a í r t e m o e G
Intelectum
IA
Aritmética
Indicadores de logro Unida1d
Unida2d
• Identica las clases de proposiciones lógicas (simples y compuestas) y • los operadores lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional). • • Determina el valorde verdad de los esquemas moleculares, aplicando los operadores lógicos. • • Comprende la relación de pertenencia entre elementoy conjunto. • • Determina la inclusión e igualdad entreconjuntos. • • Realiza las operaciones básicas entreconjuntos (unión, intersección, • diferencia, diferencia simétrica y complemento). • Aplica las distintas leyesde idempotencia, conmutativa, asociativa y • distributiva al resolver problemas sobre conjuntos. • • Identica el orden, lugar y base de un numeral. • • Realiza correctamentela conversión denúmeros entrebases. • • Expresa las propiedades sobre adición, sustracción, multiplicación y • división en elconjunto de los números naturales. • • Identica las propiedades delos números enterosen la recta numérica.
GRACIAS A LOS PRIMOS Dentro de la familia de los cicádicos, más conocidos como cigarras, sobresalen dos especies particulares por vivir uno de los ciclos de vida más particulares, tanto dentro del reino de los insectos como fuera de este: la Magicicada tredecim que tiene un ciclo de 13 años y la Magicicada septendecim que tiene uno de 17 años . La supervivencia de las cigarras depende de las propiedades de los números más fundamentales de las matemáticas: los números primos, números que son solo divisibles por sí mismos y por 1. La elección de un ciclo de 13 y 17 años no parece muy arbitraria ya que estos permiten a las cigarras tener una ventaja evolutiva, pues estos números primos ayudan a evitar a otros animales de ciclos de vida periódicos. Por ejemplo: si un depredador aparece cada seis años en el bosque, una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años coincidiría con el depredador mucho más frecuente que una cigarra con una ciclo de siete años .
Identica los principios de divisibilidad yhace uso de cada uno de sus criterios. Utiliza los principios de la divisibilidad enla adición, sustracción y multiplicación de múltiplos. Utiliza los criterios de divisibilidad enla resolución deproblemas. Discrimina entre números primos y complejos. Identica númerosprimos entre sí (PESÍ). Evalúa los divisores delos números utilizando ladescomposición canónica. Aplica las propiedades de los números primos. Comprende los métodosutilizados para elcálculo del MCDy MCM. Demuestra las propiedades del MCD y el MCM. Comprende la denición de densidad en los racionales. Analiza las operaciones entrenúmeros racionales. Aplica operaciones de adición, multiplicación división y multiplicación en las diferentes clases de fracciones.
Contenido: Unidad 1
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Lógica proposicional. Teoría de conjuntos. Numeración. Operaciones básicas en el conjunto (Z+).
Unida3d
Unidad 2
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Unidad 3
Teoría de divisibilidad. Números primos. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Conjunto de números racionales(q).
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Potenciación y radicación en Z+. Razones y proporciones. Magnitudes proporcionales . Regla de tres. Tanto por ciento.
Unidad 4
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Promedios. Estadística. Análisis combinatorio. Probabilidad.
Unida4d
• Evalúa los criterios deinclusión y exclusión decuadrados y cubosperfectos. • Comprende el proceso deextracción de la raízcuadrada y cúbica de números naturales por defecto y exceso. • Calcula la raíz cuadrada y cúbica, asícomo las potencias denúmeros naturales. • Identica las clases de razón y proporción. • Utiliza la denición derazones, proporciones y las seriesde razones geométricas equivalentes. • Evalúa las propiedades sobre razones, proporciones yserie de razones geométricas equivalentes. • Analiza las propiedades sobre las magnitudes directas e inversas en problemas con engranajes y reparto proporcional. • Diferencia entre reglade tres directa e inversa. • Evalúa el tanto por ciento relacionado con aumentos o descuentos únicos.
• Identica el promedio aritmético, ponderado,geométrico y armónico, además evalúa sus propiedades. • Calcula el promedio de un conjunto de números. • Discrimina entre variable cualitativa y cuantitativa. • Dene y comprende lasmedidas deposición (media, medianay moda). • Emplea cuadros estadísticos para presentar datosordenadamente. • Calcula la media, lamediana y la moda de datos clasicados y no cla sicados. • Organiza los datos en un gráco estadístico (histogramas, pictogramas, diagrama de barras). • Utiliza los principios fundamentalesde conteo de adición y multiplicación. • Utiliza el principio de multiplicación y adición en los problemas propuestos.
• Dene y discrimina entre variación, permutación y combinación. • Analiza el experimento aleatorioy dene correctamente un espacio muestral.
DEBERÍAS SABER QUE... Las hembras ponen sus huevos antes de morir, es ahí cuando los insectos jóvenes (o ninfas) caen al suelo y penetran en la tierra pudiendo vivir dentro de ella de 4 a 17 años (dependiendo de la especie) alimentándose de la savia de las raíces . Después de ese período empiezan a cavar túneles para luego subir en masa a los árboles para transformarse en adultos con alas y genitalia desarrollada, listos para el apareamiento. El momento crítico y más débil se da en las primeras tres horas después de que salen a la superficie ya que sus alas y su nueva piel aún no están listas. Finalmente mueren, otra vez en masa, dejando sus larvas enterradas para la secuela. De acuerdo a los estudios realizados, los ciclos de vida de sus principales depredadores en la superficie son de 2 y 3 años . ¿Se imaginan lo que pasaría si cada vez que salen las cigarras de su morada subterránea esto coincidiera con el momento de reproducción de sus depredadores una y otra vez sin parar? La respuesta es simple las cigarras se extinguirían. al tener un ciclo primo de vida es imposible que esto ocurra.
unidad 1
LÓGICA PROPOSICIONA L PROPOSICIÓN LÓGICA
Nota
Es aquella expresión en la que se arma algo y se caracteriza por tener un solo valor veritativo, es decir, puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Si una proposición es verdadera se le asignará la letra V y si es falsa la letra F.
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor de verdad.
Notación
Representaremos a las proposiciones mediante las letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto: p, q, r, s, ... A estas se les denomina variables proposicionale . s Ejemplos: • p: Ricardo es ingeniero industrial.
Observación
Los enunciados: • Prohibido jugar • ¡Cuidado! • ¿Qué hiciste? no son proposiciones.
• q: Inés estudia matemática.
CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS a) Proposiciones simples o atómicas . Son aquellas que están constituidas por una sola proposición.
Ejemplos: • 7 es un número impar.
• Johana viajó a Cusco.
b) Proposiciones compuestas o moleculares . Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones enlazadas entre sí por conjunciones gramaticales o afectadas por el adverbio de negación no.
Ejemplos: • Voy a la biblioteca o al teatro. Si estudio entoncesaprobaré el curso de Aritmética. •
CONECTIVOS LÓGICOS
Nota
Llamados también operadores. Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación no. Los conectivos lógicos que más usaremos son los siguientes: En el l e ng uaj e co mú n
S í m bol o
No es cierto que... ... y... ... o... Si... entonces... ... si y solo si...
N o m b r e de l a p r o p o s i c i ó n
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional
+ / 0 &
+
Las conjunciones gramaticales son palabras que enlazan proposiciones, sintagmas o palabras. Por ejemplo: y, e, ni, o, etc.
Atención
Por convención+ se coloca a la izquierda de la proposición que se niega.
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS La negación ( + ) +p, la cual niega a la Dada una proposición p. Se denomina negación de p a la proposición denotada por proposición inicial, convirtiéndola en falsa cuando es verdadera y viceversa. Su tabla de verdad es:
p
V F Ejemplos: • p: 2 es un número primo. (V) • +p: 2 no es un número primo. (F)
+
p
F V
+
p se lee: “no p” o “no es cierto que p”.
• q: un rectángulo tiene 3 lados. (F) • +q: no es cierto que un rectángulo tiene 3 lados. (V)
Ten en cuenta
Una tabla deque verdad es un diagrama permite expresar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus proposiciones simples.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
5
La conjunción ( / ) Recuerda
Una proposición conjuntiva será verdadera, si sus proposiciones componentes (p y q) son verdaderas. En otros casos, será falsa.
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógico y. Se denota: p / q (se lee: p y q). Su tabla de verdad es: p
q
p/q
V V F F
V F V F
V F F F
Ejemplo: • Miguel piensa y Juan actúa. p
q
/
La disyunción ( 0 )
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógico o. Se denota: p 0 q (se lee: p o q).
Nota
Una proposición disyuntiva será falsa, si sus proposiciones componentes (p y q) son falsas. En otros casos, será verdadera.
Su tabla de verdad es: p
q
p0q
V V F F
V F V F
V V V F
La condicional (
Nota
La proposición condicional será falsa únicamente cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso.
&
p
q
0
) &
Su tabla de verdad es: p
q
p&q
V V
V F
V F
Donde:
Ejemplo:
p: antecedente V V q: consecuente F V
La bicondicional ( Atención
• Hoy es viernes o es mayo.
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q se relacionan mediante el conectivo lógico si... entonces... Se denota: p q (se lee: si p entonces q).
F F
La proposición bicondicional será verdadera en los casos en que las proposiciones que la conforman tengan el mismo valor de verdad.
Ejemplo:
• Si estudio, entonces aprobaré. p
&
q
)
+
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q, se relacionan mediante el conectivo lógico si y solo si . Se denota: p q (se lee: p si solo si q). +
Su tabla de verdad es: p
q
p+q
V V F F
V F V F
V F F V
Ejemplo: • Habrá desle si y solo si hay garantías. p
+
q
La disyunción exclusiva ( 9 )
Es aquella proposición en la que se relacionan dos proposiciones simples: p y q, mediante el conectivo lógico o... o...Se denota: p 9 q (se lee: o p o q). Su tabla de verdad es: Observación
Una proposición disyuntiva exclusiva es verdadera si las proposiciones que la conforman tienen valores de verdad diferentes.
6
Intelectum 2.°
p
q
p9q
V V F F
V F V F
F V V F
Ejemplo: • Oganamos o empatamos. p
9
q
A ESQUEMAS MOLECULARES Un esquema molecular es la combinación de variablesproposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación. Ejemplos: • p / (q +p) [( • +q 0+p) / p] q • (p 9 q) / (+p q) &
&
+
Evaluación de esquemas moleculares
Consiste en obtener los valores del conectivo principal a partir de los valores de cada una de las variables proposicionales. Ejemplo: Evalúa el siguiente esquema molecular: (q / p) (p 0 +q) &
Conectivo principal
Resolución: Procedimiento: 1.° Negamos q: +q 2.° Evaluamos (q / p) y (p 0 +q). 3.° Evaluamos (q / p) (p 0 +q).
/
p q (q VVVVVVVVF VFFFVVVVV FVVFFVFFF FFFFFVFVV
&
0
&
p)
+
(p
q)
Observación
En un esquema molecular, el conectivo principal es el operador de mayor jerarquía que se encuentra libre de signos de colección. También, denominamos matriz principal de una tabla de verdad, a la columna que contiene los valores de verdad correspondientes al conectivo principal. Ejemplo: p
q
Conectivo principal q
+
(+p
/
q)
VVVFFFV VFFVFFF
Matriz principal Clasificación de los esquemas moleculares
FVVVVVV FFFVVFF
Según los valores obtenidos en la matriz principal, los esquemas moleculares se clasican en: Matriz principal
Tautológicos. Cuando los valores de la matriz principal, son todos verdaderos.
Ejemplo: p q [(p VVVVVFFVV VFVVFFFVF FV F FFFFFFVVF
0
q)
/
+
p]
q
&
`
VVV
VV
El esquema es tautológico.
V Tautología
Atención
Contradictorios. Cuando los valores de la matriz principal, son todos falsos.
Ejemplo: p
q
+
(+q)
9
[q
/
(+p
0
VVVFFVVFVV VFFVFFFFFF FVVFFVVVVV FFFVFFFVFF
q)] `
El esquema es contradictorio.
Contradicción
Para evaluar una tabla de verdad de 2 variables proposicionales se necesitan 4 valores de verdad. Para evaluar una tabla de verdad de 3 variables proposicionales se necesitan 8 valores de verdad. En general, el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la formula 2n, donde n es el número de variables proposicionales que hay en el esquema molecular.
Consistentes.Cuando en la matriz principal hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplo: p
q
(+p
0
q)
/
(+q
+
+
p)
VVFVVVFVF VFFFFFVFF FVVVVFFFV FFVVFVVVV
`
El esquema es consistente.
Consistencia
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
7
Problemas resueltos 1
De los siguientes enunciados, indica cuáles son proposiciones lógicas. a) Los gatos son mamíferos. b) ¿Cuál es tu edad? c) El ácido sulfúrico corroe la madera. d) Sé honesto y trabajador. e) 8 es un número par y mayor que 7.
5
Sea la proposición compuesta: (p 0 q) Indica qué tipo de esquema es.
+
(+p
&
q)
Resolución:
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema molecular: p
q
VV F F
VF V F
(p 0 q)
(+p
+
&
q)
Resolución:
Los enunciados a, c y e son proposiciones lógicas, ya que se les puede asignar un valor de verdad o falsedad. Los enunciados b y d no son proposiciones lógicas. ` a, c y e son proposiciones lógicas. 2
VV V F
VV V V
FF V V
VV V F
VF V F
Tautología
Al construir la tabla de verdad de: (p +q) / +q El número de valores verdaderos en el operador principal es: &
Resolución:
6
Elaboramos la tabla de verdad: p
q
(p
`
&
q)
+
/
q
+
VVVFFFF VFVVVVV FVFVFFF FFFVVVV
El esquema es tautológico.
Sabiendo que (r de p, q y r.
&
q) 0 +p es falso; halla los valores de verdad
Resolución:
Se tiene: (r
q)
&
0
+
p
F `
3
1
En el operador principal hay dos valores verdaderos.
¿Cuántas posibles combinaciones en los valores de verdad de p, q, r, s y t existen?
Para que (1) sea falso se debe cumplir: F
El número de posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones componentes es 2n. En el problema se tiene 5 proposiciones: p, q, r, s, y t. Entonces: n.º de posibles combinaciones = 25 = 32 4
Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si 4 + 2 = 6 entonces 7 2 8. II. 5 es mayor que 2 ó 4 es menor que 1.
Entonces: (r
q)
&
&
F
Para que (2) sea falso se debe cumplir:
2
8.
F
Luego: (r V
F
&
q) F
0
F `
p = V; q = F; r = V
+
p
F (p = V)
F II. 5 es mayor que 2 ó 4 es menor que 1. V 0 F V Intelectum 2.°
&
F
F
8
p
+
F
V
En el problema: I. Si 4 + 2 = 6, entonces 7
0
2 F
Resolución:
V
F
0
F
Resolución:
A 7
Halla la tabla de verdad del siguiente esquema molecular. (p q) (+p 0 q) &
+
Resolución:
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema molecular: p
q
V V F F
V F V F
(p V V F F
q) V F V F
&
V F V V
(+p 0 q) F V V F F F V V V V V F Matriz principal
+
V V V V
10 Si (p / q) es verdadero y (q t) es falso, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. +[+(q / p) / p] II. +(+p 0 t) 0 q III. [+p 0 (q / +t)] +(q t) &
+
&
Resolución:
Primero determinamos los valores de verdad de p, q y t. Del enunciado: p / q q t &
V 8
Determina el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares, si p = V; q = F y r = V. I. (p 0 q) / r (+p / +r) II. [p (q / r)] (+p 0 r) &
&
Para que (p / q) sea verdadero, se debe cumplir: p V= y q =V
&
Para que (q
&
Resolución:
I. (p V
0
q) F
/
r
&
V
(+p F
V
/
r) F
+
F F
&
(q F
/
r)] V
+
(+p F
F
r) V
0
t) sea falso, se debe cumplir: q= V y t =F
Luego: I. +[+(q / p) / p] +[+(V / V) / V] +[+(V) / V] +[F / V] +(F) V
V II. [p V
F
III. [+p 0 (q / +t)]
V
II.
( p 0 t) 0 q ( (V) 0 F) 0 V +(F 0 F) 0 V +(F) 0 V V0V V
+ + + +
+
+
(q
&
t)
[+(V) 0 (V / +(F))] + +(V & F)
F
[F 0 (V / V)] +(F) [F 0 V] V V V V ` Todas son verdaderas. +
F
+
+
9
Se define el conectivo lógico a mediante la siguiente tabla de verdad: p
q
p a q
V V F F
V F V F
F V F V
11 Representa simbólicamente la siguiente proposición compuesta: "Iré de vacaciones o estaré sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar".
Evalúa el siguiente esquema molecular y da como respuesta los valores de verdad de la matriz principal. (+q a p) a +( p a q) Resolución:
Elaboramos la tabla de verdad: p
q
(+q
a
p)
a
+
VVFFVFVVFV VFVFVVFVVF FVFVFFVFFV FFVVFVFFVF
(p
a
q)
Resolución:
Reconocemos las proposiciones: p: iré de vacaciones q: estaré sin hacer mada r: tengo tiempo s: tengo que ir a trabajar De la proposición compuesta, se observa que p y q son consecuencia de r y as. Por lo tanto, la proposición compuesta se puede representar simbólicamente de la siguiente manera: (r / as)
&
(p 0 q)
Matriz principal ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
9
TEORÍA DE CONJU NTOS NOCIÓN DE CONJUNTO
Nota
• Los elementos deun conjunto pueden ser abstractos (número, letras, etc.) o concretos (personas, animales, etc.). • Los conjuntos serepresentan mediante guras geométricas cerradas llamadas: “Diagramas de Venn-Euler”.
Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos distinguidos entre sí; los cuales reciben el nombre de elementos. Ejemplos: • Los tigres. • Letras de la palabra GENIO.
• Libros de aritmética en una biblioteca. • Meses del año.
No ta ci ón
R e p r e s e n t a c i ó ngr á f i c a
Nombre del conjunto (letra mayúscula)
• es La una relación depertenencia relación exclusiva de elemento a conjunto.
Diagrama de Venn-Euler:
A A = { j; o; s; u; e}
•j
•o
•u
•e
•s
Elementos del conjunto A (letras minúsculas separadas por punto y coma).
Atención
representa al conjunto de los números naturales: N = {0; 1; 2; 3; ...} N
RELACIÓN DE PERTENENCIA Si x es un elemento del conjunto A, entonces se dice que “x pertenece al conjunto A” y se denota: x ! A En el caso de no pertenecer x al conjunto A, se denota: x " A
Observación
En general, los conjuntos determinados por comprensión tienen la siguiente estructura: Tal que F=
Ejemplo: Sea el conjunto I = {4; 9; 16; 25}; entonces: • 4 I:!4 pertenece al conjunto I. • 10 "I: 10 no pertenece al conjunto I.
• 16 • 21
!
"
I: 16 pertenece al conjunto I. I: 21 no pertenece al conjunto I.
/
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Forma general
Características
del elemento
comunes de los elementos
P o re x t e n s i ó n
P o rc o m p r e n s i ó n
Es cuando se nombran todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: P = {4; 5; 6; 7; 8}
Es cuando se indica una característica particular y común a sus elementos. Ejemplo: P = {Los número naturales mayores que 3 y menores que 9} Se puede escribir: P = {x / x ! N / 3 < x < 9}
CARDINAL DE UN CONJUNTO Indica el número de elementos diferentes que posee un conjunto. Se denota por n(A) y se lee “cardinal de A”.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión
Recuerda
Grácamente, la inclusión de dos conjuntos A y B se representa así: B A
AfB
Sean los conjuntos A y B. Si todos los elementos de A son también elementos del conjunto B, decimos que “el conjunto A está incluido en B”. Se denota por A1 B. Ejemplo: Sean los conjuntos: M ={4; 5; 6} y N
= {4; 5; 6; 7}
1 N se lee: tiene:“MMestá se incluido en N”.
Del ejemplo:
Igualdad
N
M •7
10
•4
•5 •6
Intelectum 2.°
Dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Se denota=AB. Ejemplo: Dados los conjuntos A= {a; c; l} y B = {c; l; a}; se observa que A= B.
A Conjuntos comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando uno de ellos está incluido en el otro, es decir: A es comparable con B A 1 B 0 B 1 A
Nota
+
Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {x / x es un mamífero}; B = {x / x es un cuy} Sabemos que B 1 A (todo cuy es mamífero) pero Aj B (no todo mamífero es un cuy). Por lo tanto, A y B son conjuntos comparables.
• Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. • La no inclusión se denota: j
Atención
Conjuntos disjuntos
Sean A y B dos conjuntos disjuntos. Grácamente se representan:
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {x / x es par} y B = {x / x es impar} Se observa que A y B no tienen elementos comunes. Por lo tanto, A y B son disjuntos.
B
A
CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto vacío. Es aquel conjunto que no posee elementos. Se denota por Q o { }.
Ejemplo: A = { x / x ! N / 2 1 x 1 3} = Q Conjunto unitario. Es aquel conjunto que consta de un solo elemento.
Ejemplo: P = {x / x ! N
/
x2 = 9} = {3}
Conjunto universal. Es aquel conjunto de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él. Se denota Nota
generalmente por U. Ejemplo: U = {x / x es un perro} P = {x / x es un pastor alemán}
A= B
&
,
A 1B / B 1 A
U es el conjunto universal para el conjunto P.
Nota
Conjunto de conjuntos. También llamado familia de conjuntos. Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos.
• El vacío ó es subconjunto de todo conjunto. • Al conjunto U, generalmente se le representa de manera gráca por un rectángulo.
