Σημειώσεις Φυσικής Α' Λυκείου

Φυσική Α’ Λυκείου

Νίκοσ Αναςταςάκθσ Γενικό Λφκειο Βάμου 2008-2010

Φυςικι Α’ Λυκείου

Περιεχόμενα

Μεγζκθ Κίνθςθσ:

΢ελίδεσ

14

Μετατόπιςθ, Σαχφτθτα, Μζςθ Σαχφτθτα Ευκφγραμμεσ Κινιςεισ:

΢ελίδεσ

520 5 11

΢ελίδεσ

2143 22 23 25 33 37

΢ελίδεσ

4347 44 45

΢ελίδεσ

4856

΢ελίδεσ

5767 57 61

΢ελίδεσ

6189 69 70 73 75 78 80 81

Ευκφγραμμθ Ομαλι Ευκ. Ομαλά Μεταβαλόμενθ Δυνάμεισ : Βάροσ Δφναμθ Ελατθρίου Νόμοι των Δυνάμεων ΢φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων Σριβι Κινιςεισ με τθν επίδραςθ του βάρουσ Κατακόρυφεσ Κινιςεισ Οριηόντια Βολι Κυκλικι Κίνθςθ Μεγζκθ, Εξιςϊςεισ

Ορμι 2οσ Νόμοσ του Νεφτωνα Η Αρχι Διατιρθςθσ τθσ Ορμισ Ενζργεια – Ζργο: Κινθτικι Ενζργεια Δυναμικι Ενζργεια (Βαρυτικι – Ελαςτικι) Ζργο Δφναμθσ Σο Θεϊρθμα Μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ Η Μεταβολι τθσ Δυναμικισ Ενζργειασ Μθχανικι Ενζργεια Ιςχφσ


Περιεχόμενα


Μεγζκθ Κίνθςθσ

Μεγέθη Κίνηςησ

Γ -3

-2

Ο -1

0

Α 1

2

3 (m)

1. Που βρίςκεται ζνα αντικείμενο; Η κζςθ ⃗ ενόσ αντικειμζνου ορίηεται ςε ςχζςθ με κάποιο ςθμείο αναφοράσ. Π.χ. Η κζςθ του ανκρϊπου είναι xA = +3m, θ κζςθ τθσ γάτασ είναι xΓ = -2m ςε ςχζςθ με το ςθμείο Ο που είναι το ςθμείο αναφοράσ.

2. Πόςο και προσ τα που μετακινείται; Η μετατόπιςθ ⃗ ενόσ αντικειμζνου δείχνει πόςο ζχει αλλάξει θ κζςθ του, αλλά και προσ ποια κατεφκυνςθ.

Όπου xτελ & xαρχ είναι θ τελικι και θ αρχικι του κζςθ αντίςτοιχα.

 Π.χ. ΢το παραπάνω ςχιμα, θ γάτα για να φτάςει τον άνκρωπο πρζπει να μετατοπιςτεί κατά :

   

ΔxΓ = xτελΓ - xαρχΓ = (3 – (-2))m = 5m. Αντίκετα για να φτάςει ό άνκρωποσ ςτθν γάτα, πρζπει να μετατοπιςτεί κατά: ΔxA = xτελA - xαρχA = (-2 – 3)m = -5m. (Σο αρνθτικό πρόςθμο δείχνει ότι πρζπει να κινθκεί προσ τα αριςτερά).

3. Πόςο γριγορα γίνεται θ κίνθςθ; Η ταχφτθτα ⃗ δείχνει το πόςο γριγορα και το προσ τα ποφ (κατεφκυνςθ) γίνεται θ κίνθςθ. Είναι ίςθ με τον ρυκμό μεταβολισ τθσ κζςθσ:

Μονάδα τθσ ςτο διεκνζσ ςφςτθμα είναι: m/s 1



Άλλθ ςυνθκιςμζνθ μονάδα είναι τα km/h. Ιςχφει ότι

 Αν ο άνκρωποσ αλλάξει κζςθ με τθν γάτα, και μετατοπιςτεί ςε χρόνο Δt = 2s, θ ταχφτθτα του κα είναι :

Αντίςτοιχα θ ταχφτθτα τθσ γάτασ κα είναι :

 Παρατιρθςθ: Η κζςθ, θ μετατόπιςθ, θ ταχφτθτα, είναι διανυςματικά μεγζκθ, άρα εκτόσ από μζτρο ζχουν και φορά (π.χ., δεξιά, αριςτερά, πάνω, κάτω …). Η φορά τουσ δθλϊνεται με το πρόςθμο που ζχουν. Στο προθγοφμενο παράδειγμα, ο άνκρωποσ και ι γάτα ζχουν ταχφτθτα ίδιου μζτρου αλλά αντίκετθσ φοράσ. Στθ γλϊςςα των μακθματικϊν, το μζτρο μαηί με το πρόςθμο, δίνουν τθν «αλγεβρικι τιμι» του μεγζκουσ

4. Πόςθ διαδρομι ζχει διανφςει το αντικείμενο; Σο μικοσ τθσ διαδρομισ που διανφει ζνα αντικείμενο είναι το διάςτθμα s, και είναι μονόμετρο μζγεκοσ. Παίρνει πάντα κετικζσ τιμζσ.

 Μία κοπζλα προχωράει 100m μπροςτά και 50 μζτρα προσ τα πίςω. Σο ςυνολικό διάςτθμα που διζνυςε είναι sολ = 150m.

5. Η ταχφτθτα κατά τθν διάρκεια μιασ διαδρομισ αλλάηει. Το αντικείμενο πθγαίνει γριγορα, αργά, ςταματάει, γυρνάει πίςω κ.λ.π. Πόςο γριγορα γίνεται θ ςυνολικι κίνθςθ; Η ςτακερι ταχφτθτα που κα ζπρεπε να ζχει το αντικείμενο ϊςτε να διανφςει το ίδιο ςυνολικό διάςτθμα (sολ) ςτον ίδιο χρόνο (Δtολ) , είναι θ μζςθ ταχφτθτα του κινθτοφ:

2



 Ζνα όχθμα διανφει απόςταςθ s1 = 200m ςε χρόνο Δt1 = 100s. Κατόπιν ςταματάει για Δt2 = 50s και ςτθν ςυνζχεια διανφει άλλα 400m ςε χρόνο Δt3 = 150s. Ζτςι: Σο ςυνολικό διάςτθμα που διζνυςε είναι Sολ = (200+400)m = 600m Η ςυνολικι διάρκεια τθσ κίνθςθσ είναι Δtολ = (100+50+150)s = 300s. Η μζςθ ταχφτθτα είναι :

 Παρατιρθςθ: Στο προθγοφμενο παράδειγμα: Η ταχφτθτα ςτο πρϊτο κομμάτι τθσ κίνθςθσ ιταν: . Στο δεφτερο κομμάτι τθσ κίνθςθσ είναι . Η μζςθ τιμι αυτϊν των δφο ταχυτιτων είναι

(

)

βαια δεν είναι ίδια με τθν μζςθ ταχφτθτα υμ ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςθσ.

3

που βζ-

Φυςικι Α Λυκείου


Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ 1. ΢το διπλανό ςχιμα, Ο μία μπάλα μετακινείται από τθν κζςθ x1 = -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (m) 4m, ςτθν κζςθ x2 = 2m, ςε χρόνο Δt1 = 4s. ΢τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x3 = 6m. Η κίνθςθ τθσ αυτι διαρκεί Δt2 = 5s. Σζλοσ, ςε χρόνο Δt3 = 10s μετακινείται ςτθν κζςθ x4 = -2m. Α. Να ςθμειϊςετε τισ διαδοχικζσ κζςεισ τθσ μπάλασ ςτο ςχιμα. Β. Πόςθ είναι θ μετατόπιςι τθσ ςε κάκε μία από τισ τρείσ επιμζρουσ κινιςεισ; Γ. Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτά τθσ ςε κάκε μία κίνθςθ. Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα τθσ μπάλασ για τθν ςυνολικι κίνθςθ;

2. Ζνα αυτοκίνθτο διανφει μία διαδρομι 10km ςε χρόνο 15min. Α. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτά του; Β. Μποροφμε να γνωρίηουμε τθν ταχφτθτα που είχε τθν χρονικι ςτιγμι t =10min μετά τθν εκκίνθςι του; Γ. Ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο κζλει να διανφςει τθν ίδια απόςταςθ ςτον ίδιο χρόνο, με ςτακερό μζτρο ταχφτθτασ. Πόςθ κα πρζπει να είναι θ ταχφτθτα αυτι;

4


Ευκφγραμμθ Ομαλι Κίνθςθ

Ευθύγραμμεσ Κινήςεισ

1. Οι εξιςϊςεισ τθσ κίνθςθσ. Η ταχφτθτα υ ζχει ςτακερό μζτρο (και κατεφκυνςθ). Άρα, ςε ίςουσ χρόνουσ διανφονται ίςεσ αποςτάςεισ. Η μετατόπιςθ Δx είναι ανάλογθ του χρόνου Δt που διαρκεί θ κίνθςθ. (1) Επειδι Δx = xτελ – xαρχ, μποροφμε να γράψουμε: (2) …όπου με x ςυμβολίηουμε τθν (τελικι) κζςθ ςτθν οποία βρίςκεται το αντικείμενο μετά από Δt χρονικι διάρκεια κίνθςθσ. Σο διάςτθμα που διανφει το αντικείμενο υπολογίηεται:

| |

(3)

Η κίνθςθ που περιγράψαμε (κίνθςθ με ςτακερι ταχφτθτα), λζγεται και «ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ».

 Π.χ… Ζνα τραίνο κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ = -10m/s. Αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 50m (ςε ςχζςθ με τον ςτακμό, δθλ. το ςθμείο αναφοράσ). Μετά από χρόνο Δt = 40s: Θα ζχει μετατοπιςτεί κατά Δx = υ·Δt = -400m και κα ζχει διανφςει διάςτθμα s = 400m. Θα ζχει βρεκεί ςτθν κζςθ x = xαρχ + υ·Δt = -350m.  Σα αρνθτικά πρόςθμα ςτθν μετατόπιςθ Δx και τθν κζςθ x δθλϊνουν ότι ζχει μετατοπιςτεί αριςτερά και ζχει βρεκεί αριςτερά τθσ αρχικισ του κζςθσ.  Παρατθριςεισ:  Στισ εξιςϊςεισ (1) και (2) δεν χρθςιμοποιοφμε διανυςματικοφσ ςυμβολιςμοφσ. Η κίνθςθ γίνεται ςε ευκεία γραμμι και αρκεί το πρόςθμο για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ των διανυςματικϊν μεγεκϊν.  Στθν ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ, θ μζςθ ταχφτθτα είναι ςυνεχϊσ ίςθ με το μζτρο τθσ ςτιγμιαίασ ταχφτθτασ.

5



2. Η γραφικι αναπαράςταςθ τθσ κίνθςθσ… ΢το διάγραμμα κζςθσ - χρόνου (x – t) θ κίνθςθ αναπαρίςταται ςτον κατακόρυφο άξονα (κζςθ x) ενϊ θ χρονικι τθσ διάρκεια φαίνεται ςτον οριηόντιο άξονα (χρόνοσ t). ΢ε ίςεσ χρονικζσ διάρκειεσ Δt, διανφεται πάντα θ ίδια απόςταςθ Δx, ζτςι το διάγραμμα είναι ευκεία γραμμι με κλίςθ ανάλογθ τθσ ταχφτθτασ.

x

Δx

t Δt

Διάγραμμα κζςθσ – χρόνου (για tαρχ = 0) Η εξίςωςθ από τθν οποία προκφπτει το διάγραμμα είναι:

28

x (m) Απομάκρυνςθ από το ςθμείο αναφοράσ

26 24

Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει τθν ταχφτθτα κίνθςθσ,

22 20

.

18

κλίςθ

16

Σο διάγραμμα ξεκινάει από τθν κζςθ που βριςκόταν αρχικά τα αντικείμενο, xαρχ. Όταν το αντικείμενο απομακρφνεται από το ςθμείο αναφοράσ (0) θ απόςταςθ του αυξάνεται ενϊ, όταν κινείται προσ αυτό, θ απόςταςθ ελαττϊνεται.

14 12

Επιςτροφι προσ το ςθμείο αναφοράσ

10 8 6 4 2

t (s) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου (για tαρχ = 0) Η ταχφτθτα είναι ςτακερι, δθλαδι, κάκε χρονικι ςτιγμι ζχει τθν ίδια τιμι:

v (m/s) 3.5

3

Μετατόπιςθ

2.5

Η κλίςθ του διαγράμματοσ είναι μθδζν, αφοφ θ ταχφτθτα δεν αλλάηει. Σο εμβαδόν που ορίηεται από το διάγραμμα και τον άξονα του χρόνου, αρικμθτικά δίνει τθν μετατόπιςθ.

2

1.5

1

0.5

t (s) -0.5

0.5

-0.5

6

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5



 Εφαρμογι … Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά με ταχφτθτα μζτρου 5m/s, προσ τθν κετικι κατεφκυνςθ. Σθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0, βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = -10m, δθλ., θ εξίςωςθ τθσ κζςθσ του είναι:

18 16 14 12 10 8 6 4 2

x = -10 + 5·t -0.5

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

Ζτςι, θ κζςθ του ςτισ χρονικζσ ςτιγμζσ t1 = 2s, t2 = 4s φαίνεται ςτον διπλανό πίνακα. Με τθν βοικειά τουσ μποροφμε να φτιάξουμε το διάγραμμα κζςθσ - χρόνου για τθν κίνθςι του. Χρόνοσ Θζςθ

2s 0

x (m)

t (s) 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

4s 10m

Η κλίςθ του διαγράμματοσ x – t δίνει τθν ταχφτθτα (θ κλίςθ είναι ςτακερι, όπωσ και θ ταχφτθτα):

9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

Από το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ μποροφμε να υπολογίςουμε ότι θ μετατόπιςι του για Δt = (3-1)s = 2s, είναι:

Εμβαδόν = Δx = 10m

Αντίςτοιχα, το διάςτθμα που ζχει διανφςει είναι S = 10m.

-0.5 -0.5

7

v (m/s)

t (s) 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5



Εικόνα 1: Μελζτθ Ευκ. Ομαλισ Κίνθςθσ με τθν βοικεια Η/Υ.

8



Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ 1. Ζνα τραίνο που αρχικά βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 50m, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα υ = 15m/s. Α. Να υπολογίςετε τθν μετατόπιςι του μετά από Δt = 30s, κακϊσ και το διάςτθμα που κα ζχει διανφςει. Β. Ποια είναι τότε θ κζςθ του; Γ. Ποια κα ιταν θ μετατόπιςι του και ποια θ κζςθ του αν θ ταχφτθτα του ιταν υ’= -5m/s;

2. Ζνασ πεηοπόροσ αρχικά βρίςκεται ςτθν αφετθρία τθσ διαδρομισ του (xαρχ = 0) και τθν χρονικι ςτιγμι to = 0 αρχίηει να περπατάει με ςτακερι ταχφτθτα υ = 2m/s. Α. Που κα βρίςκεται τθν χρονικι ςτιγμι t = 5s; Β. Που κα βριςκόταν αν είχε ξεκινιςει 20m μπροςτά από τθν αφετθρία, μετά από ίδια χρονικι διάρκεια κίνθςθσ; Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ, Α και Β;

3. Ζνασ ποδθλάτθσ βρίςκεται 20 μζτρα αριςτερά του ςθμείου που κεωροφμε ωσ ςθμείο αναφοράσ για τθν κίνθςι του. Αρχικά κινείται για χρόνο Δt1 = 10s με ςτακερι ταχφτθτα υ1 = -2m/s. ΢τθν ςυνζχεια κινείται για χρόνο Δt2 = 5s με ταχφτθτα υ2 = 6m/s. Α. Που κα ζχει φτάςει μετά τα πρϊτα 10s τθσ κίνθςισ του; Β. Που κα βρίςκεται ςτο τζλοσ τθσ ςυνολικισ του κίνθςθσ; Γ. Ποια είναι θ μετατόπιςι του, ςε κάκε μία περίπτωςθ (Α. και Β.); Δ. Ποιο είναι το ςυνολικό διάςτθμα που ζχει διανφςει;

4. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλι κίνθςθ. Η ταχφτθτα του είναι 4m/s και θ κζςθ από όπου άρχιςε θ κίνθςι του είναι xαρχ = -10m. Αν Α. Να υπολογίςετε τθν κζςθ του τισ χρονικζσ ςτιγμζσ t1 = 2s, t2 = 2,5s και t3 = 5s. Β. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για τθν κίνθςθ του αντικειμζνου. Γ. Φτιάξτε διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου για τθν κίνθςθ. 9



Δ. Για τθν ίδια κίνθςθ, ςχεδιάςτε το διάγραμμα διαςτιματοσ – χρόνου.

5. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία τροχιά, με τον ζξθσ τρόπο: Αρχικά (tαρχ = 0) βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 0. Μετακινείται με ςτακερι ταχφτθτα και τθν χρονικι ςτιγμι t1 = 5s φτάνει ςτθν κζςθ x1 = 10m. ΢τθν κζςθ αυτι παραμζνει ακίνθτο μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι t2 = 7s. ΢τθν ςυνζχεια μετακινείται ςτθν κζςθ x3 = 4m, όπου φτάνει τθν χρονικι ςτιγμι t3 = 10s Α. ΢χεδιάςτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου (x-t) για τθν ςυνολικι του κίνθςθ. Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του ςτα χρονικά διαςτιματα ΔtA(0 5s), ΔtΒ(5s 7s), ΔtΓ(7s 10s); Γ. ΢χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ. Δ. Πόςθ είναι θ μζςθ ταχφτθτα ςτθν διάρκεια τθσ κίνθςι του;

6. Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου περιγράφεται από το διπλανό διάγραμμα κζςθσ - χρόνου.

28

x (m)

26 24 22

Α. Με τθν βοικεια του διαγράμματοσ, απαντιςτε τισ επόμενεσ ερωτιςεισ. i) Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το αντικείμενο; (Αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). ii) Που βριςκόταν τθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0;

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

t (s) 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

iii) Πόςθ είναι θ ταχφτθτά του; ΢τθν ςυνζχεια, χρθςιμοποιϊντασ τισ απαντιςεισ ςασ ςτα προθγοφμενα ερωτιματα: Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου (υ –t ) Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ τθσ κζςθσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο Δ. Τπολογίςτε τθν κζςθ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 4s.

10


Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ

1. Πωσ αλλάηει θ ταχφτθτα (…πόςο και προσ τα ποφ;) Η επιτάχυνςθ είναι το φυςικό μζγεκοσ που δείχνει το πόςο γριγορα και προσ τα ποφ αλλάηει θ ταχφτθτα, δθλαδι είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ταχφτθτασ.

Η επιτάχυνςθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ωςτόςο, αν θ κίνθςθ γίνεται ςε ευκεία τροχιά (μια διάςταςθ) αρκεί το πρόςθμο τθσ για να δθλϊςουμε τθν κατεφκυνςθ.

 Π.χ. … ΢ε μία ευκφγραμμθ κίνθςθ, κάποια ςτιγμι θ ταχφτθτα του αντικειμζνου είναι υ = 2m/s και θ επιτάχυνςθ του είναι α=2 1m/s . Αυτό ςθμαίνει ότι θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετθ κατεφκυνςθ. ΢ε κάποια άλλθ περίπτωςθ, θ ταχφτθτα του αντικειμζνου είναι υ = 4m/s και θ επιτάχυνςθ α = -4m/s2 . Σότε τα διανφςματα και ζχουν τθν ίδια φορά (και τα δφο αριςτερά)…

𝑎 ⃗⃗⃗ 𝑣′

𝑣 (+)

𝑎 ⃗⃗⃗ 𝑣′

𝑣

Μονάδα επιτάχυνςθσ είναι m/s2 (ςτο διεκνζσ ςφςτθμα S.I.)

2. Η κίνθςθ - εξιςϊςεισ. Όταν θ επιτάχυνςθ ⃗ ζχει ίδια κατεφκυνςθ με τθν ταχφτθτα , το μζτρο τθσ ταχφτθτασ αυξάνεται και θ κίνθςθ είναι επιταχυνόμενθ. ΢τθν αντίκετθ περίπτωςθ (που θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ είναι αντίρροπεσ), το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται και θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ. Όταν θ επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, οι κινιςεισ ονομάηονται «ευκφγραμμθ ομαλά επιταχυνόμενθ» και «ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ», αντίςτοιχα. Η μεταβολι τθσ ταχφτθτασ είναι ανάλογθ με του χρόνου.

11



΢φμφωνα με τον οριςμό τθσ επιτάχυνςθσ,

Άρα:

και (4) Όπου υ είναι θ τελικι ταχφτθτα του κινθτοφ, που ζχει κινθκεί με επιτάχυνςθ για χρονικι διάρκεια Δt. Σα μεγζκθ υαρχ και α τα αντικακιςτοφμε με τα πρόςθμά τουσ ςτθν εξίςωςθ (4).

 Αν για παράδειγμα θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο πρόςθμο, οπότε θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, θ εξίςωςθ (4) κα πάρει τθν μορφι: | |

|

| | |

΢τθν εξίςωςθ αυτι, που μποροφμε να τθν εφαρμόςουμε γενικά ςτθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, το πρόςθμο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα ζχουν αντίκετθ φορά, και το μζτρο τθσ ταχφτθτασ ελαττϊνεται.

Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, όταν υπάρχει ςτακερι επιτάχυνςθ, δίνεται από τθν εξίςωςθ: (5) Η κζςθ κα υπολογίηεται:

ι (6) Και ςε αυτζσ τισ εξιςϊςεισ, (5 & 6) αντικακιςτοφμε τα μεγζκθ xαρχ, υαρχ και α με τα πρόςθμα τουσ.  ΢ε μια επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, όπου θ ταχφτθτα και θ επιτάχυνςθ ζχουν αντίκετο πρόςθμο, μποροφμε να υπολογίςουμε το διάςτθμα που διανφει επιβραδυνόμενο το αντικείμενο, από τθν εξίςωςθ: |

|

| | 12

(7)



Σο (-) δθλϊνει ότι θ επιτάχυνςθ και θ ταχφτθτα ζχουν αντίκετο πρόςθμο. Ζτςι το διάςτθμα που κα διανφςει το κινθτό είναι μικρότερο από αυτό που κα διζνυε αν διατθροφςε τθν ταχφτθτά το ςτακερι.  Αν κζλουμε να υπολογίςουμε τον χρόνο που χρειάηεται για να ςταματιςει, ζνα αντικείμενο που επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό, μποροφμε να ςκεφτοφμε ωσ εξισ: Πόςθ γίνεται θ ταχφτθτα τθν ςτιγμι που ςταματάει;  μθδζν! Άρα, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ, γράφουμε: |

|

| |

|

|

| |

|

| | |

Πόςο απόςταςθ διζνυςε το αντικείμενο μζχρι να ςταματιςει; Χρθςιμοποιοφμε τθν εξίςωςθ του διαςτιματοσ (7) για τθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ, αντικακιςτϊντασ τον χρόνο που υπολογίςαμε πριν! |

|

| |

|

Κάνοντασ τισ πράξεισ, καταλιγουμε:

|

|

| | |

| | (

|

| | |

)

| |

 Παραδείγματα. 1. Μία μοτοςυκλζτα κινείται αρχικά με ταχφτθτα 30m/s. Κάποια ςτιγμι ο οδθγόσ βλζπει ζνα εμπόδιο κα αρχίηει να ελαττϊνει τθν ταχφτθτά του με ςτακερό ρυκμό 4m/s2. Ζτςι μετά από χρόνο Δt = 2s, θ ταχφτθτά του κα ζχει γίνει: υ = |υαρχ |– |α|·Δt = (30-4·2)m/s = 𝛼 22m/s Η απόςταςθ που κα ζχει διανφςει ςε αυτό τον χρόνο κα είναι: s =|υαρχ|·Δt – ½ |α|·Δt2 = = (30·2- ½ ·4·4)m = 52m.

Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει είναι: | | | | Η απόςταςθ που διανφει μζχρι να ςταματιςει είναι : | |

13

𝑣𝛼𝜌𝜒



2. Ζνα αυτοκίνθτο περνά μπροςτά από τον τροχονόμο που βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 2m, με ταχφτθτα υαρχ = 15m/s και επιτάχυνςθ α = -3m/s2. Δφο δευτερόλεπτα μετά που πζραςε από τον τροχονόμο, θ ταχφτθτα του κα είναι : υ = υαρχ + α·Δt υ = [15 +(-3)·2+m/s υ = 9m/s

𝛼 𝑣

Η κζςθ ςτθν οποία κα βρίςκεται είναι: x = xαρχ + υαρχ·Δt + ½ α·Δt2 = *2+15·2 + ½ (-3)·4+m = 26m. Η μετατόπιςθ του είναι: Δx = υαρχ·Δt + ½ α·Δt2 = *15·2 + ½ (-3)·4+m = 24m. Σο διάςτθμα που διζνυςε, αφοφ θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ ςυνεχϊσ, υπολογίηεται: s = | υαρχ| ·Δt - ½ |α|·Δt2 = *15·2 - ½ 3·4+m = 24m 3. ΢ε μία άλλθ περίπτωςθ, ζνα αντικείμενο περνάει από τθν κζςθ xαρχ = 0 τθν χρονικι ςτιγμι to = 0 με ταχφτθτα υαρχ = - 4m/s και επιτάχυνςθ α = 1m/s2. 𝛼 Σθν χρονικι ςτιγμι t1 = 2s, θ ταχφτθτά του εί𝑣 𝑣𝛼𝜌𝜒 ναι: υ1 = υαρχ + α·t υ1 = (-4 + 1·2)m/s -8 -6 0 υ1 = -2m/s. Δθλαδι το αντικείμενο ςυνεχίηει να κινείται προσ τα αρνθτικά (αριςτερά) με ταχφτθτα μζτρου 2m/s. Σθν χρονικι ςτιγμι t2 = 4s, θ ταχφτθτά του είναι: υ2 = (-4+1·4)m/s = 0, δθλαδι το αντικείμενο ςταματάει. Σθν χρονικι ςτιγμι t3 = 6s: υ3 = (-4+1·6)m/s = 2m/s. Σο αντικείμενο αφοφ ςταμάτθςε, άρχιςε να επιταχφνεται προσ τθν κετικι κατεφκυνςθ και τϊρα κινείται προσ τα δεξιά με ταχφτθτα μζτρου 2m/s. (ταχφτθτα και επιτάχυνςθ ζχουν τϊρα και τα δφο κετικό πρόςθμο). 14



Η κζςθ του κάκε χρονικι ςτιγμι δίνεται από τθν εξίςωςθ: x = xαρχ + υαρχ·t + ½ α·t2. Ζτςι: x1 = (-4·2 + ½ 1·4)m = -6m x2 = (-4·4+ ½ 1·16)m = -8m x3 = (-4·6+ ½ 1·36)m = -6m. Η ςυνολικι του μετατόπιςθ είναι: Δxολ = x3 – xαρχ = (- 6 – 0)m = -6 m. Ή, χρθςιμοποιϊντασ τθν εξίςωςθ…: Δxολ = υαρχ ·Δtολ + ½ α·Δt2ολ = (-4·6 + ½ ·1·62)m = -6m.

3. Διαγράμματα. Σο μζγεκοσ που διατθρείται ςτακερό είναι θ επιτάχυνςθ. Ζτςι, αν τθν παραςτιςουμε γραφικά ςε ςχζςθ με τον χρόνο, ςε κάκε χρονικι ςτιγμι θ επιτάχυνςθ κα είναι θ ίδια. Η ταχφτθτα, μεταβάλλεται με ςτακερό ρυκμό. Άρα, ςε ίςα χρονικά διαςτιματα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποςό και θ τιμι τθσ κάκε χρονικι ςτιγμι είναι ανάλογθ του χρόνου.

 Π.χ. Για επιτάχυνςθ α = 2m/s2 και αρχικι ταχφτθτα υαρχ = 0, θ ταχφτθτα και οι μεταβολζσ τθσ φαίνονται ςτον διπλανό πίνακα. (ανά 2s θ ταχφτθτα αλλάηει κατά 4m/s).

 Η μετατόπιςθ του αντικειμζνου, ςε ίςουσ χρόνουσ, είναι όλο και μεγαλφτερθ (ςτθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ) ι όλο και μικρότερθ (ςτθν επιβραδυνόμενθ κίνθςθ). (Εικόνα 2).

Εικόνα 2: Ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ/επιβραδυνόμενθ κίνθςθ

15

υ(m/s ) 0 4 8 12 16 20 24

t(s)

Δυ(m/s)

Δt(s)

0 2 4 6 8 10 12

0 4–0 = 4 8–4 = 4 12 – 8 = 4 16 – 12 = 4 20 – 16 = 4 24 – 20 = 4

0 2-0 = 2 4-2 = 2 6-4 = 2 8-6 = 2 10-8 = 2 12-10 = 2


Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Διάγραμμα επιτάχυνςθσ - χρόνου α (m/s^2)

Η επιτάχυνςθ είναι ςτακερι, για κάκε χρονικι ςτιγμι

α>0

4 3 2

Σο εμβαδόν που ορίηει θ γρ. παράςταςθ με τον άξονα των χρόνων, δίνει τθν μεταβολι τθσ ταχφτθτασ.

1

E=Δ t (s) 1

2

3

4

5

-1 -2 -3

α<0

-4

Διάγραμμα ταχφτθτασ – χρόνου

Η ταχφτθτα μεταβάλλεται με ςτακερό ρυκμό

19

v (m/s)

18 17 16 15

Η κλίςθ του διαγράμματοσ δίνει τθν επιτάχυνςθ:

14 13 12 11 10 9

Από το εμβαδόν του διαγράμματοσ υπολογίηουμε αρικμθτικά τθν μετατόπιςθ…

8 7 6 5 4 3 2

΢τθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ, θ 1 t (s) 1 2 3 4 5 ταχφτθτα ξεκινάει από μία αρχικι τιμι και αυξάνεται. Αντίκετα, ςτθν επιβραδυνόμενθ, ελαττϊνεται από τθν αρχικι τθσ τιμι.

16


Ευκφγραμμθ Ομαλά Μεταβαλλόμενθ Κίνθςθ Διάγραμμα κζςθσ – χρόνου

75

x (m)

70 65 60

Επιβραδυνόμενθ 55 κίνθςθ 50 45 40

Επιταχυνόμενθ κίνθςθ (θ κλίςθ αυξάνεται)

35 30 25 20 15 10 5

t (s) 1

2

3

4

5

6

7

 Παρατιρθςθ Στθν επιταχυνόμενθ κίνθςθ: Η κζςθ μεταβάλλεται όλο και ποιο γριγορα. Πωσ φαίνεται αυτό από το διάγραμμα; Η κλίςθ δίνει τθν ταχφτθτα, που ςυνεχϊσ αυξάνεται. Ζτςι αντίςτοιχα αυξάνεται και θ κλίςθ και το διάγραμμα τελικά ζχει τθν μορφι τθσ καμπφλθσ του ςχιματοσ (…παραβολι). Αντίςτοιχα, ςτο διάγραμμα τθσ επιβραδυνόμενθσ κίνθςθσ, θ ταχφτθτα όπωσ και κλίςθ ελαττϊνεται …

17



Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ 1. Μία ςφαίρα κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s2. Σθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 4m και κινείται με ταχφτθτα υαρχ = 3m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι; Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε;

2. Ζνα αντικείμενο κινείται ςε ευκεία γραμμι με ςτακερι επιτάχυνςθ α = -2m/s2. Σθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 0, με ταχφτθτα υαρχ = 4m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι t; Δ. Ποια κα είναι θ κζςθ του τότε;

3. Ζνα ποδιλατο κινείται ςε ευκφ δρόμο με ςτακερι επιτάχυνςθ α = 2m/s2. Σθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 και κινείται με ταχφτθτα υαρχ = -5m/s: Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; (αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ). Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s; Γ. Πόςθ κα είναι θ μετατόπιςι του τθν χρονικι ςτιγμι αυτι; Δ. Πόςο διάςτθμα κα ζχει διανφςει τότε;

4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με ταχφτθτα μζτρου υαρχ1 = 4m/s. Κάποια ςτιγμι ο οδθγόσ αρχίηει να αυξάνει τθν ταχφτθτα του οχιματοσ με ςτακερό ρυκμό 2m/s2, για χρονικι διάρκεια Δt = 2s. Σθν ίδια ςτιγμι ζνα δεφτερο αυτοκίνθτο που αρχικά ιταν ακίνθτο, αρχίηει να επιταχφνεται με τθν ίδια επιτάχυνςθ για τθν ίδια χρονικι διάρκεια. Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν μετατόπιςθ κάκε οχιματοσ, ςε ςχζςθ με τον χρόνο. 18



Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα του κάκε οχιματοσ ςτο τζλοσ τθσ επιταχυνόμενθσ κίνθςθσ; Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του κάκε ενόσ οχιματοσ ςτθν διάρκεια των 2s;

5. Μία μοτοςυκλζτα, αρχικά ακίνθτθ, αρχίηει να επιταχφνεται με επιτάχυνςθ α1 = 1m/s2, για χρονικι διάρκεια Δt = 1s. ΢τθν ςυνζχεια επιταχφνεται για Δt2 = 2s με επιτάχυνςθ α2 = 0,5m/s2. Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτά τθσ μετά το τζλοσ του πρϊτου δευτερολζπτου; Β. Με ποια ταχφτθτα αρχίηει το δεφτερο μζροσ τθσ επιταχυνόμενθσ τθσ κίνθςθσ (Δt2); Γ. Πόςθ ταχφτθτα ζχει ςτο τζλοσ τθσ κίνθςθσ τθσ;

6. Δφο οχιματα κινοφνται ςτον ίδιο ευκφ δρόμο, με επιταχφνςεισ ςτακεροφ μζτρου. Σο όχθμα Α τθν χρονικι ςτιγμι tαρχ = 0 βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχΑ = 20m, ζχει ταχφτθτα υαρχΑ = 8m/s και επιτάχυνςθ αΑ = 6m/s2 . Tο όχθμα Β τθν ίδια χρονικι ςτιγμι βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχΒ = 60m ζχει ταχφτθτα υαρχΒ = -4m/s και επιτάχυνςθ αΒ = -2m/s2. Α. Σι είδουσ κίνθςθ κάνει το κάκε όχθμα; Β. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ τθσ ταχφτθτασ και τθσ κζςθσ με τον χρόνο, για τα δφο οχιματα. Γ. Με πόςθ ταχφτθτα κα κινοφνται τθν χρονικι ςτιγμι t = 1s και ςε ποια κζςθ κα βρίςκονται; Δ. Που κα βρίςκεται το κάκε όχθμα τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s;

7. Ζνα αντικείμενο κινείται αρχικά με ταχφτθτα μζτρου 6m/s και αρχίηει να επιβραδφνεται με ςτακερό ρυκμό 3m/s2, μζχρι να ςταματιςει. Α. Πόςο χρόνο χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει; Β. Πόςθ απόςταςθ διανφει μζχρι τότε; Γ. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάςτθκε μζχρι να υποδιπλαςιαςτεί θ ταχφτθτά του. Δ. Πόςθ απόςταςθ διζνυςε ςτον χρόνο αυτό;

8. Ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι που αρχικά ιταν ακίνθτο ςτθν κζςθ xαρχ = 0, αρχίηει να κινείται με ςτακερι επιτάχυνςθ μζτρου α = 1m/s2. 19



Α. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει του χρόνου. Β. Αφοφ φτιάξετε τον κατάλλθλο πίνακα τιμϊν, ςχεδιάςτε τα διαγράμματα επιτάχυνςθσ και τθσ ταχφτθτάσ του, ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

τθσ

Γ. Τπολογίςτε (με τθν βοικεια των διαγραμμάτων) τθν μεταβολι τθσ ταχφτθτασ του και τθν μετατόπιςι του ςτο χρονικό διάςτθμα από t1 = 2s μζχρι t2 = 4s. Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ.

9. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ευκφγραμμθ ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ μζχρι να ςταματιςει. Αν θ αρχικι του ταχφτθτα είναι υαρχ = +40m/s και θ επιτάχυνςθ του ζχει μζτρο 4m/s2. Α. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου . Β. Φτιάξτε το διάγραμμα ςτο οποίο φαίνεται ο τρόποσ που μεταβάλλεται θ ταχφτθτα του ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ. Γ. Με τθν βοικεια του διαγράμματοσ, υπολογίςτε τθν απόςταςθ που διανφει μζχρι να μθδενιςτεί θ ταχφτθτά του. Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ του, ςυναρτιςει του χρόνου.

10. Η ταχφτθτα του κινθτοφ ςε μία ευκφγραμμθ, μεταβαλλόμενθ κίνθςθ φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. Αρχικά το αντικείμενο βρίςκεται ςτθν κζςθ xαρχ = 0.

28

v (m/s)

26 24 22 20 18 16 14

Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί ; Εξθγείςτε.

12 10 8

Β. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του.

6 4

Γ. Πόςθ είναι θ μετατόπιςθ του ςτα πρϊτα 4 δευτερόλεπτα τθσ κίνθςθσ;

2

t (s) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Δ. Γράψτε τισ εξιςϊςεισ που περιγράφουν τθν ταχφτθτα και τθν κζςθ του, ςυναρτιςει του χρόνου. Ε. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ επιτάχυνςθσ με τον χρόνο. Στ. ΢χεδιάςτε το διάγραμμα τθσ κζςθσ με τον χρόνο. 20


Οι δυνάμεισ

Οι δυνάμεισ…

1. Η αιτία που «ςπρϊχνει» ι «τραβάει»…  Αφινουμε μία πζτρα ελεφκερθ να κινθκεί και αυτι πζφτει επειδι τθν ζλκει θ γι. Η ζλξθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια τθσ δφναμθσ τθσ βαρφτθτασ ι αλλιϊσ «βάροσ».

 Ζνασ εργάτθσ ςπρϊχνει ζνα κιβϊτιο. Η άπωςθ αυτι περιγράφεται με τθν βοικεια τθσ δφναμθσ που αςκεί ο εργάτθσ.  Κρεμάμε ζνα βαρίδι ςτο ελατιριο και αυτό επιμθκφνεται για να κρατιςει το ςϊμα. Σο ελατιριο τραβάει προσ τα απάνω με μία ελαςτικι δφναμθ, λόγω τθσ παραμόρφωςθσ του.

2. Συμβολιςμόσ, μονάδεσ, ςχεδίαςθ… Force  …. ⃗⃗⃗ Μονάδα: 1N (1N = 1kg·m/s2) Η δφναμθ είναι διανυςματικό μζγεκοσ. Ανάλογα με το ςθμείο του ςϊματοσ ςτο οποίο αςκείται και τθν κατεφκυνςθ τθσ, μπορεί να προκαλζςει διαφορετικό αποτζλεςμα.  Παρατιρθςθ Όταν μελετάμε τθν μεταφορικι κίνθςθ ενόσ ςϊματοσ, κεωροφμε ότι οι δυνάμεισ αςκοφνται ςτο κζντρο μάηασ του και τισ ςχεδιάηουμε εκεί.

3. Πϊσ αντιλαμβανόμαςτε ότι αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα; Σθν δφναμθ δεν τθν βλζπουμε, αντιλαμβανόμαςτε όμωσ ότι αςκείται από τα αποτελζςματα τθσ δράςθσ τθσ: Σθν ιςορροπία ενόσ ςϊματοσ, τθν αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ (...επιτάχυνςθ), τθν παραμόρφωςθ του...

 ΢ε κάκε ςϊμα γνωρίηουμε ότι αςκείται το βάροσ του. Αν λοιπόν ζνα αντικείμενο ιςορροπεί, κάποια (-εσ) άλλθ δφναμθ κα αςκείται με τζτοιο τρόπο ϊςτε “εξουδετερϊνει” τθν δράςθ του βάρουσ.

 Όταν ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι αρχίηει να επιταχφνεται, ςυμπεραίνουμε ότι κάποια επιπλζον δφναμθ του αςκικθκε , ϊςτε αυτό να αρχίςει να κινείται πιο γριγορα  Για να είναι τεντωμζνο ζνα ελατιριο, κάποιοσ πρζπει να το τραβιξει...

21



 Παρατιρθςθ Οι δυνάμεισ αςκοφνται από επαφι (όταν ακουμπάμε το ςϊμα) ι από απόςταςθ (π.χ. θ γθ ζλκει τθ ςελινθ).

4. Τι κα ςυμβεί αν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται πολλζσ δυνάμεισ; Σθν ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα τθν ονομάηουμε και ςυνιςταμζνθ ( ). Η ςυνιςταμζνθ μπορεί να αντικαταςτιςει όλεσ τισ υπόλοιπεσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα, προκαλϊντασ το ίδιο αποτζλεςμα με αυτζσ (π.χ., επιταχφνοντάσ το).

 ΢το αντικείμενο του ςχιματοσ όπου F1 =2N και F2 = 3N αςκείται ςυνολικά δφναμθ ΢F = F1+F2 = 5N.

𝐹

𝐹

 Αν ι δυνάμεισ είχαν αντίκετθ φορά, θ ςυνολικι δφναμθ κα ιταν ΢F = F1 – F2 = -1N.

5. Δυνάμεισ ςτθν φφςθ o Βαρφτθτα Αςκείται ανάμεςα ςε δφο οποιαδιποτε υλικά ςϊματα και είναι πάντα ελκτικι. Η βαρυτικι δφναμθ που αςκεί θ γθ ςτα ςϊματα (...βάροσ) υπολογίηεται:

Η κατεφκυνςθ του βάρουσ είναι πάντα προσ το κζντρο τθσ γθσ (κατακόρυφθ).

 Π.χ., θ μάηα ενόσ μακθτι είναι m = 60kg. Σο βάροσ του ... w= m·g δθλ., είναι περίπου 600Ν .

 Ζνασ αςτροναφτθσ ζχει μάηα 160kg. Σο βάροσ του ςτθν γθ είναι 1600Ν. ΢τθν ςελινθ είναι περίπου 400Ν, ενϊ ςτο διάςτθμα .... μθδζν! Όμωσ θ μάηα του είναι παντοφ θ ίδια.  Παρατθριςεισ  Η μάηα m είναι το μζγεκοσ που δείχνει τθν ποςότθτα φλθσ του ςϊματοσ και τθν μετράμε ςε κιλά (kg). Όςο μεγαλφτερθ είναι, τόςο ιςχυρότερθ είναι θ δφναμθ τθσ βαρφτθτασ.  Η ςτακερά “g” είναι ίδια για όλα τα ςϊματα, λζγεται επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ και θ τιμι τθσ εξαρτάται από τον τόπο ςτον οποίο μετράμε το βάροσ. Προςεγγιςτικά είναι g=10m/s2. 22



o Ελαςτικζσ δυνάμεισ Ζνα παραμορφωμζνο (τεντωμζνο ι ςυμπιεςμζνο) ελατιριο, αςκεί δφναμθ ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ του Δx (ι Δℓ).

Η ςτακερά αναλογίασ k ζχει ςχζςθ με το είδοσ του ελατθρίου (πόςο ςκλθρό ι μαλακό είναι). Η δφναμθ και θ παραμόρφωςθ ζχουν αντίκετεσ κατευκφνςεισ (πρόςθμο -).

 Σο ςϊμα βάρουσ w =5N που ιςορροπεί κρεμαςμζνο από ζνα ελατιριο, δζχεται δφναμθ Fελ με μζτρο 5Ν.  Η δφναμθ αυτι μεταβάλλεται. Αν τεντϊςουμε λίγο περιςςότερο το ιδθ τεντωμζνο ελατιριο, θ δφναμθ Fελ κα αυξθκεί, ςε αντίκεςθ με το βάροσ που παραμζνει ςτακερό.

 Παρατθριςεισ  Τθν παραμόρφωςθ Δx τθν μετράμε πάντα από το φυςικό μικοσ του ελατθρίου.  Επειδι θ δφναμθ του ελατθρίου είναι ανάλογθ τθσ παραμόρφωςθσ, θ γραφικι παράςταςθ που ςυνδζει τθν δφναμθ με τθν παραμόρφωςθ κα είναι όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα.

23



Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ. 1. Ζνα βιβλίο βρίςκεται ακίνθτο πάνω ςτο τραπζηι. Ποιεσ δυνάμεισ δζχεται; Να τισ ςχεδιάςετε.

2. Δφο ςϊματα ζχουν μάηα m1=5kg και m2=10kg. Σο βάροσ του κάκε ενόσ είναι αντίςτοιχα: Α. 5kg και 10kg

Β. 5Ν και 10Ν

Γ. 50Ν και 100Ν.

Με ποια από τισ προθγοφμενεσ ςυμφωνείτε;

3. Πόςο βάροσ ζχει ζνα δοχείο μάηασ 50kg; Θεωρείςτε ότι g = 10 m/s2.

4. Σραβάμε από το άκρο του ζνα ελατιριο ςτακεράσ k =200N/m και το επιμθκφνουμε κατά Δx1 = 5cm. Α. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ςτο χζρι μασ. Β. Αν τραβιξουμε επιπλζον κατά Δx2 = 5cm, πόςθ κα γίνει θ προθγοφμενθ δφναμθ;

5. ΢το διπλανό διάγραμμα φαίνεται το

9

μζτρο τθσ δφναμθσ που αςκεί ζνα ελατιριο ςε ςυνάρτθςθ με τθν παραμόρφωςι του.

8.5

Α. Πόςθ είναι θ δφναμθ που αςκεί όταν θ παραμόρφωςθ είναι Δx = 2cm;

5.5

Β. Τπολογίςτε τθν ςτακερά του ελατθρίου.

2.5

Fελ (N)

8 7.5 7 6.5 6 5 4.5 4 3.5 3 2 1.5 1

Δx (cm)

0.5 1

2

3

4

5

6

7

6. Ζνα ελατιριο ζχει ςτακερά k = 100N/m. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ του μζτρου τθσ

δφναμθσ

του

ελατθρίου

ςε

ςχζςθ

24

με

τθν

παραμόρφωςθ

του

Δx.


Οι Νόμοι των Δυνάμεων

Οι νόμοι των δυνάμεων 1. Η «αλλθλεπίδραςθ»: Οι δυνάμεισ ςτθ φφςθ εμφανίηονται ςε ηευγάρια: «Δράςθ – Αντίδραςθ». Ζτςι , κάκε ςϊμα που αςκεί ςε ζνα άλλο μία δφναμθ -«δράςθ», δζχεται από αυτό μία αντίκετθ δφναμθ «αντίδραςθ» (... 3οσ νόμοσ του Νεφτωνα).

