\URI[I] DU[AN
BRKI] NADA
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za prijemni ispit na Vojnoj akademiji
MINISTARSTVO ODBRANE SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE UPRAVA ZA [KOLSTVO VOJNA AKADEMIJA
AUTORI
Du{an \uri{i}, profesor Nada Brki}, profesor
UREDNIK
mr Slavi{a Savi}, pukovnik, dipl.in`.
RECENZENTI
van. prof. dr Nikola Toma{evi} mr Ne|eqko Jankovi}
JEZI^KI REDAKTOR
Gordana Bawac, profesor
TEHNI^KI UREDNIK
@eqko Hr~ek, potpukovnik
DU[AN \URI[I] % NADA BRKI]
ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE ZA PRIJEMNI ISPIT NA VOJNOJ AKADEMIJI
Beograd, 2005.
SADR@AJ
Predgovor .......................................................................................................11 Gr~ki alfabet...............................................................................................12
Prvi deo Teorijski podsetnik iz elementarne matematike 1. Logika i skupovi. Relacije i funkcije................................................15 1.1. Iskazi i logi~ke operacije ............................................................15 1.2. Skupovi................................................................................................16 1.3. Relacije ...............................................................................................17 1.4. Funkcije .............................................................................................18 2. Skupovi brojeva. Proporcionalnost ................................................. 21 2.1. Realni brojevi ....................................................................................21 2.2. Kompleksni brojevi ..........................................................................25 2.3. Proporcionalnost ............................................................................27 3. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi ........................................ 29 3.1. Polinomi.............................................................................................29 3.2. Racionalni algebarski izrazi....................................................... 32 4. Linearne jedna~ine i sistemi linearnih jedna~ina. Linearne nejedna~ine ................................................................................................33 4.1. Linearna jedna~ina ......................................................................... 33 4.2. Sistemi linearnih jedna~ina .........................................................33 4.3. Linearne nejedna~ine .......................................................................35 5. Kvadratne jedna~ine i nejedna~ine ......................................................36 5.1. Kvadratne jedna~ine..........................................................................36 5.2. Kvadratne nejedna~ine .....................................................................38 6. Linearna i kvadratna funkcija.............................................................40 6.1. Linearna funkcija ............................................................................40 6.2. Kvadratna funkcija...........................................................................41 7. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................45 7.1. Eksponencijalna funkcija ..............................................................45 7.2. Eksponencijalne jedna~ine..............................................................45 7.3. Eksponencijalne nejedna~ine .........................................................46 8. Logaritam. Logaritamska funkcija. Logaritamske jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................46 5
8.1. Logaritam ............................................................................................46 8.2. Logaritamska funkcija ....................................................................48 8.3. Logaritamske jedna~ine ...................................................................48 8.4. Logaritamske nejedna~ine ...............................................................49 9. Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijski identiteti ..................................................................................................50 9.1. Ugao.......................................................................................................50 9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla .............................................52 9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla.....................................54 9.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla ..55 9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla ..................................................................57 9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti ........................................59 9.7. Adicione formule ............................................................................59 9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod ............................................................................................61 9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ....................................................................................................61 9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija......................61 9.11. Inverzne trigonometrijske funkcije ........................................64 10. Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine ......................................68 10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine..........................................68 10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine .....................................69 11. Primena trigonometrije u planimetriji i stereometriji...........77 11.1. Povr{ina trougla ...........................................................................77 11.2. Sinusna i kosinusna teorema ........................................................77 11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja .............................77 11.4. Primena trigonometrije u stereometriji .................................79 12. Vektori. Podudarnost. Homotetija i sli~nost ...............................80 12.1.Vektori ...............................................................................................80 12.2. Podudarnost ......................................................................................81 12.3. Homotetija i sli~nost....................................................................84 13. Geometrija trougla, ~etvorougla i mnogougla. Krug ......................85 13.1. Trougao...............................................................................................85 13.2. ^etvorougao ......................................................................................88 13.3. Mnogougao..........................................................................................90 13.4. Krug.....................................................................................................91 14. Poliedri...................................................................................................94 14.1. Prizma................................................................................................94 14.2. Piramida ...........................................................................................95 14.3. Zarubqena piramida .......................................................................97 6
15. Obrtna tela..............................................................................................98 15.1. Vaqak..................................................................................................98 15.2. Kupa.....................................................................................................99 15.3. Zarubqena kupa ..............................................................................101 15.4. Sfera i lopta .................................................................................102 16. Analiti~ka geometrija u ravni.........................................................104 16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu ........104 Povr{ina trougla .........................................................................104 16.2. Prava u ravni..................................................................................104 16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) ................................................106 16.4. Elipsa...............................................................................................107 16.5. Hiperbola........................................................................................109 16.6. Parabola..........................................................................................111 17. Binomni obrazac. Elementi kombinatorike .................................113 17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac .............................113 17.2. Elementi kombinatorike ............................................................114 18. Realni nizovi. Aritmeti~ka i geometrijska progresija.............117 18.1. Realni nizovi .................................................................................117 18.2. Aritmeti~ka progresija ..............................................................118 18.3. Geometrijska progresija...............................................................119 19. Grani~na vrednost i neprekidnost funkcije .................................121 20. Izvod funkcije i wegova primena ....................................................123 20.1. Izvod i pravila diferencirawa ...............................................123 20.2. Tabli~ni izvodi.............................................................................125 20.3. Primena izvoda ..............................................................................126
Drugi deo Re{eni zadaci sa prijemnih ispita iz matematike 1. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................131 1. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................132 2. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................137 2. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................138 3. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................145 3. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................146 4. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................153 4. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................154 5. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................161 5. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................162 6. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................168 7
6. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................169 7. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................178 7. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................179 8. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................185 8. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................186 9. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ..........................................................192 9. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................193 10. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ........................................................203 10. grupa 2000. god. (re{ewa) ....................................................................204 1. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................210 1. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................211 2. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................218 2. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................219 3. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................225 3. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................226 4. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................233 4. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................234 5. grupa 2001. god. (tekst zadataka) ..........................................................243 5. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................244
Tre}i deo Zadaci sa prijemnih ispita iz matematike (sa kona~nim re{ewima i uputstvima) 1. grupa 1997. god. ........................................................................................253 2. grupa 1997. god. ........................................................................................255 3. grupa 1997. god. ........................................................................................257 4. grupa 1997. god. ........................................................................................259 5. grupa1997. god. ........................................................................................261 6. grupa 1997. god..........................................................................................263 7. grupa 1997. god. ........................................................................................265 1. grupa 1998. god..........................................................................................267 2. grupa 1988. god..........................................................................................269 3. grupa 1998. god..........................................................................................271 4. grupa 1998. god..........................................................................................273 1. grupa 1999. god..........................................................................................275 2. grupa 1999. god..........................................................................................277 3. grupa 1999. god..........................................................................................279 4. grupa 1999. god..........................................................................................281 1. grupa 2002. god..........................................................................................283 8
2. grupa 2002. god..........................................................................................285 3. grupa 2002. god..........................................................................................287 4. grupa 2002. god..........................................................................................289 5. grupa 2002. god..........................................................................................291 6. grupa 2002. god..........................................................................................293 7. grupa 2002. god .........................................................................................295 8. grupa 2002. god..........................................................................................297 9. grupa 2002. god .........................................................................................299 10. grupa 2002. god........................................................................................301 1. grupa 2003. god .........................................................................................303 2. grupa 2003. god..........................................................................................305 3. grupa 2003. god..........................................................................................307 4. grupa 2003. god..........................................................................................309 5. grupa 2003. god..........................................................................................311 6. grupa 2003. god..........................................................................................313 7. grupa 2003. god..........................................................................................315 8. grupa 2003. god..........................................................................................317 9. grupa 2003. god .........................................................................................319 10. grupa 2003. god .......................................................................................321 Literatura. ..................................................................................................323
9
PREDGOVOR Osnovna namena ove zbirke je da se kandidati za Vojnu akademiju {to uspe{nije pripreme za prijemni ispit iz matematike. Zbirka se sastoji iz tri dela. U prvom delu dat je teorijski podsetnik iz elementarne matematike. Tu se mo`e na}i pregled osnovnih pojmova, stavova i formula, ~ije je poznavawe neophodno pri izradi zadataka na prijemnom ispitu. Istovremeno, sadr`aj ovog podsetnika ukazuje i na to kojim matemati~kim oblastima je pridat ve}i zna~aj. U drugom delu nalazi se 150 kompletno re{enih zadataka, koji su raspore|eni u 15 grupa. Tre}i deo ~ine zadaci za koje su data kona~na re{ewa ili uputstva za wihovo re{avawe. Zadaci u drugom i tre}em delu su sa prijemnih ispita za Vojnu akademiju koji su odr`ani u periodu od 1997. do 2003. godine. Zbirka obiluje velikim brojem slika, koje ilustruju odre|ene pojmove, postupke u re{avawu zadataka ili kona~na re{ewa. Ovom prilikom se posebno zahvaqujemo recenzentima dr Nikoli Toma{evi}u i mr Ne|eqku Jankovi}u, koji su detaqno pregledali tekst zbirke, ukazali na izvesne propuste i dali niz korisnih saveta. Autori
11
GR^KI ALFABET
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
alfa beta gama delta epsilon zeta eta teta jota kapa lambda mi
12
Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ ϒ Φ Χ Ψ Ω
ni ksi omikron pi ro sigma tau ipsilon fi hi psi omega
Prvi deo
TEORIJSKI PODSETNIK IZ ELEMENTARNE MATEMATIKE
1. LOGIKA I SKUPOVI. RELACIJE I FUNKCIJE 1.1. Iskazi i logi~ke operacije Iskazi su re~enice koje su ili ta~ne ili neta~ne. Ozna~avamo ih iskaznim slovima p,q,r,... . Ako je iskaz p ta~an, onda je wegova istinitosna vrednost ("te") i pi{emo τ ( p ) = ;
istinitosna vrednost neta~nog iskaza q je ⊥ (''не те'') i pi{emo
τ ( q ) =⊥ .
Osnovne logi~ke operacije su: negacija ( ⎤ – ne), konjunkcija ( ∧ − i), disjunkcija( ∨ − ili), implikacija( ⇒ − povla~i, implicira, ako...onda) i ekvivalencija ( ⇔ − ekvivalentno, ako i samo ako). Definicije logi~kih operacija date su slede}im istinitosnim tablicama:
p ⎤p ⊥ ⊥
p
q
p∧q
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
p q
p⇒q
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
p q ⊥
p∨q
⊥ ⊥ ⊥
⊥
p
q
p⇔q
⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥
.
Polaze}i od iskaznih slova i primewuju}i kona~an broj puta logi~ke operacije, dobijaju se iskazne formule. Tautologija je iskazna formula koja je ta~na za sve vrednosti iskaznih slova koja u woj u~estvuju. Simboli ∀ i ∃ zovu se univerzalni i egzistencijalni kvantifikator (kvantor). Zapis
( ∀x ) α ( x ) 15
~itamo "za svaki x va`i α ( x ) ", a kao "postoji x
( ∃x ) α ( x ) za koji va`i α ( x ) ".
1.2. Skupovi Skupove
naj~e{}e ozna~avamo velikim slovima A, B, C ,..., X , Y , Z ,... . Uobi~ajeni su slede}i zapisi u vezi sa skupovima: x ∈ X − element x pripada skupu X , x ∉ X − element x ne pripada skupu X ,
{
}
X = x α ( x ) − X je skup svih elemenata x za koje va`i
α ( x),
∅ − prazan skup, tj. skup koji nema elemenata. Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente. Skup A je podskup skupa B , u oznaci A ⊂ B, ako je svaki element skupa A istovremeno i element skupa B . Va`i
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A. Za skupove A i B defini{u se unija A ∪ B, presek A ∩ B i razlika A \ B na slede}i na~in: A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} , A ∩ B = { x x ∈ A ∧ x ∈ B} , A \ B = { x x ∈ A ∧ x ∉ B} .
Ako je A ∩ B = ∅, onda za skupove A i B ka`emo da su disjunktni. Partitivni skup skupa X je skup svih wegovih podskupova. Ozna~ava se sa P ( X ) . Ako se razmatraju samo podskupovi odre|enog skupa X , onda se X ~esto zove univerzalni skup. U tom slu~aju se za skup A ∈ P ( X ) defini{e wegov komplement sa
Ac = A = X \ A.
16
U op{tem slu~aju, skupove obi~no predstavqamo takozvanim Venovim dijagramima (sl. 1). B
A
A
X
B
A
B
A
A∪ B
A∩ B
A\ B
Ac
Sl. 1 Ure|eni par
{a, b}
( a, b )
dobijamo ako elemente dvo~lanog skupa
pore|amo u niz i pri tome preciziramo da je a prvi, a b
drugi element tog niza. Sli~no se formiraju ure|ene trojke, ~etvorke ili, uop{te, n -torke. Dekartov proizvod skupova A i B, u oznaci A × B, defini{e se sa:
A × B = {( a, b ) a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Uop{te, Dekartov proizvod skupova A1 , A2 ,..., An dat je sa
A1 × A2 × × An = {( a1 , a2 ,..., an ) a1 ∈ A1 ∧ a2 ∈ A2 ∧ ... ∧ an ∈ An } .
1.3. Relacije Relacija sa jednog skupa u neki drugi skup je svaki podskup Dekartovog proizvoda tih skupova. Dakle, ρ je relacija sa skupa A u skup B ako je ρ ⊂ A × B. Ako je ρ ⊂ A × A = A2 , onda ka`emo da je
ρ (binarna) relacija na A. Umesto ( a, b ) ∈ ρ pi{emo a ρ b i ka`emo da je element a u relaciji ρ sa elementom b. Neka je ρ ⊂ A2 . Tada za ρ ka`emo da je: ( R ) refleksivna ako ( ∀a ∈ A)( a ρ a ) ,
( S ) simetri~na ako ( ∀a, b ∈ A)( a ρ b ⇒ bρ a ) , ( A) antisimetri~na ako ( ∀a, b ∈ A)( a ρ b ∧ bρ a ⇒ a = b ) , (T ) tranzitivna ako ( ∀a, b, c ∈ A)( a ρ b ∧ bρ c ⇒ a ρ c ) . 17
Za relaciju ka`emo da je relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetri~na i tranzitivna (skra}eno: RST ). Ako je ρ relacija ekvivalencije na skupu A , onda se skup
Ca = { x ∈ A a ρ x}
zove klasa ekvivalencije elementa a. Svake dve klase ekvivalencije su ili disjunktne ili se poklapaju. Skup svih klasa ekvivalencije odre|enih nekom relacijom ρ na skupu A zove se koli~ni~ki skup i ozna~ava sa A / ρ . Relacija koja je refleksivna, antisimetri~na i tranzitivna zove se relacija poretka (skra}eno: RAST ).
1.4. Funkcije Funkcija (preslikavawe) f sa skupa A u skup B , u oznaci f : A → B, je takva relacija f ⊂ A × B kod koje je svaki element skupa A u relaciji sa ta~no jednim elementom skupa B . Dakle, funkcija f : A → B je okarakterisana slede}im svojstvima:
( ∀x ∈ A)( ∃y ∈ B ) ( ( x, y ) ∈ f ) , ( ∀x ∈ A)( ∀y, z ∈ B ) ( ( x, y ) ∈ f ∧ ( x, z ) ∈ f
⇒ y = z ).
Skup A se zove domen (oblast definisanosti) funkcije f i ~esto ga ozna~avamo sa D f . Skup B je kodomen funkcije
( x, y ) ∈ f ,
f . Ako
onda pi{emo y = f ( x ) i x nazivamo originalom, a y
wegovom slikom pri preslikavawu f . Preslikavawe f : A → B mo`emo smatrati ure|enom trojkom
( f , A, B )
pri ~emu je f pravilo tog preslikavawa koje se obi~no
zadaje analиti~ki (formulom), tabli~no ili grafi~ki. Funkcije f : A → B i g : C → D su jednake ako imaju iste domene, iste kodomene i isto pravilo preslikavawa, tj.
f = g ⇔ A = C ∧ B = D ∧ ( ∀x ) f ( x ) = g ( x ) .
18
Preslikavawe f : A → B je 1 − 1 (injekcija) ako razli~itim originalima odgovaraju razli~ite slike, tj.
f је 1 − 1 ⇔ ( ∀x1 , x2 ∈ A ) ( x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) )
⇔ ( ∀x1 , x2 ∈ A ) ( f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 ) .
Preslikavawe f : A → B je na (surjekcija) ako svaki element kodomena ima svoj original , tj.
f је на ⇔ ( ∀y ∈ B )( ∃x ∈ A ) ( y = f ( x ) ) .
Funkcija je bijekcija ako je i 1 − 1 i na. Skup vrednosti funkcije f : A → B je skup
R f = { f ( x ) x ∈ A} = f ( A ) .
Identi~no preslikavawe skupa A je funkcija iA : A → A za koju je
( ∀x ∈ A) iA ( x ) = x.
Kompozicija (slo`ena funkcija) funkcija g : B → C je funkcija h , u oznaci h = g f , takva da je
f :A → B
i
( ∀x ∈ A) ( ( g f )( x ) = g ( f ( x ) ) ) .
Inverzna
f
−1
funkcija
funkcije
f :A → B
je
funkcija
: B → A (ako postoji) za koju je f −1 f = iA i f f −1 = iB . Funkcija ima inverznu ako i samo ako je bijekcija.
.
Graf (grafik ) funkcije f : A → B je skup
Gf =
{( x, f ( x )) x ∈ A}.
Ako su A i B podskupovi skupa realnih brojeva R , onda za funkciju f : A → B ka`emo da je realna funkcija realne promenqive. Za wu se defini{u pojmovi nadgrafa ( G f ) i podgrafa ( G f ) (sl. 2):
19
{( x, y ) ∈ R = {( x, y ) ∈ R
Gf =
2
Gf
2
} y < f ( x )} .
y > f ( x) ,
y
Gf
Gf
Rf
0 x
Df Gf
Sl. 2 Preslikavawe f : A2 → A zove se binarna operacija na skupu A.
Umesto c = f ( a, b ) obi~no pi{emo c = afb . Naj~e{}e oznake za operacije su +, −, ⋅ ,:, , ∗,... .
20
2. SKUPOVI BROJEVA. PROPORCIONALNOST 2.1. Realni brojevi Skup (poqe) realnih brojeva ozna~avamo sa R . Wegovi va`niji podskupovi su:
N = {1, 2 ,3,...} − skup prirodnih brojeva,
N 0 = N ∪ {0} − skup nenegativnih celih brojeva,
Z = N 0 ∪ {..., −3, −2, −1} − skup celih brojeva,
⎧m ⎫ Q = ⎨ m ∈ Z ∧ n ∈ N ⎬ − skup racionalnih brojeva, ⎩n ⎭ Ir = R\ Q − skup iracionalnih brojeva, tj. brojeva koji se ne mogu predstaviti u obliku razlomka. Za a,b ∈ R ( a < b ) defini{u se intervali:
[ a,b ] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b} − затворени интервал (сегмент), ( a,b ) = { x ∈ R a < x < b} − отворени интервал, [ a,b ) = { x ∈ R a ≤ x < b} − полуотворени (полузатворени) интервал, ( a,b] = { x ∈ R a < x ≤ b} − полуотворени (полузатворени) интервал, ( −∞ ,a ] = { x ∈ R x ≤ a} , ( −∞ ,a ) = { x ∈ R x < a} , [ a , +∞ ) = { x ∈ R x ≥ a} , ( a, +∞ ) = { x ∈ R x > a} , ( −∞ , +∞ ) = R. Za svaki m ∈ Z i n ∈ N postoje jednozna~no odre|eni brojevi k ,r ∈ Z za koje va`i
m = kn + r, 0 ≤ r ≤ n − 1. Broj k zove se koli~nik, a broj r ostatak pri deqewu broja m sa n. Ako je r = 0 , onda je m deqiv sa n , tj. n se sadr`i u m (u oznaci n m ).
21
Broj oblika
(
)
a1a2 ...am ,b1b2 ...bn c1c2 ...c p c1c2 ...c p ... = a1a2 ...am ,b1b2 ...bn c1c2 ...c p ,
( a ,b ,c i
j
k
∈ {0,1,… ,9}
)
zove se beskona~ni periodi~ni decimalni broj sa periodom c1c2 ...c p . Broj je racionalan ako i samo ako se mo`e predstaviti u obliku beskona~nog periodi~nog decimalnog broja. Beskona~ni neperiodi~ni decimalni brojevi su iracionalni brojevi. Jednakost razlomaka je data sa:
a = c ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c, ( b,d ≠ 0 ) . b d Za operacije sa razlomcima va`i:
a b a±b ± = ( c ≠ 0) , c c c a c a ⋅c ⋅ = ( b,d ≠ 0 ) , b d b⋅d a⋅c a = ( b,c ≠ 0 ) , b⋅c b
a c ad ± bc ± = ( b,d ≠ 0 ) , b d bd a c a d a⋅d : = ⋅ = ( b,c,d ≠ 0 ) , b d b c b⋅c a −a a − = = (b ≠ 0) . b b −b
Apsolutna vrednost broja x ∈ R je
⎧ x, x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x, x < 0. Za apsolutnu vrednost va`e slede}e osobine:
−x = x , x ≤ x ,
( a ≥ 0) , x ≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a ( a ≥ 0 ) , x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
x − y ≤ x+ y ≤ x + y .
22
Signum broja x ∈ R je
x>0
⎧ 1, ⎪ sgn x = ⎨ 0 , ⎪−1, ⎩ Va`i da je x = x sgn x.
x=0 . x<0
Grafici funkcija y = x i y = sgn x dati su na slikama (sl. 3 i sl. 4)
y y
1
y= x
y = sgn x
0
x –1
x
0
Sl. 3
Sl. 4
Stepenovawe celobrojnim izlo`iocem je definisano sa:
a n = a ⋅ a ⋅⋅⋅ a ( а ∈ R, n ∈ N ) , n − пута
1 ( a ≠ 0) . an Za a ∈ R, n ∈ N svako re{ewe jedna~ine po x a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) , a1 = a, a − n = xn = a
(ako postoji) je n -ti koren broja a . Ako je n neparan broj, onda za svaki a ∈ R postoji ta~no jedn
a . Za parno n i a < 0 jedna~ina nema re{ewa u R ; za parno n i a = 0 jedino re{ewe je 0 , tj. n 0 = 0. Ako je n paran broj i a > 0 , tada jedna~ina ima dva re{ewa, i pozitivno re{ewe ozna~avamo sa n a . Drugo re{ewe je − n a . Prema tome, u
no re{ewe i ozna~ava se sa
ovom slu~aju va`i
23
xn = a ⇔ x = ± n a . Za korenovawe va`e slede}e osobine: n
a ⋅ n b = n a ⋅b ,
( a) n
m
n
= n am , 2n
a : n b = n a :b ,
n m
a = nm a ,
x 2n = x ,
( a,b > 0;
n
am =
np
a mp ,
( x ∈ R) ,
x2 = x
m,n, p ∈ N ) .
Stepenovawe racionalnim izlo`iocem uvodi se sa: m an
(n ∈ N ,
= n am
m ∈ Z , a > 0) .
Osnovne osobine stepenovawa su:
a x ⋅ a y = a x+ y ,
(a )
(a ⋅ b) = ax ⋅ bx ,
ax ⎛a⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ bx ⎝b⎠
x
x
y
= a xy ,
x
( a,b > 0; x, y ∈ R ) Pribli`an broj (pribli`na vrednost) nekog ta~nog broja je broj koji se od wega "neznatno" (malo, zanemarqivo) razlikuje. Ako je
x*
pribli`na vrednost broja
x , onda ka`emo da je
x
*
aproksimiran brojem x . Broj
( )
Δ x* = x − x* naziva se apsolutna gre{ka broja x* . Bilo koji nenegativan broj Ax* koji nije mawi od apsolutne gre{ke broja x* , tj. za koji je
24
( )
Δ x* = x − x* ≤ Ax* ,
( ) pribli-
zove se granica apsolutne gre{ke. Relativna gre{ka δ x* `nog broja x* defini{e se sa
δ (x ) = *
( )
Δ x* x
( x ≠ 0) .
Svaki nenegativan broj Rx* koji nije mawi od relativne gre{ke, tj. za koji je
δ ( x* ) ≤ Rx , *
zove se granica relativne gre{ke broja x* . Pri odre|ivawu pribli`nog broja za dati decimalni broj obavqa se operacija zaokrugqivawa. Zaokrugqivawe decimalnih brojeva na n decimala vr{i se po slede}im pravilima: (1) Ako je n + 1 -va decimala mawa od 5, onda prvih n decimala ostaje nepromeweno; (2) Ako je n + 1 -va decimala ve}a od 5, onda se n -ta decimala uve}ava za 1, a prvih n − 1 ili ostaje nepromeweno (ako je n -ta decimala bila mawa od 9) ili se mewaju na odgovaraju}i na~in (ako je n -ta decimala jednaka 9); (3) Ako je n + 1 -va decimala jednaka 5 i bar jedna cifra posle we nije jednaka nuli, onda se n -ta decimala uve}ava za 1; (4) Ako je n + 1 -va decimala jednaka 5 i sve cifre posle we su jednake nuli, onda se n -ta decimala ne mewa ako je parna, a uve}ava se za 1 ako je neparna (pravilo parne cifre). U svim ovim slu~ajevima izostavqa se n + 1 -va decimala i sve cifre desno od we.
2.2. Kompleksni brojevi Skup (poqe) kompleksnih brojeva ozana~avamo sa C. Algebarski oblik kompleksnog broja z je
(
)
z = ( a,b ) = a + bi , a,b ∈ R, i 2 = −1 ,
pri ~emu je:
25
i = ( 0,1) − imaginarna jedinica, a = Re z − realni deo kompleksnog broja z , b = Im z − imaginarni deo kompleksnog broja z , bi − ~isto imaginaran broj (za b ≠ 0 ). y
Kompleksne brojeve predstavqamo u kompleksnoj (Gausovoj) ravni (sl. 5). Konjugovano kompleksni broj broja z = a + bi je broj z = a − bi. Moduo kompleksnog broja
z = a + bi je ρ = z = a 2 + b 2 .
b
z = a + bi
z a
0
x
z −b
z = a − bi Sl. 5
Po{to su kompleksni brojevi definisani kao ure|eni parovi, to je jednakost kompleksnih brojeva data sa: z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 ∧ Im z1 = Im z2 . Za operacije nad kompleksnim brojevima
z1 = a + bi
z2 = c + di va`i:
z1 + z2 = ( a + c ) + ( b + d ) i, z1 − z2 = ( a − c ) + ( b − d ) i,
z1 ⋅ z2 = ( a + bi ) ⋅ ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i, z1 z2
=
a + bi a + bi c − di ac + bd bc − ad i ,( c,d ) ≠ ( 0 ,0 ) ⋅ = ⋅ = + c + di c + di c − di c 2 + d 2 c 2 + d 2
Celobrojni stepeni imaginarne jedinice odre|eni su sa:
i 4 k = 1,
i 4 k +1 = i,
i 4 k + 2 = −1, i 4 k +3 = −i
(k ∈ Z ) .
Za konjugovawe i moduo kompleksnih brojeva z1 i z2 va`i:
26
i
z1 ± z2 = z1 ± z2 ,
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
⎛ z1 ⎞ z1 ⎜⎜ ⎟⎟ = , ( z2 ≠ 0 ) , ⎝ z 2 ⎠ z2
(z ) = (z ) n
z = z , z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 ,
z1 z2
=
z1 z2
n
2
, z⋅z = z ;
, ( z2 ≠ 0 ) ,
z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2 .
2.3. Proporcionalnost Koli~nik realnih brojeva a i b ( b ≠ 0 ) , tj. broj
a :b = a , b zove se razmera brojeva a i b . Jednakost dveju razmera, tj. jednakost oblika a :b = c : d , zove se proporcija. Proporcija a : b = c : d lentna svakoj od slede}ih jednakosti:
( a,b,c,d ≠ 0 )
je ekviva-
(1) a ⋅ d = b ⋅ c, ( 2) a :c = b:d , ( 3) b : a = d : c, ( 4 ) ak :bk = c : d ( k ≠ 0 ) , ( 5) ak :b = ck :d .
Za brojeve a1 ,a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bn ≠ 0 defini{e se pro{irena proporcija:
a1: b1 = a2 : b2 = = an : bn .
Zapisujemo je i u obliku
27
a1: a2 : ... :an = b1: b2 : ... :bn . Za pro{irenu proporciju va`i:
a1: b1 = a2 : b2 = = an : bn ⇒ ( a1 + + an ) : ( b1 + + bn ) = a1 : b1 . Jedan posto broja a ∈ R je broj
a = 0 ,01a 100 i ozna~avamo ga sa 1% od a.
U procentnom ra~unu osnovne veli~ine su: glavnica G, procentna stopa p i procentni iznos P. Va`i proporcija
G : P = 100: p, pa se pojedine veli~ine ra~unaju po formulama:
G⋅ p G = 100 P , P = , 100 p
p = 100 P ⋅ G
Neka su m i n dati fiksirani brojevi ( m,n ≠ 0 ) , a x i y nepoznati brojevi. Za x i y ka`emo da su direktno proporcionalni ako je x:m = y:n ; u slu~aju da je
x:m = n: y
ka`e se da su x i y obrnuto proporcionalni. proporcionalne veli~ine x i y odre|uju funkciju
Direktno
y = kx ( k ≠ 0 ) ,
a obrnuto proporcionalne funkciju
y = a ( a ≠ 0) . x
Grafici funkcija direktne i obrnute proporcionalnosti dati su na slici (sl. 6).
28
y = kx k >0
y
0
y = kx
y
k<0 x
0
x
(a)
y
y=a x
(b)
y=a x
( a > 0)
( a < 0) 0
x
0
y
(v)
x
(g) Sl. 6
3. POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI 3.1. Polinomi Polinom (polinomna funkcija) stepena n je svaka funkcija Pn : R → R takva da je
Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 ,
( n ∈ N 0 , an ,an−1 ,...,a1 ,a0 ∈ R; an ≠ 0 ) . Pri tome su:
an ,an −1 ,...,a1 ,a0 − koeficijenti polinoma, an − najstariji (vode}i) koeficijent,
29
an x n − najstariji (vode}i) ~lan, a0 − slobodan ~lan,
n = stPn − stepen polinoma Pn . Za nulti polinom P ≡ 0 ne defini{e se stepen. Dva polinoma su jednaka ako su istog stepena i ako su im odgovaraju}i koeficijenti (tj. koeficijenti uz iste stepene od x ) jednaki. Drugim re~ima, ako je Qm ( x ) = bm x m + bm −1 x m −1 + + b1 x + b0 , tada
va`i:
Pn ( x ) = Qm ( x ) ⇔ n = m ∧ ( ∀i ) ai = bi .
Polinomi se sabiraju tako {to im se odgovaraju}i koeficijenti saberu i pri tome je
st ( Pn + Qm ) ≤ max {n,m} .
Mno`ewe dva polinoma obavqa se primenom distributivnosti realnih brojeva, tj. tako {to se svaki ~lan jednog polinoma pomno`i svakim ~lanom drugog polinoma. Va`i da je
st ( Pn ⋅ Qm ) = m + n.
Broj x = a ∈ C je nula (koren) polinoma P ako je P ( a ) = 0. Pri tome je
P ( x) = ( x − a)Q ( x) ,
za neki polinom Q , za koji je stQ = stP − 1 . Broj x = a ∈ C je nula (koren) k -tog reda ( k ∈ N ) polinoma P ako je
P ( x) = ( x − a) Q ( x) , k
(Q ( a ) ≠ 0) ,
za neki polinom Q za koji je stQ = stP − k. Faktorisani oblik polinoma Pn je
Pn ( x ) = an ( x − α1 ) 1 ( x − α 2 ) 2 ( x − α s ) s , k
k
k
pri ~emu su α1 , α 2 ,...,α s sve razli~ite nule tog polinoma vi{estrukosti k1 ,k2 ,...,k s ,
( k1 + k2 + ... + ks = n ) . 30
Kompleksan broj z = α + β i je nula polinoma Pn (sa realnim koeficijentima) ako i samo ako je nula tog polinoma i wegov konjugovano kompleksan broj z = α − β i. Prema tome,
Pn ( z ) = 0 ⇔ Pn ( z ) = 0.
Za polinome P i Q postoje jednozna~no odre|eni polinomi S (wihov koli~nik) i R (ostatak) takvi da je
P = Q ⋅ S + R, ( stR < stQ или R ≡ 0 ) .
Prethodnu relaciju mo`emo zapisati u obliku
P R =S+ , Q Q i ona va`i za sve x za koje je Q ( x ) ≠ 0.
Ako je R ( x ) ≡ 0 , tada je polinom P deqiv polinomom Q , tj.
Q je sadr`an u P. Deqewe polinoma obi~no se obavqa tako {to se postupno dele wihovi najstariji ~lanovi, i sam postupak je sli~an deqewu vi{ecifrenih brojeva. (Bezuov stav) Ostatak pri deqewu polinoma P = P ( x ) sa
x − a je P ( a ) . Specijalno, ako je P ( a ) = 0 , tada je P deqiv sa x − a.
Najve}i zajedni~ki delilac polinoma P i Q , tj. NZD ( P,Q ) ,
je polinom koji ima najvi{i stepen me|u svim polinomima koji su sadr`ani i P i u Q . Najmawi zajedni~ki sadr`alac polinoma P i Q tj.
NZS ( P,Q ) ,
je polinom koji ima najni`i stepen me|u svim
polinomima koji su deqivi i sa P i sa Q .
Polinomi P i Q su uzajamno prosti ako je NZD ( P,Q ) =1.
Ako kod polinoma jedne promenqive u izrazima za neki stepen od x oblika x ⋅ x ⋅… ⋅ x promenqivu x zamenimo na k pozicija
(1 ≤ k ≤ r )
r − пута
nekom drugom promenqivom y, z ,... , dobijamo polinome
vi{e promenqivih.
31
3.2 Racionalni algebarski izrazi Racionalni algebarski izrazi su izrazi u kojima u~estvuju konstante (realni brojevi), promenqive ( x, y , z ,..., a, b, c,...) i operacije sabirawa, oduzimawa, mno`ewa, deqewa i stepenovawa promenqivih celobrojnim izlo`iocem. Srediti racionalni algebarski izraz zna~i svesti ga na oblik
P , pri ~emu su P i Q uzajamno prosti. Q Za izraze A,B,C i D va`i: A ⋅ ( B ± C ) = A ⋅ B ± A ⋅ C,
( A + B ) ⋅ ( C + D ) = A ⋅ C + B ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ D, ( A − B ) ⋅ ( A + B ) = A2 − B 2 , 2 ( A ± B ) = A2 ± 2 AB + B 2 , ( A ± B )3 = A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B3 , A3 ± B3 = ( A ± B ) ⋅ ( A2 ∓ A ⋅ B + B 2 ) , A A⋅C = B B ⋅C
( B,C ≠ 0 ) ,
A C A⋅ D ± B ⋅C ± = ( B,D ≠ 0 ) , B D B⋅D A C A⋅C ⋅ = ( B,D ≠ 0 ) , B D B⋅D A C A D A⋅ D : = ⋅ = ( B,C,D ≠ 0 ) . B D B C B ⋅C
32
4. LINEARNE JEDNA^INE I SISTEMI LINEARNIH JEDNA^INA. LINEARNE NEJEDNA^INE 4.1. Linearna jedna~ina Osnovni oblik linearne jedna~ine po nepoznatoj x je
ax = b
( a,b ∈ R ).
Pri tome va`i:
1 jedna~ina nema re{ewa ako je a = 0 i b ≠ 0 ; 2 jedna~ina ima beskona~no mnogo re{ewa (svako x ∈ R je re{ewe) ako je a = b = 0 ; b 3 jedna~ina ima jedinstveno re{ewe x = ako je a ≠ 0. a
4.2. Sistemi linearnih jedna~ina Sistem od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate je konjunkcija jedna~ina oblika
⎧a1 x + b1 y = c1
( ∗) ⎪⎨
⎪⎩a2 x + b2 y = c2 ,
( a1 ,b1 ,a2 ,b2 ,c1 ,c2 ∈ R; x, y − непознате ) .
Ure|eni par realnih brojeva ( α ,β ) je re{ewe sistema ako zamenom x sa α i y sa β svaka jedna~ina sistema postaje numeri~ki identitet. Sistem od tri linearne jedna~ine sa tri nepoznate je konjunkcija jedna~ina oblika
⎧a x + b y + c z = d 1 1 1 ⎪⎪ 1 ⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2 ⎪ ⎪⎩a3 x + b3 y + c3 z = d3 , ( ai ,bi ,ci ,di ∈ R, ( i = 1, 2 ,3) ; x, y,z − непознате ) .
33
Ure|ena trojka realnih brojeva ( α ,β , γ ) je re{ewe sistema ako zamenom x sa α , y sa β i z sa γ svaka od jedna~ina sistema postaje numeri~ki identitet. Sistem od m linearnih jedna~ina sa n nepoznatih ( m, n ∈ N ) je konjunkcija jedna~ina oblika
⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 ⎨ ... ⎪ ⎪a x + a x + ... + a x = b , mn n m ⎩ m1 1 m 2 2 pri ~emu su:
аij ∈ R ( i = 1, 2 ,...m; j = 1, 2,...,n ) − коефицијенти уз непознате,
b j ∈ R ( j = 1, 2 ,...,n ) − слободни чланови, x1 ,x2 ,...,xn − непознате. Re{ewe sistema je svaka ure|ena n -torka realnih brojeva
( α1 ,α 2 ,...,α n )
takva da zamenom x1 sa α1 , x2 sa α 2 , ... , xn sa α n
svaka od jedna~ina sistema postaje numeri~ki identitet. Re{iti sistem linearnih jedna~ina zna~i na}i skup svih wegovih re{ewa. Razmatraju}i skup re{ewa, sistem linearnih jedna~ina mo`e biti: − saglasan (mogu}) ako ima bar jedno re{ewe, − odre|en ako ima samo jedno (jedinstveno) re{ewe tj. po jednu vrednost za svaku nepoznatu, − neodre|en ako ima beskona~no mnogo re{ewa, − nesaglasan (nemogu}, protivre~an) ako nema re{ewa. Elementarne transformacije sistema linearnih jedna~ina su: (1) zamena mesta bilo kojim dvema jedna~inama sistema, (2) mno`ewe bilo koje jedna~ine sistema realnim brojem razli~itim od nule,
34
(3) dodavawe proizvoqnoj jedna~ini sistema bilo koje druge jedna~ine prethodno pomno`ene nekim realnim brojem. Primenom elementarnih transformacija sistem linearnih jedna~ina ne mewa skup re{ewa. Neka je za sistem ( ∗ ) od dve linearne jedna~ine sa dve nepoznate
D= Dx =
a1
b1
a2
b2
c1
b1
c2
b2
= a1b2 − a2b1 (determinanta sistema), = c1b2 − c2b1 i Dy =
a1
c1
a2
c2
= a1c2 − a2 c1 .
Tada va`i: (1) ako je D ≠ 0 , sistem ima jedinstveno re{ewe koje se dobija formulama
x=
Dx
, y=
Dy
(Kramerove formule);
D D (2) ako je D = 0 i bar jedna od determinanti Dx ,Dy razli~ita od nule, sistem je nemogu}; (3) ako je D = Dx = Dy = 0 , tada je sistem ili neodre|en, tj. ima beskona~no mnogo re{ewa, ili je nemogu}. 4.3 Linearne nejedna~ine Osnovni oblici linearnih nejedna~ina po nepoznatoj x su:
ax ≤ b, ax < b, ax ≥ b,
ax > b ( a, b ∈ R ) . Za nejedna~inu ax ≤ b va`i: 1 za a > 0 re{ewe je svaki realan broj x za koji je x ≤ 2 za a = 0 i b ≥ 0 re{ewe je svaki realni broj, 3 za a = 0 i b < 0 nejedna~ina nema re{ewa,
35
b , a
4 za a < 0 re{ewe je svaki realan broj x za koji je x ≥ Sli~no se re{avaju i nejedna~ine ax < b, ax ≥ b i ax > b.
b ⋅ a
Pri re{avawu nejedna~ina koristimo se osnovnim svojstvima relacija ≤, <, ≥ i > . Tako, na primer, za relacije ≤ i ≥ va`i:
a ≤ a, a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b, a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c, a ≤ b ∧ c > 0 ⇒ ac ≤ bc, a ≤ b ∧ c < 0 ⇒ ac ≥ bc,
ab ≥ 0 ⇔ ( a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ) ∨ ( a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ) , ab ≤ 0 ⇔ ( a ≥ 0 ∧ b ≤ 0 ) ∨ ( a ≤ 0 ∧ b ≥ 0 ) , a ≥ 0 ⇔ ( a ≥ 0 ∧ b > 0) ∨ ( a ≤ 0 ∧ b < 0) , b a ≤ 0 ⇔ ( a ≥ 0 ∧ b < 0) ∨ ( a ≤ 0 ∧ b > 0) , b
( a,b,c ∈ R ) .
5. KVADRATNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 5.1. Kvadratne jedna~ine Osnovni oblik kvadratne jedna~ine po nepoznatoj x je
ax 2 + bx + c = 0 , ( a,b,c ∈ R, a ≠ 0 ) . Re{ewa jedna~ine dobijamo po formuli
x1,2
−b ± b 2 − 4ac = ⋅ 2a
36
U specijalnim slu~ajevima imamo:
b ax 2 + bx = 0 ⇔ x ( ax + b ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − , a c c ax 2 + c = 0 ⇔ x = ± − за ≤ 0 , a a ax 2 + c = 0 ⇔ x = ±i
c c за > 0. a a
2 Izraz D = b − 4ac zove se diskriminanta kvadratne jedna~i-
ne. U zavisnosti od znaka diskriminante razlikujemo slede}e slu~ajeve:
(1) ako je D > 0 , re{ewa su realna i razli~ita, (2) ako je D = 0 , re{ewa su realna i jednaka, tj. imamo jedno dvostruko realno re{ewe, (3) ako je D < 0 , re{ewa su konjugovano kompleksni brojevi x1,2 = α ± β i. Za re{ewa kvadratne jedna~ine va`e Vietove formule:
b x1 + x2 = − , a c x1 ⋅ x2 = ⋅ a Znak re{ewa kvadratne jedna~ine odre|en je sa:
b c > 0 ∧ > 0, a a b c x1 < 0 ∧ x2 < 0 ⇔ D ≥ 0 ∧ − < 0 ∧ > 0, a a c x1 ∈ R ∧ x2 ∈ R ∧ x1 ⋅ x2 < 0 ⇔ D > 0 ∧ < 0 , a c x1 ∈ R ∧ x2 ∈ R ∧ x1 ⋅ x2 > 0 ⇔ D ≥ 0 ∧ > 0. a x1 > 0 ∧ x2 > 0 ⇔ D ≥ 0 ∧ −
37
Trinomna jedna~ina je jedna~ina oblika
ax 2 n + bx n + c = 0 , ( a,b,c ∈ R, a ≠ 0, n ∈ N ) ,
i ona se smenom t = x n svodi na kvadratnu jedna~inu
at 2 + bt + c = 0.
Za n = 2 trinomna jedna~ina postaje bikvadratna jedna~ina
ax 4 + bx 2 + c = 0.
5.2. Kvadratne nejedna~ine Osnovni oblici kvadratnih nejedna~ina su:
ax 2 + bx + c ≥ 0 , ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c ≤ 0 , Ako
( a ≠ 0)
ax 2 + bx + c < 0. su x1 i x2 realna i razli~ita re{ewa kvadratne
jedna~ine
ax 2 + bx + c = 0 , onda odgovaraju}u kvadratnu nejedna~inu re{avamo kori{}ewem faktorisanog oblika kvadratnog trinoma, tj. oblika
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
i analizom znaka dobijenog proizvoda. U ostalim slu~ajevima va`i:
( ∀x ∈ R ) ( ax 2 + bx + c > 0 ) ⇔ a > 0 ∧ D < 0, ( ∀x ∈ R ) ( ax 2 + bx + c ≥ 0 ) ⇔ a > 0 ∧ D ≤ 0, ( ∀x ∈ R ) ( ax 2 + bx + c < 0 ) ⇔ a < 0 ∧ D < 0, ( ∀x ∈ R ) ( ax 2 + bx + c ≤ 0 ) ⇔ a < 0 ∧ D ≤ 0. 38
Ako je
a > 0 i D > 0 i ako su x1 i x2 ( x1 < x2 ) realni i
razli~iti koreni kvadratnog trinoma ax 2 + bx + c , tada va`i:
ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ a ( x − x1 )( x − x2 ) ≥ 0
⇔ (x − x1 ≥ 0 ∧ x − x2 ≥ 0) ∨ ( x − x1 ≤ 0 ∧ x − x2 ≤ 0 )
⇔ ( x ≥ x1 ∧ x ≥ x2 ) ∨ ( x ≤ x1 ∧ x ≤ x2 ) ⇔ x ≥ x2 ∨ x ≤ x1
⇔ x ∈ ( −∞ ,x1 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ x2 , +∞ ) . Sli~no se re{avaju i ostali slu~ajevi kvadratnih nejedna~ina. Slu~aj a < 0 svodimo na slu~aj a > 0 mno`ewem kvadratne nejedna~ine sa −1 i vode}i ra~una da se pri tome mewa smer nejednakosti. Ipak, kvadratnu jedna~inu je najjednostavnije re{avati skicirawem odgovaraju}eg grafika kvadratne funkcije.
39
6. LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA 6.1. Linearna funkcija Op{ti oblik linearne funkcije je
y = f ( x ) = kx + n,
Domen funkcije je D f
( k ,n ∈ R ) . = R = ( −∞ , +∞ ) , a skup wenih vrednosti
R f = R za k ≠ 0 i R f = {n} za k = 0. Grafik svake linearne funkcije je prava (sl. 7). Broj k = tg α je koeficijent pravca prave tj. tangens ugla α koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x -ose. Veli~ina n je odse~ak na y -osi, tj. ordinata prese~ne ta~ke prave sa y -osom.
n za k ≠ 0. Za k = 0 i n ≠ 0 k funkcija nema nula. Ako je k = n = 0 , funkcija se svodi na y = 0 i wen grafik je x -osa. Funkcija je striktno rastu}a za k > 0 , striktno opadaju}a za k < 0 i konstantna za k = 0. Nula linearne funkcije je x = −
Nije svaka prava grafik neke linearne funkcije. Prave paralelne sa y -osom, tj. prave sa jedna~inom x = a ( a ∈ R ) ne predstavqaju grafik nijedne linearne funkcije y
y
−n k
y = kx + n k >0
n
α
y = kx + n k <0
0
x
0
n
(a)
(b)
y
y n
x
x=a
y=n
k =0 0
α
−n k
(v)
a 0
x
Sl. 7
40
(g) x
6.2. Kvadratna funkcija Op{ti oblik kvadratne funkcije je
y = f ( x ) = ax 2 + bx + c,
Domen funkcije je D f
( a,b,c ∈ R, a ≠ 0 ) . = ( −∞ , +∞ ) , a skup wenih vrednosti
⎡ 4ac − b 2 ⎞ ⎛ 4ac − b 2 ⎤ Rf = ⎢ , + ∞ ⎟ za a > 0 i R f = ⎜ −∞ , ⎥ za a < 0. 4a ⎦ ⎣ 4a ⎠ ⎝ Grafik svake kvadratne funkcije je parabola (sl. 8). Teme
⎛
b 4ac − b 2 ⎞ , ⎟. 4a ⎠ ⎝ 2a
parabole je wena ta~ka T ⎜ −
a>0
y
y
c
T
a<0
c T
0
−
b 2a
0
x
−
b 2a
x
Sl. 8
⎛ ⎝
Ako je a > 0 , funkcija je konveksna, opada za x ∈ ⎜ −∞ , −
b ⎞ ⎟, 2a ⎠
b 4ac − b 2 ⎛ b ⎞ ima minimum ymin = ⋅ , +∞ ⎟ i za x = − 4a 2a ⎝ 2a ⎠
raste za x ∈ ⎜ −
Teme parabole je wena najni`a ta~ka.
⎛ ⎝
Ako je a < 0 , funkcija je konkavna, raste za x ∈ ⎜ −∞ , −
b ⎞ ⎟, 2a ⎠
b 4ac − b 2 ⎛ b ⎞ ima maksimum ymax = ⋅ , +∞ ⎟ i za x = − 4a 2a ⎝ 2a ⎠
opada za x ∈ ⎜ −
Teme parabole je wena najvi{a ta~ka. Ordinata prese~ne ta~ke parabole sa y -osom je y = f ( 0 ) = c.
41
Skicirawe grafika kvadratne funkcije omogu}uje jednostavno re{avawe odgovaraju}e kvadratnie nejedna~ine. Pri tome su od zna~aja samo broj realnih nula funkcije i znak koeficijenta а . Broj realnih nula kvadratne funkcije, tj. broj realnih re{e-
ax 2 + bx + c = 0 , zavisi od znaka diskriminante
wa jedna~ine
D = b 2 − 4ac.
Ako je D > 0 , funkcija ima dve razli~ite realne nule i parabola u dvema ta~kama se~e x -osu (sl. 9). y
a>0 y
0
x1
x2
x
0
a<0
T
x1
x2
T
Sl. 9 U ovom slu~aju (pod pretpostavkom da je x1 < x2 ) va`i:
ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ,x1 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ x2 , +∞ ) ,⎫ ⎪ ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ,x1 ) ∪ ( x2 , +∞ ) , ⎪⎪ ⎬ (za a > 0 ) ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ ⎡⎣ x1 ,x2 ⎤⎦ , ⎪ ⎪ ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈ ( x1 ,x2 ) , ⎪⎭ i
ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ,x1 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ x2 , +∞ ) ,⎫ ⎪ 2 ax + bx + c < 0 ⇔ x ∈ ( −∞ ,x1 ) ∪ ( x2 , +∞ ) , ⎪⎪ ⎬ (za a < 0 ) ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ ⎡⎣ x1 ,x2 ⎤⎦ , ⎪ ⎪ ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ( x1 ,x2 ) . ⎪⎭
42
x
Za D = 0 (sl. 10) kvadratna funkcija ima jednu dvostruku realnu nulu, parabola svojim temenom dodiruje x -osu i va`i:
ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) ,
⎫ ⎪ b ⎞ ⎛ b ⎛ ⎞ ⎪ 2 ax + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ⎜ −∞ , − ⎟ ∪ ⎜ − , +∞ ⎟ , ⎪ ⎪ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎝ ⎠ ⎬ (za a > 0 ) b 2 ⎪ ax + bx + c ≤ 0 ⇔ x = − , ⎪ 2a ⎪ ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎪⎭ i
b ⎫ , ⎪ 2a ⎪ ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎪⎪ ⎬ (za a < 0 ) b ⎞ ⎛ b ⎛ ⎞ ⎪ 2 ax + bx + c < 0 ⇔ x ∈ ⎜ −∞ , − ⎟ ∪ ⎜ − , +∞ ⎟ , 2 a ⎠ ⎝ 2a ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) . ⎪⎭ ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x = −
a>0
y
a<0 y
T 0
−
b 2a
0
x
−
b 2a T
x
Sl. 10 Ako je D < 0 (sl. 11), kvadratna funkcija nema realnih nula i parabola se nalazi ili iznad (za a > 0 ) ili ispod (za a < 0 ) x -ose i va`i:
43
ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) ,
⎫ ⎪ ⎪⎪ ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) , ⎬ (za a > 0 ) ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎪ ⎪ ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎪⎭ i
ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎫ ⎪ ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈∅ ( нема реалних решења ) ,⎪⎪ ⎬ (za a < 0 ) ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) , ⎪ ⎪ ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ ( −∞ , +∞ ) . ⎪⎭ y
a>0 a<0
y T 0
0
x
Sl. 11
Kanonski oblik kvadratne funkcije je
(
)
y = a ( x − α) + β , pri ~emu je α = −
2
b 4ac − b 2 ⋅ a β= 2a 4a 2
44
x T
7. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA. EKSPONENCIJALNE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 7.1. Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika
y = f ( x) = ax ,
( а > 0, a ≠ 1) . = R = ( −∞ , +∞ ) , a skup
Domen funkcije je D f
vrednosti
funkcije R f = ( 0 , +∞ ) .
Za a > 1 funkcija je strogo rastu}a, a za 0 < a < 1 strogo opadaju}a. Grafici eksponencijalnih funkcija dati su na slici (sl. 12).
y
y
a
x
a >1
0 < a <1 a
x
a 1 0
x
1
a 0
1 1
x
Sl. 12
7.2. Eksponencijalne jedna~ine Eksponencijalne jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepoznata nalazi u izlo`iocu (eksponentu) stepena. Pri re{avawu eksponencijalnih jedna~ina koristimo se svojstvom injektivnosti eksponencijalne funkcije: x
x
a 1 = a 2 ⇔ x1 = x2 .
45
Za date funkcije g i h , re{ewe eksponencijalne jedna~ine g x h x a ( ) =a ( )
{
je x ∈ R x ∈ Dg ∩ Dh
0 < a ≠ 1.
} za a = 1 i {x ∈ R x ∈ D
g
}
∩ Dh ∧ g ( x ) = h ( x ) za
7.3. Eksponencijalne nejedna~ine Eksponencijalne nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepoznata nalazi u izlo`iocu (eksponentu) stepena. Pri re{avawu eksponencijalnih nejedna~ina koristimo se svojstvom stroge monotonosti eksponencijalne funkcije y = a x : ra{}ewa za a > 1 i opadawa za 0 < a < 1 . Za date funkcije g i h va`i: g( x) h( x ) ⎫
⇔ x ∈ Dg ∩ Dh ∧ g ( x ) < h ( x ) ,⎪ ⎬ ( ако је a > 1) g x h x a ( ) > a ( ) ⇔ x ∈ Dg ∩ Dh ∧ g ( x ) > h ( x ) ,⎪ ⎭ a
i
g x h x a ( ) < a ( ) ⇔ x ∈ Dg ∩ Dh ∧ g ( x ) > h ( x ) ,⎫⎪ ⎬ ( ако је 0 < a < 1) g x h x a ( ) > a ( ) ⇔ x ∈ Dg ∩ Dh ∧ g ( x ) < h ( x ) .⎪ ⎭
Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ≤ , odnosno ≥ .
8 . LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA. LOGARITAMSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 8.1. Logaritam Logaritam broja b > 0 za datu osnovu (bazu) a
( a > 0, a ≠ 1) , u
oznaci log a b , je broj kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobio broj b . Broj b se zove numerus logaritma.
46
Prema tome, imamo da je
c = log a b ⇔ a c = b ,
( a > 0,a ≠ 1, b > 0 ) ,
odnosno
a
log a b
=b .
Osnovne osobine logaritma su:
log a 1 = 0, log a a = 1,
log a ( b ⋅ c ) = log a b + log a c, b = log a b − log a c, c log a b x = x log a b, log a
log a b = log a b =
logc b logc a
,
1 , logb a
log a k b =
1 log a b. k
(U svim navedenim relacijama pretpostavqamo da su osnove logaritama iz ( 0 ,1) ∪ (1, +∞ ) , da su svi numerusi pozitivni i da su imenioci razlomaka razli~iti od nule). Dekadni logaritmi su logaritmi sa osnovom 10. Po dogovoru pi{emo
log10 x = log x.
