Ppl Simplex

Investigación de Operaciones Método SIMPLEX FELIPE CASELLI B. INGENIERO CIVIL INDUSTRIAL MAGÍSTER EN INGENIERÍA DE NEGOCIOS

2015

PL, Int Intro rodu ducc cció ión n al al Mé Méto todo do SIMPLEX • Conceptos previos: • Algoritmo • Concavidad/convexidad de conjuntos y

funciones. • Dependencia/Independencia de Vectores • Rango de la Matriz. • Operaciones fila con Matrices (Gauss-Jordan para sistemas de ecuaciones lineales Ax=b). • Inversa de Matrices.

PL, Int Intro rodu ducc cció ión n al al Mé Méto todo do SIMPLEX • Conceptos previos: • Algoritmo • Concavidad/convexidad de conjuntos y

funciones. • Dependencia/Independencia de Vectores • Rango de la Matriz. • Operaciones fila con Matrices (Gauss-Jordan para sistemas de ecuaciones lineales Ax=b). • Inversa de Matrices.

PL, Int Intro rodu ducc cció ión n al al Mé Méto todo do SIMPLEX • El mé méto todo do de dell SIM SIMPL PLEX EX fu fue e crea creado do en en 194 19477 por el matemático George Dantzig . • El mét método odo del SIM SIMPLE PLEX X se se util utiliza iza,, para para res resolv olver er problemas de programación lineal en los que intervienen dos o más variables. variables . • El álgebra matricial matricial y y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan Gauss-Jordan para para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método SIMPLEX.

PL, Int Intro rodu ducc cció ión n al al Mé Méto todo do SIMPLEX • Para un Problema de Programación Lineal se quiere encontrar el vector solución que lo optimiza • El SI SIMP MPLE LEX X es es un un pro proce cedi dimi mien ento to iterativo iterativo que que permite ir mejorando la solución a cada paso. – El proceso concluye cuando no es posible seguir seguir mejorando dicha solución.

• El mét métod odoo del del SIMPL SIMPLEX EX se bas basa a en en la la sigu siguien iente te propiedad: – Si la función objetivo f , no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista ari sta que parte de A, a lo largo de la cual cual f aumenta.

PL, Int Intro rodu ducc cció ión n al al Mé Méto todo do SIMPLEX • El ve vector ctor solución s olución será considerado como la base → las variables que lo componen serán Vari ria abl ble es Básic Básica as . • La Lass vari variab able less res resta tant ntes es se será rán n Variables No Básicas y Básicas y no formarán parte de la base. • Para un pro prob blema con N variables de decisión (no negativas) y M restricciones del tipo ≤, ¿cuántas variables habrá en total?, ¿cuántas de ellas serán variables var iables básicas?

SIMPLEX, Descripción General • Dado un problema con R variables (incluyendo las de restricción) y M restricciones: • Si cada elección de variables no básicas diera una solución básica, se podrían elegir R - M variables no básicas generando el siguiente total de soluciones (vértices):

 R  R!   =  M  ( R − M )! M !

Método SIMPLEX, Descripción General El Simplex considera los siguientes pasos: 1. Dejar el problema de la forma estándar 2. Escribir la tabla inicial simplex: encontrar la Solución Básica Factible Inicial. 3. Verificar si se cumple el criterio de optimalidad. – Si no se cumple, encontrar solución adyacente: encontrar la Variable No Básica que entra en la base y la Variable Básica que sale de la base. Pasar al paso 4 – Si se cumple, termina el algoritmo

4. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla y volver al paso 3

Método SIMPLEX, Descripción General • Requerimientos del algoritmo: 1. Vector lado derecho con coeficientes no negativos. 2. Variables no negativas.

