Exercícios de Teste de Hipóteses de uma amostra para a média
Fonte: adaptados de Larson & Farber; Levine; Montgomery; Triola; Bruni 1_Afirmando uma hipótese
Nos exercícios abaixo, estabeleça textualmente e matematicamente matematicamente H0 e H1. Identifique em qual das hipóteses está a afirmação. 1. Diâmetro de parafuso . O fabricante de um determinado parafuso para fins industriais afirma que seu produto tem diâmetro igual a 15,5 décimos de mm. 2. Lâmpadas. Um fabricante de lâmpadas afirma que a vida útil média de certo tipo de lâmpada é mais do que 750 horas. 3. Baterias. Um fabricante de baterias de relógio afirma que a vida útil média de certo tipo de bateria é no mínimo igual a 600 dias. 4. Estudantes universitários. Uma universidade afirma que o número médio de faltas de seus alunos é de no máximo 30 horas-aula por semestre. 5. Tempo de secagem . Uma empresa afirma que sua marca de tinta tem tempo médio de secagem de menos de 45 minutos. 6. Quantidade por saca. Um fornecedor de calcário afirma que cada saca entregue tem pelo menos 25 kg do produto. 7. Impureza. Um fabricante de soda cáustica afirma que seu produto tem no máximo 4,5% de impureza. 8. Pneus. A vida útil média de certo pneu não é mais do que 80.000 milhas. 2_Identificando caudas no TH
Para cada uma das afirmações do exercício No. 1, determine se o TH é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. 3_Identificando erros no TH
Para cada uma das afirmações do exercício No. 1, escreva as sentenças descritivas dos erros tipo I e II para o TH. 4_Identificando z crítico
Nos exercícios abaixo, encontre os valores críticos de z para o tipo de TH e alfa indicado: 1. 2. 3. 4.
Teste unicaudal à direita, alfa=0,05. Teste unicaudal à direita, alfa=0,08 Teste unicaudal à esquerda, alfa=0,01. Teste bicaudal, alfa=0,10
5_Identificando t crítico
Nos exercícios abaixo, encontre os valores críticos de t para o tipo de TH e alfa indicado: 1. Teste bicaudal, alfa=0,05, n=25. 2. Teste unicaudal à esquerda, alfa=0,10, n=12. 3. Teste unicaudal à direita, alfa=0,01, n=35.
6_Realizando Teste z
Nos exercícios abaixo, encontre o p-value para o TH indicado, utilizando a estatística z. Desenhe uma curva de distribuição normal padronizada; localize no desenho a estatística z, o z crítico, alfa e p-value. Decida se deve rejeitar H0 comparando a estatística z com o z crítico. Repita, comparando o p-value com o alfa. 1. 2. 3. 4. 5.
Teste unicaudal à esquerda, z = -1,20, alfa = 0,10. Teste unicaudal à esquerda, z =-1,69, alfa = 0,05. Teste unicaudal à direita, z =2,34, alfa=0,01. Teste bicaudal, z=-1,56, alfa=0,05. Teste bicaudal, z=2,30, alfa=0,01.
7_Realizando Teste t
Nos exercícios abaixo, encontre o p-value para o TH indicado, utilizando a estatística t. Desenhe uma curva de distribuição t; localize no desenho a estatística t, o t crítico, alfa e p-value. Decida se deve rejeitar H0 comparando a estatística t com o t crítico. Repita, comparando o p-value com o alfa. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Teste unicaudal à esquerda, t = -2,09, alfa = 0,05, n=10. Teste bicaudal, t=1,31, alfa=0,10, n=15. Teste unicaudal à direita, t=2,50, alfa=0,05, n=18. Afirmação: µ ≠ 95, α = 0,05. Amostra estatística: x -barra = 94, s = 1,53, n = 12. Afirmação: µ > 12.700, α = 0,05. Amostra estatística: x -barra = 12.804, s = 248, n = 21. Afirmação: µ ≥ 0, α = 0,10. Amostra estatística: x -barra = -0,45, s = 1,38, n = 16. Afirmação: µ = 4,20, α = 0,02. Amostra estatística: x -barra = 4,41, s = 0,26, n = 9. Afirmação: µ ≤ 48, α = 0,01. Amostra estatística: x -barra = 52, s = 2,5, n = 7. Afirmação: µ < 850, α = 0,025. Amostra estatística: x -barra = 875, s = 25, n = 14.