Ejemplo: C = {{2; 3}; {3}; {1; 2}; {6}; Q} Conjunto potencia.Sea un conjunto A. El conjunto potencia de A es aquel que está formado por todos los
subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Se denota: P(A) = {x / x 1 A}
Observación
Ejemplo: Sea el conjunto A= {1; 2}, entonces: P(A) = {φ; {1}; {2}; {1; 2}}, se observa que n[P(A)] = 4 = 22. En general, para cualquier conjunto A, se cumple: n[P(A)] = 2n(A)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión (U)
Dados los conjuntos A y B, la unión de ellos es el conjunto formado por los elementos del conjunto A o los elementos del conjunto B. A , B = {x / x ! A 0 x ! B}
n.º de subconjuntos n(A) -1 propios de A = 2
Representación gráfica N od i s j u n t o s
A
A cualquier subconjunto de A que no sea igual a este, se denomina subconjunto propio de A. Del ejemplo: ó; {1}; {2} son subconjuntos propios de A. También observamos que A tiene 22 - 1 subconjuntos propios. En general, para cualquier conjunto A se cumple:
Di s j un tos
B
A
C omp ar a bl e s B
B
A
A, B = B
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
11
Nota
Intersección (+)
•
Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos. Se cumple: n(A , B) = n(A) + n(B) n(A , B , C) = n(A) + n(B) + n(C)
•
Para dos conjuntos cualesquiera A y B, se cumple: n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A+ B)
•
Para dos conjuntos cualesquiera A y B, se cumple: n[P(A) + P(B)] = n[P(A + B)]
Dados los conjuntos A y B, la intersección de ellos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. A + B = {x / x ! A / x ! B} Representación gráfica N odi s j u n t o s
A
D i sj u nto s
B
B
A
B
Co mp ar a bl es
A
A+B=Q Recuerda
• Si A + B ≠ Q, entonces:
A 9 B = (A , B) - (A + B) • B 1 AC BC 1 AC
,
•
U
C C
Q
A y B son disjuntos. A1 B
,
A+B=A
Diferencia (-)
Dados los conjuntos A y B, la diferencia de ellos es aquel conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. A - B = {x / x ! A / x " B} Representación gráfica N od i s j u n t o s
=Q
D is ju n t os
C o m p a r a bl e s
=U
A
A
B
B
B
A
A- B=A
A- B=Q
Diferencia simétrica (9)
Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o B pero no a ambos. A 9 B = {x / x ! (A - B) 0 x ! (B - A)} Representación gráfica N od i s j u n t o s
Atención
Los conjuntos (A- B); (A+ B) y (B - A) son mutuamente disjuntos.
A
Di s j un tos
C omp ar a bl e s
A
B
B
B
A 9B=A, B
A
A 9 B = B -A
Complemento de un conjunto (Ac o A')
Dado un conjunto A, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos del universo que no están en A. U
A
A' = Ac = {x / x " A}
Observación
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. • Si A 1 B, entonces: AiB=B-A • Si A y B son disjuntos; entonces: A i B = A, B
12
Intelectum 2.°
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Idempotencia
A, A= A A+ A= A A9A= A
Conmutativa A,B =B ,A A+B =B +A A9B =B 9A
Asociativa
Distributiva
A , (B , C) = (A , B) , C A + (B + C) = (A + B) + C A 9 (B 9 C) = (A 9 B) 9 C
A , (B + C) = (A , B) + (A , C) A + (B , C) = (A + B) , (A + C)
A
Problemas resueltos 1
Sea el conjunto: S = {Q; a; {a}} Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1 S • Sa ! • {a} • { Q} ! S 1 S • {a} S! • a • Q!S
4
Resolución:
Por dato, A es unitario, entonces: • a+b=b+c a=c • a+b=a+c b=c Entonces:
Resolución:
• a ! S (verdadero) a es un elemento del conjunto S. • {a} ! S (verdadero) elemento del conjunto S. • {a}{a} es1 un S (verdadero) a es un elemento del conjunto S, entonces {a} es un subconjunto de S. • a 1 S (falso) a es un elemento del conjunto S, entonces la relación que corresponde debe ser de pertenencia. • {Q} ! S (falso) {Q} es un subconjunto del conjunto S, entonces la relación correcta es: {Q} 1 S • Q ! S (verdadero) Q es un elemento del conjunto S. 2
Si el conjunto A es unitario, halla a # b # c. A = {a + b; b + c; a + c; 8}
c a=b= ...(I) Además, se cumple: a + b = b + c = a + 8c = ...(II) De (I) y (II): 2a = 8 a=4 b=c=4 Nos piden: a # b # c = 4 # 4 # 4 = 64 &
5
Sean los conjuntos A y B tales que: A = {Q; {Q}; {{ }}; { }} y [2 n(A)]n(B) + [2n(B)]n(A) = 8192 Halla n(B).
Sean A, B y C tres conjuntos, donde: n(A) = 15; n(B) = 20; n(C) = 25 Además: n(A + B + C) = n(A + B) - 1 = n(A + C) - 1 = n(B + C) - 1 = 7 Halla: n[(A + B) - C] Resolución:
Expresamos grácamente: A(15)
Resolución:
Sabemos que: Q = { } {Q} = {{ }} Luego: A = {Q; {Q}} n(A) = 2 ... (I) Además: [2n(A)]n(B) + [2n(B)]n(A) = 8192 2n(A) . n(B) + 2n(B) . n(A) = 213 2 # 2n(A) n(B) = 213
B(20)
&
1
6
&
1
C(25)
2
13
2 = 2
2n(A) n(B) = 212 De (I) y (II): 2 # n(B) = 12 #
3
&
n(A) # n(B) 12 =
La región sombreada representa (A+ B) - C. ` n [(A + B) - C] = 1
...(II) 6
`
1
16
#
n(A) # n(B)
11
7
n(B) = 6
Si los conjuntos {(2n + 1)n; m 2 + m} y {12; 25} son iguales, halla mn. Además {m; n} 1 N.
De un grupo de 100 personas encuestadas, 40 van al cine, 35 van al teatro y 28 de los que van al cine van al teatro. ¿Cuántas personas no van al cine ni al teatro? Resolución:
Representando grácamente tenemos: Resolución:
C(40)
Por dato: {(2n + 1)n; m2 + m} = {12; 25}; {m; n} 1 N La expresión 2n+1 es un número impar, y si elevamos esta cantidad a cualquier exponente seguirá siendo un número impar. Luego: • (2n + 1)n = 25 • m2 + m = 12 (2n + 1)n = 52 m2 + m = 32 + 3 (2n + 1)n = [2(2) + 1]2 m=3 n=2 Nos piden: mn = 32 = 9 &
&
12
T(35) 28
U(100)
7 x
Luego: x = 100 - 12 - 28 - 7 x = 53 `
53 personas no van al cine ni al teatro. ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
13
NUMERACIÓN DEFINICIÓN Atención
Las cifras que emplearemos para la formación de numerales son: 0; 1; 2; ...
Es la parte de la aritmética que estudia las leyes y convenciones sobre la representación de los números.
CONCEPTOS PREVIOS Número.Es un ente o abstracción matemática que nos da una idea de cantidad. Numeral.Es la representación de un número mediante símbolos. Cifra.Son símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN Es el conjunto dede principios, cantidad limitada símbolosreglas (cifrasyoconvenios dígitos). que rigen la formación y representación de números con una
PRINCIPIOS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN •
Observación
• •
En el ejemplo, diremos que en el numeral 59 643; la cifra 5 es de orden 4 y 1.er lugar; la cifra 9 es de orden 3 y 2.º lugar; la cifra 6 es de orden 2 y 3.er lugar; la cifra 4 es de orden 1 y 4.º lugar; la cifra 3 es de orden 0 y 5.º lugar.
Orden y lugar. Toda cifra que forma parte de un numeral tiene asociado un orden y un lugar. Orden.Se cuenta de derecha a izquierda a partir de cero. Lugar.Se cuenta de izquierda a derecha a partir de uno.
4 5 Lugar
1
3 2 9 6 2345
1
0
4
3
Orden
Base. Todo sistema de numeración tiene una base que es un número natural mayor que la unidad, el cual nos
indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Ejemplo: Expresar 24 unidades en las bases 4 y 7. Resolución: • En base 4:
• En base 7:
121(4)
34(7)
Observamos que: 25 = 121(4) = 34(7) Cifra.Toda cifra que conforma un numeral, es menor que la base.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN MÁS UTILIZADOS Recuerda
En un sistema de numeración de base n, la cifra máxima será (n – 1).
B as e
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11
12
14
Intelectum 2.°
N om br e
Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal
C i f r a squ eu t i l i z a
10; 0;1;2 0;1;2;3 0;1;2;3;4 0;1;2;3;4;5 0;1;2;3;4;5;6 0;1;2;3;4;5;6;7 0;1;2;3;4;5;6;7;8 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)
A Debemos considerar que: • En una igualdad de numerales, a mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde mayor base. • Las cifras permitidas en la base n son: 0; 1; 2; …; (n - 1) • En número de cifras que se puede utilizar para la formación de numerales en cierta base, es igual a la base. Valores de las cifras. Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores: Valor relativo (VR). Es el valor que representa la cifra por la posición u orden que ocupa dentro del número. Valor absoluto (VA). Es el valor que r epresenta la cifra por la forma que tiene.
Nota
– 512(7) = 312(9) – + +
• •
Ejemplo: Sea el numeral 4236(7); entonces: 6 VA(6) = 3 VA(3) = 2 VA(2) = 4 VA(4) =
6 # 70 3 # 71 2 =2#7 = 4 # 73
VR(6) VR(3) VR(2) VR(4)
= =
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO Cada cifra de un numeral puede ser representada por una letra minúscula; todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas. Ejemplos: • ab(n): representa cualquier número de dos cifras en base n. • abc: representa cualquier número de tres cifras en base 10. • ab4(6): representa cualquier número de tres cifras en base 6 que termina en 4.
Recuerda
Debes tener en cuenta que: • Toda expresión entreparéntesis representará una cifra. • La primera cifra de un numeral debe ser distinta de cero. • Las letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo indiquen.
Nota
Numeral capicúa.Es aquel número cuyas cifras equidistantes son iguales. Ejemplos: 1221(4); aba(6); 23432; axxa
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Todo numeral se puede descomponer como un polinomio, es decir, como la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral. Ejemplos: • Base 10 5479 = 5 # 103 + 4 # 102 + 7 # 10 + 9
• Base 7 235(7) = 2 # 72 + 3 # 7 + 5
• Base 4 2031 = 2 # 43 + 0 # 42 + 3 # 4 + 1
• Base 8 4523 = 4 # 83 + 5 # 82 + 2 # 8 + 3
(4)
(8)
Atenció n
La descomposición polinómica también se puede realizar por bloques.
CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA D eb a s enab a s e1 0
D eb a s e1 0ab a s en
Ejemplo: Convertir 435(6) a base 10.
Ejemplo: Convertir 1723 a base 8. Por e l m ét odo de Ruf fi ni Resolución: 1723 8 4 3 5 1720 215 8 6 24 162 3 208 26 8 # 4 27 167 7 24 3 2 435(6) = 167 1723 = 3273(8)
Po r des co mp osic ió n pol in óm ic a 2
435(6) = 4 # 6 + 3 # 6 + 5 435(6) = 144 + 18 + 5 435(6) = 167
PROPIEDADES Numeral de cifras máximas
Ejemplos: mnmn(k) = mn(k) # k2
+
mn(k)
aaabb(3) = aaa(3) # 32
+
bb(3)
232323(5) = 23(5) # 54 23(5) # 52
+ +
23(5)
Observación
Para expresar un numeral de base n ! 10 en base m ! 10; primero se convierte a base 10; y el resultado se convierte a base m.
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)(n) = nk - 1 k cifras Nota
Bases sucesivas 1a1b
1c
=
1z(n)
n + a + b + c + ... + z
Caso particular: 1a = n + ma 1a "m" veces 1a(n)
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
15
Problemas resueltos 1
Calcula a2 + b2 si: 17ab = 101 # ab
Pasamos a base 3: 815 3 813 271 3 2 270 90 3 1 90 30 3 0 30 10 3 0 9 3 3 1 3 1
Resolución:
Descomponiendo por bloques, tenemos: 17ab = 101 # ab 1700 + ab = 101 # ab 1700 = 101ab - ab 2
1700 = 100ab 17 = ab
Nos piden: a2 + b2 = 12 + 72 = 50
Halla x si: 54(x) - 31(x) = 19
0
Luego: 1010012(3) = pqpqqpr(3)
Resolución:
Por descomposición polinómica: 54(x) - 31(x) = 19 5x + 4 - (3x + 1) = 19
7 2x + 3 = 19 2x = 16 `x =8
&
Halla m, si: n61(m) = n15(8) Resolución:
Observamos que:
3
Si se cumple 105(n) = 321(5); calcula
n +
1.
+ -
n=9 Nos piden:
Halla
b+ c ; a
n +
8
Expresamos 53 en base 7: 53 7 49 7 7 4 7 1 0
abbb(6) = 5ba(8)
4
Resolución:
Si descomponemos polinómicamente ambos miembros: a # 63 + b # 62 + b # 6 + b = 5 # 82 + b # 8 + a 216a + 36b + 6b + b = 320 + 8b + a 215a + 35b = 320 43a + 7b = 64
Luego: abc(7) = 53 = 104(7) a = 1; b = 0; c = 4 &
1 3 Luego: a + b = 1 + 3 = 4
Nos piden: b+c 0 4 = + =4 a 1
9 5
Representa correctamente el numeral N en base 7; si <0 a < c < 6. N = a # 76 + 49 + 3 # 74 + c # 75 Resolución:
Por dato, a y c son cifras positivas menores que 6. Entonces: N = a # 76 + c # 75 + 3 # 74 + 0 # 73 + 1 # 72 + 0 # 7 + 0 N = ac30100(7) 6
Un número escrito en la base 3 y 8 tiene la forma pqpqqpr y 1457 respectivamente. Calcula p + q + r. Resolución:
Del enunciado se tiene: pqpqqpr(3) = 1457(8) Expresando en base 10 tenemos: 1457(8) = 1 # 83 + 4 # 82 + 5 # 8 + 7 = 185
16
Intelectum 2.°
&
+
Halla el valor de a + b, si se cumple que:
1= 9 +1 =3+1
si: abc(7) = 53
Resolución:
Luego: 6 1m 18 m=7
&
=
4
-
n61(m) = n15(8)
Resolución:
Expresamos en base 10: 1 # n2 + 5 = 3 # 52 + 2 # 5 + 1 n2 + 5 = 75 + 10 + 1 n2 = 81
p+q+r=1+0+2=3
Un ganadero utiliza cierto sistema de numeración para administrar su ganado. En sus apuntes lleva escrito: • n.° de toros = 24 • n.° de vacas = 32 • Total de cabezas = 100 ¿Qué sistema de numeración está utilizando? Resolución:
Sea n el sistema de numeración que utiliza el ganadero: 24(n) + 32(n) = 100(n) Descomponiendo polinómicamente: 2n + 4 + 3n + 2 = n2 n2 -5n -6 = 0 &
n n &
-6 +1
n=6
0
n = -1
Pero como n es base, debe ser positiva. `
n=6
OPERACIONES BÁSIC EL C ONJUNT O +
A
AS EN
Nota
ADICIÓN Es la operación que consiste en agrupar un conjunto de cantidades homogéneas llamadas sumandos, obteniendo así otra cantidad denominada suma. Presenta la siguiente forma: A1 + A2 + ... + An = S Sumandos
Propiedades de la adición en Z Clausura 6 a, b ! Z: a + b ! Z Conmutativa 6 a, b ! Z: a + b = b + a
Suma
Asociativa 6 a, b, c ! Z: (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo: Si a + b = 6, calcula S = a1 + ba + 2b.
Del elemento neutro aditivo 6 a ! Z: a + 0 = 0 + a = a
Resolución: Al ordenar verticalmente los términos de la adición tenemos: a1 +
En el orden 0: 1 + a + b = 1 + 6 = 7
ba 2b 87
En el orden 1: a + b + 2 = 6 + 2 = 8
Del elemento inverso aditivo 6 a ! Z: a + (�a) = 0
6 Recuerda
6
Es decir: S = 87
Sumas notables n^n + 1h
1 + 2 + 3 + ... + n =
SUSTRACCIÓN
2
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Es la operación inversa a la adición, que consiste en calcular la diferencia entre dos números llamados minuendo y sustraendo. Presenta la siguiente forma: Diferencia Sustraendo Minuendo
M-S=D
1 + 3 + 5 + ... + (2n � 1) = n2 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n ^n + 1h^2n + 1h 6
13 + 23 + 33 + ... + n3 =
;
Ejemplo: En la sustracción: 849 - 721 = 128, se observa que: 849 = 128 + 721
n ^n + 1h 2
2
E
Propiedades
1. El minuendo es igual a la suma del sustraendo y la diferencia.
3. Si ab - ba = pq, donde a > b, entonces: p+q=9
pq = 9(a - b)
M=S+D
2. La suma de los términos de una sustracción es 4. Si abc - cba = xyz, donde a > c, entonces: igual al doble del minuendo. x+z=9 y=9 M + S + D = 2M xyz = 99(a - c) a-c=x+1 Complemento aritmético (CA)
Se define como la cantidad de unidades que le falta a un número entero positivo para ser igual a una unidad del orden inmediato superior, con respecto de su cifra de mayor orden. Ejemplo: Halla el CA de 57.
Observación
La propiedad 1 nos permitirá vericar si la sustracción ha sido efectuada correctamente.
Resolución: La cifra de mayor orden del número 57, corresponde a las decenas (orden 1), entonces tenemos que calcular la cantidad que le falta para completar una centena (orden inmediato superior: orden 2), es decir: CA(57) = 100 - 57 = 43 En general : Sea N un número de k cifras, entonces: CA(N) = 10k � N
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
17
Método práctico para hallar el CA de un número
1. Cuando el número termina en cifras signicativas, se resta la última cifra de 10 y los demás de 9. Las cifras obtenidas forman parte del CA que buscamos. CA(abcde) = (9 - a) (9 - b) (9 - c) (9 - d) (10 - e) Ejemplo: CA(84 316)
=
(9 - 8)(9 - 4)(9 - 3)(9 - 1)(10 - 6) = 15 684
2. Cuando el número termina en cero(s), se repite el procedimiento anterior a partir de la última cifra signicativa, y colocamos los ceros que al nal tenía el número inicial. Atención
CA(abcd000) = (9 - a)(9 - b)(9 - c)(10 - d)000
Recuerda las propiedades de la multiplicación en Z
Ejemplo: CA(45 200)
Clausura 6 a, b ! Z: a Ç b ! Z
=
(9 - 4)(9 - 5)(10 - 2)00 = 54 800
MULTIPLICACIÓN
Conmutativa 6 a, b ! Z: a Ç b = b Ç a
Es la operación que consiste en adicionar abreviadamente una cantidad llamada multiplicando , tantas veces como lo indica otra cantidad llamada multiplicador . Al resultado de la operación se le llama producto.
Asociativa 6 a, b ! Z: (a Ç b) Ç c = a Ç (b Ç c)
A # B = A + A + ... + A = P
Del elemento neutro multiplicativo 6 a ! Z: a Ç 1 = 1 Ç a = a
Multiplicando Multiplicador
Del elemento inverso multiplicativo -1 6 a ! Z � {0} : a Ç a =1
B veces
Producto
Ejemplo: 45 # 7 = 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45 = 315
Distributiva 6 a, b, c ! Z: a Ç (b + c) = a Ç b + a Ç c
Multiplicando Multiplicador
Producto
Algoritmo de la multiplicación Nota
• Si abc Ç 7 = ...8
&
Multiplicando Multiplicador
847 345 4235 Productos parciales 3388 2541 Producto 2922 1 5
c=4 3
Si abc
Ç
4 = ...2
&
c
8
• (n.º impar) Ç (...5) = ...5 (n.º par) Ç (...5) = ...0
• n(n + 1) =
...0 ...2 ...6
#
847 # 5 847 # 4 847 # 3
Se verifica: 847 # 345 = 847 # (300 + 40 + 5) = 847 # 300 + 847 # 40 + 847 # 5 = 292 215
DIVISIÓN Es la operación matemática inversa a la multiplicación, en la que dados dos números enteros positivos cualesquiera, llamados dividendoy divisorse obtiene un tercer número llamado cociente.
Observación
De los ejemplos, observamos que al dividir dos números enteros la división podrá ser exacta o inexacta.
Ejemplos: • 24 8
• 38 7 35 5 3
24 3 --
3
24 = 8 #
38
=
Residuo
7#5+3
Clases de división División exacta
Es aquella división en la que no se obtiene un residuo. D
Ejemplo:
d &
q
18
Intelectum 2.°
D=d#q
26 13 26 2 --
&
26 = 13 # 2
A División inexacta
Es aquella división en la cual se va a obtener un nuevo término llamado residuo. A su vez se subclasifica en: Di v is ió n i n ex ac ta p o r d e fe c to D
d
r
q
&
D=d#q+r
D iv is ió n i n e xa c ta po r e x c es o
d
D
D = d # qe - re
&
re qe
Si:
Donde: D es el dividendo, d el divisor, q Donde: D es el dividendo, d el divisor, el cociente y r el residuo. qe el cociente por exceso y r e el residuo por exceso. Ejemplo: 46 8 40 5
&
Ejemplo: 46 8 48 6 2
46 = 8 # 5 + 6
6
Atención
Alteraciones de la división entera para cualquier n! Z
=
&
#
D
d
r
q
Entonces: d •DÇn dÇn •D+d rÇn q q+1
-
46 8 6 2
Propiedades de la división inexacta
3. r + re = d 4. qe = q + 1
1. 0 1 residuo 1 d 2. rmáximo = d - 1 rmínimo = 1
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Recuerda
Es un conjunto de números, ordenados de tal manera que la diferencia entre dos términos consecutivos es una cantidad constante llamada razón aritmética . Ejemplos: • 15; 19; 23; 27; ...
• 37; 39; 41; 43; ...
+4 +4 +4
+2 +2 +2
Para una progresión aritmética cuya cantidad de términos es impar se tiene: tc =
• 102; 108; 114; 120; ... +6
tn + t1 2
+6 +6
En general:
Nota
t1; t2; t3; t4; ...; tn; ... r
r
Donde: t1 es el primer término; tn el término enésimo; r es
r
la razón y n el número de términos.
Se tiene: r = 19 - 15 = 4; t1 = 15 tn = 15 + 4(n – 1) = 11 + 4n 95 = 11 + 4n n = 21
Elementos
1. Término general: tn = t1 + r # (n - 1) 2. Razón: r = tn - tn - 1
3. Número de términos: n=
tn - t1 r
&
+1
Luego:
4. Suma de términos: S=
d
t1 + tn 2
n
#
Para la sucesión: 15; 19; 23; 27; ...; 95
S=
n
c
15 + 95 2
m
#
21 = 1155
Conteo de cifras usadas en una progresión aritmética
Dado un número entero positivo N de k cifras. La cantidad de cifras que se utiliza al escribir todos los números enteros desde 1 hasta N, está dado por:
Observación
Cantidad de cifras usadas = (N + 1)k - 11 ... 11 k cifras
• Cuando aparezcan cifras repetidas o dependientes, solo se analiza una de ellas.
