001 - Elite - Basico

GRUPO DE ESTUDIO

Aritmé´tica : Tema 1

Teoría de Conjuntos

Ejemplos: A= {Las vocales} B = {2; 3; 5; 7} C = {Los días de la semana} D = {2; 6; 12; 20; ...; 182}

Un conjunto se puede determinar por: Ø Extensión o forma tabular Cuando se indica a cada uno de sus elementos. Ejemplos: B = {2; 3; 5; 7} D = {2; 6; 12; 20; .....; 182} Ø Comprensión o forma constructiva Cuando se indican las características o propiedades comunes y exclusivas a los elementos del conjunto.

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS Ø Diagramas de Venn - Euler Son representaciones gráficas de los conjuntos mediante regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas.

Ejemplos: A= {Las vocales} C = {Los días de la semana} CARDINAL DE UN CONJUNTO Nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee un conjuntoAy se denota: n(A)

B 2 5

Ejemplos: * A= {Las vocales} ® n(A) = 5 * B = {2; 3; 5; 7} ® n(B) = 4 * C = {8; 8; 9; 9; 9} ® n(C) = 2

3 7

Ø Entre Llaves Son representaciones donde se detallan a especifican los elementos de un conjunto. Ejemplos: B = {2; 3; 5; 7} C = {x/x Î N Ù x ³ 8}

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Inclusión (Ì) Se dice que un conjunto A está incluido en el conjunto B, si todos los elementos de “A” son también de elementos de “B”.

RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice que pertenece (Î) a este conjunto, en caso contrario, se dirá que no pertenece (Ï) a dicho conjunto. La relación de pertenencia es una relación exclusiva de elemento a conjunto. Ejemplo: En el conjunto: B = {2; 3; 5 ; 7}, se observa que: * 2 Î B (2 pertenece al conjunto B). * 5 Î B (5 pertenece al conjunto B). * 4 Ï B (4 no pertenece al conjunto B). * 13 Ï B (13 no pertenece al conjunto B).

Simbólicamente: A Ì B « {" x Î A ® x Î B} Gráfico:

001

B A

Se lee:

En general: Elemento Î Conjunto Ï DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Determinar un conjunto es saber indicar con precisión quiénes o cuáles son los objetos que forman parte de dicho conjunto.

VERANO 2015

BASICO

NOCIÓN DE CONJUNTO Es la colección o agrupación de objetos, sean éstos, reales o imaginarios, denominándose, elementos del conjunto. Generalmente, a un conjunto se le representa con una letra mayúscula y a sus elementos encerrados por signos de colección.

“Aestá incluido en B”. “B incluye aA”. “Aes subconjunto de B”.

Ejemplo: Sean los conjuntos: M = {1; 4; 9; 16} N = {4; 16} R = {1; 4; 5} Se deduce que: * N es subconjunto de M: N Ì M * R no es subconjunto de M: R Ë M

1

TEMA

TEMA

Aritmética

Grupo de Estudios “ELITE”

2. Igualdad (=) Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido en el segundo y viceversa.

BASICO

Simbólicamente:

A= B « (A Ì B Ù B Ì A)

Ejemplo: A= {4x - 1/x ÎZ Ù 2 < x < 6} B = {19; 11; 15}

5. Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos A y B se afirma que son coordinables o equipotentes cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos los elementos de los conjuntos A y B. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de éste se tiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales, esto es: n(A) = n (B). Ejemplo: C = {Lima; Caracas; Bogotá; Santiago} P = {Venezuela; Colombia; Perú; Chile}

Determinando al conjuntoApor extensión: 2
Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:

Luego: 4(3) -1 = 11 4(4) -1 = 15 4(5) - 1 = 19

“... es capital de ...”

Luego: A= {11; 15; 19} Se observa que: A Ì B Ù B Ì A

C

P

\ A=B 3. Conjuntos Comparables Se afirma que dos conjuntos A y B son comparables si solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bienA Ì B o B Ì A.

Lima

Venezuela

Caracas

Colombia

Bogotá

Perú

Santiago

Chile

Ejemplo: A= {x/x es un mamífero} B = {x/x es un gato}

De ahí que C y P son conjuntos coordinables, además: \

Sabemos que todo gato es un mamífero; pero no todo mamífero es un gato. Luego A y B son comparables, porque: B Ì A Ù A Ë B 4. Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elementos en común.

n(C) = n(P) = 4

Ejercicios Resueltos 01. Determinar por extensión el conjunto T. T = {2x – 1/x Î N Ù 2 < x £ 5}

Ejemplos: H = {x/x es un varón} M = {x/x es una mujer}

Resolución: * Identificamos las expresiones simbólicas:

Se deduce que H y M son conjuntos disjuntos o ajenos.

T = { 2x – 1 / x Î N Ù 2 < x £ 5 }

Gráficos:

Regla de Condiciones que operación reúne la variable “x”

H

M Varones

* Hallamos los valores de “x”. {x Î N Ù 2 < x £ 5} Þ

Mujeres

x=3;4y5

* Cada elemento se reemplaza en la operación: 2x - 1

x = 3 Þ 2(3) – 1 = 5 x = 4 Þ 2(4) – 1 = 7 Elementos de T x = 5 Þ 2(5) – 1 = 9 \ T = {5 ; 7 ; 9}

1

TEMA

002

VERANO 2015

TEMA


Aritmética

02. Determinar por extensión y sumar los elementos de:

03. Hallar: x + y, sabiendo que los conjuntos son iguales:

Resolución: Interpretando: R está formado por números múltiplos de 5 (5) mayores que 20 y menores que 50.

ìx ü A = í + 1 ; 12ý î2 þ

20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45 ; 50

B = { 10 ; x – y }

Elementos de “R” Se igualan

Se forman las ecuaciones: x + 1 = 10 2

\ R = {25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45} Luego, sumando los elementos: 25 + 30 + 35 + 40 + 45

Resolviendo:

Rpta.: 175

x – y = 12

Reemplazando valor de “x”, en: x – y = 12 18 – y = 12 18 – 12 = y

x = 10 – 1 2 x = 2 (9) Þ x = 18

Þ 6=y

Þ x + y = 18 + 6 \ x+y =

P

24

roblemas de Clase

01.Dado el conjunto:A= {1; 2; 5; 8} Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: * 7 ÎA ( ) * 5 ÎA ( ) * {2} Î A ( ) * n(A) = 4 ( ) * 1 ÎA ( ) 02. Dado el conjunto: A= {2; {4}; {2}; 7; {2; 9}} ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? Sugerencia: indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. * 2 ÎA ( ) * 7 ÎA ( ) * Æ ÌA ( ) * {7} Î A ( ) * {7} Ì A ( ) * {4} Ï A ( ) * {2} Î A ( ) * {2} Ì A ( ) a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

VERANO 2015

b) 2 e) 5

*B= B={.............................................................} * C= C = {.............................................................}

c) 6

03. Dado el conjunto: B= {{8} ; {2 ; 4} ; 7 } ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Sugerencia: Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. * {2 ; 4} Î B ( ) * {{8}} Ì B ( ) * {{7}} Ì B ( ) * {{8} ; 7} Î B ( ) *{7}ÏB ( ) a) 1 d) 4

04. Dados los conjuntos: A = {2; 2; 22; {2}; {{2}}; 222; 222} B = {x/x es una letra de las palabras “grupo de estudios”} C = {x/x es una letra de la palabra “élite”} Calcular: n(A) + n(B) - n(C) *A= {x + 2/x Z; -4 < x 3} A= {............................................................}

c) 3

05. Se tienen los conjuntos iguales: A= {x - 8 ; 13} B = {2y + 5; 3} Hallar: x + y a) 6 b) 7 d) 9 e) 15 06. Si los conjuntos son iguales: C = {2x; y} D = {7; y + 11} Calcular: x + y a) 16 b) 27 d) 8 e) 9

003

c) 8

c) 10

1

TEMA

BASICO

ìx ü A = í + 1; 12ý ; B = 10; x - y î2 þ Resolución: Si: A = B ; entonces se considera que sus elementos son iguales.

R = {x Î N / x es 5 Ù 20 < x < 50}

TEMA


Aritmética

15. Si: A= {i; n; g; e; n; i; e; r; í; a} B = {b; a; t; e; r; í; a} Calcular: n(A) + n(B)

BASICO

07. Si los conjuntosAy B son iguales: A= { n + 1 ; -6 } B= { 2 –m; 10 } Hallar: m+ n (m, n ) a) 36 d) 12

b) 11 e) 9

a) 10 d) 14

c) 10

08. Si: A = {a2 + 3; 28} es un conjunto unitario; hallar el menor valor de “a”. a) 3 d) -5

b) -3 e) 4

b) 42 e) 60

a) 3 d) 6

b) 13 e) 712

a) 6 d) 9

c) 45

b) 22 e) 12

a) b) c) d) e)

c) 192

b) 65 e) 67

b) 7 e) 10

c) 8

D = {x + 1/x N; x 3} D = {2x -1 /x N ; 0 < x 3} D = {x - 1/x N; 0 < x 6} D = {x - 2/x Z; -2 x 2} D = {x + 1/x Z; -3 < x < 3}

19. Dado el conjunto: A= {x - 1/x Z ; -2 x 4} Hallar la suma de los elementos del conjuntoA. a) 20 d) 25

c) 17

b) 22 e) 27

c) 23

20. Si los conjuntosAy B son unitarios: A= {x + y; 18} ; B = {x - y; 6} Hallar: x . y

12. Si: P= {8 - a; 5 + b; 1}, es un conjunto unitario. Calcular: a + b a) 33 d) 52

c) 5

18. Determinar por comprensión el siguiente conjunto: D ={1; 2; 5}

11. SiA, B y C son tres conjuntos y se sabe: n[P(A)]=32 ; n[P(B)]=128; n[P(C)]=1024 Calcular: n(A) + n(B) + n(C) a) 13 d) 16

b) 4 e) 7

17. Se tiene los conjuntos iguales: C = {2x + 4; 13} ; D = {2y + 3; 14} Calcular: x + y

10. Sean los conjuntos: A= {a; r; i; t; m; e; t; i; c; a} B= {l; o; m; a; x; i; m; o} Calcular : n[P(A)] + n[P(B)] a) 64 d) 256

c) 13

16. Si los conjuntos: A= {n + 1; 7} ; B = {10; m + 4} son iguales, calcular: m+ n

c) 5

09. Dados los conjuntos unitariosAy B. A= {a + b; 16} B = {a - b; 4} Hallar: a ´ b a) 36 d) 50

b) 12 e) 17

c) 3

a) 26 d) 24

b) 36 e) 56

c) 72

13. Sean B y C, dos conjuntos se sabe: n P(B) = 64 ; n P(C) = 16 Calcular: n(B) + n(C) a) 9 d) 10

b) 8 e) 7

c) 6

14. Dado el conjunto: B = {{a} ; {b ; c} ; d ; {{e}}} ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Sugerencia: Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: * {b ; c} Î B ( ) * {{e}} Ì B ( ) * {{a}} Ì B ( ) * {{e}}; d Î B ( ) * {c} Ï B ( ) * {{b ; c}} Ì B ( ) a) 1 d) 4

1

TEMA

b) 2 e) 5

c) 3

004

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Aritméetica : Tema 2

Operaciones entre Conjuntos

Notación: A È B = x/x Î A Ú x Î B

C. DIFERENCIA(-) Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen solamente aA.

Notación:

( Ú = se lee “o”).

A - B = {x/x Î A Ù x Ï B}

Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1; 2; 3; 6} ; B= {2; 4; 6; 7; 8} ; C= {4; 7; 8}

Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1; 2; 3; 6} ; B = {2; 4; 6; 7; 8} ; C = {4; 7; 8}

Hallar:A È B ; B È C ;A È C A È B= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} B È C= {2; 4; 6; 7; 8} =B A È C= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8}

Resolución:

Hallar: A- B ; B - C ; A- C Resolución: A- B = {1; 3} B - C = {2; 6} A- C = {1; 2; 3; 6}

Gráficos:

A

2 4 7 6 8

1 3

B

B

A 2

4

6

7 8

C

1 3

BÈC=B

AÈB

2 6

C 4 7 8

Gráficos: A

AÈC

B. INTERSECCIÓN (Ç) Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes de Ay B. Notación: A Ç B = {x/x Î A Ù x Î B

( Ù =se lee “y”).

Ejemplo: Sean los conjuntos: A= {1; 2; 3; 6} ; B= {2; 4; 6; 7; 8} ; C= {4; 7; 8}

3

1 3

2 4 7 6 8

B

AÇB

VERANO 2015

6

4

7 8

C

BÇC=C

1 3

7 8

B-C

C

A-C=A

Notación:

Es decir:A¢ = U -A

A 2

6

4

C 4 7 8

A¢ = CA = {x/x Î U Ù x Ï A}

A Ç B= {2; 6} B Ç C= {4; 7; 8} =C A Ç C= { }

B

2

A 1 2 3 6

D. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Dado un conjunto A que está incluido en el universo U, se denomina complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A, pero sí pertenecen al universo.

Ejemplo: Sean los conjuntos:

Gráficos:

A

2 4 7 6 8

B

A-B

Hallar:A Ç B ; B Ç C ;A Ç C Resolución:

1

B

2 6

C 4 7 8

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ; A= {1; 3; 4; 7; 8} Hallar:A¢

AÇC=Æ

005

2

TEMA

BASICO

A. UNIÓN O REUNIÓN (È) Dados dos conjuntos A y B, se llama unión o reunión, al conjunto formado por los elementos que pertenecen aA, a B o a ambos a la vez.

TEMA

Aritmética


Resolución: A¢ = {2; 5; 6}

También:

Gráfico: U

BASICO

3

1 2

Ejemplo: Sean los conjuntos:

6

A 7

A D B = (A È B) - (A Ç B)

A = {1; 2; 3; 6} ; B = {2; 4; 6; 7; 8}

4

Hallar:A D B Resolución: A- B = {1; 3} B -A= {4; 7; 8}

8

5 A¢

\ A D B = {1; 3; 4; 7; 8}

E. DIFERENCIASIMÉTRICA (D) Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A- B” o “B -A”.

Gráfico: A

1

2

Notación: A D B = (A- B) È (B -A)

6

3

B

4 7 8

ADB

P

roblemas de Clase

01. Sean los conjuntos: A= {1 ; 2; 3; 4} B = {2; 5; 7} Calcular: * A È B = {.....................................................} * A Ç B = {.....................................................} * A- B = {.....................................................} * B -A = {.....................................................} * A D B = {.....................................................}

04. Dados los conjuntos A, B y C, son subconjuntos del conjunto universal U. A= {3; 6; 7; 8} B = {4; 5; 6; 7} C = {1; 2; 3; 4; 5} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Hallar el cardinal de: (A Ç B) - C¢

02. Dados los conjuntos: A= {1; 2; 3; 4} B = {1; 3; 5; 7; 9} C = {2; 4; 6; 8} Calcular el número de subconjuntos de: (A Ç B) È C

05. De los conjuntosAy B se tiene: n(A)= 10 n(B) = 20 n(A Ç B) = 8 Calcular: n(A- B) + n(B -A)

a) 16 d) 128

b) 32 e) 256

a) 0 d) 3

a) 7 d) 18

c) 64

03. ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada en la siguiente figura? a)A- B B A b)A Ç B

a) 13 d) 46

d)A Ç B¢ e) a y d

2

b) 11 e) 23

c) 2

c) 14

06. Si: n(A Ç B) = 4 n(A- B) = 6 n(B -A) = 7 Calcular: n(A È B) + 3n(A) - n(B)

c) B -A

TEMA

b) 1 e) 4

006

b) 25 e) 54

c) 36

VERANO 2015

TEMA

Aritmética

Grupo de Estudios “ELITE” 07. Si: n(A)=8 n(B)=9 n(A Ç B)=4 Calcular: n(A D B) + n(B -A) a) 4 b) 5 c) 7 d) 14 e) 18

14. Si: A= {1; 2; 3;4, 5; 6; 7; 8; 9; 10} B = {1; 5; 7; 2; 9} Hallar: B -A a) {2; 3; 4; 6} b) {4; 6; 8; 10} c) {Æ} d) Æ e) {3; 4; 6; 8; 10}

08. Dados los conjuntosAy B, se cumple que: n[P(A)] = 128 n[P(B)] = 256 n[P(A Ç B)] = 32 Calcular: n[P(A D B)] a) 2 d) 9

b) 5 e) 12

c) 8

15. Si: T = {x/x Î Z; 3 < x < 10} P= {x/x Î Z; 4 < x < 9} Hallar: n[(T - P)¢] a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

09. La operación que corresponde al diagrama es: I. (A- B) Ç (C - B) II. (A Ç C) - B III.(A Ç B) - C A B a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) Todas C

A= {1 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9} B = {1 ; 5 ; 8 ; 9} C = {1 ; 8} D = {1 ; 9 ; 7} Hallar: (A D B) Ç (B D D) a) {8} b) {9} d) {9 ; 7} e) {7}

c) {7 ; 8}

12.Si:

A= {2; 3; 9} B = {9; 3; 4} Calcular: n(A È B) - n(A Ç B) a) 2 d) 6

b) 4 e) 7

VERANO 2015

c) 5

c) 3

16. Si: A= {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7} B = { 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9} Calcular: n(A D B) + n(A Ç B) a) 2 b) 5 c) 6 d) 4 e) 7

10. Si: A Ç B = {2 ; 3} A- B = {4 ; 5} B -A= {6 ; 7} Determinar por extensión los conjuntos A y B respectivamente. a) {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} y {2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7} b) {2 ; 3 ; 4 ; 5} y {2 ; 3 ; 6 ; 7} c) {4 ; 5 ; 6 ; 7} y {2 ; 3 ; 6 ; 7} d) {2 ; 3 ; 4} y {2 ; 3 ; 6} e) {4 ; 5 ; 6} y {6 ; 7 ; 4} 11. Sean:

BASICO

13. Si: A= {x + 1 / x Î Z ; 4 < x < 12} B = {x + 2/x Î Z ; 2 < x < 6} ¿Cuántos elementos tiene:A È B? a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

17. Si: A= {x + 3/x Î N Ù -5 £ x < 3} 2 B = {x + 1/x Î Z Ù -3 £ x < 3} Calcular: A D B a) {1; 2; 3; 4; 10} b){1; 2; 3; 4; 5; 10} c) {2; 3; 4; 10} d){0; 1; 2; 3; 4; 10} e) {1; 2; 3; 4} 18. Dado el conjunto universal: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y los conjuntos: A= {1; 3; 5; 7; 9} Ù B = {2; 3; 4} Hallar: (A- B)¢ a) {1; 5; 7; 9} b) {2; 3; 4; 6; 8; 10} c) {3; 4; 6; 8} d) {1; 5; 9; 3; 6} e) {1; 3; 5; 7; 9} 19. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A= {2x/x Î Z; 2 < x < 8} B = {x + 2/x Î Z; 2 < x < 8} Hallar la suma de los elementos de:A¢ Ç B¢ a) 7 b) 9 c) 10 d) 12 e) 21

007

2

TEMA

GRUPO DE ESTUDIO


BASICO

Problemas que se Resuelven con dos Conjuntos INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS · A - B; sólo A; exclusivamente “A”; únicamente “A”.

A È B; ocurre A o B; al menos uno de ellos”, o por lo menos uno de ellos. U

U A

A

B

(A È B)¢; no prefieren ni “A” ni “B”.

· A; prefieren “A”.

U

U A

A

B

· B - A; sólo “B”; exclusivamente “B”, únicamente “B”. U

A

A

B

U

3

Conjuntos II

B

U

· A Ç B; ocurre A y B; ocurre ambos sucesos a la vez.

TEMA

U

B¢; no prefieren “B”. U

A

B

A¢; no prefieren “A”. A

B

· B, prefieren “B”. A

B

B

A D B; prefieren solamente una actividad. U A

B

B

008

VERANO 2015

TEMA

Aritmética


P

roblemas de Clase

02. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa; 45 consumen ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? a) 15 b) 30 c) 42 d) 52 e) 40 03. En una reunión de profesores de Ciencias: * 47 eran de Matemática. * 40 eran sólo de Física. * 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a) 83 b) 70 c) 100 d) 91 e) 87 04. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas:115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez y 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? a) 220 b) 230 c) 210 d) 200 e) 190 05. De 60 personas que conforman un club, 32 juegan fútbol y 25 juegan vóley. ¿Cuántos juegan sólo un deporte, si 10 no practican ninguno de estos dos deportes? a) 7 b) 25 c) 18 d) 43 e) 20 06. De un grupo de 200 consumidores de “pollo a la brasa”. * 120 no les gusta la mostaza. * 130 no les gusta el ketchup. * 80 no les gusta ni la mostaza ni el ketchup. ¿Acuántas personas les gusta ambas salsas? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

VERANO 2015

07. De un grupo de 110 personas: * 70 hablan inglés. * 20 no hablan ni inglés ni francés. * Los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés y francés? a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40 08. Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no usan anteojos; 70 no usan sombrero; los que usan sombrero y anteojos son los 3/4 del total. ¿Cuántas personas usan sombreros y anteojos? a) 100 b) 110 c) 220 d) 330 e) 300 09. De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan; el número de los que solamente trabajan es el doble de los que solamente estudian. El número de los que no estudian ni trabajan es la mitad de los que trabajan. ¿Cuántas personas no estudian? a) 30 b) 55 c) 45 d) 50 e) 60 10. En un club donde solamente hay deportistas que practican fútbol y/o básquet, el número de futbolistas es el doble del número de basquetbolistas; 10 personas practican ambos deportes y 90 personas no saben jugar básquet. ¿Cuántos deportistas hay en dicho club? a) 170 b) 130 c) 150 d) 100 e) 140 11. En una biblioteca están estudiando 62 alumnos: Hay 12 alumnos que les gusta Matemática y Lenguaje; el número de alumnos que les gusta Matemática es el doble del número de alumnos que les gusta Lenguaje; el número de alumnos que no les gusta ni Matemática ni Lenguaje es la mitad del número de los que les gusta sólo Matemática. ¿Acuántos alumnos les gusta Lenguaje? a) 20 b) 8 c) 15 d) 12 e) 14 12. Durante el mes de Diciembre, Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al teatro. ¿Cuántos días va solamente a misa? a) 7 b) 12 c) 10 d) 11 e) 9

009

Conjuntos II

3

TEMA

BASICO

01. De un grupo de 65 alumnos: * 30 prefieren estudiar Lenguaje. * 40 prefieren estudiar Matemática. * 5 prefieren estudiar otros cursos. ¿Cuántos prefieren estudiar Matemática y Lenguaje? a) 8 b) 10 c) 5 d) 15 e) 12

GRUPO DE ESTUDIO


BASICO

Problemas que se Resuelven con tres Conjuntos INTERPRETACIÓN DE REGIONES SOMBREADAS

A

A

B

B

C Ocurre sólo uno de ellos. Únicamente uno de ellos. Exactamente uno de ellos.

A

B

C Ocurre exactamente dos de ellos. Sucede únicamente dos de ellos.

B

A

C (B È C) - A Ocurre “B” o “C” pero no “A”

A

B

C Ocurre al menos dos de ellos. Ocurre por lo menos dos de ellos.

P

Ocurre a lo más dos de ellos.

roblemas de Clase

01. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un Instituto de Idiomas se obtuvo el siguiente resultado: * 28 estudian español. * 30 estudian alemán. * 42 estudian francés. * 8 estudian español y alemán, * 10 estudian español y francés. * 5 estudian alemán y francés. * 3 estudian los tres idiomas.

02. En una encuesta se comprobó que: * 50 personas gustan de Coca Cola. * 40 personas gustan de Inca Kola. * 60 personas gustan de Pepsi Cola. * 6 personas gustan de las 3 gaseosas. * 18 les gustan Coca Cola y Pepsi Cola. * 16 les gustan Coca Cola e Inca Kola. * 21 les gustan Inca Kola y Pepsi Cola. * 5 les gustan otras gaseosas.

¿Cuántos estudian solamente español?

¿Cuántas personas fueron encuestadas?

a) 13 d) 80

a) 105 d) 120

4

TEMA

b) 20 e) 18

Conjuntos II

c) 30

010

b) 107 e) 125

c) 109

VERANO 2015

TEMA


Aritmética 06. Cierto número de medallas de oro, plata y bronce, es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de oro, 45 reciben medallas de plata y 60 reciben de bronce, 15 reciben medallas de oro y plata, 25 reciben medallas de plata y bronce, 20 reciben medallas de oro y bronce y 5 reciben medallas de oro, plata y bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medalla? a) 5 b) 20 c) 35 d) 40 e) 42

04. En una encuesta realizada a 125 personas sobre la bebida de su preferencia, se obtuvo la siguiente información: * 60 prefieren Kola Real. * 56 prefieren Inca Kola. * 29 prefieren Fanta. * 12 prefieren Kola Real y Fanta. * 13 prefieren Inca Kola y Fanta. * 8 prefieren las tres marcas mencionadas. * 31 prefieren sólo Inca Kola. ¿Cuántas personas prefieren otras bebidas? y ¿cuántas personas prefieren Kola Real o Fanta pero no Inca Kola? a) 7 y 52 b) 17 y 52 c) 25 y 36 d) 17 y 48 e) 23 y 52

07. Un club tiene 48 jugadores de fútbol; 25 de básquet y 30 de vóley. Si el número total de jugadores es 68 y sólo 13 de ellos practican los 3 deportes. ¿Cuántos practican sólo 2 deportes? a) 8 b) 9 c) 11 d) 12 e) 13

05. De un grupo de 150 turistas que regresaban a su país de origen se obtuvo la siguiente información: * 75 visitaron el Cusco. * 59 visitaron Iquitos. * 48 visitaron Huaraz. * 18 visitaron sólo el Cusco e Iquitos. * 9 visitaron sólo Cusco y Huaraz. * 21 visitaron sólo Huaraz. * 25 visitaron otras ciudades. ¿Cuántos visitaron sólo una de las ciudades mencionadas? y ¿cuántos visitaron Iquitos o Huaraz pero no ambas ciudades? a) 80 y 71 b) 79 y 43 c) 72 y 81 d) 48 y 62 e) 75 y 65

VERANO 2015

08. Auna biblioteca asistieron 50 estudiantes de los cuales 20 solicitaron libros de Filosofía, 21 leen libros Técnicos, 19 Anatomía, 9 leen libros Técnicos y Anatomía, 3 leen sólo Anatomía, 4 sólo leen libros Técnicos y 3 leen los tres libros. ¿Cuántos leen sólo Filosofía y cuántos no leen ninguno de estos tres libros? a) 5 y 12 b) 2 y 17 c) 9 y 12 d) 3 y 17 e) 5 y 19 09. De 72 alumnos, 36 estudian en el día, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántos estudian en sólo 2 turnos, si sólo uno estudia en tres turnos? a) 20 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 10. En el conservatorio de música se tiene 250 alumnos, de los cuales 110 estudian guitarra, 120 violín y 100 trompeta. Si además 54 estudian violín y guitarra, 40 violín y trompeta y 46 guitarra y trompeta. ¿Cuántas personas estudian tres instrumentos a la vez, si 50 personas no estudian ninguno de estos instrumentos? a) 16 b) 20 c) 8 d) 10 e) 16

011

Conjuntos II

4

TEMA

BASICO

03. En una academia de idiomas, se tiene la siguiente relación: * 30 alumnos hablan castellano. * 24 hablan francés. * 6 hablan alemán y francés. * 24 hablan alemán. * 10 hablan alemán y castellano. * 8 hablan castellano y francés. * 2 hablan los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos tiene la academia? a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58

GRUPO DE ESTUDIO

Aritmée´ tica : Tema 5

Diagrama de Carroll BASICO

Importante Lewis Carroll, matemático que aportó el uso de diagramas para conjuntos disjuntos, también fue escritor siendo autor de muchas historias infantiles entre las que destaca “Alicia en el país de las maravillas ”, que fue publicada en 1865.

