Clase Met. Cuant. t1

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. Unidad No. 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

m  ecuaciones con

1. Un sis siste tema ma de 2.

n  incógnitas.

Sistema Sistema lineal lineal con dos dos ecuacio ecuaciones nes y dos dos incógnita incógnitas s y su determ determinante inante..

3. Defn Defnic ició ión n de mat matri ri de de orde orden n

m×n.

!. ". $. &. '. ). 1+. 11. 12. 13. 1!.

Matr Matri i cuad cuadra rada da.. #ectore ectores s fla fla y vect vector ores es colu columna mna.. %gua %guald ldad ad de matr matrice ices. s. Suma Suma de matr matric ices es.. Multi(li Multi(licac cación ión de una una matri matri  (or un esca escalar lar.. *a tra trans ns(u (ues esta ta de de una una matr matri i.. Defnición de (roducto (roducto (unto o (roducto interior. interior. Multi(licaci Multi(licación ón de matrices matrices.. ,orma matricial (ara sistemas sistemas lineales. Matri aumentada. aumentada. -ro(iedades de las o(eraciones con con matrices. -ro(iedades de la suma de matrices. a. Con Conmutativa iva . Aso Asociat iativa iva c. Modulativa d. %nve %nvers rso o adit aditiv ivo o. 1". -ro(iedad -ro(iedades es de la multi(licación multi(licación de matrices. matrices. a. Aso Asociat iativa iva. . Distr Distriu iuti tiva va a la la dere derec/ c/a. a. c. Distr Distriu iuti tiva va a la la i0u i0uier ierda da..

n × n  o matri idéntica  I n  de orden

1$. *a matri matri escalar escalar de orden orden 1&. Multi(licaci Multi(licación ón (or un escalar. escalar. EEC%C%S 4-5g. 1)6. 1

Si

[

a +2 b 2 c +d

 A =

2

2 a−b c −2 d

[

1 2

2 1

[

3 2

−

 D =

][ =

4 4

2 −3 −

2 2 , E= 0 4 3

]

0

3

−

1 , C = 4 2 2

4

−

1 2

a,b,c yd .

7 determine

[ ] [ [ ]

1 3 , B= 2 4 3

]

]

5

4 , F = 1

[

1

3

]

1 1

5 , 3

4 2

0 5 , y O= 0 3 0

−

[ ]

]

0

0

0 0

0 . 0

De ser (osile calcule la cominación lineal 0ue se i ndica en cada caso8 a

C + E

y

 E + C 

1

n×n.

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. 

A+B

c

D− F  3 C + 5 O

−

d

3

e

2 C −3 E

9 

2 B + F 

Sean

[ ] [ ] 1

0

1

0

1

1

 A = 1

1 1

0 , B= 1 1 1

0 1

1 , 0

0

[ ] 1

y

1

0

C = 0 1

1 1

1

0

. Calcular cada una de las e:(resiones

siguientes8

!

"

a

A +B



B + C 

c

A + B + C 

d

A + C 

e

B −C .

T 

Sea

 A =

[ ] 1 0

0 0

.

a

Determine

B  de manera 0ue

 A + B=



Determine

C   de manera 0ue

 A + C =

Sea

u= [ 0 1

[ ] 0 0

0 . 0

[ ]

01 ] . Determine el !;vector

1 1

1 . 1

v  tal 0ue

u + v =[ 1 1 1 1 ] .

EEC%C%S 4-5g. 3!6

a.

Sean

a =[ −3

2

x]

[] −

y

3

b= 2 .  x

Si

2

a ∙ b = 1&7 determine  x .

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos.

[] 1

.

 x  tales 0ue

Determine todos los valores de

v ∙ v =1,   donde

v=

2 −1

.

2

 x

c.

 A =

Sean

d.

 A =

[

1 4

[

2 −1

D=

e.

[

1 3

2 −1

[] [ ] [ [ ]

x

2

]

]

−

]

3 , E= −2

1

2

4 , C = 3 5 1

1

0

−

2 3

1 4

5 2

−

[]

 AB =

Si

1

3 3 , B= 2 −2 −1

2 0

B=

y

 y  x .

3

1

, y F =

7 determine

 x  y  y .

]

5 , −2

4 −1 −

3

6 8

[  ] 2 4

3 . 1

−

De ser (osile7 calcule8

1

2

a

 A ( BD )



( AB ) D

c

 A ( C + E )

d

AC + AE

e

( D + F )  A

Sean

Sean

 A =

 A =

[

columnas de

3

[ ] [ 1 3

2 2  y B = 2 −3

2

−

1 5

2 −1

−

3

4 3 −2

]

 ]

1 . 4

−

Demuestre 0ue

[]

 AB ≠ BA .

2

y

c = 1 .   E:(rese  Ac  como una cominación lineal de las 4

 A .

Considere el siguiente sistema lineal

3

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. 2 x + w=7 3 x + 2  y + 3 z =−2

2 x + 3  y − 4 z = 3

 x + 3 x =5. a  c !

Determine la matri de coefcientes. Escrie el sistema lineal en 9orma matricial. Determine la matri aumentada.