PL, Introducción al Método SIMPLEX Ejemplo: Max Z= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y

≤

18

2x + 3y

≤

42

3x + y

≤

24

x, y

≥

0

5 variables y 3 restricciones

10 soluciones básicas

→

SIMPLEX, Descripción General para maximización 1. Convertir el PPL en su forma estándar  

Convertir las desigualdades en igualdades Igualar la función objetivo a cero

2. Ubicar Solución Básica Factible de inicio 

Para problemas en que todas las restricciones son ≤, con lados derechos no negativos se usan como variables básicas de inicio las holguras

3. Verificar si se cumple criterio de optimalidad para la Base actual (todos los coeficientes del renglón Z son no negativos): 



Si no lo es, se determina una nueva sbf adyacente: Entra a la base la variable NO básica con coeficiente “más negativo”, la columna de la Variable No Básica que entra a la base se denomina columna pivote. Sale de la base la Variable Básica que “gane la prueba del cociente”: división de los coeficientes de la columna solución por los coeficientes positivos de la columna pivote, gana la variable con resultado menor. La fila de la variable que sale de la base se denomina fila pivote. Pasar a 4. Si lo es, detenerse.

SIMPLEX, Dejar el problema de la forma estándar. •

Para convertirlas en igualdades se introduce una variable de holgura para cada una de las restricciones: 2x + y + h1 2x + 3y + 3x + y +

•

= 18 = 42

h2 h3

= 24

Se iguala la Función Objetivo a cero: Z - 3x - 2y = 0

SIMPLEX, Escribir la tabla inicial Base

Habrá una columna (j) para cada variable del problema y una fila (i) para cada restricción más una última fila para los coeficientes de la función objetivo, se agregarán los coeficientes de las igualdades obtenidas en su posición correspondiente (i,j).

Variables de Decisión

Variables de Holgura

Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

h1

2

1

1

0

0

18

h2

2

3

0

1

0

42

h3

3

1

0

0

1

24

Z

-3

-2

0

0

0

0

SIMPLEX, Tabla inicial: Condición de Optimalidad • Verificación del criterio de optimalidad: si todos los Cz ≥0 se ha llegado al óptimo. • Entra a la base la variable con el coeficiente en Z “más negativo” • Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos (usted rompe el

Base



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

h1

2

1

1

0

0

18

h2

2

3

0

1

0

42

h3

3

1

0

0

1

24

Z

-3

-2

0

0

0

0

SIMPLEX, Tabla inicial: Condición de Optimalidad • Para encontrar la

Base



Valores Solución

variable básica que x y h1 h2 h3 tiene que salir de la base se hace la prueba h1 2 1 1 0 0 del cociente: dividir cada coeficiente de la h2 2 3 0 1 0 columna solución por el término correspondiente h3 3 1 0 0 1 de la columna pivote, Z -3 -2 0 0 0 ssi estos últimos son mayores que cero. • Sale de la base la VB con cociente menor, eso señala a la fila pivote.

18 42 24 0

SIMPLEX, Tabla inicial: Condición de Optimalidad • Resultado prueba

Base

cociente:

• h1: 9 • h2: 21 • h3: 8

• En la intersección de la



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

h1

2

1

1

0

0

18

h2

2

3

0

1

0

42

fila pivote y columna h3 3 1 0 0 1 24 pivote está el elemento Z -3 -2 0 0 0 0 pivote operacional, en este caso: 3. • En el caso de que todos los coeficientes de la columna pivote fuesen menores o iguales a cero, entonces se tendría una solución no acotada y no se puede seguir. • Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que

SIMPLEX, Encontrar los coeficientes de la nueva tabla • Los nuevos coeficientes de la columna pivote (x) se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila pivote (h3) por el pivote operacional (3), que es el que hay que convertir en 1. • A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos cero los restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo.

