Μαθηματικά Γ γυμνασίου Βοηθητικό υλικό του σχολικού βιβλίου
Μέρος Α Κεφάλαιο 1ο Αλγεβρικές παραστάσεις
Σέρρες 2012
Σελίδα 2 από 27
§ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις – συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί και τι ονομάζεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού. Εμπεδώνω τις τεχνικές των τεσσάρων πράξεων μεταξύ πραγματικών αριθμών και τις βασικές ιδιότητές τους. • Εφαρμογή 1η Να υπολογίσετε την παράσταση: K = −5 + 3 − (−2)×(−3) − (−5 − 7): (−3) Λύση K = −5 + 3 − (−2)×(−3) − (−5 − 7): (−3) = −5 + 3 − (−2)×(−3) − (−12): (−3) = 14 2 43 14 2 43 1 4 2 4 3 = −5 + 3 − (+6) − (+4) = −5 + 3 − 6 − 4 = 3 − 15 = −12 •
Εφαρμογή 2η
Να γίνουν οι ακόλουθες πράξεις: Λύση
5 1 1 5 1 2 + 3 × − × ÷ − : 3 4 2 6 6 5
3 1 5 1 1 5÷ 1 2 5 1 5 ÷ 1 2 1 5 1 2 5 + 3 × − × ÷ − : = + 3 × − ÷ − : = + 3 × − ÷− : = 3 2 6÷ 6 5 3 4 212 4 12 6 5 3 3 ÷ 6 5 4 { 1 5 5 1 2 5 3 2 1 2 5 2 1 5 = + 3 × − ÷ − : = + 3 × − ÷ − : = + 3 × − ÷− × = 3 6 5 3 12 12 6 5 3 12 { 12 6 2 = •
5 6 5 20 6 5 20 − 6 − 5 9 3 − − = − − = = = 3 12 12 12 12 12 12 12 4 Εφαρμογή 3η
1 2 × − ÷ 3 Να υπολογίσετε την παράσταση: Λ = 1 − 7 2− 2 Λύση 1 1 2 2 2 × − ÷ 2 × − ÷ − − 3 3 3 = 1− 3 = 1− + 4 = 1− 4 = 9 − 4 = 5 Λ =1− = 1 − 2( = 1− ÷ 7 4−7 3 9 9 9 9 2− − 2 7 − 2 2 2 1 2 η • Εφαρμογή 4
Σελίδα 3 από 27
∆ = 2 ×( 3α + 2δ ) − 3 ×β ( + γ − 5), Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: όταν 2α-β = 7 και 3γ – 4δ = -5. Λύση ( + γ − 5) = 6α + 4δ − 3β − 3γ + 15 = Έχουμε : ∆ = 2 ×( 3α + 2δ ) − 3 ×β = ( 6α − 3β ) + ( 4δ − 3γ ) + 15 = 3 ×(2α − β) − (3γ − 4δ) + 15 = 3 ×7 − (−5) + 15 = = 21 + 5 + 15 = 41
ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν. Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα. Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ονομάζεται η απόσταση του -α α σημείου που παριστάνει τον αριθμό α 0 από την αρχή του άξονα και α α συμβολίζεται με α .
Παραδείγματα
−5 = 5 , +5 = 5 , 0 = 0 ,
−
2 2 2 2 = , + = . 3 3 3 3 Ασκήσεις
(1)Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) -5 - 7 = … γ) −3 ×(−5) = … 2 ε) −3 × = …. 5 (2)Να κάνετε τις πράξεις : α) −3 + 5(−2) − 6 : ( −2) γ) 2 − [ 1 − (5 − 7)]
β) 3 – 5 = … δ) −2 ×(+5) = … 5 1 στ) − ÷ : − ÷= …. 2 2 β) 1 − 2(3 − 7) − (−2 + 5)×(−4): (−6) − 1 δ)
5 − 2 [ 3 − (5 − 7)]
(3)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : 1 1− 5 1 2 β) α) 1 − 3 × − 5 1 − ÷ 2 2 4 −1 3 (4)Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
Σελίδα 4 από 27
2 −1 γ) 1− 5 3
Α = xy + 3x − 5(x + y) − 11
για χ = -2 και ψ = 3 . (5)Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : για y = 3 .