MÉTODO COMBINATORIO
• Se debe tener en cuenta que la cifra de mayor orden en un numeral, es diferente
Sirve para determinar cuántos números de k cifras existen en base n. Para esto, se halla para cada cifra el número de valores que puede asumir en basen. El producto de estos valores nos da el número de combinaciones. Ejemplo: Resolución: a b c(4) Por lo tanto, en el sistema 1 0 0 ¿Cuántos números de 3 cifras cuaternario existen 48 números de existen en el sistema cuaternario? 2 1 1 3 cifras. 3 2 2 3 3 3#4#4 = 48
de cero.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
19
Problemas resueltos 1
Si: x + y + z = 23 Halla: xxy + zzx + yyz
4
Resolución:
Resolución:
Ordenando los sumandos y utilizando el dato, se tiene:
abccba 6xy
2 2
x x y z z x y y z
+
`
2553
2
5
xxy + zzx + yyz = 2553
`
&
7
=
4
Reemplazando datos: 3D - 32 = D 2D = 32 D = 16 `
c=2 6
a # b + c = 5 # 4 + 2 = 22
`
Si el minuendo es el triple de la diferencia, además el sustraendo es 32, halla el minuendo.
&
&
3
=
a + 7 = ...2 a =5 1 + 7 + c = ...0
3c73 9027
x + y = 12
M-S=D
b+3 b
+
&
Sea la sustracción:
Resolución: 1 1
Por propiedad: x=9/6+y=9 y=3
Resolución:
Halla: a # b + c Si: a7ab + 3c73 = 9027
a7ab
Halla (x + y), si: abc - cba = 6xy
Halla la suma de las 3 últimas cifras de: 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + 33...33
M = 3D = 48
Calcula: a + b + c Si: CA(abc) = (a - 1)(b + 5)(c + 2) Resolución:
CA(abc) = (a - 1)(b + 5)(c + 2)
35 cifras
Resolución:
(9 - a)(9 - b)(10 - c) = (a - 1)(b + 5)(c + 2)
Ordenando los sumandos: 3
+
&
3 3 3 3 3 3 3 3 3
&
35 sumandos
&
h
`
9-a=a-1 9-b=b+5 10 - c = c + 2
&
&
&
a=5
b=2 c=4
a + b + c = 11
3 3 3 ... 3 3 3 ... a b c
7
3 + 3 + 3 + ... + 3 = 3 # 35 = 105
Halla el valor de: a + b + c + d Si: ...abcd # 7 = ...2531
35 cifras
Colocamos 5 y llevamos 10. c=5
Resolución:
10 + 3 + 3 + ... + 3 = 10 + 3 # 34 = 112
... a b c d
&
Llevo
6
34 cifras
Colocamos 2 y llevamos 11. b=2 11 + 3 + 3 + ... + 3 = 11 + 3 # 33 = 110 Llevo
33 cifras
Colocamos 0. &
`
20
a=0 a+b+c=7
Intelectum 2.°
8
7#d
2
=
...1
&
d
=
3
7 # c 2+ 3 = ...3
&
c
=
7
7 # b2+ 5 = ...9
&
b
=
... 2 5 3 1
7 # a 6+ 2 = ...8
&
a
=
`
&
2
#
a + b + c + d = 23
Si: m # abc = 1760 n # abc = 2464 p # abc = 2112
Calcula: mnp # abc
A Resolución:
Resolución:
a b c# mnp 2112 24 6 4
p # abc n # abc
m
1760
#
abc
2027 52
Se tienen los datos: r = 17; re = 11 y qe = q + 1 = 13 d = r + re = 28 y q = 12 D 28 17 12 D = 28 # 12 + 17 D = 336 + 17 D = 353 &
&
`
9
mnp # abc = 202 752
En una división inexacta el divisor es 17 y el cociente 25. Halla el dividendo si el residuo es máximo.
Por lo tanto, el dividendo es: 353 13 ¿Cuántos números impares de 3 cifras existen en el sistema decimal? Resolución:
Resolución:
Se tiene: d = 17; q = 25 y rmáximo = d - 1 = 16 Reemplazando estos datos en la fórmula: D = d # q + r = 17 # 25 + 16 ` D = 441
Considerando los valores de las cifras de acuerdo a la base: a b c 1
10 La suma de los cuatro términos de una división es 175, el cociente es 5 y el residuo 4. Calcula el divisor. Resolución:
D + d + q + r = 175
/
D d 4 5
Reemplazando los valores: (5d + 4) + d + 5 + 4 = 175 +
=
6d 13 6d = 175 162 d = 27 Por lo tanto, el divisor es: 27 &
11 La suma de dos números es 426 y al dividirlos se obtiene 15 como cociente y 10 como residuo. Halla el mayor de ellos. Resolución:
Sean los números: a y b Entonces: a 426 +b= ...(1) a b a = 15b + 10 ...(2) 10 15 &
Reemplazando a de la ecuación (2) en la ecuación (1): (15b + 10) + b = 426 16b + 10 = 426 16b = 416 b = 26 Reemplazando este valor en la ecuación (1), se tiene: a = 400 Por lo tanto, el número mayor es: 400 &
12 En una división el residuo por defecto es 17, el residuo por exceso es 11 y el cociente por exceso es 13. Calcula el dividendo.
0
1
2 1 3 3 2 5 7
9 9 9 9 #10 # 5 = 450 números Nota:para que un número sea impar, la última cifra debe ser impar. Por lo tanto, existen 450 números impares de 3 cifras. 14 ¿Cuántas cifras (o tipos de imprenta) se han empleado al enumerar las primeras 746 páginas de un libro? Resolución:
Páginas numeradas: 1; 2; 3; ...; 746 Último término: N = 746 y la cantidad total de sus cifras: k = 3 La cantidad total de cifras empleadas será: Cc = k(N + 1) - 111...1 k cifras Cc = 3(746 + 1) - 111 Cc = 2130 cifras Por lo tanto, el total de cifras empleadas es 2130. 15 Calcula la suma de las cifras de un número de 2 dígitos, sabiendo que su CA es igual al producto de sus cifras. Resolución:
Sea el numeral: ab CA(ab) = a # b 100 - ab = a # b 100 - (10a + b) = ab 100 = 10a + b + ab 100 = 10a + b (1 + a)
&
9 9 b = 1, luego: a + b = 9 + 1 = 10 ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 1
21
unidad 2
TEORIA DE la
DIVISIBILIDAD
DEFINICIÓN Observación
Si A es divisible por B, también se puede decir: A
Es parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro.
DIVISIBILIDAD Se dice que A es divisible por B, si al dividir A entre B el cociente es entero y el residuo cero. A B Donde: A ! Z, B ! Z , q ! Z A es divisible por B+ 0 q +
B Si
20 es múltiplo de 4, entonces 4 es divisor de 20. ¿Te das cuenta?
Ejemplos: & es divisible por 6. • 24 6 24 0 4
•
-
30 5 0 -6
&
-
30 es divisible por 5.
MULTIPLICIDAD Un número es múltiplo de otro número entero positivo, si es el resultado de multiplicar dicho número por otro número entero cualquiera. A es múltiplo de B+ A = B # K
Donde: A ! Z, B ! Z , K ! Z +
Ejemplos: • 35 = 5 # 7 & 35 es múltiplo de 5. • 48 = 3 # 16 & 48 es múltiplo de 3. Notación:
Para expresar que A es múltiplo de B escribiremos: A = B° Observaciones:
Recue rda
• La unidad es divisor de todo número entero, por lo cual recibe el nombre de divisor universal. • El cero es múltiplo de todo número entero.
a) Los divisores de un número forman un conjunto nito, pero los múltiplos de un número forman un conjunto innito. Por ejemplo: Divisores de 35= {1; 5; 7; 35} 35 Múltiplos de 35 = {...; -70; -35; 0; 35; 70; ...} b) Si el número Ano es múltiplo de B, entonces A sepuede representar de la siguiente manera: A = B° + rd = B° - re
Donde: rd + re = B
Ejemplo: Como 23 ! 5° 23 5 23 5 & 23 = 5 # 4 + 3 & 23 = 5 # 5 - 2 3 4 2 5 = + = 3 23 5° 23 5° - 2 c) Si el producto de dos números es múltiplo de n y uno de ellos no tiene ningún divisor común diferente de la unidad con n, entonces el otro es múltiplo de n. Ejemplos: • 2 # a = 7° & a = 7°
22
Intelectum 2.°
• 5 # a = 3° & a = 3°
A d) Si A es múltiplo de B, entonces es múltiplo de cada uno de los divisores de B. Recue rda
Ejemplos:
° entonces • Si A = 6,
A = 1° A = 2°
A = 1° A = 3°
° entonces • Si A = 15,
A = 3° A = 6°
° ° (7 + 2) (7 + 3)
A = 5° ° A = 15
e) Si A es múltiplo de B y también A es múltiplo de C, entonces A es múltiplo del mínimo común múltiplo de B y C.
=
7° + 7° # 3 + 2 # 7° + 2 # 3
=
7° + 2 # 3
En general: ° + r )(n ° + r ) =n °+r (n
&
Si A = B° / A = C°
A = MCM_°A ;C i
1
2
#
1
r 2
Ejemplo: ° / A = 6° A = 10
&
° A = MCM _10 ;6 i ° A = 30
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD 1. La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número siempre es igual a un múltiplo del mismo número. Así tenemos: n° + n° = n° n° - n° = n° Ejemplos: •3024 + 6 = 2°
2°
Atenc ión
• 15
9
2°
-
3°
6= 3°
• 15 3°
-
10 = 5
5°
5° 5°
Si b > 0, entonces: (–b)k =
bk, si k es par –bk, si k es impar
2. La multiplicación de un múltiplo de n por un entero, da como producto un múltiplo de n. Ejemplo: (–3)2 = 32 = 9 (–2)5 = –25 = –32
n° # k = n° , k ! Z Ejemplos: 30• 6 # 5 = 3°
• 14
28# 2 =
3°
7°
• 10 7°
#
7 = 70
5°
5°
3. Si a un múltiplo de n, se eleva a una potencia entera y positiva, el resultado será un múltiplo de n. ° k = n° (n) Ejemplos: 625 • (25)2 = °2 (5)
• (4) 5°
64
3
°3 (2)
,k!Z
+
• (3)
=
2°
2
°2 (3)
=
9 3°
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON Dado: a > 0; r y k enteros, se cumple: (a° + r)k = a° + rk Ejemplos: • (9° + 2)5 = 9° + 25 ° + 3)2 = 17 ° + 32 • (17
° - 2)3 = 13 ° + (-2)3 = 13 ° - 23 • (13 2 2 ° ° ° • (11 - 2) = 11 + (-2) = 11 + 22 ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
23
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son reglas que permiten determinar si un número es divisible por otro, en caso contrario se podrá hallar el residuo que dejaría al dividirlos.
Atenci ón
Mario se olvidó del código de su tarjeta de crédito. Solo recuerda que las 4 cifras cumplían: • La cifra de 2.º lugar es 2. • La cifra de orden 0 y orden 3 son iguales. • Su código es múltiplo de 5 y 9. Ayudemos a Mario. Código: a2ba Como: a2ba = 5° & a=5 0 a=0 Además: 52b5 = 9° 5 + 2 + b + 5 = 9° 12 + b = 9° 3 + b = 9° &b=6
Divisibilidad por 2
Divisibilidad por 5
abcde = 2° + e = 2° Ejemplo: Si mnp(3a) = 2° / a 2 0, halla a. 3 . a = 2° & a = 2° ` El único valor que puede tomar a es 2.
abcde = 5° + e = 5° & e = 0 0 5 Ejemplo: a35a = 5° + a = 5° Como a ! 0 & a = 5
Divisibilidad por 4
Divisibilidad por 25
abcde = 4° Ejemplo: 745m = 4°
+
de = 4°
° abcde = 25 Ejemplo: ° 4737m = 25
5m = 4° m=20m=6
& &
+
& &
° 0 de = 00 de = 25 ° 7m = 25 m=5
Divisibilidad por 8
Divisibilidad por 125
abcde = 8° Ejemplo: 753m = 8°
° + cde = 125 ° abcde = 125 Ejemplo: ° & m50 = 125 ° 7m50 = 125 & m50 = 250 0 m50 = 750 &m=20m=7
Luego, el código de Mario es: 5265.
cde = 8°
+
53m = 8° = 536 &m=6
&
¡Lo logramos!
Divisibilidad por 3 y 9
Divisibilidad por 7
abcde = 3° abcde = 9°
abcdef
Ejemplo: 135a2 = 9°
+ +
&
a + b + c + d + e = 3° a + b + c + d + e = 9°
=
-
1 + 3 + 5 + a + 2 = 9° 11 + a = 9° &a=7
° 11
+
Divisibilidad por 13
° (b + d + f) - (a + c + e) = 11
abcdef
=
° 13
. . . . . .
431431
- + - + - +
. . . . .
+
Ejemplo: 212m31 = 7° & 2m + 9 + 1 - (4 + 3 + 2) = 7° 2m + 1 = 7° &m=3
. . . . . .
Ejemplo: 2256m
7° + (2d+ 3e + f) - (2a+ 3b + c) = 7°
231231
Divisibilidad por 11
abcdef
=
. . . . . .
+ =
° 11
+
° (m + 5 + 2) - (2 + 6) = 11 ° &m=1 m - 1 = 11
-
+
Luego: ° 4a + 3b - c - 4d - 3e + f = 13
+ - + - +
Divisibilidad por 33 ó 99
abcdef = 33 ° + ab + cd + ef = 33 ° Ejemplo: ° & 11 + 10 + 1m = 33 ° 11101m = 33 ° 21 + 1m = 33 &m=2
24
Intelectum 2.°
abcdef = 99 ° + ab + cd + ef = 99 ° Ejemplo: ° & 20 + 34 + 4a = 99 ° 20344a = 99 ° 54 + 4a = 99 &a=5
A
Problemas resueltos ° Calcula a, si a43 = 9.
1
6
Resolución:
Resolución:
a43 = 9°
(5° + 1)(5° + 2)(5° + 3)(5° + 4)
&
a + 7 = 9° & a=2
Por propiedad: 5° + 1 # 2 # 3 # 4 = 5° + 24 = 5° + 4
° Calcula m, si m092 = 13.
2
Simplifica: (5° + 1)(5° + 2)(5° + 3)(5° + 4)
7
Resolución: =
m092
13 °
&
2 - m - 0 - 27 = 13 °° -m - 25 = 13 ° m + 25 = 13
. . . .
1431 -
° m + 12 = 13
+
Halla x.
° = Si: 7(x 2) 3 Resolución:
&
7(x - 2) = 3° ° & x- 2 =3
m=1
`
° calcula m. Si 5m(m + 1)(m + 2) = 11,
3
8
x = 3° + 2
¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 6?
Resolución:
4
5m(m + 1)(m
+
-+
+
-
2)
=
Resolución:
° 11
Sea: N = ab = 6° = 6k &
° calcula a. Si (a + 2)(a - 2)(a + 3)(2a + 1) = 7,
k ! {2; 3; 4; ...; 16} & Hay 15 números
Resolución:
Luego, la cantidad de valores de k, será también la cantidad de valores que toma N.
Un número de dos cifras está entre: 9 1 ab 1 100 9 1 6k 1 100
(a + 2)(a - 2)(a + 3)(2a + 1) = 7° .
1
.
2
.
3
-
.
`
1 +
2(a - 2) + 3(a + 3) + (2a + 1) - (a + 2) = 7° 6a + 4 = 7° 3a + 2 = 7° .
4 &
5
ab = 6k
Entonces: ° m + (m + 2) - 5 - (m + 1) = 11 ° & m = 11 ° +4 m - 4 = 11 `m = 4
a=4
¿Cuántos números de la forma abab son múltiplos de nueve? Resolución:
abab = 9°
9
Halla el menor valor positivo de x, si: ° 8x + 6 = 14 Resolución:
° =7.2.k 2(4x + 3) = 14 2(4x + 3) = 2 . 7k 7° ° & 4x + 3 = 7 &
4(x + 6) = 7° & x + 6 = 7° x = 7° - 6 x = 7° + 1
ab = 9°
x ! {1; 8; 15; ...}
ab: 18; 27; 36; ...; 99 `
Hay 10 números de la forma abab.
4x + 3 + 21 = 7° + 21 " sigue siendo 7° 4x + 24 = 7°
Descomponiendo por bloques: 100ab + ab = 9° 101 # ab = 9° &
Hay 15 números de dos cifras múltiplos de 6.
`
El menor valor positivo de x es 1. ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
25
10 ¿Cuál es el residuo de dividir M = 41 Ç 26 Ç 247 Ç 2377 entre 11? Resolución:
M = (11 Ç 3 + 8)(11 Ç 2 + 4)(11 Ç 22 + 5)(11 Ç 216 + 1) ° + 8)(11 ° + 4)(11 ° + 5)(11 ° + 1) M = (11 ° M = 11 + 8 Ç 4 Ç 5 Ç 1 ° + 160 M = 11 ° + (11 Ç 14 + 6) M = 11 M = 11 ° +6 ` El residuo es 6.
Resolución:
Sea: n el número de personas, donde: 400 1 n 1 450 Por dato: n.° de personas que usan casaca:1 n n = 3° n.° de personas que usan reloj: &
11 Halla x si: 1x + 2x + 3x + ... + 10x = 9°
&
n
=
3 1 n 7
°
7
No trabajan:
1 n 5
n = 5° Luego: n = MCM (3; 7; )5
Resolución:
&
°
Por descomposición polinómica: (10 + x) + (20 + x) + (30 + x) + ... + (100 + x) = 9°
=
°
105
Se tiene: n = 105k & 400 1 105k 1 450 4 & n = 105(4) = 420
10x + 10(1 + 2 + 3 + ... + 10) = 9° 10x + 550 = 9° ( 9° + 1)x + (9° + 1) = 9° ° pero x es de una cifra. x + 1 = 9; `x=8
`
Asistieron a la esta 420 personas.
15 ¿Cuántos números de tres cifras, divisibles entre 11, tienen como suma de cifras a 15?
12 Halla el residuo de dividir (936 # 877) entre 7. Resolución:
Resolución:
Del enunciado: (936)(877) = 7° + r
Del enunciado, nos piden la cantidad de numerales de la forma abc, tal que: ° abc = 11 ...(1)
(7° + 5)(7° + 2) = 7° + r 7° + 5 # 2 = 7° + r
a + b +15 c=
7° + 7° + 3 = 7° + r 7° + 3 = 7° + r
r=3
+-+
° & (a + c) - b = 11 ° abc = 11 De (2), se tiene: a +bc = 15 -
Resolución:
17
(41)
=
...(2)
Por el criterio de divisibilidad por 11, se tiene: &
13 Halla el residuo de dividir (41)17 entre 9. 9° + r & (9° + 5)17 = 9° + r 9° + 517 = 9° + r & 517 = 9°r + Como: 53 = 125 = 9° + 8 = 9° - 1 35 ° & (5 ) = 9 - 1 Luego: 517 = 515. 52 = (53)5.(9° + 7) = (9° - 1)(9° + 7) 517 =29° - 7 = 9° + …(2) De (1) y (2): `r=2
26
14 A una esta asisten entre 400 y 450 personas. Si se observa que 1/3 de los asistentes usan casaca, 1/7 usan reloj y 1/5 no trabajan. ¿Cuántos asistieron a la esta?
Intelectum 2.°
...(1)
Reemplazando (4) en (3): ° 15 - b - b = 11 ° &b=2 15 - 2b = 11 Luego, en (4): a + c = 13 987654 456789 ` Existen 6 números.
...(4)
...(3)
NÚMEROS PRIMOS
A
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS De acuerdo a la cantidad de divisores, los números enteros positivos se clasifican en números simples y números compuestos. Nota
La unidad. Es el único entero positivo que posee un solo divisor. Números simples
• El único número primo par es 2.
Número primo . También llamado primo absoluto, es aquel número que admite, únicamente,
dos divisores (él mismo y la unidad). Veamos algunos ejemplos: • 11 solo es divisible por 1 y por 11. Entonces 11 es primo. • 3 solo es divisible por 1 y por 3. Entonces 3 es primo.
• La sucesión denúmeros primos es innita. • Dos números enteros consecutivos son PESÍ. • Dos números enteros impares consecutivos son PESÍ.
Es aquel número que tiene más de dos divisores. Veamos algunos ejemplos:
Números • 15 es divisible por 1; 3; 5 y 15. Entonces 15 es compuesto. compuestos
• 6 es divisible por 1; 2; 3 y 6. Entonces 6 es compuesto.
Recue rda
Dado un número entero positivo N, se cumple:
Debes tener en cuenta que los números primos menores que 100, son:
Cantidad de divisores primos CD(N) = CDP + CDC + 1 Cantidad total de divisores
2
3 13 31 53 73
Cantidad de divisores compuestos
5 17 37 59 79
7 19 41 61 83
11 23 43 67 89
29 47 71 97
¡Recuérdalo!
Veamos un ejemplo: Si la cantidad total de divisores de un número es 18 y posee 3 divisores primos, ¿cuántos divisores compuestos tiene dicho número?
Resolución: Sabemos: CD(N) = CDP + CDC + 1 18 = 3 + CDC + 1 18 = 4 + CDC & CDC = 14 ` El número tiene 14 divisores compuestos.
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESÍ) Dos o más números son primos entre sí (PESÍ), si todos ellos tienen como único divisor común a la unidad. Veamos algunos ejemplos: 12 $ 1 ; 2; 3; 4; 6; 12 21 $ 1 ; 3; 7; 21 26 $ 1 ; 2; 13; 26
8 $ 1 ; 2; 4; 8 &
12; 21 y 26 son PESÍ.
