Vorlesung Messtechnik DHBW Stuttgart T2ELG1007.2 1.Semester WS 2013/2014 STG-TEL13GR1
Winter 2013/2014 Vorlesungszeitraum 2.12.2013 - 9.3.2014 Dozent: Dipl.Ing.(BA) Robin Slongo Tel.:0178 1362916 E-Mail:
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Kapitel 1
MESSTECHNIK I Organisatorisches Messtechnik I Vorlesungsthermine: 5. Dezember 2013 2 Stunden - 1.1 Einfu ¨ hrung 12. Dezember 2013 3 Stunden - 1.2 Messabweichungen 19. Dezember 2013 3 Stunden - 1.3 Messung elektrischer Gr¨ oßen ¨ 26. Dezember 2013 ENTFALLT ¨ 2. Januar 2014 ENTFALLT 9. Januar 2014 Abgabe Heimarbeit 9. Januar 2014 3 Stunden - 1.4 Grundlagen der Stochastik 16. Januar 2014 2 Stunden - 1.5 Signalaufbereitung 23. Januar 2014 2 Stunden - 1.5 Signalaufbereitung 30. Januar 2014 2 Stunden - 1.6 Beschreibung statistischer Gr¨ oßen 6. Februar 2014 2 Stunden - 1.6 Beschreibung statistischer Gr¨ oßen 13. Februar 2014 2 Stunden - Reserve / Pru ¨ fungsvorbereitung 20. Februar 2014 - KLAUSUR xx:xxSumme: 21 Stunden
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Inhaltsverzeichnis 1 MESSTECHNIK I 1.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Allgemeine Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Historischer R¨ uckblick . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Das SI-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Messabweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Systematische Messabweichungen . . . . . . . . . . 1.2.2 Fortpflanzung systematischer Messabweichungen . . 1.2.3 Zuf¨allige Messabweichungen . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Vollst¨andiges Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Messung elektrischer Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Widerstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Arbeitsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Kapazit¨atsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Wechselspannung / Wechselstrom . . . . . . . . . . 1.3.8 Mittelwert Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.9 Gleichrichtwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Grundlagen der Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Relative H¨aufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Das Laplace-Experiment (diskrete Gleichverteilung) 1.4.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Unabh¨angige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Signalaufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Stern Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Begrenzerschaltungen mit Dioden . . . . . . . . . . 1.5.6 Filter / RC Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7 Operationsverst¨arker . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Beschreibung statistischer Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion . 1.6.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung 1.6.4 Zentraler Grenzwertsatz: . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
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1.6.6 1.6.7
Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
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1.1 1.1.1
Einfu ¨ hrung Allgemeine Betrachtung
Die Aufgabe der Messtechnik ist die objektive, reproduzierbare und quantitative Erfassung einer physikalischen Gr¨oße: • objektiv: von den Sinnesorganen des Menschen unabh¨angig • reproduzierbar: wiederholbar und reproduzierbar • quantitativ: mit einer Zahl versehen Anwendung der Messtechnik in: • Forschung: zur Entdeckung neuer Ph¨anomene • Produktion: zur Qualit¨atssicherung ¨ • Medizin: zur Uberwachung von Patienten • Entwicklung: zur Optimierung der Eigenschaften von Produkten • ....... Der Philosoph Plato ( 427 – 347 v. Chr.): Zitat: Das beste Mittel gegen Sinnest¨auschungen ist das Messen, Z¨ahlen und W¨agen. Dadurch wird die Herrschaft der Sinne u ¨ber uns beseitigt. Wir richten uns nicht mehr nach dem sinnlichen Eindruck der Gr¨oße, der Zahl, des Gewichts der Gegenst¨ande, sondern berechnen, messen und w¨agen sie. Und das ist Sache der Denkkraft, Sache des Geistes in uns. Wer misst misst Mist Alter Spruch eines Schlossermeisters: Zentimeter ist ein Uhrmachermaß H¨aufig wird in den angewandten Wissenschaften eine sinnlose Ablesegenauigkeit beobachtet, die als Messgenauigkeit missverstanden wird ; Diese wird dann erg¨anzt durch eine Verrechnung mit vielen sinnlosen Stellen hinter dem Komma und schließlich werden diese Stellen sogar noch in Tabellen ver¨offentlicht...
1 1 1a.jpg 5
Messung elektrischer Gr¨ oßen:
Physikalische Gr¨oße = Zahlenwert · Einheit • Spannung • Ladung/Strom • Widerstand, Induktivit¨at, Kapazit¨at • Phasenwinkel • Frequenz Aufgaben der elektrischen Messtechnik: • Gewinnung des elektrischen Messsignals • Struktur der Messeinrichtung • Eigenschaften der Signalformen ¨ • Ubertragung und Verarbeitung der Messsignale • Ausgabe und Darstellung der gewonnenen Informationen
1 1 1b.png Vorteile der elektrischen Messtechnik: • leistungsarme bis leistungslose Erfassung von Messdaten • hohes Aufl¨osungsverm¨ogen • gutes dynamisches Verhalten • stete Messbereitschaft ¨ • bequeme Ubertragung u ¨ber weite Entfernungen • leichte Verarbeitung der Messdaten[1]
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1.1.2
Historischer Ru ¨ ckblick
• 1799 Schaffung des Urkilogramm und des Urmeter aus Platin, Aufbewahrung der Urnormale im Archive de la R`epublique in Paris. • 1830 Gauß und Weber definieren absolute elektrische Einheiten“¨ uber die Grundgr¨oßen ” des CGS-Systems (Zentimeter, Gramm, Sekunde). • 1889 Die erste Generalkonferenz f¨ ur Maß und Gewicht schafft Ausf¨ uhrungen der Prototypen f¨ ur Meter und Kilogramm, die an die Mitgliedstaaten verteilt werden. • 1893 Die Einheiten V, A und Ohm werden durch empirische Normale dargestellt (Silbervoltmeter, Quecksilbernormal). Sie werden als praktische Einheiten bezeichnet. • 1948 Internationale Einf¨ uhrung des MKSA-Systems mit den Grundeinheiten Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere. Die elektrischen Einheiten werden koh¨arent an die mechanischen Einheiten angeschlossen. • 1960 Festlegung des Internationalen Einheitensystems SI (Syst`eme International d‘ Unites) durch die elfte Generalkonferenz f¨ ur Maß und Gewicht. • 1969 Das SI-System wird in Deutschland als verbindlich f¨ ur den gesch¨aftlichen und amtlichen Verkehr erkl¨art.[1] 1.1.3
Das SI-System
Die meisten Basisgr¨oßen werden anhand von physikalischen Erscheinungen definiert. Dieses hat die folgenden Vorteile: • hochgenau • reproduzierbar • zeitinvariant • Definition der Zeit: ¨ Die Sekunde ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der dem Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung. • Definition der L¨ange: Das Meter ist die L¨ange der Strecke, die Licht im Vakuum w¨ahrend der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchl¨auft. • Definition der Temperatur: Das Kelvin, die Einheit der thermodynamischen Temperatur, ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.[1]
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1.1.4
Messmethoden
1 1 4.png Ausschlagmethode
(excursion method) Eine Messmethode, bei der die Messgr¨oße direkt in eine Ausgangsgr¨oße (z.B. Anzeige) umgewandelt wird. Beispiele sind Federwaage oder Drehspuleninstrument Differenzmethode
(differential method) Eine Messmethode, bei der der Messgr¨oße eine konstant bleibende bekannte Vergleichsgr¨oße gegen¨ ubergestellt wird. Die Differenz beider Werte wird weiter verarbeitet oder kommt zur Anzeige. Sie kommt vor allem in Regelkreisen zum Einsatz Kompensationsmethode:
(balancing method, compensation method, offset method) In der Messtechnik eine Methode, bei der einer zu messenden Gr¨oße eine entgegengesetzt gerichtete bekannte Gr¨oße entgegengeschaltet wird. Sobald beide Gr¨oßen eine ausgeglichene Wirkung erzielen und somit gleich sind, zeigt ein Nullindikator diese Tatsache an. Die Kompensations- oder Nullabgleichs-Messmethode ist gem¨aß DIN 1319-2 eine der grundlegenden Methoden der Messtechnik. Sie arbeitet nach folgendem Prinzip: Die zu messende Gr¨oße wird mit einer Kompensationsgr¨oße verglichen. Diese Gr¨oße ist physikalisch gleichartig, einstellbar und in ihrem Wert bestimmbar. Sie wird so lange nachgestellt, bis Gleichheit festgestellt wird (Abgleich auf die Differenz null). Der Wert der dabei eingestellten Kompensationsgr¨oße ist der Messwert. In manchen F¨allen ist noch ein Korrekturfaktor einzurechnen. • Beispiel: Balkenwaage mit Anzeige f¨ ur Drehmomenten-Gleichgewicht Bei dieser Methode verwendet man einen Satz von Gewichten oder verschiebbare Gewichte zur Einstellung des Gegen-Drehmomentes. Bei Gleichgewicht der Drehmomente erh¨alt man die Gleichheit der Massen erst nach Korrektur um das Verh¨altnis der Hebelarm-L¨angen.
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• Beispiel: Spannungs-Kompensator mit Anzeige f¨ ur Spannungs-Gleichheit Bei dieser Methode verwendet man eine Pr¨azisions-Spannungsquelle und einen einstellbaren Spannungsteiler zur Einstellung der Kompensationsspannung. Bei elektronisch digital einstellbarer Kompensationsspannung entsteht mit dieser Methode ein Analog-Digital-Umsetzer. Dieser wird im 3. Semester behandelt.[3]
1.2
Messabweichungen
Man sollte bei der Angabe eines Messwertes immer hinterfragen: • Wie weit kann ich mich auf den angezeigten (ermittelten) Wert als korrekte Aussage u ¨ber die zu messende Gr¨oße verlassen? Beispiel: Ein Strom ist exakt 5 A, wird auch exakt 5 A angezeigt? • Wie weit kann ich mich auf den festgestellten Zahlenwert verlassen? Beispiel: Heißt die Angabe 5 : gesch¨atzt zwischen 0 und 10, vielleicht auch 6, oder heißt die Angabe 5 genau bis auf eine durch Sch¨atzunsicherheit m¨ogliche Abweichung +/- 0,1? Im zweiten Falle w¨are dann 5,0 zu schreiben. Das ist zwar mathematisch dasselbe, aber in der Messtechnik von anderer Qualit¨at. Beispiel: Welchen Sinn hat die Angabe “4,837” bei einer durch Fehlergrenzen m¨oglichen Abweichung +/- 0,1? Die Angabe gaukelt eine nicht vorhandene Qualit¨at vor und ist durch 4,8 zu ersetzen. Ohne Angabe u ¨ber die Zuverl¨assigkeit einer Messaussage ist die Aussage von zweifelhaftem Wert.
1 2 0.png Es ist grunds¨atzlich nicht m¨oglich, exakt richtig zu messen. Durch eine Vielzahl von Ursachen wird die zu messende Gr¨oße nicht korrekt erfasst. Die Abweichung eines aus Messungen gewonnenen Wertes vom wahren Wert der Messgr¨oße wird Messabweichung (nach DIN 13191:1995) oder Messfehler (alte Bezeichnung) genannt. Wahrer Wert und richtiger Wert In der f¨ ur die Messtechnik grundlegenden DIN 1319 wird zwischen diesen beiden Werten unterschieden:
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• xw = wahrer Wert der Messgr¨oße als Ziel der Auswertungen von Messungen der Messgr¨oße; das ist ein ideeller Wert, der in aller Regel nicht genau bekannt ist. • xr = richtiger Wert der Messgr¨oße als bekannter Wert f¨ ur Vergleichszwecke, dessen Abweichung vom wahren Wert f¨ ur den Vergleichszweck als vernachl¨assigbar betrachtet wird. Zusammen mit • xa = angezeigter (ausgegebener) Wert liefert der Vergleich von xa mit xr die absolute und die relative Abweichung eines Messwertes.[3]
1.2.1
Systematische Messabweichungen
Alle Abweichungen, die einseitig gerichtet sind und sich, wenn auch schwierig, ermitteln ließen, sind systematische Abweichungen: • Systematische Messabweichungen haben Betrag und Vorzeichen. • Bekannte systematische Abweichungen sind durch Berichtigung auszuschließen. • Unbekannte systematische Messabweichungen k¨onnen allenfalls anhand ausreichender Erfahrung in einer Komponente us der Messunsicherheit zusammengefasst werden.
1 2 1.png Korrektion 11
K = −esys >> xkorr = x + K Beispiel: Man will die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung berechnen und dazu den Strom durch den Verbraucher messen. Dazu schaltet man einen Strommesser in die Leitung. An dem Messger¨at f¨allt aber eine Spannung ab; dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung; dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher der Strom auch kleiner; man misst etwas zu wenig (negativer Schaltungseinfluss-Fehler, der sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messger¨ate-Innenwiderstand ausrechnen l¨asst). Die aus Speisespannung und gemessenem Strom berechnete Leistung wird damit auch zu niedrig angegeben.
1.2.2
Fortpflanzung systematischer Messabweichungen
• Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgr¨oße x auf das Ergebnis y kann mittels der Taylorreihe abgesch¨atzt werden: y = y(x) → y(x + ∆x) = y(x) +
1 dy(x) 1! dx
· ∆x +
1 d2 y(x) 2! dx2
· (∆x)2 + · · · .
• Bei gen¨ ugend kleinem ∆x kann man die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abbrechen, und man erh¨alt dann die N¨aherungsl¨osung: y(x + ∆x) − y(x) = ∆y =
dy dx
· ∆x
• Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung, wenn man die ∆-Werte als absolute Fehler ansieht. • Anwendung bei Proportionalit¨ at y =c·x
→
∆y = c · ∆x ;
∆y y
=
∆x x
• F¨ ur die Ausgangsgr¨oße y enth¨alt deren absoluter Fehler ∆y die spezielle Proportionalit¨atskonstante c. Besser rechnet man mit dem relativen Fehler ∆y/y, der unabh¨angig von c ist und stets genauso groß wie der relative Fehler ∆x/x der Eingangsgr¨oße x . • Anwendung bei umgekehrter Proportionalit¨ at (Kehrwertbildung) y=
c x
→
∆y y
=−
∆x x
• Die Ausgangsgr¨oße hat denselben Betrag des relativen Fehlers wie die Eingangsgr¨oße, aber entgegengesetztes Vorzeichen. • Mehrere fehlerbehaftete Gr¨ oßen Bei mehreren voneinander unabh¨angigen Eingangsgr¨oßen verwendet man die entsprechende Reihenentwicklung bis zum linearen Glied als N¨aherungsl¨osung f¨ ur kleine |∆xi | :
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y = y(x1 , x2 , . . . )
⇒
∆y =
∂y ∂x1
· ∆x1 +
∂y ∂x2
· ∆x2 + · · ·
∆y :GesamtfehlerFy des Ergebnisses y ∆xi :Fehler Fi der Eingangsgr¨oße xi ∆xi : relativer Fehlerfi der Eingangsgr¨oße xi xi ∆y : relativer Fehler fy des Ergebnisses y y Die allgemeine L¨osung vereinfacht sich f¨ ur die vier Grundrechenarten: • Bei Addition y = x1 + x2
Fy = F1 + F2
ey = ex1 + ex2
• Bei Subtraktion y = x1 − x2
Fy = F1 − F2
• Bei Multiplikation y = x1 · x2
fy = f1 + f2
• Bei Division y =
x1 X2
fy = f1 − f2
ey =
ey = ex1 − ex2 ey = x2 ∆ex1 + x1 ∆ex2
1 e x2 x1
−
x1 e x22 x2
erely = erel1 − erel2
Die Formeln gelten nur, wenn die tats¨achlichen Werte der Fehler mit Vorzeichen bekannt sind. Bei Fehlerfortpflanzung k¨onnen sich die Fehler erg¨anzen oder mehr oder weniger aufheben. Beispiel: Wenn x1 um 2 % zu groß und x2 um 3 % zu groß sind: Dann wird bei der Multiplikation y um 5 % zu groß. bzw. wird bei der Division y um 1 % zu klein. Zur Verdeutlichung eine Primitiv-Anwendung: Wer 1,00 ausrechnen will, aber im Z¨ahler ei1,00 1,02 ne um 2 % zu große Zahl einsetzt und im Nenner eine um 3 % zu große Zahl, berechnet 1,03 und erh¨alt 0,99. Dieses Ergebnis weicht vom richtigen Wert 1,00 um –1 % ab. Diese Feststellung zum Fehler kann man mit der Formel fy = f1 − f2 = 2% − 3% einfacher bekommen. Und das Minuszeichen vor f2 ist offensichtlich richtig! Fehlergrenzen Kennt man nicht die Fehler selber, sondern nur ihre Grenzen, so l¨asst sich derselbe mathematische Ansatz verwenden, wenn man die ∆-Werte als Fehlergrenzen ansieht. Diese sind vorzeichenlos bzw. als Betrag definiert. F¨ ur das Ergebnis l¨asst sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen; dazu muss man mit der ung¨ unstigsten Vorzeichenkombination rechnen und Betr¨age addieren. ∂y ∂y ∆y = ∂x1 · ∆x1 + ∂x · ∆x2 + · · · 2 ∆y : Gesamtfehlergrenze Gy des Ergebnisses y ∆xi : Fehlergrenze Gi der Eingangsgr¨oße xi ∆xi : relative Fehlergrenze gi der Eingangsgr¨oße xi |xi | ∆y : relative Fehlergrenze gy des Ergebnisses y |y| Die allgemeine L¨osung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten: * Bei Addition und Subtraktion Gy = G1 + G2 * Bei Multiplikation und Division gy = g1 + g2 Beispiel: Wenn x1 um bis 2 % zu groß oder zu klein und x2 um bis 3 % zu groß oder zu klein sein k¨onnen: Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division y um bis 5 % zu groß oder zu klein sein.