Β = x(2 − y) + 3x − 5(x − y) + xy
(6)Αν x = − 5 − 3 και y = − 1 − 2 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις : x α) Κ= 1 + 3x − 5y − 2xy β) Λ = 1 − 5(x − 3y) + y (7)Να απλοποιήσετε την παράσταση : Β = 2x − 3 [ x − (2x − y)] − y και μετά να βρείτε την τιμή της για χ = 0 ,2 και y = 0,25 (8)Να αποδείξετε την ισότητα : α − β(2 − 3) − 2(3β − α ) = 2 − (5β + 2) − 3(−α ) (9)Αν α + β = -1 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις : α) 1 − 3(α − 2β) + (2 − 9α )(2 − 3) β) α − β(−2 + 13) − 2(α − 5β) − 5 (10) Αν α + β = - 2 και β – γ = 5 , να υπολογίσετε την παράσταση : Α = -5γ - 8(2 - β) - 3(β - γ) + 3α Β Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Διδακτικοί στόχοι Εμπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάμεων. Χρησιμοποιώ τις ιδιότητες των δυνάμεων στον αριθμητικών παραστάσεων. Εφαρμόζω την προτεραιότητα των πράξεων στον αριθμητικών παραστάσεων . • Εφαρμογή 1η Να εφαρμόσετε τις ιδιότητες των δυνάμεων : α) 25 ×23 β) (−3)2 ×(−3)3 γ)
( −3 )
2
ε)
( 2x )
3
: ( −3 )
9 δ) ( −3)
3
στ) ( −3) : α
Λύση α) 25 ×23 = 25+3 = 28 2+ 3 5 = ( −3 ) = −35 β) (−3)2 ×(−3)3 = ( −3 ) 1
2 −3
γ) (−3) : (−3) = (−3) 2
3
3
1 1 = (−3) = − ÷ = − 3 3 −1
Σελίδα 5 από 27
4
υπολογισμό υπολογισμό
3
9 9×3 27 δ) ( −3) = ( −3) = ( −3 ) = −327
ε)
( 2χ )
3
= 23 ×χ3 = 8χ3 −4
4
a 4 a4 3 a στ) ( −3) : α = − ÷ = − ÷ = + 4 = 3 81 a 3 4
ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ
Δεν υπάρχουν ιδιότητες για τις παραστάσεις : α µ + α ν και α µ − α ν . ν Υπάρχει διαφορά μεταξύ των συμβολισμών : ( −α ) και −α ν . •
Εφαρμογή 2η
3 2 2 Να υπολογιστεί η παράσταση: A = (−2) − 5 + ( 3 − 4) : 5 − 11 Λύση A = (−2)3 − 52 + ( 32 − 4) : 5 − 11 = (−2)3 − 52 + ( 9 − 4 ) : 5 − 11 = 14 2 43 3 2 2 = (−2)3 − 52 + 5 − 11÷ = ({ −2)3 − 5 {: 5 − 11÷ = (−2) − 5 + 1{ { + ( −10 ) =
= − 8 − 25 – 10 = −43
• Εφαρμογή 3η Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις : Λύση
β) ( 10−2 ) ×109 ×x = 102 3
α) 10−3 ×x = 105 Λύση −3
α) 10 ×x = 10 ή 5
105 x= 10−3
ή x = 105−(−3) , άρα x = 108
β) ( 10−2 ) ×109 ×x = 102 ή 10−6 ×109 ×x = 102 ή 10−6+9 ×x = 102 ή 3
103 ×x = 102 ή x =
1 102 = 102−3 = 10−1 , άρα χ = 3 10 10
Ασκήσεις (1)Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Αριθμό ς Δύναμη
9
1 8
27
16 81
32
Σελίδα 6 από 27
144 169
1 121
8 27
(2)Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β Στήλη Β 1. 9
Στήλη Α α)
( −3 )
2
β) −23 γ) −32 δ) 3 − ( −2 )
2. 6 3. -9
α. β. γ. δ.
4. -8 5. 8
(3)Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη . α) 35 ×3−7 β) 26 : 2−3 γ)
(2 )
ε)
125 = …. 45
−5 −2
δ) 25 ×35
…
(4)Να γράψετε καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη . α) 8 ×25 β) 9 ×3−5 7 γ) ( −2) ×16 … δ) (−3)2 ×35 ε)
125 = …. (−3)5
(5)Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α , το αποτέλεσμά της από τη στήλη Β
Σελίδα 7 από 27
Στήλη Β 1 1. 9 2. 1 1 3. 9
Στήλη Α α)
( −1)
2009
β) −3−2 γ) 9−4 ×38 δ) ( 35 : 3) : 36
α. β. γ. δ.
4. -1 5. 9
(6)Να υπολογίσετε την παράσταση: A = (−9)2 + 43 − (−2)3 − ( 23 − 4 ) : 2 − 6 (7)Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις ως μια δύναμη Α= 377 + 377 + 377 Γ= 259 − 229
Β = 2102 − 2101 − 2100 Δ = 217 ×318 − 218 ×317
(8)Να κάνετε τις πράξεις: 10 2 2 2 α) − ÷ : − ÷ 3 3
3
55
β)
8 ( −2) 7 × − 1 ÷ 2
(9)Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις: α) 1012 ×x = ( 102 )
−1
β) ( 10−2 ) ×109 ×x = 102 3
(10) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης A = α 2 − 2αβ3 − 3α 3β για : 1 α) α = - 1 και β = -2 β) α = -2 και β = − 2 (11) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: K = 3x − 3x +1 − 3x −1 − x5 , όταν x = −1
Σελίδα 8 από 27
(12) Να βρείτε τον φυσικό αριθμό κ , ώστε να ισχύουν οι ισότητες: κ
2 κ+1
1 1 α) ÷ = 16 2
2 β) ÷ 3
=
8 27
Γ Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Διδακτικοί στόχοι Να θυμηθώ τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας και τις άμεσες συνέπειές του Να γνωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και να μάθω να τις χρησιμοποιώ Να αποδεικνύω τις ιδιότητες των ριζών • Εφαρμογή 1η Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) 5 3 + 4 3 − 2 3 β) 45 + 4 5 − 125 Λύση α) 5 3 + 4 3 − 2 3 = (5 + 4 − 2) 3 = 7 3 β)
9 ×5 + 4 5 − 25 ×5 = 9 × 5 + 4 5 − 25 × 5 = 3 5 + 4 5 − 5 5 = = ( 3 + 4 − 5) 5 = 2 5
ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ
Προσοχή
!!!!