15 $ 1 ; 3; 5; 15
& 8; 15 y 18 son PESÍ. Observación
18 $ 1 ; 2; 3; 6; 9; 18
divisores
La cantidad de divisores simples de un número entero positivo es igual a: CDsimples = CDprimos + 1
divisores
NÚMEROS PRIMOS ENTRE S Í 2 A 2 Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2, cada par de números resulta ser PESÍ. Veamos un ejemplo: ¿Serán 8; 15 y 26 PESÍ 2 a 2? Analicemos: 8 $ 1; 2; 4; 8 8 y 15 son PESÍ. 15 $ 1; 3; 5; 15 15 y 26 son PESÍ. 8 y 26 no son PESÍ. 26 $ 1; 2; 13; 26 ` 8; 15 y 26 no son PESÍ 2 a 2. divisores
La unidad
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
27
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Nota
Regla para determinar si un número es primo absoluto Veamos si 67 es primo. Observa, atentamente, el siguiente procedimiento: Paso 1 Se extrae la raíz cuadrada aproximada del número: 67 . 8,19 Paso 2 Enumera los números primos menores o iguales
Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar, de manera única, como el producto de sus factores primos elevados a ciertos exponentes enteros positivos. N = aα # bβ # cθ Veamos los siguientes ejemplos: • 15 = 31 # 51 • 24
=
# Se denomina
23 # 31
descomposición canónica .
• 100
22 # 52
=
TABLA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para construir la tabla de los divisores de un número, se siguen los siguientes pasos: • Se realiza la descomposición canónica del número. • En la la principal se ubican los divisores que contienen al menor número primo y en la columna principal, divisores (de a mayor). • los Se demás van multiplicando losmenor divisores de la columna principal con los divisores de la la principal.
a2; esta 3; 5 aproximación: y7 Paso 3 Si la división entre el número y cada uno de los números primos hallados resulta inexacta, decimos que el número es primo, en caso contrario no lo es. 67 = 2° + 1 67 = 3° + 1 67 = 5° + 2 67 = 7° + 4 Por lo tanto, 67 es un número primo.
Veamos algunos ejemplos: ¿Cuál será la tabla de divisores de 216? 216 = 23 # 33 20
Ç
21
23 Fila 8 6 12 24 principal 18 36 72 54 108 216
1124 3 3 32 9 Columna 3 principal 3 27
¿Cuál será la tabla de divisores de 300? 300 = 22 # 3 # 52 20 1 3 5 15 25 75
Ç
22
1 3
Ç Ç
5 Ç
52
21 2 6 10 30 50 150
22 4 12 20 60 100 300
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Recue rda
El producto de divisores de un número entero positivo N, que son múltiplos de m, es igual a: m
CD
N
c m # PD m
c m
c m
3
12 3
#
PD
c m 12 3
Ca nt idad de div is o re s d e u n n úm e ro (C D )
S um a d e d iv is or e s d e u n n ú me ro (S D )
N
m
Ejemplo: El producto de divisores de 12, que son múltiplos de 3 es: CD
Dado un número N, cuya descomposición canónica es conocida (N= aα . bβ . cθ), entonces es posible determinar mediante un cálculo directo: la cantidad de divisores, la suma de divisores, la suma de las inversas de los divisores y el producto de divisores.
CD(4)
Sea N = aα . bβ. cθ, entonces:
Sea N = aα . bβ. cθ, entonces:
CD(N) = (α + 1)(β + 1)(θ + 1) Veamos un ejemplo:
=
3
=
33 # 8 = 216
#
DP(4)
SD(N) =
d
a
α+1
-
1
a-1
nd
b
β+ 1
2
4704 = 25 # 31 # 72
Veamos un ejemplo: 540= 2
CD(4704) = (5 + 1)(1 + 1)(2 + 1)
SD(540) =
CD(4704) = 6 # 2 # 3 & CD(4704) = 36
SD(540) =
3
4
b-1
nd
3
1
#
-
3
2
1
#
5
d nd n d n d nd nd n SD(540) 2
-
1
2-1
7 1
80 2
3
-
1
5
3-1 24 4
-
c
θ+ 1
-
c-1
1
n
1
5-1
&
=
1680
Atenci ón
La suma de divisores de un número entero positivo N, que son múltiplos de m, es igual a: m # SD
c m N m
SID(N) =
Ejemplo: La suma de los divisores de 12, múltiplos de 3 es: 3 # SD
28
c m 12 3
=
S u m a d e l a s i n v e r s a s de l o s di v i s o r e s ( S I D )
3 # SD(4)
=
3#
=
21
c
3
2 -1 2-1
m
Intelectum 2.°
SD_ Ni
PD(N) =
N
Veamos un ejemplo: 500= 22 # 53 SD(500) = SID(500) =
d
2
3
-
1
2-1
nd
5
4
-
1
5-1
n
1092 & SID(500) 500
=
=
P r o du c t o d e d i v i s o r e s ( P D )
1092 2,184
N
_ i
CD N
Veamos un ejemplo: 50 = 21 # 52 & CD(50) = (1 + 1)(2 + 1) = 2 # 3 = 6 PD(50) = 50 6 = 503 PD(50) = 125 000
A
Problemas resueltos 1
Calcula la suma de divisores de: N = 153 # 82
4
Resolución:
Resolución:
N = (3 # 5)3 # (23)2 = 33 # 53 # 26
N = 3 . 7 (3 . 5) n = 3n 1 . 5n . 7 CD(N) = CDprimos + CDcompuestos + 1 & (n + 2)(n + 1)2 = 3 + 20 + 1 = 24 (n + 2 )(n + 1) = 12 = 4 . 3 +
Luego: 4
d
SD(N) =
d nd n d n
3
-
1
3-1 80 2
nd
4
SD(N) =
`
2
5
-
nd
1
5-1
624 4
2
7
1
-
2-1
n
127 1
5
SD(N) = 792 480
0
1
2 1 5 a 35
1 5 b
2
2 2 y 14 70
2 4 20 28 z
3
N = 4a . 3b = 22a . 3b & CD(N) = (2a + 1)(b + 1) Por dato: aa = (2a + 1)(b + 1)
4
2 x 40 56 280
2 16 w 112 560
11 # a = (2a + 1)(b + 1) & 2a + 1 = 11 / a = b + 1 2a = 10 5 =b+1 a=5 b=4 Reemplazamos en abba y descomponemos: abba = 5445 = 5 # 32 # 112 Luego: CD(abba) = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) ` CD(abba) = 2 # 3 # 3 = 18
Resolución:
560 280 140 70 35 7 1
2 2 2 2 5 7
&
560 = 24 # 5 # 7
6 20 1 5 7 35
#
1 5
Ç Ç
7 & `
21 2 10 14 70
22 4 20 28 140
23 8 40 56 280
24 16 80 112 560
Dato: SD(N) = 3N 6
2 -1 2- 1
nd
2
a -1 a-1
nd
2
b -1 b-1
n
=
3 . (32 . a . b)
63(a + 1)(b + 1) = 96 . a . b Simplicamos e igualamos: 3 . 7 (a + 1)(b + 1) = 32 . a . b
`
9520 = 24 . 5 . 7 . 17 & CD(9520) = (5)(2)(2)(2) = 40 9 5 2 0 = 4 0 _2 . 7. 1 7 i & CD(M) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 14 4 24 43
M
Todos los divisores de M son multiplicados por 40, entonces 9520 tiene 8 divisores múltiplos de 40. ° =8 & CD40 ° = 40 - 8 = 32 ` CD ! 40 7
Si al número 15 # 2n se le multiplica por 6, se duplica la cantidad de divisores. ¿Cuál es el valor de n? Resolución:
Resolución:
d
¿Cuántos divisores que no son múltiplos de 40 tiene el número 9520? Resolución:
x = 8; y = 10; w = 80; a = 7; z = 140 / b = 7 a + b + w + x + y + z = 252
Halla el número N = 25 # a # b, sabiendo que a y b son números primos mayores que 2 y que la suma de todos sus divisores es el triple de él.
&
`n=2 Si 4a . 3b tiene aa divisores, ¿cuántos divisores tiene abba?
Resolución:
Dada la tabla de divisores de 560, calcula: a + b + w + x + y + z Ç
3
Halla el valor de n, sabiendo que el número N = 21 . 15n tiene 20 divisores compuestos.
N = 25 . 7 . 3 = 672
&
a=3/b=7
15 # 2n = 3 # 5 # 2n & CD(15 # 2n) = (1 + 1)(1 + 1)(n + 1) CD(15 # 2n) = 4(n + 1) Luego: 6(15 # 2n) = 2 # 3 # 3 # 5 # 2n n 1 2 =2 # 3 # 5 & CD = (n + 2)(2 + 1)(1 + 1) CD = 6(n + 2) Del enunciado: 6(n + 2) = 2[4(n + 1)] 6n + 12 = 8n + 8, de donde: n = 2 +
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
29
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Recue rda
Los divisores comunes de un conjunto de números son también divisores de su MCD.
Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números está dado por el mayor de los divisores comunes positivos que comparten dichos números. Ejemplo: Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 Divisores de 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 Divisores de 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
& Divisores comunes: 1; 2; 3; 4;
6; 12
Se observa que el mayor de los divisores comunes de 24; 36 y 60 es 12, entonces: MCD(24; 36; 60) = 12
MÉTODOS PARA HALLAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Por descomposición canónica
Dados dos o más números descompuestos canónicamente, el MCD de dichas cantidades es numéricamente igual al producto de sus divisores primos comunes, elevados cada uno a su menor exponente. Ejemplo: 360 = 23 # 32 # 5 675 = 33 # 52 2 & MCD(360; 675) = 3 # 5 = 45 Atenci ón
• A = MCD°(A ;B ) • B = MCD°(A ;B ) • MCD(1; A; B; C; ...) = 1 • MCD(A; A + 1; B; C; ...) = 1
Por descomposición simultánea
Se extrae de manera simultánea los factores comunes (únicamente) de los números dados para luego multiplicarlos. Ejemplo: 60 30 15 5
- 72 - 48 2 - 36 - 24 2 - 18 - 12 3 - 6 - 4
& MCD(60; 72; 48)
=
2 # 2 # 3 = 12
PESÍ Por algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas
Dados dos números enteros positivos, se divide el mayor de los números entre el menor; luego, el menor de los números iniciales entre el residuo obtenido, después, el residuo anterior entre el último residuo obtenido y así sucesivamente hasta que la división resulte exacta; entonces, el último divisor será el MCD de dichos números. Para emplear este procedimiento usamos el siguiente esquema: q1 A B Residuos r1
Cocientes
q2 q3 q4 q5 r1 r2 r3 r4 MCD(A; B) r2 r3 r4 0
Donde A
2
B; entonces: = r4
División exacta Ejemplo: Halla el MCD de 216 y 128 mediante el algoritmo de Euclides. Resolución: 1125 216 128 88 88 40
30
Intelectum 2.°
40 8
8 0
`
MCD(216; 128) = 8
A MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Dado un conjunto de número enteros positivos, el MCM de dichos números está dado por el menor múltiplo común positivo que los contiene exactamente. Ejemplo: Múltiplos positivos de 6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; ... & Múltiplos comunes: 18; 36; 54; ... Múltiplos positivos de 9: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; ... Múltiplos positivos de 18: 18; 36; 54; 72; 90; ... De todos los múltiplos comunes positivos de 6; 9 y 18; el menor es 18, por lo tanto: MCM(6; 9; 18) = 18
Recue rda
Los múltiplos comunes de un conjunto de números son también múltiplos de su MCM.
MÉTODOS PARA HALLAR EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Por descomposición canónica
Dados dos o más números descompuestos canónicamente, el MCM de dichas cantidades es numéricamente igual al producto de sus divisores primos comunes y no comunes, elevados cada uno a su mayor exponente. Ejemplo: 4500 = 22 # 32 # 53 7425 = 33 # 52 # 11 1470 = 2 # 3 # 5 # 72
& MCM(4500; 7425; 1470)
=
22 # 33 # 53 # 72 # 11
Por descomposición simultánea
Se extrae de manera simultánea los factores comunes y no comunes de los números dados, para luego multiplicarlos. Ejemplo: 60 - 90 - 150 30 - 45 - 75 15 - 45 - 75 5 - 15 - 25 5 - 5 - 25 1- 1- 5 1- 1-
Observación
° MCM(A; B) = A
2 2 3 3 5 5
° MCM(A; B) = B & MCM(60; 90; 150)
=
2 # 2 # 3 # 3 # 5 # 5 = 900
1
PROPIEDADES DEL MCD Y EL MCM 1. Si A y B son PESÍ, entonces: MCD(A; B) = 1 MCM(A; B) = A # B ° entonces: 2. Si A = B, MCD(A; B) = B MCM(A; B) = A 3. Si MCD(A; B; C) = d y MCM(A; B; C) = m, entonces: A d
=
P1
B d
=
P2
C d
=
P3
m A
=
k1
m B
=
k2
m C
=
k3
Números enteros positivos PESÍ.
4. Para 2 númerosA y B se cumple: MCD(A; B) # MCM(A; B) = A # B 5. Si MCD(A; B) = d & A = dp y B = dq, siendo p y q PESÍ, además, se cumple: MCM(A; B) = dpq 6. Si MCD(A; B; C) = d y MCM(A; B; C) = m, entonces: MCD(kA; kB; kC) = kd MCM(kA; kB; kC) = km
d MCM d MCD
A B C ; ; n n n A B C ; ; n n n
n n
=
d n
=
m n
Números enteros positivos PESÍ.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
31
Problemas resueltos 1
¿Cuántos números dividen exactamente a 675; 630 y 405?
4
¿Cuántos son los números positivos menores que 300 que son divisibles a la vez por 2; 4; 5 y 6?
Resolución: Resolución:
Sabemos que los divisores comunes de un conjunto de números son también divisores de su MCD. Entonces: 675 135 45 15
Sea N un número divisible por 2; 4; 5 y 6 a la vez, es decir: 2° N 4° 5° 6°
- 630 -405 5 - 126 - 81 3 - 42 - 27 3 - 14 9
&
Los números que dividen exactamente a 675; 630 y 405 son los divisores de su MCD, es decir:
Hallamos MCM(2; 4; 5; 6):
6 números Dados: A = 12 # 15n y B = 12n # 15; n ! Z Halla n, si su MCM tiene 60 divisores.
4 2 1 1 1
=
5
+
-
5 5 5 5 1
6 3 3 1 1
2 2 3 5
Del enunciado: N 1 300 60k 1 300 k 15 1; 2; 3; 4 & N: 60; 120; 180; 240
2 # 2 # 3 # 5 = 60
Determina el valor de k si:
d5
MCM 14k ; 7 k ; 4 k
+
Como n $ 1 y 2n $ 2; entonces: MCM(A; B) = 22n # 3n 1 # 5n
-
Por lo tanto, hay 4 números positivos menores que 300 que son divisibles por 2; 4; 5 y 6 a la vez.
Resolución
+
-
& MCM(2; 4; 5; 6)
+
Sabemos que el MCM de A y B es igual producto de sus divisores primos comunes y no comunes, elevados cada uno a su mayor exponente. Entonces: A = 22 # 3 # 3n # 5n = 22 # 3n 1 # 5n B = 22n # 3n # 3 # 5 = 22n # 3n 1 # 5
Luego: ° = 60k; k ! Z N = 60
+
2 1 1 1 1
1; 3; 5; 9; 15; 45
2
N = MCM(2°;4; 5; 6)
MCD(675; 630; 405) = 3 # 3 # 5 = 45
10 5
n
=
168
Resolución:
Efectuamos:
d2
n MCM d 28k ; 7 k ; 8 k n 10 10 10
MCM 2 # 14k ; 7 k ; 2 # 4 k
Del enunciado: CD[MCM(A; B)] = 60 (2n + 1) (n + 2) (n + 1) = 3 # 4 # 5
#
5
10 2 # 5
=
168
=
168
Por propiedad: `
3
n=2
El MCM de dos números es 308. Si su producto es 1232, ¿cuál es su MCD? Resolución:
Sean A y B dichos números. Del enunciado: MCM(A; B) = 308 y A # B = 1232 Sabemos: A # B = MCM(A; B) # MCD(A; B) A# B & MCD(A; B) =
k # MCM(28; 7; 8) =168 10
Calculamos MCM(28; 7; 8): 28 14 7 7 1
-
7 7 7 7 1
-
`
32
=
Intelectum 2.°
2 2 2 7
& MCM(28; 7; 8) =
k # 56 = 168 10
k=
1232 308
MCD(A; B) = 4
8 4 2 1 1
Reemplazando en (1), tenemos:
MC M_ A; B i
MCD(A; B)
...(1)
`
168 # 10 56
k = 30
2 # 2 # 2 # 7 = 56
A 6
Si A = 14n y B = 21n, además, MCD(A; B) = 14; calcula el valor de n.
Luego: x = 25 m El número de rollos será: 225 25
Resolución:
Se tiene: A = 14n = (7n) # 2 B = 21n = (7n) # 3
\
PESÍ
250 + 25
300 =+ 25
+9 = 10
12
31
Podrá obtener 31 rollos como mínimo.
10 Tres ciclistas parten al mismo tiempo de un punto de una pista circular que tiene 240 m de circunferencia. El primero a una velocidad de 8 m/s; el segundo a 5 m/s y el tercero a 3 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que los tres móviles realicen el primer encuentro por el punto de partida?
Entonces: MCD(A; B) = 7n 14 = 7n &n=2 7
+
Calcula el MCD de 145 y 13 por el algoritmo de Euclides.
Resolución:
Para resolver este tipo de problemas, debes tener en cuenta: Resolución:
11 145 13 2 145 13 13 11 15 13 2 `
8
6 2 1
2 1 0
13 2 12 6 1
2 1 2 2 0
MCD(145; 13) = 1
v
t
e=vÇt
t v
Entonces: 1.er ciclista: t1 = 2.º ciclista: t2 =
=
e v1 e v2
=
e t
=
=
Como nos piden el tiempo en que los tres ciclistas se Tiempo encuentran por primera vez, hallamos el tiempo que e cada uno emplea en dar v una vuelta.
240 8 240 5
=
=
30 segundos 48 segundos
Halla la suma de dos números cuyo MCM es 22 400 y los cocientes sucesivos al calcular su MCD son 2; 5 y 3.
3.er ciclista: t3 =
Resolución:
Ahora, sea t el tiempo que transcurrirá para que los tres ciclistas vuelvan a pasar por el punto de partida al mismo tiempo. Entonces:
Sea: MCD(A; B) = k 2 5 A =3 5k B=1 6k 3k 3k k
3 k
A B MCM MCD De donde: k = 40 `
t
0
Del enunciado: MCM(A; B) = 22 400 & 35k . 16k = 22 400 . k
9
Recorrido
e Rapidez
A + B = 40(35 + 16) = 2040
Jean tiene 3 rollos de alambre que miden 225 m, 250 m y 300 m de longitud y pretende sacar de estos, rollos más pequeños, pero de igual tamaño, sin que sobre material. ¿Cuántos de estos rollos como mínimo podrá obtener? Resolución:
Sea x, la longitud de cada uno de los rollos pequeños; x debe ser divisor común de 225, 250 y 300; para obtener el mínimo número de rollos, el valor de x debe ser máximo. & x = MCD(225; 250; 300) = 25
e v3
=
° t1k1 = 30k1 = 30 ° t k = 48k = 48 2 2
2
° t3k3 = 80k3 = 80 `
240 3
&
=
80 segundos
° 48; 80) t = MCM (30; ° t = 240
Pasarán al mismo tiempo los tres ciclistas por el punto de partida, por primera vez, después de 240 segundos.
11 Halla dos números sabiendo que suman 55 y el MCM de ellos es 66. Calcula el menor número. Resolución:
Sean los números: A = dp y B d = MCD(A; B).
=
dq, donde p y q son PESÍ y
Del enunciado: A + B = dp + dq = d(p + q) = 55 = 5 # 11 MCM(A; B) = dpq = 66 = 6 # 11 = 2 # 3 # 11 & p = 2; q = 3 y d = 11 Nos piden el menor número: A = dp = 11 # 2 = 22 ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
33
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES ( Q) DEFINICIÓN Se denomina número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros, donde el divisor es distinto de cero. Estos constituyen el conjunto de números racionales denotado por Q. Q
=
{ x / x, y ! Z / y ! 0} ; donde: Q = Q
+
-
, Q
{0}
,
y
Atenci ón
DENSIDAD EN Q Se dice que el conjunto de números racionales ( Q) es denso porque entre cada par de elementos distintos podemos encontrar un número racional.
Q Z N
OPERACIONES EN Q
En Q se definen l as dos siguientes operaciones: adición y multiplicación.
N1Z1Q
Pr o pi edades de l a adi ci ón 1. Clausura.Si a ; c b d
2. Asociativa.Si
Propiedad distributiva de los números racionales: a b
#
a cd
+
e f
k
=
a b
#
c d
+
a b
#
a b
e f
+
a dc
e f
++=++
, entonces:
!Q
c d
Si a, b ! Q, con a 1 b, entonces existe un c ! Q, tal que a 1 c 1 b; a dicha propiedad se le llama densidad deQ.
e f
a
b d
=
+
a ! Q b
a c # b d
existe un
+
0
=
a b
único elemento inverso a a b
+
a ba k -
a ! Q b
7
Grácamente: • El denominador (7)indica en cuántas partes se divide el todo (unidad de referencia). • El numerador (4) representa las partes del todo que se toman o se observan.
c e # d f
k
, entonces:
c a # d b
=
4. Elemento neutro. Para todo
=
a
! Q
a ! Q - {0} existe b -1
un único elemento inverso a a k , tal que: b
a a # b b
a k
0
1
-
=
1
NÚMERO FRACCIONARIO Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. Ejemplos: 3 9 - 6 - 12 ; ; ; 7 5 13 17
Son números fraccionarios
-
18 - 14 35 28 ; ; ; 3 7 5 4
No son números fraccionarios
FRACCIONES
Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos. f= La fracción f =
34
Intelectum 2.°
N D
N D
; N, D ! Z ; N ! D° +
existe un
a b
existe un 5. Elemento inverso. Para todo
Nota
¿Qué signica 4 ?
#
!Q
a #1 b
k , tal que:
=
=
b único elemento neutro (1), tal que:
a b
5. Elemento inverso. Para todo
, entonces:
!Q
k a ba
3. Conmutativa.Si a ; c
a b
único elemento neutro (0), tal que: a b
a c e ; ; b d f
a c e # # b d f
, entonces:
c d
4. Elemento neutro. Para todo
Nota
k
2. Asociativa.Si
!Q
c d
+
, entonces:
!Q
a c # !Q b d
k a ab
3. Conmutativa.Si a ; c b d
b d
c !Q d
a c e ; ; b d f
a b
1. Clausura.Si a ; c
, entonces:
!Q
a b Nota
P r o p i e da d e s de l a m u l t i p l i c a c i ó n
Donde: N es el numerador y D el denominador.
es irreductible, si y solo si MCD(N; D) = 1.