Considere el siguiente sistema lineal8

3 x − y + 2 z =4 2 x + y =2

 y + 3 z =7 4 x − z =4. a  c "

Determine la matri de coefcientes. Escrie el sistema lineal en 9orma matricial. Determine la matri aumentada.

Determine un valor de

 A = [ r 1

−

r  y un valor de

2]

s  tal 0ue  AB T =0,  donde8

B =[ 1 3

y

s] .

EEC%C%S 4-5g. !)6 Sean

 A =

[

2 3

[

1.

1 1

 ]

2 5

−

1

1

2

 E= 2

−

1 2

3 −1

3

B= 3

7

1 −

[ ] 2

]

<

−

[

1

4 −2

[

 F =

7

1 2

0 −3

]

2

1

3

C = −1 2

4 0

3

.

De ser (osile7 calcule a6

( AB )T 

6

B  A

T 

T 

!

1

]

7

 D=

[

2 −3

1 2

−

]

7

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos.

1.

T 

c6

A B

d6

BB

e6

B B

T 

TT 

T 

Determine un escalar

 A =

[ ] 2 1

1 2

<

r  tal 0ue  Ax = rx ,  donde

 x =

[] 1 1

.

[] 2

−

2.

Determine una constante

k   tal 0ue

T 

( kA ) ( kA )=1,

 donde

 A = 1 . 1

−

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EL METODO DE GAUSS – JORDAN 1.

2.

3.

Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas8 solución =nica 4usando el método de eliminación de >auss;ord5n6. a.

2 x 1 + 4  x2 + 6 x 3= 18

.

4 x 1 + 5 x 2+ 6 x 3= 24

c.

3 x1 + x 2−2 x 3=4

Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas8 n=mero infnito de soluciones. a.

2 x 1 + 4  x2 + 6 x 3= 18

.

4 x 1 + 5 x 2+ 6 x 3= 24

c.

2 x 1 + 7 x 2+ 12 x 3= 30

Sistema inconsistente o sistema sin solución. a.

2 x 1 + 4  x2 + 6 x 3= 18

.

4 x 1 + 5 x 2+ 6 x 3= 24

c.

2 x 1 + 7 x 2+ 12 x 3= 40

EJERCICIOS (Pág. !"

"

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. Determine todos los valores de una solución =nica7 y

(c )

a  (ara los 0ue la l?nea resultante

(a)

 no tenga solución7

( b)

 tenga

 tenga una infnidad de soluciones.

23. x + y − z =2 ; x + 2  y + z =3 ; x +  y + ( a

−

25. x + y + z =2 ; x + 2 y + z = 3 ; x + y + ( a

−

2

2

5 ) z = a .

5 ) z =a .

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Un eanista 9arica sillas7 mesas (ara ca9é y mesas (ara comedor. Se necesitan 1+ minutos (ara li@ar una silla7 $ (ara (intarla y 12 (ara arniarla. Se re0uieren 12 minutos (ara li@ar una mesa (ara ca9é7 ' (ara (intarla y 12 (ara arniarla. Son necesario 1" minutos (ara li@ar una mesa (ara comedor7 12 (ara (intarla y 1' arniarla. El centro de li@ado est5 dis(onile 1$ /oras a la semana7 el de (intura 11 /oras a la semana y el de arniado 1' /oras. Cu5ntas unidades de cada muele deen 9aricarse (or semana de modo 0ue las mesas de traa@o se utilicen a toda su ca(acidadB

2.

Un editor (ulica un (osile é:ito de lirer?a en tres (resentaciones distintas8 liro de olsillo7 edición (ara clu de lectores y edición de lu@o. Cada liro de olsillo necesita un minuto (ara el cosido y 2 (ara el (egado. Cada liro de la edición (ara el clu de lectores necesita 2 minutos (ara el cosido y ! (ara el (egado. Cada liro de edición de lu@o necesita 3 minutos (ara el cosido y " (ara el (egado. Si la (lanta de cosido est5 dis(onile $ /oras diarias y la (lanta de (egado 11 /oras7 cu5ntos liros de cada (resentación se (ueden (roducir (or d?a de modo 0ue las (lantas se a(rovec/en a toda su ca(acidadB

3.

*a alacena m5gica de una ru@a contiene 1+ onas de /o@as molidas de tréoles de cuatro /o@as y 1! onas de ra?ces de mandr5gora en (olvo. Si la ru@a utilia en 9orma e:acta todo el contenido de su alacena7 entonces ésta se resurtir5 de manera autom5tica. -ara un fltro de amor se re0uieren

onas de tréoles molidos de cuatro /o@as y

2

cuatro /o@as y

1 13

2 13  de ra?ces de mandr5gora en (olvo. Una receta de

una muy conocida 4(ara las ru@as6 cura del res9riado com=n re0uiere

10

3

5

5 13

 de onas de tréoles de

10 13  onas de ra?

de mandr5gora. ue cantidades del fltro de amor y del remedio (ara el res9riado deer5 (re(arar la ru@a a fn de utiliar e:actamente el contenido de su alacena m5gicaB !.