(−6)2 ≠ −6
Δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού Προσοχή !!!! α + β ≠ α + β Ασκήσεις (1)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες α) 3 × 5 = 15 β) 3 + 7 = 10 γ) δ)
16 4 = 25 5 8 =2 2
Σελίδα 9 από 27
(2)Να κάνετε τις πράξεις : 8 2 3 α) β) 2 27
γ)
6 30 5
δ)
2 45 5
ε)
5 27 12
(3)Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) 12 − 75 − 2 300 β) 8 − 27 + 12 − 200 (4)Να απλοποιήσετε την παράσταση : Α = (5)Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 × 3 8 − 50 γ)
(
(
)(
)
3+ 2 × 3− 2
20 − 2 8 + 3 12 45 − 2 18 + 3 27
(
β) 3 × 5 12 − 27
)
(
)(
δ) 1 − 5 × 1 + 5
)
)
(6)Να βρείτε ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι διαφορετικός από τους άλλους 1 3 2 1 3 α) , , , , 3 3 12 3 3 β) 3 8 ,
72 , 2 18 , 6 2 , 3 2 , 2 3 × 6
(7)Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ίσοι 4 1 2 i. α = 8 , β = , γ=2 2 , δ= , ε= , στ = 2 2 2 ii. α = 3+ 3 , β = 2 3 × 3 , γ = 12 , δ = 3 + 3 ,
2 4
ε = 27 − 3 (8)Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων : Α = 21 + 13 + 7 + 3 + 1
,
Β = 57 + 44 + 15 + 99 + 1
(9)Να συμπληρώσετε το διπλανό τετράγωνο ώστε να γίνει «μαγικό» (Υπόδ: Το άθροισμα γραμμών, στηλών και διαγωνίων να είναι σταθερό. Εδώ: 128+ 50+ 8=.... = 15 2 ) (10) Να λύσετε τις εξισώσεις : x 5 = 8 α) 7 + 2x = 28 + x , β) 2
Σελίδα 10 από 27
32
128 50
8
(11) Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 6 και 8 αντίστοιχα . Να βρεθεί η πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδόν ίδιο με αυτό του ορθογωνίου. § 1.2
Μονώνυμα – Πράξεις με μονώνυμα
Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω τι είναι αλγεβρική παράσταση και πώς να βρίσκω την αριθμητική τιμή της. Διακρίνω αν μια αλγεβρική παράσταση είναι μονώνυμο και προσδιορίζω το βαθμό του. Μαθαίνω να προσθέτω , να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ μονώνυμα. Α Αλγεβρικές παραστάσεις – Μονώνυμα •
Εφαρμογή 1η
Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμ ο 2 7xψ
Συντελεστ ής
3
3 −2xψ 1 4 x 3 2
•
Κύριο μέρος
Βαθμός ως προς χ 2
Βαθμός ως προς ψ 3
Βαθμός ως προς χ και ψ
7
2 xψ
-2
3 xψ
3
1
4
1 3 2
x4
4
0
4
-
0
0
0
3
5
Εφαρμογή 2η
Να προσδιορίσετε την τιμή του φυσικού αριθμού λ, ώστε το λ λ−2 μονώνυμο 2xψ να έχει αριθμητική τιμή 64 για χ = -1 και ψ = -2 Λύση Πρέπει: 2 ×(−1)λ ×(−2)λ−2 = 64 (−1)λ ×(−2)λ−2 = 32 (−1)λ ×(−2)λ ×(−2)−2 = 32 1 (−1)λ ×(−2)λ × = 32 4 λ λ (−1) ×(−2) = 128
[ (−1)×(−2)] = 128 λ ( +2) = 128 λ
2λ = 128 Σελίδα 11 από 27
2λ = 27 λ=7 Άρα λ = 7 ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Κάθε σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. Στο μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ασκήσεις (1)Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Α) Μονώνυμο λέγεται η ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ των …………………………. σημειώνεται μόνο η πράξη ………………. Β) ………… του μονωνύμου λέγεται ο αριθμητικός παράγοντας του μονωνύμου. Γ) Κύριο μέρος του μονωνύμου λέγεται το γινόμενο ……. των …… με τους αντίστοιχους…….. Δ) Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται ……………….. μονώνυμα Ε) Το σταθερό μονώνυμο 0 λέγεται ……….. μονώνυμο. (2)Ένα ορθογώνιο έχει τριπλάσιο μήκος από το πλάτος του χ. Το μονώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του είναι : Α) 3x
Β) 3x2
Γ) x2
Δ) 4x
(3)Η Μαρία έχει χ ευρώ , ενώ η Ελένη έχει 2 ευρώ λιγότερα από το τριπλάσιο ποσό της Μαρίας . Η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι : Α) x − 2
Β) 3x + 2
Γ) 3x
Δ) 3x − 2
(4)Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και μεταβλητές χ, ψ. Να προσδιορίσετε το μονώνυμο, αν ο βαθμός του ως προς χ είναι 3 και ως προς χ και ψ είναι 7. (5)Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης A = 2χψ − χ 2 + 3χψ 2 για χ = -3 και ψ = 2 . (6)Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Β = χ 2ψ 5 + 2χ 3 ψ 2 για χ = -3 και ψ = -1 Β Πράξεις με μονώνυμα ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ Αν τα μονώνυμα δεν είναι όμοια, το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο. Το πηλίκο μονωνύμων δεν είναι απαραίτητα μονώνυμο .