A Clasificación de fracciones Propias:cuando el numerador es menor que el denominador.
Ejemplos:
7
Ejemplos:
40 6 500 ; ; 11 4 13
;
3 35 ;
10 8 43 Por comparación de sus términos Impropias:cuando el numerador es mayor que el denominador. Observación
Homogéneas:se dice que dos o más fracciones son homogéneas cuando todas
poseen el mismo denominador. Ejemplo: 16 ; 3 y 19 son homogéneas. 42 42
Por grupos de fracciones
42
Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma porción de la unidad con términos distintos. Se denota: a 12 c b
Heterogéneas:se dice que dos o más fracciones son heterogéneas cuando todas
no poseen el mismo denominador.
d
2
Ejemplo:
4
6
3 12 6 12 9
Ejemplo: 20 ; 3 y 4 son heterogéneas. 19 5
27
Ordinarias:cuando su denominador es diferente de una potencia de 10.
Ejemplos:
3 6 18 ; ; 14 11 23
Por su denominador Decimales:cuando su denominador es igual a una potencia de 10.
Ejemplos:
3 17 23 ; ; 100 10 1000
Nota
Reductibles:son todas aquellas fracciones cuyo denominador y numerador poseen
algún divisor común distinto de 1. 3
4
16
Por los divisores Ejemplos: 6 ; 12 ; 24 comunes entre sus Irreductibles:son aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen términos
como único divisor común a la unidad. Ejemplos:
3 12 8 ; ; 10 35 3
N
Sea f = una fracción D irreductible. A partir de f se podrán obtener fracciones equivalentes a ella, multiplicando al numerador y al denominador por una misma cantidad. Ejemplo: 3 4
6 8
=
=
9 12
==
...
3k ; 4k
k!Z
+
Comparación de fracciones
1. Si las fracciones son homogéneas, serámayor aquella fracción que tenga mayor numerador. Ejemplo: Dadas las fracciones
65 19 37 ; ; ; 42 42 42
como 19 1 37 1 65; entonces:
19 37 65 1 1 42 42 42
2. Si las fracciones son heterogéneas, empleamos el siguiente procedimiento: Dando común denominador: se halla el MCM de los denominadores y el nuevo numerador se hallará multiplicando el numerador inicial por el cociente del MCM, entre el denominador inicial. Ejemplo: Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: Hallamos MCM(12; 15; 6) = 60; luego:
7 # _60 1 '2 60
Según fracciones homogéneas: 16 1 35
Nota
Simplicación de fracciones
Para simplicar una fracción se divide al numerador y denominador por una misma cantidad que los divida exactamente. '2 '2 '5 '7 280
i
;
2
'
4 # _60 1 '5 60
16 35 1 50 & 1 1 60 60
140 =
700
7 4 5 ; ; 12 15 6
i
;
5 # _60 6'
50 4 & 1 1 60 15
i
60 7 12
&
70
=
=
350
175
2
'
=
14
2
35
5
5
'7
'
35 16 50 ; ; 60 60 60
5 6 Nota
NÚMERO MIXTO
Sean las fracciones:
12
• Si a # d 1 b # c &
9
• Si a # d 2 b # c &
Para convertir un número mixto a fracción realizamos el siguiente procedimiento: +
1 4 5
Ç
=
5#4+1 5
=
21 5
5 31 12
=
31 #12 12
+5
=
377 12
8 17 9
=
17 #9 + 8 9
y
b
Un número mixto está formado por un número entero positivo y una fracción propia. Ejemplos: 4 1;31 5;1 7 8 5
a
=
a b a b
c d
1
2
c d c d
161 9
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
35
OPERACIONES CON FRACCIONES Observación
Adición y sustracción de fracciones
Potenciación y radicación de fracciones: a
abk
• •
a
n =
b
n
abk
Ejemplo:
n
a
n
1. Si las fracciones tienen un mismo denominador, se suman los numeradores y al resultado se le pone el mismo denominador común.
=
n
a
n
b
Atenci ón
3 7 6 # # 16 5 11
3 19
=
=
27 # 3 19
=
81 19
por la fracción inversa de la segunda. Ejemplo: 3 12 # 5 7
=
Fracción inversa =
3 # 12 5#7
=
=
4 +13 -15 12
=
5 6
7 9
-
+
=
2 12
17 33
_
i
_198# 9 'i + 17 _198
' 6 # ' 5 # 198 7 198
198
33
198
i = 165 - 154 +102 198
=
113 198
3. Si en la expresión aparecen números enteros y fracciones, se operan primero las fracciones y luego los enteros, añadiendo a estos, el resultado de efectuar las fracciones.
NÚMEROS DECIMALES
•
1 2
=
12 85
5 4
•
0, 5
=
•
1, 25
1 3
=
•
0, 666...
Orden Un número decimal tiene una parte entera y otra parte decimal; además, cada cifra de la parte decimal tiene asociado un orden que se cuenta de izquierda a derecha.
1 6
=
0, 1666...
Orden
3210
-
1 -2 -3 -4
7 8 91,2765 Parte entera
Parte decimal
Clasificación de los números decimales Número decimal exacto
Son los números decimales cuya parte decimal tiene un número finito de cifras. Se obtiene de una fracción irreductible cuyo denominador tiene como divisores primos solo a 2 y/o 5.
8
12 1 # 17 5
=
Ejemplos: 3 = • 30,375 3
36 35
• Para dividir una fracción entre un número entero, se multiplica la fracción por la inversa del número entero. Ejemplo 12 '5 17
15 12
Ejemplos:
División de fracciones • Para dividir una fracción entre otra fracción, se multiplica la primera fracción
3 7 ' 5 12
-
Son aquellos números que resultan de dividir los términos de una fracción. 126 880
• Si se multiplica una fracción por un número entero, se multiplica el numerador por el número entero y se escribe el mismo denominador. Ejemplo: 27 #
13 12
Hallamos el MCM(6; 9; 33) = 198; entonces:
Multiplicación de fracciones • Si se multiplica una fracción por otra fracción, se multiplican los numeradores y se divide entre el producto de multiplicar los denominadores. Ejemplo:
=
+
2. Si las fracciones tienen distintos denominadores, estos se homogenizan y se procede como en el caso anterior. Ejemplo:
3#7#6 16 #5 #11
4 12
7 20
•
=
2
=
7 2
2 #5
=
0,35
Fracción generatriz: 0,abcd =
abcd 10 000
Ejemplo: 0,53
=
53 100
Número decimal inexacto
Son los números decimales que tienen un número ilimitado de cifras decimales.
Inversa
Número decimal inexacto periódico puro. Generado por una fracción irreductible cuyo denominador no tiene Nota
como divisores primos a 2 ni a 5.
La división de fracciones también se pueden efectuar de la siguiente manera:
Fracción generatriz:
!
0,abcde =
abcde 99 999
!
Ejemplo: 0,765
=
•
5 7
765 999
3 3 # 12 =
5#7
36 =
35
Número decimal inexacto periódico mixto. Generado por una fracción irreductible cuyo denominador tiene
como divisores primos a 2 y/o 5, además de otros factores primos.
12 12
•
17 5
12 =
85
1
36
Intelectum 2.°
Fracción generatriz:
!
0,abxyz
=
abxyz ab 99 900 -
!
Ejemplo: 0,145
=
145 1 990 -
=
144 990
A
Problemas resueltos 1
Halla la fracción generatriz de
!
0,95 .
d
1 19 # 2 24
B=
Resolución: !
0,95
2
95 9 90 -
=
=
86 90
!
43 45
=
`
0, 95
=
!
n
=
d
1 133 50 # 2 168 -
n
=
1 83 # 2 168
=
83 336
MCM(24; 84) = 168
43 45
Nos piden el mayor de dichos números: A=
!
1, 7
+
!
0, 6
6
2, 4
!
0, 3
Resolución: 17 A
A
183 336
24 - 2 9 3 9
+
16 9 6 9
=
16 # 9 22 # 9 8 + =+ = 3 9 #6 9 3 #
+
22 9 3 9
22 3
A = 10
7
!
7 5
, tal que si se multiplican sus
=
7k 5k
=
=
7k & 5k
7k . 5k = 5915 & k = 13
91 65
Halla la fracción impropia que resulta duplicada si se resta a sus 2 términos, la mitad de su numerador. Resolución:
Sea la fracción:
d d
144 73 - 7 $ 3+ 1000 90
=
a b
Del enunciado:
8 + 22 & 3
Resolución: M
a b
Sea la fracción equivalente:
0,14 4 # 3,73
=
Halla una fracción equivalente a términos resulta 5915. Resolución:
1
9 6 9
=
=
-
Efectúa: M
4
25 84
Reduce: A=
3
-
M
=
144 66 $ 3+ 1000 90
M
=
144 336 # 1000 90
n
- a) = ba 4b - 2a = b & 3b = 2a
Del enunciado: 2
n 18 56 # 125 15
=
& 2a(2b
a 21 b
336 625
=
¿Cuántas fracciones propias son mayores su denominador es 50?
` M =
2 que7
336 25
8
, sabiendo que
a ba k
a
a 2 a 2
-
=
b
-
`
a =
2b
-
a b
=
3 2
a
Si a los dos términos de una fracción se les añade 2 y 7, respectivamente, resulta una fracción equivalente a la srcinal, entonces la fracción srcinal es: Resolución:
Resolución: 1
n 50
1
1
dn
1
n
1
50
14,28
1
n
15 0
50
`
5
Sea la fracción:
2 7 2 7
Dato: &
#
n !15;1;6; 1. .7. ; 4 9
Existen 35 fracciones.
-
9
El triple de la suma de dos números es 57 y el cuádruple de su 24 diferencia 25 . Halla el mayor de dichos números. 21
A+ B
2
d
=
19 24
`
a b
=
2 7
Los 5 de un barril más 5 litros son de vino y 2 del barril menos 7 3 29 litros son de agua. ¿Cuál es la capacidad del barril? Resolución:
Sea x la capacidad del barril. Litros de vino = 5 x + 5 / Litros de agua =
57 /4# 24 19 / 24
+
25 84
n
=
MCM(24; 84) = 168
2 3
x - 29
Litros de vino + litros de agua = capacidad del barril
Sean A y B dichos números. Del enunciado:
Luego: A= 1 #
a b
=
ab + 2b = ab + 7a 2b = 7a
7
Resolución:
3 # (A + B) =
a+2 b+7
&
a b
5x 7
(A - B) =
25 21
A-B=
25 84
d
1 133 + 50 # 2 168
n
=
1 183 # 2 168
=
+5 +
2x 3
5x 7
2x 3
=29
24
=
x
1 5x + 1 4 x 21
+
-
29x 21
183 336 `
x
=
24 + x
x
=
24
&
8x 21
=
24
&
-
2 9x - 2 1 x 21 x
=
24
=6 3
La capacidad del barril es 63 litros. ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 2
37
unidad 3
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN
Z
+
POTENCIACIÓN
Nota Un número entero positivo será un cuadrado perfecto si y solo si tiene una cantidad impar de divisores.
Es aquella operación que consiste en calcular el producto repetido de una misma cantidad (base) tantas veces como lo indica otra cantidad (exponente). Donde: b: base (b ! Z ) P = b # b # ... # b = bn +
+
2
n: (n ! Z de/grado n 2 1)n P: exponente potencia perfecta
n veces
Ejemplo: 2
100 = 2 # 5 & CD(100) = (2 + 1) # (2 + 1) = 9
Teorema fundamental Para que un número entero positivo sea una potencia perfecta de grado n, los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica deben ser múltiplos de n.
CASOS PARTICULARES Potenc ia per fec ta d e grad o 2 (cu adr ado per fec to) 4
2
144 = 2 # 3 Se observa que los exponentes de los factores primos son múltiplos de 2. Entonces, 144 es una potencia perfecta de grado 2 (cuadrado perfecto).
Potenc ia perf ect a de gra do 3 (c ubo per fec to)
1728 = 26 # 33 Se observa que los exponentes de los factores primos son múltiplos de 3. Entonces, 1728 es una potencia perfecta de grado 3 (cubo perfecto).
CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS Atenc ión
Según su última cifra
Ejemplo 1: • El número de no puede ser perfecto. • El número de puede ser un
la forma ab7 un cuadrado la forma mn3 cubo perfecto.
Ejemplo 2: • 8000 = 23 # 103 • 2500 = 52 # 102 • 170 000 = 17 # 104 no es un cuadrado perfecto, ya que 17 no es un cuadrado perfecto.
N
...1
...2
...3
...4
...5
...6
...7
...8
...9
...0
N2 N3
...1 ...1
...4 ...8
...9 ...7
...6 ...4
...5 ...5
...6 ...6
...9 ...3
...4 ...2
...1 ...9
...0 ...0
Se observa: • Un cuadrado perfecto no puede terminar en las cifras 2; 3; 7 o 8. • Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
Por su terminación en ceros P a r ac u a d r a d o sp e r f e c t o s
Si: ab...m00...00 = N2 k cifras Entonces: • ab...m es un cuadrado perfecto.
•
P a r ac u bo sp e r f e c t o s
k = 2°
Si: np...z00...00 = N3 k cifras Entonces: • np...zes un cubo perfecto.
•
k = 3°
Por su terminación en cifra 5 P a r ac u a d r a d o sp e r f e c t o s
Propiedad Sea p un número primo y
Si: abcd5 = N2 Entonces: d = 2 y c puede ser 0; 2 o 6.
P a r ac u bo sp e r f e c t o s
Si: abcd5 = N3 Entonces: d puede ser 2 o 7.
+
N, k ! Z 2 • Si N = k º N = p2 . • Si N = k3 º 3 N= p .
38
º
=
p , entonces
=
p , entonces
Por criterios de divisibilidad P a r ac u a d r a d o sp e r f e c t o s
º
Intelectum 2.°
Un cuadrado perfecto puede ser: • 4° o 4° + 1 ° 9° + 1; 9° + 4 o 9° + 7 • 9;
P a r ac u bo sp e r f e c t o s
Un cubo perfecto puede ser: • 4° - 1; 4° o 4° + 1 • 9° - 1; 9° o 9° + 1
A RADICACIÓN Es aquella operación inversa a la potenciación en la cual, dadas dos cantidades: radicando e índice, se busca una tercera cantidad llamada raíz que elevada a un exponente igual al índice nos da el radicando.
n
N
=
K
Impor tante
Donde: N : radicando n : índice K : raíz
• Todo número enteropositivo que no es un cuadrado perfecto, está comprendido entre dos cuadrados perfectos consecutivos. Ejemplo:
CASOS PARTICULARES
22
Raíz cuadrada entera (índice 2)
0
&
N = K2
7 < 32
• Todo número entero positi vo que no es un cubo per fecto, está comprendido
Raíz cuadrada exacta N K
<
• Se observa que si un número entero positivo tiene raíz cuadrada exacta
entonces dicho número es un cuadrado perfecto.
entre dos cubos perfectos consecutivos. Ejemplo: 23 < 16 < 33
Raíz cuadrada inexacta P odre f e c t o
P oerx c e s o N K+1
N K
rd
N=K
2
+
re N = (K + 1)2 - re
rd
Raíz cúbica entera (índice 3) Raíz cúbica exacta 3
N K &
N = K3
• Se observa que si un número entero positivo tiene raíz cúbica exacta entonces
0
dicho número es un cubo perfecto.
Raíz cúbica inexacta P odre f e c t o 3
P oerx c e s o 3
N K
rd N = K3 + rd
Recue rda
N K+ 1
re N = (K + 1)3 - re
• Para la raíz cuadrada se cumple: rmín. = 1 rmáx. = 2K rd + re = 2K + 1
Nota Cómo hallar la raíz cuadrada de un número entero mayor que 100 sin usar calculadora 1. Se forman periodos de dos cifras empezando por la derecha. 2. Se halla la raíz cuadrada entera del primer periodo (de izquierda a derecha), ella será la primera cifra de la raíz.
6. Si dicha diferencia es un número natural, la cifra que sirvió de cociente, será la segunda cifra de la raíz. Si no, se disminuye en una unidad la cifra que se usó de cociente, sometiéndose a análogas comprobaciones hasta obtener la cifra correcta de la raíz.
3. Se resta del primer periodo, el cuadrado de la primera cifra de la raíz. Ala derecha de la diferencia se baja el periodo siguiente.
A la derecha del resto se bajará el periodo siguiente y así sucesivamente hasta bajar el último periodo y hallar la última cifra de la raíz.
4. Al número formado se separa la cifra de las unidades; esta cantidad se divide entre el doble de la primera cifra de la raíz.
Ejemplo:
5. El cociente entero obtenido se escribe a la derecha del divisor; dicho numeral formado se multiplica por el referido cociente entero, este producto se resta del numeral formado por el primer residuo y el segundo periodo.
• Para la raíz cúbica se cumple: rmín. = 1 rmáx. = 3K(K + 1) rd + re = 3K(K + 1) + 1
6 . 2
2
"
63504
252
4
2#2=4
23 5 2 25 1004 1004 ----
23 ' 4 = 5 ,75 45 # 5 = 225 25 # 2 = 50 100 ' 50 = 2 502 # 2 = 1004
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
39
Problemas resueltos 1
Halla el menor número entero por el cual debemos multiplicar a 168 para que el producto sea un cuadrado perfecto.
Entonces: 20 025 # 2x025 # 29 025 20 025 # k2 # 29 025 141,5 # k # 170,4 & k: 145; 155; 165 Luego: 2x025 ! {21 025; 24 025} Como x toma el mayor valor, entonces: 24 025 = 1552 ` La raíz cuadrada es: 155
Resolución:
168 = 23 # 3 # 7 Sea n el número: 3 4 2 2 & 168 . n = 2 # 3 # 7 # 2 # 3 # 7 = 2 # 3 # 7 n cuadrado perfecto
& ∴
2
n=2#3#7 n = 42
6
¿Cuál es el menor número múltiplo de 42 tal que la suma de su tercera y séptima parte da como resultado un cuadrado perfecto?
Resolución:
n.° de relojes: n Precio unitario: S/.n Luego: n(n) = 7225 n2 = 852 & n = 85 ` Se han comprado 85 relojes.
Resolución: ° N = 42
&
N = 42k; (k es mínimo)
Del enunciado:
42k 3
+
2 42 k = p 7
20k = p2 22 # 5 # k = p2 .
7
5 `
Se compradecierto número de relojes por S/.7225. el número relojes comprados es igual al precio Sabiendo de un relojque en soles, ¿cuántos relojes se han comprado?
Halla la suma de las cifras del menor número divisible por 7, tal que al extraerle su raíz cuadrada deje de residuo 19.
N = 42(5) = 210 Resolución:
3
Si ab000 es un cubo perfecto, calcula el menor valor de a + b.
Nmín. = 7°
...(1)
Resolución:
Dato:
k
Del enunciado: ab000
=
k3
Pero el residuo máximo es 2k. 2k $ 19 & k $ 9,5 El mínimo valor de k es 10.
N
`
&
N = 123 + 25 N = 1728 + 25 N = 1753
La suma de cifras del número es: 16
Si el número es su un mayor cuadrado dicho número, 2x0y5 si x toma valor.perfecto, halla la raíz de Resolución:
Del enunciado: 2x0y5 = k2; k ! Z
+
.
2
40
Piden: Σ cifras = 11 8
12
25
5
En (2): N = 102 + 19 = 119
Al extraer la raíz cúbica de un número entero positivo se obtuvo 12 de raíz y residuo 25. Halla la suma de cifras del número.
3
Intelectum 2.°
Nmín. = k2 + 19 ...(2)
k2 = 7° - 19 & k2 = 7° + 2 + 7 = (7° + 3)2 = (7° ! 3)2 ° &k=7!3
Luego: ab000 ! {27 000; 64 000} ` El menor valor de a + b es: 2 + 7 = 9
Resolución:
&
19 Reemplazando (1) en (2):
cantidad 3° Entonces: ab = p3 10 # ab # 99 10 # p3 # 99 2,15 # p # 4,63 & p: 3; 4
4
Nmín .
Al extraer la raíz cúbica de un número se obtuvo como residuo 60, siendo este máximo. Halla la suma de las cifras de dicho número. Resolución:
rmáx. = 3k(k + 1) = 60 k(k + 1) = 20 = 4(4 + 1) & k=4 Sea abc el número, entonces: abc = k3 + r 3 = 4 + 60 = 64 + 60 abc = 124 ∴
a+b+c=7
A
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN Es la comparación de dos cantidades homogéneas, mediante la sustracción o división.
Clases de razón 1. Razón aritmética. Se da cuando la comparación de estas cantidades homogéneas se realiza por exceso, es
decir, por diferencia. Aten ción
a-b=r
En el ejemplo, también podemos decir que la cantidad de manzanas que tiene Javier es
Donde: a es el antecedente; b, el consecuente y r, el valor de la razón aritmética. Ejemplo: Si Sandra tiene 10 manzanas y Javier, 6 manzanas; entonces: 10 - 6 = 4 Podemos decir que la cantidad de manzanas que tiene Sandra excede a la cantidad de manzanas que tiene Javier en 4 unidades.
excedida por cantidad de manzanas quelatiene Sandra en 4 unidades.
2. Razón geométrica. Se da cuando la comparación de estas cantidades homogéneas se realiza por cociente,
es decir, por división. a b
=
k
Donde: a es el antecedente; b, el consecuente y k, la razón geométrica. Ejemplo: Si Elizabeth tiene 24 años y Martha, 32 años; entonces:
24 32
=
3 4
Podemos decir que las edades de Elizabeth y Martha están en la relación de 3 a 4.
PROPORCIÓN
Observación En el ejemplo, también podemos decir que las edades de Elizabeth y Martha son como 3 es a 4.
Se denomina proporción al resultado de igualar dos razones de una misma clase.
Clases de proporción 1. Proporción aritmética
Es el resultado de igualar dos razones aritméticas. Términos extremos a-b=c-d Términos medios
Tipos de proporción aritmética 1.1 Proporción aritmética discreta. Cuando los términos medios son diferentes. Recue rda
a-b=c-d Donde: d es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo: 42 - 26 = 35 - 19
• En la proporción aritmética. a-b=c-d a y c: son los antecedentes. b y d: son los consecuentes. Además: +
1.2 Proporción aritmética continua. Cuando los términos medios son iguales.
a-b=b-c Donde: b es la media diferencial de a y c; y c es la tercera diferencial de a y b. Ejemplo: 17 - 10 = 10 - 3
=
+
a d b c • En la proporción aritmética continua: a-b=b-c Se cumple: b=
a+c 2
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
41
2. Proporción geométrica
Es el resultado de igualar dos razones geométricas.