M ira y aprende 01.En una fiesta hay 120 personas y en un determinado instante se observa que 30 mujeres bailan y 20 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeres no bailan?

02.En una reunión donde hay 100 personas, se sabe de ellas que 40 no tienen hijos, 60 son hombres; 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos y hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros?

Resolución: Resolución: Hombres Mujeres Bailan

30

30

No bailan

20

40

Casados

Solteros

H (60) 25

U = 120 M (40)

Entonces, no bailan 40 mujeres.

10

60 5

con hijos

30 30

U = 100

Por lo tanto, hay 30 padres solteros.

P

roblemas de Clase

01.De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian Historia, 12 mujeres no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia? a) 15 b) 10 c) 25 d) 12 e) 14 02.Entre 14 tutores, 6 son mujeres, 5 hombres tutorean en la mañana y hay 6 tutores en la tarde (en general). Si se sabe que las que tutorean en la mañana no tutorean en la tarde. ¿Cuántas mujeres son tutores en la mañana? a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 6

5

TEMA

Conjuntos II

03.En un salón de clases del colegio TUYO hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres, 40 son mayores de edad, 12 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad? a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) 13 04.De 50 personas, se sabe que: * 5 mujeres tienen 17 años. * 16 mujeres no tienen 17 años. * 14 mujeres no tienen 18 años. * 10 hombres no tienen 17 ni 18 años. ¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años? a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23

012

VERANO 2015

TEMA


Aritmética

05.Se han encuestado a 62 familias sobre el uso de los artefactos: del televisor y de la radio. Los resultados se muestran en el siguiente diagrama de Carroll:

13 35

Tienen radio

12

No tienen radio

2

Si: a = Número de familias que tienen estos dos artefactos. b = Número de familias que tienen sólo uno de ellos. c = Número de familias que no tienen ninguno de estos dos artefactos. d = Número de familias que tienen sólo radio. Calcular: b × d - a × c a) 1 645 b) 1 619 c) 1 235 d) 1 141 e) 1 247

06.En una fiesta donde había 120 personas; 30 eran varones que no les gustaba la música criolla. Si 50 eran mujeres que gustaba de esta música y el número de varones que les gusta la música criolla eran la tercera parte de las mujeres que no les gustan esta música. ¿A cuántas personas les gusta la música criolla? a) 60 b) 48 c) 52 d) 70 e) 68

09.De 50 personas, se sabe: • 5 mujeres tienen ojos negros. • 16 mujeres no tienen ojos negros. • 14 mujeres no tienen ojos azules. • 10 hombres no tienen ojos azules o negros. ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules? a) 23 b) 18 c) 19 d) 21 e) 17 10.Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provincias, 28 casados van al extranjero y 45 solteros van a provincias. Si se sabe que hay 42 hombres casados y que 18 mujeres solteras viajan al extranjero. Calcular el número de mujeres solteras. a) 60 b) 62 c) 64 d) 66 e) 68

07.En una reunión asistieron 250 personas donde por cada 12 varones hay 13 mujeres, si se sabe que los varones que bailan son la cuarta parte de los varones que no bailan. Calcular la cantidad de mujeres que no están bailando. a) 106 b) 110 c) 104 d) 108 e) 112

VERANO 2015

013

Conjuntos II

5

TEMA

BASICO

Tienen No tienen TV TV

08.A una fiesta de promoción asistieron 30 alumnos de los cuales 12 son varones y de estos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

GRUPO DE ESTUDIO


BASICO

Sistemas de Numeración NUMERACIÓN Es la parte de la Aritmética que se encarga de la correcta expresión oral o literal de los números.

b) Del lugar: Si se indica el “lugar” sería de izquierda a derecha. 1° lugar 2° lugar 3° lugar 4° lugar 5° lugar 6° lugar 7° lugar

Ø Cantidad: Es todo aquello susceptible de aumento o disminución. Ø Número: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. Ø Numeral: Es la representación simbólica o figurativa del número. Ejemplos:

: 5; V: Cinco

8

Ø Cifra: Son los símbolos o signos que convencionalmente se utilizan en la formación de los números. SISTEMAPOSICIONAL DE NUMERACIÓN Es un conjunto de principios que permiten la correcta formación, escritura y lectura de los números.

3

9 5

1

2 4

EL SISTEMADE NUMERACIÓN DECIMAL Este sistema hace uso de un conjunto de principios, convenios y un alfabeto de 10 cifras del 0 al 9 que, combinándose en un número limitado de veces, expresa simbólicamente cualquier número que nos podamos imaginar. Las diez cifras o dígitos que se utilizan en este sistema son:

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

0

1 2

3

4

5

6

cero uno dos tres cuatro cinco seis

a) Del orden: Toda cifra que forma parte de un número ocupa un orden determinado, el cual se considera de derecha a izquierda.

Sea el número: 8 395 124 3

9 5

1

8

2 4 1º orden 2º orden

El principio fundamental de este sistema es: “10 unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior”.

En el sistema decimal cada orden tiene un nombre especial:

3º orden

5 6 1 2 3 4 8

4º orden 5º orden

8 unidades (1° orden) 4 decenas (2°orden) 3 centenas (3° orden) 2 unidades de millar (4° orden) 1 decena de millar (5° orden) 6 centenas de millar (6° orden) 5 unidades de millón (7° orden)

6º orden 7º orden

La denotación simbólica: 5 612 348.

6

TEMA

Sist. Numeración

9

ocho nueve

Esto significa que: 10 unidades forman 1 decena. 10 decenas forman 1 centena. 10 centenas forman 1 unidad de millar. 10 unidades de millar forman 1 decena de millar. 10 decenas de millar forman 1 centena de millar. 10 centenas de millar forman 1 unidad de millón, etc.

Ejemplo:

8

7 siete

014

VERANO 2015

TEMA


Aritmética

VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO Ø Valor Absoluto (V.A.) Es el valor que tiene la cifra por su representación, no se toma en cuenta la posición de la cifra.

BASICO

Ø Valor Relativo (V.R.) Es el valor que tiene la cifra, de acuerdo a la posición que ocupa dentro del número. Ejemplo: 368527 V.A. V.A. V.A. V.A. V.A. V.A.

= = = = = =

7 2 5 8 6 3

V.R. V.R. V.R. V.R. V.R. V.R.

= = = = = =

7 2 5 8 6 3

´ ´ ´ ´ ´ ´

0

10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10

= = = = = =

7 20 500 8000 60 000 300 000

SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN OTRAS BASES DIFERENTES DE 10 PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base

Cifras disponibles

Nombre del sistema

2

Binario

0; 1

3

Terciario

0; 1; 2

4

Cuaternario

0; 1; 2; 3

5

Quinario

0; 1; 2; 3; 4

6

Senario

0; 1; 2; 3; 4; 5

7

Heptanario

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8

Octanario

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9

Nonario

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

10

Decimal

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11

Undecimal

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; a

12

Duodecimal

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; a;b

Donde: a = 10; b = 11; etc.

VERANO 2015

015

Sist. Numeración

6

TEMA

TEMA

Aritmética


BASICO

NUMERAL CAPICÚA Son aquellos números cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. O también son aquellos números que se leen igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

B. Descomposición Polinómica por Bloques Consideremos el número abcdef(n). Descomponiendo polinómicamente obtenemos: 5

4

3

2

abcdef(n) = an + bn + cn + dn + en + f

Ejemplos:

Agrupamos en bloques de 2 (de dos en dos): 5

2 1 3 1 2 ; 8 3 2 3 8 ; 7 0 4 0 7, etc.

4

3

2

abcdef(n) = (an + bn ) + (cn + dn ) + (en + f) 4

2

= (a n + b) n + (cn + d) n + (en + f) 4

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA A. Descomposición Polinómica de un número en cualquier base La descomposición polinómica es la suma de los valores relativos de las cifras que forman el número, expresados como una potencia de la base.

Ejemplos: Descomponer por bloques cada uno de los siguientes números de formas distintas. 3

* 32845(9) = 32(9) ´ 9 + 84(9) ´ 9 + 5

Ejemplos: 2 * 467 = 4 ´ 10 + 6 ´ 10 + 7 2 * 342(7) = 3 ´ 7 + 4 ´ 7 + 2

P

2

abcdef(n) = ab(n) ´ n + cd(n) ´ n + ef(n)

2

* 32845(9) = 328(9) ´ 9 + 45(9)

roblemas de Clase

01. Si los siguientes números están correctamente escritos: 325(p); p6(q) ; pq(8) Hallar: p ´ q a) 16 b) 34 c) 42 d) 54 e) 60

05. Si el numeral:

02. Si los siguientes números están correctamente escritos: 136(m); 33n(p); 23m(n); 5p7 Calcular: m + n + p

06. Dado el numeral capicúa:

a) 21 d) 22

b) 24 e) 20

b) 2 e) 6

6

Sist. Numeración

c) 7

æ bö (a + 1)(c - 1)(a - 2)b ç ÷ (13 - a) è 2ø

Hallar: a ´ b ´ c a) 12 d) 48

b) 18 e) 72

c) 36

07. Descomponer polinómicamente en bloques: * abab = ..................................................... * abab(3) = ..................................................... * abcabc(6) = .................................................. * mnmnmn(5) = ..............................................

c) 10

04. Si el numeral: (a + 2)(14 - a) es capicúa. Hallar: “a” a) 5 b) 8 c) 7 d) 4 e) 6

TEMA

es capicúa. Hallar: a + b a) 5 b) 8 d) 4 e) 6

c) 23

03. Si los siguientes números están correctamente escritos: n23p(m); p21(n); n3m(6); 1211(p) Calcular: m + n - p a) 4 d) 5

(a - 1)(b + 1)(a + 5)(3 - a)

08. Hallar: “x” Si: 132(x) = 42 a) 3 d) 9

016

b) 5 e) 11

c) 7

VERANO 2015

TEMA

Grupo de Estudios “ELITE” 4

Aritmética

3

2

10. Expresar: 4

3

2

M = 6 ´ 12 + 30 ´ 12 +2 ´ 12 +16 ´ 12 + 5 en el sistema duodecimal. a) 86345(12) b) 6302165(12) c) 86344(12) d) 843345(12) e) 6342(12) 11. Si sabemos que: 213(n) = 81 Hallar: “n” a) 5 b) 6 d) 8 e) 9 12. Hallar: “a”, si: 3a4(7) = 186 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 7

17. Si: abab(9) = mnpmnp(5) Hallar: a + b + m + n + p a) 12 d) 10

18. ¿En qué sistema de numeración se cumple que: 13+12=30? a) 3 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 19. Las edades de Paola y Beatriz se expresan en el sistema de numeración binario como 11001(2) y 10011(2) respectivamente. Hallar la suma de sus edades en el sistema decimal. a) 26 b) 38 c) 44 d) 56 e) 64

13. Hallar: “a”, si se cumple: 2a2a(7) = 1000 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

P

14. Calcular: “a”, si: a64 = a0a4(5) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 ó 4 15. Si los numerales: b45(8); aa3(b); 25(a) están correctamente escritos. Hallar: a + b a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 20

2m3(p); 54n(7); 213(m); 3p1(n) Hallar: m + n + p a) 10 d) 13

b) 11 e) 15

c) 12

c) 9

20. Delia sale de compras con S/. 320(4) y su hermana Carmen con S/. 223(4) más. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos? Dar como respuesta en el sistema decimal. a) 56 b) 78 c) 99 d) 155 e) 180

c) 3

16. Si los numerales están correctamente escritos:

b) 15 e) 8

ara la playita...

01. Si los numerales están correctamente escritos: b3c(7); 1b3(c); 142(b) Hallar: 2b + c a) 12 b) 11 c) 16 d) 18 e) 21 02. Si: aaa(7) = 114, hallar: “a” a) 2 b) 3 d) 5 e) 6

c) 4

03. Hallar: “n”, si: 23(n) + 14(n) = 42(n) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Si: 17.ab = 7ab +36, calcular: a + b a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 13 05. Si: mnpq = 65.pq +73.mn, calcular: mp + nq a) 36 b) 64 c) 89 d) 109 e) 120

VERANO 2015

017

Sist. Numeración

6

TEMA

BASICO

09. Expresar : M = 5 ´ 6 + 4 ´ 6 +1 ´ 6 +3 ´ 6 + 2 en el sistema senario y dar como respuesta la suma de sus cifras de “M”. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

GRUPO DE ESTUDIO


BASICO

Métodos de Conversión CASO I - De base (n) a base 10 El procedimiento que sigue puede ser la descomposición polinómica o el método de Ruffini.

CASO III - De base (n) a base (m) En este caso, primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada.

Ejemplo:

base(n)

Expresar 20134(7) en base 10.

3

Expresar 2714(9) en base 5.

2

20134(7) = 2 ´ 7 + 0 ´ 7 + 1 ´ 7 + 3 ´ 7 + 4 = 4876

®

2714(9)

Método: Ruffini. 2

0

1 3 4 + + + + 14 98 693 4872

2

14 99 696 4876

Luego: 2038 ® base 5 2038

CASO II - De base 10 a base (n) El procedimiento que se sigue es de divisiones sucesivas. Ejemplos:

356

8

36

44

8

4

4

5

\

I 1

356=544(8)

427

5

27

85

5

2

85

17

5

0

2

3

407

5

3

7

81

5

2

31

16

5

1

1

3

2714(9) = 31123(5)

V 5

X 10

L C D M 50 100 500 1000

Los símbolos se combinan de acuerdo con las siguientes reglas: 1º Cuando se escriben dos símbolos distintos: a) Si el menor figura a la derecha, se suma. VI = 5+1 = 6 ; LX = 50+10 = 60 b) Si el menor figura a la izquierda, se resta. IV = 5 - 1 = 4 ; XC = 100 - 10 = 90

427 = 3202(5)

Conversiones

38

El sistema romano no es posicional. Esto significa que el valor de cada símbolo no depende del lugar que ocupa en el numeral. Por esta razón, el sistema romano no usa el cero.

02. Representar 427 en el sistema quinario.

\

\

5

EL SISTEMAROMANO DE NUMERACIÓN En este sistema se usan siete símbolos fundamentales:

01. Expresar 356 en base 8.

7

2

2714(9) = 2 ´ 9 + 7 ´ 9 + 1 ´ 9 + 4 = 2038

Þ 20134(7) = 4876

TEMA

base 10 3

7 ´

base(m)

Ejemplo:

Método: Descomposición polinómica. 4

base(10)

018

VERANO 2015

TEMA


Aritmética

P

3º Los símbolos I, X, C y M no pueden repetirse más de tres veces seguidas. Ejemplos: * 3 se escribe III y 4 se escribe IV. * 30 se escribe XXX y 40 se escribe XL. * 300 se escribe CCC y 400 se escribe CD. 4º Para números mayores que MMM se coloca una raya horizontal sobre el numeral. Cada raya equivale a multiplicar por mil (agregar tres ceros). Ejemplos: IV = 4 ; XII = 12 ;

IV = 4000 ; XII = 12 000 ;

IV = 4 000 000 XII= 12 000 000

roblemas de Clase

01. Realizar las siguientes conversiones en base 10:

a=

* 101011(2) =

* xyx(7) = 235

* 21021(3) =

x=

* 46525(7) = * 3516(8)

=

a=

a=

02. Realizar las siguientes conversiones:

04. Si: 4a(b) = 3b(6), hallar: b a) 32 b) 65 d) 64 e) 25

=

* 275 a base 6 =

* 2135 a base 7 = 03. En cada una de las siguientes igualdades, hallar el valor numérico de cada cifra desconocida. * ab(7) = 41

c) 125

b=

c) 14

n

06. Si: m23(5) = n6n(2m), hallar: m a) 1 b) 4 d) 8 e) 12

c) 6

07. Hallar: c + d + e, si: 2235(5) = cde(7)

* aab(4) = 23 a=

a

05. Si: ab(15) = ba(17), hallar: a ´ b a) 4 b) 8 d) 26 e) 56

* 169 a base 8 =

a=

b=

* a0a1(5)=261

=

* 46 a base 4

y=

* aabb(6) = 532

* 20ab(12) = * a765(11)

b=

a) 11 d) 15

b=

b) 12 e) 16

c) 14

* abb(8) = 164

VERANO 2015

019

Conversiones

7

TEMA

BASICO

2º Solamente pueden restarse los tres símbolos siguientes: I; X y C. Se presentan los siguientes casos: * I se resta solamente de los dos que le siguen: V y X. IV = 5 - 1 = 4 ; IX = 10 - 1 = 9 * X se resta solamente de los dos que le siguen: L y C. XL = 50 - 10 = 40 ; XC = 100 - 10 = 90 * C se resta solamente de los dos que le siguen, D y M. CD = 500 - 100 = 400 ; CM = 1000 - 100 = 900

TEMA

BASICO

Aritmética


08. Calcular: “p”, si: ppp(7) = 210(9) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si 137 se expresa en el sistema quinario como mnpq(5), calcular: m + n + p + q a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

09. Calcular : a + b + c, si:

16. Si: 872(9) = abc(11), calcular: a + b + c

aa(5) + bb(7) + cc(6) = 5c(8) a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

1324x = 43(5) b) 8 e) 19

c) 12

11. Hallar: “x”, sabiendo que: 13 13 = 128 20 13 términos 13 (x) a) 65 d) 81

b) 68 e) 92

b) 23 e) 26

c) 24

17. Se conoce que: 4a1(5) = 232(7), calcular: “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

10. Calcular: “x”, en: a) 5 d) 16

a) 22 d) 25

c) 73

12. Calcular: a + b + c, si: aaa(7) = bc8 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

18. Si: 3ab(5) = ba1(6) Calcular: a + b a) 5 b) 6 d) 7 e) 9

c) 4

19. Si se cumple que: 3a(2b)(6) = b0ba(5) Calcular: a + b a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 3 20. Calcular: m + n, si: 251(m) = 20n(7) a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

13. Calcular el valor de: E = 11(2) + 12134 + 141516

a) 33 d) 36

b) 34 e) 37

7

c) 35

14. Si: 141913

(x)

= 42(6)

Calcular: “x” a) 6 d) 8

7 TEMA

b) 7 e) 9

Conversiones

c) 10

020

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO


Métodos de Conversión II BASICO

CASO I - De base (n) a base 10 El procedimiento que se sigue pueder ser la descomposición polinómica o el método de Ruffini.

2º 588 al sistema nonario. 588 9 3 65 9 2 7

Ejemplo: Representar 2712(8) al sistema decimal.

588 = 723(9)

\ 4323(5) = 723(9)

Resolución: Método: Descomposición Polinómica 3 2 2712(8) = 2 ´ 8 + 7 ´ 8 + 1 ´ 8 + 2 2712(8) = 1024 + 448 + 8 + 2 2712(8) = 1482

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICAPOR BLOQUES Ejemplos: 2

* 4747 = 4700 + 47 = 47 ´ 10 + 47 3

* 325325 = 325000 + 325 = 325 ´ 10 + 325

Método: Ruffini

2

2

7 1 + + 16 184 23 185

8 2

* 6464(8) = 6400(8) + 64(8) = 64(8) ´ 8 + 64(8)

2 + 1480 1482

3

* 721721(11)=721000(11)+721(11)=721(11) ´ 11 + 721(11) * 9876

2

= 98 ´ 10 + 76 1

= 987 ´ 10 + 6 \

3

= 9 ´ 10 + 876

2712(8) = 1482

REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO Si se desconoce por lo menos una cifra en un numeral, se utiliza letras minúsculas.

CASO II - De base 10 a base (n) El procedimiento que se sigue es de divisiones sucesivas. Ejemplo: Expresar 356 en base 8.

Consideraciones: * Letras diferentes no representan necesariamente cifras diferentes, excepto si lo indican. * Toda expresión entre paréntesis representan una cifra. * La primera cifra es diferente de cero.

Resolución: 356 36 4

8 44 8 4 5

CASOS: *

\

Representar un numeral de dos cifras en base 10. Ejemplo:

356 = 544(8)

a b = {10; 11; 12; .....; 98; 99} CASO III - De base (n) a base (m) En este caso, primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada. base(n)

base(10)

10 21 99 910

base(m) *

Ejemplo:

TOTAL = 9 ´ 10 = 90 NUMERALES Total de los valores de las variables.

Representar un numeral de tres cifras en base 10. Ejemplo:

Escribir 4323(5) en el sistema nonario. Resolución:

m n p = {100; 101; 102; .....; 998; 999}

1º 4323(5) al sistema decimal.

1 0 0 2 1 1

3

2

4323(5) = 4 ´ 5 + 3 ´ 5 +2 ´ 5 + 3 4323(5) = 588

VERANO 2015

9 9 9 9 1010

021

TOTAL NUMERALES

= 9 ´ 10 ´ 10 = 900

Total de los valores de las variables

Conversiones

8

TEMA

TEMA

Aritmética *


Representar un numeral de cuatro cifras en base 5.

Resolución:

Ejemplo:

a) Sea: a b a = {100; 101; 102; ..... ; 998; 999}

BASICO

x y z w = {1000(5); 1001(5); 1002(5); 1003(5); 1004(5); 1010(5); .......; 4444(5)} 1 0 0 0 2 1 1 1 3 2 2 2 TOTAL = 4 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 500 NUMERALES 4 3 3 3 4 4 4 Total de los valores 4 5 5 5 de las variables

1 2. .. 9

m n n m (7)= {1001(7); ... ; 6666(7)} 1 2. .. 6

0 1. .. 6

TOTAL = 6 ´ 7 = 42 NUMERALES

6 7

* aa(n) = {11; 33(5); 77(9); ....} * aba(n) = {757; 232(4); 575(8); ....} * abba(n) = {4334; (11)22(11)(16); .....}

c) Sea: x y z y x (6) = {10001(6); ......; 55555(6)}

Ejemplo Aplicativo: ¿Cuántos números capicúas existen? a) De 3 cifras en el sistema decimal. b) De 4 cifras en el sistema heptanario. c) De 5 cifras en el sistema senario, pero, con todas sus cifras impares.

1 1 1 3 3 3 5 5 5

TOTAL = 3 ´ 3 ´ 3 = 27 NUMERALES

3 3 3

roblemas de Clase

01. Expresar: 101001111101(2) en base 8. b) 4175(8) e) 4375(8)

05. Expresar: þ 101201211(3) en base 9.

c) 6175(8)

02. Expresar: 8527(9) en base 3 y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 d) 14

Se analizan sólo las variables independientes.

b) Sea:

Ejemplos:

a) 5175(8) d) 3175(8)

TOTAL = 9 ´ 10 = 90 NUMERALES

9 10

NUMERAL CAPICÚA Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes son iguales.

P

0 1. .. 9

b) 12 e) 15

a) 23457(9)

b) 12357(9)

d) 11654(9)

e) 32547(9)

c) 32543(9)

þ 13421011012(5) en base 25. a) 3457(25)

c) 13

b) 578(11)9(25) c) 2(11)(13)456(25) d) (11)578(25)

2

03. El numeral 43102301102(p) se expresa en la base p ; si la suma de las cifras del nuevo numeral es 59. Hallar el valor de “p”.

e) 1(19)(11)157(25) þ 111101100011(2) en base 8.

a) 7 d) 5

b) 8 e) 9

c) 6

04. Calcular la suma de las bases de los sistemas de numeración en los cuales 1500 se escribe con 4 cifras. a) 45 d) 50

8

TEMA

b) 46 e) 60

Conversiones

a) 7543(8)

b) 3245(8)

d) 7234(8)

e) 3567(8)

c) 3276(8)

06. Expresar “E” en base 10: E = 2ba(7) + 1a3(b) + 34(a) a) 233 d) 263

c) 47

022

b) 243 e) 143

c) 253

VERANO 2015

TEMA


Aritmética

07. Calcular “n” si el mayor numeral de tres cifras de la base “n” se expresa en el sistema quinario como 2332. b) 7 e) 10

a) 14 d) 12

c) 8

08. Si los siguientes números son diferentes de cero:

ab + ba = 77 ; a - b = 1 Expresar: ab(5)

Determinar: b) 5 e) 7

Hallar: a + b + c a) 8 d) 7

a) 735(8) d) 573(8)

c) 292

b) 7 e) 10

a) 22 d) 20

c) 8

b) 23 e) 21

c) 24

19. Si se cumple: 3a(c) + c1(b) = 14(a) + b2(8) Hallar: a + b + c a) 12 b) 21 d) 16 e) 20

c) 12

12. Si se cumple que: 2222.....2 144424443 (3) = abc

c) 18

20. Expresar “E” en el sistema octal:

“k” cifras

E = 21 21 21 21 21 (3)

Hallar: a + b + c + k b) 19 e) 24

c) 475(8)

Hallar: m + a + x

234(a); 2a3(b); bb2(7)

a) 15 d) 23

b) 375(8) e) 735(8)

13m(a) + 33a(x) + 136(m) = 44x

11. Si los numerales están correctamente escritos:

Hallar: a + b a) 10 b) 11 d) 13 e) 14

c) 10

18. Dada la adición:

= 1xyz 23 23 21(4) 23 23 (4)

Hallar: x + y + z a) 5 d) 9

b) 9 e) 6

17. Expresar el numeral 2003(5) en el sistema octal.

(9)

10. Si:

c) 32(5)

(a - 3)(a + 5) = bc(6)

n1

b) 146 e) 584

b) 34(5) e) 13(5)

06. Si:

= 130(4) 09. Si: 12 13 14 15 16 (n)

a) 73 d) 438

a) 43(5) d) 23(5)

c) 4

Hallar el valor de: n0

c) 10

15. Sabiendo que:

10a(4); 2bc(a) ; bb(c)

a) 6 d) 3

b) 13 e) 8

BASICO

a) 6 d) 9

14. Si al convertir al sistema octal xxxxxx(2) se obtiene ab(8). Hallar: a + b

c) 22 a) 654(8) d) 246(8)

13. Expresar el valor de “x” en:

b) 177(8) e) 666(8)

c) 106(8)

14 = 42(6) 19 13 (x) a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

VERANO 2015

c) 10

023

Conversiones

8

TEMA

BASICO

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Álgebra : Tema 1

Teoría de Exponentes

DEFINICIÓN DE POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado “base” tantas veces como factor, como lo indica otro número llamado “exponente”, para obtener un resultado llamado “potencia”.