 Σο φορτθγό τραβάει το trailer προσ τα μπροςτά (δράςθ). Σο trailer τραβάει το φορτθγό προσ τα πίςω (αντίδραςθ).  Η γθ ζλκει τθ ςελινθ υποχρεϊνοντασ τθν τα περιςτρζφεται γφρω τθσ. Η ςελινθ ζλκει τθν γθ (δθμιουργϊντασ π.χ., τθν παλίρροια…).  Η γθ ζλκει το μιλο με δφναμθ w = 0,5N και το μιλο πζφτει κάτω. Αντίςτοιχα, το μιλο ζλκει τθ γθ με δφναμθ w’ = 0,5N προσ τα πάνω. Βζβαια, θ δφναμθ αυτι δεν είναι αρκετι για να καταφζρει να κινιςει ολόκλθρθ τθν γθ!!!

w w’

 Παρατθριςεισ:  Η δράςθ και θ αντίδραςθ είναι αντίκετεσ δυνάμεισ (ίςο μζτρο, αντίκετθ φορά).  Αςκοφνται πάντα ςε διαφορετικά ςϊματα, άρα, δεν εξουδετερϊνονται.

2. Ο νόμοσ τθσ αδράνειασ (ι αλλιϊσ 1οσ Νόμοσ του Νεφτωνα): Κάκε ςϊμα ζχει από τθν φφςθ του τθν τάςθ (…αδράνεια) να παραμείνει ςτθν κινθτικι κατάςταςθ που βρίςκεται. Μάλιςτα, όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του m, τόςο ποιο δφςκολα μπορεί να αλλάξει θ κατάςταςθ αυτι… Ζτςι: Αν το ςϊμα ιταν ακίνθτο, παραμζνει ακίνθτο. Αν κινοφταν, ςυνεχίηει να κινείται χωρίσ να αλλάξει θ ταχφτθτα του. Άρα, για να αλλάξει θ κινθτικι κατάςταςθ, πρζπει να εμφανιςτεί κάποιο εξωτερικό αίτιο. Και αυτό δεν είναι άλλο από τθν δφναμθ! Αντίςτροφα: Αν δεν υπάρχει καμία εξωτερικι αιτία (δθλαδι ι δεν αςκοφνται δυνάμεισ, ι αν αςκοφνται εξουδετερϊνονται), το ςϊμα ι παραμζνει ακίνθτο, ι κινείται με ςτακερι ταχφτθτα. 25



 Σο τραπζηι, ςτθν άκρθ του δωματίου… Αν δεν το μετακινιςουμε εμείσ αςκϊντασ του κάποια δφναμθ, δεν πρόκειται να κινθκεί (αφοφ το βάροσ του εξουδετερϊνεται από τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα).

 Ζνασ κομιτθσ που κινείται ςτο διάςτθμα… Αλλάηει τον τρόπο κίνθςισ του (καμπυλϊνεται θ τροχιά του ι κινείται πιο γριγορα) μόνο όταν περάςει κοντά από κάποιο άλλο ουράνιο ςϊμα που του αςκεί ελκτικι δφναμθ.  Η μπάλα του μπιλιάρδου είναι ακίνθτθ μζχρι να τθσ αςκιςουμε δφναμθ με τθν ςτζκα. Μετά κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, μζχρι να τθσ αςκθκεί ξανά δφναμθ (π.χ. λόγω ςφγκρουςθσ).  Παρατιρθςθ: Η μάηα, εκτόσ από μζγεκοσ που δείχνει τθν φλθ, είναι το φυςικό μζγεκοσ που μετράει και τθν αδράνεια του ςϊματοσ.

3. Πωσ θ δφναμθ επθρεάηει τθν κίνθςθ; (ο κεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ) … «Όταν ςυνολικά δεν αςκείται δφναμθ, θ ταχφτθτα του ςϊματοσ δεν αλλάηει». Άρα, όταν αςκείται δφναμθ ςε ζνα ςϊμα (ι οι δυνάμεισ που αςκοφνται δεν εξουδετερϊνονται), θ ταχφτθτα του κα αλλάηει δθλ. κα αποκτάει επιτάχυνςθ. Η επιτάχυνςθ που αποκτάει είναι ανάλογθ τθσ ςυνολικισ δφναμθσ που δζχεται. Όςο μεγαλφτερθ είναι θ μάηα του ςϊματοσ, τόςο περιςςότερο αντιδράει το ςϊμα ςτθν αλλαγι τθσ κινθτικισ του κατάςταςθσ και τόςο ποιο δφςκολα επιταχφνεται. Άρα θ επιτάχυνςθ είναι αντιςτρόφωσ ανάλογθ τθσ μάηασ. Όλα τα προθγοφμενα ςυνοψίηονται ςτθν εξίςωςθ:

είναι θ ςυνιςταμζνθ (ςυνολικι) δφναμθ που δζχεται το ςϊμα, m θ μάηα του και θ επιτάχυνςθ που αποκτάει.

 Ζνα αντικείμενο μάηασ m1 = 2kg, αποκτάει επιτάχυνςθ

𝛼 𝐹

m

𝛼

α = 2m/s2, όταν δεχτεί ςυνολικι δφναμθ F = 4N. Αν θ δφναμθ διπλαςιαςτεί (2F=8Ν) αντίςτοιχα κα διπλαςιαςτεί και θ επιτάχυνςθ του, 2α = 4m/s2.

 Αν θ προθγοφμενθ δφναμθ (F =4N) αςκθκεί ςε ςϊμα

𝛼 2m

2m2m διπλάςιασ μάηασ, 2m = 4kg, θ επιτάχυνςθ που κα 2 προκαλζςει κα είναι θ μιςι από τθν α, δθλαδι α/2 = 1m/s .

26

𝐹 𝐹



 Παρατιρθςθ: Η δφναμθ και θ επιτάχυνςθ ζχουν πάντα τθν ίδια κατεφκυνςθ.

4. Πωσ ςυνδζονται οι «εξιςϊςεισ των κινιςεων» με τον «κεμελιϊδθ νόμο τθσ μθχανικισ»; Αν

, τότε δεν προκαλείται επιτάχυνςθ άρα θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι: υ = ςτακ. &

Δx = υ·Δt

Αν και ςυγχρόνωσ είναι ςτακερι και παράλλθλθ ςτθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλείται ςτακερι επιτάχυνςθ και θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλά μεταβαλλόμενθ: υ = |υαρχ| ± |α|·Δt

&

Δx =|υαρχ|·Δt ± ½|α|·Δt2

Αν χωρίσ όμωσ να παραμζνει ςτακερι, τότε προκαλείται επιτάχυνςθ που μεταβάλλεται, και δεν ιςχφουν οι γνωςτζσ εξιςϊςεισ των κινιςεων. Αν μάλιςτα θ δφναμθ ςχθματίηει γωνία με τθν αρχικι ταχφτθτα, προκαλείται καμπυλόγραμμθ κίνθςθ…  Παρατθριςεισ  Η κίνθςθ ενόσ αντικειμζνου, κακορίηεται από τισ δυνάμεισ που του αςκοφνται.  Αν γνωρίηουμε τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςε ζνα αντικείμενο και τθν αρχικι του ταχφτθτα, μποροφμε να προβλζψουμε το είδοσ τθσ κίνθςθσ που κα εκτελζςει (και να εφαρμόςουμε τισ αντίςτοιχεσ εξιςϊςεισ).  Οι δυνάμεισ κεωροφμε ότι αςκοφνται ςτα ςϊματα με τζτοιο τρόπο, ϊςτε να μθν μποροφν να τα περιςτρζψουν (π.χ, ςτο κζντρο μάηασ τουσ…).

 Παραδείγματα: 1. ΢ε ζνα κουτί μάηασ m = 3kg αςκοφνται ταυτόχρονα και m προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, δφο δυνάμεισ με μζτρα F1 = 8Ν και F2 = 7N αντίςτοιχα. 𝐹 o Η ςυνολικι δφναμθ που αςκείται ςτο κουτί είναι: ΣF = F1+F2 = 15N o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει λόγω τθσ εφαρμογισ των δυνάμεων είναι:

o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από Δt = 2sec είναι: υ = α∙Δt = 5m/s2∙2s =10m/s o Η μετατόπιςι του ςτον ίδιο χρόνο είναι: 27

𝐹



2. ΢το αμαξάκι του ςχιμα𝑣𝛼𝜌𝜒 τοσ που κινείται αρχικά 𝛼 με ταχφτθτα υαρχ = 2m/s, αςκείται μία δφναμθ μζ- 𝐹 m τρου F =2N και φοράσ αντίκετθσ από αυτιν τθσ κίνθςθσ. Η μάηα του είναι m =0,5kg. o Η επιτάχυνςθ που αποκτάει ζχει μζτρο:

o Η φορά τθσ δφναμθσ άρα και τθσ επιτάχυνςθσ είναι αντίκετθ από αυτιν τθσ ταχφτθτασ, άρα θ κίνθςθ είναι επιβραδυνόμενθ. o Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει (υ=0) είναι:

o Η απόςταςθ που διανφει ςε αυτόν τον χρόνο είναι:

. o Η γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ με τον χρόνο (F-t) και τθσ ταχφτθτασ με τον χρόνο (υ-t) φαίνονται ςτα επόμενα διαγράμματα: F (N)

2

v (m/s)

1 t (s) 1

2

3

4

5

6 1

-1 -2 0.1

3. Ζνα αντικείμενο εκτελεί τθν κίνθςθ που περιγράφεται ςτο επόμενο διάγραμμα κζςθσ χρόνου. o Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι μζχρι τθν χρονικι ςτιγμι t = 6s, αφοφ θ κζςθ είναι ανάλογθ με τον χρόνο κίνθςθσ. o Η ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που δζχεται είναι μθδζν ςφμφωνα με τον 1ο Νόμο του Νεφτωνα. Αν λοιπόν δζχεται δφναμθ τριβισ, Σ = 5Ν 28

18

0.2

0.3

0.4

t (s) 0.6

0.5

x (m)

16 14 12 10 8 6 4 2

t (s) 2

4

6

8



ςυμπεράνουμε ότι δζχεται και κάποια άλλθ αντίκετθ δφναμθ ρϊνει τθν τριβι, ϊςτε

που εξουδετε-

:

ΣF = 0 F-T = 0 F = T = 5N o Μετά τθν χρονικι ςτιγμι t = 6s, το αντικείμενο παραμζνει ακίνθτο. Η ςυνολικι δφναμθ που δζχεται κα είναι πάλι μθδζν. Μόνο που τϊρα, αν δεν αςκείται θ τριβι, δεν κα αςκείται και θ δφναμθ .

29



Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ 1. Σο ψυγείο του ςχιματοσ βρίςκεται ακίνθτο ςτο πάτωμα. Αν γνωρίηουμε ότι θ μάηα του είναι m = 100kg, Α. πόςο είναι το βάροσ του; Β. ΢χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που δζχεται αναφζρετε ποιοσ αςκεί τθν κάκε μία από αυτζσ. Είναι κάποιεσ από αυτζσ τισ δυνάμεισ ηεφγοσ δυνάμεων αλλθλεπίδραςθσ; (δράςθ – αντίδραςθ). Γ. Τπολογίςτε τθν δφναμθ που αςκεί το πάτωμα ςτο ψυγείο. Δίνεται ότι g = 10m/s2.

2. Από το ταβάνι ενόσ δωματίου κρζμεται ζνα φωτιςτικό. Αν γνωρίηετε ότι το καλϊδιο αςκεί ςτο φωτιςτικό δφναμθ μζτρου F = 20N: Α. Να ςχεδιάςετε τισ παρακάτω δυνάμεισ και να υπολογίςετε τα μζτρα τουσ: i. Δφναμθ που δζχεται το καλϊδιο από το φωτιςτικό. ii. Βάροσ του φωτιςτικοφ. iii. Δφναμθ που αςκεί το καλϊδιο ςτο ταβάνι. Δ. Ποιεσ από τισ προθγοφμενεσ δυνάμεισ είναι τθσ μορφισ δράςθ – αντίδραςθ; Θεωρείςτε ότι το βάροσ του καλωδίου είναι αμελθτζο.

3. Επιλζξτε τθν ςωςτι από τισ επόμενεσ ερωτιςεισ. Α. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται ςτακερζσ δυνάμεισ, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα. Β. Για να κινείται ευκφγραμμα και ομαλά ζνα αντικείμενο, πρζπει θ ςυνολικι δφναμθ που του αςκείται να είναι μθδζν. Γ. ‘Όταν ζνα ςϊμα ιςορροπεί, δζχεται μικρότερθ δφναμθ από όταν κινείται με ςτακερι ταχφτθτα.

30



Δ. Αν τραβιξουμε ζνα ςϊμα αςκϊντασ του ςτακερι δφναμθ οποιαςδιποτε τιμισ, αυτό κα κινθκεί ευκφγραμμα ομαλά.

4. Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε ευκφ δρόμο, με ταχφτθτα ςτακεροφ μζτρου υ =20m/s. Αν γνωρίηουμε ότι θ δφναμθ που αντιςτζκεται ςτθν κίνθςι του (αζρασ, τριβζσ) ζχει μζτρο Fαντ = 400Ν:

𝐹𝛼𝜈𝜏

𝐹𝜅𝜄𝜈

Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ που βοθκάει τθν κίνθςθ του (λόγω τθσ λειτουργίασ του κινθτιρα); Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει ςε χρόνο 5min; Γ. Να φτιάξετε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ ταχφτθτασ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

5. Οι δυνάμεισ , και που αςκοφνται ςτο ςϊμα του διπλανοφ ςχιματοσ, ζχουν μζτρα 10Ν. 5Ν, και 15Ν αντίςτοιχα. Αν θ ταχφτθτα αρχικι του ταχφτθτα είναι υαρχ = 4m/s,

𝐹

𝐹

𝐹

Α. Να εξετάςετε τι είδουσ κίνθςθ εκτελεί το αντικείμενο. Β. Πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει μετά από Δt = 0,2min; Γ. Σι κίνθςθ κα εκτελοφςε αν κάποια ςτιγμι καταργοφςαμε τθν

6. Η ταχφτθτα ενόσ αντικειμζνου ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. Αν θ μάηα του είναι m = 6kg, να υπολογίςετε:

16 v (m/s) 14 12 10

Α. Σο μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ του

8

Β. Σο μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται.

6

Γ. Σθν ςυνολικι απόςταςθ που κα ζχει διανφςει ςε χρονικι διάρκεια κίνθςθσ Δt = 5s.

4 2 t (s) 1

Δ. Σθν τιμι τθσ ταχφτθτασ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 2,4s. 31

;

2

3

4



7. Ζνα αντικείμενο μπορεί να κινείται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο και δζχεται μία δφναμθ μζτρου F = 20N. Αν αρχικά θ ταχφτθτά του ιταν μθδζν, και θ μάηα του είναι m = 10kg, Α. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; Εξθγείςτε. Β. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει. Γ. ΢ε πόςο χρόνο κα ζχει αποκτιςει ταχφτθτα υ = 6m/s; Δ. Φτιάξτε τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ που δζχεται και τθσ ταχφτθτασ που αποκτάει ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο κίνθςθσ.

8. ΢ε ζνα όχθμα μάηασ m = 500kg 𝑣𝛼𝜌𝜒 αςκοφνται δφο δυνάμεισ αντίκετθσ κατεφκυνςθσ, όπωσ ςτο ςχιμα. Σα μζτρα 𝐹 𝐹 τουσ είναι F1 = 400N και F2 = 650N. Η αρχικι ταχφτθτα του οχιματοσ τθν χρονικι ςτιγμι t = 0 ζχει μζτρο υαρχ = 10m/s και τθν φορά τθσ

. Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 το όχθμα βριςκόταν ςτθν κζςθ xo = 0.

Α. Να υπολογίςετε τθν επιτάχυνςθ (μζτρο και φορά) του οχιματοσ και να εξθγιςετε το είδοσ τθσ κίνθςθσ που εκτελεί. Β. Πόςθ ταχφτθτα κα ζχει αποκτιςει, και ςε ποια κζςθ κα βρίςκεται τθν χρονικι ςτιγμι t = 4s; Γ. Να φτιάξετε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτασ του οχιματοσ ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο.

9. Σα δφο αμαξάκια του ςχιματοσ ζλκονται μεταξφ τουσ με δυνάμεισ

m1

𝐹

𝐹

m2

αλλθλεπίδραςθσ και . Αν θ μάηεσ τουσ είναι m1 = 4kg και m2 = 8kg Α d Β αντίςτοιχα και το μζτρο τθσ αλλθλεπίδραςθσ είναι 12 Ν. Σθν χρονικι ςτιγμι t = 0 τα αφινουμε ελεφκερα να κινθκοφν, από απόςταςθ d = 2,25m. να υπολογίςετε: Α. Πόςθ είναι θ επιτάχυνςθ που αποκτάει το ζνα κάκε αμαξάκι; Β. Πότε ςυναντιοφνται; Γ. ΢ε πόςθ απόςταςθ από το ςθμείο Α ςυναντιοφνται; Δ. Σι τιμζσ ταχφτθτασ ζχουν τθν ςτιγμι τθσ ςυνάντθςθσ;

32


΢φνκεςθ & Ανάλυςθ Δυνάμεων

Δυνάμεισ ςε δυο διαςτάςεισ 1. Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ… Από πολλζσ δυνάμεισ  μία.  Μία βάρκα ςτο ποτάμι είναι δεμζνθ με δφο ςχοινιά, από τθ οποία τθν τραβοφν δφο άνκρωποι. Η βάρκα δεν κινείται ςτθν κατεφκυνςθ κανενόσ ςχοινιοφ, αλλά ςτθν κατεφκυνςθ τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ…

2. Υπολογιςμόσ τθσ ςυνιςταμζνθσ, ςτθν περίπτωςθ που αςκοφνται δφο δυνάμεισ ⃗ και ⃗ : Για τον υπολογιςμό του μζτρου τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ ΢F χρθςιμοποιοφμε τον κανόνα του παραλλθλογράμμου:

𝐹 𝛴𝐹 φ

√

κ

(1) 𝐹

Για να υπολογίςουμε τθν διεφκυνςθ τθσ: (2)

 Ειδικζσ περιπτϊςεισ :  Όταν θ γωνία είναι φ = 90ο (δυνάμεισ κάκετεσ μεταξφ τουσ): √

𝐹

(3)

𝛴𝐹

 Όταν θ γωνία είναι φ = 0ο (οι δυνάμεισ ομόρροπεσ): ΣF = F1 + F2

𝐹

κ

(4) 𝐹

𝐹 𝛴𝐹

(5)

 Όταν θ γωνία είναι φ = 180ο (αντίρροπεσ δυνάμεισ): ΣF = F1 - F2

33

(6)

𝐹

φ

𝐹



 Για F1 = 30N και F2 = 40N, ζχουμε: φ = 90ο :

√

√ , που είναι θ εφαπτομζνθ των 36,9ο.

φ = 0o :

ΣF = 30Ν +40Ν = 70Ν

φ = 180o :

ΣF = 30Ν - 40Ν = -10Ν , δθλ. θ

 Αν δφο δυνάμεισ είναι αντίκετεσ (

ζχει τθν φορά τθσ

.

) θ ςυνιςταμζνθ τουσ κα είναι μθδζν…

 Παρατθριςεισ  Οι προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ (3) – (6) μποροφν να προκφψουν και από τισ (1) & (2) αν αντικαταςτιςουμε ςε αυτζσ τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ των αντιςτοίχων γωνιϊν. Π.χ., ςυν90ο = 0, θμ90ο = 1.  Η (3) προκφπτει και από τθν εφαρμογι του πυκαγόρειου κεωριματοσ ςτο τρίγωνο που ςχθματίηουν οι δυνάμεισ

,

και

34

.



Εφαρμογζσ - Αςκιςεισ 1. ΢τθ ςφαίρα του ςχιματοσ αςκοφνται δφο δυνάμεισ ίςου μζτρου F1 = F2 = 5Ν οι οποίεσ ςχθματίηουν γωνία φ = 120o.

𝐹

𝐹 φ

Α. Να υπολογίςετε τθν το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δφο δυνάμεων. Β. Ποια είναι θ διεφκυνςι τθσ ςε ςχζςθ με τθν δφναμθ Γ. Να ςχεδιάςετε μία τρίτθ δφναμθ ιςορροποφν.

;

ζτςι ϊςτε οι τρείσ δυνάμεισ

,

2. Δφο δυνάμεισ με μζτρο F1 = 4√3 N και F2 = 4Ν αςκοφνται ςε ζνα ςϊμα μάηασ m = 2kg που αρχικά είναι ακίνθτο. Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δφο δυνάμεων, αν ςχθματίηουν μεταξφ τουσ γωνία 90o; Β. Ποια είναι θ διεφκυνςθ (ςε ςχζςθ με τθν κινθκεί το ςϊμα;

και

να

𝐹

𝐹

m

) ςτθν οποία κα

Γ. Πόςθ επιτάχυνςθ κα αποκτιςει; Δ. Αν θ γωνία των δφο δυνάμεων ιταν 30ο, θ επιτάχυνςθ κα ιταν μικρότερθ, μεγαλφτερθ ι ίδια με τθν προθγοφμενθ τιμι;

35



1. Ανάλυςθ δφναμθσ ςε ςυνιςτϊςεσ. Από μία δφναμθ  δφο δυνάμεισ… ΢υχνά, όταν μία δφναμθ αςκείται ςτο αντικείμενο, προκαλεί παραπάνω από ζνα αποτελζςματα. Σότε, αναλφουμε τθν δφναμθ ςε ςυνιςτϊςεσ (τθν … χωρίηουμε ςε «μζρθ») κάκε μία από τισ οποίεσ είναι υπεφκυνθ για μία ςυγκεκριμζνθ ενζργεια:

 ΢πρϊχνουμε το βιβλίο πάνω ςτο τραπζηι… Η δφναμθ που αςκοφμε το μετακινεί προσ τα μπροςτά, πιζηοντάσ το ταυτόχρονα προσ τα κάτω.

 Ενϊ το αμαξάκι κινείται προσ τα μπροςτά, του αςκοφμε μία δφναμθ διαγϊνια ςε ςχζςθ με τθν ταχφτθτα. Ζνα μζροσ τθσ δφναμθσ (…ςυνιςτϊςα) αυξάνει το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ενϊ ταυτόχρονα ζνα άλλο μζροσ (…μια άλλθ ςυνιςτϊςα) τθσ δφναμθσ ςτρίβει το αμαξάκι.

𝐹𝑥

𝐹

𝑣

𝐹𝑦

 Σο αεροπλάνο τροχοδρομεί ςτον διάδρομο απογείωςθσ. Μία κατακόρυφθ ςυνιςτϊςα τθσ αντίςταςθσ του αζρα ςτα φτερά του, εξουδετερϊνει το βάροσ και απογειϊνει το αεροπλάνο.

𝐹𝐴

2. Υπολογιςμόσ των ςυνιςτωςϊν (ςε κάκετεσ διευκφνςεισ μεταξφ τουσ). o Σχεδίαςθ: y

Από το άκρο του διανφςματοσ τθσ δφναμθσ που κζλουμε να αναλφςουμε, φζρνουμε δφο κάκετεσ ςτισ διευκφνςεισ (άξονεσ) όπου κα υπολογίςουμε τισ ςυνιςτϊςεσ.

Σα ςθμεία ςτα οποία ςυναντάμε τουσ άξονεσ είναι τα άκρα των διανυςμάτων των ςυνιςτωςϊν.