Prirodni
logaritmi su logaritmi e ( e = 2, 7182818...) . Uobi~ajeno je pisati
log e x = ln x.
47
sa
osnovom
8.2. Logaritamska funkcija Logaritamska funkcija je funkcija oblika
y = f ( x ) = log a x,
( a > 0, a ≠ 1) . Domen logaritamske funkcije je D f = ( 0 , +∞ ) , vrednosti funkcije R f = ( −∞ , +∞ ) .
a skup
Funkcija je strogo rastu}a za a > 1, a strogo opadaju}a za
0 < a < 1.
Grafici tipi~nih logaritamskih funkcija dati su na slici (sl. 13). y
y
0 < a <1
y = log a x
1 0
1 x
1a
0 a
a >1
1
x
y = log a x Sl. 13
Nula svake logaritamske funkcije je x = 1 , tj. grafik logaritamske funkcije se~e x -osu u ta~ki sa apscisom x = 1. Logaritamska funkcija y = log a x je inverzna eksponencijalnoj funkciji y = a x , i zato su wihovi grafici simetri~ni u odnosu na pravu y = x.
8.3. Logaritamske jedna~ine Logaritamske jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepoznata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma. Pri re{avawu logaritamskih jedna~ina koristimo se svojstvom injektivnosti logaritamske funkcije, kao i ~iwenicom da nu-
48
merus svake logaritamske funkcije mora biti pozitivan realan broj. Prema tome, za a > 0 , a ≠ 1 i za date funkcije g i h , va`i
log a g ( x ) = log a h ( x ) ⇔ g ( x ) = h ( x ) ∧ g ( x ) > 0 ∧ h ( x ) > 0.
8.4. Logaritamske nejedna~ine Logaritamske nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepoznata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma. Pri re{avawu logaritamskih nejedna~ina koristimo se svojstvom stroge monotonosti logaritamske funkcije (ra{}ewa za a > 1 i opadawa za 0 < a < 1 ), kao i ~iwenicom da numerus svake logaritamske funkcije mora biti pozitivan realan broj. Ako su g i h date funkcije, onda va`i:
log a g ( x ) < log a h ( x ) ⇔ g ( x ) < h ( x ) ∧ g ( x ) > 0 ,⎫⎪ ⎬ (za a > 1 ) log a g ( x ) > log a h ( x ) ⇔ g ( x ) > h ( x ) ∧ h ( x ) > 0 , ⎪⎭ i
log a g ( x ) < log a h ( x ) ⇔ g ( x ) > h ( x ) ∧ h ( x ) > 0 , ⎫⎪ ⎬ (za 0 < a < 1 ) log a g ( x ) > log a h ( x ) ⇔ g ( x ) < h ( x ) ∧ g ( x ) > 0.⎪⎭ Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa ≤ , odnosno ≥ .
49
9. OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI 9.1. Ugao Ugao je unija dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom i jedne od dve oblasti na koje te dve poluprave dele ravan (sl. 14).
q
q
B
α
α
p
O
O
A
p
Sl. 14 Zajedni~ki po~etak O je teme ugla, a poluprave Op i Oq su kraci ugla. Oznaka ugla je α , ∠pOq ili ∠AOB , pri ~emu je A ∈ p , a B ∈ q . Oznaka za teme ugla pi{e se izme|u p i q , odnosno , izme|u A i B , dok redosled oznaka p i q , odnosno A i B nije bitan. Da bi smo naglasili koja od dve oblsti ravni je oblast ugla, ako je to potrebno, mo`emo to u~initi navo|ewem bilo koje ta~ke iz unutra{wosti te oblasti. Ako se poluprave Op i Oq poklapaju i ako je oblast ugla ravan bez poluprave Op, onda se dobijeni ugao naziva pun ugao, a ako je oblast ugla prazan skup, onda se dobijeni ugao naziva nula-ugao. Ako je unija polupravih Op i Oq prava, a oblast ugla poluravan, onda se dobijeni ugao naziva opru`en ugao. Dva ugla u ravni, ∠pOr i ∠rOq , sa zajedni~kim krakom Or nazivaju se susednim uglovima (sl.15), ako osim ta~aka zajedni~kog kraka nemaju drugih zajedni~kih ta~aka.
q
r
r
p
O
q
p O
Sl. 15
50
Sl. 16
Sl. 17
Ugao pOr je mawi od ugla pOq, ako se krak Or ugla pOr nalazi u oblasti ugla pOq, a oblast ugla pOr je podskup oblasti ugla pOq . Ako je unija krakova, koji nisu zajedni~ki, prava, za uglove ka`emo da su naporedni (sl. 16). Ugao je prav ako je podudaran svom naporednom uglu (sl. 17), a o{tar ili tup ako je mawi ili ve}i od svog naporednog ugla. Neka je AB du` u ravni ugla ∠pOq , takva da je A ∈ Op i B ∈ Oq . Ugao ∠pOq je konveksan (ispup~en) ako je AB ⊂ ∠pOq (sl.18; sl.20), a nekonveksan (udubqen) ako je AB ∩ ∠pOq = {A, B} (sl.19; sl.21).
q B
α
α O
p
O
p
A
q
B
A
Sl. 18
Sl. 19
q
α
B
O
α O
A
p
q
Sl. 20
A
p
B
Sl. 21
Dva ugla su jednaka ako se izometrijskim transformacijama mogu dovesti do poklapawa. Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki ako su oba o{tra ili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 22).
Sl. 22
51
Uglovi sa normalnim kracima su jednaki ako su oba o{tra ili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 23).
Sl. 23
9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla Ako kraci ugla pOq ~ine ure|en par (Op, Oq ) , onda se ka`e
da je ugao pOq orijentisan i ozna~ava se sa ∠ ( Op,Oq ) . Ako se prvi
krak rotira oko temena O do poklapawa sa drugim krakom u smeru suprotnom od kretawa kazaqki na ~asovniku (pozitivni smer), ugao je pozitivan ; ina~e je negativan . Ako se posle rotacije od punog ugla nastavi rotacija u pozitivnom smeru do poklapawa sa drugim krakom, dobija se ugao ve}i od punog ugla. Ako se prvo izvr{i k ( k ∈ N ) rotacija za pun ugao i nastavi rotacija do poklapawa sa drugim krakom, dobija se proizvoqno veliki pozitivni ugao. Ako se rotacije vr{e u negativnom smeru, dobijaju se negativni uglovi.
( )
Ugao koji je 90 -ti deo pravog ugla ima meru jedan stepen 1 .
Mawe merne jedinice su jedan minut (1′) i jedan sekund (1′′) , pri ~emu je:
1 = 60′
i
1′ = 60′′ ,
odakle
′ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1′′ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⋅ ⎟ . ⎝ 60 ⎠ ⎝ 60 60 ⎠
52
sledi
da
je
⎛ 1 ⎞ 1′ = ⎜ ⎟ ⎝ 60 ⎠
i
Prema tome, pun ugao ima 360 stepeni ( 360 ), a opru`en ugao ima
180 stepeni ( 180 ). q
r2 O
l1
l2 p
r1
Sl. 24
Neka je ∠pOq centralni ugao kruga k1 (O, r1 ) i neka je k 2 (O, r2 ) bilo koji, wemu koncentri~an krug (sl. 24). Odnos kru`nog luka u oblasti ugla i odgovaraju}eg polupre~nika kruga je stalan
⎛ l1 l 2 ⎞ ⎜⎜ = ⎟⎟ , pa se mo`e uzeti za meru ugla. Ova mera se naziva ⎝ r1 r2 ⎠ l radijanska mera ugla. Ako je = 1 , odgovaraju}i ugao ima meru jedan r radijan (1 rad ili samo 1). Za kru`ni luk koji odgovara punom uglu va`i l = 2rπ , pa pun ugao ima 2π radijana, a opru`en ugao ima π radijana. Ako je polupre~nik kruga r = 1 , onda se radijanska mera ugla svodi na merni broj du`ine odgovaraju}eg kru`nog luka u oblasti ugla. U narednoj tablici navedene su radijanske i odgovaraju}e stepene mere nekih uglova:
radijanska
0
π
π
π
π
6
4
3
2
mera ugla stepena
0
30
45
60
mera ugla .
53
90
π 180
3π 2 270
2π 360
9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla Neka je α o{tar ugao pravouglog trougla ABC sa pravim uglom kod temena C , katetom a naspram ugla α , katetom b koja je krak ugla α i hipotenuzom c (sl. 25). Tada je:
sin α =
cos α =
c
⎛ nalegla kateta ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ hipotenuza ⎠
b c
a tgα = b ctgα =
B
⎛ naspramna kateta ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ , hipotenuza ⎝ ⎠
a c
a
α
⎛ naspramna kateta ⎞ ⎜ ⎟, ⎝ nalegla kateta ⎠
А
•
C
b Sl. 25
⎛ nalegla kateta ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ naspramna kateta ⎠
b a
Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih o{trih uglova date su u narednoj tablici, a s tim u vezi treba obratiti pa`wu na slike 26 i 27.
sin α cos α
30
45
60
1 2 3 2
2 2 2 2
3 2 1 2 3 3
tgα
3
1
ctgα
3 3
1
45
30
1
2
3 2
60
•
1 2
Sl. 26
3
54
1
45
1 Sl. 27
9.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla Neka je k jedini~ni krug sa centrom u koordinatnom po~etku i ∠(O p , Oq ) orijentisani ugao, gde je prvi krak O p pozitivni deo x -ose, a drugi krak Oq se dobija rotacijom kraka O p za ugao α oko temena O . Neka je Oq ∩ k = {M } i neka su x M и y M koordinate ta~ke M ( sl. 28). Ako je α radijanska mera ugla svako α ∈ R po definiciji:
(O p , Oq ) , tada je za
sin α = yM ;
ctgα =
cos α = xM ;
tgα =
yM , xM ≠ 0 ; xM
xM , yM ≠ 0 . yM
Polo`aj drugog kraka Oq ne}e se promeniti posle rotacije od punog ugla , a odnos
xM y , kao ni odnos M , kada su definisani, yM xM
ne}e se promeniti posle rotacije od polovine punog ugla, pa na osnovu prethodne definicije sledi da su trigonometrijske funkcije proizvoqnog ugla periodi~ne. Za funkcije y = sin x, x ∈ R i y = cos x, x ∈ R osnovni period je 2π , a za funkcije
y = tgx, x ≠ je π .
π
2
+ kπ , k ∈ Z i y = ctgx , x ≠ kπ , k ∈ Z osnovni period
y 1
yM
q M
α –1
0
–1
Sl. 28
55
xM
p 1 x
t
Za funkcije y = sin (ω x + ϕ ) i y = cos(ωx + ϕ ), x ∈ R i ω ≠ 0
T=
osnovni period je
ωx +ϕ ≠ je T =
π
π . ω
2
2π
ω
, a
za
funkcije
+ kπ i y = ctg (ωx + ϕ ) , ω x + ϕ ≠
π 2
y = tg (ω x + ϕ ) ,
+ kπ osnovni period
Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova date su u narednoj tablici (oznaka − zna~i da funkcija nije definisana za odre|eni ugao).
π
π
π
6 1 2 3 2
4 2 2 2 2
tgα
3
1
3 3 2 1 2 3 3
ctgα
3 3
1
sin α cos α
3
56
0
π 2
π
3π 2
2π
0
1
0
−1
0
1
0
−1
0
1
0
−
0
−
0
−
0
−
0
−
9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla Kako su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vrednosti ovih funkcija za proizvoqan ugao mogu izraziti pomo}u vrednosti trigonometrijskih funkcija za o{tar ugao :
q β
0
q
α
α p
0
p
Sl. 30
Sl. 29
sinβ = sin (2kπ + α ) = sinα , k ∈ Z ; cosβ = cos (2kπ + α ) = cos α , k ∈ Z ; q
β
⎛π ⎞ sinβ = sin⎜ − α ⎟ = cosα ; ⎝2 ⎠ π ⎛ ⎞ cosβ = cos⎜ − α ⎟ = sinα ; ⎝2 ⎠ q
α β 0
α β
p
0
Sl. 31
p
Sl. 32
⎛π ⎞ sinβ = sin⎜ + α ⎟ = cosα ; ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cosβ = cos⎜ + α ⎟ = − sinα ; ⎝2 ⎠
sinβ = sin (π − α ) = sinα ; cosβ = cos (π − α ) = −cosα ;
57
α
β
β
p
0
α
q
p
0
q Sl. 34
Sl. 33
⎛ 3π ⎞ sinβ = sin⎜ − α ⎟ = −cosα ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ cosβ = cos⎜ − α ⎟ = − sinα ; ⎝ 2 ⎠
sinβ = sin (π + α ) = − sinα ; cosβ = cos (π + α ) = −cosα ;
β 0
β 0 α
p
α
q
p q
Sl. 35
Sl. 36
⎛ 3π ⎞ sinβ = sin⎜ + α ⎟ = −cosα ; ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3π ⎞ cosβ = cos ⎜ + α ⎟ = sinα ; ⎝ 2 ⎠
sinβ = sin (2π − α ) = − sinα ; cosβ = cos (2π − α ) = cosα .
Za ugao −α va`i :
sinβ = sin (0 − α ) = − sinα ; cosβ = cos(0 − α ) = cosα .
0 β
p
α q
Sl. 37
58
Za ostale trigonometrijske funkcije svo|ewe se vr{i na osnovu prethodno navedenih formula i trigonometrijskih identiteta.
9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti 1. 2. 3. 4. 5.
sin 2 α + cos 2 α = 1 π sin α tgα = , α ≠ + kπ , k ∈ Z cos α 2 cos α ctgα = , α ≠ kπ , k ∈ Z sin α kπ tgα ⋅ ctgα = 1 , α ≠ 2 2 cos α cos 2 α 1 cos 2 α = , = = 2 2 2 1 sin α + cos α tg α + 1
α≠ 6.
π
2
+ kπ , k ∈ Z
sin 2 α =
α≠
π
sin 2 α sin 2 α tg 2α , = = 1 sin 2 α + cos 2 α tg 2α + 1
+ kπ , k ∈ Z 2 9.7. Adicione formule sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin 2α = 2 sin α cos α sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos 2α = cos 2 α − sin 2 α cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tgα + tgβ π 5. tg (α + β ) = , α , β , α + β ≠ + kπ , k ∈ Z 1 − tgα tgβ 2 2tgα 5.а) tg 2α = 1 − tg 2α
1. 1.а) 2. 3. 3.а) 4.
59
tgα − tgβ , α , β ,α − β 1 + tgα tgβ ctgα ctgβ − 1 7. ctg (α + β ) = , α , β ,α + β ctgα + ctgβ ctg 2α − 1 7.а) ctg 2α = 2ctgα ctgα ctgβ + 1 8. ctg (α − β ) = , α , β ,α − β ctgβ − ctgα 9. Из cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 1 + cos 2α cos 2 α = . 2 Из cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α 1 − cos 2α sin 2 α = . 2 Из претходне две формуле следи да је
6.
tg (α − β ) =
tg 2α =
10. sin α =
1 − cos 2α 1 + cos 2α
sin cos α =
α
2 sin 2 α
2
cos 2 sin
2
cos
+ cos
α 2
2 α
2
2
2 α
=
tg
2
− sin 2 + cos
2tg
α 2 =
2 α
2
2
1 − tg 2 1 + tg
,
+1
2
α 2 .
2 α
2
Из претходне две формуле следи да је tgα =
2tg 1 − tg
α
2
2 α
и
ctgα =
1 − tg 2 2tg
2
60
α
α 2
2
+ kπ , k ∈ Z
≠ kπ , k ∈ Z
α
2 α
π
≠ kπ , k ∈ Z
ctg 2α =
и
α
≠
2 .
следи да је
следи да је
1 + cos 2α . 1 − cos 2α
9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod α+β α −β cos 1. sin α + sin β = 2 sin 2 2 α +β α −β 2. sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α −β 3. cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β 4. cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 π sin (α ± β ) 5. tgα ± tgβ = , α , β ≠ + kπ , k ∈ Z cos α cos β 2 sin (β ± α ) 6. ctgα ± ctgβ = , α , β ≠ kπ , k ∈ Z sin α sin β 9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir 1 1. sin α cos β = [sin (α + β ) + sin (α − β )] 2 1 2. cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 3. sin α sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )] 2 9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija 1.
y = sinx
y
1
π
0 -1
Sl. 38
Основни период функције y = sinx је 2π . 61
2π
x
2.
y = cosx
y
1
π
0
x
2π
-1
Sl. 39
Основни период функције y = cosx је 2π . ⎛π ⎞ sin⎜ − x ⎟ = cosx ⎝2 ⎠
y
1
π
0
x
2π
-1
Sl. 40
3. y=tgx y
− 3π 2
−2π
−π
π 2
−π 2 0
Sl. 41
Основни период функције y=tgx је π . 62
3π 2
5π 2 2π
x
4. y=ctgx y
− 3π 2
−2π
−π
−π 2
π 2 0
Sl.42
Основни период функције y=ctgx је π .
63
π
5π 2
3π 2 2π
3π
x
9.11. Inverzne trigonometrijske funkcije 1. y = arcsinx y
Функција f : [− π 2, π 2] → [− 1,1] f (x ) = sinx је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање).
1 −π 2
0
π 2
-1
x
Sl. 43
y π 2
Инверзна функција функције f је функција -1
0
−π 2
1
f −1 : [− 1,1] → [− π 2, π 2] f −1 ( x ) = arcsinx .
x
Sl. 44
y π 2 1
−π 2
-1
0
Графици функција f и f симетрични у односу на праву y = x .
1 π 2 x
-1 −π 2
Sl. 45
64
−1
су
2. y = arccosx y
Функција f : [0, π ] → [− 1,1] f ( x ) = cosx је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање).
1
π π 2
0
x
–1
Sl. 46 y
π Инверзна функција функције f је функција
π 2
f f –1
−1
: [− 1,1] → [0, π ] (x ) = arccosx .
x 1 Sl. 47
0 y
−1
π π 2
1
π 2 –1
0
1
π
x
–1
Sl. 48
65
Графици функција f и f −1 су симетрични у односу на праву y = x .
3. y = arctgx y
Функција −π 2
π 2
0
f : (− π 2 , π 2 ) → (− ∞, ∞ ) f ( x ) = tgx је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање).
x
Sl. 49 y
π 2
Инверзна функција функције f је функција x
0
−π 2
f −1 : (− ∞, ∞ ) → (− π 2 , π 2 ) f −1 ( x ) = arctgx .
Sl. 50 y π 2
Графици функција f и f −1 су симетрични у односу на праву y = x .
π 2
−π 2
0
x
−π 2
Sl. 51
66
4. y = arcctgx y
Функција
π 2
0
π
f : (− π 2 , π 2) → (− ∞, ∞ ) f (x ) = ctgx
x
Sl. 52
y
је бијeкција (обостраноједнозначно пресликавање).
Инверзна функција функције f је функција
π π 2
f −1 : ( −∞, ∞ ) → ( 0, π ) x
0
f
−1
(x ) = arcctgx .
Sl. 53 y
π π 2
0
π 2
π
x
Sl. 54
67
Графици функција f и f −1 су симетрични у односу на праву y = x .
10. TRIGONOMETRIJSKE JEDNA^INE I NEJEDNA^INE 10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine 1
sinx = a , a ≤ 1
2
cosx = a , a ≤ 1
x = arcsina + 2kπ , ili x = π − arcsina + 2kπ , k ∈ Z x = ± arccosa + 2kπ , k ∈ Z
3 4
tgx = a , a ∈ R ctgx = a , a ∈ R
x = arctga + kπ , k ∈ Z x = arcctga + kπ , k ∈ Z
6
Pn (t ) = 0 t ∈ {sinx,cosx,tgx,ctgx} sinax ± sinbx = 0 cosax ± cosbx = 0 tgax ± tgbx = 0 ctgax ± ctgbx = 0
7
+ kπ , k ∈ Z дељењем 2 asinx + bcosx = 0, a ≠ 0 , b ≠ 0 са cosx , једначина се своди на једначину типа 3.
5
Одговарајућом сменом своде се на алгебарске једначине. Трансформацијом збира и разлике тригонометријских функција у производ своде се на једначине типа 1,2,3,4. За x ≠
8
asinx + bcosx = c , a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
π
Дељењем са a 2 + b 2 једначина се своди на једначину типа 1.
c < a2 + b2
За a ≠ 0 deqewem sa
9
10
asin x + bsinxcosx + ccos x = 0 cos 2 x ≠ 0 своди се на једначину atg 2 x + btgx + c = 0 (тип 5) Ако десну страну једначине напишемо у облику asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d d sin 2 x + cos 2 x , сређивањем добијамо једначину типа 9. 2
2
(
68
)
10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine Nejedna~ine sin x ≤ a i cos x ≤ a za a < −1 nemaju re{ewa, dok su za a > 1 re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi. Nejedna~ine sin x ≥ a i cos x ≥ a za a > 1 nemaju re{ewa, dok su za a < −1 re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi. Nejedna~ine sin x ≤ a , cos x ≤ a , sin x ≥ a i cos x ≥ a za a ≤ 1 , zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcija, mo`emo re{avati prvo u bilo kom intervalu du`ine 2π , a zatim odrediti skup svih re{ewa. Osnovni interval treba pogodno izabrati, tako da skup re{ewa iz tog intervala opet bude jedan interval. 1.Nejedna~inu sin x ≤ a , a ≤ 1 prvo re{avamo u intervalu
⎡ 3π π ⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ , (sl. 55). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval ⎣ ⎦ [α , β ] ⊂ ⎡⎢− 3π , π ⎤⎥ , pri ~emu je β = arcsina i α = −π − arcsina , onda ⎣ 2 2⎦ je
skup
svih
re{ewa date nejedna~ine unija intervala [α + 2kπ , β + 2kπ ], k ∈ Z . Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (α + 2kπ , β + 2kπ ), k ∈ Z . y a
−3π 2
α
1 0 β
π2
x
-1
Sl. 55 Pri re{avawu trigonometrijskih nejedna~ina, osim grafika trigonometrijskih funkcija pogodno je koristiti i trigonometrijski krug.
69
y
−
π
3π 2
α
2
β
a
x
1
Sl. 56 Na slici 56 oznake α , β , 2. Nejedna~inu
π 2
,−
3π su radijanske mere uglova. 2
sin x ≥ a , a ≤ 1
prvo re{avamo u intervalu
⎡ π 3π ⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ ,(sl. 57). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval ⎣ ⎦ [α , β ] ⊂ ⎡⎢− π , 3π ⎤⎥ , pri ~emu je α = arcsina i β = π − arcsina , onda je ⎣ 2 2⎦ skup
svih
re{ewa
[α + 2kπ , β + 2kπ ], k ∈ Z .
date
nejedna~ine
unija
intervala
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (α + 2kπ , β + 2kπ ), k ∈ Z . y
−π 2
a 0
1
β
α -1
Sl. 57
70
3π 2
x
y
α
β a
x
1
0
π 3π − 2 2
Sl. 58 Na slici 58 oznake α , β ,−
π 3π
, su radijanske mere uglova. 2 2 3. Nejedna~ina cos x ≥ a , a ≤ 1 prvo se re{ava u intervalu
[− π , π ] ,(sl. 59). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval [α , β ] ⊂ [− π , π ], pri ~emu je α = −arccosa i β = arccosa , onda je skup svih
re{ewa
date nejedna~ine unija intervala [α + 2kπ , β + 2kπ ], k ∈ Z . Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (α + 2kπ , β + 2kπ ), k ∈ Z .
y 1
−π
α
a 0
β
-1
Sl. 59
71
π
x
y
β
π
a
0
−π
1
x
α
Sl. 60 Na slici 60 oznake α , β , π ,−π su radijanske mere uglova. 4. Nejedna~inu cos x ≤ a , a ≤ 1 prvo re{avamo u intervalu
[0,2π ] ,(sl. 61). Ako [α , β ] ⊂ [0,2π ], gde je
α = arccosa i β = 2π − arccosa , onda je skup
svih
date
re{ewa
je skup re{ewa ove nejedna~ine interval
[α + 2kπ , β + 2kπ ], k ∈ Z .
nejedna~ine
unija
intervala
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (α + 2kπ , β + 2kπ ), k ∈ Z . y
1 a 0
α
-1
Sl. 61
72
β
2π
x
y 1
α a 0
2π x
0
β
Sl. 62 Na slici 62 oznake α , β , 0 и 2π su radijanske mere uglova. Nejedna~ine tgx ≤ a , ctgx ≤ a , tgx ≥ a i ctgx ≥ a imaju re{ewa za svako realno a . Ove nejedna~ine prvo se re{avaju u nekom (pogodnom) intervalu du`ine π , a zatim se nalaze i sva ostala re{ewa. 5.
Nejedna~ina
tgx ≤ a , a ∈ R
prvo
se
re{ava
u
⎛ π π⎞ , ⎟ , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine ⎝ 2 2⎠ ⎛ π ⎤ ⎛ π π⎞ interval ⎜ − , α ⎥ ⊂ ⎜ − , ⎟ , pri ~emu je α = arctga , onda je skup ⎝ 2 ⎦ ⎝ 2 2⎠
intervalu ⎜ −
svih
re{ewa
date
nejedna~ine
⎛ π ⎤ + kπ , α + kπ ⎥ , k ∈ Z . ⎝ 2 ⎦
unija
intervala ⎜ −
Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
⎛ π ⎞ + kπ , α + kπ ⎟ , k ∈ Z . ⎝ 2 ⎠
re{ewa unija otvorenih intervala ⎜ −
73
y
a −3π 2
−2π
−π
y=a
−π 2
α
0
3π 2
π 2
2π
Sl. 63
y a
α
π 2
0 1 −
π 2
Sl. 64
74
5π 2
x
x
Na slici 64 oznake α ,
π
,−
π
su radijanske mere uglova.
2 2 6. Nejedna~ina tgx ≥ a , a ∈ R
prvo se re{ava u interva-
⎛ π π⎞ , ⎟ , (sl. 63). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval ⎝ 2 2⎠ ⎡ π⎞ ⎛ π π⎞ ⎢α , 2 ⎟ ⊂ ⎜ − 2 , 2 ⎟ , pri ~emu je α = arctga ,onda je skup svih re{ewa ⎣ ⎠ ⎝ ⎠ π ⎡ ⎞ date nejedna~ine unija intervala ⎢α + kπ , + kπ ⎟ , k ∈ Z . 2 ⎣ ⎠ lu ⎜ −
Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup
π ⎛ ⎞ + kπ ⎟ , k ∈ Z . 2 ⎝ ⎠ 7. Nejedna~ina ctgx ≤ a , a ∈ R prvo se re{ava u intervalu (0, π ) , (sl. 65). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval [α , π ) , pri ~emu je α = arcctga , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala [α + kπ , π + kπ ) , k ∈ Z .
re{ewa unija otvorenih intervala ⎜ α + kπ ,
Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (α + kπ , π + kπ ), k ∈ Z . y
y=a
−2π
−π −3π 2
π
0
−π 2
α
π2
3π 2
Sl. 65
75
3π
2π 5π 2
x
y
1
α
π -1
.
a
0
0 1
x
Sl. 66
Na slici 66 oznake α , 0 и π su radijanske mere uglova. 8. Nejedna~ina ctgx ≥ a , a ∈ R prvo se re{ava u intervalu
(0, π ) . Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval (0, α ], pri ~emu
je α = arcctga , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala (kπ , α + kπ ] , k ∈ Z . Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup re{ewa unija otvorenih intervala (kπ , α + kπ ), k ∈ Z .
76
11. PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI I STEREOMETRIJI 11.1. Povr{ina trougla Kako je
ha ah ac sin β = sin β , to je ha = c sin β , pa je PABC = a = 2 2 c
(sl. 67). Sli~no se dobija da je
A
chc cb sin α = i 2 2 bh ba sin γ = b = . 2 2
PABC = PABC
b
c
B
ha
β
C
a
11.2. Sinusna i kosinusna teorema
Sl. 67
Ako su a, b i c naspramne stranice uglova α , β i γ proizvoqnog trougla ABC , a R polupre~nik opisanog kruga oko tog trougla (sl. 68) , onda va`i : C
a b c a) = = = 2R sin α sin β sin γ
γ b
(sinusna teorema) b) a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
A
a R c
b = a + c − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 2
2
O
α
β
B
2
(kosinusna teorema).
Sl. 68
11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja Kompleksni broj z = a + bi , kao ta~ka u Gausovoj ravni (sl.69), odre|en je realnim brojevima a i b , a za (a, b ) ≠ (0,0 ) mo`emo ga odrediti i pomo}u rastojawa ρ ta~ke z od koordinatnog po~etka i ugla ϕ koji radijus-vektor ta~ke z gradi sa pozitivnim delom x -ose :
77
ρ = z = a 2 + b2 tgϕ =
( ρ − moduo kompleksnog broja),
b , a ≠ 0 , ϕ ∈ [0,2π ) a
( ϕ − argument kompleksnog broja).
y
z = a + bi
b
ρ
ϕ 0
a
x
Sl. 69
b
= sin ϕ sledi da je b = ρ sin ϕ , a iz
a
= cos ϕ sledi da je ρ ρ a = ρ cos ϕ , to je z = ρ cos ϕ + i ρ sin ϕ , tj. z = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) {to Kako iz
predstavqa trigonometrijski oblik kompleksnog broja z. Za a = 0 i b > 0 je ϕ =
π
2
(sl. 70), a za a = 0 i b < 0 je ϕ =
3π (sl. 71). 2
z = bi
z = bi Sl. 70
Sl. 71
Ako je z1 = ρ 1 (cos ϕ1 + i sin ϕ 2 ) i z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + sin ϕ 2 ) , tada je:
1. 2. 3. 4.
z1 ⋅ z 2 = ρ1 ρ 2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ 2 + ϕ 2 )) , z1 ρ1 (cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + sin (ϕ1 − ϕ 2 )), ρ 2 ≠ 0 , = z2 ρ 2 z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ ), n ∈ N , (Muavrova formula) ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ ⎞ ⎛ n z = n ρ ⎜ cos + sin ⎟ , k ∈ {0,1,2,..., n − 1} . n n ⎝ ⎠
78
11.4. Primena trigonometrije u stereometriji Ako je H visina, h apotema, r polupre~nik upisanog, a R polupre~nik opisanog kruga osnove pravilne piramide, i ψ nagibni ugao bo~ne strane piramide (sl. 72), onda va`i: H r H r sinψ = ; cosψ = ; tgψ = ; ctgψ = . h h H r
s
h
H a
2
O
r
H
R
ψ
O
d 2
a
ϕ
a
Sl. 72
Sl. 73 Ako je s bo~na ivica piramide (sl. 73), a ϕ nagibni ugao bo~ne ivice prema ravni osnove, onda je : H R H R sin ϕ = ; cos ϕ = ; tgϕ = ; ctgϕ = . s s H R Ako je r polupre~nik osnove kupe (sl.74), H visina kupe, s izvodnica, a ϕ nagibni ugao izvodnice prave kupe prema ravni osnove, onda je:
sin ϕ =
H r H r ; cos ϕ = ; tgϕ = ; ctgϕ = . s s H r
79
H
s ϕ
r
O
Sl. 74
12. VEKTORI, PODUDARNOST, HOMOTETIJA I SLI^NOST 12.1. Vektori Za du` AB ka`emo da je usmerena (orijentisana) ako je precizirano {ta je wena po~etna, odnosno krajwa ta~ka. Ako je A wena po~etna a B krajwa ta~ka, tada se ta usmerena du` ozna~ava sa
AB i zove se vektor.
Svaki vektor karakteri{u pravac, smer i intenzitet. Pravac vektora je odre|en pravom (nosa~em) kojoj vektor pripada. Za vektore koji le`e na istoj pravoj ili na paralelnim pravima, ka`e se da imaju isti pravac ili da su kolinearni. Smer vektora je odre|en izborom po~etne, odnosno krajwe ta~ke vektora. Za dati pravac postoje dva me|usobno razli~ita (suprotna) smera. Intenzitet (du`ina) vektora je rastojawe izme|u wegovih
krajwih ta~aka. Intenzitet vektora a = AB ozna~ava se sa a = AB . Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer i intenzitet. Jednakost vektora je relacija ekvivalencije u skupu svih
vektora u prostoru. Zbog toga, vektor AB mo`emo poistovetiti sa wegovom klasom ekvivalencije, tj. sa skupom svih vektora koji su sa wim jednaki. Iz definicije jednakosti proizlazi da se radi o slobodnim vektorima, odnosno o vektorima koji se ne mewaju ako se paralelno pomeraju kroz prostor.
koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB , ali suprotan Suprotan vektor vektoru AB , u oznaci − AB = BA , je vektor
smer.
Nula vektor, u oznaci 0 , je vektor ~ija se po~etna ta~ka poklapa sa krajwom. Nula vektor nema odre|en ni pravac ni smer i wegov intenzitet je nula. Jedini~ni vektor (ort) je vektor intenziteta jedan. Tri ili vi{e vektora su komplanarni ako le`e u istoj ravni.
Zbir vektora a i b , u oznaci a + b , je vektor koji se od ve-
ktora a i b dobija po pravilu nadovezivawa ili po pravilu paralelograma (sl. 75).
80
a +b
b
b
a +b
a
a Sl. 75
Po pravilu nadovezivawa na kraj vektora a stavqa se po~e-
kraj u kraju vektora b . Po pravilu paralelograma vektor a + b je odre|en dijagonalom paralelograma koji obrazuju vektori a i b . Proizvod skalara (broja) k ∈ R i vektora a je vektor, u ozna ci ka , odre|en sa: (1) ka i a su kolinearni, (2) ka = k ⋅ a , (3) za k > 0 vektori a i ka su istosmerni, a za k < 0 tak vektora b , pa vektor a + b ima po~etak u po~etku vektora a a
suprotnih smerova,
(4) 0 a = 0.
12.2. Podudarnost Du`i AB i CD su podudarne (jednake), u oznaci AB = CD , ako su wihove du`ine (rastojawa izme|u krajwih ta~aka) jednake. Izometrijsko preslikavawe (izometrija) je svako bijektivno preslikavawe figure F u figuru F1 koje du`i preslikava u wima podudarne du`i. Ako postoji izometrija koja figuru F prevodi u figuru F1 , ka`e se da je figura F podudarna figuri F1 i pi{e se
F ≅ F1 .
81
Dva ugla α i β su podudarna (jednaka), u oznaci α = β , ako su im jednake wihove mere (npr. u stepenima). Za podudarnost trouglova (sl. 76) va`e slede}a pravila: (1) (Pravilo SSS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju odgovaraju}e stranice jednake, tj.
Δ ABC ≅ Δ A′B′C ′ ⇔ a = a′ ∧ b = b′ ∧ c = c′.
(2) (Pravilo SUS) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao zahva}en wima, tj.
Δ ABC ≅ Δ A′B′C ′ ⇔ b = b′ ∧ c = c′ ∧ α = α ′.
(3) (Pravilo USU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovaraju}a ugla nalegla na tu stranicu, tj.
Δ ABC ≅ Δ A′B′C ′ ⇔ c = c′ ∧ α = α ′ ∧ β = β ′.
(4) (Pravilo SSU) Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednake po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram jedne od wih, a uglovi naspram druge stranice u oba trougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,
Δ ABC ≅ Δ A′B′C ′ ⇔ a = a′ ∧ b = b′ ∧ α = α ′ ∧ β и β ′ су оба или оштра или права или тупа.
C
C′
γ
γ′
α A
c
a′
b′
a
b
α′
β B
A′
c′
β′
B′
Sl. 76 Dva mnogougla su podudarna ako su im sve odgovaraju}e stranice jednake i svi odgovaraju}i uglovi jednaki. Dva kruga su podudarna ako imaju jednake polupre~nike.
82
Osna simetrija (sl. 77a) u odnosu na pravu (osu) s je preslikavawe ravni koje svaku ta~ku A te ravni preslikava u ta~ku A′ koja je simetri~na sa A u odnosu na pravu s. Centralna simetrija (sl. 77b) ravni π sa centrom S je preslikavawe koje svaku ta~ku A ravni π preslikava u ta~ku A′ koja je simetri~na sa A u odnosu na ta~ku S. Rotacija (sl. 77v) sa centrom u ta~ki S za orijentisani ugao α je preslikavawe koje svaku ta~ku A ravni preslikava u ta~ku A′ iste ravni, tako da je SA′ = SA i ASA′ = α . Translacija (sl. 77g) ravni za vektor v je preslikavawe te ravni kojim se svaka ta~ka A te ravni preslikava u ta~ku A′ tako da
je AA′ = v.
A
A′ s
S A
A′
(a)
(b)
v
v
A′
α S
A′
A
A
(v)
(g) Sl. 77
Osna simetrija, centralna simetrija, rotacija i translacija su izometrije.
83
12.3. Homotetija i sli~nost Homotetija sa centrom S i koeficijentom k ≠ 0 je preslikavawe ravni koje svaku wenu ta~ku A prevodi u ta~ku A′ iste
ravni, tako da je SA′ = k SA. Sli~nost (transformacija sli~nosti) sa koeficijentom k > 0 je preslikavawe ravni koje svake dve wene ta~ke A i B prevodi u ta~ke A′ i B′ iste ravni, tako da je A′B′ = kAB. Figure F i F1 su sli~ne, u oznaci F ∼ F1 , ako postoji tran-
sformacija sli~nosti koja figuru F prevodi u figuru F1 . Za sli~nost trouglova (sl. 78) va`e slede}a pravila: (1) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e stranice proporcionalne, a uglovi zahva}eni tim stranicama jednaki, tj.
Δ ABC ∼ Δ A′B′C ′ ⇔ b : c = b′: c′ ∧ α = α ′.
(2) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im odgovaraju}e stranice proporcionalne, tj.
Δ ABC ∼ Δ A′B′C ′ ⇔ a : b : c = a′: b′: c′.
(3) Dva trougla su sli~na ako i samo ako imaju jednaka po dva odgovaraju}a ugla, tj.
Δ ABC ∼ Δ A′B′C ′ ⇔ α = α ′ ∧ β = β ′.
(4) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e stranice proporcionalne, uglovi naspram dveju od tih odgovaraju}ih stranica jednaki, a uglovi naspram drugih dveju stranica u oba trougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,
Δ ABC ∼ Δ A′B′C ′ ⇔ a : b = a′: b′ ∧ α = α ′ ∧ β и β ′ су оба или оштра или права или тупа. C′
γ′ C a
b
α A
a′
b′
γ
α′
β c
B
c′
A′ Sl. 78
84
β′ B′
13. GEOMETRIJA TROUGLA, ^ETVOROUGLA I MNOGOUGLA. KRUG 13.1. Trougao Navodimo neke osnovne elemente trougla. Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta dveju stranica trougla. Ona je paralelna tre}oj stranici i upola je kra}a od we. Te`i{na du` je du` koja spaja teme trougla sa sredi{tem naspramne stranice. Sve te`i{ne du`i se seku u ta~ki koja se zove te`i{te trougla. Te`i{te deli svaku te`i{nu du` u odnosu 2:1 (ra~unaju}i od temena). Visina trougla je du` koja spaja teme trougla sa podno`jem normale iz tog temena na naspramnu stranicu. Sve visine se seku u ta~ki koja se zove ortocentar trougla. ^esto se termin visina koristi i za du`inu visine. Presek simetrala stranica trougla je centar opisanog kruga trougla. Centar upisanog kruga trougla nalazi se u preseku simetrala (bisektrisa, raspolovnica) unutra{wih uglova trougla. Zbir unutr{wih uglova trougla je 180 , a zbir spoqa{wih
360. Svaki spoqa{wi ugao trougla jednak je zbiru dva unutra{wa wemu nesusedna ugla. Naspram ve}e stranice trougla le`i ve}i ugao i obrnuto, naspram ve}eg ugla le`i ve}a stranica trougla. Svaka stranica trougla mawa je od zbira a ve}a od razlike druge dve stranice trougla. Jednakokraki trougao je trougao koji ima dve stranice jednake. Jednake stranice zovu se kraci, a tre}a stranica je osnovica trougla. Jednakostrani~ni trougao ima sve stranice i sve unutra{we i spoqa{we uglove jednake. Svaki unutra{wi ugao jednakostrani-
~nog trougla ima 60 . Kod jednakostrani~nog trougla se poklapaju centar opisanog kruga, centar upisanog kruga, te`i{te i ortocentar. Pravougli trougao je trougao koji ima jedan unutra{wi ugao prav. Najdu`a stranica pravouglog trougla, koja se nalazi naspram pravog ugla, zove se hipotenuza, dok su preostale dve katete. Obim trougla je zbir du`ina wegovih stranica.
85
Uobi~ajene su slede}e oznake za elemente trougla (sl. 79): a,b,c − du`ine stranica, α ,β , γ − unutra{wi uglovi,
α1 ,β1 , γ1 − spoqa{wi uglovi, ha ,hb ,hc − visine (du`ine visina), s − полуобим, r − полупречник уписаног круга,
R − полупречник описаног круга. A
c
α1 α b
ha
β1 β
γ a
B
γ1 C
Sl. 79 Za obim i povr{inu trougla va`e slede}e formule:
О = a + b + c = 2s, a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc P= , = = 2 2 2 P = s ( s − a )( s − b )( s − c )
( Херонов образац ) ,
a ⋅b ⋅c = r ⋅ s, 4R 1 1 1 P = a ⋅ b sin γ = a ⋅ c sin β = b ⋅ c sin α . 2 2 2 P=
86
Za pravougli trougao (sl. 80) sa katetama а i b i hipotenuzom c va`i da je: A
a 2 + b2 = c2 ,
p
(Pitagorina teorema)
a = c ⋅ p,
hc2
b 2 = c ⋅ q,
R=
2
c
b
= p⋅q
q
hc
c ⋅ 2
C
a
B
Sl. 80 U slu~aju jednakostrani~nog trougla stranice a imamo:
O = 3a, h = r=
a 3 , 2
a 3 a 3 , R = 2r = , 6 3 P=
a2 3 . 4
Za sli~ne trouglove va`i da se obimi odnose kao du`ine wihovih odgovaraju}ih stranica, a povr{ine kao kvadrati tih du`ina (i kao kvadrati visina). Prema tome, ako su a,b,c i h , odnosno a1 ,b1 ,c1 i h1 odgovaraju}i elementi sli~nih trouglova, tada je:
O a b c = = = и O1 a1 b1 c1 P a 2 b2 c 2 h2 = = = = ⋅ P1 a12 b12 c12 h12
87
13.2. ^etvorougao Navodimo neke osnovne pojmove i ~iwenice u vezi ~etvorouglova.
Zbir unutra{wih uglova svakog ~etvorougla je 360 .
Zbir spoqa{wih uglova konveksnog ~etvorougla je 360. Paralelogram (sl. 81) je ~etvorougao ~ije su naspramne stranice paralelne. I svaki od slede}ih uslova mo`e se uzeti za definiciju paralelograma: − naspramne stranice ~etvorougla su jednake, − naspramni uglovi ~etvorougla su jednaki, − dve naspramne stranice ~etvorougla su jednake i dva naspramna ugla su jednaka, − dijagonale ~etvorougla se me|usobno polove. Romb je paralelogram ~ije su sve stranice jednake. Dijagonale romba se me|usobno polove pod pravim uglom. Pravougaonik je paralelogram ~iji su svi unutra{wi uglovi pravi. Kvadrat je pravougaonik sa jednakim stranicama. A
hb
ha B
C
D
D
d2
ha
b
a
d1 C
a
A
B
a
a
b a
a
Sl. 81 Trapez (sl. 82a) je ~etvorougao sa jednim parom paralelnih stranica. Paralelne stranice su osnovice, a ostale dve su kraci trapeza. Trapez je jednakokrak ako ima jednake krake. Sredwa linija
88
trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova. Ona je paralelna osnovicama i jednaka wihovom poluzbiru. Deltoid (sl. 82b) je ~etvorougao koji ima dva para jednakih susednih stranica. Dijagonale deltoida su me|usobno normalne. D
a D
C
b
d
m
c
d2
A
C
d1
h A
b
B
a
(b)
(a) B
Sl. 82
Tangentni ~etvorougao (sl. 83a) je ~etvorougao u koji se mo`e upisati krug. ^etvorougao je tangentan ako i samo ako su mu zbirovi naspramnih stranica jednaki. Tetivni ~etvorougao (sl. 83b) je ~etvorougao oko koga se mo`e opisati krug. ^etvorougao je tetivan ako i samo ako su mu zbirovi naspramnih uglova jednaki. C
C
c
γ
D r d
A
b
D
O a
δ
R O
β
B
α
B
A
(a)
(b) Sl. 83
Neka su a i b du`ine stranica paralelograma, ha i hb odgo-
varaju}e visine i α jedan wegov unutra{wi ugao. Tada za obim i povr{inu paralelograma va`e slede}e formule:
89
O = 2a + 2b, P = a ⋅ ha = b ⋅ hb = a ⋅ b sin α. U specijalnim slu~ajevima va`i: − za romb
O = 4a,
P = a ⋅ ha = − za pravougaonik
− za kvadrat
d1 ⋅ d 2
( d1 ,d2 − дужине дијагонала ) ;
2
O = 2a + 2b, P = a ⋅ b; O = 4a, P = a2 .
Ako su a i b du`ine osnovica trapeza, m du`ina sredwe linije i h visina (rastojawe izme|u osnovica), tada je
m=
a+b a+b , P = m⋅h = ⋅ h. 2 2
Povr{ina deltoida, ~ije su du`ine dijagonala d1 i d 2 , ra~una se po formuli
P=
13.3. Mnogougao
d1 ⋅ d 2 2
⋅
Zbir unutra{wih uglova n -tougla je ( n − 2 ) ⋅180 . Zbir spoqa{wih uglova konveksnog n -tougla je 360. Broj dijagonala konveksnog n -tougla je
n ( n − 3)
2
⋅
Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi unutra{wi uglovi jednaki. Tangentni mnogougao je mnogougao u koji se mo`e upisati krug. Tetivni mnogougao je mnogougao oko kojeg se mo`e opisati krug.
90
Svaki pravilni mnogougao je i tangentan i tetivan. Kod wega se poklapaju centri upisanog i opisanog kruga. Ako je a du`ina stranice pravilnog n -tougla i r polupre~nik upisanog kruga, tada se wegov obim i povr{ina ra~unaju po formulama:
O = na,
P=n
13.4. Krug
a⋅r ⋅ 2
Krug (kru`nica, kru`na linija) (sl. 84) je skup svih ta~aka u ravni koje se nalaze na podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Kru`na povr{ (ili jednostavno krug) je deo ravni ograni~en kru`nom linijom. Fiksirana ta~ka je centar kruga, a du` koja spaja centar sa nekom ta~kom na krugu je polupre~nik kruga. Termin polupre~nik ~esto koristimo i za du`inu polupre~nika. Du` koja spaja dve razli~ite ta~ke na krugu je tetiva. Simetrala svake tetive sadr`i centar kruga. Najdu`a tetiva, tj. tetiva koja sadr`i centar je pre~nik kruga . Prava koja se~e krug u dvema razli~itim ta~kama je se~ica kruga. Tangenta kruga je prava koja sa krugom ima samo jednu zajedni~ku ta~ku. Polupre~nik koji odgovara dodirnoj ta~ki tangente je normalan na tu tangentu. Kroz svaku ta~ku van kruga mo`emo povu}i dve tangente. Tangentna du` je odse~ak tangente od ta~ke iz koje je ona konstruisana na dati krug do ta~ke dodira. Tangentne du`i konstruisane iz iste ta~ke van datog kruga su jednake.
s
C1
O
t
r B A
C
MA=MB
M
Sl. 84
Kru`ni luk je deo kru`ne linije izme|u dve wene razli~ite ta~ke. Deo kru`ne povr{i ograni~en tetivom i odgovaraju}im
91
kru`nim lukom je kru`ni odse~ak (sl. 85a). Dva razli~ita polupre~nika i odgovaraju}i kru`ni luk odre|uju kru`ni ise~ak (sl. 85b).
r
r
r O
O
(a)
(b)
Sl. 85 Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi neki luk (tetiva) je centralni ugao koji odgovara tom luku (tetivi). Ugao pod kojim se iz neke ta~ke na krugu vidi luk, kojem ne pripada ta ta~ka, zove se periferijski ugao nad tim lukom. Svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki. Svakoj tetivi odgovaraju dva periferijska ugla koji su suplementni (u zbiru daju opru`en ugao) (sl. 86a). Centralni ugao je dva puta ve}i od odgovaraju}eg (nad istim lukom) periferijskog ugla. Periferijski ugao nad pre~nikom je prav. O{tar (tup) ugao koji je odre|en tetivom i tangentom u krajwoj ta~ki tetive kruga jednak je o{trom (tupom) periferijskom uglu nad tom tetivom (sl. 86b). α O
O
2α 180 − α
(a)
(b) Sl. 86
92
Krugovi neke ravni su koncentri~ni ili ekscentri~ni u zavisnosti od toga da li im se centri poklapaju ili ne. Deo ravni izme|u dva nejednaka koncentri~na kruga (kru`ne linije) zove se kru`ni prsten (sl. 87) .
r1
r2 O
Sl. 87 Obim i povr{ina kruga polupre~nika r ra~unaju se po formulama
O = 2r π , P = r 2 π . Neka kru`nom luku odgovara centralni ugao ~ija mera u stepenima iznosi α , a u radijanima ϕ . Tada je du`ina luka data sa
l=
r πα , l = r ϕ, 180
a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka je
P= Povr{ina
r 2 πα 1 , P = r 2 ϕ. 360 2
kru`nog
(
)
prstena
polupre~nika r1 i r2 r1 > r2 jednaka je
(
)
P = r12 − r22 π .
93
odre|enog
krugovima
14. POLIEDRI 14.1. Prizma Svaka prizma (sl. 88) ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove ~ine dva podudarna mnogougla koji se nalaze u paralelnim ravnima, a omota~ je skup bo~nih strana prizme, pri ~emu je svaka bo~na strana paralelogram. Ako su osnove neke prizme n -touglovi, onda je re~ o n -tostranoj prizmi. Stranice osnova su osnovne ivice, dok su ostale ivice bo~ne ivice prizme. Dijagonala prizme je du` koja spaja teme jedne osnove prizme sa nesusednim temenom druge osnove. Prizma je prava ako su bo~ne ivice normalne na ravni osnova; u protivnom je prizma kosa.
Sl. 88 Pravilna prizma je prava prizma ~ije su osnove pravilni mnogouglovi. Ako su osnove prizme paralelogrami, onda se ta prizma zove paralelepiped. Kvadar (sl. 89) je pravi paralelepiped ~ije su osnove pravougaonici. Kocka (pravilni heksaedar) (sl. 90) je kvadar ~ije su sve ivice jednake.
a c
a b
a
a
Sl. 89
Sl. 90
94
Koristimo se standardnim oznakama: B − povr{ina baze prizme, M − povr{ina omota~a prizme, H − visina prizme (rastojawe izme|u osnova). Povr{ina i zapremina prizme ra~unaju se po formulama:
P = 2B + M , V = B⋅H. Ako su a, b i c du`ine ivica kvadra, onda su povr{ina i zapremina kvadra date sa:
P = 2(a ⋅b + a ⋅ c + b ⋅ c) , V = a ⋅ b ⋅ c. Za kocku, ~ija je du`ina ivice a , va`i:
P = 6a2 i V = a3 .
14.2. Piramida Svaka piramida (sl. 91) ima jednu osnovu (bazu) i omota~. Osnova piramide je mnogougao, a omota~ je skup bo~nih strana piramide. Svaka bo~na strana je neki trougao. Ako je osnova piramide n -tougao, onda je re~ o n -tostranoj piramidi. Stranice osnove su osnovne ivice, dok su ostale ivice bo~ne ivice piramide. Zajedni~ka ta~ka svih bo~nih strana je vrh piramide.
H
Sl. 91
95
Piramida je pravilna ako joj je osnova pravilan mnogougao i ako se podno`je normale kroz wen vrh na ravan osnove poklapa sa sredi{tem osnove. Sve bo~ne ivice pravilne piramide su jednake. Visine bo~nih strana pravilne piramide zovu se apoteme. Trostrana piramida zove se i tetraedar. Pravilni tetraedar je tetraedar ograni~en sa ~etiri jednakostrani~na trougla. Koristimo se slede}im standardnim oznakama: B − povr{ina baze piramide, M − povr{ina omota~a piramide, H − visina piramide (odstojawe vrha piramide od ravni osnove), s − du`ina bo~ne ivice pravilne piramide, h − apotema pravilne piramide. Povr{ina i zapremina piramide ra~unaju se po formulama:
P = B+M, V = B⋅H ⋅ 3
Za pravilnu n -tostranu piramidu (sl. 92) va`i:
B = n a ⋅ r , M = n a ⋅ h , s2 = H 2 + R2 , 2 2 pri ~emu su r i R polupre~nici upisane, odnosno opisane kru`nice osnove piramide. Za pravilni tetraedar (sl. 93) ivice a imamo da je:
P = a2 3 i V = a
3
12
2⋅
s H
a
h R a
a
a
Sl. 92
Sl. 93
96
14.3. Zarubqena piramida (sl. 94) Ako piramidu prese~emo nekom ravni paralelnom sa ravni osnove i koja ne sadr`i vrh piramide, onda se deo piramide sa one strane ravni sa koje nije vrh zove zarubqena piramida. Svaka zarubqena piramida ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove (dowa i gorwa) su sli~ni mnogouglovi koji se nalaze u paralelnim ravnima. Omota~ je skup bo~nih strana, pri ~emu je svaka od wih neki trapez. Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale su bo~ne ivice zarubqene piramide. Zarubqena piramida je n -tostrana ako su joj osnove n -touglovi.
Sl. 94 Zarubqena piramida je pravilna ako je takva piramida od koje je ona nastala. Za zarubqenu piramidu obi~no se koriste slede}e oznake: B1 − povr{ina dowe baze,
B2 − povr{ina gorwe baze, M − povr{ina omota~a, H − visina (rastojawe izme|u osnova). Povr{ina i zapremina zarubqene piramide ra~unaju se po slede}im formulama:
P = B1 + B2 + M , V = H B1 + B1B2 + B2 . 3
(
)
97
15. OBRTNA TELA 15.1. Vaqak Svaki (kru`ni) vaqak (sl. 95) ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove vaqka su podudarni krugovi koji le`e u paralelnim ravnima, a izvodnice su mu ili normalne na ravan osnove (pravi vaqak) ili nisu (kosi vaqak). Omota~ pravog vaqka (u razvijenom obliku) je pravougaonik ~ije su dimenzije odre|ene obimom osnove i du`inom izvodnice (visine). Uobi~ajene su slede}e oznake: R – polupre~nik osnove (baze) vaqka, H – visina vaqka, B – povr{ina baze vaqka, M – povr{ina omota~a vaqka.
R
H
H
R
Sl. 95 Za svaki vaqak je
B = R2π , a za pravi vaqak
M = 2 Rπ ⋅ H .
Povr{ina i zapremina vaqka ra~unaju se po formulama:
P = 2B + M ,
V = B ⋅ H = R2π ⋅ H . Ako je vaqak prav, onda je
P = 2 R 2 π + 2 R π ⋅ H = 2 Rπ ( R + H ) .
98
Pravi vaqak je pravilan (sl. 96) ako je 2 R = H , tj. ako je wegov osni presek kvadrat.