Un gran@ero le da a su ganado una mecla de dos ti(os de alimento. Una unidad est5ndar del alimento ti(o A le (ro(orciona a un novillo el 1+ de su re0uerimiento m?nimo diario de (rote?na y el 1" de su re0uerimiento de caro/idratos. El alimento ti(o  contiene el 12 del re0uerimiento de (rote?na y el ' del de caro/idratos en una unidad est5ndar. Si el gran@ero desea 0ue su ganado tenga el 1++ de su re0uerimiento m?nimo de (rote?nas y caro/idratos7 cu5ntas unidades de cada ti(o de alimento deer5 (ro(orcionar a cada novillo (or d?aB

$

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. LA IN#ERSA DE UNA MATRI$ 1. 2. 3.

Defnición de una matri no singular 4o invertile6. Feorema de la unicidad de la inversa. Feorema (ara las (ro(iedades de la inversa.

E%&'iio) 1.

2.

esuelva el (rolema del eanista utiliando la inversa.

Demuestre 0ue la matri

[

1

 A = 1

2

−

2 5 −2 −

3

1 −3

]

 es una matri singular7 es decir no tiene inversa.

DETERMINANTES 1. 2. 3. !. ".

Defnición de una determinante de orden 2 (or 2. Defnición del i@;é:imo menor de una matri de orden n (or n. Defnición del i@;é:imo co9actor de una matri de orden n (or n. Defnición de determinante de una matri de orden n (or n. Feorema de la determinante de una matri triangular su(erior o in9erior de orden n (or n.

E%&'iio)

1.

Calcule el determinante indicado8 a.

| | 1

0

3

0 2

1 1

4 0

.

| | 2 03 1 0 1 42 0 0 15 1 2 30

2. Muestre 0ue si

 A  y

B  son matrices diagonales de

3. Muestre 0ue si

 A  y

B  son matrices triangulares in9eriores7 entonces

!.

Muestre 0ue7 en general7 no es cierto 0ue

".

Muestre 0ue si de

n × n ,  entonces

deAB =deAdeB . deAB =deAdeB .

de ( A + B ) = deA + deB .

 A  es triangular7 entonces

deA ≠ 0  si y sólo si tolas las com(onentes diagonales

 A  son di9erentes de cero.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

 A  (or cual0uier renglón o cual0uier columna.

1.

Feorema (ara la determinante de una matri

2. 3.

-ro(iedad (ara la determinante de una matri con cual0uier renglón o columna cero. -ro(iedad (ara la determinante de una matri multi(licada (or una constante7 en cual0uier renglón o columna. -ro(iedad (ara la suma de las determinantes de dos matrices 0ue solo diferen en una columna. -ro(iedad (ara la determinante de una matri7 al intercamiar dos renglones o columnas. -ro(iedad (ara la determinante de una matri7 0ue tiene dos renglones o columnas iguales. -ro(iedad (ara la determinante de una matri7 0ue tiene un renglón o columna m=lti(lo constante de otro renglón o columna. -ro(iedad (ara la determinante de un mati7 si a un renglón o columna se le suma un m=lti(lo de otro renglón o columna.

!. ". $. &. '.

&

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos.

E%&'iio)

|

1. Calcule las siguientes determinantes su(oniendo 0ue8

|

a31 a21

a.

|

a32 a33 a22 a23

a21

|

2 a21

2 a 22

2 a 23

5 a31

5 a 32

5 a 33

a 11− a12 a12 a 21− a22 a22 a 31− a32 a32

a13 a23 a33

−

d.

3 a11

|

|

g.

2.

.

a 11 a12 a13

3 a 12

−

| |

|

a31 a32 a33 a 11 a12 a13

c.

a22 a23

3 a13

−

e.

|

a 11 a12 a13 a21 a22 a23 =8 a31

|

a32 a33

a31

a32

|

|

2 a12 −3 a22

2 a13 − 3 a23

a31 a21

a32 a22

a33 a23

Calcule las siguientes determinantes8

|

a.

|

2

3

6

4 −2

1 0

8 0

−

*ACTORI$ACIÓN

 !" 

|

.

|

3

2

4

1 −1

−

1 4

2 0

−

PARA UNA MATRI$

 A

1.

Caracter?sticas de la descom(osición o 9actoriación

2.

-rocedimiento (ara resolver un sistema

3.

E@em(lo8 Considere el siguiente sistema lineal.

 !" .

 A# =B  usando la 9actoriación  A = !" .

6 x 1−2 x 2− 4 x 3 + 4 x 4 =2

'

a33

|

a 11 2 a 13 a12 a21 2 a 23 a22 a31 2 a 33 a32

|

2 a11 −3 a21

|

 a11 a12 a13 2 a21 2 a22 2 a23

9.

UDEA Clase de Métodos Cuantitativos. 3 x1 −3 x 2−6 x 3 + x 4 =−4 12 x 1+ 8 x 2 + 21 x3 − 8 x 4=8

−

6 x 1−10 x 3 + 7 x 4 =−43

esuelva el sistema mediante la descom(osición

 !" .

)