Anota esta nota Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica.

Notación: exponente

Ejemplos:

n

b =p

base

*

potencia

x . x. x . x ...... x = x

30

30 veces

2 veces 2

Ahora, resuelve los demás:

b =b´b 3 b =b´b´b 4 b =b´b´b´b 5 b =b´b´b´b´b .. ..

Luego:

Ö 3 ´ Ö3 ´ Ö3 ´ ..... ´ Ö3 = 1442443

*

25 veces

*

(-4)(-4)(-4) ..... (-4) = 1442443

En general:

80 factores n

b = b.b.b........ b

x

*

“n” veces

x

x

x

x . x . x ..... x = 1442443 50 factores

Ejemplos:

æ a2 ö æ a2 ö æ a2 ö æ a2 ö ..... ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷= è b øè b øè b ø è bø 14444244443

*

4

* 3 = 3 ´ 3 ´ 3 ´ 3 = 81 3 * (-2) = (-2) ´ (-2) ´ (-2) = -8

(m + n) factores

Ahora resuelve los demás: 4 æ 1ö * çè ÷ø = 2

Anota esta nota n

-b ¹ (-b)

4

* (-5) =

21

=

an æ a ö ¹ç ÷ è bø b

3 18

* (a ) = * x

x+1

para “n” par. 2

2

* -5 ¹ (-5) Þ -25 ¹ 25

n

Ejemplos:

=

32 æ 3 ö ¹ç ÷ 4 è 4ø

VERANO 2015

;

Ejemplos: 2 2 * -8 ¹ (-8) Þ -64 ¹ 64

2

* (-2) = * x

n

025

2

9 9 ¹ 4 16

Exponentes

1

TEMA

BASICO

La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos y, la operación que da origen al exponente es la Potenciación.

TEMA

Algebra


LEY DE SIGNOS EN LAPOTENCIACIÓN CASO I: (BASE POSITIVA)

BASICO

*

4

(+2) = 16

PAR

=+ 4

*

(+3) = 81

Ahora resuelve los demás: 8

POTENCIAS MÁS USUALES 2

*

(+a) =

*

(100) =

*

(x)

22

=

*

2

*

7

2

=

*

(x)

*

(+6) =

*

4

CASO II: (BASE NEGATIVA) *

8

(-2) = 256

Para realizar diversas operaciones a través de la potenciación, es necesario recordar las potencias más usuales.

6

EN BASE EN BASE EN BASE EN BASE EN BASE 2 3 4 5 7

=

2 =2

=

2 =4

(+4) =

2 =8

10

*

6

(-a)

=

3

4

2

2 = 32

3

4

3

5 = 125

4

4

4 = 256

5

5 = 625

5

3 = 243

1

7 =7 2

7 = 49 3

7 = 343 4

7 = 2409

5

4 = 1024

5 = 3125

6

6

3 = 729

2 = 64

*

2

5 = 25

4 = 64

3 = 81

5

(-4) = 16

2

4 = 16

3 = 27

2 = 16

Ahora resuelve los demás: *

2

=+

5 =5

4 =4

3 =9

3

1

1

3 =3

2

6

PAR

1

1

7

(-3)

4

(-2)

10

2 = 128

=

8

*

(-x)

30

=

*

2 = 256

=

9

2 = 512

*

(-7)

4

*

(-8)

2

*

(-10) =

=

*

(-16) =

CASO III: (BASE POSITIVA) *

2

=

3

(+5) = 125

2

IMPAR

*

10

2 = 1024

PROPIEDADES DE LAPOTENCIACIÓN 1. Exponente cero

=+

0

b =1 ;"b¹0

3

(+10) = 1000 0

Nota: 0 = Número indeterminado.


*

(+6) =

7

*

(3)

15

*

(+2) =

7

*

(+5) =

*

(+4) =

*

(+a) =

*

(+x) =

*

(+2) =

3

5

Ejemplos:

=

0

* (-3) = 1

9

0

* Ö2 = 1


CASO IV: (BASE NEGATIVA) *

3

(-5) = -125

IMPAR

5

* 7

=-

* -8

3

*

(-10) = -1000

=

æ 1ö * ç ÷ = è 3ø

0

=

* 0,25 =

0

=

* (-1) =

0

* 3x

0

0


(-4) =

3

*

(-3)

5

=

*

(-2) =

5

*

(-4)

5

=

*

(-a)

9

=

*

(-7)

3

=

*

(-x) =

*

(-8)

3

=

1

TEMA

21

Exponentes

0

* (3x) =

026

0

* -1

=

VERANO 2015

TEMA


Algebra

2. Exponente uno

Recíprocamente: 1

El exponente uno ya no se escribe se sobre entiende. Ejemplos: *

1

5 =5

1

*

0,8 = 0,8

Ahora resuelve los demás: 1 * Ö2 = * * * *

1

3x æ 1ö çè ÷ø 3

(2b)

1

=

1

=

*

x

=

*

(2Ö3) =

(a + b) =

*

Öa+b =

1

=

5. División de bases iguales bm

1

b

1

b

1

*

= n , con : b ¹ 0 b

-n

æ bö =ç ÷ è aø

n

Ejemplos: *

1 1 5-2 = 2 = 25 5

* * * *

-3

-2 = -x

x

-4

4

-3

8

= = =

x6 x ( -a)121 * ( -a)100

-2

æ 3ö * çè ÷ø 4

-3

æ xö * ç ÷ è 4ø

-7

æ 1ö * çè ÷ø 5

-3

æ 1ö * ç ÷ è 8ø

-2

= 32 = 9

*

2x 26 Ahora resuelve los demás:

= = =

m

n

m+n

z

w

x+y+z+w

b .b =b

a

*

5

*

x

*

2

*

8

=

a-3

=

4-2

=

z-8

=

a-2

= m n

m.n

q

b .b .b .b =b

Observación: ì é(b m )n ù p ü = b m.n.p.q íë û ýþ î

Ejemplos: 2 1+2 3 * x.x =x =x Ahora resuelve los demás: 2 4 6 * 10 . 10 . 10 = 2 3 4 * m.m .m .m = x 3 * 2 .2 = x y z * x .x .x .x =

VERANO 2015

x-6

*

6. Potencia de potencia: (b ) = b

En forma extensiva: y

2 x +1 2 x -1

Recíprocamente:

=

4. Multiplicación de bases iguales

x

210 = 210 - 5 = 25 25

*

æ 1ö * çè ÷ø 3

Ahora resuelve los demás:

= b m - n ; con: b ¹ 0

Ahora resuelve los demás: x 30 * -10 x

Caso particular: æ aö çè ÷ø b

n

Ejemplos:

3. Exponente negativo -n

BASICO

Ejemplos: x+3 x 3 * 5 = 5 .5 Ahora resuelve los demás: x+2 * x = a+b+3 * 10 = a+5 * 2 = 3+2+1 * a =

b =b

Ejemplos: *

2 -5

(2)(-5)

(x ) = x

-10

=x

Ahora resuelve los demás: 2 3 * (a ) =

027

a 3

*

(a )

=

*

(x )

=

a a-1

Exponentes

1

TEMA

TEMA

Algebra


Recíprocamente:

8. Potencia de un cociente

Ejemplos:

BASICO

*

n

3 m

3m

an æ aö = çè ÷ø b bn

m 3

x = (x ) = (x )

Ahora resuelve, los demás: *

3

2x

*

x

15

= =

xyz

=

5a

=

*

a

*

2

5

æ x2 ö ç 3÷ èy ø

n

n

n n n

x y z n

xn

yn zn

(a b c ) = a b c

Ejemplos: a6

æ aö = ç ÷ 6 è bø b

Ejemplos: 2

2 2 2

2 2

(3xy) = 3 x y = 9x y

*

(x y )

3 2 5

=

*

(4x )

3 2

=

*

2 3 -5 4

*

(m n p )

*

(2 ´ 3 ´ 5) =

3

=

cd

x

x

Ahora resuelve los demás: x

*

2 .3 .5

*

x .y .z =

*

2 .3 .5

*

a . b .c

4

3a

6

2

32 = 34 = 81


5a

=

12

=

0 15 2 3

2

22 n

Nota: 3x ¹ (3x)

1

TEMA

Ejemplos:

=

3

Exponentes

e

ab Para resolver esta expresión, se toman los 2 últimos términos (base y exponente) luego se va transformando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos.

2 . a = (2a)

3

a 3y

9. Exponente de exponente (cadena de exponentes)

Ejemplos:

3

53x

5

Recíprocamente:

2a

6

Ahora resuelve, los demás: 6x * x 2 1 * 54


x

2

æ xö çè ÷ø 2

Recíprocamente:

(abc) = a b c

x

5

3

æ 2x ö ç y÷ è3 ø

7. Potencia de un producto

x

con: b ¹ 0

25 32 æ 2ö * ç ÷ = 5 = è 3ø 243 3 Ahora resuelve los demás:

(b m )n ¹ b m

*

;

Ejemplos:

No confundir:

2

con: b ¹ 0

p

æ am ö a mp = ç n÷ b np èb ø

Anota esta nota

*

;

n

2

0 32

7

5

028

VERANO 2015

TEMA


P

Algebra

roblemas de Clase 09. Hallar el valor de:

01. Calcular: 2

a) -9 d) 3

b) 27 e) 6

02. Calcular:

a) 12 d) 19

3

27 x +1. 32y -1 9 y + x . 3x + 2

c) -27

æ 1ö çè ÷ø 2

-3

æ 1ö +ç ÷ è 3ø

a) 1 d) 27

-2

10. Efectuar:

b) 17 e) -20

c) -15 4

a) b 7 6 d) a b

03. Calcular: 0 32

4

3 12

b) 9 x e) 3

a 3b4 é a 6 b a 3b4 ù ¸ê 5 ¸ 3 ú c2 c û ëc 7

a) 10 d) 6 05. Calcular:

a) 5 d) -6

b) 15 e) 5 -1

æ 1ö +ç ÷ è 3ø

a) 7/13 d) 5/7

-2

b) 9 e) 5

a) 144 d) 100

-1

b) 6 e) 1/5

c) 1/6

a) 2 d) 8

b) 3 e) 1/3

2

n+4

b) 4 e) 16

08. Simplificar:

a) 1/4 d) 1

+2 +2 7(2n )

0

a) 1 d) -1

VERANO 2015

0

4 2 0

b) 2 e) 0

c) 3

14. Reducir:

158 ´ (3 ´ 22 )9 ´ (5 ´ 2)14 5011 ´ (12 ´ 22 )5 ´ 96 a) 1 d) 4

n+2

b) 2 e) 5

c) 3

15. Calcular:

9

5

c) 6 a) 25 d) 3125

4n - 2 .3 4n -1 - 4n - 2 b) 16 e) 1/2

c) 169

-7 + 4 + [(3 ) ]

c) 19

n +3

b) 121 e) 81

2

13. Calcular:

39 ´ 927 ´ 273 819 ´ 2437

07. Simplificar:

c) 7/5

éæ 3 ö -3 æ 27 ö -1 æ 1 ö -3 ù êç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ú è 10 ø è 2 ø ûú ëêè 5 ø

c) 7

é 0 1 æ 1 ö -1 ù ê2 + 3 + ç ÷ ú è 2 ø úû êë

b) 1 e) 7/52

12. Calcular:

06. Calcular:

a) 1 d) 1/9

c) ab

3-1 + 2 -2 3-1 + 22

c) 16

æ 1 1ö çè + ÷ø 2 2

3

b) b 4 e) a

11. Calcular:

04. Efectuar:

c) 3

+3

2 a) 13 d) 11

BASICO

2

(-3) + -3 + 3

16. Reducir:

c) 1/16

a) 1

029

b) 125 e) 5

2

2

80

c) 625

2n +1 + 2n + 2 + 2n + 3 + 2n + 4 2n -1 + 2n - 2 + 2n - 3 + 2n - 4 b) 4

c) 16

Exponentes

1

TEMA

TEMA

Algebra


A partir de dos números, uno llamado índice y otro llamado “radicando”, obtendremos otra cantidad llamada “raíz”.

Ejemplos:

BASICO

* Definiremos así la operación de radicación: índice

1

raíz

* 53 =

n

n

Öa . r Û r = a ; n Î Z Ù n ³ 2

*

4

*

5

-125 =

Ejemplos:

; porque :

=

porque :

=

; porque :

=

* 16 =

;

-243 =

3 10

8

*

4

par

-

impar

= +

impar

= $ en Z

+

10

*

= +

163 = 93 =

* +

10

= 8 3 = (23 ) 3 = 210


Ley de signos par

=

Recíprocamente:


5

* x2 =

81 = 9 ; porque: 92 = 81

*

3

5 =

3

32 = 2 ; porque: 25 = 32

*

x2

3 1

x+ y x-y

* 2

Ejemplos: 5

3


radicando

*

2

x3 =

5

x2 =

2. Raíz de un Producto -

= -

n n ax

Ejemplos:

a . b=n a . . by =

n x

*

4

16 = 2

Ejemplos:

*

3

27 = 3

*

-25 = $ (no existe en Z ¡)


* *

5

-243 = -3

*

PROPIEDADES DE LARADICACIÓN 1. Exponente Fraccionario

x

n

b n

a . by

x

x x . yy = x x . x yy = x x yy

5 10

a .b5 . c2

*

x 2 . y 4 . z10

*

30

Recíprocamente: m an

n

= am =

n

a

m

Ejemplos:

"nÎZ Ùn³2

3 3 3 2 xy 2 * x. y = Ahora resuelve los demás:

Siendo: m una fracción irreductible. n

2

* 5

* *

1

TEMA

Exponentes

030

5 5

5

x2 . x7 . x6

3 2 3 a . b2

VERANO 2015

TEMA


Algebra

3. Raíz de un Cociente

n

a = b

n

a

n

b

Ejemplos: 3x

n

ax ax n = n y by b

"b¹0


*

5 4 3 120

3

x

7

x x = 3y y

3

332


*

x

xx = 2

3

8 = 27

BASICO

Ejemplos: 7

2 = 3x 2

2x

16

Consecuencias de la propiedad raíz de una raíz n

p

n

x a m yb zc =

nm

xa .

yb .

nmp c

z

Ejemplos: 1 = 4

*

*

5 34 73 4

2

243 = 32

5

3

3 = x x 4 4

x7

5

x2

3

*

*

*

*

1 2

3

56

3

7

20 7

3 ´

5(4)(3) 4

5

60 4

5

5

=

x

Numerador:

=

=

Caso particular: Cuando: x = y = z

n

4

3

2

=

500 3

3 ´

2 ´

20 30 4 80 4 240

3

5

=

5 3

5(4) 7

2 ´

4

3


5 3

x 3 y 4 z5 =

Ejemplos: *

=

5


Recíprocamente:

x

3

am

x

a

bp

´

x

m

c

+

=x

b

´

(am + b).p + c nmp

p

+

c

Denominador: n ´ m ´ p (producto de índices). Ejemplos:

=

*

4. Raíz de una Raíz

43 5

3

3

=3

4 ´ 3 +5 2´3

=

17 36

Ahora resuelve los demás: a bcde

N =

nm k

b

VERANO 2015

=

abcde

N

*

4 35 7 3 1

2

2

2 =

nm k

b

*

031

5 5 5 5 =

Exponentes

1

TEMA

TEMA

Algebra

P


roblemas de Clase

BASICO

01. Hallar el valor de: 4 3

4 ¸

a) 2 d) 4

4 -5

4

09. Simplificar:

1 4 2

b) 3 e) 6

b5 b b3 b 7

c) 8

b

2

a) b

b) b

4

n -1

a) 2 d) 6

4n -1 + 1

c) 4 20

æ3 ç 7 + 2x ÷ è3 ø

23

3 72

d) x

2

a-b

a) 1 b d) m

x3 x4 x 24

a)

17 b) x

d)

e) x

12 5

c) x

3

2

+

5

+

7

2ö çè ÷ø 3

-4

æ 3ö ´ç ÷ è 2ø

2 b) 3 3 e) 2

-7

1

b) 9 e) 94/9

c) 10

5

3 c) 2

a) 5 9

b) 5

d) 1/5

e) 1/125

2

5 -7

5

c) 25

15. Simplificar: 4

3

TEMA

-10

N = 53 ¸

08. Simplificar:

a) b 12 d) b

0,5

14. Hallar el equivalente de: 3æ

d)

1/3

- 27 + 100

a) 94 d) 4/9

c) 3

07. Efectuar:

a)

0,25

æ 2ö æ 3ö B= 7ç ÷ ´ ç ÷ è 3ø è 2ø

28

b) 2 e) 7

a

c) m

13. Calcular:A+ B, si: A= 81

20

3m a + b + 4m 2a 4m a + b + 3m 2b

b) m a-b e) m

4

54

c) 1/2

e) 1/4

12. Reducir:

c) 3

x

b) 1 1/8

05. Calcular:

a) 1 d) 5

24

x. x. x .

b) 2 e) 8

22

e) x

a) 0

3

c) x

11. Hallar el exponente final de “x” en:

c) 9

3

24

b) x

d) x

04. Reducir:

a) 1 d) 4

ù ú úû

21

a) x

b) 3 e) 30

06. Calcular:

e) b

é 3 2 4 3 ê x. x . x êë

2x +8 ö 4

a) 1 d) 27

3

10. Simplificar:

41- n + 1

b) 3 e) 8

03. Reducir:

c) b

5

d) b

02. Calcular:

17

bb

3

2

b) b e) 1

Exponentes

2

b 24

c) b

a) 1 d) 4

4

032

2n + 5 - 2n + 4

b) 2 e) 5

2n

c) 3

VERANO 2015

TEMA

Grupo de Estudios “ELITE” 16. Simplificar:

Algebra 19. Calcular el valor de:

(8-2 / 3 ) ´ ( -8)2 / 3

a) 1 d) 1/4

3 2

c) -1/2 a) 3 d) 1/9

4 -2

-2

- 2 -4

-0,5

+ 27 -2

b) 1/3 e) 1

-1

c) 9

BASICO

23 ¸ 82 / 3 b) 2 e) 1/2

17. Simplificar la expresión: n

a) 0 d) 3

20. Indicar el exponente final del número 3, en:

1 + 2n 1 + 2- n

34 . 4 3-3 . 35

b) 1 e) 4

c) 2

18. Hallar el valor de: 2

33

a) 8

b) 2

d) 1

3 3 e)

P

d)

3 3 33 3

12

a) 5 d) 8

æ 1ö +ç ÷ è 9ø

-2-1

æ 1ö +ç ÷ è 16 ø

b) 8 e) 7

-2-1

-1

a) a -6 d) a

-9-4

c) 1/4

2

5 K 35 = 5 K . K - Q , hallar: Q + 3

VERANO 2015

+ 9 12

6

5 5 2

c) 7

a1+ 2x . a 4x - 3 . a -1 a1+ 4x . a . a1+ 2x -2

-5

b) a -7 e) a

é ê êë

a) 9 d) 3

b) 4 e) 7

4 4 2

c) a

07. Reducir:

0 -2-5

b) 1/3 e) 1/15

6

b) 6 e) 11

6

c) 9

27

a) 3 d) 6

9

06. Reducir: -2-1

03. Reducir:

04. Si:

05. Efectuar:

1

2 4 - ü2 ì ïæ 1 ö 3 æ 1 ö 5 ï íç ÷ + ç ÷ ý è 32 ø ï ïîè 27 ø þ b) 8 c) 4 e) 9

æ 1ö çè ÷ø 4

a) 1/2 d) 1/9

31 17

c)

ara la playita...

02. Calcular:

a) 10 d) 2

31 15 31 e) 16 b)

c) 16

01. Reducir:

a) 5 d) 3

21 16 11 16

a)

b) 1 e) 1/3

ù 3 3 3ú úû

8

c) 27

08. Simplificar: Q = 4 + 5 5 5...... c) 5

a) 1 d) 4

033

b) 2 e) 5

c) 3

Exponentes

1

TEMA

GRUPO DE ESTUDIO

Álgebra : Tema 2

BASICO

Relaciones 1. PAR ORDENADO Daremos tres ejemplos de pares ordenados en la vida real. Ejemplo:

DEFINICIÓN DE PAR ORDENADO Son entes matemáticos que constan de dos elementos “a” y “b” a los cuales se les denomina primera componente y segunda componente respectivamente y se les denota por:

(a ; b) 01. Si para fijar una fecha del año, se establece que ese criterio de ordenamiento es: 1º la fecha y el 2º mes, no hay duda alguna que:

1º componente

Un par ordenado se define como: (a;b) = {{a} ; {a;b}}

(3;7) significa tres de Julio. (7;3) significa siete de Marzo. (8;8) significa ocho deAgosto. (3;7) es un par ordenado, cuyo primer componente es 3 y cuyo segundo componente es 7. ü (7;3) es un par ordenado, cuyo primer componente es 7 y cuyo segundo componente es 3. ü (8;8) es un par ordenado, cuyo primer componente es 8 y cuyo segundo componente es 8. ü ü ü ü

Teorema fundamental (a;b) = (c;d) « a = c Ù b = d Ejemplos: 01. Si los pares ordenados (m + 2 ; n + 1) = (5 ; 9) son iguales. Hallar: m + n Resolución: Por concepto de igualdad de pares ordenados: = Si: (m + 2 ; n + 1) = (5 ; 9)

02. Si para fijar la ubicación de un asiento en un cine se establece el siguiente criterio de ordenamiento: 1º la fila y 2º el asiento, es evidente que: ü ü ü ü ü

= De lo cual, tenemos: þ m+2=5 Þ m=3 þ n+1=9 Þ n=8

(4 ; 15) significa fila cuatro y asiento quince. (15 ; 4) significa fila quince y asiento cuatro. (4 ; 4) significa fila cuatro y asiento cuatro. (15 ; 15) significa fila quince y asiento quince. (4 ; 15) ; (15 ; 4) ; (4 ; 4) ; (15 ; 15) son pares ordenados.

Entonces: m + n = 3 + 8 m + n = 11

Pero, en Matemática es fundamental considerar pares de elementos con un criterio de ordenamiento, es decir, pares en los cuales se sepa, cuál de ellos es necesariamente el primer componente y cuál es el segundo componente. A esta clase de pares, en los que se consideraba necesariamente un criterio de ordenamiento, se les llama pares ordenados.

2

TEMA

Relaciones

2º componente

034

02. Si: (2x – 3 ; y + 2) = (9 – x ; x + 1) Calcular el valor de: “y”. Resolución: 2x – 3 = 9 – x 2x + x = 9 + 3 3x = 12

y+2 = x+1 y+2 = 4+1 y = 5–2

Þ x=4

\ y = 3

VERANO 2015

TEMA


Algebra

2. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos no vacíos “A” y “B”, es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, cuya primera componente pertenece a “A” y la segunda componente a “B”.

Sean los conjuntos: A= {1; 2; 3} y B = {a; b}, hallar:A ´ B

BASICO

A ´ B = {(a; b)/ a Î A Ù b Î B}

MÉTODOS PARA CALCULAR EL PRODUCTO CARTESIANO

A. DIAGRAMADEL ÁRBOL (1; a)

En caso que:A= B se define por:

a

2

A ´ A = A = {(a; b)/a Î A Ù b Î A}

b

OBSERVACIONES: · El producto cartesiano no es conmutativo en el caso que:A ¹ B, en tal caso:

1

A´B¹BÁ

3

2

(1; b)

a

(2; a)

b

(2; b) (3; a)

Ejemplos:

a

01. Dados: A= {1 ; 2} y B = {3 ; 4} Hallar: I. A ´ B II. B ´ A

b

Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene: A ´ B = {(1; a);(1; b);(2; a);(2; b);(3; a);(3; b)}

Resolución: I. A ´ B = {(1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (2 ; 3) ; (2 ; 4)} II. B ´ A= {(3 ; 1) ; (3 ; 2) , (4 ; 1) ; (4 ; 2)} Nótese que: A ´ B ¹ B ´ A

B. DIAGRAMASAGITAL

02. Sea: A= {2 ; 3 ; 4} y B = {x ; y} Hallar: I. A× B II. B ×A

1

a

2

II. B ×A= {x ; y} × {2 ; 3 ; 4} = {(x ; 2) ; (x ; 3) ; (x ; 4) ; (y ; 2) ; (y ; 3) ; (y ; 4)} Entonces: A ´ B ¹ B ´ A 2. Para calcular el número de elementos del producto cartesiano, utilizamos:

b

3

Resolución: I. A× B = {2 ; 3 ; 4} × {x ; y} = {(2 ; x) ; (2 ; y) ; (3 ; x) ; (3 ; y) ; (4 ; x) ; (4 ; y)}

Siguiendo el recorrido de las flechas se obtiene: A ´ B = {(1; a); (1; b);(2; a);(2; b);(3; a);(3; b)} C. DIAGRAMACARTESIANO Por ser pares ordenados, los elementos del producto cartesiano de dos conjuntos pueden representarse mediante puntos del plano cuyas abscisa y ordenada son, la primera y segunda componente respectivamente.

n(A ´ B) = n(A) ´ n(B)

B

Ejemplo: Dados los conjuntos: A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {a; b; c} Hallar el número de elementos del producto cartesiano. Resolución: Número de elementos de “A”: n(A) = 7 Número de elementos de “B”: n(B) = 3

b a 1

(1;b)

(2;b) (3;b)

(1;a)

(2;a) (3;a)

2

A´B

3

A

Del plano cartesiano se tiene:

Número de elementos deA ´ B: n(A) ´ n(B) = 7 ´ 3 = 21 7 3

VERANO 2015

(3; b)

035

A ´ B = {(1; a ), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)}

Relaciones

2

TEMA

TEMA

BASICO

Algebra


D. DIAGRAMATABULAR El diagrama tabular A ´ B se construye escribiendo los elementos del conjunto A en la primera columna y los elementos del conjuntos B en la primera fila. A este diagrama se le llama también de “doble entrada”. B

a

b

1

(1; a)

(1; b)

2

(2; a)

(2; b)

3

(3; a)

(3; b)

A

A ´ B = {(l; r);(l; j);(p; r);(p; j);(j; r, (j;j))}

l p

g = {(p; r) ; (p; j) ; (j; r) ; (j; j)} Dom(g) = {p; j}; Ran(g) = {r; j} Observación: ·

Toda correspondencia es siempre subconjunto de un producto cartesiano. Correspondencia Ì A ´ B

Resolución: y

·

B = {7; 9; 11}

Sea: g

Para el ejemplo, se utiliza el diagrama del árbol:

Dom(g)

9

8

9 11

Del gráfico se tiene Þ

7 ·

9 Luego:

11

ì(4;7);(4;9);(4;11)ü ï ï A ´ B = í(6;7);(6;9);(6;11) ý ï(8;7);(8;9);(8;11) ï î þ

j

Dom(g) Ì A Ran(g) Ì B

Dominio: Es el conjunto formado por todas las primeras componentes. Rango: Es el conjunto formado por todas las segundas componentes.