2R
H=2R
Sl. 96
15.2. Kupa Svaka (kru`na) kupa (sl. 97) ima jednu osnovu (bazu) i omota~. Osnova kupe je krug, a wene izvodnice zaklapaju sa ravni osnove ili konstantan ugao (prava kupa) ili ne (kosa kupa). Omota~ prave kupe (u razvijenom obliku) je kru`ni ise~ak ~iji je polupre~nik odgovaraju}eg kruga jednak du`ini izvodnice, a du`ina luka jednaka obimu osnove. Kod prave kupe se podno`je normale kroz vrh kupe na ravan osnove poklapa sa centrom osnove. Koristimo se slede}im standardnim oznakama: R − polupre~nik osnove (baze) kupe, H − visina kupe, s − du`ina izvodnice prave kupe, B − povr{ina baze kupe, M − povr{ina omota~a kupe.
99
H
s
H
R R
Sl. 97 Za svaku kupu je
B = R2π , a za pravu kupu
M = Rπ ⋅ s .
Povr{ina i zapremina kupe ra~unaju se po formulama:
P = B+M, V=
B ⋅ H R2π ⋅ H ⋅ = 3 3
Ako je kupa prava, onda je
P = R 2 π + Rπ ⋅ s = R π ( R + s ) . s=2R
Prava kupa je pravilna (sl. 98) ako je 2R = s , tj. ako je wen osni presek jednakostrani~ni trougao.
H
2R
Sl. 98
100
s
15.3. Zarubqena kupa Zarubqena (kru`na) kupa (sl. 99) nastaje presecawem (kru`ne) kupe nekom ravni koja je paralelna sa osnovom kupe. Ima dve osnove (baze) i omota~. Osnove su krugovi koji se nalaze u paralelnim ravnima. Zarubqena kupa mo`e biti prava ili kosa, u zavisnosti od toga da li je nastala presecawem prave ili kose kupe. Obi~no se koristimo slede}im oznakama za zarubqenu kupu:
B1 – povr{ina dowe baze, B2 M R r H s
– povr{ina gorwe baze, – povr{ina omota~a, – polupre~nik dowe osnove, – polupre~nik gorwe osnove, – visina zarubqene kupe (rastojawe izme|u osnova), – du`ina izvodnica prave zarubqene kupe.
r
r s
H
H
R R
Sl. 99 Za svaku zarubqenu kupu je
B1 = R 2 π , B2 = r 2 π , a za pravu zarubqenu kupu
M = πs ( R + r ) . Povr{ina i zapremina zarubqene kupe ra~unaju se po formulama:
101
P = B1 + B2 + M , V=
(
)
Hπ 2 1 B1 + B1B2 + B2 = R + Rr + r 2 ⋅ 3 3
(
)
Ako je zarubqena kupa prava, onda je
P = R 2 π + r 2 π + πs ( R + r ) .
5.4. Sfera i lopta Sfera (sferna povr{) je skup svih ta~aka u prostoru koje su na podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Fiksirana ta~ka je centar sfere, a pomenuto odstojawe je polupre~nik sfere. Deo prostora ograni~en sferom zove se lopta (kugla) (sl. 100). Neka je R polupre~nik lopte. Tada su wena povr{ina i zapremina date formulama:
P = 4 R 2π, V=
R
4 3 R π. 3
Sl. 100 Ako loptu preseca neka ravan, onda se deo lopte sa jedne strane ravni zove loptin odse~ak, a odgovaraju}i deo sferne povr{i je kapica ili kalota (sl. 101). Neka je h visina kalote. Tada je povr{ina kalote
h r
P = 2 Rπ ⋅ h,
a zapremina loptinog odse~ka
(
)
2 V = π h ( 3R − h ) = π h 3r 2 + h2 , 3 6 pri ~emu je r polupre~nik osno-
O
ve (prese~nog kruga) loptinog odse~ka.
Сл. 101 102
R
Ako se lopta prese~e sa dve paralelne ravni, onda se deo lopte izme|u tih ravni naziva loptin sloj, a odgovaraju}i deo sferne povr{i je loptin (sferni) pojas (sl. 102). Neka je h visina sloja i neka su r1 i r2 polupre~nici prese~nih krugova. Tada je povr{ina sfernog pojasa
P = 2 Rπ ⋅ h,
h
O
)
V = π h 3r1 + 3r2 + h2 . 6 2
2
Sl. 102
103
2
r
1
a zapremina loptinog sloja
(
r
R
16. ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI 16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu. Povr{ina trougla
(
)
(
)
Rastojawe izme|u ta~aka A x1 , y1 i B x2 , y2 dato je sa
d ( A,B ) = AB =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2
2
.
Ako ta~ka C ( x, y ) deli du` AB u odnosu λ , tj. ako je je
x=
x1 + λx2
AC = λ , tada BC
y1 + λy2
⋅ 1+ λ 1+ λ U specijalnom slu~aju, za λ =1, tj. ako je C sredi{te du`i AB, va`i
x=
x1 + x2 2
, y=
y1 + y2
, y=
2
(
⋅
) (
) (
Povr{ina trougla sa temenima A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3
)
ra~una se po formuli
P=
1 x ( y − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) . 2 1 2
16.2. Prava u ravni Op{ti (implicitni) oblik jedna~ine prave je
(A
Ax + By + C = 0,
2
)
+ B2 > 0 .
Eksplicitni (glavni) oblik jedna~ine prave je
y = kx + n,
pri ~emu je k koficijent pravca prave, a n odse~ak na y -osi.
(
)
Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ku M 1 x1 , y1 i ~iji je koeficijent pravca k data je sa
y − y1 = k ( x − x1 ) .
104
(
Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ke M 1 x1 , y1
M 2 ( x2 , y2 ) je
y − y1 =
y2 − y1 x2 − x1
)
i
( x − x1 ) , ( x2 − x1 ≠ 0 ) .
Segmentni oblik jedna~ine prave je
x y + = 1, ( m,n ≠ 0 ) , m n pri ~emu su m i n odse~ci koje prava ~ini na koordinatnim osama. Odstojawe ta~ke M ( x0 , y0 ) od prave Ax + By + C = 0 ra~unamo po formuli
d=
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
⋅
Neka su A1 x + B1 y + C1 = 0 i A2 x + B2 y + C2 = 0 jedna~ine dve prave koje se seku u ta~ki S. Sve prave koje prolaze kroz S date su jedna~inom oblika
α ( A1 x + B1 y + C1 ) + β ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ,
( α ,β ) ≠ ( 0,0 ) .
To je jedna~ina pramena pravih sa centrom u ta~ki S. Jedna~inu pramena mo`emo zapisati i u obliku
A1 x + B1 y + C + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ∨ A2 x + B2 y + C2 = 0 , λ ∈ R. Za prave l1 : y = k1 x + n1 i l 2 : y = k 2 x + n 2 va`i:
1 tg ( l1 ,l2 ) = tg ϕ =
k1 − k2
1 + k1k2
,
2 l1 l2 ⇔ k1 = k2 , ( услов паралелности ) 3 l1 ⊥ l2 ⇔ k1k2 = −1, ( услов нормалности ) .
105
16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) Jedna~ina
kru`nice
sa
centrom
u
ta~ki
C ( a,b )
i
polupre~nikom r data je sa
( x − a)
2
+ ( y − b) = r2 . 2
Specijalno, kru`nica sa centrom u koordinatnom po~etku i polupre~nikom r ima jedna~inu
x2 + y2 = r 2 . Sve ta~ke unutar kru`nice x 2 + y 2 = r 2 zadovoqavaju relaciju
x2 + y2 < r 2 , dok za ta~ke van te kru`nice va`i da je x2 + y2 > r 2 . Jedna~ina oblika
x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0 predstavqa jedna~inu kru`nice u ravni ako je m 2 + n 2 − 4 p > 0. Uslov dodira prave y = kx + n i kru`nice
( x − a)
2
+ ( y − b ) = r 2 je 2
(
)
r 2 1 + k 2 = ( ka − b + n ) . 2
Specijalno, ako je re~ o kru`nici x 2 + y 2 = r 2 , taj uslov glasi
(
)
r 2 1 + k 2 = n2 .
(
Ako je M x0 , y0
)
ta~ka kru`nice
( x − a)
2
+ ( y − b ) = r 2 , tada je
jedna~ina tangente kru`nice u toj ta~ki
( x − a ) ( x0 − a ) + ( y − b ) ( y0 − b ) = r 2 , koja u slu~aju kru`nice x 2 + y 2 = r 2 postaje
xx0 + yy0 = r 2 .
106
2
16.4. Elipsa Elipsa (sl. 103) je skup svih ta~aka u ravni ~iji je zbir odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantan. Fiksirane ta~ke zovu se `i`e ili fokusi elipse. Ako je taj zbir odstojawa 2a i ako su `i`e F1 ( −c, 0 ) i F2 ( c, 0 ) , ( 0 < c < a ) , tada je jedna~ina elipse
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ili
x2 y2 + =1, a 2 b2
pri ~emu je b 2 = a 2 − c 2 . To je tzv. kanonski oblik jedna~ine elipse. Sve
ta~ke
unutar
x2 y2 + =1 a 2 b2
elipse
zadovoqavaju
relaciju
x2 y2 x2 y2 + < 1 , dok za ta~ke van te elipse va`i da je + > 1. a 2 b2 a 2 b2
y
r
d
r
1
F
1
x=−
r
2
r
0
a
F
x
a
2
x=
ε
Sl. 103
107
a
ε
Parametri a i b su du`ine velike, odnosno male poluose elipse. Du`ine potega (fokalni radijusi) ta~ke M ( x, y ) na elipsi su:
r1 = a +
c c x, r2 = a − x, a a
( r1 + r2 = 2a ) .
Linearni ekscentricitet (rastojawe `i`e od centra elipse) je parametar c = a 2 − b 2 .
c a 2 − b2 < 1. Numeri~ki ekscentricitet je parametar ε = = a a a a a2 a2 ⋅ Direktrise elipse su prave x = i x = − , tj. x = i x=− ε ε c c r Osnovno svojstvo direktrisa je da va`i = ε < 1, pri ~emu je r d fokalni radijus proizvoqne ta~ke elipse, a d odstojawe te ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise. Uslov dodira prave y = kx + n i elipse
x2 y2 + = 1 je a 2 b2
a 2 k 2 + b2 = n2 .
(
)
Jedna~ina tangente elipse u wenoj ta~ki M x0 , y0 je
xx0 a2
+
yy0 b2
= 1.
Povr{ina dela ravni ograni~enog elipsom
P = abπ .
(
x2 y2 + = 1 je a 2 b2
)
Ako je centar elipse u ta~ki S x0 , y0 i ako su wene poluose (du`ina a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena jedna~ina
( x − x0 ) + ( y − y0 ) 2
a2
b2
108
2
= 1.
16.5. Hiperbola Hiperbola (sl. 104) je skup svih ta~aka u ravni ~ija je apsolutna vrednost razlike odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantna. Fiksirane ta~ke zovu se `i`e ili fokusi hiperbole. Ako je apsolutna vrednost razlike odstojawa 2a i ako su `i`e F1 ( −c, 0 ) i
F2 ( c,0 ) ,
( 0 < a < c ) , tada je jedna~ina hiperbole b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b 2 ili
x2 y2 − = 1, a 2 b2
pri ~emu je b 2 = c 2 − a 2 . To je tzv. kanonski oblik jedna~ine hiperbole.
y d
M
r
2
r>d
b r
r
1
F
1
0
a
F
2
x
Sl. 104 Parametri a i b su du`ine realne, odnosno imaginarne poluose hiperbole. Du`ine potega (fokalni radijusi) ta~ke M ( x, y ) na hiperboli su:
109
c c x + a, r2 = x − a, ( r1 − r2 = 2a ) (za desnu granu), a a c c r1 = − x − a, r2 = − x + a, r1 − r2 = 2a (za levu granu). a a r1 =
(
Linearni ekscentricitet hiperbole) je parametar c = a + b 2
)
(rastojawe `i`e 2
od
centra
.
c a2 + b2 = > 1. a a a a a2 Direktrise hiperbole su prave x = i x = − , tj. x = i ε ε c r a2 x = − ⋅ Osnovno svojstvo direktrisa je da va`i = ε > 1, pri ~emu d c je r fokalni radijus proizvoqne ta~ke hiperbole, a d odstojawe Numeri~ki ekscentricitet je parametar ε =
te ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise.
b b x i y = − x. a a 2 2 x y Uslov dodira prave y = kx + n i hiperbole 2 − 2 = 1 je a b Jedna~ine asimptota hiperbole su: y =
a 2 k 2 − b2 = n2 .
(
)
Jedna~ina tangente hiperbole u wenoj ta~ki M x0 , y0 je
xx0 a
2
−
yy0 b2
= 1.
(
Ako je centar hiperbole u ta~ki S x0 , y0
)
i ako su wene
poluose (du`ina a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wena jedna~ina
( x − x0 ) − ( y − y0 ) 2
a2
b2
110
2
= 1.
16.6. Parabola Parabola (sl. 105) je skup svih ta~aka u ravni koje su podjednako udaqene od jedne fiksirane ta~ke i fiksirane prave koja ne sadr`i tu ta~ku. Fiksirana ta~ka je `i`a (fokus), a fiksirana prava direktrisa parabole.
⎛p ⎞ ,0 ⎟ , a direktrisa prava ⎝2 ⎠
Ako je `i`a parabole u ta~ki F ⎜
x=−
p , tada je jedna~ina parabole 2 y2 = 2 px.
To je tzv. kanonski oblik jedna~ine parabole sa parametrom
p ∈ R\ {0} .
Ekscentricitet parabole je ε = r = 1.
d
y
y
r=d p>0 d
p<0
M r
0
x=−
F p 2
F 0
x
p 2
x
x=−
Sl. 105
111
p 2
Uslov dodira prave y = kx + n i parabole y 2 = 2 px je
p = 2kn .
(
)
Jedna~ina tangente parabole y 2 = 2 px u wenoj ta~ki M x0 , y0 je
yy0 = p ( x − x0 ) . ⎛ ⎝
p⎞ ⎠
Parabola, ~ija je `i`a u ta~ki F ⎜ 0, ⎟ i direktrisa prava 2
y=−
p , ima jedna~inu x2 = 2 py (sl. 106). 2 y
y
p>0 0
x
0
Sl. 106
y D
R
0
112
x
p<0
x
17. BINOMNI OBRAZAC. ELEMENTI KOMBINATORIKE 17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac Faktorijel prirodnog broja n , u oznaci n! , je proizvod svih uzastopnih prirodnih brojeva od 1 do n . Dakle,
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅n . Po definiciji je 0!=1. Binomni koeficijenti se defini{u sa:
n ⋅ ( n − 1) ⋅⋅⋅ ( n − k + 1) ⎛n⎞ n! = ( n,k ∈ N0 , n ≥ k ) , ⎜ ⎟= k! ⎝ k ⎠ k!( n − k ) ! ⎛α⎞ ⎛ α ⎞ α ⋅ ( α − 1) ⋅⋅⋅ ( α − k + 1) ( α ∈ R, k ∈ N ) . ⎜ ⎟ = 1, ⎜ ⎟ = k! ⎝0⎠ ⎝k⎠ Za binomne koeficijente va`e slede}e osobine:
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 1, ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = n, ⎝0⎠ ⎝n⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟. ⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠ ⎝ k + 1⎠
Za stepenovawe izraza a + b ( a,b ∈ C ) prirodnim brojem n va`i tzv. binomni obrazac (Wutnova binomna formula):
(a + b)
n
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ 1 n−1 ⎛ n ⎞ 0 n = ⎜ ⎟ a nb0 + ⎜ ⎟ a n −1b1 + ... + ⎜ ⎟a b +⎜ ⎟a b ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ n − 1⎠ ⎝n⎠ n
⎛ n ⎞ n−k k = ⎜ ⎟a b . k k =0 ⎝ ⎠
∑
113
.
U specijalnim slu~ajevima dobijamo:
( a + b ) = a + b, 2 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 , 3 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 , 4 ( a + b ) = a 4 + 4a3b + 6a 2b2 + 4ab3 + b4 . 1
17.2. Elementi kombinatorike Neprazan skup A je kona~an ako za neko n ∈ N postoji bijektivno preslikavawe f :{1,2,...,n} → A. U tom slu~aju skup A ima n elemenata, tj. wegov kardinalni broj je n . Ka`emo i da je A jedan n -skup. Kardinalni broj skupa A ozna~ava se sa A . Prazan skup je kona~an i va`i ∅ = 0. (Formula ukqu~ivawa-iskqu~ivawa) Za kona~ne skupove A1 , A2 ,..., An va`i da je n
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An =
∑ A −∑ A ∩ A + ∑ A ∩ A ∩ A i
i =1
... + ( −1)
i
i< j
n −1
j
i
j
k
− ...
i< j
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An .
U specijalnim slu~ajevima (za n = 2 i n = 3 ) imamo:
A∪ B = A + B − A∩ B A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − A∩C − B ∩C + A∩ B ∩C . (Pravilo zbira) Ako su A1 , A2 ,..., An me|usobno disjunktni
skupovi , tj. ako je Ai ∩ A j ( i ≠ j ) , tada je
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 + A2 + ... + An .
114
(Pravilo proizvoda) Za kona~ne skupove A1 , A2 ,..., An va`i da je
A1 × A2 ×⋅⋅⋅× An = A1 ⋅ A2 ⋅⋅⋅ An .
Partitivni skup skupa A je skup svih wegovih podskupova i ozna~avamo ga sa P ( A ) . Va`i
A = n ⇒ P ( A) = 2n . Multiskup veli~ine m ( m -multiskup ), ~iji je nosa~ u skupu A = {a1 ,a2 ,...,an } , je kolekcija a1 ,...,a1;а2 ,..., а2 ;...;аn ,...,an , pri ~emu se ai javqa ki puta, ( i = 1,...,n; ki ∈ N 0 ; k1 + + kn = m ). k k k Za multiskup ka`emo da ima specifikaciju ⎡ a1 1 a2 2 ...an n ⎤ .
⎣
⎦
Dva multiskupa su jednaka ako imaju istu specifikaciju. Kombinacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je svaki wegov podskup od k elemenata. Wihov ukupan broj je
⎛n⎞ Cnk = ⎜ ⎟ . ⎝k ⎠ Kombinacija sa ponavqawem k -te klase nekog n -skupa je svaki k -multiskup ~iji je nosa~ u tom n -skupu. Ukupan broj kombinacija bez ponavqawa k -te klase n -skupa je
Cnk = ⎛⎜ ⎝
n + k − 1⎞ . k ⎟⎠
Varijacija bez ponavqawa k -te klase nekog n -skupa je svaka ure|ena k -torka (ure|eni niz du`ine k ) razli~itih elemenata iz tog skupa. Wihov ukupan broj je
Vnk =
n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅⋅⋅ ( n − k + 1) . n − ( k )!
115
Varijacija sa ponavqawem k -te klase nekog n - skupa je svaka ure|ena k -torka (ne obavezno razli~itih) elemenata iz tog skupa. Wihov ukupan broj je
Vnk = nk . Permutacija n -skupa je svaka wegova varijacija bez ponavqawa n -te klase. Zato je wihov ukupan broj
Pn = Vnn = n ⋅ ( n − 1) ⋅⋅⋅ 2 ⋅1 = n! . Permutacija sa ponavqawem je permutacija m -multiskupa sa k k k specifikacijom ⎡ a1 1 a2 2 ...an n ⎤ . Wihov ukupan broj je
⎣
Pm ( k1 ,k2 ,...,kn ) =
⎦
m! k1!k2! ...kn!
( k1 + k2 + ... + kn = m ) .
Isak Wutn 1643–1727
116
18. REALNI NIZOVI. ARITMETI^KA I GEOMETRIJSKA PROGRESIJA 18.1. Realni nizovi Realni (beskona~ni) niz je svako preslikavawe a : N → R. Slika broja n ∈ N ozna~ava se sa an i zove se op{ti ili n -ti ~lan niza. Prirodan broj n je indeks ~lana an . Niz se ozna~ava sa
( an )n∈N
( )
ili an , smatraju}i da su wegovi ~lanovi a1 ,a2 ,...,an ,... .
( )
Niz an je:
rastu}i ako ( ∀n ∈ N ) an +1 ≥ an ,
strogo rastu}i ako ( ∀n ∈ N ) an +1 > an , opadaju}i ako ( ∀n ∈ N ) an +1 ≤ an ,
strogo opadaju}i ako ( ∀n ∈ N ) an +1 < an .
Niz je monoton ako je rastu}i ili opadaju}i, a strogo monoton ako je strogo rastu}i ili strogo opadaju}i.
( ) je konstantan
Niz an da je
Niz
( an )
m,M ∈ R da je
ako postoji takav realan broj c ∈ R
( ∀n ∈ N ) an = c. je ograni~en
ako postoje takvi realni brojevi
( ∀n ∈ N ) m ≤ an ≤ M .
Realan broj a je grani~na vrednost niza
( an ) ,
u oznaci
lim a = a ili an → a ( n → ∞ ) , ako se skoro svi ~lanovi niza ( an )
n →∞ n
nalaze u proizvoqno zadatoj okolini broja a . Preciznije:
(
)
lim a = a ⇔ ( ∀ε > 0 ) ( ∃n0 ∈ N ) ( ∀n ) n ≥ n0 ⇒ an − a < ε .
n →∞ n
117
Ako je
lim a = a , tada se ka`e da je niz ( an ) konvergentan i da
n →∞ n
konvergira ka broju a. Ako niz ne konvergira nijednom realnom broju, onda se ka`e da je divergentan.
( )
Pojam beskona~ne grani~ne vrednosti niza an defini{e se na slede}i na~in:
lim an = +∞ ⇔ ( ∀K > 0 ) ( ∃n0 ∈ N ) ( ∀n ) ( n ≥ n0 ⇒ an ≥ K ) ,
n →∞
lim an = −∞ ⇔ ( ∀K > 0 ) ( ∃n0 ∈ N ) ( ∀n ) ( n ≥ n0 ⇒ an ≤ − K ) .
n →∞
( ) ka`e se i
U slu~aju da je lim an = +∞ ili lim an = −∞ , za niz an n →∞
n →∞
da odre|eno divergira.
( ) ( )
Neka su an i bn konvergentni nizovi. Tada va`i:
lim ( an ± bn ) = lim an ± lim bn ,
n →∞
n→∞
lim can = c lim an
n →∞
n→∞
n→∞
(c ∈ R ) ,
lim ( an ⋅ bn ) = lim an ⋅ lim bn ,
n →∞
lim
n →∞
n→∞
an bn
=
lim an
n →∞
lim bn
n→∞
( bn , b ≠ 0 ) .
n →∞
18.2. Aritmeti~ka progresija
( )
Kona~an ili beskona~an niz an
je aritmeti~ka progresija
(ili aritmeti~ki niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobija tako {to se prethodnom ~lanu doda uvek isti broj. Taj broj se zove razlika aritmeti~ke progresije. Razlika aritmeti~ke progresije obi~no se ozna~ava sa d . Aritmeti~ka progresija je jednozna~no odre|ena svojim prvim ~lanom a1 i razlikom d .
118
( )
Za aritmeti~ki niz an va`i:
an = a1 + ( n − 1) d ,
( an − општи члан низа ) an − an −1 = d ( n ≥ 2 ) , an =
an −1 + an+1 2
( n ≥ 2) .
(Svaki ~lan aritmeti~kog niza (osim prvog) je aritmeti~ka sredina svojih susednih ~lanova).
( )
Zbir prvih n ~lanova aritmeti~kog niza an , u oznaci Sn , ra~una se po formuli
n n a1 + an ) = ( 2a1 + ( n − 1) d ) . ( 2 2 Aritmeti~ki niz je rastu}i za d > 0 , opadaju}i za d < 0 i konstantan za d = 0. Sn =
18.3. Geometrijska progresija
( ) je geometrijska progresija
Kona~an ili beskona~an niz an
(ili geometrijski niz) ako se svaki ~lan tog niza (osim prvog) dobija tako {to se prethodni ~lan pomno`i uvek istim brojem. Taj broj se zove koli~nik geometrijske progresije. Koli~nik geometrijske progresije obi~no ozna~avamo sa q . Dakle, geometrijska progresija je jednozna~no odre|ena svojim prvim ~lanom a1 i koli~nikom q.
( )
Za geometrijski niz an va`i:
an = a1 ⋅ q n −1 ,
( an − општи члан низа ) an = q ⋅ an −1 ( n ≥ 2 ) ,
119
an = an −1 ⋅ an+1 ( n ≥ 2 ) , 2
an = an −1 ⋅ an+1
( an ≥ 0 ) .
(Svaki ~lan geometrijskog niza (osim prvog) je geometrijska sredina svojih susednih ~lanova).
( )
Zbir prvih n ~lanova geometrijskog niza an , u oznaci Sn , ra~una se po formuli
Sn = a1 ⋅
1 − qn 1− q
( q ≠ 1) , ( q = 1) .
Sn = n ⋅ a1
Ako je −1 < q < 1, onda postoji lim S n , tj. zbir svih ~lanova n →∞
geometrijskog niza je (kona~an) realan broj. Ozna~avaju}i ga sa S∞ , imamo da je
S∞ = lim Sn = a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + + a1 ⋅ q n −1 + = n→∞
120
a1
1− q
( за − 1 < q < 1) .
19. GRANI^NA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE Pod ε -okolinom ( ε > 0 ) ta~ke a ∈ R podrazumeva se svaki in-
terval oblika ( a − ε , a + ε ) . Ta~ka a ∈ R je ta~ka nagomilavawa sku-
D ⊂ R ako postoji ( a − ε , a + ε ) {a} ∩ D ≠ ∅.
pa
ε -okolina
te
ta~ke
za
koju
je
Neka f : D → R i neka je a ta~ka nagomilavawa skupa D. Broj A ∈ R je grani~na vrednost (limes) funkcije f kad x te`i a ako va`i
( ∀ε > 0 )( ∃δ > 0 )( ∀x ∈ D ) 0 <
i pi{emo
x − a < δ ⇒ f ( x) − A < ε
lim f ( x ) = A ili f ( x ) → A (kad x → a ).
x→a
Neka je lim f ( x ) = A i lim g ( x ) = B. Tada va`i: x →a
x →a
lim ( c ⋅ f ( x ) ) = c ⋅ A, x →a
(c ∈ R)
lim ( f ( x ) ± g ( x ) ) = A ± B, x →a
lim ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = A ⋅ B, x →a
lim
x →a
f ( x)
g ( x)
=
A ( g ( x ) ≠ 0,B ≠ 0 ) . B
Funkcija f : D → R je neprekidna u ta~ki a ∈ D ako je
lim f ( x ) = f ( a ) . x →a
Funkcija f : D → R je neprekidna na D ako je neprekidna u svim ta~kama iz D. Sve elementarne funkcije su neprekidne u svim ta~kama svojih domena.
121
Navodimo osnovne (tabli~ne) grani~ne vrednosti:
1 = 0, x →∞ x
1 = ±∞ , x →±0 x
lim
lim
sin x 1 − cos x 1 = 1, lim = , x →0 x x →0 2 x2
lim
(
)
lim an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = lim an x n ,
x →∞
lim
x →∞
an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
bm x m + bm−1 x m−1 + ... + b1 x + b0
x →∞
= lim
x →∞
an x n bm x m
x
1 ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = lim (1 + x ) x = e, x →±∞ ⎝ x →0 x⎠
lim
x →0
log a (1 + x ) x
= log a e, lim
ln (1 + x ) x
x →0
a x −1 ex −1 = ln a , lim = 1. x →0 x →0 x x
lim
122
= 1,
,
( an ≠ 0 ) ( an ,bm ≠ 0 )
20. IZVOD FUNKCIJE I WEGOVA PRIMENA 20.1. Izvod i pravila diferencirawa Neka je data funkcija f : ( a,b ) → R i neka x0 ∈ ( a,b ) . Grani~na vrednost (ako postoji)
lim
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 )
Δx →0
Δx
Δy Δx →0 Δx
= lim
je prvi izvod ili izvod funkcije f u ta~ki x0 i ozna~ava se sa
f ′ ( x0 ) . Za funkciju f ka`emo da je diferencijabilna u ta~ki x0 .
Funkcija f je diferencijabilna u intervalu ( a,b ) ako je diferencijabilna u svakoj ta~ki tog intervala. Izvod
funkcije f
u ta~ki x0 geometrijski predstavqa
koeficijent pravca tangente grafika funkcije f u ta~ki za x = x0 (sl. 107).
y
M
f ( x0 + Δx )
f ( x0 )
0
t
Δy
M0
Δx x0
x0 + Δx
x
Sl. 107
Postupak nala`ewa izvoda naziva se diferencirawe.
123
Ako su funkcije f i g diferencijabilne u ta~ki x , tada va`e slede}a pravila diferencirawa:
( f ( x ) ± g ( x ) )′ = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) , ( c ⋅ f ( x ) )′ = c ⋅ f ′ ( x ) ( c = const.) , ( f ( x ) ⋅ g ( x ) )′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) , ⎛ f ( x ) ⎞′ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) ⎜⎜ ⎟⎟ = g 2 ( x) ⎝ g ( x) ⎠
( g ( x ) ≠ 0) .
(Izvod slo`ene funkcije) Neka je funkcija u : ( a,b ) → ( c,d )
diferencijabilna u ta~ki x ∈ ( a,b ) , a funkcija f : ( c,d ) → R u ta-
~ki y = u ( x ) . Tada je slo`ena funkcija f u : ( a,b ) → R diferencijabilna u ta~ki x i va`i
( f u )′ ( x ) = ( f ( u ( x ) ) )′ = f ′ ( u ( x ) ) ⋅ u′ ( x ) . (Izvod inverzne funkcije) Neka je funkcija f neprekidna i strogo monotona u nekoj okolini ta~ke x0 . Ako
f ima izvod
f ′ ( x0 ) ≠ 0 , tada wena inverzna funkcija f −1 ima izvod u ta~ki
y0 = f ( x0 ) i va`i
( f ( y ))′ = f ′ (1x ) ⋅ −1
0
0
Izvodi proizvoqnog reda defini{u se sa:
(
)
′ 0 n n −1 f ( ) ( x ) = f ( x ) , f ′′ ( x ) = ( f ′ ( x ) )′ ,..., f ( ) ( x ) = f ( ) ( x ) .
124
20.2. Tabli~ni izvodi изводи основних ф ункција dy y = f ( x ) , y′ = f ′( x ) = dx ( c )′ = 0 ( c = const )
( x )′ = α x α
( x )′
α −1
изводи слож ених ф ункција du u = u (x ) , u′ = u′(x ) = dx
( u )′ = α u
(α ∈ R )
α
1 ⎛ 1 ⎞′ = 1; ⎜ ⎟ = − 2 x x ⎝ ⎠ 1 ′ x = 2 x
x
x
x
x
( log a x )′ ( ln x )′
1 ⎞′ ⎟ = − 2 ⋅u′ u ⎠ 1 ′ u = ⋅u′ 2 u
( ) ( a )′ = a ( e )′ = e u
u
1 x ln a
=
=
( 0 < a ≠ 1)
ln a
(0 < a ≠ 1)
1 x
( sin x )′ ( cos x )′ ( tgx )′
⋅ u ′ (α ∈ R )
⎛1 ⎜ ⎝u
( ) ( a )′ = a ( e )′ = e
α −1
u
u
⋅ u ′ ln a ⋅u′
( log a u )′
=
( ln u )′
1 ⋅u′ u
=
1 ⋅u′ u ln a
( sin u )′
= cos x
( 0 < a ≠ 1) (0 < a ≠ 1)
= u ′ ⋅ cos u
( cos u )′ = − u ′ ⋅ sin u
= − sin x
( tgu )′
1 cos 2 x 1 ( ctgx )′ = − 2 sin x 1 ( arcsin x )′ = 1 − x2 1 ( arccos x )′ = − 1 − x2 1 ( arctgx )′ = 1 + x2 1 ( arcctgx )′ = − 1 + x2
1 ⋅u′ cos 2 u 1 ( ctgu )′ = − 2 ⋅ u ′ sin u 1 ⋅u′ ( arcsin u )′ = 1− u2 1 ⋅u′ ( arccos u )′ = − 1− u2 1 ⋅u′ ( arctgu )′ = 1+ u2 1 ⋅u′ ( arcctgu )′ = − 1+ u2
=
125
=
20.3. Primena izvoda Ako funkcija f ima pozitivan (negativan) izvod u intervalu
( a,b ) , onda je
f strogo rastu}a (strogo opadaju}a) u ( a,b ) .
Funkcija f : ( a,b ) → R u ta~ki
x0 ∈ ( a,b ) posti`e lokalni
maksimum (lokalni minimum) ako postoji okolina oko x0 u kojoj je
f ( x0 ) najve}a (najmawa) vrednost funkcije f . Lokalni maksimum i
lokalni minimum zovu se lokalni ekstremumi funkcije (sl. 108). .
y
f ( x0 )
y
max
min
f ( x0 )
0
x0 - ε x0 x0 + ε
0
x
x0 - ε
x0 x0 + ε
x
Sl. 108 (Fermaova teorema) Ako f : ( a,b ) → R u ta~ki x0 ∈ ( a,b ) ima lokalni ekstremum i ako je diferencijabilna u toj ta~ki, tada je
f ′ ( x0 ) = 0.
Ta~ke u kojima je izvod funkcije jednak nuli nazivaju se stacionarne ta~ke te funkcije. Neka je x0 stacionarna ta~ka funkcije
f . Ako je f ′′ ( x0 ) > 0, tada funkcija f u x0 posti`e lokalni mini-
( ) f ′′ ( x0 ) = 0 , ispitivawe prirode ta~ke
mum; ako je f ′′ x0 < 0 , tada f u x0 ima lokalni maksimum. U slu~aju da je
x0 vr{i se pomo}u
izvoda vi{eg reda ili ispitivawem monotonosti funkcije f .
126
Za odre|ivawe grani~nih vrednosti funkcija ~esto se koristi slede}a teorema. (Lopitalova teorema) Neka su funkcije f ,g: ( a,b ) → R
diferencijabilne i neka je g ′ ( x ) ≠ 0 za sve x ∈ ( a,b ) . Ako je
lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 (ili lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ ) i ako postoji x→a
lim
x →a
x→a
x→a
f ′( x) , tada je g′( x) lim
x →a
x→a
f ( x) ⎛ 0 ∞ ⎞ f ′( x) ⋅ ⎜ , ⎟ = xlim g ( x ) ⎝ 0 ∞ ⎠ →a g ′ ( x ) (Lopitalova pravila)
127
Drugi deo
RE[ENI ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZ MATEMATIKE
1. grupa 2000. god. −2
1. a) Izra~unati
⎛⎛ 1 3 9 ⎞ 7 ⎞ ⎜ ⎜ + : ⎟ :1 ⎟ + log 2 0 ,0625. ⎝ ⎝ 5 4 5 ⎠ 30 ⎠ x y(x − y ) − 4 . 2 2 x +y x − y4 2
b) Uprostiti
2. Re{iti jedna~ine: 2 x + 1 x + 2 5x + 2 a) − = − 2 x, 5 4 3
⎧ x + 1, x < 2 ⎩ x − 1, x ≥ 2.
b) ( f (x )) + f (x ) = 0, ako je f ( x ) = ⎨ 2
3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu
cos 2 x − 3 sin x cos x = −1 .
xlog2 x −3log2 x +1 < 8 . 2
4. Re{iti nejedna~inu
5. Na}i jedna~ine zajedni~kih tangenti parabole y 2 = 8 x i kru`nice
x2 + y2 = 2 . 6. Izra~unati obim i povr{inu jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga ako je du`ina ve}e osnovice 3cm, a jedan wegov unutra{i ugao je 60° . 7. Povr{ina prave kupe je 96π cm 2 , a du`ina izvodnice je 10cm. Izra~unati zapreminu kupe. 8. Zbir svih ~lanove beskona~ne geometrijske progresije je 16, a zbir kvadrata ~lanova te iste progresije je 153,6. Na}i peti ~lan i koli~nik te progresije. 9. Izra~unati
cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 60° ⋅ cos 80° .
10. Od 5 oficira, 4 podoficira i 10 vojnika treba formirati grupu od 4 osobe u kojoj }e biti bar po jedan oficir i podoficir. Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?
131
1. grupa 2000. god. (re{ewa) −2
⎛⎛ 1 3 9 ⎞ 7 ⎞ 1.a) ⎜ ⎜ + : ⎟ : 1 ⎟ + log 2 0 , 0625 = ⎝ ⎝ 5 4 5 ⎠ 30 ⎠ −2
−2
⎛ ⎛ 1 3 5 ⎞ 30 ⎞ 2 ⎛ 12 + 25 30 ⎞ = ⎜ ⎜ + ⋅ ⎟ ⋅ ⎟ + log 2 ( 0, 25 ) = ⎜ ⋅ ⎟ + 2 ⋅ log 2 0,52 = 60 37 ⎠ 5 4 9 37 ⎠ ⎝ ⎝⎝ ⎠ −2
−2
⎛ 37 30 ⎞ ⎛1⎞ = ⎜ ⋅ ⎟ + 2 ⋅ 2 ⋅ log 2 2−1 = ⎜ ⎟ + 4 ( −1) = 4 − 4 = 0 . ⎝ 60 37 ⎠ ⎝2⎠ y ( x − y )2 y ( x − y )2 x x b) 2 = − 4 = 2 − 2 x + y2 x − y4 x + y2 x − y2 x2 + y2 y ( x − y) x = 2 − = 2 x +y ( x + y ) x2 + y2
(
(
=
)(
)
)
x ( x + y ) − y ( x − y ) x 2 + xy − xy + y 2 1 , = 2 = 2 2 2 (x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) x + y
uz uslov x ≠ − y ∧ x ≠ y .
2.a) Ako se data jedna~ina pomno`i sa NZS ( 3, 4,5 ) , tj. sa 60 , dobija se:
2x + 1 x + 2 5x + 2 − = − 2 x ⇔ 12 ( 2 x + 1) − 15 ( x + 2 ) = 20 ( 5 x + 2 ) − 120 x 5 4 3 ⇔ 9 x − 18 = −20 x + 40 ⇔ x = 2. b) Ako je x < 2 , jedna~ina glasi (x + 1) + (x + 1) = 0 . Tada je 2
(x + 1)2 + (x + 1) = 0 ∧ x < 2 ⇔ x 2 + 3x + 1 = 0 ∧ x < 2 ⇔ ( x = −1 ∨ x = −2) ∧ x < 2 ⇔ x = −1 ∨ x = −2 .
Ako je x ≥ 2 , jedna~ina glasi (x − 1) + x − 1 = 0 . Tada je 2
(x − 1)2 + (x − 1) = 0 ∧ x ≥ 2 ⇔ x 2 − x = 0 ∧ x ≥ 2 ⇔ ( x = 0 ∨ x = 1) ∧ x ≥ 2
⇔ x ∈ ∅ .(jedna~ina nema re{ewa)
132
Re{ewa jedna~ine su x = −1 ili x = −2 . 3. Za cos x = 0 ili sin x = 0 , tj. za x = k ⋅
π 2
, k ∈ Z jedna~ina je
nemogu}a. Daqe, data jedna~ina je ekvivalentna sa:
cos 2 x − 3 sin x cos x = −1
⇔ cos 2 x + 1 − 3 sin x cos x = 0 ⇔ cos 2 x + sin 2 x + cos 2 x − 3 sin x cos x = 0 ⇔ 2 cos 2 x + sin 2 x − 3 sin x cos x = 0
( дељењем са cos
x≠0
2
)
⇔ 2 + tg 2 x − 3tgx = 0 ⇔ tgx = t ∧ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ tgx = t ∧ ( t = 2 ∨ t = 1) ⇔ tgx = 2 ∨ tgx = 1 ⇔ x = arctg 2 + kπ , k ∈ Z ∨ x =
π 4
+ lπ , l ∈ Z .
4. Nejedna~ina xlog2 x −3log2 x +1 < 8 ima smisla za x > 0 . Ako uvedemo smenu log 2 x = t , onda je x = 2 t , pa dobijamo: 2
( ) 2t
⇔ 2t
3
t 2 −3t +1
− 3t 2 + t
<8
< 23
⇔ t 3 − 3t 2 + t < 3 ⇔ t 3 − 3t 2 + t − 3 < 0 ⇔ t 2 ( t − 3) + ( t − 3) < 0
(
)
⇔ ( t − 3) ⋅ t 2 + 1 < 0 ⇔ t < 3.
Prema tome, log 2 x < 3 , tj. log 2 x < log 2 23 , odakle sledi da je x < 8 i, kako je x > 0 , skup re{ewa nejedna~ine je interval (0,8) .
133
y = kx + n
5. Uslov dodira prave
(1 + k )r 2
2
x2 + y2 = r 2
i kru`nice
je
= n . Uslov dodira prave y = kx + n i parabole y = 2 px je 2
p = 2kn .
2
Kako
(1 + k )⋅ 2 = n
je
r2 = 2
i
⎫ ⎬ dobija se da je 4 = 2kn ⎭ n = 2 i k = 1 ili n = −2 i k = −1 . Prema tome, jedna~ine tra`enih zajedni~kih tangenti su: 2
p = 4,
re{avawem
sistema
2
y
t2 t1
t1: y = x + 2
2
0
2
x
-2
t 2 : y = − x − 2. Sl.1 6.
b
D
Neka je E podno`je visine h iz temena D (sl. 2). Tada je
r
c
A
C
c
h
x
AE = x = c ⋅ cos 60° =
r
E
a
Trapez je jednakokraki, pa je F
x
B
x=
a−b c a−b , odnosno = , a 2 2 2
kako je trapez tangentni, to je 2c = a + b .
Sl.2 Dakle, 2c = a + b ,
c . 2
c a −b = i a = 3 , odakle je 2 2
2c = 3 + b ⎫ 6 − 2b = 3 + b ⎫ 3 = 3b ⎫ b = 1⎫ ⎬. ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ c = 3−b ⎭ c = 3 − b ⎭ c = 3 − b ⎭ c = 2⎭ Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED c 3 2 3 h = c ⋅ sin 60° = = = 3 . To zna~i da je obim trapeza 2 2 O = 2c + a + b = 2 ⋅ 2 + 3 + 1 = 8 cm, a povr{ina trapeza
P=
a+b 3 +1 ⋅h = ⋅ 3 = 2 3 cm 2 . 2 2
134
:
7. Na osnovu formule za povr{inu kupe
P = B + M = π r 2 + π rs dobijamo da je 96π = π r (r + 10 ) , odnosno, da je r 2 + 10r − 96 = 0 i r = 6cm . Kako je H 2 = s 2 − r 2 , to je H = 8cm .
s
H r
Zapreminu kupe izra~unavamo po formuli 1 1 V = B ⋅ H , pa je V = π ⋅ 6 2 ⋅ 8 , tj. V = 96 π cm3 . 3 3
Sl.3
8. Prema uslovu zadatka je a1 + a1 q + a1 q 2 + … = 16
i
q < 1 , jer
progresija ima sumu. Kvadrati ~lanova geometrijske progresije obrazuju, tako|e, geometrijsku progresiju sa koli~nikom
q2 , 0 < q2 < 1 a12
+
a12 q 2
+
a12 q 4
i
prvim
~lanom
a1
2
za
koju
je
+ … = 153,6 . Zbir svih ~lanova progresije izra~unava
2 a1 a a1 , pa iz 1 = 16 и = 153, 6 sledi: 1− q 1 − q2 1− q a1 = 16(1 − q ) ⎫ a1 = 16(1 − q ) ⎫ ⎪ 2 256(1 − q ) ⎬⇒ ⎬⇒ ( ) ( ) 256 1 − q = 153 , 6 1 + q = 153 , 6 ⎭ ⎪ 1− q2 ⎭
se po formuli S ∞ =
a1 = 12⎫ a1 = 16(1 − q ) ⎫ ⎪ ⇒ ⎬⇒ 1 ⎬. 102,4 = 409,6q ⎭ q= 4 ⎪⎭ 4
Dakle, q =
1 12 3 ⎛1⎞ i a 5 = a1 ⋅ q 4 = 12 ⋅ ⎜ ⎟ = = . 256 64 4 ⎝4⎠
9. Znaju}i da je cos α =
sin 2α i sin (180° − α ) = sin α , dobijamo da 2 sin α
je
cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 60° ⋅ cos 80° =
135
=
sin 40° sin 80° sin120° sin160° ⋅ ⋅ ⋅ = 2 sin 20° 2 sin 40° 2 sin 60° 2 sin 80°
(
)
(
)
1 sin 180 − 60 sin 180 − 20 1 1 sin120 sin160 = ⋅ ⋅ = . = ⋅ ⋅ 16 sin 60 sin 20 16 16 sin 60 sin 20
10. Mogu}e sastave grupa prika`imo pomo}u skupova (jer redosled nije bitan):
{O, O, O, P}, {O, O, P, P}, {O, P, P, P}, {O, P,V ,V }, {O, P, P,V }, {O, O, P,V } ,
gde O ozna~ava oficira, P podoficira i V vojnika. Od
⎛ 5⎞ ⎝ 3⎠
5 oficira mo`emo izabrati 3 oficira na ⎜ ⎟ =
5⋅ 4⋅3 = 10 1⋅ 2 ⋅ 3
na~ina. ^etvrti ~lan grupe mora biti podoficir, za ~iji izbor
⎛ 4⎞ ⎝1⎠
imamo ⎜ ⎟ =
4 = 4 mogu}nosti. Svakom izboru tri oficira od pet 1
oficira odgovaraju ~etiri izbora podoficira, pa za ovu kombinaciju imamo 10 ⋅ 4 = 40 mogu}a na~na formirawa grupe.. Sli~no rasu|ivawe primewuje se i u ostalim slu~ajevima. Ukupan broj tra`enih na~ina je
⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ + ⎝ 3⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛10 ⎞ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 40 + 60 + 20 + 900 + 300 + 400 = 1720 . ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠
136
1. a) Izra~unati
b) Uprostiti
2. grupa 2000. god. 4 12 ⎞ 1 ⎛ 15 . + − ⎜ ⎟: 6 − 2 3− 6 ⎠ 6 + 11 ⎝ 6 +1 a 2 + b2 a2 b2 − + . ab ab − b 2 a 2 − ab
2. Re{iti jedna~ine: x − 1 3x − 1 2 x − 4 x + 1 + = + a) , 2 4 3 6 3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
cos 6 x + sin6 x =
4. Re{iti nejedna~inu
(
)
2
(
b) x 2 − 4 x + 12 = 7 4 x − x 2
)
15 1 cos 2 x − . 8 2
log3 ( 3 − x ) < log 1 3
x +1 . 4
5. Ta~ka A(3,0) polovi tetivu kru`nice x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 . Odrediti jedna~inu prave kojoj pripada tetiva navedene kru`nice. 6. Stranice trougla su a = 13, b = 14 i c = 15 . Dve od wih (a i b) su tangente kruga ~iji je centar na tre}oj stranici. Odrediti polupre~nik kruga. 7. Izvodnica prave zarubqene kupe je s = 5cm, a polupre~nici osnova su R = 5cm i r = 2cm. U kupu je upisana pravilna zarubqena ~etvorostrana piramida tako da je dowa osnova piramide upisana u dowu osnovu kupe, a gorwa osnova piramide u gorwu osnovu kupe. Izra~unati zapreminu zarubqene piramide. 8. Odrediti du`ine stranica trougla ako se zna da one obrazuju aritmeti~ku progresiju sa razlikom d = 4 i ako jedan unutra{wi ugao trougla ima 120 ° .
⎧ x2 −1 , ⎪ 9. Data je funkcija f ( x ) = ⎨ 1 2 ⎪ ln x , ⎩ 2
x ∈ ( −1,1) x ∈ ( −∞ , −1] ∪ [1,∞ ) .
a) Skicirati grafik funkcije f. b) U zavisnosti od realnog parametra a, odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine f ( x ) = a .
137
10. Izra~unati grani~ne vrednosti:
log 2 2 + log 2 4 + + log 2 2n , a) lim n →+∞ n2
1 + x2 − 1 b) lim . x →0 x2 3
2. grupa 2000. god. (re{ewa) 1.
a)
4 12 ⎞ 1 ⎛ 15 + − = ⎜ ⎟: 6 − 2 3 − 6 ⎠ 6 + 11 ⎝ 6 +1
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)
⎛ 15 ⋅ 6 − 1 4 6 + 2 12 3 + 6 ⎞ ⎟ ⎜ 6 − 1 + 6 − 4 − 9 − 6 ⎟ ⋅ 6 + 11 = ⎠ ⎝ = ⎡3 6 − 1 + 2 6 + 2 − 4 3 + 6 ⎤ ⋅ 6 + 11 = ⎣ ⎦
=⎜
(
=
b)
(
)(
6 − 11 ⋅
) (
)
)
6 + 11 = 6 − 121 = −115 .
a2 + b2 a2 b2 a2 + b2 a2 b2 − + = − + = ab ab b (a − b ) a (a − b ) ab − b 2 a 2 − ab
(a
)
+ b 2 (a − b ) − a 3 + b 3 a 3 + ab 2 − a 2 b − b 3 − a 3 + b 3 = = ab (a − b ) ab (a − b ) ab (b − a ) = −1 , uz uslov a ≠ 0, b ≠ 0 i a ≠ b . = ab (a − b ) 2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa NZS (2,3,4,6 ) ,tj. sa 12 , =
2
dobijamo:
x − 1 3x − 1 2 x − 4 x + 1 + = + ⇔ 2 4 3 6 ⇔ 6 ( x − 1) + 3 ( 3 x − 1) = 4 ( 2 x − 4 ) + 2 ( x + 1) ⇔
⇔ 15x − 9 = 10 x − 14 ⇔ 5 x = −5 ⇔ x = −1 . b) Ako uvedemo smenu x 2 − 4 x = t , dobijamo da je
138
(x
2
)
(
2
)
− 4 x + 12 = 7 4 x − x 2 ⇔ x 2 − 4 x = t ∧ t 2 + 7t + 12 = 0 ⇔
⇔ x − 4 x = t ∧ (t = −3 ∨ t = −4) ⇔ x 2 − 4 x = −3 ∨ x 2 − 4 x = −4 ⇔ 2
⇔ x2 − 4 x + 3 = 0 ∨ x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = 1∨ x = 2 . 3. Koriste}i identitete:
( = (a
)
a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 , 2 a 4 − a 2b 2 + b 4 + b2 2 sin x cos x = sin 2 x i sin 2 x = 1 − cos 2 x ,
)
2
− 3a 2 b 2 ,
transformi{imo levu stranu jedna~ine na slede}i na~in:
cos 6 x + sin6 x = ( cos 2 x ) + ( sin 2 x ) = 3
(
3
)(
)
= cos 2 x + sin 2 x cos 4 x − cos 2 x sin 2 x + sin 4 x = 2 4 sin 2 x cos 2 x = 1 ⋅ ⎡ cos 2 x + sin 2 x − 3 cos 2 x sin 2 x ⎤ = 1 − 3 ⋅ = ⎣⎢ ⎦⎥ 4 3 3 = 1 − sin 2 2 x = 1 − 1 − cos 2 2 x . 4 4
(
)
(
)
1−
Data jedna~ina sada ima oblik
(
)
3 15 1 1 − cos 2 2 x = cos 2 x − , 4 8 2
odakle se sre|ivawem dobija ekvivalentna jedna~ina, odnosno 2 cos 2 2 x − 5 cos 2 x + 2 = 0 . Uvo|ewem smene cos 2 x = t dobija se jedna~ina 2t 2 − 5t + 2 = 0 , ~ija su re{ewa t = 2 ili t =
cos 2 x = 2
x=±
π 6
je nemogu}a, a jedna~ina
+ 2kπ , k ∈ Z .
139
cos 2 x =
1 2
1 . Jedna~ina 2 ima re{ewa
4.
Nejedna~ina log 3 ( 3 − x ) < log 1 3
i
x +1 ima smisla ako je 3 − x > 0 4
x +1 > 0, odnosno ako je x ∈ (− 1,3) . Kako je log 1 a = − log n a 4 n
log 1 3
x +1 x +1 ⎛ x +1⎞ = − log3 = log3 ⎜ ⎟ 4 4 ⎝ 4 ⎠
−1
= log3
bi}e
4 . x +1
Osnova logaritma je ve}a od 1 , pa je logaritamska funkcija rastu}a , a nejedna~ina log3 ( 3 − x ) < log 3
4 se x +1
svodi na nejedna~inu
4 4 . Odavde dobijamo da je 3 − x − < 0 , odnosno x +1 x +1 (x − 1)2 > 0 . Re{ewa posledwe nejedna~ine su x 2 − 2x + 1 > 0 ili x +1 x +1 svi brojevi ve}i od − 1 i razli~iti od 1 . Ako uzmemo u obzir da je x ∈ (− 1,3) , kona~no re{ewe date nejedna~ine je x ∈ (− 1,1) ∪ (1, 3) . 3− x <
5. Kanonski oblik jedna~ine kruga je
(x − 2)2 + ( y + 1)2 = 4. Centar
kruga je ta~ka C (2,−1) , a polupre~nik je r=2. Jedna~ina prave l, odre|ene ta~kama A i C, prema formuli y − y1 =
glasi y − 0 =
y 2 − y1 (x − x1 ) , x 2 − x1
−1− 0 (x − 3) , odnosno y = x − 3 . Prava l i prava p, 2−3
kojoj pripada tetiva, su ortogonalne {to sledi iz podudarnosti trouglova PAC i QAC (sl. 4). l p Koeficijent pravca prave l je kl=1, P a prave p je kp. Iz uslova ortogonalnosti A pravih k p ⋅ ⋅ kl = −1 sledi da je k p = −1 . r Jedna~ina prave p kojoj pripada ta~ka A(3,0 ) , sa koeficijentom pravca k p = −1 je
C
r
Q
y − 0 = −1 ⋅ ( x − 3) , odnosno y = − x + 3 .
Sl.4 6. Kako su poznate sve tri stranice trougla, wegovu povr{inu mo`emo izra~unati pomo}u Heronovog obrasca
140
a+b+c poluobim 2 trougla ~ije su stranice a , b i c . U ovom zadatku je s = 21 , pa je P = s(s − a )(s − b )(s − c ) , pri ~emu je
s=
PABC = 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 . Na osnovu uslova zadatka , povr{inu trougla ABC mo`emo dobiti i kao zbir povr{ina trouglova AOC i BOC , gde je O centar upisanog polukruga(sl.5). Dakle, PABC = PAOC + PBOC , C br ar odnosno PABC = + , 2 2 b a r (13 + 14) = 84 , odakle je r 2 r 56 pa je r = . B 9 A c O Sl.5 7. Na osnovu Pitagorine teoreme (sl. 6) dobijamo da je
H = s 2 − (R − r ) , tj. H = 4 . Pre~nik dowe osnove zarubqene kupe je 2 R , a kako je i dijagonala D dowe osnove upisane zarubqene piramide tako|e jednaka 2 R (sl. 7), to }e biti D = 2 R = 10 = a 2 , pa je a = 5 2 . Sli~no se iz d = 2r = 4 = b 2 dobija da je b = 2 2 . 2
2
Povr{ine baza zarubqene piramide su :
B1 = a 2 = 50 cm 2 i B2 = b 2 = 8 cm 2 , pa je zapremina zarubqene H 4 B1 + B1 B2 + B2 = 50 + 50 ⋅ 8 + 8 = 104 cm 3 . piramide V = 3 3
(
) (
)
r
b
H
H
s R-r
a
R
D
a
Sl.6
a
Sl.7
141
a+4
a
R
R a
x
60
y
120
a−4
Sl.8
Neka su stranice trougla a, b = a − 4 i c = a + 4 . Sa slike 8 vidi
8.
se da je
x=
a 3 i 2
y=
a . Prema Pitagorinoj teorimi 2 2
je
2 ⎛a 3⎞ ⎛a ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ + a − 4 ⎟ = (a + 4)2 , x + ( y + a − 4) = (a + 4 ) , pa je ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝2 odakle se sre|ivawem dobija jedna~ina 2a 2 − 20a = 0 , ~ija su re{ewa a = 0 ili a = 10 . Dakle, stranice trougla su a = 10 , b = 6 i c = 14 .