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1.2.3
Zuf¨ allige Messabweichungen
Nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Abweichungen sind zuf¨allige Abweichungen. • entstehen durch nicht beherrschbare, nicht determinierte Einfl¨ usse (z. B.: Rauschen) • sind nicht vorausbestimmbar • f¨ uhren bei Wiederholung, selbst unter genau gleichen Bedingungen, zu einer Streuung oder zu einem sogenannten unsicheren Messergebnis • schwanken nach Betrag und Vorzeichen • lassen sich sehr schwer oder gar nicht von unbekannten systematischen Messabweichungen trennen • werden mit Werkzeugen der Statistik behandelt (Zufallsgr¨oßen). Anhand einer Fehlerrechnung kann aus der Gesamtheit der Werte ein Mittelwert M und eine Komponente uz der Messunsicherheit berechnet werden. Der wahre Wert liegt (bei Abwesenheit systematischer Abweichungen) mit einer gewissen statistischen Sicherheit in einem Bereich M − uz ...M + uz . 1.2.4
Vollst¨ andiges Messergebnis
Die gesamte Messunsicherheit ergibt sich zu u = us + uz
1 2 4.png 14
1.3 1.3.1
Messung elektrischer Gr¨ oßen Spannungsmessung
Ein Spannungsmessger¨at wird immer parallel zum Verbraucher, Bauelement oder zur Spannungsquelle angeschlossen. Bei der Messung an der Spannungsquelle wird der momentane Spannungswert gemessen. Am Verbraucher wird der Spannungsabfall an diesem einen Bauelement gemessen. Das ist die Teilspannung von der Gesamtspannung der Spannungsquelle. Um die zu messende Schaltung nicht zu beeinflussen, sollte der Innenwiderstand des Spannungsmessger¨ats m¨oglichst hochohmig sein. Ideal w¨are ein unendlich hoher Innenwiderstand.
1 3 1.jpg Beim Messen mit dem Spannungsmessger¨at sind die folgenden Hinweise zu beachten: • Die richtige Spannungsart muss ausgew¨ahlt werden (AC/DC). • Bei Gleichspannung (DC) muss die Polarit¨at beachtet werden. • Der richtige Messbereich muss eingestellt werden. • Bei einem unbekannten Messwert muss der gr¨oßte Messbereich eingestellt und langsam in die niedrigeren Messbereich geschaltet werden. • Der Messbereich muss m¨oglichst so eingestellt werden, dass der Zeigerausschlag im letzten Drittel abgelesen werden kann. Diese Hinweise gelten in der Regel nur bei analogen Messger¨aten. Digitale Multimeter stellen diese Werte automatisch ein. Sie m¨ ussen nur auf Spannungsmessung eingestellt sein... und Messleitung in die richtige Buchse stecken ! ! !
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1.3.2
Strommessung
1 3 2a.jpg Das Strommessger¨at wird immer in Reihe zum Verbraucher angeschlossen. Dazu muss die Leitung des Stromkreises aufgetrennt werden, um das Messger¨at in den Stromkreis einf¨ ugen zu k¨onnen. W¨ahrend der Messung muss der Strom durch das Messger¨at fließen. Der Innenwiderstand des Messger¨ats sollte m¨oglichst niederohmig sein, um den Stromkreis nicht zu beeinflussen. Ideal w¨are ein Innenwiderstand von 0 Ohm. Beim Messen mit einem Strommessger¨at sind folgende Hinweise zu beachten: Auf die Stromart muss geachtet werden. Also, ob Wechsel- oder Gleichstrom (AC/DC) durch die Schaltung fließt. Bei Gleichstrom ist auf die Polarit¨at zu achten. Der Messbereich sollte anfangs m¨oglichst groß gew¨ahlt werden, um keine Zeigerwickelmaschine zu erzeugen, bzw. kein Sicherungstausch n¨otig wird. Vor der Strommessung sind folgende Hinweise zu beachten: • Die richtige Stromart muss ausgew¨ahlt werden (AC/DC). • Bei Gleichstrom (DC) muss die Polarit¨at beachtet werden. • Der richtige Messbereich muss eingestellt werden. • Bei einem unbekannten Messwert muss der gr¨oßte Messbereich eingestellt und langsam in die niedrigeren Messbereich geschaltet werden. • Der Stromkreis muss aufgetrennt werden. • Der Strommesser muss in Reihe zu den stromf¨ uhrenden Bauteilen geschaltet werden. • Der Messbereich muss m¨oglichst so eingestellt werden, dass der Zeigerausschlag im letzten Drittel abgelesen werden kann. Praxis-Tipp: Indirekte Strommessung Ist der Stromkreis nur schwer zug¨anglich oder darf nicht aufgetrennt werden, so ist die Spannung an einem bekannten Widerstand im Stromkreis zu messen. Danach kann mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes der Strom berechnet werden. Beispiel: Strommessung mit dem Oszilloskop Das Oszilloskop ist ein Spannungsmessger¨at, das in der Lage ist, Spannungen u ¨ber ihren zeitlichen Verlauf darzustellen. Der elektrische Strom kann daher nur indirekt als Spannungsabfall an einem Messwiderstand gemessen werden. Messschaltung (Spannungsfehlerschaltung)
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1 3 2b.jpg In dieser Messschaltung soll die Spannung und der Strom u ¨ber ihren zeitlichen Verlauf gemessen werden. Die elektrischen Werte der Lampe: • Spannung U: 12 V (Effektivwert) • Strom I: 150 mA • Widerstand R: 80 Ohm Berechnung des Messwiderstandes RM Der Wert des Messwiderstandes RM richtet sich nach dem Strom und nach der kleinstm¨oglichen Messbaren Spannung Umin . Umin = kleinster Ablenkfaktor * Maximale Bildschirmh¨ohe Umin = 5mV /cm ∗ 8cm = 40mV 40mV min (Oszi) RM = IUmax = 150mA = 0, 267Ohm (Lampe) Weil es den berechneten Messwiderstand nicht gibt, w¨ahlt man den n¨achstgr¨oßeren dekadischen Wert. In diesem Fall w¨are das 1 Ohm. Weitere dekadische Werte w¨aren 10 Ohm und 100 Ohm. Um eine Messung durchf¨ uhren zu k¨onnen, muss der Messwiderstand RM wesentlich kleiner sein als der Lastwiderstand (Spannungsfehlerschaltung).[4]
Beispiel einer Stromfehlerschaltung
1 3 2c.jpg 17
In dieser Messschaltung wird der Stromverlauf der Diode in Abh¨angigkeit der Spannung auf dem Oszilloskop-Bildschirm dargestellt. In dieser Schaltung gibt es ein paar Besonderheiten, die beachtet werden sollten: • Der Vorwiderstand RV dient der Strombegrenzung. • Der Generator muss erdfrei sein. Wenn nicht, muss er u ¨ber einen Trenntransformator betrieben werden. • Der Generator darf mit seiner Erde nicht an das Oszilloskop oder in der Schaltung angeschlossen sein, da sonst der Messwiderstand RM kurzgeschlossen wird. • Der Kanal 1 (YI ) muss invertiert betrieben werden, damit das Signal das richtige Vorzeichen und die Schwingung die richtige Lage bekommen. Die elektrischen Werte der Diode: • Typ: 1N4448 • Spannung Umax: 50 V • Strom Imax.: 50 mA • Generatorspannung: 10 V Berechnung des Vorwiderstandes RV UGspitzespitze = UG ∗ 1, 414 = 10V ∗ 1, 414 = 14, 14V URV = UGS − UF (Diode) − URM = 14, 14V − 0, 7V RV (berechnet) =
URV Imax (Diode)
=
13,44V 50mA
= 268, 8Ohm
RV (bestimmt) = 220Ohm + 47Ohm = 267 Ohm Berechnung des Messwiderstandes RM Umin = kleinster Ablenkfaktor ∗ maximale Bilschirmh¨ohe RM =
Umin (Oszi) Imax (Diode)
=
40mV 50mA
= 0, 8 Ohm
RM (bestimmt) = 1 Ohm
1.3.3
Widerstandsmessung
Es gibt mehrere Methoden, um einen Widerstandswert zu ermitteln. Man unterscheidet zwischen der indirekten und direkten Widerstandsmessung. Die indirekte Widerstandsmessung ist eine Messung mit anschließender Berechnung. Die direkte Widerstandsmessung ist die u ¨bliche Messmethode in einem Messger¨at, bei der der Widerstandswert abgelesen werden kann oder angezeigt wird.
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1 3 3a.jpg Der Wert des Ohmschen Widerstandes wird am besten mit einem digitalen Vielfachmessger¨at (Multimeter) ermittelt, um Ablesefehler und Ungenauigkeiten zu vermeiden.
Indirekte Widerstandsmessung
Bei der indirekten Widerstandsmessung muss die am Widerstand anliegende Spannung U und den durch den Widerstand fließenden I Strom gleichzeitig gemessen werden. U R= I Aus beiden Messergebnissen kann mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes der Widerstandswert berechnet werden.
1 3 3b.jpg
Direkte Widerstandsmessung
Bei der direkten Widerstandsmessung wird nicht der Widerstand, sondern der Strom durch eine Reihenschaltung aus dem unbekannten WiderstandRX und einem bekannten Widerstand RV gemessen. Damit ein Strom fließt muss eine Spannungsquelle an der Reihenschaltung aus Strommesser, bekanntem und unbekanntem Widerstand anliegen. Die direkte Widerstandsmessung wird in Messger¨aten verwendet. Statt Stromwerten, wird auf der Skala (analoges Messger¨at) Widerstandswerte eingetragen. Gelegentlich trifft man auf Messwerke mit einer Skala, bei der der gr¨oßte Widerstandswert (unendlich Ohm) auf der linken Seite und der kleinste Widerstandswert (0 Ohm) abzulesen ist. Also genau anders herum, wie man es bei Strom und Spannung gewohnt ist. Das liegt daran, 19
weil eigentlich ein Strom gemessen wird und beim kleinsten Widerstand der gr¨oßte Strom und beim gr¨oßten Widerstand der kleinste Strom fließt.
1 3 3c.jpg ¨ Ublicherweise sorgt die innere Beschaltung des Messbereichsschalters analoger Messger¨ate daf¨ ur, dass die Polarit¨at der Messeing¨ange verdreht werden und so die Skala f¨ ur Widerstandswerte in gewohnter Weise von links nach rechts vom kleinsten zum gr¨oßten Wert beschriftet ist. Vor der Widerstandsmessung sind folgende Hinweise zu beachten: In einer eingeschalteten Baugruppe kann man Spannungen, vielleicht auch Str¨ome, aber niemals Widerst¨ande messen. Geschweige denn andere Bauteile oder Leiterbahnen pr¨ ufen. Bauteile m¨ ussen immer ausgel¨otet werden. Bei Leiterbahnen muss zumindest die Stromzufuhr unterbrochen werden. Bei Widerstandsmessungen legt das Messger¨at eine kleine Spannung an den Widerstand an. Sind andere Bauteile in Reihe oder parallel geschaltet, dann wird das Messergebnis verf¨alscht, weil der Strom verschiedene Wege fließt. Außerdem kann die zus¨atzliche Spannungsquelle zerst¨ort werden. • Das zu messende Bauteil darf w¨ahrend der Messung nicht an eine Spannungsquelle angeschlossen sein, weil das Messger¨at u ¨ber Spannung oder Strom den Widerstandswert ermittelt. • Das zu messende Bauteil muss mindestens einseitig aus einer Schaltung ausgel¨otet werden. Ansonsten beeinflussen parallel liegende Bauteile das Messergebnis. • Der richtige Messbereich muss eingestellt werden. • Der Messbereich muss dann m¨oglichst so eingestellt werden, dass der Zeigerausschlag im letzten Drittel abgelesen werden kann (bei einem analogen Messger¨at). 1.3.4
Leistungsmessung
Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom. P =U ∗I Das bedeutet, die elektrische Leistung l¨asst sich durch gleichzeitiges Messen von Spannung und Strom, sowie einer anschließenden Berechnung, ermitteln. Dabei wird mit dem Spannungsmesser die an einem Widerstand abfallende Spannung gemessen. Mit einem Strommesser wird der durch den Widerstand fließende Strom gemessen.
20
1 3 4a.jpg Durch die Multiplikation der beiden Werte ergibt sich die im Widerstand umgesetzte Leistung. Man bezeichnet das auch als indirekte Messung. Es gibt aber auch reine Leistungsmessger¨ate, also Leistungsmesser, die u usse ¨ber 4 Anschl¨ verf¨ ugen. Der Leistungsmesser hat ein elektrodynamisches Messwerk. Zur Messung muss der Stromkreis aufgetrennt werden, um den Strommesskreis einzubauen.
1 3 4b.jpg Vorsicht: Spannungs- bzw. Strompfad k¨onnen schon w¨ahrend der Messung u ¨berlastet sein, ohne das der Endausschlag des Messger¨ates erreicht ist. Deshalb muss vor der Leistungsmessung Strom- und Spannung separat gemessen und die Messbereiche vor der Leistungsmessung eingestellt werden.
1.3.5
Arbeitsmessung
Die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Leistung und Zeit. Das bedeutet, die elektrische Leistung l¨asst sich durch gleichzeitiges Messen von Spannung und Strom, sowie einer anschließenden Berechnung, ermitteln. Zus¨atzlich braucht man noch einen Zeitmesser, zum Beispiel eine Uhr, auf der die abgelaufene Zeit abgelesen werden muss. Anschließend wird durch eine Berechnung die elektrische Arbeit ermittelt. W =U ∗I ∗t Durch die Multiplikation von Spannung und Strom (Leistung), sowie der Zeit, ergibt sich die elektrische Arbeit. Man bezeichnet das auch als indirekte Messung.
21
1 3 5.jpg Weil dieses Verfahren umst¨andlich ist, wird mit einem Elektrizit¨atsz¨ahler, der auch Stromz¨ahler genannt wird, gemessen. Der Stromz¨ ahler Als Messger¨at f¨ ur die elektrische Arbeit dient ein Stromz¨ahler, der die Anzahl der Kilowattstunden (kWh), die dem Stromnetz entnommen werden misst und anzeigt. Genauer gesagt zeigt der Stromz¨ahler die von der Wirkleistung (Watt) u ¨ber die Zeit (Stunden) verursachte elektrische Arbeit (Wattstunden). Da sehr schnell mehrere Tausend Wattstunden anfallen, wird die Maßeinheit Kilowattstunden (kWh) verwendet. Hinweis: Die Bezeichnung Stromz¨ahler ist technisch falsch. Tats¨achlich gemessen wird die elektrische Arbeit. Nur im allgemeinen Sprachgebrauch wird der Elektrizit¨atsz¨ahler als Stromz¨ahler bezeichnet.