Atenc ión
a b
En la proporción geométrica discreta: a
d
Tipos de proporción geométrica
a y c: son los antecedentes. b y d: son los consecuentes.
2.1 Proporción geométrica discreta. Cuando los términos medios son diferentes. a b
En la proporción geométrica continua: a
c
Se cumple:
c d
=
42 6
Ejemplo:
b
=
b
c d
Donde: a y d son los términos extremos; y, b y c son los términos medios.
c
=
b
=
Donde: d es la cuarta proporcional de a, b y c. 77 11
=
2.2 Proporción geométrica continua. Cuando los términos medios son iguales.
b=
a#c
a b
b c
=
Ejemplo:
9 6
Donde: b es la media proporcional de a y c; y c es la tercera proporcional de a y b. 6 4
=
Propiedades de una proporción geométrica a b
Sea la proporción geométrica: 1.
a+b b
2.
a
-
=
b
c+d d
3.
c
4.
=
b
c d
=
-
d
d
a a+b
=
c c+ d
a a
-
c b
=
c
d
-
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE) Una serie de razones geométricas equivalentes es la igualdad de más de dos razones geométricas que tienen el mismo valor de la razón.
Nota
a b
En la serie de razones geométricas equivalentes: a b
=
c d
=
e f
=
g h
Se tiene: a; c; e; g: antecedentes b; d; f; h: consecuentes Además: a: 1.er término b: 2.° término c: 3.er término d: 4.° término e: 5.° término
Dada la serie de razones geométricas equivalentes:
2.
a b
=
c d
=
e f
=
k,
entonces:
a = bk; c = dk; e = fk
a + c+ e b + d+ f
=
Ejemplo: Si:
45 5
a # c# e b # d# f
k
=
=
63 7
=
81 9
=
9 , entonces:
a b
=
c d
=
e f
=
=
189 21
k ; se cumple:
45 +63 +81 5+7+9
=
Ejemplo: Para la SRGE del ejemplo anterior, se cumple:
45 #63 #81 5#7#9
Serie de razones geométricas equivalentes continuas Una serie de razones geométricas equivalentes continuas es de la forma:
a# b c d# b# c d e#
# #
=
9
3
Se observa que: d = ek c = dk = (ek)k = ek2 b = ck = (ek2)k = ek3 a = bk = (ek3)k = ek4 También se cumple:
Intelectum 2.°
k
k
a b
42
p q
...
Propiedades
h
Si:
e f
Donde: k es el valor de la razón.
1.
Recue rda
c d
=====
k
4
&
a e
=
k
4
b c
====
c d
d e
k
=
229 635 315
=
9
3
A
Problemas resueltos 1
Las edades de Mercedes y Javier son como 4 es a 5, respectivamente. Si Javier tiene 20 años, ¿cuántos años tiene Mercedes?
5
Resolución:
Resolución:
Sean: Edad de Mercedes: M Edad de Javier: J Del enunciado, se tiene:
Sea H el n.° de hombres y M el n.° de mujeres. Por dato: H 7 H = 7k = M 5 M = 5k Además: 7k - 45 = 5k - 15 n.° de mujeres n.° de hombres que bailan que bailan
M J
=
2
4 5
Del problema, Javier tiene 20 años, entonces: M 20
2
=
4 & 5
Si: x + 2 3
=
M = 16 y+9 y
=
z+7 12
=
2k = 30 k = 15
2
Halla: x + y + z Resolución:
Del enunciado: x+2 =2 & x = 4
`
6
3
3
y+ 9 y
=
2
&
y=9
z+7 12
=
2
&
z = 17
n.° total de personas = 12k = 12(15) = 180
En una serie de razones geométricas equivalentes, los consecuentes son 3; 5 y 7. Si la diferencia entre los dos antecedentes mayores es 18, calcula el menor de los antecedentes. Resolución: a 3
Sea la SRGE:
b 5
=
=
c 7
Piden: x + y + z = 4 + 9 + 17 = 30
Del enunciado: 7k - 5k = 18 2k = 18 & k = 9
Las edades de José y Luis están en la relación de 5 a 3, respectivamente. Si dentro de 20 años sus edades sumarán 80, halla la razón aritmética de dichas edades.
Piden: a 3k 3(9) 27
Resolución:
Sean las edades: José: 5k Luis: 3k Del enunciado: (5k + 20) + (3k + 20) = 80 8k + 40 = 80 & k=5 Luego, José tiene 5(5) = 25 años y Luis 3(5) = 15 años. ` 25 - 15 = 10 4
En una fiesta se observa que por cada 7 hombres hay 5 mujeres, si en un determinado momento 45 hombres y 15 mujeres no bailan, ¿cuántas personas hay en dicha fiesta?
=
7
Si:
A B
=
C D
Sean a y b dichos números. Del enunciado: a = 9k a 9 & = b 4 b = 4k Además: a - b = 125 9k - 4k = 125 & k = 25 ` a = 225 / b = 100
a = 3k; b = 5k; c = 7k
=
E F
=
k &
=
k
Además: (A + B) Ç (C + D) Ç (E + F) = 315 Calcula: 3
3 + A#C#
B #D# F
E
Resolución:
Por propiedad de las SRGE: A+ B B
=
C+ D D
=
E+F F
=
k+1
Luego:
_ A + Bi # _ C + Di # _ E+ Fi
La razón geométrica de dos cantidades es 9 , halla dichos 4 números si la razón aritmética de estos es 125. Resolución:
=
=
B # D# F
=
_k + 1i3
315 = (k + 1)3 Ç B Ç D Ç F 35 = (k + 1) Ç 3 B # D # F
También sabemos que: A # C# E B # D# F
=
k3
&
A Ç C Ç E = k3Ç B Ç D Ç F
Entonces: 3 3
A## C 3
3
E +# # B
k B# #D #F
D 3
B#+ D# F
F k
_
# =B ## D+F1 = =
i
3
5
3 243
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
43
MAGNITUDES PROPORCIONALES
CONCEPTOS PREVIOS
Nota
Magnitud.Es todo aquello que tiene la propiedad de ser medido, es decir, puede ser expresado en forma
cuantitativa.
Ejemplo: Magnitud
Cantidad
Masa
30kg
Tiempo
2 horas
Longitud
8m
Cantidad.Es el resultado de la medición o cuantificación de la intensidad de una magnitud.
RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta
Aten ción Se observa que el cociente de los valores correspondientes de las magnitudes A y B es constante. Entonces: A DP B ,
(Valor de A) = cte. (Valor de B)
o disminuye, respectivamente, en la misma proporción. Ejemplo: Supongamos que tenemos dos magnitudes A y B que son directamente proporcionales: Ç
3
Ç Ç
2
4 Gráficamente: B
Magnitud A 3 6 9 12 Magnitud B 10 20 30 40
40 30 20
Ç
2
10
Ç
3 Ç
4
3
6
9
12
A
Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar o disminuir una de ellas, la otra disminuye o aumenta, respectivamente, en la misma proporción. Ejemplo: Supongamos que tenemos dos magnitudes M y N que son inversamente proporcionales: Ç
Observación En este caso se observa que el producto de los valores correspondientes de las magnitudes A y B es constante. Entonces: A IP B , (Valor de A)Ç (Valor de B)= cte.
Ç Ç
2
3
4
Magnitud A 4 8 12 16 Magnitud B 24 12 8 6 ¡
2 ¡
Gráficamente:
B 24
12 8 6
3 ¡
4
4
8
12 16
A
REPARTO PROPORCIONAL Es una aplicación de las magnitudes proporcionales que consiste en distribuir una cantidad en partes que sean directa o inversamente proporcional a ciertos números dados.
Nota Propiedades 1. Si A DP B, entonces B DP A. 2. Si A IP B, entonces B IP A. 1 3. Si A DP B, entonces A IP . B 1 4. Si A IP B, entonces A DPB . 5. Si A DP B, cuando C es constante y A IP C, cuando B es constante, entonces: (Valor deA) Ç (Valor deC) = cte.
(Valor deB)
CLASES DE REPARTO Reparto simple a) Reparto simple directo. Consiste en repartir una cantidad en partes que sean DP a ciertos números.
Ejemplo: Un agricultor dispone de 125 hectáreas de cultivo y desea hacer un reparto del terreno entre sus tres hijos de manera proporcional a sus edades que son 14; 7 y 4. ¿Cuánto le toca a cada uno? Resolución: Del enunciado: 125 se reparte de manera directamente proporcional a
44
Intelectum 2.°
14 7 4
A Sean las partes: A, B y C, tal que A+ B + C = 125. Para cada una de estas partes se cumple: (Parte) DP (Índice) Luego:
A 14
=
B C = 7 4
=
&
_Partei = cte. _Índicei
Recue rda A los números 14; 7 y 4 se les denomina índices de reparto .
K
Empleando las propiedades de las SRGE, tenemos: A + B+ C 1 4 +7 +4
=
K&
125 25
=
K & K= 5
Finalmente: A = 14K = 14(5) = 70; B = 7K = 7(5) = 35; C = 4K = 4(5) = 20 b) Reparto simple inverso. Consiste en repartir una cantidad en partes que sean IP a ciertos números.
Ejemplo: Reparte 4500 en forma IP a los números 15; 12 y 10. Resolución: Del enunciado: 15 12 10
4500 se reparte de manera inversamente proporcional a Sean las partes: M, N y P, tal que: M+ N + P = 4500
Aten ción
Para cada una de las partes se cumple: (Parte) IP (Índice)
&
(Parte) Ç (Índice) = cte.
En este caso los índices de reparto son 15; 12 y 10.
Luego: 15M = 12N = 10P = cte. Hallamos: MCM(15; 12; 10) = 60, ahora: 15M 60
12 N 60
Nota
P 10M N P = &= = 60 4
==
5
6
K
Para 2 ruedas engranadas
Empleando las propiedades de las SRGE, tenemos: M+ N+ P 4 + 5+ 6
=
K&
4500 15
A =
K
&
B
K = 300
Finalmente: M = 4K = 4(300) = 1200; N = 5K = 5(300) = 1500; P = 6K = 6(300) = 1800
Reparto compuesto Cuando se realiza un reparto en forma proporcional al producto de varios números; se está ante un reparto proporcional compuesto. Ejemplo: Blanca desea repartir S/.220 entre sus tres hijos: Fabricio, Rodrigo y Fernanda en forma proporcional a sus edades que son 9; 7 y 4 años respectivamente, y a las notas que han obtenido en el curso de matemática que son 16; 18 y 15 respectivamente.
Se cumple: NA Ç VA = NB Ç VB Donde: VA: n.° vueltas de A. VB: n.° vueltas de B. NA: n.° dientes de A. NB: n.° dientes de B. En general:
Resolución: Como puede observarse, aquí hay dos grupos de números para tomar como referencias para el reparto; entonces cuando esto ocurra, se repartirá en forma proporcional a los productos correspondientes de dichos números, es decir: A + B + C = 220 y A = B = C 9# 1 6
De donde:
A+B+C 144 + 126 +60
7 1 #8
=
A 144
(n.° vueltas) IP (n.° dientes)
Para 2 ruedas unidas por un eje común A
4 1 5#
B 126
=
=
C
60
O sea: •
220 330
=
A 144
es decir: A =
2 3
Ç
•
220 330
=
B 126
es decir: B =
2 3
Ç
S/.96 144 =
•
220 330
=
C 60
es decir: C =
2 3
Ç
B
60 = S/.40 Se cumple:
126 = S/.84
n.° vueltas = n.° vueltas de A de B
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
45
Problemas resueltos 1
Si A es IP a C2, calcula A cuando C= 9, si cuando A = 10 ; C = 5.
d
Resolución:
Del enunciado:
=
64
10m m+1
=
8
`
A # C2 = K 10 # (5)2 = A # (9)2 & 250 = 81A `
2
A=
5
250 81
El precio de un diamante es proporcional al cubo de su peso. Si un diamante de 5 gramos cuesta S/.1500, ¿cuánto cuesta un diamante que pesa 3 gramos?
2
n
10m m+1
m=4
Se reparten 29 700 DP a todos los números impares de 2 cifras. ¿Cuánto le tocó a 51? Resolución:
DP 11 Hallamos la constante de proporcionalidad: 13
29 700
Resolución:
h
Sea: precio = S y peso = P S P3
3
=
cte. &
1500 = S (5) 3 ( ) 3 3
` +
1
.
6
Resolución:
Como no mencionan qué tipo de reparto es, asumimos que es DP.
& `
4
Número Sumade índices
=
29700
11 +13
2n
&1
A=1#k
2 # 2n
&2
B=2#k
&1 #
... + 99
=
12
A 51 le tocó: 51k= 51(12) = 612
Con 6 hombres o 15 mujeres se puede hacer una obra en 24 días. ¿Cuántas mujeres habrá que agregar a un grupo de 4 hombres para hacer dicha obra en 18 días?
1&
+
Se observa que a mayor número de personas, menor será el tiempo en que podrán terminar la obra; y viceversa. Entonces: (n.° de días) IP (n.° de hombres)
A + B = 300 & 3k = 300 & k = 100 A = 100 / B = 200
Luego: (n.° de días) # (n.° de hombres) = k (constante) 24 # 6 = 18 . x & x = 8 hombres
Se reparten 100 caramelos en forma DP a m2, 2m y 1; siendo m un número natural. Si al hacer el reparto la mayor cantidad es 64, halla m, siendo además m 2 2.
Para completar el grupo faltan 4 hombres. Por dato: 6 hombres 1 4 hombres 1
Resolución:
Sean las cantidades A, B y C. DP A m2 & A = m2 . k 100 B 2m & B = 2m . k C 1 &C = 1 . k
2 2
15 mujeres 10 mujeres
Por lo tanto, al grupo se le deberá agregar 10 mujeres. 7
Del dato: A + B + C = 100
La eficiencia se mide en puntos y es DP a los años de servicio e IP a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. Se sabe que la eficiencia de Juan es de dos puntos cuando tiene un año de servicio y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años?
m2 # k + 2m # k + 1 # k = 100 k # (m2 + 2m + 1) = 100
&k
=
100 (m + 1)2
Si m 2 2, entonces la mayor cantidad es m 2. Por dato: m2 # k = 64 & m 2 #
Intelectum 2.°
f_ i p 100
m+ 1
2
=
Resolución: E: eciencia, A: años de servicio, e: edad
Del enunciado: E .A e = cte. Por dato: E1 = 2; E2 = ?; A1 = 1; A2 = 12; e1 = 25; e2 = 36
(m + 1)2
46
+
Resolución:
DP A 2n B 2n
=
S = S/.324
`
Reparte proporcionalmente 300 a los números 2 n y 2n
300
k
97 99
64
Reemplazando: 2.
25 1
=
E 2 . 36 12
`
E2 = 20
A
REGLA DE TRES
DEFINICIÓN La regla de tres es un procedimiento aritmético que permite calcular algún valor desconocido luego de comparar varias magnitudes. De acuerdo al número de magnitudes que intervienen en una regla de tres, esta puede ser simple o compuesta. Recue rda
REGLA DE TRES SIMPLE
Sean las magnitudes A y B.
Cuando en la comparación intervienen solo dos magnitudes. A su vez puede ser:
1. Si A DP B, entonces:
Di r ec ta
Valor de A Valor de B
I n ver sa
Si las magnitudes comparadas son directamente Si las magnitudes que intervienen en el problema son proporcionales. inversamente proporcionales. Magnitud A
Magnitud B
Magnitud A
Magnitud B
a1 a2
b1 x
a1 a2
b1 x
a1 a2
=
b1 x
&
x
=
a 2 # b1
a1b#a
a1
1
= x
2.
x&
=
=
cte.
2. Si A IP B, entonces: (Valor deA) Ç (Valor deB)
=
cte.
a1 # b1 a2
REGLA DE TRES COMPUESTA Cuando en la comparación intervienen más de dos magnitudes. Ejemplo: Si 12 máquinas pueden producir 35 000 lapiceros en 21 horas, ¿en cuánto tiempo 24 máquinas podrán producir 60 000 lapiceros? Resolución: Ordenando las magnitudes y los valores, tenemos: n.° de máquinas n.° de lapiceros
Observación
Tiempo (horas)
12
000 35
21
24
000 60
t
Si A es directamente proporcional a B cuando C es cons tante y A es inversamente proporcional a C cuando B es constante, entonces:
En el cuadro podemos observar que la incógnita aparece en la columna de la magnitud tiempo. Ahora, al comparar esta magnitud con cada una de las otras dos magnitudes, se tiene: • (Tiempo) DP (n.° de lapiceros)
• (Tiempo) IP (n.° de máquinas)
Luego, en el esquema:
A#C B
=
cte.
En el ejemplo: (n.° de máquinas) Ç (tiempo) = cte.
(n.° de lapiceros)
IP DP n.° de máquinas
n.° de lapiceros
Tiempo (horas)
12
000 35
21
24
000 60
t
Entonces: 12 # 21 35 000
=
24 # t 60 000
t = 18 `
En 18 horas, 24 máquinas podrán producir 60 000 lapiceros. ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
47
Problemas resueltos 1
Un depósito lleno de gasolina cuesta 275 soles. Si se saca de él 85 litros cuesta 150 soles. ¿Cuántos litros contenía el depósito?
Ahora reemplazando: IP Máquinas 8 10
Resolución:
DP Precio
Litros x x - 85 x - 85 = 2
x$
150 & 275
275
&x
150
x = 187
5
Durante 3 días y 8 horas se consumen los 2/5 del volumen de un tanque de agua. ¿En cuánto tiempo se consumirán los 3/4 de lo que queda del tanque?
=
Días 30 x
8 # 30 & x 10
=
24 días
Si 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 480 2mde una obra en 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros 2 trabajando 10 horas diarias realicen 960 m de la misma obra? Resolución:
IP
3 días y 8 horas equivalen a: 80 h
2 5
80 3 4
x 2 5
3 3 & # 4 5
x = 80 #
n.°obreros 80 120
DP Volumen
Horas
2x =
9 # 80 & 4
dn 3 5
x = 15 #
x = 90 horas
6
Luego, 90 horas equivalen a 3 días y 18 horas. 3
Un ganadero tiene 420 ovejas que puede alimentar por 80 días, después de x días vende 70 ovejas y los alimentos duran 12 días
80 120
#
8 10
#
DP
IP
Resolución:
h/d 8 10
n.°días 15 x
960 & 480
x = 16 días
20 hombres trabajando 9 horas diarias pueden hacer una obra en 15 días. 18 hombres de igual eficiencia, en cuántas horas diarias pueden hacer la misma obra en 25 días. Resolución:
IP
más de lo que iban a durar. ¿Cuál es el valor de x?
IP
Resolución:
IP
DP Días x
Ovejas 420 350 92 - x =
x
Alimento x 80
c mc 4 20 350
92 - x = (80 - x)
80 - x x
6 & 5
m
4
460 - 5x = 480 - 6x
&
x = 20
Máquinas n (n +
4)
& 20(n
48
+
Días 15
h/d 9
18
25
x
20 15 # 18 25
x = 6 h/d
Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días. En un momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? Resolución:
Si n máquinas hacen una obra en 30 días; (n+ 4) máquinas hacen la misma obra en 20 días; ¿en cuánto tiempo (n + 2) máquinas harán dicha obra? Resolución:
`
7
Luego, el valor de x es 20.
Hombres 20
x=9#
80 - x 80
92 - x
Del enunciado:
IP Días 30
IP
Intelectum 2.°
15 #
DP
Obreros
Obra
Días
15
1 2
20
10
1 2
x
20 4) = n # 30 & n = 8
Obra 480 960
1 # 2
20 = 10 #
1 2
.x
& `x
=
30 días
A
TANTO POR CIENTO
DEFINICIÓN
Aten ción
Se denomina tanto por ciento a la cantidad de partes que se toman en cuenta de un cierto número dividido en 100 partes iguales.
1 100
Ejemplo: Si tomamos 40 de 100 partes en las que ha sido dividido 300, entonces se dice: 40 por ciento de 300 <> 40 Ç 300 = 40%(300)
1 2
100
1 4
300 <> 100 partes iguales a 300
Gráficamente:
3
100
300 100
300 100
300 100
300 100
...
300 100
4
300 100
...
<>
1%
1 <> 100%
300 100
<>
50%
<>
25%
<>
75%
300 100
40 partes En general: a por ciento de N <>
a N 100
=
a%N
PORCENTAJE Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad. Ejemplos: • 25%(200) =
25 100
Ç
200 = 50
• 40%(550) =
40 100
Ç
550 = 220
Nota 25%(200) = 50 Tanto por ciento
OPERACIONES CON EL TANTO POR CIENTO 1. a%N + b%N = (a + b)%N
3.
a Ç (b% N) = (a Ç b)%N
2. a%N - b%N = (a - b)%N
4.
El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N
Porcentaje
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Entendemos por descuentos (o aumentos) sucesivos a aquellos descuentos (o aumentos) que se van efectuando uno a continuación del otro, considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando o formando. Observación
D e s c u e n t oú n i c o
A u m e n t oú n i c o
Ejemplos:
Dos descuentos del d1% y d2% equivalen a un Dos aumentos sucesivos del a1% y a2% equivalen a descuento único de: un aumento único de:
d
d1 + d 2 -
d1 # d2 100
n
d
%
a1 + a2 +
a1 # a2 100
n
d
10 + 30
-
10 # 30 100
n
%
=
Nuevo precio = 2500 - 37%(2500) = S/.1575
37%
Resolución: Aumento único =
d
15 + 20
+
• 36%N - 6%N = 30%N • 4 Ç (13%N)
=
52%N
%
Ejemplo: Ejemplo: Si al precio de una computadora que cuesta S/.2500 Si el precio de una lavadora es de S/.1500 y sufre se le hace dos descuentos sucesivos del 10% y 30%, dos aumentos sucesivos del 15% y 20%, ¿cuál es el ¿cuál es el descuento único?, ¿cuál será su nuevo aumento único?, ¿cuál será su nuevo precio? precio? Resolución: Descuento único =
• 25%N + 5%N = 30%N
15 # 20 100
n
%
=
Casos especiales N + a%N = (100 + a)%N N - b%N = (100 - b)%N
38%
Nuevo precio = 1500 + 38%(1500) = S/.2070
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 3
49
Problemas resueltos 1
Halla el 25% del 30% del 40% de 22 000.
z=
Resolución:
=
2
1 4
Ç
Ç
30 100
3 10
Ç
Ç
2 5
40 100 Ç
Ç
22 000
6
22 000 = 660
Si el 25% del 20% de un número es 60, halla la mitad del número.