2
2
2
Do jedna~ine 2a 2 − 20a = 0 smo mogli do}i i na drugi na~in. Na osnovu kosinusne teoreme va`i (sl. 9):
(a + 4)2 = a 2 + (a − 4)2 − 2a (a − 4) cos120 . Kako
120 −
1 (sl. 6), sre|ivawem prethodne 2 jedna~ine dobija se jedna~ina 2a 2 − 20a = 0 . je cos 120 = −
9. Kako je
( )
1 ln x 2 = ln x 2 2
1 2
= ln x 2 = ln x
i
Sl. 9
⎧ x, x ≥ 0 x =⎨ , ⎩− x , x < 0
funkcija f bi}e zadata formulom
⎧ ln ( − x ) , x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ x 2 − 1, x ∈ ( −1,1) ⎪ ln x, x ≥ 1 ⎩ Grafik funkcije f je prikazan na slici 10.
142
1 2
.
y 1 -e
0
-1
x
e
1
-1
Sl. 10 U istom koordinatnom sistemu, su grafici funkcija
g ( x ) = a, a ∈ R i
na slici 11,
predstavqeni
⎧ ln ( − x ) , x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎪⎨− x 2 − 1 , x ∈ ( −1,1) . ⎪ ln x, x ≥ 1 ⎪⎩
(
)
y A
B
a 1
-e
-1
0
1
e
x
-1
Sl. 11 Apscise zajedni~kih ta~aka grafika funkcija f i g predstavqa}e re{ewa date jedna~ine. Na slici 8 to su ta~ke A i B . To zna~i, za a < 0 jedna~ina nema re{ewa, za a ∈ (1, ∞ ) ∪ {0} ima 2 re{ewa,
za a = 1 jedna~ina ima 3 re{ewa, za a ∈ (0,1) jedna~ina ima 4 re{ewa.
143
(
)
log 2 2 ⋅ 4 ⋅ 8 ⋅ ....2n log 2 2 + log 2 4 + ... + log 2 2n 10. a) lim = lim = n2 n2 n →∞ n →∞ = lim
(
log 2 21+ 2+ ...+ n
)=
(1 + 2 + ... + n ) log 2 2 =
lim n2 n2 n →∞ n ( n + 1) 1 1+ 2 n + n n = 1. 2 = lim = lim = lim 2 2 2 n n ←∞ n →∞ 2n n→∞ 2 n →∞
( (
) )
3 x2 + 1 3 1 + x2 − 1 1 + x2 − 1 b) lim = lim ⋅ x2 x2 x →0 x →0 3 x2 + 1
3
= lim
x →∞
= lim
x →0
(
3
+ 3 x2 + 1 + 1
2
+ x +1 +1 3
2
3
x 2 + 1 − 13
⎛ x ⎜ 3 x2 + 1 ⎝ 2
)
2
(
)
2
⎞ + x + 1 + 1⎟ ⎠ 3
x2 ⎛ x2 ⎜ 3 x2 + 1 ⎝
(
144
)
2
=
2
⎞ + 3 x 2 + 1 + 1⎟ ⎠
=
1 3
=
3. grupa 2000. god. 1. a) [ta je ve}e: 13% od 200 ili 30% od 90? a −2 + b −2 a −1 + b −1
b) Uprostiti izraz
2. Re{iti jedna~ine: 2 3 x 1+ x 5 − x 3 − 3 = 4 + 2; a) x − 4 3 4 3. Dokazati identitet 4. Re{iti nejedna~inu
(
⎛ a2 + b2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ ab
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1
(
:
a −1 − b −1 . a2 − b2
)
b) log 1 x 2 + 2 x = −1 . 3
3 + 4cos 2α + cos 4α = 8cos 4α .
)
2 +1
6 x −6 x +1
≤
(
)
2 −1
−x
.
5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse x 2 + 4 y 2 = 100 povu~enih iz ta~ke A(2,7) . 6. Dijagonale jednakokrakog trapeza su uzajamno normalne. Izra~unati wegovu povr{inu ako je krak c = 2 5cm , a odnos osnovica je 3:1. 7. Osnova piramide je trougao ~ije su stranice a = 12 cm, b = 16 cm и c = 20 cm, a bo~ne ivice su jednake i imaju du`inu 26 cm . Izra~unati zapreminu piramide. 8. Deveti ~lan aritmeti~ke progresije je pet puta ve}i od drugog ~lana, a pri deqewu trinaestog ~lana sa {estim ~lanom dobija se koli~nik 2 i ostatak 5. O kojoj progresiji je re~? 9. Odrediti najmawu i najve}u vrednost funkcije
⎧ 2x , x ≤ 0 f (x ) = ⎨ 2 ⎩− x + 8 x + 1, x > 0
na segmentu [− 1,8] .
10. Skicirati grafike funkcija: a) y = 2 sinx ;
b) y = cos
x ; 2
v) y = log 2 2 x ;
145
g) y =
1 . x
3. grupa 2000. god. (re{ewa) 1.a) 200 ⋅ −2
b)
13 30 = 26 < 27 = 90 ⋅ . 100 100 −2
a +b a −1 + b −1
⎛ a2 + b2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ ab
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
−1
−1
−1
a −b a2 − b2
:
1 1 + 2 2 ab a2 − b2 a b = ⋅ ⋅ = 1 1 a2 + b2 1 1 + − a b a b
b2 + a 2 2 2 a − b )( a + b ) ( ( a − b )( a + b ) = ab b2 + a 2 ab a b = ⋅ 2 ⋅ = ⋅ 2 ⋅ 2 2 a+b a +b b−a ab ( a + b ) a + b − (a − b) ab ab = − ab , uz uslov ab ≠ 0, a ≠ −b, a ≠ b . 2 3 x x 5− x 3− 3 = 4 + 2 2. a) Ako jedna~inu x− pomno`imo 4 4 3 NZS (3,4 ) , tj. sa 12 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu 1+
sa
2 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 12 x − 3⎜1 + x ⎟ + 3⎜ 5 − x ⎟ − 4⎜ 3 − ⎟ = 0 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 39 odakle sre|ivawem dobijamo da je x = 0 , odnosno da je x = 0 . 4 b) Jedna~ina ima smisla za x 2 + 2 x > 0 , tj. za x ≠ 0 i, kako je
⎧ x, x ≥ 0 , bi}e x =⎨ ⎩− x , x < 0
(
log 1 3
(
−1
⎛1⎞ x + 2 x = −1 ⇔ x + 2 x = ⎜ ⎟ ⇔ ⎝3⎠
)
2
2
) (
)
⇔ x 2 + 2x − 3 = 0 ∧ x > 0 ∨ x 2 − 2x − 3 = 0 ∧ x < 0 ⇔ ⇔ (( x = 1 ∨ x = −3) ∧ x > 0 ) ∨ ( x = 3 ∨ x = −1) ∧ x < 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 . 3. Koriste}i formule cos 2α = cos 2 α − sin 2 α , sin 2α = 2 sin α cos α , sin 2 α + cos 2 α = 1 i
(
a4 + b4 = a2 + b2
146
)
2
− 2a 2 b 2 , dobijamo da je
3 + 4 cos 2α + cos 4α = = 3 + 4 cos 2 α − sin 2 α + cos 2 2α − sin 2 2α
( ) = 3 + 4 ( cos α − sin α ) + ( cos α − sin α ) − ( 2 sin α cos α ) = 3 ( sin α + cos α ) + 4 ( cos α − sin α ) + cos α + sin α − 6 sin α cos α = 7 cos α − sin α + ( cos α + sin α ) − 2 cos α sin α − 6 sin α cos α 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
= 7 cos 2 α − sin 2 α + 1 − 8 sin 2 α cos 2 α = 7 cos 2 α − sin 2 α + sin 2 α + cos 2 α − 8 sin 2 α cos 2 α = 8 cos 2 α − 8 sin 2 α cos 2 α = 8 cos 2 α 1 − sin 2 α
(
)
= 8cos 2 α cos 2 α = 8cos 4 α . 4. Zadatak ima smisla ako je x ≠ −1 . Tada je :
( ⇔
(
)
2 +1
6 x −6 x +1
)
2 +1
6 x −6 x +1
≤
(
)
2 −1
−x
⇔
(
6 x −6 x +1
)
2 +1
⎛ 1 2 + 1⎞ ⎟ ≤ ⎜⎜ ⋅ ⎟ − 2 1 2 1 + ⎝ ⎠
x
⇔
(
x
⎛ 1 ⎞ ≤⎜ ⎟ ⇔ ⎝ 2 −1⎠ 6 x −6 x +1
)
2 +1
≤
(
)
x
2 +1 ⇔
( osnova eksponencijalne funkcije je ve}a od jedan )
⇔
6x − 6 6x − 6 − x 2 − x ≤0⇔ ≤x⇔ x +1 x +1
y 6
( x + 2 )( x + 3) ≥ 0 ⇔ x2 − 5x + 6 ⇔ ≥0⇔ x +1 x +1 (videti slike 12 i 13 i tablicu)
0 1 2
3
Sl. 12
147
2
x
⇔ x ∈ ( −1, 2] ∪ [3, +∞ ) . x 2 x − 5x + 6 x +1
y 1
( −∞, −1) ( −1, 2 ) ( 2,3) ( 3, +∞ )
x2 − 5x + 6 x +1
+ −
+ +
− +
+ +
−
+
−
+
-1
0
x
Sl. 13
5. Neka je y = kx + n jedna~ina tangente elipse x 2 + 4 y 2 = 100 ,
~iji je kanonski oblik
x2 y2 + = 1 . Uslov dodira ove elipse i 10 2 5 2
prave y = kx + n je 100k 2 + 25 = n 2 . Ta~ka A (2,7 ) pripada pravoj
y = kx + n , pa je 7 = 2k + n . Re{avawem sistema jedna~ina 100k 2 + 25 = n 2 ∧ 7 = 2k + n dobijamo da je k = k=−
3 25 i n= , ili da je 8 4
2 25 i n= , pa su jedna~ine tra`enih tangenti: 3 3 t1 : 3 x − 8 y + 50 = 0 i t 2 : 2 x + 3 y − 25 = 0 .
6. Trouglovi ABO i CDO su sli~ni jer su im svi odgovaraju}i uglovi jednaki, pa su im parovi odgovaraju}ih stranica proporcionalni.
Kako
je
AB : CD = OB : OC ,
tj.
3 : 1 = OB : OC ,bi}e
OB = 3OC . Ozna~imo du`i OB , OC i BC redom sa y, x i c. (sl. 14)
148
b
D
C x
O c
y
a
A
c
B
Sl. 14 Trougao BOC je pravougli, pa je:
( )
c2 = x2 + y2 ⇔ 2 5 iz ~ega sledi da je x =
2
= x 2 + (3 x ) ⇔ x 2 = 2 , 2
2 . Dijagonale jednakokrakog trapeza su
uzajamno normalne i jednake, pa , ako ozna~imo dijagonale AC i BD sa d , sledi da je
d 2 (x + y ) = = = 2 2 2
PABCD
(
2 +3 2 2
) = (4 2 ) 2
2
2
= 16cm 2.
7. Iz podudarnosti trouglova VOB , VOC i VOA (sl. 15; podudarne su po dve odgovaraju}e stranice i ugao naspram ve}e od wih) zakqu~ujemo da se podno`je visine piramide nalazi u centru opisanog
kruga
oko
trougla ABC . Povr{ina
baze
mo`e
izra~unati pomo}u Heronovog obrasca:
B = PABC = s (s − a )(s − b )(s − c ) = 24 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ 4 = 96 cm 2 . Kako je PΔ =
abc abc 12 ⋅ 16 ⋅ 20 , to je R = = 10cm. = 4 PΔ 4 ⋅ 96 4R
149
se
V
V
d
d d
H
d c
B R
O
a C
H
A B
b
R
O
Sl. 16
Sl. 15
Visinu piramide (sl. 16) izra~unavamo pomo}u Pitagorine teoreme:
H = d 2 − R 2 = 26 2 − 10 2 =
(26 − 10)(26 + 10) = 4 ⋅ 6 = 24 .
Sada mo`emo izra~unati zapreminu piramide:
1 1 V = BH = ⋅ 96 ⋅ 24 = 768cm3 . 3 3 Napomena: Ako uo~imo da je bazni trougao pravougli, jer je
122 + 162 = 202 , mo`emo koristiti formulu R =
c . 2
8. Neka je a1 prvi ~lan, a d razlika date aritmeti~ke progresije. Prema uslovu zadatka sledi da je
a1 + 8d = 5(a1 + d ) ⎫ ⎫ 3d = 4a1 ⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ a13 = 2a 6 + 5⎭ a1 + 12d = 2a1 + 10d + 5⎭ 2d − 5 = a1 ⎭ a9 = 5 ⋅ a 2
150
3d = 4(2d − 5)⎫ d = 4 ⎫ ⎬⇒ ⎬ a1 = 2d − 5 ⎭ a1 = 3⎭ .
y 17
T
− x 2 + 8x + 1
Prvih nekoliko ~lanova progresije je
3, 7, 11, 15, 19, ... .
9. Funkcija y = 2 x je rastu}a i
1 f (− 1) = , f (0) = 1 . Koordinate 2
2x 1
temena parabole y = − x 2 + 8 x + 1
b −D su : xT = − = 4 i yT = = 17 . 2a 4a
-1
0
4
8
x
Sl. 17
Grafik funkcije prikazan je na slici 17. Najmawa vrednost funkcije je
1 i posti`e se u ta~ki x = −1 , a najve}a vrednost date funkci2
je je 17 i posti`e se u ta~ki x = 4. 10. a) y = 2
⎧2 sin x, sin x ≥ 0 sin x = ⎨ ⎩ −2 sin x, sin x < 0 y
2 sinx
2 1
sinx 0
x
2π
π
− sinx −2sinx
-1 -2
2sinx Sl. 18
151
b) Osnovni period funkcije y = cos
x x 2 y
0 π 0 1
π 2 0
2π
π −1
x je T = 2π = 2π = 4π . 2 ω 12
3π 3π 2 0
4π 2π 1
Grafik funkcije prikazan je na slici 19. y 1 0
-1 π
2π
3π
x
4π
Sl. 19
v) y = log 2 2 x, x > 0
1 1 1 2 4 4 2 y −1 0 1 2 3
x
y 2 1 0 –1
1
x
2
Sl. 20 y
g)
−
⎧ 1 ⎪ , x>0 y=⎨ x 1 ⎪− , x < 0 ⎩ x
1 x
1 x
–1
1 0
Sl. 21
152
1
x
1. a) Izra~unati: 2
2 −2
:2
−2 −2
4. grupa 2000. god. .
b) Za a = 0,003 i b = 5,994 odrediti vrednost izraza 1 6b ⎞ b(2a + b ) ⎛ 1 I (a, b ) = ⎜ . − + 2 ⎟: 2 2 2 ⎝ a − 3b a + 3b a − 9b ⎠ a − 9b 2. Re{iti jedna~ine: 2 x + 1 3x − 2 4 x + 5 1 a) − = − ; 7 3 21 3
⎧log 2 x, x ≥ 1 . ⎩ x − 1, x < 1
b) ( f ( x )) + f ( x ) = 0 ako je f ( x ) = ⎨ 2
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin 2 2 x + sin 2 3x = 1 .
4. Za koje vrednosti realnog parametra k jedna~ina (k − 2)x 2 − 2kx + k − 1 = 0 ima pozitivna re{ewa? 5. Na krivoj 3 x 2 − 4 y 2 = 72 odrediti ta~ku najbli`u pravoj 3x + 2 y + 1 = 0 . 6. U trouglu ABC je BC = 5, AC = 8, ∠BAC = 30° i ∠ABC < 90°. Odrediti AB. 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine wenih osnova 25π cm 2 i 4π cm 2 , a povr{ina omota~a 35π cm 2 .
8. Hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla je 1. Nad wegovom katetom, kao nad hipotenuzom, konstruisan je novi jednakokraki pravougli trougao. Nad katetom novog trougla, kao nad hipotenuzom, konstruisan je, opet, jednakokraki pravougli trougao, itd. do beskraja. Koliki je zbir povr{ina svih tako dobijenih trouglova (ukqu~uju}i i polazni)?
log y x + log x y = 2 ⎫ ⎬. x 2 − y = 2⎭
9. Re{iti sistem jedna~ina
10. U xOy -ravni za k ∈ R skicirati linije odre|ene jedna~inama: a) y = x + k ,
b) x 2 + y y = 1 ,
153
v) y = kx 2 − 2kx + k + 1 .
4. grupa 2000. god. (re{ewa) 2− 2
−2− 2
1 4
−
1 4
1 4
1 4
1 2
= 2 :2 = 2 ⋅2 = 2 = 2 . a + 3b − ( a − 3b ) + 6b a 2 − 9b 2 12b b) I ( a, b ) = ⋅ = = 2 2 b ( 2a + b ) b ( 2a + b ) a − 9b
1. a) 2
:2
12 b , a ≠ − , b ≠ 0. 2a + b 2 12 12 I (0,003 ; 5,994) = = = 2. 2 ⋅ 0,003 + 5,994 6 =
2.a) Ako
jedna~inu
2 x + 1 3x − 2 4 x + 5 1 − = − pomno`imo sa 7 3 21 3 21 , dobijamo ekvivalentnu jedna~inu
NZS (7,3) ,tj. sa 3(2 x + 1) − 7(3 x − 2) = 4 x + 5 − 7 , koja se sre|ivawem jedna~inu − 19 x + 19 = 0 , a weno re{ewe je x = 1 . b)
svodi
1° Za x ≥ 1 je f ( x ) = log 2 x .
log 22 x + log 2 x = 0 ⇔ log 2 x ( log 2 x + 1) = 0 ⇔ log 2 x = 0 ∨ log 2 x = −1 1 ⇔ x = 1∨ x = , 2
pa je , zbog uslova x ≥ 1 , jedino re{ewe ove jedna~ine x = 1 . 2° Za x < 1 je f ( x ) = x − 1 .
(x − 1)2 + (x − 1) = 0
⇔ ( x − 1) ( ( x − 1) + 1) = 0 ⇔ x −1 = 0 ∨ x = 0 ⇔ x = 1∨ x = 0 ,
pa je, zbog uslova x < 1 , jedino re{ewe ove jedna~ine x = 0. Dakle, skup re{ewa date jedna~ine je {0,1} . 3. Koriste}i identitete:
154
na
sin 2 x =
1 − cos 2 x 2
dobija se:
cos α + cos β = 2 cos
i
α +β 2
cos
α −β 2
1 − cos 4 x 1 − cos 6 x + =1 2 2 ⇔ cos 4 x + cos 6 x = 0 ⇔ 2 cos 5 x cos x = 0 ⇔ cos 5 x = 0 ∨ cos x = 0
sin 2 2 x + sin 2 3x = 1 ⇔
⇔ 5x =
π
2
π
⇔x=
10
+ kπ , k ∈ Z ∨ x = +k
π 5
, k∈Z ∨ x =
π 2
π 2
+ lπ , l ∈ Z + lπ , l ∈ Z .
4.Da bi re{ewa x1 i x2 jedna~ine ax 2 + bx + c = 0 bila pozitivna, treba da budu ispuweni slede}i uslovi: x1 + x2 > 0 , x1 x2 > 0 i D ≥ 0 .
(1) x1 + x2 = − b =
2k > 0 ,tj. 2k (k − 2 ) > 0 , a k −2 pa je k ∈ (− ∞,0 ) ∪ (2, ∞ ) . (2) x1 x2 = c = k − 1 > 0 ,tj. (k − 1)(k − 2) > 0 , a k −2 pa je k ∈ (− ∞,1) ∪ (2, ∞ ) .
0
0
2
1
2
( 3) D = b2 − 4ac = 4k 2 − 4 ( k − 2 ) ( k − 1) ≥ 0 ,
4k 2 − 4k 2 + 12k − 8 ≥ 0 ⎡2 ⎞ 4(3k − 2) ≥ 0 ⇒ k ∈ ⎢ , ∞ ⎟ . ⎣3 ⎠
2 3
Presek skupova re{ewa uslova (1),(2) i (3) je tra`eno re{ewe i nalazimo ga koriste}i sliku 22: 0
2 3
1
2
Sl. 22
155
Prema tome,
⎡2 ⎞ k ∈ ⎢ , ∞ ⎟ ∧ k ∈ (− ∞,0 ) ∪ (2, ∞ ) ∧ k ∈ (− ∞,1) ∪ (2, ∞ ) ⇔ k ∈ (2, ∞ ) . ⎣3 ⎠ 5.
x2 y2 Data kriva je hiperbola ~iji je kanonski oblik − = 1. 24 18
Dodirna ta~ka hiperbole i wene tangente, paralelene datoj pravoj
3 2
bi}e tra`ena ta~ka. Data prava ima koeficijent pravca k p = − . Tangenta mora biti paralelna sa pravom p , pa je kt = −
3 . Uslov 2
x2 y 2 dodira prave y = kx + n i hiperbole 2 − 2 = 1 je a 2 k 2 − b 2 = n 2 . Iz a b 2
⎛ 3⎞ 2 ⎟ − 18 = n dobija se da je n = 6 ili n = −6 . ⎝ 2⎠ Tangente hiperbole, paralelne pravoj p , imaju jedna~ine:
jedna~ine 24 ⋅ ⎜ −
t1 : 3x + 2 y − 12 = 0 i t 2 : 3x + 2 y + 12 = 0 . 3 x 2 − 4 y 2 = 72 ⎫ 3 x 2 − 4 y 2 = 72 ⎫ Re{avawem sistema ⎬ i ⎬ 3 x + 2 y − 12 = 0⎭ 3 x + 2 y + 12 = 0⎭ dobijaju se ta~ke P1 (6,−3) i P2 (− 6,3) . Prema formuli za rastojawe ta~ke od prave sledi da je
3⋅ 6 − 2 ⋅3 +1 13 −3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 + 1 11 = = i d ( P2 , p ) = . 9+4 13 9+4 13 Dakle, ta~ka P2 (− 6,3) je tra`ena ta~ka. d ( P1 , p ) =
6. Na osnovu sinusne teoreme va`i
a b 5 8 = , tj. = 1 sin β sin α sin β 2
(sl. 23). Na osnovu implikacije
156
sin β =
4 π 16 3 ∧ 0 < β < ⇒ cos β = 1 − = 5 2 25 5
i na osnovu kosinusne teoreme va`i b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β , odnosno
3 64 = 25 + c 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ c ⋅ , 5
odakle
je
C 5
8
β
30 A
c
B
Sl. 23
c 2 − 6c − 39 = 0 .
Re{avawem
kvadratne jedna~ine i uzimaju}i u obzir da je c > 0 , proisti~e da je
c = 3+ 4 3 . 7. Kako je poznato da je B1 = 4π cm 2 i B2 = 25π cm 2 , to se mogu odrediti polupre~nici baza: r12π = 4π ⇒ r1 = 2cm ,
r22π = 25π ⇒ r2 = 5cm . Sada, iz M = 35π cm 2 mo`e se odrediti izvodnica zarubqene kupe:
π (r1 + r2 )s = 35π ⇒ s = 5cm . Pomo}u Pitagorine teoreme (sl.2) nalazi se visina zarubqene kupe:
H = s 2 − (r2 − r1 ) = 25 − 9 = 4cm . 2
Na osnovu poznatog obrasca za zapreminu zarubqene kupe sledi da je V =
8.
(
) (
)
H 4 B1 + B1 B2 + B2 = 25π + 25π ⋅ 4π + 4π = 52π cm 3 3 3 1 a12 1 a + a = 1 ⇒ a1 = , pa je P1 = = . 2 4 2 2 1
2 1
a22 + a22 = a12 ⇒ a2 =
1 a1 1 a2 1 = , pa je P2 = 2 = = P1 ⋅ . 2 8 2 2 2
157
2
a32 + a32 = a22 ⇒ a3 =
1 a2 a2 1 ⎛1⎞ = , pa je P3 = 3 = = P1 ⋅ ⎜ ⎟ . 2 16 2 2 2 ⎝2⎠
Indukcijom se mo`e dokazati da je niz P1 , P2 , P3 ,.......Pn ,....... geometrijski niz sa koli~nikom q =
1 . Kako je 2
a1
n
⎛1⎞ 1− ⎜ ⎟ 1⎛ 1⎞ 1 2 S n = P1 + P2 + .....Pn = ⋅ ⎝ ⎠ = ⎜1 − n ⎟ , 2⎝ 2 ⎠ 4 1− 1 2
1
a1
a2
a2 a3
Sl. 24 prelaskom na grani~nu vrednost, kada se n neograni~eno uve}ava, dobijamo da je
1⎛ 1 ⎞ 1 1− n ⎟ = . ⎜ n→∞ 2 ⎝ 2 ⎠ 2
lim Sn = lim
n →∞
9. Sistem ima smisla za x > 0, y > 0, x ≠ 1 i y ≠ 1 .
1 ⎫ log y x + = 2⎪ log y x + log x y = 2 ⎫⎪ log 2y x + 1 = 2 log y log x ⇒ ⇒ y ⎬ ⎬ x2 − y = 2 ⎪⎭ x2 − 2 = y ⎪ 2 x −2= y ⎭
( log
x ⎫⎪ ⎬ ⇒ ⎪⎭
2 log y x = 1 ⎫⎪ x= y ⎫ x − 1) = 0 ⎫⎪ ⇒ ⎬⇒ 2 ⎬. ⎬⇒ 2 x − x − 2 = 0⎭ x − 2 = y ⎪⎭ ⎪⎭ x2 − 2 = y y
Iz druge jedna~ine se dobija da je x = 2 ili x = −1 . Prema uslovu zadatka, jedino re{ewe sistema je x = 2, y = 2 .
158
10. a) Linije u xOy − ravni odre|ene jedna~inama y = x + k , k ∈ R su prave paralelne sa pravom y = x , (sl. 25).
y
1 0
x
1
Sl.25 b) Jedna~inu y = kx 2 − 2kx + k + 1 napi{imo u obliku
(
)
y = k x 2 − 2 x + 1 + 1 , odnosno u obliku y = k ( x − 1) + 1 . Sada se vidi 2
da su linije odre|ene ovim jedna~inama parabole koje prolaze kroz ta~ku M (1,1) za k ≠ 0 , i prava y = 1 , za k = 0 , (sl.26).
k>0
y
y
1
2
k=0
k<0
1
-1 0
1
2
x
0
1
x
-1
Sl. 26
Sl. 27
⎧ y, y ≥ 0 , to jedna~ina x 2 + y y = 1 za y ≥ 0 − y , y < 0 ⎩
v) Kako je y = ⎨
glasi x 2 + y 2 = 1 , a linija koja joj odgovara je deo kru`nice u
159
prvom i drugom kvadrantu (sl. 27). Za y < 0 dobija se deo hiperbole x 2 − y 2 = 1 u tre}em i ~etvrtom kvadrantu.
160
500
1. a) [ta je ve}e: 64
ili 3
2000
5. grupa 2000. god. ? −
b) Izra~unati
3
−5 4 ⎛⎛ 1 ⎞ 176 ⎞ ⎜ ⎜ 4 − 1: 0,3 ⎟ : ⎟ 5 ⎟ ⎠ ⎜⎝ 3 . ⎜ ⎟ 2 ⎛1 2 ⎞ 1 ⋅⎜ + ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 ⎝ 7 11 ⎠ ⎝ ⎠
2. Re{iti jedna~ine: 5 x − 2 13 x + 1 x − 5 a) − = + x, 3 7 2
b)
x+2 = x − 1. 2
3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina sin 6 x + cos 6 x = a ima realna re{ewa? 4. Re{iti nejedna~inu
(
)
5 x − 3 x +1 > 2 5 x −1 − 3 x − 2 .
5. Odredtiti koordinate ta~ke B simetri~ne ta~ki A(1,−2) u odnosu na pravu koja prolazi kroz ta~ke C (5,0) i D(8,−1). 6. Oko kruga polupre~nika 2cm opisan je jednakokraki trapez povr{ine 20cm2. Odrediti du`ine stranica tog trapeza. 7. Izvodnice prave kupe grade sa ravni osnove ugao od 60°. U kupu je upisana lopta polupre~nika r. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe. 8. Re{iti jedna~inu
9. Re{iti sistem jedna~ina
cosx + cos 2 x + cos 3 x + = 1.
x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481⎫ ⎬. x 2 + xy + y 2 = 37 ⎭
10. Skicirati grafike funkcija: a) y = x 2 − x ,
b) y = sin⎛⎜ x − x 2 ⎞⎟ , ⎝ ⎠
161
v) y = ln x .
5. grupa 2000. god. (re{ewa)
( )
1. a) 64 500 = 8 2
500
( )
= 81000 < 91000 = 3 2
−5 ⎛⎛ 1 ⎞ 176 ⎞ ⎜ ⎜ 4 − 1: 0,3 ⎟ : ⎟ 3 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ b) ⎜ ⎟ 2 ⎛1 2 ⎞ 1 ⋅⎜ + ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 ⎝ 7 11 ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 176 ⎟ ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝ 11 ⎠
−
3 4
⎛ 11 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 176 ⎠
−
3 4
2. a) Ako jedna~inu
⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠
−
−
3 4
3 4
1000
= 3 2000 .
⎛ ⎛ 13 10 ⎞−5 5 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ ⋅ ⎟ 3 3 ⎠ 176 ⎟ ⎝ ⎜ = ⎜ ⎟ 7 25 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 5 77 ⎝ ⎠ 3 = 16 4
3
⎛ 1⎞ ⎛ 4 = ⎜ 16 4 ⎟ = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
−
( )
3 4
=
1 ⎞3 4 ⎟
⎟ ⎠
= 23 = 8 .
5 x − 2 13x + 1 x − 5 − = + x pomno`imo sa 3 7 2
NZS (2,3,7 ) , tj. sa 42, dobijamo da je 5 x − 2 13x + 1 x − 5 − = +x⇔ 3 7 2 ⇔ 14(5 x − 2) − 6(13x + 1) = 21( x − 5) + 42 x ⇔ ⇔ 70 x − 28 − 78 x − 6 − 21x + 105 − 42 x = 0 ⇔ −71x + 71 = 0 ⇔ x =1. b) Jedna~ina ima smisla za x + 2 ≥ 0 i x − 1 ≥ 0 , tj. za x ≥ 1 . x+2 x+2 = x −1 ⇒ = x 2 − 2x + 1 2 4 ⇒ 4x2 − 9x + 2 = 0 1 ⇒ x = 2∨ x = . 4 Re{ewe jedna~ine je x = 2 . 3. Koristi}emo identitete:
(
(
)
a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 , a 4 + b 4 = a 2 + b 2 sin 2 x = 2 sin x cos x .
162
)
2
− 2a 2 b 2 i
Kako je
(
) (
)
3
3
sin6 x + cos 6 x = sin 2 x + cos 2 x =
(
)(
)
= sin 2 x + cos 2 x sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 x =
(
=1 ⋅ ⎡ sin 2 x + cos 2 x ⎣⎢
)
2
− 3 sin 2 x cos 2 x ⎤ = ⎦⎥
2 = 1 − 3 ( 2 sin x cos x ) = 1 − 3 sin 2 2 x , 4 4
to se data jedna~ina svodi na jedna~inu 1 −
3 sin 2 2 x = a , tj. na 4
4 1 − a = sin 2 2 x , ~ija su re{ewa realna, ako je ( ) 3 4 4 4 0 ≤ (1 − a ) ≤ 1 . Iz 0 ≤ (1 − a ) dobijamo da je a ≤ 1 , a iz (1 − a ) ≤ 1 3 3 3 3 1 1 dobijamo da je 1 − a ≤ , odnosno da je a ≥ . Dakle, a ≤ 1 i a ≥ , 4 4 4 ⎡1 ⎤ pa je a ∈ ⎢ ,1⎥ . ⎣4 ⎦ jedna~inu
4. Deqewem nejedna~ine x
(
5 x − 3 x +1 > 2 5 x −1 − 3 x − 2
)
sa 3 x ( 3 x >0) x
x
x
2 ⎛5⎞ 2 2⎛5⎞ 2 ⎛5⎞ ⎛5⎞ dobijamo da je ⎜ ⎟ − 3 > ⋅ ⎜ ⎟ − , odnosno ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ > 3 − , 5 ⎝ 3⎠ 9 5 ⎝ 3⎠ 9 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ x
25 5 ⎛5⎞ odakle je ⎜ ⎟ > ⋅ , ili 9 3 ⎝ 3⎠
x
3
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ >⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
Osnova eksponencijalne funkcije j e ve}a od 1, pa je funkcija rastu}a, iz ~ega proisti~e da je x > 3 . 5. Jedna~ina prave p , odre|ene dvema ta~kama je
y 2 − y1 (x − x1 ) , x 2 − x1 pa je za ta~ke C (5,0 ) i D(8,−1) jedna~ina odgovaraju}e prave −1− 0 ( x − 5) , y−0 = 8−5 y − y1 =
163
1 3
odnosno x + 3 y − 5 = 0 . Koeficijent pravca prave p je k p = − . Prava n koja prolazi kroz ta~ku A(1,−2 ) i normalna je na pravu p ima jedna~inu y − (− 2 ) = k n ( x − 1) ,
pri ~emu je k n = −
1 = 3 , pa kp
jedna~ina prave n glasi: y + 2 = 3 ( x − 1) , odnosno y − 3 x + 5 = 0 .
A
x + 3 y − 5 = 0⎫ ⎬ 3x − y − 5 = 0⎭
Re{avawem sistema
S n
B p
Sl. 28 dobija se ta~ka S (2,1) koja je presek pravih n i p . Koordinate ta~ke B dobijaju se iz uslova da je S sredi{te du`i AB (sl. 28). Dakle, iz
x B = 4 − 1 = 3 , a iz
x A + xB = x s dobija se da je 2
y A + yB = y s da je y B = 2 + 2 = 4 . Tra`ena 2
ta~ka je ta~ka B(3,4 ) .
Neka su a i b osnovice, c krak i h visina trapeza, a r polupre~nik kruga. Krug je upisan u trapez (sl. 29), pa je h = 2r . Kako je r = 2cm , to je h = 4cm . Iz formule za povr{inu trapeza a+b a+b P= ⋅ h dobijamo da je 20 = ⋅ 4 , tj. da je a + b = 10. Trapez je 2 2 tangentni , pa je 2c = a + b . Na osnovu prethodnog zakqu~ujemo da je c = 5cm . Kako je trapez jednakokraki, b a −b D C to je AE = , gde je E podno`je 2 r visine spu{tene iz temena D na c h osnovicu AB . Prema Pitagorinoj c teoremi , za trougao AED va`i: r
6.
2
⎛a−b⎞ 2 2 ⎜ ⎟ = c − h = 25 − 16 = 9 , 2 ⎝ ⎠ odnosno a − b = 6.
A
a−b 2
E
a
Sl. 29
164
F
B
Re{avawem sistema
a + b = 10⎫ ⎬ dobija se da je a = 8cm i b = 2cm . a−b = 6 ⎭
7. Iz podudarnosti trouglova ADO i AEO (sl. 30) zakqu~ujemo da je: ∠DAO = 30 i ∠AOD = 60 , pa je AO = 2r
i R=
(2r )
3
=r 3. 2 Trougao ACB je jednakokraki sa uglom na osnovici od 60 , pa je 2R 3 s = AC = AB = BC = 2 R = 2r 3 i H = = R 3 = 3r . Dakle, 2 P = B + M = πR 2 + πRs = πR(R + s ) = π r 3 r 3 + 2r 3 = 9π r 2 cm 2 i 1 1 V = BH = π r 2 3 ⋅ 3 ⋅ r = 3π r 3 cm 3 . 3 3
(
)
C
Napomena:
tg 30 =
r ⇒R=r 3 R s
H
r O r
60
R
30
A
R
B
D
Sl. 30 8. Jedna~ina cos x + cos 2 x + cos 3 x + .... = 1 ima smisla za x ≠ kπ , k ∈ Z . Leva strana jedna~ine predstavqa zbir ~lanova beskona~ne geometrijske progresije za koju je a1 = cos x i q = cos x . Kako je q < 1 , bi}e π 3 cos x + cos 2 x + cos 3 x + .... = cos x .
1 − cos x
cos x = 1 dobijamo da 1 − cos x je cos x = 1 − cos x , odnosno 2 cos x = 1 , 1 ili cos x = . Re{avawem posledwe jedna~ine 2
Iz jedna~ine
0
12
−π 3
Sl. 31
165
1
⎧ x, x ≥ 0 x2 = x , a x = ⎨ , to }e za x ≥ 0 biti ⎩− x , x < 0
b) Kako je
)
(
y = sin x − x 2 = sin ( x − x ) = sin ( x − x ) = sin 0 = 0 , dok imamo
da
je
(
za x < 0
)
y = sin x − x 2 = sin ( x − x ) = sin ( x − ( − x ) ) = sin 2 x .
Grafik funkcije je prikazan na slici 33. y
−3π 2
−2π
−π
1
−π 2
0
x
-1
Sl. 33 v) Funkcija y = ln x ima smisla za x ≠ 0 .
⎧ ln x, x > 0 ln x ≥ 0 za ln x = ⎨ , to }e biti ⎩ln ( − x ) , x < 0 x ∈ (− ∞,−1] ∪ [1, ∞ ) , a za x ∈ (− 1,0 ) ∪ (0,1) }e biti ln x < 0 (vidi
Kako
je
sliku 34).Sada mo`emo detaqno zadati funkciju y = ln x . Dakle, y
ln x, x ≥1 ⎧ ⎪ − ln x, 0 < x <1 ⎪ y = ln x = ⎨ ⎪− ln ( − x ) , −1 < x < 0 ⎪⎩ ln ( − x ) , x ≤ −1
1
-e
-1 0
1
Sl.34 Grafik funkcije je prikazan na slici 34.
167
e
x
500
25
1. a) [ta je ve}e:
ili 2
2000
6. grupa 2000. god. ?
⎞ ⎛ ⎛3 5 ⎞ 5 ⎟ ⎜ ⎜ − ⎟⋅ ⎟ ⎜ ⎝ 5 13 ⎠ 7 ⎟ ⎜ −8 ⎜ ⎛1 6 − 2 : 0,7 ⎞ : 13 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 7 32 ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝
b) Izra~unati
2. Re{iti jedna~ine: 7 x + 3 2x − 1 7 x − 1 − = +1 , a) 12 4 2 3
b)
−
3 4
.
2 x + 1 = x − 1.
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu cos 4 x + sin 4 x = cos 4 x. 4. Za koje vrednosti realnog parametra p jedna~ina 3 x 2 − 6 x − 2 log 4 p = 0 ima oba pozitivna re{ewa? 5. Odrediti jedna~inu kru`nice koja prolazi kroz ta~ke A(2,6), B (7,1), C (5,5). 6. U trapsez sa kracima c = 13 i d = 15 upisan je krug polupre~nika 6. Izra~unati du`ine onovica tog trapeza. 7. Ta~kasti izvor svetlosti udaqen je 4m od centra lopte polupre~nika 2m. Izra~unati povr{inu neosvetqenog dela lopte. 8. Zbir svih ~lanova beskona~ne geometrijske progresije je zbir kvadrata ~lanova iste progresije je 2001
2 , a 3
4 . Koja je to progresija? 3 2001
⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎞⎟ ⎜− − i 3 ⎟ (i je imaginarna 9. Izra~unati ⎜ − + i + ⎜ 2 ⎜ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ jedinica). 10. U xOy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
(
a) ( x − y )( y + 2 x − 4 ) ≤ 0 ,
(
)(
)
b) ( y − 1) y − e x ≥ 0 ,
)
v) y − x x 2 + y − 1 ≤ 0 .
168
6. grupa 2000. god. (re{ewa)
( )
1. a) 25500 = 52 b)
500
( )
= 51000 > 41000 = 22
⎛ ⎞ 39 − 25 5 ⎜ ⎟ ⋅ 5 ⋅13 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ 13 2 ⋅10 ⎞−8 32 ⎟ ⎜⎜ ⎜ − 7 ⎟ ⋅ 13 ⎟⎟ ⎠ ⎝⎝ 7 ⎠
−
3 4
1000
⎛ 14 1 ⎞ ⎜ 13 ⋅ 7 ⎟ =⎜ ⎟ ⎜⎜ ( −1)−8 ⋅ 32 ⎟⎟ 13 ⎠ ⎝
= 22000 .
−
3 4
⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 16 ⎠
−
3 4
( )
= 2
−4
−
3 4
= 8.
x + 3 2x − 1 7x − 1 7 − = +1 pomno`imo sa 4 2 3 12
2. a) Ako jedna~inu
NZS (2,3,4,12) , tj. sa 12, dobijamo ekvivalentnu jedna~inu 3( x + 3) − 6(2 x − 1) = 4(7 x − 1) + 19 . Sre|ivawem ove jedna~in dobija se da je − 37 x = 0 , odnosno x = 0 .
2 x + 1 = x − 1 ima smisla ako je 2 x + 1 ≥ 0 i x − 1 ≥ 0 , 1 tj. ako je x ≥ − i x ≥ 1 . Dakle, re{ewa tra`imo za sve x ≥ 1 . 2 2x + 1 = x − 1 ⇔ 2x + 1 = x 2 − 2x + 1 ∧ x ≥ 1 ⇔ x2 − 4x = 0 ∧ x ≥ 1 ⇔ x( x − 4 ) = 0 ∧ x ≥ 1 ⇔ (x = 0 ∨ x = 4) ∧ x ≥ 1 ⇔x=4 .
b) Jedna~ina
3.
cos 4 x + sin 4 x = cos 4 x ⇔
(
⇔ cos 2 x + sin 2 x
)
2
− 2 cos 2 x sin 2 x = cos 2 2 x − sin 2 2 x ⇔
1 3 ⇔ 1 − sin 2 2 x = 1 − 2 sin 2 2 x ⇔ sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 2 kπ ⇔ 2 x = kπ , k ∈ Z ⇔ x = , k ∈Z . 2
169
4. Jedna~ina 3 x 2 − 6 x − 2 log 4 p = 0 ima smisla za p > 0 . Prema Vietovim formulama je x1 + x 2 = −
c −2 log 4 p b 6 = , a x1 x2 = = . 3 a 3 a
Zadatak se svodi na re{avawe sistema nejedna~ina x1 + x2 > 0 , x1 ⋅ x2 > 0 , D ≥ 0 i p > 0 , tj.
6 ⎫ > 0⎪ log 4 p < 0 ⎫ 0 < p < 1⎫ 0 < p < 1⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ − ⎪ −2 log 4 p 3 ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎪ > 0 ⎬ ⇒ log 4 p ≥ − ⎬ ⇒ p ≥ 4 2 ⎬ ⇒ p ≥ ⎬. 3 2⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ p>0 36 + 24 log 4 p ≥ 0 ⎪ p > 0 ⎭⎪ p > 0 ⎪⎭ ⎪ ⎭ ⎪ p>0 ⎭
⎡1 ⎣8
⎞ ⎠
Dakle, p ∈ ⎢ , 1⎟ . 5. Koordinate ta~aka A, B i C zadovoqavaju jedna~inu kruga
( 2 − p ) + ( 6 − q ) = r 2 ⎫⎪ 2 2 ( 7 − p ) + (1 − q ) = r 2 ⎪⎬ ⎪ 2 2 ( 5 − p ) + ( 5 − q ) = r 2 ⎪⎭ 2
(x − p )2 + ( y − q )2 = r 2 , pa je:
2
.
Re{avawem ovog sistema dobijamo da je p = 2, q = 1, r = 5 . Jedna~ina kruga je ( x − 2 ) + ( y − 1) = 52 . 2
2
II na~in (sl. 35) Odrediti jedna~ine simetrala s1 i s2 tetiva AC i BC . Presek simetrala je ta~ka O - centar kruga. Polupre~nik kruga je rastojawe ta~ke O od ta~ke A . Jedna~ina prave AC je: y − 6 = odnosno y − 6 = −
5−6 (x − 2) , 5−2
1 (x − 2) . Koeficijent pravca prave AC je 3
1 , pa }e koeficijent pravca prave s1 ( s1 je normalna na 3 AC ) biti 3 . Jedna~ina prave CB je:
k AC = −
170
1− 5 (x − 5) , odnosno y − 5 = −2 (x − 5) . Koeficijent pravca 7−5 prave CB je k CB = −2 , pa }e koeficijent pravca prave s 2 ( s 2 je 1 normalna na CB ) biti . Prava s1 prolazi kroz sredi{te du`i 2 s1 ⎛ 2 +5 6+ 5⎞ AC , tj. kroz ta~ku M ⎜ , ⎟, A 2 ⎠ ⎝ 2 C M s2 ⎛ 7 11 ⎞ N odnosno M ⎜ , ⎟ , a prava s 2 ⎝2 2 ⎠ B O prolazi kroz sredi{te du`i CB , ⎛ 5 + 7 5 +1⎞ tj. kroz ta~ku N ⎜ , ⎟, 2 ⎠ ⎝ 2 odnosno N (6,3) . Jedna~ine pravih s1 i s 2 su : y −5 =
Sl. 35
s1 : y −
11 ⎛ 7⎞ = 3⎜ x − ⎟ ; 2 2⎠ ⎝
s2 :
Presek pravih s1 : y = 3 x − 5 i s2 : y =
y −3=
1 (x − 6) . 2
x dobijamo re{avawem 2
3x − y = 5 ⎫ ⎬ . Iz druge jedna~ine je x = 2 y , pa se zamenom u x − 2 y = 0⎭ prvu jedna~inu, dobija da je 3 ⋅ 2 y − y = 5 , odnosno da je y = 1 . Dakle, koordinate ta~ke O su x = 2 i y = 1 . Du`ina du`i OA je sistema
(2 − 2)2 + (6 − 1)2 (x − 2)2 + ( y − 1)2 = 52 .
polupre~nik kruga, pa je r = tra`enog kruga je
= 5 , a jedna~ina b
6. Kako je trapez tangentni , to }e zbir osnovica biti jednak zbiru krakova, tj. a + b = c + d = 28 , a visina trapeza h bi}e jednaka 2r (sl. 36). Du`ine osnovica nalazimo re{avawem sistema:
r c
d
r x
a
Sl. 36
171
y
a+b =c+d
⎫ a + b = 28⎫ ⎪ ⎪ a + b = 28 x 2 = c 2 − (2r ) ⎪ x = 5 ⎫ a = 21⎫ ⎪ ⇒ ⇒ ⎬ ⎬ ⎬⇒ ⎬. 2 14 7 y=9 a b b − = = y 2 = d 2 − (2r ) ⎪ ⎭ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ x + y + b = a ⎭ 14 + b = a ⎭ 2
7. Neka je R polupre~nik lopte, a h visina loptinog odse~ka i
x = R − h . Povr{ina lopte je PL = 4π R 2 . Povr{ina loptinog odse~ka je Pod = 2π R h . Kako je ΔOBC ~ ΔOAB (trouglovi OBC i OAB su pravougli i uglovi kod temena O su im jednaki , OC OB x 2 sl. 37), to je , pa je = , = B OB OA 2 4 odnosno x = 1 m . Iz h = R − x R x h sledi da je h = 1 m . O C
Sada mo`emo izra~unati povr{inu neosvetqenog dela lopte:
D
A
Sl. 37
PNO = 4π R 2 − 2π Rh = 16π − 4π = 12π m 2 . 8. Zbir svih ~lanova geometrijske progresije postoji ako je q < 1 . Kvadrati ~lanova takve geometrijske progresije tako|e ~ine geometrijsku progresiju ~iji je koli~nik q ′ = q 2 , a prvi ~lan
′ 2 a1 = a1 i zbir svih ~lanova te progresije je isto kona~an. Zato je
2 ⎫ a1 2 ⎫ ⎫ = ⎪ a1 = 3 (1 − q ) ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1 − q 3 ⎪ 2 ⎬⇒ ⎬⇒ 4 ⎬⇒ 2 (1 − q ) 4 ⎪ 4 a1 4 a12 + a12 q 2 + a12 q 4 + ... = ⎪ 9 = ⎪ = ⎪ 2 3 ⎭⎪ 1 − q 3 ⎪⎭ 3⎭ 1 − q2 2 a1 + a1q + a1q + ... = 3 2
172
⇒
a1 =
(
2 (1 − q ) 3
1 1 − 2q + q 2 3
)
⎫ 2 ⎪⎪ a1 = (1 − q ) ⎪⎫ 3 ⎬⇒ ⎬. 2⎪ 2 = 1− q 4q − 2q − 2 = 0 ⎪⎭ ⎪⎭
1 . Prema uslovu 2 1 zadatka , q mora biti mawe od 1, pa je re{ewe zadatka q = − i 2 1 1 1 a1 = 1 . Prvih nekoliko ~lanova progresije je 1,− , ,− ,... . 2 4 8
Iz druge jedna~ine dobijamo da je q = 1 ili q = −
9. Odredimo trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva
1 3 1 3 z1 = − + i i z2 = − − i (sl. 38). 2 2 2 2 3 2 2 2π π ⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ 2 , r1 = ⎜ − ⎟ + ⎜ =1 tgϕ1 = = − 3, < ϕ1 < π , ϕ1 = 1 2 3 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ − 2 3 2 2 − ⎛ ⎞ π π 3 4 1 3 ⎛ ⎞ tgϕ 2 = 2 = 3, π < ϕ2 < , ϕ2 = , r2 = ⎜ − ⎟ + ⎜⎜ ⎟ =1 1 2 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ − 2 Primenom Muavrove formule dobija se:
2π 2π ⎞ ⎛ + i sin ⎜ cos ⎟ 3 3 ⎠ ⎝
2001
⎛ ⎛ 4π + ⎜ cos ⎜ ⎝ 3 ⎝
⎞ ⎛ 4π ⎟ + i sin ⎜ ⎠ ⎝ 3
⎞⎞ ⎟⎟ ⎠⎠
2001
= 2001
⎛ 2π 2π ⎞ ⎛ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎞ = ⎜ cos + i sin ⎟ + ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟⎟ = 3 3 ⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 2 ⋅ 2001π 2 ⋅ 2001π ⎞ ⎛ 2 ⋅ 2001π 2 ⋅ 2001π ⎛ = ⎜ cos + i sin − i sin ⎟ + ⎜ cos 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ = 2 cos ( 2 ⋅ 667π ) = 2 cos ( 667 ⋅ 2π ) = 2 ⋅1 = 2 . 2001
173
⎞ ⎟= ⎠
y
z1
2π
4π
−1
3
3
0
2
− 2π
x 3
z2
Sl. 38
(x − y )( y + 2 x − 4) ≤ 0 ⇔ (x − y ≤ 0 ∧ y + 2 x − 4 ≥ 0) ∨ (x − y ≥ 0 ∧ y + 2 x − 4 ≤ 0) ⇔ ( y ≥ x ∧ y ≥ −2 x + 4 ) ∨ ( y ≤ x ∧ y ≤ −2 x + 4 )
10. a)
y
y
y
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
0 1 2
x
x
0 1 2
Sl. 39
0 1 2
Sl. 40
x
Sl. 41
Na slici 39 predstavqen je skup ta~aka za ~ije koordinate va`i y ≥ x ∧ y ≥ −2 x + 4 , a na slici 40 je predstavqen skup ta~aka za ~ije koordinate va`i y ≤ x ∧ y ≤ −2 x + 4 . Skup ta~aka koji zadovoqavaju datu relaciju predstavqen je na slici 41.
b)
( y − 1) (y − e x ) ≥ 0 ⇔ (y − 1 ≥ 0 ∧ y − e x ≥ 0) ∨ (y − 1 ≤ 0 ∧ y − e x ≤ 0)
(
) (
⇔ y ≥ 1 ∧ y ≥ ex ∨ y ≤ 1 ∧ y ≤ ex
174
)
y
y
y
e
e
e
1
1
1
-1 0
1
x
-1 0
1
x
1
x
Sl.44
Sl. 43
Sl. 42
-1 0
Skup ta~aka za koje je y ≥ 1 predstavqen je na slici 42, skup ta~aka za koje je y ≥ e x predstavqen je na slici 43, a wihov presek na slici 44.
-1
y
y
y
e
e
e
1
1
1
0
1
x
-1 0
Sl. 45
1
-1 0
x
1
x
Sl. 47
Sl. 46
Skup ta~aka za koje je y ≤ 1 predstavqen je na slici 45, skup ta~aka za koje je y ≤ e x predstavqen je na slici 46, a wihov presek na slici 47. y
e 1 -1 0
1
x
Sl.48 Unija skupova sa slika 44 i 47, tj. tra`eno re{ewe, prikazano je na
175
slici 48. v)
( y − x )(x 2 + y − 1) ≤ 0 ⇔
(
) (
⇔ y − x ≤ 0 ∧ x2 + y − 1 ≥ 0 ∨ y − x ≥ 0 ∧ x2 + y − 1 ≤ 0
(
) (
)
)
⇔ y ≤ x ∧ y ≥ 1 − x2 ∨ y ≥ x ∧ y ≤ 1 − x2 . y
y
y 1
1 -1
0
x
1
-1
1 1
0
y≤ x
y ≥ 1− x2
Sl.49
Sl.50
x
-1
0
1
x
y ≤ x ∧ y ≥ 1− x2 Sl.51
Na slici 51 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama 49 i 50.
y
y 1
-1
0
y 1
1
1
x
-1
0
y≥ x
y ≤ 1− x2
Sl.52
Sl.53
176
1
x
-1
0
1
x
y ≥ x ∧ y ≤ 1− x2 Sl.54
Na slici 54 predstavqen je presek skupova prikazanih na slikama 52 i 53. y 1
-1
0
1
x
( y − x )(x 2 + y − 1) ≤ 0 Sl. 55 Na slici 55 prikazana je unija skupova predstavqenih na slikama 54 i 51, {to je i re{ewe zadatka.
17
1. a) [ta je ve}e
b) Izra~unati
49
500
ili 2
3000
7. grupa 2000. god. ?
⎛ ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ 10 ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 5 7 ⎠ 11 ⎜ ⎟ −4 ⎜ ⎛⎜ 2 2 − 1 : 0,6 ⎞⎟ : 7 ⎟ ⎜ 3 108 ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝
−
2 3
.
2. Re{iti jedna~ine: a)
3x − 2 2 x − 9 3 − 2 x 1 − = −6 , 2 13 2 2
b)
x −1 = x − 3 .
3. Dokazati identitet
sin 4 α + 2 sin α cos α − cos 4 α = cos 2α . tg 2α − 1
4. Re{iti nejedna~inu
log3− 2 x x 2 < 1 .