1.3.6
Kapazit¨ atsmessung
Eine Kapazit¨at besteht aus zwei elektrisch leitenden Materialien (Elektroden), die auf unterschiedlichen Potentialen liegen und durch ein nicht leitendes Material (Isolator) voneinander getrennt sind. Man bezeichnet diese Bauform als Kondensator. Die Kapazit¨at dieses Kondensators entspricht der Energiemenge, die zwischen den Elektroden gespeichert werden kann. Legt man eine Spannung an die Elektroden an, dann hat das einen Stromfluss durch den Kondensator zur Folge. Durch den Potentialunterschied zwischen den Elektroden entsteht ein elektrisches Feld. Methoden um eine Kapazit¨ at zu messen • RC-Zeitkonstante : An ein RC-Glied mit einem festen Widerstand wird ein Rechtecksignal angelegt und dann die Zeit gemessen, die der Ausgang zum Erreichen einer bestimmten Spannung braucht. Das stellt die einfachste und preisg¨ unstigstes L¨osung dar. • Phasenverschiebung : An ein RC-Glied mit einem festen Widerstand wird ein periodisches Rechtecksignal angelegt. Am Ausgang wird die Verz¨ogerung, verursacht von der Kapazit¨at, gemessen. • Frequenzmodulation : Bei der Frequenzmodulation wertet eine frequenzabh¨angige Schaltung das Laden- und Entladen des Kondensators aus. • Amplitudenmodulation : An einem RC-Glied mit einem festen Widerstand ¨andert sich die Amplitude eines Wechselspannungssignals.
22
Einfluss auf die Messung Die Kapazit¨at ¨andert sich mit den Umgebungsbedingungen. Unerw¨ unschte parasit¨are Kapazit¨aten u uhrung ¨ber ein Metallgeh¨ause oder durch die Leitungsf¨ der Elektroden in der N¨ahe zu anderen signalf¨ uhrenden Leitungen. Anwendungen : •Vorhandensein bzw. Menge einer bestimmten Fl¨ ussigkeit •Messung aggressiver und gef¨ahrlicher Fl¨ ussigkeiten •Touchscreen-Steuerung •Eiswarner/Eiserkennung
1.3.7
Wechselspannung / Wechselstrom
Definition:
• Gleichstrom / Gleichspannung : Gleichstrom ist ein Strom der st¨andig mit der gleichen St¨arke in die gleiche Richtung (Polung) fließt. Anwendung in Verst¨arker, Kleinspannungsschaltungen mit Halbleiterbauelementen, Relais und integrierten Schaltkreisen. • Wechselstrom / Wechselspannung : Wechselstrom ist ein Strom, der st¨andig seine Gr¨oße und Richtung a¨ndert. ¨ Anwendung bei Ubertragung von Energie u ¨ber weite Strecken (Hochspannung). • Mischstrom / Mischspannung : Mischstrom ist ein Strom, der einen Gleichstrom- und einen Wechselstromanteil hat. Mischspannungen setzen sich aus einer Gleich- und einer Wechselspannung zusammen. Beide zeichnen sich dadurch aus, dass sie keinen Nulldurchgang haben. Anwendung bei Modulation, Wechselstromverst¨arkung
Sinusformiger Wechselstrom
Tesla ist der Endecker von Wechselstrom und Drehstrom der bald seinen Siegeszug antrat und weltweit Anwendung fand. Ohne diese Entdeckung von Tesla, die es erst m¨oglich machte, elektrischen Strom u ¨ber viele Hunderte von Kilometern zu u ¨bertragen, g¨abe es die heutige Selbstverst¨andlichkeit der Elektrizit¨at mit ihrer enorm vielseitigen Anwendung nicht. Bei Wechselstrom und Wechselspannung spricht man von elektrischen Gr¨oßen, deren Werte sich im Verlauf der Zeit regelm¨aßig wiederholen. Der Wechselstrom ist ein elektrischer Strom, der periodisch seine Polarit¨at (Richtung) und seinen Wert (Stromst¨arke) ¨andert. Das selbe gilt f¨ ur die Wechselspannung. Es gibt verschiedene Arten von Wechselstrom. Reine Wechselgr¨oßen sind die Rechteckspannung, die S¨ agezahnspannung, die Dreieckspannung und die Sinusspannung (Welle) oder eine Mischung aus allen diesen Varianten. In der Elektrotechnik werden haupts¨achlich Wechselspannungen mit sinusf¨ormigem Verlauf verwendet. Beim sinusf¨ormigen Kurvenverlauf treten die geringsten Verluste und Verzerrungen auf. Deshalb werden die folgenden Beschreibungen des Wechselstromes und der Wechselspannung anhand des sinusf¨ormigen Kurvenverlaufs erkl¨art. Wechselspannung wird durch Generatoren in Kraftwerken erzeugt. Dabei dreht sich ein Roter im Generator um 360 Grad. Dadurch entsteht eine Spannung mit wechselnder Polarit¨at, also 23
ein sinusf¨ormiger Verlauf. Die wichtigste Wechselspannung ist unser 230 Volt-Netz. Es hat eine Frequenz von 50 Hz. Das sind 50 Umdrehungen in der Sekunde eines Rotors im Generator.[4]
1 3 7a.jpg Maximal- bzw. Scheitelwerte der Amplitude von sinusf¨ormigen zeitabh¨angigen Wechselgr¨oßen werden durch ein Dach u ˆ (sprich: u-Dach) f¨ ur Span¨ber dem Formelzeichen gekennzeichnet u nung und ˆı (sprich: i-Dach) f¨ ur Strom. Bei bekanntem Scheitelwert l¨asst sich bei jedem beliebigen Drehwinkel ( = 0 bis 360 Grad) der Augenblickswert berechnen. Der Scheitelfaktor (engl. crest factor, daher im deutschen Sprachgebrauch auch Crest-Faktor) beschreibt das Verh¨altnis von Scheitelwert zu Effektivwert einer Wechselgr¨oße ks =
Xmax Xeff
Kennwerte einer Sinuskurve
1 3 7b.jpg
24
1.3.8
Mittelwert Effektivwert
Bei Wechselstrom und Wechselspannung spricht man von elektrischen Gr¨oßen, deren Werte sich im Verlauf der Zeit regelm¨aßig wiederholen. Analoge Messinstrumente sind nur bedingt in der Lage den Wert des realen Signalverlaufs zu messen. Stattdessen wird ein mathematischer Wert angezeigt. Die sogenannten Mittelwerte: •Arithmetischer Mittelwert •Quadratischer Mittelwert (Effektivwert der Wechselspannung)
Arithmetischer Mittelwert
Ein Drehspulinstrument summiert im DC-Bereich u ¨ber jeden angelegten Impuls den arithmetischen Mittelwert. Drehspulinstrumente zeigen deshalb bei Mischspannungen den Gleichstromanteil an! Der Arithmetische Mittelwert ergibt sich aus der Spannung u ˆ , der Impulsdauer ti und der Periodendauer T.
1 3 8a.jpg
UDC = 0V
1 3 8b.jpg
UDC = 2V =
U 2
UArith =ˆ u∗ tTi
1 3 8c.jpg
25
Quadratischer Mittelwert
Der Effektivwert ist ein quadratischer Mittelwert! Drehspulinstrumente ermitteln im AC-Bereich auch nur arithmetische Mittelwerte. Die Skala wird aber mit den Zahlen des quadratischen Mittelwertes versehen. q Uef f = u ˆ * tTi
1.3.9
Gleichrichtwert
Wechselstrom hat den Nachteil, dass die positive und negative Ladungsmenge (+Q / -Q) sich bei elektrolytischen Vorg¨angen und Drehspulmesswerken aufhebt. Die Ladungsmengen wirken gegeneinander und ergeben Null.
1 3 9a.jpg
(+Q) + (−Q) = 0
Aus diesem Grund wird die negative Ladungsmenge mit einem Gleichrichter oder einer Gleichrichterschaltung umgeklappt. Da es sich dabei um einen pulsierenden Strom handelt, ist der Stromwert nicht immer gleich. Stattdessen wird mit dem Gleichrichtwert gerechnet. Es handelt sich dabei um den Strom oder die Spannung, die wirksam ist. Die Fl¨ache der Ladungsmengen entspricht dann der Rechteckfl¨ache. Es handelt sich um den arithmetischen Mittelwert des gleichgerichteten Wechselstroms u ¨ber die Periode T.[4]
1 3 9b.jpg
1 3 9c.jpg
26
1.4
Grundlagen der Stochastik
Die Stochastik (von altgriechisch stochastike techne, lateinisch ars conjectandi, also Kunst des ” Vermutens “, Ratekunst “) ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die ” Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.
1.4.1
Kombinatorik
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen l¨auft auf die Berechnung der M¨achtigkeit von Mengen hinaus. Oft handelt es sich bei diesen Mengen dabei um Mengen, welche in der Kombinatorik bereits bekannt sind. Im folgenden Abschnitt werden daher einige Grundmengen der Kombinatorik dargestellt, genau definiert und aufgezeigt, in welchem Zusammenhang sie auftreten.
Permutationen ohne Wiederholung
Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1, 2, ...., n nummeriert sind.
1 4 1a.png Beispielsweise lassen sich 50 B¨ ucher, wegen 50!, auf etwa 3.04141 x 1064 verschiedene Arten anordnen.
Permutationen mit Wiederholung
Bei Permutationen mit Wiederholung geht es um das Anordnen von n = n1 + n2 + ... + nk Dingen, welche mit den Zahlen 1,1,...,1 2,2,...,2 , , ..., k,k,...,k n1mal n2 mal nk mal
nummeriert sind. Dinge, welche die gleiche Nummer zugewiesen bekommen, sind dabei als identisch anzusehen.
27
1 4 1b.png Die Buchstaben des Wortes SEEREISE lassen sich wegen 8!/(4!2!1!1!) auf 840 verschiedene Arten anordnen.
Kombinationen ohne Wiederholung
Bei Kombinationen ohne Wiederholung geht es um das Ausw¨ahlen von k kleiner gleich n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1, 2, ..., n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding h¨ochstens einmal ausgew¨ahlt werden darf (Ziehen ohne Zur¨ ucklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, keine Bedeutung hat.
1 4 1c.png Beim Lotto 6 aus 45 gibt es wegen 45!/(39!6!) genau 8145060 verschiedene M¨oglichkeiten f¨ ur einen Sechser.
Kombinationen mit Wiederholung
Bei Kombinationen mit Wiederholung geht es um das Ausw¨ahlen von k kleiner gleich n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1, 2, ..., n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgew¨ahlt werden darf (Ziehen mit Zur¨ ucklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, keine Bedeutung hat. 28
1 4 1d.png
Variationen ohne Wiederholung
Bei Variationen ohne Wiederholung geht es um das Ausw¨ahlen von k kleiner gleich n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1, 2 ...., n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding h¨ochstens einmal ausgew¨ahlt werden darf (Ziehen ohne Zur¨ ucklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist.
1 4 1e.png
Variationen mit Wiederholung
Bei Variationen mit Wiederholung geht es um das Ausw¨ahlen von k kleiner gleich n Dingen aus n Dingen, welche mit den Zahlen 1, 2 ...., n nummeriert sind, wobei jedes einzelne Ding auch mehrmals ausgew¨ahlt werden darf (Ziehen mit Zur¨ ucklegen) und wobei die Reihenfolge, in der diese Auswahl erfolgt, wesentlich ist.
29
1 4 1f.png
1.4.2
Zufallsexperimente
Der Begriff Zufallsexperiment Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen in der realen Welt ablaufenden Vorgang, bei dem ein nicht vollst¨andig vorhersehbarer Ausgang (Realisierung) aus einer Menge von m¨oglichen Ausg¨angen realisiert wird. Einfache Beispiele f¨ ur diesen zentralen Begriff, sind • das n-malige W¨ urfeln mit k W¨ urfel; • das n-malige Werfen von k M¨ unzen; • das Ziehen mit Zur¨ ucklegen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln; • die Ziehen ohne Zur¨ ucklegen von k Kugeln aus einer Urne mit n kleiner gleich k Kugeln. Soll ein Zufallsexperiment n¨aher untersucht werden, so muss zuerst gekl¨art werden, was man als dessen m¨ogliche Ausg¨ange ansieht. Beim einmaligen Werfen einer M¨ unze werden dies offenbar die beiden Ausg¨ange Zahl und Adler sein. Besteht das Zufallsexperiment jedoch im Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit f¨ unf roten und drei schwarzen Kugeln, so ist schon nicht mehr so offensichtlich, was man unter einem m¨oglichen Ausgang versteht. Es ist zwar naheliegend, die beiden Realisierungen eine rote Kugel wurde gezogen und eine schwarze Kugel wurde gezogen als die beiden m¨oglichen Ausg¨ange anzusehen. Es w¨are aber auch denkbar, die acht Kugeln vor der Ziehung zu nummerieren (etwa die roten Kugeln mit den Nummern 1,2,3,4,5 und die schwarzen Kugeln mit den Nummern 6,7,8) und dann von den acht m¨oglichen Ausg¨angen: die Kugel mit der Nummer 1 wurde gezogen, . . . , die Kugel mit der Nummer 8 wurde gezogen, zu reden. Sobald gekl¨art ist, was man als die m¨oglichen Ausg¨ange eines Zufallsexperiments ansieht, ordnet man jedem dieser Ausg¨ange in bijektiver Weise ein Element w einer Menge Omega mit einer leicht zu u ¨berschauenden mathematischen Struktur zu und unterscheidet in Zukunft nicht mehr 30
zwischen dem Ausgang und dem diesem Ausgang zugeordneten Element..[1]
1 4 2a.png Das Auffinden eines geeigneten Ereignisraums stellt einen (wichtigen und keineswegs trivialen) ersten Schritt bei der Erstellung des mathematischen Modells eines Zufallsexperiments dar.
1 4 2b.png Die Summe der Elementarereignisse stellt den Ereignisraum bereits vollst¨andig dar. Es lassen sich nun als Ausgang dieses Zufallsexperimentes beliebige Ereignisse definieren, wie zum Beispiel: • Das Ereignis tritt ein, wenn die Zahl 5 gew¨ urfelt wird. Dieses ist dann ein Elementarereignis, da die Ereignismenge nur aus dem Element 5 besteht. • Das Ereignis tritt ein, wenn eine ungerade Zahl gew¨ urfelt wird. Dieses entspricht der Menge A. • Das Ereignis tritt ein, wenn eine gerade Zahl gew¨ urfelt wird. Dieses entspricht der Menge B. Der Begriff Wahrscheinlichkeit (nach N. Kolmogorov) Nachdem gekl¨art ist, mit welchem Ereignisraum Omega das gegebene Zufallsexperiment beschrieben wird, wollen wir nun den Ereignissen A (A sei eine Teilmenge von Omega) in geeigneter Weise eine Wahrscheinlichkeit P[A] zuordnen. Die Wahrscheinlichkeit P[A] eines Ereignisses A ist dabei ein Maß f¨ ur die Tendenz, mit der dieses Ereignis A eintritt.
31
1 4 2c.png Es l¨asst sich leicht zeigen, dass W-Maße die folgenden elementaren Eigenschaften besitzen:
1 4 2d.png Vom Gesichtspunkt der Mathematik aus l¨asst sich ein Zufallsexperiment vollst¨andig durch • einen die m¨oglichen Realisierungen charakterisierenden Ereignisraum Omega und • ein W-Maß P auf Omega, mit dem der dieses Zufallsexperiment steuernde Zufall modelliert wird beschreiben. Man nennt das Paar (Omega , P) deshalb ein mathematisches Modell dieses Zufallsexperiments. 1.4.3
Relative H¨ aufigkeit
Wird ein Zufallsexperiment oft wiederholt, so ist das dabei erzeugte Datenmaterial nicht mehr u ¨berschaubar. Meistens ist man an diesem konkreten Datenmaterial selbst aber gar nicht interessiert. Vielmehr m¨ochte man oft nur wissen, mit welchen relativen H¨aufigkeiten die einzelnen Realisierungen dieses Zufallsexperiments auftreten. Außerdem m¨ochte man diese relativen H¨aufigkeiten sowohl tabellarisch als auch graphisch veranschaulichen.