Σελίδα 12 από 27
Ασκήσεις (1)Να αντιστοιχίσετε τα δεδομένα της 1ης στήλης με τα δεδομένα της 2ης στήλης Στήλη Α Στήλη Β 2 2 α) 4χ ψ + 2ψ χ 1) 4χψ 2 β) 4ψ 2 χ + 2χψ 2 γ) ( 4χ 2ψ ) ×( 2ψ χ2 )
2) 8χ 3 ψ 3 3) 6χ 2 ψ 3
δ) ( 4χ 2ψ ) : ( 2ψ χ2 )
4) 2
2 2 ε) ( 4χ ψ ) : ( 2χψ )
5)
2χ ψ
6) 6χ 4 ψ 2 7) Δεν γίνεται πράξη
α. β. γ. δ. ε. (2)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με ( Σ) αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λάθος Α) Το γινόμενο όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο προς αυτά. Β) Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο προς αυτά. Γ) Το πηλίκο όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο. (3)Να υπολογίσετε τα γινόμενα: 3 2 3 α) 3χ ψ ×( −5χ ψ ) 2 3 γ) 3χ ×( −2χ ) ×5χ
(4)Να υπολογίσετε τα πηλίκα:
Σελίδα 13 από 27
β)
−α2β ×(−2αγ3 )×5α3β2
α)
3 2 1 2 χ :− χ ÷ 4 4
β)
(5)Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) 6χ 3 : ...... =3χ 2χ5 ψ 2 χ3 = γ) ........ 5ψ
6χ 3 ψ 4 : ( −2χ 2 ψ )
β) −3α2β ×........ = 15α3β4
(6)Να βρείτε τις τιμές των κ , λ ώστε να ισχύουν οι ισότητες : 3κ −1 λ κ 2 3 α) ( −15χ ψ ) : ( −3χ ψ ) = 5χ ψ β)
( 4α
2κ −1 3λ
β
) : ( 12α
κ +2
βλ +1 ) =
2 3 αβ 3
(7)Να βρείτε τις τιμές των κ , λ , μ ώστε να ισχύουν οι ισότητες : λ 2 μ 5 α) ( κχ ψ ) ×( 3χ ψ ) = −12χ ψ β)
( 12χ
3λ
ψ2κ ) : ( μχλ ψκ ) = −3χ4 ψ3
(8)Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες 3χ και 4χ αντίστοιχα . Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων .
Σελίδα 14 από 27
§ 1.3
Πολυώνυμα – Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διδακτικοί στόχοι Να διακρίνω αν μια αλγεβρική παράσταση είναι πολυώνυμο, να προσδιορίζω το βαθμό του και να γνωρίζω πότε δύο πολυώνυμα είναι ίσα. Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυμα. Χρησιμοποιώ την αναγωγή ομοίων όρων για την απλούστερη γραφή μιας αλγεβρικής παράστασης. Ασκήσεις (1)Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Α) Πολυώνυμο λέγεται μια …………………………………. παράσταση που είναι …………………….. τουλάχιστον δύο μη ομοίων πολυωνύμων. Β) Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ……………………….. μονώνυμα. Γ) Αν το πολυώνυμο P(x) είναι 2ου βαθμού τότε έχει τη μορφή P(x) =…………… . και ……. Δ) Η τιμή του πολυωνύμου για χ = 1 είναι ίση με το ……………… των συντελεστών του . Ε) Το ……………………………. πολυώνυμο δεν έχει βαθμό. (2)Να γίνουν οι αναγωγές ομοίων όρων στις ακόλουθες παραστάσεις: Α = 7x2 − 3x 4 + 5x 3 − 5x 4 + 6x 2 + 7x − 9 + 12x 3 Β = 3αx2 − 2αx − 7α2 x + 9αx2 − 11αx Γ = 5χψ + 3χ(χ + ψ) − 7ψ 2 (χ 2 + 2) + 3χ 2ψ 2 (3)Αν P(x) = 2x2 + 3χ − 1 , Q(x) = − x3 + 2x − 1 και H(x) = x2 + 2x , να βρεθούν τα πολυώνυμα: α) P(x) + H(x) β) P(x) − Q(x) γ) P(x) − [ Q(x) − H(x)] δ) P(− x) + Q(−2x) (4)Αν P(x) = 2x2 + 3χ − 1 και Q(x) = x2 − x , να βρεθούν τα πολυώνυμα: α) P(x) + Q(x) β) P(x) − Q(x) γ) P(2x) + Q(3x) δ) P(− x) + Q(−2x) (5)Αν P(x) = 4x2 − 3x και Q(x) = 36x2 + 9x να αποδείξετε ότι: P(3x) − Q(− x) = 0 § 1.4
Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων
Διδακτικοί στόχοι
Σελίδα 15 από 27
Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω μονώνυμο με πολυώνυμο και πολυώνυμο με πολυώνυμο. Ασκήσεις (1)Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. 2 + 6+ είναι ίσα, Τα πολυώνυμα P(x) = ( x − 2) ×( x − 3) και Q(x) = axβx όταν: α) α =1 και β = 5 β) α =2 και β = 3 γ) α =1 και β=-5 δ) α=-5 και β =1 (2)Αν P(x) = 2χ2 − χ − 1 και Q(x) = 3χ − 2 , να βρείτε τα πολυώνυμα: α) P(x)×Q(x) β) P(x)×[ Q(x) − 3x(x + 1)] γ) [ P(x) − 1] ×[ Q(x) − x ]
(3)Να κάνετε τις πράξεις: 2 α) x + ( 3x − 2) ( 1 − x )
x − ( 2x − 1) ×(x − 3)
β)
γ) x − 3x(x − 2) − (x − 1)×(1 − 3x) 2
ε) ( x − 1) ×(2x − x)×(2x + 1)
δ) 3x ( x − 1) ×(2x − 3)
2
(4)Να υπολογίσετε το γινόμενο (χ+2)(χ+3) και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά βλέποντας το διπλανό σχήμα.