SIMPLEX, Encontrar los coeficientes de la nueva tabla Dicho de otra forma: • Fila pivote: Nueva fila pivote= (Fila pivote original) (Pivote operacional) • Resto de las filas: Nueva fila= (Fila original) - (Coeficiente de la fila original en la columna pivote) x (Nueva fila pivote)

SIMPLEX, Encontrar los coeficientes de la nueva tabla • Verificación criterio de optimalidad • y entra a la base por ser la variable con coeficiente más negativo (-1 ) • Resultados prueba cuociente: • h1: 6 • h2: 11.1 • x : 24

• Sale h1. • Elemento pivote operacional: 1/3.

Base



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

h1

0

1/3

1

0

-2/3

2

h2

0

7/3

0

1

-2/3

26

x

1

1/3

0

0

1/3

8

Z

0

-1

0

0

1

24

SIMPLEX, Encontrar los coeficientes de la nueva tabla 1. Verificar Criterio de optimalidad. 2. Identificar Variable No Básica que entra en la base. 3. Identificar la Variable Básica que sale de la base. 4. Resultados prueba: 1. 6/(-2) = n/a 2. 12/4 = 3 3. 6/1 = 6

5. VB que sale es h2. 6. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Base



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

y

0

1

3

0

-2

6

h2

0

0

-7

1

4

12

x

1

0

-1

0

1

6

Z

0

0

3

0

-1

30

SIMPLEX, Encontrar los coeficientes de la nueva tabla

Base



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

y

0

1

-1/2

1/2

0

12

h3

0

0

-7/4

1/4

1

3

x

1

0

3/4

-1/4

0

3

Z

0

0

5/4

1/4

0

33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son no negativos, hemos llegado a la solución óptima

SIMPLEX, Interpretación Geométrica • Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. • En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice A(0,0), siendo este 0. • A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B, este paso se visualiza en la Tabla II.

SIMPLEX, Interpretación Geométrica • • •

En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0): Z=f(8,0) = 24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se obtienen los datos de la Tabla III. En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6) : Z=f(6,6)=30.

SIMPLEX, Interpretación Geométrica • • • •

Continúa haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los resultados que se obtienen son los de la Tabla IV. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (comprobando que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D). Si se calcula el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), se verifica que su valor no supera las 33 unidades – Z= f(0,14)= 3x0 + 2x14 = 28

Simplex, resumen inicio y tabla final Max Z= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18 2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x, y ≥ 0 Base

Z - 3x - 2y = 0 2x + y + h1 = 18 2x + 3y + h2 = 42 3x + y + h3 = 24



Valores Solución

x

y

h1

h2

h3

y

0

1

-1/2

1/2

0

12

h3

0

0

-7/4

1/4

1

3

x

1

0

-3/4

-1/4

0

3

Z

0

0

5/4

1/4

0

33

5 variables, 3 restricciones → 10 vértices; solo 5 factibles (con

SIMPLEX, Algunos Casos Especiales • Minimización de un problema de programación lineal • Problemas de PL con múltiples soluciones óptimas • Problemas de PL no acotados – Este caso ya se mencionó: ¿Recuerda cómo se identificaba? • Problemas de PL con variables no restringidas • Problemas de PL con restricciones del tipo ≥ (solución

artificial de inicio) • Problemas de PL sin solución factible • Problemas de PL con solución degenerada

SIMPLEX, Minimización de un Problema de Programación Lineal

1. Se puede hacer la equivalencia entre Min z= f(x 1 ,..x i ) y Max -Z = -f(x 1 ,..x ) i y seguir el algoritmo de la misma forma. 2. Se puede hacer una modificación al algoritmo cambiando el sentido del criterio de entrada de variables a la base: se elige la variable cuyo valor, en la fila de la función objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son negativos.