32
1 4 3a.png N¨aherungsweise Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch dessen relative H¨aufigkeit Die relative H¨aufigkeit eines Ereignisses A wird sich zwar von Versuchsreihe zu Versuchsreihe ¨andert, mit zunehmender Anzahl von Wiederholungen aber einem Wert n¨ahern, den man als die theoretische Wahrscheinlichkeit P[A] dieses Ereignisses interpretieren kann. Wie viele Wiederholungen dabei notwendig sind, damit die (durch Simulation) experimentell bestimmbare relative H¨aufigkeit H[A] von der theoretischen Wahrscheinlichkeit P[A] um weniger als eine vorgegebene Schranke abweicht, wird durch die folgende Faustregel beschrieben:.[1]
1 4 3b.png Das Histogramm Ein Histogramm ist die graphische Darstellung der H¨aufigkeitsverteilung von Messwerten. Man geht dabei von den nach Gr¨oße geordneten Daten aus und teilt den gesamten Bereich der Stichprobe in k Klassen auf. Diese m¨ ussen nicht notwendig gleich breit sein. ¨ Uber jeder Klasse wird ein Rechteck errichtet, dessen Fl¨ache gleich der klassenspezifischen H¨aufigkeit ist. Ist die Fl¨ache des Rechtecks gleich der absoluten H¨aufigkeit, wird das Histogramm absolut genannt, wenn die relativen H¨aufigkeiten verwendet werden, wird es entsprechend als relativ oder normiert bezeichnet. Anwendung finden Histogramme in der beschreibenden Statistik und in der Bildverarbeitung..[1]
1 4 3c.png
33
1.4.4
Das Laplace-Experiment (diskrete Gleichverteilung)
Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, f¨ ur die die folgenden beiden Punkte erf¨ ullt sind: • Es gibt nur endlich viele m¨ogliche Versuchsausg¨ange. • Alle m¨oglichen Ausg¨ange sind gleichwahrscheinlich.
1 4 4a.png Einfache Beispiele f¨ ur Laplace-Experimente sind das W¨ urfeln eines W¨ urfels, das Werfen einer M¨ unze (wenn man davon absieht, dass sie auf dem Rand stehenbleiben kann) und die Lottozahlen. Die Wahrscheinlichkeit P eines Laplace-Experimentes berechnet sich nach: P (E) =
Anzahl der f u ¨r das Ergebnis g¨ unstigen Versuchsausg¨ ange Anzahl der m¨ oglichen Versuchsausg¨ ange
oder 1 4 4b.png
Die diskrete Gleichverteilung ist eine statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung (Gleichverteilung). Eine diskrete Zufallsvariable X mit endlich vielen Auspr¨agungen hat eine diskrete Gleichverteilung, wenn die Wahrscheinlichkeit f¨ ur jede ihrer Auspr¨agungenxi (i = 1, . . . , n) gleich ist.
34
1.4.5
Bedingte Wahrscheinlichkeit
1 4 5a.png Anwendungsgebiete f¨ ur den Satz von Bayes sind: • Medizin: Von einem oder mehreren positiven medizinischen Testergebnissen (Ereignisse, Symptome einer Krankheit) wird auf das Vorhandensein einer Krankheit (Ursache) geschlossen. • Informatik: Bayes-Filter – Von charakteristischen W¨ortern in einer E-Mail (Ereignis) wird auf die Eigenschaft Spam (Ursache) geschlossen. • Qualit¨atsmanagement: Beurteilung der Aussagekraft von Testreihen..[1]
35
1 4 5b.png
1.4.6
Unabh¨ angige Ereignisse
1 4 6.png
1.5
Signalaufbereitung
1.5.1
Kirchhoffsche Regeln
Die Kirchhoffschen Regeln und Formeln werden in der Praxis eher nicht angewendet. Sie ba¨ sieren haupts¨achlich auf theoretischen Uberlegungen. Stattdessen wird zur Berechnung von Str¨omen und Spannungen das Ohmsche Gesetz verwendet.
Erste Kirchhoffsche Regel (Knotenregel)
Bei der Parallelschaltung von Widerst¨anden ergeben sich Verzweigungspunkte, sogenannte Knotenpunkte, des elektrischen Stroms. Betrachtet man die Str¨ome um den Knotenpunkt herum, so stellt man fest, dass die Summe der zufließenden Str¨ome gleich groß ist, wie die Summe der abfließenden Str¨ome. Mit Hilfe der Knotenregel k¨onnen unbekannte Str¨ome in einem Knotenpunkt berechnet werden.
36
1 5 1a.jpg
I1 + I2 = I3 + I4 + I5
1 5 1b.jpg
I = I1 + I2 + I3
Knotenregel: In jedem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Str¨ome gleich der Summe der abfließenden Str¨ome oder die Summe aller Str¨ome ist Null. Zweite Kirchhoffsche Regel (Maschenregel)
In einem geschlossenem Stromkreis (Masche) stellt sich eine bestimmte Spannungsverteilung ein. Die Teilspannungen addieren sich in ihrer Gesamtwirkung. Betrachtet man die Spannungen in der Schaltung, so teilt sich die Summe der Quellenspannungen Uq1 und Uq2 in die Teilspannungen U1 und U2 an den Widerst¨anden R1 und R2 auf. Der Strom I ist f¨ ur die Spannungsabf¨alle an R1 und R2 verantwortlich. Die Maschenregel erm¨oglicht die Berechnung einer unbekannten Quellenspannung.
1 5 1c.jpg Uq1 + Uq2 = U1 + U2 Uq1 + Uq2 = R1 ∗ I1 + R2 ∗ I2 Maschenregel: In jedem geschlossenem Stromkreis ist die Summe der Quellenspannungen gleich der Summe aller Spannungsabf¨alle oder die Summe aller Spannungen ist Null.
37
1.5.2
Stern Dreieck
Die Stern-Dreieck-Transformation oder Dreieck-Stern-Transformation, im englischen als DeltaStar-Transformation und als Kennelly-Theorem nach Arthur Edwin Kennelly bezeichnet, ist in der Elektrotechnik eine schaltungstechnische Umformung von jeweils drei elektrischen Widerst¨anden die der Schaltungsanalyse von Widerstandsnetzwerken dient.
1 5 2a.png Transformationsregeln
Zur Dreieck-Stern-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderst¨ande folgende Berechnungen notwendig: Ra =
Rac Rab Rac +Rab +Rbc
Rb =
Rab Rbc Rac +Rab +Rbc
Rc =
Rac Rbc Rac +Rab +Rbc
F¨ ur die Stern-Dreieck-Transformation sind zur Bestimmung der Ersatzwiderst¨ande folgende Berechnungen notwendig: Rac =
Ra Rb +Rb Rc +Rc Ra Rb
Rab =
Ra Rb +Rb Rc +Rc Ra Rc
Rbc =
Ra Rb +Rb Rc +Rc Ra Ra
Stern-Dreieck-Schaltung
Eine Stern-Dreieck-Schaltung (kurz YD-Schaltung) dient dazu, gr¨oßere Drehstrommotoren mit Kurzschlussl¨aufer ab einer Leistung von 4 kW ! ? ! anlaufen zu lassen. Dies vermeidet das Ausl¨osen von Sicherungen und eventuelle Spannungseinbr¨ uche aufgrund des sonst hohen Anlaufstroms bei direkter Einschaltung. Die Verteilnetzbetreiber schreiben vor, dieses Anlassverfahren zur Vermeidung großer Blindstr¨ome (induktive Einschaltstr¨ome) bei Motoren mit einer aufgenommenen Leistung (Scheinleistung) ab 5,2 kVA anzuwenden.
38
1 5 2b.png
1 5 2c.png Zur Realisierung der Stern-Dreieck-Schaltung wird ein im Normalbetrieb in Dreieckschaltung (Bild 1 5 3b) arbeitender Motor w¨ahrend des Anlaufs vor¨ ubergehend in Sternschaltung (Bild 1 5 2c) betrieben. Die H¨ohe der Werte der Anzugsleistung und des Anzugsmoments in Sternschaltung betr¨agt nur ein Drittel der Werte, die bei einer direkten Inbetriebnahme in Dreieckschaltung auftreten. Bei einer Sternschaltung wird je ein Strang der drei Wicklungen des Motors an einen Außenleiter des Dreiphasennetzes geschaltet (siehe Bild), die verbleibenden drei Str¨ange werden im Sternpunkt elektrisch leitend miteinander verbunden. Durch den Verkettungsfaktor ergibt sich an jedem Wicklungsstrang die reduzierte (Strang-)Spannung: UStern =
UDreieck √ 3
Nach dem ohmschen Gesetz reduziert sich deshalb der Strom in jedem Wicklungsstrang auf: IStern =
IDreieck √ 3
Die Leistung jedes einzelnen Wicklungsstrangs bei Sternschaltung ist darum: PStern = UStern IStern =
UDreieck IDreieck √ √ 3 3
=
PDreieck 3
Daraus ergibt sich, dass auch die Gesamtleistung des Motors und der Strom in den Außenleitern auf ein Drittel reduziert wird.
39
1 5 2d.png In der Praxis wird die Stern-Dreieck-Schaltung mit einer Sch¨ utzschaltung ausgef¨ uhrt, die das Umschalten der St¨anderwicklung (auch Statorwicklung genannt) zwischen den Außenleitern und dem Sternpunkt erm¨oglicht sowie diese beiden Schaltzust¨ande im Betrieb gegeneinander verriegelt. (Bild 1 5 2d) Mit zus¨atzlichen Steuerrelais ist eine automatische Umschaltung m¨oglich. Anstelle der Sch¨ utzschaltung k¨onnen auch handbet¨atigte spezielle Stern-DreieckSchalter Verwendung finden[3] Stern-Dreieck Schaltungen sind zwischenzeitlich von Softstartern, Sanftanl¨aufern abgel¨ost worden. Vor allem wegen dem erh¨oten Schaltungs und Verkablungsaufwand.
1.5.3
Spannungsteiler
Ein Spannungsteiler besteht im Regelfall aus zwei Widerst¨anden, an denen sich die Gesamtspannung Uges in zwei Teilspannungen aufteilt. Die Grundform ist der unbelastete Spannungsteiler. Spannungsteiler werden verwendet, um Arbeitspunkte (Spannungsverh¨altnisse) an aktiven Bauelemente einzustellen. Zum Beispiel bei einer Transistor-Verst¨arkerschaltung. Dabei wird nur ein kleiner Stromfluss erzeugt. Haupts¨achlich werden mit einem Spannungsteiler Spannungspotentiale erzeugt, die geringer sind als die Gesamtspannung..[4] Unbelasteter Spannungsteiler
40
1 5 3a.jpg
U1 =
Uges ∗R1 R1 +R2
U2 =
Uges ∗R2 R1 +R2
Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerst¨anden R1 undR2 . Die Strom- und Spannungsverteilung in unbelasteten Spannungsteilern ist identisch mit der Reihenschaltung. Hier gelten dieselben Formeln und Regeln. Belasteter Spannungsteiler Ein belasteter Spannungsteiler besteht aus der Reihenschaltung der Widerst¨ande R1 und R2 . Zus¨atzlich wird einer der beiden Widerst¨ande durch einen Verbraucher, in diesem Fall vom Widerstand RL , belastet (Lastwiderstand). Die Schaltung wird von einer Reihenschaltung zu einer gemischten Schaltung aus Parallelschaltung von R2 ||RL und Reihenschaltung R1 + (R2 ||RL ). Wird der Spannungsteiler mit einem Widerstand belastet, so finden in der Schaltung folgende ¨ Anderungen statt: • Der Gesamtwiderstand der Schaltung wird kleiner. • Aufgrund dessen steigt der Gesamtstrom Iges . • Der Spannungsabfall U1 am Widerstand R1 wird gr¨oßer. • Die Teilspannung U2 am Widerstand R2 wird kleiner.
41
1 5 3b.jpg
R2L =
R2 ∗RL R2 +RL
Anwendungen : Ver¨anderliche Verbraucher k¨onnen durch niederohmige Spannungsteiler mit einer einigermaßen stabilen Spannung versorgt werden. Allerdings darf ein Spannungsteiler nicht durch einen sehr kleinen Widerstand belastet werden. Das f¨ uhrt zu Ver¨anderungen in der Strom- und Spannungsverteilung innerhalb der Schaltung. Dadurch wird der Spannungsteiler unbrauchbar. Wie groß mu ande im Spannungsteiler sein? ¨ ssen die Widerst¨ Es ist nicht egal, ob die Widerst¨ande niederohmig oder hochohmig gew¨ahlt werden. Denn einerseits muss man aufpassen, dass die Widerst¨ande nicht zu klein sind. Sonst fließt ein zu großer Strom und es wird zu viel Leistung verbraucht. Andererseits d¨ urfen die Widerst¨ande auch nicht zu groß sein, da sonst die geteilte Spannung zu sehr vom Lastwiderstand abh¨angig ist. Wie groß die Widerst¨ande gew¨ahlt werden m¨ ussen, kommt auf die Anwendung an. Und daf¨ ur gibt es sogar Faustregeln. Eine dieser Faustregel sagt: dass der Strom durch den Spannungsteiler etwa 3 bis 10 mal gr¨ oßer sein muss, wie der Strom, der durch den Lastwiderstand fließt. Dann kann man den Spannungsabfall durch die Belastung des Spannungsteilers vernachl¨assigen. Wenn man mit dem Spannungsteiler einen besonders hochohmigen Eingang ansteuert, und das sollte die Regel sein, dann kann der Spannungsteiler aus Widerst¨anden im kOhm- oder im 100kOhm-Bereich, vielleicht sogar im MOhm-Bereich bestehen. Generell sollte man die Widerst¨ ande ausrechnen und damit experimentieren. Nur so findet man heraus, was optimal ist. Spannungsteiler und Wechselspannungen : In der Regel wird ein Spannungsteiler unter den Bedingungen von Gleichspannung bzw. Gleichstrom betrachtet. Es gibt jedoch Anwendungsf¨alle in denen Wechselspannung bzw. Wechselstrom zum Einsatz kommt. In diesem Fall sollte man ber¨ ucksichtigen, wie ein Spannungsteiler einen Einfluss auf hochfrequente Spannungen hat. Wenn u ¨ber einen sehr hochohmigen Spannungsteiler hochfrequente Spannungen u ¨bertragen 42
werden, dann d¨ampfen parasit¨are Kapazit¨aten diese Spannungen. Diese Kapazit¨aten bilden sich an Leitungen und Leiterbahnen, und zusammen mit dem Parallelwiderstand des Spannungsteilers entsteht ein passiver Tiefpassfilter, der die Frequenzbandbreite begrenzt.