5. Odrediti ta~ku krive 3 x 2 − y 2 = 2 koja je najbli`a pravoj y = 3x − 1 . 6. U jednakostrani~ni trougao stranice a tri podudarna kruga su upisana tako da se me|usobno dodiruju i da svaki od wih dodiruje dve stranice tog trougla. Odrediti polupre~nike tih krugova. 7. Prava kru`na kupa je opisana oko pravilne ~etvorostrane piramide. Visina piramide je 7 cm , a zapremina 70 cm3 . Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe. 8. Odrediti zbir svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske progresije ako je zbir prvog i ~etvrtog ~lana 54, a zbir drugog i tre}eg 36. 9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine 2 x 3 − 9 x 2 = a . 10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~e vrednosti: a) lim x →0
x +1 −1 , sin 3 x
cos x − cos 2 x , x →0 x2
b) lim
178
v) lim ⎛⎜
1 − 3 ⎞. ⎟ x →1 ⎝ 1 − x 1 − x3 ⎠
7. grupa 2000. god. (re{ewa) 1. a)
49 500 < 2 3000 , jer je
( )
49500 = 7 2
500
( )
= 71000 < 81000 = 23
⎛ ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ 10 ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟⋅ ⎜ ⎟ 5 7 ⎠ 11 ⎝ b) ⎜ ⎟ −4 ⎜ ⎛⎜ 2 2 − 1 : 0,6 ⎞⎟ : 7 ⎟ ⎜ 3 108 ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝
⎛ 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠
−
2 3
( )
= 3−3
−
2 3
−
2 3
1000
= 23000 .
⎛ ⎞ 22 10 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 35 11 =⎜ ⎟ −4 ⎜ ⎛⎜ 8 − 5 ⎞⎟ ⋅ 108 ⎟ ⎜ 3 3 7 ⎟⎠ ⎠ ⎝⎝
−
2 3
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 7 ⎟ ⎜ 108 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠
−
2 3
= 32 = 9 .
3x − 2 2 x − 9 3 − 2 x 1 − = − 6 pomno`i sa 2 13 2 2 NZS (2,13) , tj. sa 26 , sledi da je 3x − 2 2 x − 9 3 − 2 x 1 − = −6 ⇔ 2 13 2 2 2. a) Ako se jedna~ina
⇔ 13 (3 x − 2 ) − 2 (2 x − 9) = 13 (3 − 2 x ) − 13 ⋅ 13 ⇔ 61x = −122 ⇔ x = −2 . b) Jedna~ina x − 1 = x − 3 ima smisla za x − 1 ≥ 0 i x − 3 ≥ 0 , tj. za x ≥ 3 . Tada je x −1 = x − 3 ⇔ x − 1 = x 2 − 6x + 9 ∧ x ≥ 3 ⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 ∧ x ≥ 3 ⇔ (x = 5 ∨ x = 2) ∧ x ≥ 3 ⇔ x=5 .
sin 4 α + 2 sin α cos α − cos 4 α = 3. tg 2α − 1
( sin =
2
α − cos 2 α )( sin 2 α + cos 2 α ) + 2 sin α cos α = tg 2α − 1
179
2 2 − sin 2α + cos 2α = = sin α − cos α + sin 2α = − cos 2α + sin 2α = tg 2α − 1 tg 2α − 1 sin 2α 1− cos 2α ( − sin 2α + cos 2α ) cos 2α = cos 2α . = cos 2α − sin 2α
4.
Nejedna~ina log3− 2 x x 2 < 1 ima smisla , ako je x ≠ 0, 3 − 2 x ≠ 1 i
⎛ 3⎞ 3 − 2 x > 0 tj. ako je x ∈ (− ∞,0 ) ∪ (0,1) ∪ ⎜1, ⎟ . ⎝ 2⎠ 1) Za x ∈ (− ∞,0) ∪ (0,1) osnova logaritma je ve}a od 1, pa je logaritamska funkcija rastu}a. Prema tome,
log 3− 2 x x 2 < 1 ∧ x ∈ ( −∞ , 0 ) ∪ ( 0,1) ⇔
⇔ log 3− 2 x x 2 < log 3− 2 x ( 3 − 2 x ) ∧ x ∈ ( −∞ , 0 )
⇔ x 2 < 3 − 2 x ∧ x ∈ (− ∞,0) ∪ (0,1) ⇔ x 2 + 2 x − 3 < 0 ∧ x ∈ (− ∞,0) ∪ (0,1) ⇔ ( x − 1)( x + 3) < 0 ∧ x ∈ (− ∞,0) ∪ (0,1) -3 1 ⇔ x ∈ (− 3,1) ∧ x ∈ (− ∞,0) ∪ (0,1) ⇔ x ∈ (− 3,0) ∪ (0,1) . ⎛ 3⎞ 2) Za x ∈ ⎜1, ⎟ osnova logaritma je pozitivna i mawa od 1, pa je ⎝ 2⎠ logaritamska funkcija opadaju}a. Dakle, u ovom slu~aju je
( )
⎛ 3⎞ log3− 2 x x 2 < 1 ∧ x ∈ ⎜1, ⎟ ⇔ log3− 2 x x 2 < log3− 2 x ( 3 − 2 x ) ∧ x ∈ 1, 3 2 ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ ⇔ x 2 > 3 − 2 x ∧ x ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ ⇔ x 2 + 2 x − 3 > 0 ∧ x ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ ⇔ ( x − 1)( x + 3) > 0 ∧ x ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ -3
180
1
⎛ 3⎞ ⇔ x ∈ (− ∞,−3) ∪ (1, ∞ ) ∧ x ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ ⇔ x ∈ ⎜1, ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 3⎞ Skup re{ewa nejedna~ine je (− 3,0 ) ∪ (0,1) ∪ ⎜1, ⎟ . ⎝ 2⎠ 5.
Kanonski
oblik
3x − y = 2 2
hiperbole
2
je
x2 y2 − = 1. 2 2 3
Koeficijent pravca date prave p je k p = 3 . Tangenta krive koja je paralelna datoj pravoj dodiriva}e krivu u tra`enoj ta~ki. Zna~i,
x2 y2 kt = 3 . Uslov dodira prave t : y = kx + n i hiperbole h : 2 − 2 = 1 je a b 2 a 2 k 2 − b 2 = n 2 , odakle sledi da je ⋅ 32 − 2 = n 2 , tj. n = 2 ili 3 n = −2 . Jedna~ine tangenti su: t1 : y = 3x − 2, i t 2 : y = 3x + 2, a odgovaraju}e dodirne ta~ke su P1 (1,1) i P1 (− 1,−1) . Primenom formule za rastojawe ta~ke od prave dobija se da je
d (P1 , p ) =
3 ⋅1 − 1 − 1 9 +1
=
3 ⋅ (− 1) + 1 − 1 1 3 < d (P2 , p ) = = . 10 9 +1 10
Tra`ena ta~ka je P1 (1,1) . 6. Neka je x rastojawe od temena ugla trougla do dodirne ta~ke kruga upisanog u taj ugao . Tada je a = 2r + 2 x (vidi
x sliku 56) . Kako je = ctg 30 , to je r x = r 3 , pa je a = 2r 1 + 3 , odakle
(
)
(
)
a 3 −1 a , odnosno r = . je r = 4 2 3 +1
(
)
181
a
a r x
r
r
r
r
30
x
2r
Sl. 56
x
7. Neka je H p visina i a osnovna ivica piramide, a H k visina i
r polupre~nik osnove kupe. Prema uslovu zadatka je H p = H k = 7cm , a kvadrat stranice a je upisan u krug polupre~nika r (sl.57). Iz 1 1 formule za zapreminu piramide V p = B p H p = a 2 ⋅ H p sledi da je 3 3 3 3V p 3 ⋅ 70 cm = 30 cm 2 . , tj. a 2 = a2 = 7cm Hp
a
s
H
r
D r r
Sl. 57 Pre~nik kruga 2r
Sl. 58 je dijagonala kvadrata stranice a , pa je
2r = a 2 , iz ~ega se kvadrirawem dobija da je 4r 2 = 2a 2 . Kako je a 2 = 30 , to je r 2 = 15 , pa je zapremina kupe 1 1 1 Vk = ⋅ Bk ⋅ H k = ⋅ π r 2 H k = ⋅ π ⋅15 ⋅ 7 = 35π cm3 . Prema Pitagorinoj 3 3 3 2 2 2 teoremi je s = r + H (sl. 58), odakle dobijamo da je s = 8cm . Povr{ina kupe je
Pk = π r ( r + s ) = π 15
8. Prema uslovu zadatka va`i:
(
)
a1 1 + q = 54 ⎫⎪ a1 + a1q = 54 ⎫⎪ ⇒ ⎬ ⎬⇒ a1q + a1q 2 = 36 ⎪⎭ a1q (1 + q ) = 36 ⎪⎭ 3
3
182
(
15 + 8
)
cm2 .
(
a1 (1 + q ) 1 − q + q 2 a1q (1 + q )
(
a1 1 + q 3
) = 54 ⎫⎪ )
36 ⎪⎬ ⇒ ⎪ = 54 ⎪ ⎭
36q 2 − 90q + 36 = 0 ⎫⎪ ⇒ ⎬ . Iz prve jedna~ine dobijamo da je q = 2 ili a1 1 + q 3 = 54 ⎪ ⎭ 1 1 q = . Progresija je opadaju}a, pa je q = . Tada je a1 = 48 i 2 2 a 48 S∞ = 1 = = 96 . 1− q 1− 1 2
(
)
9. Analizira}emo krivu f ( x ) = x 2 (2 x − 9 ) . 1) D f = R ,
y
f ( x ) = x2 ( 2 x − 9)
2) f ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =
9 , 2 9⎞ ⎛ 3) lim f ( x ) = lim x3 ⎜ 2 − ⎟ = ∞ , x →∞ x →∞ x⎠ ⎝ 9⎞ ⎛ lim f ( x ) = lim x3 ⎜ 2 − ⎟ = −∞ , x →−∞ x →−∞ x⎠ ⎝
0
3 9/2 x
g ( x) = a
4) f ′ ( x ) = 6 x 2 − 18 x = 6 x ( x − 3) ,
f ′( x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3 .
x f ′( x) f ( x)
-27
( −∞, 0 ) ( 0,3) ( 3, ∞ ) +
−
+
Sl. 59
5) f ′′ ( x ) = 12 x − 18
f ′′ ( 0 ) = −18 , pa f ima lokalni maksimum f ( 0 ) = 0 .
f ′′ ( 3) = 18 , pa f ima lokalni minimum f ( 3) = −27 . Grafik funkcije f prikazan je na slici 59. Neka je g ( x ) = a . Grafik funkcije g je prava paralelna sa x -osom. Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa jedna~ine. Prema tome,
183
1) za a > 0 ili a < −27 jedna~ina f ( x ) = g ( x ) ima jedno re{ewe, 2) za a = 0 ili a = −27 jedna~ina ima dva re{ewa, 3) za − 27 < a < 0 jedna~ina ima tri re{ewa.
10. a)
x +1 −1 = lim x →0 sin 3x
lim
x →0
= lim x →0
sin 3x
(
(
)(
x +1 −1 sin 3 x
(
) = lim
x +1 +1
)
x +1 +1
x →0
x +1−1 sin 3 x
(
3x = 1 = 1, x +1 +1 ⋅3 2 ⋅3 6
)
lim 3x = lim 1 = 1 = 1 . x →0 sin 3 x x →0 sin 3 x 1 3x x − 2x x + 2x −2 sin ⋅ sin cos x − cos 2 x 2 2 = b) lim = lim x →0 x →0 x2 x2
jer je
(
)
3x ⎛ −x ⎞ −2 sin ⎜ ⎟ ⋅ sin −2 − sin x ⋅ sin 3x 2 2 2 ⎝ 2 ⎠ = lim = lim = 2 =3. 2 x → 0 3 2 x x x →0 x 2 ⋅ ⋅ 2⋅ 2 2 2 2 3 3
1 − 3 ⎞ = lim x 2 + x + 1 − 3 = lim x 2 + x − 2 = ⎟ x →1 1 − x3 1 − x3 ⎝ 1 − x 1 − x3 ⎠ x →1
v) lim ⎛⎜ x →1
( x − 1)( x + 2 ) = − 3 = −1 . x →1 1 − x 1 + x + x 2 ( )( ) 3
= lim
184
)
x +1 +1
=
8. grupa 2000. god. 7 3 ⎞ 1 ⎛ : 2,7 + 2,7 : 1,35 + ⎜ 4,2 − 1 ⎟ ⋅ 0,4 : 2 . 20 40 2 ⎝ ⎠ ⎛ (a − b )2 ⎞ ⎛ a b ⎞ a3 − b3 ⎜ ⎟⋅⎜ − ⎟ : . + 3 ⎜ ab ⎟ ⎝ b a ⎠ a 2b 2 ⎝ ⎠
1
1. a) Izra~unati b) Uprostiti
2. Re{iti jedna~ine: a) x + 2 − 2 x − 1 = 1 ;
b) f ( f ( x )) = 3 ako je f ( x ) = x 2 − 2 x .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
5 sin 2 x − 4 sin x cos x − cos 2 x = 4.
4. Za koje vrednosti realnog parametra p nejednakost
va`i za svaki realni x ?
x 2 + px − 2 <2 x2 − x +1
5. Odrediti ta~ku krive y 2 = 8 x koja je na najkra}em odstojawu od prave y = x + 4 . Koliko iznosi to odstojawe? 6. Du`ina osnovice jednakokrakog trougla je 60cm, a polupre~nik upisanog kruga 15cm. Izra~unati povr{inu ovog trougla. 7. Na}i visinu trostrane jednakoivi~ne piramide zapremine V. 8. Zbir prvog i sedmog ~lana aritmeti~ke progresije je 2, a razlika izme|u {estog i drugog ~lana je 8. Koliko ~lanova progresije treba sabrati da bi wihov zbir bio 16?
9. Re{iti sistem jedna~ina
3x ⋅ 2 y = 576 ⎫⎪ ⎬. log 2 ( y − x ) = 4 ⎪⎭
10. U xOy -ravni za k ∈ R skicirati linije odre|ene jedna~inama: a) y = kx − 1 ,
b) x 2 − y y = 1 ,
185
v) y = kx 2 + 2kx + k + 1 .
8. grupa 2000. god. (re{ewa) 7 3 ⎞ 1 ⎛ : 2, 7 + 2, 7 :1,35 + ⎜ 4, 2 − 1 ⎟ ⋅ 0, 4 : 2 = 20 40 ⎠ 2 ⎝ 27 10 270 100 ⎛ 42 43 ⎞ 4 2 1 168 − 43 4 = ⋅ + ⋅ + ⎜ − ⎟⋅ ⋅ = + 2 + ⋅ = 20 27 100 135 ⎝ 10 40 ⎠ 10 5 2 40 25 5 125 4 5 1 = + ⋅ = + =3 . 2 40 25 2 2
1.a)
1
⎛ (a − b )2 ⎞ ⎛ a b ⎞ a3 − b3 ⎟⋅⎜ − ⎟ : = b) ⎜ + 3 ⎜ ab ⎟ ⎝ b a ⎠ a 2b 2 ⎝ ⎠
=
a 2 − 2ab + b 2 + 3ab a 2 − b 2 a 2b 2 ⋅ ⋅ = ab ab ( a − b ) a 2 + ab + b2
(a =
2
)
(
+ ab + b 2 ( a − b )( a + b )
(
)
a 2 + ab + b 2 ( a − b )
)
= a + b , uz uslov da je a ≠ b, ab ≠ 0 .
2. a) Kako je
x + 2, x ≥ −2
⎧ x+2 =⎨ ⎩− ( x + 2 ), x < −2
i
⎧ ⎪⎪ 2 x − 1, x ≥ 2x − 1 = ⎨ ⎪− (2 x − 1), x < ⎪⎩
1 2 , 1 2
jedna~inu x + 2 − 2 x − 1 = 1 }emo re{avati u svakom od tri
⎡
1⎞
⎡1
⎞
intervala: ( −∞, −2 ) , ⎢ −2, ⎟ i ⎢ , +∞ ⎟ . Dakle, 2 ⎠ ⎣2 ⎣ ⎠
1) x < −2 ∧ (− ( x + 2)) − (− (2 x − 1)) = 1 ⇔ x ∈ (− ∞,−2) ∧ x − 4 = 0 ⇔
⇔ x ∈ (− ∞,−2) ∧ x = 4 ⇔ x ∈ ∅ , 1⎞ 1 ⎡ 2) − 2 ≤ x < ∧ x + 2 + 2 x − 1 = 1 ⇔ x ∈ ⎢− 2, ⎟ ∧ x = 0 ⇔ x = 0 , 2 2⎠ ⎣ 1 ⎡1 ⎞ 3) x ≥ ∧ x + 2 − 2 x + 1 = 1 ⇔ x ∈ ⎢ , ∞ ⎟ ∧ x = 2 ⇔ x = 2 . 2 ⎣2 ⎠ Skup re{ewa jedna~ine je {0,2} . 186
b)
Kako je f ( x ) = x 2 − 2 x , to je f ( f ( x )) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) , pa je
f 2 (x ) − 2 f (x ) = 3 ⇔ f
2
(x ) − 2 f (x ) − 3 = 0 ⇔
2 + 4 + 12 2 − 4 + 12 ∨ f (x ) = 2 2 ⇔ f ( x ) = 3 ∨ f ( x ) = −1 ⇔ ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ∨ x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ ⎛ 2 + 4 + 12 2 − 4 + 12 ⎞ ⎟ ∨ ( x − 1)2 = 0 ⇔ ⎜⎜ x = ∨x= ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⇔ x = 3 ∨ x = −1 ∨ x = 1 Skup re{ewa jedna~ine f ( f ( x )) = 3 je {− 1,1,3} .
⇔ f (x ) =
3. 5 sin 2 x − 4 sin x cos x − cos 2 x = 4 ⇒
(
)
⇒ 5 sin 2 x − 4 sin x cos x − cos 2 x = 4 sin 2 x + cos 2 x ⇒ ⇒ sin 2 x − 4 sin x cos x − 5 cos 2 x = 0 ⇒ tg 2 x − 4tgx − 5 = 0 ⇒ 4 + 16 + 20 4 − 16 + 20 ∨ tgx = ⇒ 2 2 ⇒ tgx = 5 ∨ tgx = −1 ⇒ π ⇒ x = arctg 5 + kπ , k ∈ Z ∨ x = − + lπ , l ∈ Z . 4
⇒ tgx =
4. Trinom x 2 − x + 1 je pozitivan za svako x ∈ R , jer je a = 1 > 0 i D = 1 − 4 < 0 , pa je
− x2 + ( p + 2) x − 4 x 2 + px − 2 <2⇔ < 0 ⇔ − x2 + ( p + 2) x − 4 < 0 ⇔ x2 − x + 1 x2 − x + 1 ⇔ x 2 − ( p + 2) x + 4 > 0 .
Da bi kvadratni trinom x 2 − ( p + 2 ) x + 4 bio pozitivan za svaki realni broj,
mora biti D = ( p + 2 ) − 16 < 0 ,
–6
2
2
Sl. 60
odnosno p 2 + 4 p − 12 < 0 , tj. ( p + 6 )( p − 2 ) < 0 (sl. 60).
187
Re{ewa ove nejedna~ine su svi brojevi iz intervala (− 6,2 ) . 5.
l
y 4
t
Tra`ena ta~ka je dodirna ta~ka parabole y 2 = 8 x i tangente te parabole koja je paralelna datoj pravoj l (sl. 61).
p
d P
2 −4
−2
0
x
2
l : y = x + 4 ⇒ kl = 1 t : y = kx + n ⇒ k = 1
Uslov dodira parabole y 2 = 2 px i prave y = kx + n je p = 2kn . Dakle, n =
Sl. 61
p 4 = =2. 2k 2 ⋅ 1
Jedna~ina tangente je y = x + 2 .
y = x + 2⎫ ⎬ dobijaju se koordinate x = 2 , y = 4 y 2 = 8x ⎭ dodirne ta~ke P. Rastojawe ta~ke P(2,4) od prave l : x − y + 4 = 0 je, Re{avawem sistema
prema
d=
formuli
1 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ 4 + 4 12 + ( −1)
2
za
=
rastojawe
2−4+4 1+1
6. Kako je, prema slici 62, tg
α 2
=
=
ta~ke
od
prave,
2 = 2. 2
r 15 1 = = , a 30 2 2 h
to je prema formuli za tangens
α
1 2⋅ 2tg 2 = 4. 2 = dvostrukog ugla tgα = α 1 3 1− 1 − tg 2 4 2
b r α 2
a
Sl. 62
188
Iz
h ah 60 ⋅ 40 = tgα sledi da je h = 40cm , pa je PΔ = = = 1200cm 2 . a 2 2 2
II na~in Neka je AB=a osnovica, AC=BC=b krak i CD=h visina koja odgovara osnovici (sl. 63) i neka je O centar upisanog kruga.Iz sli~nosti trouglova OCE i BCD sledi da je
b − 30 h a , pa je 2(b − 30) = h . = x : r = h : , odnosno 2 15 30 Povr{inu trougla ABC izra~una}emo na dva na~ina:
ra br 15 ⋅ 60 +2 = + b ⋅15 = 450 + 15b 2 2 2 (II )PΔ = ah = 60 ⋅ 2(b − 30) = 60(b − 30) 2 2 Re{avawem jedna~ine 450 + 15b = 60(b − 30) dobijamo da je 45b = 2250 , odnosno b = 50cm , A pa je PΔ = 450 + 15 ⋅ 50 = 1200cm 2 .
( I ) PΔ =
C
x
h b O r
E
r
30 D
α 2
30
a
B
Sl. 63 7. Neka je a ivica date piramide (sl. 64). Kako je h =
a 3 i 2
2
8 8 a 2 3 2a 2 a 2 ⎛1 ⎞ = H = h − ⎜ h ⎟ , to je H 2 = h 2 = ⋅ . , odnosno H = 9 9 4 3 3 ⎝3 ⎠ 2
2
Na osnovu formule za zapreminu piramide dobijamo da je
12V 1 1 a 2 3 2a 2 3 , tj. V = BH = ⋅ = a , iz ~ega sledi da je a 3 = 3 3 4 12 2 3 a=3
12V 3 = 6 2V . 2
a
h
h
H
Sada se mo`e izraziti visina H preko zapremine V : 1 h 3
189
a
Sl. 64
a
a
H a
a
H=
a 2 3
2
=
3
24V
⋅ 3 6 2V = 3
3 3
= 23
V 3.
8. Prema uslovu zadatka va`i:
a1 + a7 = 2⎫ a1 + a1 + 6d = 2 ⎫ 2a1 + 6d = 2⎫ a1 = −5⎫ ⎬⇒ ⎬. ⎬⇒ ⎬⇒ a6 − a2 = 8⎭ a1 + 5d − a1 − d = 8⎭ 4d = 8 ⎭ d =2 ⎭ Kako
je
zbir
prvih
n
~lanova
aritmeti~ke
progresije
n ⎡ 2a1 + ( n − 1) d ⎤⎦ , n ∈ N , 2⎣ n to je 16 = ⎡⎣ −10 + ( n − 1) 2 ⎤⎦ , iz ~ega sledi da je n 2 − 6n − 16 = 0 , 2 odnosno n = 8 ili n = −2 . Dakle, treba sabrati osam ~lanova date Sn =
progresije da bi wihov zbir bio 16. 9. Zadatak ima smisla ako je y − x > 0 . Tada je x y ⎫⎪ 3 ⋅ 2 = 576 ⎫⎪ 3x ⋅ 24+ x = 576 ⎫⎪ 4⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ log 2 ( y − x ) = 4 ⎭⎪ y − x = 2 ⎪ y = 4 + x ⎪⎭ ⎭
3x ⋅ 2 y = 576
⇒
( )
6 x ⋅ 16 = 576⎫ 6 x = 36 ⎫ x = 2 ⎫ 3x ⋅ 2 x ⋅ 24 = 576 ⎪⎫ ⇒ ⎬⇒ ⎬. ⎬⇒ ⎬ y = 4 + x ⎭ y = 4 + x ⎭ y = 6⎭ y = 4+ x ⎪⎭
10.a) Grafici funkcija y = kx − 1, k ∈ R su prave ravni xOy koje prolaze kroz ta~ku A ( 0, −1) , pri ~emu y-osa ne
pripada ovom pramenu pravih (sl. 65).
190
k<0
y
k>0 0
k=0
x
A −1
⎧ y, y ≥ 0 y =⎨ , to je ⎩− y, y < 0 x2 − y y = 1 ∧ y ≥ 0 ⇔ x2 − y2 = 1 ∧ y ≥ 0 , i
b) Kako je
x2 − y y = 1 ∧ y < 0 ⇔ x2 + y 2 = 1 ∧ y < 0 . Odgovaraju}a linija je prikazana na slici 66. y
−1
x
1
0 −1
Sl. 66 v) Jedna~inu
y = kx 2 + 2kx + k + 1, k ∈ R
napi{imo
y = k ( x + 1) + 1 .
u
obliku
2
Grafici ovih linija su parabole koje imaju teme u ta~ki T ( −1,1) , kada je k ≠ 0 , a za k = 0 , to je prava y = 1 (sl. 67).
y
k>0
k=0
T
k<0
−1 0
Sl. 67
191
1
x
9. grupa 2000. god.
( −2 )
1. a) Izra~unati b) Uprostiti
2
+9
1 − 2
2 ⎛ ⎜ 3 − (a + b ) ⎜ ab ⎝
−2
− 81−2 + 3
1 log 2 3
.
⎞ ⎛ b a ⎞ a3 + b3 ⎟⋅⎜ − ⎟ : . ⎟ ⎝ a b ⎠ a 2b 2 ⎠
2. Re{iti jedna~ine: a) 3x − 1 − 2 − x = 1 ,
b)
1 = 1 + x + x + x3 + 2
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 4. Re{iti nejedna~inu
4x − 1 . 2
cos 2 x + sin 2 x = cos x .
1 2x > . x + 1 2x − 1
5. Odrediti ta~ku krive 2 x 2 + y 2 = 3 koja je na najkra}em odstojawu od prave 2 x − y + 4 = 0 . 6. Kroz proizvoqnu ta~ku u datom trouglu povu~ene su prave paralelne stranicama i tako dobijena tri mawa trougla ~ije su povr{ine P1, P2 i P3. Kolika je povr{ina datog trougla? 7. U pravu kru`nu kupu sa polupre~nikom osnove r = 4cm i visinom H = 6 cm upisan je vaqak maksimalne zapremine. Izra~unati tu zapreminu. 8. Tre}i ~lan aritmeti~ke progresije je 9, a razlika izme|u sedmog i drugog ~lana je 20. Koliko ~lanova progresije treba sabrati da bi wihova suma bila 91?
9. Re{iti sistem jedna~ina
x + xy + y = 14 ⎫ ⎬. x 2 + xy + y 2 = 84⎭
10. U xOy-ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama: a) x 2 + y ⋅ ( y − x + 1) ≤ 0 , b) ( y − ln x ) ⋅ ( x − 1) ≥ 0 ,
( v) (x
)
2
)
+ y 2 − 1 ⋅ (y + x ) ≤ 0 .
192
9. grupa 2000. god. (re{ewa)
( −2 )
1. a)
2
+9
−1 2
( )
1 log 2 3
−1 log 2 = −2 + 1 − 81 4 + 3 = 9 +2 = 2+ 1 − 1 +2 = 4. 3 3 −2−2
− 81 1
+3
3
1 − 34 − 4 3 ⎛ ( a + b )2 ⎞ b a a3 + b3 b) ⎜ 3 − = ⎟⋅ − : ⎜ ab ⎟ a b a2b2 ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 = 3ab − a − 2ab − b ⋅ b − a ⋅ a3 b 3 = ab ab a + b =2+
)
(
=
(
)
− a 2 − ab + b 2 ( b − a )( b + a )
(a + b) (a
2. a) Kako je
jedna~inu
2
− ab + b 2
)
= a − b , uz uslov ab ≠ 0, a ≠ −b .
1 ⎧ 3x − 1, x ≥ ⎪⎪ 2 − x, x ≤ 2 ⎧⎪ 3 3x − 1 = ⎨ , i 2− x = ⎨ , ⎪⎩− ( 2 − x ) , x > 2 ⎪− ( 3x − 1) , x < 1 ⎪⎩ 3 3 x − 1 − 2 − x = 1 }emo re{avati posebno u slede}im
⎛ ⎝
1 ⎞ ⎡1 ⎠ ⎣
⎤ ⎦
intervalima: ⎜ −∞, ⎟ , ⎢ , 2 ⎥ i ( 2, +∞ ) . 3 3
1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎣ x < 3 ∧ (− 3 x + 1 − 2 + x = 1)⎥⎦ ⇔ ⎢⎣ x < 3 ∧ 2 x = −2⎥⎦ ⇔ x = −1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ II) ⎢ ≤ x ≤ 2 ∧ (3 x − 1 − 2 + x = 1)⎥ ⇔ ⎢ ≤ x ≤ 2 ∧ 4 x = 4⎥ ⇔ x = 1 ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ I)
III) [x > 2 ∧ (3x − 1 − (− 2 + x ) = 1)] ⇔ [x > 2 ∧ 2 x = 0] ⇔ x ∈ ∅ Prema tome, skup re{ewa date jedna~ine je {−1,1} .
193
b) Kako zbir ~lanova beskona~ne geometrijske progresije postoji samo za q < 1 , a kvadratni koren postoji za nenegativne brojeve, to }e, s obzirom na to da leva strana ne mo`e biti 0 , jedna~ina 1 4x − 1 = imati smisla za 4 x − 1 > 0 i x < 1 , tj. 2 3 2 1+ x + x + x +
1 1 < x < 1 . Kako je q = x pozitivno, to }e biti S∞ = , pa va`i: 4 1− x 1 4x − 1 1 4x − 1 2 = ⇒ = ⇒ 4(1 − x ) = 4 x − 1 2 3 1 2 2 1 + x + x + x + ..... 1− x 5 1 ⇒ 4 x 2 − 12 x + 5 = 0 ⇒ x = ∨ x = . 2 2 1 Prema uslovu zadatka, re{ewe jedna~ine je samo x = . 2 2 2 2 2 3. cos 2 x + sin x = cos x ⇔ cos x − sin x + sin x = cos x ⇔ cos 2 x − cos x = 0 ⇔ cos x ( cos x − 1) = 0 za
⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z ∨ x = 2lπ, l ∈ Z . 2 4. Nejedna~ina
1 1 2x > ima smisla za x ≠ −1 i x ≠ . x + 1 2x − 1 2
1 2x 1 2x −2 x 2 − 1 > ⇒ − >0⇒ >0⇒ x +1 2x −1 x +1 2x −1 ( x + 1)( 2 x − 1)
⇒
(
)
− 2 x2 + 1
1⎞ ⎛ > 0 ⇒ ( x + 1)( 2 x − 1) < 0 ⇒ x ∈ ⎜ −1, ⎟ . 2⎠ ( x + 1)( 2 x − 1) ⎝
5. Tra`ena ta~ka je dodirna ta~ka elipse 2 x 2 + y 2 = 3 i wene tangente koja je paralelna datoj pravoj p : 2 x − y + 4 = 0 .
194
Koeficijent pravca tangente jednak je koeficijentu pravca prave p . Eksplicitni oblik jedna~ine prave p je y = 2 x + 4 , iz ~ega sledi da je k p = 2 , pa je i kt = 2 . Iz kanonskog oblika jedna~ine
x2 y2 3 + = 1 nalazimo da je a 2 = i b 2 = 3 , pa iz uslova elipse e : 3 3 2 2 x2 y2 2 2 2 2 dodira n = a k + b prave y = kx + n i elipse 2 + 2 = 1 , gde je a b 2 k = 2 , dobijamo da je n = 9 . Jedna~ine tangenti su:
t1 : y = 2 x + 3 i
t2 : y = 2x − 3 .
2 x 2 + y 2 = 3⎫ 2 x 2 + y 2 = −3⎫ ⎬ i ⎬ dobijamo 2 x − y = 3⎭ 2 x − y = −3⎭ dodirne ta~ke P1 (− 1,1) i P2 (1,−1) . Rastojawa ovih ta~aka do prave p : 2 x − y + 4 = 0 su: Re{avawem sistema
d (P1 , p ) =
2 ⋅ (− 1) − 1 + 4 4 +1
=
1 5
i d (P2 , p ) =
2 ⋅1 + 1 + 4 4 +1
=
7 5
.
Dakle, ta~ka P1 (− 1,1) je ta~ka elipse koja je najbli`a datoj pravoj p 6. C
A2
B2 B1
A
M
C1
A1
C2
Sl. 68
195
B
Trouglovi MB1 B2 , A1 MA2 i C 2 C1 M su sli~ni trouglu ABC (sl. 68), jer su im svi odgovaraju}i uglovi jednaki kao uglovi sa paralelnim kracima. Ako je CB = a , B2 M = a1 , A2 A1 = a2 i A1B = a3 , prema uslovu zadatka sledi da je a1 + a 2 + a3 = a . Povr{ine sli~nih trouglova se odnose kao kvadrati odgovaraju}ih stranica, pa je
P1 a12 P ⋅ a12 a = 2 ⇒ P1 = ⇒ P1 = 1 P 2 P a a a
(1)
P2 a2 2 P ⋅ a2 2 a = 2 ⇒ P2 = ⇒ P2 = 2 2 P a a a
P
(2)
P3 a32 P ⋅ a32 a = 2 ⇒ P3 = ⇒ P3 = 3 2 P a a a
P
(3)
Iz (1), (2) i (3) se dobija da je iz ~ega sledi da je P =
(
⎛ a + a 2 + a3 ⎞ P1 + P2 + P3 = P ⎜ 1 ⎟, a ⎝ ⎠
)
2
P1 + P2 + P3 .
7. Neka je H1 visina vaqka upisanog u kupu (sl. 69). Prema uslovu zadatka, visina kupe je H = 6 cm , a polupre~nik osnove kupe je r = 4 cm. Na osnovu sli~nosti trouglova osen~enih na slici 69,
H1 6 − H1 24 − 6r1 = ⇒ H1 = . Zapremina vaqka je r1 4 − r1 4 funkcija od r1 , tj. V = f (r1 ) i
sledi da je
Iz
3 ⎞ ⎛ ⎛ 3⎞ Vv = B1H1 = π r12 H1 = π r12 ⎜ 6 − r1 ⎟ = π r13 ⎜ − ⎟ + 6 π r12 . 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2⎠ 9 8 f ′ ( r1 ) = − r12π + 12 r1π i f ′ ( r1 ) = 0 ⇔ r1 = 0 ∨ r1 = 2 3
sledi da funkcija f prima svoju maksimalnu vrednost za r1 = pa je Vmax = π ⋅
64 128π ⋅2 = cm3 . 9 9
196
8 , 3
6 − H1
s
H
r1 H1 4 − r1
r
r Sl. 69
8. Zbir prvih n ~lanova aritmeti~ke progresije izra~unava se po formuli S n =
n [2a1 + (n − 1)d ], n ∈ N . Kako je po uslovu zadatka 2
a7 − a 2 = 20⎫ a1 + 6d − a1 − d = 20⎫ 5d = 20⎫ d = 4 ⎫ ⎬⇒ ⎬, ⎬⇒ ⎬⇒ a3 = 9 ⎭ a1 + 2d = 9 ⎭ a1 + 2d = 9 ⎭ a1 = 1⎭ n to je 91 = ⎡⎣ 2 ⋅1 + ( n − 1) 4 ⎤⎦ , odnosno 2n 2 − n − 91 = 0 . Re{ewa 2 27 . Dakle, treba uzeti 7 ~lanova jedna~ine su n = 7 ili n = − 4 progresije da bi wihov zbir bio 91. 9. Sistem ima smisla za xy ≥ 0 . Kako je
(14 − x − y )
2
= 142 + x 2 + y 2 − 2 ⋅14 ⋅ x − 2 ⋅14 ⋅ y + 2 xy = 196 + x 2 + y 2 − 28 x − 28 y + 2 xy ,
to je
xy = 14 − x − y ⎫⎪ xy = 196 + x 2 + y 2 − 28 x − 28 y + 2 xy ⎫⎪ ⎬⇒ 2 ⎬⇒ 2 ⎪⎭ x 2 + xy + y 2 = 84⎪⎭ x + xy + y = 84
197
28 ( x + y ) = 196 + 84 ⎫⎪ x 2 + xy + y 2 = 28 ( x + y ) − 196 ⎫⎪ ⇒ ⇒ ⎬ ⎬⇒ 2 2 x 2 + xy + y 2 = 84 ⎪⎭ ⎪⎭ x + xy + y = 84 ⇒
x = 10 − y ⎫⎪ x + y = 10 ⎫⎪ ⇒ ⎬⇒ ⎬ 2 x 2 + xy + y 2 = 84 ⎪⎭ (10 − y ) + y 2 + (10 − y ) y = 84 ⎪⎭ x = 10 − y
⎫⎪ ⎬. ⇒ y 2 − 10 y + 16 = 0 ⎪⎭ Re{avawem druge jedna~ine sistema dobijamo da je y = 8 ili y = 2 . Skup re{ewa sistema je II na~in:
{(8,2), (2,8)} .
x 2 + xy + y 2 = ( x + y ) − xy , to }e dati sistem biti 2
Kako je
ekvivalentan
sistemu:
x + y + xy = 14 ⎫⎪ ⎬ . Uvo’|ewem smene (x + y )2 − xy = 84⎪⎭
a = x + y , b = xy dobija se da je ⎫⎪ a + b = 14 ⎫ a = 10 ⎫ ⎪⎫ a + b = 14 ⇒ ⎬ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬. a 2 − b 2 = 84 ⎪⎭ ( a − b )( a + b ) = 84 ⎭⎪ a − b = 6 ⎭ b = 4 ⎭ a + b = 14
Prelaskom na stare promenqive , jednostavno se dolazi do re{ewa sistema.
10.a)
( (
(x
2
+y
) ( y − x + 1) ≤ 0
⇔
) (
⇔ x2 + y ≤ 0 ∧ y − x + 1 ≥ 0 ∨ x2 + y ≥ 0 ∧ y − x + 1 ≤ 0 ⇔ y ≤ − x2 ∧ y ≥ x − 1 ∨ y ≥ − x2 ∧ y ≤ x − 1 .
) (
)
198
)
y
0
1
0
x
y=x
2
y
y
-1
1
0
1
x
x -1
-1
y = x −1
y ≤ − x2
y ≥ x −1
Sl. 70
Sl. 71
y ≤ − x2 ∧ y ≥ x − 1 Sl. 72
Presek skupova prikazanih na slikama 70 i 71 predstavqen je na slici 72.
y
-1
y
y
0
0
1
0
1 x
x -1
1 x
-1
-1
y ≥ − x2
y ≤ x −1
y ≥ − x2 ∧ y ≤ x − 1
Sl. 73
Sl. 74
Sl. 75
Presek skupova prikazanih na slikama 73 i 74 predstavqen je na slici 75.
199
y 0
1 x -1
( y ≤ −x
2
) (
)
∧ y ≥ x − 1 ∨ y ≥ − x2 ∧ y ≤ x − 1
Sl. 76 Unija skupova prikazanih na slikama 72 i 75 ,tj. kona~no re{ewe, prikazano je na slici 76. b)
( y − ln x )( x − 1) ≥ 0 ⇔ ( y − ln x ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0 ) ∨ ( y − ln x ≤ 0 ∧ x − 1 ≤ 0 ) ⇔ ( y ≥ ln x ∧ x ≥ 1) ∨ ( y ≤ ln x ∧ x ≤ 1) y
y 1 0
e
y
1
y = ln x 1
x =1
x
0
1 1
x
e
y ≥ ln x
0
1
x
y ≥ ln x ∧ x ≥ 1
x ≥1
Sl. 77
e
Sl. 79
Sl. 78
Presek skupova prikazanih na slikama 77 i 78 predstavqen je na slici 79. y 1 0
y
y
1
1 1
e
x
0
1
e
x ≤1
y ≤ ln x
Sl. 80
Sl. 81
200
x
0
1
e
x
y ≤ ln x ∧ x ≤ 1 Sl. 82
Presek skupova prikazanih na slikama 80 i 81 predstavqen je na slici 82. y 1 e
1
0
x
( y ≥ ln x ∧ x ≥ 1) ∨ ( y ≤ ln x ∧ x ≤ 1) Sl. 83 Unija skupova prikazanih na slikama 79 i 82 predstavqena je na slici 83, {to je i kona~no re{ewe zadatka. v)
(x (
2
)
+ y2 −1 ( y + x ) ≤ 0 ⇔
) (
⇔ x2 + y 2 − 1 ≤ 0 ∧ y + x ≥ 0 ∨ x2 + y 2 − 1 ≥ 0 ∧ y + x ≤ 0
(
) (
⇔ x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ − x ∨ x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ − x y
) y
y
x + y =1 2
2
0
–1
x2 + y2 ≤ 1 Sl. 84
1 x
0
1 x
y = −x
)
–1
y=x
y≥− x Sl. 85
1
0
x –1
x2 + y2 ≤ 1 ∧ y ≥ − x Sl. 86
Presek skupova prikazanih na slikama 84 i 85 predstavqen je na slici 86.
201
y
y
y
x
0
1 x
0
1
-1
-1
-1
1 x
0
x2 + y2 ≥ 1
y≤− x
x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ − x
Sl. 87
Sl. 88
Sl. 89
Presek skupova prikazanih na slikama 87 i 88 predstavqen je na slici 89. y
0
(x
1 x
-1 2
) (
+ y ≤ 1 ∧ y ≥ − x ∨ x2 + y2 ≥ 1 ∧ y ≤ − x 2
)
Sl. 90 Unija skupova prikazanih na slikama 86 i 89 predstavqena je na slici 90, {to je i kona~no re{ewe zadatka.
202
(sl. 31) dobija se da je x =
π 3
+ 2kπ , k ∈ Z ili x = −
(
9. Koristi}emo identitet x 4 + y 4 = x 2 + y 2
(
)
2
π 3
+ 2lπ , l ∈ Z .
− 2x 2 y 2 .
)
2 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481⎫⎪ x 2 + y 2 − x 2 y 2 = 481⎫⎪ ⎬⇒ 2 ⎬⇒ ⎪⎭ ⎪⎭ x 2 + xy + y 2 = 37 x + y 2 + xy = 37
(37 − xy )2 − x 2 y 2 = 481⎫⎪
1369 − 74 xy + x 2 y 2 − x 2 y 2 = 481⎫⎪ ⎬⇒ ⎬⇒ 2 ⎪⎭ ⎪⎭ x + y 2 = 37 − xy
x 2 + y 2 = 37 − xy
( )
12 ⎫ x2 y= ⎫ ⎪ ⇒ 2 x ⎬⇒ ⎬⇒ 2 x + y = 25⎭ 4 2 x + 144 − 25 x = 0⎪⎭ xy = 12
2
− 25 x 2 + 144 = 0 ⎫ ⎪ 12 ⎬ . y= ⎪ x⎭
Iz prve jedna~ine, uvo|ewem smene x 2 = t , dobijamo se jedna~ina
t 2 − 25t + 144 = 0 ~ija su re{ewa t1 = 16 i t 2 = 9 , odakle sledi da je 12 x ∈ {4,−4,3,−3}. Kako je y = , to }e skup re{ewa datog sistema biti x {(4,3), (− 4,−3), (3,4), (− 3,−4)} . y
⎧ x, x ≥ 0 , to je ⎩− x , x < 0
10. a) Kako je x = ⎨
y = x 2 − x = x 2 − x = x( x − 1) , za x ≥ 0 , i y = x 2 − x = x 2 − (− x ) = x 2 + x = x( x + 1) , za x < 0 . Grafik je prikazan na slici 32.
-1
0
Sl. 32
166
1
x
10. grupa 2000. god. 1 ⎛ ⎞ ⎜ 3 ⎛ 1 ⎞−1 7 2 1 ⎟ 1. a) Izra~unati 2% broja ⎜ + ⎜ ⎟ : + : ⎟ ⎜ 7 ⎝ 2 ⎠ 2 3 18 ⎟ ⎝ ⎠ b) Uprostiti
−
1 2
.
⎛ ⎞ ⎛ 1 1 a + 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ : ⎜1 + . + ⎜ a − 1 ⎟⎠ a − a −1 ⎠ ⎝ ⎝ a + a +1
2. Re{iti jedna~ine: − log ( x + x ) 6 x = 0,121212… , b) 3 a) = 2. 11 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu cos x − cos 6 x + cos 5 x = 1 . 2
1 3
4. Za koje vrednosti parametra a ∈ R realni koreni x1 i x2 jedna~ine x x x 2 + ax + 1 = 0 zadovoqavaju uslov 1 + 2 < 7 . x 2 x1 5. Odrediti ta~ku krive 2 x 2 + y 2 = 3 koja je najvi{e udaqena od prave y = −2 x + 4 . 6. Tri kruga polupre~nika r me|usobno se dodiruju u ta~kama M, N i P. Izra~unati povr{inu krivolinijskog trogula MNP. 7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe upisane u jednakoivi~nu ~etvorostranu piramidu du`ine ivice 2 cm . 8. Zbir prva tri ~lana aritmeti~ke progresije je 18, a zbir slede}a tri ~lana je 0. Odrediti zbir prvih dvadeset ~lanova te progresije. 9. Date su realne funkcije: x2 x2 f1 (x ) = x , f 2 (x ) = , f 3 (x ) = , x x
f 4 ( x ) = 2log2 x i
f 5 ( x) = x 2 .
Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih, a zatim skicirati grafik funkcije f (x ) = f 3 (x ) − f 1 (x ) . 10. Odrediti sve prirodne brojeve koji su deqivi brojem 8, ~iji je zbir cifara jednak 7, a proizvod cifara jednak 6.
203
10. grupa 2000. god. (re{ewa)
1 3 1 −1 7 1 1.a) + : + 2 : 7 2 2 3 18 1 2 1 ⋅ = = 0,01 . 2 100 100
−
1 2
2 1 3 = + 2 ⋅ + ⋅ 18 7 6 7
−
1 2
−1
1 1 = 4 2 = 2−1 = . 2
b) Zadatak ima smisla za a > 0, a + 1 > 0 ∧ a − 1 > 0 tj. za a > 1 .
1 1 a +1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟= + ⎜ ⎟ : ⎜1 + a − 1 ⎟⎠ a − a −1 ⎠ ⎝ ⎝ a + a +1 ⎛ a − a +1 a + a −1 ⎞ ⎛ a −1 + a +1 ⎞ ⎟= ⎟:⎜ = ⎜⎜ + ⎟ a − (a − 1) ⎟⎠ ⎜⎝ a −1 ⎠ ⎝ a − (a + 1)
=
(
)
a +1 − a + a + a −1 ⋅
a −1 = a −1 . a −1 + a +1
6 600 600 x = 0,121212... ⇔ x = 12,1212... ⇔ x = 12 + 0,1212... ⇔ 11 11 11 600 6 594 12 ⋅ 11 ⎛ 600 6 ⎞ ⇔ x = 12 + x ⇔ x⎜ = 12 ⇔ x = − ⎟ = 12 ⇔ x 11 594 11 11 ⎝ 11 11 ⎠ 2 ⇔x= . 9
2. a)
II na~in
6 12 12 12 x = 2 + 4 + 6 + ... 11 10 10 10 Na desnoj strani jedna~ine je beskona~na geometrijska progresija, za
koju je:
12 2 a 12 1 a1 = 2 , q = 2 < 1 i S∞ = 1 = 10 , pa je 1− q 1− 1 10 10 102
204
2 x = lπ , l ∈ Z (naime, za l = 5k , k ∈ Z dobijaju se svi brojevi iz skupa 5 x = 2s π , s ∈ Z ). 4. Koreni x1 i x2 kvadratne jedna~ine x 2 + ax + 1 = 0 su realni, ako je
D = a 2 − 4 ⋅1 ⋅1 ≥ 0
tj.
a ∈ (− ∞,−2] ∪ [2, ∞ ) (sl. 91).
ako
( a − 2 )( a + 2 ) ≥ 0 ,
je
Prema Vietovim formulama je x1 + x2 = −a i x1 x2 = 1 .
odnosno
-2
(x + x2 ) − 2 x1 x2 < 7 , to je x1 x2 + <7⇔ 1 x1 x2 x2 x1
2
2
Kako je
a 2 − 2 ⋅1 < 7 , odnosno a 2 − 9 < 0 , tj. ( a − 3)( a + 3) < 0 , 1 pa je a ∈ ( −3,3) (sl. 92).
Sl. 91
-3
3
Sl. 92
Dakle, a ∈ ((− ∞,−2] ∪ [2, ∞ )) ∩ (− 3,3) , odnosno, a ∈ (− 3,−2] ∪ [2,3) . −3 −2
2
0
3
5. Videti 5. zadatak 9. grupe 2000. godine.
P1 (1,1) ,
d1 (P1 , p ) =
1 5 7 t 2 : y = −2 x − 3 , P2 (− 1,−1) , d 2 (P2 , p ) = 5 Najudaqenija ta~ka elipse od date prave je ta~ka P2 (− 1,−1) . Re{ewe: t1 :
y = −2 x + 3 ,
6. Centri krugova su temena jednakostrani~nog trougla stranice 2r (sl. 93). Povr{inu krivolinijskog trougla MNP dobijamo kada od povr{ine trougla O1O2O3 oduzmemo povr{ine podudarnih kru`nih ise~aka O1MN , O2 NP i O3 PM . Prema tome,
206
PMNP = PO1O2 O3 − 3PO1 MN =
( 2r )
2
4
3
− 3⋅
π ⋅ r 2 ⋅ 60 360
=
O3 P
4r 2 3 π ⋅ r 2 − = 4 2 π r2 π⎞ ⎛ 2 =r 3 − = r2⎜ 3 − ⎟ . 2 2⎠ ⎝ =
M
O1
N
O2
Sl. 93 7. Baza piramide je kvadrat stranice a = 2 cm , a baza upisane kupe je krug upisan u taj kvadrat, pa je polupre~nik r =
a = 1 cm (sl. 96). 2
Visina piramide H i visina kupe se poklapaju. Kako je piramida jednakoivi~na, wene bo~ne ivice su jednake osnovnim. Iz pravouglog trougla (sl. 94 i sl. 95) ~ija je jedna kateta visina piramide, druga kateta polovina dijagonale baze i hipotenuza bo~na ivica piramide, na osnovu Pitagorine teoreme, nalazimo da je 2
⎛a 2⎞ a 2 a2 ⎟ , tj. H 2 = , odnosno H = = 2 . Visina h H = a − ⎜⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ bo~ne strane piramide je izvodnica s kupe ,pa, kako je bo~na strana a 3 2 3 = = 3 . Sada mo`emo jednakostrani~ni trougao, to je h = 2 2 2
2
da izra~unamo povr{inu i zapreminu kupe:
B = π r 2 = π cm 2 ; M = π r s = π ⋅1 ⋅ 3 = π ⋅ 3 ⋅ cm 2 1 1 V = BH = ⋅ π ⋅ 2 cm3 . P = B + M = π 1 + 3 cm2 , 3 3
(
)
a 2 2
a a
H r
H
hh
a
r
O
a a 2 2
a Sl. 94
Sl. 95
207
a Sl. 96
a
8. Neka je a1 prvi ~lan , a d razlika date aritmeti~ke progresije. Prema uslovu zadatka je
a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2d ) = −18⎫⎪ a1 + a2 + a3 = −18⎫ ⎬ ⇒ ⎬ ⇒ a4 + a5 + a6 = 0 ⎭ ( a1 + 3d ) + ( a1 + 4d ) + ( a1 + 5d ) = 0 ⎪⎭
⇒
3a1 + 3d = −18⎫ 3a1 + 3d = −18⎫ a1 = −8⎫ ⎬ ⇒ ⎬ ⇒ ⎬ 3a1 + 12d = 0 = 18 ⎭ 9d d =2 ⎭
208
f4 ( x ) = 2
log 2 x
y
= x, x > 0.
Grafik funkcije f 4 prikazan na slici 100.
x
0
Sl. 100 y
f5 (x ) = x 2 = x , x ∈ R . x
0
Grafik funkcije f5 prikazan na slici 101.
Sl. 101 Me|u datim funkcijama nema jednakih.
y ⎧ 0, x > 0 f (x ) = f 3 (x ) − f1 (x ) = ⎨ . ⎩ − 2 x, x < 0 Grafik funkcije f dat je na slici 102.
2
-1
0
x
Sl. 102 10. Posledwa cifra tra`enog prirodnog broja n mora biti parna, jer je n = 8 ⋅ k , k ∈ N paran broj. Posledwa cifra ne mo`e biti 8, jer je zbir cifara 7, a ne mo`e biti ni 0, jer je proizvod cifara 6. Jedine mogu}nosti su: 16, 1132, 1312 i 3112. Kako 1132 nije deqiv sa 8, re{ewe zadatka su brojevi : 16, 1312 i 3112.
209
1. grupa 2001. god. 1. Izra~unati:
−1
⎛ 3 1 ⎞ 1 ⎛1 2⎞ a) ⎜⎜ 3 : 7 − 5,25 : 10 + ⎜ − ⎟ : 0,2 ⎟⎟ , b) 2 ⎝2 5⎠ ⎝ 4 2 ⎠ 2. Re{iti jedna~ine:
(− 2 )
log 1 ( x 2 + x )
2 x + 3 5 x − 2 7 − 3x a) , + = 5 3 2
b) 3
3
2
+8
4. Re{iti nejedna~inu
5.
()
log 0 ,2 2 x −1 x+2
x2 + 2y2 = 9 x − 4 y − 10 = 0 .
Na
krivoj
2 3
−4
−
1 2
+2
log 1 4 2
.
= 1⋅ 6
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu: tgx + ctgx =
3 5
−
4 3
.
> 1.
odrediti
ta~ku
najbli`u
pravoj
6. Izra~unati povr{inu paralelograma ~iji je obim 20cm , o{tar ugao 30 , a visine se odnose kao 2 : 3 . 7. Visina H i izvodnica s prave kupe odnose se kao 3 : 5 , a wena zapremina je 128π cm3 . Izra~unati povr{inu kupe. 8. Re{iti jedna~inu sin x − sin 2 x + sin 3 x − ... =
1. 3
9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine x 3 − 3 x 2 = k .
10. Izra~unati grani~ne vrednosti: a) lim ⎛⎜
1 − 3 ⎞, ⎟ x →1 ⎝ 1 − x 1 − x3 ⎠
b) lim x →5
x −1 − 2 , x−5
210
tgx − sin x ⋅ x →0 x3
v) lim
1. grupa 2001. god. (re{ewa) −1
⎛ 3 ⎝ 4
⎞ 1 1 ⎛1 2⎞ − 5, 25 :10 + ⎜ − ⎟ : 0, 2 ⎟ = 2 2 ⎝2 5⎠ ⎠
1. a) ⎜ 3 : 7
−1
⎛ 15 15 21 21 1 2 ⎞ =⎜ : − : + : ⎟ = ⎝ 4 2 4 2 10 10 ⎠ 1 10 ⎞ ⎛ 15 2 21 2 =⎜ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⎟ ⎝ 4 15 4 21 10 2 ⎠ b)
( −2 )
2
+8
−2 3
−4
−1 2
+2
log 1 4 2
= 2 + 2 − 2 − 2 −1 + 2 − 2 = 2 +
−1
⎛1 1 1⎞ =⎜ − + ⎟ ⎝2 2 2⎠
( )
= −2 + 2
3
−2 3
−1
( )
− 2
2
= 2.