Ejemplos: Si: A= {1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} y B = {1; 2 ; 3 ; 4}

CORRESPONDENCIA Ejemplo: Liliana tiene dos hermanos: Pablo y José; sus padres se llaman Raúl y Juana, consideramos los conjuntos: A= {Liliana; Pablo; José} B = {Raúl; Julia} Establecemos el producto cartesiano de A ´ B con las iniciales de cada nombre.

Relaciones

r

j

7 6

B l p

11 4

Ran(g)

A

7

2

j

Ahora buscamos los pares ordenados que cumplan el criterio “.... es hijo varón de ...” y habremos establecido una correspondencia “g” de “A” en “B”.

Hallar el producto cartesianoA ´ B.

TEMA

r

j

Ejemplo: Dados los conjuntos: A= {x/x es par; 3 £ x < 9} B = {x/x es impar; 6 < x £ 11}

A= {4; 6; 8}

B

A

036

Determinar: a) El conjunto de partida. b) El conjunto de llegada. c) El Dominio de la relación. d) Diagrama de Venn. Siendo la relación: “... es el doble de ...”. Resolución: a) El conjunto partida es:A= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} b) El conjunto de llegada: B = {1 ; 2 ; 3 ; 4} c) Los pares ordenados de la relación son: {(2 ; 1) ; (4 ; 2) ; (6 ; 3)} \ Dom(R) = {2 ; 4 ; 6} ; Ran(R) = {1 ; 2 ; 3}

VERANO 2015

TEMA


Algebra

d) Diagrama de Venn

c)

Conjunto de partida

A

1

Conjunto de llegada

4

3

10

B

1 2 3

2 4 6

Dom(R) Ì A

4 0

Ran(R) Ì B

Entonces, la relación pedida, es: R = {(3 ; 2) ; (5 ; 2) ; (5 ; 3)} - El Dominio de la relación R, es: Dom(R) = {3 ; 5} - El Rango de la relación R, es: Ran(R) = {2 ; 3} - Diagrama sagital de la relación: R = {(3 ; 2) ; (5 ; 2) ; (5 ; 3)}

El diagrama sagital es:

3 5 7

Þ El Dominio es: Dom(R1) = {3 ; 5} 2 4 El Rango es: 6 Ran(R1) = {2 ; 4}

B

Conjunto de partida A

3 5 7

2 4 6

3 2

3

6

Dom(R)

x = 3 ÎA ® y = 3 + 1 = 4 Î B x = 5 ÎA ® y = 5 + 1 = 6 Î B B

B

2 5

Resolución: Los pares (x ; y) deA ´ B, deben cumplir: y = x + 1 Es decir: R2 = {(3 ; 4) ; (5 ; 6)} , porque:

A

Ran(R)

En conclusión:

Þ El Dominio es: Dom(R2) = {3 ; 5}

Par Ordenado Notación

El Rango es: Ran(R2) = {4 ; 6}

(a;b) a: 1º componente b: 2º componente

En ambos casos, “A” es el conjunto de partida y “B” es el conjunto de llegada. 04.Dados los conjuntos:A= {5; 8; 11} y B = {4; 7; 10} Se define la relación: R1 = {(x ; y) Î A×B / x < y} Expresar “R1” como un conjunto de pares ordenados e indicar su dominio y rango.

donde Definición Formal

Producto Cartesiano

es

es

(a; b) = {{a}; {a; b}}

Resolución: a) El conjunto de partida es:A= {5 ; 8 ; 11} b) El conjunto de llegada es: B = {4 ; 7 ; 10} R1 = {(5 ; 7) ; (5 ; 10) ; (8 ; 10)} Dom(R1) = {5 ; 8} y Ran(R1) = {7 ; 10}

VERANO 2015

Conjunto de llegada R

03.Del problema anterior, hallar: R2 = {(x ; y) Î A ´ B/y = x + 1}

R2

A

11

8

Resolución: A ´ B = {(2 ; 2) ; (2 ; 3) ; (2 ; 6) ; (3 ; 2) ; (3 ; 3) ; (3; 6); (5 ; 2) ; (5 ; 3) ; (5 ; 6)}

Resolución: Los pares (x ; y) deA ´ B deben cumplir con que: x + y = 7. Así: R1 = {(3 ; 4) ; (5 ; 2)}; ya que: 3+4=7 y 5+2=7

R1

5

05.Sea: A= {2 ; 3 ; 5} y B = {2 ; 3 ; 6} Hallar: R = {(x ; y) Î A ´ B / x > y} y diagramar.

02.Sean los conjuntos: A= {3 ; 5 ; 7} y B = {2 ; 4 ; 6} Determinar: R1 = {(x ; y) Î A ´ B / x + y = 7}

A

R1

7

037

A ´ B = {(a ; b)/a Î A Ù b Î B}

Teorema

cumple

(a; b) = (c; d) a=cÙb=d

A¹B A´B¹BÁ

además

además

(a; b) = (b; a) Si: a ¹ b

n(A ´ B) = n(A) ´ n(B)

Relaciones

2

TEMA

BASICO

5

B

TEMA

Algebra

Grupo de Estudios “ELITE” * Respecto del Dominio y Rango de una relación y su inversa:

RELACIÓN BINARIA( R Ì A ´ A) Llamada también Relación en “A” o “Relación de A en A”, es un subconjunto del producto cartesianoA ´ Aes decir:

- El Dominio de R* es igual que el Rango de R: Dom(R*) = Ran(R)

Ejemplos: 01. Sea el conjunto: A= {1 ; 2 ; 3} Hallar: R = {(x ; y) Î A ´ A/ x + y £ 4}

- El Rango de R* es igual que el Dominio de R: Ran(R*) = Dom(R)

Resolución: AÁ = {(1;1) ; (1;2) ; (1;3) ; (2;1) ; (2;2) ; (2;3); (3;1); (3;2) ; (3;3)} R = {(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3) ; (2; 1) ; (2; 2) ; (3; 1)} Dom(R) = {1 ; 2 ; 3} Ù Ran(R) = {1 ; 2 ; 3}

RELACIONES REFLEXIVAS “R” es una relación reflexiva en “A”, si todo elemento de “A” está relacionado consigo mismo según “R”. Es decir, si: R Ì A ´ A; " a Î A : (a ; a) Î R

02. Dado el conjunto: A= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

123

BASICO

RÌA×A

Þ R es reflexiva en A

Ejemplos: Dado el conjunto: A = {0 ; 1 ; 2 ; 3} y las relaciones en “A”:

Hallar el Dominio y Rango de la siguiente relación: R = {(x ; y) Î A ´ A / x = 0} Resolución:

· R1 = {(0 ; 1) ; (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (0 ; 0)}

La condición es que la primera componente sea cero. Þ Dom(R) = 0

Entonces “R”, es reflexiva, ya que: (a; a) Î R, para todo: a Î A, además, de otro punto como (0 ; 1). Esta relación reflexiva tiene diagrama sagital

La relación es: R = {(0 ; 0) ; (0 ; 1) ; (0 ; 2) ; (0 ; 3) ; (0 ; 4)} Þ El Rango: Ran(R) = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

A

RELACIONES INVERSAS Toda relación “R” de “A” en “B” tiene una inversa de “B” en “A”, que se denota por R* y se define como:

0 1 2 3

R* = {(b ; a) / (a ; b) Î R}

01.Dados: A= {0 ; 1 ; 2} y B = {3 ; 4 ; 5} y la Relación R: A ® B R = {(0 ; 3) ; (1 ; 4) ; (1 ; 5)} Þ R* = {(3 ; 0) ; (4 ; 1) ; (5 ; 1)} Gráficos: 0 1 2

A 0 1 2 3

o también

Usaremos este último diagrama en relaciones reflexivas

· R2 = {(0 ; 0) ; (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (2 ; 3)} No es reflexiva, porque falta (3; 3) para serlo.

Ejemplos:

A

R1

A 0 1 2 3

R

B 3 4 5

R*

B

A

3 4 5

0 1 2

RELACIONES SIMÉTRICAS “R” es una relación simétrica en un conjunto A, si para todo elemento (a ; b) de “R”, se cumple que (b ; a) es también elemento de “R”. * Es decir, “R” es una relación simétrica en “A”, si: R Ì A ´ A. * (a ; b) Î R indica que también: (b ; a) Î R. Ejemplos: Sea el conjunto: A= {1 ; 2 ; 3 ; 4} y las relaciones en “A”:

Para su inversa

01. R1 = {(1; 2) ; (2; 3) ; (3; 2) ; (2; 1)}

02.Si: A= {3 ; 5 ; 7} y B = {2 ; 4 ; 6} y R = {(x ; y) Î A×B / x + y = 9} Donde: R = {(3 ; 6) ; (5 ; 4) ; (7 ; 2)} Þ R* = {(6 ; 3) ; (4 ; 5) ; (2 ; 7)}

Es una Relación Simétrica, ya que: (1 ; 2) Î R y (2 ; 1) Î R (2 ; 3) Î R y (3 ; 2) Î R 02. R2 = {(1 ; 2) ; (2 ; 4) ; (4 ; 2) ; (2 ; 2)} No es una relación simétrica, ya que falta (2 ; 1).

2

TEMA

Relaciones

038

VERANO 2015

TEMA

Algebra


Ejemplos: Si:A= {1 ; 2 ; 3 ; 4}, entonces las relaciones:

Anota esta nota Si: R Ì A ´ A

* R1 = {(1 ; 1) ; (1 ; 3) ; (3 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (4 ; 4)}

2

* R2 = {(1 ; 2) ; (1 ; 1) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 2);

RELACIONES TRANSITIVAS Una relación “R” en “A”, se llama transitiva, si son elementos de “R” los pares (a ; b) y (b ; c) , así como (a;c), para elementos a, b y c del conjuntoA. Ejemplos: Dado el conjunto: A= {2 ; 3 ; 4 ; 5} y las relaciones: 01. R1 = {(2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (2 ; 4) ; (4 ; 2)} No es transitiva, ya que si bien es cierto, cumple con: * (2 ; 3) Î R1 Ù (3 ; 4) Î R1 Þ (2 ; 4) Î R1 pero falla en: * (2 ; 4) Î R1 Ù (4 ; 2) Î R1 Þ (2 ; 2) Î R1 debido a que (2 ; 2) Ï R1

(3; 3) ; (4 ; 4)} Son relaciones de equivalencias * R3 = {(1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) ; (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 3); (3 ; 2)} La R3 es simétrica y transitiva pero no reflexiva, por ello, no es de equivalencia. Ejemplo Aplicativo: Se tiene los conjuntos:

P = {1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} T = {3 ; 4 ; 5}

Y la relación: R = {(a ; b) Î T ´ P / “b” es múltiplo de “a”} Obtener los elementos de “R”, indicando el Dominio y Rango. Resolución: * P = {1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} ; T = {3 ; 4 ; 5} R = {(a ; b) Î T ´ P / “b” es múltiplo de “a”}

02. R2 = {(2 ; 3) ; (3 ; 5) ; (2 ; 5) ; (5 ; 4) ; (2 ; 4) ; (3 ; 4)} Es transitiva, puesto que son ciertas las afirmaciones: * (2 ; 3) Î R2 Ù (3 ; 5) Î R2 Þ (2 ; 5) Î R2 * (2 ; 5) Î R2 Ù (5 ; 4) Î R2 Þ (2 ; 4) Î R2

*

* (3 ; 5) Î R2 Ù (5 ; 4) Î R2 Þ (3 ; 4) Î R2

Como (a; b) Î T × P, la relación va de T a P. Conjunto de partida

T

RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relación “R” en “A” es una relación de equivalencia, si es simultáneamente:

3 4 5

REFLEXIVA " a Î A : (a ; a) Î R

R

Conjunto de llegada

1 2 4 6 8

P

Del diagrama de flecha: R = {(3 ; 6) ; (4 ; 4) ; (4 ; 8)} Dominio: Dom(R) = {3 ; 4} Rango: Ran(R) = {4; 6; 8}

SIMÉTRICA (a; b) Î R Þ (b ; a) Î R TRANSITIVA (a ; b) Î R Ù (b ; c) Î R Þ (a ; c) Î R

P

roblemas de Clase

01. Hallar: x + y, si: (x + 6; 9) = (10; y - 4) a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

01. Hallar: x + y, si: (x + 6; 9) = (10; y - 4) a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

02. Hallar: xy, si: (2x + y; 2x - y) = (20; 12) a) 32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

02. Hallar: xy, si: (2x + y; 2x - y) = (20; 12) a) 32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28

VERANO 2015

039

Relaciones

2

TEMA

BASICO

También se puede escribir: R Ì A

TEMA

Algebra


03. Hallar: x - y, si: (2; 3) + (x; -y) = (5; 1) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. Dado: Hallar:

BASICO

b) 15 e) 18

a) 4 d) 1

c) 16

b) 17 e) 20

A

B E G

D F A(..........; ...........)

B (..........; ...........)

C (..........; ...........)

D (..........; ...........)

E (..........; ...........)

F (..........; ...........)

G (..........; ...........)

H (..........; ...........)

07. Si se cumple: (2x - 1; 8) = (5; y + 5) 2

2

Hallar: x + y a) 16 d) 24

b) 12 e) 36

c) 18

X

12. Si: A= {x/x Î N; 3 < x < 7} B = {x/x Î N ; 3 £ x £ 5}, hallar: þ A ´ B = {............................................................... ............................................................................... ............................................................................... .............................................................................} 13. Si: P= {x/x Î N ; 2 £ x < 5} Q = {x/x Î N ; 7 < x < 10}, hallar: þ P ´ Q = {............................................................... ............................................................................... ............................................................................... .............................................................................} 14. Si: A= {1; 2; 3; 4; 5}; B = {a; b; c} Hallar: A ´ B y graficar el producto cartesiano: a) En un diagrama de árbol. b) En un diagrama sagital. c) En un diagrama cartesiano. d) Construir una tabla de doble entrada. 17. Determinar la cantidad de números de dos cifras ab que pueden formar de modo que la cifra de las unidades sea par y que la cifra de las decenas sea impar. a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 18. Sea: A= {1; 2; 3}, B = {2; 3; 4} Calcular: n [(A ´ B) - (B ´ A)]

Hallar: xy b) 16 e) 128

c) 32

a) 3 d) 6

2

TEMA

b) 1 e) 4

Relaciones

b) 4 e) 7

c) 5

19. Indicar verdadero o falso: I. Toda relación es subconjunto del producto cartesianoA´ B o deA ´ A. ( ) II. A ´ B Ì A ´ B ( ) III. {(1; 2)} = {(2; 1)} ( )

09. De la igualdad: 1 æ ö (5x - 2;6) = ç 4x + ; 5y÷ è ø 2 Hallar: xy a) 0 d) 3

c) 2

þ R ´ R tiene ............. elementos. þ S ´ R tiene ............. elementos.

08. Si se cumple: (Öx + Öy ; 12) = (6; x - y) a) 8 d) 64

3 b) 3 e) 0

þ S ´ S tiene ............. elementos.

06. Escribir las coordenadas de los puntos señalados: Y

C

y

þ R ´ S tiene ............. elementos.

c) 18

H

+

11. Si: “R” tiene 7 elementos y el conjunto “S” tiene 4 elementos, entonces:

05. Dado: (3x + 2y; 11) = (22; 4x - y), calcular: xy a) 16 d) 19

x 2

04. Calcular: x + y, si se cumple: (2; 4) + (7; 6) - (5; 2) = (x - 2; y - 2) a) 14 d) 17

(x - 2 ; 3 ) = ( 2; y - 3)

a) FFV d) VVV

c) 2

040

b) VFV e) FFF

c) VVF

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

´ Geometria : Tema 1

Introducción a la Geometría La Geometría es la ciencia deductiva que trata de las propiedades de las figuras geométricas empleadas para la medición de extensiones. Extensión es la porción de espacio que ocupa, una figura geométrica, llamándose extensión volumétrica para un sólido, extensión superficial en una superficie y extensión lineal la que ocupa una línea. OBJETO DE LAGEOMETRÍA El objeto original de la Geometría Euclideana es el estudio de las figuras geométricas desde el punto de vista de su forma, extensión y relaciones que guardan entre sí. Se divide en dos partes: Geometría Plana (Planimetría) y Geometría del Espacio (Estereometría). Hacia fines del siglo XX, la Geometría ha ampliado su campo de acción hacia nuevos problemas, generándose por tanto, nuevas ramas como: la Geometría Analítica, la Geometría Proyectiva, la Geometría Descriptiva, la Geometría No - Euclideana o de Lobatschewski, y en la actualidad, la Topología y la Geometría Vectorial.

* Posición: Es el lugar que ocupa una figura y el modo de estar colocada. Clasificación: Las figuras geométricas se clasifican en: a. Figuras congruentes: Si tienen igual forma e igual tamaño. Ejemplo: Dos circunferencias cuyos radios tienen igual longitud. b. Figuras semejantes: Si tienen igual forma, pero tamaño diferente. Ejemplo: Dos cuadrados cuyas longitudes de sus lados son diferentes. c. Figuras equivalentes: Si tienen forma distinta, pero igual tamaño. Ejemplo: Un círculo y una región triangular cuyas áreas son iguales. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES

La Geometría Plana estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos están en un mismo plano. Ejemplos: Triángulo, cuadrado, circunferencia. La Geometría del Espacio trata de las figuras cuyos puntos no están en un mismo plano.

En la Geometría sintética actual (axiomática), el punto, la recta y el plano son conceptos fundamentales o primitivos y no se definen; se enuncian simplemente estableciendo su existencia. Estas ideas básicas de la Geometría nos hacen pensar en objetos que vemos en el mundo físico; sin embargo, es importante anotar que estos conceptos son simples abstracciones de nuestras mentes y se aceptan sin definición. Así tenemos: El punto

Ejemplos: Cilindro, tetraedro, esfera.

La marca que deja la punta bien aguda de un lápiz en el papel nos da la idea del punto. Esta marca no es realmente un punto, sino simplemente su representación, pues el punto geométrico es una idea, y como tal, no puede verse ni tocarse.

FIGURAS GEOMÉTRICAS Se llaman figuras geométricas a los conjuntos de puntos tales como las líneas, superficies y cuerpos, con determinada forma, tamaño y posición. El punto representa el conjunto unitario. * Tamaño: El tamaño de un sólido se mide por su volumen, el de una superficie por su área y el de una línea por su longitud.

VERANO 2015

Un punto se representa por medio de una marquita redonda, indicándolo generalmente por una letra mayúscula. Así, en la figura tenemos los puntos: A;A’yA1

.A

. A’

. A1

(a)

(b)

(c)

La existencia del punto admite el siguiente postulado:

041

“Existen infinitos puntos”

Geometría

1

TEMA

BASICO

* Forma: Designamos con este nombre a la manera de estar limitada una figura.

DEFINICIÓN DE GEOMETRÍA

TEMA

BASICO

Geometria


La recta

ESPACIO GEOMÉTRICO

El trazo de un lápiz en el papel utilizando una regla, nos da la idea de recta. Este trazo no es realmente una recta, sino simplemente su representación, pues la recta es una idea, y como tal, no puede verse ni tocarse. La representación de la rectaAB se observa en la figura:

Acabamos de afirmar que existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos, pero no podemos afirmar que todos los puntos están en una recta o en un solo plano; entonces: ¿Dónde están los puntos que no pertenecen a la recta ni al plano? ¿Dónde están las infinitas rectas y los infinitos planos? Es de admitir que existe un conjunto UNIVERSO en donde se encuentran todos los puntos, todas las rectas y todos los planos cualquiera sea su orientación y/o ubicación. A este conjunto se denomina “espacio geométrico”.

B A

La existencia de la recta admite el siguiente postulado:

Anota esta nota

“Existen infinitas rectas” El plano

VOCABULARIO

La superficie de una mesa, de la pizarra del aula, etc., nos da la idea de plano. Estas superficies no son realmente el plano, sino simplemente representan la idea de él. Generalmente un plano se representa por un paralelogramo, tal como se muestra en la figura y se lee plano “P”.

En matemáticas se emplean con regularidad palabras con las cuales conviene familiarizarse desde el principio. Veamos la definición de las más importantes: • Proposición: Es el enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión. • Axioma: Es una proposición evidente en sí misma, y por tanto, no necesita demostración.

P

• Teorema: Es una proposición que para ser evidente, necesita demostración.

La existencia del plano admite el siguiente postulado: “Existen infinitos planos”

• Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración, aunque no tiene la evidencia del axioma.

La semirrecta El punto “A” divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta.

Semirrecta

Rayo

A

• Corolario: Es un teorema cuya verdad puede deducirse sencillamente de otro ya demostrado.

Semirrecta

Ala unión de una semirrecta con un punto frontera, se llama rayo. El punto donde se inicia el rayo, se llama origen. A

O

• Lema: Es un teorema preliminar que nos sirve de base para demostrar otras proposiciones.

• Escolio: Es una advertencia que se hace con el fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

B

OB : Rayo de origen “O” y que pasa por “B” OA : Rayo de origen “O” y que pasa por “A”

1

TEMA

Geometría

042

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Geometria : Tema 2

Segmentos AP @ PB

Notación y representación geométrica:

“P” es punto medio de AB

Notación: SEGMENTO: AB = AB

SEGMENTO

Elementos:

Representación geométrica A

PUNTOS DE TRISECCIÓN DE UN SEGMENTO Se dice que “P” y “Q” son puntos de trisección de “AB”. Si: P ; Q Î AB y AP @ PQ @ QB

¨ A: Punto inicial (origen) ¨ B: Punto final

B

a A

MEDIDAO LONGITUD DE UN SEGMENTO

;

B AB = 3a

Los segmentos tienen medidas iguales

AP @ PQ @ QB “P” y “Q” son puntos de trisección de “AB”

¨ Medida de AB = a ¨ Medida de AB = AB (“a” es un número real)

B

Q

AP = PQ = QB = a

NOTACIÓN:

A

a

P

La medida de un segmento está dada por un número real positivo. Por lo general, este número real siempre va acompañado del metro (m) o centímetro (cm), como unidad de medida.

a

a

AB = a

PUNTOS CONSECUTIVOS Y/O COLINEALES DE UNARECTA Representación geométrica:

Medida de un segmento (tiene doble notación)

A

C

B

D

Lo que se debe saber ... A ; B ; C y D: puntos consecutivos de una recta.

A algunos autores les es indiferente la notación. Utilizan “AB” para la medida y para graficar el segmento (esto no tiene mucha importancia para la resolución de problemas).

Lo que se debe saber ... Algunos autores dicen: A ; B ; C y D son puntos consecutivos y colineales. Otros dicen: A ; B ; C y D son puntos colineales (esto no tiene mucha importancia para la resolución de problemas).

SEGMENTOS CONGRUENTES Se dirá que “AB” es congruente con “PQ”; si: AB = PQ a

a

A

B

P

Q

P

Q

R

S

AB = a = PQ Los segmentos tienen medidas iguales

P; Q; R y S: Puntos colineales de una recta.

AB @ PQ

También se dice que: P;Q;RyS son puntos consecutivos.

“AB” es congruente con “PQ” OBSERVACIÓN:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Se dice que “P” es punto medio de “AB”. Si: P Î AB (“P” pertenece a “AB”); entonces:AP @ PB a A

a P

AP = a = PB

Del gráfico : A

B

;

1

AB = 2a

B x

C y

D z

AD = x + y + z

Los segmentos tienen medidas iguales

VERANO 2015

043

Segmentos

2

TEMA

BASICO

SEGMENTO

TEMA

Geometria A

2

Grupo de Estudios “ELITE” B

BASICO

y

P

C

AB = y - x

x

3

x

AB = z - y CD = z - x BC = x + y - z

D

z

09. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C y D de modo que “B” es punto medio de AD. AC - CD Hallar: 6BC

02. En los puntos colineales: A ; B ; C y D; se cumple que: BC = 5 ;AC + BD = 20 Hallar: “AD” a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 03. En una recta se tiene los puntos: R ; A ; M y O, si: 2AM = 3RA= RO = 12. Calcular: “MO” a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

a) 1 d)

CD - AB BC b) 4 e) 1

1 4

Hallar: “M”; si: M = a) 8,5 d) 9

c) 3

05. En una recta se ubican los puntos: A ; B y C; si: AC = 26; AB = 8. Calcular: “PQ”; siendo “P” y “Q” puntos medios de “AB” y “AC” respectivamente. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 06. Se ubican en una recta los puntos consecutivos colineales:A; B ; C y D; de modo que: 2 x 7 ; BC = - 3 ; CD = ; AD = 24 5 5 5 Calcular el valor de “x”. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 AB = x +

1 2 e) 2

b)

c)

1 3

10. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A; B ; C y D; de modo que: BC CD AB = = 2 3

04. En una recta se ubican los puntos: A ; B ; C y D; si: AC = 6 ; BD = 8 ;AD = 13

a) 5 d) 2

y C

B

roblemas de Clase

01. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C y D; de modo que: AD = 30 ; AB = 10 ; CD = 12. Calcular: “BC” a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

Calcular:

A

AC2 + BD 2 BC2

b) 7,5 e) 9,5

c) 8

11. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A; B ; C y D. Si se cumple que: AB BC CD = = 2 3 5 Calcular: “CD”; si:AD = 20 a) 6 b) 9 d) 8 e) 4

c) 10

12. En una recta se distribuyen los puntos consecutivos A ; B ; C y D, siendo: AC = 7 y BD = 11. Luego se ubican los puntos medios “M” de AB y “N” de CD. Hallar: “MN” a) 6 b) 8 c) 10 d) 9 e) 7

07. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C y D; de modo que: AB = 3BC ; CD = 4AB ; AD = 160. Hallar: “BC” a) 15 b) 5 c) 10 d) 20 e) 25

13. En una recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C y D; de modo que: BC = 6 ; BD = 2AB y AC = 5CD. Calcular: “AB” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

08. En una recta se ubican los puntos: A ; B ; C y D; de modo que: AC = 28 ; BD = 30 ; AD = 42. Hallar la distancia entre los puntos medios de los segmentos AB y CD. a) 24 b) 29 c) 25 d) 26 e) 20

14. En una recta se ubican los puntos consecutivos colineales:A; B ; C ; D y E. Calcular: “DE”; si: I. AB(BD) =AC(CD) II. BE -AC = 13 m a) 5 m b) 6 m c) 7 m d) 13 m e) 6,5 m

2

TEMA

Segmentos

044

VERANO 2015

TEMA

Geometria


19. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C y D; de modo que: BC = 10 ; AC + BD = 32 Hallar: “AD” a) 20 b) 21 c) 23 d) 22 e) 24

16. En una recta se ubican los puntos consecutivos: “A” ; “B” ; “C” y D; además, se toma el punto medio “M” de BC. Hallar: “AM”, si: AB = 3 ; CD = 6 y MB ´ MD = 7 a) 3,5 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20. Los puntos colineales: A ; B ; C y D, se encuentran sobre una línea recta; de modo que: AB = m ; AD = n y además:AB ´ CD = BC ´ AD. Hallar: “AC” a)

mn m+n

d) Ömn

17. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A ; B ; C ; D ; E y F; tal que: BE = 24. Hallar: “AF”; si además:AC + BD + CE + DF = 46. a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23

b)

m+ n 2

c)

2mn m+n

e) 2Ömn

18. En una recta se distribuyen los puntos consecutivos colineales: A ; B ; C y D; de modo que: AB = a ; AC = b ; 2(AC + BC) = 3AB. Hallar: “AD” a) b - a 4 d)

5a - b 3

P

b) 5a - b 4

c) 5b - a 4

e) a + b 4

ara la playita...

01. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos: S ; A ; N e I; de modo que: SI = 40 ; SA = 13 ; NI = 15 Calcular: “AN” a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 02. En los puntos colineales: G ; I ; L y E; se cumple que: IL= 8 ; GL+ IE = 30. Hallar: “GE” a) 12 b) 22 c) 32 d) 42 e) 52 03. En una recta se tiene los puntos colineales: J ; U ;Ay N; si: JU = 2UA= 3AN = 6 Calcular: “JN” a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

VERANO 2015

04. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos: A; B ; C y D; de modo que:AB = 4 ; BC = 3 ; CD = 5 Hallar: a) 1,24 d) 1,27

b) 1,25 e) 1,28

c) 1,26

05. En una recta se tiene los puntos: A ; B ; C; si: AB = 14 y BC = 18. Calcular “MN”; siendo “M” y “N” puntos medios de “AB” y “BC”. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 06. Dados los puntos consecutivos: A ; B ; C y D; de manera que: AB = 3x + a ; BC = 7 ; CD = 3x - a ; AD = 19 Calcular el valor de “x”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

045

Segmentos

2

TEMA

BASICO

15. Los puntos: A ; B ; C y D se encuentran sobre una línea recta, se marcan los puntos medios “E” de AB y “F” de CD. Hallar: “EF”; si:AC + BD = 34 a) 18 b) 17 c) 24 d) 14 e) 16

GRUPO DE ESTUDIO

Geometria :.Tema 3

BASICO

Ángulos Un ángulo es la unión de dos rayos con origen común. El origen común es el vértice y los rayos son los lados del ángulo. Notación: Ángulo AOB : AOB

A Representación geométrica

a

O

B

Elementos: * Vértice: “O” * Lados: OA ; OB * Medida del ángulo: mÐAOB = a

F En la Arquitectura, la geometría fue esencial en el (diseño y construcción de templos, monumentos, etc.). F Tuvieron la genial idea de dividir la circunferencia en 360 partes iguales y a cada “partecita” la llamaron: grado sexagesimal (inventaron el transportador, instrumento para medir los ángulos). CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Los ángulos se clasifican por su medida. CLASIFICACIÓN

MEDIDADE UN ÁNGULO La medida de un ángulo está dada por un número real positivo. En geometría, se utiliza el grado sexagesimal como unidad de medida. Ejemplo:

NULO

AGUDO

A Representación geométrica

O

40° B

RECTO

Elementos: * Vértice: “O” * Lados: OA ; OB * Medida del ángulo: mÐAOB = 40°

B

A

si

B

A 0° < a < 90°

a

a = 90° B

A

OBTUSO

si O

I. Algunos historiadores dicen que se debe a un fenómeno de la naturaleza. El río Nilo se desbordaba aproximadamente cada 360 a 365 días, por eso dividieron el año en 360 días, más 5 días festivos. II. Para los egipcios, el número 360 era un número místico, sagrado. III. Algunos dicen que es por la cantidad de divisores que tiene: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 30, etc. ... IV. En el Perú, los incas: * Sabían de los desbordes que ocasionaba el fenómeno de El Niño. * Utilizaban la yupana (para sumar, restar), los quipus (calendarios). * Los colores transmitían información. * Sabían geometría, etc. ...

si

A 180° < b < 360°

90° < a < 180° a B a

A

O

a

CÓNCAVO b O

a = 180° B

CONVEXO 0° < a < 180° B

ÁNGULOS CONGRUENTES Se dirá que dos ángulos son congruentes, si tienen medidas iguales.

Por ejemplo: F Observaban el recorrido del Sol o de la Luna, para orientarse (no tenían reloj), se orientaban mirando la sombra, las estrellas. Nace la Astronomía. F En la Medicina, les fue útil la geometría, para la cirugía (ubicación de los órganos).

Ángulos

si

A

O

AOB es un ángulo

LLANO

3

a = 0º

O

O

Notación: Ángulo AOB: AOB ; ÐAOB ; SAOB

GRADO SEXAGESIMAL

TEMA

si

046

A

a O

P

a

B

D

Q

mAOB = a = mPDQ Los ángulos tienen igual medida.

AOB @ PDQ AOB es congruente con PDQ

VERANO 2015

TEMA

Geometria

Grupo de Estudios “ELITE” ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

ÁNGULOS ADYACENTES Y/O CONSECUTIVOS B

A

E

Sean: ÐAOB ; ÐBOC, donde: mÐAOB = a ; mÐBOC = b

Tienen un rayo común (OB)

AOB y BOC se dirán ángulos adyacentes y/o consecutivos

a

BASICO

ángulos complementarios

C

O

Se dirá que: ÐAOB y ÐBOC, son:

; si:

a + b = 90°

b

Recuerda que: Los ángulosAOB yAOC, no son adyacentes.

Notación:

TRES ÁNGULOS CONSECUTIVOS

a = 90° – b

B A

“a” es el complemento de “b”

C

AOB, BOC y COD son ángulos consecutivos

Se dirá que el rayo OP es bisectriz del ángulo AOB, si: ÐAOP @ ÐPOB P

a

C

a

B

O

B

OP bisectriz de AOB A

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y además, los lados de uno de ellos es la prolongación de los lados del otro pero en sentido contrario. A

M O

a

b

a=b

B

Se denomina así a dos ángulos adyacentes que tienen sus lados no comunes opuestos. La suma de las medidas de estos ángulos que forman el par lineal es 180°.

O

VERANO 2015

62° 62°

28°

E

O

² El complemento del complemento de “a” es “a”: Así: CCa = C(90° – a) = 90° – (90° – a) = a Þ CCa = a ² El complemento del complemento del complemento de “a” es Ca:

² Generalizando: CCC...CCCa = “n” veces

a : si “n” es par Ca : si “n” es impar

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Sean: ÐAOB ; ÐPQR, donde: mÐAOB = a ; mÐPQR = b

B

A

28°

Así: CCCa = C(a) = Ca Þ CCCa = Ca

PAR LINEAL

a + b = 180°

b

D

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

N

a

b = Ca = 90° – a

ÁNGULOS ADYACENTES COMPLEMENTARIOS Y NO ADYACENTES COMPLEMENTARIOS: ¨ ÐAOB y ÐBOC son ángulos adyacentes complementarios. ¨ ÐCOD y ÐDOE son ángulos adyacentes complementarios. ¨ Ð AOB y Ð COD son ángulos no adyacentes complementarios.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

A

“b” es el complemento de “a”

a + b = 90°

a = Cb = 90° – b

D

O

b = 90° – a

Se dirá que: ÐAOB y ÐPQR, son:

Ángulos suplementarios

C

047

Ángulos

; si:

3

TEMA

TEMA

Geometria

Grupo de Estudios “ELITE” B P

a

A

b

OQ

B

R

BASICO

Notación:

40° 70° 70° 40° 70° O F 70°

A a = 180° – b

“a” es el suplemento de “b”

C

a + b = 180°

b = 180° – a “b” es el suplemento de “a”

a + b = 180°

a = Sb = 180° – b

b = Sa = 180° – a

² El suplemento del suplemento de “a”es “a”. Así: SSa = S(180° – a) = 180° – (180° – a) = a Þ

Así: SSSa = S(a) = Sa Þ

04. Si uno de los ángulos de un par lineal es el doble del otro. ¿Cuánto mide el menor ángulo? a) 120º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

A

D 3x + 10º

O

2x + 40º

C

B

02. Calcular el suplemento del complemento de “x”. C

B

a) 110º b) 120º

x

c) 130º

D

2x

d) 140º

110º O

e) 150º

A

x + 30º 100º

E

03. En la figura, calcular: “x” C B

x 100º

130º D

A O

3

a : si “n” es par Sa : si “n” es impar

roblemas de Clase

01. Calcular el suplemento de “x”.

TEMA

SSSa = Sa

² Generalizando:

“n” veces

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

SSa = a

² El suplemento del suplemento del suplemento de “a” es “Sa”:

SSS...SSSa =

a) 150º b) 140º c) 130º d) 120º e) 110º

E

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:

ÁNGULOS ADYACENTES SUPLEMENTARIOS Y NO ADYACENTES SUPLEMENTARIOS: ¨ ÐAOC y ÐCOD son ángulos adyacentes suplementarios. ¨ ÐCOE y ÐEOF son ángulos adyacentes suplementarios. ¨ Ð AOC y Ð EOF son ángulos no adyacentes suplementarios. ¨ Ð BOD y Ð AOF son ángulos no adyacentes suplementarios.

P

D

Ángulos

05. Si uno de los ángulos de un par lineal es la cuarta parte del otro. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de los ángulos? a) 106º b) 107º c) 108º d) 109º e) 110º 06. Si se tiene los ángulos consecutivos: AOB ; BOC y COD; tal que: mSAOB = 30º ; mSCOD = 50º y si mSAOD = 100º. Hallar: mSBOC a) 20º b) 30º c) 50º d) 100º e) 70º 07. Los ángulos consecutivos: AOB y BOC, forman un ángulo llano. Hallar la medida del ángulo que forma el rayo OA con la bisectriz del ángulo BOC; si: mSBOC = 30º a) 160º b) 165º c) 170º d) 175º e) 180º 08. Calcular el complemento de la mitad del suplemento de 70º. a) 33º b) 34º c) 35º d) 36º e) 40º

048

VERANO 2015

TEMA

Geometria

Grupo de Estudios “ELITE” 09. Si la diferencia entre las medidas de dos ángulos complementarios es 24º; ¿cuánto mide el mayor? a) 30º d) 57º

b) 31º e) 33º

15. Calcular: “x”; en la expresión mostrada: SCSx - CSx Sx

c) 32º

a) 5º d) 20º

b) 10º e) 30º

12. En los ángulos consecutivos: AOB ; BOC y COD, el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD mide 90º. Hallar: mÐAOC + mÐBOD b) 170º e) 140º

c) 160º

13. La medida de un ángulo es igual a 8 veces su complemento. Hallar el suplemento de dicho ángulo. a) 90º b) 100º c) 110º d) 120º e) 130º 14. En la figura, calcular: “x”; si: “C” es complemento. a) 13º b) 14º c) 15º d) 16º e) 17º

VERANO 2015

Cx

C2x C3x

b) 2 e) 5

c) 3

16. La diferencia de los ángulos consecutivos: AOB y BOC, es 44º. Si se traza la bisectriz OM del ángulo AOC. Hallar: mÐBOM

c) 15º

11. Se tiene los ángulos consecutivos: POQ ; QOR y ROS; tal que: mÐPOS = 160º y mÐPOR + mÐQOS = 216º. Hallar: mÐQOR a) 56º b) 55º c) 54º d) 53º e) 52º

a) 180º d) 150º

a) 1 d) 4

C : Complemento S : Suplemento

a) 22º d) 19º

b) 21º e) 18º

c) 20º

17. La medida de un ángulo es “f”, la diferencia entre el suplemento y complemento de “f” es igual al séxtuplo de “f”. Hallar: “f” a) 14º b) 15º c) 16º d) 17º e) 18º 18. Si se tiene los ángulos consecutivos: AOB y BOC, que se diferencian en 38º. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB. a) 17º b) 18º c) 19º d) 20º e) 21º 19. Si se tiene los ángulos consecutivos: AOB y BOC, siendo OM la bisectriz del ángulo AOC y mÐBOC = mÐAOB + 8º. Calcular: mÐBOM a) 1º b) 2º c) 3º d) 4º e) 5º 20. Calcular la medida de un ángulo, si el suplemento del complemento de dicho ángulo excede en 12º al doble de su complemento. a) 12º b) 24º c) 36º d) 34º e) 48º

049

Ángulos

3

TEMA

BASICO

Siendo:

10. La suma del complemento más el suplemento más el suplemento del complemento de la medida de cierto ángulo es igual a 330º. Calcular la medida de dicho ángulo.

GRUPO DE ESTUDIO Geometria : Tema 4

BASICO

Ángulos Formados entre Rectas Paralelas y Secantes UBICACIÓN DE DOS RECTAS EN EL PLANO Rectas: secantes y paralelas. L1

SECANTES L1 Ç L2 = P0 L1 y L2 (rectas)

MEDIDAS Y RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE (Quinto postulado de Euclides) Si: L1 // L2

L2

P0

a

L1

b

pueden ser:

PARALELAS L1 Ç L2 = f

a

L2

L1

* * * * *

La medida del ángulo entre dos rectas paralelas es 0°. a = 0°

2. Ángulos formados por rectas secantes (ángulos opuestos por el vértice) Dos rectas secantes forman 4 ángulos de los cuales son iguales dos a dos, a éstos se les llama opuestos por el vértice. a

b

a

b

a + b = 180°

“RECÍPROCO” DEL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES Si: * * * *

Los ángulos alternos internos son congruentes (iguales). Los ángulos alternos externos son congruentes (iguales). Los ángulos conjugados internos son suplementarios. Los ángulos conjugados externos son suplementarios.

DOS RECTAS PARALELAS Y UNASECANTE

L2

Notación: · L1 // L2 L1 y L2, rectas paralelas

L2

· L3, recta secante L3

a b a b

b a

L3

a + b = 180°

Entonces: L1 // L2

1. Si: L1 // L2 L1

1

L1

4

5

L2

8

Ángulos correspondientes

4

TEMA

b

x

2 3

a

L2

6

x=a+b

7

2. Si: L1 // L2

L3

Ángulos interiores

b a

Además:

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNASECANTE (8 ángulos)

Ángulos exteriores

a + b = 180°

Los ángulos alternos internos son congruentes (iguales). Los ángulos alternos externos son congruentes (iguales). Los ángulos conjugados internos son suplementarios. Los ángulos conjugados externos son suplementarios. Los ángulos correspondientes son congruentes.

L1

L1

a

L3

Entonces: 1. Ángulo entre dos rectas paralelas

b

b

L2

b a

1, 2, 7, 8

3, 4, 5, 6

L1

· Alternos externos: 1 y 7 ; 2 y 8

y

· Alternos internos: 4 y 6 ; 3 y 5

L2

· Conjugados internos: 3 y 6 ; 4 y 5

x x + y + z = 360°

1y5;2y6;4y8;3y7

Ángulos

z

· Conjugados externos: 1 y 8 ; 2 y 7

050

VERANO 2015

TEMA

Geometria


P

roblemas de Clase 07. Si: L1 // L2. Calcular:

01. Si: L1 // L2. Calcular: “x” x + 30º

L1

2x + 10º

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

L2

L2

02. Si: L1 // L2. Calcular: “x”

y

x 130º

30º

L2

08. Si: L1 // L2. Calcular el suplemento de “x”.

a) 40º b) 41º c) 42º d) 43º e) 44º

L

L1

57º

a) 122º b) 123º c) 124º d) 125º e) 126º

x + 16º

03. Si: L1 // L2. Calcular: “x” a) 20º b) 15º c) 10º d) 25º e) 26º

L1

25º

120º

150º 2x


L1 6x + 50º 7x + 30º

x

L2

b) 15º

3x + 50º

L1

L2

a) 51º d) 54º

50º

L2

c) 53º

e) 30º

45º

d) 8º e) 9º

2x

a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º

L1

x

b) 40º x x

x

L1 (4º + 2n)2n L2


L2

06. Si: L1 // L2. Calcular: “x” a) 30º

(x + 4n)n

c) 7º

55º

VERANO 2015

b) 52º e) 55º

b) 6º

60º

d) 20º

e) 70º

2w q

a) 5º

30º x

d) 60º

x

11. Si: L1 // L2. Calcular: “x” L1

c) 10º

c) 50º

2q

10. Las medidas de dos ángulos conjugados externos entre paralelas son 50º y (2x + 20º). Hallar: “x”

4x + 60º

05. Si: L1 // L2. Calcular: “x” a) 25º

L1

w

a) 90º b) 80º c) 70º d) 60º e) 50º


L2

82º

75º

x

3a 2a

L1

L2

L2

051

Ángulos

4

TEMA

BASICO

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

x y

TEMA

Geometria

Grupo de Estudios “ELITE” 17. Si: L1 // L2. Calcular: “x”

13. Calcular: “x”; si: L1 // L2 a) 35º

4a

L1

b x

BASICO

c) 37 4b

e) 39º

b) 3º

q

150º

c) 50º d) 60º

a

L2

q

e) 70º

L2


14. Hallar: (x - y); si: L1 // L2 a) 2º

L1

x

b) 40º

b) 36º

d) 38º

a

a) 30º

x

L1

6y

a) 100º

2x 3x

L1

b) 110º

4y

c) 4º

x

c) 120º

d) 6º

3y

e) 7º

4x

d) 130º

2y

x

L1

b) 90º

x

c) 100º

f

d) 120º

L2

16. Si: L1 // L2. Calcular: “x” L1

a) 14º

L1

3q

a) 80º

e) 20º

120º

2q

x

a) 51º b) 52º

c) 16º

7x

d) 17º 2x

L2


b) 15º

e) 18º

L2

19. Si: L1 // L2. Calcular: “x” 20º 20º

f

80º

e) 140º

L2


100º

6q

c) 53º d) 54º L2

5q

e) 55º 4q

4

TEMA

Ángulos

052

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Geometria : Tema 5

Triángulos TRIÁNGULO

Es aquella figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. f

puede ser:

B b

curvilíneo

a

c A a g

q

b

rectilíneo

mixtilíneo

esférico

w C

definición propiedades

ELEMENTOS: * Vértices : A; B y C * Lados : AB ; BC yAC

por las longitudes de sus lados

por las longitudes de sus lados

También del gráfico, tenemos: * Medida de los Ss interiores : a ; b ; q * Medida de los Ss exteriores : g ; f ; w Notación: TriánguloABC : DABC Perímetro de una región

suma de medidas de sus ángulos internos

existencia del triángulo

cálculo de la medida de sus ángulos externos

correspondencia entre lados y ángulos

suma de medidas de sus ángulos externos

Es el conjunto imaginario que limita una región plana. La longitud del perímetro de una región se denota con el símbolo “2p”. Así, la longitud del perímetro de una región triangular es igual a la suma de las longitudes de los lados del triángulo que lo limita.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES 1. La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°. A b

B

a

B

q

C

2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores uno por cada vértice es 360°.

a

c

a + b + q = 180°

B f

g + f + w = 360°

A

b

C

C w

g

* Perímetro:

A

2p = a + b + c * Semiperímetro: p=

a+b+c 2

3. La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. B b w=a+b A

VERANO 2015

053

a

w C

Triángulos

5

TEMA

BASICO

DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO

TEMA


Geometria 4. En un mismo triángulo, al ángulo interior de mayor medida se le opone el lado de mayor longitud y viceversa.

Ø Triángulo rectángulo Es el que tiene un ángulo recto. A

B

BASICO

b

a

c

Þ

a

A

q b

a>c

C

A

Þ

a

b q

Ù

a=c

A

a=b

AC : Base

A

b

C

A

b

a¹b¹c

a

a¹b¹q

a

q b

C

II. Según sus ángulos internos:

a

q

q

C

y

0° < a < 90° 0° < b < 90°

a

Si: AB < BC Þ q
d. Todo triángulo tiene seis ángulos externos, estos seis ángulos forman tres pares de ángulos congruentes, por ser opuestos por el vértice.

Ø Triángulo acutángulo Es el que tiene ángulos agudos. b

V

c. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces, los lados opuestos a estos ángulos no son congruentes y a mayor ángulo, se opone mayor lado. B Si: AB < BC Þ f
B c

T

B

a = b = q = 60°

Ø Triángulo escaleno Tiene lados de diferente longitud.

A

P

a=b=c

q

a

a

b. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces, los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes y a mayor lado, se opone mayor ángulo.

B

a

N

O

a

U

M

a

C

b

C

B

AB y BC : Lados laterales

Ø Triángulo equilátero Tiene sus lados de igual longitud.

c

a

a. Si dos a más ángulos tienen igual medida, se dice que son congruentes y también si dos o más segmentos tienen igual longitud, serán congruentes.

Ø Triángulo isósceles Tiene 2 lados de igual longitud. B

a

Observaciones:

I. Según sus lados:

b

2

90° < q < 180°

b

B

a

2

Ø Triángulo obtusángulo Es el que tiene un ángulo obtuso.

C

b

a

2

a + b =c

c

q

c

B

a + b = 90°

Además:

b–c
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

A

a

A

Si: a > b > c

a

AB : Hipotenusa

a

Teorema de Pitágoras:

B b

AC y BC : Catetos

c

C

Condición de existencia del triángulo En todo triángulo, la longitud de un lado está comprendida entre la diferencia y suma de las longitudes de los otros lados.

c

b

b

Si: a > q

y

x

0° < q < 90°

x

z z

5

TEMA

Triángulos

054

VERANO 2015

TEMA


Geometria

e. En un triángulo ABC, el ángulo interior “iA”y el exterior en “eA” son suplementarios adyacentes. En cambio, los ángulos “B” y “C” no son adyacentes con el ángulo exterior en “A”.

3

a

x+y=a+b x

B

y

BASICO

b

iA + eA = 180° e i A

C

4 a

PROPIEDADES ADICIONALES

x + y = 180º + a

1 b

q

a

y

x

a+b=q+w w

5 a

2

b

a+b=q+w

b

w=a+b+q a

P

w

q

roblemas de Clase 03. En la figura, calcular: “x”

01. En la figura, calcular: “x”

a) 8º x+3

a) 24º

10x

b) 9º

0º

b) 25º

c) 10º

c) 26º

d) 15º

d) 27º e) 28º

w

q

12x

e) 36º 2x + 10º

14x

2x + 20º


02. En la figura, calcular: “x” a) 34º

x

6x - 30º

50º

b) 35º c) 36º

x + 5º

d) 37º

4x a) 60º d) 75º

e) 38º

VERANO 2015

110º

x

055

b) 65º e) 80º

c) 70º

Triángulos

5

TEMA

TEMA

Geometria


05. En la figura,AB = BD; calcular: “x”

11. En la figura, calcular: “q”

BASICO

50º

x

A

20º

D b) 42º e) 45º

a) 41º d) 44º

2q + 56º

a) 22º b) 23º c) 24º d) 25º e) 26º

B

C

4q

3q

54º


c) 43º º


30

a) 20º b) 30º

20

º

c) 40º 70º

d) 50º

x

e) 60º x a) 75º d) 78º

30º

13. En la figura, calcular: “x + y + z + w + v”

b) 76º e) 79º

c) 77º

y

z

x


w

a) 144º b) 145º

40º v

c) 146º d) 147º

x

a) 90º d) 540º

e) 148º 08. En la figura, calcular: “x”

b) 180º e) 720º

14. Si: SI = IN, calcular: “x”

B

a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

c) 360º

I

a) 40º P

A

80º

b) 30º

x

Q

70º

x

c) 20º 30º

d) 10º

C

e) 5º

7x

S

09. En la figura, calcular: “x” a) 112º b) 113º c) 114º d) 115º e) 116º

º-

50

f x

b) 18º

10. Calcular: “x”; si: a - q = 20º

5

TEMA

a

q

Triángulos

L

A

c) 19º

a

f 30º

d) 20º

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

5x

15. Si: PE = ER ; f + a = 72º. Calcular: “x” E a) 17º

40º + f

25º

N

a

e) 21º

P

U

x

L R

30º

x

056

VERANO 2015

TEMA


Geometria

16. En la figura, calcular: “x” 19. En la figura, calcular: “x”

4q

a) 2º

f

b) 4º

a) 36º

3x

d) 8º

q

e) 10º

b) 37º 5f

3x

d) 39º e) 40º

17. En la figura, calcular: “q” I

q

x

N

a) 70º d) 24º

60º 20º 2q

A b) 72º e) 12º


L

x

C

D

A

c) 26º

70º 7x

E

a) 17º b) 18º x

c) 19º

2f

20. Según el gráfico,AB = BD = DE. Calcular: “x” B

3q

S

3x

c) 38º

BASICO

c) 6º

2q f

a) 30º

b) 40º

d) 60º

e) 70º

c) 50º

d) 20º e) 21º

4x 8x

VERANO 2015

057

Triángulos

5

TEMA

TEMA

GRUPO DE ESTUDIO

Razonamiento Metemático: Tema 1

BASICO

Habilidad Operativa 01. Calcular: a + b; si:

2

(114 ´ 34 ´ 244 5 ´ 7 ´3 ...) 4 = ......ab 2011 factores

a) 3 d) 25

b) 7 e) 5

RM

a) 2 d) 8

M = 2 ´ 4 ´ 10 ´ 82 ´ 6562 + 1

b) 32 e) 34

c) 80

c) 6

abcdef ; bcdefa ; fabcde ; cdefab ; efabcd y defabc

A = 7 777 777 ´ 999 999 999 b) 27 e) 81

b) 4 e) 5

11. Si: a + b + c + d + e + f = 27, hallar la suma de las cifras del resultado de sumar los números:

03. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 18 d) 60

c) 54

b) 20 e) 45

c) 54

12. Indicar el valor de: I = 200 ´ 201 ´ 202 ´ 203 + 1

04. Calcular la suma de las cifras de: a) 40 600 d) 406 205

2 2 A = (111...1113) 14243 - (111...1111) 14243

100 cifras

a) 101 d) 404

2

(MAMA864 + MATEMATICA22)

4

a) 18 d) 63

2

10. En qué cifra termina:

c) 11

02. Calcular el valor de “M”, en:

a) 4 d) 81

2

09. Calcular: (135) + (85) + (65) + (145) a) 20 400 b) 30 200 c) 50 700 d) 40 800 e) 60 250

100 cifras

b) 202 e) 505

b) 40 601 e) 201 203

c) 200 203

2

13. Si: (a + b + c) = 144, calcular: abc + bca + cab a) 1221 b) 1432 c) 1332 d) 1532 e) 1232

c) 303

05. Calcular el valor de: K=

a) 3 d) 54

3

14. Hallar la suma de las cifras del resultado: 324 156 ´ 11 + 122 233 244 ´ 11

(1025 ´ 1023 + 1) ´ 9 ´ 111 324 ´ 37 b) 9 c) 27 -1 e) 3

a) 22 d) 32

06. Calcular la suma de las cifras del resultado de: 2

E = (777 778) - (222 223) a) 20 d) 80

b) 40 e) 30

2

A= 333 333 333 2 B = 999 999 999

2

c) 60

a) 72 d) 99

1

TEMA

Hab. Operativa

c) 89

M = 66 666 666 ´ 9 999 999 a) 72 d) 58

(x - y)6 + (y - z)6 + (x - z)6 66

b) 6 e) 4

b) 81 e) 100

16. Hallar la suma de las cifras de:

08. Si: x - y = y - z = 6 6 , calcular el valor de:

a) 11 d) 12

c) 28

15. Hallar la suma de las cifras de: A+ B, si:

07. ¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por 360 para obtener un cubo perfecto? a) 25 b) 36 c) 27 d) 75 e) 125

A=

b) 25 e) 34

b) 54 e) 63

c) 60

c) 66

058

VERANO 2015

TEMA

Rz. Matematico

Grupo de Estudios “ELITE” 17. Hallar la suma de las cifras de: P+ Q, si:

22. Calcular la suma de las cifras de “A”.

P = 111 110 888 889

2 A = 81 ´ (111....111) 1424 3

Q = 999 998 000 001

b) 24 e) 45

a) 450 d) 540

c) 27

E=

2

E = (222....222) ´ 9 b) 600 e) 81

c) 510

23. Calcular:

18. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

a) 300 d) 1800

b) 480 e) 630

BASICO

a) 18 d) 36

50 cifras

999....999 - 1999....998 18 cifras

10 cifras

Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 72 b) 81 c) 90 d) 99 e) 108

c) 900

19. Calcular: A = 111 ... 111 - 222 ... 222 100 cifras

24. Reducir:

50 cifras

E = ( 123 454 321 -

Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 100 b) 120 c) 150 d) 180 e) 210 20. Calcular: B=

Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35 25. Hallar la suma de las cifras del producto siguiente:

[222....222 444....444] ¸ 2 123 - 123 400 cifras

P = 111...111 1 424 3 ´ 999....999 1424 3

200 cifras

2011 cifras

Indicar la suma de las cifras del resultado. a) 120 b) 600 c) 200 d) 800 e) 300 21. Calcular:

a) 10 d) 30

1 234 321 - 5)2

a) 18 000 d) 18 999

b) 18 009 e) 18 899

2011 cifras

c) 18 099

24 808 ´ 24 792 + 64 616 ´ 624 + 16

b) 20 e) 50

VERANO 2015

c) 40

059

Hab. Operativa

1

TEMA

GRUPO DE ESTUDIO

Razonamiento Matematico : Tema 2

BASICO

Conteo de Figuras

Consiste en averiguar la cantidad exacta de figuras que piden (triángulos, cuadriláteros, segmentos, cubos, etc.) que se encuentran en la figura dada; dicha cantidad es la máxima. A. MÉTODO DEL CONTEO DIRECTO Como se ha visto, el conteo directo se realiza visualmente o por “simple inspección” y enumerando las figuras simples que conforman la figura principal; en este caso se dice que estamos contando “por combinación”. Conteo por simple inspección Hay problemas en los cuales basta observar minuciosamente la figura principal y las figuras simples que la componen buscando las características que satisfagan las condiciones requeridas por la pregunta. Veamos: Ejemplo: En la figura mostrada: I. ¿Cuántas figuras simples hay? II. ¿En cuántas figuras simples hay 2 asteriscos?