SIMPLEX, Algunos Casos Especiales • • • • • •

Minimización de un problema de programación lineal Problemas de PL con múltiples soluciones óptimas Problemas de PL no acotados Problemas de PL con variables no restringidas Problemas de PL con restricciones del tipo ≥ o = Problemas de PL sin solución factible

SIMPLEX, Múltiples puntos para la Solución Óptima Max Z = 60x1 + 35x2 + 20x3 s.a. 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3 ≥ 0

Z - 60x1 - 35x2 - 20x3 = 0 s.a. 8x1 + 6x2 + x3 + h1 = 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 +h2 = 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + h3 = 8 x2 + h4 = 5 x1, x2, x3, h1, h2, h3, h4 ≥ 0

It 0

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z

H3

-60 8 4 2

-35 6 2 1,5

-20 1 1,5 0,5

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 48 20 8

H4

0

1

0

0

0

0

1

5

H1 H2

It 0

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z H1

-60 8

-35 6

-20 1

0 1

0 0

0 0

0 0

0 48

H2

4

2

1,5

0

1

0

0

20

H3

2

1,5

0,5

0

0

1

0

8

H4

0

1

0

0

0

0

1

5

It 1

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z

0

10

-5

0

0

30

0

240

H1

0

0

-1

1

0

-4

0

16

H2

0

-1

0,5

0

1

-2

0

4

X1 H4

1 0

0,75 1

0,25 0

0 0

0 0

0,5 0

0 1

4 5

It 2

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z

0 0 0 1

0 -2 -2 1,25

0 0 1 0

0 1 0 0

10 2 2 -0,5

10 -8 -4 1,5

0 0 0 0

280 24 8 2

H1 X3 X1

It 2

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z

X1

0 0 0 1

0 -2 -2 1,25

0 0 1 0

0 1 0 0

10 2 2 -0,5

10 -8 -4 1,5

0 0 0 0

280 24 8 2

H4

0

1

0

0

0

0

1

5

It 3

X1

X2

X3

H1

H2

H3

H4

B

Z

X3

0 1,6 1,6

0 0 0

0 0 1

0 1 0

10 1,2 1,2

10 -5,6 -1,6

0 0 0

280 27,2 11,2

X2

0,8

1

0

0

-0,4

1,2

0

1,6

H4

-0,8

0

0

0

0,4

-1,2

1

3,4

H1 X3

H1

Z= f (x1, x2, x3) = 60x1 + 35x2 + 20x3

• Solución 1: – f (2, 0, 8) = 280

• Solución 2: – f (0, 1.6, 11.2) = 280

SIMPLEX, Múltiples puntos para la Solución Óptima • Por regla, con el algoritmo SIMPLEX, en el

renglón de Z los coeficientes de las variables básicas tendrán valor igual a cero y las variables no básicas tendrán valores No Negativos (para el caso de Maximización). • Si en el renglón Z una Variable No Básica tiene coeficiente igual a cero, es posible que el problema tenga múltiples puntos para solución óptima ( para un mismo valor de la F. O.).



SIMPLEX, Problemas con solución no acotada • Breadco Bakeries elabora dos clases de pan: baguette y pan negro. Cada baguette se vende en 36 centavos y cada hogaza de pan negro se vende en 30 centavos. Para elaborar una baguette se requieren 1 paquete de levadura y 6 onzas de harina; para el pan negro se requiere 1 paquete de levadura y 5 onzas de harina. Breadco tiene en la actualidad 5 paquetes de levadura y 10 onzas de harina. Se pueden comprar más paquetes de levadura a 3 centavos cada uno y harina a 4 centavos la onza. Plantee y resuelva un modelo de PL con el que se pueda maximizar la utilidad de Breadco.

SIMPLEX, Problemas con solución no acotada Sean X1: La cantidad, en unidades, de Baguettes a hornear. X2: La cantidad, en unidades, de hogazas de pan negro a hornear. X3: La cantidad, en paquetes, de levadura a comprar. X4: La cantidad, en onzas, de harina a comprar.