2 x
2x x2 x
6 3x 3
(5)Να αποδείξετε τις ισότητες: α) 5x − 2x(3x − 1) − (6x − 1) ×(1 − x) = 1 β) 3β2 − 2α(α + 3β)− 3(α + β)×(β − 2α)− 4α2 = − 3αβ (6)Να παραστήσετε με ένα πολυώνυμο το εμβαδόν Ε1 του διπλανού σχήματος.
2χ+ 3
χ+1
χ
Ε1
2χ+ 3
(7)Με ποιο πολυώνυμο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 5χ - 2, ώστε το γινόμενό τους να είναι το πολυώνυμο 10χ 2 − 9χ + 2 . § 1.5
Αξιοσημείωτες ταυτότητες
Διδακτικοί στόχοι Γνωρίζω πότε μια ισότητα λέγεται ταυτότητα. Γνωρίζω τις βασικές ταυτότητες.
Σελίδα 16 από 27
Μπορώ να αποδεικνύω και να χρησιμοποιώ τις βασικές ταυτότητες. Αποδεικνύω άλλες απλές ταυτότητες. • Εφαρμογή 1η Να αποδείξετε ότι : 2 2 ( α + β) + ( α − β) ( α + β) − ( α-β) = α ( 2β + α ) + β ( 2α − β) Λύση A΄ Μέλος: 2 2 ( α + β) + ( α − β) ( α + β) − ( α-β) = α2 + 2αβ + β2 + ( α2 − β2 ) − ( α2 − 2αβ + β2 ) = = α2 + 2αβ + β2 + α2 − β2 − α2 + 2αβ − β2 = = α2 + 4αβ − β2 Β΄ Μέλος: α ( 2β + α ) + β ( 2α − β) = 2αβ + α2 + 2αβ − β2 = α2 + 4αβ − β2 Επειδή καταλήγουμε στην ίδια παράσταση η ταυτότητα ισχύει . • Εφαρμογή 2η Αν α + β = 1 να αποδείξετε ότι: α3 + β3 + 3αβ = 1 Λύση Είναι: λόγω
α3 + β3 + 3αβ = ( α + β) − 3αβ(α + β) + 3αβ 3
της
=
(1)
13 − 3αβ ×1 + 3αβ = 1
ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ
α2 + β2 = (α + β)2 − 2αβ I Δύο πολύ χρήσιμες ταυτότητες α3 + β3 = (α + β)3 − 3αβ(α + β) Ασκήσεις (1)Για τους οποιουσδήποτε αριθμούς χ , ψ να αντιστοιχίσετε σε κάθε έκφραση της στήλης Α τη συμβολική γραφή από τη στήλη Β Στήλη Α
Στήλη Β 2 ( xψ+
)
α. Το διπλάσιο γινόμενό τους
1.
β. Το τετράγωνο του αθροίσματος τους
2. 2χψ
γ. Το άθροισμα των τετραγώνων τους
3.
δ. Το τετράγωνο του γινομένου τους .
2 2 4. χ + ψ
ε. Το διπλάσιο του αθροίσματός τους .
5.
στ. Το διπλάσιο του τετραγώνου του αθροίσματός τους .
6.
( xψ+ )
2
2
( xψ× ) 2 ( xψ+ ) 2
(2)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.
Σελίδα 17 από 27
( −α + β ) = ( β − α ) 2 2 ( −α + β ) = ( α − β ) 3 3 ( −α + β ) = − ( α − β ) 3 3 ( −α − β ) = − ( α + β ) 2 2 ( −α − β ) = ( α + β ) ( −α − β) ×( α − β) = − ( α + β) ×( α − β) 2
1. 2. 3. 4. 5. 6.
2
= − ( α2 − β2 )
(3)Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) αν είναι σωστές ή με (Λ) , αν είναι λανθασμένες.
( α + β) = α2 + β2 2 ( α − β) = α2 − β2 3 ( α − β) = α3 − β3 3 ( α + β) = α3 + β3 ( α + β) ×( α + β) = α2 + β2 2
1. 2. 3. 4. 5.
(4)Να βρείτε το τελικό αποτέλεσμα στις παρακάτω παραστάσεις: α)
( 2χ − 7)
γ)
(2
ε)
(
2
β)
)(
3− 2 ×2 3+ 2
) ( 2
5 +1 −
)
)
δ)
(
(2
3− 2
3− 2
)
2
) +( 2
3+ 2
2
5 −1 − 4 5
(5)Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 2 1. ( χ L ....) = ... + ... +25 2. 3. 4.
2 − .... L ( K L 3ω ) = .... 2 ( K + ...) = 9χ 2 L 12χψ 2 ( ...L 3α) = ... − 30χ2α 2
L ... L
....
(6)Να κάνετε τις πράξεις: 2 2 α) 3χ+ ( 1 − ) χ− ( 2− ) γ) χ − 3χ ( 2χ − 1)
β) 1 + 2χ ( χ − 3)
δ) χ 2 − ( 2χ − 1) ×( χ + 1)
2
(7)Να αποδείξετε τις ταυτότητες: 2 2 i. ( α + β) − ( α - β) = 4αβ ii. iii.