Resolución: Observemos atentamente la figura principal y contemos cada una de las figuras simples que la componen (Podemos ayudarnos con lápices de colores e ir delineando con un color los bordes o coloreando el interior de cada figura simple). Así tenemos: I. Como podemos apreciar, hay 8 regiones simples. II. Hay 3 regiones simples en las cuales hay 2 asteriscos.

triángulos tiene realmente la figura mostrada? Para saberlo A podríamos suponer que el tablero está

B formado sólo por un cuadrado, luego que está formado por dos cuadraditos por lado y así sucesivamente aumentamos el número de cuadriláteros por lado, ¿recuerdas cómo se llama este proceso? Lo que estamos sugiriendo es trabajar por inducción, es decir, reducimos el problema a un caso más sencillo y lo estudiamos; luego, complicamos poco a poco las situaciones y buscamos características notables que estarán presentes en todos los casos, analizamos dichos casos y finalmente generalizamos. Vamos a empezar con un tablero de un cuadrado por lado y le trazamos su diagonal. Veamos: Aplicando el conteo por combinación que ya hemos estudiado, encontramos que hay 2 triángulos: 1 y 2. 2 1 Ahora consideramos un tablero con 2 cuadrados por lado. Otra vez contando por combinación hallaremos aquí: 6 triángulos: 1; 2; 5; 6; 135 y 246.

1

B. MÉTODO DEL CONTEO POR INDUCCIÓN Observa la figura, ¿has jugado ajedrez o damas alguna vez?, seguro que sí; y habrás utilizado un tablero como el que se muestra en la figura.

2

Conteo Figuras

4

6 3 5 El tablero tiene 3 cuadrados por lado. Procediendo en forma análoga a los anteriores casos obtenemos: 12 triángulos, podríamos continuar así en los demás casos pero... hagamos un resumen y generalicemos:

Podemos apreciar un tablero cuadrado con 8 cuadraditos por lado. Ahora tomemos un lápiz y tracemos una línea que una los puntos A y B del tablero (hemos trazado la diagonal del tablero cuadrado), al hacerlo notamos que aparecen unos triángulos pequeños situados a ambos lados de la diagonal. ¿Serán los únicos o habrán más?, ¿cuántos

TEMA

2

060

2

1 3 5

4 7 6 9

8 10 12 11

VERANO 2015

TEMA

Rz. Matematico

Grupo de Estudios “ELITE” 1 1 1

2 Nº de Triángulos: 1 ´ 2

A 1 2 3 45 6 7 8

3

1 2 3 4 5 6 7 8

1

1

2

2

3 6 2´3

BASICO

1

2

2

B

12 3´4

8 ´ 9 = 72

Luego, en nuestro problema hemos encontrado que el número total de triángulos que se formarían al trazar la diagonal del tablero que une los puntos “A” y “B” sería: 72 Acontinuación analicemos algunos “problemas tipo” de conteo de figuras que se resuelven por el método de inducción. CONTEO DE SEGMENTOS Ejemplo: ¿Cuántos segmentos hay en total en la siguiente figura?

1 Resolución:

2

3

n-1

Si trabajas por inducción, comprobarás fácilmente la expresión:

n 1 2 3

Procederemos por inducción:

Si: n = 1 Si: n = 2 Si: n = 3

1 1

2 2

n(n + 1) 2 Donde “n” es el número de triángulos numerados tal como se muestra en la figura dada. Nº total de triángulos =

Nº de segmentos: 1 segmento

1

3

1 + 2 segmentos

CONTEO DE CUADRADOS CONTEO DE CUBOS Y PARALELEPÍPEDOS

1 + 2 + 3 segmentos

CASO: La figura principal es un cuadrado.

En general: n(n + 1) Nº total de :1 + 2 + 3 + ... + n = segmentos 2

1

1 2 1

=1

1 2 2

1+4 2 2 1 +2

=5

1 2 3 2 3

1+4+9 2 2 2 1 +2 +3

= 14

1 2 3 4 2 3 4

1 + 4 + 9 + 16 = 30 2 2 2 2 1 +2 +3 +4

CONTEO DE ÁNGULOS Ejemplo: ¿Cuántos ángulos agudos existen en la siguiente figura? Resolución: CONTEO DE TRIÁNGULOS Procederemos por inducción: Nº de ángulos

Si: n=1 n=2 n=3

1=1 3=1+2 6=1+2+3

1

2 3 n

1 2 3 4 2 3 4

En general: Nº total de ángulos agudos: 1 + 2 + 3 + ... + n =

VERANO 2015

n

n(n + 1) 2

n

061

n

En general: 2

2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 ..... + n

Nº total de n(n + 1)(2n + 1) cuadrados = 6

Conteo Figuras

2

TEMA

TEMA

Rz. Matematico


BASICO

1° CASO: Conteo de Cubos Se presenta dos posibilidades, el sólido es un cubo formado por cubos simples.Así:

n

n

2 1

Número total de cubos: En general:

3

3

1

3

1 +2

3

3

2

é n(n + 1) ù ............ 1 + 2 + 3 + ..... + n = ê ë 2 úû

3

3

1 +2 +3

é n(n + 1) ù Número total =ê de cubos ë 2 úû

n 1

1 2 3

3

2

3

2

2º CASO: Conteo de Paralelepípedos En la figura se muestra un paralelepípedo que puede estar formado ya sea por cubos simples o por paralelepípedos simples. Procediendo por inducción, es sencillo demostrar que:

Número total de n(n + 1) m(m + 1) p(p + 1) = ´ ´ paralelepípedos 2 2 2 n p 2 1

P

total de cuadriláteros en la

siguiente figura:

2

03. Hallar el número total de semicírculos en la siguiente figura:

a) 762

a) 12

b) 760

b) 16

c) 758

c) 18

d) 756

d) 20

e) 754

e) 24

02. Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura:

04. Hallar el número total de cubos en la siguiente figura:

a) 72

a) 360

b) 90

b) 380

c) 110

c) 390

d) 132

d) 400

e) 124

e) 420

2

m1

roblemas de Clase

01. Hallar el número

TEMA

1 2

Conteo Figuras

062

VERANO 2015

TEMA

Rz. Matematico

Grupo de Estudios “ELITE” 05. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en el sólido mostrado?

10. ¿Cuántos arcos de circunferencia hay en el gráfico? 2

3

4 .. . .

BASICO

.... .... 19 20

1 a) 940 d) 1100 a) 280

b) 190

d) 210

e) 220

c) 200

b) 1040 e) 1140

c) 1080

11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 230 b) 231 c) 232 d) 233 e) 234

06. ¿Cuántos trapecios hay en la figura?

12. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? a) 110 b) 115 a) 98

b) 96

d) 92

e) 90

c) 120

c) 94

d) 125 e) 130

07. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? a) 73 b) 72 c) 69 d) 70 e) 71

13. ¿Cuántos paralelepípedos hay en la siguiente figura? a) 136 b) 138 c) 140

08. Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura: a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 09. ¿Cuántos triángulos en total se pueden contar en la siguiente figura? 16

1 2 3 4 5 6

a) 6186

b) 6206

d) 6236

e) 6316

VERANO 2015

d) 142 e) 144 14. ¿Cuántos cuadrados se contarán en la posición número 20? a) 96 b) 144 ; ; ; c) 400 d) 399 (1) (2) (3) e) 81

15

......... .

..... .....

3

2 1

19 20 21

c) 6216

15. Hallar el número total de cubos. a) 16 b) 18 c) 17 d) 15 e) 19

063

Conteo Figuras

2

TEMA

TEMA

Rz. Matematico


16. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contarán en la posición (25)?

figura?

a) 500

a) 52

b) 600

BASICO

19. ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay en la

c) 450 d) 720

;

; (1)

b) 62

;

(2)

c) 54 d) 39

(3)

e) 48

e) 650 17. ¿Cuántos segmentos se cuentan en total? a) 11 112 b) 11 111

20. Hallar el número total de triángulos en: a) 572

1 3 5

2 4

b) 462 c) 584

c) 12 111 d) 13 112 e) 13 211

97 99

96 98 100

d) 594 e) 576

1 2 3 4 20 21

12

20 21

18. Hallar el número total de triángulos en: a) 197 b) 193 c) 186 d) 195 e) 189

2

TEMA

Conteo Figuras

1

2

3

10

064

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Razonamiento Matematico : Tema 3

Planteo de Ecuaciones BASICO

Plantear una ecuación es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático (ecuaciones).

Lenguaje escrito

Lectura e interpretación

Lenguaje matemático “ecuación”

Método básico para plantear una ecuación 1º 2º 3º 4º 5º

Leer detenidamente comprendiendo el enunciado. Extraer datos. Ubicar la incógnita y representarla. Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica. Una vez planteada la ecuación, resolverla.

NOCIONES PREVIAS Antes de entrar al tema de planteo de ecuaciones daremos algunos alcances teóricos.

Se suele decir también que una ecuación es un enunciado abierto o igualdad relativa. De acuerdo a esto, se tiene: Ejemplo: 3x + 12 = 42 Para: x = 8 ® 3(8) + 12 = 36 Para: x = 9 ® 3(9) + 12 = 39 Para: x =10 ® 3(10) + 12 = 42 Para: x =11 ® 3(11) + 12 = 45

¿Qué es una identidad? Es una igualdad absoluta que se verifica para todo valor que asuman las variables involucradas. Ejemplo: 2

2

2

(a + b) = a + 2ab + b Si: a = 1; b = 2

Þ

9

9

Si: a = 2 ; b = 2

Þ

16

16

Si: a = 3 ; b = -1

Þ

4

4

Luego el único valor que verifica la igualdad es: x = 10. Veamos otro caso: El Combate de Tirar de una Cuerda I.

¿Qué es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. Esta igualdad puede verificarse o no y si es que se verifica, esto ocurre para un valor de su variable o un determinado conjunto de valores asignados a sus variables. Además a las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se llaman soluciones de la ecuación.Así:

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Cuatro jóvenes jalan la soga tan fuerte como cinco señoritas.

II. Dos señoritas y un joven jalan la soga tan fuerte como un perro.

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Ecuaciones

3

TEMA

TEMA

Rz. Matematico


BASICO

III. El perro y tres señoritas se enfrentan ahora con cuatro jóvenes.

joven a la izquierda y cuatro jóvenes, a la derecha.

Estos 2 grupos tienen la misma fuerza (para I). Este joven marca la diferencia.

¿Qué lado ganará en este último caso? Resolución: En el último caso se puede reemplazar al perro por 2 señoritas y un joven (y esto gracias a la parte II) entonces tendremos un enfrentamiento entre cinco señoritas más un

P

Luego, se deduce que el grupo de 5 señoritas y 1 joven ganará el lance. El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamente importante para la resolución de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos, variables o incógnitas.

roblemas de Clase

01. La suma de cinco números impares consecutivos es igual a 645. Hallar el producto del menor por el mayor. Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20

07. Gasté 2/5 de los que no gasté, de lo que no gasté pagué 3/7 de lo que no pagué. Si aún tengo S/. 280. ¿Cuánto tenía inicialmente? a) 480 b) 500 c) 520 d) 540 e) 560

02. Si subo de 3 en 3 las escaleras, doy 8 pasos más que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? a) 52 b) 54 c) 58 d) 60 e) 65

08. He gastado los 4/7 de mi dinero, si hubiera gastado S/. 52 más me quedaría los 2/9 de lo que tenía inicialmente, ¿cuánto dinero tenía inicialmente? a) 249 b) 250 c) 251 d) 252 e) 253

03. En una reunión el número de damas excede en 10 al de varones, además, si se retiran la quinta parte de damas y la tercera parte de los varones, quedan 52 personas. ¿Cuántas damas habían inicialmente? a) 30 b) 35 c) 40 d) 50 e) 60

09. La diferencia de dos números es 21, si al mayor se le divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo el mayor posible. Hallar los números. a) 12 y 33 b) 15 y 42 c) 11 y 32 d) 10 y 29 e) 30 y 42

04. Al comprar libros de dos tipos, un comerciante gastó S/. 3460. Por cada libro de R.M. pagó S/. 85 y por cada libro de R.V. pagó S/. 75. Si compró 12 libros más de R.V., respecto de la cantidad de libros de R.M. ¿Cuántos libros de cada tipo compró? a) 16 y 28 b) 14 y 26 c) 15 y 27 d) 17 y 29 e) 13 y 25 05. El producto de dos números es 84, si al multiplicando se le aumenta 4 unidades, entonces el nuevo producto es 112. Hallar el multiplicador. a) 5 b) 7 c) 9 d) 12 e) 16 06. Luisito recibió 9 soles y tuvo entonces 4 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido 3 soles. ¿Cuánto tiene ahora? a) 7 b) 8 c) 16 d) 17 e) 20

3

TEMA

Ecuaciones

10. Si vendo mis libros en S/. 13 cada uno, perdería S/. 89; pero si los vendo a S/. 24 cada uno, ganaría S/. 43. ¿Cuántos libros tengo para vender? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 11. En un banquete habían sentados 8 invitados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitados habían? a) 12 b) 14 c) 90 d) 93 e) 96 12. Si se forman filas de 8 niños sobran 4 pero faltarían 8 niños para formar 4 filas más de 6 niños. ¿Cuántos niños son? a) 48 b) 50 c) 52 d) 56 e) 58

066

VERANO 2015

TEMA


Rz. Matematico

13. El exceso de 5 veces un número sobre 300 equivale al exceso de 400 sobre el doble de dicho número. Calcular el exceso de 150 sobre el número. a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250

15. Dos números están en la relación de 5 es a 2 y si se resta 15 a cada uno, su razón se transforman en 3:1. Dar como respuesta la suma de dichos números. a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240 16. Si unos niños se sientan de 4 en 4, sobrarían 6 bancas y si se sientan de 2 en 2, se quedarían de pie 12 niños. ¿Cuántos niños hay? a) 48 b) 49 c) 50 d) 56 e) 58

P

18. Si tú me das la tercera parte de lo que tengo tendría el triple de lo que tendría si hubiera perdido S/.50. ¿Cuánto tengo? a) S/. 80 b) S/. 90 c) S/. 95 d) S /. 100 e) S/. 110 19. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 4 da tres números cuyo producto es 81 000. Hallar el número. a) 13 b) 11 c) 12 d) 15 e) 21 20. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en sillas como en las mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos artículos vendió, si las mesas las vende a S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 900 en total? a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13

ara la playita...

01. A una reunión asistieron 312 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el doble de mujeres y el de mujeres es el cuádruple que el de los niños. ¿Cuántas mujeres hay en la reunión? a) 96 b) 94 c) 92 d) 90 e) 88

04. La suma de cuatro números enteros es -41. Si el primero es 36 unidades mayor que el segundo, 38 unidades más que el tercero y 35 unidades más que el cuarto. ¿Cuál es el menor de ellos? a) -16 b) -18 c) -21 d) -25 e) -27

02. Un número par menos cuatro veces su par antecesor es -226. ¿Cuál es el número? a) 72 b) 74 c) 76 d) 78 e) 79

05. Dos números están en la relación de 5 es a 2 y si se resta 15 a cada uno, su razón se transforman en 3:1. Dar como respuesta la suma de dichos números. a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240

03. La quinta parte de la diferencia entre un número y 15 es 36. ¿Cuál es el número? a) 175 b) 180 c) 185 d) 195 e) 200

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06. La edad de una persona es tal que multiplicando su doble, su triple y su cuádruple resulta 81 000. ¿Cuál es el cuadrado de dicha edad? a) 100 b) 169 c) 121 d) 144 e) 225

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Ecuaciones

3

TEMA

BASICO

14. Un número par menos cuatro veces su par antecesor es -226. ¿Cuál es el número? a) 72 b) 74 c) 76 d) 78 e) 79

17. La suma de tres números es 820. El segundo es un cuarto del tercero y el primero excede al tercero en 10. Hallar el segundo número. a) 400 b) 380 c) 360 d) 350 e) 320

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 1

BASICO

La Comunicación Humana DEFINICIÓN El término de comunicación se deriva del latín comunicare que significa: hacer en conjunto, intercambiar, hacer partícipe a alguien de algo.

a. Comunicación Verbal: Esta comunicación conocida también como lingüística. Dentro de esta comunicación se distingue, a su vez: - Comunicación Verbal Auditivo - Oral Se comunican mediante la lengua hablada y tienen códigos de refuerzos (gestos, señas y movimientos).

La comunicación es un proceso por medio del cual damos a conocer a otros nuestras experiencias, necesidades, deseos, etc., a través de un sistema de signos. Propia de los seres vivientes. En su sentido amplio: humana y no humana. El hombre, como se ha asentado, es un ser social por excelencia, un ser que necesita estar en contacto con los demás, que requiere hacer vida en común. Sólo de este modo se podía satisfacer las necesidades vitales. Aristóteles: “La comunicación retórica es la búsqueda de todos los medios de persuasión que tenemos a nuestro alcance”.

- Comunicación Verbal Visuográfica En esta comunicación se emplea la palabra en su forma artificial, es decir, a través de la escritura.

Luis Jaime Cisneros: “Es el proceso por el cual nosotros realizamos la doble tarea de hablar por una parte; y, de oír y comprender lo que hablamos, por otra”. CLASES DE COMUNICACIÓN Existen dos clases de comunicación: b. Comunicación no Verbal: Se le conoce también como no lingüística, se realiza por medio de códigos no verbales, tales como gestos, movimientos, equipos electrónicos, etc. - Mímica: movimientos de mano, gestos. - Colores: los semáforos, las tarjetas de un árbitro de fútbol. - Sonidos: bocina, silbato, sirena, timbre.

A. COMUNICACIÓN NO HUMANA Se da en las sociedades no humanas (animales y vegetales). Hoy se sabe que la comunicación entre los organismos vivos puede realizarse, según sea el caso, mediante signos y señales acústicas, visuales, etc., por ejemplo, los variados sonidos emitidos por los simios, los ovinos, los camélidos y otras especies de animales constituyen señales acústicas de comunicación. Por eso la comunicación animal es un acto instintivo: cada grito o sonido es un hecho automático, es una respuesta a algo vital en el animal (hambre, frío, celo, etc.).

ELEMENTOS DE LACOMUNICACIÓN Los delfines utilizan señales ultrasónicas como medio de comunicación.

Código

B. COMUNICACIÓN HUMANA Es realizada entre los seres humanos, y para ello el hombre emplea un sistema de signos verbales, gestuales, movimientos, sonidos, etc. La comunicación humana se divide en:

1

TEMA

Comunicación

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Mensaje

Emisor

Canal

Receptor

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TEMA

Lenguaje

Grupo de Estudios “ELITE” OTRAS FORMAS DE COMUNICACIÓN De acuerdo a cómo se realiza y bajo qué condiciones, la comunicación puede ser:

e.

Comunicación Unidireccional Se le llama también unilateral, se da en una sola dirección, sin retorno. El receptor no tiene posibilidad de utilizar el mismo canal. Ejemplo: Ver un programa de televisión.

f.

Comunicación Bidireccional Se le llama también bilateral o recíproca, el caso más palpable es el diálogo entre personas, se intercambian mensajes alternativamente. Ejemplo: Una conversación por teléfono.

b. Comunicación Interpersonal Se realiza entre dos personas individuales o colectivas, en forma directa o indirecta. Ejemplo: El sacerdote cuando hace la misa.

c.

Comunicación Directa Llamada también próxima, se da cuando las personas están a corta distancia y ocupan un mismo ambiente. Su canal es el aire. Ejemplo: El profesor enseñando el curso de Lenguaje a los alumnos en el aula.

d. Comunicación Indirecta Llamada también a distancia, se da cuando el emisor y el receptor están distantes y utilizan un medio técnico para comunicarse. Ejemplo: Conversación entre dos personas por teléfono.

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BASICO

a. Comunicación Intrapersonal Es la que realiza la persona consigo misma. Permite tener conciencia y reflexionar sobre nuestro mensaje. Ejemplo: Un monólogo o soliloquio.

g. Comunicación Vertical Se da entre un superior y un subordinado. Ejemplo: Un jefe de policía dando órdenes a sus subalternos.

h. Comunicación Horizontal Se da entre personas de igual rango o situación. Ejemplo: Una conversación entre hermanos.

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Comunicación

1

TEMA

TEMA

Lenguaje

BASICO

P


roblemas de Clase

01. Relacionar: A. Canal B. Emisor C. Receptor D. Mensaje E. Código

( (

) )

( ( (

) ) )

Encodifica. Posee los contenidos: ideas, pensamientos ... Sistema de signos. Conduce el mensaje. Decodifica.