A un número se le hace 3 descuentos sucesivos del 25%; 20% y 20%; al número que resulta se le hace 3 incrementos sucesivos del 60%; 25% y 20%; resultando un número que se diferencia del srcinal en 608 unidades. Halla el número srcinal. Resolución:
Sea N el número buscado. Por dato: 80%(80%(75%N)) =
#
20 100
#
x 2
x
60 & x
=
=
1200 2
=
1200
Ahora: 120%(125%(160% 12N )) =
600
Luego:
¿De qué número es 384 el 4% menos? &
`
7
x - 4%x = 384 96%x = 384 96 100
x = 384 & x = 400
H = 70%(400) = &
28 100
#
70 100
#
N
=
#
N
=
`
8
Personas que no son extranjeras: 56 + 30 = 86
El costo de la mano de obra y las indemnizaciones suman el 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra. ¿Qué tanto por ciento del valor de la obra representa solamente la mano de obra? Resolución:
Resolución:
El enunciado en lenguaje matemático: 20%(x + y) = 40%(2x - y) -
(xx +y)y = 2(2x 4x - 2yy) 3y = 3x & x = y Por regla de tres para la respuesta: 12y 3x 100% 12x + 15y z
50
280
Además: Mujeres extranjeras = 75%(120) = 90 Mujeres no extranjeras = 120 - 90 = 30
156
El 20% de (x + y) es igual al 40% de (2x - y). ¿Qué tanto por ciento representa (12x + 15y) respecto a (12y- 3x)?
=
=
M = 400 - 280
Por dato: Hombres extranjeros = 80%(280) = 224 Hombres no extranjeros = 280 - 224 = 56
19,6% N
N = S/.1500
+
70 . 400 &H 100
M = 120
Ahora tengo: 70%N+ 19,6%N = 89,6%N Estoy perdiendo: 100%N - 89,6%N = 10,4%N
`
N = 608
Total de personas: 400
Sea N el dinero que tengo. Gasto el 30%N, entonces me queda: 70%N
10, 4 100
-
N = 4000
De un conjunto de 400 personas, el 70% son hombres y el resto son mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 75% de las mujeres son extranjeros, ¿cuántas personas no son extranjeras en dicho conjunto?
Resolución:
Luego gano el 28%(70%N), esto es:
144 N 125
144N 125
Resolución:
Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería S/.156. ¿Cuánto tengo?
Por dato:
12N 25
25
=
Resolución:
5
n
12x + 1 5 x 27x _100%i 100% = 9x 12x - 3x
25% Ç 20% Ç x = 60
Nos piden:
4
d
Resolución: 25 100
3
25 100
=
z = 300%
`
25% 30% 40% (22 000)=
(1 2x + 1 5 y)1 0 0 % 12y - 3x
Intelectum 2.°
M: mano de obra; I: indemnización; O: valor de obra Dato: M +40%O I=
...(1)
I
60%M
=
…(2)
(2) en (1): 60%M + M = 40% O 160%M = 40%O & 4M = O Piden:
x (O) 100
=
M
&
x%(4M) = M
&
x% = 25%
unidad 4
PROMEDIOS Se llama promedio a una cantidad representativa de un conjunto de datos, que está comprendida entre el menor y mayor de estos.
PROMEDIOS IMPORTANTES
Observación
Sean los datos: x1 1 x2 1 x3 1 ... 1 xn
P r o m e di o a r i t m é t i c o ( M A ) Llamado también media aritmética. Su cálculo se realiza de la siguiente manera, con los datos: a1; a2; a3; ... ;an La media aritmética de dichos números es: ++ a1 a a2
MA =
+
+ 3 a ...
n
n
Ejemplo: Un alumno ha obtenido las siguientes notas en el curso de Aritmética: 12; 14; 10; 13 y 11. ¿Cuál es su promedio de notas? MA =
P r o m e di o p o n de r a d o ( P ) Es el promedio aritmético de un conjunto de números que se repiten bajo una cierta frecuencia, peso o ponderación. Sean los datos a1; a2; a3; ...; an y sus respectivos pesos P1; P2; P3; ...; Pn, entonces su promedio ponderado es:
+++ 12 +14 10 13 5
11
=
60 5
P=
a1 1# P2 2a +P #
n
#
x1 1 P 1 xn
n
P1 + P2 + ... + Pn
Ejemplo: Halla el promedio ponderado de los números: 8; 12; 5; 8; 5; 5; 12; 12 y 5. Número Frecuencia
MA = 12
a+ ... P +
Si P es un promedio de dichos números, se cumple:
5 #4 8+ 2#1 2+ 3 #
5
4
P=
8
2
P=8
12
3
4+2+3
Atenc ión
P r o m e di o g e o m é t r i c o ( M G )
P r o m e di o a r m ó n i c o ( M H )
Llamado también media geométrica. Su cálculo se realiza de la siguiente manera, sean los datos:
Llamado también media armónica. Su cálculo se realiza de la siguiente manera, sean los datos:
• MA =
a1; a2; a3; ...; an
• MG =
a1; a2; a3; ...; an La media geométrica de dichos números es: MG =
n
a1 # a # a2
#3 a#...
n
La media armónica de dichos números es: MH =
Ejemplo: Halla la media geométrica de 4; 6 y 9. MG =
3
4# 6
# 9
3 =216
MG = 6
Para dos datos a y b, se tiene:
n 1 1 1 + + a1 a a2
1 ... 3a
• MH =
a+b 2 ab 2ab a+b
+ +
n
Ejemplo: Halla la media armónica de 8; 12 y 16. MH =
1 8
+
3 1 12
+
1 16
=
3 & 13 48
MH = 11,08
PROPIEDADES DE LOS PROMEDIOS ESTUDIADOS (MA; MG Y MH) Para un conjunto de dos o más datos 1. Si dichos datos son iguales, entonces la media aritmética, geométrica y armónica son iguales; es decir: MA = MG = MH
Nota
2. Si dichos datos son diferentes, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica y este a su vez es mayor que la media armónica; es decir: MA 2 MG 2 MH Solo para dos datos El producto de la media aritmética y la media armónica es igual a la media geométrica elevado al cuadrado; es decir: MA Ç MH = MG2
De
las
propiedades
se
puede concluir que el mayor promedio de un conjunto de datos es la MA de estos y el menor promedio de dichos datos es su MH.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
51
Problemas resueltos 1
Calcula el promedio armónico de los números: 1;
Entonces: p =
1 1 1 1 ; ; ;. ..; 2 3 4 20
Resolución:
MH =
MH = MH =
2
De los datos: 1,67 =
1 1
+
1 + 1 2
1 1 3
1 1 4
+
+ +
1 1 20
...
`
1
20 20 (21 ) 2
&
+ 20 ...
MH =
5
2 21
La suma de las edades de los alumnos de un salón de clase es 2000 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 6 años y a cada mujer se le resta 3 años, el nuevo promedio es 22,4. Halla el número de hombres. Resolución:
Del enunciado: Suma de edades: EH + EM = 2000 / MA = 20 EH + EM =
100x +
99 (99 +1 ) 2
=
2000 H+M
100x = 2000 & x = 20
Sean a y b dos números enteros positivos; si el producto de la media aritmética con su media armónica es igual al doble de su media geométrica, entonces el menor valor de (a + b) es:
MG(a; b)
=
2
&
a . b = 4 (a y b ! Z+)
Luego: a=1/b=4&a+b=5 a=2/b=2&a+b=4
4
El menor valor de (a
+ b) es
Resolución:
Sean p1, p2 y p, respectivamente, la estatura promedio de las mujeres, varones y del total de estudiantes. Considere n 1, n2 y n el número de mujeres, varones y el total de estudiantes, respectivamente.
52
Intelectum 2.°
22,4 (nuevo promedio)
=
...(2)
Resolución:
Sean x1; x2; x3; x, las edades de los 4 hombres. Del enunciado: 3
+
4
De 500 alumnos de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67 m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60 m, calcula la estatura promedio de los varones de dicho grupo.
...(1)
El promedio aritmético de las edades de 4 hombres es 48. Si ninguno de ellos es menor de 45 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?
x1x+x x2 +
4.
M= 100
Sumando (1) y (2) tenemos: 3H = 180 & H = 60 ` El número de hombres es 60.
6
MG2(a; b) = 2MG(a; b)
20 & H +
2000 + 6H - 3M = 22,4(H + M) = 2240 6H - 3M = 240 & 2H - M = 80
El número menor es 20.
MG2(a; b) = MA(a; b) # MH(a; b)
=
2 00 0 +6 H -3 M H+ M
100x + 4950 = 6950
Del enunciado: MA(a; b) Ç MH(a; b) = 2MG(a; b) Por propiedad de las medias:
20
Además, agregando y restando años a cada hombre y mujer, tenemos:
6950
Resolución:
=
H+M
69,5
De donde: 100x + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99) = 6950
`
La estatura promedio de los varones es 1,70 m.
20 + 2+3 + 4+
Del enunciado: xx+x+ ( x+ + 1) +( 2) (+ + 3 )+ x .+. . ( 9 9 ) 100
&
500
835 = 240 + 350p2 & p2 = 1,70
Resolución:
3
; n1 + n2 = n
_1 5 0i_1 , 6 0i + _3 5 0i_ p2i
20
El promedio aritmético de 100 números consecutivos es 69,5. Halla el número menor.
`
n1p1 +n2 p2 n1 + n2
=
...(1)
48
Además, si ninguno es menor de 45 años se cumple: x1 $ 45; x2 $ 45; x3 $ 45; x $ 45 De (1) para que x sea máximo, se debe cumplir: x1 + x2 +mínimo x3 = ...(2) .
.
.
45 45 45 Reemplazando (2) en (1): 4 5 + 45
+ 45 +
4
x
=
48
135 + x = 192 `
&
x = 57
La edad máxima que podría tener uno de ellos es 57 años.
ESTADÍSTICA
A
DEFINICIÓN Es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos y después organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en los datos.
CLASES DE ESTADÍSTICA La estadística puede dividirse en dos amplias ramas: estadística descriptiva y estadística inferencial.
Estadística descriptiva
Atenc ión
Población
Es la parte de la estadística que se encarga de la recolección, clasificación, descripción y simplificación de los datos. En otras palabras, podemos expresar que un estudio estadístico se considera descriptivo cuando solo se pretende analizar y describir los datos.
Muestra
Estadística inferencial La estadística inferencial es el conjunto de técnicas y métodos que son usados para obtener conclusiones generales acerca de una población usando datos de una muestra tomada de ella.
CONCEPTOS EMPLEADOS EN ESTADÍSTICA Población Es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones. Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo. Ejemplo: Población de estaturas de todos los alumnos del nivel primario de las I. E. del departamento de Trujillo.
Muestra Es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las observaciones. Ejemplo: Muestra de estaturas de los alumnos del nivel primario de una determinada I. E. del departamento de Trujillo. Nota
VARIABLES ESTADÍSTICAS Una variable es una característica observable que varía entre los diferentes individuos de una población. La información que disponemos de cada individuo es resumida en variables.
Debes tener en cuenta que una variable estadística es una característica de la población que interesa al investigador.
CLASIFICACIÓN Variable cualitativa Las variables cualitativas (o categóricos o de atributo) se dividen en diferentes categorías que se distinguen por alguna característica no numérica. Se clasifica en: Cuando se denen categorías y no llevan ninguna ordenación en la posibles • Variable cualitativa nominal. modalidades. Ejemplos: estado civil, color preferido, partidos políticos, etc.
Observación
Cuando más allá de la clasicación, se busca ordenar los casos en términos • Variable cualitativa ordinal. del grado que poseen cada característica.
Una variable cuantitativa se obtiene como resultado de mediciones o conteos.
Ejemplos: nivel de educación alcanzado, nivel socioeconómico, etc.
Variable cuantitativa Las variables cuantitativas consisten en números que representan conteos o mediciones y, en consecuencia, son ordenables. A su vez las variables cuantitativas se subdividen en dos tipos: •
Variables discretas. Son aquellas variables que se obtienen por el procedimiento de conteo (toman valores naturales). Ejemplos: número de hijos, número de monedas que una persona lleva en el bolsillo. Son aquellas variables que pueden tomar cualquier valor de un cierto intervalo (entre • Variables continuas. dos números jados). Ejemplos: peso, estatura, temperatura, etc.
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
53
DATO ESTADÍSTICO Es un valor particular de la variable, los cuales han sido recopilados como resultado de observaciones. Estos pueden ser comparados y analizados. Ejemplos: Número de hijos: 0; 1; 2; ... Estatura de alumnos de una I. E.: 1,75; 1,65; 1,50; ...
Recue rda
Fundamentalmente para presentar los datos estadísticos se usa la forma tabular, los grácos se utilizan complementariamente para ilustrar mediante guras, el comporta miento de las variables.
PARÁMETRO Es una cantidad numérica calculada que se usa para describir alguna característica de una población. Ejemplo: la estatura promedio de los individuos de un país.
PRESENTACIÓN DE DATOS Hay dos formas de presentar los datos estadísticos: 1. En forma tabular: cuadros y tablas de frecuencia. 2. Mediante gráfico y diagramas.
Cuadro estadístico Consta de ocho partes: número de cuadro, título, concepto o encabezamiento, cuerpo del cuadro, nota de pie de páginas o llamadas, fuente, nota de unidad de medida y elaboración. Ejemplo: CUADRO 1 Perú: población con algún problema de salud, según lugar o establecimiento de consulta. Trimestre: enero-febrero-marzo 2011-2012 (Porcentaje) Lugar o es tablecimiento
Observación
De la tabla de frecuencias: Xi
fi
hi
Fi
Hi
X1
f1
h1 F1 H1
X2
f2
h2 F2 H2
X3
f3
h3 F3 H3
X4
f4
h4 F4 H4
n Se cumple: • h1 =
f1 n
; h2 =
f2 n
, h3 =
f3 n
; h4 =
f4
MINSA 1/ EsSalud 2/ MINSA y EsSalud FF. AA. y/o Policía Nacional Particular 3/ Farmacia o botica Domicilio Otros 4/ Total buscó atención
ene-feb-mar 20 11 P/
ene-feb-mar 20 12 P /
17,1 6,6 0,1 0,3 7,6 16,2 0,2 1,2 49,3
15,9 6,4 0,1 0,6 8,8 16,8 0,2 0,8 49,6
Variación absoluta (Puntos porcentuales ) -1,2 -0,2
0,0 0,3 1,2 0,6 0,0 -0,4 0,3
n
• h1 + h2 + h3 + h4 = 1
1/ Incluye centro de salud MINSA, puesto de salud MINSA, centro o puesto de salud CLAS y hospital MINSA.
• F1 = f1
2/ Incluye posta, policlínico y hospital de EsSalud.
F2 = f1 + f2 = F1 + f2
3/ Incluye clínica particular y consultorio médico particular.
F3 = f1 + f2 + f3 = F2 + f3
4/ Incluye curandero.
F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = F3 + f4
P/ Preliminar.
• H1 = h1 H2 = h1 + h2 = H1 + h2 H3 = h1 + h2 + h3 = H2 + h3 H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = H3 + h4
Fuente: INEI - Encuesta Nacional de Hogares 2011-2012
Tablas estadísticas Llamadas también tablas de frecuencia; son aquellas que presentan la distribución de un conjunto de datos previamente tabulados, los cuales están agrupados o clasificados en las diversas categorías o variables.
Elementos
Rang o ( R). Llamado también “recorrido de la variable”; es igual a la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que forman las variables estadísticas. R = Xmáx. - Xmín. Frecuencia absolutai).(fEs el número de veces que aparece repetida la variable estadística en el conjunto de observaciones realizadas.
54
Intelectum 2.°
A Frecuencia relativa i). (hEs el cociente entre la frecuencia absoluta de un dato y el número de observaciones realizadas. Frecuencia absoluta acumuladai).(F Resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas. Frecuencia relativa acumuladai).(H Resulta de acumular o sumar las frecuencias relativas.
TABLAS DE FRECUENCIA PARA VARIABLES CUANTITATIVAS Realizadas las observaciones o recopilación de datos, denotamos la variable por X y los datos por: X 1; X2; X3; ...; Xn, donde X i representa la i -ésima observación de la variable, y n es el número de observaciones realizadas. En general, para construir una tabla de frecuencia, se requiere realizar dos operaciones: 1. La clasifcación,que consiste en determinar las categorías y los distintos valores que toman las variables o los intervalos de clase. 2. La tabulación,que consiste en distribuir los elementos de la población en la respectiva categoría o intervalo de la variable.
TABLAS DE FRECUENCIA DE VARIABLES DISCRETAS Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las edades (en años) de los alumnos que integran el coro de una I. E. 16
13
14
14
15
15
16
14
15
16
15
14
15
13
14
13
15
13
14
14
Atenc ión
En la tabulación se contabilizan cuántos elementos se encuentran comprendidos en cada intervalo.
n.° de observaciones: n = 20 Variable: Xi = edades de los alumnos que integran el coro de una I. E. X1 = 16
X2 = 13
X3 = 14
X4 = 14
X5 = 15
X6 = 15
X7 = 16
X8 = 14
X9 = 15
X10 = 16
X11 = 15 X12 = 14 X13 = 15 X14 = 13 X15 = 14 X16 = 13 X17 = 15 X18 = 13 X19 = 14 X20 = 14 Clasificación: Xi: 13; 14; 15; 16
&
Xmín. = 13; Xmáx. = 16
Tabulación CUADRO 2 Distribución de las edades de los 20 alumnos que integran el coro de una I. E. Edades X( i)
if
Fi
hi
Hi
13
C ont eo
4
4
0,20
0,20
14
7
11
0,35
0,55
15
6
17
0,30
16
3
20
0,15
Fuente: propia
n = 20
Observación
La tabla de frecuencias: Xi
fi
X1
f1
0,85
X2
f2
1
X3
f3
X4
f4
X5
f5
1
es simétrica si: f1 = f5 / f2 = f4
TABLAS DE FRECUENCIA DE VARIABLES CONTINUAS Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los sueldos quincenales (en soles) de los empleados de la empresa Pepito S. A. 410 600 580 680
400 590 690 540
n.° de observaciones: n
420 608 724 824 =
450 710 819 830
490 550 530 610
480 510 590 754
405 611 520 595
698 570 739 908
610 740 910 599
612 560 1000 840
40
Variable: Xi = sueldos quincenales
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
55
1. Determinamos el valor mínimo y máximo de X para luego hallar el rango (R). Xmín. = 400; Xmáx. = 1000
&
R = Xmáx. - Xmín.
=
1000 - 400 = 600
Atenci ón
Si los datos toman valores racionales, se acostumbra presentarlos utilizandointervalos de clase en las tablas de frecuencia.
2. Hallamos el número de intervalos (K), para esto podemos emplear la regla de Sturges : K = 1+ 3,322log(n) Para el ejemplo: K = 1 + 3,322log(40) = 6,32 . 6 3. Determinamos la amplitud de los intervalos (c), de la siguiente manera: Xmáx.
c= R
=
K
Para el ejemplo:
c=
-
Xín. m
K
1000
-
400
6
=
100
4. Construimos los intervalos: [Li; LSH [400; 500H Nota
[500; 600H
El número de intervalos (K) es arbitrario, sin embargo, es recomendable tener en cuenta ciertos criterios:
[600; 700H [700; 800H
• Naturaleza dela variable.
[800; 900H
• Número de valores observados.
[900; 1000]
• El recorrido de la variable. • Unidad de medida de la variable. • Los objetivos del estudio.
5. Se calcula el punto medio de cada intervalo, llamado marca de clase (x i), para nalmente organizarlas en una tabla. Ii
Xi
[400; 500H
450
400 + 500 2
[500; 600H
550
500 + 600 2
[600; 700H
650
600 + 700 2
En el cuadro 3, se observa que: F6 = 40
[700; 800H
750
700 + 800 2
Además:
[800; 900H
850
800 + 900 2
Observación
H6 = 1
[900;1000]
En general, se cumple: FK = n / HK = 1
900 + 1000 2
950
6. Finalmente, realizamos la tabulación: CUADRO 3 Distribución de los sueldos quincenales de los empleados de la Ii
Xi
fi
Fi
hi
Hi
[400; 500H
450
7
7
0,175
0,175
[500; 600H
550
12
19
0,30
0,475
[600; 700H
650
9
28
0,225
0,700
[700; 800H
750
5
33
0,125
0,825
[800; 900H
850
4
37
0,1
[900; 1000] Fuente: propia
56
Intelectum 2.°
950
Co nteo
empresa Pepito S. A.
3 n = 40
40
0,075 1
0,925 1
A TABLAS DE FRECUENCIA PARAVARIABLES CUALITATIVAS En el caso de variables cualitativas no se pueden calcular las frecuencias acumuladas, pues no es posible ordenar de menor a mayor datos no numéricos. Atenc ión
Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los estados civiles de 20 personas encuestadas.
Un gráco es un auxiliar de un cuadro estadístico, no lo sustituye, sino que lo complementa.
SCCSVDDSCS DSCCSCSSCS Donde: S: soltero, C: casado, D: divorciado, V: viudo. Como resultado de la clasificación y tabulación, se tiene: CUADRO 4 Distribución de los estados civiles de 20 personas encuestad as. E s t a do c i v i l
if
hi
Soltero
9
0,45
Casado
7
0,35
Divorciado
3
0,15
Viudo
1
0,05
Fuente: propia
n = 20
1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Un gráfico estadístico es la representación de un fenómeno estadístico por medio de figuras geométricas.