𝐹

x’

x

𝐹𝑦

𝐹

φ 𝐹𝑥

36


Σριβι

o Μζτρο: Με δεδομζνθ τθν γωνία φ που ςχθματίηει θ δφναμθ με ζναν από τουσ δφο άξονεσ, χρθςιμοποιοφμε το θμφ για να υπολογίςουμε τθν απζναντι (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα και το ςυνφ για να υπολογίςουμε τθν προςκείμενθ (ςτθν γωνία) ςυνιςτϊςα:

Fx = F· ςυνφ Fy = F· ημφ  Αν θ δφναμθ του ςχιματοσ ζχει μζτρο F = 50N και θ γωνία είναι φ = 30o (θμ30=1/2 και ςυν30ο = √3/2). √

√

 Παρατιρθςθ Οι δφο ςυνιςτϊςεσ αντικακιςτοφν τθν αρχικι δφναμθ κακϊσ ςυνολικά προκαλοφν το ίδιο αποτζλεςμα με αυτιν.

3. Η τριβι: Μια «διάςθμθ» ςυνιςτϊςα! Όταν δφο επιφάνειεσ εφάπτονται, αςκοφν μεταξφ τουσ δυνάμεισ τθσ μορφισ «δράςθ – αντίδραςθ». Αν οι επιφάνειεσ δεν είναι λείεσ και θ μία κινείται, ι τείνει να κινθκεί ςε ςχζςθ με τθν άλλθ, εμφανίηονται δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ (λόγω των μικρϊν ανωμαλιϊν που υπάρχουν ανάμεςα τουσ) και εμποδίηουν τθν κίνθςθ. Η ςυνιςτϊςα αυτϊν των δυνάμεων που είναι παράλλθλθ ςτισ επιφάνειεσ είναι θ τριβι, ενϊ τθν ςυνιςτϊςα κάκετα ςτισ επιφάνειεσ ςυνθκίηουμε να τθν λζμε κάκετθ αντίδραςθ.  Σθν τριβι που εμφανίηεται πριν αρχίςει θ κίνθςθ τθν ονομάηουμε ςτατικι τριβι. Δεν είναι ςτακερι, αλλά είναι ςυνεχϊσ αντίκετθ με τθν δφναμθ που προςπακεί να κινιςει το ςϊμα.  Όταν το ςϊμα αρχίηει να «ολιςκαίνει» (δθλ., να γλιςτράει…) θ τριβι που εμφανίηεται είναι πια ςτακερι και ονομάηεται τριβι ολίςκθςθσ.

37

𝐹

⃗ 𝑇

𝐹𝐴


Σριβι

Η μζγιςτθ τιμι που μπορεί να πάρει θ ςτατικι τριβι (οριακι τριβι) υπολογίηεται από τθν ςχζςθ:

Τορ = μορ·FA

(8)

Αντίςτοιχα υπολογίηεται και θ τριβι ολίςκθςθσ:

Τ = μoλ ·FA

(9)

΢τισ προθγοφμενεσ εξιςϊςεισ, (8 & 9) θ ςτακερά μ λζγεται ςυντελεςτισ τριβισ (οριακισ και ολίςκθςθσ αντίςτοιχα), και είναι ζνασ αρικμόσ που εξαρτάται από το είδοσ των επιφανειϊν που τρίβονται.  Παρατθριςεισ:  Η τριβι ολίςκθςθσ δεν εξαρτάται από τθν ταχφτθτα με τθν οποία κινείται το ζνα ςϊμα ςε ςχζςθ με το άλλο, οφτε και από το μζγεκοσ των επιφανειϊν. Όμωσ εξαρτάται από το είδοσ τουσ (υλικό, πόςο τραχιζσ είναι …) κακϊσ και τθν κάκετθ δφναμθ ανάμεςα τουσ.  Η τριβι δεν εξαρτάται άμεςα από το βάροσ του ςϊματοσ. Απλϊσ θ κάκετθ αντίδραςθ

είναι ςυχνά ίςθ με αυτό. Ζτςι, όταν το βάροσ είναι μεγάλο και ίςο με τθν

, θ τριβι είναι επίςθσ μεγάλθ.  Η τριβι ζχει φορά πάντοτε αντίκετθ από αυτιν τθσ ςχετικισ κίνθςθσ των επιφανειϊν που εφάπτονται .  Συνικωσ κεωροφμε ότι ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ είναι ίςοσ με αυτόν τθσ οριακισ τριβισ. Στθν πραγματικότθτα ο ςυντελεςτισ οριακισ τριβισ είναι λίγο μεγαλφτεροσ.

 Παραδείγματα. 1. Ζνα ςϊμα βάρουσ w =10N κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο, χωρίσ τθν επίδραςθ κάποιασ άλλθσ οριηόντιασ δφναμθσ εκτόσ από τθν τριβι. Ο ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι μ = 0,3. o Η κάκετθ αντίδραςθ είναι: ΣFy = 0

⃗FA

𝑣

⃗ 𝛵

𝑤 ⃗⃗

FA = w = 10N.

(΢τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ το ςϊμα ιςορροπεί κακϊσ οφτε πετάει, οφτε αναπθδάει!) o Ζτςι θ τριβι που εμφανίηει κατά τθν διάρκεια τθσ κίνθςισ του είναι:

38


Σριβι Τ = μ·FA = 3N.

o Η δφναμθ αυτι αντιςτζκεται ςτθν κίνθςι του και το υποχρεϊνει να κάνει ευκ. ομαλά επιβραδυνόμενθ κίνθςθ. 2. Σο αντικείμενο του ςχιματοσ δζχεται μία οριηόντια δφναμθ μζτρου F = 15N και ολιςκαίνει πάνω ςτο οριηόντιο επίπεδο. Η μάηα του είναι m = 5kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςε αυτό και ςτο επίπεδο είναι μ = 0,25. Η αρχικι του ταχφτθτα είναι υαρχ =4m/s. o Η κάκετθ αντίδραςθ υπολογίηεται από τισ δυνάμεισ ςτον άξονα y’y (κάκετα ςτθν κίνθςθ). ΣFy = 0 FA = m·g = 50N o Η τριβι που εμφανίηεται είναι:

𝐹𝐴 𝑣 ⃗ 𝛵

𝐹⬚

𝑤 ⃗⃗

Τ = μ·FA = 12,5 N o Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ ςτθν διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ είναι: ΣFx = F – T = 2,5 N o Λόγω τθσ δφναμθσ ςτθν διεφκυνςθ x’x, το ςϊμα επιταχφνεται:

o Η ταχφτθτα που κα ζχει αποκτιςει μετά από 6 sec, κα είναι: υ = υαρχ + α·Δt = 7m/s 3. ΢το κιβϊτιο του ςχιματοσ, αςκοφμε τθν δφναμθ ςε γωνία κ = 45ο ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ ζχει μζτρο F = 20√2 N, το κιβϊτιο μάηα m = 6kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ (ολίςκθςθσ και οριακόσ) που 𝐹𝐴 εμφανίηει με το ζδαφοσ είναι μ = 0,3. Η αρχικι ταχφτθτα του κιβωτίου είναι μθδζν. 𝐹𝑦 𝐹 o Αρχικά αναλφουμε τθν ςε διευκφνςεισ παράλλθλα και κάκετα ςτθν κίνθςθ: Fx = F· ςυν45ο = 20Ν Fy = F· ημ45ο = 20Ν o Θζλουμε να εξετάςουμε αν θ δφναμθ αρκετι για να κινιςει το κιβϊτιο. Ζτςι πρζπει να υπο39

⃗ 𝛵

κ

𝑤 ⃗⃗

𝐹𝑥


Σριβι

λογίςουμε και τθν τριβι και να τισ ςυγκρίνουμε. ΣFy = 0

Fy +FA - mg = 0

FA = mg - Fy = 40N

Άρα θ οριακι τριβι είναι: Tορ = Tολ = μ·FA = 12N Ζτςι, επειδι Fx > Tορ, το κουτί κα αρχίςει να κινείται. o Η επιτάχυνςθ που κα αποκτιςει είναι :

Τριγωνομετρικζσ Γνϊςεισ

α

φ θμ2φ + ςυν2φ = 1

ο

0 30o 45o 60o 90o 120o 180ο

ι ι ι ι ι ι ι

φ 0 rad π/6 rad π/4 rad π/3 rad π/2 rad 2π/3 rad π rad

β γ

θμφ 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 0

ςυνφ 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1

40

εφφ 0 √3/3 1 √3 -√3 0


Δυνάμεισ

Εφαρμογζσ – Αςκιςεισ Σε όλεσ τισ επόμενεσ, κεωρείςτε ότι g = 10m/s2 𝐹

1. Αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F = 30N ςτο κιβϊτιο του διπλανοφ ςχιματοσ το οποίο βρίςκεται πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Η δφναμθ αςκείται με γωνία κ =60o ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Αν θ μάηα του κιβωτίου είναι m = 5kg:

Α. Τπολογίςτε τθν τιμι τθσ δφναμθσ που αςκεί το οριηόντιο επίπεδο ςτο κιβϊτιο. Β. Πόςθ επιτάχυνςθ αποκτάει; Γ. Φτιάξτε το διάγραμμα τθσ ταχφτθτάσ του ςε ςυνάρτθςθ με τον χρόνο. Δ. Αν κζλαμε να το ςυγκρατιςουμε ακίνθτο, πόςθ δφναμθ κα ζπρεπε να του αςκιςουμε ςε οριηόντια διεφκυνςθ;

2. Πετάμε το βιβλίο τθσ φυςικισ οριηόντια ςτο κρανίο με αρχικι ταχφτθτα 1m/s. Η μάηα του βιβλίου είναι m =250g. Αν ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κρανίο και το βιβλίο είναι μ = 0,2:

𝑣

Α. ΢χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα και υπολογίςτε το μζτρο τθσ κάκετθσ αντίδραςθσ που αςκεί το κρανίο ςτο βιβλίο. Β. Πόςθ είναι θ δφναμθ τθσ τριβισ που εμφανίηεται; Γ. Αςκείται δφναμθ τριβισ ςτο κρανίο; Αν ναι, πόςθ; Δ. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ που αποκτάει το βιβλίο. Σι είδουσ κίνθςθ εκτελεί; Ε. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάηεται μζχρι να ςταματιςει.

3. ΢το ίδιο οριηόντιο επίπεδο ςπρϊχνουμε δφο ςϊματα με μάηεσ m1 =2kg και m2 = 4kg , ϊςτε να αποκτιςουν τθν ίδια αρχικι ταχφτθτα και μετά τα αφινουμε ελεφκερα να κινθκοφν μζχρι να ςταματιςουν λόγω τθσ τριβισ. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτα ςϊματα και το επίπεδο είναι μ = 0,4. Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ςϊμα; Β. Ποιο από τα δφο πιςτεφετε ότι κα ζχει μεγαλφτερθ επιτάχυνςθ; 41


Δυνάμεισ

Γ. Τπολογίςτε τθν επιτάχυνςθ του κάκε ενόσ. Δ. ΢χολιάςτε τθν απάντθςι ςασ ςτθν ερϊτθςθ Β., ςε ςχζςθ με αυτό που υπολογίςατε ςτθν ερϊτθςθ Γ.

4. ΢ε ζνα οριηόντιο επίπεδο βρίςκονται δφο κουτιά από ίδιο υλικό, αρχικά ακίνθτα, το ζνα δίπλα ςτο άλλο. Σθν χρονικι ςτιγμι t =0 αςκοφμε ςτο κάκε ζνα από αυτά από μία δφναμθ οριηόντιασ διεφκυνςθσ και μζτρου F = 16N. Οι μάηεσ τουσ είναι m1 = 4kg και m2 = 2kg ενϊ ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηουν με το οριηόντιο επίπεδο είναι μ = 0,3. Α. Πόςθ τριβι δζχεται το κάκε ζνα κουτί; Β. Τπολογίςτε τισ επιταχφνςεισ τουσ. Γ. Πόςο κα απζχουν τθν χρονικι ςτιγμι t = 3s; Δ. Φτιάξτε το διάγραμμα κζςθσ χρόνου για το κάκε ςϊμα, ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων.

5. ΢το ςϊμα του ςχιματοσ αςκοφμε μία δφναμθ μζτρου F = 10√2 N ςε γωνία κ = 45ο ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο. Ο ςυντελεςτισ τριβισ που εμφανίηεται ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο είναι μ = 0,25 και θ μάηα του ςϊματοσ m = 3kg.

κ 𝐹

Α. Πόςθ είναι θ κάκετθ αντίδραςθ που αςκεί το δάπεδο ςτο ςϊμα; Β. Τπολογίςτε τθν τριβι που εμφανίηεται. Γ. Θα κινθκεί το ςϊμα; Εξθγείςτε τθν απάντθςι ςασ.

6. Δζνουμε ζνα βαρφ κιβϊτιο με ζνα ςχοινί και το τραβάμε όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. H δφναμθ που αςκοφμε είναι 200√3Ν και το κιβϊτιο ζχει μάηα m = 30kg. Η γωνία που ςχθματίηει θ δφναμθ με το οριηόντιο επίπεδο είναι 30ο. Σο κιβϊτιο αποκτάει επιτάχυνςθ α = 1m/s2. Α. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που επιταχφνει το κιβϊτιο; Β. Ποιο είναι το μζτρο τθσ τριβι που δζχεται το κιβϊτιο; 42

𝐹 κ


Δυνάμεισ

Γ. Τπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτο κιβϊτιο και το δάπεδο. Δ. Πόςθ κα ιταν θ τριβι αν αςκοφςαμε τθν δφναμθ ςε οριηόντια διεφκυνςθ;

7. Πάνω ςε ζνα κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ κ = 30ο, γλιςτρά κατεβαίνοντασ με ςτακερι ταχφτθτα ζνα αντικείμενο μάηασ m. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ που εμφανίηεται είναι μ. Α. ΢χεδιάςτε τισ δυνάμεισ που δζχεται το αντικείμενο και αναλφςτε το βάροσ ςε ςυνιςτϊςεσ παράλλθλα και κάκετα ςτο επίπεδο.

κ

Β. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ςε κάκε μία από τισ δφο προθγοφμενεσ διευκφνςεισ; Γ. Γράψτε τθν εξίςωςθ υπολογιςμοφ τθσ τριβισ, ςε ςυνάρτθςθ με τθν μάηα του ςϊματοσ. Δ. Με τθν βοικεια των προθγοφμενων εξιςϊςεων, υπολογίςτε τον ςυντελεςτι τριβισ ανάμεςα ςτο ςϊμα και το επίπεδο.

43


Κινιςεισ με τθν επίδραςθ του Βάρουσ

Κινήςεισ με την επίδραςη του βάρουσ 1. Ζνα αντικείμενο αφινεται να πζςει … ςτο κενό… Αν ςε ζνα ςϊμα αςκείται μόνο το βάροσ του, και το αφιςουμε να πζςει, εκτελεί ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ κίνθςθ, χωρίσ αρχικι ταχφτθτα. Η κίνθςθ λζγεται και ελεφκερθ πτϊςθ. Η επιτάχυνςθ που αποκτάει είναι:

2. Οι εξιςϊςεισ τθσ κίνθςθσ (ελεφκερθσ πτϊςθσ): Η ταχφτατα που αποκτάει μετά από χρόνο πτϊςθσ Δt, είναι :

υ = g·Δt Η απόςταςθ y που διανφει πζφτοντασ:

3. Τα διαγράμματα τθσ κίνθςθσ: Θεωρϊντασ κετικι φορά προσ τα κάτω… y (m)

v (m/s)

45

25

40 35

20

30 25

15

20 10

15 10

5

5

t (s) 1

t (s) 1

2

2

3

 Παρατιρθςθ: Η αντίςταςθ του αζρα κοντά ςτθν γθ δεν είναι μθδζν. Όμωσ, όταν είναι πολφ μικρότερθ από το βάροσ του ςϊματοσ, μπορεί να κεωρθκεί αμελθτζα, και τότε θ κίνθςθ του ςϊματοσ προςεγγίηει πολφ τθν ελεφκερθ πτϊςθ. 44



4. Αν πετάξω ζνα ςϊμα κατακόρυφα προσ τα πάνω ι προσ τα κάτω; Η κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλά μεταβαλλόμενθ με αρχικι ταχφτθτα και επιτάχυνςθ . (κατακόρυφθ βολι). Αν θ αρχικι ταχφτθτα είναι προσ τα κάτω (δθλ. είναι ομόρροπθ τθσ ), θ κίνθςθ είναι ευκ. ομαλά επιταχυνόμενθ, ενϊ αν θ είναι προσ τα πάνω, (αντίρροπθ τθσ ), θ κίνθςθ ξεκινάει ωσ ευκ. ομαλά επιβραδυνόμενθ.

5. Οι εξιςϊςεισ τθσ κατακόρυφθσ βολισ: Κατακόρυφθ βολι προσ τα κάτω:

𝑔

y 𝑣𝛼𝜌𝜒

𝑣⬚

Κατακόρυφθ βολι προσ τα πάνω: 𝑣⬚

𝑔 y  Παρατιρθςθ

𝑣𝛼𝜌𝜒

Όπου υ, y οι αλγεβρικζσ τιμζσ τθσ ςτιγμιαίασ ταχφτθτασ και τθσ κζςθσ του ςϊματοσ (ςε ςχζςθ με το ςθμείο βολισ). Άρα, τα μεγζκθ αυτά μποροφν να ζχουν κετικι ι αρνθτικι τιμι, ανάλογα με το πωσ κινείται το ςϊμα και τθν κζςθ που βρίςκεται.

6. Αν θ βολι γίνει οριηόντια; ΢ε αυτιν τθν περίπτωςθ, το αντικείμενο κάνει ταυτόχρονα δφο κινιςεισ:  Κατακόρυφα πζφτει με τθν επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ (ελεφκερθ πτϊςθ) 45

𝑣𝛼𝜌𝜒



 Οριηόντια δεν δζχεται καμία δφναμθ άρα κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, αυτιν που είχε αρχικά όταν το πετάξαμε…

7. Οι εξιςϊςεισ των δφο επιμζρουσ κινιςεων: ΢τθν οριηόντια διεφκυνςθ, όπου δεν αςκείται καμία δφναμθ, θ κίνθςθ είναι ευκφγραμμθ ομαλι.

΢τθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ, όπου αςκείται μόνο το βάροσ, ενϊ ςτθν διεφκυνςθ αυτι δεν υπάρχει αρχικι ταχφτθτα (… ελεφκερθ πτϊςθ).

υy = g·Δt Η απόςταςθ y που διανφει πζφτοντασ:

8. Η ταχφτθτα του αντικειμζνου ... … είναι το διανυςματικό άκροιςμα των

(=

√

x y

𝑣𝛼𝜌𝜒

𝑣𝛼𝜌𝜒

𝑣𝑦

θ

𝑣⬚ 46

) και

:



 Παραδείγματα 1. Πετάμε ζνα ςϊμα κατακόρυφα προσ τα πάνω με αρχικι ταχφτθτα υαρχ = 20m/s. Μετά από χρόνο Δt = 1s, θ ταχφτθτά του κα είναι : υ = υαρχ – g·Δt = 10m/s Η κατακόρυφθ μετατόπιςι του κα είναι: y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 15m

𝑣𝛼𝜌𝜒 𝑔

2. Σο προθγοφμενο αντικείμενο, μετά από χρόνο Δt = 2s, κα ζχει ταχφτθτα: υ = υαρχ – g·Δt = 0 Η κατακόρυφθ μετατόπιςθ του κα είναι: y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 20m ΢τθν κζςθ αυτι το αντικείμενο ςταματάει ςτιγμιαία, πριν αρχίςει να ξαναπζφτει. Ζτςι, τα 20m, είναι και το μζγιςτο φψοσ ςτο οποίο φτάνει. 3. ΢ε μια επόμενθ χρονικι ςτιγμι, π.χ., για Δt = 4s: υ = υαρχ – g·Δt = -20m/s y = υαρχ ·Δt – ½ g·Δt2 = 0. 𝑔 Σο αρνθτικό πρόςθμο τθσ ταχφτθτασ δείχνει ότι το αντικείμενο κινείται ςε κατεφκυνςθ αντίκετθ από εκείνθ τθσ αρχικισ ταχφτθ𝜐 τασ, άρα προσ τα κάτω. Ζτςι, αφοφ και θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ είναι προσ τα κάτω θ κίνθςθ ζχει γίνει επιταχυνόμενθ! Η μετατόπιςθ ζγινε μθδζν, άρα επζςτρεψε ςτο ςθμείο από όπου το είχαμε πετάξει…

47


Κυκλικι Κίνθςθ

Κυκλική Κίνηςη 1. Όταν θ δφναμθ ςχθματίηει γωνία με τθν ταχφτθτα… Η επιτάχυνςθ αλλάηει τουλάχιςτον τθν διεφκυνςθ τθσ ταχφτθτασ και θ κίνθςθ είναι καμπυλόγραμμθ…

𝑣 κ

 Η κίνθςθ που κάνει μία πζτρα δεμζνθ ςε ζνα ςχοινί…  Η κίνθςθ που κάνει ζνα ςϊμα όταν το πετάμε οριηό𝐹 ντια…  Η κίνθςθ που κα κάνει ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι αν τθν ϊρα που κινείται το ςπρϊξουμε από το πλάι…

2. Αν θ δφναμθ παραμζνει ςυνεχϊσ κάκετθ ςτθν ταχφτθτα… Σότε αλλάηει μόνο θ διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ ενϊ το μζτρο τθσ ταχφτθτασ παραμζνει ςτακερό. Ζτςι, το ςϊμα ςε ίςεσ χρονικζσ διάρκειεσ διανφει ίςα διαςτιματα Δs (…τόξα).

 Π.χ., αν το μζτρο τθσ ταχφτθτασ με τθν οποία πε-

𝑣 Δs R Δκ

ριςτρζφεται ζνα αντικείμενο είναι 2m/s, κάκε δευτερόλεπτο κα διανφει τόξο μικουσ 2m. Η τροχιά που διαγράφει το αντικείμενο είναι κυκλικι. Η κίνθςθ ονομάηεται ομαλι κυκλικι.  Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να εκτελζςει μία πλιρθ περιςτροφι, είναι πάντα ο ίδιοσ, και ονομάηεται περίοδοσ τθσ κίνθςθσ, Τ.  Ο αρικμόσ των περιςτροφϊν που κάνει το αντικείμενο ανά δευτερόλεπτο, λζγεται ςυχνότθτα τθσ κίνθςθσ, f .  Αν ςε χρόνο Δt κάνει Ν περιςτροφζσ, ιςχφει ότι:

 Σα δφο μεγζκθ ςυνδζονται με τθν ςχζςθ:

Δθλαδι, αν οι περιςτροφζσ που ζχει ολοκλθρϊςει το ςϊμα είναι Ν = 1, ο χρόνοσ που κα ζχει χρειαςτεί κα είναι μία περίοδοσ, Δt = T  Μονάδα περιόδου είναι το sec, μονάδα ςυχνότθτασ το Hz (Herz = 1ςτροφι/sec) 48



 Ζνα αντικείμενο εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ και ςε χρόνο Δt = 4sec, περιςτρζφεται Ν = 28 φορζσ. Η ςυχνότθτά του είναι

. Η περίοδοσ τθσ κίνθ-

ςισ του είναι

3. Οι ταχφτθτεσ ςτθν κυκλικι κίνθςθ. Η ταχφτθτα με τθν οποία διαγράφει το τόξο του κφκλου είναι θ γραμμικι ταχφτθτα . Σο μζτρο τθσ υπολογίηεται: 𝑣

Δs

 Σο διάνυςμα τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ είναι ςυνεχϊσ εφαπτόμενο ςτθν κυκλικι τροχιά. Κακϊσ το αντικείμενο περιςτρζφεται, θ ακτίνα τθσ τροχιάσ του διαγράφει μία γωνία Δκ. Σο «πόςο γριγορα» διαγράφεται αυτι θ γωνία μασ το δείχνει θ γωνιακι ταχφτθτα ⃗ . Σο μζτρο τθσ υπολογίηεται:

𝜔 ⃗

𝛥𝜃 𝜐

R

 Σο διάνυςμα τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ είναι ςυνεχϊσ κάκετο ςτο επίπεδο τθσ τροχιάσ. Σα μζτρα των δφο ταχυτιτων ςυνδζονται με τθν εξίςωςθ:

υ = ω·R 𝑣

όπου R είναι θ ακτίνα τθσ τροχιάσ.