4α ( α -1) − ( 2α - 1) = − 1 2
(α
2
2
− 3 ) − ( α − 1) ×( α3 − 6α ) = α ( α2 − 6) + 9 2
Σελίδα 18 από 27
2
)
2
iv.
(α
2
+ 1) ×( χ 2 + 4) − ( 2α − χ ) = 2
( αχ + 2)
2
(8)Να κάνετε τις πράξεις: 3 α) χ 3 − ( χ − 1) − 3χ ( χ − 2) β) −10χ 2 + 2 ( χ + 3 ) − ( 2χ − 1) 3
2
(9)Να αποδείξετε τις ταυτότητες: 3 3 i. ( α + β) − ( α - β) − 6α2β = 2β3 2α ( 2α -1) − ( 2α - 1) − 4α2 = 1 − 4α 2
ii.
3
(10) Να κάνετε τις πράξεις: ) ×( 7+ ) α) 5χ+ ( 7− χ
β) 1χ− ( 1− )χ×( 1+
) 2 δ) 1 − 3χ ( 2χ − 1) − ( 3 − χ ) ×( − χ − 3)
γ) 2χ2 − ( χ − 4) − ( χ − 2) ×( 2 + χ ) 2
(11) Να βρείτε τα αναπτύγματα: α)
β) ( χ − 1) ×( χ 2 + χ + 1)
( χ + 2) ×( χ 2 − 2χ + 4)
γ) ( 3ω+ 1) ×( 9ω2 − 3ω + 1) (12) Αν α + β = - 2 και αβ = -3, να υπολογίσετε τις παραστάσεις α) α + β2 2
β) α + β3
γ) 2 ( α − β)
3
1 = 4 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: χ α) β) 1 1 χ2 + 2 χ3 + 3 χ χ 5 65 3 3 (14) Αν α + β = και α + β = να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β 2 8 είναι αντίστροφοι. (13) Αν χ +
(15) Δείξτε ότι ο αριθμός 1872 − 1722 είναι πολλαπλάσιο του 15. (16) Αν χ = 11 + 3 , ψ = 11 − 3 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= χ 2 − 3χψ + ψ 2 . (17) Να δείξετε ότι η παράσταση:
Α= ( χ 3 + ψ 3 ) − ( χ 3 − ψ 3 ) − 4χ 2 ( χψ 3 + 1) + 4χ 2 + 3 2
2
είναι ανεξάρτητη των χ, ψ .
Σελίδα 19 από 27
(18) Αν
( α − β)
3
= 3αβ(β − α) τι συμπεραίνετε για τους α, β;
(19) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Κ = (α + β)2 − ( α − β) και στη συνέχεια να υπολογίσετε την παράσταση: 2
2
999 1000 2 999 1000 ( + ) − − ÷ 1000 999 1000 999
§ 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Διδακτικοί στόχοι Μετατρέπω αλγεβρικές παραστάσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Α) Κοινός παράγοντας π.χ. 3 xψ −x 2 xψ = x i. 2xα ( −β
ii.
) − α(
(
2 ψ −
−β
)
)
=2x α ( −β
) −1 ×α(
−β
) = α(
−β
) ×2x (
−1
Β) Κοινός παράγοντας κατά ομάδες ( Ομαδοποίηση ) π.χ. x3 − 2x2 + x − 2 = ( x3 − 2x2 ) + ( x − 2) = x2 ( x − 2) + 1 ×( x − 2) = i. = ( x − 2) ×( x2 + 1)
ii.
( x − 1) − x + 1 = ( x − 1) + ( − x + 1) = ( x − 1) = ( x − 1) ×( x − 1) − 1 = ( x − 1) ×( x − 2) 2
2
2
− ( x − 1) =
Γ) Διαφορά τετραγώνων 2 2 • α − β = ( α + β) ×(α − β) π.χ. 2 4x2 − 1 = ( 2x ) − 12 = ( 2x − 1) ×( 2x + 1) Δ) Διαφορά – άθροισμα κύβων 2 2 2 2 • α3 + β3 = ( α + β) ×(α − αβ + β ) • α3 − β3 = ( α − β) ×(α + αβ + β ) π.χ. 3 3 3 2 2 2 i. α − 27 = α − 3 = ( α − 3 ) ×( α + 3α + 3 ) = ( α − 3 ) ×( α + 3α + 9 ) ii.
3 2 8χ 3 + 1 = ( 2χ ) + 13 = ( 2χ + 1) ×( 2χ ) − 2χ ×1 + 12 = ( 2χ + 1) ×( 4χ 2 − 2χ + 1) Ε) Ανάπτυγμα τετραγώνου 2 2 • ( α + β) = α2 + 2αβ + β2 • ( α − β) = α2 − 2αβ + β2
π.χ.
Σελίδα 20 από 27
)
α2 − 4α + 4 = α2 − 2 ×2 ×α + 22 = ( α − 2)
i.
2
25χ 2 − 30χψ + 9ψ 2 = ( 5χ ) − 2 ×5χ ×3ψ + ( 3ψ ) = ( 5χ − 3ψ ) 2
ii.
2
Συνδυασμός των προηγούμενων περιπτώσεων π.χ. 2 2 2 2 2 4 − xψ − 2χψ + 4= +χ( − ψ − 2χψ + 4 − ) = χ− ( ψ2 + 2χψ 2 = 2χ − (ψ −
) 2= χ − (ψ − )2 × χ+ (ψ − ) 2= (χ 2
2
)
− ψ + 2) ×(χ + ψ −
Ασκήσεις (1)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: 2 i. 15α3β γ − 5α2β3 γ2 − 20α4β4 γ3 x ii. 12x2 y + 6xy2 − 3xy iii.