Representación gráfica de variables cuantitativas Diagrama de barras
Histograma
fi
fi
7
12
6
9
4 3 13
14
15
16
Recue rda
7
Para variables discretas se usan: – Diagrama de barras
5 4 3
– Diagrama circular – Pictograma 400 500 600
Edades
Diagrama circular 14 años
20% 126° 108°
900 1000
Ii
Pictogramas
Alumnos de 13 años
72°
Para variables continuas se usan: – Histograma – Ojiva de datos Esta última se graca para el ejemplo del cuadro 3:
Si= 1 persona, entonces:
13 años
35%
700 800
F1 40
Alumnos de 14 años 37
54° 16 años 15%
15 años 30%
33
Alumnos de 15 años
Alumnos de 16 años
28 19 7 400 500 600 700
800 900 1000
Representación gráfica de variables cualitativas Diagrama de barras
Diagrama circular Soltero
fi
45%
9 7
162°
3
126°
1 Soltero
Casado Divorciado Viudo
Estado
Casado
civil
35%
18° 54°
Viudo 5%
Divorciado 15%
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
57
MEDIDAS DE POSICIÓN 1. Media o media aritmética ( X o MA) A. Para datos no clasificados Ejemplo: Sean los datos (notas): 8; 7; 15; 20; 13
Nota
DEL CUADRO 3: Ii
Fi
Hi
[400; 500H
7
0,175
[500; 600H
19
0,475
[600; 700H
28
0,700
[700; 800H
33
0,825
[800; 900H
37
0,925
[900; 1000H 40 n
2 =
X
=
+ 8+ 7+ 15+ 20 13 5
=
63 5
&
X
=
12,6
B. Para datos clasificados !
Me
k
/ Xi fi X
=
i=1
k
=
n
1
/ Xi h i i=1
Ejemplo:
20
El intervalo de clase mediana, es aquel intervalo cuya frecuencia relativa acumulada sea igual o exceda por primera vez a 0,5.
Observación
Del cuadro 3:
X
=
#7 450 +
# 550
+ # 650 + #9 12
+750 # +5 # 850
4
950
3
40
=
640
2. Mediana (Me) A. Para datos no clasificados Ejemplo: sean los datos: 12; 17; 23; 4; 43, ordenando crecientemente: 4; 12; 17; 23; 43 Dato central
&
Me = 17
B. Para datos clasificados
La moda (Mo) no siempre existe y no siempre es única.
Me = Lm + c
>
n 2
-
Fm - 1
fm
H
Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana. c: ancho de la clase mediana. Fm - 1: frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana. fm: frecuencia absoluta de la clase mediana. Ejemplo: Del cuadro 3: Me
= 600 +
100
d
20 - 19 9
n
=
7
611, 1
Observación: La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada es igual a la mitad de los datos o mayor a ella por primera vez y contiene a la mediana. Observación
3. Moda (Mo)
DEL CUADRO 3: Ii
fi
[400; 500H
7
[500; 600H
12
[600; 700H
9
[700; 800H
5
[800; 900H
4
[900; 1000]
3
!
A. Para datos no clasificados
Mo
El intervalo de clase modal, es aquel intervalo que tiene mayor frecuencia.
Ejemplo: Sean los datos: 1; 20; 30; 100; 12; 18; 100; 18; 100
&
Mo = 100
B. Para datos clasificados Mo = Lo + c
f
d1 d1 + d 2
p
Donde: d1: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase anterior. d2: diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente. Lo: límite inferior de las clase modal. c: ancho de la clase modal. Ejemplo: del cuadro 3: Mo
=
500 + 100
d
5 5+3
n
= 562,5
Observación: La clase modal es aquella cuya frecuencia absoluta es mayor.
58
Intelectum 2.°
A
Problemas resueltos 1
Del siguiente cuadro de frecuencias: Ii
fi
[5; 11H
64
[11; 17H
80
16 80 0 + 19 75b 96 + 13 b
Fi
=
163 &
Completando la tabla, tenemos:
[17; 23H [23; 29H
Halla: f
+f + 3 4
Ii
fi
[50; 100H
32
[100; 150H
48
240
[29;35]
72
400
[150; 200H
56
[200;250]
64
F 4
Nos piden el número de personas que gastan entre S/.126 y S/.178, entonces:
Resolución:
Completando el recuadro, tenemos: Ii
fi
48
64
64
80
144
[17; 23H
96
240
88
▪
F1 = 64
▪
f3 = F3 - F2 = 240 - 144
100
328
72
x 50
F2 = 144
&
15 0
y
200
=
24 48
y 50
/
x = 25
&
=
28 56
y = 25
Luego, el número de personas que gastan entre S/.126 y S/.178 semanalmente es: x + y = 25 + 25 = 50
F4 = F3 + f4 F5 = F4 + f5 400 = (240 + f4) + 72
& f4 = 88 /
F4 = 328
3
Piden: 96 + 88 + 328 = 512
2
x
Por proporcionalidad:
400
& f3 = 96 ▪
28
24
[5; 11H
[29;35]
56
Fi
[11; 17H [23; 29H
&
b=8
De la pregunta 2, halla la mediana. Resolución:
En la tabla de frecuencias:
Se tiene la distribución de gastos semanales de un grupo de personas. fi 64 7b 6b
Ii
fi
Fi
[50 ; 100H
32
32
[100 ; 150H
48
80
[150 ; 200H
56
136
[200;250]
64
!
Me (intervalo mediano)
f
n 2
200
32
50
100
150
200
250
n = 2
Ii
Si el gasto promedio semanal es de S/.163, ¿cuántas personas gastan entre S/.126 y S/.178?
100; c = 200 - 150 = 50
Luego; en la fórmula: Me = Lm + c
Resolución:
Me = 150 + 50
Construimos la tabla de frecuencias con los datos del gráco.
4
-
Fm - 1
fm
d
100 - 80 56
fi
Xi
32
75
Ii
fi
[100; 150H
6b
125
[140; 150H
50
175
[150; 160H
60
[160; 170H
70
7b
[200;250] Del enunciado: X
=
32 # 75 + # 6 b 12 #5
64
225
163 + 7 # b
1 75
9 6 + 1 3b
+ 64
22 5
=
163
n
`
Me = 167,86
Del siguiente cuadro de frecuencia, halla la moda.
Ii [50; 100H [150; 200H
p
[170; 180H
80
[180;190]
40
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
59
Resolución:
Resolución:
Se identica el intervalo modal, en la tabla de frecuencias:
Completamos la tabla, teniendo en cuenta que es simétrica.
Ii
fi
[140; 150H
50
[150; 160H
60
[160; 170H
70
[170; 180H
80
[180;190]
40
Luego, en la fórmula:
`
5
Ancho de clase: c = 180 - 170 = 10 Además: Mo d1 = 80 - 70 = 10 d = 80 - 40 = 40
Ii
fi
hi
Xi
[25; 45H
a
0,2
35
[45; 65H
b
[65; 85H
b
[85; 105]
55 75
a
0,2
95
2
Mo = L
o
+ c
#
f
d1 d1 + d 2
Mo = 170 + 10 Ç
d
Donde el número de observaciones es: n Se cumple: n = 2(a + b)
p
10 10 + 40
3 5a + b5 b5a
Además: X =
n
=
172
X=
_
i
130 a + b
_
+7 5
_
+ 95
=
i
2 a+ b
i
2 a+ b
=
130 & 2
1 3 0a
+
13 0b
_
i
2 a+ b
X = 65
También:
Se tiene el diagrama de barras de la distribución del número de hijos de un grupo de padres de familia. Halla la media.
0,2 + 0,2 + h2 + h2 = 1 2h2 = 0,6 & h2 = 0,3
fi 180
`
h2 + X = 0,3 + 65 = 65,3
120
8
60 40 n° de hijos
En el gráfico de barras se muestran las preferencias de 500 personas por cuatro marcas de galletas: A, B, C y D. Halla: q1 + q3
1234
Marca A Marca B
27%
31%
Resolución:
θ1 θ2
Construimos la tabla de frecuencias con los datos del gráco. Ii
fi
Entonces:
1
60
X=
2
180
3
120
4
40
`
+ 1 #60 # 2
θ3
4 + 40
10K% Marca C
X . 2,35 = 2
11K%
Resolución:
400
6
Debemos tener en cuenta que en un diagrama circular, el ángulo correspondiente a un sector circular se calcula así:
Del problema 5, halla la moda.
qi =
Resolución:
Observando el gráco de barras, la mayor frecuencia (180) es: 2 `
7
Mo = 2
qi = hi Ç 360°
En el gráfico:
Dada la siguiente tabla simétrica de distribución. Halla: h 2 + X Ii
hi
[25; 45H [65; 85H [85;105]
Intelectum 2.°
θ1 θ3
[45; 65H
60
θ4
Marca D
180 # 3+ # 120 400
0,20
fi n
Ç
360° qi = hi Ç 100% Ç 360°
Del enunciado: 27% + 31% + 11K% + 10K% = 100% 21K% = 42% K=2 Luego: q3 = 22% Ç 360° / q1 = 27% Ç 360° q3 = 79,2° q1 = 97,2° Piden: q1 + q3 = 97,2° + 79,2° = 176,4°
A
ANÁLISIS COMBINATORIO
Podemos considerar al análisis combinatorio como el conjunto de procedimientos y técnicas que nos permite determinar el número de agrupaciones que pueden formarse a partir de ciertas condiciones.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO Principio de multiplicación Si un acontecimiento A puede efectuarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuado, se realiza otro acontecimiento B; que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambos acontecimientos (A y B) se podrán realizar de m Ç n maneras diferentes.
Nota
Otra forma de visualizar nues tro ejemplo es a través del diagrama de árbol. Camino A-B
Camino B-C
Camino A- C
a1
b1 b2 b3
a1b1 a1b2 a1b3
a2
b1 b2 b3
a2b1 a2b2 a2b3
Ejemplo: Si para ir de A hasta B se tienen dos caminos diferentes y para ir de B a C se tienen tres caminos diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir de A a C pasando siempre por B? Resolución: A
B
2 maneras
Para ir de A hasta C, pasando siempre por B habrán 2 maneras distintas.
C
Ç3=
Se observa que en total hay 6 maneras diferentes para ir desde A hasta C.
6
3 maneras
Principio de adición Si un acontecimiento A puede realizarse de m maneras diferentes y otro acontecimiento B puede realizarse de n maneras diferentes, siendo imposible realizar ambos eventos de manera simultánea o uno seguido del otro, entonces para poder llevar a cabo cualquiera de ellos (A o B) se podrá realizar de m + n maneras diferentes. Ejemplo: Luis puede viajar de Arequipa a Tumbes por vía aérea, utilizando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre a través de 3 líneas de ómnibus. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje de Arequipa a Tumbes? Resolución:
Atenc ión
El factorial de un número entero positivo, denotado por n! o n , es el producto de todos los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n. Es decir: n! = 1 Ç 2 Ç 3 Ç 4 Ç ...
o
2 Va r i a c i o n e s
P er m uta ci o nes Las permutaciones simples de n elementos, son las variaciones simples de n elementos de orden n.
Co mbi nac i on es Las combinaciones simples de n elementos de orden r, son todas las agrupaciones de r elementos sin repetición, de un conjunto de n objetos, sin importar el orden.
Propiedad El número de permutaciones Propiedad simples de n elementos denotado Propiedad El número de variaciones simples por Pn, está dado por: El número de combinaciones de n elementos de orden r, simples de n elementos de orden Pn = n! n denotado por Vr , está dado por: r, denotado por Cnr , está dado por: Ejemplo: n! n! n n Vr Cr ¿Cuántos números de tres cifras _n ri ! _n ri ! # r! distintas se pueden formar con los Ejemplo: Ejemplo: dígitos 2; 4 y 6? ¿Cuántos números de dos cifras ¿Cuántos comités de 3 miembros =
=
-
Resolución: En este caso n = 3 y r = 2, luego: 3! =
_3
-
i
2 !
=
1 # 2# 3 1
Recue rda
• n! = (n - 1)! Ç n • 1! = 1 • 0! = 1
-
distintas se pueden formar con los dígitos 2; 4 y 6?
3
n
3
Las variaciones simples de n elementos de orden r son todas las ordenaciones de r elementos, sin repetición, de un conjunto de n objetos.
V2
Ç
Por lo tanto, Luis podrá ir de Arequipa a Tumbes, por vía aérea o terrestre de 2 + 3 = 5 maneras diferentes.
=
6
Resolución: En este caso n = 3, luego: P3 = 3! = 1 Ç 2 Ç 3 = 6
se pueden elegir de un grupo de 5 personas? Resolución: En este caso n entonces: 5
C3
=
5 y r
5! =
_5
-
3 i ! # 3!
=
=
3,
10
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
61
Problemas resueltos 1
¿Cuántas combinaciones se pueden obtener con las letras A, B, C y D tomándolas de 2 en 2?
5
Resolución:
n=4
r=2
/
Resolución:
Luego, por denición sabemos: n
2
Tomemos el caso de que el grupo está formado por 2 doctores y 2 enfermeras, entonces el número de maneras para este caso es:
n!
Cr
=
C 42
=
_n
ri ! # r!
-
_4
5
=
4!
2! # 2!
=
4
V4
=
5
3
C1 # C3
_n - ki ! 4!
-
i
4 !
`
4! 0!
=
4
=
6
4! 1
maneras diferentes.
=
5#1
=
5
n.° de maneras de efectuarse la elección: 30
+
5 = 35
En el consejo de una ciudad hay 10 consejeros y 5 regidores. ¿Cuántos comités pueden formarse si cada comité debe de constar de 5 consejeros y 3 regidores? Resolución:
¿Cuántos comités de 3 miembros se pueden elegir de un grupo de 6 personas?
El número de maneras de escoger 5 consejeros de 10 es: C10 5
Resolución:
Un comité estará constituido por un grupo de tres personas sin importar el orden en que hayan sido nombradas, entonces el número de maneras en que se puede elegir es: 6 C3
`
4
30
Ahora, ambas posibilidades se pueden dar, pero no a la vez, entonces el número de maneras de efectuarse la elección será la suma de ambas posibilidades:
` V 4 = 4! = 24
3
=
1! # 2!
n!
=
_4
3!
#
Y si el grupo está formado por 1 doctor y 3 enfermeras, entonces el número de maneras para este caso es:
k=4
/ n
Vk
5! 3! # 2!
Resolución:
&
=
6
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 4 personas, en una banca de 4 asientos?
n=4
3
C 2 # C2
4! 2i ! # 2!
-
Del personal médico de un hospital se eligen 5 doctores y 3 enfermeras para que de ellos, se escojan 4 miembros donde haya no menos de dos enfermeras. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección?
6! =
6
C3
_6 =
=
3 i ! # 3!
-
6#5#4 3!
=
=
10! (10 5) ! # !5
=
-
10! 5! # 5!
=
252
El número de maneras de escoger 3 regidores de 5 es: 5! 5! C 53 10 2! # 3! (5 )3! ! # 3 =
=
=
-
#4 3# # ! 65 3! # 3 !
Por cada manera, de las 252, de escoger 5 consejeros, hay 10 maneras de escoger 3 regidores, entonces: 252 Ç 10 = 2520
20
Por lo tanto, se pueden formar 2520 comités formados por 5 consejeros y 3 regidores.
En un club participan 24 socios para la elección de un presidente, un vicepresidente y un tesorero. ¿De cuántas maneras diferentes se puede llevar a cabo dicha elección?
7
Resolución:
Formas de escoger al:
Una persona tiene 4 anillos diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha poniendo un sólo anillo por dedo? Resolución:
Presidente
24 Otra forma: 24
V3
=
∴ V324
62
Vicepresidente
24!
_24 - 3 i ! =
23
#
=
#
22
24! 24 #23 #22 # 21 ! = 21! 21!
12 144 maneras
Intelectum 2.°
El 1.er anillo se puede colocar en cualquiera de los cinco dedos de la mano derecha. El 2.° anillo se puede colocar en cualquiera de los cuatro dedos
Tesorero
= 12
144
restantes. El 3.er anillo se puede colocar en cualquiera de los tres dedos restantes. El 4.° anillo se puede colocar en cualquiera de los dos dedos restantes. Luego, los anillos pueden colocarse de: 5 # 4 # 3 # 2 = 120 formas diferentes.
A
probabilidades
EXPERIMENTO ALEATORIO
Nota
Un experimento aleatorio es una prueba cuyo resultado no es predecible de forma absoluta, pues estos dependen del azar. Ejemplos: • Lanzar un dado y observar el resultado. • Lanzar dos monedas simultáneamente y observar el resultado.
Aquellos experimentos cuyos resultados son totalmente predecibles, se denominan experimentos no aleatorios o determinísticos. Ejemplo: La suma de dos números impares.
ESPACIO MUESTRAL Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un determinado experimento aleatorio, denotado por W. Observación
Ejemplos: Para los experimentos anteriores, tenemos: W1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} W2 = {CC; CS; SC; SS}
A cada elemento del espacio muestral se le denomina punto muestral.
EVENTO Es cualquier subconjunto del espacio muestral ( W). Ejemplos: • Para el espacio muestral W1, sea el evento: A: obtener un número par & A = {2; 4; 6} • Para el espacio muestral W2, sea el evento: B: obtener al menos una cara & B = {CC; CS; SC} Atenc ión
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Esta definición fue dada por Laplace a finales del siglo XVII, el cual se define de la siguiente manera:
La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente probables.
En un espacio muestral de n elementos, se puede denir 2n eventos diferentes. Ejemplo: Sea el espacio muestral: W=
{C; S}
En él se pueden denir 22 eventos, los cuales son: φ; {C}; {S}; {C; S}
=
4
Es decir, sea A un evento de cierto experimento aleatorio, entonces: P(A) = n.º de casos favorables n.º de casos totales Recue rda
Ejemplo: Halla la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado. Resolución: Espacio muestral:
W = {1;
2; 3; 4; 5; 6}
&
Al espacio muestral W, se le denomina evento seguro y se cumple:
n(W) = 6
P(W) = 1
Sea el evento: A: se obtiene un número par al lanzar un dado. Entonces: A = {2; 4; 6} 1 W
&
n(A) = 3
Nota
Luego, el número de casos totales es n( W) = 6 y el número de casos favorables es n(A)= 3. P(A) = n.º de casos favorables n.º de casos totales `
P (A) =
1 2
=
3 6
=
1 2
Al conjunto vacío Q, se le denomina evento imposible y cumple: P(Q) = 0 Para todo evento A de un espacio muestral, se cumple: 0 # P(A) # 1
ARITMÉTICA - TEORÍA UNIDAD 4
63
Problemas resueltos 1
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos al lanzar tres veces una moneda?
4
Resolución:
Usando el diagrama de árbol, tenemos: 1.er 2.° 3.er Resultado lanzamiento lanzamiento lanzamiento S S C S C C Luego: P =
2
3 8
S
SSS
C
SSC
S C
SCS SCC
S
CSS
C
CSC
S
CCS
C
CCC
En un paquete hay 20 tarjetas perforadas marcadas con los números 101; 102; ...; 120 y dispuestas al azar. Si una persona extrae al azar dos tarjetas, halla la probabilidad de que sean escogidas las tarjetas perforadas con los números 101 y 120. Resolución:
El número total de resultados elementales del experimento es igual al número de combinaciones de 20 tomados de 2 en 2, es decir: C 20 2 El número de favorables aparezcan las120). tarjetas perforadas conresultados los números 101 y 120que es 1; el par (101; Luego; considerando el evento: A: se escoge las tarjetas perforadas con los números 101 y 120. P(A) =
5
n_ Ai n_ Ωi
1 =
_2 0
=
i ! #2
1 190
!
En una caja hay 6 cubos iguales, numerados del 1 al 6. Si se extrae uno a uno al azar, halla la probabilidad de que los números de los cubos extraídos aparezcan en orden creciente.
Resolución:
Resolución:
1
2
3
4
5
6
12
Si se escogen uno a uno al azar, entonces, el espacio muestral estará conformado por todas las ordenaciones lineales diferentes, es decir: W = {123456; 134625; 143265; ...} & n(W) = 6!
n.° de maneras: 7!
n.° de maneras: 2! Sea el evento: A: dos libros determinados están juntos.
Entonces, el número de maneras de ordenar 8 libros estando dos juntos es 2! Ç 7!, es decir: n(A) = 2! Ç 7!
Sea el evento: A: los números de los cubos extraídos aparecen en orden creciente.
Se tiene:
Se tiene que el evento A está formado por un solo elemento que es 123456, entonces: n(A) = 1 `
n.° de maneras: 8! Entonces, el número total de maneras de ordenar 8 libros en un estante es 8!, es decir: n( W) = 8! `
P(A) =
n_ Ai n_ Ωi
=
2! # 7! 8!
=
1 4
=
0, 25
En una caja hay 15 piezas, de las cuales 10 están pintadas. Si se extrae al azar 3 piezas, halla la probabilidad de que las piezas escogidas resulten pintadas. Resolución:
El número de maneras de extraer 3 piezas de 15, sin tener en cuenta la ordenación de los mismos es: C15 , es decir: n( W) = C15 3 3 Sea el evento: A: las 3 piezas escogidas están pintadas. Entonces, el número de maneras de escoger 3 piezas pintadas es: 10 10 C3 , es decir: n(A) = C3 `
64
2
-
Ocho libros diferentes se ubican aleatoriamente en un estante. Halla la probabilidad que dos libros determinados estén juntos.
Del enunciado: 2 libros están juntos
3
1 20!
=
20
C2
P(A) =
n _ Ai n _ Ωi
=
C10 3 C15 3
_10 =
Intelectum 2.°
_15
10! 3 i! # 3 !
-
15! 3 i! # 3 !
-
=
120 455
=
6
P(A) =
1 6!
1 720
=
Al marcar un número de teléfono, una persona se olvidó las tres últimas cifras, recordando solamente que estas cifras son diferentes. Si esta persona marcó al azar estos tres números, halla la probabilidad de que haya marcado las cifras correctas. Resolución:
Un teléfono cuenta con 10 cifras para marcar: 0; 1; 2; 3; ...; 9 En este caso el espacio muestral estará conformado por todos los arreglos posibles formados por estas 10 cifras tomados de 3 en 3, además por ser un número telefónico se debe tener en cuenta la ordenación de estos 3 dígitos; entonces: n(W) =
10
V3
10! =
_10
-
i
3 !
=
720
Sea el evento: A: se ha marcado las cifras correctas. En este caso el evento A está formado por un solo elemento, entonces: n(A) = 1
0,26 `
P(A) =
_ i _ i
n A
n Ω
=
1 720