𝑣

 Ενϊ θ γωνία που διαγράφει το ςϊμα κακϊσ περιςτρζφεται είναι ανεξάρτθτθ τθσ ακτίνασ τθσ τροχιάσ του, το τόξο που διανφει είναι τόςο μεγαλφτερο όςο μεγαλφτερθ είναι θ ακτίνα. Ζτςι, θ ταχφτθτα με τθν οποία μετακινείται πάνω ςτθν κυκλικι του τροχιά, (…γραμμικι ταχφτθτα) είναι τόςο μεγαλφτερθ όςο είναι θ ακτίνα τθσ τροχιάσ.

Δs1

Δs2 Δκ

 Οι δφο ςφαίρεσ ςτο διπλανό ςχιμα διαγράφουν και οι δφο γωνία Δθ = π/2 rad, ςε χρόνο Δt = 3s . Ζτςι θ γωνιακι τουσ ταχφτθτα είναι: ω1 = ω2 = ω = Δθ/Δt = π/6 r/s.

 Για τισ γραμμικζσ ταχφτθτεσ, αν R1 = 3m και R2 = 2m, ιςχφει: 49


Κυκλικι Κίνθςθ υ1 = ω·R1 = π/2 m/s

&

υ2 = ω·R2 = π/3 m/s

 Παρατθριςεισ  Από τθν γεωμετρία γνωρίηουμε ότι ζνα τόξο και ι αντίςτοιχθ του επίκεντρθ γωνία ςυνδζονται με τθν εξίςωςθ: Δs = R·Δκ Από τθν εξίςωςθ αυτι, αν διαιρζςουμε με τον χρόνο προκφπτει θ ςχζςθ υ = ω·R.  Σαν μονάδα μζτρθςθσ τθσ γωνίασ χρθςιμοποιοφμε το ακτίνιο (rad). Ιςχφει ότι ακτίνια αντιςτοιχοφν ςε γωνία 180ο (π.χ., 2π rad  360o, π/2 rad  90o κ.λ.π.)  Όταν κζλουμε να υπολογίςουμε μικοσ τόξου, αντικακιςτοφμε όπου τθν π = 3,14. Π.χ., το μικοσ τθσ περιφζρειασ ενόσ κφκλου ακτίνασ R=2m είναι: s = 2π·R = 2·3,14·2=12,56m.

4. Ζνα ςϊμα κάνει ομαλι κυκλικι κίνθςθ. Ζχει επιτάχυνςθ; Η διεφκυνςθ τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ αλλάηει ςυνεχϊσ, άρα υπάρχει επιτάχυνςθ που ςχετίηεται με τθν αλλαγι τθσ διεφκυνςθσ τθσ ταχφτθτασ.

𝑣𝛼𝜌𝜒

𝑣𝛼𝜌𝜒

𝛼

H επιτάχυνςθ αυτι, ζχει κατεφκυνςθ προσ το κζντρο τθσ τροχιάσ και ονομάηεται κεντρομόλοσ, .

𝑣𝜏𝜀𝜆

𝛥𝑣⬚

𝑣𝜏𝜀𝜆

 Σο μζτρο τθσ κεντρομόλου επιτάχυνςθσ υπολογίηεται από τθν εξίςωςθ και είναι ςτακερό:

5. Ποια δφναμθ αςκείται ςτο ςϊμα που κάνει ομαλι κυκλικι κίνθςθ; Για να «ςτρίψει» το ςϊμα πρζπει να δζχεται δφναμθ (θ δυνάμεισ) κάκετα ςτθν ταχφτθτα του δθλ. ςτθν διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ τθσ τροχιάσ του. Η ςυνιςταμζνθ όλων των δυνάμεων ςτθν διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ λζγεται κεντρομόλοσ δφναμθ, Fκ ( … = ΢Fr) και είναι αυτι που προκαλεί τθν κεντρομόλο επιτάχυνςθ:

R

𝐹𝑁

Fκ = ΣFr = m·ακ 𝑣

50

𝑤 ⃗⃗



 Ζνα ςϊμα μάηασ m =2kg, περιςτρζφεται ςε κυκλικι τροχιά ακτίνασ R = 4m με ταχφτθτα ςτακεροφ μζτρου υ = 2m/s. Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται ζχει μζτρο: ακ = υ2/R = 4/4 m/s2 = 1m/s2.  Η ςυνιςτάμενθ των δυνάμεων που δζχεται το προθγοφμενο αντικείμενο είναι ςτθν διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ (κεντρομόλοσ) και ζχει μζτρο: Fκ = m·ακ = 2Ν. ΢το ςϊμα που φαίνεται ςτο ςχιμα κα είναι: FN – w = m·ακ . ...  Παρατιρθςθ: Η κεντρομόλοσ δφναμθ δεν είναι μία επιπλζον δφναμθ που αςκείται ςτο ςϊμα που κάνει κυκλικι κίνθςθ, αλλά θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που ιδθ δζχεται, ςτθν διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ του…

6. Εξιςϊςεισ, ςχζςεισ μεγεκϊν ςτθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ…. Αν το ςϊμα που περιςτρζφεται εκτελζςει μία περιςτροφι: o Θα διανφςει τόξο ίςο με τθν περιφζρεια του κφκλου, δθλαδι Δs = 2π·R, ςε χρόνο Δt = Σ. Ζτςι θ γραμμικι ταχφτθτα ζχει μζτρο:

o Θα διαγράψει γωνία Δκ=2π (…360ο) ςε χρόνο Δt = T. Άρα:

o Για τθν κεντρομόλο δφναμθ μποροφμε να γράψουμε ότι:

 Παρατιρθςθ: Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ, θ ςυχνότθτα και θ περίοδοσ παραμζνουν ςτακερζσ. Στακερι είναι και θ γωνιακι ταχφτθτα ⃗ , ενϊ τα μεγζκθ «γραμμικι ταχφτθτα », «κεντρομόλοσ δφναμθ » και «κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ » διατθροφνται ςτακερά μόνο ωσ προσ το μζτρο τουσ, αλλά αλλάηουν ςυνεχϊσ διεφκυνςθ.

51



 Παραδείγματα. 1.

Ζνα αυτοκίνθτο κινείται ςε οριηόντιο κυκλικό δρόμο, με ταχφτθτα μζτρου υ = 10m/s. Η ακτίνα τθσ τροχιάσ του είναι R = 50m και θ μάηα του αυτοκινιτου m = 1200kg. 𝜔 ⃗

R

𝑣

𝐹𝜅

Η περίοδοσ τθσ κίνθςθσ του (δθλ. ο χρόνοσ για να εκτελζςει μία περιςτροφι) κα είναι: υ = 2πR/T T = 2πR/υ = 6,28·50/10 s = 31,4s Η ςυχνότθτα περιςτροφισ του είναι : f =1/T = 1/31,4 Ηz. Η γωνιακι ταχφτθτα περιςτροφισ του είναι: ω = 2π/Τ = 2·3,14/31,4 r/s = 0,2 r/s. ω = υ/R = 10/50 r/s = 0,2 r/s ) (ι αλλιϊσ υ = ω·R Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται ζχει μζτρο: ακ = υ2/R = 2m/s2 Η κεντρομόλοσ δφναμθ που δζχεται ζχει μζτρο: Fκ = m·ακ = 2400Ν 2.

Μία ςφαίρα είναι δεμζνθ ςτο άκρο ενόσ νιματοσ και περιςτρζφεται ςε κατακόρυφο επίπεδο με κατάλλθλο τρόπο ϊςτε να διατθρείται ςτακερι θ γωνιακι τθσ ταχφτθτα. Η ακτίνα περιςτροφισ τθσ είναι R = 2m, θ μάηα τθσ είναι m =100g (…= 0,1kg) και κάνει N = 4 περιςτροφζσ ςε χρόνο Δt = 2s.

𝜔 ⃗ 𝐹𝑁

κ 𝐹𝑁

H ςυχνότθτα περιςτροφισ τθσ είναι: f = N/Δt = 2Hz.

𝑤 ⃗⃗ 𝑟 𝑣

𝑤 ⃗⃗ Η περίοδοσ περιςτροφισ τθσ είναι: Τ = 1/f = 0,5s

52



Η γωνιακι τθσ ταχφτθτα ζχει μζτρο : ω = 2π·f = 4π r/s H γραμμικι τθσ ταχφτθτα ζχει μζτρο: υ = ω·R = 8π m/s Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ που δζχεται είναι: ακ = ω2·R = 16π2 m/s2 Η κεντρομόλοσ δφναμθ που δζχεται ζχει μζτρο: Fκ = m·ακ = 1,6π2 Νewton. Αν κζλουμε να υπολογίςουμε τθν δφναμθ που αςκεί το νιμα ςτθν ςφαίρα όταν αυτι περνάει από το κατϊτερο ςθμείο τθσ τροχιάσ τθσ: FN = m·g + Fκ = 1+1,6π2 ≈ 17 Νewtons Fκ = ΣFr = FN – m·g ΢ε μία κζςθ όπου το νιμα ςχθματίηει γωνία κ = 30ο με τθν κατακόρυφθ, ρόλο κεντρομόλου ζχει θ ςυνιςτϊςα του βάρουσ wr μαηί με τθν τάςθ του νιματοσ: Fκ = ΣFr = FN – wr = FN – m·g·ςυν30ο 3.

Ζνα δφο αντικείμενα Α και Β κινοφνται πάνω ςε κυκλικι τροχιά ακτίνασ R = 3m. Η γωνιακι ταχφτθτα του Α ζχει μζτρο ωΑ = 0,2π r/s ενϊ του Β, ωΒ = 0,6π r/s.

𝑣𝐵

B 𝑣𝐴

A ΔκΑ ΔκΒ

Η γραμμικι ταχφτθτα του Α είναι : υA = ωΑ ·R = 0,6π m/s Η γραμμικι ταχφτθτα του B είναι : υB = ωB ·R = 1,8π m/s Αν τα δφο αντικείμενα αρχικά βρίςκονταν ςτο ίδιο ςθμείο και περιςτρζφονται προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ: To A διαγράφει γωνία ΔθΑ = ωΑ·Δt. To B διαγράφει γωνία ΔθB = ωB·Δt.

Σο Β που περιςτρζφεται πιο γριγορα κα προθγθκεί του Α και κάποια ςτιγμι όταν κα ζχει ολοκλθρϊςει ζναν κφκλο περιςςότερο (…δθλαδι όταν κα ζχει διαγράψει γωνία κατά 2π rad περιςςότερθ από το Α), κα το ξαναφτάςει. Αυτό κα ςυμβεί όταν:

53



΢ε αυτόν τον χρόνο το A ζχει διανφςει διάςτθμα ΔsA = υA· Δt = 3π m. Αν τα δφο αντικείμενα αρχικά βρίςκονταν ςτο ίδιο ςθμείο και περιςτρζφονται προσ ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ:

54



Αςκιςεισ – Ερωτιςεισ 1. Δφο αντικείμενα κινοφνται ομαλά ςε κυκλικζσ τροχιζσ ίδιασ ακτίνασ ζτςι ϊςτε το Α να ζχει διπλάςια γωνιακι ταχφτθτα από το Β. Σι από τα παρακάτω πιςτεφετε ότι ιςχφει; Α. Σα δφο αντικείμενα κινοφνται χωρίσ επιτάχυνςθ. Β. Σο Α ζχει διπλάςια κεντρομόλο επιτάχυνςθ από το Β Γ. Σο Α ζχει τετραπλάςια επιτάχυνςθ από το Β Δ. Σο Α ζχει τθν μιςι κεντρομόλο επιτάχυνςθ από το Β.

2. Ζνασ ιμάντασ είναι περαςμζνοσ ςτουσ τροχοφσ (1) και (2) που περιςτρζφεται με ςτακερι γωνιακι ταχφτθτα όπωσ ςτο ςχιμα. Ποια ςθμεία πιςτεφετε ότι ζχουν επιτάχυνςθ;

Α Β

(2) (1)

Α. Σο Α και το Β Β. Σο Α Γ. Σο Β

Δ. Κανζνα

3. ΢το ςφςτθμα των τροχϊν τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ: Α. Όλα τα ςθμεία του ιμάντα ζχουν τθν ίδια ταχφτθτα Β. Όλα τα ςθμεία του ιμάντα ζχουν γωνιακι ταχφτθτα (≠0) Γ. Οι δφο τροχοί περιςτρζφονται με τθν ίδια γωνιακι ταχφτθτα Δ. Σα ςθμεία τθσ περιφζρειασ των τροχϊν ζχουν το ίδιο μζτρο γραμμικισ ταχφτθτασ.

4. Ζνα αντικείμενο εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ και ςε χρόνο 6 sec διαγράφει 3 περιςτροφζσ. Η ακτίνα περιςτροφισ του είναι R = 0,4m. Α. Πόςθ είναι θ ςυχνότθτα περιςτροφισ του και ποια θ περίοδοσ; Β. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ γωνιακισ του ταχφτθτασ. Γ. Ποιο είναι το μζτρο τθσ κεντρομόλου επιτάχυνςθσ που δζχεται; Δ. Να υπολογίςετε τθν γωνία που κα ζχει περιςτραφεί ςε χρονικι διάρκεια Δt = 1,5s.

55



5. Η ςελινθ περιςτρζφεται γφρω από τθν γθ ολοκλθρϊνοντασ μία περιςτροφι ςε 28 μζρεσ (περίπου). Αν κεωριςουμε ότι θ περιςτροφι είναι απόλυτα κυκλικι ςε απόςταςθ 385000 km από το κζντρο τθσ γθσ, υπολογίςτε: Α. Σο μζτρο τθσ γραμμικισ ταχφτθτασ περιςτροφισ τθσ ςελινθσ Β. Σθν γωνιακι ταχφτθτα περιςτροφισ τθσ ςελινθσ. Γ. Η μάηα τθσ ςελινθσ είναι προςεγγιςτικά m = 7,5·1022kg. Ποιο είναι το μζτρο τθσ δφναμθσ που δζχεται από τθν γθ; (π =3,14. Χρθςιμοποιείςτε κομπιουτεράκι για τουσ υπολογιςμοφσ ςασ)

6. Δφο ποδθλάτεσ Α και Β περιςτρζφονται ςε κυκλικό ςτίβο, με ταχφτθτεσ ςτακεροφ μετρου προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ. Αν θ γραμμικι ταχφτθτα του Α ζχει μζτρο υA = 5m/s και του Β υB = 6m/s και θ ακτίνα του ςτίβου είναι 40m, να υπολογίςετε. Α. Σθν τιμι τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ του κάκε ποδθλάτθ. Β. Σον χρόνο που χρειάηεται ο κάκε ζνασ για να κάνει μία πλιρθ περιςτροφι. Γ. Αρχικά οι δφο ποδθλάτεσ ξεκίνθςαν από τθν ίδια κζςθ. Ποιοσ από τουσ δφο κα προθγθκεί; ΢ε πόςο χρόνο κα προλάβει τον άλλο για πρϊτθ φορά;

7. Αφινουμε μία μικρι ςφαίρα να κινθκεί ςε μία θμικυκλικι τροχιά όπωσ ςτο διπλανό ςχιμα. Σθν ςτιγμι που περνάει από το κατϊτερο ςθμείο τθσ τροχιάσ τθσ Α, ζχει ταχφτθτα μζτρου υ = 2m/s. Η μάηα τθσ είναι m = 200g και θ ακτίνα τθσ τροχιάσ R = 20cm. Α. ΢χεδιάςτε τισ δυνάμεισ που δζχεται θ ςφαίρα ςτθν κζςθ Α.

R

A

Β. Πόςθ είναι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ ςτθν κατακόρυφθ διεφκυνςθ; Γ. Τπολογίςτε το μζτρο τθσ κάκετθσ αντίδραςθ που δζχεται θ ςφαίρα από το ζδαφοσ. Δ. Πόςθ κα ιταν θ προθγοφμενθ δφναμθ, αν θ ςφαίρα κινοφταν ευκφγραμμα με το ίδιο μζτρο ταχφτθτασ; Δίνεται ότι g = 10m/s2 . 56


Ορμι

Ορμή 1. Πόςο εφκολα (… θ δφςκολα) ςταματάει ζνα αντικείμενο; Εξαρτάται από τθν ταχφτθτα, αλλά και από τθ μάηα του.

 Σο λεωφορείο ςταματάει πιο δφςκολα από το ποδιλατο που κινείται με τθν ίδια ταχφτθτα.

 Ζνα αυτοκίνθτο κα ςταματιςει πιο εφκολα αν κινείται με μικρι ταχφτθτα…

2. Τελικά, αρκεί να γνωρίηουμε μόνο τθν ταχφτθτα ενόσ αντικειμζνου, για να προβλζψουμε πόςο εφκολα κα αλλάξει θ ο τρόποσ κίνθςισ του; Πρζπει να γνωρίηουμε και τθ μάηα του. Ζτςι, ορίηουμε ζνα μζγεκοσ που περιλαμβάνει και τθν μάηα m και τθν ταχφτθτα ⃗ : 𝑝 Ορμι ⃗ , είναι το διανυςματικό μζγεκοσ που προκφπτει από το γινόμενο τθσ μάηασ επί τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ. m

𝑣

Μονάδα: kg·m/s.

 Παράδειγμα. Δφο αντικείμενα με μάηεσ m1 =2kg και m2 =4kg αφινονται ελεφκερα να πζςουν. Κάποια ςτιγμι ζχουν και τα δφο ταχφτθτεσ μζτρου υ1 = υ2 =20m/s. Η ορμι του πρϊτου είναι p1 = m1·υ1 = 40kg·m/s ενϊ του δεφτερου είναι p2 = m2·υ2 = 80kg·m/s. Αν και οι ταχφτθτεσ τουσ είναι ίδιεσ, το δεφτερο ζχει μεγαλφτερθ ορμι και ςταματάει ποιο δφςκολα…

3. Πωσ μπορεί να αλλάξει θ ορμι ενόσ ςϊματοσ; 𝛥𝑝

 Αν αλλάξει θ μάηα του, m

𝑝𝜏𝜀𝜆 𝑝𝛼𝜌𝜒 𝑝𝛼𝜌𝜒

 Αν αλλάξει θ ταχφτθτα του, .

𝑝𝜏𝜀𝜆

Όμωσ, αλλαγι τθσ ταχφτθτασ ςθμαίνει επιτάχυνςθ. 𝑝𝛼𝜌𝜒

𝑝𝜏𝜀𝜆

Σθν επιτάχυνςθ τθν προκαλεί θ δφναμθ. 𝐹 →

𝛼 → 𝛥𝜐 →

Δ𝑝

𝑝𝛼𝜌𝜒 𝑝𝜏𝜀𝜆

57


Ορμι

4. Ποια ςχζςθ ςυνδζει τθν δφναμθ με τθν μεταβολι τθσ ορμισ; Η δφναμθ, εκτόσ από μεταβολι ςτθν ταχφτθτα, προκαλεί μεταβολι και ςτθν ορμι. Όςο μεγαλφτερθ είναι, τόςο ποιο γριγορα αλλάηει θ ορμι. Δθλαδι: Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ είναι ίςθ με τον ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ (2οσ Νόμοσ του Νεφτωνα). ⃗

⃗


Ζνα αντικείμενο δζχεται δφναμθ μζτρου F = 20N για χρονικι διάρκεια Δt = 5s. Αυτό ζχει ςαν αποτζλεςμα θ ορμι του να μεταβλθκεί κατά 100 kg.m/s:

2.

Μία μοτοςικλζτα κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ=20m/s, και θ μάηα τθσ είναι m=250kg (μαηί με τον αναβάτθ). Αν θ δφναμθ τθ αςκεί το ςφςτθμα των φρζνων τθσ είναι F = - 400N (αντίκετα ςτθν φορά κίνθςθσ), για να ςταματιςει κα χρειαςτεί χρόνο Δt που υπολογίηεται ωσ: Ζνα αυτοκίνθτο που κινείται με τθν ίδια ταχφτθτα και ζχει μάηα m2 = 1500kg, για να ςταματιςει ςτον ίδιο χρόνο πρζπει να δεχκεί δφναμθ:

3.

Ζνασ ακλθτισ μάηασ m = 76kg, ςτο άλμα επί κοντϊ, πζφτει ςτο ςτρϊμα με ταχφτθτα υ = 9m/s. Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ςταματιςει είναι Δt = 2s, και ζτςι θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ζχει μζτρο: | | Αν δεν υπιρχε το …ςτρϊμα, κα ςταματοφςε ςε χρόνο Δt2 =0,5s (…πιο απότομα!) Σότε θ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που κα δεχόταν κα είχε μζτρο: |

|

!

58


Ορμι

5. Ο 2οσ Νόμοσ του Νεφτωνα & ο Θεμελιϊδθσ Νόμοσ τθσ Μθχανικισ: ΢υνδυάηοντασ τθν εξίςωςθ που περιγράφει τον δεφτερο νόμο του Νεφτωνα και τισ εξιςϊςεισ οριςμοφ τθσ επιτάχυνςθσ και τθσ ορμισ, γράφουμε:

⃗

⃗

⃗

⃗

 Σφμφωνα με τθν προθγοφμενθ, αν θ μάηα είναι ςτακερι, ο δεφτεροσ νόμοσ του Νεφτωνα και ο Θεμελιϊδθσ νόμοσ τθσ μθχανικισ είναι ιςοδφναμοι…


Ζνα ςϊμα μάηασ m = 2kg, δζχεται δφναμθ και θ ταχφτθτα του μεταβάλλεται από υ1 = 5m/s ςε υ2 = 10m/s. Ο χρόνοσ που χρειάςτθκε για τθν μεταβολι αυτι ιταν Δt = 5s. Εφαρμόηοντασ τον 2ο Ν.Ν., υπολογίηουμε το μζτρο τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ:

΢το ίδιο καταλιγουμε και από τον Θ.Ν.Μ.:

και

2.

.

Η ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχεται ζνα ςϊμα, ζχει μζτρο ΢F = 30Ν. ΢φμφωνα με τον 2ο Νόμο του Νεφτωνα, αυτόσ κα είναι και ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ του: . (Αυτό ςθμαίνει ότι κάκε δευτερόλεπτο θ ορμι του ςϊματοσ αλλάηει κατά 30kg.m/s)

59


Ορμι

6. Δφο ι παραπάνω ςϊματα που αλλθλεπιδροφν αποτελοφν ζνα ςφςτθμα ςωμάτων.

Η ορμι ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων είναι το διανυςματικό άκροιςμα των ορμϊν, όλων των ςωμάτων που αποτελοφν το ςφςτθμα.