02. La comunicación puede darse a través de: a) Sistemas de signos b) Juego de luces c) Gestos d) a y b e) Todas las anteriores 03. Para ser efectiva la comunicación, ambos deben manejar el mismo ................... y el ................... debe funcionar correctamente. a) código - mensaje b) emisor - receptor c) código - canal d) referente - canal e) receptor - emisor 04. En la comunicación verbal visuográfica se emplea: a) Gestos b) Sonidos c) Colores d) Grafías e) Movimientos 05. Señalar cuál de las siguientes alternativas es un caso de comunicación no verbal: a) Un joven envía una carta a su enamorada. b) Dos jóvenes conversan a través del messenger. c) Laura y Luisa leen la obra María. d) El timbre del teléfono. e) b y d 06. En una comunicación auditiva-oral el código es el(la): a) Color b) Símbolo c) Papel d) Lengua e)Aire 07. Luna puede tener varios significados, para entenderlo con claridad hacemos uso del: a) Emisor b) Receptor c) Mensaje d) Código e) Contexto o circunstancia 08. ¿Qué elemento de la comunicación permite que el mensaje llegue a los receptores con total claridad? a) Emisor b) Mensaje c) Código d) Canal e) Referencia

1

TEMA

Ecuaciones

09. En la comunicación, el emisor es conocido como encodificador, porque: a) Permite interpretar el mensaje con claridad. b) Recibe el mensaje. c) Transforma a código la formulación del mensaje. d) Descifra el mensaje. e) Es el blanco del mensaje. 10. En 1972, la NASA lanzó al espacio la sonda Pioneer X. Su destino era salir fuera de los límites del sistema solar y perderse en el espacio. A bordo de ella se colocó una placa con una mensaje destinado a los posibles habitantes de otros mundos sobre nosotros, los humanos. En esa placa se ve, entre otras cosas, a un hombre y una mujer, los planetas del sistema solar y la trayectoria de la nave desde el planeta Tierra. El hombre lleva la mano elevada en señal de saludo y la mujer aparece en posición relajada. ¿Cuándo se produciría la comunicación? a)Al grabar el mensaje. b)Al ser encontrada la placa por un ser humano. c)Al ser lanzada la nave espacial. d)Ala mitad de viaje. e)Al ser interpretada la placa por un ser inteligente. 11. El inocente enamorado recibe un fuerte apretón de manos de su suegro, en la casa de éste, como prueba de su rechazo. a) Emisor : b) Receptor : c) Canal : d) Contexto : e) Código : 12. El profesor explica el tema “La Comunicación” a los alumnos del PrimerAño de Secundaria. a) Emisor : b) Receptor : c) Referente : d) Contexto : 13. Bécquer escribe a Julia Espín un poema en lengua española sobre el gran amor que siente por ella. a) Emisor : b) Receptor : c) Canal : d) Referente : e) Código :

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TEMA

Lenguaje


16. La teleconferencia es un tipo de: a) Comunicación personal b) Comunicación masiva c) Comunicación de masa d) Comunicación de élite e) Comunicación individual 17. De acuerdo a la comunicación lingüística, en la oración: “Andrés te ordeno que visites a tu abuela”, el emisor es: a) Quien visita a la abuela b) Quien ordena aAndrés c)Andrés d) La abuela e) Quien recibe la orden

18. En una conferencia, hay muchos jóvenes que no comprenden el mensaje del expositor. El factor que influye en esta comunicación es: a) La facilidad lexicológica b) Las actitudes c) El ruido d) El nivel de conocimiento e) El contexto socio cultural 19. La comunicación con uno mismo se denomina: a) Interpersonal b) Intrapersonal c) Indirecta d) Directa d) Horizontal 20. Elemento de la comunicación que codifica el mensaje: a) Emisor b) Receptor c) Canal d) Código e) Mensaje

P ara la playita... 01. A continuación se presentan dos situaciones comunicativas de las cuales se tendrá que identificar sus elementos: a. María llama por teléfono a Juan y le dice que no asistió a clases por la mañana porque estaba con un fuerte dolor de estómago.Además, le pide las tareas dejadas por los profesores. Receptor Emisor Mensaje

Código

Canal

Contexto

b. Durante la noche, en la sala de espera de un hospital, el abuelo le contó una historia de terror a su nieto. Emisor

Receptor

Mensaje

Código

Canal

Contexto

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Ecuaciones

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TEMA

BASICO

14. La comunicación mediante los quipus en las sociedades prehispánicas la podemos caracterizar como: a) No humana visual b) Lingüística c) Verbal visuográfica d) Humana no verbal e) Verbal visuotáctil 15. “Carmen está conversando con Rocío por teléfono, pero de pronto se produce una interferencia”. ¿Qué elemento de la comunicación se ve afectado? a) El emisor b) El receptor c) El código d) La realidad e) El canal

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 2

BASICO

Planos del Lenguaje EL LENGUAJE Denominamos lenguaje al conjunto de sonidos articulados con que el hombre manifiesta lo que piensa o siente; se puede también definir de distintos enfoques: a. Como capacidad: Que toda persona tiende a comunicarse con las demás personas usando signos orales (y, si su desarrollo lo permite, también escrito). Es una facultad humana, independiente de que al hablar, emplee una lengua u otra (español, inglés, asháninka, etc.). b. Como instrumento: De comunicación de que dispone la humanidad, íntimamente ligado a la civilización, hasta tal punto, que se ha llegado a discutir si fue el lenguaje el que nació de la sociedad o fue la sociedad la que nació del lenguaje.

FUNCIONES DEL LENGUAJE El lenguaje, desde su creación, cumplen una función esencial: la comunicación; sin embargo, atendiendo a la intención del hablante, podemos diferenciar otras funciones: a. Función Representativa o Informativa Conocida también como función referencial o cognoscitiva, predomina cuando el hablante se limita a informar sobre algún aspecto de la realidad objetiva; es decir, el emisor transmite el mensaje sin que en él aparezca su opinión personal. Se evidencia en el lenguaje científico. Ejemplos: - Es una vieja costumbre en mi pueblo que los viajeros se levanten al primer canto del gallo y salgan al segundo. - La radiactividad consiste en la desintegración de núcleos atómicos inestables emitiendo partículas y energía por lo que se originan nuevos núcleos. - Nuestra economía se ha dolarizado. - Dos y dos son cuatro.

Entre sus características podemos señalar: ·

·

Innato: Según Edwar Sapir, el habla es una función adquirida, “cultura”; sin embargo, las modernas teorías admiten el carácter innato, como herencia biológica que el ser humano ha adquirido genéticamente. Universal: El lenguaje está presente en todos los componentes de la especie humana. Todas las lenguas naturales: español, quechua, inglés, etc. son manifestaciones del lenguaje: hablar o ser hombre es lo mismo.

·

Inmutable: No cambia con el tiempo, salvo la evolución de la especie humana en sí.

·

Doblemente articulado: El lenguaje es el resultado de articular sistemáticamente a unidades significativas (morfemas) y unidades distintas (fonemas).

b. Función Expresiva o Emotiva Llamada también sintomática, predomina cuando el lenguaje se constituye en un síntoma de interioridad del hablante; es decir, el emisor manifiesta sus estados emocionales, valoraciones subjetivas: tristeza, dolor, sorpresa, etc. Ejemplos: - Amor, ¡te amo! - ¡Qué feo ese chico! - Felizmente, ya llega el verano. c.

* Primera articulación

Función Apelativa o Conativa Predomina cuando el emisor busca motivar la conducta del receptor (es), persuadirlo para que actúe de un modo u otro. Se evidencia en las oraciones exhortativas: Ejemplos: - Espérate cholito, no tomes esa agua. - Sácate toda la ropa y métete ahí. - Jóvenes, estudien. No pierdan el tiempo. - ¿Cuándo vienes?

/ arbol-it-o-s navid-eñ-o-s/ = morfemas * Segunda articulación /a-r-b-o-l-i-t-o-s n-a-v-i-d-e-ñ-o-s/ = fonemas Los morfemas son, pues, mínimas unidades portadoras de significado y corresponden a la primera articulación; los fonemas son mínimas unidades de sonidos que en un contexto permiten diferenciar significados y corresponden a la segunda articulación.

2

TEMA

Lenguaje. Planos

d. Función Estética o Poética Se da cuando el emisor busca llamar la atención sobre el mismo mensaje causando cierta emoción en el receptor; para ello usa recursos que le ofrece la literatura: imágenes sugerentes, epítetos, metáfora, rima, etc. se da pues en el lenguaje literario básicamente.

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TEMA

Lenguaje

Grupo de Estudios “ELITE” Ejemplo:

nos veremos obligados a usar un metalenguaje o palabras especializadas como morfema, sujeto, sustantivo, alófonos, etc.

e.

Función Fática o de Contacto El objetivo del emisor es constatar y garantizar el funcionamiento y continuidad de la comunicación. El hablante a través de esta función abre, verifica y cierra el canal. Ejemplos: - ¡Pst!, ¡Pst!. - ¡Buenos días señor! - ¡Aló!, ¿me escuchas?

f.

Función Metalingüística Esta función se puede apreciar de una manera real cuando se informa sobre la lengua o sistema lingüístico (en este caso, el castellano). Si hablamos sobre la estructura y funcionamiento de esta lengua,

Ejemplos: - El núcleo del sintagma verbal es un verbo. - El sustantivo es modificado significativamente por el adjetivo. - Las preposiciones son elementos de enlace por subordinación. - Retahíla es equivalente a hilera o fila. PLANOS DEL LENGUAJE Según el lingüista Ferdinad de Saussure, el lenguaje tiene un lado individual (habla) y un lado social (lengua), y no se puede concebir el uno sin el otro. El habla es la realización de una lengua, y por otro lado, la lengua es condición del habla: la lengua es necesaria para que el habla sea inteligible. Sin embargo, a pesar de esta interdependencia, lengua y habla tiene sus diferencias:

LENGUA

HABLA

·

Es psíquica: La lengua es la manifestación del sistema cognitivo dependiente de la mente - cerebro. Los signos virtuales tienen su asiento en la mente.

·

Es psicofísica: El acto del habla implica la participación de nuestros órganos de la respiración y articulación controlados por el cerebro a través de impulsos nerviosos.

·

Es social: Es un producto de la convivencia social y es compartida por los miembros de una comunidad.

·

Es individual: El habla es un acto de voluntad personal. La manera de hablar está determinado por diversos factores personales: edad, sexo, etc.

·

Es un sistema: Porque los elementos que lo conforman (signos) están íntimamente relacionados. Su organización interna recibe el nombre de gramática.

·

Es el uso del sistema: El habla es la realización concreta de la lengua mediante la emisión de sonidos articulados.

·

Es producto histórico: La lengua es una herencia cultural de una época precedente.

·

Es acto momentáneo: El habla sólo se verifica en el instante en que se está pronunciando.

·

Es teórica: Toda lengua puede ser analizada y descrita tomando en cuenta las normas y principios que la rigen.

·

Es práctica: Porque es acción concreta. Además la forma más habitual y mejor de comunicación es hablando.

VARIACIÓN LINGÜÍSTICADE UNALENGUA Las lenguas naturales están en permanente cambio debido a diversos factores tanto internos (tienen su origen en la estructura y funcionamiento de la misma lengua) y externos (fenómenos sociales, políticos, económicos, etc.). A estas variaciones también se denomina cambio lingüístico.

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Lenguaje. Planos

2

TEMA

BASICO

“ Las lágrimas son de agua y van al mar. Los suspiros son de aire y van al aire. Dime mujer, cuando el amor se acaba. ¿sabes tú? ¿dónde va?” (Bécquer - Rimas)

TEMA

Lenguaje

BASICO

I.


DIALECTO Es un término técnico que se usa para designar a cualquier variación que sufre una lengua. A la variación motivada por factores geográficos se denomina dialecto regional (o habla regional). Así por la particularidad de su habla podemos deducir el lugar de procedencia de una persona. Algunos autores transcriben el habla regional en sus obras. Es “oye chuiche, sácate toda tu ropa y métete en mi cama. Sácate tu camisa y tu calzoncillo también pues sonso, que todo está mojado.- volvió a ordenarme” (Julián Huanay: El retoño). Aquí se evidencia el dialecto huancaíno. Las variaciones regionales se pueden manifestar en diversos aspectos:

·

II. SOCIOLECTO Es la variación de una lengua determinada por los estratos sociales; es decir, el uso típico que de una lengua hacen en las diversas capas sociales. El que corresponde al estrato dominante es el más deseable. Luis Hernán Ramírez distingue tres niveles: a. Nivel Superestándar: Es el ideal de lengua que una persona aspira emplear. Se manifiesta en forma escrita y comprende dos subniveles: erudito y poético. b. Nivel Estándar: Goza de mayor popularidad y comprende a dos subniveles: culto y coloquial. Es aquí donde la gramática realiza sus estudios.

a. Fonético: Cuando varía en la pronunciación y entonación. Ejemplos: Dialecto chinchano. - “Comairita, uté grita si le tumbo en ete camino? - “No compaire si hata ronca etoy”.

c.

(Antonio Gálvez Ronceros) b. Morfológico: Cambia la estructura de la palabra usando alomorfos dialectales.

Sintáctico: La disposición de los componentes de la oración varía según el hábito de una región. Ejemplos: Dialecto selvático. - Del mercado en su esquina, carne del monte don Mañuco vende.

·

Nivel Subestándar: Usado por los sectores marginales incluye un conjunto de vocablos que son rechazados por los hablantes del nivel estándar. Incluye al habla marginal y habla vulgar.

De estos tres niveles, el que representa a una comunidad lingüística es el nivel estándar.

Ejemplos: - Amorcito (peruano). - Amorcitico (venezolano). c.

Lexical: Toda localidad cuenta con un repertorio de palabras propias de esa región. A un niño se le llama “chavo” en México, “pibe” en Argentina, “chuiche” en Huancayo, etc.

(Francisco Izquierdo Ríos) Semántico: La palabra cambia de significado según el lugar.

EL IDIOMA Donde coexisten diversidades de lengua, el idioma es la lengua privilegiada porque goza de protección jurídica, es decir, el idioma es la lengua oficial de un país establecido así en la Constitución Política . Es la lengua del grupo dominante. En el Perú, la Constitución Política de 1994 en su artículo 48 dice: “Son idiomas oficiales el castellano y, en las zonas donde predominen también lo son el quechua, el aymara y las demás lenguas aborígenes, según ley”. En nuestro país hay, pues, más de una lengua oficial.

Participio de morder (peruano). *

Mordida Sobornada (colombiano).

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TEMA

Lenguaje. Planos

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TEMA

Lenguaje


P

roblemas de Clase

02. Enunciado en el que destaca la función apelativa del lenguaje: a) ¿Qué opinas tú de todo esto? b) El doctor Gonzales operó al paciente. c) Tus ojos son dos luceros que alumbran mi existir. d) ¡María Claudia es mi mayor tesoro! e) La fonética es una disciplina de la lingüística que estudia los sonidos del lenguaje. 03. Cuando el lenguaje cumple las funciones fáticas y expresivas , destacan respectivamente, los elementos: a) Código y receptor b) Emisor y referente c) Receptor y código d) Canal y emisor e) Canal y receptor 04. No es una característica del habla: a) Individual b)Acto momentáneo c) Psíquica d) Práctica e) Psicofísica 05. Relacionar: I. Metalingüística II. Fática III. Representativa IV. Apelativa V. Emotiva

( ( ( ( (

) ) ) ) )

09. Alternativa en cuyo enunciado se destaca la función expresiva o emotiva: a) ¡Cállate! b) Me parece acertada tu declaración. c) ¡Aló! ¿Quién contesta? d) Los acusados serán juzgados con rigor. e) El morfema pertenece a la primera articulación. 10. Es el enunciado conceptualmente incorrecto: a) El lenguaje es una facultad humana. b) El lenguaje es innato porque nace con el ser humano. c) El nivel estándar de la lengua goza de menor popularidad. d) El idioma es una lengua privilegiada porque goza del apoyo jurídico. e) El lenguaje es doblemente articulado. 11. Como sistema de conocimiento, el lenguaje humano: a) Se manifiesta en algunas lenguas. b) Se adquiere en la sociedad. c) Es de carácter innato. d) No es de carácter universal. e) Es dependiente de la lengua. 12. Señalar la opción donde aparecen palabras que expresan relación concreta - abstracta: a) Dialecto - idioma b) Lengua - habla c) Idioma - lengua d) Habla - lengua e) Dialecto - lengua

Canal Receptor Código Emisor Referente

a) I - II - III - V - IV b) II - IV - III - V - I c) II - IV - I - V - III d) II - V - IV - III - I e) I - IV - III - II - V

13. Lengua es equivalente a: a) Lengua b) Idioma c) Habla d) Dialecto e) Comunicación

06. Se relaciona con el referente, excepto: a) Denotativa b) Poética c) Representativa d) Fática e) Metalingüística 07. Indicar lo incorrecto referente a las características del lenguaje: a) Universal b) Innato c) Inmutable d) Sistema e) Doblemente articulado

VERANO 2015

08. En el enunciado: “Eres María Claudia ¿verdad?”, la función del lenguaje que destaca es la: a) Representativa b) Metalingüística c) Poética d) Fática e) Expresiva

14. Pedro nació y vive en Lambayeque y al encontrarse con una joven, se da cuenta de que ella es limeña, tan sólo, por su forma de hablar. Este fenómeno lingüístico de identificación regional recibe el nombre de: a) Idioma b) Sociolecto c) Dialecto d) Jerga e) Replana

075

Lenguaje. Planos

2

TEMA

BASICO

01. Enunciado en el que destaca la función representativa del lenguaje: a) Como una brisa para el caminante ha de ser. b) Carlos, ¿me escuchas? c) Tu belleza me cautiva. d) El Perú es un país multilingüe. e) El código es un conjunto de signos usados por el emisor y el receptor.

TEMA

BASICO

Lenguaje


15. Marcar el enunciado conceptualmente correcto: a) El idioma es un sistema concreto y no histórico. b) El habla es la concretización individual de la lengua. c) El dialecto, es con respecto al habla, momentáneo y físico. d) El habla se concretiza sólo en la comunicación escrita. e) El habla se caracteriza por ser histórica y social.

18. ¿Qué son los arcaísmos? a) Palabras altas vigentes. b) Palabras de origen arcano. c) Palabras consideradas como nuevas. d) Palabras caídas en desuso. e) Palabras de origen latino. 19. Lengua que hasta hoy sirve para la formación de tecnicismos: a) Latín b) Árabe c) Quechua d)Alemán e) Esperanto

16. Continente donde el español tiene presencia significativa: a) Europa b)América c)Asia d) África e) Oceanía

20. En el Perú, el idioma Quechua, es: a) El más usual b) Una lengua oficial c) Un dialecto d) Un habla e) Un sociolecto

17. El país con el mayor número de hablantes del español, es: a) España b) México c) Perú d)Argentina e) Brasil

P

ara la playita...

01. ¿Qué nivel del habla corresponde a la mayoría de los peruanos?

02. Escribir 2 oraciones donde predomine la función apelativa.

03. Escribir 2 oraciones donde predomine la función poética.

04. Indicar a qué función del lenguaje pertenece: a) Por favor, no me dejes.

Þ

b) El fonema pertenece a la segunda articulación.

Þ

c) ¡Alo! No te escucho, si ... ¡Repítelo!

Þ

d) El equipo peruano perdió anteArgentina.

Þ

05. Investigar en qué lengua están estas palabras y traducelas al castellano o español. ORACIONES Per favore

IDIOMA Italiano

TRADUCCIÓN Por favor

a) Tudo bem, obrigado. b) Guten tag. c) Excusez - moi. d) Ho perduto la strada. e) Have a good trip!

2

TEMA

Lenguaje. Planos

076

VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 3

La Sílaba - Concurrencia Silábica BASICO

LA SÍLABA DEFINICIÓN Es uno o varios sonidos (fonemas) que se pronuncian en una sola emisión de voz. Es decir, la sílaba es la mínima unidad de pronunciación en el plano oral de la lengua. Ejemplo:

/n/, /a/, /u/, /s/, /e/, /a/, /s/ ® (fonemas)

náuseas

/náu/, /se/, /as/ ® (sílabas)

ESTRUCTURASILÁBICA Toda sílaba está conformada por un núcleo o cima vocálica y márgenes silábicos (cabeza y coda) Ejemplo:

A - PRE - CIÁIS Sílaba

Margen Silábico

a-

Cima Vocálica

Margen Vocal Silábico Marginal

Vocal Marginal

Núcleo

-

-

a

-

-

- pre -

pr

-

e

-

-

- ciáis

c

i

á

i

s

La sílaba es el sonido o conjunto de sonidos enunciados en forma clara en una sola vez.

Cima

Observa: canción can - ción a

Cabeza

Cima

a. Cima: Vocal o vocales que son el núcleo silábico. Ejemplo:

VERANO 2015

Vocal que sucede a la cima

· me - sa

e

Cima

u c

Vocal que antecede a la cima

b. Cabeza: Consonante o consonantes que preceden a la cima. Ejemplos:

· cuen - to e

Semivocal

Coda

n

c

Semiconsonante

m Núcleo silábico

n

Cabeza simple

077

La Sílaba

3

TEMA

TEMA

Lenguaje


· blan - do

a. Sílaba abierta o libre: Cuando la sílaba acaba en vocal. Es decir, no tiene margen silábico derecho.

a n

bl

BASICO

Ejemplos: ® ca - sa casa edifica ® e - di - fi - ca ropa ® ro - pa

Cabeza compuesta c. Coda: Consonante o consonantes que se posponen a la cima. Ejemplos:

b. Sílaba cerrada o trabada: Cuando la sílaba acaba en consonante, es decir, tiene margen silábico derecho.

· trans - mi - sión

Ejemplos: altar ® al - tar prensar ® pren - sar árbol ® ár - bol

a ns

tr

Ø Según la intensidad con que se pronuncian Las sílabas se pueden clasificar en:

Cabeza compuesta · blan - co

a. Sílaba tónica: Es la que presenta la mayor intensidad articulatoria en la pronunciación.

a

Ejemplos: libertad ® li - ber - tad derecho ® de - re - cho

n

bl

Cabeza simple

b. Sílaba átona: Es la que presenta menor intensidad articulatoria en la pronunciación.

CLASES DE SÍLABAS

Ejemplos: cartera ® car - te - ra plagio ® pla - gio

Ø De acuerdo a la presencia del margen silábico. La sílaba se puede clasificar así:

CONCURRENCIA VOCÁLICA Se denomina así al encuentro o concurrencia de dos o más vocales dentro de una palabra. I.

GRUPO MONOSILÁBICO Ocurre cuando dos o más vocales son pronunciadas en una emisión de voz. Comprende: el diptongo y el triptongo. A. DIPTONGO Es la pronunciación de dos vocales en una misma sílaba. Se producen los siguientes casos: a. Diptongo Creciente: Unión de una vocal cerrada con una vocal abierta. Esta unión se da porque la vocal abierta es la imponente al interior de la sílaba.

Ejemplos: a e

i; u

o

b. Diptongo Decreciente: Unión de una vocal abierta con una vocal cerrada. Esta unión se da porque la vocal abierta es la imponente al interior de la sílaba. Vc + Va = unidas imponente Ejemplos: a

Vc + Va = unidas imponente

e o

1

TEMA

Ecuaciones

pia - no cua - der - no cie - lo en - cues - ta pio - jo re - si - duo

078

i; u

bai - le cau - te - la a - cei - te Eu - ro - pa oi - ga

VERANO 2015

TEMA

Lenguaje

Grupo de Estudios “ELITE” c.

Diptongo Homogéneo: Es la unión de dos vocales cerradas no repetidas.

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Vc + Vc = unidas

La “y” cuanto tiene el sonido /i/ es vocal, por ello forma diptongo o triptongo. Ejemplos: ley Paraguay ·

Anota esta nota

·

La “h” no impide el diptongo. Ejemplos: desahucio ® de - sahu - cio ahuyentar ® ahu - yen - tar ahumado ® ahu - ma - do prohibido ® prohi - bi - do

B. TRIPTONGO Es la unión de tres vocales en una sola sílaba: una abierta entre dos cerradas. Para que se dé esta unión se requiere que: · La vocal abierta sea la de mayor intensidad o imponencia al interior de la sílaba. · La posición de las tres vocales, las cuales deben presentar la siguiente estructura. Vc + Va + Vc = unidas

HIATO Es el encuentro de dos vocales que, a pesar de estar juntas en una palabra, no forma una sola sílaba (cada vocal forma una sílaba diferente). Se dan los siguientes casos: ·

Cuando hay encuentro de dos vocales abiertas (a; e; o) éstas se separan. Ejemplos: poeta ® boa ® pelea ® Paola ®

·

Ejemplos: ® a - pre - ciéis T

® hioi - des T amortigüéis ® a - mor - ti - güéis T hioides

079

po - e - ta bo - a pe - le - a Pa - o - la

Cuando hay encuentro de dos vocales: una abierta con una cerrada o viceversa, si la vocal cerrada es la imponente o tónica, entonces se separan y se tilda la vocal cerrada (tildación robúrica). Ejemplos: resfrío ® baúl ® garúa ® reúne ® flúor ®

imponente

VERANO 2015

® tiíto ® que – na

II. GRUPO HETEROSILÁBICO Ocurre cuando dos vocales contiguas se pronuncian en dos emisiones de voz (dos sílabas). Es el caso del hiato.

El grupo “iu” siempre forma diptongo en todos los casos. Ejemplo: ciudad ® ciu - dad buitre ® bui - tre huiáis ® hui - áis

apreciéis

® /léi/ = diptongo ® /paraguái/ = triptongo

No hay diptongo en: ® /ti - í - to/ tiíto ® /kéna/ quena

Los diptongos en español son 14. ·

BASICO

Ejemplos: ® rui - na ruina descuido ® des - cui - do ® viu - da viuda

res - frí - o ba - úl ga - rú - a re - ú - ne flú - or

1

TEMA

TEMA

Lenguaje

BASICO

P


roblemas de Clase

01. De las siguientes palabras, silabear e identificar el diptongo. Luego indicar con (D.D.) si es decreciente, con (D.C.) si es creciente y (D.H.) si es homogéneo. caricia

(

)

limpieza

(

)

antiguo

(

)

comercial

(

)

después

(

)

claustro

(

)

Moisés

(

)

amplíe

(

)

jauría

(

)

estatua

(

)

triángulo

(

)

puntapié

(

)

podría

(

)

acentuación

(

)

fuerza

(

)

pronuncié

(

)

unión

(

)

nacional

(

)

plenario

(

)

economía

(

)

02. De las siguientes palabras, silabear e indicar si hay diptongo (D), triptongo (T) o hiato (H). PALABRAS

SILABEO

FENÓMENO VOCÁLICO

PALABRAS

þ preámbulo þ idilio

þ cáucaso þ persuasión

þ ciencia þ zanahoria

þ petróleo þ higiene

þ poesía þ ampliaríais

þ espacio þ desvirtuéis

þ proeza þ dieciséis þ actuaría

þ piénselo þ amplio þ océano

þ traspié þ oía

þ navío þ diócesis

þ virrey þ estudiaréis

þ sequía þ veáis

þ hubierais þ sonreír

þ diferenciéis þ premio

P

1

FENÓMENO VOCÁLICO

reguntas de Clase

01. ¿Cuántas palabras forman diptongo? Agrario, sabio, jesuita, ganzúa, peluquería, baúl. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

TEMA

SILABEO

Ecuaciones

02. ¿Cuál de las siguientes expresiones presenta un diptongo decreciente? a) odio b) veinte c) intuir d) siete e) rabia

080

VERANO 2015

TEMA

Lenguaje


04. ¿Qué alternativa no presenta hiato? a) campeón b) crear c) oído d) ataúd e) después

12. ¿Qué alternativa está bien silabeada? a) con - ci - en - ci - a b) hu - í - da c) tra - i - dor d) ser - vi - ci - o e) oí - do

BASICO

03. En la siguiente oración, señalar el número de diptongos o hiatos: “Como apéndice y colofón de lo dicho el barón, próximo ya a viajar esbozó una descripción poética de la árida región hacia donde se dirigía”. a) 2 diptongos - 2 hiatos b) 3 diptongos - 1 hiato c) 4 diptongos - 2 hiatos d) 4 diptongos - 1 hiato e) 5 diptongos - 0 hiato

13. En la palabra Uruguay, hay: a) Diptongo b) Diptongo creciente c) Diptongo decreciente d) Hiato e) Triptongo

05. En la palabra “beodo”, se presenta: a) Triptongo b) Diptongo c) Hiato d) Grupo fónico e)Accidente vocálico

14. ¿Qué alternativa presenta hiato? a) anteayer b) urgencia d) cautela e) maniobra

06. En la palabra “aúlla” se presenta: a) Diptongo creciente b) Diptongo decreciente c) Triptongo d) Hiato e) Diptongo

15. La concurrencia de dos vocales, formando sílabas diferentes: a) Diptongo b) Triptongo c) Hiato d) Grupo fónico e) Diptongo creciente

07. Señalar la alternativa que sólo presenta diptongo: a) reino, prueba, frío b) caudillo, cebo, cráneo c) pelea, fraude, baúl d) sauce, cuadro, traidor e) aire, serie, caer 08. ¿Qué palabra presenta diptongo decreciente? a) jesuita b) gracia c) ganzúa d) había e) cautela 09. Marcar la alternativa que contiene un diptongo: a) maíz b) teatro c) huésped d) cohíbes e) oído 10. Señalar la alternativa que presenta sólo hiatos: a) Juan, zanahoria, tedio b) pelea, cacatúa, púa c) confiar, freír, crío d) caos, héroe, aire e) cautivo, lacio, encía 11. ¿Qué palabra presenta diptongo creciente? a) cronología b) jesuita c) caudillo d) ganzúa e) tatuaje

VERANO 2015

c) embrión

16. En la palabra “quienes” hay: a) Diptongo b) No hay diptongo c) Triptongo d) Diptongo creciente e) Diptongo decreciente 17. ¿Qué alternativa presenta triptongo? a) paraguayos b) oíais c) bueyes d) Huaylas e) Isaías 18. ¿Cuántos diptongos hay en la siguiente oración? “El poder y el dinero puede cambiar la honestidad de alguien”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. ¿Qué alternativa presenta diptongo creciente? a) deshielo b) aéreo c) guerra d) fluido e) queso 20. ¿Qué alternativa presenta hiato? a) cuaderno b) agrario d) concluía e) piojo

081

c) academia

1

TEMA

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 4

BASICO

Acentuación y Tildación ELACENTO Es la mayor fuerza de voz con que pronunciamos una sílaba dentro de un grupo fónico. a. Prosódico: Cuando se indica sólo en la pronunciación, es decir, no se grafica como por ejemplo: risa - portada - formal. b. Ortográfico (o tilde): Signo de la escritura, una rayita oblicua, en dirección de derecha a izquierda, hacia abajo, que en determinados casos, se coloca sobre la vocal acentuada de las palabras.