−1 2
+2
()
log 1 1 2 2
−2
=
1 1 1 − + = 2. 4 2 4
2.a) Pomno`imo levu i desnu stranu jedna~ine sa NZS ( 2,3,5 ) = 30 .
2 x + 3 5 x − 2 7 − 3x + = ⇔ 6 (2 x + 3) + 10 (5 x − 2 ) = 15 (7 − 3 x ) 5 3 2 ⇔ 12 x + 18 + 50 x − 20 = 105 − 45x ⇔ 107 x − 107 = 0 ⇔ x = 1. b) Jedna~ina ima smisla za x ≠ 0 . Tada je log 1 ( x 2 + x )
3
3
2 −1 log 13 ( x + x )
( ) ⎞⎟⎠ ⇔ (1) 3
⎛ = 1 ⇔⎜ 1 6 ⎝ 3
log 1 ( x 2 + x )
−1
3
⇔
1 1 = x + x 6 2
211
=1 6
=1 6
2
⇔ x2 + x = 6 ⇔ x + x − 6 = 0 ⇔ t2 + t − 6 = 0 ∧ t = x ⇔ (t = 2 ∨ t = −3) ∧ t = x
⇔ (t = 2 ∧ t = x ) ∨ (t = −3 ∧ t = x ∧ x > 0 ) ⇔ x = 2∨ ⊥ ⇔ x = 2 ∨ x = −2 .
3.Jedna~ina ima smisla za x ≠ kπ , k ∈ Z ∧ x ≠
tgx + ctgx =
4
π 2
+ lπ , l ∈ Z .Tada je:
1 4 = tgx 3 3 4 ⇔ tg 2 x + 1 − tgx = 0 3 4 ⇔ tgx = t ∧ t 2 − t +1 = 0 3 ⇔ tgx = t ∧ 3t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ tgx +
⎛ 3⎞ ⎟ ⇔ tgx = t ∧ ⎜⎜ t = 3 ∨ t = ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⇔ tgx = 3 ∨ tgx =
⇔x=
4. Nejedna~ina
ima
smisla
π 3
+ lπ , l ∈ Z ∨ x =
za
( 2 x − 1)( x + 2 ) > 0 , ⎛1 ⎝2
3 3
⎞ ⎠
tj. za x ∈ (− ∞,−2 ) ∪ ⎜ , ∞ ⎟ , (sl. 103).
π 6
+ sπ , s ∈ Z .
2x − 1 > 0, x+2
odnosno
-2
1/2
Sl. 103
212
za
() 3 5
log 0 ,2 2 x −1 x+2
()
>1⇒ 3 5
log 0 ,2 2 x −1 x+2
()
0
> 3 (osnova eksponencijalne 5 funkcije je iz intervala ( 0,1) )
⇒ log 0 ,2 2 x − 1 < 0 (osnova logaritamske funkcije x+2 je iz intervala ( 0,1) ) 2x − 1 >1 x+2 2x − 1 ⇒ −1 > 0 x+2 x−3 ⇒ >0 x+2 ⇒ ( x − 3)( x + 2) > 0 ⇒ x ∈ (− ∞,−2) ∪ (3, ∞ ) . ⇒
3
-2
Sl. 104
Re{ewe nejedna~ine je presek skupova
(− ∞,−2) ∪ ⎛⎜ 1 , ∞ ⎞⎟ i (− ∞,−2) ∪ (3, ∞ ) . ⎝2
-2
⎠
0
1
3
2
Dakle, skup re{ewa date nejedna~ine je skup 5. Kanonski oblik elipse x 2 + 2 y 2 = 9 je
( −∞, −2 ) ∪ ( 3, +∞ ) .
x2 y2 + = 1 . Dodirna ta~ka 9 9 2
elipse i wene tangente, paralelne datoj pravoj bi}e tra`ena ta~ka. Data prava x − 4 y − 10 = 0 ima koeficijent pravca k p = je paralelna sa pravom
y = kx + n
i
elipse
p , pa je k t =
x2 y2 + =1 a2 b2 213
je
1 . Tangenta 4
1 . Uslov dodira prave 4 a2k 2 + b2 = n2 .
Dakle,
9⋅
1 9 9 9 + = n 2 , pa je n = ili n = − . Jedna~ine tangenti elipse, 4 4 16 2
paralelnih datoj pravoj su:
1 9 ili x − 4 y + 9 = 0 x+ 4 4 1 9 ili x − 4 y − 9 = 0 . t2 : y = x − 4 4 x 2 + 2 y 2 = 9⎫ x 2 + 2 y 2 = 9⎫ Re{avawem sistema i ⎬ ⎬ dobijaju se x − 4 y + 9 = 0⎭ x − 4 y − 9 = 0⎭ dodirne ta~ke P1 ( −1, 2 ) i P2 (1,−2 ) , a na osnovu formula za pastojawe t1 : y =
ta~ke od prave sledi da je
d (P1 , p ) =
− 1 − 8 − 10
=
19
d (P2 , p ) =
i
1 + 8 − 10
1 + 16 1 + 16 17 Ta~ka P2 (1,−2) date elipse je najbli`a pravoj p .
1
=
17
.
6. Kako je O = 2a + 2b , to je 2(a + b ) = 20 , pa je a + b = 10 .
ha hb 1 1 = sin 30 ⇒ ha = b ⋅ = cos 60 ⇒ hb = a ⋅ i , (sl. 105) b a 2 2 b a dobija se da je ha : hb = : = b : a = 2 : 3 ili 3b = 2a . 2 2 a + b = 10⎫ Re{avawem sistema ⎬ dobija se da je a = 6 i b = 4 , pa je 2a − 3b = 0 ⎭ a ha = 2 i hb = 3 . Iz
b
30
Povr{ina paraleloggrama je :
60
P = a ⋅ ha = b ⋅ hb = 12 cm 2 .
ha
a
hb Sl. 105
214
b
7. Kako je H : s = 3 : 5 , to je H =
3s pa 5
}e na osnovu Pitagorine teoreme biti
r 2 = s 2 − H 2 , odnosno tj. r 2 = s 2 ⋅
r2 = s2 −
9s 2 , 25
s
H
16 . Iz formule za zapreminu 25
r
1 2 Sl. 106 r π H , prema datim podacima 3 1 128 π = π r 2 H , odnosno 3 ⋅ 128 = r 2 H , dobija se da je 3 3 s 16 16 3s ili 128 = , iz ~ega sledi da je s 3 = 8 ⋅ 125 , tj. 3 ⋅ 128 = s 2 ⋅ 25 5 125 tj. s = 10 . Sada nalazimo da je H = 6 i r = 8 . Povr{ina kupe je kupe V =
P = B + M = π r (r + s ) = π ⋅ 8 ⋅ 18 = 144π cm 2 .
8. Leva strana jedna~ine predstavqa zbir svih ~lanova beskona~ne geometrijske progresije ( an ) za koju je a1 = sin x i
q = − sin x . Ako je q = − sin x < 1 , onda je taj zbir kona~an, pa }e na a1 sin x ⋅ biti sin x − sin 2 x + sin3 x − = sin x 1 + 1− q sin x = 1 , odakle Prema uslovu zadatka je 1 + sin x 3 1 dobijamo da je sin x = , a re{ewa ove 1/2 2
osnovu formule S∞ =
jedna~ine (sl. 107) su svi brojevi oblika
x=
π
6
+ 2kπ , k ∈ Z ili x =
5π + 2lπ , l ∈ Z . 6
0
Sl. 107
215
1
9.Analizira}emo krivu f ( x ) = x 3 − 3x 2 . 1) D f = R
y
2) f ( x ) = 0 ⇔ x ( x − 3) = 0 2
⇔ x = 0∨ x = 3
0
( 3x ) = +∞ lim f ( x ) = lim x (1 − 3 ) = −∞ x
2
3 x
3) lim f ( x ) = lim x 3 1 − x →+∞
x →+∞
x →−∞
x →−∞
f ( x ) = x 3 − 3x 2
3
-4
4) f ′( x ) = 3 x 2 − 6 x
f ′( x ) = 0 ⇔ 3 x ( x − 2 ) = 0
Sl. 108
⇔ x = 0∨ x = 2
Prvi izvod funkcije je pozitivan za x ∈ (− ∞,0 ) ∪ (2,+∞ ) , a negativan za x ∈ (0,2 ) , pa je funkcija rastu}a u intervalima
(− ∞,0) i (2,+∞ ) , a opadaju}a u intervalu (0,2). (sl. 108)
5)
f ( x ) = x 3 − 3x 2
y
f ′′( x ) = 6 x − 6 f ′′ ( 0 ) = −6 ⇒ f max ( 0 ) = 0
0
f ′′ ( 2 ) = 6 ⇒ f min ( 2 ) = −4
2
3
g (x ) = k
x
-4
Prava g ( x ) = k je paralelna sa x -osom. Apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija jedna~ine.
Sl. 109
f i g su re{ewa
Sada je jasno (sl. 109) da jedna~ina x 3 − 3 x 2 = k , k ∈ R ima:
216
1) jedno re{ewe, ako je k ∈ ( −∞, −4 ) ∪ ( 0, ∞ ) , 2) dva re{ewa, ako je k ∈ {− 4,0},
3) tri re{ewa, ako je k ∈ (− 4,0) .
10. a) − 1 , (videti VII grupu iz 2000. god.) b) lim
x →5
= lim
x →5
x −1 − 2 = lim x →5 x−5
(
x −1 − 2
( x − 5) (
x −1 − 4
( x − 5)
(
x −1 + 2
(
)
=
)(
x −1 + 2
x −1 + 2
)
)=
1 ⋅ 4
)
sin x 1 − 1 tgx − sin x cos x в) lim = lim = lim sin x ⋅ 1 −2 cos x = 3 2 x →0 x → x →0 0 x x cos x x x⋅x 2 sin 2 x 2 sin x ⋅ sin x sin x sin x 2 2 2 = = lim ⋅ = lim ⋅ x →0 x x 2 cos x x→0 x 2 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ x ⋅ cos x 2 2 sin x sin x 2 ⋅ lim 1 = 1⋅1⋅1 ⋅ 1 = 1 = lim ⋅ lim x →0 2 2 x x →0 x x→0 2 cos x 2 lim sin x = 1 x →0 x
(
)
217
2. grupa 2001. god. 1. a) Koje su od slede}ih jednakosti ta~ne:
( i ) sin1 = sin1 (iv )
( ii ) (− 2)2
,
(iii )
=2 ,
(v )
log ( −2 ) + log ( −3) = log 6 ,
−2
2 −2 = 16 ,
arcsin1 =
π 2
?
2
b) Izra~unati
⎛⎜ 7 − 2 6 − 7 + 2 6 ⎞⎟ . ⎠ ⎝
2. Re{iti jedna~ine: a)
5x − 4 x + 2 3x − 4 , − = 3 4 2
b)
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 4. Re{iti nejedna~inu
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠
3 x−2
⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝2⎠
x2 − 3 + x2 = 5. 2 sin x sin 3 x = 1 . x +1
.
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A( 2,−3) u odnosu na pravu x + 2y −1 = 0 . 6. Oko kruga polupre~nika 2cm opisan je jednakokraki trapez povr{ine 20 cm 2 . Odrediti du`ine stranica trapeza. 7. Povr{ina omota~a prave pravilne trostrane piramide i povr{ina wene osnove odnose se kao 3 : 1 . Odrediti kosinus ugla pod kojim je strana piramide nagnuta prema osnovi. 8. Zbir prva 4 ~lana rastu}eg aritmeti~kog niza je 26, a proizvod drugog i tre}eg ~lana je 40. O kojem nizu je re~? 9. Izra~unati
cos
2π 4π + cos ⋅ 5 5
10. Date su funkcije:
−1
x2 − x x2 ⎛1⎞ , f 2 ( x ) = x 2 , f 3 ( x ) = eln x , f 4 ( x ) = , f 5 (x ) = ⎜ ⎟ . f1 (x ) = x x −1 ⎝x⎠ Ispitati da li me|u wima ima jednakih , a zatim skicirati grafike za f 1 + f 5 i f 1 ⋅ f 5 .
218
2. grupa 2001. god. (re{ewa) 1.a) (i) Data jednakost nije ta~na, jer sin 1 = sin
(− 2)2
(ii) Jednakost
2π π = sin ≠ sin1 . 360 180
(− 2)2
= 2 je ta~na, jer
−2
= −2 = 2. −
−2
1
(iii) Jednakost 2 −2 = 16 nije ta~na, jer 2 − 2 = 2 4 ≠ 2 4 = 16 . (iv) Jednakost log( −2 ) + log( −3 ) = log 6 nije ta~na, jer izraz na levoj strani nije definisan. (v) Jednakost arcsin1 = b)
( =
7−2 6 − 7+2 6
(
7−2 6
)
2
π
2
je ta~na, jer je sin
)=
π
2
= 1 ⇔ arcsin 1 =
π
2
.
2
−2 7−2 6 ⋅ 7+2 6 +
(
7+2 6
)= 2
= 7 − 2 6 − 2 49 − 4 ⋅ 6 + 7 + 2 6 = 14 − 2 25 = 4 . 2.a) Ako se data jedna~ina pomno`i sa NZS (3,4,2 ) ,tj. sa 12 , dobija se:
4(5 x − 4 ) − 3( x + 2) = 6(3x − 4) ⇔ 20 x − 16 − 3x − 6 − 18 x + 24 = 0 ⇔ −x + 2 = 0 ⇔ x = 2.
b) x 2 − 3 + x 2 = 5 ∧ x 2 − 3 ≥ 0 ∧ x 2 − 5 ≥ 0
⇔ x 2 − 3 = 25 − 10 x 2 + x 4 ∧ 3 ≤ x 2 ≤ 5 ⇔ x 4 − 11x 2 + 28 = 0 ∧ 3 ≤ x 2 ≤ 5 ⇔ t 2 − 11t + 28 = 0 ∧ t = x 2 ∧ 3 ≤ x 2 ≤ 5 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 .
1 ( cos ( −2 x ) − cos 4 x ) = 1 2 ⇔ cos 2 x − cos 4 x = 1 ⇔ cos 2 x = 1 + cos 4 x ⇔ cos 2 x = 2 cos 2 2 x
3. 2 sin x sin 3 x = 1 ⇔ 2 ⋅
219
⇔ cos 2 x(1 − 2 cos 2 x ) = 0 1 ⇔ cos 2 x = 0 ∨ cos 2 x = 2 π π ⇔ 2 x = + kπ , k ∈ Z ∨ 2 x = ± + 2lπ , l ∈ Z 2 3
π
π
y
0
12
1 x
π
Sl. 110 + lπ , l ∈ Z . 6 ⎧ x + 1, x ≥ −1 4.Uzimaju}i u obzir da je x + 1 = ⎨ i da je osnova ⎩ − x − 1, x < −1 eksponencijalne funkcije iz intervala (0,1) , pa je ona opadaju}a
⇔x=
4
+k
2
(sl. 111), sledi da je
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠
3 x−2
⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝2⎠
x +1
⎛1⎞ ⇔⎜ ⎟ ⎝2⎠
,k ∈ Z ∨ x = ±
6 x−4
⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝2⎠
x +1
⇔ 6x − 4 ≥ x + 1
y 0 < a <1
1
ax
0
x
Sl. 111
-1
0
1
⇔ (6 x − 4 ≥ x + 1 ∧ x ≥ −1) ∨ (6 x − 4 ≥ − x − 1 ∧ x < −1) ⇔ (5 x − 5 ≥ 0 ∧ x ≥ −1) ∨ (7 x − 3 ≥ 0 ∧ x < −1) 3 ⇔ ( x ≥ 1 ∧ x ≥ −1) ∨ x ≥ ∧ x < −1 7 -1 0 3/7
⇔ x ∈ [1, ∞ ) ∨ x ∈ ∅ ⇔ x ∈ [1, ∞ ) . 5. Ta~ka B bi}e na pravoj n koja je normalna na datu pravu p , prolazi kroz ta~ku A , a presek prave p i prave n je sredi{te du`i
1 1 AB (sl. 112). Eksplicitni oblik prave p je y = − x + , iz ~ega 2 2 1 se dobija da je k p = − . Koeficijent pravca normale n na datu 2
220
pravu je k n = −
1 = 2 . Kako prava n prolazi kroz ta~ku A , kp
jedna~ina prave n bi}e y + 3 = 2 ( x − 2 ) ili 2 x − y − 7 = 0 . Presek pravih p i n nalazimo re{avawem sistema jedna~ina:
A
x + 2y −1 = 0 ⎫ x + 2 y − 1 = 0⎫ x=3 ⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬ 2 x − y − 7 = 0⎭ − 5y − 5 = 0 ⎭ y = −1⎭
S B
n
p
Sl. 112 Sredi{te du`i AB je ta~ka S (3,−1) . Ako sa x i y ozna~imo koordinate ta~ke B , bi}e prema formulama za sredi{te du`i:
2+ x −3+ y =3 i = −1 , iz ~ega sledi da je x = 4 i y = 1 . 2 2 Dakle, tra`ena ta~ka je ta~ka B(4,1) .
6. Videti 6. zadatak iz 2000-te godine. V
7. U pravouglom trouglu VOS (sl.113) je:
cos α =
OS 1 a 3 , OS = ⋅ , VS = h. 3 2 VS
h
Kako za bazu i omota~ date piramide va`e formule B = prema
a
2
3
4
i M =3
ah , 2
uslovu zadatka }e biti
S
3ah a 3 : = 3 :1 . 2 4 3ah a 2 3 a Odavde dobijamo da je = , tj. h = . 2 4 2 a 3 3 . Dakle, cos α = 6 = a 3 2
M : B = 3 : 1 , odnosno
α
H
O
2
221
Sl. 113
8. Neka je a1 prvi ~lan , a d > 0 razlika rastu}eg aritmeti~kog niza. Prema uslovu zadatka bi}e
a 2 ⋅ a3 = 40 .
Za
~lanove
a1 + a 2 + a3 + a 4 = 26
aritmeti~kog
niza
va`i
i
da
je
an = a1 + ( n − 1) d , n ∈ N , na osnovu ~ega iz prethodnih jedna~ina
(
) (
) ( )(
) )
a1 + a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 26 ⎫⎪ dobijamo sistem ⎬ , koji je a1 + d ⋅ a1 + 2d = 40 ⎪ ⎭ 4a1 + 6d = 26 ⎫ ekvivalentan sistemu ⎬ . Iz prve jedna~ine je 2 a1 + 3a1d + d 2 = 40⎭
(
13 − 3d , {to ,zamenom u drugu, daje jedna~inu 9 − d 2 = 0. Kako je 2 d > 0 , jedino re{ewe sistema je d = 3, a1 = 2 . Dakle, a1 = 2, a 2 = 5, a3 = 8 , itd. a1 =
9. Koriste se formule: 1) cos α + cos β = 2 cos
α +β
2) 2 sin α cos α = sin 2α ,
2
cos
α −β 2
y
,
6π π⎞ π ⎛ = sin ⎜ π + ⎟ = − sin (sl. 114), 5 5⎠ 5 ⎝ 3π 2π ⎞ 2π ⎛ = sin ⎜ π − (sl. 115). 4) sin ⎟ = sin 5 5 ⎠ 5 ⎝ 3) sin
π
5
Sl.114 3π
Dakle, dobijamo da je
2π 4π 2π 4π + − 2π 4π 5 5 5 5 = + cos = 2 cos cos cos 5 5 2 2 3π 3π π ⎛ π⎞ = 2 cos cos ⎜ − ⎟ = 2 cos cos = 5 5 5 ⎝ 5⎠
222
x
0 6π
5
5
y
2π
5
0
Sl. 115
x
3π 3π π π sin 2 cos sin 5 5 ⋅ 5 5 = =2 π 3π sin 2 sin 5 5 2π ⎛ π⎞ 6π 2π sin ⎜ − ⎟ sin sin sin 1 5 ⎝ 5⎠ 5 5 = 1⋅ = =− . π 2 π 3π 2π 2 2 sin sin sin sin 5 5 5 5 cos
10. Funkcije f : A → B i g : C → D su jednake ako i samo ako je
( f , A, B ) = (g , C , D ) . x2 f1 ( x ) = = x
x
2
x
= x , x ≠ 0 , odnosno
⎧ x, x > 0 f1 ( x ) = ⎨ . ⎩ − x, x < 0
y
0
x
Sl. 116
Grafik funkcije f1 prikazan je na slici 116.
f 2 ( x ) = x 2 = x , x ∈ R , odnosno ⎧ x, x ≥ 0 f2 ( x ) = ⎨ . ⎩ − x, x < 0 Grafik funkcije f 2 prikazan je na slici 117.
y
0
x
Sl. 117
y
f3 ( x ) = eln x = x, x > 0 . Grafik funkcije f3 prikazan je na slici 118.
0
Sl. 118
223
x
f 4 (x ) =
x 2 − x x( x − 1) = x, x ≠ 1 . = x −1 x −1
y 1 0
Grafik funkcije f 4 prikazan je na slici 119.
x
1
Sl. 119
⎛1⎞ f 5 (x ) = ⎜ ⎟ ⎝ x⎠
−1
= x, x ≠ 0 .
y
Grafik funkcije f5 prikazan je na slici 120. x
0
Sl. 120
Me|u datim funkcijama nema jednakih.
( f1 + f 5 )(x ) = f1 (x ) + f 5 (x ) = odnosno
(f
+ f5 1
x + x, x ≠ 0 ,
0, x < 0 ) ( x ) = ⎧⎨2 x, x > 0 ⎩
y
2
.
x
1
0
Grafik funkcije f1 + f5 prikazan je na slici 121.
Sl.121 y
( f1 ⋅ f 5 )(x ) = f1 (x ) ⋅ f 5 (x ) = x ⋅ x ,
4
x ≠ 0,
odnosno
⎧ x2 , x > 0 )( ) ⋅ f x = 1 5 ⎨ 2 ⎩− x , x < 0 Grafik funkcije f1 ⋅ f5 prikazan je na
(f
slici 122.
-2
0
-4
Sl. 122
224
2
x
3. grupa 2001. god. 1. Izra~unati:
⎛ ⎛ 2 ⎞ −2 4 ⎛ 1 3 3 ⎞ ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ a) ⎜ ⎜ ⎟ − − ⎜ − : ⎟ ⎟ : ⎜ − ⎟ ; ⎜⎝ 3 ⎠ 5 ⎝ 2 2 8 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 8 5 ⎠ ⎝ 1 −4 v) ( −0 ,5 ) + log 2 . 2
b)
7− 5 7+ 5
+
7+ 5 7− 5
;
2. Re{iti jedna~ine: a)
2x + 5 2 − 5x x + 1 ; − = 3 7 6
b)
x−3 + x = 9.
3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
cos 2 x + 3 sin 2 x + 2 3 sin x cos x = 1 . 4. Re{iti nejedna~inu
(
)
log 1 x 2 − 4 ≥ log 1 ( 2 x − 1) . 3
3
5. Na pravoj x + y + 2 = 0 odrediti ta~ku podjednako udaqenu od ta~aka A(1,−2) i B(3,6) .
6. Podno`je visine koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli tu hipotenuzu na odse~ke du`ina 25,6cm i 14,4cm . Izra~unati povr{inu kruga upisanog u taj trougao. 7. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine. Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka? 8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz kod kojeg je zbir drugog i petog ~lana − 1 , a proizvod ~etvrtog i {estog ~lana 16 . y ⎫ x 2 − = 7 ⎪. 3 2 9. Re{iti sistem jedna~ina ⎬ 32 x − 2 y = 77 ⎪⎭
10. U xOy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine: a) y = kx + k + 1 , k ∈ R ;
b) y = 2
225
−x
;
v) y = e
(
ln x 2 − 2 x
)
.
3. grupa 2001. god. ( re{ewa) ⎛ ⎛ 2 ⎞ −2
4 ⎛ 1 3 3 ⎞⎞ ⎛ 1 2 ⎞ − −⎜ − : ⎟⎟ :⎜ − ⎟ = 5 ⎝ 2 2 8 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 8 5 ⎠ ⎝⎝ 3 ⎠
1. a) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜
⎛ ⎛ 3 ⎞2 4 ⎛ 1 3 8 ⎞ ⎞ ⎛ 5 16 ⎞ =⎜⎜ ⎟ − − ⎜ − ⋅ ⎟⎟ :⎜ − = ⎜ ⎝ 2 ⎠ 5 ⎝ 2 2 3 ⎠ ⎟ ⎝ 40 40 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛9 4 ⎛1 ⎞ ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 45 16 10 80 ⎞ ⎛ 40 ⎞ = ⎜ − − ⎜ − 4⎟⎟ : ⎜ − ⎟ = ⎜ − − + ⎟⋅⎜ − ⎟ = ⎠ ⎠ ⎝ 40 ⎠ ⎝ 20 20 20 20 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝4 5 ⎝2 99 ⎛ 40 ⎞ = ⋅ ⎜ − ⎟ = −18 . 20 ⎝ 11 ⎠ 7− 5 7+ 5 7− 5 7− 5 7+ 5 7+ 5 b) + = ⋅ + ⋅ = 7+ 5 7+ 5 7− 5 7− 5 7+ 5 7− 5 =
(
7− 5
)
2
+
(
7+ 5
)
2
( 7 ) −( 5) ( 7 ) −( 5) 2
2
v) ( −0 ,5 )
−4
2
2
=
7 − 2 35 + 5 7 + 2 35 + 5 + = 12. 2 2
−4
1 ⎛ 1⎞ + log 2 = ⎜ − ⎟ + log 2 2−1 = 2 ⎝ 2⎠
= ( −2 ) − log 2 2 = 24 − 1 = 16 − 1 = 15 . 4
2. a)Ako datu jedna~inu pomno`imo sa NZS (3,7,6) = 42 , dobijamo da je
2x + 5 2 − 5x x + 1 − = ⇔ 14(2 x + 5) − 6(2 − 5 x ) = 7( x + 1) 3 7 6 ⇔ 28x + 70 − 12 + 30 x = 7 x + 7 ⇔ 51x + 51 = 0 ⇔ x = −1 . b) Jedna~ina ima smisla za x − 3 ≥ 0 i 9 − x ≥ 0 , tj. za 3 ≤ x ≤ 9 . x −3 + x = 9 ⇔ x −3 = 9− x ∧ x ≥ 3∧ x ≤ 9 ⇔ x − 3 = 81 − 18 x + x 2 ∧ 3 ≤ x ≤ 9 ⇔ x 2 − 19 x + 84 = 0 ∧ 3 ≤ x ≤ 9 ⇔ ( x = 12 ∨ x = 7 ) ∧ 3 ≤ x ≤ 9 ⇔ x =7.
226
3. cos 2 x + 3 sin 2 x + 2 3 sin x cos x = 1
(
)
⇔ cos 2 x + sin 2 x + 2 sin 2 x + 2 3 sin x cos x − sin 2 x + cos 2 x = 0
(
)
⇔ 2 sin x sin x + 3 cos x = 0
⇔ sin x = 0 ∨ sin x + 3 cos x = 0
(
⇔ sin x = 0 ∨ tgx = − 3 ∧ cos x ≠ 0
)
π 2π ⎛ ⎞ ⇔ x = kπ , k ∈ Z ∨ ⎜ x = + lπ , l ∈ Z ∧ x ≠ + sπ , s ∈ Z ⎟ 3 2 ⎠ ⎝ 2π ⇔ x = kπ , k ∈ Z ∨ x = ,l ∈ Z . 3 Za cos x = 0 data jedna~ina bila bi nemogu}a. Na primer, za x = dobili bismo da je sin
π 2
=
1 , {to je neta~no. 3
4. Logaritamska funkcija sa osnovom
(
)
log 1 x 2 − 4 ≥ log 1 ( 2 x − 1) ⇔ 3
1 je opadaju}a. Dakle, 3
3
⇔ x − 4 ≤ 2 x −1∧ x2 − 4 > 0 ∧ 2 x −1 > 0 2
1⎞ ⎛1 ⎞ 2 ⎛ ⇔ x − 2 x − 3 ≤ 0 ∧ x ∈ (− ∞,−2 ) ∪ (2, ∞ ) ∧ x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ∧ x ∈ (− ∞,−2) ∪ (2, ∞ )
⇔ x ∈ [− 3,3] ∧ x ∈ (− ∞,−2) ∪ (2, ∞ ) -3
-2
-1
0
1
2
3
⇔ x ∈ [− 3,−2) ∪ (2,3] . Napomena: 1) x
2
= x2, x ∈ R ,
2
2) x − 2 x − 3 ≤ 0 ⇔ x = t ∧ t 2 − 2t − 3 ≤ 0
227
π 2
⇔ x = t ∧ ( t + 1)( t − 3) ≤ 0
⇔ x = t ∧ t ∈ [− 1,3]
f (t )
(sl. 123)
⇔ −1 ≤ x ≤ 3
-1
⇔ x ≥ −1 ∧ x ≤ 3
0
⇔ x ∈ (− ∞, ∞ ) ∧ x ∈ [− 3,3] ⇔ x ∈ [− 3,3] .
3
t
Sl. 123
5. I na~in: (Vidi sliku 124.) Tra`ena ta~ka M je presek simetrale s du`i AB i date prave p .
Sredi{te du`i AB je ta~ka S (2,2 ) ~ije koordinate dobijamo kao poluzbirove odgovaraju}ih koordinata krajwih ta~aka du`i A i B . Simetrala s sadr`i ta~ku S i normalna je na pravoj l koja je odre|ena ta~kama A i B .
6 − (− 2 ) 1 dobijamo da je k s = − . Dakle, 3 −1 4 1 jedna~ina prave s je y − 2 = − ( x − 2 ) , odnosno x + 4 y − 10 = 0 . 4 x + 4 y − 10 = 0⎫ Re{avawem sistema jedna~ina ⎬ dobijamo koordinate x + y + 2 = 0⎭ M : x = −6, y = 4 . ta~ke Iz uslova k l ⋅ k s = −1 i k l =
II na~in: (Vidi sliku 125.) Proizvoqna ta~ka P na pravoj
y P = −2 − x .
Iz
uslova
(x − 1)2 + (− 2 − x + 2)2
=
p ima koordinate x P = x i d (P, A) = d (P, B ) dobijamo da je:
(x − 3)2 + (− 2 − x − 6)2
odakle sledi da je
x = −6 . Dakle, ta~ka P ima koordinate: x = −6 , y = 4 . p
p
y x
M 0 l A
S
B
−2− x Sl. 124
Sl. 125
228
x
P( x,−2 − x )
6. Neka je D podno`je visine iz temena B (sl. 126) na hipotenuzu AC, AD = 14,4 cm i DC = 25,6 cm i neka je r polupre~nik upisanog kruga datog trougla. Tada iz sli~nosti trouglova ADB i ABC sledi da je AB : AD = AC : AB , odnosno AB 2 = AD ⋅ AC , a iz sli~nosti trouglova BCD i ABC sledi da je BC : DC = AC : BC , odnosno BC 2 = DC ⋅ AC . B
r
Kako je
AC = AD + DC = 40cm , AB = AD ⋅ AC = 24cm i BC = DC ⋅ AC = 32cm , AB + BC + AC to je s = = 48cm . 2
r h
x A
x
r y
r r
D E
y
C
Sl. 126
AB ⋅ BC 2 tj. PΔ = 384cm 2 ili PΔ = r ⋅ s . Iz toga proisti~e da je r = 8cm , a Povr{inu trougla mo`emo izra~unati na dva na~ina: PΔ = povr{ina kruga je P = r 2π , odnosno P = 64π cm 2 . II na~in: Iz sli~nosti trouglova ABD i BCD sledi da je BD : AD = DC : BD , odakle dobijamo da je odnosno BD 2 = AD ⋅ DC , 2 2 2 2 2 BD = AD + DC = 19, 2cm. Kako je BC = BD + DC i AB = AD + BD 2 , to je BC = 32cm i AB = 24 cm. III na~in: Kada se odrede stranice AB i BC , prema oznakama sa slike ( AE = x, EC = y ) bi}e:
x + r = 24 ⎫ x + r = 24 ⎫ ⎪ ⎪ y + r = 32 ⎬ ⇒ x + y + 2r = 56⎬ ⇒ r = 8cm ⎪ x + y = 40⎪⎭ x + y = 40 ⎭
229
7. Neka je r polupre~nik osnove vaqka, a H visina vaqka upisanog u sferu polupre~nika R ( R je konstanta). Primenom Pitagorine teoreme izrazimo H u funkciji od r (sl. 127) . r
2
⎛H ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ = R −r ⎝ 2⎠ H = R 2 − r 2 (jer je H > 0 ) 2
H
H
2
R
H = 2 R2 − r2 Sl. 127
Zapremina vaqka je funkcija od r, tj.
V = V (r ) = B ⋅ H = r 2π ⋅ 2 R 2 − r 2 .
⎡ ⎡ ⎤ −2 r ⎤ r3 V ′ ( r ) = 2π ⎢ 2r R 2 − r 2 + r 2 = 2π ⎢ 2r R 2 − r 2 − ⎥ ⎥= 2 R 2 − r ⎦⎥ R 2 − r 2 ⎥⎦ ⎣⎢ ⎣⎢
= 2π ⋅
2r
(
R2 − r 2
) −r 2
R2 − r 2 R 6 V ′ ( r ) = 0 za r = . 3
⎛ 4 R 2 rπ − 6r 3π V ′′ ( r ) = ⎜ ⎜ R2 − r 2 ⎝
( 4R π − 18r π ) 2
=
2
3
= 2π ⋅
⎞′ ⎟⎟ = ⎠
2rR 2 − 3r 3 R2 − r 2
(
⋅
)
R 2 − r 2 − 4 R 2 rπ − 6r 3π ⋅
R2 − r 2 ⎛R 6⎞ Budu}i da je V ′′ ⎜ ⎜ 3 ⎟⎟ < 0 , za ⎝ ⎠ maksimalnu zapreminu.
230
r=
−2 r 2 R2 − r 2 ⋅
R 6 3
vaqak }e imati
8. Neka je a1 prvi ~lan i d < 0 razlika opadaju}eg aritmeti~kog niza. Tada va`i:
2a1 + 5d = −1 a 2 + a5 = −1⎫ ⎫ a1 + d + a1 + 4d = −1⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ 2 (a1 + 3d )(a1 + 5d ) = 16⎭ a 4 ⋅ a 6 = 16 ⎭ a1 + 8a1 d + 15d 2 = 16⎭ − 1 − 5d 2
⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬⇒ 2 − 1 − 5d ⎛ − 1 − 5d ⎞ 2 d + 15d = 16⎪ ⎟ +8 ⎜ ⎪⎭ 2 2 ⎠ ⎝ a1 = 7 ⎫ ⇒ ⎬. d = −3⎭ Tra`eni opadaju}i niz je: 7,4,1,−2,−5,... . a1 =
− 1 − 5d ⎫ ⎪ 2 ⎬⇒ 2 5d − 6d − 63 = 0⎪⎭ a1 =
y 2
9. Uvedimo smene: 3 = u i 2 = v .Tada }e biti: x
u−v = 7
⎫ u−v = 7 ⎫ u − v = 7 ⎫ u − v = 7⎫ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ ⎬⇒ u + v = 11⎭ 2u = 18 ⎭ u − v = 77⎭ (u − v )(u + v ) = 77⎭ 2
⇒
2
v = 2⎫ ⎬. u = 9⎭
Dakle,
3x = 9 ⎫ 3 x = 32 ⎫ x = 2⎫ ⎪ ⎪ y ⎬⇒ y ⎬⇒ ⎬. y = 2 1 2 2 ⎭ 2 = 2⎪⎭ 2 = 2 ⎪⎭
y
10. a) Jedna~inu y = kx + k + 1, k ∈ R napi{imo u obliku
y − 1 = k ( x + 1), k ∈ R
M
1 -1
Sve prave ovog skupa prolaze kroz ta~ku M (−1,1) . Prava x = −1 je jedina prava date ravni koja prolazi kroz ta~ku M , ali nije iz zadatog skupa(sl. 128).
231
k>0
k=0 x
0 k<0
Sl. 128
b)
2−x
2x
y
Grafik funkcije
y=2
2 1 -2
-1
− x
⎧2 − x , x ≥ 0 =⎨ x ⎩ 2 , x< 0
prikazan je na slici 129.
0
1
2 x
Sl. 129
y
v)
2
0
x
Sl. 130 Funkcija y = e
y=e
ln( x 2 − 2 x )
(
ln x 2 − 2 x
definisana je za x 2 − 2 x > 0 i va`i:
) = x2 − 2 x = x ( x − 2) , x ( x − 2) > 0
Grafik funkcije prikazan je na slici 130.
232
.
4. grupa 2001. god.
1. a) Izra~unati 5% broja A , ako je 1
−4
−1
⎛ 1 ⎛ 2 ⎛ 5 ⎞⎞⎞ : ⎜⎜ − ⎜⎜ : ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ . − (256 ) ⎝ 5 ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠⎠⎠ 3 3 a −b a3 + b3 b) Uprostiti . − ab ab a+b− a −b+ a+b a −b ⎛1⎞ A= ⎜ ⎟ ⎝2⎠
0 , 25
⎛ 7 ⎞2 + ⎜2 ⎟ ⎝ 9⎠
2. Re{iti jedna~ine: a)
5x − 3 7 x − 4 x − 1 ; − = 2 3 4
b) 2 x
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu: 4. Re{iti nejedna~inu
4
−3 x 2 − 4
= 1 ( x ∈ R) .
cos 2 x − cos 8 x + cos 6 x = 1 .
(
)
log 1 x 2 − 4 x + 3 ≥ −3 . 2
5. Odrediti jedna~ine tangenti krive 2 x 2 + y 2 = 6 konstruisanih iz ta~ke A( 4,−1) . 6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su du`ine wegovih osnovica 44cm i 16cm a krakova 25cm i 17cm . 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine wenih osnova 64π cm 2 i 4π cm 2 , a povr{ina omota~a 100π cm 2 .
8. Na}i rastu}i aritmeti~ki niz u kome je zbir prva tri ~lana 27, a zbir wihovih kvadrata 275 .
9. Re{iti sistem jedna~ina
(x
2
)
⎫ ⎪ ⎬. 2 2 x −y 9 x +y =6 ⎪ ⎭
+ y 2 y−x = 1
(
2
)
10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama: a) (x 2 − y )( x − y + 1) ≥ 0 ;
v) ( x − 4 )( y − 1)( y − ln x ) > 0 .
(
)
b) (x 2 + y 2 − 4 ) y − x < 0 ;
233
4. grupa 2001. god. (re{ewa) Ozna~imo dati broj sa A . Tada je :
1. a)
⎛1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝2⎠
−4
1
− (256 ) 1 2 4
( )
= 2 − 16 4
1 4
⎛ 25 ⎞ 2 +⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠
⎛5⎞ +⎜ ⎟ ⎝3⎠
2⋅
1 2
⎛ 1 ⎛ 2 ⎛ 5 ⎞⎞⎞ : ⎜⎜ − ⎜⎜ : ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠⎠⎠
−1
=
−1
⎛1 2 3⎞ :⎜ + ⋅ ⎟ = ⎝5 3 5⎠
−1
5 ⎛3⎞ 5 5 = 16 − 4 + : ⎜ ⎟ = 12 + : = 12 + 1 = 13 3 ⎝5⎠ 3 3 5 65 5 A ⋅ 5% = A = 13 = = 0,65 . 100 100 100 b)
a 3 − b3 a 3 + b3 − = ab ab a+b− a−b+ a+b a −b
( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) = − = 2 2 ( a + b ) − ab ( a − b ) + ab a+b
(a =
2
− b2
) (a
2
a−b + ab + b 2
a + ab + b 2
2
) − (a
2
− b2
) (a
2
− ab + b 2
a − ab + b 2
2
)=
= a 2 − b2 − a 2 + b2 = 0 pod uslovom da je a ≠ ±b .
2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa NZS (2,3,4) = 12 , dobijamo da je
5x − 3 7 x − 4 x − 1 ⇔ 6(5 x − 3) − 4(7 x − 4 ) = 3( x − 1) − = 2 3 4 ⇔ 30 x − 18 − 28x + 16 = 3x − 3 ⇔ −x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
234
x b) 2
4
−3 x 2 − 4
= 1 ⇔ 2 x −3 x − 4 = 2 0 ⇔ x 4 − 3x 2 − 4 = 0 ⇔ t 2 − 3t − 4 = 0 ∧ t = x 2 ⎛ 3 + 9 + 16 3 − 9 + 16 ⎞ ⎟ ∧ t = x2 ⇔ ⎜⎜ t = ∨t = ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⇔ (t = 4 ∨ t = −1) ∧ t = x (jer je x ∈ R ) ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 ∨ x = −2 . 4
2
3. cos 2 x − cos 8 x + cos 6 x = 1 ⇔ cos 2 x + cos 6 x − (1 + cos 8 x ) = 0
⇔ 2 cos 4 x cos 2 x − 2 cos 2 4 x = 0 ⇔ 2 cos 4 x ( cos 2 x − cos 4 x ) = 0
⇔ 2 cos 4 x ( 2 sin 3x sin x ) = 0 ⇔ cos 4 x = 0 ∨ sin 3 x = 0 ∨ sin x = 0 π ⇔ 4 x = + kπ ∨ 3 x = lπ ∨ x = sπ , k , l , s ∈ Z 2 π kπ lπ ⇔x= + , k∈Z ∨ x = , l∈Z . 8 4 3 lπ (Re{ewa oblika x = sπ , s ∈ Z ukqu~ena su u skup x = , l ∈ Z za 3 l = 3s, s ∈ Z .) 4.
⎧ x 2 − 4 x + 3, x ≥ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f (x ) = x 2 − 4 x + 3 = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎩ x + 4 x + 3, x < 0
235
3
1
3
3
-3
-1
2 Data nejedna~ina ima smisla ako je x − 4 x + 3 > 0 .
[(
) (
x 2 − 4 x + 3 > 0 ⇔ x ≥ 0 ∧ x 2 − 4x + 3 > 0 ∨ x < 0 ∧ x 2 + 4x + 3 > 0
)]
⇔ ( x ≥ 0 ∧ x ∈ (− ∞,1) ∪ (3, ∞ )) ∨ ( x < 0 ∧ x ∈ (− ∞,−3) ∪ (− 1, ∞ )) ⇔ x ∈ [0,1) ∪ (3, ∞ ) ∨ x ∈ (− ∞,−3) ∪ (− 1,0) ⇔ x ∈ (− ∞,−3) ∪ (− 1,1) ∪ (3, ∞ ) Neka je (− ∞,−3) ∪ (− 1,1) ∪ (3, ∞ ) = D
(
)
log 1 x − 4 x + 3 ≥ −3 ⇔ log 1 2
2
2
(
−3
⎛1⎞ x − 4 x + 3 ≥ log 1 ⎜ ⎟ ∧ x ∈ D 2 ⎝2⎠
)
2
(osnova logaritma mawa od 1) −3
⎛1⎞ ⇔ x −4x +3≤ ⎜ ⎟ ∧ x∈D ⎝2⎠ 2 ⇔ x − 4x + 3 ≤ 8 ∧ x ≥ 0 ∨ x 2 + 4x + 3 ≤ 8 ∧ x < 0 ∧ x ∈ D 2
((
) (
))
((
) (
))
⇔ x 2 − 4x − 5 ≤ 0 ∧ x ≥ 0 ∨ x 2 + 4x − 5 ≤ 0 ∧ x < 0 ∧ x ∈ D 0
0 -1
5
-5
1
⇔ ( x ∈ [− 1,5] ∧ x ∈ D ∧ x ≥ 0) ∨ ( x ∈ [− 5,+1] ∧ x ∈ D ∧ x < 0) ⇔ x ∈ [0,1) ∪ (3,5] ∨ x ∈ [− 5,−3) ∪ (− 1,0) ⇔ x ∈ [− 5,−3) ∪ (− 1,1) ∪ (3,5] . 5.
Kanonski
oblik
jedna~ine
elipse 2 x 2 + y 2 = 6
je
x2 y2 x2 y2 + = 1 . Uslov dodira prave y = kx + n i elipse 2 + 2 = 1 je 3 6 a b 2 2 2 2 2 2 a k + b = n , pa je 3k + 6 = n . Ta~ka A(4,−1) pripada pravoj y = kx + n , pa je − 1 = 4k + n . Re{avawem sistema
236
3k 2 + 6 = n 2 ⎫ ⎬ − 1 − 4k = n ⎭
dobijamo da je
(k1 , n1 ) = ⎛⎜ 5 ,− 33 ⎞⎟
tra`enih tangenti su:
i (k 2 , n2 ) = (− 1,3) . Jedna~ine ⎝ 13 13 ⎠ t1 : −5 x + 13 y + 33 = 0 i t 2 : x + y − 3 = 0 .
Neka je AB = 44cm, DC = 16cm, AD = 17cm, CB = 25cm , F podno`je visine h iz temena D i E ta~ka osnovice AB takva da je DE || CB (sl.131). Tada je DE = 25cm i AE = 28cm . Kako su poznate sve tri stranice trougla AED , wegovu povr{inu nalazimo primenom Heronovog obrasca. Poluobim trougla AED je 35cm , pa je
6.
PAED = 35 ⋅ (35 − 17 ) ⋅ (35 − 25) ⋅ (35 − 28) = 35 ⋅ 18 ⋅ 10 ⋅ 7 = 210cm 2 . S druge strane je PAED =
AE ⋅ DF , iz ~ega sledi da je 2
DF = h = 15cm . Povr{ina trapeza je
C
D h
PABCD =
a+b 44 + 16 ⋅h = ⋅ 15 = 450cm 2 . 2 2
A
F
E
B
Sl. 131
7. Neka je r polupre~nik gorwe baze B2 , a R polupre~nik dowe baze B1 zarubqene kupe (sl. 132). Tada iz B1 = R 2π i B1 = 64π dobijamo da je R = 8cm , a iz B2 = r 2π i B2 = 4π dobijamo da je r = 2cm . Povr{ina omota~a zarubqene kupe izra~unava se po formuli M = π s ( r + R ) , pa, kako je M = 100π , odavde dobijamo da je
s = 10 cm . Visinu zarubqene kupe izra~unavamo primenom Pitago-
rine teoreme. Prema podacima sa slike imamo da je 2 H 2 = s 2 − (R − r ) , odnosno H = 8cm .
Sada mo`emo izra~unati zapreminu zarubqene kupe:
237
V =
r s
H
H
V=
R-r R
(
)
H B1 + B1 B2 + B2 , tj. 3
(
)
8 64π + 64π ⋅ 4π + 4π = 224 π cm3 . 3
Sl. 132 8. Neka je d > 0 (jer je niz rastu}i) i a1 = a − d , a 2 = a i a 3 = a + d . Tada:
a − d + a + a + d = 27 ⎫ a1 + a 2 + a3 = 27 ⎫ ⇔ ⎬⇔ ⎬ a12 + a 22 + a32 = 275⎭ (a − d )2 + a 2 + (a + d )2 = 275⎭
3a = 27 ⎫ a=9 ⎫ a=9 ⎫ ⇔ ⇔ ⎬ ⎬ ⎬. d 2 = 16⎭ 3a 2 + 2d 2 = 275⎭ 3 ⋅ 81 + 2d 2 = 275⎭ Kako je d > 0 , bi}e a = 9 i d = 4 . Prvih nekoliko ~lanova niza glasi: 5,9,13,17,21,... 9.
(x 9
2
)
2 y − x = 1 ⎫⎪ ⎬⇔ 2 x 2 + y = 6 x − y ⎪⎭
+y
(
2
)
2
−y
2
−y
x2 + y = 2x
⇔
9 ⋅ 2x
2
−y
= 2x
x2 + y = 2x
⇔
x2 − y = 2
⎫⎪ x 2 + y = 2 x − y ⎫⎪ ⇔ ⎬⇔ ⎬ x2 − y 2 x2 − y ⎪⎭ ⎪ 3 =3 ⋅3 ⎭
2−y
2
⎫⎪ x 2 + y = 4⎫ 2x 2 = 6⎫ x 2 = 3⎫ ⇔ ⇔ ⇔ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬. x 2 − y = 2⎭ x 2 − y = 2⎭ y =1 ⎭ ⎪⎭
Re{ewa sistema su ure|eni parovi 10. a)
(x ⇔ (x
(
2 2
( 3,1) i (−
)
3 ,1 .
− y )( x − y + 1) ≥ 0 − y ≥ 0 ∧ x − y + 1 ≥ 0 ) ∨ (x 2 − y ≤ 0 ∧ x − y + 1 ≤ 0 )
) (
)
⇔ y ≤ x2 ∧ y ≤ x + 1 ∨ y ≥ x2 ∧ y ≥ x + 1 238
y
y
1
y≤x
1
0
-1
y
1
0
-1
x
1 1
x
y ≤ x +1
2
Sl. 133
0
-1
1
x
y ≤ x ∧ y ≤ x +1 2
Sl. 134
Sl. 135
Na slici 133 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije koordinate va`i y ≤ x 2 .Ovaj skup se naziva podgraf grafa (ili grafika ) funkcije y = x 2 . Na slici 134 je prikazan podgraf grafa funkcije y = x + 1 , a na slici 135 je prikazan presek ova dva skupa. y
1 -1
y
y
0
1
1 1 x
y ≥ x2 Sl. 136
-1
0
1
y ≥ x +1 Sl. 137
x
-1
0
1
x
y ≥ x2 ∧ y ≥ x +1 Sl. 138
Na slici 136 osen~en je skup ta~aka ravni xOy za ~ije koordinate va`i y ≥ x 2 . Ovaj skup se naziva nadgraf grafa (ili grafika) funkcije y = x 2 . Na slici 137 je prikazan nadgraf grafa funkcije y = x + 1 , a na slici 138 je prikazan presek ova dva skupa. Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 135 i 138, je prikazano na slici 139.
239
y
1 -1
(y ≤ x b)
(x ⇔ (x
2
2
2
0
1
x
∧ y ≤ x + 1) ∨ ( y ≥ x 2 ∧ y ≥ x + 1)
+ y 2 − 4 )( y − x ) < 0
Sl. 139
+ y 2 − 4 < 0 ∧ y − x > 0 ) ∨ (x 2 + y 2 − 4 > 0 ∧ y − x < 0 )
⇔ (x 2 + y 2 < 22 ∧ y > x ) ∨ (x 2 + y 2 > 22 ∧ y < x ) Na slici 142 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 140 i 141, a na slici 145 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 143 i 144. Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 142 i 145, prikazan je na slici 146. y
0
x 2 + y 2 < 22 Sl. 140
y
y
2
x
0
2 x
0
2
x
y> x
x 2 + y 2 < 22 ∧ y > x
Sl. 141
Sl. 142
240
y
y
2
0
x
0
x 2 + y 2 > 22
y< x
Sl. 143
Sl. 144
y
2 x
0
2
x
x 2 + y 2 > 22 ∧ y < x Sl. 145
y
2 x
0
(x
2
+ y 2 < 2 2 ∧ y > x ) ∨ (x 2 + y 2 > 2 2 ∧ y < x
)
Sl. 146 Granice osen~ene oblasti ozna~ene su isprekidanom linijom i ne pripadaju tra`enoj oblasti, jer relacija kojom je opisan tra`eni skup sadr`i znak stroge nejednakosti. v) Funkcija y = ln x je definisana za x > 0 .
( x − 4 ) ( y − 1) ( y − ln x ) > 0 ⇔
⇔ ⎡⎣( ( x − 4 )
{
( y − 1) > 0 ∧ y − ln x > 0 ) ∨ ( ( x − 4 ) ( y − 1) < 0 ∧ y − ln x < 0 ) ⎤⎦
⇔ ⎡⎣( ( x > 4 ∧ y > 1) ∨ ( x < 4 ∧ y < 1) ) ∧ y > ln x ⎤⎦ ∨
}
∨ ⎡⎣( ( x < 4 ∧ y > 1) ∨ ( x > 4 ∧ y < 1) ) ∧ y < ln x ⎤⎦
241
y
1 0
y
y
1
1 1
4
e
x
(x < 4 ∧ y < 1) ∨ (x > 4 ∧ y > 1) y
1
1 e
4
0
1
e
Sl. 148
y
1
x
4
x
0
x
4
y > ln x
Sl. 147
0
e
1
0
Sl. 149 y
1 1
x
4
e
(x > 4 ∧ y < 1) ∨ (x < 4 ∧ y > 1)
y < ln x
Sl. 150
Sl. 151
0
1
e
4
x
Sl. 15 2
Na slici 149 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 147 i 148, a na slici 152 prikazan je presek skupova osen~enih na slikama 150 i 151. Kona~no re{ewe, unija skupova prikazanih na slikama 149 i 152, prikazan je na slici 153. y
1 0
1
e
Sl. 153
242
4
x
5. grupa 2001. god. 1. a) Izra~unati
3 od razlike kvadrata brojeva A i B , ako je 4 −
1
⎛ ⎛ 2 3 ⎞2 1 ⎞ 3 1 A = ⎜ ⎜1 + ⎟ : ⎟ : i B= ⎜ ⎝ 5 5 ⎠ 2 ⎟ 10 ⎝ ⎠ b) Uporediti brojeve (i ) 49100 i
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
(
2 − 3x 1 − 3x x + 2 ; − = 8 7 4
b) x 2 − x
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
⎛1⎞ 4. Re{iti nejedna~inu ⎜ ⎟ ⎝2⎠
4 5⎞ ⎛ − ⎜ 5 −1 + : ⎟ ; 3 3⎠ ⎝
x +3
(ii )
2 600 ;
2. Re{iti jedna~ine: a)
−2
⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠
)
2
8 33 i 4 50 .
+ 12 + 8 x = 8 x 2 .
sin x + cos x =
1 . sin x
2 x −3
.
5. Odrediti jedna~inu tetive parabole y 2 = 20 x koja prolazi kroz ta~ku A(2,5) i podeqena je tom ta~kom na dva jednaka dela.
6. Stranice trougla ABC su AB = 28 , BC = 25 i AC = 17 . Odrediti polupre~nike opisanog i upisanog kruga tog trougla. 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{ina omota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su r = 3 cm i R = 6 cm . 8. Re{iti jedna~inu
log 4 x − log 42 x + log 43 x − =
1 . 3
9. U zavisnosti od realnog parametra k odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine x 3 + 3 x 2 − 4 = k . 10. Razmatramo ~etvorocifrene brojeve u dekadnom zapisu. a) Koliko ih ukupno ima? b) Koliko wih u zapisu ima samo jednu cifru 1? v) Koliko ih je deqivo sa 25?