8_Realizando Teste t
Nos exercícios abaixo, (a) estabeleça textualmente e matematicamente H0 e H1; (b) identifique em qual das hipóteses está a afirmação; (c) desenhe um gráfico com a curva de distribuição t e registre sob ela as regiões de H0 e H1; (d) encontre o(s) valor(es) crítico(s) e o(s) registre no gráfico; (e) calcule a estatística t e a registre no gráfico; (f) registre alfa e p-value no gráfico; (g) decida se deve rejeitar ou não H0, com base tanto no t crítico quanto no p-value; (h) registre textualmente o resultado do TH e registre se a afirmação está sendo ou não rejeitada: Custo de reparo de micro-ondas . Um restaurador de micro-ondas diz que a média do custo para conserto de micro-ondas com problemas é de $ 100. Você trabalha para este restaurador e quer testar essa afirmação. Você descobre que uma amostra aleatória de 5 fornos micro -ondas tem uma média de custo para conserto de $ 75 e um desvio padrão de $ 12,50. Com alfa=0,01, você tem evidências para dar suporte à afirmação do restaurador? Tamanho da sala . Você recebe uma revista de uma grande universidade. De acordo com a revista,
o reitor afirma que a média do tamanho das salas para cursos integrais é menor que 32 alunos. Você quer testar essa afirmação. Você seleciona 18 salas aleatoriamente e determina o tamanho de cada uma. Os resultados são listados a seguir. Com alfa=0,05, você pode dar suporte à afirmação do reitor?
35
28
29
33
32
40
26
25
29
28
30
36
33
29
27
30
28
25
Hora-aula do corpo docente de uma faculdade . O reitor de uma universidade estima que o
número médio de aulas dadas por professores de um curso integral todas as semanas seja 11,0. Como membro do conselho estudantil, você quer testar essa afirmação. Uma amostra aleatória do número de horas em sala para oito professores do curso integral em uma semana é listada a seguir. Com alfa=0,01, você pode dar suporte à afirmação do reitor? 11,8
8,6
12,6
7,9
6,4
10,4
13,6
9,1
Quilometragem de combustível . Uma empresa de carros diz que a média de quilometragem de
combustível para o seu sedã de luxo é no mínimo 23 milhas por galão (mpg). Você acredita que a afirmação esteja incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 5 carros tem uma média de 22 mpg e um desvio padrão de 4 mpg. Suponha que a quilometragem de combustível de todos os sedãs de luxo da empresa seja normalmente distribuída. Com alfa=0,05, teste a afirmação da empresa.
Exercícios complementares de TH
Desvio-padrão populacional conhecido: uso do Teste Z
O representante da Guantanamera Engenharia Ltda. Está interessado em construir um shopping Center na região do Pacaembu, em São Paulo. Ele foi informado que a renda média familiar da região é de, no mínimo, $ 10.000. Para a zona em questão, a distribuição da renda média familiar é aproximadamente normal e o desvio-padrão é de $ 1.500. Após ter sido realizada uma pesquisa na área, foi constatado que uma amostra de 40 famílias apresentou renda média familiar igual a $ 9.800. Pode-se aceitar a alegação inicial? Assuma alfa igual a 0,05 e suponha população normalmente distribuída. (Fonte: adaptado de Estatística Aplicada à Gestão Empresarial; Autor: Bruni; Ed. Atlas) A carga axial de uma lata de alumínio é o peso máximo que os lados podem suportar antes de cederem. A carga axial é uma medida importante, porque as beiradas superiores são pressionadas sobre o s lados com pressões que variam entre 158 lb e 165 lb. A Pepsi fez experiências com latas de alumínio mais fino, e uma amostra aleatória de 175 dessas latas tem uma carga axial média de 267,11 lb. Use o nível de significância de 0,01 para testar a afirmativa de que as latas mais finas tenham uma carga axial média menor do que 281,81 lb. Suponha sigma igual a 27,77 lb. As latas mais finas parecem ter uma carga axial média menor do que 281,81 lb? As latas mais finas parecem ser fortes o bastante para não cederem quando as beiradas superiores são pressionadas sobre os lados? (b) E se a significância for 0,05? (Fonte: Introdução à Estatística; Autor: Triola; Ed. LTC) Desvio-padrão populacional desconhecido: uso do Teste t
Em uma escola de ensino médio havia a informação, por pesquisa realizada em outras escolas, de que os alunos dedicavam, em média, 90 minutos por semana à leitura de jornais diários. A direção resolveu fazer uma pesquisa entre seus alunos, sendo selecionada aleatoriamente uma amostra de tamanho n = 25, que apresentou como resultado média igual a 95 e desvio-padrão igual a 15 minutos por semana. Admitindo-se