1.5.4
Diode
¨ Die Eigenschaften des pn-Ubergangs werden in Halbleiterdioden genutzt. Halbleiterdioden bestehen aus einer p- und einer n-leitenden Schicht. Die Schichten sind in einem Geh¨ause mit¨ einander verbunden und mit Anschl¨ ussen versehen. Wegen dem pn-Ubergang ist eine Halbleiterdiode gepolt. Sie hat als Haupteigenschaft, den Strom nur in eine Richtung durchzulassen..[4]
1 5 4a.jpg Das Bild zeigt den Prinzip-Aufbau, das Schaltzeichen und das Bauteil (axial) mit Markierungsring (Kathode). Das Dreieck im Schaltzeichen stellt die p-Schicht dar. Der Balken die n-Schicht. Die Dreiecksspitze zeigt die technische Stromrichtung in Durchlassrichtung an. Das Bauteil besitzt eine Ringmarkierung auf der Kathodenseite. Dadurch kann man die Anschl¨ usse voneinander unterscheiden. Die Diode wird mit dem Plus-Pol an der Anode in Durchlassrichtung betrieben. Die Diode wird mit dem Plus-Pol an der Kathode in Sperrrichtung betrieben. Ermittlung einer Diodenkennlinie: Um die Abh¨angigkeit zwischen Strom und Spannung eines elektronischen Bauelements zu ermitteln wird eine Messschaltung zur Aufnahme der Strom- und Spannungswerte aufgebaut. Diese Schaltung kann zum Beispiel auf die Halbleiterdiode angewendet werden. Die Messschaltung besteht aus einer Spannungsquelle, einem Vorwiderstand zur Strombegrenzung, einem Strommessger¨at, einem Spannungsmessger¨at und der Halbleiterdiode. ¨ Ublicherweise macht man sich nicht die M¨ uhe eine Diodenkennlinie zu ermitteln. Stattdessen wirft man einen Blick in das Datenblatt der Diode. Dort sind alle notwendigen Kennlinien verzeichnet, die die Abh¨angigkeit zweier Werte darstellen. Aus jeder dieser Kennlinien ergeben sich ganz bestimmte Eigenschaften. Die folgenden Messschaltungen zeigt die Anordnung der Schaltungsteile und Messger¨ate. Diodenschaltung zur Messung/Aufnahme der Diodenkennlinie im Durchlassbereich:
1 5 4b.jpg
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Uges = Spannung der Spannungsquelle UF = Durchlassspannung IF = Durchlassstrom
1 5 4c.jpg Uges = Spannung der Spannungsquelle UR = Sperrspannung IR = Sperrstrom
1 5 4d.jpg Im Kennlinienfeld sind die Spannungs- und Stromverhaltensweisen einer Germanium- (Ge) und einer Silizium-Diode (Si) dargestellt. Der Durchlassbereich, in dem die Kennlinien der Diode in Durchlassrichtung betrieben wird, liegt rechts oben. Der Sperrbereich, in dem die Kennlinien der Diode in Sperrrichtung betrieben wird, liegt links unten. Die beiden anderen Felder spielen bei der Kennlinienaufnahme keine Rolle. Die Kennlinie ergibt sich z. B. aus der Messung weiter oben. Dazu werden die Messwerte in die richtigen Koordinaten eingesetzt. Die Punkte werden dann miteinander verbunden. Daraus ergibt sich eine grafische Darstellung der Messwerte: die Kennlinie. Alternativ gibt es die M¨oglichkeit die Kennlinie mit Hilfe eines Oszilloskops darzustellen. Die Kennlinie kann z. B. dazu verwendet werden um die Schwellspannung oder den differentiellen Widerstand rF zu bestimmen. Bei einer kleinen Durchlassspannung UF fließt nur ein kleiner Strom IF . Die Sperrschicht durch ¨ die Ladungstr¨agerdiffusion ist noch sehr groß. Die Halbleiterdiode bzw. der pn-Ubergang ist noch sehr hochohmig. Mit steigender Spannung steigt auch der Strom. Aber nur ganz leicht. Ab einer bestimmten Durchlassspannung UF steigt der Durchlassstrom IF stark an. Dieser Spannungswert wird ¨ Schleusenspannung genannt, weil die Sperrschicht abgebaut wird und der pn-Ubergang sich f¨ ur den Stromfluss ¨offnet. Die Schleusenspannung wird auch Schwellspannung genannt. Oberhalb 44
der Schwellspannung bleibt die Haltleiterdiode niederohmig. Schwellspannung / Diffusionsspannung Es spielt keine Rolle, in welchem Spannungsbereich sich eine Diode befindet. Die Anode der Diode muss in Durchlassrichtung nur um die Schwellspannung positiver sein als die Kathode. Die Schwellspannung ist also als Potential zu sehen. Die Schwellspannung ist abh¨angig vom Halbleitermaterial und entspricht nur einem ungef¨ahrer Wert. Ein paar Beispiele h¨aufiger Halbleitermaterialien: • Germanium 0,3V • Silizium 0,7V • Selen 0,6V • Kupferoxydal 0,2V 1.5.5
Begrenzerschaltungen mit Dioden
F¨ ur jede Messeinrichtung sind neben dem Messbereich, der den Minimal- und Maximalwert der Eingangsgr¨oße f¨ ur den spezifizierten Bereich der Messeinrichtung festlegt, auch die Grenzbedingungen festgelegt. Sie geben an, in welchem Bereich die Eingangsgr¨oße liegen kann, ohne dass es zu einer Zerst¨orung bzw. zu nicht reversiblen Ver¨anderungen kommt. Beispielsweise ist f¨ ur direkt wirkende Zeigerinstrumente nach IEC51 [3.7] bei kurzen Stromst¨oßen als Grenzbedingung f¨ ur Betriebsmessinstrumente der zehnfache Skalenendwert vorgeschrieben. Bei anderen Messger¨aten wie zum Beispiel Digitalvoltmeter oder auch Zubeh¨orteilen ist ein Maximalwert der Eingangsgr¨oße vom Hersteller spezifiziert. Demzufolge muss im Messger¨at sichergestellt werden, dass es innerhalb der Maximalgrenzen nicht zu einer Zerst¨orung von Bauteilen kommt. Alternativ k¨onnen durch Begrenzerschaltungen ¨ das Messwerk oder auch andere Schaltungsteile vor einer Uberlastung gesch¨ utzt werden. Die daf¨ ur eingesetzten Begrenzerschaltungen haben demzufolge eine stark nichtlineare Kennlinie. Da bei vielen elektronischen Messsystemen die Eingangsgr¨oße in eine elektrische Spannung umgeformt wird, wird im Folgenden die Spannungsbegrenzung erl¨autert.[1] .
1 5 5a.png Kennlinien realer Begrenzerschaltungen enthalten unter Umst¨anden Nichtlinearit¨aten im nichtbegrenzenden Bereich und ein allm¨ahliches, weicheres Abknicken in den Begrenzungsbereich. 45
Aufgrund ihrer stark nichtlinearen Kennlinie eignen sich Dioden zum Aufbau einfacher Begrenzerschaltungen.
Halbleiterdioden
Halbleiterdioden bestehen aus einem p-Gebiet (Anode) und einem n-Gebiet (Kathode) aus do¨ tiertem Halbleitermaterial, meistens Silizium oder Germanium. Der pn-Ubergang zwischen den Gebieten bestimmt das Verhalten der Dioden. Bei positiver Anoden-Kathoden-Spannung UAK wird die Diode im Durchlaßbereich betrieben, bei negativer Spannung UAK im Sperrbereich. Der Sperrstrom ist im Allgemeinen um Zehnerpotenzen kleiner als der Durchlaßstrom. Der allgemeine Zusammenhang des Stroms durch die Diode IAK und der Spannung UAK ist:
1 5 5b.png
1 5 5c.png
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Zenerdioden
¨ Bei Zenerdioden ist die Durchbruchspannung im Sperrbereich genau spezifiziert. Bei einer Uberschreitung dieser sogenannten Zenerspannung UZ wird die Diode leitend und kann betrieben werden, solange die maximal zul¨assige Leistung bzw. der maximal zul¨assige Strom nicht u ¨berschritten wird. Dadurch erreicht man ein definiertes, stark nichtlineares Verhalten im Sperrbereich, das zur Spannungsbegrenzung oder Spannungsstabilisierung ausgenutzt werden kann. Es gibt verschiedene Typen von Zenerdioden auf Siliziumbasis mit Zenerspannungen zwischen 3V und 200V und unterschiedlicher Leistung. Im Durchlassbereich verhalten sie sich wie Standard-Siliziumdioden.
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Anwendungen zur Messbereichsbegrenzung
Mit Standarddioden in Durchlass- oder Zenerdioden in Sperrrichtung lassen sich einfache Begrenzerschaltungen aufbauen. Die Vorwiderst¨ande in den Schaltungen sind zur Strom- bzw. Leistungsbegrenzung der Dioden erforderlich, da im begrenzenden Betrieb der Diodenstrom sonst unzul¨assig stark ansteigen kann..[1]
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1 5 5e.png
1.5.6
Filter / RC Glied
Unter RC-Gliedern versteht man in der Elektrotechnik Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand (R - engl. resistor) und einem Kondensator (C - engl. capacitor) aufgebaut sind. RC-Glieder sind lineare, zeitinvariante Systeme. Im engeren Sinne sind damit die Filter wie der Hochpass oder Tiefpass gemeint. Zum Potentialausgleich beziehungsweise bei der Funktionserdung finden sich Parallelschaltungen von Kondensator und Widerstand. Zur Begrenzung von elektromagnetischen St¨orungen finden sich Reihenschaltungen von Kondensator und Widerstand. Die hier dargestellten Schaltungen dienen nur der theoretischen Betrachtung. In der Praxis k¨onnen sie nur bedingt eingesetzt werden. Es gelten ¨ahnliche Bedingungen, wie bei einem Spannungsteiler mit Widerst¨anden. In der folgenden Betrachtungsweise ist immer wieder von einem Wechselstromwiderstand die Rede. Das r¨ uhrt daher, weil ein Kondensator oder eine Spule immer auch als Widerstand zu verstehen sind. Allerdings ist der Widerstandswert frequenzabh¨angig und mit einer Kapazit¨at (Kondensator) oder einer Induktivit¨at (Spule) behaftet. In der folgenden Betrachtung kann man die Kapazit¨at des Kondensators bzw. die Induktivit¨at der Spule erst einmal vernachl¨assigt. Interessant ist das Frequenzverhalten von Kondensator und Spule..[4]
48
Hochpass
1 5 6a.png Als Hochpass bezeichnet man Filter, die Frequenzen oberhalb ihrer Grenzfrequenz ann¨ahernd ungeschw¨acht passieren lassen und tiefere Frequenzen d¨ampfen. Hochpass-Filter in der Niederfrequenztechnik werden anwendungsbezogen auch als Tiefensperre, Bassfilter, Low-Cut-Filter, Bass-Cut-Filter, Trittschallfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebr¨auchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solches Filter, zum Beispiel in einem Equalizer die Tiefen des Signals bzw. entsprechende Brummst¨orungen abschw¨acht, die vorwiegend tiefe Frequenzen enthalten. Hochp¨asse werden auch zur Ein- und Auskopplung von Hochfrequenzsignalen, z. B. in Antennenweichen, bei ADSL oder der HF-Signal¨ ubertragung u ¨ber Energieleitungen eingesetzt. Mit Hilfe von Filter-Transformationen kann aus dem Hochpass ein Tiefpass oder auch eine Bandsperre gebildet werden. Hochpass 1-ter Ordung Als Beispiel f¨ ur einen Hochpass ist im Folgenden die Funktion einer elektrischen Filterschaltung gegeben. Das Bild zeigt den grunds¨atzlichen Aufbau aus einem Kondensator C und einem Widerstand R. Bei niedriger Frequenz sperrt der Blindwiderstand XC des Kondensators weitgehend den Strom.
1 5 6b.png Von der Eingangsspannung Ue erscheint am Ausgang gem¨aß der Spannungsteilerformel nur der Anteil Ua : Ua = Ue √
R Xc2 +R2
= Ue √
wCR 1+(wCR)2
1 Phasengang: phi(w) = arctan( wCR ) 1 Die Grenzfrequenz fc (engl.: cutoff frequency) eines solchen Hochpasses ist fc = 2πRC . Un√ ter der Grenzfrequenz versteht man diejenige Frequenz, bei der Ua = Ue / 2 ist, d. h., Ua ist gegen¨ uber Ue um 3 Dezibel abgeschw¨acht.
Hochpass 2-ter Ordung
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1 5 6c.png Einen Hochpass zweiter Ordnung erh¨alt man, indem man R durch eine Induktivit¨at L ersetzt, da diese ihrerseits eine - und zwar zum Kondensator gegenl¨aufige - Frequenzabh¨angigkeit besitzt, und einen Widerstand R in Reihe mit dem Kondensator C schaltet. Dabei wird R so groß gew¨ahlt, dass keine oder nur eine geringe Resonanz¨ uberh¨ohung des Frequenzgangs entsteht. Der Frequenzgang eines solchen Hochpasses ist: H(ω) =
j XL R+j(XL +XC )
mit : XL = ω L,
XC =
−1 ωC
,
ω = 2 π f.
¨ Der Betrag der Ubertragungsfunktion ist: Ua Ue
XL R2 +(XL +XC )2
= |H(ω)| = √
Hochp¨asse zweiter und h¨oherer Ordnung werden heute u ¨blicherweise durch Operationsverst¨arkerSchaltungen realisiert. Ortskurve Frequenzgang Hochpass 1. und 2. Ordnung
1 5 6d.png
Tiefpass
1 5 6e.png ¨ Tiefpassfilter k¨onnen verschiedenartig realisiert werden. Ublich sind im Rahmen der Elektronik 50
die Form von passiver analoger Tiefp¨asse bestehend aus Widerst¨anden, Spulen und Kondensatoren. Durch schaltungstechnische Erweiterungen um aktive Bauelemente wie Operationsverst¨arker oder Transistoren k¨onnen aktive analoge Tiefp¨asse realisiert werden. Als Tiefpass bezeichnet man in der Elektronik solche Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz ann¨ahernd ungeschw¨acht passieren lassen, Anteile mit h¨oheren Frequenzen dagegen abschw¨achen. Entsprechende Filterfunktionen k¨onnen auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik oder Hydraulik vorkommen, sie werden dort meist jedoch nicht so genannt. Auch jede Art von mechanischer Tr¨agheit wirkt sich tiefpass-bildend aus. Mit der Abschw¨achung verbunden ist eine Zeitverz¨ogerung, durch die sich bei sinusf¨ormigem Signalverlauf die Phase verschiebt..[4] Tiefp¨asse f¨ ur hohe Leistungen im Bereich der Hochfrequenztechnik und elektrischen Energietechnik werden in analoger Technik aus Kondensatoren und Spulen aufgebaut. Hauptanwendung ist die Hochfrequenztechnik, man findet sie auch an den Lastausg¨angen von Frequenzumrichtern, Klasse-D-Verst¨arkern, Schaltnetzteilen und in Netzfiltern. Tiefpass-Filter in der Niederfrequenztechnik werden anwendungsbezogen auch als H¨ohensperre, H¨ohenfilter, Treble-Cut-Filter, High-Cut-Filter, oder Rauschfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebr¨auchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solches Filter, zum Beispiel in einem Equalizer, die H¨ohen“ des Signals bzw. das Rauschen abschw¨acht, das vorwiegend ” hohe Frequenzen enth¨alt; siehe auch Entzerrung (Tontechnik). Weiterhin sind Tiefp¨asse den Tieftonlautsprechern (Woofer) in Lautsprecherboxen vorgeschaltet. Tiefpassfunktionen kommen auch in der Mechanik (Schwingungsd¨ampfung), Akustik (die Schallausbreitung tiefer Frequenzen ist verlust¨armer), Optik (Kantenfilter), Hydraulik oder der Lichtausbreitung in der Atmosph¨are vor, werden dort jedoch nicht so genannt. In der Messtechnik wird der Tiefpass auch als arithmetischer Mittelwertbilder bezeichnet und angewendet z. B. im Drehspulmesswerk oder bei der Erzeugung einer variablen Gleichspannung mittels Pulsweitenmodulation..[3] Tiefpass 1-ter Ordnung / R C Glied
1 5 6f.png Ua = Ue Bei einer sinusf¨ormigen Eingangsspannung Ue mit tiefer Frequenz hat der Kondensator C einen großen Wechselstromwiderstand. Dadurch f¨allt an ihm eine gr¨oßere Spannung ab, als am Widerstand R. Der Wechselstromwiderstand des Kondensators ist so groß, dass der Widerstand R fast keine Rolle mehr spielt. Er ist im Verh¨altnis zum Wechselstromwiderstand des Kondensators so klein, dass der Spannungsabfall am Kondensator fast so groß wie die Eingangsspannung Ue ist. Am Ausgang Ua liegt fast die volle Eingangsspannung Ue . Ua = 0 Bei einer sinusf¨ormigen Eingangsspannung Ue mit hoher Frequenz hat der Kondensator C einen sehr kleinen Wechselstromwiderstand. Dadurch f¨allt an ihm eine kleinere Spannung ab, als am Widerstand R. Der Widerstandswert ist im Verh¨altnis zum Wechselstromwiderstand des Kondensators so groß, dass der Spannungsabfall u ¨ber den Kondensator und somit die Ausgangs51
spannung Ua fast 0 V betr¨agt..[4]
1 5 6g.png ¨ Spannung VC an der Kapazit¨at als Funktion der Zeit bei sprunghafter Anderung der Eingangsspannung ¨ Einer sprunghaften Anderung der Eingangsspannung Ue folgt die Ausgangsspannung Ua um dieselbe Sprungh¨ohe, aber verz¨ogert im Verlauf einer Exponentialfunktion mit einer Zeitkonstanten RC. Einer sinusf¨ormigen Eingangsspannung mit der Frequenz f folgt am Ausgang gem¨aß der Spannungsteilerformel wieder eine sinusf¨ormige, aber frequenzabh¨angig abgeschw¨achte Spannung Ua = Ue · √ |X2C |
XC +R2
= Ue · √
1 1+(ωCR)2
wobei Ua und Ue die Betr¨age der Aus- bzw. Eingangsspannung bezeichnen, |XC | = Betrag des Blindwiderstands des Kondensators und ω = 2 π f die Kreisfrequenz.
1 ωC
den
In logarithmischer Darstellung u ¨ber der Frequenz (Bode-Diagramm) hat das Teilungsverh¨altnis zwei Asymptoten. Es geht bei niedrigen Frequenzen gegen 1 und f¨ ur Gleichspannung (Frequenz f = 0) wird Ua = Ue . Zu hohen Frequenzen nimmt es mit 6 dB/Oktave bzw. 20 dB/Dekade ab. Unter der Grenzfrequenz fc (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der sich die Asymptoten schneiden. Hier ist: √ Ua = Ue / 2 ≈ Ue · 0,707 (d. h. Ua ist gegen¨ uber Ue um 3 dB abgeschw¨acht). Die Grenzfrequenz betr¨agt : fc =
1 2 π R·C
Weicht die Frequenz um mehr als eine Zehnerpotenz von der Grenzfrequenz ab (nach oben oder unten), so kann die Kurve mit einer relativen Abweichung von weniger als 0,5 % durch die jeweilige Asymptote ersetzt werden. Mit Operationsverst¨arkern k¨onnen aktive Tiefp¨asse realisiert werden.