243
5. grupa 2001. god.(re{ewa) 1. a) Kako je
⎛⎛ 2 3 ⎞ 1 ⎞ A = ⎜ ⎜1 + ⎟ : ⎟ ⎜⎝ 5 5 ⎠ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2
−
1 3
⎞ 1 ⎛⎜ ⎛ 7 3 ⎞ = ⎜ + ⎟ ⋅ 2⎟ ⎟ 10 ⎜⎝ ⎝ 5 5 ⎠ ⎠ 2
:
−
1 3
⋅ 10 = 8
−
1 3
⋅ 10 =
1 ⋅ 10 = 5 i 2
−2
4 5⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎛1 4 3⎞ ⎛1 4⎞ B = ⎜ ⎟ − ⎜ 5 −1 + : ⎟ = 4 − ⎜ + ⋅ ⎟ = 4 − ⎜ + ⎟ = 3 , to je 3 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝5 3 5⎠ ⎝5 5⎠ 3 3 3 2 3 ( A − B 2 ) = (5 2 − 3 2 ) = (25 − 9 ) = ⋅ 16 = 12 . 4 4 4 4
( ) < (8 ) = (2 ) = 2 < 2
b) (i ) 49100 = 7 2
(ii )
833
100
3 33
2 100
99
( ) =2 = (2 ) = 4 200
= 8 200 = 2 3
100
= 2 2⋅50
600
2 50
50
; .
2. a) Ako datu jedna~inu pomno`imo sa NZS (8,7,4 ) ,odnosno sa 56 , dobijamo da je
2 − 3x 1 − 3x x + 2 ⇔ 7(2 − 3x ) − 8(1 − 3x ) = 14( x + 2) − = 8 7 4 ⇔ −11x − 22 = 0 ⇔ x = −2 .
(
b) x 2 − x
)
2
(
)
2
(
)
+ 12 + 8 x = 8 x 2 ⇔ x 2 − x − 8 x 2 − x + 12 = 0 ⇔ x 2 − x = t ∧ t 2 − 8t + 12 = 0 ⇔ x 2 − x = t ∧ (t = 6 ∨ t = 2) ⇔ x2 − x = 6 ∨ x2 − x = 2 ⇔ x2 − x − 6 = 0 ∨ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = 3 ∨ x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = −1 . 3. Jedna~ina ima smisla za sin x ≠ 0 , odnosno za x ≠ kπ , k ∈ Z . 1 ⇒ sin 2 x + sin x cos x = 1 sin x + cos x = sin x ⇒ sin 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x ⇒ ( sin x − cos x ) cos x = 0
⎛π ⎞ ⇒ sin x − sin ⎜ − x ⎟ = 0 ∨ cos x = 0 ⎝2 ⎠
244
⇒ 2 cos
π
π
⇒ x−
π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ = 0 ∨ cos x = 0 4 4⎠ ⎝
4
π
= kπ , k ∈ Z ∨ x =
2
+ lπ , l ∈ Z
π
+ lπ , l ∈ Z . 2 ⎧ x + 3, x ≥ −3 4.Uzimaju}i u obzir da je x + 3 = ⎨ i da je osnova ⎩− ( x + 3), x < −3 eksponencijalne funkcije iz intervala (0,1) , pa je funkcija ⇒x=
4
+ kπ , k ∈ Z ∨ x =
π
opadaju}a(sl. 154), sledi da je
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
x +3
⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝4⎠
2 x −3
x +3
y
⎛1⎞ ⎛1⎞ ≤⎜ ⎟ ⇔⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⇔ x + 3 ≥ 4x − 6
2⋅(2 x −3 )
0 < a <1
1
ax
0
x
Sl. 154
⇔ ( x + 3 ≥ 4 x − 6 ∧ x ≥ −3) ∨ (− ( x + 3) ≥ 4 x − 6 ∧ x < −3) ⇔ (− 3x ≥ −9 ∧ x ≥ −3) ∨ (− 5 x ≥ −3 ∧ x < −3) 3 ⎛ ⎞ ⇔ ( x ≤ 3 ∧ x ≥ −3) ∨ ⎜ x ≤ ∧ x < −3 ⎟ 5 ⎝ ⎠ -3
0
–3
3
0
35
⇔ x ∈ [− 3,3] ∨ x ∈ (− ∞,−3) ⇔ x ∈ (− ∞,3] . 5. Neka su M ( x1 , y1 ) i N ( x 2 , y 2 ) prese~ne ta~ke prave l ~ija je jedna~ina y=kx+n, i parabole p, ~ija je jedna~ina y 2 = 20 x . Sredi{te du`i MN je ta~ka A ( 2 ,5 ) , pa je
y1 + y 2 = 5 (sl. 155). Ako izrazimo x iz 2
jedna~ine prave i tu vrednost uvrstimo u jedna~inu parabole, dobijamo kvadratnu jedna~inu y 2 −
20 20n = 0 . Prema Vietovim fory+ k k
245
mulama, za re{ewa y1 i y 2 ove jedna~ine va`i y1 + y 2 =
20 . Dakle, k
20 = 10 , tj. k=2. Kako ta~ka A(2,5) pripada pravoj y=2x+n, bi}e k 2 ⋅ 2 + n = 5 , tj. n=1. Jedna~ina tra`ene prave je y=2x+1. l y
C N b
A
a
r
M
R
0
x
A
c
B
p
Sl. 156
Sl. 155
a+b+c = 35 . Povr{inu trougla 2 mo`emo na}i pomo}u Heronovog obrasca P = s(s − a )(s − b )(s − c ) .
6. Poluobim trougla je
s=
PΔ = 35 ⋅ ( 35 − 17 ) ⋅ ( 35 − 25) ⋅ ( 35 − 28 ) = 210 , pa iz PΔ = rs
Dakle,
(sl. 156) sledi da je 210 = 35r, odnosno r = 6, a iz PΔ = da je R =
abc sledi 4R
85 ⋅ 6
7. Povr{inu omota~a zarubqene kupe dobijamo prema obrascu M = π s ( r + R ) .Prema uslovu zadatka je M = B1 + B2 , odnosno
(
)
(
)
M = π r 2 + R 2 . Dakle, π r 2 + R 2 = π s ( r + R ) , iz ~ega dobijamo da
246
je s = 5cm . Primenom visinu : H =
Pitagorine teoreme (sl. 157) nalazimo
s 2 − (R − r ) = 4cm . Zapremina zarubqene kupe je 2
r
V =
(
)
H B1 + B1 B2 + B2 , odnosno 3
s
H
H
R-r R
V =
(
)
4 9π + 9π ⋅ 36π + 36π = 84π cm 3 . 3
Sl. 157
8. Leva strana jedna~ine je zbir beskona~no mnogo ~lanova geometrijskog niza za koji je a1 = log 4 x i q1 = − log 4 x , pri ~emu je
x ≠ 0. Za − log 4 x < 1 zbir svih ~lanova niza postoji i S∞ =
log 4 x 1 + log 4 x
⋅
Prema uslovu zadatka va`i:
log 4 x
1
1 1 = ⇒ log 4 x = ⇒ x = 4 2 ⇒ x = 2 ∨ x = −2 . 1 + log 4 x 3 2 9. Neka je f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 .
y
f (x ) = x3 + 3x 2 − 4
Analizirajmo ovu funkciju i skicirajmo wen grafik. 1) D f = R .
-2
1
0
x
2) f (1) = 0 ⇒ ( x − 1) f ( x ) .
f ( x ) = ( x − 1)( x + 2 ) ; 2
-4
f ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −2 . 247
Sl. 158
(
)
⎛ ⎝
3) lim x 3 + 3 x 2 − 4 = lim x3 ⎜ 1 + x →∞
x →∞
3 4⎞ − ⎟=∞ . x x3 ⎠
⎛ 3 4⎞ lim x3 + 3 x 2 − 4 = lim x3 ⎜1 + − 3 ⎟ = −∞ . x →−∞ ⎝ x x ⎠
x →−∞
(
)
4) f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x = 3 x( x + 2 ) ;
f ′( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2 . Prvi izvod funkcije f pozitivan je za x ∈ (− ∞,−2 ) ∪ (0, ∞ ) , a negativan za x ∈ (− 2,0 ) , pa je funkcija f rastu}a u intervalima
(− ∞,−2) i (0, ∞ ) , a opadaju}a u intervalu (− 2,0) . 5) f ′′( x ) = 6 x + 6 f ′′ ( 0 ) = 6 ⇒ f min ( 0 ) = −4 . f ′′ ( −2 ) = −6 ⇒ f max ( −2 ) = 0 .
Grafik funkcije f je prikazan na slici 158. Neka je g ( x ) = k , k ∈ R . Grafik funkcije g je prava paralelna sa Ox -osom, a apscise prese~nih ta~aka grafika funkcija f i g su re{ewa jedna~ine f ( x ) = k , k ∈ R (sl. 159). Prema tome, jedna~ina
f ( x ) = k ima:
1) jedno re{ewe, ako je k ∈ (− ∞,−4 ) ∪ (0, ∞ ) ,
y
2) dva re{ewa, ako je k ∈ {0,−4}, f (x ) = x 3 + 3 x 2 − 4
3) tri re{ewa, ako je k ∈ (− 4,0) .
-2
1
0
-4
Sl. 159
248
x g (x ) = k
10. a) ^etvorocifreni brojevi na mestu hiqada mogu imati bilo koju cifru iz skupa {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, a na mestu stotina, desetica ili
jedinica bilo koju cifru iz skupa {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Dakle, razli~itih ~etvorocifrenih brojeva ima 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 9000 . b) Cifra 1 mo`e biti samo na jednom od ~etiri dekadna mesta, a ostale tri cifre mogu biti iz skupa {2,3,4,5,6,7,8,9} ili iz skupa
{0,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji u dekadnom
zapisu
imaju
samo
jednu
cifru
1 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 + 8 ⋅ 1 ⋅ 9 ⋅ 9 + 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 9 + 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 1 = 2673 .
1
ima
v) Neka je abcd ~etvorocifren broj sa dekadnim ciframa a,b,c i d, pri ~emu a nije 0.
abcd = a ⋅1000 + b ⋅100 + c ⋅10 + d = (a ⋅ 10 + b ) ⋅ 100 + c ⋅ 10 + d = (a ⋅ 10 + b ) ⋅ 4 ⋅ 25 + c ⋅ 10 + d Broj abcd bi}e deqiv sa 25 ako je c ⋅10 + d jedan od brojeva 100, 75, 50 ili 25, tj. ako se broj abcd zavr{ava sa 00, 25, 50 ili 75. Za svaku od te ~etiri mogu}nosti cifra a mo`e uzeti vrednosti iz skupa {1,2,3,4,5,6,7,8,9} a cifra b iz skupa {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dakle, ~etvorocifrenih brojeva koji su deqivi sa 25 ima 4 ⋅ 9 ⋅ 10 = 360 .
249
Tre}i deo
ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA IZ MATEMATIKE (sa kona~nim re{ewima i uputstvima)
1. grupa 1997. god. 2 1⎞ 7 ⎛ ⎜1,75 : − 1,75 ⋅ 1 ⎟ : 3 8 ⎠ 12 1. Izra~unati: ⎝ : (6,79 : 0,7 + 0,3) . ⎛ 17 ⎞ ⎜ − 0,0325 ⎟ : 400 ⎝ 80 ⎠
2. Re{iti jedna~inu 3. Dokazati jednakost
2 x + 14 − x − 7 = x + 5 .
sin 160° = 2. sin 100° cos 4 40° − sin 4 40°
(
)
4. Re{iti sistem jedna~ina:
(
)
( log x = log10 x )
log x 2 + y 2 = 1 + log 13 log ( x + y ) = log ( x − y ) + 3 log 2.
5. Odrediti ta~ku parabole y 2 = 4 x koja je najbli`a pravoj x − y +3 = 0. 6. Izra~unati povr{inu paralelograma ako su mu stranice 15cm i 34cm i jedna dijagonala 35cm. 7. Osnovne ivice pravilne trostrane zarubqene piramide su a i b, (a > b), a bo~ne ivice zaklapaju sa ve}om osnovom ugao α. Izra~unati zapreminu te zarubqene piramide. 8. Aritmeti~ka progresija ima 20 ~lanova. Suma ~lanova na parnim mestima je 250, a na neparnim mestima 220. Odrediti dva sredwa ~lana progresije. 9. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine. Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka? 10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati:
x3 + x − 2 , x →1 x − x 2 − x + 1
a) lim
3
sin 5 x ⋅ x →0 sin 3 x
b) lim
253
1. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. 250 2. x = 11 3. sin 160 = sin 20 = 2 sin 10 cos 10
sin 100 = cos 10 cos 2 40 − sin 2 40 = cos 80 = sin 10 4. x = 9, y = 7 5. M (1,2) 6. P = 504cm 2 7. V =
1 3 (a − b 3 )tgα 12
8. a10 = 22, a11 = 25 9. r = R
6 3
10. a) lim+ f ( x ) = +∞ , x →1
b) L =
lim f ( x ) = −∞
x →1−
5 3
254
2. grupa 1997. god.
1. Izra~unati
⎛⎛ 7 5⎞ ⎛7 7 ⎞ 9 ⎞ ⎜ ⎜ 40 30 − 38 12 ⎟ :10 ,9 + ⎜ 8 − 30 ⎟ ⋅111 ⎟ ⋅ 4 , 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⋅ 0 , 08
2. Re{iti nejedna~inu x 2 − x + x > 1 . 3. Odrediti realne brojeve x i y tako da va`i ( 4 + 3i ) x − ( 2 − i ) y − 10i = 0 .
4. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin x + cos x + tgx =
1 ⋅ cos x
5. Odrediti ta~ku elipse x 2 + 4 y 2 = 20 koja je najbli`a pravoj x+ y −7 = 0. 6. Zbir kateta pravouglog trougla je 32cm. Ako se mawa kateta uve}a za 4cm, a ve}a umawi za 5cm, tada se povr{ina trougla ne mewa. Odrediti stranice tog trougla. 7. Metalnu {upqu loptu, ~iji je spoqa{wi pre~nik 2r = 18cm , a debqina d = 2cm , treba pretopiti u masivnu loptu. Koliki je wen polupre~nik? 8. Re{iti jedna~inu log3 (3 − 2 ⋅ 3x +1 ) = 2 + 2 x . 9. Odrediti geometrijski niz a1 , a 2 , a 3 , … za koji va`i:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 31 a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 62. 10. Skicirati grafike funkcija: a) f ( x) = kx + 1, (k ∈ R ) ,
b) f ( x ) = x x − 1 ,
255
v) f (x ) = log 22 x .
2. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. 70
2.
x ∈ (− ∞,−1) ∪ (1, ∞ )
3. x = 2 , y = 4
4.
x = kπ , k ∈ Z
5. A(4,1)
6.
a = 12cm , b = 20cm , c = 4 34cm
7. r = 3 386
8.
x = −1
9. a1 = 1 , q = 2 10. (sl. 1)
a) y
b)
k>0
k=0
−1 0
1
−1
x
0 k<0
(y-osa ne pripada skupu tra`enih pravih) v)
y 2 1 0
1
y
2
.
3
Sl. 1
256
4
x
1
x
3. grupa 1997. god.
1. Izra~unati:
3 1 7 : 2,7 + 2,7 : 1,35 + (0,4 : 2 ) ⋅ ( 4,2 − 1 ) 40 2 20 9 1 22 b) − + 5− 7 7 + 5 7+ 5
a) 1
2. Re{iti jedna~inu
2x − 4 + x + 2 = 3 .
3. Odrediti realni parametar k
tako da re{ewa jedna~ine
(k − 1)x 2 + (k − 5)x − (k + 2) = 0 zadovoqavaju uslov
1 1 + > 2. x1 x 2
4. Ako su α , β i γ unutr{wi uglovi nekog trougla, onda je:
sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ − 2 cos α cos β cos γ = 2 . Dokazati! 5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole paralelne pravoj x + y − 7 = 0 .
x2 y2 − = 1 , koje su 15 6
6. Oko kruga polupre~nika 2cm opisan je jednakokraki trapez povr{ine 20cm 2 . Odrediti stranice tog trapeza. 7. Na odstojawu d od centra lopte polupre~nika R (R < d ) , nalazi se svetla ta~ka S . Koliki deo povr{ine lopte osvetqava ta~ka S ? 8. Re{iti jedna~inu
3 log x 4 + 2 log 4 x 4 + 3 log16 x 4 = 0 .
9. Du`ine ivica kvadra ~ija je dijagonala D = 6 m , a povr{ina
P = 72m 2 , obrazuju geometrijski niz. Odrediti du`ine ivica. 10. Skicirati grafike slede}ih funkcija: a) f ( x ) = x − 2 − x ,
2 b) f ( x ) = x − x ,
257
v) f ( x ) =
1 log 2 x 2 . 2
3. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. a) 3
1 2
b) 6
2. Data jedna~ina nema re{ewa. 3. k ∈ (− 9,−2) 4. − 5. y = − x + 3, y = − x − 3 6. a = 8cm, b = 2cm, c = 5cm 7. Po =
d −R ⋅ Pl 2d
8. x1 =
1 1 i x2 = 2 8
9. a = b = c = 2 3 m 10. (sl. 2) a)
–1
y
b)
y 2
–1
1
y
0
1
2
x
v)
x
1
0
2 1
–2
–4
Sl. 2
258
–2
2
4
x
4. grupa 1997. god. 3⎞ 5 ⎛ 3 ⎜6 − 3 ⎟⋅5 ⎝ 5 14 ⎠ 6 1. Izra~unati: a) (21 − 1,25) : 2,5
b)
2. Odrediti realni parametar a
x 2 + ax + 1 = 0 zadovoqavaju uslov
(0,6)0 − (0,1)−1 −1
3
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 3 ⎟ ⋅⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
−1
.
tako da re{ewa jedna~ine
x1 x2 + < 7 , ( x1 , x 2 ∈ R ) . x 2 x1
3x ⋅ 5 y − 225 = 0 log1997 ( x − y + 1) = 0.
3. Re{iti sistem jedna~ina
4. Ako su α , β i γ unutra{wi uglovi nekog trougla, onda je:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ + 2 cos α cos β cos γ = 1 . Dokazati! 5. Odrediti jedna~ine tangenti hiperbole paralelene pravoj x − y = 0 .
x2 y2 − = 1 koje su 15 6
6. Stranice trougla su 25cm , 24cm i 7cm . Izra~unati polupre~nik upisanog i opisanog kruga tog trougla. 7. Na kojoj udaqenosti od centra neprozirne lopte polupre~nika
4m treba da bude svetlosni izvor koji osvetqava 8. Dokazati jednakost
cos
π 5
+ cos
3π 1 = 5 2
1 povr{i lopte? 3
9. Zbir prva tri ~lana geometrijskog niza je 91. Ako tim ~lanovima dodamo redom 25, 27 i 1 dobi}emo tri broja koji obrazuju aritmeti~ki niz. Odrediti sedmi ~lan datog geometrijskog niza. 10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati: a)
8 x3 − 1 ; lim 2 1 x→ 6 x − 5 x + 1
b) lim x →0
2
259
2 − 1 + cos x ⋅ sin 2 x
4. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. a) 2,5
b) − 1,5
2. Videti re{ewe 4. zadatka 10. grupe iz 2000. g. 3. x = 2, y = 2 4. − 5. y = x + 3, y = x − 3 6. r = 3cm, R = 12,5cm 7. 12m
2π π 4π 2 sin sin 2π π 2π 5 ⋅ cos π ⋅ 5 = 5 =1 8. 2 cos ⋅ cos = 2 ⋅ cos π π π 2 2 5 5 5 2 sin 5 2 sin 2 sin 5 5 5 2 sin
9. 1o g 7 = 5103 za g1 = 7 i q = 3
10. a) 6
b)
2o g 7 =
2 8
260
7 1 za g1 = 63 i q = 81 3
5. grupa 1997. god. 1. Izra~unati: ⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ a) 1 − ⎜ − 0,25 ⎟ : ⎜1 − 1,125 ⎟ , 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(
b) ⎛⎜ 2 + 3 ⎝
)
−1
+ 1⎞⎟ ⎠
−1
(
+ ⎛⎜ 2 − 3 ⎝
)
−1
−1
+ 1⎞⎟ . ⎠
x+3 x+2 . < x + 2 x +1
2. Re{iti nejedna~inu
⎛1⎞ 3. Odrediti funkciju f ako je f ( x) + 3 f ⎜ ⎟ = x 2 , ( x ≠ 0) . ⎝ x⎠
sin α + cos α 1 + 2 cos 2 α 2 − = ⋅ 2 2 sin α − cos α cos α tg α − 1 1 + tgα
(
4. Dokazati identitet
)
5. Odrediti jedna~ine onih tangenti kru`nice 2 2 x + y − 10 x − 4 y + 25 = 0 koje prolaze kroz koordinatni po~etak (slika!). 6. Uglovi trougla ~ine aritmeti~ku progresiju. Koliki su ti uglovi 3 +1 ako je zbir wihovih kosinusa jednak ? 2 7. Kanal za vodu duga~ak je 5m i mo`e prihvatiti 1440l vode. Popre~ni presek kanala je jednakokraki trapez (sa kra}om osnovicom pri dnu) ~iji je krak 52cm, a visina 48cm. Koliko litara vode prihvata kanal do polovine svoje visine? 8. Re{iti sistem jedna~ina
log 4 x − log 2 y = 0 x 2 − 5 y 2 + 4 = 0. 9. U numerisani red od 12 sedi{ta treba da sedne {est devojaka i {est mladi}a. Na koliko razli~itih na~ina oni mogu da se rasporede tako da nikoje dve osobe istog pola ne sede jedna pored druge? 10. U Oxy - ravni skicirati linije ~ije su jedna~ine: a) x + y = 1 ,
b) x 2 − y 2 = k , (k ∈ R ) .
261
5. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. a) − 9
2. x ∈ (− ∞,−2 ) ∪ (1, ∞ )
b) 1
3 − x4 8x 2 20 5. y = 0, y = x 21 7. 600l 3. f ( x ) =
4. − 6.
π π π
, , 6 3 2
8. (4,2 ) i (1,1)
9. 2 ⋅ (6!) = 1036800 2
10. (sl. 3) a)
y
y = −x − 1
−1
1
b) 1) y
y = x+1
y= x
1
0
x
1
−1
x
1
0
y = −x
y = −x + 1
y = x −1
k=0
b) 2)
b) 3) y
y
k
−k
x 0
x
k
0
k>0
k<0
Sl. 3
262
−k
6. grupa 1997. god. 1. Izra~unati:
(
a) 225
−2 −2
−1
): (225 ),
⎛ 3+2 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 3 + 2 1 ⎞⎟ b) ⎜ . ⋅ + − ⎜ 3 +1 3 + 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 + 3 3 + 1 ⎟⎠ ⎝
( −2 ) − 2
2. Re{iti nejedna~inu
1 x−2 > . x + 3x − 4 3 2
⎛1⎞ 3. Odrediti funkciju f ako je f ( x) + 2 f ⎜ ⎟ = x, ( x ≠ 0) . ⎝ x⎠ 4. Dokazati identitet
sin 4 α + cos 4 α − 1 = 2 ⋅ sin 6 α + cos 6 α − 1 3
5. Date su prave p1 : 2 x − 3 y − 3 = 0 i p 2 : 2 x + 3 y − 9 = 0 . a) Izra~unati povr{inu trougla koji odre|uju prave p1 i p2 i y-osa. b) Odrediti jedna~inu prave p koja prolazi kroz presek pravih p1 i p2 i normalna je na pravoj p1. 6. Izra~unati povr{inu trapeza ako su mu osnovice a = 8 i b = 4 , a unutra{wi uglovi na ve}oj osnovici 450 i 300. 7. Ako su a, b i c du`ine ivica, a P povr{ina kvadra, tada va`i 2k 2 implikacija a + b + c = k ⇒ P ≤ . Dokazati! 3
(
8. Re{iti jedna~inu 2 ( log 2 − 1) + log 5
( log x = log x )
x
)
(
+ 1 = log 51−
x
)
+5 .
10
9. Tri broja obrazuju aritmeti~ki niz i wihov zbir je 15. Ako prvom dodamo 1, drugom 4 i tre}em 19, onda se dobijaju brojevi koji ~ine geometrijsku progresiju. Odrediti te brojeve. 10. Skicirati linije u ravni ~ije su jedna~ine: a) 4 x 2 − y 2 = k , (k ∈ R ) ,
( log x = log x )
b) y = x 2 − 1 ,
10
263
v) y = 10− log x .
6. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. a)
1 15
2. x ∈ (− 4,1)
b) 1
3. f ( x ) =
2 − x2 3x
5. a) PΔ = 6
4.
2 3
(
)
6. P = 12 3 − 1
b) y = 1, x = 3
7. P = 2(ab + ac + bc )
8. x = 9
( a − b) + ( a − c ) + (b − c ) ≥ 0 2 ( a + b + c ) = a 2 + b2 + c 2 + 2 ( ab + ac + bc ) 2
2
2
9. a1 = 2, a 2 = 5, a 3 = 8 za d = 3
a1 = 26, a 2 = 5, a3 = −16 za d = −21 10. (sl. 4)
y
y = −2x
a)
y y = 2x
2
y k
−k
k 2
0
−1 0
1
k>0
y
v)
x 0
x
k<0 y
4 3
1
−1
x
x
k=0
b)
−k 2
0
2
1
1 0
−1
Sl. 4
264
1
2
3
4 x
7. grupa 1997. god. 3 + 4 , 2 : 0 ,1 ⋅ 1 : 0 ,3 − 7 ⋅ 0 ,125 3
(
1.a) Odrediti broj ~ijih je 12% jednako 4,2% broja
b) Izra~unati 2.
Za
(−2) 2 + 9
−
1 2
)
−2
− 16 − 2 .
koje
vrednosti realnog 3 x − 6 x − 2 log 4 k = 0 ima: a) realna re{ewa, b) oba pozitivna re{ewa?
parametra
k
jedna~ina
2
3. Re{iti jedina~inu
⎛4⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
log1997 x
⎛4⎞ +⎜ ⎟ ⎝3⎠
log
1 1997
x
=
25 ⋅ 12
4. Odrediti ona re{ewa jedna~ine cos x sin 7 x = cos 3 x sin 5 x koja se nalaze u [0, π ] . 5. Date su ta~ke A(−2,5), B (2,−3) i prava l : 3 x + 4 y − 19 = 0 . Odrediti jedna~inu kruga koji sadr`i ta~ke A i B i dodiruje pravu l, a zatim odrediti koordinate zajedni~ke ta~ke prave l i tra`enog kruga. 6. Du`ina osnovice jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nik upisanog kruga 7,5cm. Izra~unati povr{inu ovog trogula. 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ako su povr{ine wenih osnova 25 π cm 2 i 4 π cm 2 i povr{ina omota~a 35 π cm 2 .
8. Re{iti sistem jedna~ina
x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481⎪⎫ ⎬. x 2 + xy + y 2 = 37 ⎪⎭
9. Odrediti prirodan broj n ako se zna da je zbir 1 + 2 + 3 + + n trocifren broj ~ije su sve cifre jednake.
265
10. Date su realne funkcije:
1 1 f1( x ) = log x , f 2 ( x ) = log x 2 , f3 ( x ) = , f 4 ( x ) = log 2 x , 2 log x 10 log 2 x f5 ( x ) = ⋅ log 2 10 a) Ispitati da li me|u datim funkcijama ima jednakih. Odgovor obrazlo`iti. b) Skicirati grafike funkcija f2 i f4 ( log x = log10 x ) .
7. grupa 1997. god. (re{ewa) 1. a) 126
b)
11 6
2. a) k ≥
3. x1 = 1997, x 2 = 4. x1 = 0, x 2 =
π 2
1 1997
, x3 = π , x 4 =
5. ( x + 2 ) + y 2 = 25 ili 2
P(1,4) 6. 300cm 2
π 8
, x5 =
7π 5π 3π , x7 = , x6 = 8 8 8
(x + 22)2 + ( y + 10)2 = 625 P(− 7,9 ) 7. V = 52π cm 3
8. Rs = {(3,4 ), (− 3,−4 ), (4,3), (− 4,−3)} 10. (sl. 5)
1 b) k ∈ ⎡ 1 ,1⎞ ⎢8 ⎟ 8 ⎣ ⎠
a)
9. n = 36
f1 = f 5 y
b) y 1 −10
−1 0
x 1
10
Sl. 5
266
1 0
x 1
10
1. grupa 1998. god.
1. a) Izra~unati
b) Uprostiti
1
5 ⎛ ⎛5 2 ⎞⎞ 1 : ⎜ 1, 7: ⎜ : − 3,75 ⎟ ⎟ − ⋅ 12 ⎝ ⎝2 9 ⎠⎠ 8
(
⎛⎜ 2 + 3 ⎝
) ⋅ (2 − 3 ) −1
−1
−2
⎞⎟ . ⎠
2. Re{iti jedna~ine: a)
14 2+ x 3 5 − = − ; 3x − 12 x − 4 8 − 2 x 6
3. Dokazati identitet
(
)
b) log 1 x 2 + x = −1 . 2
sin 2 α − tg 2α = tg 6α . cos 2 α − ctg 2α
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠
4. Re{iti nejedna~inu
4 x −6
⎛1⎞ ≥⎜ ⎟ ⎝9⎠
3 x−4
.
5. Kvadrat i jednakostrani~ni trougao imaju jednake obime. Povr{ina trougla je 4 3 . Kolika je dijagonala kvadrata? 6. Na}i povr{inu prave kru`ne kupe koja je opisana oko lopte pre~nika 2 R , a ~ija je visina dva puta ve}a od pre~nika lopte. 7. Na krivoj 3 x 2 − 4 y 2 = 72 3x + 2 y + 1 = 0 .
odrediti ta~ku najbli`u pravoj
8. Zbir prvih pet ~lanova aritmeti~kog niza je 25, a wegov drugi ~lan je 3. Koliki je zbir prvih dvadeset ~lanova tog niza? 9. Re{iti sistem jedna~ina
x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481 x 2 + xy + y 2 = 37. 10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama: a) (x 2 + y 2 − 1)( x − y ) ≤ 0 ;
b) ( y − 1)( y − ln x ) ≥ 0 ;
267
v) x + y = 1 .
1. grupa 1998. god. (re{ewa) b) B =
1. a) A = 3
1 16
b) x1 = 1, x2 = −1
2. a) x = 5
1 1− sin 2 α − sin 2 α 2 sin 2 α − tg 2α sin 2 α 2 α cos ⋅ = tg α ⋅ = tg 6α 3. = 2 2 2 2 2 1 cos α 1 − cos α − ctg α cos α − cos α sin 2 α ⎡7 ⎞ 4. x ∈ ⎢ ,+∞ ⎟ ⎣5 ⎠ 5. b = 4, d = 3 2
( (
) )
6. P = 8 R 2π 7. P(− 6,3) 8. S 20 = 400 9. Rs = {(3,4 ), (− 3,−4 ), (4,3), (− 4,−3)} 10. (sl. 6) a)
b)
y
v)
y 1
y
1
lnx
1
0
1 x
0
–1
1 2 e
x 0
x –1
Sl. 6
268
1
2. grupa 1998. god. 1. Izra~unati: a) 5,81 : 2
3 7 ⎛ 8 ⎞ + 1 ⋅ ⎜1,4 − 3 ⎟ , 40 8 ⎝ 25 ⎠
⎛ log 1 15 b) ⎜ 3 3 + ⎜ ⎝
−
1
⎞ 4 2 − 11 ( ) ⎟ . ⎟ ⎠
2. Re{iti jedna~ine:
3 2 8 + 9x , b) x 2 + x − 2 = 0 . = − 2 1 − 6 x 6 x + 1 36 x − 1 ⎛ π α ⎞ 1 − sin α 3. Dokazati identitet tg ⎜ + ⎟ =1. ⎝ 4 2 ⎠ cos α 3x − 1 4. Re{iti nejedna~inu log log x = log10 x <0. 2x +1 a)
(
)
5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A(1,2) u odnosu na pravu 2x − y + 5 = 0 . 6. Stranice trougla su 5 cm, 6 cm i 9 cm . Izra~unati polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla. 7. Pravougli trapez sa osnovicama a = 10cm i b = 2cm rotira oko maweg kraka. Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog tela ako je visina trapeza h = 15cm . 8. Odrediti sumu svih ~lanova beskona~ne opadaju}e geometrijske progresije ako je poznato da je suma prvog i ~etvrtog ~lana 54, a suma drugog i tre}eg 36. 9. U zavisnosti od realnog parametara a odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine x 3 − 6 x 2 + a = 0 . 10. Ispitati da li me|u funkcijama :
f1 ( x ) = e , f 2 ( x ) = x ln x
ima
2
x2 − x x2 , f3 ( x ) = ln e , f 4 ( x ) = , f5 ( x ) = , x −1 x x
jednakih,
a zatim skicirati f ( x ) = f 2 ( x ) + f 3 ( x ) i g ( x ) = f 2 ( x ) ⋅ f 3 ( x ).
269
grafike
funkcija
2. grupa 1998. god. (re{ewa) 1. a) −
4 5
b)
1 2
2. a) x =
1 b) x1 = 1, x2 = −1 3
π α π α α ⎞ 1 − sin α sin 4 cos 2 + cos 4 sin 2 1 − sin α 3. tg ⎜ + ⎟ = ⋅ = π α π α 2α 2α ⎝ 4 2 ⎠ cos α cos cos − sin sin cos − sin ⎛π
4
2
4
2
2
2
2⎛ α α⎞ ⎜ cos + sin ⎟ 1 − sin α 1 − sin α 2 ⎝ 2 2⎠ = ⋅ = = 1. 2⎛ α α ⎞ ⎛ cos α − sin α ⎞ ⎛ cos α + sin α ⎞ 1 − sin α ⎟⎜ ⎟ ⎜ cos − sin ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2⎠ ⎛1 ⎞ 4. x ∈ ⎜ ,2 ⎟ 5. B(− 3,4 ) ⎝3 ⎠ 6. r = 2cm, R = 8. S ∞ = 96
27 2 cm 8
7. P = 780π cm 2 , V = 1650π cm 3 9. Jedna~ina ima: 1) jedno re{ewe za a > 0 2) dva re{ewa za a ∈ {− 32,0}
3) tri re{ewa za a ∈ (− 32,0 ) 4) nema re{ewa za ostale vrednosti a 10. (sl. 7) Me|u datim funkcijama nema jednakih.
⎧⎪ x 2 , x ≥ 0 f 2 ( x ) ⋅ f3 ( x ) = ⎨ 2 ⎪⎩− x , x < 0
⎧ 2 x, x ≥ 0 f 2 ( x ) + f3 ( x ) = ⎨ ⎩0, x < 0
y
y 2
1
x −1 0
1
x
0 −1
Sl. 7
270
1
3. grupa 1998. god. 5 ⎛ 1 1⎞ 1 3 ⎛ 2 4 ⎞ 1 ⎜1 − + ⎟ : 1 − ⋅ ⎜ − ⎟ − ⋅ 4 ; ⎝ 2 3 ⎠ 2 4 ⎝ 5 15 ⎠ 10 9
1. a) Izra~unati
⎡⎛ ( a + b ) 2 ⎞ ⎛ ( a + b )2 ⎞ ⎤ a 3 − b3 ⎢⎜ − 4⎟⋅⎜ − 1⎟ ⎥ : ⋅ ⎟ ⎜ ab ⎟⎥ ab ⎢⎣⎜⎝ ab ⎠ ⎝ ⎠⎦
b) Uprostiti 2. Re{iti jedna~ine:
x − 5 x −1 x − 3 x − 4 x2 − x ; b) 2 = 4. + = + 2 8 4 3 3. Odrediti ona re{ewa jedna~ine sin x + cos x = 1 + sin 2 x koja se ⎡ π π⎤ nalaze u intervalu ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ a)
log 1
2
4. Re{iti nejedna~inu
2
2x x−3
< 1.
5. Na krivoj x + 4 y = 20 odrediti ta~ku najbli`u pravoj x + y = 7 . 2
2
6. Oko kruga polupre~nika 2 cm opisan je jednakokraki trapez povr{ine 20 cm 2 . Odrediti du`ine stranica trapeza. 7. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine. Koliki je polupre~nik osnove tog vaqka? 8. Re{iti jedna~inu x ⋅ 3 x ⋅ 3 x ⋅ 3 x … = 8 .
9. Izra~unati
cos
π 9
cos
2π 5π cos ⋅ 9 9
10. Skicirati grafike funkcija: a) f (x) =
1 log 2 x 2 ; 2
b) f ( x) = e
271
−x
;
v) f (x) = 2− log2 x .
3. grupa 1998. god. (re{ewa) a−b ab
1. a) 0
b)
2. a) x = 13
b) x = −2 ∨ x = 2
3. x = −
π 4
, x = 0, x =
π 2
4. x ∈ (− ∞,−3) ∪ (3,+∞ ) 5. P(4,1) 6. Osnovice su a = 8 cm, b = 2 cm, a krak c = 5 cm . 7. r =
R 6 3
10. (sl. 8)
f ( x ) = log 2 x
a)
log 2
y
( −x) −2
b) f ( x ) = e
e− x
9. −
8. x = 4
y
log 2 x
1 −1
0
1
x
2
v) f ( x ) =
−x
ex
1 x
(x > 0)
y
1 0
0
x Sl. 8
272
x
1 8
4. grupa 1998. god.
1. Izra~unati:
⎛ ⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ a) 5% broja ⎜⎜1 − ⎜ − 0,25 ⎟ : ⎜1 − 1,125 ⎟ ⎟⎟ : (−0,03) ; ⎠ ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝ ⎝2 b)
( −3 )
2
+4
−
1 2
−2
− 16−2 + 2
log 1 4 2
.
2. Re{iti jedna~ine:
1 2( x + 3) 3x 2( x − 7) = − a) 14 − ; 2 5 2 3
b) x 2 − x − 2 = 0
⎛π ⎞ cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ = 1 − 1 koja se nalaze 3. Na}i ona re{ewa jedna~ine x 1 + cos x cos 2 2 u intervalu [0,3π ] . 4. Re{iti nejedna~inu
log x x + 12 > 1 .
5. Na krugu x 2 + y 2 − 2 x − 4 y = 20 na}i ta~ku A najbli`u pravoj 3 x + 4 y + 34 = 0 i izra~unati odstojawe ta~ke A od te prave. 6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ako su mu du`ine osnovica 39 cm i 21cm a kraka 41cm . 7. Odrediti prostornu dijagonalu zarubqene pravilne ~etvorostrane piramide ako su povr{ine wenih osnova B1 = 8, B2 = 2 i zapremina V = 28 . 8. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine
x −2 = a.
9. Ako brojevi a1 ≠ 0, a 2 ≠ 0, … , a n ≠ 0 obrazuju aritmeti~ku progresin −1 1 1 1 ju, tada je + +…+ = . Dokazati! a1a 2 a 2 a3 a n −1 a n a1a n 10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vrednosti: a) lim x →0
sin 5 x ; x +1 −1
b) lim x →0
tgx − sin x ⋅ x3
273
4. grupa 1998. god. (re{ewa) 13 4
1. a) A = 300, 5% A = 15
b)
2. a) x = 7
b) x = −2 ∨ x = 2
3. x = 0, x =
π 2
, x = 2π , x =
5π 2 5. A(− 2,−2 ), d = 4
4. x ∈ (1,4) 6. P = 1200cm 2
y 2
7. D = 3 5
y=a
8. (sl. 9) Jedna~ina ima: 0 re{ewa za a < 0 2 re{ewa za a = 0 ∨ a > 2 4 re{ewa za a ∈ (0,2 ) 3 re{ewa za a = 2
−2
2
0 −2
Sl. 9 9.
1 1 1 a −a a − a2 a − an −1 ⋅ 2 1+ ⋅ 3 + ... + ⋅ n = a2 − a1 a2 ⋅ a1 a3 − a2 a3 ⋅ a2 an − an −1 an ⋅ an −1
=
1⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎞ 1 a − a n −1 ⎜⎜ − + − + ... + − ⎟⎟ = ⋅ n 1 = d ⎝ a1 a2 a2 a3 an −1 an ⎠ d a1an a1an
10. a) 10
b)
1 2
274
x
1. grupa 1999. god. 1. Izra~unati: −1
1 1 − − ⎞ ⎛ 2 9 16 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2⎟ b) ⎜ ⎜ 1 + ⎟ − ⎜ 1 − . ⎟ ⎜ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1⎞ 3 ⎛1 1⎞ a) ⎜1 − ⎟ ⋅ − ⎜ − ⎟ : 0,4 ; ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2 3⎠
2. Re{iti jedna~ine: a)
2x − 3 2 − x x + 1 ; + = 5 3 10
(
)
b) log 4 x 2 + x =
1 ⋅ 2
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu sin x + 3 cos x = 1 .
⎛1⎞ 4. Re{iti nejedna~inu ⎜ ⎟ ⎝2⎠
3 x −2 x −1
>
1 ⋅ 4
5. Na pravoj 2 x − y − 2 = 0 odrediti ta~ku podjednako udaqenu od ta~aka A(1,6) i B (3,4) . 6. Na}i obim jednakokrakog trapeza opisanog oko kruga ako je ve}a
osnovica 12cm i o{tar ugao 60 . 7. Trougao sa temenima A(0,1) , B (0,4) i C (2,−2) rotira oko y-ose. Izra~unati povr{inu i zapreminu tako nastalog tela. 8. Tri broja obrazuju geometrijski niz ~iji je zbir 65. Ako se sredwi ~lan uve}a za 10, niz postaje aritmeti~ki. Odrediti niz. 9. Ispitati da li me|u realnim funkcijama
f1 ( x ) =
1 x −1 1 1 , f2 ( x ) = 2 , f3 ( x ) = e − ln x , f 4 ( x ) = , f5 ( x ) = log2 x x x −x 2 x2
ima jednakih. 10. Odrediti najmawi prirodan broj deqiv brojem 7 koji prilikom deqewa brojevima 2, 3, 4, 5 i 6 daje ostatak 1.
275
1. grupa 1999. god. (re{ewa) 1. a)
1 3
b) −
2. a) x = −1 3. x = −
15 13
b) x = ±1
π + 2kπ , k ∈ Z ∨ x = π + 2lπ , l ∈ Z 6
⎛ ⎝
2
4⎞ 5⎠
4. x ∈ ⎜ 0, ⎟ 5. M (5,8) 6. O = 32cm
(
)
7. P = 2π 2 10 + 13 ,
V = 4π
8. (5,15, 45) ili (45,15, 5) 9. f 3 = f 5 10. n = 301
276
2. grupa 1999. god. 1
1 27 3
1 16 2
1
⎛ 81 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 1. a) Izra~unati + −⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ; ⎝4⎠ ⎝2⎠ 300 200 b) [ta je ve}e: 2 ili 3 ? Obrazlo`iti. 2. Re{iti jedna~ine: x + 1 x 2x − 1 1 a) − = − ; 3 2 6 2
⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 3 cos 2 x − sin 2 x − sin 2 x = 0 .
x( log x )
4. Re{iti nejedna~inu
2
−3 log x +1
x −x 2
= 64 .
( log x = log x )
> 1000 .
10
5. Odrediti jedna~ine tangenti konstruisanih iz ta~ke A(2,0) na
x2 y2 − =1. 8 9 6. Zbir kateta pravouglog trougla je 17, a du`ina wegove hipotenuze je 13. Kolika je povr{ina trougla?
hiperbolu
7. Prava x + y − 1 = 0 gradi sa koordinantnim osama trougao. Na}i povr{inu i zapreminu tela koje nastaje rotacijom trougla oko date prave. 8. Izra~unati
2 +1
+
1
2 −1 2 − 2 9. Skicirati grafike funkcija: a) f ( x) = x + 3 − x ;
+
1 1 + +… . 2 4+2 2 x
b) f ( x) = e ;
v) f ( x ) =
1 ln x 2 . 2
10. Ne koriste}i se Lopitalovim pravilom, izra~unati:
x2 − 4 x + 3 ; x →3 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3
a) lim
b) lim x →0
277
1 + sin x − 1 − sin x ⋅ tgx
2. grupa 1999. god. (re{ewa) 1. a) 3
b) 3 200
2. a) x = 2
b) x = ±3
3. x = arctg (− 3) + lπ , l ∈ Z ∨ x =
π 4
+ kπ , k ∈ Z
4. x > 1000 5. y =
3 3 x − 3, y = − x + 3 2 2
6. P = 30 7. P = π 2 , V =
2 π 6
8. S = 3 2 + 4 9. (sl. 10) a)
b)
y
v) y
e− x
5
y
ex
1
3
–e
1
0
3 4
x
0
x Sl. 10
10. a)
1 2
b) 1
278
–1 0
1
e
x
3. grupa 1999. god. −
1
⎛ 4 3 ⎛ 3 ⎞− 4 ⎞ 2 ⎜⎜ : + ⎜ ⎟ ⎟⎟ ; ⎝9 4 ⎝2⎠ ⎠
1. a) Izra~unati
b) Cigla je te{ka kilogram i pola cigle. Koliko je te{ko pet cigala? 2. Re{iti jedna~ine: a)
5x + 3 7 x − 6 x + 1 5x + 2 + = − ; 2 4 7 14
(
2
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin x + cos x =
1 ⋅ sin x
− x2 + 7x − 7 < 1. 2x − 1
4. Re{iti nejedna~inu
5. Odrediti ta~ku 2 x − 3 y + 30 = 0 .
)
b) log 1 x 2 − x = −1 .
na
elipsi
x2 + 4y2 = 4
najbli`u
pravoj
6. Izra~unati povr{inu trapeza ~ije su paralelne stranice 44cm i 16cm, a neparalelne 17cm i 25cm. 7. Trougao sa temenima A(1,0), B (4,0) i C (−2,2) rotira oko x-ose. Na}i povr{inu i zapreminu tako nastalog tela.
8. Re{iti jedna~inu
x x x x… = 4 .
9. U sferu polupre~nika R upisan je vaqak maksimalne zapremine. Odrediti polupre~nik osnove vaqka u funkciji od R. 10. U xy-ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
(
)
a) x 2 + y 2 − 4 ⋅ ( y − x − 2 ) ≥ 0 ;
279
(
)
b) y − e x ⋅ ( y − 1) ≥ 0 .
3. grupa 1999. god. (re{ewa) 1. a)
9 8
b) 10kg
2. a) x = 0
b) x = ±2
3. Videti re{ewe 3. zadatka 5. grupe 2001. godine.
⎛1 ⎞ , 2 ⎟ ∪ ( 3, +∞ ) ⎝2 ⎠
4. x ∈ ⎜
⎛ 8 3⎞ ⎝ 5 5⎠
5. P⎜ − , ⎟ 6. P = 450 cm 2
(
)
7. P = 2π 2 10 + 13 , V = 4π 8. x = 2 9. r =
R 6 3
10. (sl. 11) a)
b) y
y
ex
2
e 1 0
2 x
0
Sl. 11
280
1
x
4. grupa 1999. god. −2
−2
1. a) Izra~unati 16 ( −2) : 16 −2 ; b) [ta je ve}e: 25% od 200 ili 30% od 180? 2. Re{iti jedna~ine: a)
3x − 2 x + 1 2 − x 2 + = − ; 4 2 3 3
b) 3
x2 − x
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
x−2 4. Re{iti nejedna~inu
x − 3x + 2 2
= 9.
cos x − cos 2 x = sin 3 x .
≥ 2.
5. Na}i jedna~ine tangenti kruga x 2 + y 2 − 6 x − 8 y + 15 = 0 koje su normalne na pravu y = 3 x . 6. Osnovica jednakokrakog trougla je 30cm, a polupre~nik upisanog kruga 7,5cm. Kolika je povr{ina ovog trougla? 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kupe ~ija je povr{ina omota~a jednaka zbiru povr{ina baza, a polupre~nici baza su r = 3 i R = 6. 8. Re{iti jedina~inu
log 2 x + log 22 x + log 23 x + … = 1 .
9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine x 3 − 3 x + a = 0 . 10. Od 5 in`ewera, 4 matemati~ara i 3 tehni~ara treba formirati ekspertski tim od 4 ~lana u kojem }e biti bar po jedan in`ewer i matemati~ar. Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?
281
4. grupa 1999. god. (re{ewa) 1. a) 4
b) 30% od 180
2. a) x = 0
b) x = ±2
3. x =
2kπ , k ∈ Z ∨ x = − π + 2lπ , l ∈ Z ∨ x = π + sπ , s ∈ Z 3 2 4
⎡1 ⎞ ⎣2 ⎠
4. x ∈ ⎢ ,1⎟ 5. x + 3 y = 25, x + 3 y = 5 6. PΔ = 300 cm 2 7. H = 4cm, V = 84π cm3 8. x =
2
9. (sl. 12) Jedna~ina ima: 1) tri re{ewa, ako je a ∈ (− 2,2)
2
2) dva re{ewa, ako je a = 2 ∨ a = −2 −
3
−1
0
1
3
3) jedno re{ewe, ako je a > 2 ∨ a < −2
−2
Sl. 12 10. Na 390 na~ina
282
1. grupa 2002. god.
⎛ ⎞ ⎛4 1⎞ ⎜ 0,8 : ⎜ 5 ⋅1 4 ⎟ ⎛ 1 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ⎞ ⎝ ⎠ : : − − : 0, 4 ⎟ 1. a) Izra~unati ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0, 64 − 1 ⎝ 2 3 ⎝ 2 3⎠ ⎠⎟ ⎜ ⎟ 25 ⎝ ⎠ b) Uporediti brojeve 2 i 3 3 . 2. Re{iti jedna~ine:
2+ x 3 14 5 a) + − = , x − 4 8 − 2 x 3x − 12 6
⎛1⎞ b) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠
(
log3 x 2 + x
)
=
−
1 2
.
1 ⋅ 2
3. Ako su α , β и γ unutra{wi uglovi trougla, tada je
tgα + tgβ + tgγ = tgα ⋅ tgβ ⋅ tgγ , (α , β , γ ≠ 90°) . Dokazati!
3x 2 − 17 x + 18 ≤2 . x 2 − 5x + 4 5. Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A ( 5, −1) u odnosu na pravu
4. Re{iti nejedna~inu
koja prolazi kroz ta~ke M 1 (1, 2 ) i M 2 ( −1, 6 ) .
6. Du`ina mawe katete pravouglog trougla je 30 cm , a nad ve}om katetom kao nad pre~nikom konstruisan je krug ~ija je prese~na ta~ka sa hipotenuzom (a koja nije teme trougla) udaqena od temena pravog ugla 24 cm . Izra~unati obim tog kruga. 7. Oko lopte opisana je prava kupa ~ija je izvodnica jednaka pre~niku osnove. Odrediti odnos povr{ina lopte i kupe. 8. Tri broja ~iji je zbir 19 ~ine gemetrijski niz. Ako se posledwi broj smawi za 1 , dobija se aritmeti~ki niz. Koji su to brojevi? 9. Odrediti sve kompleksne brojeve z = x + iy za koje je
( 5 − 3i )( 2 + i ) = z ( z + 1)
( z je konjugat od z ).
10. U xy -ravni predstaviti skupove ta~aka odre|ene relacijama:
a) x + y ≤ 1 ; b) ( y − sin x )(1 − y ) ≥ 0 ; v) ( y − x 2 )( x 2 + 4 y 2 − 4) ≥ 0 .
283
1. grupa 2002. god. (re{ewa) 1 б) 2 < 3 3 2 2. а) x = 5 б) x ∈ {−1,1}
1. а)
3. tgα + tgβ + tgγ = tgα + tgβ − tg (α + β ) = tgα + tgβ − = tgα tgβ (−
tgα + tgβ ) = tgα tgβ tgγ 1 − tgαtgβ
tgα + tgβ = 1 − tgαtgβ
4. x ∈ (1,2] ∪ (4,5] 5. B(1,−3) 6. O = 40π cm 7. PL : PK = 4 : 9 8. a = 4, b = 6, c = 9 или a = 9, b = 6, c = 4 9. z1 = −4 − i, z2 = 3 − i y
б)
10. (сл.13)
1 0
а)
y
π
x
–1 1
в)
1
–1
y
x
0 –1
1 2
–2
Сл. 13
284
0 –1
x
2. grupa 2002. god. 1 − 2
⎛⎛ ⎞ 2 ⎞ 4 ⎜ ⎜1, 08 − 25 ⎟ : 7 17 ⎟ ⎠ : ⎟ . 1. a) Izra~unati ⎜ ⎝ 5 1 ⎛ ⎞ ⎜ 6 − 3 ⋅1 2 7 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 9 ⎟ 4⎠ 7 ⎝⎝ ⎠ 10 7 b) Uporediti brojeve 32 i 128 . 2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina 2( x + a ) x x 2 − 4a = + 2 x+2 x−2 x −4 ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa. b) Re{iti jedna~inu 3. Dokazati identitet
x + 1 + 2 x + 3 = 1. 1 + cos α + cos 2α + cos 3α = 2 cos α . cos α + 2 cos 2 α − 1
4. Re{iti nejedna~ine: a) x − 4 ≤
2 , 1− x
b) log 1 ( x − 2 ) > −1 . 2
5. Odrediti ta~ku na krugu x + y 2 − 2 x + 4 y − 5 = 0 najbli`u ta~ki 2
A ( 3, 4 ) . Kako glasi jedna~ina tangente kruga u tra`enoj ta~ki?
6. Osnovica jednakokrakog trougla je 48cm , a polupre~nik upisanog kruga 8cm . Izra~unati obim i povr{inu tog trougla. 7. U sferu polupre~nika 6 upisan je vaqak maksimalne zapremine. Izra~unati povr{inu i zapreminu tog vaqka. 8. Odrediti rastu}i geometrijski niz a1 , a 2 , a 3 ,... za koji je
a1 − a 2 + a 3 = 14 i a 2 + a5 = 168 . 9. Re{iti sistem jedna~ina:
3 y − 2 2 x = 17 y 2
2 + 3 = 17 . 10. U xy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama: x
2 a) x ( y − 1)( y − e x ) ≥ 0 , b) ( y − 1)( y − x ) ≥ 0 ,
285
v) x 2 − 2 xy + y 2 < 1 .
2. grupa 2002. god. (re{ewa) 17 b) 3210 > 128 7 7 2. a) a = 3 ; x ∈ R \ {−2, 2} = ( −∞, −2 ) ∪ ( −2, 2 ) ∪ ( 2, +∞ )
1. a)
б) x = −1 . 3.
2 cos 2 α + cos α + cos 3α 2 cos 2 α + 2 cos α cos 2α = = cos α + cos 2α cos α + cos 2α 2 cos α ( cos α + cos 2α ) = = 2 cos α . cos α + cos 2α
4. а) x ∈ (− ∞,1) ∪ [2,3] , б) 2 < x < 4 5.
M (2,1) ,
1 5 y =− x+ . 3 3
6. O = a + 2b = 108 cm , P = ah = 432 cm 2 . 2 V = 8 2π .
7. P = 8π (1 + 2 ) , 8. 2,6,18,54,... 9. x = 3 , y = 4 . 10. (сл. 14) . а)
б)
y
y 1
y 1
1 0
в)
x
–1 x
0 –1
Сл. 14 286
1
0 –1
x
1.a) Izra~unati b) Uprostiti
( −3 )
2
+8
1 a+
:
1
(
1 − 3
− −16−2
1 a+
1 b+ c
1 b
−
−2
) + log
3. grupa 2002. god. 1 2
8.
1 . b( abc + a + c )
2. Re{iti jedna~ine: a)
2 x − 3 x + 2 3x x − 4 , + − = 2 6 4 3
b) 20 − ( x 2 − 3x ) 2 = 8(3x − x 2 ) .