( 2x + yα) −2x(
y+
−( ) 2x
y+
)
2
iv.
( 4α − 2β) ×( 2x − 3y) + ( 3y − 2x) ×( β − 2α)
(2)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: αx − βψ + βχ − αψ i. iii. 4α + αβ − 20β − 5β2 v.
α(x − 1) + α2 − x
vi.
(3)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: i. ii. 25x2 + 40xy + 16y2 iii. iv. x2 y2 − 10xy + 25 (4)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: i. ii. α4 − 1 iii. iv. α3β + 2α2β2 + αβ3 4 v. vi. α + 8α (5)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: i. ii. x3 + 125ψ 3 iii.
27α3 − 8β3
v.
100α2 − 4 ( α − 1)
x3 − 3x2 − 4x + 12 iv. 8x 3 − 2x 2 − 4χ + 1 ii.
2
( α − β)
2
−α+β
16x2 − 56xy + 49y2 9α2 − 6αβ + β2
α2 − 16β2 γ2 4x3 − 8χ 2 + 4χ x 4 − 2χ 2 + 1 2 xψ
2
−16α
2
iv.
( 3x − 1)
vi.
4x2 − 4x + 1
2
− ( x − 1)
2
(6)Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: Α = x 4 − x2 , Β = x3 + 2x2 − x − 2 και Α – Β . (7)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: 2 2 i. ii. xα − 2αβ + β− 2
Σελίδα 21 από 27
χ 2 − 6αχ + 9α2 − 25ψ 2
)
α2 − 2αβ + β2 − α + β χ 2 + 4χψ + 4ψ 2 − 9
iii. v.
α2 − β2 + 4β − 4 x2 + 6x + 9ψ− 2 2ψ + 1−
iv. vi.
(8)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: 2 2 ii. i. ( α + β) − ( α − β )
( 4x + 2y )
iii.
(α
− ( 2x − 3y )
2
+ 1) − 4α2 2
2
v.
2
25α2 x4 − 4β2
iv.
3α3β − 27αβ3
vi.
5x5 − 20xy3
(9)Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: 2 ii. x 2 y2 − 9y2 − x2 + 9 i. ( x − yα ) − ( β + )x ×( y − ) iii.
α2 + 2αβ + β2 − x2 + 4x − 4
v.
4 ( x + 2y ) − 9 ( 3x − y ) 2
iv.
y2 + 2x − x2 − 1
2
(10) Να γίνουν γινόμενα οι παραστάσεις: i.
( 3x − 6) ×( x2 − 1) − ( 5x − 10 ) ×( x − 1) iii. ( α2 − 9) − ( α + 3) 2
2
ii.
5 ( 4 − x 2 ) − ( x − 2)
2
(11) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3x3 − 12x β) Να λύσετε την εξίσωση: 4x3 = 12x + x3 (12) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: α2β − α + β − αβ2 β) Αν για τους άνισους αριθμούς α, β ισχύει: α2β − α = αβ2 − β να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι. § 1.8
Ε.Κ.Π. – Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων
Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω να βρίσκω το Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων (μονωνύμων και πολυωνύμων). •
Εφαρμογή 1η Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας σε κάθε κενό το ΜΚΔ των παραστάσεων Α, Β. Β Α 6α2β 4αβ2 γ 3
α γ •
2αβ3
αβγ
3β
2αβ
αβ
3β
2αβ2 α
αβγ αγ
β
Εφαρμογή 2η
Σελίδα 22 από 27
1
Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων 3α2 -3α , 2α2 -4α+2 , α2 -3α+2 Λύση Είναι 3α2 -3α=3α ( α2 − 1) = 3α(α − 1)×(α + 1) 2α2 -4α+2=2 ( α2 − 2α + 1) = 2 ( α − 1)
2
α2 -3α+2=( α-1) ×( α − 2)
Άρα : 2 ΕΚΠ = 6α ( α − 1) ×( α + 1) ×( α − 1) ΜΚΔ = α-1 Ασκήσεις (1)Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των παρακάτω παραστάσεων Α) 3α2 xψ 3 , 4αx2 ψ 2 , 6α3 x Β) x2 -1 , x2 + x − 2 x3 − 1 , α2 +β2 -2αβ , α2 − β2 Γ) 3α-3β , 2 - 4xψ + 4ψ , x3 − 8 Δ) x3 − 4x , xψ § 1.9
Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις
Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω πότε μια παράσταση λέγεται ρητή και πότε ορίζεται. Μαθαίνω να απλοποιώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις . Ασκήσεις (1)Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α τις τιμές της μεταβλητής της από την στήλη Β , για τις οποίες ορίζεται. Στήλη Α α. β. γ. δ. ε.
Στήλη Β 7. x ≠ −3
2
x x−3 1 x+3 x+5 x2 − 3x 5 2 x −9 5 2 x +9
8. x ≠ 0 και x ≠ 3 9. x ≠ 3 και x ≠ −3 10. x ≠ 3 11. x ≠ 3 ή x ≠ −3 12. Οποιοσδήποτε αριθμός
α
β
γ
Σελίδα 23 από 27
δ
ε
(2)Να βρείτε πότε ορίζονται οι ακόλουθες ρητές παραστάσεις : α) 2 x+2
β) 3x + 7 6 + 5x
γ) 2α − 1 ( α − 1) ( α − 2)
δ) 5ψ − 2 ψ 2 − 5ψ + 6
(3)Να αντιστοιχίσετε σε κάθε κλάσμα της 1ης γραμμής το αντίστοιχό του απλοποιημένο κλάσμα από τη 2η γραμμή. x2 + x x2 − x x2 − x x2 + x α) β) γ) δ) 2 x x −1 x x −1 α)
x x +1
β)
1 x +1
γ) x − 1
ε) x
δ) x + 1
(4)Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. iv.
