = 2senx 2senx(cos5x - 1) = 0 senx = 0 0 cos5x = 1
x = kp, k !Z 05x = 2np, n !Z x = 2n, n !Z 5 El conjunto solución es: CS = {x/x = kp, k !Z} ,{x/x = 2n, n!Z} 5
2
n
Evaluando:
= -12° 15 4 = 48° k=1 &x= 15 k = 2 & x = = 60° 3 k = 3 & x = 2 = 120° 3
k=0 &x= -
Piden: 48° + 60° + 120° = 228°
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
59
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS MétoDo GenerAl Recuerda Un triángulo oblicuángulo es aquel triángulo que no está formado por un ángulo de 90°.
Para la resolución de triángulos oblicuángulos utilizaremos cuatro leyes trigonométricas: ley de senos, ley de cosenos, ley de tangentes y la ley de proyecciones.
I. Ley de senos En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. B
a b c = 2R senA = senB = senC
a
c R A
Importante De la ley de senos, tenemos: a = 2RsenA
b = 2RsenB
C
b
Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera. Trazamos las alturas h1 y h2 desde C y B, respectivamente. h1 & h1 = bsenA senA = b asenB = bsenA h1 B a = asenB ...(1) = b senB = & h1 senA senB a También: a
c
c = 2RsenC
h2
h1 A
senA = senC
c & h2 = csenA
h
C
b
h2
=
h
2
a
&
asenC = csenA a c ...(2) = senA senC
asenC 2
=
a Luego, de (1) y (2), obtenemos:
b
senA
=
senB
c =
senC
Además, del siguiente gráfico tenemos: Del triángulo APO: b 2 b = senO = R 2R Además: m+B = m+O & senB = senO = b
B
R
O
b/2
A
b/2
C
P
a Por lo tanto:
R: circunradio
senA
b =
senB
Ejemplo: En un triángulo ABC se tiene: a = 2x; b = 3x; c = 4x; calcula: M =
cosB =
2
2x
2
2
60 Intelectum
senC
senB
= 2R
senA senB senA + senB senC senC
De la ley de senos se sabe que: C
A
4.°
4x
a = b & senA = a senA senB senB b
De igual manera tenemos: senB = b / senA = a senC c senC c
3x
2ac 2
b -c cosC = a + 2ab
=
2R
b
Resolución:
Importante De la ley de cosenos tenemos: b2 + c 2- a 2 cosA = 2bc a2 + c2 - b
c
& 2R =
B
a
b
a
2x 3x 2x 2 1 11 Luego: M = + - = + = + = b c c 3x 4x 4x 3 4 12
t
II. Ley de cosenos En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos; menos el doble del producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. C
Atención
A
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
Para realizar la demostración de las otras dos relaciones, solo bastará colocar los ángulos B y C en posición normal, el resto se realiza de manera análoga.
a
b
B
c
b2 = a2 + c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
Demostración: Realizaremos la demostración para el primer caso, con los demás casos se procederá de manera análoga. Del triángulo: a2 = h2 + m2
B c n A
Del triángulo AHB: senA = h & h = csenA ...(2) c n cosA = & n = ccosA c Además: b = m + n & m = b - n = b - ccosA ...(3)
a
h
m H
C
b
...(1)
Luego reemplazamos (2) y (3) en (1): a2 = (csenA)2 + (b - ccosA)2 = c2sen2A + b2 - 2bccosA + c2cos2A a2 = c2(sen2A + cos2A) + b2 - 2bccosA 2
2
Observación Para la demostración de las dos proyecciones restantes debes tomar en cuenta los siguientes gráficos: a = bcosC + ccosB A
2
& a = b + c - 2bccosA c
Ejemplo: B
Del gráfico, calcula x:
C
n
C 2
2
x2 = _6 7 i + _4 7 i - 2_6 7 i_4 7 icos60° x2 = 36 . 7 + 16 . 7 - 48 . 7 . d 1 n 2
4 7 x
a
c = acosB + bcosA
Aplicamos ley de cosenos:
60°
B
m
Resolución:
A 6 7
b
C
x2 = 196 & x = 14
b
A
a
m
c
n
B
III. Ley de proyecciones En todo triángulo se cumple que cada lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre él. B c A
a = bcosC + ccosB
a
b
b = acosC + ccosA
C
c = acosB + bcosA
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
61
Demostración: Dado el triángulo ABC, trazamos BH perpendicular a AC. Nota
m
B
En todo triángulo, respecto a sus ángulos se cumple:
En el triángulo AHB: cosA =
c
a
m H
n
En el triánguo BHC: cosC =
A c
B
A
b
a
1. seno:
Resolución: Aplicando proyecciones tenemos:
^p - bh^p - ch bc ^p - ah^p - ch ac
sen C = 2
^p - ah^p - bh ab
cos B = 2
p^p- bh ac
cos C = 2
p^p - ch ab
53°
b
16°
^p - bh^p - ch p^p - ah
tan B = 2
^p - ah^p - ch p^p - bh
tan C = 2
b = 24 + 6 = 30
IV. Ley de tangentes En todo triángulo se cumple que la suma de dos de sus lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos. Es decir:
+ tan d A B n 2
B
tan d A -2B n
3. tangente: tan A = 2
C
&AC = 30
2. Coseno: p^p - ah bc
AC = b = 25cos16 + 10cos53° 24 3 b = 25 + 10 25 5
25
10 A
cos A = 2
& n= acosC
Además: b=m+n &b = ccosA + acosC
C
B
sen B = 2
a
& m = ccosA
Ejemplo: Dado el siguiente triángulo calcula AC.