que a população é normalmente distribuída, testar, com significância de 5%, a hipótese de que essa média seja diferente da média das demais escolas. (Fonte: Braule; Ed. Campus) Um hotel afirma receber, em média, no mínimo, 450 hóspedes por mês. Uma operadora turística, interessada em comprar o hotel, observou a freqüência mensal do hotel durante dois anos. Encontrou uma média igual a 400 hóspedes / mês, com um desvio-padrão igual a 60 hóspedes / mês. O que se pode afirmar acerca da alegação do hotel? Assuma um nível de significância igual 5% e suponha população normalmente distribuída. (Fonte: Bruni) A Construtora Estrada Forte Ltda. alega ser capaz de produzir concreto com, no máximo, 15 kg de impurezas para cada tonelada fabricada. Dezenove amostras de uma tonelada cada uma revelaram possuir impurezas com média amostral igual a 23 kg e desvio‐padrão amostral igual a 9 kg. Assumindo alfa igual a
5% e população normalmente distribuída, seria possível discordar da construtora? (Fonte: adaptado de Bruni) Querendo acelerar o tempo de produção que uma máquina precisa para encher uma garrafa, um engenheiro analisou e modificou uma certa peça da máquina que acusava um tempo médio de enchimento igual 1,9 minuto. Após a mudança, em 30 observações feitas pelo engenheiro, foi possível constatar um tempo médio de 1,5 min, com desvio‐padrão igual a 0,7 min. Adotando um nível de significância igual a 5%,
podemos confirmar que a modificação reduziu o tempo de produção? E se a significância for de apenas 1%? (Fonte: adaptado de Bruni) Você é o gerente de uma franquia de uma lanchonete. No mês passado, a média aritmética do tempo de espera no guichê para automóveis, medido desde o tempo em que o pedido é feito até o momento em que é atendido, foi de 3,7 minutos. A franquia ajudou você a instituir um novo processo com a intenção de reduzir o tempo de espera. Você seleciona uma amostra aleatória de 64 pedidos. A média aritmética da amostra para o tempo de espera corresponde a 3,57 minutos, com um desvio-padrão de 0,8 minutos. No nível de significância de 0,05, existem evidências de que a média aritmética da população relativa ao tempo de espera seja agora menor do que 3,7 minutos? (Fonte: Levine) Uma empresa produtora de cosméticos alega que a quantidade de algas marinhas especiais contidas em frascos de 400 g é, no mínimo, igual a 58 g. Uma amostra formada por 23 frascos revelou que estes continham, em média, 52 g, com um desvio- padrão de 18 g. Pede‐se: (a) é possível concordar com a afirmação do fabricante?; (b) refaça a questão, supondo que a amostra tivesse sido formada por 74 frascos. Assuma alfa igual a 5% e suponha população normalmente distribuída. (Fonte: adaptado de Bruni) O gerente de uma nova empresa no ramo de telefonia está interessado em determinar se a instalação de um novo equipamento telefônico aumentou as vendas médias por funcionário. No último ano, essas vendas durante o mês de julho foram de $ 3.200. Logo que o mês de julho terminou no ano corrente, o gerente selecionou uma amostra de dez funcionários e avaliou o nível de vendas de cada um deles, que se caracterizou da seguinte maneira: $ 2.958; $ 3.816; $ 4.146; $ 5.325; $ 4.400; $ 2.085; $ 5.435; $ 2.218; $ 3.341; $ 5.124. Com base nessa amostra, o gerente tem evidência suficiente, ao nível de significância de 0,05, de que as vendas médias por funcionário durante o mês de julho do corrente ano excederam a média de julho do ano anterior? (Fonte: adaptado de Bruni) Um determinado fabricante alega que um componente eletrônico dur a, em média, pelo menos 495 horas. Uma amostra com 12 componentes expôs os seguintes resultados: 475; 460; 511; 457; 468; 441; 484; 450; 476; 503; 447; 500. É possível concordar com o fabricante, assumindo alfa igual a 5%? Assume-se população normalmente distribuída. (Fonte: adaptado de Bruni)
Os dados a seguir representam a quantidade de refrigerante abastecido em uma amostra de 50 garrafas de dois litros consecutivas. Os resultados são apresentados na ordem em que as garrafas foram abastecidas. No nível de significância de 0,05, existem evidências de que a média aritmética da quantidade de refrigerante abastecida seja diferente de 2,0 litros? Determine o valor-p e interprete seu significado. (Fonte: Levine) 2,109 2,031 2,012 1,994 1,963
2,086 2,029 2,012 1,986 1,957
2,066 2,025 2,012 1,984 1,951
2,075 2,029 2,01 1,981 1,951
2,065 2,023 2,005 1,973 1,947
2,057 2,02 2,003 1,975 1,941
2,052 2,015 1,999 1,971 1,941
2,044 2,014 1,996 1,969 1,938
2,036 2,013 1,997 1,966 1,908
2,038 2,014 1,992 1,967 1,894
Um fornecedor de produtos químicos afirma que o produto X possui uma pureza no mínimo 82,0%. Uma amostra foi retirada e analisada, com valores listados abaixo. Com 5% de significância podemos confirmar a afirmação? 78,0%
85,0%
74,0%
84,0%
80,0%
81,0%
77,0%
82,0%
78,0%
75,0%