Max Z = 36x1 + 30x2 - 3x3 - 4x4 S.a. 1) Restricción de Levadura:

1 + x 2 − x 3 ≤ 5

x

2)

Restricción de la Harina: 6 x 1 + 5 x 2 − x 4 ≤ 10

3)

No Negatividad:

1, x 2, x 3, x 4 ≥ 0

x

SIMPLEX, Problemas con solución no acotada It 0

X1

X2

X3

X4

H1

H2

B

Z

-36

-30

3

4

0

0

0

H1

1

1

-1

0

1

0

5

H2

6

5

0

-1

0

1

10

It 1

X1

X2

X3

X4

H1

H2

B

Z

0

0

3

-2

0

6

60

H1

0

0,17

-1

0,17

1

-0,17

3,33

X1

1

0,83

0

-0,17

0

0,17

1,67

It 2

X1

X2

X3

X4

H1

H2

B

Z

0

2

-9

0

12

4

100

X4

0

1

-6

1

6

-1

20

X1

1

1

-1

0

1

0

5

SIMPLEX, Problemas con solución no acotada Cuando no se ha llegado a la solución óptima, y los coeficientes de la columna pivote son únicamente valores No Positivos (para cada restricción), no se puede hacer la prueba del cociente y el PPL es No Acotado. • Al ser todos los cocientes no positivos quiere decir que el valor de la Variable Entrante puede ser tan grande como se quiera sin hacer que las Variables Básicas actuales queden negativas. •



SIMPLEX, Problemas con Variables No Restringidas •

SIMPLEX requiere que todas las variables sean No Negativas.

– ¿POR QUÉ? Si X es no restringida de signo se debe hacer la transformación: X = X+ - X• Donde tanto X+ como X- serán variables ≥ 0 y se pueden incluir en el modelo para ser resuelto por SIMPLEX •

SIMPLEX, Problemas con Variables No Restringidas Adaptado del ejemplo 3.1-1, p. 73. Taha, H.; Investigación de operaciones, 7ª edición, Pearson Educación.

• McBurger es un restaurante de comida rápida que vende hamburguesas extra y de queso. En una extra se usa un cuarto de libra de carne, en una de queso sólo se una 0.2 lb. El restaurante comienza el día con 200 lb de carne, pero puede pedir más, con un costo adicional de 25 centavos por libra para cubrir el costo de la entrega. Toda carne que sobre al final del día se dona a instituciones caritativas y se incurre en un costo adicional de 10 centavos por libra entregada. Las utilidades de McBurger son 20 centavos por una extra y 15 centavos por una de queso. En total, McBurger no espera vender más de 900 hamburguesas en cualquier día. ¿Cuántas hamburguesas de cada tipo debe planear McBurger para el día?

SIMPLEX, Problemas con Variables No Restringidas • Sean – X1 la cantidad a hacer de hamburguesas extra [un] – X2 la cantidad a hacer de hamburguesas de queso [un] – X3 la variación de carne respecto del disponible (cantidad faltante o sobrante) [lb]

• Restricciones – Cantidad máxima esperada de hamburguesas a vender: X1 + X2 ≤ 900

– Cantidad máxima de carne a utilizar: 0.25X1 + 0.2X2 + X3 ≤ 200

0.25X1 + 0.2X2 + X3+ - X3- = 200

– Sustitución variable nrs: X3 = X3+ - X3-

• F.O.: Max Z = 0.2X1 + 0.15X2 – 0.1 X3+ – 0.25X3• F.O.: Max Z = 0.2X1 + 0.15X2 … ¿?

SIMPLEX, Problemas con Variables No Restringidas • En la Tabla de SIMPLEX la columna de X + siempre tendrá signo contrario a X -. Las 2 no pueden ser parte de una sfb de forma simultánea. • Como resultado se pueden dar los siguientes casos: – X+ > 0 y X- = 0 – X+ = 0 y X- > 0 – X+ = X-

→ → →

X = X+ X = - XX=0



SIMPLEX, Problemas con Solución Artificial de Inicio • En todo caso en que una restricción tenga signo distinto de ≤, se debe de agregar una

variable artificial para obtener una solución factible inicial (artificial). – ¿POR QUÉ?