C
p: semiperímetro p = a+b+c 2 sen A = 2
b
c n
c
A
a
tan d B + C n 2
C
b
= a+b a-b
tan d B -2C n
^p - ah^p - bh p^p - ch
+ tan d A C n 2 tan d A -2C n
= a+c a-c
= b+c b-c
Demostración: Para realizar esta demostración empezaremos recordando la ley de senos y propiedades de proporcionalidad. a = b & a = senA senA senB b senB Luego: a + b = senA + senB a - b senA - senB Aplicamos transformaciones trigonométricas:
a+b = a-b
+ 2sen d A B n. cos d A B n A+B A-B 2 2 = A B tan d n . cot d n + 2 2 2 cos d A B n.send n 2 2
Las demás igualdades se demuestran de forma análoga.
62 Intelectum
4.°
t
Problemas resueltos 1
Resolución: Del gráfico tenemos:
En un triángulo ABC, AB = 3; AC = 5 y cos A = 2 . Halla el valor 5 de BC.
Resolución: Por ley de cosenos, tenemos: (BC)2 = (AB)2 + (AC)2 - 2(AB)(AC)cosA 2
2
2
x = 3 + 5 - 2(3)(5)cosA x2 = 9 + 25 - 30cosA x2 = 34 - 30d 2 n 5 x2 = 34 - 12 = 22
x
3
b = sen40° a sen A
C
5
&
M
P
n
Halla el valor de: k = m n cos P cos N
4
Resolución: Por ley de cosenos tenemos: p2 = m2 + n2 - 2mncosP p2 - m2 - n2 & = - ncosP 2m
3
2
2m 2 + p 2 - m 2 - n 2 2m = m2 + p2 - n2 2mp
...(1)
2 2 2 & mpcosN = m + p - n 2
...(2)
m2 + n2 - p 2 2
...(3)
& mncosP =
2
m2 + p2 - n 2
n2 + p2 - m 2 2
& npcosM =
k = m - n cos P cos N
2
En un triángulo MNP de lados m, n y p, respectivamente, se cumple: m2 + n2 + p2 = 16 Calcula: R = npcosM + mpcosN + mncosP
2npcosM = n2 + p2 - m2
Reemplazamos en “k”.
_m + p - n ip
sen40° sen80° sen = sen_+ 40°i
Resolución: Por ley de cosenos, tenemos: m2 = n2 + p2 - 2npcosM
2
n = m + p - 2mpcosN m2 + p2 - n 2 & cosN = 2mp
k=
Reemplazamos (1), (2) y (3) en R:
&k = p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n +p -m m +p -n m +n -p R= + + 2 2 2
Del gráfico, calcula .
80°
2
2
2
2
2
R=
n +p -m +m +p -n +m +n -p 2
R=
m +n +p = 16 2 2
40°
/ b a= sensen80° _+ 40°i
sen(a + 40°) = 2senacos40° sen(a + 40°) = sen(a + 40°) + sen(a - 40°) sen(a - 40°) = 0 a - 40° = 0° `a = 40°
m
p
p2 - m2 - n 2 m+ 2m k= m2 + p2 - n 2 2mp
80°
& sen40° = 2sen40° cos 40° sen sen_+ 40°i
N
2
+ 40°
Por ley de senos: b a b a = / = sen40° sen sen80° sen_+ 40°i
Del siguiente triángulo:
2
a
40° B
`x = 22 2
a
b
2
`R = 8
triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4
63
5
Del siguiente gráfico:
Reemplazando (2) en (1): x = 2a d 7 n & x = 14 a
B 5 53°
30°
C
7
Calcula AD, si:
8
A
B
8
C
53° A
D
1
D
Halla el valor de BD.
Resolución: Sea: AD = x, m+ACD = q = m+BAD
Resolución: ▪ Del gráfico, tenemos:
B
30° x
A
C
8
1
D
x = 9 & 9 = sen sen sen x sen Igualando: x = 9 &x 2 = 9 1 x
En el triángulo ABC aplicamos ley de proyecciones. m = 5cos53° + 8cos30°
`x = 3
3 3 = + n 3 4 3 m = 5 d n + 8d 2 5 En el triángulo BCD aplicamos ley de senos. x m = sen90° sen53°
8
En un triángulo rectángulo ABC uno de los catetos es igual a la proyección del otro sobre la hipotenusa. Halla el seno del menor ángulo.
Resolución: Sea el menor ángulo.
x = 3+4 3 1 4 5
La proyección de AB sobre la hipotenusa es AP, por dato: AP = BC = a
_15 + 20 3 i
B
4 c
6
En la figura, halla x.
A
a
En el
P
C
x
Resolución: En el ABC, aplicamos ley de senos: a_2sen cos i a x &x = sen sen = sen2 &x = 2acosq En el
...(1)
BPC: cosq = 7 a
64 Intelectum
4.°
...(2)
a
B 7
A
D
x
Luego por ley de senos: x = 1 & = sen x sen sen sen
53°
`x=
C
m
5 53° A
8
B
En el
a
P
C
APB: a = cos & a = ccos c ABC: a = tan & a = ctan c
Igualamos estas dos expresiones: ccos= ctan & cos= tan 2 2 sen cos= & cos = sen & 1 - sen = sen cos -1 ! 2 1 - 4 (- 1) sen + sen- 1 = 0 & sen= 2 5 -1 Como es agudo &sen= 2