2x − 4 x2 − 2x x2 − 6x + 9 x2 − 5x + 6
ii. v.
x2 − 1 x2 − x x −1 x −1
iii.
3x2 − 2x 9x2 − 4
(5)Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. αβ − α − β + 1 α − α2 iv.
( x + 2) − x − 2 x ( x + 3) + 2 2
§ 1.10
ii. α2 − 2αβ + β2 − γ2 α2 − αβ + αγ v. x ( x − 5 ) − x2 + 25 x2 − 6x + 5
iii. (ψ − 1)2 − ψ + 1 ψ3 − 1
Πράξεις ρητών παραστάσεων.
Α. Πολλαπλασιασμός – Διαίρεση Διδακτικοί στόχοι Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ παραστάσεις. Μαθαίνω να μετατρέπω σύνθετα κλάσματα σε απλά. • Εφαρμογή 1η Να κάνετε τις πράξεις : 2x3 15ψ 2 2x3 ×15ψ 2 30x3 ψ 2 3x2 × − = + = = • − ÷ 4 ÷ 5ψ 4 ×4x 20xψ 4 2ψ 2 5ψ 4x
Σελίδα 24 από 27
αλγεβρικές
•
2 x + 2) ( x2 − 1 x3 + 1 x2 − 1 x 2 + 4x + 4 ( x − 1) ×( x + 1) : = × = × = x2 + 2x x2 + 4x + 4 x2 + 2x x3 + 1 x ( x + 2) ( x + 1) ×( x2 − x + 1)
=
( x − 1) ×( x + 2) x ×( x2 − x + 1)
x2 − 1 x ( x − 1) ×( x + 1) x ×( x + 1) x ( x2 − 1) x −1 1 = = = = 2x − 2 2x − 2 1 ×( 2x − 2) 2 2(x − 1) x x 2
•
Ασκήσεις (1)Να υπολογίσετε τα γινόμενα: 3x − 6 x2 × x3 2− x 2 x − 1 x2 − x − 6 iii. × 3 x2 + 2x x −1
x2 − 7x x2 − 10x + 25 × 3x − 15 x2 − 49 x2 − 1 x2 − x − 6 iv. × x2 + 2x x3 − 1
i.
ii.
(2)Να κάνετε τις διαιρέσεις: i.
3α α3 : 2β2 4β
iv.
4 6x : − ÷ x
x x2 : − ii. − ÷ 3 ÷ 2ψ 6ψ x2 − 49αx 7α − v. : 2 x x
(3)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 2x ψ 2 − 2ψ ψ ii. ψ +1 i. 2 x ψ2 − 4 6ψ 3 iii.
x2 − 1 x2 + x 3
Β. Πρόσθεση – Αφαίρεση ρητών παραστάσεων
Διδακτικοί στόχοι
Σελίδα 25 από 27
3 15xψ 6xψ iii. : 2 8xψ 9
Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις. Προσοχή !!! α β + γ α − (β + γ) α − β − γ − = = β β β β •
Εφαρμογή 1η Να υπολογίσετε την παράσταση: Α= 1 − Λύση
x x−2 − = x − 1 x − x2 x x−2 − =1 − ( x − 1) ×( x + 1) x ( 1 − x ) = Α= 1 −
=1 −
Παραγοντοποιούμε τους παρανομαστές
2
Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών και βάζουμε τα «καπελάκια».
x x−2 + = ( x − 1) ×( x + 1) x ( x − 1)
x( x −1) ( x +1)
1 1
=
x
x x−2 − x − 1 x − x2 2
x +1
x x−2 − + = ( x − 1) ×( x + 1) x ( x − 1)
2 2 2 x ×( x − 1) ×( x + 1) − x ×x + ( x − 2) ×(x + 1) x ( x − 1) − x + ( x − 2x + x − 2) = = = x ( x − 1) ×( x + 1) x ( x − 1) ×( x + 1)
=
x3 − x − x2 + x2 − 2x + x − 2 x3 − 2x − 2 = . x ( x − 1) ×( x + 1) x ( x − 1) ×( x + 1) Ασκήσεις
(1)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : 1 2 − i. x2 x iii. v.
1α − 2α − 2 α2 − 1 1 3 1 + 2 + 2 2 ψ − 3ψ + 2 ψ + ψ − 2 ψ − 4
(2)Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : 1 1αβ i. − ÷× 2 2 α β α −β
Σελίδα 26 από 27
ii. iv.
ii.
1 2 − x − 1 ( x − 1) 2 x 1 2 − + x − 4 2 − x 3x + 6 2
2 x xψ − 1 × + 1 × ÷ ÷ ψ ψ x−ψ
iii.
α2 + β2 α2 -β2 − α ÷× 3 3 β α +β
v.
α2 + β2 −2 αβ 1 1 − α β
1 1 : − ÷ β α
2 xψ + 22ψ (4)Να αποδείξετε ότι : + 2 xχ
ψ = 1 + χ
Σελίδα 27 από 27
iv.
2
÷
x2 + 1 −2 x 1 1− x