 Παράδειγμα. Δφο ςφαίρεσ κινοφνται όπωσ ςτο ςχιμα, ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ. Οι μάηεσ τουσ είναι m1 = 0,2kg, m2=0,4kg και οι ταχφτθτεσ τουσ ζχουν μζτρο υ1 = 10m/s και υ2 = 5m/s αντίςτοιχα. Η ορμι του ςυςτιματοσ του κα είναι:

𝑝

𝑝

(+)

και , κεωρϊντασ κετικι φορά προσ τα δεξιά:

7. Πωσ μπορεί να αλλάξει θ ορμι ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων; Αν τα ςϊματα του ςυςτιματοσ δζχονται δυνάμεισ εξωτερικζσ (δθλαδι που προζρχονται από ςϊματα εκτόσ του ςυςτιματοσ), κα αλλάηει θ ολικι ορμι του ςυςτιματοσ.  Παράδειγμα: Δφο μπάλεσ του bowling (ςφςτθμα) κινοφνται προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, όπωσ ςτο ςχιμα. Οι ταχφτθτζσ τουσ ζχουν μζτρο υ1 = 2m/s και υ2 =1m/s και οι μάηεσ τουσ είναι m1 = m2 = 5kg. Η ορμι του ςυςτιματοσ τουσ ζχει μζτρο: 60


Ορμι

pολ=p1 +p2 =m·υ1 + m·υ2 = 15kg.m/s. Κάποια ςτιγμι θ πρϊτθ μπάλα χτυπάει ςτον τοίχο (ο οποίοσ δεν ανικει ςτο ςφςτθμα), δζχεται δφναμθ από αυτόν και ςταματάει. Η ορμι του ςυςτιματοσ τϊρα γίνεται:

𝑝

𝑝

𝑝

pολ’ = p2 = 5kg.m/s.

8. Αν ςτα ςϊματα του ςυςτιματοσ αςκοφνται μόνο εςωτερικζσ δυνάμεισ (οι μεταξφ τουσ δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ), οι ορμζσ τουσ μεταβάλλονται με τζτοιο τρόπο ϊςτε θ ςυνολικι ορμι να μθν αλλάηει… Γιατί; Δφο αντικείμενα κινοφνται το ζνα προσ το άλλο ζτςι ϊςτε ⃗⃗⃗⃗ 𝑝 ⃗⃗⃗⃗ 𝑝 να ςυγκρουςτοφν. Οι μάηεσ 𝐹 𝐹 τουσ είναι m1 και m2 και οι ταχφτθτεσ τουσ υ1 και υ2 αντίςτοιχα. Σθν ςτιγμι που ςυγκροφονται, αςκοφν το ζνα ςτο άλλο δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ F12 και F21 (ςχιμα). Ζτςι θ ορμι του κακενόσ αλλάηει, ςφμφωνα με τον 2ο Νόμο του Νεφτωνα:

Όμωσ οι δφο δυνάμεισ είναι τθσ μορφισ Δράςθ – Αντίδραςθ, άρα ιςχφει ότι: F12 = - F21 Η ςυνολικι μεταβολι τθσ ορμισ κα είναι:

Λόγω τθσ ςχζςθσ των F12 και F21 καταλιγουμε:

Δθλαδι: Οι δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ ανάμεςα ςτα ςϊματα, προκαλοφν αντίκετεσ μεταβολζσ ςτθν ορμι του ςυςτιματοσ (π.χ. θ ορμι του ενόσ ςϊματοσ αυξάνεται και του άλλου ελαττϊνεται) και ζτςι θ ςυνολικι ορμι δεν αλλάηει… 61


Ορμι

 Παρατιρθςθ: Κατά τθν διάρκεια μίασ κροφςθσ, οι δυνάμεισ ανάμεςα ςτα ςϊματα δεν ζχουν ςτακερι τιμι. Ζτςι χρθςιμοποιοφμε τθ μζςθ τιμι των δυνάμεων (δθλ., τθ ςτακερι δφναμθ με τθν οποία ζπρεπε να αλλθλεπιδράςουν τα ςϊματα για να προκλθκεί θ ίδια μεταβολι ςτισ ορμζσ τουσ).  Παραδείγματα: 1. Μια μπίλια του μπιλιάρδου μάηασ m = 0,5kg κινείται με ταχφτθτα υ1 = 1m/s και ςυγκροφεται με μία δεφτερθ μπίλια, ίςθσ μάηασ. Η κροφςθ είναι κεντρικι και ζτςι μετά τθν ςφγκρουςθ θ πρϊτθ μπίλια ςταματάει. Η δεφτερθ κα φφγει με ταχφτθτα υ2 = 1m/s, (ίςθ με τθσ πρϊτθσ): Όμωσ m1 = m2 άρα: υ1 = υ2 = 1m/s Η μεταβολι τθσ ορμισ τθσ κάκε μίασ ςφαίρασ ζχει τιμι: Δp1 =p1μετά – p1πρίν = 0 – m1∙υ1 = -0,5kg∙m/s Δp2 =p2μετά – p2πρίν = m2∙υ2 - 0 = 0,5kg∙m/s Αν θ κροφςθ είχε διάρκεια Δt = 0,5s, θ δφναμθ που δζχτθκε κάκε ςφαίρα ζχει αλγεβρικι τιμι:

2. Μία ςφαίρα που κινείται με ταχφτθτα υ1 =200m/s ςφθνϊνεται ςε ζνα κομμάτι ξφλο που αρχικά ιταν ακίνθτο. Η μάηα τθσ ςφαίρασ είναι m1 = 0,1kg και του ξφλου m2 = 1,9kg. Η ορμι του ςυςτιματοσ πριν τθν ςφγκρουςθ ζχει τιμι: pολ(ΠΡΙΝ) = p1 +p2 = m1·υ1 + 0 = 20kg.m/s ⃗⃗⃗ 𝑝 Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ ςφαίρα μαηί με το ξφλο κινοφνται ςαν ζνα ςϊμα (ςυςςωμάτωμα), ςυνολικισ μάηασ mολ = m1+m2 =2kg και ταχφτθτα υ = 10m/s. Η ςυνολικι ορμι μετά τθν κροφςθ, αφοφ δεν ζχει αςκθκεί καμία άλλθ δφναμθ εκτόσ από τισ μεταξφ τουσ δυνάμεισ, κα παραμείνει όςθ και πριν:

pολ(ΜΕΣΑ) = mολ·υ = 20kg.m/s. 62


Ορμι

3. Ζνα όπλο αρχικά ακίνθτο, εκπυρςοκροτεί. Η μάηα του όπλου είναι mo = 5kg και θ μάηα τθσ ςφαίρασ είναι mς = 0,05kg. Η ςφαίρα φεφγει με ταχφτθτα υς =400m/s. Επειδι ςτο ςφςτθμα των ςωμάτων όπλο – ςφαίρα αςκικθκαν μόνο εςωτερικζσ δυνάμεισ τθν ςτιγμι του πυροβολιςμοφ, κα ιςχφει: Ορμι ςυςτιματοσ πριν = ορμι ςυςτιματοσ μετά Με τθν βοικεια αυτισ τθσ ιςότθτασ μποροφμε να υπολογίςουμε τθν ταχφτθτα με τθν οποία «κλωτςάει» το όπλο (…ταχφτθτα ανάκρουςθσ).

Σελικά:

9. Η αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ: Όταν ς’ ζνα ςφςτθμα ςωμάτων δεν αςκοφνται εξωτερικζσ δυνάμεισ (ι θ ςυνιςταμζνθ τουσ είναι μθδζν), θ ορμι του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι. Σθν αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ μποροφμε να τθν εφαρμόςουμε ςε κάκε κροφςθ, αφοφ αυτά τα φαινόμενα είναι αποτζλεςμα ςτιγμιαίασ αλλθλεπίδραςθσ των ςωμάτων.  Παρατιρθςθ: Η αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ είναι μια αρχι με παγκόςμια ιςχφ. Εφαρμόηεται από τισ μικρότερεσ κλίμακεσ τθσ φλθσ (π.χ. πυρθνικζσ διαςπάςεισ) μζχρι τισ μεγαλφτερεσ (κινιςεισ ουρανίων ςωμάτων!)

63


Ορμι

Ερωτιςεισ - Αςκιςεισ Όπου χρειάηεται, κεωρείςτε ότι g = 10m/s2 1. Μία μικρι ελαςτικι μπάλα μάηασ m, κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα υ. Κάποια ςτιγμι χτυπάει ςε κατακόρυφο τοίχο και γυρίηει προσ τα πίςω με ταχφτθτα ίδιου μζτρου με αυτοφ τθσ αρχικισ. Η μεταβολι τθσ ορμισ τθσ ζχει τιμι: Α. Δp = 0

Β. Δp =2m·υ

Γ. Δp =-2m·υ

Δ. Δp =m·υ

2. Μία φουςκωμζνθ και μία λίγο ξεφοφςκωτθ μπάλα κτυποφν με τθν ίδια ταχφτθτα ςε ζναν κατακόρυφο τοίχο. Αν οι δφο μπάλεσ ζχουν τθν ίδια μάηα, ποια από τισ επόμενεσ προτάςεισ ιςχφει;

𝜐

𝜐

Α. Η φουςκωμζνθ μπάλα αςκεί μεγαλφτερθ δφναμθ ςτον τοίχο. Β. Και οι δφο μπάλεσ αςκοφν τθν ίδια δφναμθ. Αιτιολογείςτε τθν επιλογι ςασ.

3. Ζνα ςυγκρουόμενο αμαξάκι ςτο Λοφνα–Παρκ με ζνα παιδί μζςα, ζχει μάηα m1 = 225kg και κινείται με ταχφτθτα υ = 1m/s. ΢υγκροφεται με το προςτατευτικό το τοίχωμα και ςταματά ςε χρόνο Δt = 1,5s. Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ορμισ που ζχει το αμαξάκι; Β. Ποιο το μζτρο τθσ (μζςθσ) δφναμθσ που δζχεται από το τοίχωμα για να ςταματιςει; Γ. Πόςθ δφναμθ κα χρειαηόταν αν δεν υπιρχε o λαςτιχζνιοσ προφυλακτιρασ και ςταματοφςε ποιο απότομα, ςε χρόνο Δt2 = 0,5s Δ. Πόςθ δφναμθ κα ζπρεπε να δεχτεί για να ςταματιςει αν μζςα ςτο αμαξάκι κακόταν δφο παιδιά και θ μάηα ιταν ςυνολικά m2 = 300kg;

4. ΢το κιβϊτιο του ςχιματοσ που αρχικά θρεμεί, αςκοφνται οι δυνάμεισ και με μζτρα F1 = 50N και F2 =30N αντίςτοιχα. Η μάηα του είναι m = 4kg. 64

⃗⃗⃗ 𝐹

m

⃗⃗⃗ 𝐹


Ορμι

Α. Ποιοσ είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ του κιβωτίου; Β. Πόςο κα ζχει αλλάξει θ ορμι του μετά από Δt=2s; Γ. Ποια κα είναι θ τιμι τθσ ορμισ και τθσ ταχφτθτάσ του τθν χρονικι ςτιγμι t = 2s; Δ. Ποιο είναι το μζτρο τθσ επιτάχυνςθσ που απζκτθςε;

5. ΢το διπλανό ςχιμα, οι δφο ςφαίρεσ ζχουν μάηεσ m1 = 2kg και m2 = 3kg ενϊ τα μζτρα των ταχυτιτων τουσ είναι υ1 = 6m/s και υ2 = 4m/s αντίςτοιχα. Η ορμι του ςυςτιματοσ ζχει μζτρο: Α. 24kg·m/s Γ. 24 N

𝑣

𝑣

m1

m2

Β. 0

Δ. 2m/s

6. Οι ςφαίρεσ τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ ςυγκροφονται. Σι από τα παρακάτω ιςχφει; Α. Η ςφαίρα m1 αςκεί ςτθν m2 δφναμθ μεγαλφτερου μζτρου από ότι θ m2 ςτθν m1. Β. Η ςφαίρα m2 αςκεί ςτθν m1 δφναμθ μεγαλφτερου μζτρου από ότι θ m1 ςτθν m2. Γ. Η ορμι τθσ κάκε μίασ ςφαίρασ δεν αλλάηει. Δ. Οι ορμζσ των δφο ςφαιρϊν μεταβάλλονται κατά αντίκετα ποςά.

7. Μία μπίλια μάηασ m1 = 200g κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα μζτρου υ1 = 3m/s και ςυγκροφεται με μία δεφτερθ μπίλια μάηασ m2 = 100g που αρχικά κινοφταν προσ τθν ίδια κατεφκυνςθ, με ταχφτθτα μζτρου υ2 = 2m/s. Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ m2 κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ2’ = 4m/s. Α. Πόςθ είναι θ ορμι του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ; Β. Πόςθ κα είναι θ ορμι μετά τθν κροφςθ; Γ. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ τθσ m1 μετά τθν κροφςθ. Δ. Πόςθ είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ;

65


Ορμι

8. Ζνα κομμάτι πλαςτελίνθσ κτυπάει με ταχφτθτα υπ = 0,5m/s πάνω ςε ζνα μικρό κομμάτι ξφλου, που αρχικά ιταν ακίνθτο. Η μάηα τθσ πλαςτελίνθσ είναι mπ = 50g και θ μάηα του ξφλου mξ = 950g.

𝑣𝜋 ⃗⃗⃗⃗

Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα που κα αποκτιςει το ςυςςωμάτωμα που δθμιουργείται; Β. Πόςθ είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ του κάκε αντικειμζνου; Γ. Πόςθ θ μεταβολι τθσ ορμισ του ςυςτιματοσ τουσ; Δ. Αν θ κροφςθ διιρκθςε 0,4s, πόςθ δφναμθ δζχτθκε θ κάκε μία μάηα;

9. Ζνασ πφραυλοσ μάηασ m κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ = 900m/s, όταν με κατάλλθλο μθχανιςμό ςπάει ςε δφο κομμάτια ίςθσ μάηασ (m1 = m2 = m/2). Σο κομμάτι m1 αμζςωσ μετά τθν ζκρθξθ κινείται με ταχφτθτα υ1 =1200m/s, ςτθν ίδια κατεφκυνςθ με τθν αρχικι . Α. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του κομματιοφ m2; Β. Αν θ μάηα του πυραφλου είναι m =2000kg, να υπολογίςετε τθν μεταβολι τθσ ορμισ του κάκε κομματιοφ. Γ. Η διάςπαςθ διιρκθςε χρόνο Δt = 0,3s. Πόςθ ιταν θ μζςθ δφναμθ που δζχτθκε κάκε κομμάτι για να γίνει θ διάςπαςθ; Δ. Αν μετά τθν διάςπαςθ, το κομμάτι m1 κινοφταν ςε αντίκετθ κατεφκυνςθ από τθν αρχικι, πόςθ κα ιταν θ ταχφτθτα του m2;

10. Μια μπάλα μάηασ m = 1,5kg, αφινεται ελεφκερθ να πζςει από φψοσ h=0,8m. Κτυπάει ςτο ζδαφοσ και αναπθδάει με ταχφτθτα ίςου μζτρου (αυτισ που ζφταςε). Θεωρϊντασ τθν κίνθςι τθσ ελεφκερθ πτϊςθ, υπολογίςτε: Α. Σον χρόνο που χρειάςτθκε για να φτάςει ςτο ζδαφοσ και τθν ταχφτθτα με τθν οποία ζφταςε. Β. Σθν μεταβολι τθσ ορμισ τθσ κατά τθν κροφςθ. Γ. Αν θ κροφςθ διιρκθςε Δt = 0,5s , τθν μζςθ ςυνιςταμζνθ δφναμθ που δζχτθκε κατά τθν διάρκεια τθσ επαφισ τθσ με το ζδαφοσ. Δ. Σθν μζςθ δφναμθ που δζχτθκε από το ζδαφοσ. 66


Ορμι

11. Ζνα πυροβόλο όπλο βρίςκεται ακίνθτο, ςτερεωμζνο πάνω ςε ζνα βαγόνι. Όλο το ςφςτθμα ζχει μάηα m = 201kg. Κάποια ςτιγμι το πυροβόλο εκπυρςοκροτεί και το βαγόνι κινείται προσ τα πίςω με ταχφτθτα υπ = 2m/s. Αν θ μάηα του βλιματοσ είναι mβ = 1kg να υπολογίςετε:

𝑣𝛽 ⃗⃗⃗⃗

m

𝑣𝜋 ⃗⃗⃗⃗

Α. Σο μζτρο τθσ ορμισ που απζκτθςε το πυροβόλο μαηί με το βαγόνι, μετά τθν εκπυρςοκρότθςθ. Β. Σο μζτρο τθσ ορμισ που απζκτθςε το βλιμα. Γ. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα με τθν οποία ζφυγε το βλιμα; Δ. Αν θ βολι ζγινε από φψοσ h = 50m, ςε πόςθ οριηόντια απόςταςθ κα φτάςει το βλιμα, πριν χτυπιςει ςτο ζδαφοσ;

12. Μία ςφαίρα κινείται ςε οριηόντια διεφκυνςθ με ταχφτθτα μζτρου υ1 =200m/s. Κάποια ςτιγμι ςυγκροφεται με ζνα ακίνθτο κιβϊτιο μάηασ m2 = 1950g και το ςυςςωμάτωμα που δθμιουργείται, γλιςτρά πάνω ςτο οριηόντιο δάπεδο μζχρι να ςταματιςει τελικά λόγω τριβισ. Η ςφαίρα ζχει μάηα 50g και ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτο δάπεδο και το κιβϊτιο είναι μ = 0,25. Α. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ; Β. Πόςθ είναι θ τριβι ανάμεςα ςτο κιβϊτιο και το δάπεδο; Γ. Τπολογίςτε τον χρόνο που χρειάηεται το κιβϊτιο μζχρι να ςταματιςει. Δ. Πόςθ απόςταςθ διανφει μζχρι να ςυμβεί αυτό;

67


Ενζργεια – Ζργο

Ενέργεια - Έργο 1. Η φφςθ γφρω μασ: Εικόνεσ …  O βράχοσ βρίςκεται ςε φψοσ πάνω από το ζδαφοσ. Άρα, μπορεί να πζςει…  Το ελατιριο είναι ςυςπειρωμζνο. Αν το αφιςουμε ελεφκερο, κα εκτονωκεί.  Η μπάλα κινείται με μεγάλθ ταχφτθτα. Άρα, χτυπϊντασ το τηάμι κα το ςπάςει.  Η κερμοκραςία του καλοριφζρ είναι υψθλι. Ζτςι ο αζρασ γφρω του ηεςταίνεται. ΢ε κάκε ζνα από τα προθγοφμενα παραδείγματα, μποροφμε να προβλζψουμε πωσ κα κινθκεί το κάκε ςϊμα, θ πωσ κα εξελιχκεί θ κατάςταςι του … Και αυτό επειδι γνωρίηουμε τθν αρχικι του κατάςταςθ.

2. … Η φυςικι περιγράφει τισ εικόνεσ με ζννοιεσ:  O βράχοσ ζχει ενζργεια λόγω τθσ κζςθσ του, κακϊσ τον ζλκει θ γθ. Μπορεί να πζςει χαμθλότερα και θ ενζργεια του να ελαττωκεί…  Το ελατιριο ζχει ενζργεια λόγω τθσ κατάςταςισ του. Ελευκερϊνοντασ το, απελευκερϊνεται θ ενζργεια του και επιςτρζφει ςτθν αρχικι του κατάςταςθ.  Η μπάλα ζχει ενζργεια λόγω τθσ κίνθςισ τθσ. Όταν χτυπιςει το τηάμι, του μεταφζρει ζνα μζροσ από τθν ενζργεια τθσ και το ςπάει.  Το καλοριφζρ ζχει ενζργεια λόγω τθσ κατάςταςθσ του. Ο αζρασ που το περιβάλλει, παίρνει ζνα μζροσ τθσ ενζργειασ του και ηεςταίνεται. Περιγράψαμε τισ διαφορετικζσ εικόνεσ, με μια καινοφρια ζννοια: Σθν «ενζργεια». Ζτςι, ςτα προθγοφμενα παραδείγματα, λζμε ότι τα ςϊματα ζχουν ενζργεια:   

Λόγω των δυνάμεων που δζχονται, ςτθν κζςθ ι τθν κατάςταςθ που βρίςκονται Λόγω του ότι κινοφνται ... Εξαιτίασ τθσ κερμοκραςίασ που ζχουν … 68



Η ενζργεια είναι μζγεκοσ μονόμετρο και θ μονάδα τθσ είναι το Joule (S.I.).

3. Η ενζργεια λόγω κίνθςθσ: Η «Κινθτικι Ενζργεια» ςυνδζεται με τθν κίνθςθ ενόσ ςϊματοσ. Για ζνα ςϊμα μάηασ m, που προχωράει με ταχφτθτα υ, τθν υπολογίηουμε από τθν εξίςωςθ:

 Παρατιρθςθ: Η προθγοφμενθ εξίςωςθ υπολογίηει τθν κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ που κάνει μόνο μεταφορικι κίνθςθ, δθλαδι κινείται χωρίσ να περιςτρζφεται. Ζτςι, μια μπάλα του bowling που προχωράει με ταχφτθτα υ και ταυτόχρονα κυλάει, κα ζχει επιπλζον κινθτικι ενζργεια, λόγω τθσ περιςτροφισ τθσ.  Παραδείγματα: 1.

Ζνα αντικείμενο με μάηα m = 2kg κινείται με ταχφτθτα υ = 2m/s . Η κινθτικι του ενζργεια είναι:

Κ

½ m υ2 = 4J

Αν το ίδιο αντικείμενο κινοφταν με διπλάςια ταχφτθτα (υ =4m/s) θ κινθτικι του ενζργεια κα ιταν τετραπλάςια:

Κ’ ½ m (2υ)2 = 16J Δεν κα ςυνζβαινε το ίδιο αν είχε διπλάςια μάηα:

Κ’’ ½ ( m) υ2 = 8J. Για τθν κινθτικι ενζργεια, θ ταχφτθτα είναι «ςθμαντικότεροσ» παράγοντασ από τθν μάηα …

2.

Δφο όμοια αμαξάκια κινοφνται ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ με ταχφτθτεσ ίςου μζτρου. Η μάηα του κάκε ενόσ είναι m = 600g και θ ταχφτθτά του είναι υ = 3m/s. Η κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ είναι:

Κ

Κ1

Κ2

½ m υ2

½ m υ2 = 5,4J.

Τα δφο αμαξάκια κινοφνταν αντίκετα. Ωςτόςο, προςκζςαμε τισ κινθτικζσ τουσ ενζργειεσ. Η κινθτικι ενζργεια δεν μπορεί να είναι αρνθτικι! 69



4. Η ενζργεια λόγω των δυνάμεων αλλθλεπίδραςθσ: Η «Δυναμικι Ενζργεια» ςυνδζεται με τθν αλλθλεπίδραςθ ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων. Αν θ αλλθλεπίδραςθ είναι βαρυτικι τότε μιλάμε για «βαρυτικι δυναμικι ενζργεια», αν είναι θλεκτρικι, «θλεκτρικι δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ» κ.λ.π.  Παραδείγματα 1. Μία πζτρα αλλθλεπιδράει με τθν γθ και δζχεται από αυτιν τθν βαρυτικι δφναμθ. Λόγω αυτισ τθσ αλλθλεπίδραςθσ μπορεί να μετακινθκεί (…να πζςει). Λζμε ότι ζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια. Βζβαια, δυναμικι ενζργεια ζχει και θ γθ αφοφ ζλκεται από τθν πζτρα, πλθν όμωσ δεν πρόκειται να κινθκεί προσ αυτιν! Ζτςι, αν και θ ενζργεια υπάρχει ςτο ςφςτθμα πζτρα – γθ, μιλάμε μόνο για αυτιν τθσ πζτρασ. 2. Δφο μικρζσ πζτρεσ ςε κάποια απόςταςθ μεταξφ τουσ, πρακτικά δεν αλλθλεπιδροφν (οι βαρυτικζσ δυνάμεισ ανάμεςα τουσ είναι τόςο μικρζσ που είναι αδφνατον να τισ μετακινιςουν). Ζτςι θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ςυςτιματοσ τουσ λζμε ότι είναι μθδζν! 3. Δφο φορτία ζλκονται, λόγω τθσ θλεκτρικισ τουσ αλλθλεπίδραςθσ και πλθςιάηουν το ζνα το άλλο. Θα ποφμε ότι το ςφςτθμα τουσ ζχει θλεκτρικι δυναμικι ενζργεια.