3.Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin x cos 3 x − sin3 x cos x = 4. Re{iti nejedna~inu 5.Odrediti
2 ⋅ 8
x2 − 4 ≥ 2. x 2 − 3x + 2
jedna~ine
tangenti
konstruisanih iz ta~ke M (1, −2 ) .
x2 − 2 y2 = 7
hiperbole
6. Osnovice trapeza su 5cm i 3cm , a uglovi na ve}oj osnovici 30° i 45 . Izra~unati povr{inu trapeza. 7. U poluloptu polupre~nika R = 5 cm upisana je pravilna trostrana prizma ~ija je visina H = 3 cm (jedna baza prizme je u osnovi polulopte). Izra~unati povr{inu i zapreminu te prizme. 8. Re{iti jedna~inu 2 x + 4 x + 8 x + ... = 1 + 2 . 9. Cifre jednog trocifrenog broja obrazuju rastu}i aritmeti~ki niz. Ako se ovaj broj podeli zbirom svojih cifara, dobija se koli~nik 30 i ostatak 6. Ako se broju doda 198 , dobija se broj napisan istim ciframa, ali obrnutim redom. O kom broju je re~? 10. Skicirati grafike slede}ih funkcija: a) f ( x ) =
(
x2 − 2x + 1 ,
)
b) f ( x ) = kx 2 + 2kx + k − 1 ( k ∈ R ) , v) f (x ) = sin 2 x 2 .
287
3. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. а) 1 б) 1
2. а) x = −2 б) x ∈ {− 2,1,2, 5} 3. x =
π 16
+
kπ , 2
x=
3π lπ , (k , l ∈ Z ) + 16 2
4. x ∈ (1,2) ∪ (2,4] 5. (t1 ) : 3 x − 2 y − 7 = 0 ,
(t 2 ) : 5 x + 6 y + 7 = 0
6. P = 4( 3 − 1) cm 2 7. P = 60 3 cm 2 , V = 36 3 cm3 9.
8. x = −
1 2
456
10. (сл. 15) а)
б)
y k>0
y –1 1 0
0
x
–1
k=0
x
1
k<0 y
в)
1 −
π
π
2
2
0 –1
Сл. 15 288
x
4. grupa 2002. god. 1.a) Izra~unati
b) Uprostiti
1 1 ⎞ 7 5 + 25 ⎛ 1 + − ⋅ ⎜ ⎟ : 20 ⎝ 5 − 2 3+ 5 5− 5 ⎠ 3 3 2ab ⎛ ⎞ ⎛ a − b ⎛ 2b ⎞⎞ ⎜ + 1 : ⋅ + 1⎟ ⎟⎟ . ⎜ 2 ⎟ 2 3 3 ⎜ ⎜ ⎝ a − ab + b ⎠ ⎝ a + b ⎝ a − b ⎠⎠
2.Re{iti jedna~ine: a)
5 x + 7 5 x + 3 11x + 17 − = x +1 x − 2 2 + x − x2
,
b)
x 4 − 13 x 2 + 36 = 0. log x 2 − 3
(
)
3. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina
sin 4 x + cos 4 x = a
ima re{ewa? Za najve}u dozvoqenu vrednost parametra a re{iti jedna~inu. log 1
x −1 x+2
4. Re{iti nejedna~inu 2 < 4. 5. Odrediti ta~ku hiperbole 4 x 2 − y 2 = 15 najbli`u pravoj 8x − y − 1 = 0 . 6. Katete pravouglog trougla su 3cm i 4 cm . Odrediti polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla. 7. Izra~unati povr{inu i zapreminu prave zarubqene kupe ako je wena visina H = 8 cm i ako se izvodnica s i polupre~nici osnova R i r odnose kao 5:4:1. 8. Pedeset brojeva ~ini aritmeti~ku progresiju. Zbir ~lanova na neparnim mestima je 50, a na parnim 25. Odrediti prvi i drugi ~lan progresije. 9. Re{iti sistem jedna~ina 2
x + xy + y = 7 , x 2 + xy + y 2 = 21 . 10. Ispitati da li me|u realnim funkcijama: f1 ( x ) =
x3 , x
ln x x2 − x , f 3 ( x ) = e 2 , f 4 ( x ) = 4 x 2 , f 5 ( x ) = x ima x −1 jednakih i skicirati grafik funkcije f 4 .
f 2 ( x) =
1
289
4. grupa 2002. god. (re{ewa) 1. а) 2
б) 1
2. а) x ∈ R \ {−1, 2} = ( −∞, −1) ∪ (1, 2 ) ∪ ( 2, +∞ ) , 3.
б) x ∈ {−3,3}
1 kπ ≤ a ≤ 1 ; re{ewe za a = 1 je x = ,k ∈ Z 2 2
2⎞ ⎛ 4. x ∈ ( −∞, −2 ) ∪ ⎜ −2, ⎟ ∪ ( 2, +∞ ) 5⎠ ⎝
5. M (2,1) 6. R = 2,5cm , r = 1cm 7. P = 168π cm 2 , V = 224 π cm3 8. a1 = 26, a2 = 25 9. 10.
{(1,4), (4,1)} f1 ( x) = f 3 ( x) ;
f4 ( x ) = 4 x2 = y
x
(сл.16)
2 1
–4
–1 0
Сл. 16
290
1
4
x
5. grupa 2002. god. log 2
1. a) Izra~unati b) Uprostiti
270 − 1 70 −4 ⎛1⎞ − ( −2 ) + ( − 0 , 5 ) + ⎜ ⎟ 35 2 +1 ⎝2⎠ 2 x ⎛ 1 ⎞ 3− x − 2 + 2 ⋅ ⎜ ⎟: ⎝ 1 − x x −1 x − 2x + 1 ⎠ x + 1
1 2
.
2. Re{iti jedna~ine: a) 2 x − 1 − x + 2 = x − 3 ,
4+ x +2 = x.
b)
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu 2 sin 2 x − sinxcosx − cos 2 x = 1 .
4. Re{iti nejedna~inu
(
5+2
)
1− x x +1
≤
(
5 −2
)
x 6
.
5. Na elipsi x 2 + 4 y 2 = 20 odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od prave x + y − 7 = 0 . 6. Oko kruga polupre~nika 6 cm opisan je jednakokraki trapez ~ija je du`ina kraka 13cm . Izra~unati du`ine osnovica tog trapeza. 7. Osnova prave prizme je paralelogram ~ije su stranice 9 cm i 10 cm , a jedna dijagonala 17cm . Izra~unati zapreminu prizme ako je wena povr{ina 334 cm 2 . 8. Tri broja ~iji je zbir 15 ~ine aritmeti~ku progresiju. Ako prvom dodamo 4, od drugog oduzmemo 1 i tre}em dodamo 3, dobijamo geometrijsku progresiju. Koji su to brojevi? 9. Odrediti vrednost realnog parametra
a
tako da sistem
x + y + 2x ≤ 1 x− y+a =0 2
2
ima jedinstveno re{ewe. 10. Za okruglim stolom sedi 12 qudi, pri ~emu niko od wih ne govori sa susednim osobama. Na koliko na~ina mo`emo odabrati 5 osoba, a da me|u wima ne bude onih koji me|usobno ne govore?
291
5. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a) 17
б) ( x − 1)
2. x ∈ {0,1}
б) x = 5
3. x = arctg 2 + kπ ∨ x = − 4. x ∈ ( −∞, −1) ∪ [ 2,3]
π 4
−2
+ lπ , ( k , l ∈ Z )
5. M ( −4, −1) 6. a = 18cm, b = 10cm 7. V = 360 cm3 8. −3,5,13 ili 12,5, -2 9. a ∈ {−1,3} 10. Na 36 na~ina
292
6. grupa 2002. god. −3 ⎛⎛1 ⎞ 5⎞ : 0,1 3 : 7 − ⎜⎜ ⎟ : ⎟ 7 ⎝ ⎠ 2⎟ 1.a) Izra~unati ⎜ ⎜ ⎛ 7 2 ⎞ 144 ⎟ ⎜⎜ ⎜ 9 − 5 ⎟ ⋅ 17 ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2 − 3
.
1002 − 1001 i
b) Uporediti brojeve
1001 − 1000 .
2. Re{iti jedna~ine:
x 2( x + 3) x2 a) − =− 2 , x−2 x+2 x −4
=
1 ⋅ 20
1 − 8cos 2α − cos 4α = 2. sin 2 2α + 4sin 2α − 4
3. Dokazati identitet
4. Re{iti nejedna~inu
b) 2
2 log 1 ⎛⎜ x − x ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2
2x − 3 3 − 2x < . x x ( x + 1)
5. Ta~ka P ( 5, −2 ) je sredi{te tetive parabole y 2 = 8 x . Odrediti jedna~inu prave kojoj pripada ta tetiva. 6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trapeza ~ije su osnovice 10 cm i 6 cm , a ugao na ve}oj osnovici 75 0 . 7. Jednakostrani~ni trougao stranice a rotira oko prave koja sadr`i jedno wegovo teme i paralelna je naspramnoj stranici trougla. Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog obrtnog tela. 8. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina
2 x − 4 x + 8 x − 16 x + ... = a ima re{ewa? 9. Izra~unati cos
π 9
⋅ cos
2π 5π ⋅ cos ⋅ 9 9
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vrednosti: a) lim
x →+∞
(
)
x 2 − 3x + 2 , x →1 x 3 − x 2 − 3 x + 3
x 2 + x − x , b) lim
293
cos3 x − cos5 x ⋅ x →0 x2
v) lim
6. grupa 2002. god. (re{ewa) b) 1002 − 1001 < 1001 − 1000
1. a) 4 2. a) x ∈ ∅
3.
b) x ∈ {−5, 5}
(nema re{ewa)
1 − 8cos 2α − cos 4α 1 − cos 4α − 8cos 2α = = sin 2 2α + 4 sin 2α − 4 4sin 2α cos 2α + 4 sin 2α − 4 2 sin 2 2α − 8cos 2α 8sin 2α cos 2α − 8cos 2α = = =2 4sin 2α cos 2α − 4cos 2α 4sin 2α cos 2α + 4 sin 2α − 1
(
⎛ ⎝
)
3⎞ 2⎠
4. x ∈ (− 2,−1) ∪ ⎜ 0, ⎟ 5. y = −2 x + 8
(
)
6. P = 16 2 + 3 cm 2 7. P = 2a 2 3 π ,
⎛ ⎝
V =
a 3π 2
1⎞ 2⎠
8. a ∈ ⎜ 0, ⎟
4π 10π 2π π − sin sin sin 9 ⋅ 9 = 1⋅ 9 = −1 9 ⋅ 9. A = 2π 5π 8 π π 8 2sin 2sin 2sin sin 9 9 9 9 sin
10. a)
1 2
b)
1 2
v) 8
294
7. grupa 2002. god. ⎛ ⎞ ⎛ 5 1 ⎞ 14 ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 7 6 ⎠ 23 ⎜ ⎟ 1 − −2 ⎜⎛1 ⎛3⎞ ⎞ 1 ⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ : 0, 2 + ⎜ ⎟ ⎟⎟ : ⎟⎟ ⎝2⎠ ⎠ 9 ⎠ ⎝⎝9
1. a) Izra~unati
−
1 3
.
b) [ta je ve}e : 5% od 300 ili 4% od 400? 2. a) Odrediti parametar a ∈ R tako da jedna~ina
x x2 2( x + a ) − = 2 x+2 x−2 x −4 nema re{ewa.
( x + 2 )2 −3 x + 2
= 0,25 . b) Re{iti jedna~inu 2 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu sin x − cos6 x − sin5x = 1 . 4. Odrediti realni parametar k tako da je (∀x ∈ R ) kx 2 + ( k − 1) x − 1 + k > 0 . 5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse x 2 + 4 y 2 = 16 normalnih na pravu 3x − 2 y + 18 = 0 . 6. Du`ine stranica trougla su 27cm , 29cm i 52cm . Izra~unati polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla. 7. Na kom odstojawu od centra lopte polupre~nika R treba da bude ta~kasti svetlosni izvor koji osvetqava jednu ~etvrtinu povr{ine lopte? 8. Odrediti opadaju}i aritmeti~ki niz a1 , a 2 , a 3 ,... za koji je
a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 = −5 i a 4 ⋅ a5 = 28 . 9. U xy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama: a) y = sinx ,
b) 2 x − ln y 2 = 0 ,
v) x 2 − 2kx + y 2 = 0 ( k ∈ R ) .
10. Razmatramo petocifrene brojeve (u dekadnom zapisu). a) Koliko je me|u wima parnih u ~ijem zapisu nema ponavqawa cifara? b) Koliko je onih ~ije nikoje dve susedne cifre nisu jednake? v) Koliko ih je deqivo sa 25?
295
7. grupa 2002. god. (re{ewa) 4 5 ⋅ 300 = 15 < ⋅ 400 = 16 100 100
1. а) 3
б)
⎧3 ⎫ 2. а) a ∈ ⎨ ,3⎬ ⎩2 ⎭ π kπ 3. x = + , 6 3
б) x ∈ {− 4,−3,−1, 0} x=
π
+ 2lπ ,
2
x=
3π 2mπ ; k , l, m ∈ Z + 10 5
4. k ∈ (1,+∞ )
5. 2 x + 3 y − 10 = 0 , 2 x + 3 y + 10 = 0
6. r = 5cm , R = 37,7cm
7. d = 2 R
8. 5,2,−1,−4,−7 9. (сл.17) a)
y
1
−2π
−π
π
0
2π
x
–1
б)
y
в)
k<0
y
k>0
1 0
x
0
–1
Сл. 17 10. а) 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 13776 б) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 59049 в) 4 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 10 = 3600 296
k=0
x
8. grupa 2002. god.
1.a) Izra~unati
⎛ ⎛ 3 1 ⎞ 7 ⎛ 1 1 5 ⎞ 18 ⎞ ⎜⎜ − ⎟ : + ⎜ + : ⎟⋅3 ⎟ ⎝ ⎝ 5 4 ⎠ 10 ⎝ 2 3 7 ⎠ 29 ⎠
−
1 2
.
−1
b) Uprostiti
1 ⎛ ⎞ ⎜ x2 +1 : 1 ⎟ : 1 ⋅ 1 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ x + x 2 + 1 x 2 −1 ⎟ x −1 ⎝ ⎠
2. Re{iti jedna~ine:
b) 8 (2 x − 1) + 7(2 x − 1) − 1 = 0 .
a) x − 1 − 3 − x = 3x − 13 ,
6
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
3
4 − 5sinx − 2cos 2 x = 0 . 1 x 2 − 5x + 6 ≤ < 1. 9 x 2 − 5x + 4
4. Re{iti dvostruku nejedna~inu
5. Odrediti ta~ku krive x 2 + y 2 = 5 najvi{e udaqenu od prave x + 2 y − 10 = 0 . 6. Centar upisanog kruga jedanakokrakog trougla deli visinu koja odgovara osnovici tog trougla na odse~ke du`ine 5cm i 3cm , ra~unaju}i od temena. Izra~unati obim i povr{inu tog trougla. 7. Pravilna trostrana prizma upisana je u vaqak. Polupre~nik osnove vaqka je R = 6cm , a dijagonala osnog preseka vaqka je D = 13cm . Izra~unati povr{inu i zapreminu prizme. 8. Re{iti jedna~inu
2 x − 4 x + 8 x − 16 x + ... = 2 − 1 .
9. Re{iti sistem jedna~ina
1 − 2 log 9 x = log3 9 y 2 x −1 ⋅ 8 − y = 2 .
10. Na polici je pore|ano 12 kwiga. Na koliko na~ina mo`emo odabrati 5 kwiga, tako da me|u wima ne budu nikoje dve koje su bile jedna do druge?
297
8. grupa 2002. god. (re{ewa)
1. a)
1 2
b) x + 1
⎧3 ⎫ ⎩4 ⎭
b) x ∈ ⎨ ,0⎬
2. a) x = 5 3. x =
4. x =
π 6
+ 2kπ , x =
5π + 2lπ ; 6
(k , l ∈ Z )
5 2
5. M (− 1,−2 ) 6. O = 32cm,
P = 48cm 2
7. P = 144 3 cm 2 , V = 135 3 cm3 8. x = −
1 2
9. x = 2, y =
1 6
10. Na 56 na~ina
298
9. grupa 2002. god. 1. Koji su od slede}ih iskaza ta~ni:
( i ) cos13 > cos12 , ( ii ) ( iv ) log ( −3)
4
( −2)( −3) = − 2 ⋅ − 3 , ( iii ) log 1 6 > log 1 5 ,
= 2 log 9 , ( v ) arcsin
π 3
2
2
je realan broj?
Odgovore ukratko obrazlo`iti. b) Izra~unati
⎛ 8+2 7 − ⎜ ⎝
2
2 7 − 8 ⎞⎟ . ⎠
2. Re{iti jedana~ine: a)
7 x − 6 3x + 6 6 − 7x , + = 5x + 3 2 6
(
b) 56 − x 2 − 5 x
)
2
= 10(5 x − x 2 ) .
3. Re{iti trigonometrijsku jedan~inu
sin 2 x (1 + tgx ) = 3 sin x ( cos x − sin x ) + 3 . 4. Odrediti realni parametar k tako da kvadratna funkcija f ( x ) = (k + 2 )x 2 + 2 x + k + 2 bude negativna za sve vrednosti x ∈ R . 5. Na pravoj x + 2 y + 6 = 0 odrediti ta~ku podjednako udaqenu od ta~aka A ( 3, −1) i B ( 5, −3) . 6. Povr{ina jednakokrakog tangentnog trapeza je 156 cm 2 , a visina 12cm . Odrediti du`ine stranica tog trapeza. 7. Izra~unati zapreminu prave zarubqene kru`ne kupe ako su povr{ine wenih osnova
64 π cm 2 i 9 π cm 2 i povr{ina omota~a
143 π cm 2 . 8. Odrediti aritmeti~ki niz ~iji je zbir prvih ~lanova uvek jednak trostrukom kvadratu broja tih ~lanova. 9. U zavisnosti od realnog parametra a odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine x 5 − 5x = a . 10. Koliko ima ~etvorocifrenih brojeva kod kojih se samo jedna cifra pojavquje 2 puta?
299
9. grupa 2002. god. (re{ewa) 1. а) ( i ) ⊥ , ( ii ) ⊥ , ( iii ) ⊥ , ( iv ) , ( v ) ⊥ ;
б) 4
2. а) x ∈ R = ( −∞, +∞ )
б) x ∈ {− 2,1,4,7}
3. x =
π 4
+ kπ , x = ±
π 3
+ lπ ;
(k , l ∈ Z )
4. k ∈ (− ∞,−3) 5. M (2,−4 ) 6. a = 18cm, b = 8cm, c = 13cm 7. 388π cm3 8. 3, 9, 15, 21,... 9. Једначина има: 1) једно решење за a > 4 ∨ a < −4 ; 2) два решења за a ∈ {− 4,4} ; 3) три решења за a ∈ (− 4,4 )
10. 3888
300
10. grupa 2002. god. −1
−1 ⎛⎛ ⎞ 4a 1 ⎞ a ⎞ ⎛ a ⎟ . − 1.a) Uprostiti ⎜ ⎜ 6a + ⎜ : : ⎟ ⎟ ⎜⎝ a − 2 a + 2 ⎠ a 4 − 2a 3 + 8a − 16 ⎠ a + 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠
b) Bazen se napuni vodom iz 4 cevi za 21 sat. Za koliko sati se napuni tre}ina bazena vodom iz 7 cevi? 2. Re{iti jedna~ine: a)
1 2 3x − 7 , + = 2 x − 3 x − 1 x − 4x + 3
b)
x 4 − 10 x 2 + 9 =0. x−2
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
2sin 2 x − 3sinxcosx + cos 2 x = 1 . 4. Re{iti nejedna~inu
(
)
log 1 9 − 2 x > x − 3 . 2
5. Na
elipsi
2 x 2 + y 2 = 22
odrediti
ta~ku
najbli`u
pravoj
3x + y + 15 = 0 . 6. U kvadratu stranice a sme{tena su 4 podudarna kruga. Svaki od wih dodiruje dve susedne stranice kvadrata i dva od tri preostala kruga. Izra~unati povr{inu krivolinijskog ~etvorougla odre|enog lukovima sva ~etiri kruga. 7. Izra~unati zapreminu kose kru`ne kupe ~ija je najdu`a izvodnica
s1 = 6 3 cm , najkra}a s2 = 6 cm , a ugao koje one zaklapaju je 30° . 8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz a1 , a 2 , a 3 ,... za koji je
a 2 + a5 = 14 i a3 ⋅ a 4 = 45 . 9. Za koje vrednosti realnog parametra a jedna~ina
x2 − x = a
ima maksimalan broj re{ewa? 10. Od 5 u~enika, 6 studenata i 3 profesora treba izabrati peto~lanu delegaciju u kojoj }e biti bar po jedan student i profesor. Na koliko na~ina je to mogu}e u~initi?
301
10. grupa 2002. god. (re{ewa) 1. а) a + 2
б) Za ~etiri сата
2. а) x ∈ R \ {1,3} = ( −∞,1) ∪ (1,3) ∪ ( 3, ∞ ) ; 3. x = kπ , x =
π 3
(k , l ∈ Z )
+ lπ ;
(
4. x ∈ ( −∞ , 0 ) ∪ 3,log 2 9
)
5. M (− 3,−2) 6. (sl. 18)
P=
б) x = 3
a
4
a
a2 (4 − π ) 16
a
Sl. 18
7. V = 9 3π cm
3
8. − 3,1,5,9,13,... ⎛ 1⎞ 9.(sl. 1 9) Шест решења за a ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 4⎠ y
1 4
–1
0
Sl. 19
10. Na 1485 na~ina 302
y=a
1
x
1. grupa 2003. god. ⎛ ⎞ 7+ 2 1 1 57 1 1. a) Izra~unati ⎜ . − − ⋅ ⎟: 40 7 + 2 20 5 3 − 3 2 ⎠ ⎝ 7− 3 −1
b) Uporediti brojeve
3
⎛1 ⎞ 124 i log 1 3 + ⎜ :3 ⎟ . ⎝2 ⎠ 3
2.
Re{iti jedna~ine : 6 3 3x − 5 5 x − 8 x − 1 3 − 2 x − + = ; b) ( x + 1) + 7 ( x + 1) − 8 = 0 . a) 4 3 6 4 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
cos x + sin x − ctgx =
1 ⋅ sin x
4. Za koje su vrednosti realnog parametra m re{ewa jedna~ine
mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3 = 0
istog znaka ? 5. Na pravoj x + y − 4 = 0 odrediti ta~ku podjednako udaqenu od
ta~aka A (1,3) i B ( 3,7 ) . 6. Du`ina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12 cm , a ugao izme|u dijagonale i osnovice tog trapeza je 30 . Izra~unati povr{inu trapeza . 7. Sfera sa centrom u vrhu kupe i polupre~nika jednakog visini kupe deli omota~ kupe na dva dela jednakih povr{ina. Odrediti ugao izme|u izvodnice i visine kupe. 8. Odrediti rastu}i aritmeti~ki niz a1 , a2 , a3 ,… za koji je
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5 i a2 ⋅ a4 = −8. 9. Uspravni stub, koji se nalazi na horizontalnom terenu, posmatra se iz ta~ke na povr{ini zemqe. Sa rastojawa od 8m vidi se pod dva puta ve}im uglom nego sa rastojawa od 25m . Kolika je visina stuba? 10. U xOy - ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama: a) 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 ( x + y ) ;
b) ( x + y )( y − log 2 x ) ≥ 0.
303
1. grupa 2003. god. (re{ewa) −1
1. a) 2 2. a) x = 2
π
⎛1 ⎞ 124 < log 1 3 + ⎜ : 3 ⎟ = 5 = 3 125 ⎝2 ⎠ 3 b) x ∈ {− 3,0}
b)
3
+ kπ , k ∈ Z 2 4. m ∈ (− ∞,0] ∪ (3,4]
3. x =
5. M (− 4,8)
6. P = 36 3cm 2
7. α = 45
8.
(− 5,−2,1,4,7,...)
9. (сл. 20) x = tgα 25 2tgα x = tg 2α = 8 1 − tg 2α
x
⇒ x = 15m
2α
α
8 25
Сл. 20 10. (сл. 21) a)
b)
2
y 1
–2
2 0
–2
Сл. 21 304
1
2
x
2. grupa 2003. god.
1. a) Izra~unati
( −2)
6
+ log 1
1 16 − 125 3
−1
+ 3:4−2 .
2 −1
b) Uprostiti
2 b ⎛ b+3 ⎞ − 2 ⋅⎜ 2 ⎟ . 2 ab − 2a b + b − 2ab − 2a ⎝ b + 4b + 3 ⎠
2. a) Odrediti parametar a ∈ R tako da jedna~ina x+a x 1 − = 2 x − 1 x − 2 x − 3x + 2 nema re{ewa. b) Re{iti jedna~inu 5− x −7 = x . 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
cos 2 x − cos 4 x + cos 6 x = 0.
4. Re{iti nejedna~inu log
x −1
⎛ 2 ⎞ 2 x+2 > 1. ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 5. Odrediti jedna~ine tangenti krive x 2 − 2 y 2 = 8 paralelnih pravoj x − y − 4 = 0 . Skicirati odgovaraju}u sliku. 6. Izra~unati povr{inu trougla ako du`ine wegovih stranica obrazuju aritmeti~ku progresiju sa razlikom d = 2 i ako je jedan unutra{wi ugao trougla 120 . 7. Pravougli trapez sa osnovicama 10cm i 2cm i povr{ine 90cm2 rotira oko ve}e osnovice Izra~unati povr{inu i zapreminu nastalog tela. 8. Odrediti opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje je zbir prvog i ~etvrtog ~lana 35 , a drugog i tre}eg 30. 9. Data je funkcija ⎧ −4 x 2 + x , x≤ 0 ⎪⎪ f ( x ) = ⎨ 8 x 2 − 3x , 0 < x ≤ 3 ⎪ 93 − x, x > 3. ⎪⎩ Skicirati grafik funkcije f i koriste}i se wim, odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine f ( x ) = a ( a ∈ R ) .
( (
)
305
)
10. Ne koriste}i se izvodima, izra~unati slede}e grani~ne vrednosti: 3 v) lim 1 + x − 1 − x ⋅
x − 1 ; b) lim cos x − cos 7 x ; x →1 x 2 + 3 x − 4 x →0 x2
a) lim
x
x →0
2. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. a) 5, b) 1 a под условом да је a ≠ 0, b ≠ −1, b ≠ −3 и b ≠ 2a 2. a) a = 1 ∨ a = −2 , b) x = −4
kπ π ∨ x = ± + lπ 8 4 6 4. x ∈ (1, +∞ )
3. x =
5.
π
+
(k , l ∈ Z )
t1 : x − y − 2 = 0 t2 : x − y + 2 = 0
6. (sl. 22)
( a + 2)
2
= a 2 + ( a − 2 ) − 2a ( a − 2 ) cos120
a+2
2
a=5 P = 1 a ( a − 2 ) sin120 = 15 3 2 4
a–2
120
a
Sl. 22
R 2π ⋅ 8 = 1050π cm3 3 = 540π cm 2
7. VT = VV + VK = R 2π ⋅ 2 +
P = PBV + PM V + PM K 8. 27, 18, 12, 8, ...
y
9. Jedna~ina ima(sl.23): 4 re{ewa za −2 < a < 0 3 re{ewa za a = 0 ∨ a = −2 2 re{ewa za a < −2 ∨ 0 < a < 1 1 re{ewe za a = 1 0 re{ewa za a > 1
1 , 10. a) 10
b) 24,
5 v) 6
306
–1
1
3
x
0 y=a –2
Sl. 23
3. grupa 2003. god. 350 − 4
1. a) Izra~unati
325 + 2
−
( −3)
50
+ ( 0 ,125 )
−
1 log 1 ⎛1⎞ 33 . 3 +⎜ ⎟
⎝3⎠
⎛ 1 − 3 + ⎞ : x 2 − 10 x ⋅ x ⎜2− x ⎟ x+2 ⎝ x2 − 4 x2 − 4 x + 4 ⎠ 2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina x + a − 2 x = 8 + x2 x − 1 x + 2 2 − x − x2 b) Uprostiti
ima beskona~no mnogo re{ewa i navesti ta re{ewa. b) Re{iti jedna~inu x + 4 x = 12. 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin 2 x + sin 4 x = 2 cos x ( 2 sin 2 3 x − 1) .
4. Re{iti nejedna~inu
x 2 − 4 x − 3 ≤ 1. x2 + x + 1 5. Odrediti jedna~ine tangenti elipse x 2 + 2 y 2 = 9 konstruisanih
iz ta~ke M ( 9 , 0 ) . 6. Tetiva kruga je za 2 mawa od pre~nika, a odstojawe centra kruga od tetive je za 2 mawe od polupre~nika kruga. Odrediti du`inu tetive, obim i povr{inu kruga. 7. U pravilnu trostranu prizmu upisana je lopta koja dodiruje sve bo~ne strane i osnove prizme. Na}i odnos povr{ina lopte prizme. 8. Re{iti jedna~inu
3x − 9 x + 27 x − = 1 2
(
)
3 −1 .
9. Ispitati da li me|u funkcijama: f1 ( x ) = x + 1, f 2 ( x ) = 1 + x 2 ,
x2 − 2x − 3 , f4 ( x ) = 2log2 ( x +1) , f5 ( x ) = x2 + 2 x + 1 ima jednakih, x −3 a zatim skicirati grafik funkcije f ( x ) = f 2 ( x ) ⋅ f 5 ( x ) . 10. Koliko se ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 3 mo`e formirati od cifara 0,1,2,3,4 i 5, ako nijedan broj nema jednakih cifara? f3 ( x ) =
307
3. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. a) 3
b) −
1
x (x − 2)
2
2. a) za a = −4 skup re{ewa je R \ {− 2,1}
b) x = 81
π 2lπ π 2mπ 7π 2nπ ⎧π ⎫ ,− + , , k , l , m, n ∈ Z ⎬ + kπ , + + 6 3 18 3 18 3 ⎩2 ⎭ 1 1 ⎡ 4 1⎤ 4. x ∈ ⎢− ,− ⎥ ∪ [2, ∞ ) 5. t1 : y = ( x − 9 ) , t 2 : y = − ( x − 9 ) 4 4 ⎣ 5 2⎦
3. x ∈ ⎨
6. t = 8, O = 10π , 8. −
P = 25π
7. PL : PPR = 2π : 9 3
1 2
y
9. (sl. 24)
f1 ( x ) = x + 1 , x ∈ R f 2 (x ) = 1 + x , x ∈ R
1
f 3 ( x ) = x + 1 , x ∈ R \ {3} f 4 ( x ) = x + 1 , x > −1 f 5 (x ) = x + 1 , x ∈ R
–1 0
1
x
Me|u datim funkcijama nema jednakih. Sl. 24
⎧ x 2 − 1, x ≤ −1 ⎪⎪ 2 f ( x ) = (1 + x ) ⋅ x + 1 = ⎨ 1 − x , − 1 < x ≤ 0 ⎪ 2 ⎪⎩( x + 1) , x > 0 (vidi sliku 24) 10. Zbir cifara mora biti deqiv sa 3. ^etvorocifrenih brojeva formiranih od cifara skupa {1,2,4,5} bez ponavqawa cifara ima 4!=24. ^etvorocifrenih brojeva formiranih od cifara skupova {0,1,2,3} , {0,1,3,5}, {0,2,3,4} и {0,3,4,5} bez ponavqawa cifara ima 4 ⋅ (3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1) = 72 . Dakle, tra`enih brojeva ima 24 + 18 ⋅ 4 = 96 .
308
4. grupa 2003. god. 1. a) Ispitati ta~nost slede}ih iskaza: ( i ) Ako je svaki pravougaonik kvadrat, onda je 3<2;
( ii ) {2} ⊂ {1,{2}} , ( iii ) tg
π 5
−3 −3 = , ( v ) log 2 3 < log 4 8 . −2 −2
<1, ( iv )
Odgovore ukratko obrazlo`iti. b) Izra~unati
(
6+2 5 −
2 5−6
). 2
2. Re{iti jedna~ine: a)
x − 2 x − 1 = 2 + 2 x − x2 , x − 2 x +1 x2 − x − 2
4 2 b) x − 10 x + 9 = 0.
log ( 2 − x )
3. Re{iti jedna~inu
9cos 2 x + 9cos
2
x
= 4.
4. Re{iti nejedna~inu
x 2 − 2 x − 3 < 3x − 3 . 5. Na}i jedna~inu kruga ~iji je centar u ta~ki A ( 5, 4 ) i koji spoqa dodiruje krug x 2 + y 2 − 4 x − 5 = 0 . 6.
Jedan ugao trougla je 120 , a stranica naspram tog ugla ima du`inu 2 7cm. Odrediti du`ine preostale dve stranice ako je
povr{ina trougla 2 3 cm 2 . 7. Ta~kasti svetlosni izvor udaqen je 8m od centra lopte polupre~nika 4m . Na}i odnos povr{ina osvetqenog i neosvetqenog dela lopte. 8. Tri broja ~iji je zbir 38 ~ine opadaju}u geometrijsku progresiju. Ako se od prvog broja oduzme 2, dobija se aritmeti~ka progresija. Koji su to brojevi? 9. Re{iti sistem jedna~ina
log x y − 4 log y x = 3 xy = 32 .
10. Ukrotiteq zveri treba da izvede na cirkusnu arenu u koloni 5 lavova i 4 tigra, a da pritom nikoja dva tigra ne budu jedan za drugim. Na koliko na~ina on to mo`e u~initi?
309
4. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. а) (i )
(ii ) ⊥ (iii )
2. а) x = 1
б) x ∈ {− 3,−1}
3. x =
π 4
+
kπ 2
(iv ) ⊥
(v ) ⊥;
б) 4
(k ∈ Z )
4. x ∈ (2,5) 5. ( x − 5) + ( y − 4) = 4 2
2
6. a = 4cm, b = 2cm 7. (сл. 25) x R = , x = 2, h = R− x = 2 R d Posv = 2π Rh = 16π
R
x
O
A
h d
Pneosv = 4 R π − Posv = 48π 2
Posv : Pneosv = 1 : 3 Сл. 25 8. 18,12,8
9.
{ (2,16) }
⎛6⎞ 10. Ukupan broj na~ina je 5!⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 4! = 120 ⋅15 ⋅ 24 = 43200 ⎝ 4⎠
310
5. grupa 2003. god. −
3
−2 ⎛⎛ 3 3 ⎞ 5 ⎞ ⎜ ⎜ 2 − 1 : 0,7 ⎟ ⋅ ⎟ 160 ⎟ ⎠ ⎜⎝ 7 1. a) Izra~unati . −1 ⎜ ⎟ 2 ⎛4 7⎞ ⎜ ⎟ 1 :⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ 25 ⎝ 3 9 ⎠ ⎝ ⎠ b)Tri radnika su zaradila 3780 dinara. Prvi radnik je radio 5 sati, drugi radnik 6 sati, a tre}i radnik 7 sati. Kako treba da podele zaradu? 2. Re{iti jedna~ine
a) 2 − 1 = 2 x + 6 ; x − 4 x + 1 x − 3x − 4
1 b) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠ 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
(
log 2 x 2 − 2 х
)
1 = ⋅ 3
cos x + cos 5 x + cos 9 x = 0. 4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da re{ewa jedna~ine
mx 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0
budu pozitivna. 5. Na elipsi 2 x 2 + 3 y 2 = 14 odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od prave x + 3 y − 8 = 0. 6. U trapez sa kracima 15cm i 13cm i ve}om osnovicom 21cm upisan je krug. Izra~unati povr{inu trapeza. 7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kru`nog vaqka upisanog u pravu trostranu prizmu ~ije su osnovne ivice a = 9 cm, b = 10cm i c = 17 cm, a visina H = 10 cm. 8. Odrediti beskona~nu opadaju}u geometrijsku progresiju kod koje je drugi ~lan 4, a suma svih wenih ~lanova je 3 sume kvadrata
16
tih ~lanova. 9. Re{iti sistem jedna~ina
x − xy + y = 6 x 2 + xy + y 2 = 84. 10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama a)
( 9 x 2 + y 2 − 9 )( x2 + y 2 − 4 ) ≤ 0; 311
(
b) x y − e x
) ( x + y − 1) ≥ 0.
5. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. а) 8
б) 1050, 1260, 1470
2. а) x ∈ R \ {− 1,4}
б) x ∈ {− 3, 3}
3. x =
π 10
+
kπ 5
∨
x=
lπ π ± 2 6
(k , l ∈ Z )
4. m ∈ (1, ∞ )
5. M (− 1, − 2 )
6. P = 168 cm 2
7. P = 48π cm 2 , V = 40π cm 3
1 1 ⎞ ⎛ 8. ⎜ 8, 4, 2,1, , , ⎟ 2 4 ⎠ ⎝
10.(сл. 26) а)
y
(x, y ) ∈ {(2,8), (8,2)}
9.
б) 3 y
2
–2
–1 0 1
e 2 x
1
–2
0
–3 Сл. 26
312
1
x
6. grupa 2003. god. ⎛ ⎛1 1⎞ 3 ⎞ ⎜ ⎜ 4 + 5 ⎟: 8 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎛ 2 5 − 1:1,4 ⎞ ⋅ 5 2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 7 ⎟ ⎠ 5⎠ ⎝⎝
1. a) Izra~unati
−
3 2
.
b) Koliki su unutra{wi uglovi trougla ako se odnose kao 7:14 :15 ? 2. Re{iti jedna~ine a)
3 − x = 5 + 8 x − x 2 ; b) x − 5 x + 2 x 2 − 3 x − 10
x − 1 + 3x − 2 = 1 .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
sin 2 x + sin 2 x + 5 cos 2 x = 2 . 4. Re{iti nejedna~inu log 2
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
x−2 x +1
< 3.
5. Ta~ka A ( 2 ,1) je sredi{te tetive parabole y 2 = 4 x . Odrediti jedna~inu prave kojoj pripada ta tetiva. 6. Du`ine stranica trougla su 13 cm, 14 cm i 15 cm. Odrediti polupre~nike upisanog i opisanog kruga tog trougla. 7. Izra~unati zapreminu zarubqene kupe ako je wena povr{ina
216π cm 2 , razlika polupre~nika osnova 5 cm , a izvodnica 13 cm.
8. Ako tri broja istovremeno obrazuju aritmeti~ku i geometrijsku progresiju, onda su oni jednaki. Dokazati! 9. Dokazati jednakost
tg 5 ⋅ tg 55 ⋅ tg 65 = 2 − 3. 10. U xOy -ravni predstaviti skupove odre|ene relacijama
(
)
a) xy x 2 + y − 1 ≤ 0 ; b) v)
( x 2 + y 2 − 2 y ) ( x + y − 1) ≤ 0 ;
( 2 sin x + 3)( y + ln x )( y − x ) ≥ 0 .
313
6. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. а) 27 2. а) Nema re{ewa
π
б) α = 35 , β = 70 , γ = 75 б) x = 1
+ lπ (k , l ∈ Z ) 4 5⎞ ⎛7 ⎛ ⎞ 4. x ∈ ( −∞, −1) ∪ ⎜ −1, ⎟ ∪ ⎜ , +∞ ⎟ 4⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ 5. y = 2 x − 3 6. R = 8,125 cm
3. x = arctg 3 + kπ ∨ x = −
H
7. (sl. 27) V = 388π cm R–r a+c 2 8. b = ∧ b = ac ⇒ a = b = c 2 Sl. 27 sin5 sin55 sin65 9. tg 5 ⋅ tg 55 ⋅ tg 65 = = cos5 cos55 cos 65 1⎞ ⎛ 1 sin5 ( cos10 − cos120 ) sin5 ⎜ cos10 + ⎟ 2⎠ ⎝ 2 = = = 1⎞ 1 ⎛ cos5 ( cos10 + cos120 ) cos5 ⎜ cos10 − ⎟ 2 2⎠ ⎝ 1 1 1 sin5 cos10 + sin5 sin15 − sin5 ) + sin5 ( 2 2 = 2 = tg15 = 2 − 3 1 1 1 cos5 cos10 − cos5 cos15 + cos5 ) − cos5 ( 2 2 2 10.(сл. 28) a) б) в) 3
y
y 1
1 1
–1 0
y
x
–1
0
1
x
0 –1
Sl. 28
314
1
e
x
7. grupa 2003. god. −
1 3
⎛ ⎛2 1 7⎞ 1 ⎞ ⎜ ⎜ + : ⎟⋅4 ⎟ ⎜ ⎝7 2 8⎠ 2 ⎟ 1. a) Izra~unati . ⎜ ⎟ −5 1 7 ⎛ ⎞ ⎜ 3 − 1:0 , 4 : ⎟ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎠ 8⎠ ⎝⎝ b) Koliki su spoqa{wi uglovi trougla ako se oni odnose kao 7:11:12 ? 2. a) Odrediti parametar a tako da jedna~ina
2 x − x + a = x 2 + 21 x + 3 x − 2 x2 + x − 6 ima beskona~no mnogo re{ewa i na}i ta re{ewa. b) Re{iti jedna~inu 2 − x + x + 3 = 3. 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
5 ( sin 6 x − sin 4 x ) = 4 sin x ( cos 2 5 x + 1) .
4. Re{iti nejedna~inu
log 1 ( x 2 − 4 ) ≥ log 1 3 x . 2
2
5. Na krivoj y = 8 x odrediti ta~ku najbli`u pravoj x − y + 4 = 0 . Skicirati odgovaraju}u sliku. 6. Du`ina sredwe linije trapeza je 10 cm . Ona deli trapez na delove ~ije se povr{ine odnose kao 5 : 3. Odrediti du`ine osnovica trapeza . 7. Izra~unati povr{inu i zapreminu pravilne ~etvorostrane piramide ~ija je visina 8 cm, a povr{ina dijagonalnog preseka 2
48 2 cm 2 . 8. Nenulti brojevi a1 ,a2 ,a3 ,… obrazuju aritmeti~ku
1 + 1 + + 1 = n ⋅ a1a2 a2 a3 an an+1 a1an+1 9. Odrediti sve kompleksne brojeve z = x + y i za koje je ( 2 − 3 i )( 3 + 11i ) = 13z ( z − 1) , ( z je konjugat od z ). progresiju. Dokazati da je
Za x > 0 izra~unati i
( 2 − z )2003 .
10. U xOy -ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama:
315
a) y = cos 2 x ;
(
)
b) xe y = 1 ; v) y = k x 2 + 1 − 2 ( kx − 1) ,
(k ∈ R).
7. grupa 2003. god. (re{ewa) 2 3 а) a = −7, x ∈ R \ {− 3,2} π 2lπ x = kπ ∨ x = ± + (k,l ∈ Z ) 15 5 P (2,4 ) 6. a = 15 cm, b = 5 cm 1 1 1 a2 − a1 1 + + = + a1a2 an an +1 d a1a2 d
1. а)
б) α 1 = 84 , β1 = 132 , γ 1 = 144
2.
б) x = 1 ∨ x = −2
3. 5. 8.
=
4. x ∈ [− 4,−2) ∪ (2,4] 7. V = 384 cm 3 , P = 384 cm 2 a3 − a2 1 an +1 − an ++ = a2 a3 d an an +1
1⎛ 1 1 1 1 ⎞ 1⎛ 1 1 ⎞ 1 a1 + nd − a1 n = ⎜ − + − − ⎟= ⎜ − ⎟= d ⎝ a1 a2 a2 an +1 ⎠ d ⎝ a1 an +1 ⎠ d a1an +1 a1an +1
9. z1 = 2 − i , z 2 = −1 − i ,
(2 − z )2003 = −i
10.(sl. 29) a)
y −
б)
π 0
π
2
2
x
y
в)
y
k>0
k=0 2 0
1
e
x 0
–1
x
1 k<0
Sl. 29
316
8. grupa 2003. god.
⎛ ⎛ 3 2 ⎞ 45 ⎞ ⎜ ⎜ 5 − 7 ⎟ ⋅ 11 ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎛ 1:0 ,3 − 1 1 ⎞ : 7 ⎟ ⎟ ⎜⎜ 3 ⎠ 36 ⎟⎠ ⎝⎝
1. a) Izra~unati
b) Uporediti brojeve
log 27 3
2log4 2 i 3
−
2 3
.
.
2. Re{iti jedna~ine b) 3 + x + 1 = 3x . a) 2 x − 1 − 2 − x = x + 1 ; 3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
8 sin 2 x − 5 sin 2 x + 14 cos 2 x = 6 . 4. Re{iti nejedna~inu
(
3+ 2
)
6 x +1
≤
(
3− 2
5. Odrediti jedna~ine tangenti kruga
)
−x
. x2 + y2 − 2 x + 4 y = 0
konstruisanih iz ta~ke M ( −4 ,3) . 6. Visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla deli tu hipotenuzu na odse~ke du`ina 16 cm i 9 cm . Na}i povr{inu kruga upisanog u taj trougao. 7. Bo~ne ivice pravilne zarubqene trostrane piramide nagnute
su prema ravni osnove pod uglom od 45 . Izra~unati zapreminu te piramide ako su wene osnovne ivice a = 4 cm i b = 2 cm . 8. Tri broja ~ine rastu}u geometrijsku progresiju. Uve}avawem drugog ~lana za 8, data progresija postaje aritmeti~ka. Ako u novoj progresiji tre}i ~lan uve}amo za 64, dobijamo geometrijsku progresiju. Koji su to brojevi? 9. U zavisnosti od realnog parametra a , odrediti broj realnih re{ewa jedna~ine
ax3 − 3ax − 1 = 0 . 10. Koliko ~etvorocifrenih brojeva deqivih sa 5 mo`emo formirati od cifara 0, 1, 2, 5, 6 i 7, a da nijedan od tih brojeva nema istih cifara?
317
8. grupa 2003. god. (re{ewa) 1. а) 4 б) 2 log 4 2 = 2 = 6 8 < 6 9 = 3 3 = 3log 27 3 2. а) x ∈ {−1} ∪ [ 2, +∞ ) б) x = 1
π
+ kπ ∨ x = arctg 4 + lπ 4 2 x + y + 5 = 0⎫ 5. x + 2 y − 2 = 0⎬⎭ 14 cm 3 7. V = 3 9.(sl. 30) Једначина има:
3. x =
1) два решења за 2) три решења за
6. P = 25π cm 2 8. 4, 12, 36 1⎞ ⎛ ⎜a = ± ⎟ 2⎠ ⎝
1 = ±2 a −2<
4. x ∈ [ −3, −1) ∪ [ 2, +∞ )
(k, l ∈ Z ) ;
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ ⎜⎜ a ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝
1 <2 a
3) једно решење за
1 1 > 2 ∨ < −2 a a
4) нула решења за
a=0
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜⎜ a ∈ ⎜ − ,0 ⎟ ∪ ⎜ 0, ⎟ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝
y
y = x 3 − 3x 2
y=
− 3
–1
0 –2
10.
1
3
x
Sl. 30
⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ 3!= 60 ( 0 на крају) ⎝ 3⎠ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⋅ 3!= 24 (5 на крају, а 0 не учествује) ⎝ 3⎠ ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⋅ (3! − 2) = 24 (5 на крају и 0 учествује) ⎝ 2⎠ Укупно има 108 таквих бројева.
318
1 , a≠0 a
9. grupa 2003. god. −
1.
1 2
⎛ 5 ⎛1 7⎞ ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ − : ⎜ + ⎟ − 0, 25 − ⎜1 + ⎟ : ( -1:0,5 ) ⎟ . ⎝ 4 2⎠ ⎝ 8 ⎝2 6⎠ ⎠ ⎛ ⎞ 1 2x x ⎞ ⎛ x − ⋅ ⎟: 4 3 ⎜ 3x + ⎜ ⎟⋅ ⎝ x −1 x +1 ⎠ x − x + x −1 ⎠ x +1 ⎝
a) Izra~unati b) Uprostiti
2. Re{iti jedna~ine: a) 3 x − 1 − 2 − x = x + 5 ; 3. Dokazati identitet
(
b)
(x
2
− 2x
)
2
− 3 = 2x ( x − 2) .
)
8 sin6 x + cos 6 x − 3 cos 4 x = 5 . 4. Odrediti vrednosti realnog parametra m tako da je
5.
( ∀x ∈ R) ( 2m −1) x2 + ( m + 2) x + m −1< 0 . Odrediti ta~ku B simetri~nu ta~ki A ( 3,5 )
u odnosu na pravu
2x + y − 6 = 0 . 6. U trapez sa kracima 6 cm i 10 cm upisan je krug. Sredwa linija trapeza deli trapez na dva dela ~ije se povr{ine odnose kao 11: 5. Odrediti du`ine osnovica trapeza. 7. Izra~unati povr{inu i zapreminu kupe ako je wena izvodnica za 1cm du`a od visine, a pre~nik osnove je 1 dm . 8. Re{iti jedna~inu
2 x + 4 x + 8 x + 16 x + =
1 ⋅ 15
9. Re{iti sistem jedna~ina
log 2 ( x + y ) − log3 ( x − y ) = 1 x2 − y2 = 2 . 10. Igra~ igra 5 razli~itih igara, pri ~emu u svakoj igri obavezno osvaja tri, ~etiri ili pet poena. Na koliko na~ina on mo`e osvojiti ukupno 20 poena?
319
9. grupa 2003. (re{ewa) 1. а) 2
б) x + 1
2. а) x ∈ {− 2 , 4}
б) x ∈ {− 1,1, 3}
(
)
3. 8 sin 6 x + cos 6 x − 3cos 4 x = 3 ⎛ ⎞ = 8 ⎜ ⎛⎜ sin 2 x + cos 2 x ⎞⎟ − 3sin 4 x cos 2 x − 3sin 2 x cos 4 x − 3cos 4 x ⎟ = ⎜⎝ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ = 8 ⎜1 − sin 2 2 x − 3cos 4 x ⎟ = 8 ⎜1 − (1 − cos 4 x ) − 3cos 4 x ⎟ = 5 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠
4. m ∈ (− ∞,0 ) 5. B(− 1,3) 6. a = 14 cm, b = 2 cm 7. P = 90π cm 2 ,
V = 100π cm3
8. x = −4 ⎧⎛ 3 1 ⎞⎫ 9. ⎨⎜ , ⎟⎬ ⎩⎝ 2 2 ⎠⎭
10. Ukupan broj na~ina je 1 +
5! 5! + = 1 + 20 + 30 = 51 3! 2!2!
320
10. grupa 2003. god. −
1
⎛ 4 ⎛ 11 −1 ⎞ 2 ⎞ ⎛7 5⎞ 1. a) Izra~unati − − − − 2 : 0 , 8 1 0,9 ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . ⎠ ⎝3 9⎠ ⎝ 5 ⎝5 ⎠ ⎛⎛ x ⎞ 1 x ⎞ 6x b) Uprostiti − + 9x ⎟ ⋅ ⋅ ⎟: 4 ⎜⎜ 3 ⎝ ⎝ x − 3 x + 3 ⎠ x − 3x + 27 x − 81 ⎠ x+3 2. a) Odrediti sve vrednosti parametra a ∈ R za koje jedna~ina x 2 x + a 3 − x2 − = 2 x −1 x x −x nema re{ewa. 1
b) Re{iti jedna~inu
1
( x − 1) 2 − ( x − 1) 4 = 2 .
3. Re{iti trigonometrijsku jedna~inu
(
)
4 ( sin 4 x − sin 2 x ) = sin x 4 cos 2 3x + 3 ⋅
4. Re{iti nejedna~inu
xlog
2
x +log x + 2
( log x = log10 x ) .
< 0,01
5. Na krivoj x 2 + y 2 = 10 odrediti ta~ku najvi{e udaqenu od prave x + 3 y − 12 = 0 i izra~unati tu udaqenost. Skicirati odgovaraju}u sliku. 6. Izra~unati povr{inu jednakokrakog trougla ~ija je osnovica du`ine 30 cm , a polupre~nik upisanog kruga 10 cm. 7. Izra~unati zapreminu pravilne ~etvorostrane zarubqene piramide ~ija je dijagonala D = 9 cm , a osnovne ivice a = 7 cm i
b = 5 cm. 8. Tri broja ~iji je zbir 6 obrazuju rastu}u aritmeti~ku progresiju. Ako se prvom broju doda 5, a drugom i tre}em po 1, dobija se geometrijska progresija. Koji su to brojevi? 9. Oko sfere polupre~nika R opisana je prava kupa minimalne zapremine. Odrediti wenu visinu. 10. U xOy - ravni skicirati linije odre|ene jedna~inama: a) y = cos x,
(
ln x − x 2
b)
y=e
),
321
v)
kx 2 + y 2 = k
(k ∈ R) .
10. grupa 2003. god. (re{ewa) 2. а) a ∈ {2,3} ; ⎛ 1⎞ 4. x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 10 ⎠
б) x + 3
1. а) 3
3. x = kπ ∨ x = ±
π 9
+
5. M (− 1,−3) , d =
2 mπ 3 22
(k , m ∈ Z )
6. P = 540 cm 2
10
7. V = 109 cm 9. Vmin = V ( 4 R ) , H = 4 R
8. − 4 , 2 , 8 y
10. (Сл. 31) а)
1
3
−5π 2
−
3π 2
б) 17
−
π 2
0
π
–1
2
x
5π 2
3π 2
y
б)
1
–1
x
0
y k
в)
y
1
−k
–1
1
0
x
1 –1
–1
1 0
− k
–1
k>0
− −k
y 0 k=0
x
k<0
Сл. 31 322
x
LITERATURA
[1] [ 2] [3] [ 4] [ 5] [ 6] [7] [8 ] [9]
@. Ivanovi} , S. Ogwanovi}: Matematika 1, Zbirka re{enih zadataka za I razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beograd 1995. @. Ivanovi}, S. Ogwanovi}: Matematika 2, Zbirka re{enih zadataka za II razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beograd 1997. S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}, L. Milin: Matematika 3, Zbirka re{enih zadataka za III razred gimnazija i tehni~kih {kola, "Krug", Beograd 1992. S. Ogwanovi}, @. Ivanovi}: Matematika 4, Zbirka zadataka i testova za IV razred gimnazija i tehni~kih {kola, »Krug«, Beograd 1999. Vene T. Bogoslavov: Zbirka re{enih zadataka za IV razred gimnazija i tehni~kih {kola, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd 1999. S. Ogwanovi}: Matematika 4+, Re{eni zadaci sa prijemnih ispita na univerzitetima u Srbiji 1995–2000, "Krug", Beograd 2001. \. Dugo{ija, @. Ivanovi}: Matematika 5, Re{eni zadaci iz matematike sa prijemnih ispita na univerzitetima u Srbiji, Dru{tvo matemati~ara Srbije, Beograd 1991. \. Vukomanovi}, D. Georgijevi}, A.Zoli} i dr.: Zbirka zadataka i testova iz matematike za pripremawe prijemnog ispita za upis na tehni~ke i prirodno-matemati~ke fakultete, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd 2000. V. T. Vodnev, A. F. Naumovi~, N. F. Naumovi~: Osnovn∫e maтema-
тi~eskie formul∫ , Minsk ′′V∫{eŸ{a® {kola″ 1988. [10] N. P.Antonov, M.Â. V∫godskiŸ, V. V. Nikitin, A. I. Sankin: Sbornik zada~ пo Ìlemenтarnoй maтemaтike, Moskva, 1962.
323
LIKOVNO RE[EWE KORICA
Hr~ek @eqko KOREKTOR Milena Pavlovi}
OBRADA TEKSTA NA RA^UNARU Sne`ana Aran|elovi}-Radmanovi}
[tampa: VIZ – Sekcija za {tampawe i umno`avawe – Beograd