52
1 5 6h.png Tiefpass 2-ter Ordnung - L R Glied Einen Tiefpass zweiter Ordnung erh¨alt man, indem man zu R eine Induktivit¨at L in Reihe schaltet, da deren Blindwiderstand XL ebenfalls eine – und zwar zum Kondensator-Blindwiderstand XC gegenl¨aufige – Frequenzabh¨angigkeit besitzt. Dabei wird R so groß gew¨ahlt, dass keine oder nur eine geringe Spannungs¨ uberh¨ohung des Frequenzgangs entsteht.
1 5 6i.png ¨ Die Ubertragungsfunktion eines solchen Tiefpasses ist: H(ω) =
j XC R+j(XL +XC )
mit: XL = ω L,
XC =
−1 ωC
,
ω = 2 π f.
¨ Der Betrag der Ubertragungsfunktion ist: Ua Ue
= H(ω) = √
=
√
|XC |
R2 +(XL +XC )2
1 ω 4 L2 C 2 +ω 2 R2 C 2 −2 ω 2 L C+1
In dieser Variante werden im Niederfrequenzbereich große Induktivit¨aten gebraucht (bis zu mehreren Henry). Diese haben schlechte elektrische Eigenschaften und besitzen recht große geometrische Ausmaße. Heutzutage kommen Tiefp¨asse zweiter und h¨oherer Ordnung nur noch in der Stromrichtertechnik zum Einsatz. In der Nachrichtentechnik hingegen werden Filter 53
mittlerweile durch Operationsverst¨arker-Schaltungen realisiert. Diese Filter werden als aktive Tiefp¨asse (bzw. aktive Filter) bezeichnet und sind nach ihren Erfindern auch als Sallen-KeyFilter bekannt. Im Hochfrequenzbereich, beispielsweise beim Bau von Sendeanlagen ist R immer null, um W¨armeverluste zu vermeiden. Diese Schaltung wird aus zwei Gr¨ unden verwendet: • Sie d¨ampft Oberschwingungen, die durch den C-Betrieb der Elektronenr¨ohren entstehen, auf ein zul¨assiges Maß. • Die Werte der Bauelemente k¨onnen so gew¨ahlt werden, dass die Schaltung als Resonanztransformator wirkt und eine Leistungsanpassung zwischen Sender und Antenne erlaubt..[3] 1.5.7
Operationsverst¨ arker
1 5 7a.png
Schaltsymbol nach DIN40900 T.13(neu)
1 5 7b.png 1 5 7c.png Schaltsymbol nach DIN40900 T.10(alt) Der Operationsverst¨arker ist viel zu komplex, um ihn mit einfachen Worten beschreiben zu k¨onnen. Doch auch mit viel Wort und Bild kann man ihm nicht ganz gerecht werden. Er ist eine der gr¨oßten Erfindung der Elektronik und geht historisch weit in die R¨ohrentechnik zur¨ uck. Der Operationsverst¨arker wird abgek¨ urzt als OP, OV oder OPV. Die Bezeichnung OpAmp ist die Abk¨ urzung f¨ ur die englische Bezeichnung Operational Amplifier. Der Begriff Operationsverst¨arker stammt aus der Zeit, als man mathematische Operationen noch mit Analogtechnik aufbaute. Heute machen das digitale Bausteine, bis hin zum Mikroprozessor, der von Software gesteuert wird. Der Operationsverst¨arker ist ein mehrstufiger, hochverst¨arkender, galvanisch gekoppelter Differenzverst¨arker. Er kann sowohl Gleichspannungen als auch Wechselspannungen verst¨arken. Der innere Aufbau ist so beschaffen, dass seine Wirkungsweise durch die ¨ außere Gegenkopplungsbeschaltung beeinflusst wird. Der OP hat einen invertierenden (Minus-) Eingang und nichtinvertierenden (Plus-) Eingang. Das Plus-Symbol bedeutet, dass der Verst¨arkungsfaktor mit positivem Vorzeichen multipliziert werden muss. Das Minus-Symbol bedeutet, dass der Verst¨arkungsfaktor mit negativem Vorzeichen multipliziert werden muss. Die Differenz der beiden Spannungen wird verst¨arkt auf den Ausgang ausgegeben. 54
¨ Uber eine entsprechende Beschaltung kann man mit OPs neben den Grundschaltungen, wie Addierer, Subtrahierer, Verst¨arker, aktive Abschw¨acher, auch Filterschaltungen oder komplette Reglerschaltungen, wie z. B. ein elektronisch geregeltes Netzteil, realisieren.[4] • Die ersten Differenzverst¨arker wurden um 1930 mit Hilfe von Elektronenr¨ohren aufgebaut. • Seinen englischen Namen Operational Amplifier erhielt er 1947 von John Ragazzini, die deutsche Bezeichnung Operationsverst¨ arker ist davon abgeleitet. • Nach dem Zweiten Weltkrieg wurden fertige Module entwickelt, zun¨achst noch auf R¨ohrenbasis, wie das Philbrick-Modell K2-W, das 1952 entwickelt wurde. Dieses Modul war der erste kommerziell vermarktete Operationsverst¨arker zu einem damaligen Preis von 20 USDollar und bestand aus zwei Elektronenr¨ohren. Diese R¨ohren, duale Trioden, ben¨otigten eine Versorgungsspannung von + / - 300 V bei 4,5 mA und erlaubten eine Aussteuerbarkeit des Ausganges von + / - 50 V. • Ende der 50er Jahre waren geeignete Transistoren verf¨ ugbar, diese Module verwendeten diskrete Germaniumtransistoren, • Anfang der 60er Jahre: Mit der Entwicklung von Silicium als Halbleitermaterial sowie der integrierten Schaltkreise wurde die Fertigung eines kompletten Operationsverst¨arkers m¨oglich. Funktion:
1 5 7d.jpg Bei niedrigen Frequenzen wird bei einem herk¨ommlichen, spannungsgesteuerten Operationsverst¨arker die Differenz der beiden Spannungen U+ und U− an den Eing¨angen mit der so genannten Geradeausverst¨arkung Ggv (auch Leerlaufverst¨arkung) verst¨arkt und am Ausgang ausgegeben. Die folgende Gleichung beschreibt dieses Verhalten: UAusgang = (U+ − U− ) · Ggv Die meist sehr große Geradeausverst¨arkung Ggv , u ¨blich sind Werte von u ¨ber 10 000, bildet die obere Grenze der Verst¨arkung. Sie ist aber starken Exemplarstreuungen unterworfen, h¨angt vom jeweiligen Operationsverst¨arkertyp ab, ist temperaturabh¨angig und verringert sich zu h¨oheren Frequenzen hin. Aufgrund der Schwankungen der Geradeausverst¨arkung wird der Operationsverst¨arker in dieser Betriebsart nur als Komparator zum Vergleichen von Spannungsdifferenzen verwendet: Schon kleine Spannungsdifferenzen am Eingang ergeben je nach Polarit¨at die maximale oder minimale Ausgangsspannung.[3] Idealer Operationsverst¨ arker Der ideale Operationsverst¨arker ist ein stark vereinfachtes Modell, in dem die parasit¨aren Eigenschaften realer Operationsverst¨arker vernachl¨assigt werden. Daher wird er vor allem bei ein¨ fachen Schaltungsberechnungen und Uberschlagsrechnungen verwendet. F¨ ur komplexere Schaltungsberechnungen ist der ideale Operationsverst¨arker allerdings meistens ein zu stark vereinfachtes Modell. F¨ ur ideale spannungsgesteuerte Operationsverst¨arker werden meist folgende Idealisierungen angenommen: 55
• Der Eingangswiderstand (Impedanz) ist unendlich hoch. • Es fließt kein elektrischer Strom an den Eing¨angen hinein oder heraus. • Der Ausgangswiderstand (Impedanz) ist null. Der Ausgang kann beliebige Lasten treiben. • Die Verst¨arkung ohne R¨ uckkopplung ist unabh¨angig von der Frequenz unendlich hoch, d. h. auch Phasengang gleich null. • Alle Offset-Spannungen und Leckstr¨ome sind null. • Der Ausgang zeigt keinerlei Rauschen. • Die maximale Anstiegsrate der Ausgangsspannung ist unendlich groß • Die Signaldurchlaufgeschwindigkeit entspricht der Lichtgeschwindigkeit. • Der maximale Betrag der Ausgangsspannung entspricht der Betriebsspannung. • Die Spannungen an den Eing¨angen und die Betriebsspannung d¨ urfen beliebig groß sein. • Die Eigenbetriebsstromaufnahme des Operationsverst¨arkers ist null. • Der Gleichtaktbereich des Eingangssignals ist unendlich groß oder schließt zumindest den Betriebsspannungsbereich ein. • Die Gleichtaktunterdr¨ uckung ist unendlich groß. • Kein Kennwert h¨angt von der Temperatur oder von der Betriebsspannung ab.[3] Realer Operationsverst¨ arker Technische Daten: Die meisten Angaben sind wegen Fertigungsstreuungen in Min, Max und Typisch (Typical) angegeben. Die typischen Werte beziehen sich auf einen hohen Prozentsatz aller hergestellten Bauteilen. Je nach Hersteller schwankt dieser statistische Wert, als Richtwert kann man jedoch von 90-95 % ausgehen. Der Hersteller garantiert, daß die ausgelieferten Bauteile die im Datenblatt angegebenen minimalen und maximalen Grenzwerte einhalten. Wird die Serie ge¨andert, so erh¨alt das Bauteil einen zus¨atzlichen Buchstaben in seiner Typenbezeichnung und keiner kann meckern. Deshalb Vorsicht bei teuren Bauelementen, deren Typenbezeichnung leicht von Datenblatt abweicht! Absolute Grenzwerte: Die absoluten Grenzwerte sollten auf keinen Fall u ¨berschritten werden, da das Bauteil zerst¨ort beziehungsweise dauerhaft besch¨adigt werden kann, oder nur die im Datenblatt angegebenen Eigenschaften nicht mehr gew¨ahrleistet sind. Es muß auch gar nichts passieren, da Fertigungstoleranzen, sofern nicht ausdr¨ ucklich anders angegeben, eingeplant sind. Wenn es dabei trotzdem, m¨oglicherweise auch sp¨ater im Normalbetrieb knallt, braucht man sich weder zu wundern, noch sein Geld zur¨ uckverlangen. Versorgungsspannung: Als Versorgungsspannung sind maximal + / - 18 V angegeben. Die meisten Schaltungen werden mit + / - 15 V betrieben, also auf der sicheren Seite. Die Versorgungsspannung sollte f¨ ur die meisten Anwendungen symmetrisch sein. Falls negative Ausgangsspannungen erreicht werden m¨ ussen, ist dies auch zwingend erforderlich. Bei einigen seltenen F¨allen, besonders interessant bei Batteriebetrieb, kommt man auch mit einer asymmetrischen Spannungsversorgung aus. F¨ ur die meisten Anwendungen verwendet man am besten die bew¨ahrten Festspannungsregler (LM) 7815/7915. Sie sind stark genug f¨ ur fast alle gr¨oßeren OPV - Anwendungen. 56
Maximale Verlustleistung: Die maximale Verlustleistung (Power Dissipation) ist abh¨angig von der Geh¨auseversion und der maximal zul¨assigen Temperatur. Ein Metallgeh¨ause kann die Verlustw¨arme besser an die Umgebung abgeben als ein einfaches, aber deutlich billigeres Plastikgeh¨ause. Das einfache 8Pin Plastikgeh¨ause verkraftet 310 mW, das 14polige Dual-in-line Geh¨ause vertr¨agt etwa das doppelte. Leider beziehen sich alle Angaben auf max. 70 Grad C Umgebungstemperatur. Theoretisch kann man bei viel niedrigeren Umgebungstemperaturen, vielleicht zus¨atzlich sogar mit K¨ uhlk¨orper h¨ohere Werte verwenden, aber der Hersteller gibt leider keinen Hinweis darauf. Eingangsspannungen und -differenzen: Eingangsspannungen und deren Unterschiede d¨ urfen sich im Bereich -15...+15 V bewegen. Sie d¨ urfen die Versorgungsspannung niemals u ¨berschreiten. Einl¨ oten: Beim Einl¨oten (Soldering) darf man die Anschl¨ usse eine Minute lang auf 300 Grad C erw¨armen. Das h¨ort sich nach mehr an als es ist, also bitte nicht als Einladung zum Grillfest verstehen. L¨otet man die Anschl¨ usse nicht gleichzeitig, sondern nacheinander ein, gilt dieser Wert nur nach vollst¨andigen Abk¨ uhlen des gesamten Bauteils. Ein einmin¨ utiger, pausenloser L¨otvorgang aller Anschl¨ usse kann schon kritisch werden. Hobby- oder Versuchsschaltungen sollten auf jeden Fall mit Fassungen best¨ uckt werden, um einen geschossenen IC schnell und bequem wechseln zu k¨onnen oder gegen einen anderen (st¨arkeren) Typ auszutauschen. Ausgangsseitiger Kurzschluß: Ein Ausgangsseitiger Kurzschluß (Output Short Circuit Duration) darf laut Hersteller unbegrenzt dauern, solange alle Randbedingungen erf¨ ullt bleiben. Ein Kurzschluß darf gegen Masse oder eine der beiden Versorgungsspannungen bestehen. Nat¨ urlich gibt es auch hier eine wesentliche Einschr¨ankung: Die Geh¨ausetemperatur darf 125 Grad C, und deswegen die Umgebungstemperatur 75 Grad C nicht u ¨berschreiten. Da ein Kurzschluß nicht zu den normalen Anwendungsf¨allen geh¨ort, sollte man ihn auf alle F¨alle vermeiden. Eingangswiderstand: Der Eingangswiderstand ist mit 2 M Ohm angegeben. Wenn man Pech hat, erwischt man ein Bauteil mit nur 300 k Ohm. Ein idealer Operationsverst¨arker besitzt bekanntlich einen unendlich hohen Eingangswiderstand. Der Toleranzbereich ist also unvorteilhaft groß. Offset: ¨ Ahnliches gilt f¨ ur den Offset, der im Idealfall Null betragen sollte. Ein typischer realer Wert ist 2.0 mV, darf jedoch auch mal das dreifache betragen. Er beschreibt die Ausgangsspannung, die bei miteinander verbundenen und auf Masse gelegten Eing¨angen entsteht. Dieser Offset macht sich besonders bei geringen Signalen st¨orend bemerkbar, da bei Schaltungen mit hohen Verst¨arkungsfaktoren diese Offsetspannungen sogar bis in den Voltbereich mit verst¨arkt werden. Zum Gl¨ uck kann man die meisten Operationsverst¨arker mit einem Trimmer an den zus¨atzlichen Anschl¨ ussen abgleichen. Bei dem achtpoligen Geh¨ause sind das die Anschl¨ usse 1 und 5, die mit einem 10 kOhm-Trimmer verbunden werden. Eingangs Nullstrom (Input Bias Current): Bei einem in Ruhelage ausgesteuerten Ausgang k¨onnen an den beiden Eing¨angen unterschiedliche Str¨ome fließen. Das bedeutet in der Praxis, daß bei Singalquellen mit hohem Innenwiderstand die Spannung verf¨alscht wird, da die Quellen unterschiedlich stark belastet werden und unterschiedliche Spannungen produzieren.