5. Πωσ μπορϊ να μετριςω τθν δυναμικι ενζργεια;  Ζνα αντικείμενο βρίςκεται ςτο γραφείο μου. Λόγω τθσ βαρυτικισ ζλξθσ που δζχεται, μπορεί να πζςει το πολφ μζχρι το πάτωμα. Αν πζςει εκεί, δεν μπορεί να πάει παρακάτω… Άρα ςτο γραφείο ζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια, ενϊ ςτο πάτωμα δεν ζχει. Αν όμωσ το τραπζηι βρίςκεται ςτο μπαλκόνι; Σότε μπορεί να πζςει και μζχρι τον δρόμο. Εκεί θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια κα είναι μθδζν… Για να μετριςω τθν δυναμικι ενζργεια, πρζπει πρϊτα από όλα να γνωρίηω (…ι να ορίςω!), που θ ενζργεια αυτι είναι «μθδζν» (δθλαδι, οι δυνάμεισ αλλθλεπίδραςθσ δεν μποροφν να μετακινιςουν άλλο το ςϊμα). Σθν κζςθ αυτι τθν ονομάηω «επίπεδο αναφοράσ» και ςυγκρίνοντασ μ’ αυτιν, υπολογίηω πόςο περιςςότερθ θ 70



λιγότερθ ενζργεια ζχει το ςφςτθμα.  Παρατθριςεισ:  Στθν πραγματικότθτα, θ αλλθλεπίδραςθ δεν μθδενίηεται οφτε ςτο πάτωμα οφτε ςτον δρόμο. Το αντικείμενο δζχεται βαρυτικι δφναμθ, και ςτισ δφο κζςεισ (άρα, … τυπικά θ δυναμικι του ενζργεια δεν είναι μθδζν). Ωςτόςο, όταν θ αλλθλεπίδραςθ αυτι δεν μπορεί να επθρεάςει τθν μελλοντικι του κατάςταςθ (π.χ. να πζςει χαμθλότερα), επιλζγουμε τθν κζςθ ωσ επίπεδο αναφοράσ.  Σε κάκε περίπτωςθ, αυτό που μασ ενδιαφζρει και υπολογίηουμε, είναι θ αλλαγι τθσ δυναμικισ ενζργειασ ανάμεςα ςτθν αρχικι κζςθ του ςϊματοσ τθν τελικι. Όποιο και να είναι το επίπεδο αναφοράσ, θ ενζργεια αλλάηει κατά το ίδιο ποςό, γίνεται θ ίδια … «δουλειά». Όμωσ θ κατάλλθλθ επιλογι του, μασ βοθκάει ςτον μακθματικό υπολογιςμό και τθν διατφπωςθ του κάκε προβλιματοσ!  Κάτι αντίςτοιχο ςυμβαίνει όταν μετράμε το φψοσ μασ. Μποροφμε να μετριςουμε τθν απόςταςθ του κεφαλιοφ μασ και των ποδιϊν μασ από το ζδαφοσ, και μετά να αφαιρζςουμε τισ δφο μετριςεισ… Η, μιπωσ είναι ποιο απλό να μετριςουμε τθν απόςταςθ του κεφαλιοφ μασ από το πάτωμα το οποίο κεωροφμε ότι είναι ςε φψοσ μθδζν (επίπεδο αναφοράσ);

6. Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια: Για ζνα ςϊμα μάηασ m που βρίςκεται κοντά ςτθν επιφάνεια τθσ γθσ, μποροφμε να υπολογίςουμε τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια από τθν ςχζςθ:

Uβ = m∙g∙h Uβ :

΢υμβολιςμόσ για τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια

h:

Σο φψοσ ςτο οποίο βρίςκεται το ςϊμα, πάνω από το επίπεδο αναφοράσ (εκεί που κεωροφμε ότι θ δυν. ενζργεια «μθδενίηεται»).

 Παραδείγματα Σο τθλζφωνο βρίςκεται πάνω ςτο γραφείο, ςε φψοσ h1 = 80cm από το πάτωμα. Η μάηα του είναι 100g, άρα ςε ςχζςθ με το πάτωμα ζχει βαρυτικι δυναμικι ενζργεια:

Uβ = m g h1 = 0,1

8 J = 0,8J.

Aσ ποφμε τϊρα ότι το γραφείο είναι ςτον πρϊτο όροφο, ςε φψοσ h2 =3m από τον δρόμο. Αν κζλω να υπολογίςω τθν δυναμικι ενζργεια ςε ςχζςθ με το ζδαφοσ, τότε:

Uβ = m g (h1+h2) = 0,1 71

8 = 3,8J.



Σε κάκε μία περίπτωςθ το τθλζφωνο ζχει διαφορετικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια. Διαφορετικό όμωσ κα είναι και το αποτζλεςμα τθσ πτϊςθσ του (ςτο πάτωμα και ςτον δρόμο)! Ζτςι κάκε φορά, υπολογίηουμε τθν βαρ. δυναμικι ενζργεια ςε ςχζςθ με το επίπεδο που μασ ενδιαφζρει…

7. Η ελαςτικι δυναμικι ενζργεια: Ζνα ελατιριο είναι αρχικά ςτο φυςικό του μικοσ, l. ΢τθν κατάςταςθ αυτι δεν αςκεί καμία δφναμθ ςτο χζρι μου (αλλά και εγϊ δεν χρειάηεται να του αςκιςω καμία δφναμθ για να το κρατιςω ςε αυτιν τθν κατάςταςθ). Ζτςι, θ δυναμικι του ενζργεια είναι μθδζν. Αν το τεντϊςω κατά μικοσ Δl , ανάμεςα ςτο άκρο του και το χζρι μου υπάρχει αλλθλεπίδραςθ και αποκθκεφεται «ελαςτικι δυναμικι ενζργεια»:

l

⃗⃗⃗⃗𝟐 𝑭 Δl

⃗⃗⃗⃗𝟏 𝑭

( ) (όπου k θ ςτακερά του ελατθρίου).

 Παράδειγμα Σο ελατιριο ζχει ςτακερά k = 40N/m. Σεντϊνοντασ το κατά Δl = 5cm, αποκθκεφεται ελαςτικι δυναμικι ενζργεια:

Uελ

½ k Δ l2

½

0,0025 J = 0,05J.

Αν ιταν τεντωμζνο κατά τθν διπλάςια παραμόρφωςθ, Δl =10cm, θ ενζργεια που κα αποκικευε, κα ιταν τετραπλάςια!

Uελ

½ k Δl2 = ½ 40 0,12 J = 0,2J

72



8. Πωσ ςυνδζεται θ «δφναμθ» με τθν «ενζργεια»;  Η δφναμθ αςκείται ςτο αντικζιμενο και το επιταχφνει. Ζτςι αυτό αποκτάει κινθτικι ενζργεια.  Η δφναμθ του βάρουσ ζλκει το βιβλίο και το ρίχνει, ςτο πάτωμα. Λζμε ότι το βιβλίο είχε βαρυτικι δυναμικι ενζργεια.  Η δφναμθ από το χζρι μασ τζντωςε το ελατιριο, και αποκθκεφτθκε ελαςτικι δυναμικι ενζργεια. ΢ε κάκε περίπτωςθ, θ δφναμθ κάνει κάποια «δουλειά»: ΢πρϊχνει, τραβάει, παραμορφϊνει, βοθκάει μία κίνθςθ ι τθν εμποδίηει. Αυτό ζχει ςαν αποτζλεςμα τα ςϊματα να αποκτοφν ενζργεια, ι αν είχαν ιδθ, θ ενζργεια τουσ να αλλάηει.

9. Το «ζργο» τθσ δφναμθσ… 𝑥

Κάκε δφναμθ ζχει ζνα ςθμείο εφαρμογισ. Όταν το ςθμείο αυτό μετακινείται κατά απόςταςθ , και θ δφναμθ είναι ςτακερι, ορίηουμε ωσ «ζργο» τθσ, W (work):

𝐹

W = Fx ∙x όπου Fx είναι θ ςυνιςτϊςα τθσ δφναμθσ ςτθν διεφκυνςθ τθσ μετακίνθςθσ. Μια δφναμθ που αςκείται ςε διεφκυνςθ κάκετθ ςτθν μετατόπιςθ, ζχει ζργο μθδζν. Π.χ., ςτο διπλανό ςχιμα, οι δυνάμεισ του βάρουσ και τθσ κάκετθσ αντίδραςθσ δεν ζχουν ζργο.

𝐹 𝐹𝐴

𝑥 κ

𝐹𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑊

Το «ζργο», εκφράηει τθν ενζργεια που αφαιρείται θ προςφζρεται ςε ζνα ςϊμα, λόγω τθσ επίδραςθσ μιασ δφναμθσ. Είναι μονόμετρο μζγεκοσ και ζχει ωσ μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I., το Joule. Όταν θ δφναμθ «βοθκάει» τθν κίνθςθ, το ζργο τθσ χαρακτθρίηεται ωσ «παραγόμενο», και το κεωροφμε κετικό. Αντίκετα, όταν θ δφναμθ εμποδίηει τθν κίνθςθ, το ζργο τθσ κεωρείται αρνθτικό και χαρακτθρίηεται ωσ «καταναλιςκόμενο». Π.χ., Σο ζργο του ανκρϊπου που ςπρϊχνει ζνα τραπζηι είναι παραγόμενο (κετικό), ενϊ τθσ τριβισ ανάμεςα ςτο τραπζηι και το πάτωμα, είναι καταναλιςκόμενο (αρνθτικό).

73



 Παρατθριςεισ  Η απόςταςθ που χρθςιμοποιοφμε για να F υπολογίςουμε το ζργο είναι το διάςτθμα ςτο οποίο μετακινείται το ςθμείο εφαρμογισ τθσ δφναμθσ.  Αν θ δφναμθ δεν είναι ςτακερι, μποροφμε F2 να υπολογίςουμε το ζργο τθσ με τθν βοι- F1 W κεια του διαγράμματοσ Δφναμθσ – Απόςταςθσ. x1 Σε ζνα τζτοιο διάγραμμα, το εμβαδόν που ορίηεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ και τον άξονα τθσ απόςταςθσ, ιςοφται με το ζργο.  Παραδείγματα 1. Σο αμαξάκι το εργαςτθρίου είναι δεμζνο με οριηόντιο νιμα από το οποίο δζχεται δφναμθ F=0,5N. Μετακινείται ςε απόςταςθ x = 0,6m. Σο ζργο τθσ δφναμθσ του νιματοσ είναι:

W

Fx

J

ο

s

x

x 𝐹

J.

2. Ο εργάτθσ αςκεί ςτο κιβϊτιο δφναμθ μζτρου F = 100Ν ςε διεφκυνςθ 60o, όπωσ ςτο ςχιμα. Ζτςι το μετακινεί ςε απόςταςθ s = 10m. Σο ζργο τθσ δφναμθσ του είναι :

W = Fx s = F συν

x2

½

𝐹𝑥

J = 500J. 𝐹

Αν αςκοφςε δφναμθ του ίδιου μζτρου ςε οριηόντια διεφκυνςθ για τθν ίδια απόςταςθ, το ζργο κα ιταν:

W = F s = F s = 100 10 J = 1000J 3. Η δφναμθ που αςκεί ζνα ελατιριο ςτο χζρι μασ μεταβάλλεται, ανάλογα με το πόςο παραμορφωμζνο είναι το ελατιριο. Η ςτακερά του ελατθρίου είναι k = 20N/m και θ αρχικι παραμόρφωςθ x1 = 0,1m. Σο μζτρο τθσ δφναμθ που αςκεί είναι: |Fελ| = k·|x| δθλ. είναι μεταβλθτι δφναμθ. Για να υπολογίςουμε το ζργο όταν το ελατιριο επιςτρζφει ςτο φυςικό του μικοσ, φτιάχνουμε τθν γραφικι παράςταςθ F – x:

WFελ

Εμβ δόν

|Fελ|

F

½ k x1 x1 = ½ k x12 = 0,1J 74

W x1

x



10. H κινθτικι ενζργεια αλλάηει μζςω του ζργου των δυνάμεων. «Σε ζνα ςϊμα μάηασ m αςκείται οριηόντια δφναμθ F (ςυνολικι). Αρχικά το ςϊμα ιταν ακίνθτο και μετακινείται ςε απόςταςθ x. Πωσ ςυνδζεται το ζργο τθσ δφναμθσ με τθν κινθτικι ενζργεια που αποκτάει το ςϊμα;». Από τθν εξίςωςθ τθσ ταχφτθτασ για τθν ομαλά επιταχυνόμενθ κίνθςθ, ζχουμε: (1) Η απόςταςθ που διανφεται είναι ςφμφωνα με τθν εξίςωςθ τθσ κίνθςθσ: (2) ΢φμφωνα με τθν κεμελιϊδθ νόμο τθσ μθχανικισ,

(3)

Tο ζργο τθσ δφναμθσ, αντικακιςτϊντασ τα F, x από τισ (2) & (3): (

) (

)

Κάνουμε τισ πράξεισ: (

)

Όμωσ θ ποςότθτα (α·Δt) είναι θ ταχφτθτα του ςϊματοσ (ςχζςθ (1)) και ζτςι, όλοσ ο δεξιόσ όροσ δεν είναι άλλο από τθν κινθτικι του ενζργεια!

( ) Δθλ. το ζργο τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ που αςκικθκε ςτο ςϊμα, είναι ίςο με τθν κινθτικι ενζργεια που αποκθκεφτθκε ς’ αυτό.

Το ζργο τθσ ςυνιςταμζνθσ των δυνάμεων που αςκείται ςε ζνα ςϊμα, μεταβάλει τθν κινθτικι του ενζργεια κατά το ίδιο ποςό:

Η προθγοφμενθ πρόταςθ ονομάηεται και Θεϊρθμα Μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ…

75



 Παρατθριςεισ.  Τθν προθγοφμενθ πρόταςθ μποροφμε να τθν διατυπϊςουμε και ωσ εξισ: Η κινθτικι ενζργεια που αποκτάει ζνα ςϊμα, είναι ίςθ με αυτιν που είχε αρχικά, ςυν το ζργο των δυνάμεων που του αςκικθκαν.

 Γνωρίηουμε ότι, όταν ζνα ςϊμα ιςορροπεί αρχικά θ κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, δζχεται ςυνιςταμζνθ δφναμθ μθδζν. Ζτςι, ό,τι επιπλζον δφναμθ του αςκθκεί αλλάηοντασ τθν κινθτικι του κατάςταςθ, κα είναι και θ αιτία που κα μεταβάλλει τθν κινθτικι του ενζργεια (παράγοντασ θ καταναλϊνοντασ ζργο).  Μζςω του ζργου των δυνάμεων που δζχεται ι αςκεί ζνα ςϊμα, ανταλλάςει ενζργεια με το περιβάλλον του.  Παραδείγματα. 3.

Ζνα κιβϊτιο, βρίςκεται ακίνθτο πάνω ςε οριηόντιο επίπεδο. Σου αςκοφμε μία οριηόντια δφναμθ μζτρου F = 10N, ενϊ θ τριβι ολίςκθςθσ είναι T = 2N. Σθν ςτιγμι που ζχει μετακινθκεί κατά s =2m, το ζργο κάκε μίασ από τισ δφο δυνάμεισ είναι: WF = F∙s = 20J WT = -T∙s = -4J

(παραγόμενο ζργο αφοφ θ F βοθκάει τθν κίνθςθ) (καταναλιςκόμενο ζργο αφοφ θ Σ εμποδίηει τθν κίνθςθ)

Σο κιβϊτιο αρχικά, δεν είχε κινθτικι ενζργεια. Σελικά κα αποκτιςει: Kτελ = WΣF = (20 – 4)J = 16J. Σο βάροσ και θ κάκετθ αντίδραςθ ζχουν ςυνιςταμζνθ μθδζν και δεν μεταβάλλουν τθν ενζργεια του (ι αλλιϊσ, είναι κάκετα ςτθν μετατόπιςθ και το ζργο τουσ είναι μθδζν). 4.

Σο αμαξάκι του ςχιματοσ, δζχεται τθν δφναμθ , ςε διεφκυνςθ κ=45ο. Η δφναμθ ζχει μζτρο F = 10√2 N και θ μάηα του ςϊματοσ είναι m = 1kg. Oι τριβζσ είναι αμελθτζεσ. Τπολογίηουμε τθν ταχφτθτα του όταν αυτό ζχει μετακινθκεί κατά s = 0,8m:

𝐹 m κ (1)

Θ.Μ.Κ.Ε. ανάμεςα ςτθν αρχικι (1) και τθν τελικι (2) κζςθ. 76

x

(2)


Ενζργεια – Ζργο Κ(2) – Κ(1) = WF(1->2)

½ m υ2 - 0 = F s συν

ο

Λφνουμε ωσ προσ υ: √

√

√

Το ίδιο κα μποροφςαμε να το υπολογίςουμε και από τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ, αλλά αφοφ πρϊτα βρίςκαμε τον χρόνο κίνθςθσ και τθν επιτάχυνςθ… Το βάροσ και θ κάκετθ αντίδραςθ δεν καταναλϊνουν, οφτε παράγουν ζργο, κακϊσ είναι κάκετα ςτθν διεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ. 5.

«Αςκοφμε δφναμθ ςτακεροφ μζτρου 5N, ςε ζνα αντικείμενο μάηασ m = 1,5 kg, το οποίο αρχικά κινοφταν με ςτακερι ταχφτθτα υ1 = 2m/s. Τθν δφναμθ τθν αςκοφμε μζχρι το αντικείμενο 𝜐 να διανφςει απόςταςθ x = 4m, 𝜐 και μετά το αφινουμε ελεφ𝐹 κερο». x Αφοφ αρχικά το αντικείμενο κινοφταν με ςτακερι ταχφτθτα, δεν δεχόταν καμία δφναμθ (ι θ ςυνιςταμζνθ τουσ ιταν μθδζν). Άρα θ μοναδικι δφναμθ που δζχεται είναι . Η κινθτικι του ενζργεια κα αυξθκεί (άρα και θ ταχφτθτα). Και αυτό γιατί θ δφναμθ παριγαγε ζργο και του πρόςφερε ενζργεια. Σο αντικείμενο κα αποκτιςει ταχφτθτα υ2 που μποροφμε να τθν υπολογίςουμε: Θ.Μ.Κ.Ε (από κζςθ (1) → κζςθ (2)):

Λφνουμε ωσ προσ τθν ταχφτθτα υ2:

√

77



11. Tο ζργο του βάρουσ μεταβάλει τθν βαρυτικι δυναμικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ. «Το βιβλίο που ζχει βάροσ w = 5N, βρίςκεται ςε φψοσ h1 = 80cm πάνω από το πάτωμα. Το αφινω και πζφτει χαμθλότερα, ςε φψοσ h2 = 20cm».  Σο βάροσ του βιβλίου παράγει ζργο κατά τθν μετακίνθςθ y = h1 – h2: Wβ = w·y = 3J.  Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ιταν Uβ1 = w·h1 = 4J και ζγινε Uβ2 = w·h2 = 1J.  Άρα ελαττϊκθκε κατά ποςό ίςο με το ζργο του βάρουσ… Όταν το βάροσ παράγει ζργο, ελαττϊνεται θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια (και αντίκετα, όταν το ζργο του βάρουσ είναι καταναλιςκόμενο, αυξάνεται θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ςϊματοσ)… Αν τθν προθγοφμενθ πρόταςθ τθν διατυπϊςουμε ποιο μακθματικά: Όταν το ζργο του βάρουσ είναι κετικό, θ μεταβολι τθσ βαρυτικι δυναμικισ ενζργειασ είναι αρνθτικι (και αντίςτροφα)…

Wβ = - ΔUβ ή Wβ = Uβ αρχική - Uβ τελική Η παραγωγι ζργου από το βάροσ, ζχει το κόςτοσ τθσ: Δαπάνθ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ!

78



 Παραδείγματα. 1. Μία πζτρα μάηασ m = 100g (=0,1kg) βρίςκεται ςε μια ταράτςα φψουσ h1 = 8m. Σθν αφινουμε ελεφκερθ να πζςει ςτο ζδαφοσ. Η αρχικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια που ζχει: 𝑤 ⃗⃗

Uβ( ) = m g h1 = 0,1

J = 8J.

s

h1

Όταν ζχει πζςει ςε φψοσ h2 = 3m:

Uβ( ) = m g h2 = 0,1 10 3 J = 3J. Σο ζργο του βάρουσ μπορεί να υπολογιςτεί και από τθν ελάττωςθ τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ:

Wβ = Uβ(

)

h2

- Uβ( ) = 5J

Προςζχουμε ότι αφαιρζςαμε τθν αρχικι μείον τθν τελικι τιμι τθσ δυναμικισ ενζργειασ… Επίςθσ, το ζργο του βάρουσ κα μποροφςαμε να το υπολογίςουμε και από τθν γνωςτι ςχζςθ υπολογιςμοφ του ζργου ςτακερισ δφναμθσ, Wβ =w · s.

2.

΢το προθγοφμενο παράδειγμα, ασ υπολογίςουμε τθν κινθτικι ενζργεια που ζχει το ςϊμα ςτθν κζςθ (2): Θ.Μ.Κ.Ε (από κζςθ (1) → κζςθ (2)):

Κ2 Κ1 = Wβ (1→2) Κ2 = 5J = Uβ(

)

Uβ( ).

Η βαρυτικι δυναμικι ενζργεια δεν χάκθκε. Μετατράπθκε ςε κινθτικι, μζςω του ζργου του βάρουσ.

12. Το ζργο τθσ δφναμθσ του ελατθρίου μεταβάλει τθν ελαςτικι δυναμικι ενζργεια. «Το ελατιριο είναι ςυμπιεςμζνο και ςτο άκρο του ζχουμε ακουμπιςει μία μικρι ςφαίρα. Αφινουμε το ελατιριο ελεφκερο. Η δφναμθ που αςκεί ςτθν ςφαίρα μεταβάλλεται ςυνεχϊσ μζχρι που μθδενίηεται, όταν το ελατιριο φτάςει ςτο φυςικό του μικοσ». Η Ελαςτικι Δυναμικι Ενζργεια, ελαττϊνεται. 79



Η ελάττωςθ τθσ δυναμικισ ενζργειασ του ελατθρίου, είναι ίςθ με το ζργο που παράγει θ δφναμθ που αςκεί.