SIMPLEX, Problemas con Solución Artificial de Inicio

Min z = 2x1 + 3x2 Sa ½ x1 + ¼ x2 ≤ 4 x1 + 3 x2 ≥ 20 x1 + x2 = 10 x1, x2 ≥ 0 –

z - 2x1 - 3x2

=0

½ x1 + ¼ x2 + h =4 x1 + 3 x2 – s + R1 = 20 x1 + x2 + R2 = 10 x1, x2, h, s, R1, R2 ≥ 0

El problema artificial se puede solucionar a través de dos métodos: • Método de la M grande

SIMPLEX, Método de la M grande 1. Se estandariza el problema. 2. Crear una variable artificial para cada restricción del tipo: ax=b o ax≥b 3. Agregar las variables artificiales en la FO con coeficiente M (MUY GRANDE) que empeore el valor de la FO: – Para problema de Max usar –M – Para problema de Min usar +M 4. Se genera la tabla inicial y se iguala los coeficientes de las VB en el renglón Z a 0 (para las variables artificiales)

5. Se realiza procedimiento del SIMPLEX – Para problemas de Max entra VNB con coef. + negativo – Para problemas de Min entra VNB con coef. + positivo 6. Si una variable artificial queda en iteración final el problema es NO Factible

SIMPLEX, Problemas con Solución Artificial de Inicio

Max Z = 5x1 + 5x2 - 2x3 s.a: 4 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 20 x1 + 4 x2 – 5 x3 = 60 x1, x2, x3 ≥ 0 Iteración 0 VB

X1

Z - 5x1 - 5x2 + 2x3 + MR = 0 4 x1 + 2 x2 + x3 + H = 20 x1 + 4 x2 – 5 x3 + R = 60 x1, x2, x3, H, R≥ 0

X2

X3

H

R

SOLN

SIMPLEX, Problemas con Solución Artificial de Inicio Iteración 0 VB X1 X2 X3 H R H 4 2 1 1 0 R 1 4 -5 0 1 Z -5 -5 2 0 M 1.- Se debe realizar operaciones filas para dejar el coeficiente de las VB = 0. Iteración 1 VB X1 X2 X3 H R H 4 2 1 1 0 R 1 4 -5 0 1 Z -M-5 -4M-5 5M+2 0 0 Iteración 2 VB X2 R Z

X1 2 1 7M+5

X2 1 4 0

X3 0,5 -5 7M+4,5

H 0,5 0 2M+2,5

R 0 1 0

SOLN 20 60 0 SOLN 20 60 -60M SOLN 10 60 -20M+50

SIMPLEX, Método de las dos Fases • Se separa el problema en dos (cada fase) • Fase 1: – Se Minimiza la suma de las variables artificiales, usando las restricciones del problema original; la solución de este problema será la sbf inicial para la fase 2. Esto es independiente de si el problema original es de Max o Min.

• Fase 2: – Para la tabla de inicio de la Fase 2 se utiliza como coeficientes de restricción los obtenidos en la Fase 1, la sbf inicial será la solución antes obtenida – Se reemplaza la fila de la FO de la Fase 1 por los coeficientes de la FO del problema original estandarizado y se verifica la coherencia del problema. – Se realiza el procedimiento SIMPLEX de forma normal de acuerdo al objetivo del problema original

SIMPLEX, Método de las dos Fases • Problema No Factible: en la Fase 1 la solución óptima incluye una variable artificial mayor que 0 (R>0). Si el problema fuera factible las variables artificiales no serían necesarias , i.e. R=0 • Problema Factible: – Sin R’s en sbf inicial Fase 2 – Con R’s en sbf inicial en Fase 2: en tabla final R tiene valor 0 en renglón Z

SIMPLEX, Método de las dos Fases • Max Z = x1 + x2 • s.a: • 6 x1 + 4 x2 = 36 • 4 x1 + 4 x2 ≥ 30 • x1 + x2 ≤ 20 • x1, x2 ≥ 0