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Eingangswiderstand (Input Resistance): Das ist der Widerstand, den man gegen¨ uber Masse an den Eing¨angen messen kann, vorausgesetzt, der jeweils andere Eingang liegt auf Masse. Nachteilig fallen hierbei wieder einmal Quellen mit hohem Innenwiderstand auf, die durch den Eingangswiderstand teilweise stark belastet werden. Eingangskapazit¨ at (Input Capacitance): Unter den gleichen Meßbedingungen wie bei den Eingangswiderst¨anden, kann man sie als parallel zu den Eingangswiderst¨anden liegenden Kondensatoren betrachten. St¨orend wirken sie sich besonders bei hohen Frequenzen aus, da sich durch die Kapazit¨aten zus¨atzliche parallele Eingangswiderst¨ande entstehen, die Frequenzabh¨angig sind. Gleichtaktunterdru ¨ ckung: Steuert man beide Eing¨ange mit ein und dem selben Signal an, so w¨ urde sich der Ausgang theoretisch nicht ver¨andern. In der Praxis ¨andert sich die Ausgangsspannung wegen den starken Symmetrieunterschieden durch Fertigungstoleranzen. Die Gleichtaktunterdr¨ uckung ist in dB angegeben und beschreibt das Verh¨altnis zwischen Eingangsspannungs¨anderungen und ¨ der Anderung der Offsetspannung. Die im Datenblatt angegebenen 90dB entsprechen einem Verh¨altnis von 1: 30.000. Dieser Wert wird in der Praxis leider nicht erreicht. Die Gleichtaktunterdr¨ uckung macht sich besonders bei auf beide Eing¨ange gleichzeitig einwirkenden St¨orsignalen bemerkbar, die z.B. bei Br¨ uckenschaltungen, das Ausgangssignal theoretisch nicht beeinflussen k¨onnen, da sie keine Differenz zwischen den Eing¨angen erzeugen. Dadurch ergeben sich manchmal auch ziemlich große Meßfehler. Leerlaufverst¨ arkung (Large Signal Voltage Gain): Sie gibt die Verst¨arkung an, die man ohne R¨ uckkopplung erh¨alt. Sie ist bei einem Lastwiderstand von 2 kOhm und einem Ausgangsspannungshub von + / -10 V definiert. In der Praxis erreicht man den angegebenen Wert von typisch 200.000 nie und liegt meistens um den Faktor 10 darunter. Versorgungsspannungsunterdru ¨ ckung (Supply Voltage Rejection Ratio): ¨ Durch Anderung der Versorgungsspannung ¨andert sich auch die Offsetspannung. Bei einem Volt Versorgungsspannungs¨anderung ¨andert sich der Offset um 0,3 Microvolt. Bei einer 300fachen Verst¨arkung erh¨oht sich der Fehler jedoch schon um 0,1 mV. Ausgangsspannungshub (Output Voltage Swing): Der Operationsverst¨arker kann niemals die volle Eingangsspannung an seinem Ausgang erzeugen. In jedem Fall wird die maximale Ausgangsspannung bei einer Eingangsspannung von + / -15 V deutlich u ¨ber + / - 10 V liegen. Bei normalen Belastungen etwa + / - 13 V und im Idealfall sogar nur 1 V unterhalb der Versorgungsspannung. Ausgangswiderstand (Output Resistance): Dabei handelt es sich um den wirksamen Wechselstrom-Widerstand des Ausganges, gilt nur f¨ ur geringe und offsetfreie Ausgangssignale. F¨ ur die Praxis nur in Grenzf¨allen relevant. Kurzschlußstrom (Output Short Circuit Current): H¨ohe der Stromst¨arke bei einem Kurzschluß. Randbedingungen beachten (ausgangsseitiger Kurzschluß). Versorgungsstrom (Supply Current): Stromaufnahme bei unbelasteten Operationsverst¨arker. Mit Typ. 1,7 mA ist dieser so gering, daß man ihn nur bei Batterieger¨aten zu sp¨ uren bekommt.
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Leistungsaufname (Power Consumption): Diese Verlustleistung, nat¨ urlich am unbelasteten Operationsverst¨arker, entsteht durch den Versorgungsstrom und ist abh¨angig von der Betriebsspannung. Einschwingverhalten (Transient Response): Ein realer Operationsverst¨arker ben¨otigt eine Gewisse Reaktionszeit und verschleift ein sprungf¨ormig angestiegenes Eingangssignal; er gilt f¨ ur eine Last von 2 kOhm / 100 pF und der Verst¨arkung Eins (Unity Gain). Anstiegsgeschwindigkeit (Slew Rate): Ein reales Bauteil weist Kapazit¨aten und ungewollte Widerst¨ande auf. Teilweise sind auch welche absichtlich eingebaut worden, um unkontrolliertes Schwingen zu vermeiden. Dadurch kann der Ausgang nicht beliebig schnell ansteigen. Das liegt daran, daß der Operationsverst¨arker aus mehreren Verst¨arkerstufen aufgebaut ist, die jede f¨ ur sich Verz¨ogerungen und Kapazit¨aten beisteuert. Die Angaben beziehen sich auf einen Lastwiderstand von minimal 2 kOhm. Soll sich die Ausgangsspannung um 10 V a¨ndern, so braucht der Operationsverst¨arker eine Zeit von typischen 5 microsec. Kritisch wird es also bei hohen Frequenzen, da das Ausgangssignal stark ged¨ampft wird.[5]
Gegenkopplung Mitkopplung
Die f¨ ur den Betrieb eines Operationsverst¨arkers wichtige Gegenkopplung (negative R¨ uckkopplung) ist ein Begriff aus dem Bereich der Regelungstechnik und beschreibt einen Regelkreis, der in diesem Fall aus dem Operationsverst¨arker im Vorw¨artszweig und der externen Beschaltung als R¨ uckw¨artszweig besteht. Dieser externe R¨ uckkopplungszweig f¨ uhrt dabei einen Teil der Ausgangsspannung zur¨ uck zu den Eing¨angen. Zur Gegenkopplung erfolgt die R¨ uckleitung an den negativen Eingang des Operationsverst¨arkers. Die Mitkopplung (positive R¨ uckkopplung) spielt in der Schaltungstechnik des Operationsverst¨arkers eine eher untergeordnete Rolle. Dabei wird ein Teil des Ausgangssignals an den positiven Eingang des Bauteils zur¨ uckgef¨ uhrt. Dadurch kommt es zu einer immer weiteren Verst¨arkung. Bei dem stark vereinfachten Modell des idealen Operationsverst¨arkers erreicht dabei die Ausgangsspannung in beliebig kurzer Zeit die Versorgungsspannung. Bei einem realen Operationsverst¨arker bestimmt die maximale Anstiegsrate die Zeit f¨ ur den Anstieg. Außerdem wird die Versorgungsspannung nicht ganz erreicht.[3]
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4 Varianten
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• Herko arker (VV-OP) Beim herk¨ommlichen Operations¨mmlicher Operationsverst¨ verst¨arker oder VV-OP (engl. voltage feedback OpAmp) sind beide Eing¨ange hochohmige Spannungseing¨ange und der Ausgang verh¨alt sich wie eine m¨oglichst niederohmige Spannungsquelle. In der Anfangszeit der Operationsverst¨arker gab es nur diesen Typ und auch heute noch ist diese Klasse die meistverbreitete. Der Vorteil ist seine geringe Offsetspannung und hohe Pr¨azision bei niedrigen Frequenzen. Nachteilig sind die Stabilit¨atsprobleme, vor allem bei kapazitiven Lasten im dynamischen Betrieb.
1 5 7f.png Ein differentieller Eingang, im Schaltbild als gelber Bereich (linker Bereich) dargestellt. Dieser Teil besteht aus einem Differenzverst¨arker mit den beiden Eing¨angen, im oberen Bereich dargestellt, und einer Konstantstromquelle im unteren Bereich. Der Differenzverst¨arker wandelt kleine Spannungsdifferenzen in einen proportionalen Ausgangsstrom um. Bei einem herk¨ommlichen Operationsverst¨arker stellt diese Stufe auch den hohen Eingangswiderstand sicher. Die Eingangstransistoren k¨onnen je nach Technologie Bipolartransistoren, MOSFETs oder JFETs sein. Die unterschiedlichen Transistortypen wirken sich unter anderem auf die Gr¨oße des Rauschens aus. 60
Eine Verst¨ arkerstufe, orange hinterlegt (mittlere Teil), die den kleinen Eingangsstrom von der Eingangsstufe in eine hohe Ausgangsspannung umsetzt. Die hohe Geradeausverst¨arkung des Operationsverst¨arkers resultiert u ¨berwiegend aus dieser Stufe. Der in der Stufe zur internen frequenzabh¨angigen Gegenkopplung eingezeichnete Kondensator sorgt ab einer bestimmten Frequenz f¨ ur einen gleichm¨aßigen Abfall der Geradeausverst¨arkung reziprok zu der Frequenz. Diese interne Gegenkopplung ist notwendig, um die Stabilit¨at des Operationsverst¨arkers mit einer externen Gegenkopplung zu gew¨ahrleisten, wie im Stabilit¨atskriterium von Nyquist gefordert. Eine Ausgangsstufe, blau hinterlegt (rechter Teil). Diese Stufe ist oft als Gegentaktstufe (engl. push-pull) realisiert und hat im Gegensatz zu den beiden vorherigen Stufen keine Spannungsverst¨arkung. Es gibt jedoch auch OPs mit verst¨arkenden Endstufen, die als Open-Kollektor bzw. Open-Drain-Endstufen ausgef¨ uhrt sind und zus¨atzlich einen externen Pull-Up- oder Pull-Down-Widerstand ben¨otigen. Die Endstufe dient gew¨ohnlich als Stromtreiber f¨ ur den Ausgang, besitzt einen kleinen Ausgangswiderstand und erm¨oglicht so einen hohen Ausgangsstrom. • Stromru arker (CV-OP) ¨ ckgekoppelter Operationsverst¨ Bei dem stromr¨ uckgekoppelten Operationsverst¨arker, abgek¨ urzt CV-OP (current/voltageOP) oder CFA (current feedback amplifier) ist der invertierte Eingang ein niederohmiger Stromeingang und der Ausgang eine m¨oglichst niederohmige Spannungsquelle. Ein Vorteil ist seine hohe Bandbreite, die den Einsatz etwa als Videoverst¨arker erlaubt. Ein Nachteil ist eine relativ hohe Offsetspannung. • Transkonduktanz-Operationsverst¨ arker (VC-OP) Bei dem Transkonduktanz-Operationsverst¨arker oder VC-OP (engl. operational transconductance amplifier, abgek. OTA) sind beide Eing¨ange hochohmig und der Ausgang verh¨alt sich wie eine m¨oglichst hochohmige Stromquelle, deren Strom durch die Spannungsdifferenz an den Eing¨angen gesteuert wird. Einer seiner Vorteile ist – neben geringer Offsetspannung – die M¨oglichkeit, kapazitive Lasten dynamisch treiben zu k¨onnen. Der Nachteil besteht darin, dass die Last bei der Schaltungsdimensionierung bekannt sein muss. • Strom-Verst¨ arker (CC-OP) Der Strom-Verst¨arker oder CC-OP (engl. diamond transistor) besitzt einen niederohmigen und invertierten Stromeingang und einen m¨oglichst hochohmigen Stromausgang. Dieser Typ von Operationsverst¨arker verh¨alt sich in N¨aherung fast wie ein idealer Bipolartransistor. Vorteile sind – neben der hohen Bandbreite – die F¨ahigkeit, als Stromtreiber beispielsweise f¨ ur Laserdioden einsetzbar zu sein. Nachteilig ist wie beim VC-OP, dass bei der Dimensionierung der Stromgegenkopplung die Last bekannt sein muss.[3] Grundschaltungen
Impedanzwandler
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Diese Schaltung, auch Spannungsfolger genannt, hat einen Verst¨arkungsfaktor von eins. Sie ist die Grundlage f¨ ur die meisten OP- Schaltungen. Machen wir, um die Funktionsweise zu verdeutlichen, ein Gedankenexperiment ausgehend vom idealen Operationsverst¨arker: Gehen wir davon aus, daß s¨amtliche Spannungen, außer der Versorgungsspannung, auf Massepotential liegen. Am Eingang gibt es keine Differenz und die Schaltung tut u ¨berhaupt nichts. Erh¨ohen wir jetzt die Eingangsspannung, so gibt es eine Differenz zwischen den beiden Eing¨angen. Da der nichtinvertierende Eingang (+) nun positiver “als der invertierende Eingang (-) ist, er” scheint eine positive Spannung am Ausgang. Die Ausgangsspannung ist mit dem invertierenden Eingang verbunden. Ist die Ausgangsspannung zu groß geworden, so ist nun der invertierende Eingang positiver“als der nichtinvertierende. Dadurch wird die Ausgangsspannung negativ ” und der Vorgang beginnt von vorne. Diese Schaltung w¨are nicht zu gebrauchen, da als Ausgangssignal eine rechteckf¨ormige Wechselspannung mit extrem hoher Frequenz entsteht, w¨ urde der Operationsverst¨arker nicht einige unerw¨ unschte Nachteile“haben. Das Ausgangssignal kann sich nicht so schnell a¨ndern wegen ” der Anstiegsgeschwindigkeit und die Schaltung pendelt sich auf einen Mittelwert ein, der (fast) genau der Eingangsspannung entspricht. Alle gebr¨auchlichen Formeln und Modelle gelten nur f¨ ur den eingeschwungenen Zustand. Der Operationsverst¨arker sorgt also daf¨ ur, daß seine Eing¨ange das gleiche Potential haben. Dieses Ph¨anomen nennt man Virtueller Nullpunkt“, da beide Eing¨ange exakt das gleiche Po” tential haben, sofern der OPV nicht u ¨berfordert wird. Der Impedanzwandler kommt zu seinem Namen, da diese Schaltung einen sehr hochohmigen Eingangswiderstand besitzt und einen vernachl¨assigbaren Ausgangswiderstand hat. Dadurch kann man einen niederohmigen Verbraucher an eine hochohmige Signalquelle anschließen, ohne daß die Quelle zusammenbricht “. Aus den Angaben des Datenblatts kann man entnehmen, ” daß diese Schaltung einen Eingangswiderstand von typisch 400 MOhm und einen Ausgangswiderstand von deutlich unter 1 Ohm besitzt.[5] Invertierender Verst¨ arker:
1 5 7h.png Ein Verst¨arker w¨are kein Verst¨arker, wenn er nicht auch verst¨arken k¨onnte. Die Einfachste Variante ist der invertierende Verst¨arker. Er verst¨arkt Spannungen und ¨andert deren Vorzeichen. Wie bei dem Impedanzwandler versucht der OP seine Eing¨ange auf dem gleiche Potential zu halten. Dadurch entsteht wieder der unter Impedanzwandler“angesprochene virtuelle Null” ” punkt“(Udiff=0V). Stellen wir uns also f¨ ur die Berechnung und Dimensionierung der Schaltung die Eing¨ange als miteinander verbunden vor (gestrichelte Linie). R1 h¨angt also zwischen Ue und der virtuellen Masse. Zwangsweise fließt auch ein Strom durch diesen Widerstand: IR1 =
UR1 R1
=
Ue R1
Ein OP hat einen extrem hohen Eingangswiderstand, so daß der Strom, der durch die Eing¨ange fließt vernachl¨assigbar klein ist. Also muß der gesamte Strom durch R2 fließen, damit die Eing¨ange ausgeglichen sind (Kirchhoffsche Regel). Die Ausgangsspannung des Verst¨arkers kann man jetzt einfach berechnen, da R2 zwischen der virtuellen Masse und Ua liegt und der Wi62
derstand samt zugeh¨origen Strom bekannt sind. Daraus folgt, sofern man die Stromrichtung beachtet: Ua = R2 · IR2 = R2 · (−IR1 ) Setzt man die beiden Formeln zusammen und stellt sie ein wenig um, spart man sich nach dem K¨ urzen die Berechnung des Stroms: Ue 2 Ua = −UR2 = −I · R2 = − R · R2 = − R · Ue R1 1
Nichtinvertierender Verst¨ arker:
1 5 7i.png Bei dieser Verst¨arkerschaltung wird das Signal ausnahmsweise einmal nicht invertiert. Das Ausgangssignal wird durch einen Spannungsteiler, der als unbelastet angenommen werden kann, auf den invertierenden Eingang zur¨ uck gekoppelt. Die Funktionsweise ist identisch mit dem Impedanzwandler, nur mit dem Unterschied, daß die zur¨ uck gekoppelte Spannung geteilt, und die Ausgangsspannung deswegen verst¨arkt wird. Der Verst¨arkungsfaktor wird durch das Verh¨altnis der beiden Widerst¨ande bestimmt.
Strom-Spannungswandler:
1 5 7j.png Diese Schaltung beruht auf dem selben Prinzip wie der invertierende Verst¨arker, nur spart man sich den Widerstand R1. Der Operationsverst¨arker regelt seinen Ausgang so, daß der Strom vollst¨andig u ¨ber R2 abfließen kann. Nur so entsteht kein Potentialunterschied zwischen den beiden Eing¨angen. F¨ ur die Berechnung kann man ein Zwischenergebnis des Invertierenden Verst¨arkers wiederverwerten. IR1 wird in Ie umge¨andert.