WFελ = - ΔUελ ή WFελ = Uελ αρχική -Uελ τελική Δθλ., θ παραγωγι ζργου από τθν δφναμθ του ελατθρίου, γίνεται εισ βάροσ τθσ δυναμικισ του ενζργειασ . Σαυτόχρονα, αυξάνεται θ κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ. Μποροφμε να ποφμε: Η ελαςτικι δυναμικι ενζργεια μετατράπθκε ςε κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ, μζςω του ζργου τθσ δφναμθσ του ελατθρίου.  Παράδειγμα. Σο ελατιριο ςτακεράσ k = 40N/m είναι ςυςπειρωμζνο κατά Δl1 = 4cm. Σο αφινουμε να αποςυμπιεςτεί μζχρι το φυςικό του μικοσ (Δl2=0), ςπρϊχνοντασ τθ ςφαίρα. Σο ζργο τθσ δφναμθσ που αςκεί το ελατιριο είναι:

WFελ = - ΔUελ WFελ

½ k Δl12 - ½ k Δl22

WFελ = ½ k Δl12 = 0,032J Σο ζργο αυτό μετατρζπεται ςε κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ:

Κσφ

ίρ ς

= WFελ = 0,032J

13. Η κινθτικι ενζργεια μετατρζπεται ςε δυναμικι και αντίςτροφα. Είναι και οι δφο ενζργειεσ του ίδιου «είδουσ» Η ενζργεια που ςχετίηεται με το ζργο δυνάμεων όπωσ το βάροσ, θ δφναμθ του ελατθρίου, οι θλεκτρικζσ δυνάμεισ κ.λ.π., λζγεται μθχανικι ενζργεια. Ζτςι, θ μθχανικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ ιςοφται με το άκροιςμα τθσ κινθτικισ και δυναμικισ του ενζργειασ:

Κ

U = Eμηχ

80



Όταν ςε ζνα ςϊμα δεν αςκοφνται άλλεσ δυνάμεισ εκτόσ από αυτζσ μου μετατρζπουν το ζνα ςυςτατικό τθσ μθχανικισ ενζργειασ ςτο άλλο, (π.χ. κινθτικι → δυναμικι), θ μθχανικι ενζργεια δεν αλλάηει.  Είναι ςαν να ζχουμε μία ποςότθτα νεροφ μοιραςμζνθ ςε δφο ποτιρια. Μεταφζροντασ νερό από το ζνα ςτο άλλο, αλλάηει το περιεχόμενο του κάκε ποτθριοφ, αλλά δεν αλλάηει θ ςυνολικι ποςότθτα… Ζτςι, οι δυνάμεισ που προαναφζραμε (βάροσ, δφναμθ ελατθρίου, θλεκτρικζσ…) δεν μποροφν να μεταβάλλουν τθν μθχανικι ενζργεια και ονομάηονται «ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ» Αντίκετα δυνάμεισ όπωσ θ τριβι, θ αντίςταςθ του αζρα, μετατρζπουν κινθτικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ ςε κερμότθτα, θ οποία δεν είναι κομμάτι τθσ μθχανικισ ενζργειασ. Λζμε ότι ι τριβι είναι μθ ςυντθρθτικι δφναμθ.

14. Πόςο γριγορα παράγεται θ καταναλϊνεται το ζργο; Η Ιςχφσ τθσ δφναμθσ... Η μετατροπι τθσ ενζργειασ από τθν μία μορφι ςτθν άλλθ γίνεται μζςω του ζργου των δυνάμεων. Η μετατροπι αυτι μπορεί να διαρκζςει περιςςότερο θ λιγότερο…  Ζνα αυτοκίνθτο ξεκινάει από τθν θρεμία με ςκοπό να αποκτιςει ταχφτθτα 100km/h. Ανάλογα με τθν «ιςχφ» του κινθτιρα του κα το πετφχει ςε 10s, 12s, 15s κ.λ.π. Η τελικι ενζργεια ςε κάκε περίπτωςθ είναι θ ίδια. Ο ρυκμόσ όμωσ με τον οποίο τθν απζκτθςε το αυτοκίνθτο είναι διαφορετικόσ… Ο ρυκμόσ με τον οποίο μία δφναμθ παράγει (θ καταναλϊνει) ζργο ονομάηεται Ιςχφσ (P) τθσ δφναμθσ:

Όμωσ το ζργο τθσ δφναμθσ είναι: 81



ΔW = Fx Δx Ζτςι, αντικακιςτϊντασ ςτθν προθγοφμενθ, ζχουμε:

Η ιςχφσ είναι μονόμετρο μζγεκοσ με μονάδα μζτρθςθσ ςτο διεκνζσ ςφςτθμα το Watt (=Joule/s).

82



Ερωτιςεισ – Αςκιςεισ Στισ παρακάτω αςκιςεισ όπου χρειάηεται, κεωρείςτε δεδομζνο ότι g =10m/s2. 1. Σα δφο κομμάτια πλαςτελίνθ του ςχιματοσ ζχουν ίςεσ μάηεσ m, και κινοφνται με ταχφτθτεσ ίςου μζτρου υ. Με ποια από τισ επόμενεσ προτάςεισ ςυμφωνείτε;

𝜐

m

𝜐

m

Α. Θα ζχουν και τα δφο τθν ίδια κινθτικι ενζργεια. Β. Θα ζχουν και τα δφο τθν ίδια ορμι και τθν ίδια κινθτικι ενζργεια. Γ. Θα ζχουν αντίκετεσ ορμζσ και αντίκετεσ κινθτικζσ ενζργειεσ. Δ. Σο αριςτερό ζχει μεγαλφτερθ κινθτικι ενζργεια από το δεξιό.

2. ΢το ςχιμα τθσ προθγοφμενθσ ερϊτθςθσ ιςχφει ότι: Α. Η ορμι του ςυςτιματοσ είναι μθδζν Β. Η κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ είναι μθδζν. Γ. Σα δφο ςϊματα ςυγκροφονται πλαςτικά. Μετά τθν ςφγκρουςθ, το ςυςςωμάτωμα κα κινθκεί προσ τα δεξιά Δ. Μετά τθν ςφγκρουςθ, θ κινθτικι τουσ ενζργεια δεν κα αλλάξει.

3. Ζνα ελατιριο είναι ςυςπειρωμζνο κατά Δl. Αν το είχαμε ςυμπιζςει ϊςτε να ζχει διπλάςια παραμόρφωςθ, θ αποκθκευμζνθ ενζργεια κα ιταν: Α. Διπλάςια Β. Μιςι Γ. Η ίδια Δ. Σετραπλάςια.

4. Με ποια-εσ από τισ επόμενεσ προτάςεισ ςυμφωνείτε; Α. Η τριβι ολίςκθςθσ που αςκείται ςε ζνα ςϊμα, μετατρζπει τθν κινθτικι του ενζργεια ςε δυναμικι. Β. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκείται τριβι, θ μθχανικι του ενζργεια δεν διατθρείται. Γ. Σο βάροσ είναι μία δφναμθ που δεν μεταβάλλει τθν μθχανικι ενζργεια ενόσ ςϊματοσ. 83



Δ. Όταν ςε ζνα ςϊμα αςκοφνται ςυντθρθτικζσ δυνάμεισ, διατθρείται θ κινθτικι του ενζργεια.

5. Ζνα αντικείμενο μάηασ m = 2kg, κινείται με ςτακερι ταχφτθτα μζτρου υ = 5m/s. Α. Πόςθ είναι θ κινθτικι του ενζργεια; Β. Ποιο είναι το μζτρο τθσ ορμισ του; Γ. Κάποια ςτιγμι δζχεται μία δφναμθ με αποτζλεςμα θ ταχφτθτα του να διπλαςιαςτεί. Πόςθ κα είναι θ καινοφρια τιμι τθσ κινθτικισ του ενζργειασ και ποια τθσ ορμισ του; Δ. Ποιο από τα δφο μεγζκθ μεταβάλλεται περιςςότερο;

6. Μία πζτρα μάηασ m = 200g βρίςκεται αρχικά ακίνθτθ ςε φψοσ 10 m πάνω από το ζδαφοσ. Σθν αφινουμε ελεφκερθ να πζςει. Όταν βρίςκεται ςε απόςταςθ h = 5m από το ζδαφοσ, θ ταχφτθτα τθσ ζχει μζτρο υ = 10m/s. Α. Πόςθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια και πόςθ κινθτικι ζχει ςτθν αρχικι τθσ κζςθ; Β. Τπολογίςτε τισ τιμζσ των δφο ενεργειϊν, όταν θ πζτρα βρίςκεται ςε φψοσ 5m από το ζδαφοσ. Γ. ΢υγκρίνετε τθν ςυνολικι ενζργεια που ζχει ςτισ δφο κζςεισ. Δ. Πόςθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια κα ζχει ςτο ζδαφοσ (ακριβϊσ πριν ςυγκρουςτεί); Πόςθ κα είναι τότε θ κινθτικι του; Ωσ επίπεδο αναφοράσ να κεωριςετε το ζδαφοσ.

7. Ζνασ ακλθτισ εκτελεί ελεφκερθ πτϊςθ από φψοσ 180m. Αν θ μάηα του είναι m = 80kg, υπολογίςτε: Α. Σθν αρχικι του δυναμικι ενζργεια. Β. Σο μζτρο τθσ ταχφτθτασ του, όταν κα ζχει πζςει κατά 20m. Γ. Σθν τιμι τθσ ταχφτθτασ με τθν οποία κα ζφτανε ςτο ζδαφοσ, αν δεν υπιρχε το ςχοινί που τον ςταματάει. Δ. ΢τθν (ατυχι) περίπτωςθ απουςίασ του ςχοινιοφ, πόςθ (μζςθ) δφναμθ κα δεχόταν από το ζδαφοσ όταν κα χτυποφςε ςε αυτό; Θεωρείςτε τθν χρονικι διάρκεια τθσ …πρόςκρουςθσ, Δt = 0,5s.

84



8. ΢το ελεφκερο άκρο του κατακόρυφου ελατθρίου του ςχιματοσ, τοποκετοφμε ζνα βαρίδι μάηασ m = 100g. Η ςτακερά του ελατθρίου είναι k = 25N/m. Σο ελατιριο ςυμπιζηεται κατά Δl το βαρίδι ιςορροπεί. Α. ΢τθν κζςθ όπου ιςορροπεί το βαρίδι, να ςχεδιάςετε και να υπολογίςετε τισ δυνάμεισ που δζχεται.

m Δl

k

Β. Πόςθ είναι θ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου; Γ. Πόςθ είναι θ ελαςτικι δυναμικι ενζργεια που ζχει αποκθκευτεί ςτο ςφςτθμα ελατιριο – βαρίδι; Δ. Θεωρϊντασ ωσ επίπεδο αναφοράσ τθν κζςθ ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ, πόςθ ιταν θ αρχικι βαρυτικι δυναμικι ενζργεια που είχε το βαρίδι; *Ε. Τπιρξαν απϊλειεσ μθχανικισ ενζργειασ μζχρι να ιςορροπιςει το βαρίδι;

9. ΢το κιβϊτιο του ςχιματοσ αςκείται μία οριηόντια δφναμθ μζτρου F = 20N. Η μάηα του είναι m = 4kg και ο ςυντελεςτισ τριβισ που εμφανίηει με το οριηόντιο επίπεδο είναι μ = 0,2.

s 𝐹

Α. ΢χεδιάςτε τισ όλεσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα και υπολογίςτε το μζτρο τθσ δφναμθσ τθσ Σριβισ. Β. Αν το κιβϊτιο μετακινείται ςε απόςταςθ s = 3m, υπολογίςτε το ζργο όλων των δυνάμεων που του αςκοφνται. Γ. Αν θ δφναμθ F αςκοφταν ςε διεφκυνςθ 60ο ωσ προσ το οριηόντιο επίπεδο, πόςο κα ιταν το ζργο τθσ για τθν ίδια μετατόπιςθ;

10. Ζνα μικρό ξφλινο πλακίδιο εκτοξεφεται ςε οριηόντια διεφκυνςθ πάνω ςε ζνα τραπζηι με ταχφτθτα μζτρου υ = 3m/s. Η μάηα του είναι m = 200g και ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ με το τραπζηι είναι μ = 0,3. Α. Πόςθ είναι θ κινθτικι του ενζργεια ςτθν αρχι τθσ κίνθςθσ και πόςθ όταν ςταματάει; Β. Που οφείλεται θ μεταβολι τθσ κινθτικισ του ενζργειασ; Τπολογίςτε το ζργο τθσ τριβισ. Γ. i) Πόςθ είναι θ τριβι που δζχεται; ii) Πόςθ είναι θ απόςταςθ που διζνυςε μζχρι να ςταματιςει; 85

Φυςικι Α’ Λυκείου 11. ΢το κεκλιμζνο επίπεδο του ςχιματοσ αφινουμε ζνα εργαςτθριακό αμαξάκι μάηασ m = 0,6kg να κινθκεί προσ τθν βάςθ του επιπζδου. Σο φψοσ ςτο οποίο βριςκόταν αρχικά το αμαξάκι ιταν h = 40cm.


m

h

k

κ

Α. Πόςθ κα είναι θ κινθτικι του ενζργεια όταν κα φτάςει ςτθν βάςθ του επιπζδου; Β. Με πόςθ ταχφτθτα κα κινείται εκεί; Γ. ΢τθν βάςθ του επιπζδου ςυναντάει ζνα οριηόντιο ελατιριο ςτακεράσ k = 120N/m ςτο οποίο χτυπάει ςυμπιζηοντασ το. Σθν ςτιγμι που ςταματάει ςτιγμιαία, πόςθ ενζργεια κα ζχει αποκθκευτεί ςτο ελατιριο; Δ. Ποια κα είναι τότε θ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου;

12. Ζνα μικρό αντικείμενο αφινεται να εκτελζςει ελεφκερθ πτϊςθ από φψοσ h = 20m. Nα υπολογίςετε τθν ταχφτθτα με τθν οποία φτάνει ςτο ζδαφοσ Α. Εφαρμόηοντασ τισ εξιςϊςεισ τθσ ελεφκερθσ πτϊςθσ Β. Εφαρμόηοντασ το κεϊρθμα μεταβολισ τθσ Κινθτικισ Ενζργειασ Γ. Εφαρμόηοντασ τθν αρχι διατιρθςθσ τθσ Μθχανικισ Ενζργειασ. Δ. Αν θ αντίςταςθ του αζρα δεν κεωροφταν αμελθτζα, ποιον – ποιουσ από τουσ προθγοφμενουσ τρόπουσ δεν κα μποροφςαμε να εφαρμόςουμε;

13. ΢το ςχιμα φαίνονται τρία αντικείμενα τα οποία τα εκτοξεφουμε από το ίδιο φψοσ, με ίδιο μζτρο ταχφτθτασ, ςε διαφορετικζσ διευκφνςεισ. Αν και τα τρία ζχουν τθν ίδια μάηα και θ αντίςταςθ του αζρα είναι αμελθτζα, ποιο από τα τρία κα φτάςει ςτο ζδαφοσ με ταχφτθτα μεγαλφτερου μζτρου; Αιτιολογείςτε τθν απάντθςι ςασ.

86

𝜐

𝜐

𝜐



14. Οι δφο όμοιεσ ςφαίρεσ του διπλανοφ ςχιματοσ βρίςκονται αρχικά ακίνθτεσ, ςτο ίδιο φψοσ πάνω από το ζδαφοσ. Θεωρϊντασ ςαν επίπεδο αναφοράσ το ζδαφοσ, χαρακτθρίςτε κάκε μία από τισ επόμενεσ προτάςεισ ωσ ςωςτι θ λανκαςμζνθ.

A

B

h

Α. Η ςφαίρα B ζχει μεγαλφτερθ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια από τθν A. Β. Και οι δφο ζχουν τθν ίδια βαρυτικι δυναμικι ενζργεια. Γ. Αφινοντασ τισ ελεφκερεσ να κινθκοφν μζχρι να φτάςουν ςτο ζδαφοσ, το ζργο του βάρουσ είναι μεγαλφτερο για τθν ςφαίρα A.

15. ΢το κεκλιμζνο επίπεδο του διπλανοφ ςχιματοσ, θ γωνία κλίςθσ είναι 30o. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςτο ςϊμα και ςτθν επιφάνεια του επιπζδου είναι

√

m

και θ μάηα

του ςϊματοσ είναι m = 1,2kg. Σο φψοσ ςτο οποίο βρίςκεται αρχικά το ςϊμα είναι h1 = 40cm.

h κ

Α. Πόςθ είναι θ βαρυτικι δυναμικι ενζργεια του ςϊματοσ; Β. Να υπολογίςετε το ζργο του βάρουσ και το ζργο τθσ τριβισ κατά τθν μετακίνθςθ του ςϊματοσ μζχρι τθν βάςθ του επιπζδου (θ απόςταςθ που διανφει μζχρι εκεί είναι 80cm). Γ. Πόςθ είναι θ ελάττωςθ τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ μζχρι το ςϊμα να φτάςει ςτθν βάςθ του επιπζδου; Δ. Πόςθ είναι τότε θ κινθτικι του ενζργεια; Για τα ερωτιματα Α, Γ, Δ, κεωρείςτε ωσ επίπεδο αναφοράσ i) τθν βάςθ του επιπζδου ii) τθν αρχικι κζςθ του ςϊματοσ. Συγκρίνετε τα αποτελζςματα.

16. Δφο αμαξάκια με μάηεσ m1 = 600g και m2 = 1200g, ακουμποφν ςτα δφο άκρα ενόσ ςυςπειρωμζνου ελατθρίου ςτακεράσ k = 60N/m. Η ςυςπείρωςθ του ελατθρίου είναι Δl = 6cm. Όλο το ςφςτθμα θρεμεί πάνω ςε οριηόντιο επίπεδο. 87

m1

k

m2



Α. Πόςθ ενζργεια είναι αποκθκευμζνθ ςτο ςφςτθμα ελατιριο – μάηεσ; Β. Πόςθ είναι θ ορμι του ςυςτιματοσ; Γ. Ελευκερϊνουμε το ελατιριο. Πόςθ κινθτικι ενζργεια και πόςθ ορμι κα ζχει το ςφςτθμα, όταν το ελατιριο αποςυμπιεςτεί εντελϊσ; Δ. Τπολογίςτε τα μζτρα των ταχυτιτων που κα αποκτιςει τότε το κάκε αμαξάκι. Ποιοσ είναι ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ενζργειασ του όταν ζχουν πλζον αποςπαςτεί από το ελατιριο; Θεωρείςτε τισ τριβζσ αμελθτζεσ.

17. Ζνασ εργάτθσ αςκεί με τθν βοικεια ενόσ ςχοινιοφ, δφναμθ μζτρου F = 200Ν ςτο κιβϊτιο του ςχιματοσ. Αρχικά το κιβϊτιο κ ιταν ακίνθτο. O ςυντελεςτισ τριβισ ανάμεςα ςε αυτό και το πάτωμα είναι μ = 0,5 θ μάηα του κιβωτίου m = 20kg, και θ γωνία που ςχθματίηει το ςχοινί με τθν οριηόντια διεφκυνςθ είναι κ = 30 ο. Σο ςκοινί ςπάει όταν το κιβϊτιο ζχει διανφςει απόςταςθ s = 4m. Ζτςι κινείται λίγο ακόμα και ςταματάει λόγω τθσ τριβισ. Α. ΢χεδιάςτε όλεσ τισ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςϊμα, πριν και μετά το κόψιμο του ςχοινιοφ (2 ςχιματα). Μετά, υπολογίςτε το ζργο κάκε μίασ από αυτζσ, μζχρι τθν ςτιγμι που κόβεται το ςχοινί. Β. Πόςθ είναι θ ταχφτθτα τθν ςτιγμι που κόβεται το ςχοινί; Γ. Με ποιο ρυκμό παράγει ζργο ο εργάτθσ και με ποιο ρυκμό καταναλϊνει θ τριβι, τθν ςυγκεκριμζνθ χρονικι ςτιγμι; Δ. Πόςθ απόςταςθ διανφει το κιβϊτιο μζχρι να ςταματιςει, μετά το ςπάςιμο του ςχοινιοφ; (Για τον υπολογιςμό χρθςιμοποιείςτε το Θ.Μ.Κ.Ε. ι τισ εξιςϊςεισ κίνθςθσ) Για τισ πράξεισ κεωρείςτε ότι √3≈1,725

18. Ζνα αμαξάκι μάηασ m = 1200g κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο με ταχφτθτα μζτρου υ1 = 4m/s. Κάποια ςτιγμι ςυγκροφεται πλαςτικά με ζνα αρχικά ακίνθτο κομμάτι ξφλου, ίςθσ μάηασ, το οποίο εμφανίηει ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ μ = 0,3 με το οριηόντιο επίπεδο. Σο ςυςςωμάτωμα που δθμιουργείται κινείται για απόςταςθ d και τελικά ςταματάει. 88



Α. Πόςθ είναι θ ορμι και πόςθ θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ πριν τθν ςφγκρουςθ; Β. Με τθν βοικεια τθσ Α.Δ.Ο., υπολογίςτε τθν ταχφτθτα που ζχει το ςυςςωμάτωμα αμζςωσ μετά τθν ςφγκρουςθ. Γ. Πόςθ κα είναι θ κινθτικι ενζργεια που κα ζχει το ςυςςωμάτωμα, αμζςωσ μετά τθν κροφςθ; Μποροφμε να ποφμε ότι θ κινθτικι ενζργεια διατθρικθκε; Δ. Τπολογίςτε τθν απόςταςθ που χρειάςτθκε το ςυςςωμάτωμα για να ςταματιςει. Ε. Πόςθ είναι θ μθχανικι ενζργεια που παρζμεινε τελικά ςτο ςφςτθμα των δφο ςωμάτων; Πόςθ είναι θ μθχανικι ςυνολικι ενζργεια που ζφυγε ςτο περιβάλλον με μορφι κερμότθτασ;

19. ΢το διπλανό ςχιμα, το κεκλιμζνο επίπεδο είναι λείο και φτιαγμζνο d με τζτοιο τρόπο ϊςτε να μποροφμε h να μεταβάλουμε το φψοσ του h. Σο οριηόντιο επίπεδο εμφανίηει τριβι. Αφινουμε ζνα πλακίδιο να γλιςτριςει ςτο κεκλιμζνο επίπεδο και τελικά να ςταματιςει ςε απόςταςθ d από τθν βάςθ του επιπζδου, λόγω τριβισ. Αν αφιςουμε το ίδιο πλακίδιο από διπλάςιο φψοσ, θ απόςταςθ d’ που κα χρειαςτεί για να ςταματιςει κα είναι: Α. Κδια

Β. Η μιςι

Γ. Η διπλάςια

Επιλζξτε τθν ςωςτι απάντθςθ και αιτιολογείςτε τθν επιλογι ςασ.

20. ΢ε ζνα ςϊμα μάηασ m = 3,3kg που αρχικά θρεμεί, αςκοφμε μία οριηόντια δφναμθ μεταβλθτοφ μζτρου που μεταβάλλεται ςφμφωνα με τθν εξίςωςθ. F = 5+2·x (S.I.), όπου x είναι θ μετατόπιςθ του ςϊματοσ. Α. Ποια είναι θ τιμι τθσ δφναμθσ όταν θ μετατόπιςθ είναι x1 = 2m και ποια όταν το ςϊμα ζχει μετακινθκεί κατά x2 = 6m; Β. Φτιάξτε ςε ζνα ςφςτθμα αξόνων τθν γραφικι παράςταςθ τθσ δφναμθσ F ςε ςχζςθ με τθν μετατόπιςθ x. Γ. Με τθν βοικεια τθσ γραφικισ παράςταςθσ που φτιάξατε, υπολογίςτε το ζργο τθσ δφναμθσ, όταν το ςϊμα ζχει μετατοπιςτεί κατά 6m. Δ. Γνωρίηοντασ ότι κατά τθν διάρκεια τθσ κίνθςθσ του ςϊματοσ δεν του αςκείται καμία άλλθ δφναμθ, υπολογίςτε τθν ταχφτθτά του τθν ςτιγμι που ζχει μετακινθκεί κατά 6m. 89

Σημειώσεις Φυσικής Α' Λυκείου

Recommend Documents