Ejemplos: ® ro - bot - robot - felicidad ® fe - li - ci - dad - caótico ® ca - ó - ti – co 2. Es libre, porque la posición del acento puede variar al interior de la palabra. Esta libertad permite que el acento en nuestra lengua pueda recaer en la última, penúltima, antepenúltima o en la anterior a la antepenúltima sílaba. Ejemplos: - capituló ® ca - pi - tu - ló (aguda) - capitulo ® ca - pi - tu - lo (grave) - capítulo ® ca - pí - tu - lo (esdrújula)

CLASES DE ACENTO ORTOGRÁFICO a. Normativo: Responde a reglas que determinan la obligatoriedad de su colaboración en las palabras. b. Diacrítico: Diferencia funciones gramaticales, en algunas palabras que pueden desempeñarse más de una. c. Enfático: Dar fuerza expresiva a vocablos empleados con sentido de interrogación o exclamación. CARACTERÍSTICAS DELACENTO ESPAÑOL 1. Es acento de intensidad, porque eleva y destaca fonéticamente a las sílabas.

3. Tiene función distintiva porque sirve para diferenciar significados como por ejemplo: palabras agudas, graves o llanas, esdrújulas y sobreesdrújulas. REGLAS GENERALES DE TILDACIÓN La acentuación ortográfica se basa en la clasificación de las palabras según la posición de la sílaba tónica. La tilde es la representación gráfica del acento de intensidad y se la coloca sobre el núcleo de la sílaba tónica correspondiente. Las reglas de uso son sencillas y fáciles de memorizar.

REGLAS DE TILDACIÓN GENERAL TIPO

EJEMPLOS

REGLAS

PALABRAS AGUDAS (Oxítonas)

Sin tilde al - fi - ler mar - fil co - ñac pa - red ro - bot a - je - drez

Con tilde Pe - rú ma - ní ca - fé ca - pi - tán in - te - rés com - pás

Las palabras agudas llevan tilde cuando terminan en vocal y en las consonantes n y s.

PALABRAS GRAVES O LLANAS (Paroxítonas)

Sin tilde co - ne - jo ca - si mue - ble pi - za - rra tri - bu mar - tes

Con tilde Pe - rú ma - ní ca - fé ca - pi - tán in - te - rés com - pás

Las palabras graves o llanas llevan tilde cuando terminan en consonante, excepto n y s.

PALABRAS ESDRÚJULAS (Preparoxítonas) PALABRAS SOBRESDRÚJULAS (Superproparoxítonas)

4

TEMA

Tildación

e - xá - me - nes miér - co - les lí - ne - a

Todas las palabras esdrújulas llevan tilde.

cuén - ta - se - lo ha - bién - do - se - me per - mí - ta - se - nos

Todas las palabras sobresdrújulas llevan tilde.

082

VERANO 2015

TEMA

Lenguaje


Importante

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HIATOS CON TILDACIÓN ESPECIAL

LATILDE EN DIPTONGOS Y EN HIATOS I.

Las palabras que tienen diptongo o hiato siguen las reglas generales de acentuación. Diptongos a - vión ® Lleva tilde porque es aguda terminada en “n”. ai - re ® No lleva tilde porque es grave terminada en vocal. Hiatos pe - tró - le - o ma - es - tro

cons - truí

+

vocal cerrada

® ba - úl

vocal cerrada

+

vocal abierta

®

grú - a

LOS MONOSÍLABOS ® Lleva tilde porque es esdrújula. ® No lleva tilde porque es grave terminada en vocal.

Se llaman así por provenir su nombre de la palabra griega “MONOS” que significa “uno”, pues tienen una sola sílaba.

El diptongo ui nunca lleva tilde salvo cuando lo indican las reglas generales. cons - trui – do

vocal abierta

® No lleva tilde porque es grave terminada en vocal. ® Lleva tilde porque es aguda terminada en vocal.

2. Hiatos con acentuación especial: Cuando un hiato está formado por una vocal tónica cerrada y una vocal átona abierta, la vocal cerrada lleva tilde. Ejemplos: baúl ® ba - úl grúa ® grú - a país ® pa - ís La “h” entre vocales no altera el diptongo ni el hiato. Por lo tanto, las palabras con “h” intercalada siguen las dos reglas anteriores como si la “h” no existiera. Diptongos:

ahu - ma - do prohi - bir

Hiatos:

al - mo - ha - da va - hí - do bú – ho

Las palabras que constan de una sola sílaba se consideran, en la mayoría de los casos, como agudas. Los monosílabos no llevan tilde. Según estudiaremos después, excepcionalmente, en los casos de acento diacrítico, algunos monosílabos según la función que cumplan pueden llevar tilde. Los siguientes monosílabos y algunos que no consignamos, no llevan tilde. pon pues le dio res con tres flan

fue luz sin dios cien hoy la tal

pan Juan su ti bien paz me un

ya da pie son vio ron en son

lo fui fin a dos tos hay les

por tren tul buey en sol col

tras no mes seis sois fe gran

TILDACIÓN DE PALABRAS COMPUESTAS Palabras adverbializadas La palabra que se ha formado con la adición del sufijo “mente” a un adjetivo, tiene dos acentos y además dicha palabra conserva el acento (tilde si tuviera). Ejemplos: * cortés + mente = cortésmente * heroica + mente = heroicamente * difícil + mente = difícilmente

VERANO 2015

083

Tildación

4

TEMA

BASICO

A este tipo de hiato con tildación especial se le conoce como “adiptongos” y a su tilde especial “tildación robúrica”.

Si la palabra termina en dos consonantes, aunque la segunda sea “s”, se tildan las palabras graves. Ejemplo: bíceps - tríceps

TEMA

Lenguaje


Palabras que se fusionan en una solas Estas palabras se someten a las reglas generales de tildación (solo queda el acento de la última palabra fusionada).

Estas palabras también se sujetan a las reglas generales de tildación. Ejemplos:

BASICO

Ejemplos:

* vio + se + nos = viósenos

* décimo + quinto = decimoquinto * dio + me = diome * anti + sísmica = antisísmica

* mató + se = matose

* décimo + séptimo = decimoséptimo

* acusó + me = acusome

* greco + latino = grecolatino

* comunica + se + les = comunícaseles

* diez + seis = dieciséis

* pega + nos = péganos

* sin + fin = sinfín

PALABRAS UNIDAS POR GUIÓN Estas palabras unidas por guión, se consideran independientes para efectos de la tildación; de modo que si en forma aislada una de ellas o todas llevan tilde, al constituir el compuesto, conservan su tilde o acento.

* cien + pies = ciempiés * veinte +y + dos = veintidós VERBOS CON ENCLÍTICO Verbo con enclíticos, son palabras que se forman posponiendo a verbos pronombres que reciben la denominación de enclíticos. Los pronombres que pueden ser pospuestos a verbos son: me - te - se - lo - la - le - les - los - nos.

P

Ejemplos: * teórico - práctico

* físico - químico

* académico - social

* peruano - Belga

roblemas de Clase

01. Silabear y subrayar la sílaba tónica en las siguientes palabras. þ

prórroga

þ

traería

þ

consignación

þ

decían

þ

cotícelo

þ

necesario

þ

propósito

þ

transferencia

þ

ablándelo

þ

aorta

þ

duración

þ

coetáneo

þ

democracia

þ

teoría

þ

abigeo

þ

preámbulo

þ

eufemismo

þ

tenue

þ

dieciséis

þ

conocimiento

þ

aéreo

þ

auquénido

þ þ

aliviéis

þ þ

helicóptero

4

TEMA

demuéstresele

Tildación

084

petróleo

VERANO 2015

TEMA

Lenguaje


P

roblemas de Clase

02. Tiene tilde rubórica o disolvente: a) acuérdense b) vehículo d) miércoles e) huésped

10. ¿Qué alternativa presenta una correcta tildación? a) Nadie ha llegado, aún siendo día feriado. b) Dí que sí y ponle fin. c) ¡Quién cómo tú! d) Con él o sin él ten fe en ti. e) Sí te doy el sí, tú qué me das.

c) pasión

03. ¿Cuántas palabras agudas tiene el siguiente texto? “Voy a contar el caso más espantable y prodigioso que buenamente imaginarse puede, caso que hará erizar el cabello, horripilarse las carnes, pasmar el ánimo y acobardar al corazón más inquieto”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 04. Las palabras esdrújulas: a) Llevan la fuerza de voz en la transantepenúltima sílaba. b) Llevan tilde siempre. c) Tienen pronombres enclíticos. d) Son las más abundantes. e) Son de origen extranjero. 05. Señalar cuántas palabras de la siguiente lista llevan tilde: fluido - criptico - macula - embolo - avaro mendigo - fue -matose - fe. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 06. Señalar la alternativa que sólo contenga palabras que deban llevar tilde: a) sutil, futil, nubil b) tactil, debil, facil c) pretil, prensil, fusil d) fui, huir, crei e) zafiro, clorofila, reimos 07. Indicar cuántas tildes necesita el siguiente texto: “Nadie contaba cuanta edad vivia, sino de que manera: ni aun una hora lograba sin afan su valentia”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 08. ¿Qué alternativa necesita mayor cantidad de tildes? a) Veiase en la lejania como partia el jesuita. b) Dele al erudito un autografo de ese comediografo desconocido. c) Ami padre le preocupa el afan de Saul. d) Este, ese y aquel alumno tramaron todo esto. e) Pregunta a que habia ido.

11. Señalar la relación que contenga palabras agudas: a) café - bondad - ingresar b) joven - láser - acción c) mundo - corazón - paz d) hambre - Perú - dictadura e) dólar - servidor - mundo 12. “Tu no estas conmigo solo esta mi almohada por eso estoy solo. ¿Por que me abandonaste?”. ¿Cuántas tildes faltan? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. “Si tu no rectificas tu error, eso si que te traera problemas. Esto lo se porque no siempre se tiene la hidalguia de reconocerlos, aun cuando la falta es leve”. ¿Cuántas tildes faltan? a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8 14. Señalar cuántas tildes necesita el siguiente texto: “Nadie contaba cuanta edad vivia, sino de que manera: ni aun una hora lograba sin afan su valentia”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 15. Diptongo a) amorío b) vivía c) cielo d) dúo e) quiebra

Hiato:: despreciéis faena piedra púa río

16. ¿Cuál es la lista que posee sólo palabras con diptongo creciente? a) coima - oiga - duende - puerta b) bueno - deidad - puente - pauta c) cauce - fauna - diente - villorrio d) rey - soy - pausa - reino e) piano - dueña - cuadro - diablo 17. ¿Cuáles son las palabras que poseen diptongo decreciente? I. encuentro II. condición III. sauna IV. Europa V. traumatizado

09. “Ese día, el poeta, ahogado en su pena, decidió poner fin a su vida”. En la oración encontramos ........ hiatos. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

VERANO 2015

: : : : : :

085

a) I , II y III d) II, IV y V

b) II y IV e) I y III

c) III , IV y V

Tildación

4

TEMA

BASICO

01. Señalar la palabra con tilde disolvente: a) suavidad b) tolerancia c) ausencia d) leía e) bolsa

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 5

BASICO

Morfología MORFOLOGÍA Es la disciplina de la gramática que tiene como objeto de estudio la estructura interna de la palabra. (Del griego morphe: forma y logos: tratado). Objetivos: - Delimitar, definir y clasificar las unidades del componente morfológico (Lexemas, morfemas flexivos, morfemas derivativos). - Describir cómo tales unidades se agrupan en sus respectivos paradigmas (Sustantivos, Verbos,Adverbios). - Explicar cómo las unidades integrantes de la palabra se combinan y constituyen conformando su estructura interna. (Derivación, composición, onomatopeya).

EL MORFEMA Es la unidad mínima significativa del análisis morfológico. El morfema expresa conceptos significativos básicos, constituyéndose en la unidad gramatical mínima (indivisible) de una palabra. CLASES DE MORFEMAS 1. LEXICAL Llamado también núcleo, lexema o raíz. Soporta la significación de la palabra. El significado léxico corresponde a "qué significa una palabra". Pertenece al inventario lexicológico, por tal motivo, tiene su lugar en el diccionario. Su número es ilimitado. NIÑOS NIÑ - O - S

5

TEMA

INQUIETUD IN - QUIET - UD

Morfología

LAPALABRA Fonológicamente: puede ser expresada entre pausas y ser aislada con facilidad. Morfológicamente: es una estructura conformada básicamente por una raíz o lexema y, en ocasiones, por morfemas. Semánticamente: posee contenido conceptual o de significado. Lexicológicamente: generalmente es de inventario variable, evoluciona con el hombre.

2. GRAMATICAL Son las unidades mínimas que se anexan al morfema lexical y que aportan cargas significativas gramaticales. Al poseer sólo significado gramatical, no tienen lugar en el diccionario. Su número es limitado. a. Morfemas Flexivos: aportan los valores gramaticales de género, número, persona, tiempo y modo determinando a las categorías variables. No forman una nueva palabra. NIÑOS

NIÑA

NIÑ - O - S

NIÑ -A- Æ

(1) Morfema flexivo de género (O = masculino; A = Femenino) (2) Morfema flexivo de número plural. (Æ no hay morfema de número plural Þ es singular)

086

VERANO 2015

TEMA

Lenguaje

Grupo de Estudios “ELITE” b. Morfemas Derivativos : son aquellos que al anexarse a la raíz permiten la generación de una nueva palabra. Además, tienen la capacidad de indicar a qué categoría gramatical pertenece la palabra. Se le suele llamar afijos.

Anota esta nota MORFEMA: unidad mínima significativa (idea). MORFO: representación gráfica de un morfema.

SUFIJOS

ALOMORFO: se denomina así a las diversas formas o posibilidades para expresar el mismo morfema (idea).

Son los que se posponen a la raíz. Pueden ser : MORFEMAS LIBRES: pueden aparecer aisladamente en el habla. INFIJOS Son aquellos que se incrustan dentro del lexema interrumpiéndolo.

Ejemplos : mar, sol, ayer, sí, no, hoy. Nota : los morfemas libres pueden ser ligados. Mar (libre) / Marino (ligado)

INTERFIJO Carece de significado gramatical. Se inserta entre dos raíces o entre una raíz y un sufijo.

MORFEMAS LIGADOS: aparecen asociados a otros morfemas también ligados. Ejemplos : in, des, pre.

P

roblemas de Clase

01. ¿Cuál de los siguientes enunciado es correcto con relación a la MORFOLOGÍA? a) Disciplina que estudia las características sonoras de las palabras. b) La rama de la gramática que estudia la composición oracional. c) La unidad de las sintaxis. d) Disciplina que estudia la estructura interna de las palabras. e) Ciencia que estudia la relación entre las palabras. 02. ¿Cuál es la denominación del elemento subrayado de la siguiente palabra: SUBSUELO? a) Raíz b) Morfema derivativo c) Lexema d) Infijo e) Morfema flexivo 03. Una de las siguientes palabras carece de MORFEMA GRAMATICAL: a) Árboles b) Parejita c) Ojera d) Paz e) Arboleda 04. Una de las siguientes palabras posee MORFEMA FLEXIVO simple: a) Dormiremos b) Caminaste c) Bestial d) Amé e) Niños 05. Una de las siguientes palabras contiene MORFEMA DERIVATIVO: a) Niños b) Ganad c) Alabaré d) Sal e) Callejón

VERANO 2015

06. U n a d e l a s s i g u i e n t e s p a l a b r a s e s MONOMORFEMÁTICA: a) Cacerola b) Cantante c) Maremoto d) Doncella e) Mes 07. La preposición SIN se puede considerar: a) Que tiene dos morfemas. b) Que funciona sólo como prefijo. c) Que es un morfema flexivo. d) Que es polimorfemática. e) Que es monomorfemática. 08. ¿Cuál es la denominación del elemento subrayado de la siguiente palabra: MESITA? a) Morfema flexivo de género. b) Morfema flexivo de número. c) Morfema derivativo. d) Morfema lexema. e) Prefijo. 09. Una de las siguientes palabras presenta morfema DERIVATIVO: a) Mujeres b) Amigo c) Papel d) Cabezón e) Ceniza 10. ¿Cuál de las siguientes palabras presenta más de un morfema derivativo? a) Cenicero b) Carnero c) Caballada d) Intangibilidad e) Terruño

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Morfología

5

TEMA

BASICO

Existen cuatro tipos importantes : PREFIJOS Son los que se anteponen a la raíz.

TEMA

BASICO

Lenguaje


11. ¿Cuál de las siguientes palabras presenta INFIJO? a) Leoncito b) Avioncito c) Leoniditas d) Javiercito e) Aguadito

20. Palabra que presenta MORFEMAderivativo nominal: a) Andando b) Cariñoso c) Hábilmente d) Arboleda e) Temer

12. Es verdad: a) Toda palabra siempre presenta morfema gramatical. b) Toda palabra siempre presenta morfema flexivo. c) Toda palabra siempre contiene sufijo. d) Toda palabra contiene como mínimo un tipo de morfema. e) Toda palabra presenta siempre morfema derivativo.

21. Palabra que presenta MORFEMAderivativo adverbial. a) Sudar b) Callado c) Tenazmente d) Cepillar e) Aullido

13. ¿Cuál es la denominación del elemento subrayado de la siguiente palabra: NIÑOS? a) Morfema flexivo de género. b) Morfema flexivo de número. c) Morfema derivativo. d) Morfema lexema. e) Morfema derivativo simple. 14. Morfológicamente una palabra es: a) Unidad sonora separable de otras unidades. b) Unidad funcional dentro de la oración. c) Unidad portadora de base significativa. d) Unidad separable en morfemas. e) Unidad separable en fonos. 15. Los verbos son incapaces de presentar: a) Morfema lexema. b) Morfema flexivo. c) Morfema derivativo. d) Morfema flexivos de género. e) Morfema de modo. 16. Presenta sólo morfema lexema: a) Callecita b) Mujer c) Avioncitos d) Gatunos e) Amiguitos 17. Palabra que carece de SUFIJO. a) Cenicero b) Sanidad c) Dedal d) Dorado e) Sal 18. La siguiente palabra LEONIDITAS presenta: a) Morfema flexivo de género. b) Morfema flexivo de número. c) Interfijo. d) Infijo. e) Prefijo. 19. La siguiente palabra "Niñez" presenta: a) Prefijo b) Lexema c) Morfema flexivo d) Sufijo e) Morfema gramatical

5

TEMA

Morfología

22. Palabra que presenta MORFEMAderivativo verbal. a) Sudadera b) Caricia c) Caminando d) Oleaje e) Esperanza 23. Palabra que presenta MORFEMAderivativo colectivo. a) Amiguito b) Toneles c) Gallinazos d) Alameda e) Zarzuela 24. Palabra que presenta más de un lexema en la misma palabra. a) Equidistante b) Habilidoso c) Deliciosamente d) Intolerante e) Rojiblanco 25. Palabra que presenta más de un prefijo: a) Subterráneo b) Anormal c) Epidermis d) Desenamorado e) Bisabuelo 26. Palabra que presenta más de un sufijo derivativo: a) Discos b) Librero c) Chiquillada d) Bebito e) Perrera 27. Palabra que NO presenta morfema flexivo de número. a) Flores b) Análisis c) Albures d) Ositos e) Libritos 28. Palabra que NO presenta morfema flexivo de género. a) Señora b) Gata c) Alcaldesa d) Mesa e) Actriz 29. ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s a l t e r n a t i v a s e s MONOMORFEMÁTICA? a) Criticables b) Estelares c) Cocinero d) Corazón e) Adjunto 30. ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s a l t e r n a t i v a s e s POLIMORFEMÁTICA? a) Regla b) Tiza c) Mancha d) Impío e) Joven

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VERANO 2015

GRUPO DE ESTUDIO

Lenguaje : Tema 6

Proceso Formativo de las Palabras BASICO

CLASIFICACIÓN POR DISTRIBUCIÓN DE FONEMAS RAÍZ + Morf. Derivativo (Prefijo o Sufijo

DERIVACIÓN

Yuxtaposición

COMPOSICIÓN PARASÍNTESIS

ONOMATOPEYA

Propiamente dicha Composición + Derivación RUIDOS

Imitación de entes inanimados

SONIDOS

Imitación de seres animados

CLASIFICACIÓN POR ACCIDENTE GRAMATICAL

CLASIFICACIÓN POR FUNCIÓN CATEGORÍAS GRAMATICALES

CATEGORÍAS GRAMATICALES VARIABLES

INVARIABLES

ARTÍCULO

Género, Número

ADVERBIO

SUSTANTIVO

Género, Número

PREPOSICIÓN

ADJETIVO

Género, Número

CONJUNCIÓN

PRONOMBRE

Genero, Número, Persona

VERBO

P

DEPENDIENTES

INDEPENDIENTES

SUSTANTIVO

ARTÍCULO sustantivo)

(del

PRONOMBRE

ADJETIVO sustantivo)

(del

VERBO

ADVERBIO (del verbo, adjetivo u otro adverbio)

Género, Número, Persona, Tiempo, Modo

ENLACES PREPOSICIÓN

CONJUNCIÓN

reguntas de Clase

01. Es el proceso que resulta de la combinación de la composición y la derivación: a) Flexión b) Prefijación c) Sufijación d) Onomatopeya e) Parasíntesis

04. Señale la palabra que se ha formado por composición en la forma de yuxtaposición: a) Prehistoria b) Inutilizable c) Pordiosero d) Agridulce e) Cortaúñas

02. Señale la palabra que se ha formado por derivación: a) Camposanto b) Abrelatas c) Lustrabotas d) Infiel e) Honesto

05. Señale la palabra que se ha formado por composición propiamente dicha: a) Inútil b) Ternura c) Rompecabezas d) Auriverde e) Pisapapeles

03. Señale la palabra que se ha formado por prefijación: a) Cartero b) Antiquísimo c) Cortaplumas d) Descortés e) Caprichoso

VERANO 2015

06. Señale la palabra que se ha formado por parasíntesis: a) Marcapaso b) Rompeolas c) Comunista d) Sietemesino e) Mataperro

089

Tildación

4

TEMA

TEMA

Lenguaje

Grupo de Estudios “ELITE” e) Hábilmente

BASICO

07. Señale la palabra formada por onomatopeya: a) Finísimo b) Cocinero c) Crepitan d) Ansiedad e) Habilidad

18. El sufijo "ear" sirve para formar verbos a partir de los: a) Adjetivos b) Adverbial c) Sustantivos d) Verbos e) Pronombres

08. Señale la palabra que no se haya formado por derivación: a) Socialista b) Animalejo c) Diezmo d) Lobato e) Sacapuntas 09. Señale la palabra que no se haya formado por composición por yuxtaposición: a) Rompeolas b) Inmortal c) Parabrisas d) Buscapleitos e) Matasanos

19. Es un sufijo que indica exageración o grado superior en el adjetivo: a) Ero b) Ura c) Ísimo d) Ario e) Aje 20. Señale el sustantivo que se ha formado a partir de un adjetivo: a) Plumaje b) Cartero c) Hospitalario d) Ternura e) Gargantilla

10. Señale la palabra que se haya formado por composición propiamente dicha: a) Caballero b) Mujerzuela c) Portón d) Maniobra e) Limpialunas

21. Señale el sufijo que no se utiliza para la formación de colectivos: a) Ada b) eda c) Aje d) Ario e) Érrimo

11. Señale la palabra que no se haya formado por parasíntesis : a) Sietemesino b) Quinceañera c) Pordiosero d) Terrorista e) Picapedrero

22. Señale el prefijo que indica "anterioridad": a) Sub b) Infra c) In d) Des e) Pre -

12. Es un proceso que consiste en formar palabras a partir de los sonidos de animales o cosas: a) Derivación b) Composición c) Parasíntesis d) Onomatopeya e) Prefijación 13. La voz onomatopéyica del toro es: a) Crasita b) Gorgoritea c) Zurea d) Otila e) Brama 14. El proceso de unión de dos lexemas con variación morfológica de uno de ellos es: a) Composición por yuxtaposición. b) Composición propiamente dicha. c) Derivación. d) Parasíntesis. e) Onomatopeya. 15. Señale la palabra que no se haya formado por onomatopeya. a) Barrita b) Muge c) Brama d) Crasita e) Cocinero 16. ¿Cuál es la voz onomatopéyica procedente de la rana? a) Cloquea b) Croa c) Gorgoritea d) Ronca e) Grazna 17. Es una palabra derivada adverbial: a) Socialista b) Ternura c) Frigidísimo d) Nigérrimo

6

TEMA

Tildación

23. Señale el prefijo que indica "negación": a) Supra b) Ex c) Extra d) In e) Inter 24. La palabra "rojiblanco" se ha formado por: a) Derivación. b) Composición por yuxtaposición. c) Composición propiamente dicha. d) Parasíntesis. e) Onomatopeya. 25. Señale la palabra que sólo presenta lexema: a) Marino b) Realizar c) Útilmente d) Bellísimo e) María 26. Señale cuál es el proceso que ha intervenido en la formación de la palabra "aguardiente": a) Composición por yuxtaposición. b) Composición propiamente dicha. c) Derivación. d) Parasíntesis. e) Onomatopeya. 27. La onomatopeya del becerro es: a) Muge b) Brama c) Aúlla d) Barrita e) Berrea 28. Es una palabra derivada verbal: a) Cazador b) Estudioso c) Juguetear d) Bautismal e) Ascensor

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VERANO 2015

001 - Elite - Basico

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