63
Spannungs-Stromwandler:
1 5 7k.png Um eine Spannung in einen Strom umzuwandeln bedient man sich eines modifizierten invertierenden Verst¨arkers. Um seine Eing¨ange auszugleichen muß, wie bei dem Invertierenden Verst¨arker, durch die Widerst¨ande R1 und R2 der gleiche Strom fließen. RL liegt dabei im Weg und der Operationsverst¨arker muß seine Ausgangsspannung so w¨ahlen, daß der Strom durch RL groß genug ist, um die Eing¨ange auszugleichen. Um den m¨oglichen Bereich der Stromst¨arke zu vergr¨oßern, wird der Strom noch aufgeteilt. Da zum Ausgleich der Eing¨ange nur der Ausgangsstrom beitr¨agt, ist der Lastwiderstand unbedeutend und darf sogar schwanken. Zu beachten ist, daß die Spannung, die den gew¨ unschten Strom in RL hervorruft, nicht h¨oher als die Versorgungsspannung sein kann. W¨are das so, h¨atte man alle Energieprobleme der Welt gel¨ost! Der Lastwiderstand ist also nur in seiner maximalen Gr¨oße beschr¨ankt. Besondere Anwendungen des Spannungs-Stromwandlers Stellt man die Eingangsspannung mit einem Potentiometer ein, so erh¨alt man eine pr¨azise Konstantstromquelle f¨ ur geringe Str¨ome. RL ist dann das Objekt, in dem der Strom konstant gehalten werden soll. Eine weitere interessante Anwendung des Spannungs-Stromwandlers in Verbindung mit dem ¨ Strom-Spannungswandler ist die Ubertragung von Spannungssignalen u ¨ber gr¨oßere Strecken. Der Strom innerhalb einer Leitung ist an allen Stellen gleich und kommt aus einer Leitung genau so heraus wie er hineingeschickt wurde. Es entstehen zwar Spannungs- und Leistungsverluste innerhalb der Leitung sowohl Potentialunterschiede zwischen den Endger¨aten, diese sind aber nicht st¨orend, da nur der Strom gemessen“wird. St¨orimpulse werden von dem sen” denden OP ausgeregelt. Bei geschickter Dimensionierung k¨onnen schwache Spannungen nahezu st¨orungsfrei u ¨ber einige hundert Meter u ¨bertragen werden und gleichzeitig in ihrer Amplitude angepaßt werden. Das ist bei Anwendungen n¨ utzlich, bei denen die Sensoren in ung¨ unstigen Umgebungen angebracht sind und die langen Leitungen elektromagnetischen St¨orungen und stark schwankenden Temperaturen ausgesetzt sind. (Beispiel: Temperatur- und Drucksensoren in einem Heizkraftwerk)[5]
Spannungs-Komparator mit und ohne Hysterese:
1 5 7l.png Ein Komperator vergleicht st¨andig seine Eingangsgr¨oßen und zeigt digital an, welcher Eingang die gr¨oßere Spannung besitzt. Da ein Operationsverst¨arker einen nahezu unendlichen Verst¨arkungsfaktor besitzt, reicht eine geringe Eingangsspannungsdifferenz, um den Ausgang in die S¨attigung“gehen zu lassen. Der Ausgang der Schaltung kann nur die Zust¨ande +Ub und ” 64
-Ub annehmen. Versorgt man den Operationsverst¨arker mit +5 V und legt -Ub auf Masse, so erh¨alt man am Ausgang ein TTL-Signal zur digitalen Weiterverarbeitung. Sind beide Eingangsspannungen ann¨ahernd gleich, so kippt der Ausgang bei der kleinsten St¨orung oder Ver¨anderung hin und her. Um das zu vermeiden baut man eine Hysterese ein. Das Bedeutet, daß bei einem bestimmten Pegel ausgeschaltet, und bei einem niedrigeren Pegel wieder eingeschaltet wird.
1 5 7m.png
1 5 7n.png
Der Ausgang der Schaltung kann nach wie vor nur +Ub oder -Ub annehmen. Der Spannungsteiler bestehend aus R2 und R3 teilt also das Signal entweder gegen die positive oder die negative Versorgungsspannung. Dadurch verschiebt sich der Umschaltpunkt nach oben bzw. nach unten. Die Hysterese l¨aßt sich mit folgender Formel berechnen, wobei es sich bei DUa um die Differenz der beiden Versorgungsspannungen handelt: UHy =
R2 R2+R3
· DU a
R1 ist nicht unbedingt notwendig, sollte aber den gleichen Wert wie R2 besitzen, um kleine Meßfehler durch den geringen Eingangsstrom des realen OPV’s auszugleichen. Besondere Anwendung des Komperators: Legt man das Potential einer der beiden Eing¨ange mit einem zum Spannungsteiler geschalteten Potentiometer fest, so erh¨alt man einen einfachen Schwellwertschalter. So kann man mit einfachen Mitteln z.B. einen D¨ammerungschalter realisieren, Interrupts eines Mikrocontrollers bei bestimmten Bedingungen ausl¨osen, usw. Astabiler Multivibrator:
1 5 7o.png Zum besseren Verst¨andnis gehen wir wieder mal davon aus, daß keine Spannungen anliegen und der Kondensator restlos entladen ist. Der Ausgang wird sofort nach dem Einschalten in einen der beiden m¨oglichen Zust¨ande kippen, da kleinste Spannungdifferenzen an den Eing¨angen ausreichen, um den Ausgang in die S¨attigung zu kippen. In der Praxis wird der OPV wegen Symetrieunterschieden bei der Fertigung beim Einschalten einen bevorzugten Zustand einnehmen. Gehen wir davon aus, daß die Ausgangsspannung einen positiven Wert angenommen hat. Der Spannungsteiler aus R2 und R3 legt eine positive Spannung an den nichtinvertierenden Eingang des OPV’s an. Die Spannung an dem invertierenden Eingang wird von dem noch ent¨ ladenen Kondensator auf Massepotential gehalten. Uber R1 l¨adt er sich langsam auf. Wird die Spannung des Kondensators gr¨oßer als die des Spannungsteilers am nichtinvertierenden Eingang, so kippt die Ausgangsspannung ins Negative. Der Spannungsteiler legt nun eine negative
65
Spannung an den nichtinvertierenden Eingang an, w¨ahrend der Kondensator langsam u ¨ber R1 in die andere Richtung umgeladen wird. Ist die negative Spannung am Kondensator gr¨oßer als die negative Spannung des Spannungsteilers, so kippt der Ausgang wider ins positive und der Vorgang wiederholt sich. Es entsteht eine symmetrische Rechteckspannung, bei der die Ein” schaltzeit“genau so lange dauert, wie die Ausschaltzeit“. Die Frequenz berechnet man mit ” folgender Formel: T =
1 f
= 2R1 · C1 · (1 +
2·R3 ) R2
Den dazu passenden Widerstand R1 berechnet man anschließend mit: R1 =
R2·R3 R2+R3
Bistabiler Multivibrator:
1 5 7p.png Auch Flip-Flops kann man mit einem OP realisieren. Nach dem Anlegen der Versorgungsspannung kippt das Flip-Flop in eine der beiden m¨oglichen Zust¨ande. Wir gehen davon aus, ¨ daß der Ausgang zun¨achst negativ (LOW) ist. Uber den Widerstand R4 wird der nichtinvertierende Eingang negativ gehalten und damit wiederum den Ausgang negativ h¨alt. Ein positiver Impuls an Ue2 (SET) am nichtinvertierenden Eingang erzeugt eine positive Ausgangsspannung ¨ (HIGH). Uber R4 wird der nichtinvertierende Eingang positiv gehalten, was wiederum den Ausgang stabilisiert. Ein positiver Impuls (Ue1) an dem invertierenden Eingang (RESET) erzeugt einen negatives Signal an dem Ausgang (LOW), der wiederum durch die R¨ uckkopplung mit R4 gespeichert wird. Bei dieser Schaltung ist zu beachten, daß die Eingangssignale U1 und U2 deutlich st¨arker sind als die R¨ uckkopplung durch R4. Der Widerstand R3 h¨alt den invertierenden Eingang auf einen definierten Pegel. Diese Schaltung findet in der Praxis ¨außerst selten eine Anwendung, da das Ausgangssignal symmetrisch und f¨ ur Digitalschaltungen unbrauchbar ist. Ein asymmetrischer Betrieb ist leider nicht m¨oglich. Differenzverst¨ arker:
1 5 7q.png
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An sich ist der OP schon ein richtiger Differenzverst¨arker. Dummerweise ist der Verst¨arkungsfaktor viel zu hoch und damit unbrauchbar. Diese Schaltung verringert unter Zuhilfenahme von zwei Spannungsteilern den Verst¨arkungsfaktor. Diese Schaltung funktioniert nur, wenn R1=R2 und R3=R4 sind, damit die Symmetrie der Eingangssignale stimmt. Der Verst¨arkungsfaktor wird durch das Verh¨altnis R1/R3 bzw. R2/R4 bestimmt. Die Verst¨arkte Spannungsdifferenz ist nichts anderes als Ue2-Ue1. Die Ausgangsspannung berechnet sich wie folgt: Ua =
R3 R1
· (Ue+ − Ue− )
Summierverst¨ arker:
1 5 7r.png Ein Operationsverst¨arker kann auch Rechenoperationen durchf¨ uhren. Der Summierverst¨arker beruht auf dem Prinzip des Invertierenden Verst¨arkers, mit dem Unterschied, daß der Eingangsstrom von zwei unterschiedlichen Signalquellen erzeugt wird. Die beiden einlaufenden Str¨ome addieren sich und werden wie gewohnt verst¨arkt. e1 Ua = −R3 · ( UR1 +
U e2 ) R2
Differenzierer (Hochpaß):
1 5 7s.png Diese Schaltung beruht ebenfalls auf dem invertierenden Verst¨arker. Als Eingangswiderstand wird ein Kondensator eingesetzt, der Gleichspannungen und niedrige Frequenzen abblockt, also nur Str¨ome mit h¨oherer Frequenz durchl¨aßt, die wie beim invertierenden Verst¨arker weiterverarbeitet werden. Gleichspannungsoffsets werden abgeblockt und tragen am Ausgangssignal nichts bei. Das Verfahren entspricht dem mathematischen differenzieren. Die Gr¨oße des Kondensators h¨angt nat¨ urlich von der gew¨ unschten Grenzfequenz, und die Ausgangsspannung zus¨atzlich noch von dem Verst¨arkungsfaktor der Schaltung ab. U a = −U e · R2 · w · C1
67
Integrierer (Tiefpaß):
1 5 7t.png Auch diese Schaltung beruht auf dem invertierenden Verst¨arker. Nehmen wir mal eine gleichbleibende Eingangsspannung an. Um seine Eing¨ange ausgeglichen zu halten, muß der OP immer h¨ohere Spannungen aufbringen, weil sich der Kondensator aufl¨adt und eine Gegenspannung aufbaut. Im theoretischen Fall w¨ urde der Vorgang unendlich lange dauern k¨onnen, w¨ahrend die Ausgangsspannung gegen unendlich gehen w¨ urde. Das entspricht rechnerisch einem u ¨ber unendlich integriertem konstanten Wert. In der Praxis hat der OP nat¨ urlich seine Grenzen durch ¨ die Versorgungsspannung, die man mit dem Uberlaufen des Wertebrereichs eines Taschenrechners vergleichen k¨onnte. Diese Schaltung integriert ein angelegtes Signal u ¨ber die Zeit und gibt das Ergebnis ununterbrochen aus.[5] U a = −U e ·
1.6 1.6.1
1 R1·w·C1
Beschreibung statistischer Gr¨ oßen Zufallsvariable
Definition: Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die Ereignissen (Realisierungen) eines Zufallsexperiments reellen Zahlen zuordnet.
1 6 1a.png Klassen von Zufallsvariablen: Quantitative Variablen Diskrete Variablen • Anzahl der Punkte beim Intelligenztest • Augenzahl beim W¨ urfeln • Schuhgr¨oße 68
Stetige Variablen • Gewichte von Personen • Widerstandswert • Rauschspannung Qualitative Variablen • dichotome Variablen [2 Kathegorien] • Ja/Nein • - polynome Variablen [mehrere Kathegorien] • Deutscher, Franzose, .....
1 6 1b.png Zufallsvariablen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet, deren Realisierungen mit kleinen lateinischen Buchstaben.[1]
1.6.2
Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion
Stetiger Fall: Beschreibung der Verteilung der Werte einer stetigen Zufallsgr¨oße X:
1 6 2a.png
69
1 6 2b.png
1 6 2c.png
[1]
Diskreter Fall: Beschreibung der Verteilung der Werte einer diskreten Zufallsgr¨oße X:
70
1 6 2d.png
1 6 2e.png
1 6 2f.png
[1]
71
1.6.3
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Verteilungs- und Verteilungsdichtefunktion beschreiben eine Zufallsgr¨oße bereits vollst¨andig. In vielen F¨allen sind jedoch die folgenden Kenngr¨oßen ausreichend.
1 6 3a.png
1 6 3b.png
1.6.4
[1]
Zentraler Grenzwertsatz:
Die Summe von n unabh¨angigen, standardisierten Zufallsvariablen, die alle die identische Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen, n¨ahert sich mit steigender Stichprobengr¨oße der Normalverteilung (Gaußverteilung). Dieses gilt f¨ ur n gr¨osser 30.
[1]
72
1.6.5
Normalverteilung
Die Verteilungsdichtefunktion bei Normalverteilung bzw. Gaußverteilung lautet:
1 6 5a.png
1 6 5b.png
1.6.6
[1]
Gleichverteilung
Die Gleichverteilung oder Rechteckverteilung besitzt eine rechteckf¨ormige Verteilungsdichtefunktion, bei der alle vorkommenden Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Sie ist gegeben durch:
73
1 6 6.png
1.6.7
[1]
Fourier
Die Fourier-Analysis auch bekannt als Fourier-Analyse oder klassische harmonische Analyse ist die Theorie der Fourier-Reihen und Fourier-Integrale. Ihre Urspr¨ unge reichen in das 18. Jahrhundert zur¨ uck. Benannt sind die Fourier-Analysis, die Fourier-Reihe und die Fourier-Integrale nach dem franz¨osischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 in seiner Th´eorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte. Die Fourier-Analysis ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) u ¨ber viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), die Signalverarbeitung und Kryptographie bis zu Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erf¨ahrt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen.[3]
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1 6 9.png Anwendungsbeispiel : Als Beispiel (mit Diskretheit): Eine Schwingung wird mit einer Frequenz von 44,1 kHz abgetastet. Nun wird mit den so erhaltenen Werten eine komplexwertige Diskrete Fourier-Transformation mit 512 Punkten durchgef¨ uhrt. Man erh¨alt das Amplitudenspektrum, dessen Frequenzwerte von 0 bis 511 laufen. Allerdings ist dabei Folgendes zu beachten: Das eigentliche Amplitudenspektrum l¨auft nur von 0 bis 255. Ab 256 bis 511 ergibt sich eine Spiegelung desselben. Dieses h¨angt mit den negativen Frequenzen“ zusammen, die ” existieren. Bei der oben genannten zwar physikalisch keine Rolle spielen, aber mathematisch Abtastfrequenz ergibt sich nach dem Abtasttheorem eine Darstellung von 0 bis 22,05 kHz. Das bedeutet: 0 steht f¨ ur ¿ 0 Hz (da keine Gleichstromanteile vorhanden sind) und 254 steht f¨ ur 22,05 kHz. Anmerkung : Die Fourier Analyse ist die am meisten angewendete Spektralanalyse um ein Signal in seine Frequenzanteile zu zerlegen. Sie ist aber auch eine der am meist falsch angewendeten Methoden der Signalverarbeitung. Der wichtige Satz: sie gilt nur f¨ ur periodische, station¨are Signale also Signale die sich w¨ahrend der Meßdauer weder in Amplitude noch Frequenz ver¨andert haben, ansonsten ist das Ergebnis je falscher, desto mehr davon abgewichen wird. F¨ ur nichtperiodische Signale sind andere Transformationen besser geeignet. Abk¨ urzungen der Fourier Analyse sind die DFT diskrete Forurier Transformation und die FFT Fast Fourier Transformation, letztere hat eine weniger aufwendige Rechenvorschrift und ist f¨ ur Rechner und deren Speicher gut geeignet.
Quellen [1] [2] [3] [4] [5]
Skript der Fachhochschule K¨oln, Prof. Dr.-Ing. M. Silverberg & Prof. Dr.-Ing. J. Krah Skript Messtechnik 1995/1996, Berufsakademie-Stuttgart Wikipedia Elektronik Kompendium Batronix
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