Fase I:

Z - x1 - x2 = 0 6 x1 + 4 x2 + R1 4 x1 + 4 x2 - S + R2 x1 +

Min W = R1 + R2 s.a 6 x1 + 4 x2 + R1 4 x1 4 x2 S R2

x2 +

= 36 H

= 36 30

= 30 = 20

SIMPLEX, Método de las dos Fases VB

X1

X2

S

R1

R2

H

B

R1 R2 H W

6 4 1 0

4 4 1 0

0 -1 0 0

1 0 0 -1

0 1 0 -1

0 0 1 0

36 30 20 0

1.- Se debe realizar operaciones filas para dejar el coeficiente de las VB = 0. Prueba Cociente

VB

X1

X2

S

R1

R2

H

B

R1 R2 H W'

6 4 1 10

4 4 1 8

0 -1 0 -1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

36 30 20 66

6 7 1/2 20

VB

X1

X2

S

R1

R2

H

B

Prueba Cociente

X1 R2 H W

1 0 0 0

2/3 1 1/3 1/3 1 1/3

0 -1 0 1

1/6 - 2/3 - 1/6 1 2/3

0 1 0 0

0 0 1 0

6 6 14 6

9 4 1/2 42

SIMPLEX, Método de las dos Fases VB

X1

X2

S

X1 X2

1

0

0

1

1/2 - 3/4

H

0

0

W

0

0

R1

R2

H

B

0

3

- 1/2

- 1/2 3/4

0

4 1/2

1/4

0

- 1/4

1

12 1/2

0

-1

-1

0

0

1/2

• Ahora que se llegó al óptimo se

vuelve al problema original cambiando SOLO los coeficientes de la fila función objetivo. • Luego se debe dejar en 0 los

6 50

x2 +

VB

X1

X2

S

R1

R2

H

B

X1 X2 H

1 0 0 -1

0 1 0 -1

1/2 - 3/4 1/4 0

1/2 - 1/2 0 0

- 1/2 3/4 - 1/4 0

0 0 1 0

3 4 1/2 12 1/2 0

Z

N/A

Z - x1 - x2 = 0 6 x1 + 4 x2 + R1 4 x1 + 4 x2 - S + R2 x1 +

coeficientes en Z de las VB.

Prueba C.

= 36 = 30 = 20

H Prueba C.

6

N/A 50

Se pueden bloquear las variables artificiales y no considerarlas para las operaciones

SIMPLEX, Método de las dos Fases Prueba VB

X1

X2

S

R1

R2

H

B

X1

1

0

1/2

1/2

- 1/2

0

3

X2

0

1

- 3/4

- 1/2

3/4

0

4 1/2

H

0

0

1/4

0

- 1/4

1

12 1/2

Z'

0

0

- 1/4

0

1/4

0

7 1/2

VB

X1

X2

S

H

B

S X2

2 1 1/2

0 1

1 0

0 0

6 9

H Z

- 1/2 1/2

0 0

0 0

1 0

11 9

Cuociente

6

N/A

• Esta tabla es la óptima. El problema tiene solución única con

X2= 9 y Z = 9.

50

SIMPLEX, Algunos Casos Especiales • Minimización de un problema de programación lineal – Cambiar criterio de optimalidad (entrada de variable no básica a la base)

• Problemas de PL con múltiples soluciones óptimas – Coeficiente en Z de una VNB=0

• Problemas de PL no acotados – No hay VB candidata a salir de la base

• Problemas de PL con variables no restringidas – Transformación de la variable nrs a otras no negativas

• Problemas de PL con restricciones del tipo ≥ o = – Se agrega una variable artificial a cada restricción con signo distinto de ≤, las que serán parte de la sbfi

• Problemas de PL sin solución factible – En la solución óptima al menos una variable artificial es VB

• Problema con solución degenerada

Ppl Simplex

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